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pág Reflexiones ¿Cómo puedo ser un estudiante

exitoso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

FISICOM La Función Seno: Reflejo del comporta-

miento de Sistemas de la Vida Cotidiana . . 3

Ciencia de Culto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Tips Matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Concurso Desafío a tu Ingenio . . . . . . . . . . . . . . 5

Loopy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Problemas con Historia

La Braquistócrona . . . . . . . . . . . . . .6

La Paradoja de la Rueda de Aris-

tóteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

La Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Christiaan Huygens . . . . . . . . . . . . . . 7

Grandes Inventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Anécdotas de la Ciencia . . . . . . . . . . . . . 8

ABAQUIM Metales Pesados . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Ciencia Entrete Un Papel que no se Quema. . . . . . . .10 La Física y el Amor . . . . . . . . . . . . . .10

¿Sabías que? . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

El Día de Pi . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Humor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Sonriendo con Informática. . . . . . . . .11

Noticias ¡Se lo ganó, se lo ganooó! . . . . . . . . .12

ATRAE te atrae a los Humedales . . . 12

Nunca es tarde para vivir la Ciencia

Antártica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

En Matemáticas, una conjetura es una afirmación que se supone que es verda-dera, pero no se ha demostrado que lo sea ni tampoco se ha probado que sea falsa. Si se logra demostrar, deja de ser una conjetura y pasa a ser un teorema, el que podrá ser usado en adelante para otras demostraciones formales.

Hay muchas conjeturas famosas que re-sistieron mucho tiempo, algunas, siglos. Como por ejemplo “El Último Teorema de Fermat” (ABACOM N° 49) y “El Mapa de Cuatro Colores” (ABACOM N° 50). Otras se mantienen incólumes a través de los años, como la existencia de números perfectos impares, la Hipótesis de Riemann, la Conjetura de Hodge, entre otras.

En algunos casos el enunciado de la con-jetura es de una gran simplicidad, lo que invita a muchos matemáticos aficionados a intentar resolverla, pero rápidamente se dan cuenta de lo complejo de dicha tarea. Una que está próxima a cumplir 80 años es la Conjetura de Collatz, planteada en 1937 por Lothar Collatz (1910 – 1990, matemático alemán). Es una de aquéllas que tiene un enunciado muy sencillo y dice lo siguiente:

“Se elige un número n, entero positivo

cualquiera, si es par se divide por 2 y si es impar se multiplica por 3 y se le suma 1 (o sea se forma el número: 3n + 1). Con el número que se obtenga se repite el proceso. Así se forma una sucesión de números que siempre llega al número 1”.

Por ejemplo si se parte con el número 6, el siguiente es el 3 (como el 6 es par se dividió por 2), el siguiente será 10 (como es impar el 3, se multiplicó por 3 y se sumó 1), prosiguiendo así, se obtienen sucesivamente: 5, 16, 8, 4, 2, 1. Así, he-mos llegado al 1. Para algunos números la secuencia de números que se forma es más larga, por ejemplo si se parte con el número 27, después de 111 pasos se lle-gará al 1.

Collatz expuso esta conjetura en la Uni-versidad de Siracusa (U.S.A.) por lo que también se le conoce como el Problema de Siracusa y también, debido al propio enunciado, como Problema 3n + 1.

Hay algunos que han pretendido haber resuelto este problema, como Peter Sho-rer, en 2009 y Gerhard Opfer, en 2011, quiénes propusieron “demostraciones”, pero se ha probado que tienen errores.

Haciendo uso de computadores se ha comprobado que la conjetura es válida hasta el número 258, pero naturalmente que esto no basta para afirmar que sea cierta para todos los números enteros positivos, que son infinitos.

En la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas es muy útil el proceso de conjeturar, lo que permite a los estudian-tes visualizar e identificar características, patrones y regularidades acerca de un cierto objeto – puede ser una construc-ción geométrica, o una estructura aritmé-tica como por ejemplo el Triángulo de Pascal – para posteriormente tratar de verificar la veracidad de la conjetura o la falsedad de la misma.

Nº 53 Año 14

Mayo 2015

Editorial

CONJETURAS

M A Y O 2 0 1 5

2

Lorena Díaz Parra Coordinadora Bachillerato en Ciencias de la Ingeniería

Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh.

REFLEXIONES

La Real Academia Española define el concepto de estudiar como “ejercitar el entendimiento para alcanzar y compren-der algo” y estudian-te como “persona que estudia”. A sim-ple vista algo obvio y fácil, pero que implica una serie de factores que están involucrados y que debes considerar

para convertirte en un estudiante exitoso. En primer lugar, debes tener presente los factores cognitivos. Existen diversas estrategias que te ayudarán: Estrategias para desarrollar la concentración: debes tener un lugar para estudiar, cómodo y ventilado, adquirir una buena postura corpo-ral, ordenar el material de estudio, eliminar estímulos distractores (televisión, celular, computador, etc.), respirar profundo para permitir una buena oxigenación del cerebro, empezar a estudiar lo más fácil y progresivamente lo que se te hace más difícil. Debes subrayar lo más importante, realizar preguntas a medida que estudias. Finalmente elaborar, resúmenes, esquemas, mapas conceptuales, ya que te permi-ten elaborar una síntesis de lo estudiado y te obliga a ordenar tu pen-samiento. Estrategias para desarrollar la memoria: debes darle un significa-do a lo que estudias, pensar por qué estás estudiando y para qué. De todo lo estudiado hay contenidos que debes rnemorizar y que te sir-ven de base para aplicar los contenidos. Es importante ejercitar en forma permanente para evitar el olvido de lo estudiado. Cuando estu-dias debes alternar períodos de estudio y descanso. Al estudiar se retiene más fácilmente lo visto al principio y al final, por lo tanto, lo que estudies al centro debe ser más enfatizado. Debes ordenar la in-formación. Repasa antes de dormir, porque hay menos interferencias de otras actividades. Es importante aprender a usar sistemas que te permitan asociar lo aprendido por otros canales perceptivos (auditivos, visuales, kinestésicos). Finalmente, debes escribir lo que quieres recordar. Lo que su escribe se recuerda mejor que lo que se lee. Lo que se ve se recuerda mejor que lo que se escucha.

En segundo lugar, debes considerar los factores afectivo-sociales. a. Actitud: piensa que eres capaz y que lograrás tus objetivos. Parti-cipa activamente en clases, pregunta hasta que ya no tengas dudas. Cuando logres una meta, por pequeña que sea siéntete feliz. No te des por vencido ante los obstáculos. Ten una actitud positiva en clases, atiende a tus profesores. Recuerda que ser estudiante exige desarro-llar la autodisciplina. Tú eres el gestor de tu éxito. b. Motivación: busca un interés personal a lo que aprendes. Investiga sobre lo que estás estudiando, realiza ejercicios, cuanto más se cono-ce un tema, mejor se aprende. Interésate y profundiza algunos conte-nidos que te gusten más. Reflexiona ¿Por qué estoy estudiando? Defi-ne el objetivo de lo que estás haciendo. ¿Para qué debo hacerlo? ¿Qué debo hacer? ¿Cómo debo hacerlo? Asocia el estudio a una situación agradable. Ej. obtener una buena nota. Debes ponerte como meta sacar buenas notas, no conformarte con lo mínimo. Tampoco frustrar-te con los resultados. Frente a esta situación debes preguntarte ¿Cómo puedo mejorar? ¿Qué no hice bien? ¿Cómo puedo aprender aquello

que no he logrado? Relaciona lo que aprendes con tu vida y tu futuro. Retroalimenta lo estudiado, a mayor información, mayor interés. Pregunta, investiga, reflexiona. Desarrolla la responsabilidad frente al trabajo. Visualiza que premio o recompensa obtendrás después del estudio. Recuerda los logros obtenidos, rescata siempre lo positivo c. Voluntad: comienza con pequeños logros, hasta que alcances una meta. Por ejemplo, tu meta será estudiar todos los días. Para lograrla debes comenzar con pequeños actos, que desarrollan la perseveran-cia. Es decir, debes comenzar realizando un repaso de las materias diariamente hasta que progresivamente se convierta en un hábito y logres tu meta de estudiar todos los días. Para lograr un objetivo de-bes pensar ordenadamente lo que debes hacer para lograrlo. Siempre debes planificar tus actividades y organizar tu tiempo. d.- Habilidades sociales: discrimina situaciones conflictivas en su real dimensión, debes analizar los problemas que se te presentan con el afán de solucionarlos. Siempre pensar diversas soluciones para los problemas y anticipar la consecuencia de tus actos. Es importante mantener una actitud positiva con los que te rodean y pedir ayuda cuando sea necesario, no debes pensar que puedes resolver todo sólo, siempre hay personas dispuestas a ayudarte, ya sea en tu familia y/o colegio. Si bien, debes argumentar y defender tus derechos, no obs-tante, es fundamental ponerse en el lugar del otro y relacionarte de buena forma con tu grupo de pares.

En tercer lugar, es fundamental considerar los factores ambientales y la organización para el estudio. Para esto es fundamental considerar los siguientes aspectos: a. Organización del lugar, el ambiente de estudio: ordenar el lugar de trabajo, clasificar los elementos que utilizas según la prioridad y utilidad. Idealmente tener una mesa o escritorio que contenga los materiales de trabajo y permita apoyar el antebrazo. Antes de empe-zar a estudiar tener a mano todo el material y eliminar los distracto-res. La temperatura del lugar debe ser adecuada, ni mucho frío ni mucho calor y con buena ventilación, es importante, renovar cada cierto tiempo el aire del lugar de estudio y preocuparse de la ilumina-ción. De preferencia luz natural o luz blanca. Luego de organizar el lugar debes tener una actitud mental correcta, debe existir deseo de estudiar. Lo ideal es un lugar solitario y silencioso, no debes estudiar en cama acostado, porque obviamente te relajarás demasiado. b. Posiciones adecuadas para el estudio: pies apoyados en el suelo, columna vertebral recta, brazos apoyados en la mesa de trabajo y relajados, cabeza inclinada levemente hacia delante, cuerpo ocupando todo el espacio de la silla. Cabeza, ojos y oídos de frente al material de estudio o de trabajo escolar. Para estudiar debes estar relajado. c. Estrategias para estimular la organización del pensamiento: debes analizar la estructura del libro que vas a estudiar, organizar los contenidos en tu cuaderno, clasificar la información en esquemas y resúmenes y para comprobar que has aprendido debes expresar ver-balmente lo estudiado. d. Estrategias para la organización del tiempo: trabaja sistemática-mente, teniendo el material a mano, confecciona un horario de estu-dio, organiza el tiempo que dedicarás a todas tus actividades. Deja tiempo para repaso y revisión de materia, estudia todos los días una misma cantidad de tiempo y en lo posible a la misma hora. Controla tu tiempo de estudio, el hábito se hace en forma progresiva. Duerme ocho a diez horas diarias. El tiempo de estudio depende de las necesi-dades personales, pero debe oscilar entre una o dos horas diarias.

No olvides que puedes ser un estudiante exitoso, pero para ello debes ser muy perseverante, todos los hábitos requieren esfuerzo.

¿Cómo puedo ser un estudiante exitoso?

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ABACOM Boletín Matemático

La función seno (sin) – al igual que coseno (cos) – es sin duda, demasiado conocida e importante en el área de las Matemáti-cas, y tiene múltiples aplicaciones en la Física y Ciencias de la Ingeniería. En este artículo no se pretende nombrar todas las vinculaciones de la función seno, pues no sería posible. Una aplicación relevante de la función seno – al igual que coseno – es el hecho que corresponde a la solución de ecua-ciones diferenciales que sirven para modelar ciertos fenóme-nos. He aquí dos casos:

1. Movimiento de un péndulo: consideremos un péndulo ideal, el cual consiste de un objeto de masa m, conectado a una cuerda de masa despreciable (es decir, mucho menor que m) y largo L. Si el objeto oscila con pequeña amplitud res-pecto a su posición de equilibrio, su ecuación diferencial

asociada es:

Siendo el ángulo que forma la cuerda respecto a la

vertical (en rad), la segunda derivada temporal de (en

rad/s2) y la frecuencia angular natural del péndulo (en

rad/s). Esta última está definida por:

(g es la aceleración de gravedad terrestre, aprox. 9,8 m/s2).

2. Movimiento de un sistema masa-resorte: consiste de un objeto de masa m conectado a un resorte ideal, es decir, la masa del resorte es despreciable en comparación a m y ade-más obedece a la Ley de Hooke. Al igual que al caso anterior, si el objeto oscila con pequeña amplitud respecto a su posi-ción de equilibrio, entonces el desplazamiento debe obedecer a la siguiente ecuación diferencial: Siendo la posición vertical de la masa (en m), la segunda derivada temporal de y (en m/s2) y la frecuencia angular natural del sistema (en rad/s), la cual está dada por:

(k es la constante de restitución del resorte). Probablemente el lector entendido ya conoce la solución de las ecuaciones (1) y (3), que son, respectivamente:

Uso del software Tracker El software Tracker permite realizar análisis de videos graba-dos digitalmente, cuadro por cuadro (la herramienta esta dis-ponible en forma gratuita en Internet y puede ser descargada en el siguiente link: https://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/). Lo anterior significa que es posible hacer un estudio del movimiento de un cuerpo que varía su posición, y/o velo-cidad y/o aceleración, y obtener los datos y gráficos de dichas variables en función del tiempo, de la misma forma que en una medición experimental de laboratorio. Los datos pueden ser registrados por una cámara de video o celular, y la infor-mación es procesada y organizada por el software. A continuación se ilustran dos Figuras, en las cuales se han analizado en forma separada dos videos. El primero corres-

ponde al movimiento del Péndulo de Foucault de Valdivia, mientras que el segundo corresponde a un sistema masa-resorte.

En el lado derecho de ambas Figuras aparece un gráfico ge-nerado por el software, punto a punto, siendo el tiempo la variable independiente, en ambos casos. En el caso del Pén-dulo, la variable dependiente es la componente horizontal de la bola, mientras que para el sistema masa-resorte correspon-de a la posición vertical de la masa.

Los resultados son sorprendentes pues, en ambos casos, el movimiento de la masa en una de las direcciones es descrito por una curva "experimental" (recordar que son datos y no funciones definidas en forma previa) que nos recuerda a la gráfica de la función sin. Por otro lado, tenemos que las solu-ciones de las ecuaciones (1) y (3) incluyen a la función sin (también es posible expresarlas con la función cos). Esta com-paración deja en evidencia que las funciones sin y cos son extremadamente importantes en el modelamiento de siste-mas mecánicos reales. Referencias: Software Tracker: https://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/ Mecánica Técnica. S. Timoshenko, D.H. Young. Librería Hachette,

Argentina, 1957.

La Función Seno:

Reflejo del Comportamiento de Sistemas de la Vida Cotidiana

Dr. Mario González Montenegro

0 θ ω θ2

p (1)

θ

θ =θ t( )

θ

p

gω =

L

1 (2)

2π

ωp

0 y ω y2

R (3)

y = y t( ) yωR

k

ω = m

R

1 (4)

2π

Fig. 1: Análisis en Tracker del Péndulo de Foucault de Valdivia.

Fig.2: Análisis en Tracker de un sistema masa-resorte.

θ t =θ sin ω t+ ), y t = y sin ω t+ ) θ , y , , max p p max R R max max p R constantes.( ) ( ( ) ( ; con

FF II SS II CC OO MM

M A Y O 2 0 1 5

4

TRANSFORMACIÓN DE UNIDADES DE MEDIDA

Tips

M AT E M ÁT I C O S Juan Leiva Vivar

km 1.000 m 180 1.000 m m180 180 50

h 3.600 s 3.600 s s

2 2 2 2 2

m 0,001 km 720.000 0,001 km km720.000 720.000 0,2

h (60min) 60 min min

25min 40 s 1.540 : 3.600 h 0,427 h.

En muchos problemas de matemáticas aparecen magnitudes con unidades, como por ejemplo: para longitud, metro o kiló-metro; para tiempo, segundo u hora. Transformar una de estas unidades en otra es relativamente sencillo.

Por ejemplo: 1. ¿Cuántos centímetros (cm) tienen 5,84 kilómetros (km)?

Como es sabido, las unidades de longitud en el sistema decimal van de 10 en 10: milímetro, centímetro, decímetro, metro, decámetro, hectómetro y kilómetro. Así para trans-formar kilómetros a centímetros se multiplica por 100.000, ya que el centímetro está “5 lugares más abajo” que el kiló-metro. Por tanto: 5,84 km = 5,84X100.000 cm = 584.000 cm.

2. ¿A cuántas horas (h) corresponden 25 minutos (min) con 40 segundos (s)? Primero expresemos en segundos. Para ello los 25 minutos se multiplican por 60, resultando: 25 min 40 s = 25X60 s + 40 s = 1.540 s. Ahora para transformar esta cantidad de segundos en horas

debemos dividir por 3.600 (ya que se debe pasar primero a minutos y luego a horas, debiendo dividir cada vez por 60). Así:

Pero si se trata de velocidad o aceleración, esto se complica un poco.

Por ejemplo: 1. ¿A cuántos m/s corresponde una velocidad de 180 km/h?

Una forma fácil de hacer la transformación es la siguiente:

Así: una velocidad de 180 km/h corresponde a 50 m/s.

2. ¿A cuántos km/min2 equivale una aceleración de 720.000 m/h2? En este caso tenemos: Por tanto: la aceleración de 720.000 m/h2 equivale a una aceleración de 0,2 km/min2.

¿Qué fue primero la Cultura o la Ciencia?

Muy, pero muy buen año les deseamos a todos. Aquí llega una nueva sección de su boletín favorito de difusión matemática y científica en general. Bienvenidos y bienvenidas a “Ciencia de Culto, contacto entre dos mundos”, sólo en ABACOM. En este primer artículo nos introduciremos en dos mundos que pare-cen lejanos, antagónicos e incluso paralelos, pero que en realidad su relación es dialéctica, encontrando puntos de unión donde cabe la pregunta ¿qué fue primero la cultura o la ciencia? Partamos por algunas definiciones generales: Ciencia es una rama del saber que se basa en generar conocimiento objetivo y verificable sobre una materia determinada y donde se emplea un método científico mediante la observación y experimenta-ción guiada por una hipótesis. Existen en la actualidad dos tipos de ciencias. Las formales, donde se encuentra la matemática y la lógica, y las fácticas, donde se encuentran las naturales y las sociales. Cultura, por su parte, es un término que tiene muchos significados pero que de forma amplia se refiere a cualquier manifestación mate-rial o inmaterial que ha inventado el ser humano en un momento histórico determinado. Sí, incluso las malas prácticas. Ahora bien, reflexivamente podemos decir que tanto la ciencia como la cultura son creaciones humanas por lo tanto existe una cultura científica. Por otra parte, también se puede decir que ambas, a lo largo de su existencia, se complementan y que no existe una sin la otra o por lo menos no existe una cultura que no busque explicar su entorno y arraigar conocimiento de sí misma.

¿Parece una locura? Nos imaginamos que sí, porque de hecho mu-chos liceos se separan en científico y humanista, hay que elegir un área de las dos. La PSU tiene pruebas obligatorias, pero también tie-ne dos electivas que son ciencias e historia. ¿Cuál es el afán de sepa-rar lo numérico o calculable de lo humano y social? ¿Por qué parecie-ra que lo numérico es más sólido que las declaraciones de alguien o el pensamiento no comprobado? Un sin fin de dudas de algo que en nuestra mente está muy normalizado y que poco sale a colación. Por ahora hay que dar espacio para cuestionarnos un poco el tema. En las próximas ediciones de ABACOM tomaremos una máquina del tiempo para revisar toda la Ciencia de Culto y contactarnos con esos mundos del pasado que dejarán en claro la unión científico-cultural que existió y que tenemos de legado, pero que hoy parecen materias sepa-radas en lo educacional. Todo sobre Ciencia y Cultura y su apasionante relación en un próximo ABACOM. Hasta pronto. Más información en: http://www.tiposde.com/ciencia/tipos-de-ciencia.html http://perio.unlp.edu.ar/catedras/system/files/1.t._hintze_el_surgimiento_de_las_ciencias_sociales.pdf

CIENCIA DE CULTO CIENCIA DE CULTO CIENCIA DE CULTO Contacto entre dos Mundos

Julio Morales Muñoz

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ABACOM Boletín Matemático

rsoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcur

PROBLEMAS EDICIÓN Nº 53

Problema 1: El Fumador Empedernido Un fumador empe-dernido acostumbra-ba a fumar sólo los dos tercios de cada cigarrillo. Para no perder lo que sobra-ba, pegaba con cinta adhesiva tres colillas para formar un nuevo cigarrillo.

Un día decidió dejar el vicio, luego de fumar los últi-mos 27 cigarrillos que le quedaban. ¿Cuántos cigarrillos fumará antes de abandonar el tabaco para siempre?

Problema 2: El Área del Hexágono Sobre cada uno de los lados de un triángulo equiláte-ro, se construye, hacia afuera, un cuadrado. Los seis nuevos vértices forman un hexágono. Si el lado del triángulo equilátero mide 2 cm. ¿cuánto mide el área de este hexágono?

Envía soluciones a PROBLEMAS y LOOPY

(indicando Nombre, Colegio y Curso) a

ABACOM Boletín Matemático

Casilla: 567 Valdivia Fax: (63) 2293730

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Recepción de soluciones hasta:

26 de Junio de 2015

Loopy: El Juego del 2015

Sebastián Acevedo Álvarez

La idea del juego es unir los puntos con líneas hori-zontales y verticales, con las siguientes condiciones:

La cantidad de líneas que rodea un número debe

ser igual a la cantidad indicada por el número.

Todas las líneas deben crear una trayectoria ce-

rrada (un loop).

Desde un punto no deben surgir más de dos lí-

neas.

Las casillas que no tienen número dentro de

ellas, permiten la cantidad de líneas que sean necesarias.

Por ejemplo:

Presentación del juego Solución

L

OO

PY

E

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N N

º 5

3

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so e

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Publicación destinada a Estudiantes y

Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por la Facultad de

Ciencias de la Ingeniería UACh.

Centro de Docencia de CCBB para Ingeniería Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh. Casilla 567 Valdivia Fono 632221828 Fax 632293730 abacom@uach.cl www.uach.cl/abacom

Director: Juan Leiva V. Redacción Periodística: Julio Morales M. Web Master: Edinson Contreras R. Loopy y Gráficos: Sebastián Acevedo A. Colaboraron en esta edición: Luz Alegría A., Lorena Díaz P. y Mario González M.

Juan Leiva Vivar

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M A Y O 2 0 1 5

La Braquistócrona es una curva que es la solución al problema de menor tiempo de descenso. Johann Bernoulli, habiendo resuelto el problema, lo propuso a la sociedad matemática de su época (s.XVII) ofreciendo un premio a quien también pudiese resolver-lo. Varios lo intentaron, obteniendo soluciones parcia-les o muy complicadas, pero el gran Isaac Newton pre-sentó una solución que a todos impactó por lo concisa y elegante.

El primero en enfrentar el problema de la Braquistócrona fue el astrónomo y físico italiano Galileo Galilei (1564 – 1642), quien se preguntó ¿qué forma debe tener un canal metálico bien pulido que une dos puntos fijos A y B para que sea mínimo el tiempo que tarda una bola metálica pulida en recorrerlo desde el punto A hasta el punto B? A primera vista parecería que el canal debe ser rectilíneo pues sólo en ese caso la bola recorrerá el camino más corto entre A y B. Pero se trata del camino de tiempo mínimo y no del camino más cor-to y este tiempo, aparte de la longitud del recorrido, depende también de la veloci-dad de la bola. Johann Bernoulli (1667 – 1748) planteó, en 1696, a los matemáticos de la Royal Society el problema en los siguientes tér-minos: “Hallar una curva que une dos puntos A y B, con A a una elevación ma-yor que B, de modo que si un cuerpo cae por ella, desde A, con velocidad inicial cero bajo la acción de gravedad constante y sin fricción, llega al punto B en el me-nor tiempo posible”. Él había hallado una

solución, pero lo planteó como un desafío a los matemáticos de la época, ofreciendo como premio un costoso libro científico de su biblioteca . En particular iba dirigi-do a Isaac Newton (1643 – 1727), con quien tenía una cierta rivalidad pues Bernoulli había apoyado a Gottfried Leibniz (1646 – 1716) en la controversia que éste tuvo con Newton acerca de la autoría del Cálculo Infinitesimal. Newton, ya con 53 años, estaba retirado de la acti-vidad científica. La solución a este problema es una curva llamada Braquistócrona (del griego: brachistos „más corto‟, chronos „tiempo‟), que es un arco de cicloide. Entre los participantes del certamen se encontraban grandes científicos como: Robert Hooke, Edmond Halley y Gott-fried Leibniz. Bernoulli estableció un plazo máximo de seis meses para presen-tar las soluciones. Tras este tiempo, sólo Leibniz había encontrado una solución, pero no era del todo satisfactoria. Pasaron seis meses más y nadie pudo mejorar la solución de Leibniz. Bernoulli, viendo

que Newton no se interesaba en participar le hizo llegar a través de Halley – muy amigo de Newton –el enunciado del pro-blema. Sólo 10 horas tardó Newton en dar respuesta al problema, enviando ésta en una carta sin firma al presidente de la Royal Society. Sus desarrollos eran tan perfectos y elegantes, que fueron publica-dos, también anónimamente, en el núme-ro de Febrero de 1697 de una prestigiosa revista científica de la época. Bernoulli, impresionado por la elegancia de las solu-ciones, no tuvo dificultad en identificar al autor: “Es Newton”, afirmó. “¿Cómo lo sabe?”, le preguntaron. “Porque reconoz-co las garras del león” – respondió. Además de Leibniz y Newton, Johann y su hermano Jackob Bernoulli consiguie-ron resolver el problema. La solución de Leibniz era muy trabajosa, la de Johann era elegante pero muy particular, la de su hermano mayor Jackob era muy elabora-da y aburridísima, pero más general. La de Newton fue la mejor, breve, simple, elegante, entretenida y general, nadie ha podido superarla.

Problemas con Historia

Esta paradoja, planteada por Aristóteles, fue tratada en profundidad por Galileo en su obra Discorsi de 1638. Se trata de dos circunferencias concéntricas; la de radio mayor da un giro completo, sin resbalar, por tanto si se fija un punto de ella, éste recorrerá exactamente la longitud de esta circunferencia. Pero la circunferencia más pequeña también da un giro completo en este lapso de tiempo, por lo que un punto de ella recorre también su longitud, que es menor que la longitud de la circunferencia mayor. Pero de acuerdo al gráfico se observa claramente que el recorrido de ambas es el mismo. ¿Cómo puede ser esto? La explicación la entrega la curva Cicloide, pues el punto de la circunferencia mayor – que rueda a lo largo de la lí-nea recta, sin deslizar – describe un arco de cicloide, pero

el punto de la circunferencia menor, que no está en contac-to con la recta por la cual se produce el deslizamiento, no describe una cicloide, pues esta circunferencia al hacer este recorrido rueda pero resbalando, ya que la circunfe-rencia mayor la arrastra. Este punto describe una curva llamada cicloide acortada.

La Paradoja de la Rueda de AristótelesLa Paradoja de la Rueda de Aristóteles

•

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ABACOM Boletín Matemático

La CicloideLa Cicloide

La cicloide es una curva que se genera por un punto ubicado en una circunferencia que rueda sobre una línea recta, sin deslizarse. Ver animación en : http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cycloid_animated.gif

Esta curva fue moti-vo de muchas dispu-tas y controversias entre los matemáti-cos del siglo XVII, por lo que se le llamó la “Helena de los Geó-metras”, aunque hay quienes estiman que esta denominación poética se debe a la belleza de sus propiedades y aplicaciones. Galileo fue el primero en estudiarla, en 1599, y fue quien le dio el nombre. En 1634 Gilles de Roverbal mostró que el área de la región entre un arco de cicloide y el eje de las X es tres veces el área encerra-da por la circunferencia que la genera (A = 3πr2). En 1658 Christopher Wren probó que la longitud de una arco de la cicloide es igual a cua-tro veces el diámetro de la circunferencia generatriz (L = 8r). En 1640 Pierre de Fermat obtiene ecuaciones para las rectas tangentes a la cicloide. Christiaan Huygens probó, en 1673, que un arco de cicloide invertida es “tautócrona” (del griego: tauto ‘igual’, chronos ‘tiempo’), esto es si se dejan caer dos o más cuerpos – sin roce y a gravedad constante – desde puntos diferentes de esta curva, ambos llegan a la parte más baja al mismo tiempo. Ver animación en: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/Tautochrone_curve.gif .

Posteriormente, y basándose en el trabajo de Huygens, en1696, Johann Bernoulli anuncia que la solución al problema de la Braquistó-crona es, también, un arco de cicloide. Un uso práctico de la cicloide es el diseño de toboganes utilizados en la industria aeronáutica, pues esto permite una evacuación más rápi-da en caso de emergencia.

Ecuaciones de la Cicloide Consideremos la figura adjunta que representa una circunferencia de cen-tro el punto C(0,r) y radio r. También aparece la circunferencia que se ha desplazado hacia la derecha rodando sobre el eje X. P(x,y) es un punto cualquiera de la segunda circunferen- cia. Si el ángulo < PC’Q mide t (radianes) entonces se tiene que:

de donde se deduce que las ecuaciones paramétricas de la cicloide son:

Para cada valor real de t se obtiene un par ordenado (x,y) que corres-ponde a un punto de la cicloide. Para t = 0 se obtiene (0,0) y para t = 2π, se obtiene (2πr,0). Estos dos puntos son los extremos del primer arco de la cicloide.

x = OQ PR = rt r t ;sin

x = rt r tt

y = r r t

sin

cos

CHRISTIAAN HUYGENS

Fue un astrónomo, físico y matemático ho-landés. Nació en La Haya en 1629. Su padre era un diplomático que lo introdujo desde pequeño en los círculos intelectuales de la época y le brindó una excelente educación, relacionándose con matemáticos de renom-bre como Descartes, Mersenne, Pascal y Newton.

Su formación universitaria la obtuvo en la Universidad de Leiden, en Holanda. Formó parte de la Royal Society de Londres donde compartió con los mejores científicos ingle-ses. Su fama hizo que lo invitasen a partici-par de la Academia de Ciencias Francesa, la que lideró e influyó en varios científicos franceses.

Siempre fue un hombre solitario, no atrajo estudiantes o discípulos y tardó mucho en publicar sus descubrimientos. Nunca se casó ni tuvo descendencia.

Sus aportes en Matemáticas fueron en Pro-babilidades, donde fue uno de los pioneros en el estudio de esta disciplina y en Geome-tría, resolviendo numerosos problemas rela-tivos a curvas como la cisoide y la cicloide. Sus trabajos en Física se centraron en Mecá-nica – creó el primer reloj de péndulo – y en Óptica – formuló la Teoría Ondulatoria de la Luz.

Desde pequeño se interesó en la Astronomía y construyó numerosos telescopios de gran calidad con los que logró valiosos descubri-mientos, entre ellos Titán, satélite de Sa-turno. En honor suyo se bautizó con su nom-bre a la sonda construida por ESA (Agencia Espacial Europea), para exploración de este satélite (sonda Huygens), en el cual aterrizó en el año 2005.

Después de una larga enfermedad, falleció en 1695.

y = RQ = C'Q C'R = r r tcos

)

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ANÉCDOTAS DE LA CIENCIA

Joseph Louis Gay-Lussac (1778 – 1850) fue un químico francés, co-nocido actualmente por sus estudios sobre propiedades físicas y quími-cas de los gases, enunciando las famosas leyes que llevan su nom-bre. También intervino en política integrando la Cámara de Diputados y el Senado de Francia.

Investigó, junto al naturalista ale-mán Alexander von Humboldt

(1769 – 1859), la composición del agua, descubriendo la, actualmente conocida, relación de dos partes de hidrógeno por una de oxígeno. Para los experimentos de este trabajo necesitaban de unos vasos de reac-ción especiales de paredes muy fi-nas, los que debían comprarlos a un proveedor en Alemania. Sin embar-go los aranceles que se pagaban en Francia sobre las importaciones ale-manas en aquella época eran extre-madamente altos, así que los vasos salían muy caros.

Humboldt se las ingenió para evitar las aduanas. Para ello dio instruc-ciones a los sopladores de vidrio alemanes para que sellaran los lar-gos cuellos de los recipientes y pu-siesen en los envases una etiqueta con la leyenda: “Manejar con cuida-do. Aire alemán”. Los aduaneros

franceses no tenían instrucciones respecto a tasar el aire alemán, de modo que dejaron pasar el envío.

De esta forma Gay-Lussac y Hum-boldt tan solo tuvieron que cortar los extremos de los recipientes se-llados para poder continuar con los experimentos.

EVITANDO ADUANAS

Entre los primeros inven-tos, que hicieron cam-biar radicalmente la vida de nuestros antepasa-dos, tenemos: el arado, usado por primera vez en Egipto y Mesopota-mia alrededor del 4000 a.C. La rueda y la escritu-ra en el 3500 a.C., ambas inventadas por los Súme-ros. Estos inventos son

de la antigüedad, de la era antes de Cristo. En nuestra era tenemos algunos, que también se destacaron. Entre ellos podemos nombrar:

El Reloj Mecánico: A pesar que los antiguos egipcios ya tenían relojes de sol y de agua, no fue hasta el siglo X que el primer reloj mecánico fue ideado por el monje benedictino francés Geberto de Aurillac (945—1003), que llegaría a ser Papa (Silvestre II, en 999). El Mecanis-mo funcionaba mediante una rueda dentada, accionada por pesos y contrapesos. Aunque no daba las horas con mucha exactitud, sirvió para que, a partir de él, se multiplicaran las invenciones al respecto.

La Brújula: Al igual que otros instrumentos de navegación, la brújula

fue inventada por los chinos en el siglo IV a.C., pero se usaba con fines mágicos. Sólo desde el siglo XII, comenzó a ser usada en la navegación marítima, lo que permitió tanto establecer rumbos y comprobar si estos se seguían correctamente, como determinar la ubicación de otras embarcaciones avistadas.

La Imprenta: Los chinos imprimían libros desde el siglo IX, donde talla-ban en madera cada página, para luego entintarla y así traspasar a papel. Pero no se considera como imprenta hasta que Johannes Gu-

tenberg (1398 – 1468) hacia 1438 ideó un molde donde, con metal

fundido, confeccionó los tipos de cada letra, los que se unían y se en-marcaban para así formar las páginas, las que luego se trasladaban al papel.

El Microscopio: Zacharias Janssen hijo del fabricante de anteojos ho-landés Hans Janssen, en 1590 fabrica el primer microscopio, usando una lente biconvexa dispersora como objetivo y otra bicóncava como concentradora, ambas montadas sobre un tubo de latón. La calidad de la imagen era deficiente debido al mal pulido de los cristales, lo que se realizaba a mano y sin instrumentos adecuados. Posteriormente Gali-leo logró mejorarlo, pero no fue hasta 1674 en que el también holan-dés Antonie van Leeuwenhoek, logró tallar una lente lo suficientemen-te poderosa que le permitía observar bacterias de 2 a 3 micrómetros (0,002 a 0,003 milímetros) de diámetro.

GRANDES INVENTOS

ALEXANDER VON HUMBOLDT

Desde que el ser humano apareció sobre la tierra, ha estado permanentemente usando su ingenio para realizar diferentes inventos que nos han hecho más cómodo nuestro diario vivir. En esta sección haremos un recorrido por los inventos más rele-vantes desde la antigüedad hasta nuestros días.

JOSEPH LOUIS GAY-LUSSAC

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Existen variadas y extensas definicio-nes de lo que es un metal pe-sado, pero, en resu-men se puede de-cir que un metal pe-sado es un miembro de un gru-po de ele-mentos

que exhiben propiedades metálicas, poseen una alta densidad, alta masa atómica y algunas propiedades quí-micas o de toxicidad para los organismos vivos. Actual-mente, el término metal pesado es considerado una ma-la denominación y hay consenso por la comunidad cientí-fica de utilizar el término metal tóxico.

Los metales pesados más tóxicos conocidos son el mer-curio, el plomo, el cromo, el cadmio y el arsénico. Tam-bién se incluyen elementos tóxicos más ligeros como el berilio y el aluminio.

Las principales fuentes de contaminación de los metales pesados se encuentran en procesos o materiales que son el resultado de actividades humanas, por ejemplo los combustibles derivados de la basura (no orgánica) gene-ralmente aportan estos metales, actividades industriales y mineras, etc.

Desgraciadamente, la descontaminación de estos meta-les en aguas y suelos resulta muy difícil, por ejemplo, al hervir el agua se puede controlar la contaminación bac-teriana, pero no tiene resultado con estos metales, por ello es imprescindible prevenir la contaminación de ellos, evitando que lleguen al agua y al suelo. En concreto las medidas sanitarias son principalmente de prevención: identificar las fuentes de contaminación, controlar la di-fusión a partir de éstas, tratar de no incluir en los proce-sos industriales materia prima que contenga metales pesados, y otras parecidas. Si ya existen suelos y aguas contaminadas, se deben aplicar algunas medidas que se llaman de remediación.

Cuando un ser vivo está contaminado por estos metales, resulta muy difícil su eliminación, pero existen algunos tratamientos, por ejemplo se puede tratar con sustan-cias que se llaman quelantes, que son compuestos químicos que van a ir a captu-rar al metal para luego eliminarlo por las vías de excreción de los seres vivos.

El siguiente esquema muestra los posibles síntomas y afeccio-nes que puede sufrir el ser humano y la concentración máxi-ma en partes por millón (ppm) que es permitida.

A B A Q U I M

Metales Pesados Dra. Luz Alegría Aguirre

Principales Metales Pesados

Mercurio (Hg)

Plomo (Pb)

Cromo (Cr)

Provoca

Concentración permitida

Puede afectar

Provoca

0,358 ppm

10,000 ppm

0,500 ppm

Temblores, gingivitis, alteraciones psicológicas y aborto espontáneo

La síntesis de hemoglobina, la función renal, el tracto

gastrointestinal, las articulaciones y el sistema nervioso

Irritación de la piel y úlceras. Pro-blemas hepáticos, renales, al tejido nervioso y al sistema circulatorio.

Concentración permitida

Concentración permitida

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¿Sabías que?¿Sabías que?......

La entropía es una magnitud que nos da el grado de des-orden o caos de un sistema. En general, es frecuente que las cosas tiendan a estropearse y no a arreglarse solas: Es la entropía del mundo. La Segunda Ley de la Termodiná-mica lo afirma diciendo que el desorden de un sistema aislado debe incrementarse con el tiempo o, como máxi-mo permanecer constante. O sea, si algo se ordena es porque recibe energía externa al sistema. Por ejemplo, vemos que en la Tierra nacen plantas y animales, que son formas bastante ordenadas de moléculas y átomos. Esto es debido gracias a que las plantas utilizan la energía del Sol (fuente de energía externa) y los animales utilizan la energía de las plantas o de otros animales.

????? Un imán puede desimantarse o mejor dicho, desmagneti-zarse si se calienta lo suficiente como para que la fuerza magnética de sus átomos se desordenen al azar. Para volver a magnetizarlo basta con situarlo en un campo magnético lo suficientemente fuerte para que esa fuerza vuelva a ordenarse. Sólo hay unos pocos materiales que son magnéticos de forma natural, como el hierro, el ní-quel y el cobalto. También son magnéticos algunas alea-ciones, como el acero, pero los imanes permanentes más potentes son aleaciones de hierro, boro y neodimio.

????? Una neurona tarda en excitarse un tiempo del orden del milisegundo (1x10-3 s), mientras que los circuitos electró-nicos más veloces tardan un tiempo de un orden cercano al picosegundo (1x10-12 s). Esto implica que los compu-tadores procesan la información más rápidamente de modo general. Determinadas tareas son, hoy día, imposi-bles de efectuar por los computadores o, al menos, estos son más lentos que el hombre (por ej. procesamiento de información visual o aprendizaje), aunque esto no se de-be a la velocidad de nuestro cerebro en esas acciones sino en la complejidad de su diseño, muy superior al computador más potente que se pueda fabricar hoy día.

????? Debido a la ósmosis, cuando nos bañamos largo tiempo, se nos arruga la piel, porque el agua ha traspasado la piel pasando dentro de las células. La ósmosis indica que si dos soluciones son separadas por una membrana, el agua sólo, sin las moléculas de la solución, puede moverse a través de la membrana, cambiando la concentración de la solución a ambos lados de la membrana.

?????

UN PAPEL QUE NO SE QUEMA

Puede hacerse un experimento en el cual, una tira de papel no se quema, en la llama de una vela. Para esto hay que arrollar fuertemente, como si fuera una venda, una tira estrecha de papel a una barra de hierro. Si esta barra, con su tira de papel, se somete a la llama de una vela, el papel no arde. El fuego lamerá el papel y lo tiznará, pero no lo quemará mientras la barra no se re-caliente. ¿Por qué no se quema el papel? Pues porque el hierro, como todo metal, conduce bien el calor y retira rápida-mente del papel el calor que éste recibe de la llama. Si la barra metálica se sustituye por una de madera, el pa-pel se quemará, porque la madera es mal conductor del calor. El experimento sale mejor aún si la barra es de cobre. Arrollando fuertemente un hilo a una llave, se puede hacer el experimento del hilo incombustible.

LA FÍSICA Y EL AMOR

Algunas Leyes de la Física no es posible aplicarlas al amor, pues allí no siempre fun-cionan.

Por ejemplo si tu pareja te dice: “te amo con todas mis fuerzas”, tú podrías pensar que realmente no te quiere ni un poquito. ¿Por qué dirán Uds? Pues porque la suma de todas las fuerzas es igual a cero.

Y si tu pareja te dice: “necesito tiempo y distancia”, no vayas a creer que . . . va a calcular la velocidad (pues v = d / t , o sea: la velocidad es igual a la dis-tancia dividido por el tiempo).

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Sonriendo

Con Informática

H U M O RH U M O RH U M O R

EL DÍA DE PIEL DÍA DE PIEL DÍA DE PI

El día sábado 14 de Marzo pasado se vivió un día muy especial para la Matemática, fue un día irrepetible, al menos en este siglo. Como sabemos Pi (π) es el cuociente entre la longitud y el diámetro de una circunferencia. Se trata de un número irracional, es decir tiene infinitas cifras decimales y no se repiten en forma periódica. Una aproximación de π con diez cifras es:

π ≈ 3,141592653. La forma anglosajona de escribir una fecha es nombrar primero el mes y luego el día, por eso es que todos los años se celebra el “Día de Pi” el día 14 de Marzo, pues la fecha se escribe 3/14, que son las primeras tres cifras de π. Pero este año 2015 hace que la fecha en-tregue cinco cifras pues se escribe 3/14/15. Si además considera-mos la hora 9 de la mañana con 26 minutos y 53 segundos resulta:

3/14/15 - 9:26’:53’’ Es decir diez cifras de π.

Un niño le dice a su madre: – ¿Mamá que haces en frente de la compu-tadora con los ojos cerrados? – Nada hijo, es que Windows me dijo que cie-rre las pestañas.

– No sé qué pasa con facebook, me dice “su clave es incorrecta”, entonces yo escribo “incorrecta” pero … ¡no abre! …

– Me encanta pasar el Domingo viendo la F1… mi mujer dice que soy subnormal por estar toda la mañana mirando el teclado del mi notebook . . .

En el cielo un ángel está hablando con Dios y le dice: – ¡Oh, Señor! en la Tierra descubrieron el có-digo del Genoma Humano. – ¡Malditos Hackers! – responde Dios – voy a tener que cambiar la contraseña.

– ¿Qué haces tirando esos computadores al río? – ¡Pero mira como beben los PCs en el río!

– ¿Qué es un terapeuta? – 1024 Gigapeutas

En los países de habla inglesa los informáticos confunden la fiesta de Halloween con la Navi-dad porque: 31 Oct = 25 Dec (31 en octal = 25 en decimal, ya que: 3x81 + 1x80 = 24 + 1 = 25)

Una impresora le dice a otra: – ¿Esta copia es tuya, o es impresión mía?

REALMENTE ENCUENTRO POCO SERIOS SUS ESTUDIOS SOBRE CLONACIÓN, PROFESOR . . .

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Julio Morales Muñoz, Periodista y Comunicador Social

¡Se lo ganó, se lo ganó, se lo ganoooó! “Que venga la modelo”, diría Don Francisco, porque John Nash (estadouni- dense de 86 años) es el ganador del Premio Abel de Matemá-ticas 2015, galardón que comparte con su colega Louis Nirenberg (canadiense de 90 años), ambos reconocidos por su trabajo en Ecuaciones Diferenciales Parciales, las que sirven como herra-mienta empleada para describir todo tipo de fenómenos científicos, desde la termodinámica hasta la física cuántica. El Premio, considerado el Nobel de Matemáticas, fue establecido en el

año 2003 por la Academia Europea de Ciencias y Letras y es uno de los más prestigiosos en su campo e incluye un premio de casi un millón de dólares. John Nash, desde muy pequeño gustaba mucho de leer y fue incentivado por su madre para avanzar en los estudios. A los catorce años empezó a mostrar interés por la Matemáticas y la Química, tal vez influido por el libro que publicó Eric Temple Bellen 1937: Men of Mathematics. Estudió en Universidad de Princeton donde impartían clases Albert Eins-tein y John von Neumann, hecho que motivó más sus ansias por destacar. De esta forma, inventó un juego matemáticamente perfecto y en 1949 escribió un artículo titulado Puntos de Equilibrio en Juegos de n-personas en el que definió el equilibrio de Nash. Con 21 años se doctoró con una tesis de menos de treinta páginas sobre juegos no cooperativos, bajo la dirección de Albert W. Tucker. En 1994 obtuvo el Premio Nobel de Econo-mía, por su Teoría de los Juegos. Nash se casó con Alicia Lardé. Tras un año de matrimonio se le diagnosticó esquizofrenia y todo se tornó complejo y confuso, ya que tuvo que apren-der a vivir con sus alucinaciones. Su vida inspiró la película “Una Mente Brillante”. Las teorías del premiado matemático, han influido en negocia-ciones comerciales globales, en avances de la biología evolutiva y en rela-ciones laborales nacionales.

ATRAE . . . ¡te atrae a los Humedales! La Agrupación Transdiciplinaria de Estudiantes (ATRAE) lanzará durante el presente año distintas actividades que van en desarrollo de una cultura ambiental desde la ciudadanía. El proyecto es financiado con recursos del Fondo de Protección Ambiental (FPA) del Ministerio del Medio Ambiente y se desarrolla entre Abril y Noviembre de 2015. “Proyectando Cultura Ambiental desde la Ciudadanía”, es el nombre del proyecto que desarrollan estudiantes de distintas carreras de la UACh en la Región de Los Ríos. Iniciativa que busca contribuir al desarrollo de una cultura ambiental ciudadana, a través de instancias de participación y dialogo local que aporte a la conservación de la biodiversidad y entorno natural de la ciudad de Valdivia. En el marco del proyecto se realizará una serie de talleres y encuentros ciudadanos. Algunos de ellos: Mayo: Taller de Fauna Silvestre. Se entregarán conocimientos acerca de la importancia de la conservación de la fauna nativa.

Mayo-Septiembre: Taller “Conociendo los personajes del hume-dal”. Taller teórico-práctico que apunta al reconocimiento de la flora y fauna del humedal Angachilla, valorando su importancia ecosistémica. Agosto-Noviembre: Taller de Huertos Urbanos. Se enseñarán técnicas de agricultura urbana en base a materiales reutilizados y reciclados que les permita cultivar diferentes alimentos e in-centivando una alimentación más sana. Octubre: Cicletadas por el Humedal. Consisten en cicletadas en los alrededores de humedales urbanos con el fin de reconocer su conexión a través del territorio. Julio-Octubre: Encuentros Ciudadanos. Buscan reunir a las per-sonas del sector interesadas en la conservación de la naturaleza, específicamente de los humedales, con el fin de generar estrate-gias de acción a nivel local. Noviembre: VI Feria de la Biodiversidad. Busca reunir y difundir iniciativas medio-ambientales que aporten al conocimiento de la biodiversidad de Chile y en particular de la Región de Los Ríos. El humedal Angachilla, ubicado cerca de la Villa Claro de Luna en Valdivia, presenta fuertes amenazas, como el alto nivel de degradación, tala indiscriminada de árboles nativos, caza de especies nativas por diversión, creación de microbasurales, además de la realiza-ción de proyectos viales e inmobiliarios.

Más Información en: atrae.uach@gmail.com

Nunca es tarde para vivir la Ciencia Antártica El pasado verano, en establecimientos educacionales de Valdivia y Queilen, se realizaron Talleres de Ciencia Antártica, organiza-dos por el Proyecto Anillo “Macroalgas Antárticas y Cambio Cli-mático”, interesando de esta forma a grandes y chicos. Entre las actividades realizadas se hicieron salidas a terreno para recolección de algas, observación en microscopio y confección de algarios. Así mismo los grupos comenzaron investigaciones en temas antárticos. Suena lamentable que los talleres se realizaran en verano y que no nos enteramos antes, sin embargo, nunca es tarde para vivir la Ciencia Antártica, ya que en la página web del Proyecto Anillo está disponible para descargar todo el material educativo del taller. En él encontraran todos los apuntes para sugerir a sus profesores los contenidos que desean aprender en ramos perti-nentes al tema.

Apuntes, rompecabezas y más, del interesante mundo de las algas, se puede encontrar en:

http://www.algasantarticas.cl/p/material-educativo-taller-ciencia.html