edifici in muratura – risposta sismica - rilab.eu · verifiche sismiche edifici in muratura -...

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Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Introduzione 3

IndicePerché l’analisi non lineare .......................................................................5

Il metodo POR .........................................................................................5

Sintesi delle caratteristiche del metodo POR ..............................................6

Modellazione con elementi finiti di superficie ................................................6

Sintesi delle caratteristiche del metodo ad elementi finiti di superficie ...........8

Il metodo a telaio equivalente ....................................................................8

Previsioni di intervento ......................................................................... 10

Strutture miste.................................................................................... 13

Calcolo automatico delle eccentricità accidentali ....................................... 15

Sintesi delle caratteristiche del metodo ................................................... 15

Il modello 3Muri......................................................................................16

Confronto metodo POR - metodo a Macroelementi 3Muri.............................. 16

Applicabilità del metodo POR secondo la Circolare del 30-07-1981 ................ 19

Osservazioni ....................................................................................... 20

Confronto modellazione ad elementi finiti con modellazione a macroelementi

(3Muri) ................................................................................................. 21

Conclusioni ......................................................................................... 21

Pareti ......................................................................................................23

Costruire il modello.................................................................................27

Inizio ................................................................................................. 27

Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Teoria 4

Parte 2 Teoria


Perché l’analisi non lineare Nel tempo sono stati sviluppati diversi metodi di analisi delle strutture in muratura, a

partire dal metodo POR sino alla più recente analisi non lineare (push-over).

Nel seguito sono illustrate le diverse metodologie di calcolo, con la sintesi dei vantaggi

e svantaggi per ciascun metodo.

Il metodo POR Il primo metodo esaminato è il cosiddetto metodo POR, sviluppato negli anni 80, cioè

in un periodo di ancora scarsa diffusione dei computer.

Uno degli obiettivi di questo metodo era infatti rendere possibile, nonostante le diffi-

coltà connesse all’analisi incrementale a collasso, l’applicazione anche attraverso pro-

cedimenti di calcolo manuale.

Per questo il metodo POR schematizza la struttura in modo molto semplificato, tenen-

do conto del contributo resistente dei soli elementi murari disposti verticalmente ( ,

, della figura seguente [Fig.1]) senza prendere in esame la rigidezza reale delle

fasce orizzontali di muratura.

La scelta di considerare il solaio a rigidezza infinita, come sistema di collegamento tra

le diverse pareti murarie in sostituzione dell’effettiva rigidezza del sistema solaio più

fascia, equivale ad utilizzare un modello di calcolo in cui gli elementi murari verticali

sono da considerarsi a rotazioni impedite all’estremità [Fig.2].

Solaio e Fascia deformabili sono as-similati ad un impalcato Rigido.

Elementi murari a rotazione impedita

[Fig.1]

[Fig.2]

(1) (2) (3)


Sintesi delle caratteristiche del metodo POR

- Il modello è semplificato, di facile implementazione numerica ed eventualmente cal-

colabile anche a mano

- Si deve assumere l’ipotesi di solai infinitamente rigidi

- Non sono previsti meccanismi di danneggiamento delle fasce

- La rigidezza strutturale è sovrastimata

- La duttilità strutturale è fortemente sottostimata

Modellazione con elementi finiti di superficie Un edificio in muratura può essere analizzato discretizzando le pareti mediante ele-

menti finiti di superficie con programmi FEM classici.

L’analisi è tanto più significativa quanto maggiore è il grado di dettaglio della mesh,

quindi risulta “mesh dependent” e fortemente condizionata dalle operazioni di defini-

zione del modello.

Questi tipo di analisi risulta decisamente più onerosa in termini computazionali ed è

solo realizzabile con programmi di calcolo automatico.

Nel caso in cui venga considerata una legge costitutiva non lineare del materiale, il

metodo può prendere in esame il corretto degrado della muratura, riducendo la resi-

stenza degli elementi danneggiati.

La definizione dei parametri richiede una accurata conoscenza del materiale murario

ad un livello di dettaglio non esplicitamente contemplato nelle normative la cui valuta-

zione si può ricavare solo attraverso accurate analisi sperimentali.

La mancanza di questi parametri o la non corretta valutazione, equivale ad ottenere,

come risultato di un’analisi statica non lineare, una curva “pushover” che non prende

in esame il tratto discendente che si forma a causa del danneggiamento strutturale

[Fig.3].

L’ordinanza invece definisce il valore ultimo in corrispondenza al decadimento del ta-

glio del 20% rispetto al valore massimo.

Non è quindi possibile definire il collasso, in accordo a quanto richiesto dall’Ordinanza.


I risultati di analisi di questo tipo forniscono mappe [Fig.4] che mettono in luce il livel-

lo tensionale localizzato della muratura.

Il valore puntuale di tensione superiore al valore limite non rappresenta la rottura del

pannello murario.

I criteri di resistenza per gli elementi murari dipendono infatti da valori delle caratteri-

stiche di sollecitazione che non hanno una corrispondenza diretta con lo stato tensio-

nale, considerando quindi non gli effetti puntuali delle tensioni, ma anche possibili ri-

distribuzioni dovute al comportamento non lineare ed al degrado.

Per eseguire una analisi corretta e coerente, è quindi necessario rielaborare i risultati

della modellazione, tramite operazioni di media ed integrazione.

Decadimento

del 20%

[Fig.3]

[Fig.4]


Sintesi delle caratteristiche del metodo ad elementi finiti di superficie

- Dipendenza dell’analisi dalla mesh (mesh dependent) e tempo di calcolo fortemente

dipendente dalle dimensioni del modello; per grandi modelli il tempo di calcolo può

essere notevole.

- Definizione puntuale delle leggi costitutive del materiale di difficile reperimento

- L’ordinanza non contiene tutti i parametri necessari a definire il comportamento non

lineare ed il degrado, senza i cui valori non è possibile applicare coerentemente i crite-

ri di resistenza ed i limiti di spostamento associati al decadimento della resistenza glo-

bale della curva di capacità.

- Per l’applicazione dei criteri di resistenza a taglio e pressoflessione alla muratura è

necessario integrare gli effetti nodali sui singoli elementi murari, almeno a controllo e

verifica di quanto ottenuto con il modello costitutivo non lineare.

- L’Ordinanza non presenta riferimenti espliciti a modellazione dei pannelli mediante

discretizzazione in elementi di superficie ma propone una modellazione a telaio equi-

valente con maschi, travi in muratura ed eventuali altri elementi strutturali in c.a. ed

acciaio.

Il metodo a telaio equivalente L’Ordinanza 3274, con la modifica OPCM 3431, fornisce alcune considerazioni generali

(punto 4.4) sulle modalità di modellazione delle strutture con la finalità dell’analisi si-

smica globale.

Per gli edifici esistenti in muratura ordinaria vengono inoltre precisate alcune partico-

larità e suggeriti i relativi concetti per la loro modellazione (punto 11.5.4.3.1-

11.5.4.3.3).

Il modello di riferimento è quello a telaio equivalente tridimensionale, in cui le pareti

sono interconnesse da diaframmi orizzontali di piano (solai).

Nello specifico degli edifici in muratura, la parete potrà essere adeguatamente sche-

matizzata come telaio, in cui vengono assemblati gli elementi resistenti (maschi e fa-

sce) ed i nodi rigidi.

Le travi di accoppiamento in muratura ordinaria, o fasce, saranno modellate solo se il

progettista le riterrà adeguatamente ammorsate alle pareti.

Dividendo la parete in tratti verticali corrispondenti ai vari piani e nota l'ubicazione

delle aperture, vengono automaticamente determinate le porzioni di muratura, maschi

murari e fasce di piano in cui si concentrano deformabilità e danneggiamento (come è


verificabile dalle osservazioni dei danni da sismi reali, da simulazioni sperimentali e

numeriche).

Quindi maschi e fasce sono modellate con i macroelementi finiti bidimensionali, rap-

presentativi di pannelli murari, a due nodi con tre gradi di libertà per nodo (ux, uz,

roty).

Le restanti porzioni di parete vengono dunque considerate come nodi rigidi bidimen-

sionali di dimensioni finite, a cui sono connessi i macroelementi; questi ultimi trasmet-

tono, ad ognuno dei nodi incidenti, le azioni lungo i tre gradi di libertà del piano. Nella

descrizione di una singola parete i nodi sono individuati da una coppia di coordinate

(x,z) nel piano della parete; i gradi di libertà di cui disporranno saranno unicamente

ux, uz, roty (nodi bidimensionali).

Grazie a questa suddivisione in nodi ed elementi, il modello della parete divie-

ne quindi del tutto assimilabile a quello di un telaio piano.

NODO RIGIDO

FASCIA

MASCHIO

La modellazione strutturale richiede inoltre la possibilità di inserire travi, individuate

nel piano dalla posizione dei due nodi di estremità.

Oltre alla presenza di vere e proprie travi (architravi o cordoli in c.a.) il modello pre-

vede la presenza di dispositivi catena: queste strutture metalliche, sono sprovviste di

rigidezza flessionale e perdono ogni efficacia nel caso divengano compresse. Questa

loro peculiarità comporta un ulteriore elemento di non linearità nel modello.

L’Ordinanza ha, tra i suoi presupposti, il carattere prestazionale: le indicazioni sulle

modalità di modellazione e verifica degli elementi costituiscono un riferimento per

un’affidabile modellazione non lineare.


L’Ordinanza richiede la formulazione di meccanismi che considerino sia la risposta

flessionale, sia la risposta a taglio (cfr. Ordinanza punto 8.1.5.4.): il meccanismo di

pressoflessione è affrontato, in modo rigoroso, considerando l’effettiva ridistribuzione

delle compressioni dovute sia alla parzializzazione della sezione, sia al raggiungimento

della resistenza massima a compressione. Lo spostamento ultimo associato al mecca-

nismo di pressoflessione è determinato sulla base del valore massimo di drift previsto

per questo meccanismo: 0.6% (Ordinanza punto 8.2.2.1. e punto 11.5.8.1).

Il meccanismo di taglio, descritto secondo il legame sviluppato da Gambarotta-

Lagomarsino, riesce a cogliere il progressivo degrado di resistenza e rigidezza

dell’elemento, attraverso le grandezze descrittive del danneggiamento.

La deformazione ultima a taglio è determinata sulla base del valore massimo di drift

previsto dalla normativa: 0.4% (cfr. Ordinanza punto 8.2.2.2 e punto 11.5.8.1).

La struttura risulta così modellata dall’assemblaggio di strutture piane: le pareti e gli

orizzontamenti, entrambi privi di rigidezza flessionale fuori dal piano.

Il modello così realizzato mette in luce il comportamento spaziale della struttura. Per

questo masse e rigidezze sono distribuite su tutti i gradi di libertà tridimensionali te-

nendo conto però, localmente, dei soli g.d.l. nel piano (nodi bidimensionali).

I nodi di connessione, appartenenti ad una sola parete, mantengono i propri gradi di

libertà nel piano di riferimento locale, mentre i nodi che appartengono a più pareti (lo-

calizzati nelle incidenze di queste ultime) debbono necessariamente disporre di gradi

di libertà nel riferimento globale (nodi tridimensionali).

Previsioni di intervento

Potenzialità di tale tecnica di modellazione è quella di individuare i punti di debolezza

strutturale mediante una mappatura colorata (ad ogni colore viene associato un livello

di degrado localizzato).


Il degrado strutturale di ogni singola parete, come

conseguenza del progressivo caricamento della strut-

tura è evidenziato mediante mappe di danneggiamen-

to riportate sulle pareti.

La figura a fianco riporta le scale di colore che indivi-

duano i diversi gradi di danneggiamento dei vari ele-

menti strutturali (pareti, pilastri, cordoli, travi, setti)

secondo le varie gradazioni raggiunte.

Le figure nella pagina seguente riportano i diversi stadi

di degrado della struttura in funzione del livello di cari-

co raggiunto.


Struttura non caricata

Mediamente caricata

Elementi E71 ed E73 raggiungono la rottura per presso flessione

Fortemente caricata

Elementi da E71 a E78, E100, E101 raggiungono la rottura per presso flessione


Grazie a questo strumento è possibile individuare i punti in cui intervenire per esegui-

re opere di adeguamento mirato.

Strutture miste

Elemento caratterizzante di tale modellazione è la possibilità di esaminare strutture in

muratura miste, in cui la presenza del c.a., legno, acciaio forniscono un notevole con-

tributo alla resistenza della struttura.

Sebbene la resistenza degli elementi strutturali in c.a. sia quasi sempre maggiore di

quella degli elementi murari, tale procedura di calcolo permette di monitorare le se-

quenze di rottura dei vari elementi indipendentemente dalla tipologia strutturale e dal

materiale a cui appartengono andandoli ad escludere dal contributo alla resistenza

complessiva quando si rompono.

La possibilità di tenere in conto del contributo di resistenza di elementi strutturali dif-

ferenti dalla muratura permette al progettista di superare i limiti progettuali del meto-

do POR.


Calcolo automatico delle eccentricità accidentali

Definita la pianta dell’edificio, le eccentricità accidentali richieste dalle normative ven-

gono calcolate in modo automatico. Questo comporta la creazione di una tabella per il

calcolo di 24 condizioni di carico, quante sono quelle previste da normativa.

Sintesi delle caratteristiche del metodo

- Modellazione a telaio equivalente con tutte le specifiche richieste da normativa

- Gli elementi del modello, maschi e fasce, consentono il calcolo diretto delle sollecita-

zioni per confrontarle con i valori limite forniti dalla normativa.

- Presa in esame di strutture miste (muratura, trave, pilastri, setti in c.a., acciaio e

legno) con comportamento non lineare di tutti gli elementi.

- La modellazione delle pareti a telaio equivalente permette di realizzare

l’assemblaggio spaziale delle pareti, collegandole tramite elementi deformabili per la

simulazione dell’effettiva rigidezza dei solai.

- Lettura dei risultati semplice ed intuitiva: possono essere individuate le cause di

danneggiamento locale e globale per taglio o presso-flessione potendo intervenire effi-

cacemente per consolidare la struttura.

- La notevole velocità di calcolo non lineare è poco sensibile alla dimensione del mo-

dello.


Il modello 3Muri

Confronto metodo POR - metodo a Macroelementi 3Muri Calcolare un edificio con elementi a rotazione impedita e piano infinitamente rigido

(Metodo POR) equivale solitamente a sovrastimare la rigidezza e a sottostimare la

duttilità strutturale.

Si consideri ad esempio un edificio in muratura a 3 piani, senza cordoli a livello dei

piani, rappresentativo quindi di molti edifici esistenti.

Solaio Rigido

Solaio Deformabile

Differenza di Spostamento Ultimo

[Fig.5]


Il confronto tra i modelli non è esattamente un confronto tra il metodo POR e i metodi

a telaio equivalente: il POR analizza separatamente i singoli piani e poi va a "sovrap-

porne" la risposta.

Il diagramma precedente [Fig.5] mette in luce, oltre alla maggiore rigidezza del mo-

dello ad impalcato rigido con rotazioni bloccate, rispetto a quello reale (deformabile e

valutato con 3Muri), anche valori di duttilità decisamente inferiori.

La curva di colore rosso (intermedia alle altre due), corrisponde ad una struttura il cui

piano è stato irrigidito dalla presenza di cordoli, il cui comportamento è intermedio tra

i due casi estremi precedentemente illustrati.

Da quanto qui descritto emerge il seguente confronto tra le due normative:


OPCM 3274 NON VerificataDM 96 Verificata


Applicabilità del metodo POR secondo la Circolare del 30-07-1981 Il metodo di calcolo POR è riportato nell’appendice della circolare del 30-07-1981 ed è

considerato un metodo semplificato applicabile solo in condizioni ben precise chiara-

mente illustrate nella normativa:

“Nel caso di pareti poco snelle e quindi funzionanti prevalentemente a taglio, quali

possono generalmente considerarsi quelle di edifici di limitata altezza (2 o 3 piani) e

con fasce di piano fra file di aperture contigue e sovrapposte molto rigide e di suffi-

ciente resistenza, il collasso si realizza in genere con la rottura a taglio degli elementi

murari verticali (maschi) e la verifica può essere condotta con il procedimento POR (e-

saurientemente illustrato in appendice)”.

Quando invece le ipotesi precedenti non sono soddisfatte:

“Edifici relativamente alti (4 piani ed oltre), o per l'insufficiente rigidezza o resistenza

delle fasce di piano, il collasso si realizza in genere con una preventiva rottura a taglio

delle fasce di piano, seguita da quella dei maschi murari per effetto combinato di fles-

sione e taglio. La verifica dovrà allora condursi con metodi di calcolo che tengano

OPCM 3274 Verificata DM 96 NON Verificata


opportunamente conto delle prevedibili modalità di collasso. Le pareti posso-

no essere verificate schematizzandole come telai piani”.

Il metodo di calcolo più generico, già prescritto nella circolare del 1981, per tutti i casi

in cui non era applicabile il metodo semplificato (POR), indirizza il progettista verso il

nuovo metodo di calcolo attualmente adottato nell’OPCM. Il metodo di calcolo descrit-

to prevede una modellazione a telai piani che è attualmente impiegata nella teoria a

macroelementi implementata nel software 3muri.

Osservazioni

La scelta di adottare impalcati rigidi (metodo POR) si mostra notevolmente restrittiva

per l’impiego della Normativa OPCM 3274.

Il metodo POR presuppone la modellazione delle travi in muratura come infinitamente

rigide, escludendo così la possibilità che queste possano danneggiarsi e rompersi: ol-

tre a non essere coerente con il comportamento effettivo delle costruzioni, il metodo

non fornisce nemmeno le sollecitazioni agenti su tali elementi non consentendone la

verifica.

A differenza dei metodi a telaio equivalente, il metodo POR non consente di effettuare

analisi che rispettino l’equilibrio, né a livello locale né globale: analizzando separata-

mente la risposta dei singoli piani della costruzione non è possibile valutare la varia-

zione delle azioni verticali connesse all’applicazione delle forze orizzontali, né garantire

l’equilibrio nel passaggio tra un maschio e quello corrispondente al piano superiore.

Oltre agli aspetti legati al superamento o meno delle verifiche prescritte dalle diverse

normative, è opportuno rilevare come l’analisi a telaio equivalente (macroelementi)

sia in grado di simulare in maniera più corretta la risposta reale, consentendo quindi

una valutazione più affidabile ed una consapevole scelta dei più efficaci metodi di con-

solidamento.


Confronto modellazione ad elementi finiti con modellazione a macroe-lementi (3Muri) Si riassumono le problematiche dell’analisi agli elementi finiti rispetto al modello a

macroelementi.

- Tempi di calcolo rilevanti dovuti ad un consistente onere computazionale.

- L'Ordinanza fa esplicito riferimento ai modelli a telaio equivalente, sia quando tratta

dei metodi di analisi (8.1.5), sia quando precisa come eseguire le verifiche (8.1.6 e

8.2.2). Si parla infatti sempre di elementi murari o strutturali.

- Nell’Ordinanza le verifiche sono eseguite in termini di caratteristiche di sollecitazione

(N, T e M) e non di tensione puntuale nella muratura: una analisi ad elementi finiti ri-

chiede la successiva integrazione su tutto l’elemento murario poiché i criteri di resi-

stenza forniti dalla normativa sono espressi in termini globali per il pannello.

- Una analisi di dettaglio, come quella ad elementi finiti, richiede legami costitutivi

puntuali definiti da un numero di parametri maggiore di quelli forniti dall’ordinanza

che il progettista si trova a dover definire in modo arbitrario (approssimati) o median-

te accurate analisi sperimentali.

- Anche la lettura finale dei risultati dell’analisi può non essere agevole o univoca, nel

caso dei metodi agli elementi finiti, e richiede notevole esperienza e competenza spe-

cifica.

Conclusioni

Da quanto fino ad ora detto emerge come sia complesso effettuare una verifica con un

modello FEM continuo, rispettando in modo inequivocabile le indicazioni dell'Ordinan-

za.

Per le difficoltà che pone, tale strategia di modellazione è indicata per analisi speciali-

stiche di strutture particolari o monumentali (chiese, torri, ponti in muratura), ma non

adeguata a rispondere alle esigenze correnti, di accuratezza, velocità e semplicità di

lettura dei risultati, proprie della pratica ingegneristica.

Parte 2 Pratica

Verifiche Sismiche Edifici in Muratura - Pratica 23

Pareti Nella Parte 1 abbiamo già visto come inserire le pareti della struttura; spieghiamo ora

meglio il concetto di parete e come interviene nella modellazione.

Le linee che rappresentano le pareti sono la base per la definizione di pannelli murari,

travi, catene e pilastri.

La parete rappresenta la sintesi, tratta dal disegno architettonico, della struttura da

modellare sia sul piano orizzontale che verticale.

Per sintesi si intende che è necessario cogliere gli aspetti resistenti principali della

struttura, semplificando, se è il caso, lo schema da introdurre graficamente.

Nell’immagine seguente si vede come le pareti possano sintetizzare un insieme di mu-

ri rappresentandoli con il loro asse (le linee di colore rosso rappresentano le pareti).

Esplodendo il sistema di pareti si può notare come diversi segmenti contigui che pos-

siedono definizione nell’ambiente struttura, appartenenti alla medesima retta, debba-

no essere modellati mediante una parete unica.


Le due figure riportate nel seguito chiariscono quale sia il modo corretto di realizzare il

modello.

La parete 1 deve restare unica e non spezzata in 4 pareti.

Parete Unica : MODELLO CORRETTO

Pareti Separate : MODELLO NON CORRETTO

Il concetto di sintesi nella definizione di un modello, richiede che il progettista sappia

distinguere gli elementi strutturalmente significativi ai fini della modellazione.

Se ad esempio ritroviamo nella pianta architettonica dei disassamenti tra i piani medi

delle murature e se questi disassanmenti un’unica parete come illustrato nel seguito.


MODELLO NON CORRETTO:

Seguire rigidamente l’asse delle murature può comportare il formarsi di piccoli tratti di

parete poco significativi che forvierebbero la natura del calcolo.

MODELLO CORRETTO:

Il concetto di sintesi della muratura è rappresentato nella figura seguente.

Quando sul medesimo allineamento vi sono differenti elementi strutturali non si devo-

no definire pareti distinte (vedere figura).

Sebbene gli elementi strutturali presenti sul medesimo allineamento siano differenti

la parete inserita deve rimanere unica (b), usufruendo del comando apposito per se-


parare la parete in più parti quando si arriverà alla definizione degli elementi struttu-

rali.

In base alla tecnica di inserimento qui descritta la soluzione (a) NON è corretta.


Costruire il modello

Inizio

INIZIO

APRI

Avviamo 3Muri facendo doppio clic sull'icona 3Muri nel me-

nù Start Programmi S.T.A.DATA.

Apriamo il modello iniziato nella parte precedente del corso

mediante il pulsante apri.

Nella finestra di dialogo, selezionare il nome del progetto

Ritroviamo così sullo schermo la pianta del modello

“Esempio” con la quale avevamo lavorato nella lezione pre-

cedente.


AMBIENTE STRUTTURA

Attiviamo la cartella dell’ambiente struttura.

MATERIALE

Premiamo il pulsante per visualizzare la finestra di defini-

zione dei materiali.

Questa finestra è dotata di una libreria base di materiali

classificati per tipologia.

Se è selezionata la voce muratura, come nella figura pre-

cedente, si possono eseguire modifiche del materiale pre-

definito.

MODIFICA MATERIALE

Premiamo il pulsante che permette di editare il materiale

“Muratura” selezionato.


Premiamo questo pulsante per visualizzare un estratto dal-

la norma che ci aiuterà nella scelta del materiale più con-

sono.

La tabella ci mostra le caratteristiche del materiale predefi-

nito, tipico di una muratura in mattoni pieni e malta di cal-


ce.

Decidiamo di mantenere le caratteristiche già inserite per la

muratura.

Chiudiamo la tabella delle tipologie murarie.

Confermiamo l’inserimento nella finestra proprietà materia-

le.

Chiudiamo la finestra “materiali”

ELEMENTI STRUTTURALI

Attivando questo pulsante è possibile definire le caratteri-

stiche degli elementi strutturali che possono essere asse-

gnate a ciascuna parete.

Premendo il pulsante cambia la forma del puntatore facen-

dolo diventare puntatore di selezione .


SELEZIONE La selezione può avvenire con due modalità differenti:

1. Selezionando in sequenza tutte le pareti una per una.

2. Selezionando tutte le pareti insieme attraverso

l’individuazione di una finestra di selezione (trascinando il

mouse)

Si può scegliere la modalità di selezione preferita in modo

da ottenere tutte le pareti evidenziate in rosso (vedere fi-

gura seguente)


TASTO DESTO MOUSE

Premiamo il tasto destro del mouse per confermare la se-

lezione.

Viene presentata la finestra di definizione delle caratteristi-

che degli elementi strutturali.

La finestra permette di assegnare le caratteristiche alle

pareti secondo la seguente classificazione:

• Pannello murario (muratura)

• Pannello+Cordolo (muratura+cordolo c.a.)

• Pannello+Trave (muratura+cordolo Avviaio o Legno)

• Pannello+Catene (muratura+catena)

• Setti c.a.

• Travi c.a. /Acciaio/Legno

• Catena


Quanto elencato sopra costitusce l’insieme degli oggetti

strutturali disponibili in 3Muri.

Maggiori dettagli sono riportati manuale tecnico disponibile

del programma.

Selezioniamo la voce “Pannello murario”

A video appare la seguente finestra:

Inseriamo il valore dello spessore della muratura pari a 40

cm.

FONDAZIONE

Notiamo che, in basso a sinistra, appare selezionata in

grigio la casella associata al vincolo di fondazione.

Stiamo inserendo il primo piano dell’edificio, sotto ad esso

sono presenti le strutture di fondazione.

Confermiamo l’inserimento delle murature premendo il

pulsante “OK” della finestra.


MODIFICHE Modifichiamo una parete per sostituire la muratura appena

inserita con una trave.

TASTO DESTRO MOUSE

Posizioniamo il puntatore sulla parete da modificare (sopra

evidenziata) e premiamo il tasto destro del mouse.

Appare così il menu contestuale.

MODIFICA Richiamiamo il comando “Modifica”

Il programma ci ripropone la finestra per la definizione

delle caratteristiche con le proprietà della muratura

precedentemente definita.

Premiamo il pulsante Trave C.A.

Appare quindi:


COMPILAZIONE CARATTERISTICHE TRAVE

Si devono inserire le caratteristiche geometriche e

meccaniche.

Inseriamo i parametri della trave come indicato

nell’immagine riportata sotto (lasciamo i materiali già

definiti).

Confermiamo l’inserimento della trave premendo il


pulsante “OK” presente nella finestra.

Se vogliamo inserire un pilastro è necessario inserire prima

un nodo di elemento da usarsi come punto di inserimento

per il pilastro.

INSERIMENTO NODO

Premiamo il pulsante per l’inserimento del nodo e

spostiamoci nell’area grafica in corrispondenza del punto

medio della trave.

Il programma individua automaticamente il punto medio

della trave mediante gli snap alla grafica che fanno

assumere al puntatore la forma “ ” .

TASTO SINISTRO MOUSE

Premendo il tasto sinistro del mouse viene inserito il nodo.

TASTO DESTRO MOUSE

Chiudiamo con la pressione del tasto destro del mouse il

comando di inserimento del nodo.


PILASTRO

Premendo il pulsante di inserimento del pilastro viene

richiesto di selezionare ( ) i nodi in cui si intendono

inserire i pilastri.

Selezioniamo il nodo appena inserito.

TASTO DESTO MOUSE

Chiudiamo con la pressione del tasto destro del mouse il

comando di selezione dei nodi.

Si attiva così l’ambiente di definizione delle caratteristiche

dei pilastri.

Nodo di Elemento

inserito


I pilastri possono essere in :

• c.a.

• muratura

• acciaio/legno

Nel caso in esame il pilastro viene realizzato in c.a.

Procediamo ad aggiornare la finestra con i valori da definire

per il pilastro (vedere finestra aggiornata qui nel seguito).


Confermiamo l’inserimento del pilastro premendo il

pulsante “OK” presente nella finestra.

A video compare lo schema come illustrato dalla figura

seguente


VISTA PIANTA LIVELLO

In questa vista, presentata nell’ambiente struttura,

compaiono i vari elementi strutturali inseriti nel modello.

Ciascun elemento ha una particolare codifica:

M: muratura

T: trave

P : pilastro

Il numero che segue la lettera, indica

l’identificativo dell’elemento strutturale

esaminato.

VISTA PIANTA LIVELLO

Premiamo nuovamente il pulsante “Vista Pianta del Livello”

per ritornare alla vista standard.

Le operazioni comprese in questa parte sono riprodotto in un filmato disponibile al

link: Scarica Filmato

Arrivederci al prossimo appuntamento: 26 settembre 2006.

Parte

3

Luca Borgesa

Adriano Castagnone

VerificheSismicheEdifici inMuratura. . . . . . . .


IndiceIl macroelemento......................................................................................5

Il Macroelemento .....................................................................................7

Definizione dello spostamento ultimo (drift) per il macroelemento .............. 13

Le peculiarità di modellazione del macroelemento connesse alle prescrizioni

dell’Ordinanza 3431 ............................................................................. 14

L’elemento trave non lineare in muratura ................................................ 15

Il Telaio equivalente ...............................................................................19

La Modellazione ..................................................................................... 19

La modellazione della parete ................................................................. 19

La modellazione tridimensionale ............................................................ 22

Come opera 3Muri ...................................................................................28

Costruzione automatica del telaio equivalente in 3Muri ................................ 28

Strutture non regolari ............................................................................. 29


Inizio ................................................................................................. 35

Parte 3 Teoria


Il macroelemento L’osservazione dei danni provocati dal terremoto è la fonte principale per conoscere e

valutarne gli effetti sulle strutture.

La complessità del problema non consente a priori analisi teoriche rigorose ed il punto

di partenza è l’analisi di come le strutture rispondono alle sollecitazioni sismiche.

Nelle figure seguenti si evidenziano gli effetti del sisma su due strutture:

L’osservazione sistematica di queste strutture in muratura ha evidenziato i tre princi-

pali meccanismi di rottura riportati sotto:


a) presso flessione b) scorrimento c) taglio

(da Lagomarsino)

A seguito di questo considerazioni, sono stati sviluppati modelli di calcolo secondo

l’ipotesi di telaio equivalente basati sulla formulazione non lineare di macroelementi

rappresentativi delle caratteristiche dei pannelli in muratura.

elemento rigido

elemento fascia

elemento maschio

aperture

Come indicato in figura si individuano tre tipi di elementi: elementi fascia, posti sopra

le aperture, elementi maschi posti a fianco delle aperture ed elementi rigidi, che si

trova compreso tra gli altri elementi e che in genere non confina con aperture

Di seguito si riporta la trattazione matematica del macroelemento implementato in

3Muri (tratto dal testo


“Il modello di macroelemento proposto da Gambarotta e Lagomarsino (Gambarotta et

al., 1996) è un modello a base meccanica in cui è formulato un legame costitutivo non

lineare con danneggiamento, degrado di resistenza con softening e degrado di rigidez-

za, che consente di cogliere i modi di collasso tipici del pannello murario.

Questo modello costitutivo è alla base del codice di calcolo strutturale TREMURI (Gala-

sco et al., 2002, 2004, Penna, 2002). Il codice permette di effettuare le principali pro-

cedure di analisi numerica richieste in ingegneria sismica, in particolare anche in ac-

cordo con quanto descritto dall’Ordinanza 3431, su strutture in muratura bidimensio-

nali e tridimensionali.

Il programma TREMURI è stato progettato, infatti, per eseguire analisi statiche incre-

mentali non lineari (in controllo di forza o in controllo di spostamento, ed, in particola-

re, mantenendo una predeterminata distribuzione di forze - pushover -) e analisi di-

namiche non lineari al passo. E’ possibile, inoltre, eseguire analisi statiche lineari ed

analisi modali.

Il Macroelemento La costruzione di un macroelemento, rappresentativo di un intero pannello murario,

deve permettere la formulazione di equazioni d’equilibrio che coinvolgano un numero

limitato d’incognite e deve poter rappresentare un modello cinematico capace di co-

gliere i meccanismi elementari di deformazione, danneggiamento e dissipazione delle

strutture murarie.

Si consideri un pannello di larghezza b e spessore s costituito di tre parti: la deforma-

bilità assiale sia concentrata nei due elementi di estremità e di spessore infinite-

simo Δ, infinitamente rigidi ad azioni taglianti, e la deformabilità tangenziale sia situata

nel corpo centrale di altezza h che, viceversa, è indeformabile assialmente e fles-

sionalmente.

Il modello cinematico completo per il macroelemento deve, quindi, contemplare i tre

gradi di libertà dei nodi i e j e quelli dei nodi di interfaccia e .


h

Δ

b

sui

ϕ1

wi

i

j uj

u1

u2

wj

w1

w2ϕ2

ϕi

ϕj

1

2

1

2

3Δ

(a)

φδ

M1

T1

N1

1

2

j Tj

T2

Nj

N2

M2

Mj

23

2

T2

N2

M2

Ti

Ni

i

Mi

1

M1 T1

N1

1

(b)

n m

Figura 1.1: Modello cinematico del

macroelemento

Le ipotesi di rigidità introdotte consentono di semplificare la cinematica del macroele-

mento imponendo opportune condizioni di congruenza all’interno delle singole sotto-

strutture , e . Avendo indicato con w gli spostamenti assiali, con u quelli tra-

sversali e con ϕ le rotazioni, si può affermare che u1 = ui ; u2 = uj (infatti i corpi e

hanno rigidezza tagliante infinita e spessore Δ tendente a zero) e w1 = w2 = δ; ϕ1

= ϕ2 = φ (il corpo centrale è assialmente e flessionalmente rigido e δ, φ rappresentano

rispettivamente lo spostamento assiale e la rotazione).

Dal punto di vista cinematico il modello è quindi descritto da otto gradi di libertà: le

sei componenti di spostamento dei nodi di estremità (ui, wi, ϕi, uj, wj, ϕj) e le due

componenti del macroelemento (δ e φ).

Il meccanismo di ribaltamento del pannello, favorito dall’assenza di una significativa

resistenza a trazione del materiale, viene rappresentato ipotizzando un contatto ela-

stico monolatero nelle interfacce e , mentre il meccanismo di rottura a taglio è

schematizzato, considerando uno stato di tensione uniforme nel modulo centrale (

si assume Ti = Tj), attraverso un legame tra le componenti cinematiche ui, uj, φ, lo sta-

to tensionale e le variabili descrittive del comportamento plastico (il grado di danneg-

giamento α e lo scorrimento plastico γp). Il danneggiamento per fessurazione sulle fa-

sce diagonali, dove si verificano meccanismi di taglio-scorrimento, è, infatti, rappre-

sentabile mediante la componente anelastica di spostamento γp che si attiva quando

viene superata una condizione limite per attrito alla Coulomb. Il legame Gambarotta-

Lagomarsino consente di descrivere, attraverso le variabili α e γp, l’evoluzione ciclica

del degrado di rigidezza e del deterioramento della resistenza associato al progressivo

danneggiamento a taglio (Gambarotta et al., 1996; Galasco, 2001).


Nelle due estremità dell’elemento è concentrato il comportamento a flessione: le rela-

zioni che legano la normale di compressione N ed il momento M alle componenti di

spostamento w e ϕ derivano direttamente dalle equazioni elastiche di legame. Fintanto

che il centro di pressione risulta interno al nocciolo centrale d’inerzia non si verifica la

parzializzazione della sezione di estremità del pannello e sforzo normale e momento

risultano lineari in w e ϕ e disaccoppiate (indicando con 2= Ek h la rigidezza assiale

per unità di superficie):

3

12

=

= ϕ

N kbswkM sb

(0.1)

Figura 1.2: Cinematica del problema

assiale elastico

La sezione si parzializza quando la risultante delle azioni esce dal nocciolo centrale

d’inerzia e, assumendo sezione rettangolare, ciò avviene se:

3 3212 12

12 6= = =

ϕ ϕ ϕk ksb sbM b b

N kbsw kbs w w≤ (0.2)

ovvero in termini cinematici (essendo w<0 poiché si assume che il pannello non reagi-

sca a trazione):

2−≤ϕ w

b (0.3)

Questa relazione indica che se si applica un momento alla sezione, dopo aver esercita-

to una compressione, la rotazione ϕ aumenterà linearmente, a spostamento verticale

w costante, finché sarà verificata la condizione sopraccitata.


s

ϕ

y

N

d

b

x

w

Figura 1.3: Sezione parzializzata

Da considerazioni geometriche, nell’ipotesi di piccoli spostamenti, si possono calcolare

i contributi anelatici dovuti alla pressoflessione. Separando i contributi elastici da que-

sti ultimi, si può riscrivere:

( )

( ) ( )

2

23

28

212 24

= − +

− += + +

ϕϕ

ϕϕ ϕ

ϕ ϕ

ksN ksbw b w

b wk ksM sb b w (0.4)

Nel caso di sezione parzializzata, normale e momento non sono più sollecitazioni di-

saccoppiate; si può dunque esplicitare la relazione che lega le grandezze cinematiche

del problema. Esplicitando w si ha:

2

2−

= −ϕ ϕb

wksN

(0.5)

w

ϕϕ=2w/bϕ=−2w/b

Figura 1.4: Interazione ϕ-w

Se si incrementa il momento (in un sistema precedentemente compresso) prima si ha

un incremento lineare di ϕ, poi si raggiunge la condizione limite 2−

=ϕ wb

oltre cui val-

gono le relazioni (0.4) e (0.5): fino al limite di parzializzazione 0∂=

∂ϕw

, oltre, aumen-

tando il momento, aumenta la rotazione ma diminuisce la compressione verticale (fi-

gura 3.4).


Oltre alla non linearità dovuta alla pressoflessione il modello di macroelemento con-

templa il danneggiamento per compressione: si può notare come, al momento

dell’entrata in campo non lineare, in un generico passo di carico, caratterizzato dal

superamento del valore di spostamento wR= σR/k in una porzione della sezione di ba-

se, tale stato sia identificabile attraverso due soli parametri: ζ (=p/b), misura

dell’estensione della porzione di sezione interessata dalla non linearità, e μ

(=wmax/wR), misura della duttilità richiesta alla fibra più esterna e, di conseguenza, del

successivo degrado di rigidezza (figura 3.5).

b

x

z

ζb

w φ wo

wR

wmax = μ wR

σ σR

Figura 1.5: Stato di tensione e sposta-

mento in condizioni di non linearità a compressione

In un successivo passo di carico, in cui il valore sia minore del valore limite di ,

si ha uno stato tensionale che dipende così, attraverso i parametri μ e ζ, dalla storia di

carico precedente: le fibre, che per effetto del precedente stato di spostamento hanno

avuto un’escursione in campo plastico, sono così caratterizzati da una rigidezza de-

gradata k

maxw Rw

* funzione della duttilità:

( ) ( )* 12, , , ;1 21

⎛= ∈ −⎜⎤⎥− ⎝ ⎦+

μ ζ ζμζ

kk x x bx

b

b (0.6)

La tensione assiale ha, dunque, andamento lineare nella zona non interessata dalla

plasticizzazione ed andamento più complesso nella zona plastica:

12

12

( ) ;(2

( )( ) ( ) ;

( 1) 2

⎧ )⎡ ⎤− − ∈ − −⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪= ⎨⎛ ⎤⎪ − − ∈ −⎜ ⎥⎪ − + ⎝ ⎦⎩

ϕ ζσ

ζϕ ζμ ζ

o

o

bk w x x bx

b bk w x x bx b

(0.7)

Si evidenzia (Penna, 2002; Resemini, 2003) tuttavia come il tratto degradato possa

essere approssimato linearmente senza commettere un errore apprezzabile. Sulla ba-


se di questa formulazione e di quest’ultima osservazione è possibile definire una sem-

plice procedura di correzione non lineare dei valori delle caratteristiche di sollecitazio-

ne ottenuti con il legame elastico non reagente a trazione.

Per effetto della diversa distribuzione delle tensioni nei due casi, è possibile ottenere il

valore dello sforzo normale di compressione ponendo:

*= −elN N N (0.8)

dove è lo sforzo normale calcolato con il legame elastico , mentre NelN * risulta :

*max max

1( , , ) −=

μμ ζ ζμ

N w k bsw (0.9)

Analogamente, la correzione non lineare del momento flettente si ottiene dalla:

*= −elM M M (0.10)

in cui elM è lo sforzo normale calcolato con il legame elastico , mentre M* risulta:

*max

1( , , )3 2

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

*ζμ ζM w bN . (0.11)

Tali correzioni sono valide sia nel caso in cui vi sia una riduzione delle tensioni per ef-

fetto del degrado, sia per una nuova condizione di superamento della soglia di resi-

stenza.

La risposta a taglio è espressa considerando una deformazione tagliante uniforme

φγ +−

=h

uu ji nel pannello centrale 2 ed imponendo una relazione fra le grandezze

cinematiche , e iu ju φ , e la sollecitazione ji TT −= . Il danneggiamento è generalmente

riscontrato lungo la diagonale dove si evidenzia uno spostamento fra i giunti (con una

componente di deformazione anelastica) attivato per il superamento della condizione

limite attritiva di Coulomb. Conoscendo l’effettiva deformazione tagliante del corpo 2

(indicando con G il modulo elastico di taglio) si può formulare la seguente equazione

costitutiva:

*( )= − + +φi i j iGAT u u hh

T (0.12)

* (1

= − − + ++

)α φαi i j

GA c hT u u hh c GA

f (0.13)

dove la componente non elastica comprende l’azione attritiva che si oppone al

meccanismo di scorrimento e coinvolge un parametro di danno

*iT f

α ed un coefficiente

adimensionale , che controlla la deformazione non elastica. In questo modello,

l’azione dovuta all’attrito è considerata nella seguente condizione limite:

c


0= − ≤φ μs f Ni (0.14)

dove μ corrisponde al coefficiente di attrito. Queste relazioni costitutive possono rap-

presentare la diversa resistenza del pannello al variare dell’azione assiale . Gli

effetti del danneggiamento sono evidenziati nella variabile di danno

ij NN −=

α che cresce coe-

rentemente con il meccanismo limite :

( ) ( ) 0= − ≤φ αd Y S R (0.15)

dove 2

212

=γα

p

Yc

è l’energia dissipata per effetto delle deformazioni anelastiche, R è la

funzione di resistenza (tenacità) e { }=S t n m T è il vettore delle tensioni interne al

corpo 2. Si assume R come funzione crescente di α fino al valore critico 1=Cα e suc-

cessivamente decrescente per valori più elevati: questo modello può rappresentare

sia il decadimento di rigidezza, sia il degrado di resistenza tipico del comportamento

ciclico dei pannelli murari.

Definizione dello spostamento ultimo (drift) per il macroelemento

Il legame precedentemente descritto viene completato dall’inserimento di un meccani-

smo di collasso: coerentemente con l’Ordinanza 3431 (punti 8.2.2.1, 8.2.2.2. e

11.5.8.1) si è stabilito di definire deformazioni massime (drift) accettabili per il pan-

nello, dovuti ai meccanismi di taglio e pressoflessione (figura 3.6). Se questi valori

vengono superati, il pannello non è più considerato in grado di sopportare azioni oriz-

zontali.

hm

Δm

Figura 1.6: Calcolo del drift

Nel caso di analisi su edifici esistenti in muratura, questi parametri assumono i valori

in seguito riportati:

0.004 Taglio0.006 Pressoflessione

⎧Δ= = ⎨

⎩δ δDL mm u

mh (0.16)


Tali drift vengono considerati separatamente all’interno del macroelemento conside-

rando gli spostamenti e le rotazioni corrispondenti alla porzione centrale (in cui si con-

centra la deformabilità a taglio) ed alle porzioni di estremità (in cui si ha la pressofles-

sione):

δ ϕ−

=( )j iTaglio

e

u uh

+ (0.17)

( )2+

=ϕ ϕ

+δ ϕi jPressoflessionee (0.18)

Il superamento di tali limiti comporta la pressoché totale perdita di resistenza flessio-

nale e tagliante del pannello, che conserva una sia pur ridotta rigidezza assiale (divie-

ne pertanto una biella).

Le peculiarità di modellazione del macroelemento connesse alle prescrizioni dell’Ordinanza 3431

Il legame, precedentemente formulato, descrive accuratamente il comportamento di

un pannello murario coerentemente con prove sperimentali effettuate (Penna, 2002;

Galasco et al., 2004). L’Ordinanza 3431 ha, tra i suoi presupposti, il carattere presta-

zionale: le indicazioni sulle modalità di modellazione e verifica degli elementi costitui-

scono un riferimento per un’affidabile modellazione non lineare. L’uso di modelli costi-

tutivi più evoluti, come quello appena descritto, non è quindi a priori escluso. Tuttavia

è necessario recepire indicazioni generali e valori specifici in accordo col testo norma-

tivo.

L’Ordinanza 3431 richiede la formulazione di meccanismi che considerino sia la rispo-

sta flessionale, sia la risposta a taglio (punto 8.1.5.4.): il meccanismo di pressofles-

sione è affrontato, in modo rigoroso, considerando l’effettiva ridistribuzione delle com-

pressioni dovute sia alla parzializzazione della sezione, sia al raggiungimento della re-

sistenza massima a compressione. Lo spostamento ultimo associato al meccanismo di

pressoflessione è determinato sulla base del valore massimo di drift previsto per que-

sto meccanismo: 0.6% (punto 8.2.2.1. e punto 11.5.8.1).

Il meccanismo di taglio è descritto da un modello attritivo alla Mohr Coulomb che, at-

traverso specifiche procedure non lineari (Gambarotta & Lagomarsino, 1997b), riesce

a cogliere il progressivo degrado di resistenza e rigidezza dell’elemento, attraverso le

grandezze descrittive del danneggiamento. Tale legame, in virtù della sua formulazio-

ne incrementale, è capace di modellare un comportamento isteretico, ovvero può de-

scrivere un ciclo di carico-scarico del pannello (questa formulazione è necessaria per


poter effettuare analisi dinamiche non lineari o pushover cicliche). La deformazione

ultima a taglio è determinata sulla base del valore massimo di drift previsto dalla

normativa: 0.4% (punto 8.2.2.2 e punto 11.5.8.1). Per maggiore coerenza col model-

lo semplificato elastico-perfettamente plastico proposto dalla normativa è possibile a-

gire opportunamente sui parametri non lineari del legame:

il parametro β controlla il degrado di reseistenza del macroelemento una volta rag-

giunta la sua massima resistenza (α=1); imponendogli un valore pari a zero si annulla

il decadimento ed il pannello continua ad esprimere la resistenza massima;

il parametro c controlla l’ampiezza della deformazione plastica che precede il raggiun-

gimento della massima resistenza.

In presenza di prove sperimentali sulla muratura è possibile assumere valori diversi di

c e β che permetterebbero una descrizione più fedele del comportamento

dell’elemento.

L’elemento trave non lineare in muratura

Il codice di calcolo strutturale TREMURI consente inoltre di utilizzare un elemento

trave non lineare a sei gradi di libertà con resistenza limitata e degrado della rigidezza

in fase non lineare. La trave è un elemento alternativo al macroelemento per simulare

il comportamento dei pannelli murari (maschi e fasce) nell’ambito dell’approccio della

modellazione delle pareti a telaio equivalente.

Ni

Nj

Mi

Mj

(ui ,wi,φi)Ti

(uj ,wj ,φj )Tj

Figura 1.7: Incognite cinematiche e convenzione sui segni delle caratteristiche di sollecitazione adottate per l’elemento trave non lineare in muratura

Per ciascun elemento, dunque, la pendenza del ramo elastico è determinata diretta-

mente a partire dal calcolo dei contributi di rigidezza a taglio e flessionale, computabili

sulla base delle proprietà meccaniche e geometriche (modulo elastico di Young E, mo-


dulo a taglio G e geometria del pannello). I differenti contributi sono opportunamente

assemblati nella matrice di rigidezza elastica del singolo elemento.

I limiti elastici in termini di resistenza, relativi ai meccanismi di rottura considerati,

coincidono con il valore ultimo, poiché vige l’ipotesi di assenza di incrudimento. I

meccanismi di rottura sono quello per pressoflessione, taglio con fessurazione diago-

nale e taglio-scorrimento e corrispondono rispettivamente a quanto previsto dall’ Or-

dinanza 3431 (punto 8.2.2 e punto 11.5.8.1).

In definitiva, nel caso della pressoflessione il momento ultimo è definito dalla (0.19),

come al punto 8.2.2.1.

20

ud

l t 1M2 0.85 f

⋅ ⋅ σ − σ= ⋅ 0

⋅ (0.19)

in cui l è la lunghezza complessiva della parete inclusa la zona tesa, t è lo spessore

della zona compressa, σo è la tensione normale di compressione media riferita all’area

totale della sezione e fd è la resistenza a compressione della muratura.

Tale formula si basa sull’ipotesi di materiale non reagente a trazione in cui è assunta

un’opportuna distribuzione non lineare delle compressioni (stress-block rettangolare

con coefficiente pari a 0.85).

Per quanto riguarda il meccanismo di rottura per taglio per fessurazione diagonale, il

taglio ultimo è definito dalla (0.20), come al punto 11.5.8.1:

τ σ σ= ⋅ + = ⋅ +

τ0d 0 td 0

u0d td

1.5 fT l t 1 l t 1b 1.5 b f

n

(0.20)

in cui ftd e τ0d sono rispettivamente i valori di calcolo della resistenza a trazione per

fessurazione diagonale (ft = 1.5 τ0) e della corrispondente resistenza a taglio di riferi-

mento della muratura e b è un coefficiente correttivo legato alla distribuzione degli

sforzi sulla sezione, dipendente dalla snellezza della parete (assunto pari a h/l, co-

munque non superiore a 1.5 e non inferiore a 1, dove h è l'altezza del pannello).

Infine, riguardo al meccanismo di taglio-scorrimento (punto 8.2.2.2) :

= = + μσu vmovdT l 'tf l 'f(f ) (0.21)

in cui l’ è la lunghezza della parte compressa della parete, fvm0 la resistenza media a

taglio della muratura, μ il coefficiente di attrito e σn la tensione normale media, riferi-

ta alla sola parte compressa della sezione.

L’elemento trave si fonda su una correzione di tipo non lineare, a partire dalla previ-

sione elastica, operata confrontando le sollecitazioni con i limiti di resistenza conse-

guenti ai criteri sopraesposti ed effettuando poi, nel caso in cui tale limite sia supera-


to, un’opportuna ridistribuzione delle caratteristiche di sollecitazione di taglio (costan-

te lungo l’elemento in virtù dello schema di calcolo ad azioni concentrate nei nodi) e

momento flettente alle estremità, in modo tale da garantire l’equilibrio dell’elemento

stesso.

Si sottolinea la dipendenza dei limiti ultimi di resistenza dallo sforzo normale di com-

pressione: ne consegue che tali valori di confronto non sono una proprietà costante

dell’elemento ma variano durante l’analisi a seguito della ridistribuzione delle azioni

sugli elementi coinvolti nel contributo all’equilibrio globale del sistema strutturale.

Il legame introdotto è, come già precisato, degradante: la rigidezza di un elemento

che abbia superato la soglia di resistenza è pari alla rigidezza secante corrispondente

al massimo stato di spostamento in cui sia venuto a trovarsi (figura 3.8). A tale fine

sono definite delle variabili di danno, associate rispettivamente alle caratteristiche di

sollecitazione di taglio e momento flettente (una per ciascun estremo dell’elemento).

Esse sono atte a memorizzare il massimo stato di spostamento raggiunto e, conse-

guentemente, lo stato di danneggiamento e di sollecitazione realizzatisi nella storia

precedente dall’elemento. Tali variabili possono essere comprese tra 0 (fase iniziale

elastica) e 1 (nel caso limite di duttilità infinita), essendo correlate al rapporto tra il

valore della caratteristica di sollecitazione (taglio e/o momento), fornito dalla previ-

sione elastica con rigidezza iniziale, e quello variato secondo la rigidezza secante a se-

guito del superamento della soglia elastica.

δu

Tu

T

δ

Figura 1.8: Legame con limitata resi-stenza e degrado della rigidezza

Il collasso dell’elemento è fissato in corrispondenza del raggiungimento del valore ul-

timo di spostamento, determinato in termini di drift seguendo i limiti previsti per il

meccanismo di rottura associato (punto 8.2.2. e punto 11.5.8.1).


A seguito del collasso, il contributo dell’elemento all’equilibrio globale è considerato

esclusivamente legato alla sua capacità residua di sopportare i carichi verticali.

Si precisa, inoltre, che, nel caso in cui si verifichi la condizione di elemento tenso-

inflesso, tutte le caratteristiche di sollecitazione si annullano. Ciò poiché i limiti di resi-

stenza adottati si fondano sull’ipotesi di considerare la muratura come materiale non

reagente a trazione.

Si sottolinea che, a differenza del macroelemento descritto nei paragrafi precedenti,

l’elemento trave non lineare non dispone di alcun grado di libertà interno che consenta

di separare il contributo al drift associato ai meccanismi di taglio e pressoflessione.

Pertanto il drift è fornito dalla (0.22).

ϕ ϕδ

− += +

( ) (2

)j i j iu uh

(0.22)

La semplicità della formulazione di tale elemento ha sicuramente il pregio di garantire

un processo di convergenza snello e particolarmente efficace in termini di oneri com-

putazionali ai fini di analisi statiche non lineari monotone (pushover).

Tuttavia, proprio perché semplificato e quindi più cautelativo nei riguardi della stima

delle risorse dei pannelli, l’elemento trave non consente di cogliere in dettaglio alcuni

aspetti del reale comportamento dei pannelli murari.

Si esamini, ad esempio, il meccanismo per ribaltamento: il fatto di considerare una

distribuzione non lineare approssimata delle tensioni (0.19) per pressoflessione, non

consente di cogliere l’accoppiamento che si realizza tra sforzo normale e momento

flettente e, relativamente alle grandezze cinematiche, tra spostamento verticale e ro-

tazione dell’elemento,. Tale comportamento è evidenziato anche da risultati sperimen-

tali e discusso a proposito della descrizione del legame assunto per il macroelemento

(figura 3.4).

Anche nei riguardi della riproduzione dei fenomeni dissipativi e ciclici, nell’ambito ad

esempio di analisi dinamiche al passo non lineari, sono evidenti i limiti di tale formula-

zione per i quali il macroelemento risulta senz’altro più aderente ed efficace.


Il Telaio equivalente

La Modellazione Come già evidenziato precedentemente, i meccanismi di danno osservati negli edifici

possono essere suddivisi in due categorie a seconda del tipo di risposta delle pareti e

del loro mutuo grado di connessione: i cosiddetti meccanismi di primo modo, in cui

sono coinvolte pareti o porzioni di esse sollecitate ortogonalmente al proprio piano, e

di secondo modo in cui la parete risponde all’azione sismica nel proprio piano.

Operazione preliminare al fine di una corretta simulazione è la comprensione e

l’identificazione della struttura resistente ai carichi verticali ed orizzontali all’interno

della costruzione in muratura: tali elementi tipicamente sono costituiti dalle pareti e

dagli orizzontamenti.

Alle pareti si attribuisce il ruolo di elementi resistenti, sia nei riguardi dei carichi verti-

cali sia orizzontali; agli orizzontamenti (solai, volte, coperture) invece si riconosce il

ruolo di riportare alle pareti i carichi verticali gravanti su di essi e di ripartire, come

elementi di irrigidimento di piano, le azioni orizzontali sulle pareti di incidenza.

Nei riguardi delle azioni orizzontali la modellazione adottata trascura il contributo resi-

stente delle pareti in direzione ortogonale al proprio piano, data la notevole flessibilità.

I meccanismi di collasso fuori piano non sono quindi modellati, ma questo, tuttavia,

non rappresenta un limite in quanto si tratta di fenomeni legati alla risposta locale del-

le singole pareti di cui, con opportuni accorgimenti ed interventi puntuali, si può limi-

tare decisamente l’insorgenza.

Analogamente non viene simulata la risposta flessionale dei solai, significativa per la

loro verifica di resistenza, ma trascurabile ai fini della risposta globale; i carichi sui so-

lai sono ripartiti sulle pareti in funzione della direzione di orditura e delle aree di in-

fluenza. Il solaio contribuisce invece come lastra dotata di opportuna rigidezza di pia-

no.

La modellazione della parete

Divisa la parete in tratti verticali corrispondenti ai vari piani e nota l'ubicazione delle

aperture, vengono determinate le porzioni di muratura, maschi murari e fasce di pia-

no, in cui si concentrano deformabilità e danneggiamento (come è verificabile dalle

osservazioni dei danni di sismi reali, da simulazioni sperimentali e numeriche) e che

vengono modellate con i macroelementi finiti bidimensionali, rappresentativi di pan-


nelli murari, a due nodi con tre gradi di libertà per nodo (ux, uz, roty) e due gradi di

libertà aggiuntivi interni.

Le restanti porzioni di parete vengono dunque considerate come nodi rigidi bidimen-

sionali di dimensioni finite, a cui sono connessi i macroelementi; questi ultimi trasmet-

tono, ad ognuno dei nodi incidenti, le azioni lungo i tre gradi di libertà del piano. Nella

descrizione di una singola parete i nodi sono individuati da una coppia di coordinate

(x,z) nel piano della parete e dalla quota z corrispondente a quelle degli orizzonta-

menti; i gradi di libertà di cui disporranno saranno unicamente ux, uz, roty (nodi bidi-

mensionali).

Grazie a questa suddivisione in nodi ed elementi, il modello della parete diviene quindi

del tutto assimilabile a quello di un telaio piano.

NODO RIGIDO

FASCIA

MASCHIO

Figura 1.9: Schematizzazione a telaio

equivalente

Durante l’assemblaggio della parete si considereranno le eventuali eccentricità fra i

nodi del modello e gli estremi dei macroelemeti: considerati gli assi baricentrici degli

elementi, questi potrebbero non coincidere con il nodo, nei blocchi rigidi si potrà quin-

di verificare un’eccentricità tra il nodo del modello e quello dell’elemento deformabile.


Figura 1.10: Schematizzazione degli estremi rigidi del macroelemento

Questa operazione viene effettuata applicando una opportuna matrice di estremo rigi-

do alla matrice delle rigidezze dell’elemento medesimo.

La modellazione strutturale richiede inoltre la possibilità di inserire travi ovvero prismi

elastici a sezione costante, individuati nel piano dalla posizione dei due nodi di estre-

mità. Noti la lunghezza (dimensione prevalente), l’area, il momento di inerzia ed il

modulo elastico è possibile ricostruire la matrice di rigidezza (applicando le regole del

legame elastico) e, assumendo, che permangano indefinitamente in campo elastico, si

applicano le consuete formulazioni del legame elastico (Petrini et al., 2004; Corradi

dell’Acqua, 1992).

Oltre alla presenza di vere e proprie travi (architravi o cordoli in c.a.) il modello pre-

vede la presenza di dispositivi catena: queste strutture metalliche, sono sprovviste di

rigidezza flessionale e perdono ogni efficacia nel caso divengano compresse. Questa

loro peculiarità comporta un ulteriore elemento di non linearità nel modello: la rigidez-

za complessiva del sistema deve diminuire qualora una catena tesa divenga compres-

sa e deve aumentare nel caso contrario.

Un’altra caratteristica di questi elementi è la possibilità di assegnare una deformazione

iniziale ε0, che determina una forza Fc= EAε0; dal punto di vista statico, una volta de-

terminato il vettore globale delle forze di precompressione fc, basterà applicarlo alla

struttura come se fosse un carico esterno.

La matrice di rigidezza di elementi privi di rigidezza flessionale è facilmente ricavabile

azzerando dalla matrice dell’elemento tutti i termini contenenti J; per gestire invece la


non linearità occorre conservare distinti tutti i contributi elastici dovuti alle catene, e

verificare ad ogni passo se vi siano catene precedentemente tese ora compresse o vi-

ceversa, ed in tal caso provvedere a correggere la matrice di rigidezza complessiva del

modello.

La modellazione tridimensionale

Nella modellazione spaziale le pareti costituiscono gli elementi resistenti, nei riguardi

dei carichi sia verticali, sia orizzontali; gli orizzontamenti (solai, volte, coperture) inve-

ce riportano alle pareti i carichi verticali gravanti su di essi e ripartiscono le azioni o-

rizzontali sulle pareti di incidenza. La struttura risulta così modellata dall’assemblaggio

di strutture piane: le pareti e gli orizzontamenti, entrambi privi di rigidezza flessionale

fuori dal piano.

Precedentemente è stata illustrata la procedura di modellazione a macroelementi delle

pareti in muratura sollecitate nel proprio piano. Tale strumento costituisce il punto di

partenza importante per la modellazione del comportamento globale basata proprio

sul comportamento delle pareti nel proprio piano. Tuttavia, l’estensione della procedu-

ra alla modellazione tridimensionale non è affatto banale. La strada scelta è quella di

conservare la modellazione delle pareti nel proprio piano ed assemblandole ad altre

strutture, gli orizzontamenti, anche dei quali viene modellato il comportamento mem-

branale.

Il modello dell’edificio viene ad assumere così globalmente masse e rigidezze su tutti

i gradi di libertà tridimensionali tenendo conto però, localmente, dei soli g.d.l. nel pia-

no (nodi bidimensionali).

In questo modo si può pervenire ad un modello strutturale essenziale senza gravarlo

del calcolo della risposta fuori piano locale, che può comunque essere verificata a po-

steriori.

Stabilito un riferimento globale unico per il modello dell'edificio, vengono introdotti i

riferimenti locali di ciascuna parete: si assume che le pareti giacciano in un piano ver-

ticale e si localizza la traccia in pianta della generica parete i attraverso le coordinate

di un punto, l’origine del riferimento locale Oi (xi, yi, zi), rispetto ad un sistema di rife-

rimento cartesiano globale (X,Y,Z), e l’angolo θi calcolato rispetto all'asse X.

Il sistema di riferimento locale della parete è così univocamente definito e la modella-

zione a macroelementi può avvenire con le stesse modalità del caso piano.

I macroelementi, così come gli elementi trave e catena, mantengono il comportamen-

to nel piano e non necessitano di essere riformulati.


X

Y

θ1θ2

Parete 1

Parete 2

O2

O1

Figura 1.11: Individuazione in pianta

della traccia delle pareti

I nodi di connessione, appartenenti ad una sola parete, mantengono i propri gradi di

libertà nel piano nel riferimento locale, mentre i nodi che appartengono a più pareti

(localizzati nelle incidenze di queste ultime) debbono necessariamente disporre di

gradi di libertà nel riferimento globale (nodi tridimensionali). Questi nodi, in virtù

dell’ipotesi di trascurare la rigidezza flessionale delle pareti, non necessitano di un

grado di libertà rotazionale intorno all’asse verticale Z in quanto non connessi ad ele-

menti in grado di fornire termini di rigidezza rotazionale locale. I nodi rigidi tridimen-

sionali, rappresentativi di situazioni quali cantonali e martelli, ottenuti come assem-

blaggio di virtuali nodi rigidi bidimensionali individuati in ciascuna delle pareti inciden-

ti. Essi hanno componenti di spostamento generalizzato secondo 5 gradi di libertà: 3

spostamenti, ux, uy e uz, e 2 rotazioni φx e φy. Le relazioni tra le 5 componenti di spo-

stamento e rotazione del nodo tridimensionale e le 3 del nodo bidimensionale fittizio,

appartenente alla singola, parete sono perciò date dalle

cos sin

sin cos

⎧ = +⎪

=⎨⎪ = −⎩

θ θ

ϕ ϕ θ ϕ

x y

z

x y

u u uw u

θ (0.23)

in cui con u, w e φ si sono indicate le 3 componenti di spostamento secondo i gradi di

libertà del nodo fittizio appartenente alla generica parete orientata in pianta secondo

un angolo θ. Analogamente anche le forze applicate ai nodi tridimensionali vengono

scomposte secondo le direzioni individuate dai piani medi delle pareti ed applicate, co-

sì, ai macroelementi nel loro piano di resistenza.


θ

X Y

Z

ux uy

uz = w φ x

φ y φ

u

Figura 1.12: Gradi di libertà del nodo

tridimensionale

Le forze reattive trasmesse dai macroelementi appartenenti alle singole pareti ai nodi

fittizi bidimensionali vengono riportate nel riferimento globale in base alle

1 21 2

1 21 2

1 2

1 21 2

1 21 2

cos cossin sin

sin sincos cos

⎧ = +⎪ = +⎪⎪ = +⎨⎪ = +⎪

= − −⎪⎩

θ θθ θ

θ θθ θ

x h h

y h h

z v v

x

y

F F FF F FF F FM M MM M M

(0.24)

in cui, come riportato in figura, i termini con apice 1 e 2 fanno riferimento rispettiva-

mente ai termini di forza corrispondenti ai nodi virtuali individuati nelle pareti 1 e 2 cui

il nodo tridimensionale appartiene.

X Y

Z

Fx Fy

Fz Mx My

1vF2

vFM1 M2

2hF

1vF

Figura 1.13: Forze sul nodo a 5 gdl e sui

corrispondenti nodi virtuali a 3 gdl


La modellazione della parete può così ancora avvenire nel piano, recuperando quanto

descritto nel capitolo precedente. I nodi che appartengono ad una sola parete riman-

gono bidimensionali, ovvero mantengono solo 3 gradi di libertà anziché 5.

I solai, modellati come elementi finiti a membrana ortotropa a 3 o 4 nodi, con due

gradi di libertà per nodo (gli spostamenti ux e uy), sono identificati da una direzione di

orditura, rispetto alla quale sono caratterizzati da un modulo elastico E1. E2 è il modu-

lo elastico in direzione perpendicolare all’orditura, mentre ν è il coefficiente di Poisson

e G2,1 il modulo di elasticità tangenziale. E1 ed E2 rappresentano, in particolare, il gra-

do di collegamento che il solaio, anche grazie all’effetto di cordoli o catene, esercita

tra i nodi di incidenza nel piano della parete. Il termine G2,1 rappresenta invece la rigi-

dezza a taglio del solai nel suo piano e da esso dipende la ripartizione delle azioni tra

le pareti.

É possibile disporre un elemento solaio collegandolo ai nodi tridimensionali, giacché

esso ha la funzione principale di ripartire le azioni orizzontali tra le varie pareti in pro-

porzione alla loro rigidezza ed in funzione della propria, conferendo al modello quel

carattere di tridimensionalità che dovrebbe avvicinarsi al reale funzionamento struttu-

rale.

L’elemento finito di riferimento considerato è l’elemento piano, in stato piano di ten-

sione, a tre nodi

k

ji

x

y

Figura 1.14: Elemento a tre nodi

L’elemento a quattro nodi è ottenuto come media del contributo delle due coppie di

elementi a tre nodi secondo cui è possibile suddividere il quadrilatero. In tal modo è

possibile modellare con un unico elemento campiture di solaio di forma quadrilatera

irregolare, con generica direzione di orditura.


i

y

xj

kl

ji

l k

j

l k

i

= ½ +

Figura 1.15: Elemento a quattro nodi

La matrice di rigidezza coinvolge, ovviamente, i soli nodi tridimensionali di incidenza

del solaio, mentre il contributo dei carichi verticali, propri o portati, viene attribuito in

termini di massa nodale aggiunta a tutti i nodi, anche a quelli a 3 g.d.l., appartenenti

alle pareti di incidenza alla quota di piano del solaio; tale massa aggiuntiva viene cal-

colata in base alle aree di influenza di ciascun nodo, tenendo conto della direzione di

orditura del solaio.

Si è reso necessario, a causa delle ipotesi semplificative illustrate in precedenza, co-

struire una nuova matrice di inerzia in cui i contributi alla massa dei nodi a tre gradi di

libertà in direzione ortogonale alle pareti di appartenenza siano riportati ai nodi a cin-

que gradi di libertà.

La costruzione della matrice d’inerzia inizia dall’assemblaggio di quelle delle singole

pareti e tiene conto della massa (propria e portata) trasferita dai solai, coerentemente

con il proprio verso di orditura, ai nodi (bi o tridimensionali) con un’eventuale eccen-

tricità orizzontale nel piano della parete. Anche la massa dei nodi e la quota parte di

massa degli elementi incidenti può presentare, nel piano della parete, eccentricità ver-

ticali ed orizzontali (il baricentro del nodo potrebbe non coincidere con il punto geo-

metrico di definizione e la porzione di massa trasferita al nodo dal macroelemento sa-

rà generalmente eccentrica).


X

ZY

M y

M y

M xJ

M x

I

m

α

x

l

Figura 1.16: Trasferimento ai nodi 3d

della massa nodale in direzione ortogonale alla parete

Poiché i nodi bidimensionali sono privi di gradi di libertà ortogonali al piano della pare-

te di appartenenza, nel calcolo delle masse è trasferita la quota di massa nodale, in

tale direzione, ai nodi tridimensionali vicini, in proporzione alla mutua distanza ed in

modo che la massa complessiva del sistema nelle direzioni X ed Y sia coerente. Nel

modello sono cioè considerate due distinte masse nodali nelle due direzioni orizzontali

per i nodi tridimensionali.

Con riferimento alla figura precedente, i termini di massa nodale del nodo I si otten-

gono dalle seguenti relazioni:

(1 cos )

(1 )

−= + −

−= + −

α

α

I Ix x

I Iy y

l xM M ml

l xM M m sinl

(0.25)

Questa soluzione ha permesso così di implementare analisi statiche con componenti di

accelerazione nelle tre direzioni principali ed analisi dinamiche al passo anch’esse con

la possibilità di specificare contemporaneamente tre componenti di input nelle tre di-

rezioni.


Come opera 3Muri

Costruzione automatica del telaio equivalente in 3Muri Il modella a telaio equivalente è costituito da macroelementi che collaborano tra di lo-

ro e che schematizzano le pareti murarie.

Il modulo più semplice prevede la contiguità degli elementi fascia e maschio adiacenti

all’apertura come rappresentato nella figura seguente. Gli elementi non confinanti so-

no considerati infinitamente rigidi.

Fascia

Maschio Maschio

Fascia

Come in una struttura in c.a. le travi e i pilastri confluiscono nei nodi, anche nel caso

della modellazione a telaio equivalente i maschi murari (equivalenti ai pilastri) incon-

trano le fasce (equivalenti alle travi) nei nodi rigidi indicati in rosso.

Per questo 3Muri è dotato di un vero e proprio “meshatore” che genera automatica-

mente il telaio equivalente.


Le figure seguenti riportano degli esempi di costruzione del telaio equivalente a partire

dalla struttura in muratura.

La struttura

La modellazione secondo 3Muri

Strutture non regolari Nel caso di strutture non regolari, cioè in cui sono presenti piani non completi e sfalsa-

ti, le aperture non si ripetono con regolarità, i materiali non sono omogenei, le fonda-

zioni sono a quote diverse, sono presenti strutture in c.a, acciaio, legno, ecc., 3Muri è

in grado di costruire comunque un telaio in grado di cogliere gli aspetti ingegneristici

del problema.


L’algoritmo implementato adatta il telaio in corrispondenza di eventuali irregolarità di

parete legate ad esempio ad aperture sfasate, mostrando la capacità di seguire il na-

turale flusso di tensioni attraverso gli elementi di parete come riportato nelle figure

sopra.


Le figure seguenti riportano struttura fortemente irregolari e la visualizzazione del re-

lativo telaio generato in automatico.

I nodi rigidi si adattano di forma e dimensione in base alle aperture presenti, secon-

do regole dedotte dalla sperimentazione diretta.


Le singole pareti sono poi unite al fine di realizzare il telaio 3d. In questo modo le pa-

reti interagiscono tra di loro, simulando il comportamento spaziale della struttura.

La struttura La modellazione secondo 3Muri

Parte delle strutture esistenti sono miste, cioè con la presenza di elementi aggiunti nel

tempo (c.a., acciaio, legno, ecc.) e costituiti da pilastri e travi.

Il “meshatore” integra questi elementi che, interagendo con le parti in muratura,

completano il telaio equivalente.

Elementi in c.a.

Le figure seguenti riportano altri casi di modellazione per strutture miste.


La struttura (i diversi colori indicano materiali diversi per elemento strutturale, es..

pareti in muratura con tipologie diverse, elementi in c.a. e acciaio ai piani superiori.)

La modellazione secondo 3Muri (i diversi colori indicano i macroelementi generati dal

“meshatore”).


Parte 3 Pratica



Inizio

INIZIO

APRI

Avviamo 3Muri facendo doppio click sull'icona 3Muri nel menù

Start Programmi S.T.A.DATA.

Apriamo il modello mediante il pulsante apri.



“Esempio”

con la quale avevamo lavorato la lezione precedente.

“Struttura” Selezionare l’ambiente struttura


INSERIMENTO APERTURE

FORO

Mediante la presente finestra è possibile inserire delle aperture

all’interno della muratura.

Il programma al suo primo utilizzo propone le seguenti dimen-

sioni dell’apertura: h1=90; h2=150; a=120.

Conserviamo tali valori invariati.

Definiamo il filo fisso per l’inserimento dell’apertura centrato.

Confermiamo l’inserimento mediante il pulsante “OK”

Possiamo notare come la finestra di definizione dell’apertura

resta visibile con i pultanti “OK” ed “Annulla” in grigio.


Si attivano automaticamente gli snap alla grafica, in attesa

che l’utente proceda ad inserire le aperture in sequenza.

L’immagine seguente indica le posizioni in cui dobbiamo

inserire le aperture.

Ci posizioniamo in corrispondenza dell’asse della singola fine-

stra in modo da individuare lo snap alla grafica.

TASTO SINISTRO MOUSE

Una volta inserita l’apertura appare visibile in grafica.


Inseriamo le aperture in corrispondenza di tutte quelle indicate

sul dxf (cerchiate in rosso nella pianta precedente)

Tutte le aperture non inserite in precedenza, si assume siano

delle porte.

INSERIMENTO PORTA

Andiamo ad editare le dimensioni nella finestra di definizione

delle aperture come indicato dalla figura seguente.

Ritorniamo nello spazio grafico per inserire le porte in corri-

spondenza dei punti indicati nella pianta precedente.

La pianta visualizzata ci mostra il risultato seguente:


TASTO DESTRO MOUSE

Dopo aver inserito tutte le aperture premiamo il tasto destro

del mouse per terminare il comando.

N.B. Se per errore è stata inserita un’apertura in posizione

sbagliata, è possibile eliminarla selezionandola con il tasto

destro del mouse.


INSERIMENTO SOLAIO

SOLAIO

Premendo il pulsante solaio contenuto nella barra “Struttura”

viene visualizzata la finestra di definizione dei solai.

All’inizio vengono richiesti i parametri di carico

permanente(Gk) e variabile(Qk).

Nell’esempio in questione lasciamo quelli proposti dal

programma:

Gk=500daN/m2; Qk=200daN/m2

Nella sessione successiva vengono richiesti i moltiplicatori dei

carichi secondo quanto richiesto dalla normativa presa in

esame.

Nell’esempio in questione faremo riferimento a quanto


prescritto dall’OPCM-3274.

Per avere maggiori indicazioni sui parametri che possono

essere inseriti premiamo il pulsante “Normativa” in modo da

visualizzare il seguente documento.

Chiudiamo questa finestra che contiene le indicazioni

Normative.

La sessione seguente è dedicata alla definizione dei parametri

di rigidezza di un elemento superficiale che possiede le

medesime caratteristiche del solaio in esame.

Anche per l’utente più esperto può risultare complesso inserire

questi parametri per le svariate tipologie di solai presenti.


PARAMETRI

Premendo questo pulsamte si attiva la finestra orizzontamenti

che contiene alcune tipologie di orizzontamenti predefiniti.

“Latero Cemento” Tra le tipologie di solaio presenti selezionare “Latero Cemento”

Attiviamo la casella “Presenza di una soletta continua”


Nell’area “parametri” inseriamo i valori seguenti:

Premiamo il pultante “OK” per confermare l’inserimento

Ricompare così la finestra di definizione dei solai con i

parametri di rigidezza del solaio latero cemento che abbiamo

appena definito.


Premiamo il pultante “OK” per confermare l’inserimento

Il puntatore assume la forma di snap nodale ( ) ed attende la

selezione della pianta da campire col solaio.

Cliccare sui nodi di spigolo secondo la sequenza 1 2 3 4


TASTO DESTRO MOUSE

Dopo aver cliccato sul nodo “4” premere il tasto destro del

mouse per interrompere la selezione.

Abbiamo così individuato il perimetro di interesse.

Il puntatore ha ora la forma del puntatore di selezione( ).

Selezioniamo la trave come indica la figura seguente.

Selezionando la trave appare il seguente menu contestuale:

Selezioniamo la voce “Perpendicolare”

Appare il simbolo del solaio ordito perpendicolarmente alla

trave selezionata.

A video compare quanto illustrato dalla figura seguente.


Dobbiamo ancora inserire il solaio su una parte della pianta.

Per inserire il solaio in questa area, come per quello

precedente, sono necessari i quattro vertici.

Due dei quattro nodi(vedere figura) sono di calcolo ma non

esistono fisicamente in quanto non sono estremo di parete.


NODO

In questi due punti è necessario inserire due nodi di elemento

per potervi definire il solaio.

Premiamo il pulsante “Nodo di elemento” e selezioniamo i due

punti in corrispondenza delle due intersezioni di parete.

In seguito all’inserimento vediamo che anche in corrispondenza

delle due intersezioni compaiono i nodi di colore blu come in

ogni altro nodo.

SOLAIO

Richiamiamo il comando “Solaio già usato in precedenza”


Viene presentata la finestra di definizione dei solai con la

definizione delle caratteristiche meccaniche dell’ultimo solaio

inserito.

Confermiamo la definizione del solaio premendo il pulsante

“OK”

Rilucidiamo il perimetro della pianta

Clicchiamo sui nodi di spigolo secondo la sequenza 5 6 7 8


TASTO DESTRO MOUSE

Dopo aver cliccato sul nodo “8” premere il tasto destro del

mouse per interrompere la selezione.

Abbiamo così individuato il perimetro di interesse.

Il puntatore ha ora la forma del puntatore di selezione( ).

Selezioniamo la parete orizzontale in basso come indica la

figura seguente.

Dal menu contestuale che compare scegliere la voce

perpendicolare.


A video compare il seguente risultato:

In blu sono indicati i solai con il simbolo della direzione di

orditura.

SALVA

Premiamo il pulsante “Salva” in alto a sinistra nella barra dei

comandi.

Questa esercitazione pratica è visibile mediante un apposito filmato disponibile al se-

guente link: Filmato

Il prossimo appuntamento è fissato per il 03 ottobre 2006

Parte 4

Teoria: Le caratteristiche del materiale muratura – Le strutture miste (muratura, c.a.,

acciaio, legno).

Pratica: Duplicazione del piano, Inserimento balconi, Presentazione modello 3D.


Parte

4

Luca Borgesa

Adriano Castagnone



IndiceIntroduzione .............................................................................................5

GEOMETRIA...............................................................................................6

Generalità ...............................................................................................6

L’indagine termografica.............................................................................6

L’indagine Georadar .................................................................................8

DETTAGLI COSTRUTTIVI .........................................................................11

Generalità ............................................................................................. 11

L’indagine endoscopica ........................................................................... 12

PROPRIETA’ DEI MATERIALI...................................................................15

Generalità ............................................................................................. 15

I martinetti piatti ................................................................................... 15

Caratterizzazioni meccaniche indirette....................................................... 22

NOTA DELL’AUTORE ................................................................................25



Parte 4 Teoria


Introduzione La recente Ordinanza Ministeriale 3274/2003, aggiornata dalla 3431/05, ha per la

prima volta sancito un protocollo univoco da adottare per la verifica della vulnerabilità

sismica degli edifici esistenti.

Riprendiamo quanto sinteticamente esposto circa le fonti utili per l’acquisizione dei da-

ti necessari a tale valutazione. Nel caso di edifici in muratura esaminiamo i seguenti

argomenti:

• Geometria

• Dettagli costruttivi

• Proprietà dei materiali

Ci prefiggiamo, nel seguito, di approfondire il ruolo delle metodologie diagnostiche in

sito che trovano applicazione in tale ambito, cercando di evidenziare per ognuna le

potenzialità, le limitazioni ed il corretto campo di impiego.


GEOMETRIA

Generalità La conoscenza della geometria strutturale dell’edificio parte per definizione dalla fase

di rilievo visivo. Risultano peraltro immediatamente evidenti le limitazioni dovute

all’impossibilità di acquisire informazioni complete circa elementi non accessibili, a

meno di ricorrere in maniera sistematica ad operazioni di scasso e demolizione soven-

te non praticabili. Vediamo dunque quali possono essere le metodologie in grado di

gettare uno sguardo “ dentro “ la struttura in maniera non invasiva.

L’indagine termografica Un’immagine termografica di un oggetto consiste essenzialmente in una mappa cro-

matica estremamente dettagliata della sua temperatura superficiale. In una situazione

di “non equilibrio” termico, come quella di un paramento murario esposto fisiologica-

mente a cicli di riscaldamento e raffreddamento, la temperatura superficiale è condi-

zionata dal calore specifico e dalla conducibilità termica degli elementi che lo costitui-

scono. Piccole differenze in questi parametri causano quindi un profilo termico superfi-

ciale che ricalca esattamente gli elementi costituenti e che risulta visibile anche attra-

verso uno strato di ricoprimento. Ne consegue che questa metodologia è ideale per

evidenziare con estrema precisione la tessitura sotto intonaco di un paramento, evi-

denziando elementi assolutamente non rilevabili con un’osservazione nel visibile. Nelle

due immagini proposte a titolo di esempio (Fig.1, Fig.2) (immagine nel visibile e im-

magine nell’infrarosso) è evidenziato il rilevo di una finestrella murata a sesto ribassa-

to (A2), di una struttura ad architrave e piedritti (A3) e della sommità della parete in

conci (linea verde tratteggiata) verosimilmente ricostruita o rialzata in una fase suc-

cessiva (1).

(1) Edoardo Geraldi, Pina Radicchi – CNR Istituto per i Beni Archeologici e Monumentali – Sezione di

Studi Federiciani - Potenza


Fig.1- immagine nel visibile

Fig.2- immagine nell’infrarosso

Tra i principali pregi di questa metodologia vi è senza dubbio la capacità di investigare

in maniera completamente non distruttiva ampie porzioni della struttura, con una

speditività inarrivabile per qualsiasi altro tipo di indagine. Per contro bisogna notare

che l’affidabilità dei responsi può essere compromessa da situazioni di irraggiamento

scarso o non uniforme, così come da fenomeni quali il distacco di intonaco o la pre-

senza di umidità (fenomeni che peraltro costituiscono essi stessi un obiettivo consoli-

dato dell’indagine termografica) che rendono in ogni caso irrinunciabile

l’interpretazione da parte di personale qualificato. E’ inoltre da tener presente che, da-

to il principio fisico su cui si basa la metodologia, la profondità di indagine, funzione

essenzialmente della risoluzione termica della strumentazione e delle condizioni di ir-

raggiamento, è comunque dell’ordine dei centimetri.


L’indagine Georadar La metodologia geofisica Georadar (o G.P.R. - Ground Penetrating Radar) permette di

investigare sulla struttura e sulla composizione del mezzo in esame attraverso l’analisi

delle riflessioni di onde elettromagnetiche ad alta frequenza inviate nel terreno. Il si-

stema G.P.R. invia nel terreno impulsi elettromagnetici di una determinata frequenza

tramite un trasduttore (antenna). L’impulso si propaga verticalmente nel terreno con

una certa velocità; quando incontra un’interfaccia (superficie di contatto tra due mate-

riali diversi) parte dell’impulso viene riflessa verso la superficie e raccolto dalla stessa

antenna. Le proprietà fisiche dei materiali che governano la propagazione delle onde

elettromagnetiche sono la costante dielettrica e l’attenuazione. Una sezione GPR si ef-

fettua ripetendo il ciclo di trasmissione e ricezione innumerevoli volte spostando pro-

gressivamente l’antenna lungo una direzione prefissata; il programma di elaborazione

provvede ad accostare opportunamente le tracce dei segnali ricevuti, componendo un

diagramma distanza percorsa vs. profondità in cui i segnali appaiono in varie tonalità

di colore (o di grigio), in funzione della loro intensità.

La metodologia è stata sviluppata originariamente per applicazioni di carattere geolo-

gico, o comunque per indagini sul sottosuolo (ricerche archeologiche, mappatura dei

sottoservizi) ma l’introduzione sul mercato di antenne ad alta frequenza (minor pro-

fondità di indagine ma altissima risoluzione) ha reso il suo impiego anche per le inda-

gini su strutture.

Nell’esempio proposto (Fig.3) è presentato il rilievo su un solaio a volte; si può osser-

vare il riscontro fedelissimo tra le anomalie rilevate sulle sezioni e le tipologie costrut-

tive investigate.


Fig.3


E’ da segnalare comunque come sovente il calcolo preciso delle profondità in gioco,

(tipicamente lo spessore di un muro o di una volta) non possa prescindere da una ta-

ratura dello strumento su uno spessore noto, a causa delle ampie variazioni dei para-

metri di costante dielettrica e attenuazione tipiche dei normali materiali da costruzio-

ne.


DETTAGLI COSTRUTTIVI

Generalità Citando le specifiche della normativa antisismica, i dettagli costruttivi da esaminare

sono relativi ai seguenti elementi:

a) qualità del collegamento tra pareti verticali;

b) qualità del collegamento tra orizzontamenti e pareti ed eventuale presenza di

cordoli di piano o di altri dispositivi di collegamento;

c) esistenza di architravi strutturalmente efficienti al di sopra delle aperture;

d) presenza di elementi strutturalmente efficienti atti ad eliminare le spinte e-

ventualmente presenti;

e) presenza di elementi, anche non strutturali, ad elevata vulnerabilità;

f) tipologia della muratura (a un paramento, a due o più paramenti, con o senza

collegamenti trasversali,...), e sue caratteristiche costruttive (eseguita in mat-

toni o in pietra, regolare, irregolare, ...).

Sicuramente tali informazioni non possono prescindere in generale dall’esecuzione di

un numero anche minimo di interventi di scasso e osservazione diretta, ma è opportu-

no altresì segnalare come entrambe le metodologie fin qui presentate (termografia e

georadar) si rivelino preziose anche in questo ambito.

Fra i punti di sopra elencati l’ultimo in particolare riveste un’importanza fondamentale,

in quanto è proprio la tipologia costruttiva del paramento a definire quali siano i pa-

rametri meccanici di riferimento da adottare nel calcolo, secondo quanto specificato

nell’allegato 11.D dell’Ordinanza.


L’indagine endoscopica Proprio in riferimento alla necessità di definire correttamente la struttura del para-

mento, in abbinamento all’esecuzione di saggi sotto intonaco, si rivela di estrema utili-

tà l’impiego dell’indagine endoscopica (Fig.4).

Fig.4

L’utilizzo di opportuni sistemi di ispezione in foro consente infatti di estendere

l’indagine visiva in maniera minimamente invasiva all’interno della struttura in que-

stione, permettendo il rilievo esatto della stratigrafia, e fornendo preziose informazioni

sulle eventuali difettologie interne (macroporosità, fessurazioni, qualità dei giunti di

malta).

Sono ad oggi disponibili diverse tipologie di strumento per l’indagine endoscopica;

vengono classificati come boroscopi gli strumenti rigidi, di lunghezza variabile, muniti

di illuminazione a fibre ottiche (luce fredda) o alogena in prossimità dell’obiettivo (luce

calda). Hanno l’ovvia limitazione dimensionale data dalla struttura rigida, ma garanti-

scono una qualità ottica inarrivabile per strumenti flessibili. I fibroscopi sono strumenti


flessibili che sfruttano le fibre ottiche sia per portare la luce all’obiettivo, sia per porta-

re l’immagine all’oculare; la possibilità di procedere ad osservazioni visive anche lungo

percorsi non rettilinei è un indubbio vantaggio ma la retinatura dovuta al sistema a

fibre ottiche discreto rende l’immagine di qualità inferiore a quella dei sistemi rigidi.

Viene proposto come esempio (Fig.5) un rilievo endoscopico eseguito su una volta af-

frescata, che ha permesso di indagare con precisione la struttura definendone la stra-

tigrafia, la tipologia dei materiali adoperati, lo stato conservativo degli stessi.


Fig.5


PROPRIETA’ DEI MATERIALI

Generalità La muratura è evidentemente un materiale disomogeneo che presenta fisiologicamen-

te almeno due problematiche per la sua caratterizzazione meccanica. Risulta infatti

costituito da almeno due componenti (malta e laterizio o concio lapideo) e il definire le

caratteristiche meccaniche dei due separatamente non porta automaticamente a pre-

vedere il comportamento dell’insieme. Le dimensioni degli elementi inoltre fanno sì

che un provino rappresentativo della struttura sia di dimensioni notevoli e quindi un

campionamento di materiale non disturbato (per una prova meccanica di laboratorio)

risulti assai laborioso quando non impossibile.

Viene di seguito illustrata la metodologia di prova più diffusa (e riconosciuta come va-

lida dalla normativa antisismica) in quanto in grado di caratterizzare una porzione suf-

ficientemente estesa di muratura (campione rappresentativo) evitando le problemati-

che connesse al prelievo di materiale (campione non disturbato).

I martinetti piatti L'indagine completa si compone di due fasi distinte.

Prova con martinetto singolo (Fig.6): Tre coppie di capisaldi di riferimento vengono

fissati a cavallo di un giunto di malta e se ne misura la distanza. Si procede quindi al

taglio della muratura con opportuno utensile e si misura di quanto i capisaldi si sono

avvicinati in seguito al rilascio delle tensioni residue nella zona in prossimità del taglio.

Si procede inserendo nel taglio il martinetto della forma più adatta (in funzione del si-

stema di taglio adottato sono disponibili modelli rettangolari, semicircolari o semiovali

di spessore compreso tra 4 e 8mm) e lo si porta in pressione con un unità di pressu-

rizzazione idraulica, a step crescenti, misurando le corrispondenti variazioni di distan-

za fra i capisaldi. La pressione che riporta i capisaldi ad una distanza uguale a quella

esistente prima del taglio risulta coincidere, a meno di alcune costanti legate al dispo-

sitivo di prova, con il carico statico che insiste sul paramento in questione.


Fig. 6

Prova con martinetto doppio (Fig. 7): Consiste in una vera e propria prova di com-

pressione in sito. Si esegue un secondo taglio parallelo al primo a una distanza di circa

mezzo metro e vi si inserisce un secondo martinetto. Tre coppie di capisaldi vengono

disposte verticalmente sulla porzione di muratura compresa fra i due tagli e

un’ulteriore coppia viene disposta centralmente all’area di prova, su un allineamento

parallelo ai tagli.


Fig. 7

Le variazioni di distanza fra questi riferimenti al crescere della pressione (Fig.8) costi-

tuiscono i punti della curva sforzo-deformazione da cui è possibile ottenere i valori di

modulo elastico, coefficiente di Poisson, carico di rottura.

Fig.8


La principale limitazione della prova con i martinetti doppi consiste nella necessità di

operare su una porzione di muratura sulla quale gravi un carico sufficiente a contra-

stare la spinta verso l’alto impartita dal martinetto. Ne consegue che nella pratica

questo tipo di indagine venga solitamente svolta al piano terra e si ricorra per i livelli

superiori dell’edificio a prove di altro tipo.

Vengono di seguito riportati i tipici diagrammi relativi ad una prova di martinetto sin-

golo + martinetto doppio da cui è possibile ricavare tutti i parametri sopra elencati

(Fig.9).

Fig.9- Dati rilevati nella prova del martinetto singolo

Si può qui rilevare l’andamento della differenza tra la distanza prima del taglio e le di-

stanze misurate in corrispondenza delle pressioni crescenti imposte (entrambe queste

grandezze sono media delle tre letture corrispondenti alle tre coppie di capisaldi). In

ascissa è riportata la pressione effettiva sulla muratura σ, legata alla pressione p letta

al manometro dell’unità di pressione dalla seguente espressione:


pKK ma **1=σ con

K1a = rapporto tra l’area del martinetto e l’area del taglio

Km= costante di deformabilità del martinetto, fornita dal costruttore

I valori rilevati sono interpolati da una retta di regressione, che intercetta l’ascissa in

corrispondenza del valore fs corrispondente alla tensione attuale che insiste sul para-

mento.

Fig.10- deformazioni longitudinale e trasversale al crescere della pressione, misurati

nel corso della prova di martinetto doppio

Analogamente al caso precedente la tensione esercitata sulla muratura è legata alla

pressione letta al manometro dalla seguente espressione:

pKK ma **2=σ con

K2a = media dei rapporti fra le aree dei due tagli e l’area del martinetto.

Le due curve sono interpolate mediante metodo dei minimi quadrati con espressioni

polinomiali (di ordine variabile tra 3 e 5) in grado di fornire un’espressione analitica


delle deformazioni. Sono inoltre evidenziati i valori di tensione attuale fs e di tensione

di rottura fr corrispondente all’ultimo punto di misura (quando si siano manifestati fe-

nomeni fessurativi osservabili) ovvero al punto in cui si ha una netta deviazione dal

comportamento elastico.

(Fig.11): Derivata della funzione deformazione longitudinale ottenuta dal precedente

grafico, corrispondente al modulo di elasticità E relativo alle varie tensioni. Anche in

questo caso viene evidenziata la deformazione corrispondente alla pressione fs, che

intercetta la curva al valore Es, modulo di elasticità effettivo al valore tensionale attua-

le.

Fig.11


(Fig.12): sono qui riportate le deformazioni longitudinale e trasversale rilevate alle va-

rie pressioni nella prova di martinetto doppio. Il loro rapporto definisce il coefficiente

di Poisson ν e anche qui al valore di pressione fs si può definire il valore νs corrispon-

dente alla tensione attuale.

Fig.12


Caratterizzazioni meccaniche indirette La metodologia più indicata per una valutazione qualitativa non invasiva della muratu-

ra è sicuramente l’indagine sonica. In assoluta analogia a quanto largamente praticato

su strutture in calcestruzzo, l’indagine consiste nella determinazione della velocità di

transito di un impulso sonoro trasmesso attraverso il paramento (Fig.13, Fig. 14).

Fig.13


Fig.14

La differenza nei dispositivi di misura consiste essenzialmente nelle diverse frequenze

utilizzate; in un materiale fortemente eterogeneo e fonoassorbente come una muratu-

ra infatti l’impulso ultrasonoro proprio delle sonde piezoelettriche da calcestruzzo

(normalmente 40-60kHz) risulterebbe troppo attenuato e si deve quindi ricorrere ad

altri tipi di energizzazione (martello strumentato a bassa frequenza).

Vi sono poi altre indagini speditive e non distruttive mirate alla caratterizzazione della

malta (normalmente il componente meccanicamente più debole di una muratura). Es-

senzialmente si dividono in metodi di rimbalzo (sclerometro a pendolo a bassa energia

di impatto, con puntale di dimensioni ridotte – Fig.15), metodi penetrometrici (viene

misurata la profondità di penetrazione di una sonda infissa nella malta con forza co-

stante), metodi di estrazione (si rileva la forza necessaria ad estrarre un inserto appo-

sito inserito nel corso di malta).


Fig.15- Sclerometro a pendolo

E’ opportuno segnalare che, data l’estrema variabilità dei materiali costituenti le

murature, nessuna di queste metodologie è in grado da sola di esprimersi in termini

quantitativi assoluti sulle caratteristiche meccaniche dei materiali. In ogni caso esse

sono in grado di valutare qualitativamente il comportamento meccanico di varie por-

zioni di paramento, arrivando a discriminare le diverse tipologie di muratura, omoge-

nee fra loro in termini di caratteristiche meccaniche, da sottoporre alle successive in-

dagini dirette. Potendo inoltre procedere ad un confronto diretto fra metodologie diret-

te (martinetti) e indirette, queste ultime sono in grado di estendere l’informazione

quantitativa ottenuta localmente ad altre regioni di prova in maniera completamente

non distruttiva.


NOTA DELL’AUTORE Per ogni ulteriore contatto, approfondimento, rimando bibliografico si rimanda a:

gt studio – indagini in sito

Tel: 011 6680251 Fax: 011 6501007

www.gtstudioservice.it

[email protected]

Si ringrazia il Dott. Mario Ferguglia per il contributo e la documentazione grafica forni-

ta relativa alla metodologia Georadar

www.georadar.it

http://www.gtstudioservice.it/

mailto:[email protected]

http://www.georadar.it/

Parte 4 Pratica



Inizio

INIZIO

APRI






“Esempio”

Con la quale avevamo lavorato la lezione precedente.

“Struttura” Selezionare l’ambiente struttura


In alto a sinistra nell’area grafica vediamo l’indicatore di “li-

vello attivo”. Questo ci permette di capire che stiamo lavo-

rando sul primo piano.

Passiamo ora a creare piani successivi al primo.

GESTIONE LIVELLI

Premendo il pulsate “Gestione Livelli” viene visualizzata la

finestra seguente.

Premiamo il pulsante “Duplica”

La finestra della gestione dei livelli viene aggiornata con la

definizione del nuovo piano, coppia esatta del primo già inse-

rito.


N.B. Se avessimo premuto il pulsante “Nuovo” si sarebbe creato

un nuovo livello completamente vuoto in attesa

dell’inserimento della definizione degli elementi strutturali.

Nella gestione dei livelli, il simbolo ” ” indica il livello attivo

(quello su cui stiamo lavorando).

Quando la riga che definisce il “Livello 2” è selezionata,

premiamo il pulsante “Attiva livello”.

Nella gestione dei livelli il simbolo ” ” ci indica che il livello 2

è stato attivato e che siamo pronti a lavorarci.

Premiamo il pulsante “OK” nella finestra di gestione dei livelli

per confermare l’inserimento.

L’indicatore in alto a sinistra indica che il livello attivo è il

secondo.


Decidiamo che questa parte dell’edificio è presente solamente

al piano terreno ma non al piano superiore.

Procediamo ad eliminare al piano attivo il corpo strutturale

selezionato.

ELIMINA SOLAIO

TASTO DESTRO

MOUSE

Posizioniamoci in corrispondenza del simbolo del solaio e

selezioniamolo con il tasto destro del mouse.

In seguito alla visualizzazione del menu contestuale

selezioniamo la voce “Elimina”.


ELIMINA APERURA

Eliminiamo le aperure evidenziate nella figura

TASTO DESTRO

MOUSE

Selezioniamo l’apertura col tasto destro del mouse (appare

evidenziata in rosso) e selezioniamo la voce “Elimina”.

Ripetiamo l’operazione per le ulteriori due aperture da

eliminare.


ELIMINA MURATURE

Dobbiamo eliminare la definizione “Pannello murario”

assegnata al Livello2 in corrispondenza dei segmenti di parete

evidenziati in rosso nella figura seguente.

DEFINIZIONE

CARATTERISTICHE

Premiamo il pulsante “Definizione caratteristiche”, viene

mostrato il puntatore di selezione “ ” .

Selezioniamo in sequenza i tre segmenti di parete sopra

evidenziati.


Premendo il tasto destro del mouse viene confermata la

selezione e mostrata la seguente finestra.

TASTO DESTRO

MOUSE

Notiamo che è attivo il pulsante “Nessuna definizione”

Confermiamo con “OK” per eliminare la definizione degli

elementi strutturali selezionati.


BALCONI

BALCONE

Premiamo il pulsante “Balcone” .

Viene visualizzata la finesta di definizione dei balconi.

Manteniamo i carichi e i coefficenti moltiplicativi inalterati


Inseriamo le dimensioni del balcone:

Premiamo il pulsante “OK”.

La finestra dei balconi resta aperta con il pulsante “OK” in

grigio in attesa che inseriamo i balconi.

Clicchiamo sulla parete in corrispondenza dell’asse dell’

apertura (1) evidenziata nella figura seguente.


Dopo aver cliccato sull’apertura si deve cliccare a lato della

parete dove desideriamo posizionare il balcone (esternamente

alla struttura).

Ripetiamo la medesima procedura per l’apertura (2)

Interrompiamo l’inserimento TASTO DESTRO

MOUSE

A video compare il seguente risultato:


Le aperture in corrispondenza dei balconi sono delle finestre,

modifichiamole per farle diventare porte.

TASTO DESTRO

MOUSE

Posizioniamo il mouse sull’apertura evidenziata nella figura

seguente e clicchiamo con il tasto destro del mouse.

Dal menu contestuale scegliamo “Modifica”


Viene presentata la seguete finestra

Correggiamo h1 e h2 in modo da realizzare una porta

Premiamo il pulsante “OK”

Ripetiamo la procedura appena descritta anche per l’altra

apertura.


SOSTITUZIONE DEL SISTEMA PILASTRO+TRAVE DEL SECONDO PIANO CON

MURATURA PORTANTE

ZOOM FINESTRA

Ingrandiamo nell’intorno del pilastro centrale per vederlo

meglio.

Con il comando “Zoom finestra” tracciamo una finestra

attorno al pilastro.


ELIMINIAMO IL PILASTRO

TASTO DESTRO

MOUSE

Selezioniamo il Bordo del pilastro con il tasto destro del

mouse e selezioniamo “Elimina” dal menu contestuale che

viene visualizzato.

N.B.: Selezionare il bordo del pilastro e

non il nodo centrale.

Notiamo che il pilastro è stato

eliminato.

Si vede in grigio il pilastro ancora

presente al piano inferiore.

Il nodo centrale al quale era assegnato il pilastro è ancora

presente.

ELIMINIAMO IL NODO Selezioniamo il nodo con il tasto destro del mouse e

selezioniamo “Elimina”


Premendo questo pulsante si visualizza interamente la pianta

del modello.

ZOOM ESTENSIONI

SOSTITUZIONE DELLA TRAVE CON UNA MURATURA

TASTO DESTRO

MOUSE

Selezioniamo con il tasto destro del mouse la parete eviden-

ziata nella figura seguente.

Nel menu contestuale che compare scegliamo la voce “Modifi-

ca”.

Viene visualizzata la finestra seguente:


Premiamo il pulsante “Pannello murario”


Associamo allo spessore il valore di 40cm

Inserito il valore dello spessore confermare con il tasto “OK”

VISTA 3D Poter vedere l’edificio che abbiamo realizzato in assonometria

è uno strumento versatile per controllare rapidamente il mo-

dello inserito.

Nella barra verticale di sinistra selezioniamo il pulsante “Vista

3D”.

VISTA 3D

A video compare una nuova finestra come quella illustrata nel

seguito.

TASTO DESTRO

MOUSE

Posizionando il puntatore nell’area grafica della finestra in

questione, premiamo il tasto destro del mouse.

Tenendo premuto il tasto muoviamo il mouse, possiamo così

ruotare il modello per visualizzarlo da punti di vista differenti.


I filtri presenti nella parte alta della finestra ci permettono di

nascondere alcuni degli elementi strutturali visualizzati.

Premiamo il pulsante solaio per vedere internamente

all’edificio senza i solai.

FILTRO SOLAIO


Ruotando in modo opportuno il modello possiamo notare il

sistema pilastro+trave al piano terra che sostiene la muratura

portante ai piani superiori.

TORNA AMBIENTE

DI PROGETTO

Il pulsante “Torna all’ambiente di progetto”, visibile nella

barra verticale di sinistra, permette di uscire dal 3D.

Premiamolo


Premiamo il pulsante “Salva” in alto a sinistra nella barra dei

comandi.

SALVA




Parte 5

Teoria: Descrizione dell’Analisi non Lineare (push-over)

Pratica: L’analisi non lineare – La creazione della mesh - L’inserimento dei Parametri Sismici

Normativi, Il calcolo


Parte

5

Luca Borgesa

Adriano Castagnone



Indice

Analisi statica non lineare.............................................................................. 4

L’analisi pushover.......................................................................................... 9

Analisi Pushover – Dalla teoria alla pratica.................................................. 10

Costruire il modello...................................................................................... 14

Inizio .......................................................................................................14


Analisi statica non lineare Numerose procedure di calcolo e verifica, adottate in svariati paesi nella moderna le-

gislazione progettuale antisismica, propongono una descrizione della risposta struttu-

rale in termini di spostamenti piuttosto che di forze, tenuto conto della maggiore sen-

sibilità del danneggiamento agli spostamenti imposti. Anche la normativa italiana pro-

pone un metodo che utilizza l’analisi statica non lineare (punti 4.5.4, 8.1.5.4,

11.5.4.4).

In questo contesto giocano un ruolo centrale le procedure statiche non lineari fra le

quali si ricorda quella del metodo dello spettro di capacità (Capacity Spectrum Me-

thod, originariamente proposto da Freeman et al. 1975) e l’N2 Method (Fajfar 1999,

2000). Queste metodologie sono procedure semplificate in cui il problema della valu-

tazione della massima risposta attesa, conseguente all’accadimento di un determinato

evento sismico, è ricondotto allo studio di un sistema non lineare ad un unico grado di

libertà equivalente al modello dotato di n gradi di libertà, che rappresenta la struttura

reale (“Substitutive Structure Approach” di Shibata e Sozen, 1976).

La caratteristica comune di queste procedure è quella di basarsi sull’uso di analisi sta-

tiche non lineari (pushover) per caratterizzare poi il sistema sismico resistente tramite

curve di capacità: analisi “statiche” in quanto la forzante esterna è applicata statica-

mente alla struttura e “non lineari” a causa del modello comportamentale assunto per

gli elementi resistenti della struttura.

Tali curve intendono rappresentare l’inviluppo dei cicli d’isteresi prodotti durante la re-

alizzazione del sisma e possono essere considerate come un indicatore del comporta-

mento post-elastico della struttura.


-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

-100 -50 0 50 100

Spostamento (mm)

Tagl

io a

lla b

ase

(kN

)

La curva ottenuta dalle analisi pushover (che sarà poi trasformata in curva di capacità,

tenendo conto delle caratteristiche del sistema equivalente ad un grado di libertà) ri-

porta convenzionalmente l’andamento del taglio risultante alla base rispetto allo spo-

stamento orizzontale di un punto di controllo della struttura. Ad ogni punto della curva

può essere associato uno specifico stato di danno dell’intero sistema, ed è possibile

pertanto associare a determinati livelli di spostamento il grado di funzionalità atteso e

il danno corrispondente.

La curva è ottenuta implementando analisi pushover, che prevedono l’assegnazione di

una prefissata distribuzione di forze incrementate in maniera statica e monotona. La

distribuzione viene mantenuta inalterata anche oltre il punto limite di rottura. Le ana-

lisi possono essere condotte in controllo di forze o tramite un controllo misto forze-

spostamenti.

La distribuzione di carico applicata ha lo scopo di rappresentare la distribuzione delle

forze inerziali indotta dall’evento sismico. I profili proposti dall’Ordinanza 3431, per le

strutture in muratura sono quello coerente con la prima forma modale, approssimabile

con quello adottato per l’analisi statica lineare, e quello proporzionale alle masse. In

particolare nel caso di strutture regolari la prima distribuzione è adottata con l’intento

di cogliere al meglio la risposta della struttura in campo elastico e la seconda quella in

campo non lineare.

Si sottolinea come, fra le svariate informazioni riguardo la risposta in campo non line-

are della struttura, sulla curva taglio alla base-spostamento sia possibile valutare in

modo accurato il fattore di sovraresistenza definito dal rapporto αu/α1 (punto 8.1.3), in


cui rispettivamente α1 è definito in corrispondenza del punto della curva in cui il primo

pannello murario raggiunge la sua resistenza ultima e αu di quello in cui si ha il rag-

giungimento del 90% della massima forza resistente dell’edificio.

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035

Spostamento (m)

Tagl

io a

lla b

ase

(kN

)

α1

αu

Tale fattore fornisce una quantificazione del comportamento per cui la resistenza

strutturale (in termini di taglio alla base) ha un andamento crescente anche ben oltre

il limite elastico. Infatti, essa continua a crescere anche ben oltre il raggiungimento

del limite elastico da parte del primo pannello murario, per effetto di una ridistribuzio-

ne non lineare delle tensioni sugli altri elementi resistenti ancora in fase elastica.

La “capacità” offerta dalla struttura deve essere poi confrontata, nell’ottica di una veri-

fica sismica, con la “domanda” richiesta dalla forzante esterna, cioè da un determinato

evento sismico.

Gli effetti della dissipazione di energia, che offrono un ulteriore margine di resistenza

non spiegabile ricorrendo alla sola teoria elastica lineare, sono rilevanti soprattutto nel

campo della risposta non lineare della struttura: per tenerne conto si effettua una ri-

duzione della domanda.

La risposta attesa per l’edificio, in funzione di una determinata azione, è così ottenuta

attraverso l’identificazione del perfomance point (la cui coordinata in termini di spo-

stamenti spettrali corrisponde a d*max), intersezione tra la curva della capacità, oppor-

tunamente trasformata attraverso la definizione dell’equivalente sistema ad un unico

grado di libertà, e lo spettro della domanda elastico (in termini di accelerazione Se e

spostamento SDe), adeguatamente ridotto in funzione delle caratteristiche in fase ane-

lastica (Sanel, SDanel). Affinché queste due curve possano essere confrontate è necessa-


rio convertirle nello stesso formato, riportando in ordinate le accelerazioni spettrali ed

in ascisse gli spostamenti spettrali .

La “capacità” offerta dalla struttura e la “domanda” richiesta dal sisma sono mutua-

mente dipendenti: esse sono legate alla variazione di rigidezza e di smorzamento svi-

luppato dal sistema nel corso dell’evento. Affinché il performance point sia rappresen-

tativo di uno stato di danno, è necessario che le due curve siano associate agli stessi

parametri caratterizzanti la struttura. Come già accennato, all’incremento degli spo-

stamenti e all’evolvere dello stato di danneggiamento in ambito non lineare, infatti,

corrispondono un aumento del periodo fondamentale ed un incremento dello smorza-

mento della struttura: in genere, ciò è tenuto in considerazione tramite una riduzione

dello spettro della domanda rispetto a quello elastico.

Per effettuare questa riduzione in letteratura sono proposti due differenti approcci me-

todologici: il primo, usualmente indicato come spettro sovrasmorzato, si basa su uno

spettro elastico riferito ad un valore di smorzamento equivalente (Freeman 1978,

ATC-40 1996); l’altro si riferisce ad uno spettro anelastico ottenuto introducendo il

concetto di duttilità (Fajfar 1999, 2000, OPCM 3274/2003, Eurocodice 8).

Con riferimento agli spettri anelastici, la riduzione è operata tramite l’introduzione di

un fattore funzione della duttilità del sistema strutturale (definita come il rapporto tra

il massimo spostamento atteso per la struttura e quello corrispondente allo snerva-

mento) e del rapporto che intercorre tra il periodo elastico della struttura (T1) e quello

caratterizzante il suolo, in genere assunto pari a quello che delimita il campo dello


spettro ad accelerazione costante (Tc) (per ulteriori riferimenti si veda ad es. Fajfar

2000).

Si noti che nel caso in cui sia T1>Tc l’individuazione della massima risposta attesa del-

la struttura (d*max) coincide con l’ipotesi di uguaglianza di spostamenti tra il sistema

bilineare equivalente ed un sistema con comportamento indefinitamente elastico ca-

ratterizzato dallo stesso periodo.

Istituita la relazione tra il sistema originario e quello equivalente ad un unico grado di

libertà, è immediato ricondursi allo spostamento massimo atteso per la struttura inda-

gata.

A questo punto, nel caso delle murature, la verifica di sicurezza per questo tipo di

analisi si traduce in una verifica globale dell’edificio operata confrontando la capacità

di spostamento ultimo dell’edificio, identificata sulla curva di capacità con opportuni

criteri (punto 8.1.5.4), con la domanda di spostamento ottenuta con la logica di cui

sopra.


L’analisi pushover Un’analisi pushover è un’analisi statica monotona, condotta in controllo di spostamen-

ti, sottoponendo la struttura ad una distribuzione di forze orizzontali i cui rapporti re-

lativi vengono mantenuti invariati (variando ovviamente la risultante totale) al cresce-

re degli spostamenti.

In pratica si controlla lo spostamento orizzontale di un punto (un nodo della struttura,

il punto di applicazione della risultante, etc.) imponendo che gli spostamenti orizzon-

tali dei vari piani assumano valori tali da far corrispondere la deformata a quella con-

seguente all’applicazione delle forze orizzontali di piano secondo l’assegnata distribu-

zione. Tale procedimento è ottenuto attraverso operazioni matriciali che isolano il gra-

do di libertà controllato e operano sulla matrice di rigidezza in modo da imporre anali-

ticamente il rapporto di forze richiesto (Galasco et al., 2001) .

La scelta della distribuzione di forze è un passo molto importante per la realizzazione

di analisi pushover: assumere distribuzioni diverse, nell’ambito di quelle ragionevoli,

non produce grandi variazioni in termini di resistenza, ma può influire notevolmente

sul meccanismo di collasso.

Ovviamente, rispetto ad un’analisi statica incrementale, l’analisi pushover consente di

cogliere anche il tratto di softening dopo il raggiungimento della resistenza massima e

di seguire l’instaurarsi del meccanismo di collasso. Questa procedura è utilizzata per

eseguire analisi statiche non lineari: in tal caso la distribuzione di forze può essere ot-

tenuta automaticamente. Il solutore, scelto il nodo di controllo e lo spostamento da

applicare (direzione x o y) provvede a determinare i rapporti di forze coerenti con

l’Ordinanza 3431:

1. Distribuzione proporzionale alla masse:

con riferimento ai gradi di libertà diretti lungo la direzione dello spostamento

impresso, si determinano le masse nodali, agenti dinamicamente, eventualmen-

te corrette per considerare l’eccentricità di progetto (punto 8.1.5.4) e queste

forniscono i rapporti di forze da impiegare nella pushover.

2. Distribuzione proporzionale alla masse ed alle altezze:

tale distribuzione è assimilabile alla distribuzione della prima forma modale (punto

8.1.5.4 e punto 4.5.2). In questo caso, i rapporti di forze saranno ottenuto moltipli-

cando le masse nodali (eventualmente corrette per considerare l’eccentricità di pro-

getto) per la quota del nodo di appartenenza.


Analisi Pushover – Dalla teoria alla pratica L’esecuzione di una analisi statica non lineare porta al tracciamento della curva di ca-

pacità come quella riportata in verde nella figura seguente.

Questa curva costituisce il risultato di una analisi eseguita in controllo misto forza-

spostamento.

Grazie al controllo delle forze si gestire l’incremento dei carichi in funzione del valore

che deve assumere lo spostamento incrementato a passi regolari; controllare gli spo-

stamenti, permette di esaminare l’influenza del degrado strutturale sulla vita della

struttura dopo il superamento del valore di resistenza massima.

Dopo aver tracciato la curva, è necessario individuare il valore di spostamento ultimo .

Il punto corrispondente al valore di stato limite ultimo è quello associato ad un deca-

dimento del taglio dal suo valore massimo del 20%.

La curva che viene tracciata, è riferita all’intero edificio e mai a singoli elementi che

costituiscono la struttura.

La scelta del nodo di controllo deve essere eseguita con cura; il nodo di controllo è

quello rispetto al quale viene imposto l’incremento a passi regolari degli spostamenti .

Il nodo di controllo deve essere in corrispondenza dell’ultimo livello nei pressi del bari-

centro della pianta.


L’immagine seguente mostra il tracciamento della bilineare equivalente che, in base

alle prescrizioni normative deve intersecare la curva di capacità in corrispondenza del

70% del valore di picco del taglio.

Il posizionamento della soglia plastica (Fy*) avviene in modo da realizzare

l’equivalenza in energia tra la curva di capacità reale e quella dell’oscillatore semplice

(bilineare). L’equivalenza energetica si ottiene con l’uguaglianza delle aree sottese dai

due diagrammi.

In molteplici casi, la curva di capacità non è regolare ed evidenza irregolarità localiz-

zate come quelle illustrate nella figura seguente.


Tali irregolarità, sono sintomo di rottura di uno o più elementi strutturali importanti

che danno luogo ad una improvvisa mancanza di resistenza.

Parte 5 Pratica



Inizio

INIZIO

APRI






“Esempio”

Con la quale avevamo lavorato la lezione precedente.

“Analisi” Selezionare l’ambiente analisi

All’ingresso nell’ambiente analisi viene presentata la seguente

finestra


Per procedere alla generazione premere il pulsante “OK”

Dopo aver confermato, inizia la generazione automatica della

mesh.

Al termine della generazione della mesh viene presentata la

seguente immagine.

CONTROLLO DELLA MESH

CARICA LA PARETE

SELEZIONATA

Premiamo il pulsante “carica la parete selezionata”

Viene mostrato il puntatore di selezione .

Selezioniamo con il puntatore la parete P1 orizzontale in alto

come evidenziato dalla figura seguente.


Viene mostrata la seguente immagine:

Questa immagine mostra il telaio equivalente della parete

selezionata.

PIANTA PARETI

Premiamo il pulsante pianta pareti per tornare alla vista in

pianta precedente.

Se desideriamo vedere la mesh di tutte le pareti, è sufficiente

ripetere il comando “Carica la parete selezionata” già descritto.

CARICO

Premendo il pulsante carico, viene mostrata la seguente

finestra.

In questa maschera vengono richiesti i parametri della zona

sismica e tipologia del suolo per definire lo spettro.


La normativa adottata per le presenti verifiche è l’OPCM 3274.

Completiamo i soli parametri relativi a tale norma lasciando gli

altri invariati.

Impostiamo quanto segue:

Zona=2

Classe suolo=C

Coefficiente di importanza=1

L’inserimento della zona completa automaticamente il campo

corrispondente all’accelerazione(ag). La classe del suolo

permette il completamento automatico dei parametri dello

spettro (S, TB, TB C, TD).

Impostati i parametri come indicato qui sopra, confermiamo

l’inserimento premendo il pulsante “OK”.

Il programma presenta all’utente la seguente richiesta:


Confermiamo l’operazione premendo il tasto “OK” nella

suddetta finestra.

PROCEDIAMO AL CALCOLO DELLA STRUTTURA

Premiamo il pulsante “Azione sismica” per visualizzare la

finestra seguente in cui compaiono i parametri da definire per

eseguire il calcolo.

AZIONE SISMICA

Vediamo nell’area centrale una tabella che presenta le 24

analisi pushover possibili, ottenibili combinando distribuzioni di

carico differenti con le direzioni di azioni del sisma e con

eventuali eccentricità.

Nel caso in esame decidiamo di eseguire tutte le analisi

possibili.

Nell’area “Abilita analisi” selezioniamo tutte le direzioni,

entrambe le tipologie di carico e tutte le eccentricità possibli.


Prendiamo un nodo di controllo al “Livello 2” come proposto dal

programma.

Possiamo spostare la finestra di calcolo presentata a video per

andare a leggere il numero del nodo di controllo.

Nel caso in esame la scelta ricade sul nodo evidenziato nella

figura seguente.

Leggiamo il numero del nodo. (nel mio caso il nodo è il numero

28). Letto l’identificativo del nodo, inseriamolo nell’apposito

spazio scegliendolo dal menu dei nodo disponibili.

Definiti questi parametri, premiamo il tasto “OK” per procedere

al calcolo.


Premiamo “Si”.

Il programma inizia così il calcolo.

Questa fase può durare diversi minuti (il tempo di calcolo di-

pende dalla velocità del computer usato).

In basso a sinistra nella barra del programma compare

l’indicazione dello stato di avanzamento del programma rap-

presentato mediante l’indicatore dell’analisi di cui si sta ese-

guendo il calcolo e il tempo di calcolo.

E’ necessario attendere che il programma esegua tutte le 24

analisi fino a quando scompare la scritta di “Esecuzione Analisi”





Parte 6

Teoria: L’interpretazione dei risultati

Pratica: La presentazione dei risultati – L’Analisi del comportamento della struttura - La Rela-

zione di Calcolo


Parte

6

Luca Borgesa

Adriano Castagnone



IndiceCurva di Capacità ......................................................................................4

Determinazione della curva di capacità bilineare equivalente........................9

Verifica di sicurezza ............................................................................. 11


Inizio ................................................................................................. 14


Curva di Capacità Come già indicato nelle parti precedenti, obiettivo dell’analisi non lineare (push over)

è la costruzione della curva di capacità che esprime il comportamento della struttura

al progressivo aumento del carico, sino al raggiungimento delle condizioni (convenzio-

nali) di collasso.

Il tracciamento della curva avviene imponendo distribuzioni di carico precisate dalla

normativa stessa ai punti 4.5.4.2 e 8.1.5.4: devono essere almeno due, di cui una

proporzionale alle masse e l’altra coerente con la prima forma modale, approssimabi-

le, nel caso degli edifici in muratura, con quella adottata nell’ambito dell’analisi statica

lineare.

L’applicazione di almeno due distribuzioni di forze è finalizzata all’individuazione di di-

versi inviluppi che siano rappresentativi della risposta strutturale e della differente ri-

distribuzione delle azioni fra gli elementi conseguente all’evoluzione del comportamen-

to in ambito non lineare, influenzata certamente dall’input sismico sollecitante la strut-

tura.

Direzione di applicazione delle forze Distribuzione applicata Proporzionale alle masse ± X Proporzionale alle masse x altezze Proporzionale alle masse

± Y Proporzionale alle masse x altezze

In definitiva per ciascun modello indagato è necessario compiere 8 analisi.

Finora si è fatto riferimento ad un modello di calcolo che tenesse conto solo della ec-

centricità propria della struttura, legata alla non coincidenza del baricentro delle mas-

se e di quello delle rigidezze.

Tuttavia l’Ordinanza (punto 4.4), come già precisato, prescrive di considerare

un’ulteriore eccentricità accidentale eai.

eai=+/-5%L

L: dimensione massima del piano in direzione perpendicolare all’azione sismica.

Ne consegue che occorre considerare tanti modelli di calcolo quante sono le posizioni

che può assumere il centro di massa in considerazione di tale eccentricità accidentale

nelle direzioni X ed Y; tutte le 8 analisi base devono essere effettuate senza

eccentricità, con eccentricità positiva, con eccentricità negativa; l’inviluppo di tutte

queste condizioni porta ad individuare un totale di 24 analisi.


Si precisa che la curva di capacità risultante, per ciascun caso esaminato, con le dovu-

te precisazioni nell’ambito della modalità di verifica e di definizione dello spostamento

ultimo, è la medesima sia nel caso dell’approccio agli SLU sia di quello agli SLD, poi-

ché i carichi agenti sulla struttura (come risultanti dal punto 3.3) sono gli stessi.

Un ulteriore importante valore da definire consiste nella determinazione della condi-

zione fino a cui è necessario spingere l’analisi. Ciascun passo dell’analisi può essere

tradotto in un preciso livello di funzionalità della struttura caratterizzato da un deter-

minato quadro di danneggiamento degli elementi strutturali. Ora è evidente che, se da

un punto di vista puramente numerico, l’analisi potrebbe spingersi indefinitamente, da

un punto di vista concettuale e soprattutto nel rispetto dei limiti definiti in termini di

sicurezza e operatività, “ad un certo punto” il risultato dell’analisi non può essere più

considerato accettabile.

A tale riguardo l’Ordinanza 3431 definisce al punto 8.1.5.4 la capacità di spostamento

relativa agli stati limite di danno e ultimo valutata in corrispondenza dei seguenti pun-

ti:

- Stato limite di danno: dello spostamento minore tra quello corrispondente al

raggiungimento della massima forza e quello per il quale lo spostamento relati-

vo fra due punti sulla stessa verticale appartenenti a piani consecutivi eccede i

valori riportati al punto 4.11.2 (spostamento di interpiano - drift - pari, per gli

edifici in muratura ordinaria, al valore di 0.3% dell’altezza dell’interpiano);

- Stato limite ultimo: dello spostamento corrispondente ad una riduzione della

forza non superiore al 20% del massimo.

Operativamente, nel corso dell’analisi, lo spostamento del nodo di controllo deve esse-

re incrementato fino al raggiungimento delle condizioni sopra esposte.

Nella figura seguente è evidenziato, per il passo corrente (un qualsiasi passo interme-

dio) il quadro dello stato di danneggiamento della parete maggiormente interessata

per la direzione di applicazione delle forze considerata: risultano così evidenziati gli

elementi che hanno raggiunto e superato la propria capacità ultima di spostamento ed

il corrispondente modo di collasso (taglio o pressoflessione).


Sono presentati gli elementi rotti

per ciascun passo intermedio in

modo da informarci della pro-

gressiva rottura degli elementi.

In particolare, le due distribuzioni di carico evidenziano differenti meccanismi di col-

lasso: meccanismo di piano debole per quella proporzionale alle masse e meccanismo

legato al collasso delle fasce per quella proporzionale al prodotto delle masse per la

relativa altezza.

Pertanto, mentre nel primo caso il crollo della capacità della struttura del 20% è im-

mediato a seguito del collasso dei maschi del livello a piano terra, nel secondo caso la

riduzione della capacità è più graduale, in considerazione del progressivo collasso delle

fasce ai vari livelli. Il collasso delle fasce porta, in riferimento alla risposta della singo-

la parete, ad un minore grado di accoppiamento tra i maschi e dunque complessiva-

mente ad una graduale disarticolazione del complesso a telaio equivalente.

E’ evidente che in questo secondo caso si sfruttano maggiormente le risorse in campo

non lineare della struttura. In tal senso pertanto è da evitare con opportuni interventi

l’instaurarsi di meccanismi di piano, che evidenziano in qualche misura un comporta-

mento più fragile.


Si rileva pertanto come, sebbene in termini di taglio massimo sviluppato alla base non

vi siano sostanziali differenze, la capacità di spostamento ultima sia notevolmente in-

fluenzata dal meccanismo di collasso attivato dalla distribuzione di forze applicata.

Si consideri infine il confronto tra le curve di capacità risultanti con differente verso di

applicazione, ma a parità di distribuzione di forze considerata.

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035Spostamento (m)

Tagl

io a

lla b

ase

(N)

nodo 302_verso negativo

nodo 302_verso positivo

Le due curve si differenziano nel momento in cui qualche elemento esce dal campo

lineare, come lecito aspettarsi ad esempio a causa delle asimmetrie presenti nella di-

stribuzione delle rigidezze e in quella delle masse. Tuttavia in termini globali non si

evidenziano sostanziali differenze.

Si considerino due curve, relative alla distribuzione di forze proporzionale al prodotto

delle masse per le altezze, per ciascuna delle due direzioni X e Y. Esaminiamone il

comportamento a Stato limite di Danno.


Direzione X

Direzione Y

Si evidenzia come, per entrambe le direzioni, lo spostamento in corrispondenza del

quale si ha il raggiungimento del massimo taglio di base è minore di quello per cui è

raggiunto il valore di spostamento d’interpiano pari a 0.3% dell’altezza d’interpiano.

Tale considerazione vale in generale anche per entrambe le distribuzioni di forze.


Questo risultato è assolutamente ragionevole in quanto il valore di drift pari a 0.3%

dell’altezza d’interpiano può essere associato ad uno stato di danneggiamento mode-

rato e diffuso; dunque è un valore piuttosto alto e che si realizza presumibilmente a

seguito del collasso di alcuni elementi.

Determinazione della curva di capacità bilineare equivalente

L’approccio metodologico di verifica proposto nell’Ordinanza 3431 (punto 4.5.4) si

basa sull’ipotesi fondamentale che la risposta del sistema originario ad n gradi di liber-

tà (gdl) possa essere correlata a quella di un opportuno sistema equivalente ad un u-

nico grado di libertà.

Pertanto, nota la curva di capacità taglio alla base – spostamento della struttura, il

passo successivo consiste nella sua conversione nella curva di capacità bilineare del

sistema equivalente (punti 4.5.4.3 e 8.1.6).

Per il passaggio dalle coordinate espresse sinteticamente come Fb-dc (taglio alla base,

spostamento orizzontale del nodo di controllo), riferite al sistema ad n gradi di liber-

tà(edificio), a quelle F*-d* del sistema equivalente (con una notazione coerente con

quella utilizzata dall’Ordinanza), è necessaria la preliminare valutazione del coefficien-

te di partecipazione Γ .

Fb-dc

Edificio

F*-d*

sistema

Equivalente

coefficiente di partecipazione

( Γ )

Omettiamo in questa sede il calcolo del coefficiente di partecipazione per evitare di

appesantire questa trattazione con innumerevoli formule.


Il passo successivo consiste nella conversione della curva taglio alla base – sposta-

mento nella curva di capacità bilineare equivalente.

Già nella lezione precedente di questo corso, si era parlato di bilineare equivalente,

entriamo ora maggiormente in dettaglio.

Per la definizione univoca di tale bilineare è necessaria l’imposizione di tre condizioni,

che l’Ordinanza 3431 propone (punti 4.5.4.3 e 8.1.6) relativamente alle seguenti

grandezze:

- k* : rigidezza elastica individuata tracciando la secante alla curva taglio alla ba-

se - spostamento nel punto corrispondente ad un taglio alla base pari a 0.7 vol-

te il valore massimo;

- F*: resistenza massima ottenuta tramite l’uguaglianza delle aree sottese dalle

curve tracciate fino allo spostamento ultimo del sistema;

- du*: spostamento ultimo pari a quello della curva taglio alla base - spostamento in

corrispondenza della riduzione del 20% del valore massimo del taglio alla base.

Si precisa che il criterio adottato per la definizione della resistenza massima del siste-

ma equivalente F*y è basato principalmente su considerazioni di tipo energetico; l’area

sottesa infatti da tali curve, che rappresentano in qualche misura l’inviluppo dei cicli

d’isteresi, è legata proporzionalmente all’energia dissipata dal sistema.


Si noti come, nel caso dello stato limite ultimo e di quello di danno, i criteri adottati

per la conversione nella bilineare siano i medesimi, con la precisazione che il rispetto

della condizione legato all’uguaglianza delle aree sottese deve essere riferita ad una

capacità di spostamento diversa nei due casi, come precisato nel paragrafo preceden-

te.

Verifica di sicurezza

La verifica della struttura avviene in termini globali e non puntuali, diversamente da

quanto accade per le analisi lineari.

Tale differenza risiede nel diverso approccio intrinseco nella modalità stessa di analisi.

Mediante l’analisi non lineare si tiene in conto, come del resto già evidenziato, della

ridistribuzione delle azioni sugli elementi quando uno o più di essi superi il limite ela-

stico o pervenga a collasso: in tal senso sarebbe privo di significato effettuare una ve-

rifica in termini di resistenza al pari dell’analisi statica lineare.

In altri termini, la verifica viene operata confrontando la risposta massima in sposta-

mento, che rappresenta la risposta attesa per la struttura conseguente

all’accadimento di un determinato evento sismico, con la capacità ultima del sistema

definita opportunamente sulla curva ricavata tramite l’analisi pushover.

La verifica si ritiene soddisfatta quando l’operazione di confronto, effettuata per tutte

le curve considerate (per ciascuna direzione e per ogni possibile combinazione

dell’eccentricità accidentale aggiuntiva) risulti positiva in ogni caso.

Nel seguito riportiamo in sintesi dei controlli da eseguire in merito alle verifiche a SLU

e SLD.


Stato limite Ultimo (SLU):

max uD D≤

Dmax: Spostamento massimo richiesto dalla normativa individuato dallo spettro

elastico.

Du: Spostamento massimo offerto dalla struttura corrispondente con il decadi-

mento della curva Push-over di un valore pari al 20% di quello massimo.

q* < 3

q*: rapporto tra la forza di risposta elastica e la forza di snervamento del si-

stema equivalente.

Stato limite di Danno (SLD):

maxSLD

dD D≤ SLDDmax :Spostamento massimo richiesto dalla normativa, calcolato come per

Dmax assumendo 2.5gSLD

g

aa =

Dd: Spostamento massimo allo SLD, corrispondente al minimo valore tra quello

di taglio massimo e quello che causa il superamento del valore massimo di drift

di piano (0.003).

Parte 6 Pratica



Inizio

INIZIO

APRI






“Esempio”

con la quale avevamo lavorato la lezione precedente.

“Analisi” Selezioniamo l’ambiente analisi


VISUALIZZA

RISULTATI

Premiamo il pulsante “Visualizza Risultati” per entrare

all’interno dell’ambiente di interpretazione dei risultati.

La finestra che viene visualizzata è la seguente.

Nella parte sinistra di questa finestra vengono presentate le

analisi possibili.

L’utente può decidere in qualsiasi momento quale normativa

adottare per eseguire le verifiche e conservare eventualmente

i risultati di tutte le analisi al fine di confrontarle eventualmen-

te tra di loro.

La tabella visualizzata riporta una riga per ciascuna analisi se-

lezionata nella fase di calcolo; nel caso in esame si esaminano

tutte e 24 le analisi previste.

Le celle evidenziate in verde indicano il superamento delle veri-

fiche, di contro quelle rosse indicano il mancato superamento.

Per capire bene cosa questi parametri rappresentino entriamo

nell’ambiente dedicato alla presentazione dei dettagli delle

analisi.

Selezioniamo la riga associata ad una analisi, ad esempio

l’analisi 1.


La selezione avviene cliccando in corrispondenza della riga di

interesse. Quando l’analisi è selezionata compare un triangoli-

no alla sinistra del numero identificativo dell’analisi seleziona-

ta.

Selezionata questa analisi premiamo il pulsante “Visualizza

dettagli analisi”.

La schermata visualizzata è la seguente.

Viene mostrato il prospetto della mesh di parete, nel caso in

questione la parete 1.


Per visualizzare le altre pareti possiamo selezionare quella di

interesse dal menu a discesa contenuto nella barra analisi.

Attiviamo la casella “Auto Run”, la finestra del prospetto di pa-

rete mostra un filmato della progressiva deformazione della

struttura.

Gli elementi murari cambiano colore in funzione del livello di

degrado assunto da ciascun elemento.

LEGENDA COLORI

Premiamo il pulsante “Legenda colori” viene mostrata la fine-

stra che riporta la legenda dei colori utilizzata per i vari ele-

menti strutturali.


I differenti colori presentati nel-

la legenda indicano lo “stato” in

cui ciascun elemento si trova:

integro, plastico, rotto.

In base ai colori si evidenziano

anche le cause di danneggia-

mento strutturale (taglio, pres-

soflessione).

Chiudiamo la “Legenda” premendo la croce in alto a destra alla

legenda stessa.

E’ possibile interrogare gli stati di degrado di ciascun elemento

strutturale per ciascuna parete come indicato in precedenza.

Aver indicazione degli elementi che si rompono, permette al

progettista di effettuare le previsioni di intervento necessarie.

La finestra seguente, ci mostra in nero l’andamento della cur-

va pushover, in blu quello della bilineare equivalente.


La linea rossa verticale individua lo spostamento massimo ri-

chiesto dalla normativa.

Sopra la curva vengono indicate in sintesi le condizioni di veri-

fica.

DETTAGLIO

VERIFICHE

Maggiori dettagli sulla verifica sono riportate in una finestra in-

formativa.

Premiamo il pulsante “Dettagli Verifiche”.

Viene mostrata la seguente finestra.

Chiudiamo la finestra premendo “Ok”


La tabella in alto a sinistra contiene alcuni dati informativi della

parete visualizzata.

Ciò che viene visualizzato in questa tabella è selezionabile tra

le varie voci presentate nel menu a discesa corrispondente.

La finestra in basso a sinistra mostra la deformata della pianta

a causa del sisma.

Se riteniamo la deformata in pianta poco visibile possiamo agi-

re sul fattore di amplificazione della deformazione.


3D DELLA MESH

Premiamo il pulsante “Visualizza il 3D della mesh”.

Viene mostrata la seguente finestra.

Completiamo lo spazio in alto a destra in questa finestra, con il

numero di un sottopasso intermedio.

Inseriamo ad esempio il numero 30 nello spazio apposito.

Premiamo INVIO


Possiamo notare come gli elementi cambino colore individuan-

do un differente livello di degrado.

SALVA IMMAGINE

Decidiamo di inserire questa immagine nella relazione.

Premiamo il pulsante “Salva immagine” presente nella finestra

del 3D.

Viene presentata la finestra che permette il salvataggio

dell’immagine.

Inseriamo nello spazio apposito il nome dell’immagine

Premiamo il pulsante “OK”

La rotazione del modello è gestita automaticamente trascinan-

do il mouse con il tasto destro del mouse premuto.


Chiudiamo la finestra del 3D premendo la croce in alto a destra

della finestra Vista 3D.

A video vediamo la seguente schermata


VISUALIZZA

RISULTATI

Premendo nuovamente il pulsante “Visualizza Risultati” l’attuale

finestra viene chiusa e viene ripresentata la tabella sintetica dei

risultati.

Premiamo il pulsante “Inserisci tutte le analisi in relazione”.

Viene così attivata l’opzione di inserimento in relazione per ciascuna

analisi.

Premiamo il pulsante “Esci”.

Viene presentata a video la seguente schermata.


RELAZIONE

Nella barra orizzontale in alto premiamo il pulsante “Relazione”.

A video vediamo una finestra che permette di definire in modo

automatico la relazione di calcolo.

Per visualizzare ciascuna delle voci riportate nell’albero di


sinistra e sufficiente selezionarle.

Qualora si tratti di un testo, questo è editabile e modificabile

dall’utente.

In basso a sinistra vediamo la Galleria immagini.

Selezioniamo la voce “3D_mesh” dalla lista.

INSERIMENTO

IMMAGINE

Premendo questo pulsante viene richiesto il titolo da usare per

l’immagine.

Premiamo “OK”


L’immagine inserita compare in relazione come ultima voce

nell’albero di definizione degli argomenti.

Selezioniamo la voce dall’albero.

Premiamo sulle frecce laterali a questa finestra per spostare in

alto la voce di interesse e decidere dove andare a posizionarla.

Premendo due volte questa freccia il risultato è il seguente.

Premiamo il pulsante “Anteprima”.

Dopo alcuni istanti si apre l’anteprima.


PAGINA SEGUENTE

Premendo il pulsante pagina seguente più volte è possibile

navigare all’interno dell’ambiente relazione.

Questo pulsante permette la stampa della relazione


ESPORTA

Questo comando gestisce l’esportazione su file della realazione.

Sono disponibili differenti formati di esportazione (*.pdf,*.rtf,

ecc…) .




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