Gheorghe Aniculăesei

Ecuaţii parabolice şi hiperboliceNote de curs

2

Cuprins

1 Elemente de analiză funcţională 71.1 Funcţionale şi operatori liniari pe spaţii normate . . . . . . . . 91.2 Spaţii Hilbert. Serii Fourier generalizate . . . . . . . . . . . . . 101.3 Integrala Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Valori proprii şi vectori proprii pentru laplacean . . . . . . . . . 17

2 Probleme parabolice. Ecuaţia propagării căldurii 232.1 Propagarea căldurii într-o bară . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Propagarea căldurii în spaţiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Ecuaţia difuziei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Rezolvarea ecuaţiei propagării căldurii cu metoda lui Fourier . . 292.5 Principiul de maxim pentru operatorul căldurii . . . . . . . . . 35

3 Ecuaţii hiperbolice 393.1 Probleme la limită pentru ecuaţii de tip hiperbolic . . . . . . . 393.2 Rezolvarea ecuaţiei coardei vibrante cu metoda lui Fourier . . . 433.3 Un rezultat de unicitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4 Problema Cauchy pentru ecuaţia coardei vibrante . . . . . . . . 514.5 Discuţii asupra soluţiei ecuaţiei coardei vibrante . . . . . . . . . 54

3

4

Introducere

Prezentele note de curs cuprind o tratare elementară a ecuaţiilor cu derivateparţiale de tip parabolic şi hiperbolic, mai exact a ecuaţiei propagării călduriişi a ecuaţiei coardei vibrante.

La început sunt expuse elementele minimale de analiză funcţională necesaredezvoltării metodei separării variabilelor, metodă ce este folosită ulterior larezolvarea ecuaţiilor amintite mai sus.

Necesitatea unei asemenea prezentări rezidă din faptul că studenţii dinanul al doilea, care fac cunoştinţă pentru prima dată cu ecuaţiile cu derivateparţiale, nu au parcurs în prealabil cursurile de analiză funcţională, teoriamăsurii şi a spaţiilor Sobolev, necesare unei dezvoltări mai complete a teorieiecuaţiilor cu derivate parţiale.

5

6

Capitolul 1

Elemente de analiză funcţională

Spaţiile normate constituie cadrul natural de prezentare a ecuaţiilor cu derivateparţiale.

Pentru a înlesni această prezentare vom face o scurtă introducere în teoriaspaţiilor normate, mărginindu-ne doar la noţiuni şi rezultate fundamentale.

Fie U un spaţiu liniar real. Spunem că aplicaţia ∥·∥ : U → IR defineşte onormă pe U dacă satisface următoarele proprietăţi (sau axiome):

N1. ∥u∥ ≥ 0, ∀u ∈ U şi ∥u∥ = 0 dacă şi numai dacă u = 0

N2. ∥αu∥ = |α|∥u∥, ∀α ∈ IR, ∀u ∈ U

N3. ∥u+ v∥ ≤ ∥u∥+ ∥v∥, ∀u, v ∈ U.

Axioma N3 se numeşte inegalitatea triunghiului iar elementele lui U se mainumesc vectori.

Spaţiul liniar U , dotat cu norma ∥·∥ se numeşte spaţiu normat.Spunem că aplicaţia (·, ·) : U×U → IR defineşte un produs scalar pe U

dacă satisface axiomele:

PS1. (u, v) = (v, u), ∀u, v ∈ U

PS2. (αu+ βv,w) = α(u,w) + β(v, w), ∀ a, β ∈ R, ∀u, v, w ∈ U

PS3. (u, u) ≥ 0, ∀u ∈ U şi (u, u) = 0 dacă şi numai dacă u = 0.

O consecinţă imediată a proprietăţii PS3 este inegalitatea lui Cauchy-Schwartz

|(u, v)| ≤ (u, u)1/2(v, v)1/2, ∀u, v ∈ U.

Este uşor de constatat că orice spaţiu liniar dotat cu un produs scalar estespaţiu normat prin norma dată de

∥u∥ = (u, u)1/2.

7

8

În acest caz inegalitatea lui Cauchy–Schwartz se mai scrie sub forma

|(u, v)| ≤ ∥u∥∥v∥, ∀u, v ∈ U.

Prin intermediul normei putem introduce pe U noţiunea de convergenţă.Spunem că şirul unn∈IN∗ este convergent dacă există un element u ∈ U

astfel încât∥un − u∥ −→ 0 pentru n→ ∞.

În acest caz se mai notează un → u (un converge la u) sau limn→∞

un = u. Spunemcă şirul un din U este şir Cauchy dacă pentru orice număr real ε > 0 existăun număr natural N(ε) astfel încât

∥un − um∥ < ε, ∀m,n > N(ε).

Evident că orice şir convergent este şir Cauchy, reciproca acestei afirmaţii ne-fiind în general adevărată. Dacă însă în spaţiul normat U orice şir Cauchyeste şir convergent, atunci spaţiul U se numeşte spaţiu Banach sau complet înraport cu norma dată.

Dacă spaţiul vectorial U este dotat cu un produs scalar iar faţă de normaindusă este complet, el se mai numeşte spaţiu Hilbert.

Prin urmare orice spaţiu Hilbert este spaţiu Banach. Într-un spaţiu Hilbertse verifică cu uşurinţă identitatea

∥u+ v∥2 + ∥u− v∥2 = 2(∥u∥2 + ∥v∥2), ∀u, v ∈ U

cunoscută sub numele de identitatea paralelogramului.Mulţimea B(u0, ε) = u : u ∈ U, ∥u− u0∥ < ε, ε > 0 se numeşte bila

deschisă centrată în u0 şi de rază ε.Spunem că mulţimea A a spaţiului normat U este deschisă dacă pentru

orice punct a ∈ A există o bilă deschisă centrată în a şi inclusă în A. MulţimeaA se numeşte închisă dacă complementara sa este deschisă. Închiderea uneimulţimi se poate caracteriza şi cu ajutorul şirurilor.

Adăugând la A mulţimea limitelor şirurilor convergente din A se obţine omulţime închisă numită închiderea lui A. Se mai notează cu A. Mulţimea Aa spaţiului normat U se numeşte relativ compactă dacă orice şir de elementedin A are subşiruri convergente. Mulţimea A se numeşte compactă dacă esterelativ compactă şi închisă. Spunem că mulţimea A este mărginită dacă existăun număr real M astfel că ∥x∥ ≤M, ∀x ∈ A.

Submulţimea A a spaţiului U se numeşte densă în U dacă A = U.Spaţiul normat U se numeşte separabil dacă conţine o submulţime număra-

bilă A care este densă în U .

9

1.1 Funcţionale şi operatori liniari pe spaţii normate

Dacă U şi V sunt două spaţii normate, cu normele ∥·∥U (respectiv ∥·∥V ),spunem că aplicaţia A : U → V este operator liniar dacă

A(αu+ βv) = αAu+ βAv, ∀u, v ∈ U, ∀α, β ∈ IR.

Dacă în plus există un număr real M astfel ca

(1.1) ∥Au∥V ≤M∥u∥U , ∀u ∈ U

spunem că operatorul liniar A este mărginit. În continuare vom folosi pentruambele norme, din U şi V , aceeaşi notaţie. În cazul în care este pericol deconfuzie vom ataşa la semnul de normă un indice. Noţiunea de mărginire aoperatorilor liniari este strâns legată de continuitate. Mai exact, se demon-strează faptul că un operator liniar între două spaţii normate este continuudacă şi numai dacă este mărginit.

Cea mai mică constantă M pentru care are loc (1.1) se numeşte norma luiA şi se notează ∥A∥. Prin urmare

∥A∥ = sup∥Au∥/∥u∥, u = 0

şi avem∥Au∥ ≤ ∥A∥∥u∥.

Se verifică uşor că această "normă" (numită şi normă operatorială) definităpe mulţimea operatorilor liniari şi continui de la U în V satisface proprie-tăţile N1 − N3. În acest fel mulţimea operatorilor liniari şi continui de la Uîn V , notată cu L(U, V ) devine un spaţiu normat. Dacă în plus V este unspaţiu Banach atunci rezultă că şi L(U, V ) dotat cu norma operatorială estespaţiu Banach. O clasă specială de operatori liniari o formează funcţiona-lele liniare care sunt aplicaţii liniare definite pe spaţii liniare cu valori reale.Mulţimea funcţionalelor liniare şi continue definite pe U cu valori în IR (deciL(U, IR)) se mai notează cu U∗ şi se numeşte dualul spaţiului U . O problemăinteresantă este cea a determinării formei funcţionalelor liniare continue pe unspaţiu normat. Prezentăm aici doar cazul spaţiilor Hilbert.

Teorema 1.1. (Teorema lui Riesz de reprezentare) Fie H un spaţiu Hilbert şif o funcţională liniară şi continuă pe H. Atunci există un element unic u ∈ Hastfel încât

f(v) = (u, v), ∀ v ∈ H.

Mai mult, ∥f∥ = ∥u∥.

10

1.2 Spaţii Hilbert. Serii Fourier generalizate

În acest paragraf prezentăm o serie de rezultate şi aplicaţii semnificative careutilizează în mod esenţial produsul scalar şi proprietăţile operatorilor liniarisau aplicaţiilor liniare pe spaţii Hilbert.

Am arătat că noţiunea de spaţiu Hilbert se introduce prin intermediulprodusului scalar, fapt care permite analogii cu spaţiile vectoriale finit dimensi-onaleR2, R3 etc. Exemplul tipic de spaţiu Hilbert finit dimensional îl constituie

IRn (n ≥ 1), cu produsul scalar (euclidian) (x, y) =

n∑i=1

xiyi, pentru orice x =

(x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn). Generalizarea directă, infinit dimensională,o constituie spaţiul ℓ2 al şirurilor x = (xn)n∈IN∗ de numere reale astfel încâtseria

∑n≥1

|xn|2 să fie convergentă.

Două şiruri x=(xn)n∈IN∗ , y=(yn)n∈IN∗ sunt egale dacă xn=yn, ∀n∈ IN∗. Sedefinesc suma x+ y = (xn + yn)n∈IN∗ şi produsul λx = (λxn)n∈IN∗ unde λ este

un scalar. Din inegalitatea |xnyn| ≤1

2(|xn|2+ |yn|2), rezultă că dacă x, y ∈ ℓ2,

atunci seria∑n≥1

xnyn este absolut convergentă (deci şi convergentă); în plus,

rezultă că x+ y ∈ ℓ2. Este clar că ℓ2 este spaţiu vectorial peste IR şi, definind(x, y) =

∑n≥1

xnyn, se obţine un produs scalar. Se arată că faţă de norma indusă

de acest produs scalar, ℓ2 este spaţiu complet, prin urmare este spaţiu Hilbert.Alt exemplu important este cel al funcţiilor de pătrat sumabil pe domeniul Ω(Ω=domeniu mărginit, deschis din Rn), notat L2(Ω).

Două elemente u, v din H se numesc ortogonale dacă (u, v) = 0. Ortogo-nalitatea acestor elemente se mai notează cu u ⊥ v şi are o semnificaţie clarăîn cazul spaţiilor IR2 şi IR3.

Dacă u1, u2, ..., un sunt ortogonale două câte două, atunci are loc egalitatea

∥u1 + u2 + · · ·+ un∥2 = ∥u1∥2 + ∥u2∥2 + · · ·+ ∥un∥2

cunoscută şi sub numele de teorema lui Pitagora.Dacă M şi N sunt două submulţimi nevide ale lui H, spunem că M ⊥ N

(M este ortogonală cu N) dacă şi numai dacă u ⊥ v, ∀u ∈M, ∀ v ∈ N.Se demonstrează uşor

Propoziţia 2.1. Dacă M este o mulţime nevidă şi M este închiderea sa,atunci

u ∈M şi u ⊥M =⇒ u = 0.

11

Consecinţă. Dacă o mulţime M din H este densă în H şi u ⊥ M , atunciu = 0.

Teorema 2.1. Dacă M este o mulţime convexă şi închisă din spaţiul HilbertH, atunci există în M un element de cea mai mică normă. Cu alte cuvinteexistă x0 ∈ A astfel încât

d = inf∥x∥ : x ∈M = ∥x0∥.

Demonstraţie. (schiţă) Fie xn ∈ M , astfel încât ∥xn∥ −→ d. Deoarece M

este convexă rezultă 1/2(xn + xm) ∈ M şi din identitatea paralelogramuluirezultă că xn este şir Cauchy, deci convergent, a cărui limită va fi elementulcăutat.

Teorema 2.2. (Teorema de proiecţie) Dacă H0 este un subspaţiu vectorialînchis din spaţiul Hilbert H, atunci pentru orice element u ∈ H, există celpuţin un element u0 ∈ H0 astfel încât ∥u− u0∥ ≤ ∥u− p∥, ∀ p ∈ H0.

Elementul u0 este unic şi satisface condiţia u − u0 ∈ H⊥0 (ortogonalul lui

H0 format din elementele lui H ortogonale pe H0). El se mai numeşte proiecţialui u pe H0.

Trecem în continuare la prezentarea seriilor Fourier în spaţii Hilbert. Dacăe1, e2, ..., en este baza canonică a spaţiului IRn, înzestrat cu produsul scalar

euclidian, atunci (ei, ej) = δij , unde δij =

1, i = j

0, i = j, 1 ≤ i, j ≤ n. Aşadar

ei ⊥ ej , pentru i = j şi pentru ∀x ∈ IRn, x = (x1, x2, ..., xn) avem x =

n∑k=1

xkek

unde xk = (x, ek), 1 ≤ k ≤ n. Aceste rezultate pot fi generalizate la spaţiiHilbert.

Definiţia 2.1. Fie H un spaţiu Hilbert fixat. Se numeşte bază ortonormatăîn H (sau sistem ortonormat total sau complet) orice şir B = e1, e2, ..., en, ...de vectori din H astfel încât (ei, ej) = δij , ∀ i, j ≥ 1, iar spaţiul liniar generatde B este dens în H.

Exemple.

1. Baza canonică a lui IRn este ortonormată.

12

2. În ℓ2 elementele e1 = (1, 0, 0, ...), e2 = (0, 1, 0, ...), e3 = (0, 0, 1, ...) etc.formează o bază ortonormată.

Definiţia 2.2. Fie H un spaţiu Hilbert real (sau complex) având o bazăortonormată B = (en)n∈IN∗ şi u ∈ H un element oarecare. Se numesc coeficienţiFourier generalizaţi ai lui u relativ la baza B, numerele reale (sau complexe)

cn = (u, en), n ∈ IN∗.

Seria∑n≥1

cnen se numeşte seria Fourier generalizată a lui u relativ la B.

Teorema 2.3. Fie B = (en)n∈IN∗ o bază ortonormată din spaţiul Hilbert H.Pentru orice u ∈ H, seria sa Fourier generalizată relativ la B este convergentăîn H şi are suma egală cu u. În plus, seria numerică

∑n≥1

|cn|2, unde ck = (u, ek)

sunt coeficienţii Fourier ai lui u relativ la B, este convergentă, cu suma egalăcu ∥u∥2.

Demonstraţie. Avem de demonstrat că∑n≥1

cnen = u şi∑n≥1

|cn|2 = ∥u∥2, mai

exact

limn→∞

∥∥∥∥∥u−n∑

k=1

ckek

∥∥∥∥∥ = 0 şi limn→∞

(∥u∥2 −

n∑k=1

|ck|2)

= 0.

Fie un =n∑

k=1

ckek, n ≥ 1, unde ck = (u, ek) sunt coeficienţii Fourier ai lui u

relativ la B.Pentru orice k, 1 ≤ k ≤ n, avem

(un, ek) =

n∑p=1

cp(ep, ek) =

n∑p=1

cpδpk = ck = (u, ek),

adică (un − u, ek) = 0.

Pentru orice n ∈ IN∗ fixat, notăm cu Hn subspaţiul vectorial al lui Hgenerat de vectorii e1, e2, ..., en. Rezultă că un − u ∈ H⊥

n , ∀n ∈ IN∗. Fiind unspaţiu finit dimensional, Hn este mulţime închisă în H şi, conform teoremeiproiecţiei, rezultă că un este proiecţia lui u peHn. (Deoarece, conform teoremeilui Pitagora, ∥u− un∥2+∥un − v∥2 = ∥u− v∥2, ∀ v ∈ Hn, rezultă ∥u− un∥ ≤∥u− v∥.)

13

Fie acum ε > 0 arbitrar fixat. Întrucât spaţiul liniar generat de B estedens în H există un element v ∈ H, combinaţie liniară finită de elemente dinB, astfel încât ∥u− v∥ < ε. Aşadar, există un număr natural N(ε) astfel în-cât v ∈ Hn, ∀n ≥ N(ε) şi, conform teoremei proiecţiei, ∥u− un∥ ≤ ∥u− v∥,deci ∥u− un∥ < ε, ∀n ≥ N(ε). De aici rezultă că un −→

n→∞u în H şi deci

∞∑k=1

ckek = u.

Pe de altă parte, avem

∥un∥2 = (un, un) =

(n∑

k=1

ckek,n∑

k=1

ckek

)=

n∑k=1

|ck|2, ∀n ≥ 1.

Ţinând cont că un → u =⇒ ∥un∥ → ∥u∥ şi făcând n → ∞ în relaţia de maisus, obţinem

∞∑k=1

|ck|2 = ∥u∥2

adică exact ceea ce trebuia demonstrat.

Observaţii.

1. Relaţia∞∑n=1

|(u, un)|2 = ∥u∥2 este cunoscută sub numele de egalitatea lui

Parseval.

2. Din relaţia de mai sus rezultă limn→∞

(u, un) = 0 şi

n∑k=1

|(u, uk)|2 ≤ ∥u∥2, ∀n ≥ 1

relaţie cunoscută sub numele de inegalitatea lui Bessel.

3. Dacă baza B este fixată şi u ∈ H, atunci dezvoltarea Fourier a lui u esteunică.

În adevăr, dacă u =

∞∑n=1

cnen şi u =

∞∑n=1

dnen, notând vn =

n∑k=1

dkek, rezultă

(vn, ek) = dk, ∀ k ≤ n. Făcând n → ∞, deoarece vn → u, rezultă (u, ek) = dk,deci ck = dk, ∀ k ≥ 1.

14

Din Teorema 2.3 se vede că pentru orice u ∈ H şi ∀n ≥ 1, dintre toate

combinaţiile liniaren∑

k=1

ckek, cea mai apropiată de u este cea pentru care ck =

(u, ek), deci cea pentru care coeficienţii ck sunt coeficienţii Fourier ai lui urelativ la B.

Rezultatul care urmează arată că spaţiul ℓ2 este prototipul spaţiilor Hilbertcu bază ortonormală.

Teorema 2.4. Fie H un spaţiu Hilbert real sau complex având o bază ortonor-mată B şi aplicaţia ϕ : H → ℓ2 dată prin

ϕ(u) = c1, c2, ..., cn, ...,

unde cu cii≥1 am notat coeficienţii Fourier ai lui u relativ la B. Aplicaţia ϕeste un izomorfism liniar şi conservă produsele scalare.

Demonstraţie. Şirul (cn)n≥1 este din ℓ2 deoarece∞∑n=1

|cn|2 = ∥u∥2 < ∞.

Injectivitatea lui ϕ rezultă din unicitatea dezvoltării în serie Fourier generali-

zată. Pentru surjectivitate fie γ = (cn)n≥1 ∈ ℓ2 şi un =

n∑k=1

ckek; deoarece şirul

(un)n≥1 este Cauchy deci convergent, fie un −→n→∞

u.

Dar (un, ek) = ck, 1 ≤ k ≤ n, de unde rezultă pentru n → ∞ (u, ek) = ck,k ≥ 1, adică ϕ(u) = γ.

Liniaritatea lui ϕ este evidentă. Apoi pentru u, v ∈ H avem (u, v) =(ϕ(u), ϕ(v)), fapt care arată că ϕ păstrează produsul scalar.

Exemplu. Cel mai important exemplu este dat de spaţiul Hilbert real

L2([−π, π]) dotat cu produsul scalar (f, g) =

∫ π

−πf(x)g(x)dx.

Şirul

e1 =1√2π

, e2 =1√πcosx, e3 =

1√πsinx, e4 =

1√πcos 2x, ...

constituie o bază ortonormată în H.În adevăr, (ei, ej) = δij , ∀ i, j ≥ 1. Apoi faptul că subspaţiul generat de

enn≥1 este dens în H este un rezultat cunoscut de analiză matematică.

15

Fie acum o funcţie u : [−π, π] −→ IR din H = L2([−π, π]). CoeficienţiiFourier ai lui u relativ la baza ortonormată B = enn≥1 sunt

c1 = (u, e1) =

∫ π

−πu(x)

1√2πdx =

√π

2a0,

c2 = (u, e2) =

∫ π

−πu(x)

1√2π

cosx dx = a1√π,

c3 = (u, e3) =

∫ π

−πu(x)

1√2π

sinx dx = b1√π,

...c2n = an

√π,

c2n+1 = bn√π,

...

unde an =1

π

∫ π

−πu(x) cosnx dx, bn =

1

π

∫ π

−πu(x) sinnx dx, n ≥ 0 sunt coefi-

cienţii Fourier clasici ai lui u.Aşadar există o strânsă legătură între coeficienţii Fourier clasici şi cei ge-

neralizaţi.

1.3 Integrala Lebesgue

O generalizare imediată a integralei Riemann o constituie integrala Lebesgue.Aceasta permite introducerea spaţiilor Sobolev necesare (mai ales) în abordareavariaţională a ecuaţiilor cu derivate parţiale. În cele ce urmează vom face ofoarte scurtă prezentare a integralei Lebesgue şi a spaţiilor Lp. Pentru a nulungi expunerea, rezultatele pe care le prezentăm nu conţin demonstraţii.

Spunem că mulţimea de numere reale E este de măsură nulă dacă pen-tru orice ε > 0 există un şir finit sau infinit de intervale (ak, bk) astfel încâtE ⊂ ∪(ak, bk) iar Σ(bk − ak) < ε.

Fie acum (a, b) un interval finit sau infinit al axei reale. Prin funcţie scarădefinită pe (a, b) înţelegem o funcţie s ce are ca valori numerele reale c1, c2, ..., cnpe intervalele (a =)x0 < x < x1, x1 < x < x2, ..., xn−1 < x < xn(= b)

respectiv, iar prin "integrala"∫ b

as(x)dx înţelegem suma

n∑i=1

ck(xk − xk−1).

(În cazul în care a = −∞ sau b = ∞ constantele c1, respectiv cn se iau zero).Dacă sn(·)n∈IN∗ este un şir crescător de funcţii–scară (adică sn(x) ≤ sn+1(x),pentru orice x şi ∀n ∈ IN∗) atunci şirul integralelor formează un şir crescătorde numere reale care converge către o limită finită sau tinde la +∞.

16

Spunem că funcţia (cu valori pozitive) f(·) este măsurabilă dacă există unşir crescător sn(·) de funcţii scară care converge aproape peste tot la funcţiaf(·) pe intervalul specificat. (Prin convergenţă aproape peste tot înţelegemconvergenţa pe tot intervalul exceptând eventual o mulţime de măsură nulă.)De altfel, vom spune că o relaţie are loc aproape peste tot, pe scurt a.p.t., dacăare loc cu excepţia unei mulţimi de măsură nulă. Se arată că limita şirului∫ b

asn(x)dx

n∈IN∗

nu depinde de şirul de funcţii scară folosit la aproximarea

funcţiei f , prin urmare această limită este o proprietate a acesteia. Dacă limita

este finită spunem că funcţia f este integrabilă Lebesgue iar∫ b

af(x)dx este

definită ca fiind limita integralelor şirului de funcţii scară. În particular, dacăintervalul (a, b) este finit, orice funcţie măsurabilă şi mărginită este integrabilă

deoarece termenii şirului∫ b

asn(x)dx sunt majoraţi de (b−a) sup f . Dacă func-

ţia f are atât valori pozitive cât şi negative putem scrie f ca fiind diferenţa a

două funcţii cu valori pozitive şi anume: f = f+− f−, unde f+ =1

2(|f |+ f) şi

f− =1

2(|f |−f). Spunem că f este integrabilă dacă f+ şi f− sunt integrabile şi∫ b

af(x)dx este definită ca fiind diferenţa

∫ b

af+(x)dx−

∫ b

af−(x)dx. Toate pro-

prietăţile referitoare la integrala Riemann sunt valabile şi în cazul integraleiLebesgue. Orice funcţie care are modulul integrabil în sens Riemann (absolut

integrabilă) este integrabilă şi în sens Lebesgue şi∫ b

af(x)dx au aceeaşi valoare

în ambele cazuri.Noţiunea de funcţie măsurabilă (respectiv integrabilă) definită pe o mulţi-

me deschisă Ω din IRn (n ≥ 1) şi cu valori în IR se introduce în mod asemănător.Notăm cu Lp(Ω), p ∈ IN∗, spaţiul funcţiilor cu valori reale definite pe mul-

ţimea Ω, măsurabile şi pentru care∫Ω|f(x)|pdx <∞. Am notat cu dx măsura

Lebesgue. Aceasta este un spaţiu normat cu norma dată de

∥f∥Lp(Ω) =

(∫Ω|f(x)|pdx

)1/p

.

În cazul în care p = 2 spaţiul devine spaţiu Hilbert cu produsul scalar dat de

(f, g) =

∫Ωf(x)g(x)dx.

În cazul p = ∞, definim L∞(Ω) ca fiind mulţimea funcţiilor f : Ω → IRmăsurabile şi pentru care există o constantă C astfel încât |f(x)| ≤ C, a.p.t.

17

x ∈ Ω. Notăm

∥f∥L∞(Ω) = InfC; |f(x)| ≤ C a.p.t. x ∈ Ω.

Se arată că ∥·∥L∞ este o normă pe L∞(Ω) care determină pe acesta structurăde spaţiu Banach.

Fie 1 ≤ p ≤ ∞; notăm cu q conjugatul lui p adică1

p+

1

q= 1.

Teorema 3.1. (Inegalitatea lui Hölder) Fie f ∈ Lp(Ω) şi g ∈ Lq(Ω), p şi qfiind numere conjugate. Atunci f · g ∈ L1(Ω) şi∫

Ω|f(x)g(x)|dx ≤ ∥f∥Lp(Ω)∥g∥Lq(Ω).

1.4 Valori proprii şi vectori proprii pentru laplacean

După cum am văzut deja, problemele la limită pentru ecuaţia lui Laplace potfi atacate cu metoda separării variabilelor metodă ce poate fi extinsă şi laecuaţiile de evoluţie (parabolice şi hiperbolice) liniare. Această metodă faceuz de valorile şi vectorii proprii ale operatorului diferenţial ce apare în ecuaţie,motiv pentru care facem o scurtă prezentare a acestor noţiuni.

Dacă H este un spaţiu Hilbert real şi A ∈ L(H), numărul λ ∈ R se numeştevaloare proprie (sau autovaloare) pentru operatorul A dacă există un elementu = 0 din H care verifică ecuaţia

(4.1) Au = λu.

Elementul u (care nu este numaidecât unic) se numeşte vector propriu cores-punzător lui λ.

În cazul în care H este un spaţiu de funcţii, vectorii proprii se mai numescfuncţii proprii (sau autofuncţii).

Interesul nostru se restrânge la valorile proprii şi vectorii proprii cores-punzători operatorului −∆ în cazul unor domenii paralelipipedice din Rn cucondiţii la limită (de tip Dirichlet sau Neumann) nule. Rezultatele stabiliteaici vor fi utile la rezolvarea problemelor mixte pentru ecuaţii parabolice şihiperbolice.

Cazul Ω = (0, l).

18

În acest caz, problema de valori proprii pentru operatorul −∆ cu condiţiiDirichlet nule în capete are forma

(4.2)

−u′′ = λu în (0, l)

u(0) = u(l) = 0.

Soluţia generală a ecuaţiei (2) este

(4.3) u(x) =

αe−

√−λx + βe

√−λx, dacă λ < 0

αx+ β, dacă λ = 0

α cos√λx+ β sin

√λx, dacă λ > 0,

unde α şi β sunt constante reale.Impunând condiţiile la limită (4.2)2 pentru soluţia (4.3), găsim că singura

soluţie nebanală pentru problema (4.2) are forma

uk(x) = ck sinkπ

lx, k ∈ N∗

unde ck (k ∈ N∗) este o constantă reală nenulă.Această soluţie este obţinută pentru valori ale lui λ de forma λk = (kπl )

2,k ∈ N∗. Aceste valori se numesc valori proprii pentru operatorul −∆(−∆u =−u′′) pe segmentul (0, l), iar funcţiile sin kπ

l x sunt vectorii proprii corespunză-tori.

Remarcăm faptul că valorile proprii λk = (kπl )2 şi vectorii proprii sin kπ

l xau proprietăţile:

0 < λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λk ≤ . . .→ ∞, pentru k → ∞,

sin kπlx|k ∈ N∗ este o bază ortogonală în L2(0, l)

(spunem că două funcţii u(·) şi v(·) sunt ortogonale în L2(0, l), dacă∫ l0 u(x)v(x)dx =

0), care devine bază ortonormată dacă luăm √

2l sin

kπl x|k ∈ N∗. În aceeaşi

manieră se rezolvă şi problema de valori şi vectori proprii pentru −∆ pe seg-mentul (0, l) cu condiţii de tip Neumann nule în capete.

Mai exact, problema de valori proprii

(4.4)

−u′′ = λu, în (0, l)

u′(0) = u′(l) = 0,

are pentru λk = (kπl )2, k ∈ N vectorii proprii uk(x) = cos kπ

l x, k ∈ N.

19

Să observăm că, la fel ca în cazul problemei (4.2) avem 0 < λ1 ≤ λ2 ≤. . . ≤ λk ≤ . . . → ∞ pentru k → ∞ şi cos kπ

l x|k ∈ N este o bază ortogonalăîn L2(0, l).

Observăm că atât problema (4.2) cât şi problema (4.4) se pot scrie subforma (4.1), adică

Au = λu,

cu Au = −u′′, A având în cazul problemei (4.2) domeniul de definiţie

D(A) = u ∈ C2(0, l) ∩ C([0, l]);u(0) = u(l) = 0,

iar în cazul problemei (4.4)

D(A) = u ∈ C2(0, l) ∩ C1([0, l]);u′(0) = u′(l) = 0.

Dacă operatorul A este considerat în L2(0, l), ceea ce va fi cazul dacăutilizăm proprietatea de bază ortonormată a vectorilor proprii corespunzătoriproblemelor (4.2) şi (4.4), atunci în definiţia lui D(A) trebuie adăugat u′′ ∈L2(0, l).

Cazul Ω = (0, a)× (0, b), a, b > 0.Căutăm u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω) soluţia problemei (λ ∈ R)

(4.5)

−∆u = λu, în Ω

u

∣∣∣∣∂Ω

= 0,

adică −(uxx + uyy) = λu, în Ω

u(0, y) = u(a, y) = u(x, 0) = u(x, b) = 0, ∀(x, y) ∈ Ω.

Pentru această problemă căutăm soluţii nebanale de forma

(4.6) u(x, y) = X(x)Y (y).

Metoda aceasta de căutare a soluţiilor poartă denumirea de metoda separăriivariabilelor sau metoda Fourier. Funcţia (4.6) verifică ecuaţia (4.5) dacă şinumai dacă

(4.7) −X′′

X=Y ′′

Y+ λ, ∀(x, y) ∈ Ω.

Întrucât în (4.7) membrul stâng depinde numai de x, iar membrul dreptnumai de variabila y, rezultă că ambii membri au o valoare constantă pe careo notăm cu µ. În acest fel, obţinem pentru X şi Y ecuaţiile

(4.8) −X ′′ = µX,

20

şi

(4.9) −Y ′′ = (λ− µ)Y.

Funcţia (4.6) verifică condiţia la limită (4.5)2 dacă şi numai dacă

X(0) = X(a) = 0,(4.10)Y (0) = Y (b) = 0.(4.11)

Ori, din problema (4.2), deducem că problema (4.8)+(4.10) are pentru

µk =

(kπ

a

)2

soluţiile

Xk(x) = sinkπ

ax, k ∈ N∗.

În acelaşi fel pentru problema (4.9)+(4.11) găsim că λ − µ ∈ ( jπb )2, j ∈

N∗, iar soluţiile sunt

Yj(y) = sinjπ

by, j ∈ N∗.

Cumulând aceste rezultate rezultă că problema (4.5) are pentru

λkj =

(kπ

a

)2

+

(jπ

b

)2

, k, j ∈ N∗,

soluţiile

(4.12) ukj(x, y) = sinkπ

ax sin

jπ

by, k, j ∈ N∗.

Prin metoda lui Fourier se poate rezolva şi problema de autovalori pentru−∆ cu condiţii Neumann nule pe frontiera lui Ω, adică

(4.13)

−∆u = λu, în Ω∂u∂ν = 0, pe ∂Ω,

sau −(uxx + uyy) = λu, în Ω

ux(0, y) = ux(a, y) = uy(x, 0) = uy(x, b) = 0,

pentru (x, y) ∈ ∂Ω.

21

Problema (4.13) are soluţii nebanale pentru

λkj =

(kπ

a

)2

+

(jπ

b

)2

, k, j ∈ N

date de

(4.14) ukj(x, y) = coskπ

ax cos

jπ

by, k, j ∈ N.

Atât soluţiile (4.12) cât şi (4.14) formează sisteme ortogonale în L2((0, a)×(0, b)).

22

Capitolul 2

Probleme parabolice. Ecuaţia propagării căldurii

Modelul standard ce ilustrează problemele parabolice este cel dat de ecuaţiapropagării căldurii. Pentru realizarea acestui model vom analiza mai multesituaţii şi anume: propagarea căldurii într-o bară, propagarea căldurii în spaţiu,ecuaţia difuziei.

2.1 Propagarea căldurii într-o bară

Pentru fixarea ideilor să presupunem că este vorba de propagarea căldurii de-alungul unei bare omogene de lungime ℓ, suficient de subţire pentru a fi asimilatăcu un segment de pe axa Ox, a sistemului de coordonate xOu şi izolată termicpe feţele laterale.

Fie u(x, t) funcţia care măsoară temperatura în bară la momentul t, înpunctul de abscisă x. Având în vedere faptul că suprafaţa laterală a barei esteizolată termic, schimbul de căldură între bară şi mediul înconjurător se faceprin cele două capete ale barei.

Dacă extremităţile barei se menţin la temperaturi constante u1 şi u2, atunci,de-a lungul barei, temperatura are o distribuţie liniară

u(x) = u1 +u2 − u1

ℓx; 0 ≤ x ≤ ℓ.

Conform legii lui Fourier difuzia căldurii de-a lungul barei se face de la parteamai caldă către cea mai rece.

Cantitatea de căldură care trece printr-o secţiune transversală de arie S abarei este dată de formula exprimentală

Q = −k∂u∂xS,

unde k este coeficientul de conductibilitate termică.

23

24

Presupunând acum că bara este neomogenă (deci k depinde de x) iar Seste de măsură 1, cantitatea de căldură ∆Q ce trece prin secţiunea x a bareiîn intervalul de timp (t, t+∆t) este

∆Q = −k(x)∂u∂x

∆t.

Să considerăm porţiunea M1M2 din bară, delimitată de abscisele x1 şi x2.Conform legii lui Fourier, cantitatea de căldură care intră în porţiunea M1M2

prin capătul x1 este

q(x1, t) = −k(x) ∂u∂x

∣∣∣∣x=x1

,

iar prin capătul x2,

q(x2, t) = k(x)∂u

∂x

∣∣∣∣x=x2

.

Cantitatea de căldură Q ce trece prin segmentul de barăM1M2 în intervalulde timp (t1, t2) este:

Q = −∫ t2

t1

[k(x)

∂u

∂x

]x=x2

−[k(x)

∂u

∂x

]x=x1

dt,

relaţie care (utilizând formula de medie) conduce la

Q = − ∂

∂x

[k(x)

∂u

∂x

]x=ξt=τ

(x2 − x1)(t2 − t1)

unde ξ ∈ (x1, x2), τ = (t1, t2).

Pe de altă parte, în virtutea aceleiaşi legi a lui Fourier, cantitatea de căldură∆Q∗ necesară pentru a ridica cu ∆u temperatura segmentului de bară ∆x esteegală cu

∆Q∗ = cρ∆u∆x,

unde c este căldura specifică iar ρ(x) este masa specifică a segmentului ∆x.În cazul segmentului de bară M1M2, cantitatea de căldură Q∗ necesară

pentru ca în intervalul de timp (t1, t2) să-i ridice temperatura cu:

∆u = u(x, t2)− u(x, t1)

are expresia

Q∗ =

∫ x2

x1

cρ(x) [u(x, t2)− u(x, t1)] dx

25

de unde prin aplicarea consecutivă a formulelor de medie (în raport cu t şi x)obţinem

Q∗ =

[cρ(x)

(∂u

∂t

)]x=ξ1t=τ1

(t2 − t1)(x2 − x1)

unde ξ1 ∈ (x1, x2), τ1 ∈ (t1, t2).

În fine, dacă notăm cu f(x, t) densitatea surselor generatoare de căldurădin bară (de exemplu căldură degajată în urma trecerii unui curent electric),cantitatea de căldură transmisă de aceste surse în intervalul de timp (t1, t2)este

Q =

∫ t2

t1

∫ x2

x1

F (x, t)dx dt

sauQ = [F (x, t)]x=ξ2

t=c2

(t2 − t1)(x2 − x1).

Aplicând legea conservării energiei obţinem

Q = Q+Q∗,

care, după înlocuiri şi simplificări conduce la:

− ∂

∂x

[k(x)

∂u

∂x

]x=ξt=τ

+

[cρ(x)

∂u

∂x

]x=ξ1t=τ1

= [F (t, x)]x=x2t=τ2

.

Raţionamentul pe care l-am făcut până în prezent se referă la intervalele(x1, x2) şi (t1, t2) arbitrare.

Trecând la limită cu x1, x2 → x şi t1, t2 → t, obţinem ecuaţia

− ∂

∂x

[k(x)

∂u

∂x

]+ cρ(x)

∂u

∂t= F (x, t),

numită ecuaţia propagării căldurii.Dacă bara este omogenă, atunci k şi ρ pot fi consideraţi constanţi şi notând

a2 =k

cρ, f(x, t) =

F (x, t)

cρ

ecuaţia propagării căldurii se scrie sub forma

ut − a2uxx = f(x, t).

26

2.2 Propagarea căldurii în spaţiu

Propagarea căldurii în spaţiu este măsurată prin intermediul temperaturiiu(x, y, z, t), care este o funcţie ce depinde de timpul t şi poziţia (x, y, z) apunctului din spaţiu. Dacă temperatura nu este constantă, apar fluxuri decăldură dinspre zonele cu temperatură mai înaltă către cele cu temperaturămai joasă.

Cantitatea de căldură ∆Q care trece prin elementul de suprafaţă ∆σ ceconţine punctul M(x, y, z) în intervalul de timp (t, t+∆t) este dată de formula

∆Q = −k(M)∂u

∂n∆σ∆t,

unde k este coeficientul de conductibilitate termică a corpului, iar n este nor-mala la elementul de suprafaţă ∆σ orientată în direcţia fluxului de căldură.

De aici rezultă că în intervalul (t1, t2) prin suprafaţa σ trece cantitatea decăldură

Q = −∫ t2

t1

∫ ∫σ

k(M)∂u

∂ndσ

dt = −(t2 − t1)

∫ ∫σ

k(M)∂u

∂ndσ

t=τ

Cu ajutorul formulei lui Gauss–Ostrogradski ultima integrală devine∫ ∫σ

k(M)∂u

∂ndσ =

=

∫ ∫σ

k

[∂u

∂xcos(n, x) +

∂u

∂ycos(n, y) +

∂u

∂zcos(n, z)

]dσ =

=

∫ ∫ ∫V

[∂

∂x

(k∂u

∂x

)+

∂

∂y

(k∂u

∂y

)+

∂

∂z

(k∂u

∂z

)]dV =

=

∫ ∫ ∫V

div[k(M)gradu]dV,

prin urmare

Q = −(t2 − t1)

∫ ∫ ∫V

div [k(M)gradu]dV |t=τ , τ ∈ (t1, t2).

27

La fel ca în cazul barei

Q∗ =

∫ ∫ ∫V

cρ(M)[u(x, y, z, t2)− u(x, y, z, t1)]dV =

= (t2 − t1)

∫ ∫ ∫V

cρ(x, y, z)∂u

∂tdV

t=τ1

, τ1 ∈ (t1, t2)

în timp ce cantitatea de căldură produsă de surse din interiorul corpului este

Q =

∫ t2

t1

∫ ∫ ∫V

f(x, y, z, t)dV

dt = (t2 − t1)

∫ ∫ ∫V

f(x, y, z, t)dV

t=τ2

,

τ2 ∈ (t1, t2).

Având în vedere că volumul V este arbitrar, la fel ca în cazul barei, prinsimplificări şi treceri la limită obţinem:

(2.1) cρ(x, y, z)∂u

∂t− div[k(x, y, z)gradu] = f(x, y, z, t).

Dacă ρ şi k sunt constante (deci corpul este omogen) cu notaţiile deja menţiona-te ecuaţia (1.1) capătă forma

(2.2)∂u

∂t− a2∆u = f(x, y, z, t)

unde ∆ este operatorul lui Laplace.

Cazuri particulare. Dacă distribuţia temperaturii în corp nu depinde detimp (cazul staţionar) ecuaţia (1.2) capătă forma

∆u = f(x, y, z)

numită şi ecuaţia lui Poisson.Dacă în plus lipsesc şi sursele interioare de căldură se obţine ecuaţia

∆u = 0

numită şi ecuaţia lui Laplace.

28

2.3 Ecuaţia difuziei

Difuzia este un proces de egalizare a concentraţiilor sau de amestecare spontană(pentru corpuri în stare gazoasă sau lichidă). Dacă analizăm un tub umplut cuun gaz, atunci constatăm că are loc difuzia acestuia din zonele cu concentraţiemai mare în zonele cu concentraţie mai mică.

Fenomenul este asemănător şi în cazul unei soluţii, dacă concentraţia sub-stanţei dizolvate nu este constantă în tot volumul. Analizând fenomenul di-fuziei unui gaz într-un tub, să notăm cu u(x, t) concentraţia în secţiunea x şila momentul t.

Din legea lui Nernst, cantitatea de gaz care trece prin secţiunea x în inter-valul de timp (t, t+ dt) este

dQ = −D∂u∂x

(x, t)S dt,

unde D este coeficientul de difuzie sau difuzivitatea substanţei, iar S este ariasecţiunii tubului.

Dar variaţia masei gazului pe porţiunea (x1, x2) a tubului, datorită variaţieidu a concentraţiei, este

dQ =

∫ x2

x1

c duS dx,

unde c este coeficientul de porozitate, egal cu raportul dintre volumul porilorşi volumul total (în cazul nostru S dx). Procedând ca în cazurile anteriore,ecuaţia bilanţului de masă de gaz în porţiunea (x1, x2) şi intervalul de timp(t1, t2) conduce la

∂

∂x

(D∂u

∂x

)= c

∂u

∂t,

numită şi ecuaţia difuziei.Dacă coeficientul de difuzie este constant, aceasta devine

ut = a2uxx

unde a2 = D/c.

Probleme la limită pentru ecuaţia propagării căldurii

Pentru a determina legea de propagare a căldurii într-un corp limitat de osuprafaţă S, trebuie să adăugăm la ecuaţie condiţii iniţiale şi la limită. Condiţiainiţială presupune cunoaşterea temperaturii u(x, t) la momentul iniţial t0.

În ce priveşte condiţiile la limită acestea pot fi diferite în funcţie de regimulde temperatură de la frontieră.

29

Se consideră trei tipuri fundamentale de condiţii la limită

• Se dă distribuţia de temperatură u(x, t) la suprafaţa corpului:

u(x, t) = φ(x, t), x ∈ S, t ≥ t0

• Se dă expresia fluxului de căldură ce trece în fiecare moment prin suprafaţace limitează corpul

∂u

∂ν(x, t) = ψ(x, t), x ∈ S, t ≥ t0

• În fine, ultima condiţie la limită este o combinaţie a primelor două

α∂u

∂ν(x, t) + βu(x, t) = θ(x, t), x ∈ S, t ≥ t0, α, β ∈ IR+.

Evident că funcţiile φ,ψ, θ sunt presupuse cunoscute.

2.4 Rezolvarea ecuaţiei propagării căldurii cu metoda lui Fourier

Fie Ω ⊂ IRn o mulţime deschisă şi mărginită cu frontiera ∂Ω, iar T > 0 fixat.Facem notaţiile: QT = Ω×(0, T ) şi ΣT = ∂Ω×(0, T ). In acest cadru

considerăm problema la limită

(P )

∂u

∂t− a2∆u = f în QT

u(x, 0) = u0(x) în Ω

u = 0 pe ΣT ,

unde f : QT → IR şi u0 : Ω → IR sunt funcţii date.Introducem spaţiul de funcţii

C2,1(QT ) =

u,∂u

∂xi∈ C(QT ),

∂2u

∂xi∂xj∈ C(QT ),

∂u

∂t∈ C(Ω×(0, T ])

.

Funcţia u(·, ·) : QT → IR se numeşte soluţie clasică pentru problema (P ) dacău ∈ C2,1(QT ) şi u satisface ecuaţia (P)1 pe QT şi condiţiile: iniţială (P)2 şi lalimită (P)3. Păstrăm aceeaşi terminologie de soluţie clasică şi în cazul când nereferim doar la soluţia ecuaţiei (P)1.

Întrucât demonstrarea existenţei soluţiei clasice pentru problema mixtă(P) este dificilă, vom căuta soluţia acesteia sub forma unei serii Fourier faţă

30

de un sistem ortogonal de vectori proprii asociaţi operatorului lui Laplace şivom arăta că în anumite condiţii asupra datelor problemei, această soluţie esteclasică.

Vom ilustra metoda, cunoscută şi sub numele de metoda separării vari-abilelor pe cazul 1-dimensional (deci Ω = (0, l)), cazul n-dimensional fiind ogeneralizare firească a acestuia.

Pentru n = 1 problema neomogenă (P) are forma:ut = a2uxx + f(x, t), x ∈ (0, l), t > 0

u(x, 0) = u0(x), x ∈ [0, l]

u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0.

Soluţii formale în cazul ecuaţiei omogene

Considerăm problema mixtă

(4.1)

ut = a2uxx, x ∈ (0, l), t > 0

u(x, 0) = u0(x), x ∈ [0, l]

u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0.

Căutând pentru

(∗)

ut = a2uxx, x ∈ (0, l), t > 0

u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0

soluţii de forma

(4.2) u(x, t) = T (t)X(x)

ajungem la relaţiile:

T ′ + λa2T = 0(4.3)−X ′′ = λX(4.4)

X(0) = X(l) = 0.(4.5)

Într-adevăr, dacă (4.2) este soluţie pentru ut = a2uxx, atunci

T ′(t)X(x) = a2T (t)X ′′(x),

adică

(4.6)T ′(t)

a2T (t)=X ′′(x)

X(x).

31

Întrucât membrul stâng al egalităţii (4.6) este constant în raport cu x, iarmembrul drept este constant în raport cu t, din această identitate în (x, t)deducem că ambii membri sunt egali cu o constantă pe care o notăm cu −λ.

În acest fel am obţinut (4.3) şi (4.4) în timp ce (4.5) rezultă punând condiţiaca funcţia dată de (4.2) să se anuleze la capetele intervalului (0, l).

Dar, rezolvarea problemei (4.4)-(4.5) revine la determinarea valorilor şivectorilor proprii pentru −∆ în cazul Ω = (0, l).

Aşa cum am văzut deja aceasta conduce la:

X(x) =

αe−

√−λx + βl

√−λx, dacă λ < 0

αx+ β, dacă λ = 0

α cos√λx+ β sin

√λx, dacă λ > 0,

α şi β fiind constante reale.Constantele α şi β se determină impunând lui X(·) să verifice condiţia (4.5)

fără a fi identic nul, obţinându-se faptul că pentru λ > 0 există o funcţie detipul X(x) = α cos

√λx+ β sin

√λx care satisface (4.5) numai pentru valorile

(4.7) λk =

(kπ

l

)2

, k ∈ N∗.

Pentru aceste valori ale constantei λ, ecuaţia (4.4) are soluţiile

(4.8) Xk(x) = sinkπ

lx.

Observăm că funcţiile (4.8) sunt vectorii proprii ai operatorului A : L2(0, l) →L2(0, l) dat prin AX = −X ′′ şi cu domeniul

D(A) = X ∈ C2(0, l) ∩ C([0, l]) : X(0) = X(l) = 0, X ′′ ∈ L2(0, l).

Sistemul de vectori proprii ai operatorului A, este ortogonal şi complet înL2(0, l), iar valorile proprii (4.7) au proprietatea

0 < λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λn ≤ . . .→ ∞, pentru n→ ∞.

Rezolvând acum (4.3) pentru (λ = λk) din (4.7) se găseşte soluţia generală

(4.9) Tk(t) = Cke−(akπ

l)2t

ceea ce implică

uk(x, t) = Cke−(akπ

l)2t sin

kπ

lx.

32

Acum deoarece problema (*) este liniară, conform principiului superpoziţieirezultă că orice sumă finită de soluţii ale problemei este, de asemenea, soluţie.

Formal, acceptăm că şi suma unei serii ai cărei termeni sunt soluţii pentruaceastă problemă este de asemenea soluţie.

Notăm cu u(·, ·) suma unei astfel de serii, adică

(4.10) u(x, t) =∞∑k=1

Cke−(akπ

l)2t sin

kπ

lx,

unde constantele Ck se determină impunând condiţia ca funcţia definită prinegalitatea (4.10) să verifice şi condiţia iniţială (4.1)2, adică

(4.11)∞∑k=1

Ck sinkπ

lx = u0(x).

Deoarece sin kπl xk∈N∗ este o bază ortogonală în L2(0, l) (acesta este un

rezultat de analiză matematică!), funcţia u0 admite dezvoltarea în serie Fourierdupă această bază

(4.12) u0(x) =

∞∑k=1

ck sinkπ

lx,

unde coeficienţii sunt daţi de relaţia

(4.13) ck =2

l

∫ l

0u0(x) sin

kπ

lx dx.

Din (4.11) şi (4.12) rezultă Ck = ck, astfel că (4.10) capătă forma

(4.14) u(x, t) =

∞∑k=1

cke−(akπ

l)2t sin

kπ

lx

care se mai numeşte soluţie formală a problemei mixte (4.1).Observaţie. Caracterul formal al calculului prezentat aici provine din ac-

ceptarea faptului că (4.14) verifică (4.1)1, pentru că fiecare termen din membruldrept al egalităţii (4.14) verifică (4.1)1.

Acest lucru nu este întotdeauna adevărat (dar are loc atunci când atâtseria (4.14) cât şi seria obţinută prin derivarea termenilor acesteia sunt uniformconvergente).

33

Soluţii formale pentru problema mixtă neomogenăPrin analogie cu rezultatul stabilit anterior, (formula (4.14)) pentru pro-

blema neomogenă

(4.15)

ut = a2uxx + f(x, t), x ∈ (0, l), t > 0

u(x, 0) = u0(x), x ∈ [0, l]

u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ 0

căutăm soluţii de forma

(4.16) u(x, t) =∞∑k=1

Tk(t) sinkπ

lx.

Pretinzând ca funcţia u dată de (4.16) să verifice (4.15) găsim pentru Tk, şirulde probleme Cauchy

(4.17)

T ′k + (akπl )2Tk = ck(t),

Tk(0) = dk

în care ck(t) şi dk sunt coeficienţii Fourier din dezvoltările Fourier ale datelorproblemei

f(x, t) =

∞∑k=1

ck(t) sinkπ

lx,

u0(x) =

∞∑k=1

dk sinkπ

lx

deci

(4.18) ck(t) =2

l

∫ l

0f(x, t) sin

kπ

lx dx,

(4.19) dk =2

l

∫ l

0u0(x) sin

kπ

lx dx,

iar soluţia problemei Cauchy (4.17) este

(4.20) Tk(t) = dke−(akπ

l)2t +

∫ t

0e−(akπ

l)2(t−s)ck(s)ds.

34

Înlocuind (4.20) în (4.16) se obţine soluţia formală a problemei (4.15) încare coeficienţii ck şi dk sunt daţi de formulele (4.18) şi respectiv (4.19).

Observaţia 1. În cazul problemei mixte cu condiţii la limită neomogeneut = a2uxx + f(x, t), x ∈ (0, l), t > 0

u(x, 0) = u0(x), x ∈ [0, l]

u(0, t) = µ1(t), u(l, t) = µ2(t), t > 0,

rezolvarea se reduce la cazul anterior dacă se face schimbarea de funcţie

v(x, t) = u(x, t)− µ1(t)−x

l[µ2(t)− µ1(t)],

obţinându-se pentru v o problemă cu condiţii la limită omogene.Observaţia 2. (Condiţii suficiente ca soluţia formală să fie soluţie clasică).

Am văzut că soluţia problemei (4.1) este dată de

u(x, t) =

∞∑k=1

cke−(akπ

l)2t sin

kπ

lx

unde

ck =2

l

∫ l

0u0(x) sin

kπ

lx dx,

de unde se vede clar că pentru a fi soluţie clasică, avem la dispoziţie doar datainiţială u0.

Fără a detalia (pentru demonstraţie vezi [4]), afirmăm doar că dacă u0satisface condiţiile

(4.21) u0 ∈ C[0, l]

(4.22) există derivata u′0 şi este continuă pe porţiuni

(4.23) u0(0) = u0(l) = 0,

atunci funcţia definită de (4.14) este soluţie clasică a problemei (4.1).Pentru problema neomogenă (4.15) condiţiile suficiente pentru ca soluţia

formală să devină clasică implică restricţii atât asupra datei iniţiale u0 cât şi aperturbării f . Dezvoltarea analizei funcţionale şi a spaţiilor Sobolev au permisdefinirea unui concept natural de soluţie pentru ecuaţia propagării căldurii(vezi [1], [2]). Aceste lucruri vor fi studiate la cursul EDP-de la Master.

35

2.5 Principiul de maxim pentru operatorul căldurii

În acest paragraf vom prezenta un principiu de maxim pentru operatorul căl-durii ∂

∂t −∆ pe un domeniu mărginit sau nemărginit şi consecinţe ale acestuia.Întrucât dimensiunea spaţiului nu introduce dificultăţi suplimentare, vom faceacest lucru în Rn.

Fie Ω ⊂ IRn o mulţime deschisă şi mărginită cu frontiera ∂Ω. Fie QT =Ω×(0, T ), ΣT = ∂Ω×(0, T ) şi BT = (Ω× 0) ∪ (∂Ω×[0, T )), unde T > 0 estefixat.

Teorema 5.1. (Principiul de maxim) Fie u ∈ C(Ω×[0, T ]) astfel încât u estede clasă C2 în raport cu x şi de clasă C1 în raport cu t pe Ω×(0, T ).

Dacă

(5.1)∂u

∂t(x, t)−∆u(x, t) ≤ 0, ∀ (x, t) ∈ QT

atunci

(5.2) maxQT

u = maxBT

u.

Demonstraţie. Deoarece Ω este un domeniu mărginit, rezultă că QT este omulţime compactă, iar funcţia u fiind continuă pe QT îşi atinge marginile peaceastă mulţime. În acest fel se justifică existenţa primului termen al egalităţii(5.2). Fie ε > 0 şi vε(x, t) = u(x, t)− εt. Din (5.1) rezultă

(5.3)∂vε∂t

−∆vε =∂u

∂t−∆u− ε ≤ −ε < 0 pe QT .

Presupunem că maximul lui vε este atins în (x0, t0), x0 ∈ Ω, 0 < t0 ≤ T

(deci în QT \BT ). Atunci ∆vε(x0, t0) ≤ 0 şi∂vε∂t

(x0, t0) ≥ 0 (sau 0, dacăt0 < T ).

De aici rezultă,∂vε∂t

(x0, t0)−∆vε(x0, t0) ≥ 0 care contrazice relaţia (5.3).Aceasta implică max

QT

vε = maxBT

vε. Astfel

maxQT

u = maxQT

(vε + εt) ≤ maxQT

vε + εT =

= maxBT

vε + εT ≤ maxBT

u+ εT,

deoarece vε ≤ u. Dar ε > 0 fiind arbitrar, ultima relaţie implică (5.2).

36

Din Teorema 5.1 rezultă că dacă u este soluţie clasică a ecuaţiei∂u

∂t−∆u = 0

pe QT , atunci maximul şi minimul funcţiei u pe QT sunt atinse şi pe mulţimeaBT .

Utilizând Teorema 5.1 putem demonstra următorul rezultat de dependenţăa soluţiei clasice a problemei (P) în raport cu datele, rezultat care are dreptconsecinţă unicitatea soluţiei clasice a problemei (P).

Corolarul 5.1. Fie f ∈ C(QT ) şi u0 ∈ C(Ω). Atunci problema mixtă (P) arecel mult o soluţie clasică. În plus, aceasta (dacă există!) verifică inegalitatea

(5.4)

min

minΩ

u0, 0

+ t min

QT

f ≤ u(x, t) ≤

≤ max

maxΩ

u0, 0

+ t max

QT

f, ∀ (x, t) ∈ QT .

Demonstraţie. Presupunem că u1 şi u2 sunt soluţii clasice pentru problema(P). Rezultă că v := u1 − u2 verifică problema (P) cu datele nule, iar dinTeorema 5.1 obţinem

maxQT

v = minQT

v = 0,

adică u1 ≡ u2. Pentru demonstrarea inegalităţii (5.4) considerăm funcţiaw = u−Mt, unde M = max

QT

f.

Aceasta satisface sistemul∂w

∂t−∆w ≤ 0 în QT

w(x, 0) = u0(x) în Ωw = −Mt pe ΣT ,

iar din principiul de maxim rezultă

maxQT

w = max

maxΩ

u0, 0

care implică

(5.5) u(x, t) ≤ maxmaxΩ

u0, 0+Mt, ∀ (x, t) ∈ QT .

37

Trecând (în (P)) f în −f , u0 în −u0, u în −u şi aplicând principiul demaxim, obţinem (cf. (5.5)) relaţia

(5.6) u(x, t) ≥ min

minΩ

u0, 0

+mt, ∀ (x, t) ∈ QT ,

unde m = minQT

f. Din (5.5) şi (5.6) obţinem (5.4).

Din (5.4) rezultă dependenţa continuă a soluţiei clasice de datele u0 şi f .Mai exact, u satisface relaţia

maxQT

|u| ≤ maxΩ

|u0|+ T maxQT

|f |.

Un rezultat asemănător celui prezentat în Corolarul 5.1 are loc şi pentrusoluţiile slabe ale problemei mixte. În continuare vom prezenta un principiude maxim pentru cazul Ω = IRn.

Teorema 5.2. Dacă u ∈ C(IRn×[0, T ]) ∩ C2,1(IRn×(0, T ]), u mărginită şi

∂u

∂t(x, t)−∆u(x, t) ≤ 0, în IRn×(0, T ]

atuncisup

IRn×[0,T ]u(x, t) = sup

IRnu(x, 0).

Demonstraţie. Fie M = supIRn×[0,T ]

u(x, t) şi N = supIRn

u(x, 0). Evident M ≥ N.

Fie ε > 0 şi vε funcţia definită prin

vε(x, t) = u(x, t)− ε(2nt+ ∥x∥2).

Se observă că∂vε∂t

−∆vε ≤ 0, în IRn×(0, T ].

Să presupunem, prin absurd, că M > N. Pentru ∥x∥2 ≥ ε−1(M − N) şit ∈ (0, T ] avem vε(x, t) ≤ M − ε(ε−1(M − N)) = N şi vε(x, 0) = u(x, 0) −ε∥x∥2 ≤ N.

În QT = (x, t) : ∥x∥2 ≤ ε−1(M − N), t ∈ [0, T ] putem aplica Teorema5.1 şi obţinem

vε(x, t) ≤ N, ∀ (x, t) ∈ IRn×[0, T ].

De aici rezultă

u(x, t) ≤ N + ε(2nt+ ∥x∥2), ∀ (x, t) ∈ IRn×(0, T ).

38

Dacă fixăm perechea (x, t) şi facem pe ε să tindă la zero în inegalitatea de maisus, obţinem u(x, t) ≤ N care implică M ≤ N , de unde M = N.

Teorema 5.2 poate fi utilizată pentru demonstrarea unicităţii soluţiei măr-ginite a problemei Cauchy pentru ecuaţia căldurii în tot spaţiul. Această pro-blemă are forma

(5.7)∂u

∂t(x, t)−∆u(x, t) = f(x, t), x ∈ IRn, t ∈ (0, T )

(5.8) u(x, 0) = g(x), x ∈ IRn.

Spunem că funcţia u ∈ C2,1(IRn×(0, T ))∩C(IRn×[0, T ]) este soluţie clasicăa problemei Cauchy (5.7)–(5.8) dacă verifică ecuaţia (5.7) şi condiţia iniţială(5.8). Are loc următorul rezultat

Teorema 5.3. Problema Cauchy (5.7)-(5.8) admite cel mult o soluţie clasicămărginită în IRn×(0, T ).

Demonstraţie. Presupunând că u1 şi u2 sunt soluţii clasice mărginite înIRn×(0, T ), u := u1−u2 este funcţie mărginită şi verifică relaţiile (5.7) şi (5.8)cu f = g = 0. Aplicând Teorema 5.2 rezultă că u ≡ 0, deci u1 = u2.

Capitolul 3

Ecuaţii hiperbolice

3.1 Probleme la limită pentru ecuaţiide tip hiperbolic

Dacă ecuaţiile cu derivate parţiale de tip parabolic descriu fenomenele de trans-fer, cum ar fi transferul de substanţe în procesele de difuzie, cele hiperbolice seîntâlnesc frecvent la descrierea fenomenelor ondulatorii. Prezentăm în conti-nuare forma generală a ecuaţiei hiperbolice de care ne ocupăm în acest capitol.

Fie Ω ⊂ IRn o mulţime deschisă. Ecuaţia

∂2u

∂t2(x, t)−∆u(x, t) = 0, ∀ (x, t) ∈ Ω×(0,∞)

este cunoscută sub numele de ecuaţia undelor, deoarece ea descrie mişcareacoardei vibrante (n = 1), vibraţiile unei membrane elastice (n = 2) sau asolidului elastic (n = 3).

Dacă facem notaţiile: QT = Ω×(0, T ) (T > 0, fixat), ΣT = ∂Ω×(0, T ),atunci problema mixtă pentru ecuaţia undelor cu condiţiile la limită de tipDirichlet omogene, are forma

(1.1)∂2u

∂t2(x, t)−∆u(x, t) = f(x, t), ∀ (x, t) ∈ QT

(1.2) u(x, 0) = u0(x),∂u

∂t(x, 0) = u1(x), ∀x ∈ Ω,

(1.3) u(x, t) = 0, pe ΣT ,

unde f : QT → IR, u0 : Ω → IR şi u1 : Ω → IR sunt funcţii date. În loculcondiţiei Dirichlet omogene (1.3) se poate considera o condiţie de tip Neumann

(1.3)′∂u

∂ν(x, t) = g(x, t) în ΣT

39

40

sau o condiţie de tip mixt (Robin)

(1.3)′∂u

∂ν(x, t) + αu(x, t) = h(x, t) în ΣT ,

unde α ≥ 0 iar g, h : ΣT → IR sunt funcţii date.Spunem că funcţia u : QT → IR este soluţie clasică pentru (1.1)-(1.3) dacă

u ∈ C2(QT ) ∩ C(QT ),∂u

∂t∈ C(QT ) şi verifică (în sens clasic) ecuaţia (1.1)

împreună cu condiţiile iniţiale (1.2) şi la limită (1.3).Trecem acum la prezentarea unui model matematic descris cu ajutorul unei

ecuaţii hiperbolice.Prin simplitate şi apariţia frecventă în multe ramuri ale fizicii matematice,

ecuaţia coardei vibrante constituie un exemplu clasic în teoria ecuaţiilor cuderivate parţiale.

Ecuaţia coardei vibrante. Să considerăm (Fig. 1.1) o coardă flexibilă de lungimeℓ, fixată la capete, care în poziţie de echilibru ia forma unui segment de dreaptă.Presupunem că la momentul t = 0 coarda este scoasă din poziţia de echilibru,care coincide cu direcţia axei Ox şi începe să vibreze.

xl

u

Fig. 1.1.

Notăm cu u(x, t) amplitudinea (abaterea coardei de la poziţia de echilibru)în punctul x şi la momentul t. Ne propunem să obţinem ecuaţia satisfăcută deu, ca funcţie de x şi t.

Cu alte cuvinte, dacă u(x, t) este deplasarea verticală a punctului de pecoardă aflat la distanţa x de origine la momentul t, atunci care este ecuaţiacu derivate parţiale satisfăcută de u(x, t)? Pentru a simplifica raţionamentulfacem următoarele ipoteze:

1. Presupunem că deplasările coardei se află în acelaşi plan (xOu), iardirecţia deplasării este perpendiculară pe axa Ox; atunci fenomenul poate fi

41

descris printr-o singură funcţie u(x, t), care caracterizează deplasarea verticalăa corzii.

2. Coarda este flexibilă şi elastică, adică tensiunile care apar în coardă suntorientate totdeauna după tangentele la profilul ei instantaneu şi coarda nu seopune la flexiune.

3. Nu există elongaţii ale niciunui segment al corzii, deci după legea luiHooke, mărimea tensiunii T (x, t) este constantă, |T (x, t)| = T0, ∀x ∈ (0, ℓ),∀ t > 0.

4. Forţele exterioare, precum rezistenţa aerului şi greutatea corzii suntneglijabile.

5. Panta∂u

∂xîn fiecare punct al corzii (deplasate) este neglijabilă, prin

urmare amplitudinea u este mică în raport cu lungimea corzii.Alegem în mod arbitrar un arc M1M2 de pe coardă în care punctele M1 şi

M2 au coordonatele (x, u) şi, respectiv, (x+∆x, u+∆u) (Fig. 1.2).

u

0

M (x,u)1

M (x+ x, u+ u)2 D D T2

T1a

1

a2

x x+ xD x

Fig. 1.2.

Notăm cu T1 şi T2 tensiunile în M1 şi, respectiv, M2 care, după cum amspecificat în ipoteza 2, acţionează pe direcţiile tangentelor la arcul

M1M2 în

cele două puncte.

Notăm cu ∆s lungimea arcului

M1M2 şi ρ(x) densitatea liniară de masă acorzii. Deoarece fiecare punct al corzii se mişcă doar pe direcţia perpendicularăpe axa Ox, rezultă că componentele orizontale ale tensiunilor T1 şi T2 sunt

42

egale. Deci−T1 cosα1 + T2 cosα2 = 0

sauT1 cosα1 = T2 cosα2 = T0 = constant,

unde am notat Ti = |Ti|, i = 1, 2.Componenta verticală a forţei de tensiune ce acţionează asupra elementului

de arc ∆s este−T1 sinα1 + T2 sinα2 =

= T0(−tgα1 + tgα2) = T0

[−∂u(x, t)

∂x+∂u(x+∆x, t)

∂x

].

Din legea a doua a lui Newton rezultă că (pentru echilibru) suma forţelorce acţionează asupra elementului de arc ∆s trebuie să fie nulă. Deci

T0

[∂u(x+∆x, t)

∂x− ∂u(x, t)

∂x

]= ρ(x)∆s

∂2u

∂t2(x, t)

unde x este abscisa centrului de masă a lui ∆s. Deoarece ∆s ∼= ∆x, împărţindambii membri ai egalităţii de mai sus cu ∆s şi trecând la limită cu ∆x → 0obţinem

(1.4) T0∂2u(x, t)

∂x2= ρ(x)

∂2u(x, t)

∂t2·

Dacă asupra corzii acţionează o forţă externă de densitate f0(x, t), atunciecuaţia (4) devine

(1.5) ρ(x)∂2u(x, t)

∂t2− T0

∂2u(x, t)

∂x2= f0(x, t), ∀x ∈ (0, ℓ), t > 0.

Dacă presupunem că ρ(x) ≡ ρ = constant, atunci ecuaţia (1.5) capătă forma

(1.6)∂2u(x, t)

∂t2− a2

∂2u(x, t)

∂x2= f(x, t) în (0, ℓ)×(0,∞),

unde a2 = T0ρ−1, f = f0ρ

−1.Deoarece extremităţile corzii sunt fixate, ecuaţiei (1.6) i se asociază condi-

ţiile la limită de tip Dirichlet

(1.7) u(0, t) = u(ℓ, t) = 0, ∀ t ≥ 0.

În afară de acestea, se dau "condiţiile iniţiale", adică forma şi viteza corziila momentul inţial

(1.8) u(x, 0) = u0(x),∂u

∂t(x, 0) = u1(x), ∀x ∈ (0, ℓ).

43

3.2 Rezolvarea ecuaţiei coardei vibrante cu metoda lui Fourier

În cele ce urmează, la fel ca în cazul parabolic, vom încerca să găsim o soluţiepentru ecuaţia coardei vibrante (deci cazul n = 1), utilizând metoda separăriivariabilelor. Menţionăm faptul că prin această metodă vom determina doar osoluţie formală care însă este un bun "candidat" la soluţia clasică, atunci cânddatele problemei au un grad suficient de regularitate.

Soluţii formale pentru ecuaţia omogenă

Fie problema mixtă

(2.1)

utt = a2uxx, x ∈ (0, l), t > 0

u(x, 0) = u0(x), x ∈ [0, l]

ut(x, 0) = u1(x), x ∈ [0, l]

u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ 0.

Pentru problema omogenă

(2.2)

utt = a2uxx, x ∈ (0, l), t > 0

u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0

căutăm o soluţie de forma

(2.3) u(x, t) = T (t)X(x).

Impunând acesteia să satisfacă ecuaţia şi condiţiile la limită în problema (2.2),obţinem pentru X şi T , următorul sistem de ecuaţii diferenţiale ordinare

(2.4)

T ′′ + λa2T = 0

−X ′′ = λX,

X(0) = X(l) = 0.

Într-adevăr, din faptul că (2.3) este soluţie pentru (2.2)1 deducem

T ′′(t)X(x) = a2T (t)X ′′(x),

de unde, după separarea variabilelor rezultă

(2.5)T ′′(t)

a2T (t)=X ′′(x)

X(x).

44

Acum, deoarece în (2.5) membrul stâng este constant în raport cu variabilax, iar membrul drept este constant în raport cu t, pentru ca această egalitate săaibă loc pentru perechile (x, t) (x ∈ (0, l), t > 0) este necesar ca ambii membrisă fie constanţi în (x, t).

Notăm valoarea constantei cu −λ şi astfel găsim primele două ecuaţii din(2.4). Ultima relaţie din (2.4) rezultă din cerinţa ca (2.3) să satisfacă condiţiilela limită (omogene) din (2.2).

Problema −X ′′ = λX

X(0) = X(l) = 0

a fost analizată deja (la cazul parabolic) şi am văzut că soluţiile sunt

(2.6) Xk(x) = sinkπ

lx, k ∈ N∗

pentru valorile parametrului λ,

(2.7) λk =

(kπ

l

)2

.

Soluţiile (2.6) formează un sistem ortogonal complet de vectori proprii ai ope-ratorului A : L2(0, l) → L2(0, l), definit prin AX = −X ′′, cu domeniul

D(A) = X ∈ C2(0, l) ∩ C([0, l]) : X(0) = X(l) = 0, X ′′ ∈ L2(0, l)

corespunzător valorilor proprii (2.7).Rezolvând acum ecuaţia

T ′′ + λa2T = 0,

obţinem soluţia generală

Tk(t) = Ak cosakπ

lt+Bk sin

akπ

lt,

Ak, Bk fiind constante arbitrare. Prin urmare soluţiile de forma (2.3) sunt

uk(x, t) = [Ak cosakπ

lt+Bk sin

akπ

lt] sin

kπ

lx

şi deoarece problema (2.2) este liniară este de aşteptat ca şi suma seriei

(2.8) u(x, t) =

∞∑k=1

[Ak cosakπ

lt+Bk sin

akπ

lt] sin

kπ

lx,

45

să fie de asemenea soluţie.Punând condiţia ca funcţia definită de (2.8) să verifice condiţiile iniţiale ale

problemei (2.1) (u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x)) obţinem

∞∑k=1

Ak sinkπ

lx = u0(x)(2.9)

∞∑k=1

akπ

lBk sin

kπ

lx = u1(x).(2.10)

Dar sin kπl xk∈N∗ este o bază în L2(0, l), deci funcţiile u0 şi u1 pot fi

dezvoltate în funcţie de elementele acestei baze

u0(x) =∞∑k=1

ak sinkπ

lx,(2.11)

u1(x) =

∞∑k=1

bk sinkπ

lx,(2.12)

coeficienţii ak şi bk fiind daţi de

ak =2

l

∫ l

0u0(x) sin

kπ

lx dx,(2.13)

bk =2

l

∫ l

0u1(x) sin

kπ

lx dx.(2.14)

Din unicitatea dezvoltării în serie Fourier după o bază dată, analizândrelaţiile (2.9)-(2.12) rezultă că Ak = ak şi Bk = l

akπ bk, prin urmare funcţia udată de (2.8) este:

(2.15) u(x, t) =∞∑k=1

[ak cosakπ

lt+

l

akπbk sin

akπ

lt] sin

kπ

lx

cu ak şi bk daţi de relaţiile (2.13), (2.14).Aceasta se mai numeşte soluţie formală pentru problema (2.1).

Observaţie. La fel ca în cazul parabolic, caracterul formal al soluţieiprezentate mai sus provine din acceptarea faptului că suma seriei (2.15) solu-ţionează problema (2.1), pentru că fiecare din termenii săi are această propri-etate. Evident că acest lucru nu este adevărat în general, dar este posibil înanumite condiţii de regularitate asupra datelor problemei.

46

Soluţii formale pentru ecuaţia neomogenă

Pentru ecuaţia neomogenă a coardei vibrante

(2.16)

utt = a2uxx + f(x, t), x ∈ (0, l), t > 0

u(x, 0) = u0(x), x ∈ [0, l]

ut(x, 0) = u1(x)

u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ 0

procedăm la fel ca în cazul problemei parabolice neomogene căutând o soluţiede forma

(2.17) u(x, t) =∞∑k=1

Tk(t) sinkπ

lx.

Din cerinţa ca (2.17) să verifice ecuaţia utt = a2uxx + f(x, t), x ∈ (0, l),t > 0 şi condiţiile iniţiale

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), x ∈ [0, l]

ajungem pentru coeficienţii Tk la problema Cauchy

(2.18)

T ′′k +

(akπl

)2Tk = ck(t)

Tk(0) = ak

T ′k(0) = bk

în care ck(t), ak şi bk sunt coeficienţii din dezvoltările în serii Fourier ale datelorproblemei f , u0 şi respectiv u1,

f(x, t) =

∞∑k=1

ck(t) sinkπ

lx,

u0(x) =

∞∑k=1

ak sinkπ

lx,

u1(x) =

∞∑k=1

bk sinkπ

lx,

47

adică

ck(t) =2

l

∫ l

0f(x, t) sin

kπ

lx dx

ak =2

l

∫ l

0u0(x) sin

kπ

lx dx,

bk =2

l

∫ l

0u1(x) sin

kπ

lx dx.

Folosind metoda variaţiei constantelor obţinem soluţia problemei Cauchy (2.18)

Tk(t) = ak cosakπ

lt+

l

akπbk sin

akπ

lt+

∫ t

0sin

akπ

l(t− s)ck(s)ds,

care, introdusă în (2.17) conduce la soluţia formală a problemei (2.16).

u(x, t) =∞∑k=1

[ak cosakπ

lt+

l

akπbk sin

akπ

lt] sin

kπ

lx+

+∞∑k=1

[

∫ t

0sin

akπ

l(t− s)ck(s)ds] sin

kπ

lx.(2.19)

Observaţia 1. Problema cu condiţii la limită neomogeneutt = a2uxx + f(x, t), x ∈ (0, l), t > 0

u(x, 0) = u0(x), x ∈ [0, l]

ut(x, 0) = u1(x), x ∈ [0, l]

u(0, t) = µ1(t), u(l, t) = µ2(t), t ≥ 0

se reduce la o problemă cu condiţii la limită omogene cu transformarea

v(x, t) = u(x, t)− µ1(t)−x

l[µ2(t)− µ1(t)].

Observaţia 2. Dacă u0, u1 şi f satisfac nişte proprietăţi de regularitatecare asigură faptul că seria (2.19) ce defineşte soluţia formală, precum şi seriilederivatelor (până a ordinul al doilea) în raport cu x să fie absolut şi uniformconvergente, se poate demonstra prin verificare directă (vezi [4], [5]) că soluţiaformală dată de (2.19) este de fapt o soluţie clasică a problemei (2.16).

48

3.3 Un rezultat de unicitate

Rezultatul pe care îl demonstrăm în propoziţia următoare stabileşte unicitateasoluţiei pentru problema mixtă corespunzătoare ecuaţiei neomogene a coardeivibrante.

Propoziţia 3.1. Problema

(3.1)

utt = a2uxx + f(x, t), x ∈ (0, l), t > 0

u(x, 0) = u0(x), x ∈ [0, l]

ut(x, 0) = u1(x), x ∈ [0, l]

u(0, t) = µ1(t), u(l, t) = µ2(t), t ≥ 0

are cel mult o soluţie.

Demonstraţie. Presupunând, prin reducere la absurd, că problema (3.1)are două soluţii u1 şi u2, diferenţa u = u1 − u2 este soluţie a problemei

(3.2)

utt = a2uxx, x ∈ (0, l), t > 0

u(x, 0) = ut(x, 0) = 0, x ∈ [0, l]

u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ 0.

Pentru stabilirea unicităţii este suficient să arătăm că problema (3.2) arenumai soluţia identic nulă.

Fie deci u, soluţie a problemei (3.2). Din

utt = a2uxx,

prin integrare prin părţi deducem∫ l

0

d

dt[ut(x, t)]

2dx = 2

∫ l

0ut(x, t)utt(x, t)dx =

= 2a2∫ l

0ut(x, t)uxx(x, t)dx = 2a2ut(l, t)ux(l, t)−

− 2a2ut(0, t)ux(0, t)− 2

∫ l

0a2utx(x, t)ux(x, t)dx.

Apoi, din condiţia (3.2)3 (u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ 0) rezultă ut(0, t) =ut(l, t) = 0, t > 0, care introduse în egalitatea de mai sus conduc la

(3.3)∫ l

0

d

dt[ut(x, t)]

2dx = −2

∫ l

0a2utx(x, t)ux(x, t)dx.

49

Integrând ambii membri ai egalităţii (3.3) în raport cu variabila t şi aplicândteorema lui Fubini de inversare a ordinii de integrare obţinem

(3.4)∫ l

0

∫ t

0

d

dτ[ut(x; τ)]

2dτdx = −∫ l

0

∫ t

0a2

d

dτ[ux(x, τ)]

2dτdx.

Utilizând condiţiile iniţiale (3.2)2 în relaţia (3.4) obţinem∫ l

0[ut(x, t)]

2dx+ a2∫ l

0[ux(x, t)]

2 = 0

şi cum fiecare termen din membrul stâng al acestei egalităţi este nenegativrezultă ∫ l

0[ut(x, t)]

2dx = a2∫ l

0[ux(x, t)]

2dx = 0,

care, având în vedere continuitatea funcţiilor ut şi ux implică

ut(x, t) = ux(x, t) = 0, pentru (x, t) ∈ (0, l)× (0,∞),

funcţia u fiind deci constantă. Condiţiile iniţiale sau la limită din problema(3.2) implică faptul că această constantă este nulă ceea ce încheie demonstraţiapropoziţiei.

Exemplu. Vom considera în acest exemplu mişcările unei corzi elastice delungime ℓ fixată la ambele capete, asupra căreia acţionează o forţă f .

Am văzut că modelul matematic pentru această problemă este dat de sis-temul

(3.5)∂2u

∂t2− ω2 ∂

2u

∂x2= f(x, t), x ∈ (0, ℓ), t > 0,

(3.6) u(x, 0) = u0(x),∂u

∂t(x, 0) = u1(x), x ∈ (0, ℓ),

(3.7) u(0, t) = u(ℓ, t) = 0, t ≥ 0

unde a2 este o constantă ce măsoară proprietăţi fizice ale corzii, iar u0 şi u1reprezintă poziţia şi, respectiv, viteza iniţială a corzii. Pentru determinareasoluţiei formale, folosim metoda separării variabilelor, în care scop avem nevoiede valorile şi funcţiile proprii pentru problema

−φ′′(x) = λφ(x), ∀x ∈ (0, ℓ); φ(0) = φ(ℓ) = 0.

50

După cum am văzut, această problemă are o infinitate numărabilă de valoriproprii şi funcţii proprii date prin

λk =

(kπ

ℓ

)2

, φk(x) =

√2

ℓsin

kπ

ℓx, x ∈ (0, ℓ), k = 1, 2, ...

Prin urmare, conform (2.19), soluţia problemei (3.5)–(3.7) este dată de funcţia

(3.8) u(x, t) =∞∑k=1

(ak cos

kπω

ℓt+ bk sin

kπω

ℓt+ ck(t)

)sin

kπ

ℓx,

unde

ak =2

ℓ

∫ ℓ

0u0(x) sin

kπ

ℓx dx,

bk =2

kπω

∫ ℓ

0u1(x) sin

kπ

ℓx dx,

ck(t) =1

kπω

∫ t

0fk(s) sin

ωkπ

ℓ(t− s)ds

fk(s) =2

ℓ

∫ ℓ

0f(x, s) sin

kπ

ℓx dx,

pentru k = 1, 2, ...Dacă f = 0, soluţia u dată prin formula (3.8) capătă forma

(3.9) u(x, t) =∞∑k=1

(ak cos

kπω

ℓt+ bk sin

kπω

ℓt

)sin

kπ

ℓx

şi reprezintă vibraţiile libere ale corzii elastice cu capetele fixate. Aceastăformulă are o interpretare interesantă pentru instrumentele muzicale cu corzi.

La instrumentele cu percuţie (de exemplu, pianul), vibraţia este provocatăprintr-o lovitură care se dă corzii (deci coarda nu are deplasare iniţială, u0 ≡0, ci doar viteză iniţială), iar la cele cu coarde ciupite (de exemplu, harpa),vibraţiile sunt produse de o deviere iniţială (deci u1 ≡ 0).

Termenii seriei,

uk(x, t) =

(ak cos

kπω

ℓt+ bk sin

kπω

ℓt

)sin

kπ

ℓx

descriu mişcările simple ale corzii numite şi oscilaţii proprii. Aceste oscilaţii au

perioadele Tk =2ℓ

kωşi sunt independente de x, deci aceeaşi perioadă pentru

51

toate punctele corzii, iar amplitudinea este√a2k + b2k

∣∣∣sin κπ

ℓx∣∣∣, proprie fiecărui

punct al corzii.Cea mai mare amplitudine o au punctele pentru care

∣∣∣sin κπ

ℓx∣∣∣ = 1. Aceste

puncte pot fi determinate uşor pe coardă pentru diverse valori ale lui k. Vi-braţiile corzii provoacă vibraţii ale aerului care sunt percepute ca sunete. In-tensitatea sunetului este caracterizată de amplitudinea (sau energia) vibraţiei,iar înălţimea sunetului (sau tonul) este caracterizată de perioada vibraţiei.

Tonul fundamental este dat de prima oscilaţie (k = 1), iar celelalte oscilaţiiproprii reprezintă armonice ale tonului fundamental.

O discuţie mai detaliată a acestor chestiuni se găseşte în [5].

3.4 Problema Cauchy pentru ecuaţia coardei vibrante

Problema Cauchy pentru coarda vibrantă constă în determinarea funcţei ucare verifică problema

(4.1)

utt = a2uxx + f(x, t), x ∈ R, t > 0

u(x, 0) = u0(x), x ∈ Rut(x, 0) = u1(x), x ∈ R.

Pentru început ne ocupăm de problema omogenă

(4.2)

utt = a2uxx, x ∈ R, t > 0

u(x, 0) = u0(x), x ∈ Rut(x, 0) = u1(x), x ∈ R

Ecuaţia

(4.3) utt = a2uxx

poate fi rezolvată prin schimbarea de variabile (aducerea la forma canonică)

ξ = x− at, η = x+ at.

În urma acestei schimbări de variabile ecuaţia (4.3) devine

uξη = 0

a cărei soluţie generală (după integrarea succesivă în raport cu η şi apoi cu ξ)este

u = ϕ(ξ) + ψ(η).

52

Astfel, în variabilele caracteristice soluţia ecuaţiei coardei vibrante (delungime infinită) este

u(ξ, η) = ϕ(ξ) + ψ(η),

iar în variabilele iniţiale

(4.4) u(x, t) = ϕ(x− at) + ψ(x+ at).

Această soluţie depinde de două funcţii arbitrare ϕ şi ψ şi se mai numeştesoluţia lui D′Alembert.

Pentru rezolvarea problemei (4.2), plecăm de la (4.4) şi folosind dateleiniţiale obţinem

u(x, 0) = ϕ(x) + ψ(x) = u0(x)

ut(x, 0) = −aϕ′(x) + aψ′(x) = u1(x).

Derivând prima relaţie şi rezolvând sistemul obţinut în ϕ′ şi ψ′, găsim

ϕ′(x) =1

2u′0(x)−

1

2au1(x)

ψ′(x) =1

2u′0(x) +

1

2au1(x).

Integrând apoi ultimele două relaţii, avem

ϕ(x) =u0(x)

2− 1

2a

∫ x

0u1(s)ds+ c1,(4.5)

ψ(x) =u0(x)

2+

1

2a

∫ x

0u1(s)ds+ c2(4.6)

unde c1, c2 sunt constante.Schimbând variabilele x 7→ (x − at) şi respectiv x 7→ (x + at) în (4.5) şi

respectiv (4.6), prin adunare, obţinem

ϕ(x− at) + ψ(x+ at) =u0(x− at) + u0(x+ at)

2+

+1

2a

∫ x+at

x−atu1(s)ds+ c1 + c2.

Făcând t = 0 în această egalitate şi ţinând cont de condiţia iniţială (ϕ(x) +ψ(x) = u0(x)) găsim că c1+c2 = 0, obţinând în acest fel soluţia lui D′Alembertpentru problema Cauchy omogenă

(4.7) u(x, t) =u0(x− at) + u0(x+ at)

2+

1

2a

∫ x+at

x−atu1(s)ds.

53

Aşadar am stabilit:

Teorema 4.1. Dacă u este soluţie a problemei Cauchyutt − a2uxx = 0, x ∈ R, t > 0

u(x, 0) = u0(x), x ∈ Rut(x, 0) = u1(x), x ∈ R

atunci ea este dată de formula (4.7).

Corolarul 4.1. Problema Cauchy neomogenă

(4.8)

utt − a2uxx = f(x, t), x ∈ R, t > 0

u(x, 0) = u0(x), x ∈ Rut(x, 0) = u1(x), x ∈ R

are cel mult o soluţie.

Demonstraţie. Presupunând că u1 şi u2 sunt două soluţii ale problemei(4.8) rezultă că diferenţa u1 − u2 verifică problema

utt − a2uxx = 0

u(x, 0) = 0

ut(x, 0) = 0

care, conform formulei (4.7) are doar soluţie banală.

Propoziţia 4.1. Dacă u0 ∈ C2(R) şi u1 ∈ C2(R), atunci problema Cauchy(4.2) are o soluţie şi numai una dată de (4.7).

Demonstraţie. Unicitatea a fost demonstrată deja iar existenţa se verificăprin cadrul direct plecând de la formula (4.7).

Cazul ecuaţiei neomogene

Fie problema Cauchy

(4.9)

utt = a2uxx + f(x, t), x ∈ R, t > 0

u(x, 0) = 0, x ∈ Rut(x, 0) = 0, x ∈ R.

54

Are loc

Teorema 4.2. Dacă f ∈ C1(R× [0,∞)), atunci funcţia u, dată prin

(4.10) u(x, t) =1

2a

∫ t

0

∫ x+a(t−τ)

x−a(t−τ)f(ξ, τ)dξ dτ

este unica soluţie a problemei Cauchy (4.9).

Demonstraţie. Se verifică prin calcul faptul că (4.10) este soluţie a pro-blemei (4.9). Unicitatea rezultă din Corolarul 4.1.

Corolarul 4.2. Dacă u0 ∈ C2(R), u1 ∈ C1(R) şi f ∈ C1(R × [0,∞)),atunci problema Cauchy

(4.11)

utt = a2uxx + f(x, t), x ∈ R, t > 0

u(x, 0) = u0(x), x ∈ Rut(x, 0) = u1(x), x ∈ R

are soluţie unică dată de formula lui D′Alembert

u(x, t) =u0(x− at) + u0(x+ at)

2+

1

2a

∫ x+at

x−atu1(s)ds+

+1

2a

∫ t

0

∫ x+a(t−τ)

x−a(t−τ)f(ξ, τ)dξ dτ.

Demonstraţie. Rezultă imediat, scriind problema (4.11) ca o sumă dedouă probleme şi aplicând teoremele 4.1 şi 4.2.

4.5 Discuţii asupra soluţiei ecuaţiei coardei vibrante

Dacă analizăm soluţia (4.4)

u(x, t) = ϕ(x− at) + ψ(x+ at)

constatăm că aceasta este suma a două "unde" care se deplasează la dreapta şirespectiv la stânga pe axa Ox cu viteza a. Astfel x−at = constant, determinăo dreaptă cu panta pozitivă a, în planul xOt, iar ϕ este constantă pe aceastădreaptă. Analog ψ este constantă pe dreapta x + at = constant, care are opantă negativă −a în planul xOt.

55

Cele două semidrepte x±at = constant, se numesc caracteristice, deoarecepe ele se păstrează valorile undelor de la momentul iniţial t = 0.

Această proprietate prin care datele iniţiale sunt păstrate de-a lungul carac-teristicilor deosebeşte ecuaţiile hiperbolice de cele parabolice şi eliptice.

O discuţie asemănătoare poate fi făcută plecând de la formula lui D′Alembert(10.7).

Încheiem, cu câteva observaţii succinte ce reies din această formulă.• Undele se propagă cu viteza finită• Singularităţile datelor iniţiale u0 şi u1 nu se "netezesc" în timp (cum se

întâmplă în cazul parabolic, de exemplu).• Dacă nu apar forţe de amortizare (ca în ecuaţia undelor, utt = a2uxx)

soluţiile nu dispar în timp.

56

Bibliografie

[1] Aniculăesei, G., Ecuaţii diferenţiale şi ecuaţiile fizicii matematice, EdituraUniversităţii "Al.I. Cuza" Iaşi, 2003.

[2] Aniculăesei, G., Aniţa, S., Ecuaţii cu derivate parţiale, Editura Univer-sităţii "Al.I. Cuza" Iaşi, 2001.

[3] Banţă, V., Ecuaţii cu derivate parţiale, Culegere de probleme, LitografiaUniversităţii, Bucureşti, 1984.

[4] Hărăguş, D., Ecuaţii cu derivate parţiale, Editura Universităţii de Vest,2001.

[5] Tihonov, A.N., Samarski, A.A., Ecuaţiile fizicii matematice, EdituraTehnică, Bucureşti, 1956.

57