ecuaciones diferenciales [blanchard, devaney, hall]

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ECUACIONES DIFERENCIALES

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ECUACIONES DIFERENCIALESPaul Blanchard

Robert L. DevaneyGlen R. HallBoston University

~ ~International Thomson EditoresAn lnternational Thomson Publishing Company I(!)P Mxico Albany Bonn Boston Johannesburgo Londres Melbourne Nueva York Pars San Francisco San Juan, PR Santiago Sao Paulo Singapur Tokio Toronto Washington


Traducc in de libro: Differential EquatlOns, publicado en ingls por Brooks/Cole Pub lishing. 1998, Brooks Cole Publishing, an ITP Company ISBN 0-534-34550-6

Ecuaciones diferencialesISBN 968 -7529-63 -6 Derechos reservados respecto a la edicin en espaol. 1999 por lnternational Thomson Editores, S. A. de C.

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I P International Thomson Editores, S. A. de C. V. es una empresa de International Thomson Publishing. La marca registrada ITP se usa bajo licencia.

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Editora de desarrollo: Letic ia Medina Editor de produccin: Ren Garay Argueta Director editori.al y de produccin: Miguel ngel Toledo Castellanos Correccin de estilo: Martha Alvarado Diseo de portada: Iztac/Kooji Nishi Tipografa: Pag & T ips Lecturas: Carlos Z iga y Roberto Alfaro

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Queda prohibida la reproduccin o transmisin total o parcial del texto de la presente obra bajo cualesquiera formas, e lectrn ica o mecn ica, incluyendo el fotocopiado, el almacenamiento en algn sistema de recuperacin de informacin , o e l grabado, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

AII righls reserved. No part ofthis work covered by the copyright hereon may be reproduced or used in any form or hy uny means - graphic, electronic, or mechanical, including photocopying, recording, taping or information slorage and relrieval .\ystems- without the written permission ofthe publisher.Impreso en Mxico Prinled in Mexico


QA371 85518 1999 PAUL 8LANCHARD1111111l1li11111111111111111111111111111111l1li1111111111111 0233005740

ECUACIONES DIFERENCIALES

Traduccin Jos de la Cera Alonso Universidad Autnoma Metropolitana, Azcapotzalco Revisin tcnica Edmundo Palacios Pastrana Universidad Iberoamericana


SOBRE LOS AUTORESPaul Blanchard Paul Blanchard creci en Sutton, Massachusetts, hizo su licenciatura en Brown University y recibi su Ph.D. de la Yale University. Ha enseado matemticas universitarias durante veinte aos, principalmente en la Boston University. Ha sido coautor de varios libros y contribuido con captulos a cuatro libros de texto diferentes. Su principal rea de investigacin matemtica son los sistemas dinmicos complejos analticos y los conjuntos punto asociados, los conjuntos Julia y el conjunto Mandelbrot. Recientemente su inters se ha centrado en reformar el curso tradicional de ecuaciones diferenciales, y preside el Boston University Differential Equations Project y dirige los talleres de este innovativo enfoque para la enseanza de las ecuaciones diferenciales. Robert L. Devaney Robert L. Devaney creci en Methuen, Massachusetts. Recibi su grado de licenciatura del Holy Cross College y su Ph.D. de la Universidad de California en Berkeley. Ha impartido ctedra en la Boston University desde 1980. Su principal rea de investigacin son los sistemas dinmicos complejos y ha dado conferencias en todo el mundo sobre este tema. En 1996 recibi el National Excellence in Teaching Award de la Asociacin Matemtica de Amrica. Glen R. Hall Olen R. Hall pas la mayor parte de su juventud en Denver, Colorado. Su grado de Licenciatura lo recibi del Carleton College y su Ph.D. de la University of Minnesota. Sus intereses de investigacin son principalmente la dinmica de bajas dimensiones y la mecnica celeste. Ha publicado numerosos artculos sobre la dinmica de mapeos circulares y anulares. Por sus investigaciones, la National Science Foundation y la Sloan Foundation le han otorgado becas posdoctorales.


PREfACIO

El estudio de las ecuaciones diferenciales es una hermosa aplicacin de las ideas y procedimientos del clculo a nuestra vida cotidiana. Podra decirse que el clculo fue desarrollado bsicamente para que los principios que gobiernan muchos fenmenos pudieran ser expresados en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Desafortunadamente, fue difcil transmitir la belleza del tema en el tradicional primer curso sobre ecuaciones diferenciales, porque el nmero de ecuaciones que pueden tratarse con procedimientos analticos es muy limitado. En consecuencia, el curso se enfoc ms en los procedimientos que en los conceptos. Este libro es una consecuencia de nuestra opinin de que ahora podemos efectuar una revisin radical y abordamos nuestro curso actualizado con varias metas en mente. En primer lugar, el nfasis tradicional en ardides y procedimientos especializados para resolver ecuaciones diferenciales ya no es apropiado, dada la tecnologa disponible. En segundo lugar, muchas de las ecuaciones diferenciales ms importantes no son lineales y los procedimientos numricos y cualitativos son ms efectivos que los analticos para estos casos. Finalmente, el curso de ecuaciones diferenciales es uno de los pocos cursos a nivel de licenciatura donde es posible dar a los estudiantes una breve visin de la naturaleza de la investigacin matemtica contempornea.

Los enfoques cualitativo, numrico y analticoDe acuerdo con ello, este libro se desva radicalmente del tpico texto "recetario de cocina" sobre ecuaciones diferenciales. Hemos eliminado la mayor parte de los procedimientos especializados para obtener frmulas de soluciones y los hemos reemplazado con temas que se centran en la formulacin de ecuaciones diferenciales y la interpretacin de sus soluciones. A fin de adquirir un entendimiento de stas, resolvemos una ecuacin desde tres puntos de vista diferentes. El principal enfoque que adoptamos es cualitativo. Esperamos que los estudiantes sean capaces de visualizar las ecuaciones diferenciales y sus soluciones de muchas maneras geomtricas. Por ejemplo, usamos campos de pendientes, grficas de soluciones, campos vectoriales y curvas solucin en el plano fase como herramientas para un mejor entendimiento de las soluciones. Tambin pedimos a los estudiantes que adquieran destreza para moverse entre las representaciones geomtricas y analticas ms tradicionales. Como el estudio de las ecuaciones diferenciales resulta ms fcil usando la computadora, tambin hacemos nfasis en los procedimientos numricos. Suponemos que los estudiantes tienen algn acceso a procedimientos tecnolgicos que facilitan la aproximacin a las soluciones y a las grficas de esas soluciones. Aun cuando podemos encontrar una

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PREFACIO

frmula explcita para una solucin, a menudo trabajamos numrica y cualitativamente con la ecuacin para entender la geometra y el comportamiento a largo plazo de las soluciones. Cuando podemos encontrar soluciones explcitas fcilmente (como en el caso de ecuaciones separables de primer orden o sistemas lineales de coeficientes constantes), efectuamos los clculos. Pero nunca dejamos de examinar las frmulas resultantes que obtenemos tambin con los puntos de vista cualitativo y numrico.

Cambios especficosExisten varios aspectos especficos en los que este libro difiere de otros en este nivel. Primero, incorporamos el modelado en forma integral. Esperamos que los estudiantes entiendan el significado de las variables y parmetros de una ecuacin diferencial y que sean capaces de interpretarlo en trminos de un modelo particular. Ciertos modelos aparecen repetidamente como temas secuenciales y son tomados de varias disciplinas, de manera que los estudiantes con diferente preparacin curricular encuentren temas familiares. Tambin adoptamos un punto de vista dinmico para sistemas. Siempre estamos interesados en el comportamiento a largo plazo de las soluciones de una ecuacin y, usando todos los enfoques apropiados delineados arriba, pedimos a los estudiantes predecir este comportamiento. Adems, reiteramos el papel de los parmetros en muchos de nuestros ejemplos y estudiamos especficamente la manera en que cambia el comportamiento de las soluciones cuando esos parmetros son modificados. Igual que en otros textos, comenzamos con las ecuaciones de primer orden, pero el nico procedimiento analtico que usamos para encontrar soluciones en forma cerrada es el de separacin de variables (y, al final de captulo, uno o dos factores de integracin para tratar ciertas ecuaciones lineales). Ms bien, resaltamos el significado de una ecuacin diferencial y sus soluciones en trminos de su campo de pendientes y de las grficas de sus soluciones. Si la ecuacin diferencial es autnoma, tambin analizamos su lnea fase. Este anlisis sirve como una introduccin elemental a la idea de un plano fase, que juega un papel fundamental en captulos subsecuentes. Pasamos directamente de las ecuaciones de primer orden a los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. En vez de considerar las ecuaciones de segundo orden por separado, las convertimos a sistemas de primer orden. Cuando aqullas se tratan como sistemas, podemos usar los procedimientos cualitativos y numricos ms fcilmente. Por supuesto, despus empleamos la informacin obtenida con estos procedimientos, para recuperar informacin sobre las soluciones de la ecuacin original. Tambin iniciamos nuestro aprendizaje de los sistemas con un enfoque general. No restringimos de inmediato nuestra atencin a los sistemas lineales. Los procedimientos cualitativos y numricos funcionan igualmente bien cuando un sistema no es lineal y puede avanzarse un largo trayecto hacia el entendimiento de los sistemas, sin tener que recurrir a los procedimientos algebraicos. Sin embargo, las ideas cualitativas no nos dan una visin completa del asunto, por lo que, en forma natural, llegamos a la idea de linearizacin. Con este antecedente en los conceptos geomtricos y cualitativos fundamentales, procedemos a analizar los sistemas lineales con detalle. Como siempre, no slo damos nfasis a la frmula para la solucin general de un sistema lineal, sino tambin a la geometra de sus curvas solucin y de los eigenvectores y eigenvalores asociados. Si bien nuestro estudio de sistemas requiere un uso mnimo del lgebra lineal, sta no es un prerrequisito definitivo. Como tratamos principalmente con sistemas bidimensionales, desarrollamos todos los mtodos algebraicos necesarios segn avanzamos. En el proceso, prestamos mucha atencin a la geometra relacionada con los eigenvectores y eigenvalores.

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Estos temas forman el ncleo de nuestro enfoque. Sin embargo, hay muchos aspectos adicionales que nos gustara tratar en el curso. En consecuencia, hemos incluido el anlisis de ecuaciones forzadas de segundo orden, de sistemas no lineales, de las transformadas de Laplace, de mtodos numricos y de sistemas dinmicos discretos. Aunque algunos de esos temas son tradicionales, siempre los presentamos de manera consistente con el enfoque desarrollado en la primera mitad del texto. Al final de cada captulo hemos incluido varios "laboratorios". Nuestra ms exitosa modificacin del curso tradicional impartido en la Boston University ha sido efectuar experimentos numricos detallados y escribir sus reportes. Los trabajos de laboratorio sobresalientes son difciles de escribir y calificar, pero consideramos que el beneficio para los estudiantes es extraordinario.

Rutas a travs de este libroHay varias rutas posibles que pueden seguir los profesores al usar este libro. Pensamos que los captulos 1-3 forman el ncleo (con la posible excepcWn de las secciones 2.5 y 3.8 que tratan sistemas tridimensionales). La mayor parte de los ltimos captulos suponen que el lector est familiarizado con este material. Ciertas secciones como la 1.7 (bifurcaciones) y la 1.9 (cambio de variables) pueden pasarse por alto si se tiene cuidado al escoger el material de las secciones subsecuentes. Sin embargo, el material sobre las lneas y planos fase, anlisis cualitativo y soluciones de sistemas lineales es de gran importancia. Una ruta tpica para un curso de ingeniera sera estudiar los captulos 1-3 (dejando de ver tal vez las secciones 1.9,2.5 y 3.8). Esos captulos tomarn aproximadamente dos tercios de un semestre. En el tercio final del curso podran verse las secciones 4.1-4.3 (ecuaciones lineales forzadas de segundo orden y resonancia), la seccin 5.1 (linearizacin de sistemas no lineales) y el captulo 6 (transformadas de Laplace). Los captulos 4 y 5 son independientes uno del otro y pueden estudiarse en cualquier orden. En particular, la seccin 5.1 sobre linearizacin de sistemas no lineales cerca de puntos de equilibrio forma un excelente remate para el material relativo a sistemas lineales del captulo 3. Tambin es posible cubrir las secciones 6.1 y 6.2 (transformadas de Laplace para ecuaciones de primer orden) inmediatamente despus del captulo 1. Como hemos aprendido de nuestros colegas en el College of Engineering de la Boston University, algunos programas de ingeniera ensean un curso sobre teora de circuitos que usa la transformada de Laplace, antes de que sea conveniente. Por ello, las secciones 6.1 y 6.2 estn escritas de manera que el curso sobre ecuaciones diferenciales y sobre circuitos elctricos puedan proceder en paralelo. Sin embargo, de ser posible, recomendamos esperar a cubrir todo el captulo 6 hasta que el material en las secciones 4.1 -4.3 haya sido estudiado. Algunos profesores tal vez desearan sustituir el material sobre dinmica discreta (captulo 8) por las transformadas de Laplace. Un curso para estudiantes con una fuerte base en fsica podra ver ms del captulo 5, inclusive un tratamiento de los hamiltonianos (seccin 5.3) y de los sistemas de gradiente (seccin 5.4). Un curso dirigido hacia matemticas aplicadas podra incluir un anlisis ms detallado de mtodos numricos (captulo 7).

Cambios en la primera edicinNos sentimos muy halagados por la recepcin que ha tenido la edicin preliminar de este libro desde su publicacin en 1995. Nos sentimos especialmente endeudados con el gran nmero de lectores y profesores que nos han hecho comentarios sobre varios puntos de la edicin previa. De acuerdo con ellos, hemos hecho algunos cambios en esta edicin. Los ms importantes estn relacionados con tratamientos ms completos de las ecuaciones

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forzadas de segundo orden y de la resonancia, as como con un tratamiento revisado de las transformadas de Laplace. El material en el captulo 2 se reescribi por completo para seguir ms de cerca nuestra intencin de presentar mtodos analticos, cualitativos y numricos para sistemas en una etapa temprana. Se han agregado dos apndices. El primero es un tratamiento alternativo de las ecuaciones lineales de primer orden y puede usarse en lugar de la seccin 1.8. El segundo es un repaso de los nmeros complejos y de la frmula de Euler. La mayor parte de los cambios restantes tienen que ver slo con reajustes menores de temas, de manera que los profesores puedan evitar saltos dentro de un captulo. Como con cualquier revisin importante de un curso existente, anticipamos que este libro continuar evolucionando en futuras ediciones. Recibimos comentarios, sugerencias y crticas. La mejor manera de hacerlo es enviar un e-mail a [email protected]. Trataremos de responderle y definitivamente leeremos y consideraremos todo comentario.

Nuestro sitio en la Web y pginas auxiliaresLos lectores y profesores son invitados a hacer un extenso uso de nuestro sitio en la red.http://math.bu.edu/odes

En estas pginas hemos colocado una gua an-line para los profesores, que incluye un anlisis de cmo usar el texto. Tambin hemos anexado muestras de planes de estudio proporcionados por los usuarios de varias instituciones, as como la informacin de talleres y seminarios relacionados con la enseanza de las ecuaciones diferenciales. Adems mantenemos una lista de fe de erratas. El lnstructar's Cuide with Salutians, disponible para los profesores que han adoptado el libro como texto, contiene una copia dura de la gua an-line junto con las soluciones para todos los problemas. Nuestro editor, Brooks/Cole, .mantiene tambin el DiffEQ Resource Center enhttp://diffeq. brookscole.com

Estas pginas contienen informacin extensa acerca de la enseanza y aprendizaje de las ecuaciones diferenciales, incluyendo un arreglo extenso de laboratorios e ideas de proyectos, as como conexiones con otras pginas relacionadas con dicha enseanza.

El proyecto de ec.uaclones diferenciales de la Universidad de BostonEste libro es un producto del ahora completo Proyecto sobre Ecuaciones Diferenciales de la Universidad de Boston, patrocinado por la National Science Foundation (NSF Grant DUE-9352833) y la Universidad de Boston. La meta de ese proyecto fue reestructurar a nivel mundial el curso tradicional sobre ecuaciones diferenciales. Estamos especialmente agradecidos por ese apoyo. Paul Blanchard Robert L. Devaney Glen R. Hall Bastan University


RECONOCIMIENTOS

Al pasar de los escritos preliminares a la primera edicin, la lista de gente a la que tenemos el privilegio de dar nuestras gracias ha crecido exponencialmente. Para esta edicin, nuestra mxima deuda es con Gareth Roberts. Como director del proyecto, l supervis la produccin del texto y grficas. Como matemtico y profesor, ha sido un crtico y asistente invaluable. Igual que su predecesor Sam Kaplan, quien fue el director del proyecto para la edicin preliminar, Gareth dej su marca en este texto en muchas maneras positivas. Gracias, Gareth. Con excepcin de unas cuantas figuras dibujadas profesionalmente, este libro fue producido en su totalidad en el Departamento de Matemticas de la Universidad de Bastan usando el macropaquete ASTEX de Alex Kasman en conjuncin con LATEX2 E. Alex es un verdadero mago del TEX y cualquiera que est escribiendo un libro de texto podra tomar en cuenta su paquete. De hecho, las grficas macros de Alex son sumamente tiles en muchos contextos (vea la pgina web de Alex disponible en el sitio http://math.bu.edu). Gran parte del trabajo de produccin, solucin de ejercicios, revisin de la exactitud e interpretacin de las figuras fue hecho por nuestro equipo de estudiantes graduados: Bill Basener, Lee DeVille y Stephanie Ruggiano. Ellos invirtieron largos das y noches en el laboratorio de cmputo para terminar este libro. Dependimos mucho del trabajo hecho por Adrian Iovita, Kinya Ono, Adrian Vajiac y Nuria Fagella durante la produccin de la edicin preliminar. Muchas otras personas en la Universidad de Bastan hicieron contribuciones importantes. En particular, nuestros profesores asistentes Duff Campbell, Michael Rayes, Eileen Lee y Clara Bodelon tuvieron que soportar los dolores de cabeza asociados con nuestra experimentacin. Recibimos apoyo de muchos de nuestros colegas en la Universidad de Bastan y de otras instituciones. Nuestro presidente, Marvin Freedman, nos apoy a todo lo largo del proyecto. Fue un placer especial para todos nosotros trabajar ntimamente con colegas del College of Engineering: Michael Ruane (quien coordina el curso de circuitos), Moe Wasserman (quien permiti a uno de los autores asistir a su curso) y John Baillieul (miembro de nuestra junta directiva). Damos las gracias tambin a Donna Molinek (del Davidson College), Carolyn Narasimhan (DePaul University) y James Walsh (Oberlin College) por organizar talleres para profesores en sus campus. Como se mencion en el prefacio, este libro no existira si nuestro proyecto no hubiese recibido apoyo de la Divisin de educacin a nivel de licenciatura de la National Science Foundation, y agradecemos a los directores del programa en esta institucin por su entusiasmo y apoyo. Damos las gracias tambin a los miembros de la junta directiva

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RECONOCIMIENTOS

John Baillieul, Morton Brown, John Franks, Deborah Hughes Hallett, Philip Holmes y Nancy Kopell. Todos contribuyeron con su valioso tiempo durante los talleres y viajes a la Universidad de Boston. Nos sentimos halagados de que muchos de nuestros colegas fuera de la Universidad de Boston estuviesen dispuestos a ayudarnos con este proyecto. Bill Krohn nos dio valiosos consejos respecto a nuestra presentacin de las transformadas de Laplace, y Bruce Elenbogen ley en forma total las primeras pruebas de los captulos iniciales. Las primeras pruebas de nuestras notas originales fueron probadas en clase bajo diferentes situaciones por Gregory Buck, Scott Sutherland, Kathleen Alligood, Diego Benedette, Jack Dockery, Mako Haruta, Jim Henle, Ed Packel y Ben Pollina. Estamos halagados con la recepcin dada a la edicin preliminar de este texto, y particularmente agradecidos por la paciencia con que los estudiantes y profesores por igual han aceptado nuestro primer intento. Muchos nos han escrito excelentes comentarios y sugerencias. A todos les damos las gracias. En la direccin de la pgina web citada en el prefacio puede encontrarse una lista actualizada. En la creacin de ambas ediciones del texto se han hecho revisiones concienzudas y exhaustivas que han proporcionado una gran ayuda. Las de la edicin preliminar fueron hechas por Charles Boncelet, de la University of Delaware; Dean R. Brown, de la Youngstown State University; Michael Colvin, de la California Polytechnic State University ; Peter Colwell, de la Iowa State University; James P. Fink, del Gettysburg College; Michael Frame, del Union College; Donnie Hallstone, del Green River Community College; Stephen J. Merrill, de la Marquette University; LTC Joe Myers, de la U.S. Military Academy; Carolyn C. Narasimhan, de la DePaul University; Roger Pinkham, del Stevens Institute of Technology; T. G. Proctor, de la Clemson University; Tim Sauer, de la George Mason University; Monty J. Strauss, de la Texas Tech University, y Paul Williams, del Austin Cornmunity College. Los revisores de esta edicin fueron David Arnold, del College of the Redwoods; Steven H. Izen, de la Case Western Reserve University; Joe Marlin, de la North Carolina State University; Kenneth Meyer, de la University of Cincinnati; Joel Robbin, University of Wisconsin en Madison; Clark Robinson, de la Northwestern University, y Jim Walsh, del Oberlin College. Finalmente, como todo autor sabe, escribir un libro requiere considerables sacrificios de la familia. Gracias especiales a Lori, Kathy y Dottie. G.R.H., R.L.D., PB.


NOTA AL ESTUDIANTE

Este libro probablemente es diferente a la gran parte de sus textos de matemticas. Si lo hojea, ver que hay muy pocas frmulas "enmarcadas", ninguna nota al margen y muy pocos procedimientos de n pasos. Lo hemos escrito de esta manera porque pensamos que usted est ahora en una etapa de su educacin en que debe aprender a identificar y trabajar efectivamente con las matemticas inherentes de la vida cotidiana. En el desempeo de su carrera profesional, nadie le pedir que haga todos los ejercicios impares al final de algn manual para empleados, sino que le darn algn problema cuya composicin matemtica puede ser difcil de identificar y le pedirn que haga lo ms que pueda con l. Uno de nuestros objetivos en este libro es comenzar a prepararlo para este tipo de trabajo evitando ejercicios algortmicos artificiales. Nuestra intencin es que lea este libro como cualquier otro texto, trabaje con los ejercicios, releyendo las secciones y ejemplos conforme sea necesario. Aunque no contiene ejemplos modelo, encontrar los anlisis llenos de ejemplos. Puesto que una de nuestras metas principales es demostrar cmo se usan las ecuaciones diferenciales para modelar sistemas fsicos, solemos comenzar con la descripcin de un sistema fsico, construimos un modelo y luego lo estudiamos para hacer conclusiones y predicciones acerca del sistema original. En muchos de los ejercicios se le pide producir o modificar un modelo de un sistema fsico, analizarlo y explicar sus conclusiones. Esto es material difcil y tendr que practicar. Como los das en que se poda uno ganar la vida enfrascndose en difciles clculos han pasado a la historia (en la actualidad, esto lo hacen las computadoras), tendr que aprender esas habilidades y esperamos que este libro lo ayude a desarrollarlas. Otra manera en que este libro puede diferir de sus textos previos es que esperamos que haga un uso razonable de una calculadora grfica o de una computadora al intentar resolver los ejercicios y tareas de laboratorio. La computadora no har los razonamientos, pero le proporcionar la evidencia numrica que esencialmente es imposible obtener de otra manera. Una de nuestras metas es darle prctica como consumidor sofisticado de ciclos de computadora, as como un sano escepticismo respecto a los resultados proporcionados por sta. A propsito de lo anterior, sabe que uno de los autores cometi uno o dos errores en su vida que los otros dos autores no detectaron. Por esto, mantenemos una lista muy corta de erratas en nuestro sitio en la web http://math.bu.edu/odes. Por favor consulte esta pgina si piensa usted que algo que ha ledo no es correcto. Finalmente, usted debe saber que los autores toman el estudio de las ecuaciones diferenciales muy en serio. Sin embargo, nosotros mismos no nos tomamos muy en serio (y

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NOTA AL ESTUDIANTE

ciertamente, tampoco a los otros dos autores). Hemos tratado de expresar tanto la belleza de las matemticas as como parte de la alegra que implica trabajar con ellas. Si piensa que algunas de las bromas son viejas o estpidas, tal vez tenga razn. Todos los que hemos trabajado en este libro aprendimos algo acerca de las ecuaciones diferenciales a lo largo del camino, y esperamos ser capaces de comunicar nuestra apreciacin por la belleza del tema y rango de aplicaciones. Nos gustara or sus comentarios. Sintase libre de enviamos un e-mail a [email protected]. Algunas veces estamos ocupados y no siempre podemos responder, pero 10 leeremos y apreciaremos su retroalimentacin. Nos dio gran gusto escribir este libro. Esperamos que se diviertan leyndolo.G.R.R., R.L.D. , P.E.


CONTENIDO

1

ECUACIONES DIfERENCIALES DE PRIMER ORDEN1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Modelacin por medio de ecuaciones diferenciales Procedimiento analtico: separacin de variables Procedimiento cualitativo: campos de pendientes Tcnica numrica: mtodo de Euler Existencia y unicidad de las soluciones Equilibrios y lnea de fase Bifurcaciones 93 107 74 52 63 2 19 35

1

ECllaciones diferenciales lineales Cambio de variables 117 132

Laboratorios para el captulo 1

2

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Modelacin por medio de sistemas Geometra de sistemas 156

139140

Mtodos analticos para sistemas especiales Mtodo de Euler para sistemas Ecuaciones de Lorenz 198 207 184

173


3

SISTEMAS LINEALES3.1 3.2 3.3 Soluciones de lnea recta

211212

Propiedades de sistemas lineales y el principio de linealidad 235

Planos fase para sistemas lineales con eigenvalores reales

250

xIII

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3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

Eigenvalores complejos

264 282

Casos especiales: eigenvalores repetidos y cero Ecuaciones lineales de segundo orden El plano traza-determinante Sistemas lineales tridimensionales 341 312 325 297


4

fORZAMIENTO4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Y RESONANCIA348

347

Osciladores armnicos forzados Forzamiento senoidal 362

Forzamiento no amortiguado y resonancia Amplitud y fase del estado permanente El puente del estrecho de Tacoma 401 391

373 385


5

SISTEMAS NO LINEALES5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 Anlisis del punto de equilibrio Anlisis cualitativo Sistemas hamiltonianos Sistemas disipativos 422 434 453

403404

Sistemas no lineales en tres dimensiones

470 477

Forzamiento peridico de sistemas no lineales y caos 493


6

TRANSfORMADAS6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 Transformadas

DE LAPLACE498 510 519

497

de Laplace

Funciones discontinuas

Ecuaciones de segundo orden

Funciones delta y forzamiento de impulso Convoluciones 541

533

Teora cualitativa de las transformadas de Laplace 558

549


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xv

7

MTODOS NUMRICOS7.1 7.2 7.3 7.4

561562

Errores numricos en el mtodo de Euler Como mejorar el mtodo de Euler El mtodo de Runge-Kutta 582 592 574

Los efectos de la aritmtica finita 596


8

SISTEMAS DINMICOS DISCRETOS8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 La ecuacin logstica discreta Puntos fijos y puntos peridicos Bifurcaciones Caos 630 638 644 621 600 612

599

Caos en el sistema de Lorenz


Ar;ndlce ARevisin de ecuaciones lineales de primer orden 650

Apndice BNmeros complejos y frmula de Euler Sugerencias y respuestas ndice 725 665 661



1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDENEste libro trata de cmo podemos predecir el futuro . Para ello, de todo lo que disponemos es el conocimiento de cmo son las cosas y cules son las reglas que gobiernan los cambios que ocurrirn. Del clculo sabemos que el cambio es medido por la derivada, y usarla para describir cmo se modifica una cantidad es de lo que tratan las ecuaciones diferenciales. Convertir las reglas que gobiernan la evolucin de una cantidad en una ecuacin diferencial se llama modelacin, y en este captulo estudiaremos muchos modelos. Nuestra meta es emplear la ecuacin diferencial para predecir el valor futuro de la cantidad que se est modelando. Existen tres tipos bsicos de tcnicas para efectuar esas predicciones. Las tcnicas analticas implican encontrar frmulas para los valores futuros de la cantidad. Los mtodos cualitativos se apoyan en un esbozo burdo de la grfica de la cantidad como funcin del tiempo, y en la descripcin de su comportamiento a largo plazo. Las tcnicas numricas requieren que efectuemos clculos aritmticos (o bien que los haga una computadora) que den aproximaciones de los valores futuros de la cantidad. En este captulo presentaremos y usaremos estos tres procedimientos.

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2

CAPTULO 1

Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.1

MODELACIN POR MEDIO DE ECUACIONES DIFERENCIALESLa parte ms difcil al usar las matemticas para estudiar una aplicacin es la conversin de los fenmenos de la vida real al formalismo matemtico. Por lo general esto es complicado porque implica la conversin de hiptesis imprecisas en frmulas muy precisas. No hay manera de evitarlo. La modelacin no es fcil y la mejor manera de lograrla es la misma requerida para tocar en Carnegie Hall: practicar, practicar y practicar.

Qu es un modelo?Es importante recordar que los modelos matemticos son como otros tipos de modelos. El objetivo no es producir una copia exacta del objeto "real", sino ms bien representar algunas caractersticas de la cosa real. Por ejemplo, un retrato de una persona, un maniqu y un cerdo pueden ser modelos de un ser humano. Y aunque ninguno es una copia perfecta de ste, s poseen ciertos aspectos en comn con un ser humano. La pintura describe la apariencia fsica de un individuo en particular; el maniqu porta ropa tal como una persona y el cerdo est vivo. Cul de los tres modelos es "mejor" depende de cmo usemos el modelo: para recordar viejos amigos, para comprar ropa o para estudiar biologa. Los modelos matemticos que estudiaremos son sistemas que evolucionan con el tiempo, pero con frecuencia tambin estn supeditados a otras variables. De hecho, los sistemas del mundo real pueden ser notoriamente complicados; la poblacin de conejos en Wyoming depende del nmero de coyotes, del nmero de linces, del nmero de leones de montaa, del nmero de ratones (alimento alternativo para los depredadores), de las prcticas usuales agrcolas, del clima, de varias enfermedades tpicas de los conejos, etc. Podemos elaborar un modelo de la poblacin de conejos suficientemente simple para que sea entendible, slo haciendo hiptesis simplificadoras y englobando los efectos que puedan o no ser comunes. Una vez elaborado el modelo, debemos comparar las predicciones de ste con los datos del sistema. Si el modelo y el sistema concuerdan, tendremos confianza en que las hiptesis hechas al crear el modelo son razonables y que podemos usarlo para hacer predicciones; si no concuerdan, entonces debemos estudiar y mejorar nuestras suposiciones. En rodo caso, aprendemos ms acerca del sistema al compararlo con el modelo. Los tipos de predicciones que son razonables dependen de nuestras hiptesis. Si nuestro modelo se basa en reglas precisas como las leyes de Newton sobre el movimiento o las reglas del inters compuesto, entonces podemos usarlo para hacer predicciones cuantitativas muy exactas. Si las hiptesis son menos precisas o si el modelo es una versin simplificada del sistema, entonces sera absurdo tratar de obtener predicciones cuantitativas exactas. En este caso, deberamos usar el modelo para hacer predicciones cualitativas, tales como "la poblacin de conejos en Wyoming aumentar ... ". La lnea divisoria entre predicciones cualitativas y cuantitativas es en s misma imprecisa, pero veremos que con frecuencia es mejor y ms fcil usar cualitativamente aun el ms preciso de los modelos.

Algunas sugerencias para la construccin de modelosLos pasos bsicos para elaborar un modelo son:

Paso 1 Establezca claramente las hiptesis en que se basar el modelo. stas deben describir las relaciones entre las cantidades pC'r estudiarse. Paso 2 Defina completamente las variables y parmetros que se usarn en el modelo.

http://carlos2524.jimdo.com/1 .1 Modeladn por medio de ecuadones diferendales

3

Paso 3 Use las hiptesis formuladas en el paso 1 para obtener ecuaciones que relacionen las cantidades del paso 2.

En el paso 1, o paso "cientfico", describimos cmo creemos que funciona el sistema fsico o, por lo menos, cules son sus aspectos ms importantes. En algunos casos, esas hiptesis son bastante especulativas, por ejemplo, "a los conejos no les preocupa su sobrepoblacin". En otros casos, las hiptesis son bastante precisas y bien aceptadas, como "la fuerza es igual al producto de la masa y la aceleracin". La calidad de las hiptesis determina la validez del modelo y las situaciones en que el modelo es pertinente. Por ejemplo, algunos modelos de poblacin se aplican slo a pequeas poblaciones en grandes entornos, mientras que otros consideran espacios y recursos limitados. Muy importante es evitar "hiptesis ocultas" que hagan al modelo parecer misterioso o mgico. El paso 2 es donde nombramos las cantidades que se estudiarn y, en caso necesario, describimos las unidades y escalas implicadas. Pasar por alto este paso es como decidir que usted hablar un idioma propio sin decirle a nadie qu significan las palabras. Las cantidades en nuestros modelos se agrupan en tres categoras bsicas: la variable independiente, las variables dependientes y los parmetros. En este libro, la variable independiente es (casi) siempre el tiempo. El tiempo es "independiente" de cualquier otra cantidad en el modelo. Por otra parte, las variables dependientes son cantidades que son funciones de la variable independiente. Por ejemplo, en la frase "la posicin es una funcin del tiempo", queremos decir que la posicin es una variable que depende del tiempo. Es posible enunciar vagamente el objetivo de un modelo expresado en trminos de una ecuacin diferencial como "describa el comportamiento de la variable dependiente conforme cambie la variable independiente". Por ejemplo, podemos preguntar si la variable dependiente aumenta o disminuye o si oscila o tiende a un lmite. Los parmetros son cantidades que no cambian con el tiempo (o con la variable independiente) pero que pueden ajustarse (por causas naturales o por un cientfico efectuando el experimento). Por ejemplo, si estamos estudiando el movimiento de un misil, la masa inicial de ste es un parmetro. Si estamos analizando la cantidad de ozono en las capas superiores de la atmsfera, entonces la velocidad con que se liberan los ftuorocarbonos de los refrigeradores es un parmetro. El aspecto ms importante del estudio de un modelo consiste en determinar la manera en que cambian las variables dependientes cuando ajustamos los parmetros. En el paso 3 formulamos las ecuaciones. La mayor parte de los modelos que consideraremos son expresados como ecuaciones diferenciales. En otras palabras, esperamos encontrar derivadas en nuestras ecuaciones. Ponga atencin a frases como "razn de cambio de ..." o "tasa de crecimiento de ... ", ya que razn de cambio es sinnimo de derivada. Por supuesto, ponga atencin tambin a "velocidad" (derivada de la posicin) y "aceleracin" (derivada de la velocidad) en modelos de fsica. La palabra es significa "es igual" e indica dnde se encuentra la igualdad. La frase "A es proporcional a B" significa A = kB, donde k es una constante de proporcionalidad (a menudo un parmetro en el modelo). Una importante regla emprica que usamos al formular modelos es: Simplifique siempre que pueda el lgebra. Por ejemplo, al modelar la velocidad v de un gato al caer de un edificio alto, podramos suponer que: La resistencia del aire crece al aumentar la velocidad del gato. Esta hiptesis supone que la resistencia del aire proporciona una fuerza que se opone a la fuerza de la gravedad y crece conforme aumenta la velocidad v del gato. Podramos escoger kv o kif para el trmino de la resistencia del aire, donde k es el coeficiente de friccin,


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CAPTULO 1


es decir, un parmetro. Ambas expresiones crecen cuando v se incrementa, por lo que satisfacen la hiptesis. Sin embargo, muy probablemente ensayaramos primero kv porque es la expresin ms simple que satisface la hiptesis. De hecho, resulta que kv genera un buen modelo para la cada de cuerpos de pequea densidad, como los copos de nieve, pero kif es un modelo ms apropiado para objetos densos como gotas de lluvia. Veremos ahora una serie de modelos de crecimiento de poblaciones, basados en varias suposiciones acerca de las especies implicadas. Nuestra meta aqu es estudiar cmo pasar de un conjunto de suposiciones a un modelo. Esos ejemplos no son modelos del "estado del arte" de la ecologa de poblaciones, pero son apropiados para considerarlos inicialmente. Tambin empezaremos a describir las tcnicas analticas, cualitativas y numricas que usaremos para hacer predicciones basadas en esos modelos. Nuestro acercamiento pretende ser slo ilustrativo; analizaremos esas tcnicas matemticas con mucho mayor detalle a lo largo de todo el libro.

Crecimiento ilimitado de la poblacinUn modelo etemental del crecimiento de una poblacin se basa en la hiptesis de que La velocidad de crecimiento de la poblacin es proporcional al tamao de la poblacin. Observe que la razn de cambio de una poblacin slo depende del tamao de sta. En particular, las limitaciones de espacio o recursos no tienen efecto. Esta hiptesis es razonable para pequeas poblaciones en grandes entornos, por ejemplo, los primeros brotes de moho en una pieza de pan o los primeros colonizadores de Estados Unidos. Como la hiptesis es tan simple, esperamos que el modelo tambin lo sea. Las cantidades implicadas sont P

= tiempo (variable independiente), = poblacin (variable dependiente) y k = constante de proporcionalidad (parmetro) entre la tasade crecimiento de la poblacin y el tamao de sta.

El parmetro k suele llamarse "coeficiente de velocidad de crecimiento" . Las unidades para esas cantidades dependen de la aplicacin. Si estamos modelando el crecimiento de moho en el pan, entonces t podra medirse en das y P(t) sera el rea cubierta por el moho o bien el peso del moho. Si estamos hablando de la poblacin europea en Estados Unidos, entonces t probablemente se medir en aos y PU) en millones de 'personas. En este caso haramos corresponder t = O a cualquier tiempo que quisiramos. El ao 1790 (el ao del primer censo) es una opcin conveniente. Expresemos ahora nuestra hiptesis usando esta notacin. La tasa de crecimiento de la poblacin P es la derivada dPldt. Puesto que sta es proporcional a la poblacin, se expresa como el producto, kP, de la poblacin P y la constante k de proporcionalidad. Por consiguiente, nuestra hiptesis se expresa por la ecuacin diferencial

~: = kP.En otras palabras, la razn de cambio de P es proporcional a P. ste es nuestro primer ejemplo de una ecuacin diferencial. Asociada con ella hay varios adjetivos que describen su tipo. En particular, se trata de una ecuacin de primer

http://carlos2524.jimdo.com/ t .tModelacin por medio de ecuaciones diferenciales

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orden porque contiene slo primeras derivadas de la variable dependiente, y es una ecuacin diferencial ordinaria porque no contiene derivadas parciales. En este libro trataremos slo con ecuaciones diferenciales ordinarias. Hemos escrito esta ecuacin diferencial usando la notacin de Leibniz, es decir, dPldt, y es la que tenderemos a usar. Sin embargo, hay muchas otras maneras de expresar la misma ecuacin diferencial. En particular, tambin podramos escribirla como P' = kP o como P = kP. La notacin "punto" suele utilizarse cuando la variable independiente es el tiempo t.

Qu predice el modelo?Ms importante que los adjetivos o cmo se escribe la ecuacin es preguntar qu nos dice acerca de la situacin que se est modelando. Como dPldt = kP para algu na constante k, dPldt = O si P = O. Entonces la funcin constante P(t) = O es una solucin de la ecuacin diferencial. A este tipo especial se le denomina solucin de equilibrio porque es constante para siempre. En trminos del modelo de poblacin, corresponde a un a especie que es no existente. O en algn tiempo to, entonces en el tiempo t = lo Si P(to)

*

= k P(to) =1= O. dI

dP

En consecuencia, la poblacin no es constante. Si k > O Y pelo) > O, tenemos

-

dP dt

= kP(to)

> O,

en el tiempo t = to Y la poblacin est creciendo (como era de esperarse). Conforme t crece, P(t) se vuelve mayor, por lo que dPldt aumenta. A su vez, P(t) crece an ms rpidamente. Es decir, la velocidad de crecimiento crece en relacin directa con la poblacin. Podemos esperar por lo tanto que la grfica de la funcin P(t) tenga la forma mostrada en la figura 1.1. El valor de P(t) en t = O se llama una condicin inicial. Si comenzamos con una condicin inicial diferente obtenemos una funcin P(t) distinta, como se indica en la figura 1.2. Si P(O) es negativa (recordando que k > O), tenemos entonces dPldt < O para

PP(t)

P

P(O)

Figura 1.1 La grfica de una funcin que satisface la ecuacin diferencialdP di = kP.

Figura 1.2 Las grficas de diversas funciones que satisfacen la ecuacin diferencial dPldl = kP. Cada una tiene un valor diferente en I = O.


6

CAPTULO 1

Ecuacio nes d ife renciales de primer o rden

= O, por lo que P(t) inicialmente est disminuyendo. Al crecer t, PU) se vuelve ms negativa. La imagen debajo del eje t es la reflexin de la imagen superior, aunque esto no es "fsicamente importante" porque una poblacin negativa no tiene sentido. Nuestro anlisis de la manera en que P(t) crece cuando t aumenta se llama anlisis cualitativo de la ecuacin diferencial. Si todo lo que nos interesa es saber si el modelo predice "explosiones de poblacin", entonces podemos responder que "s, en tanto que P(O) > O".t

Soluciones analticas de la ecuacin diferencialSi, por otra parte, conocemos el valor exacto Po de P(O) y queremos predecir el valor de pelO) o P(100), entonces necesitamos informacin ms precisa sobre la funcin PU) . El par de ecuacionesdP dt

=

kP

'

P(O) = Po,

se llama problema de valor inicial. Y una solucin al problema de valor inicial es una funcin P(t) que satisface ambas ecuaciones. Es decirdP dt

= kP para toda t

y

P(O) = Po.

En consecuencia, para solucionar esta ecuacin diferencial debemos hallar una funcinP(t) cuya derivada sea el producto de k con P(t). Una manera (no muy sutil) de encontrar-

la es hacer una conjetura. En este caso, es relativamente fcil ver cul es la forma correcta para PU), porque sabemos que la derivada de una funcin exponencial es esencialmente ella misma. (Podemos eliminar este proceso de conjeturar usando el mtodo de separacin de variables que describiremos en la seccin siguiente. Pero por ahora ensayaremos el mtodo exponencial y veamos a qu nos conduce.) Despus de un par de intentos con varias formas de dicha funcin, vemos quePU)

= t

su derivada, dPl dt = k l , es el producto de k con P(t) . Pero existen otras soluciones posibles, ya que P(t) = ct (donde c es una constante) da dPldt = c(kl ) = k(c l ) = kP(t). As dPl dt = kP para toda t y para cualquier valor de la constante c. Existe un nmero infinito de soluciones para la ecuacin diferencial, uno para cada valor de c. Para determinar cul de sas es la correcta para la situacin considerada, usamos la condicin inicial dada. TenemosPo

= P(O) = c . eH = c .

eO =

c . 1 = c.

En consecuencia, debemos escoger c lor inicial es

= Po, por lo que una solucin del problema del va-

Hemos obtenido una frmula para nuestra solucin, no solamente una imagen cualitativa de su grfica. La funcin P(t) se llama solucin al problema del valor inicial as como solucin particular de la ecuacin diferencial. El conjunto de funciones PU) = c l se llama solu-

http://carlos2524.jimdo.com/1.1Mode1adn por medio de ecuadones diferendales

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cin general de la ecuacin general, porque podemos usarla para encontrar la respuesta particular correspondiente a cualquier problema de valor inicial. La figura 1.2 consiste en las grficas de funciones exponenciales de la forma P(t) = ce" con varios valores de la constante e, es decir, con diferentes valores iniciales. En otras palabras, es una imagen de la solucin general de la ecuacin diferencial.

La poblacin de Estados UnidosPara ejemplificar cmo puede usarse este modelo, consideremos las cifras de los censos de Estados Unidos desde 1790 dadas en la tabla 1.1. Veamos qu tan bien se ajusta el modelo de crecimiento ilimitado a estos datos. Medimos el tiempo en aos y la poblacin P(t) en millones de personas. Hacemos que t = O sea el ao 1790, por lo que la condicin inicial es P(O) = 3.9. El problema correspondiente de valor inicial

dP=kP

dt

'

P(O)

= 39 .,

tiene P(t) = 3.9 ekt como solucin. Pero no podemos usar este modelo para hacer predicciones porque no conocemos el valor de k. Sin embargo, sabemos que la poblacin en el ao 1800 era de 5.3 millones y podemos usar este valor para determinar k. Si hacemos 5.3 tenemos entonces ek.1O

=

P(IO)

=

3.9

ek10

=-

5.3 3.9

IOk

= In -

(S.3) 3.9

k ~ 0.03067 Tabla 1.1 Cifras de los censos de Estados Unidos, en millones de personas (vase Funk y Wagnalls, AlmanaqueMundial de 1994)

Ao 1790 1800 1810 1~20 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 O 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

Real 3.9 5.3 7.2 9.6 12 17 23 31 38 50 62 75 91 105

P(t) '7 3.geo.03067t

Ao 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260

Real 122 131 151 179 203 226 249

P(t) = 3.geo.03067t

3.9 5.3 7.2 9.8 13 18 25 33 45 62 84 114 155 210

286 388 528 717 975 1320 1800 2450 3320 4520 6140 8340 11300


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cAPITuLO 1


Nuestro modelo predice entonces que la poblacin de Estados Unidos est dada porP(t) = 3.ge003067t

Como vemos en la figura 1.3, este modelo de P(t) predice razonablemente bien la poblacin hasta aproximadamente 1860, pero despus de este ao la prediccin resulta muy grande. (La tabla 1.1 incluye una comparacin de los valores predichos con los datos reales.) Nuestro modelo es bastante bueno siempre que la poblacin sea relativamente pequea. Sin embargo, con el paso del tiempo el modelo predice que la poblacin contin uar creciendo sin lmite, y obviamente esto no sucede en el mundo real. En consecuencia, si queremos un modelo que sea exacto sobre una escala grande de tiempo, debemos tomar en cuenta el hecho de que las poblaciones existen en una cantidad finita de espacio y con recursos limitados.p

200 100

Figura 1.3 Los puntos representan datos reales de l censo y la lnea continua es la solucin del modelo de crecimiento exponencialdP dI = 0.03067 P

El tiempo t se mide en aos desde el ao 1790. 70140

Modelo logstico de la poblacinPara ajustar el modelo de crecimiento exponencial de la poblacin que tome en cuenta un entorno y recursos limitados, agregamos las hiptesis: Si la poblacin es pequea, la razn de crecimiento de la poblacin es proporcional a su tamao. Si la poblacin es demasiado grande para ser soportada por su entorno y recursos, la poblacin disminuir. Es decir, la razn de crecimiento es negativa. Para este modelo usamos de nuevot = tiempo (variable independiente), P = poblacin (variable dependiente) ,

k

= coeficiente de la razn de crecimientopara poblaciones pequeas (parmetro).

Sin embargo, nuestra hiptesis acerca de recursos limitados introduce otra cantidad, el tamao de la poblacin que corresponde a ser "demasiado grande". Esta cantidad es un segundo parmetro, denotado por N, que llamamos la "capacidad de soporte" del entorno. En trminos de la capacidad de soporte, estamos suponiendo que P(t) crece si P(t) < N. No obstante, si P(t) > N, suponemos que P(t) est decreciendo. Usando esta notacin, podemos reescribir nuestras hiptesis como:

~=

kP si P es pequea (primera hiptesis).

. SI P > N , dP < dt

(segun da h ' . ) . IpotesIs

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Queremos tambin que el modelo sea "algebraicamente simple" o por lo menos tan simple como sea posible, por lo que tratamos de modificar el modelo exponencial lo menos posible. Por ejemplo, podramos intentar una expresin de la formadP dt

= k (algo) . P.

Queremos que el factor "algo" sea cercano a 1 si P es pequea, pero si P > N, queremos que "algo" sea negativo. La expresin ms simple que tienen estas propiedades es la funcin (algo) Note que esta expresin es igual a 1 s P entoncesdP = dt

=

(1 - ~).N. Nuestro modelo es

= O Y es negativa si P >

k(l _ N P)p

ste se llama el modelo logstico de la poblacin con velocidad de crecimiento k y capacidad N de soporte. Se trata de otra ecuacin diferencial de primer orden. Se dice que esta ecuacin es no lineal porque su lado derecho no es una funcin lineal de P como lo era en el modelo de crecimiento exponencial.

Anlisis cualitativo del modelo logsticoAunque la ecuacin diferencial logstica es ligeramente ms complicada que la del modelo de crecimiento exponencial, no hay modo de que podamos conjeturar soluciones. El mtodo se separacin de variables analizado en la seccin siguiente produce una frmula para la solucin de esta ecuacin diferencial particular. Pero por ahora nos apoyaremos meramente en mtodos cualitativos para ver qu anticipa este modelo a largo plazo. Primero, sea

el lado derecho de la ecuacin diferencial. En otras palabras, la ecuacin diferencial puede escribirse comodP = f(P) = k ( PN P. dt 1- )

Podemos obtener informacin cualitativa sobre las soluciones a la ecuacin diferencial si sabemos cundo dPldt es cero, dnde es positiva y dnde es negativa. Si trazamos la grfica de la funcin cuadrticaf(vea la figura 1.4), observamos que ella corta al eje P en exactamente dos puntos, P = O Y P = N. En cualquier caso, tenemos

J (? )

figura 1.4

~P

Grfica del lado derecho

de la ecuacin diferencial logstica.


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CAPITuLO 1


= O. Como la derivada de P desaparece para toda t, la poblacin permanece constante si P = O o P = N. Es decir, las funciones constantes P(t) = O Y P(t) = N resuelven la ecuacin diferencial. Esas dos soluciones constantes tienen mucho sentido: si la poblacin es cero, permanecer en cero indefinidamente; si la poblacin es exactamente la asociada con la capacidad de soporte, ni crecer ni disminuir. Igual que antes, decimos que P = O y P = N son puntos de equilibrio. Las funciones constantes P(t) = O Y P(t) = N son llamadas soluciones de equilibrio (vea la figura l.5).dPldt PFigura 1.5 Las soluciones de equilibrio de la ecuacin diferencial logstica

P= N

p

= O -----1----- - -- -

El comportamiento a largo plazo de la poblacin es muy diferente para otros valores. Si la poblacin inicial se encuentra entre O y N, tenemos entonces f(P) > O. En este caso, la razn de crecimiento dPldt = f(P) es positiva y en consecuencia la poblacin P(t) est creciendo. En tanto que P(t) se ,mcuentre entre O y N, la poblacin contina incrementndose. Sin embargo, cuando tiende a la capacidad de soporte N, dPldt = f(P) se acerca a cero, por lo que esperamos que la poblacin se nivele cuando tienda a N (vea la figura l.6).

p

P ~ N~p = O

~.

Figura 1.6 Soluciones de la ecuacin diferenci al logsticadP = dt

k(l _~)p N

1

aproximndose a la solucin de equilibrio P = N.

Si P(O) > N, entonces dPldt = f(P) < O y la poblacin est disminuyendo. Y cuando tiende a la capacidad de soporte N, dPldt se aproxima a cero y esperamos de nuevo que la poblacin se nivele en N. Finalmente, si P(O) < O (que no tiene sentido en trminos de poblaciones), tenemos tambin dPldt = f(P) < O. Vemos de nuevo que P(t) disminuye, pero esta vez no se nivela a ningn valor particular ya que dPldt se vuelve ms y ms negativa conforme P(t) decrece. As, a partir slo del conocimiento de la grfica de f, podemos esbozar varias diferentes soluciones con condiciones iniciales diferentes, todas sobre los mismos ejes. La nica informacin que necesitamos es el hecho .de que P = O Y P = N son soluciones de equilibrio; P(t) crece si O < P < N, y P(t) disminuye si P > N o P < O. Por supuesto, los valores exactos de P(t) en cualquier tiempo dado t dependern de los valores de P(O), k y N (vea la figura l.7) .

http://carlos2524.jimdo.com/ t .tp Modelacin por medio de ecuaciones diferenciales

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Figura 1.7

Soluciones de la ecuacin diferencial logsticadP = k(l _ ~)p dt N

aproximndose a la solucin de equilibrioI

P = N Yalejndose de la soluci n de equilibrio P = O.

Sistemas depredador-presaNinguna especie vive aislada y las interacciones entre especies proporcionan algunos de los modelos ms interesantes por estudiar. Concluimos esta seccin presentando un simple sistema depredador-presa de ecuaciones diferenciales donde una especie "se come" a la otra. La diferencia ms obvia entre ste y los modelos previos es que tenemos dos cantidades que dependen del tiempo. Nuestro modelo tiene entonces dosvariables dependientes que son ambas funciones del tiempo. En este caso llamaremos a la presa "conejos" y a los depredadores "zorros", y denotaremos la presa por C y a los depredadores por Z. Las hiptesis de nuestro modelo son: Si no hay zorros presentes, los conejos se reproducen a una tasa proporcional a su poblacin y no les afecta la sobrepoblacin. Los zorros se comen a los conejos y la razn a la que los conejos son devorados es proporcional a la tasa a la que los zorros y conejos interactan. Sin conejos qu comer, la poblacin de zorros declina a una razn proporcional a .ella misma. La tasa de nacimientos de los zorros va en proporcin al nmero de conejos comidos por zorros que, por la segunda hiptesis, es proporcional a la razn a la que los zorros y conejos interactan. Para formular este modelo en trminos matemticos, necesitamos cuatro parmetros adicionales a nuestra variable independiente t y a nuestras dos variables dependientes Z y C. Los parmetros son:a

= coeficiente de la razn de crecimiento de conejos,

{3 = constante de proporcionalidad que mide el nmero de interacciones conejos-zorros en las que el conejo es devorado,y = coeficiente de la razn de muertes de zorros,{) =

constante de proporcionalidad que mide el beneficio a la poblacin de zorros de un conejo devorado.

Cuando formulamos nuestro modelo, seguimos la convencin de que a, {3, y y 8 son todos positivos. Nuestras primera y tercera hiptesis anteriores son similares a la que plantea el modelo del crecimiento ilimitado, visto antes en esta seccin. En consecuencia, ellos dan trminos de la forma aC en la ecuacin dC/dt y -'YZ (ya que la poblacin de zorros declina) en la ecuacin para dZ/dt.

http://carlos2524.jimdo.com/12CAPTULO 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

La razn a la que los conejos son devorados es proporcional a la raz n de interaccin entre los zorros y los conejos, por lo que necesitamos un trmino que modele la raz n de interaccin de ambas poblaciones; que crezca si CoZ aumenta, pero que desaparezca si C = O o Z = O. Una notacin que incorpora esas hiptesis es CZ. Modelamos as los efectos de las interacciones conejo-zorro sobre dC/dt por medi o de un enun ciado de la forma - {3CZ. La cuarta hiptesis da un trmin o simil ar en la ecuacin para dZ/dt. En este caso,-'cazar conejos ayuda a los zorros, por lo que aadim os un trmino de la forma 8CZ. Al plantear esas hiptesis, obtenemos el modelo-

dC = aC - {3CZ dt .

dZ - = --vZ dt l

+'

oCZ' .

Consideradas juntas, este par de expresiones se llama sistema de primer orden de ecuaciones diferenciales ordinarias (slo primeras derivadas, pero ms de una variable dependiente). Se dice que el sistema es acoplado porque las razones de cambio de C y Z dependen tanto de C como de Z. Es importante notar los signos de los trminos en este sistema. Como {3 > O, el tr-". mino " - (3CZ" es no positivo, por lo que un incremento en el nmero de zorros disminuye la razn de crecimiento de la pobl acin de conejos. Adems, como o > O, el trmino "oC'Z' es no negativo . En consecuencia, un incremento en el nmero de conejos in crementa la tasa de crecimiento de la poblacin de zorros. Aunque este modelo puede pari"cer relativamente simpl e, ha sido la base de algun os interesantes estudios eco lgicos. En particular, Volterra y D' Ancona usaron con xito el modelo para explicar el incremento en la poblacin de tiburones en el mar Mediterrneo durante la Primera Guerra Mundial, cuando la pesca de las especies "presa" decrec i. El modelo puede tambin usarse como base para el estudio de los efectos de los pesticidas en la poblacin de insectos depredadores e insectos presas. Una solucin para este sistema de ecuaciones es, a diferencia de nuestro modelos previos, un par de funciones , C(t) y Z(t), que describen las poblaciones de conejos y zorros como funciones del tiempo. Como el sistema es acop lado, no podemos determinar cada una de esas funciones en forma aislada. Ms bien, debemos resolver ambas ecuaciones diferenciales en forma simultnea. Desafortunadamente, para la mayor parte de los valores de los parmetros, es imposible determinar de modo explcito frmulas para C(t) y Z(t). Esas funciones no pueden expresarse en trminos de funciones conocidas tales como polinomios, senos, cosenos, exponenciales y otras parecidas. Sin embargo, como veremos en el captulo 2, esas soluciones existen, aunque no hay esperanzas de encontrarlas jams exactamente. Como los mtodos analticos para resolver es te sistema estn destinados a fall ar, debemos usar procedimientos cualitativos o numricos para "encontrar" C(t)y Z(t).

Los enfoques analtico, cualitativo y numricoNuestro anlisis de los tres modelos de poblacin en esta seccin ilustra tres enfoques diferentes para el estudio de las soluciones de las ecuaciones diferenciales. El enfoque analtico busca frm ulas explcitas que describan el comportamiento de las soluciones. Vimos aqu que las funciones exponenciales dan soluciones explcitas al modelo del crecimiento exponencial. Desafortunadamente, un gran nmero de ecuaciones importantes no pueden


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tratarse con el mtodo analtico; simplemente no hay manera de encontrar una frmula exacta que describa la situacin. Nos vemos entonces forzados a recurrir a mtodos alternativos. Un procedimiento particularmente poderoso para describir el comportamiento de las soluciones es el enfoque cualitativo. ste implica usar la geometra para tener un panorama del comportamiento del modelo, tal como lo hicimos con el modelo logstico del crecimiento de la poblacin. No lo utilizamos para dar valores precisos de la solucin en tiempos especficos, pero s para determinar su comportamiento a largo plazo. Con frecuencia, sta es justamente la clase de informacin que requerimos. El tercer enfoque para resolver ecuaciones diferenciales es numrico. La computadora aproxima la solucin que buscamos. Aunque no ilustramos ninguna tcnica de aproximacin numrica en esta seccin, veremos pronto que son una herramienta poderosa para darnos ideas respecto a las soluciones que deseamos. Los tres mtodos que usamos tienen sus ventajas y tambin desventajas. Algunas veces ciertos mtodos son tiles mientras que otros no lo son. Una de nuestras principales tareas al estudiar las soluciones de ecuaciones diferenciales ser determinar qu mtodo, o combinacin de stos, funciona bien en cada caso especfico. En las siguientes tres secciones veremos con ms detalle esos tres enfoques.

EJERCICIOS PARA LA SECCiN 1.11. Considere el modelo de poblacin

dP ( dt = OAP 1 -

P ) 230 '

donde P(t) es la poblacin en el .tiempo t. (a) Para qu valores de P est en equilibrio la poblacin? (h) Para qu valores de P est creciendo la poblacin? (e) Para qu valores de P est decreciendo la poblacin?2. Considere el modelo de poblacin

donde P(t) es la poblacin en el tiempo t. (a) Para qu valores de P est en equilibrio la poblacin? (h) Para qu valores de P est creciendo la poblacin? (e) Para qu valores de P est decreciendo la poblacin?3. Considere la ecuacin diferencial

dy dt

= y3

- y2 - 12y.

(a) Para qu valores de y est y(t) en equilibrio? (h) Para qu valores de y est y(t) creciendo? (e) Para qu valores de y est y(t) decreciendo?

http://carlos2524.jimdo.com/ 14cAPITuLO 1Ecuaciones diferenciales de primer orden

4. La siguiente tabla proporciona el rea de terreno en Australia colonizada por el sapo marino americano (Bufo marinis) cada cinco aos desde 1939 hasta 1974. Modele la migracin de este sapo usando un modelo de crecimiento exponencialdA dt

= kA

'

donde A(t) es el rea de terreno ocupada en el tiempo t. Haga predicciones acerca de la superficie de terreno ocupada en los aos 2010, 2050 Y 2100. Hgalo (a) (b) (e) (d) resolviendo el problema de valor inicial , determinando la constante k, calculando las reas predichas, y comparando su solucin con los datos reales. Cree usted en su prediccin?rea ocupada acumulati va (km 2 ) 32800 55000 73600 138000 202000 257000 301 000 584000

Ao 1939 1944 1949 1954 1959 1964 1969 1974

(Observe que hay muchos modelos de crecimiento exponencial que puede usted formar usando estos datos . Hay un modelo ms razonable que los otros? Note tambin que el rea de Queensland es de 1 728 000 km 2 y que el rea de Australia es de 7 619000 km 2 .)* Observacin: El sapo marino americano fue introducido a Australia para controlar los escarabajos de la caa de azcar y, en las palabras de J. W. Hedgpath (vase Science, julio de 1993 y The New York Times, 6 de julio de 1993),Desafortunadamente los sapos comen en la noche y los escarabajos estn ausentes durante el da, mientras los sapos duermen bajo rocas, troncos de madera y en surcos. Por la noche, estos batracios medran, se reproducen fenomenalmente bien y devoran todo lo que encuentran. Los cultivadores de caa de azcar fueron advertidos por Walter W. Froggart, presidente de la Sociedad Naturalista de Nueva Gales del Sur, que la introduccin no era una buena idea y que los sapos se comeran la fauna nativa. Froggart fue inmediatamente denunciado como un entrometido ignorante. Pero l tena razn.

*Todos los datos fueron tomados de "Cumulative Geographical Range of Bufo marinis in Queensland, Australia from 1935 to 1974", por Michael D. Sabath, Walter C. Boughton y Simon Easteal, en Copeia, Nm. 3, 1981 , pp. 676-680.


15

Los ejercicios 5 al 7 consideran un modelo elemental del proceso de aprendizaje: si bien el aprendizaje humano es un proceso extremadamente complicado, es posible construir modelos de ciertos tipos simples de memorizacin. Por ejemplo, considere una persona a quien se le da una lista para estudiar, y posteriormente se le hacen pruebas peridicas para determinar exactamente qu tanto de la lista ha memorizado. (Por lo general las listas consisten en slabas sin sentido, nmeros de tres dgitos generados al azar o entradas de tablas de integrales.) Si L(t) es la fraccin de la lista aprendida en el tiempo t, donde L = O corresponde a no saber nada del listado y L = 1 corresponde a saberlo por completo, podemos entonces formar un simple modelo de este tipo de aprendizaje con base en las hiptesis: La tasa dLldt es proporcional a la fraccin que queda por aprender. Como L = 1 corresponde a saber la lista entera, el modelo esdL = k(1 - L) dt '

donde k es la constante de proporcionalidad. 5. Para qu valor de L, O ~ L~

1, ocurre ms rpidamente el aprendizaje?

6. Suponga que dos estudiantes memorizan listas de acuerdo con el mismo modelo:

~~ = 2(1

- L).

(a) Si uno de los estudiantes aprende la mitad de la lista en el tiempo t = O Y el otro no memoriza nada de ella, qu estudiante est aprendiendo ms rpidamente en este instante? (h) Alcanzar el estudiante que comienza sin saber nada de la lista al estudiante que empieza sabiendo la mitad de la lista?

7. Considere las dos siguientes ecuaciones diferenciales que modelan las tasas de memorizacin de un poema por dos estudiantes. La tasa de Juan es proporcional a la cantidad por aprender, con una constante de proporcionalidad de k = 2. La tasa de Berta es proporcional al cuadrado de la cantidad por aprender y cuya constante de proporcionalidad es k = 3. Las ecuaciones diferenciales correspondientes sondLJ dt

= 2(1 ~

LJ)

y

dL B = 3(1 - L )2 dt B ,

donde L(t) y LB(t) son las fracciones del poema memorizadas en el tiempo t por Juan y Berta, respectivamente. (a) Qu estudiante tiene una tasa ms rpida de aprendizaje en t = O, si ambos empiezan la memorizacin juntos y nunca antes han visto el poema? (h) Qu estudiante tiene una tasa ms rpida de aprendizaje en t = O, si ambos comienzan a memorizar juntos habiendo aprendido la mitad del poema? (e) Qu estudiante tiene una tasa ms rpida de aprendizaje en t = O, si ambos comienzan la memorizacin juntos y habiendo aprendido un tercio del poema?

http://carlos2524.jimdo.com/16CAPTULO 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

En los ejercicios 8 a 12, consideramos el fenmeno de la desintegracin radiactiva que, por experimentacin, sabemos que se comporta de acuerdo con la ley siguiente: La tasa a la que una cantidad de un istopo radiactivo se desintegra es proporcional a la cantidad del istopo presente. La constante de proporcionalidad depende slo de la partcula radiactiva considerada. 8. Modele la desintegracinra~iactiva

usando la notacin

t = tiempo (variable independiente),r(t) = cantidad del istopo radiactivo particular presente en el tiempo t

(variable dependiente), - A = tasa de desintegracin (parmetro). Observe que el signo menos se usa para que A > O. (a) Usando esta notacin, escriba un modelo para la desintegracin de un istopo radiactivo particular. (b) Si la cantidad del istopo presente en t = O es ro, establezca el problema de valor inicial correspondiente para el modelo en la parte (a). 9. La vida media de un istopo radiactivo es la cantidad de tiempo que toma a una cantidad de material radiactivo desintegrarse a la mitad de su cantidad original. (a) La vida media del carbono 14 (C-14) es de 5 230 aos. Determine el parmetro "de tasa de desintegracin del C-14. (b) La vida media del iodo 131 (1-131) es de 8 das. Calcule el parmetro de tasa de desintegracin del 1-131. (e) Cules son las unidades de los parmetros de tasa de desintegracin en las partes (a) y (b)? (d) Para estimar la vida media de un istopo, podramos comenzar con 1000 tomos del istopo y medir la cantidad de tiempo que le toma a 500 de ellos desintegrarse o podramos comenzar con 10 000 tomos del istopo y medir la cantidad de tiempo que le toma desintegrarse a 5 000 de ellos. Obtendremos la misma respuesta? Explquelo.10. El fechado por carbono es un mtodo para determinar el tiempo transcurrido desde la

muerte del material orgnico. Las hiptesis implcitas en el fechado por carbono son que El carbono 14 (C-14) constituye una proporcin constante del carbono que la materia viva ingiere segn una base regular, y una vez que la materia muere, el C-14 presente se desintegra, pero ningn tomo nuevo es agregado a la materia. Entonces, al medir la cantidad de C-14 que an permanece en la materia orgnica y al compararla con la cantidad de C-14 encontrada en la materia viva, puede calcularse el "tiempo desde la muerte". Usando el parmetro de la tasa de desintegracin que usted estim en el ejercicio 9, determine el tiempo desde la muerte si (a) 88% del C-14 original an est presente en el material. (b) 12% del C-14 original an est presente en el mateal.


1.1 Modelacin por medio de ecuaciones diferenciales

17

(e) 2% del C-14 original an est presente en el material. (d) 98% del C-14 original an est presente en el material.Observacin: Se ha especulado que la cantidad de C-14 disponible en los seres vivos no ha sido exactamente constante durante largos periodos (miles de aos). Esto hace que un fechado preciso sea mucho ms difcil de determinar.

11. Para aplicar la tcnica del fechado por carbono del ejercicio 10, debemos medir la cantidad de C-14 en una muestra. Qumicamente, el carbono 14 (C-14) y el carbono regular se comportan idnticamente. Cmo podemos determinar la cantidad de C-14 en una muestra? [Sugerencia: Vea el ejercicio 8.]12. El istopo radiactivo 1-131 se usa en el tratamiento de la hipertiroides. El 1-131 administrado a un paciente se acumula en forma natural en la glndula tiroides, donde se desintegra y acaba con parte de la glndula.

(a) Suponga que se requieren 72 horas para enviar el 1-131 del productor al hospital. Qu porcentaje de la cantidad originalmente enviada llega al hospital? (Vea el ejercicio 9.) (b) Si el 1-131 es almacenado en el hospital 48 horas adicionales antes de ser usado, qu tanto queda de la cantidad original enviada por el productor cuando el material radiactivo se utilice? (e) Qu tiempo le tomar al 1-131 desintegrarse completamente de manera que el hospital pueda deshacerse de los residuos sin precauciones especiales?13. Suponga que una especie de pez en un lago especfico tiene una poblacin que sigue el modelo logstico de poblacin con razn k de crecimiento, capacidad N de soporte y tiempo t medido en aos. Ajuste el modelo para tomar en cuenta cada una de las situaciones siguientes.

(a) 100 peces son cultivados cada ao. (b) Un tercio de la poblacin de peces es cultivada anualmente. (e) El nmero de peces cultivados cada ao es proporcional a la raz cuadrada del nmero de peces en el lago.14. Suponga el parmetro k = 0.3 de razn de crecimiento y la capacidad N = 2 500 de soporte en el modelo logstico de poblacin del ejercicio 13. Y tambin que P(O) = 2500.

(a) Si 100 peces son cultivados cada ao, qu predice el modelo para el comportamiento a largo plazo de la poblacin de peces? En otras palabras, qu da un anlisis cualitativo del modelo? (b) Si cada ao se cultiva una tercera parte de los peces, qu predice el modelo para el comportamiento a largo plazo de dicha poblacin?15. El rinoceronte es actualmente muy raro. Suponga que se aparta suficiente terreno para su preservacin y que hay entonces suficiente espacio para muchos ms territorios de rinocerontes que rinocerontes. El} consecuencia, no habr peligro de una sobrepoblacin. Sin embargo, si la poblacin e~ muy pequea, los adultos frtiles tendrn dificultad en encontrarse cuando sea el tiempo de apareamiento. Escriba una ecuacin diferencial que modele la poblacin de rinocerontes con base en esas hiptesis. (Note que hay ms de un modelo razonable que se ajusta a esas suposiciones.)


18

CAPTULO

t

Ecuaciones diferenciales

de primer

orden

16. Considere las siguientes hiptesis respecto a la fraccin de una pieza de pan cubierta por moho. Las esporas de moho caen sobre el pan a una razn constante. Cuando la proporcin cubierta es pequea, la fraccin del pan cubierto por el moho se incrementa a una razn proporcional a la cantidad de pan cubierto. Cuando la fraccin de pan cubierto por el moho es grande, la razn de crecimiento disminuye. Para sobrevivir, el moho debe estar en contacto con el pan. Usando estas hiptesis, escriba una ecuacin diferencial que modele la proporcin de una pieza de pan cubierta por moho. (Observe que hay ms de un modelo razonable que se ajuste a esas hiptesis.) 17. La siguiente tabla contiene datos sobre la poblacin de bhos amarillos (autillo s) en Wyman Woods, Oxford, Inglaterra (recopilados por Southern).(a) Qu modelo de poblacin usara usted para modelar esta poblacin?

(b) Puede usted calcular (o por lo menos hacer estimaciones razonables) los valores del parmetro? (e) Qu predice su modelo para la poblacin actual?

Ao

Poblacin

Ao

Poblacin

1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953

34 40 40 40 42 48 48

1954 1955 1956 1957 1958 1959

52 60 64 64 62 64

18. Para los siguientes sistemas depredador-presa, identifique qu variable dependiente, x o y, es la poblacin presa y cul es la poblacin depredadora. Est limitado el crecimiento de la poblacin presa por otros factores ajenos al nmero de depredadores? Tienen los depredadores fuentes de alimento aparte de las presas? (Suponga que los parmetros a, (3, y, 8 y N son todos positivos.)(a)

dx-

dt

= -ax

+ f3xy

(b)

dx x2 - = ax - a- f3xy dt N

dy dt dt 19. En los siguientes modelos de poblacin depredador-presa, presenta los depredadores.

- =

dy

yy - oxy

=

yy

+ oxy

x representa la presa y y re-

(i)

dx . - = 5x - 3xy dt dy 1 dt = "':'2y + 2xy

(ii)

dx - =x -8xy dt dy - = -2y +6xy dt

'Vea J. P. Dempster, Animal Population Ecology, Academic Press, 1975, p. 99.

http://carlos2524.jimdo.com/1.2 Tcnica analtica: Separacin de variables

19

(a) En qu sistema se reproduce ms rpidamente la presa cuando no hay depredadores (cuando y = O) e igual nmero de presas? (h) En qu sistema tienen los depredadores ms exito de cazar presas? En otras palabras, si el nmero de depredadores y presas son iguales para los dos sistemas, en qu sistema tienen los depredadores un mayor efecto sobre la razn de cambio de las presas? (e) Qu sistema requiere ms presas para que los depredadores logren una tasa de 'crecimiento dada (suponiendo nmeros idnticos de depredadores en ambos casos) ?

20. El sistemadx - = ax -by,,x

dt

-

dy

dt

= cy,,x

ha sido propuesto como un modelo para un sistema depredador-presa de dos especies particulares de microorganismos (donde a, b y c son parmetros positivos). (a) Qu variable, x o y , representa la poblacin depredadora? Qu variable representa la poblacin presa? (h) Qu pasa a la poblacin depredadora si la presa se extingue?21. Los siguientes sistemas son modelos de las poblaciones de parejas de especies que compiten por recursos (un incremento en una especie disminuye la tasa de crecimiento de la otra) o cooperan (un incremento en una especie aumenta la razn de crecimien-

to de la otra). Para cada sistema identifique las variables (independiente o dependiente) y los parmetros (capacidad de soporte, medidas de interaccin entre las especies, etc.). Compiten o cooperan las especies? (Suponga que todos los parmetros son positivos.)(a)

dx x2 - = ax - a -

dt

N

+ f3xy

(h)

dx - = - yx-8xy

dt

-

dy

dt

= yy + 8xy

-

dy

dt

= ay - f3xy

1.2

TCNICA ANALTICA: SEPARACiN DE VARIABLESQu es una ecuacin diferencial y qu es una solucin?Una ecuacin diferencial de primer orden es una ecuacin para una funcin desconocida en trminos de su derivada. Como vimos en la seccin previa, hay tres tipos de "variables" en las ecuaciones diferenciales: la variable independiente (casi siempre el tiempo t en nuestros ejemplos), una o ms variables dependientes (que son funciones de la variable independiente) y los parmetros . Esta terminologa es estndar pero mi poco confusa. La variable dependiente es en realidad una funcin, por lo que tcnicamente debera llamarse funcin dependiente. La forma estndar para una ecuacin diferencial de primer orden esdy - = J(t, y).

dt


20

CAPTULO 1


Aqu el lado derecho depende por lo comn tanto de la variable dependiente como de la independiente, aunque a menudo encontramos casos en que t o y estn ausentes. Una solucin de la ecuacin diferencial es una funcin de la variable independiente que, al ser sustituida en la ecuacin como la variable dependiente, satisface todos los valores de la variable independiente en la ecuacin. Es decir, una funcin y(t) es una solucin si satisface la relacin dy/dt = y'(t) = 1(t, y(t. Esta terminologa no nos dice cmo encontrar soluciones, pero s cmo verificar si una funcin candidato es o no una solucin. Por ejemplo, considere la simple ecuacin diferencialdy dt

=y

Y2(t)

Podemos comprobar fcilmente que la funcin y (t) = 3e1 es una respuesta, mientras que = sen t no lo es. La funcin y(t) es una solucin porquedYI __ d(3e dt dtt ) __

3et

_

YI

para toda t.

Por otra parte, Y2(t) no lo es ya que-

dY2 d(sent) = - - - = cost dt dt '

y ciertamente la funcin cos t no es la misma funcin que Y2(t)

= sen t.

Verlflcacl6n de que una funcl6n es una solucl6n para una ecuacl6nSi nos fijamos en una ecuacin ms complicada tal comody y2 - 1 dt = t 2 + 2t'

tenemos entonces considerablemente ms trabajo en encontrar una solucin. Por otra parte, si alguien nos propone una funcin y(t), sabemos cmo verificar si se trata o no de una solucin. Por ejemplo, suponga que encontramos tres autores de textos sobre ecuaciones diferenciales, digamos, Pablo, Roberto y Juan, en la cafetera de la Universidad y les pedimos que encuentren soluciones para esta ecuacin diferencial. Despus de algunos minutos de furioso calcular, Pablo afirma quey(t)

=1+t = 1 + 2t

es una solucin. Juan dice queY2(t)

es una solucin. Despus de varios minutos ms, Roberto dice que

es una solucin. Cul de esas funciones es una soludn? Veamos quin tiene razn sustituyendo cada funcin en la ecuacin diferencial.


2t

Primero ensayamos la funcin de Pablo. Calculamos el lado izquierdo de la ecuacin diferenciando YI (t). TenemosdYl d(1 + t) -= =l. dt dt

Sustituyendo YI(t) en el lado derecho, encontramos(Yl(t))2 - 1 t 2 + 2t(1

+ t)2 - 1t 2 + 2t

=

=

t 2 + 2t t 2 + 2t = l.

El lado izquierdo y el lado derecho de la ecuacin diferencial son idnticos, por lo que Pablo est en lo correcto. Para verificar la funcin de Juan, calculamos de nuevo la derivada

-

dY2 d(1 + 2t) - 2 dt dt -.

Con Y2(t), el lado derecho de la ecuacin diferencial es(1

+ 2t) 2 t 2 + 2t

1

4t 2 + 4t 4(t + 1) 2 + 2t = t+2 t

El lado izquierdo de la ecuacin diferencial no es igual alIado derecho para toda t ya que el lado derecho no es la funcin constante 2. La funcin de Juan no es una solucin. Finalmente, revisamos la funcin de Roberto de la misma manera. El lado izquierdo esdY3 _ d(1) _ O dt - dt -

ya que Y3(t)

=

1 es una constante. El lado derecho es'-..".--- = - - = O

Y3(t)2 - 1 t2 + t

1-1 t2 + t

.

Tanto el lado izquierdo como el derecho de la ecuacin diferencial desaparecen para toda t. Por consiguiente, la funcin de Roberto es una solucin de la ecuacin diferencial. Las lecciones que aprendemos de este ejeITlplo son que una ecuacin diferencial puede tener soluciones que se ven algebraicamente muy diferentes una de otra y que, por supuesto, no toda funcin es una solucin. Dada una funcin, podemos comprobar si sta es una solucin sustituyndola en la ecuacin diferencial y viendo si el lado izquierdo es idntico alIado derecho. ste es un buen aspecto de las ecuaciones diferenciales: siempre podemos verificar nuestras respuestas. Entonces, nunca deberamos equivocarnos en esto.

Problemas de valor Inicial y la solucin generalCuando encontramos ecuaciones diferenciales en la prctica, suelen aparecer cn condiciones iniciales. Buscamos una solucin de la ecuacin que presupone un valor dado en un tiempo particular. Una ecuacin diferencial junto a una condicin inicial se llama problema de valor inicial. La forma usual de un problema de valor inicial esdy - = ,I(t, y), dt y(to) = yo


22

CAPTULO 1


Buscamos aqu una funcin y(t) que sea una solucin de la ecuacin diferencial y que tenga el valor Yo en el tiempo too A menudo, el tiempo particular considerado es t = O (por ello el nombre de condicin inicial), pero podra especificarse cualquier otro tiempo. Por ejemplo,-

dy 3 = t - 2sent, dt

y(O) = 3.

es un problema de valor inicial. Para resolverlo, observe que el lado derecho de la ecuacin diferencial depende slo de t y no de y . Debemos encontrar una funcin cuya derivada sea t3 - 2 sen t. ste es un problema comn de antidiferenciacin, por lo que todo l'tJ que necesitamos es integrar esta expresin. Encontramos

f

(t3 - 2 sen t) dt =

'4 + 2 cos t + c,

t4

donde c es una constante de integracin. Entonces la solucin de la ecuacin diferencial debe tener la formay(t) =

'4 + 2cost + C.=

t4

Usamos ahora la condicin inicial y(O) 3 Entonces, c=

3 para determinar c:

= Y (O) = "4 '+ 2 cos O + c = O + 2 . 1 + e = 2 + C.t4

04

1, y la solucin de este problema de valor inicial esY (t) =

'4 + 2 cos t + 1. '4 + 2cost+ct4

La expresiny(t) =

se llama solucin general de la ecuacin diferencial porque podemos usarla para resolver cualquier problema de valor inicial. Por ejemplo, si la condicin inicial es y(O) = 1T', escogeramos entonces c = 1T' - 2 para resolver el problema de valor inicial dy/dt = t3 - 2 sen t, y(O) = 1T'.

Ecuaciones separablesAhora que ya sabemos revisar si una funcin dada es una solucin de una ecuacin diferencial, la pregunta es: cmo obtenemos una solucin? Desafortunadamente, es raro el caso en que podemos encontrar soluciones explcitas para una ecuacin diferencial. Puesto que muchas de estas igualdades tienen soluciones que no pueden expresarse en trminos de funciones conocidas como polinomios, exponenciales o funciones trigonomtricas. Sin embargo, existen unos pocos tipos especiales de ecuaciones diferenciales para las cuales podemos obtener soluciones explcitas, y en esta seccin analizaremos uno de esos tipos de ecuaciones. La ecuacin diferencial de primer orden comn es dada por la formady dt = f(t, y).

http://carlos2524.jimdo.com/1.2 Tcnica analtica: Separacin de varia bles

23

El lado derecho de esta ecuacin contiene generalmente tanto la variable independiente t como la variable dependiente y (aunque hay muchos ejemplos importantes en los que t o y estn ausentes). Una ecuacin diferencial se llama separable si la funcinf(t, y) puede escribirse como el producto de dos funciones: una que dependa slo de t y otra que dependa slo de y. Es decir, una ecuacin diferencial es separable si puede escribirse en la forma-

dy = g(t)h(y). dt

Por ejemplo, la ecuacin diferencialdy - = yt dt

es claramente separable y la ecuacindy -= y + t dt

no lo es. Podramos tener que trabajar un poco para evidenciar que una ecuacin es separable. Por ejemplo,dy dt

+1 ty + tt

---1~

es separable ya que podemos escribir la ecuacin comody (t + 1) dt = t(y + l) =

(t + 1) (- t-

y+l}'

Dos importantes tipos de ecuaciones separables se presentan si t o y estn ausentes en el lado derecho de la ecuacin. La ecuacin diferencialdy - = g(t) dt

es separable puesto que consideramos el lado derecho como g(t) . 1, donde 1 constituye un;t funcin (muy simple) de y. De manera similar,dy = h( ) dt y

es tambin separable. Este ltimo tipo de ecuacin diferencial se llama autnqtna. Muchas de las ecuaciones diferenciales de primer orden ms importantes que surgen en aplicaciones (incluidas todas las de nuestros modelos en la seccin previa) son autnomas. Por ejemplo, el lado derecho de la ecuacin logsticadP = kP dt

(1 -

P) N

slo depende de la variable P, por lo que esta ecuacin es autnoma.

http://carlos2524.jimdo.com/ 24CAPITuLO 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

Cmo resolver ecuaciones diferenciales separables Para encontrar soluciones explcitas de ecuaciones diferenciales separables, usamos un procedimiento comn del clculo. A fin de ilustrar el mtodo, consideremos la ecuacin diferencialdy dtt y2'

Se antoja resolver esta ecuacin simplemente integrando ambos lados de la ecuacin con respecto a t. Esto da

fy, en consecuencia,

dy - dt = dt

f

- t dt , y2

y(t) =

f ;2

dt .

Ahora estamos atorados. No podemos evaluar la integral en el lado derecho porque no conocemos la funcin y(t). De hecho, sta es precisamente la funcin que queremos encontrar. Slo hemos reemplazado la derivada por una ecuacin integral. Tenemos que hacerle algo a esta ecuacin antes de tratar de integrarla. Volviendo a la ecuacin diferencial original

efectuamos algo de lgebra "informal" y reescribimos esta ecuacin en la formay2 dy = t dt.

Es decir, multiplicamos ambos lados por y2 dt. Por supuesto, no tiene sentido escindir dy/dt multiplicndola por dt. Sin embargo, esto debe recordarle la tcnica de clculo integral conocida como sustitucin-u. Veremos pronto que esa sustitucin es exactamente lo que estamos haciendo aqu. Integramos ahora ambos lados: el izquierdo con respecto a y, y el derecho con respecto a t. Tenemos

flo que da

idy =

f

tdt,

y3 t2 - = -

3

2

+c.

Tcnicamente, tenemos una constante de integracin en ambos lados de esta ecuacin, pero podemos agruparlas en una sola constante c a la derecha. Para ello, reescribimos esta expresin comoy(t) =(

3~ + 3c

2

) 1/3

;

o como c es una constante arbitraria, podemos representarla ms compactamente comoy(t) =

(

3~ + k

2

) 1/ 3

,


25

donde k es una constante arbitraria. El paso siguiente consiste en comprobar que esta expresin es realmente una solucin de la ecuacin diferencial, y a pesar de la dudosa separacin que acabamos de efectuar, obtenemos al final una respuesta. Vea que este proceso ofrece muchas formas de solucionar la ecuacin diferencial. Cada valor de la constante k da un resultado diferente.

Qu pasa realmente en nuestra lgebra Informal?Si ley usted atentamente el ejemplo previo, es probable que un punto de l lo ponga nervioso. El tratar dt como una variable es una advertencia de que realmente est ocurriendo algo ms complicado. Comenzamos con una ecuacin separabledy dt = g

ecuaciones diferenciales [blanchard, devaney, hall]

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