La complejidad de la mayora de los casos en los que interviene la transferencia de calor por

conveccin, hace imposible un anlisis exacto, tenindose que recurrir a correlaciones de datos

experimentales; para una situacin particular pueden existir diversas correlaciones procedentes de

distintos grupos de investigacin; adems, con el paso del tiempo, determinadas correlaciones anti-

guas se pueden sustituir por otras ms modernas y exactas, de forma que al final, los coeficientes

de transferencia de calor calculados a partir de correlaciones distintas no son iguales, y pueden

diferir, en general, en ms de un 20%, aunque en circunstancias complicadas las discrepancias

pueden ser mayores. En la conveccin natural, el fluido prximo a la pared se mueve bajo la

influencia de fuerzas de empuje originadas por la accin conjunta de los cambios en su densidad y el

campo gravitatorio terrestre.

XIV.1.- CORRELACIONES ANALTICAS PARA LA CONVECCIN NATURAL EN PLACA

PLANA VERTICAL

Uno de los problemas ms simples y comunes de conveccin natural acontece cuando una

superficie vertical se somete a un enfriamiento o a un calentamiento mediante un fluido.

Por comodidad supondremos que las capas lmite trmica e hidrodinmica coinciden Pr = 1; en

principio, la capa lmite es laminar, pero a una cierta distancia del borde, y dependiendo de las pro-

piedades del fluido y del gradiente trmico, puede suceder la transicin a rgimen turbulento, lo cual

sucede cuando (Gr Pr) > 109, Fig XIV.1; el nmero de Grashoff es de la forma:

Gr =

g b DT L3n2

; b = 1v (vT )p =

1v F

v - vFT - TF

; Para un gas ideal, b = 1T ( K)

Dado que la conveccin natural es consecuencia de una variacin de la densidad, el flujo corres-

pondiente es un flujo compresible; pero, como la diferencia de temperaturas entre la pared y el

XIV.-233

fluido es pequea, se puede hacer un anlisis, tanto de las componentes de la velocidad u(x,y),

v(x,y) como de la temperatura T(x,y), considerando a la densidad constante, excepto en el trmino

r g, en el que r debe considerarse como funcin de la

temperatura, ya que la variacin de r en este trmino es

el causante de la fuerza ascensional correspondiente.

La tercera ecuacin de Navier-Stokes proporciona:

1r

dpdx = - g -

dudt + n D u

r (u u x

+ v u y

) = - p x

- r g + h 2u y2

El gradiente de presiones a lo largo de la placa vertical

es:

p x

= - r F g ; 1r (- r F g) = - g -

dudt + n D u

siendo r F la densidad del fluido fuera de la capa lmite.

Como el fluido al calentarse o enfriarse modifica su densidad, en el intervalo de temperaturas

TF y T, se tiene:

g ( r F - r ) = r g (r F

r - 1)

siendo r F la densidad del fluido a la temperatura TF y r la densidad del fluido del interior de la capa

lmite a la temperatura T; como el volumen especfico del fluido es:

v = v F {1 + b (T - TF )} ;

r Fr

= 1 + b (T - TF ) ; r Fr

- 1 = b (T - TF )

r g (

r Fr

- 1) = r g b (T - TF ) = r g b D T

Teniendo en cuenta ecuaciones anteriores, la tercera ecuacin de Navier-Stokes, (ecuacin del

momento), la ecuacin de la energa y la ecuacin de continuidad, quedan en la forma:

Ecuacin del momento, u

u x

+ v u y

= g b (T - TF ) + n 2u

y 2

Ecuacin de la energa, u

T x

+ v T y

= a 2T

y2

Ecuacin de continuidad,

u x

+ v y

= 0

Las condiciones de contorno para una placa vertical isoterma son:

XIV.-234

Fig XIV.1.- Conveccin natural en placa vertical

Para , y = 0 ; u = 0 ; v = 0 ; T = TpF

y = ; u = 0 ; T = TF ; u y

= 0 ; T y

= 0

SOLUCIN INTEGRAL EN PARED ISOTERMA.- La ecuacin integral del momento de la canti-

dad de movimiento de la capa lmite es:

x

0

d

u2 dy = 0d

g b (T - TF ) dy + n 2 u

y2 y = 0

en la que se ha supuesto que los espesores de las capas lmite trmica e hidrodinmica son iguales.

La ecuacin integral de la energa de la capa lmite es:

x

0

d

(T F - T) u dy = a T y y = 0

y los perfiles de velocidades y temperaturas:

uv =

yd

(1 - yd

)2 ; F = T - TF

TpF - TF = (1 -

yd

)2

en la que V es una velocidad ficticia, funcin de x.

Las expresiones de V y d se pueden poner en la forma:

V = C1 x

a ; d = C2 xb , con:

a = 0,5

b = 0,25

Integrando las ecuaciones del momento y de la energa, resultan:

1105

x

(V 2 d ) = 13

g b (T pF - TF ) d - n Vg

(Ecuacin del momento)

2 a

TpF - TFd

= 1

30 (TpF - TF )

x

(V d ) (Ecuacin de la energa)

y teniendo en cuenta que: V = C1 xa ; d = C2 xb, resulta:

dx = 3,93

0,952 + PrGrx Pr 2

4

V = 5,17

nx

Grx0,952 + Pr

QA = - k

T y y= 0 = hcF (TpF - TF ) =

2 kd

(TpF - TF ) ; hcF = 2 kd

Nux = 0,508

Grx Pr2

0,952 + Pr4 ; Nu =

4 Nux3 ; Gr.Pr < 10

9

XIV.-235

Si, Ra > 109, el flujo comienza a ser turbulento, y suponiendo un perfil de velocidades m = 7, se

encuentra:

Nux = 0,0295 (

Grx Pr 7/6

1 + 0,494 Pr 2/3)2/5

Nu = 0,021 RaL2/5

viniendo expresado hC en, Kcal/hora m2 C, la conductividad trmica kF del fluido en, Kcal/mC y la

velocidad msica G en ,Kg/m2 hora.

PLACA ISOTRMICA.- Pohlhausen considera que los perfiles de velocidad y temperatura en

conveccin natural presentan propiedades similares, en forma anloga a las observadas por Bla-

sius para la conveccin forzada, de forma que:

h =

yx

Grx4

4 ; F = T - TF

TpF - TF = (1 -

yd

)2

La distribucin de temperaturas permite determinar el flujo de calor local, de la forma:

QA = - k

T y y=0= -

kx (T pF - TF )

Grx4

4 d Fdh h =0= hcF (T pF - TF )

obtenindose el nmero de Nux local:

Nux = f(Pr)

Grx4

4

viniendo los valores de f(Pr) en la Tabla XIV.1.

El nmero de Nu medio es:

Nu =

43

f(Pr) GrL4

4

resultado vlido para conveccin forzada en rgimen laminar, en el intervalo, 104 < (Gr Pr) < 109,

con propiedades del fluido constantes, excepto la densidad; las propiedades se evalan a la tempe-

ratura de referencia, de la forma:

Tref = TpF + 0,38 (TF - TpF )

Tabla XIV.1

Pr 0,01 0,72 0,733 1 2 10 100 1000f(Pr) 0,0812 0,5046 0,508 0,5671 0,7165 1,1694 2,191 3,966

PLACA CON FLUJO DE CALOR CONSTANTE.- Las ecuaciones del momento, energa y conti-

XIV.-236

nuidad anteriores, son vlidas para un flujo de calor uniforme, Q

A = Cte , a lo largo de la placa; con

esta condicin se tiene:

Nu = F(Pr)

GrL4

4 , siendo, 0,95 F(Pr) = 43 f(Pr)

Los valores de F(Pr) vienen dados en la Tabla XIV.2,

Tabla XIV.2

Pr 0,01 1 10 100F(Pr) 0,335 0,811 1,656 3,083

XIV.2.- CORRELACIONES PARA LA CONVECCIN NATURAL EN PLACAS

Para la determinacin de los coeficientes de transmisin de calor por conveccin natural, con

superficie isoterma a Tp, en los casos de:

a) Pared vertical de altura L, (no se define la anchura)

b) Tubo vertical con,

dL >

35GrL4

c) Tubo horizontal de dimetro d

se utiliza una ecuacin general de la forma:

NuL = C (RaL )n

El n de Grashoff es, Gr =

g b

n 2 D T L3 , y el n de Rayleigh, Ra = Gr Pr

Las propiedades trmicas del fluido se toman a la temperatura media de la pelcula, a excep-

cin del coeficiente de dilatacin trmica b que se evala a la temperatura del fluido TF.

Para el caso de un gas ideal el valor de b se puede aproximar por, b @

1TF

, con TF en K

D T es la diferencia entre la temperatura de la pared y la del fluido

L es una longitud caracterstica y los valores de C y n vienen dados en la Tabla XIV.3.

Estas ecuaciones se pueden aplicar a la conveccin libre laminar desde placas verticales iso-

termas o superficies con flujo trmico uniforme, tomando la temperatura de la superficie en el

punto medio de la placa.

Para el estudio de la conveccin libre alrededor de placas planas rectangulares horizontales, se

toma como longitud caracterstica la media aritmtica de sus dos dimensiones, o bien el 90% de su

dimetro en el caso de discos circulares horizontales.

XIV.-237

Tabla XIV.3.- Valores de las constantes de la ecuacin de Nusselt para conveccin natural

Planos verticales y cilindros verticales

C 0,59 0,13 0,021n 0,25 0,33 0,4

104

n = 0,33

C = 0,13

; NuL = 0,13 RaL0,33 , para:

108< RaL < 1010

1 < Pr < 10

Estos coeficientes son vlidos para, 1 < Pr < 10, calculando las propiedades fsicas de los fluidos

a la temperatura media entre la pared TpF y el fluido TF.

Fig XIV.2.- Capas lmite laminar y turbulentaen la conveccin natural sobre paredes verticales

d) Para flujos con turbulencia muy desarrollada, 109 < RaL < 1012, se puede utilizar:

NuL = 0,68 + 0,67 RaL

0,25

{1 + (0,492

Pr)9/ 16 }4/9

{1 + 1,6.10 -8 RaL y }1/12 , para:

109< RaL < 1012

1 < Pr < 10

en la que, y = {1 + (

0,492Pr )

9 / 16 } -16/ 9

Nuy = 0,059

Pr 1/ 3 Ray2/5

{1 + 0,494 Pr 2/ 3}2/5

En la grfica de la Fig XIV.3 se exponen las correlaciones anteriores en rgimen laminar y tur-

bulento, hacia o desde una placa plana vertical de altura L, considerando en el eje de ordenadas

NuL y en el eje de abscisas (GrL.Pr), que se pueden aplicar tambin al caso de cilindros verticales.

e) Una expresin que las engloba, vlida tanto para rgimen laminar como turbulento es:

Nu = 0,825 + 0,387 RaL

1/6

{1 + (0,492

Pr )9/ 16}8/27

, para, 10-1 < RaL < 1012

En la formulacin propuesta, si una de las caras de la pared est aislada trmicamente, los

valores del nmero de Nusselt seran la mitad de lo indicado en las frmulas.

Para el caso particular del aire, a temperaturas normales, el coeficiente de transferencia de calor local

para una placa vertical isotrmica se puede aproximar por las siguientes ecuaciones, teniendo en cuenta que

para el aire la transicin de rgimen laminar a turbulento es Grx 109:

XIV.-239

Fig XIV.3.- Correlacin para la conveccin natural en placas y tubos verticales

Flujo laminar, hc(x) = 1,07

D Tx

4 W

m2 K

Flujo turbulento, hc(x) = 1,3 D T

3 W

m 2 K

observndose que el coeficiente de conveccin local es independiente de x en rgimen turbulento.

El coeficiente de conveccin medio para toda la placa vertical es:

hc =

1L 0

L

hc(x) dx = 1L { 0xcrt

1,07 D Tx4 dx + xcrtL

1,3 D T3 dx} Wm 2 K

CONVECCIN NATURAL SOBRE PLACA VERTICAL CON FLUJO DE CALOR UNIFORME.-

En esta situacin se utiliza un nmero de Grashoff modificado Grx* , de la forma:

Grr

* = Grx Nux = g b qpx

4

k n 2

siendo qp el flujo de calor de la pared, y Nux =

x hcF(x)k

Rgimen laminar

Nu = 1,25 (Nux ) x=L ; Nux = 0,60 (Grx* Pr )1/ 5 ; 105 < Grx* Pr < 1011

Otra expresin para conveccin natural laminar, con flujo de calor uniforme es:

Nu (Nu - 0,68) = 0,67 (GrL* Pr )1/ 4

{1 + (0,492

Pr )9 /16 }4 /9

; 105 < GrL* Pr < 1011

Rgimen turbulento

Nu = 1,136 (Nux ) x=L ; Nux = 0,568 (Grx* Pr )0,22 ; 1013 < Grx* Pr < 1016

XIV.-240

CONVECCIN NATURAL SOBRE UNA PLACA INCLINADA UN ANGULO q .- Si la placa caliente

se inclina un pequeo ngulo q respecto a la vertical, se puede tomar un nmero de Grashoff igual

al nmero de Grashoff calculado para placa vertical multiplicado por cos q , es decir:

Gr = GrPlaca vertical cos q

Si la superficie caliente mira hacia arriba

Nu = 0,56 (GrL Pr cos q )0,25 , para,

q < 88

105 < RaL < 1011

Si la superficie caliente mira hacia abajo

Nu = 0,145 (GrL Pr )0,33 - (Grc Pr )0,33 + 0,56 (Grc Pr cos q )0,25

GrL Pr < 1011 ; GrL > Grc

q = 15, Gr c= 5.109

q = 30, Gr c= 109

q = 60, Gr c= 108

q = 75, Gr c= 106

En esta ecuacin, las propiedades fsicas del fluido se evalan a la temperatura:

T = TpF - 0,25 (TpF - TF )

y las de b , a: TF + 0,25 (TpF - TF )

CONVECCIN NATURAL SOBRE PLACA HORIZONTAL.- El nmero de Nusselt viene dado por

la expresin:

Nu = C (RaL )n

Placa horizontal a temperatura uniforme

Superficie caliente hacia arriba o fra hacia abajo,

C = 0,54

n = 0,25

; 10 5 < RaL < 107

Superficie caliente hacia abajo o fra hacia arriba,

C = 0,27

n = 0,25

; 10 5 < RaL < 107

Superficie caliente hacia arriba,

C = 0,13

n = 0,33

; 10 7< RaL < 1010

Placa horizontal, flujo de calor uniforme

a) Superficie caliente mirando hacia arribaXIV.-241

Nu = 0,13 RaL1/3 ; RaL < 2.108

Nu = 0,16 RaL1/3 ; 5.10 8 < RaL < 1011

en las que L es la longitud de los lados en el caso de placa cuadrada, o la longitud del lado ms corto

en el caso de placa rectangular.

Cuando RaL= 107, se originan unas corrientes trmicas turbulentas irregulares sobre la placa

dando como resultado un n de Nu medio que no depende del tamao ni de la forma de la placa

b) Superficie caliente mirando hacia abajo

Nu = 0,58 Ra L1/5 ; 10 6 < Ra L < 10 11

en la que las propiedades fsicas del fluido se toman a la temperatura: T = TpF - 0,25 (TpF - TF )

y las propiedades trmicas del coeficiente b a la temperatura, T =

TpF + TF2

El nmero de Nusselt medio es, Nu =

hcF L

k =

qp L

(T pF - TF ) k

Existe una correlacin general para placa horizontal que se calienta hacia abajo, con extensio-

nes adiabticas desarrollada por Hatfield y Edwards, como se muestra en la Fig XIV 5, de la for-

ma:

NuA = 6,5 (1 + 0,38 AL

) {(1 + X)0,39 - X0,39 } RaA0,13 , para:

10 6 < Ra < 1010

0, 7 < Pr < 4800

0 < a/A < 0,2

con, C = 13,5 RaA

-0,16 + 2,2 (aA

)0,7

Fig XIV.4.- Conveccin natural laminaralrededor de una placa horizontal caliente

Fig XIV.5.- Esquema de una placa horizontal que se calienta hacia abajoen la que las extensiones adiabticas estn sombreadas

CONVECCIN NATURAL ENTRE PLACAS HORIZONTALES.- Este caso se presenta cuando un

fluido circula entre dos placas, como paredes con cmara de aire, o ventanas de doble vidrio, o

paneles solares, etc. La longitud caracterstica que se utiliza normalmente para determinar el n

de Nu es la distancia d entre las dos placas.

Si el flujo se efecta entre planos de superficie A, separados una distancia d, con temperaturas

de placa Th y Tc se tiene:

XIV.-242

QA =

k F (Th - Tc )d

siendo kF la conductividad trmica efectiva del fluido confinado.

Si la diferencia de temperaturas, Th - Tc, es menor que el valor requerido para que el fluido se

vuelva inestable, el calor se transmite a travs de la capa slo por conduccin, por lo que:

hC =

kd ; Nud = 1

por lo que las correlaciones del nmero de Nusselt tienen siempre un lmite inferior Nud = 1, que

corresponde a la conduccin pura.

Una capa horizontal calentada por la parte inferior se vuelve inestable para un determinado

valor de, Th - Tc, apareciendo celdas de conveccin para un valor de Rad de la forma:

Rad =

g b (T h- Tc ) d3

n a = 1708

y si la temperatura sigue aumentando, se van creando situaciones de flujo cada vez ms comple-

jas hasta que, finalmente, el flujo en el centro se vuelve turbulento.

Si se toma el aire como fluido, y considerando la placa inferior como la ms caliente, Fig XIV.6,

se tiene:

Nu = 0,195 Gr0,25 , para, 104 < Gr < 4.105

Nu = 0,068 Gr0,33 , para, 4.105 < Gr < 107

Tomando como fluido un lquido de nmero de Pr moderado, (agua), y considerando la placa infe-

rior como la ms caliente, se tiene:

Nud = 0,069 Grd0,33 Pr 0,407 , para, 3.105 < Rad < 7.109

CONVECCIN NATURAL ENTRE PLACAS VERTICALES.- Para espacios confinados, en los que

el fluido sometido a conveccin circula entre placas verticales de altura L, el efecto trmico se

puede expresar como un simple cambio en la conductividad trmica del fluido. La circulacin se da

para cualquier valor de Rad > 0, y la transferencia de calor por conduccin pura se efecta para,

Rad < 103. Al aumentar Rad el flujo se desarrolla y se forman celdas de conveccin.

Cuando Rad = 104 el flujo pasa a ser tipo capa lmite, con capas que fluyen hacia arriba sobre

la pared caliente y hacia abajo sobre la pared fra, mientras que en la regin central el flujo perma-

nece prcticamente estacionario.

Cuando Rad = 105 se desarrollan hileras verticales de vrtices horizontales en el centro del flujo

Cuando Rad = 106 el flujo en el centro se vuelve turbulento

XIV.-243

Fig XIV.6.- Conveccin natural celular en una capa horizontal de fluido confinado entre dos placas paralelas Fig XIV.7.- Recinto vertical e inclinado

Valores tpicos de Nu para el aire son los siguientes:

Nu = 1 , para, Gr < 2.000

NuL = 0,18 Gr0,25 (

dL )

0,11 , para, 2.103 < Gr < 2.104

NuL = 0,065 Gr0,33 (

dL )

0,11 , para, 2.104 < Gr < 107

en las que se debe cumplir,

Ld

> 3.

CONVECCIN NATURAL ENTRE PLACAS INCLINADAS.- Para la transferencia de calor a tra-

vs de capas delgadas de aire, se pueden presentar los siguientes casos, segn sea la inclinacin q

de la capa respecto a la horizontal:

a) 0 < q < 60 ; 0 < Rad < 105

NuL = 1 + 1,44 (1 -

1708Rad cos q

) {1 - 1708 (sen 1,8 q )1,6

Rad cos q} + {(

Rad cos q5830 )

1 / 3 - 1}

en la que los trminos entre corchetes deben hacerse cero si salen negativos.

b) q = 60 ; 0 < Rad < 107.- El valor de Nud se tomar el mximo entre las expresiones:

Nud7 = 1 + {

0,0936 Ra d0,314

1 + 0,5

[1 + ( Rad3160

) 20,6] 0,1

}7

Nud = (0,104 +

0,175 dL ) Rad

0,283

en la que L es la longitud de la capa delgada de fluido.

c) 60 < q < 90

Nud =

90 - q30 Nud (60) +

q - 6030 Nud (90)

XIV.-244

d) q = 90 ; 103 < Rad < 107.- El valor de Nud se tomar el mximo entre las expresiones:

Nud = 0,0605 Rad

3

Nud = 1 + (0,104 Rad

0,293

1 + (6310Rad

)1,36)33

Nud = 0,242 (

Rad dL )

0,272 , para, Rad < 103 , Nud (90) = 1

XIV.3.- CORRELACIONES PARA LA CONVECCIN NATURAL EN TUBOS

CONVECCIN NATURAL SOBRE UN TUBO O UN CILINDRO HORIZONTAL

a) El nmero de Nusselt medio para la conveccin natural hacia y desde cilindros horizontales,

se puede calcular a partir de la ecuacin:

Nu = C (Ra)n

en la que los valores de las constantes se pueden tomar de la Tabla correspondiente, o a partir de

la grfica de la Fig XIV.8.

b) Unas expresiones ms exactas son:

Para flujo laminar: Nud = 0,36 + 0,518 Rad

1/ 4

{1 + (0,56Pr )

9 / 16 }4/ 9 , con:

10- 6 < Rad < 109

Pr > 0,5

Para flujo turbulento: Nud = 0,60 + 0,387 Rad

{1 + (0,56Pr )

9 / 16 }16/96 , con:

Rad > 109

Pr > 0,5

expresiones que no coinciden para Rad= 109.

c) Para la transferencia de calor desde cilindros en posicin horizontal hacia metales lquidos, se puede uti-

lizar

Nu = 0,53 Gr Pr24

o tambin la ecuacin de Baher:

Nu = 0,445 Ra4 + 0,1183 Ra8 + 0,41 ; 10-5 < Ra < 104

d) En conveccin natural para el caso particular del aire y gases, para tubos horizontales y verticales

calientes, se puede aplicar la formulacin :

Flujo laminar: hC = 1,18 D Td

4 W

m2 K

Flujo turbulento: hc = 1,65 D T3

W

m2 K

con D T en C, y d en metros

XIV.-245

Fig XIV.8.- Correlacin existente entre datos de conveccin naturalhacia y desde cilindros horizontales

CONVECCIN NATURAL ENTRE CILINDROS CONCNTRICOS.- El cilindro interior es el

caliente y el cilindro exterior el fro; las correlaciones recomendadas para la conveccin natural se

expresan en funcin de una conductividad trmica efectiva, kefc, que se sustituye en la ecuacin de

conduccin correspondiente:

Q = 2 p kefec d (T1 - T2 )

ln r2r1

, con, k efec

k = 0,386 Pr Ra cil

0,861 + Pr4

102 < Racil < 107 ;

kefeck

> 1 ; Racil =

(ln D2D1

)4

d3 (D1-3/ 5 + D2

-3 / 5 )5 Rad ; d =

D2 - D12

XIV.4.- CORRELACIONES PARA LA CONVECCIN NATURAL EN ESFERAS

ESFERA ISOTERMA

a) La transferencia de calor hacia y desde una esfera isoterma de dimetro d, en gases, viene dada

por:

Nud = 2 + 0,43 Rad4

1 < Rad < 1011

Pr 1

b) Para el caso particular de conveccin de una esfera isoterma en agua:

Nud = 2 + 0,5 Rad4

3.105 < Rad < 8.108

10 < Nud < 90

c) Cuando, Rad = 0, Nu = 2, que se corresponde con el valor lmite de la conduccin de calor de

XIV.-246

una esfera isotrmica en un medio infinito

d) Churchill propone una expresin general, de la forma:

Nud = 2 + 0,589 Rad4

{1 + (0,469

Pr )9/16 }4/9

Rad < 1011

Pr > 0,5

CONVECCIN NATURAL ENTRE ESFERAS CONCNTRICAS.- La esfera interior es la caliente

T1 y la esfera exterior la fra T2; las correlaciones recomendadas para la conveccin natural se

expresan en funcin de una conductividad trmica efectiva kefc, que se sustituye en la ecuacin de

conduccin correspondiente:

Q = 4 p k efec (T1 - T2 )

dr 1 r2

; d = r 2 - r1

Las propiedades se evalan a la temperatura, T =

T1+ T22

kefeck = 0,74

Pr Raesf0,861 + Pr

4 ; 102 < Raesf < 104 ; k efec

k > 1

Raesf = d

(D2D1

)4 (D1-7 /5 + D2

-7 / 5 )5 Rad

XIV.-247