ec gibbons capitulo1

5/10/2018 Ec Gibbons Capitulo1 - slidepdf.com

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1. JUEGOS ESTATICOS

CON INFORMACION COMPLETA

En este capitulo consideramos juegos simples de Ia siguiente forma: pri-

mero los jugadores forman decisiones simultaneamente: a continuaci6n

reciben sus ganancias, que dependen de la combinaci6n de aeciones que

acaban de elegir. Dentro de la clase de estes juegos estaticos (0 de decision

simultanea), restringimos nuestra atencion a los juegos con in formacion

compieia . Es decir, la funci6n de ganancias de cada jugador (Ia funci6n

que determina la ganancia de cada jugador a partir de la combinacion

de acciones elegidas por los jugadores) es conocida par los jugadores.

Estudiamos los juegos dinamicos (0 de toma de decisiones sucesivas) en

los capitulos 2 y 4, Y los juegos can informacion incompleta (juegos en

los cuales algun jugador no esta segura de Ia funci6n de ganancias de

otto jugador, como ocurre en una subasta en 1acual 10 que cada licitador

esta dispuesto a pagar por el bien subastadoes desconocido por los otros

Iicitadores) en los capitulos 3 y 4.

En la secci6n 1.1 entramos en las dos cuestiones basicas de 1ateona de

juegos: c6mo describir un juego y c6mo resolver el problema de teoria

de juegos resultante. Con este fin describimos los instrumentos que uti-

lizaremos para analizar los juegos estaticos con informacion completa, y

sentaremos las bases de la teorfa que utilizaremos para analizar juegos

mas ricos en capitulos posteriores, Definimos tambien la r ep re sen ia c io n en

fo rm a n or ma l de un juego y la noci6n de estrategia estridamenie dom inada .

Demostramos que algunos juegos pueden resolverse mediante Ia apli-

cacion de la idea de que los jugadoresracionales no utilizan estrategias

estrictamente dominadas, pero tambien que en otros juegas este enfo-

que da Iugar a predicciones muy imprecisas sabre el desarrollo del juego

(algunas veces tan impredsa COUlO la afirmad6n de que "cualquier cosa

puede ocurrir"), Despues, definimos el equilibrio de Nash , un concepto de

solucion que da pie a predicdones mucho mas precisas en una clase de

juegos rnuy amplia.



2 I JU EG OS E ST A TICOS CON INFORMAOON COMPLETA (c. 1)

En la seccion 1.2, utilizando los instrumentos desarrollados en la

seccion previa, analizamos cuatro aplicaciones: el modele de competencia

imperfeeta de Cournot (1838), el modele de competenda imperfects de

Bertrand (1883), el modele de arbitraje de oferta final de Farber (1980)

y el problema de los ejidos (discutido por Hume [1739] y otros), En

eada aplicacion, en primer lugar traducimos la descripcion informal del

problema a una representation en la forma normal del juego y despues

hallamos su equilibrio de Nash. (Cada una de estas aplieadones tiene un

unico equilibrio de Nash, pero discutimos ejemplos en los cuales esto no

oeurre.)

En la seccion 1.3 volvemos a la teorfa. En primer Iugar definimos la

nocion de e st ra te g ia m i xi a, que interpretamosen terminos de Ia falta de cer-

teza de un jugador con respecto a 10 que otro jugador hara, 5eguidamente,

enunciamos y discutimos el teorema de Nash (1950), el eua1 garantiza que

un equilibrio de Nash (que puede incluir estrategias mixtas) existe en una

amplia clase de juegos. Puesto que presentamos primero Ia teoria ba-

sica en 1aseccion 1.1, las aplicaciones en 1asecd6n 1.2 y, finalmente, mas

teorfa en 1asecd6n 1.3, resulta evidente que el conocimiento de la teorfa

incluida en la seccion 1.3 no constituye un requisite para entender las

aplicadones de la seed on 1.2. Por otra parte, la idea de estrategia mixta y

la existencia de equilibrio aparecen (ocasionalmente) en capftulos peste-riores,

Cada capitulo conduye can ejercicios, sugereneias de lectura adicional

y referencias.

1.1 Teoria basica: Juegos en forma normal y equilibria de Nash

1.I.A Representacion de los juegos en forma normal

En la representacion de un juego en forma normal cada jugador elige de

forma simultanea una estrategia, y la combinaci6n de las estrategias ele-

gidas por los jugadores detennina la ganancia de cada jugador. Vamos

a ilustrar la representaci6n en forma normal con un ejemplo clasico, el

del dilem a de lo s preso s. Dos sospechosos son arrestados y acusados de

un deli to. La policia no tiene evidencia suficiente para condenar a los

sospechosos, a menos que uno confiese. La policfa encierra a los sospe-

chosos en celdas separadas y les explica las consecuencias derivadas de las

decisiones que formen, Si ninguno confiesa, ambos seran condenados por

un delito menor y sentenciados a un mes de carcel, Si ambos. confiesan,



T eo ria b ds ic a: J ue go s e n fo nn al n or ma l y eq uilib rio de N as h / 3

senin sentenciados a seis meses de carcel, Finalmente, si uno confiesa yel

otro no, el que confiesa sera puesto en libertad inmediatamente y el otro

sera sentenciado a nueve rneses en prision, seis par el delito y tres mas

par obstruccion ala justicia.

EI problema de los pres os puede representarse mediante la siguiente

matriz binaria. (Como rnatriz, una matriz binaria puede tener un mimero

arbitrario de fiIas y columnas; binaria se refiere a1 hecho de que en un

juego de dos jugadores hay dos mrmeros en cada casilla, las ganancias de

los dos jugadores).

Preso 2

Callarse Confesar

Callarse ~1,~1 -9,0

Preso 1

Confesar 0,- 9 -6, -6

E / dilem a de lo s pr es os

En este juego, cada jugador menta can dos estrategias posibles: confe-

sar yno confesar. Las ganancias de los dos jugadores cuando eligen unpar

concreto de estrategias apareeen en Ia casilla correspondiente de la rna-

triz binaria, Por convencion, la ganancia delllamado jugador-fila (aqui e1

preso 1) es la primera ganancia, seguida par la ganancia del jugador-

columna (aquf e1preso 2). Por eso, si por ejemplo el preso 1 elige callar y .

el preso 2 elige confesar; el preso 1 recibe una ganancia de -9 (que repre~

senta nueve meses en prision) y el preso 2 recibe una ganancia de 0 (que.

representa la inmediata puesta en libertad),

Ahora abordamos el caso general. La r ep re se nta cio n e n fo rm a n or m al

de un juego especifica: (1) los jugadores en el juego, (2) las estrategias

de que dispone cada jugador y (3) la ganancia de cada juga dar en cada

combinacion posible de estrategias, A menudo discutiremos juegos can

un ruimero n de jugadores, en los cuales los jugadores estan numerados de

1 any un jugador arbitrario es denominado jugador i, Sea 5i el conjunto

de estrategias con que menta el jugador i(Ilamado e sp a ci o d e e st ra teg ia s

de i), y sea Si un elemento arbitrario de este conjunro. (Ocasionalmente

escribiremos S; E S, para indicar que Ia estrategia Si es un elemento

del conjunto S;.) Sea (SI, ..• ISn) una combinacion de estrategias. una para



4 I JUE GOS ESTATlCOS CON INFORMACI6N C OMPLE T A (c. I)

cada jugador, y sea Ui la funci6n de ganandas del jugador i: Ui (51, ... ,Sn) es

la ganancia del jugador i si los jugadores eligen las estrategias (SI,' .. ,Sn)'

Compilando toda esta informacion tenemos:

Definicion. La representaeion en forma normal de un ju eg o co n n jugadores

e sp ec if ic a I os es pa ci os d e e si ra ie gia s d e lo s jugadores S v ... ,Sn Y s us [ un cio nes

de ganancia s 11 .1 , . .. ,un' D en oia mo s es te ju eg o c on G = {SI,' .. ,Sn; 1 1.1 , .•• ,U n}'

Aunque hemos indicado que en un juego en forma normal los juga~

dores eligen sus estrategias de forma simultanea, esto no signifiea que las

partes aciuen necesariamente de forma simultanea. Es sufidente que cada

parte elija la accion a seguir sin conocer las decisiones de los demas, como

seda aqui el caso si los presos tomasen una decision en momentos arbitra-

rios en sus celdas separadas. Ademas, aunque en este capitulo utilizamos

juegos en forma normal para representar solamente juegos estaticos en

los cuales los jugadores acnian todos sin conocer las decisiones de los

demas jugadores, veremos en e1 capitulo 2 que las representaciones en

forma normal pueden darse en juegos con tomas de decision sucesivas,

pero tambien que una altemativa, 1arepresentacion e n fo rm a e xie ns io a del

juego, es a menudo un marco de trabajo mas conveniente para analizar

los aspectos dinamicos de los juegos.

I.l.B Eliminacion iterativa de estrategias estrictamente dominadas

Despues de describir un modo de representar un juego, ahara vamos a

esbozar una forma de resolver un problema de teoria de juegos. Empe-

zamos can el dilema de los preaos, porque es facil de resolver utilizando

iinicamente la idea de que un jugador racional no utilizara una estrategia

estrictarnente dorninada.

En el dilema de Ips presos, si un sospechoso va a confesar, seria mejor

para el atro confesar y eon ella ir a la carcel seis meses, en lugar de callarse

y pasar nueve meses en prisi6n. Del rnismo modo, s1un sospechoso va a

callarse, para el otro seria mejor confesar y con ello ser puesto en libertad

inmediatamente en 1ugar de callarse y permanecer en prisi6n durante

un meso Asi, para el presa i, la estrategia de callarse esta dominada

por la de confesar: para cada estrategia que el preso jpuede elegir, la

gananda del prisionero ies menor si se calla que si confiesa. (Lo mismo

ocurriria en eualquier matriz binaria en la cuaJ las ganancias 0, ~1, ~6

Y -9 fueran reemplazadas por las ganancias T,R,P e I respectivamente,



Teena ba si ea : [ u ego« e n lonnal nonnal y e qu i li b ri a de N ash / 5

siempre que T > R > P > I, para plasmar las ideas de ganancias de

tentacion, recompensa, penalizaci6n e ingenuidad, De forma mas general:

Definicion. E n el fuego en Jon na no rm al G '" {51,' .. ,5 n; ul, ... ,Un} , sea n s~

y s~ ' p o si bl es e st ra teg ia s d el j ugado r i( pa r e iem plo , s ~ y s ~' so n ele men to s de 5 ;).

La estrategia s; estii estrictamente dom ina da por la estrateg ia s:' s f p ar a e ad a

c om o in ac io n po sib le d e la s es tr ateg ia s d e lo s r eeia nie s ju ga do res la g an an cia de i

po r u ii li za r s i es es tr icia men ie m en or q ue la g an an cia de i pa r u ii li za r 8;':

Ui(Sl, . .. ,S'£_l,S: ,s;+ I, ... ,Sn) < U.;(51, ... ,5i-l ,5" ,5;+1,... ,5n) (D E)

p ar a c ad a (51, ... ,Si-1,s;.+1, ... ,Sn) q ue pu ede ser co ns ir uida a pa rtir de lo s es pa -

c io s d e e st ra te gi as d e lo s o tr os j ug a do re s 51, ... .S; -1,5;+ 1,... ' ,Bn.

Los jugadores racionales no utilizan estrategias estrictamente domina-

das, puesto que bajo ninguna conjetura que un jugador pudiera formarse

sobre las estrategias que elegiran los demas jugadores sena 6ptimo utili-

zar tales estrategias.' Asi, en el dilema de los presos, un jugador racional

elegira confesar, por 10 que (confesar, confesar) sera e1resultadoal que lle-

gan dos jugadores raciona1es, incluso cuando (confesar, confesar) supone

unas ganancias peores para ambos jugadores que (callar, callar). Comoel dilema de los presos tiene multiples aplicaciones (que induyen 1a ca-

rrera de armamentos y e1problema del poliz6n en Ia provisi6n de bienes

piiblicos) trataremos variantes del juego en los capitulos 2 y 4. Par ahora

nos centraremos mas bien en si la idea de que jugadores racionales no uti-

lizan estrategias estrictamente dominadas puede conducir a 1a solud6n

de otros juegos.

Consideremos el juego abstracto de la figura 1.1.1.2 El jugador 1 tiene

dos estrategias y el jugador 2 tiene 3: 51 '" {alta, baja} y B 2 '" {izquierda,

centro, derecha}, Para el jugador 1, ni alta ni baja estan estrictamente

1Una cuestion complernentaria tambien liene interes: si no existe una conjetura que el

jugador i pueda formarse sobre las estrategias de los demas jugadores, que haga optimo elegir

la estrategia si,i.podemos conduir que debe existir otra estrategia que domine estrictamente a

Si? La respuesta es afirmativa, siempre que adoptemos definiciones adecuadas de "conjetura"

y de "otra estrategia", termjJ\os que inch.!yen la idea de estrategias mixtas que introduciremos

en la seccion 1.3.A.

2 La mayor parte de este libro considera aplicaciones €<:onomicas mas que ejemplos

abstractos, tanto porque las aplicaciones SOn de interes par sf mismas como porque, para

muchos leetores, las aplicaciones son a menudo un modo titil de explicar la teorfa subyacente.

Sin embargo, cuando introduzcamos algunas ideas teoricas basicas, recurriremos a ejempios

abstracros sin una interpretacion economica directa.



6/ ]UEGOS ESTATICOS CON INFORMACION COMPLETA (c. 1)

dominadas: alta es mejor que baja si 2 elige izquierda (porque 1 es mayor

que 0), pem baja es mejor que alta si 2 elige derecha (porque 2 es mayor

que cero),

[ugador 2

Izquierda Centro Derecha

Alta 1,0 1,2 0,1

0,3 0,1 2,0

Jugadorl

Baja

Figura 1.1.1

Sin embargo, para el jugador 2, derecha esta estrictamente dominada

por centro (porque 2 es mayor que 1 y 1 es mayor que 0), por 10 que un

jugador racional 2 no elegira derecha. As}, si el jugador 1sabe que el

jugador 2 es racional, puede elirninar derecha del espacio de estrategias

del jugador 2. Esto es, si e1jugador 1 sabe que eI jugador 2 es racional,

puede comportarse en el juego de 1afigura 1.1.1 como si estuviera en eJ

juego de 1afigura 1.1.2.

Jugador 2

Izquierda Centro

0,1

Alta 1,0

Jugador 1

Baja 0,3

1,2

Figura 1.1.2

En la figura 1.1.2, bajaesta ahara estrictamente dominada por alta

para el jugador 1, asi que si el jugador 1 es racional (y el jugador 1 sabe

que e1jugador 2 es racional, por 10 que sea plica el juego de la figura 1.1.2)

no elegira baja. Por eso, si el jugador 2 sabe que el jugador 1 es racional,

y el jugador 2 sabe que el juga dar 1sabe que e1 jugador 2 es racional

(par 10 que el jugador 2 sabe que se aplica 1a figura 1.1.2), el jugador 2

puede eliminar baja del espacio de estrategias del jugador 1, quedando el

juego como indica la figura 1.1.3. Pero ahora, izquierda esta estrictamente

dominada por centro para el jugador 2, quedando (alta, centro) como el

resultado del juego.



T eo ri a b ds ic a : I ue go s e n f or m al n o rm a l y e qu il ib ri a d e N a sh I 7

Jugador 2

Izquierda Centro

Jugador 1 AHa I,,__-----------

Figura 1.1.3

1 , 0 1,2

Este proceso se denomina e lim in ac io n ite ra tiv a d e la s e sir ate gia s e str ic -

i am e n ie dom in a da s . Aunque esta bas ado en la atractiva idea de que los

jugadores racionales no utilizan estrategias estrictamente dominadas, elproceso presenta dos inconvenientes. En primer Iugar, cada paso requiere

un supuesto adicional sobre 10 que los jugadores saben acerca de la ra-

cionalidad del otro. Si queremos ser capaces de aplicar el proceso para

un mimero arbitrario de pas os, necesitamos suponer que es in formacion

d el d om in ic p ub lic o que los jugadores son rationales. Esto es, necesitamos

suponer no s610 que todos los jugadores son racionales, sino tambien que

todos los jugadores saben que todos los jugadores son rationales, y que

todos los jugadores saben que todos los juga dares saben que todos los

jugadores son rationales, y asi ad in fin itum (vease la definici6n formal de

informacion del dominic publico en Aumann [1976D .

La segunda desventaja de la eliminaci6n iterativa de estrategias estric-tarnente dominadas es que el proceso conduce a menudo a una prediccion

imprecisa sobre el desarrollo del juego. Por ejemplo, consideremos el

juego de Ia figura 1.1.4. En este juego no hay estrategias estrictamente do-

rninadas para ser eliminadas. (Puesto que no hemos fundamentado este

juego en absolute, allector puede parecerle arbitrario 0incluso pato16gico.

Para una aplicad6n economica en el mismo sentido, vease el caso de tres

o mas empresas en el modelo de Cournot incluido en la secci6n 1.2.A.)

Puesto que todas las estrategias en el juego sobreviven a 1a eliminacion

Herativa de las estrategias estrictamente dominadas, el proceso no permite

ninguna prediccion sobr€ el desarrollo del juego.

leD

A

M

B

0 , 4 4,0 5,3

4 , 0 0 , 4 5,3

3,5 3,5 6,6

Figura 1.1.4



8 / JUEGOS ESTATICOSCON INFORMAOON COMPlETA (c. 1)

A continuaci6n abordamos el equilibrio de Nash, un concepto de 50-

lucien que da Iugar a predicdones mucho mas precisas en una dase de

juegos muy amplia. Demostramos que el equilibrio de Nash es un con-

cepto de solucion mas poderoso que Ia eliminacion iterativa de las estra-

tegias estrictamente dominadas, en el sentido de que las estrategias de los

jugadores en un equilibrio de Nash siempre sobreviven a la elirninaci6n

iterative de las estrategias estrictamente dominadas, cosa que no ocurre

ala inversa, En los capftulos siguientes argumentaremos que, en juegos

mas ricos, incl uso el equilibrio de Nash da lugar a predicciones demasiado

imprecisas sobre el desarrollo del juego, por 10 que definiremos nocionesde equilibrio ann mas poderosas, mas adecuadas para estos casos.

I.I.e Fundamentacion y definicion del equilibrio de Nash

Una manera de fundamentar la definicion del equilibria de Nash esel

argumento de que si la teorfa de juegos ofrece una soluci6n unica a un

determinado problema, esta solucion debe ser un equilibrio de Nash en

el siguiente sentido: Supongamos que Lateorfa de juegos hace una unica

predicci6n sobre las estrategias elegidas por los jugadores. Para que esta

predicci6n sea correcta es necesario que cada jugador este dispuesto aelegir Ia estrategia predicha por 1a teorfa, Por ello, Ia estrategia predi-

cha de cada jugador debe ser la mejor respuesta de cada jugador a las

estrategias predichas de los otros jugadores. Tal predicci6n puede deno-

minarse es tra t ig i carnen te es tab le ose lf~en forc ing , puesto que ningiin jugador

va a querer desviarse de Ia estrategia predicha para el, Llamaremos a tal

prediccion equilibrio de Nash:

Definicion . .E n el ju eg o en fo rm a n orm al de n ju ga do res, G = {Sl,' .. .S«;Ul,

... ,un}, l a s es tra ieg iae s i " " ,s ~,) f or m an u n equilibria de N ash si, para cada

jugador i, si e s la me jo r r es pu es ia d el j ug a do r i(0 a l m enos una de ellas) a las

estra teg ia s de lo s o iro s n - 1jugadoresI

(sjI ' , ,

,s~_1,s:+I'',.S~):

pa ra c ada po si b le e s tr a teg ia s, en Si; e si o e e, s i es u na so lu cio n de



T eo rf a b ds ic a: J ue go s e n f orm al n orm al y e qu il ib ri a d e N a sh I 9

Para relacionar esta definicion can su fundamentad6n anterior, su-

pongamos que la teorfa de juegos ofrece las estrategias ($1" .. ,s~) como

la solud6n a1 juego en forma normal G = = {SJ, ... ,Sn; Ul,'" ,Un}. Decir

que (s l" .. ,s~ ) no constituyen un equilibrio de Nash de G es equivalente

a decir que existe algun jugador ital que s~ no es Ia mejor respuesta a

($1" .. ,$;-1'<+1"" ,s~). Esto es, existe alguna s? en S i tal que

Asi, si1ateoria ofrece las estrategias (sl' ... ,s~) como lasolucion pero estas

estrategias no constituyen un equilibrio de Nash, al menos un jugador

tendra un incentive para desviarse de la prediccion de Ia teoria, can 10

que la teoria quedara desmentida par el desarrollo concreto del juego,

Otra fundamentaci6n muy parecida del equilibria de Nash incorpora Ia

idea de convenio: si surge un acuerdo sobre c6mo comportarse en un

determinado juego, las estrategias fijadas par e1convenio deben formar

un equilibria de Nash; si no, habra al menos un jugador que no se regira

par el convenio,

Para concretar, vamos a resolver unos cuantos ejemplos, Considere-

mos los tres juegos en forma normal ya descritos: eI dilema de los presosy los de las figuras 1.1.1. y 1.1.4. Una forma torpe de hallar los equili-

brios de Nash en un juego consiste simplemente en comprobar si cada

combinacion posible de estrategias satisface la condici6n (EN) en la defi-

nici6n.3 En un juego de dos jugadores, esta forma de hallar los equilibrios

comienza del modo siguiente: para cada jugador y para cada estrategia

posible con la que cuenta cada jugador se determina Ia mejor respuesta

del otro jugador a esa estrategia. En la figura 1.1.5 se representa esto en

el case del juego definido en 1.1.4, subrayando la ganancia de la mejor

respuesta del jugador j a cada una de las posibles estrategias del jugador

i. Si el jugador columna fuera a jugar I,por ejemplo, lamejor respuesta

del jugador fila serfa M, puesto que 4 es mayor que 3 y que 0; par ello,la ganancia que 4 le proporciona al jugador fila en la casilla (M,!) de la

matriz binaria esta subrayada.

3 En la seccion 1.3.A vamos a distinguir entre estTategias puras y mixtas, Despues vamos

a vet que la definicion dada aqui describeequilibrios de Nash en e st ra te g ia s p u ra s , peIO

que tarnbien puede haber equilibrios de Nash en e stm te g ia s m i xt a« : A menos que se sefiale

explicitamente de otro modo, todas las referencias a los equilibrios de Nash en esta secci6n se

refieren a equilibrios de Nash en estrategias pmas.



10 I JUEGOS ESTATlCOS CON INFORMACI6N COMPLETA (c. 1)

Un par de estrategias satisface la condicion (EN) si la estrategia de

cada jugador es la mejorrespuesta a la del otro, es decir, si ambas ganan-

cias estan subrayadas en la casilla correspondiente de la matriz binaria,

Por ella (B,D) es eltinico par de estrategias que satisface (EN). Lo mismo

ocurre para (confesar, confesar) en el dilema de los presos y para (alta, cen-

tro) en la figura 1.1.1. Estos pares de estrategias son los tmicos equilibrios

de Nash de estos juegos."

leD

A

M

B

O,;! ~LO 5 , 3

1t0 0& 5 , 3

3 , 5 3~ Q ,Q

Figura 1.1.5

A continuaci6n tratamos la relacion entre el equilibrio de Nash y Ia

eliminacion iterativa de las estrategias estrictamente dominadas, Recor-

demos que las estrategias de equilibrio de Nash en el dilema de los presos

yen la figura L1.1-(confesar, confesar) y (alta, centro) respectivamente->

son las unicas estrategias que sobreviven a la eliminad6n iterativa de las

estrategias estrictamente dominadas ..Este resultado puede generalizarse:

si la eliminacion iterativa de las estrategias estrictamente dominadas eli-

mina todas las estrategias menos las estrategias (si, ... ,s~), estas estrate-

gias constituyen el iinico equilibrio de Nash del juego. (Vease el apendice

para una demostracion de esta afirmacion.) Sin embargo, puesto que Ia

eliminacion iterativa de las estrategias estrictamente dominadas con fre-

cuenda no elimina mas que una combinad6n de estrategias, es del maximo

interes el hecho de que el equilibrio de Nash sea un concepto de solucion

mas poderoso que la eliminacion iterativa de las estrategias estrictamente

dominadas en el siguiente sentido: si las estrategias s 1 ', . .. , s ~ constituyenun equilibrio de Nash, sobreviven a la eliminacion iterativa de las estra-

tegias estrictamente dominadas (vease apendice para una demostraci6n),

pero pueden existir estrategias que sobrevivan a la eliminaci6n iterativa de

estrategias estrictamente dominadas pero que no formen parte de ningtin

4 Esta afirmacion es correcta incluso sino limitamos nuestra atenci6n al equilibrio de Nash

en estrategias puras, puesto que en estes juegos no existen equilibrios de Nash en estrategias

m ix ta s, V ea se el e je rcicie 1 .1 0.



T eo d ll b ds i.c a :J u eg o s e n [ an n al n o nn a l y eq ll il ib ri a d e N a sh / 11

equilibrio de Nash. Para ver esto ultimo recordemos que en la figura 1.1.4,

el equilibria de Nash ofrete una unica prediction (B,D), mientras que la

elimination iterative de las estrategias estrictamente dominadas ofrece

una prediccion con el mayor grado de imprecision posible: no se elirnina

ningunaestrategia; puede ocurrir cualquier cosa.

Tras demostrar que el equilibrio de Nash es un concepto de solucion

mas poderoso que la eliminacion iterativa de las estrategias estrictamente

dorninadas tenemos que preguntarnos si el equilibrio de Nash no es un

concepto de solution demasiado poderoso, Esto es lPodemos estar se-

guros de que el equilibrio de Nash existe? Nash (1950) demostro que encualquier juego finito Cpor ejemplo, un juego en el cual el numero n de

jugadores y los conjuntos de estrategias 51,' .. .S « son todos finitos) ex:iste

al menos un equilibrio de Nash. (Este equilibrio puede incluir estrategias

mixtas, que discutirernos en la seccion 1.3.A. Para un enunciado preciso

del teorema de Nash vease la seccion 1.3.B.) Cournot (838) propuso la

misma nocion de equilibrio en el contexte de un modelo particular de

duopolio y demostro (por construccion) que existe un equilibrio en este

modele; vease la seccion 1.2.A. En cada aplicacion analizada en este libra,

segu:iremos el ejemplo de Coumot: dernostrarernos que existe un equi-

libria de Nash (0 mas poderoso) mediante la construccion de uno. En

algunas secciones teoricas, no obstante, utilizaremos el teorema. de NashCosu analogo para conceptos de equilibrio mas poderosos) y simplemente

diremos que existe un equilibria.

Concluimos esta seccion con otro ejemplo clasico, la b a ta lla d e lo s s ex os .

Este ejemplo muestra que un juego puede tener multiples equilibrios de

Nash, y tambien sera util en las discusiones sobre estrategias m:ixtas de las

secciones l.3.B y 3.2.A. En la exposicien traditional del juego (que, quede

claro, data de los afios cincuenta), un hombre y una mujer estan tratando

de decidir que haran esta neche, nosotros analizamos una version del

juego que no tiene en cuenta el sexo de los participantes.t En lugares

de trabajo separados, Pat y Chris deben elegir entre ir a la opera 0a un

combate de boxeo, Ambostas) jugadores(as) preferirian pasar Ia nochejuntostas), pera Pat preferirfa estar juntostas) en el boxeo, mientras que

Chris preferiria estar juntos Cas)en Ia opera, tal como representamos en la

matriz binaria que sigue:

5 En ingles, los diminutives Pat y Chris pueden referirse tanto a nombres mascullnos

(Patrick y Christopher) como femeninos (Patricia y Christina). (N. de los T.)



12/ JUEGOS FSTATICOS CON INFORMACl6N COMPLETA (c. 1)

Pat

Opera Boxeo

Opera 2,1 0,0

Chris

Boxeo 0,0 1,2

La b ata lla d e lo s sexos

Ambos, (opera, opera) y (boxeo, boxeo) son equilibrios de Nash.

Hemos argumentada antes que si la teorfa de juegos ofrece una unica

solucion a un juego, esta debe ser un equilibrio de Nash. Este argumento

ignora la posibilidad de juegos en los cuales la teorfa de juegos no ofrece

una solucion unica, Tambien hemos argumentado que si se llega a un

acuerdo sabre c6mo comportarse en un juego, las estrategias establecidos

en el acuerdo deben ser un equilibrio de Nash, pero este argumento, al

igual que el anterior, ignora Ia posibilidad de juegos para los cuales no se

alcance un acuerdo. En algunos juegos con multiples equilibrios de Nash

sobresale un equilibrio como Ia soluci6n mas atractiva del juego. (Gran

parte de la teorfa de los capitulos posteriores constituye un esfuerza para

identificar esteequilibrio mas atractivo en diferentes clases de juegos.)

Asi, la existencia de multiples equilibrias de Nash no es un problema en

5 1 mismo, Sin embargo, en la batalla de los sexos, (opera, opera) y (boxeo,

boxeo) parecen igualmente atractivos, 10 que indica que pueden existir

juegos para los cuales Ia teoria de juegas no ofrece una soluci6n iinica y

en los que no se Ilegara a ningtin acuerdo ..6 En tales juegos, el equilibria

de Nash pierde gran parte de su atractivo como prediccion del juego.

6 En la section 1.3.B describimos un tercer equilibrio de Nash (que incluye estrategias

mixtas) en la batalla de los sexos. Al contrario que (opera.opera) y (boxeo.boxeo), este tercer

equilibria ofrece ganancias simetricas, como se podrfa esperar de lasolucion (inita a un fuego

simetrico, Par otto lado, el tercer equilibria es tambien ineficiente, 10cual puede influir en

contra de que se llegue a un acuerdo para alcanzarlo. Cualquiera que sea nuestro juido sabre

los equilibrias de Nash en la bataUa de los sexes, la cuestion sigue en pie: pueden existir

juegos para los cuales la teoria de juegos no ofrezca una soluci6n tinica y para los que no se

Uegue a ningun acuerdo,



T eo ri a b ti si ca : J ue go s e n f orm al n orm al y eq uilib ria de N as h /13

Apendice

Este apendice contiene demostraciones de las dos proposiciones siguien tes,

que fueron enunciadas de manera informal en la secci6n 1.1.C SaItarse

estas demostraciones no impedira de forma sustancial Ia comprensi6n

del resto del libro. Sin embargo, para aquellos lectores no acostumbra-

dosa Ia manipulacion de definiciones formales y a la construccion de

demostraciones, el dominic de estas demostraciones constituye un va-

lioso ejercicio,

Proposici6n A. En e 1 juego en form a norm al con 11, jugadores G = {S11 ' .. '

Sn; U1, ... , " U n } I s · i la e lim in a cio n i te ra ti va d e l as e si ra ie gi as e st ri ci am e nt e d om i -

n a da s e lim in a t od as l as e st ra ie gia s m e n os la s (si, ... , s~ ) , e s ta s u l iima s e s tr a teg ia s

eo ns titu yen el u nic o eq uilib rio de N a sh del ju eg o.

Proposici6n B. En el ju eg o en fo rm a n orm al co n 11, ju ga do re s G = {S1,' .. ,Sn;

Ul, ... ,un}, s f l a s e s tr a ieg ia s (si, ... ,s ~) fo rm an u n eq uilib ria de N a sh , en to nees

s ob re viv en a la e lim in ae i6 n ite ra tiv a d e la s e str ate gia s e sir ic ia m en ie d om in ad as .

Puesto que 1aproposici6n B es mas facil de demostrar, comenzamos

par ella para entrar en materia. El argumento es por contradiccion,Esto es, vamos a suponer que una de las estrategias en un equilibrio

de Nash es eliminada por eliminacion iterativa de las estrategias estric-

tamente dominadas, y despues demostraremos que llegarfamos a una

contradiccion si este supuesto ocurriera, demostrando €lsique el supuesto

debe ser false.

Supongamos que las estrategias (si, ... ,8~) forman un equilibrio de

Nash del juego en forma normal G "" {SI1'.' . S« ; U1, ... ,un}, pero supon-

gamos tambien que (tal vez despues de que algunas estrategias distintas

de ( s i, . .. . , s~) hayan side eliminadas) si es la primera d.e las estrategias

(si, ... ,s~) en ser eliminada por ser estrictamente dominada, Entonces,

debe existiruna estrat~a . . s i ' que no hasido aiin eiiminada de S « ·quedomina estrictamente a s i. Adaptando (DE) tenemos

(1.L1)

para cada (S1, ... ,8; -1ISi+ 1, ... ,sn) que puede ser construida a partir de las

estrategias que no han side aun eliminadas de los espacios de estrategias

de los otros jugadores. Puesto que s i es Ia primera de las estrategias de



14/ JUEGOS ESTAnCOS CON ll'JFORMACION COMPLETA (c. 1)

equilibrio en ser eliminada, las estrategias de equilibrio de otros jugadores

no han sido eliminadas, por 10 que una de las consecuencias de (1.1.1) es

(1.1.2)

Pero (1.1.2) es contradicha por (EN): s i debe ser W1amejor respuesta a

( ",." ~) I . .d . ti t t . IISl" .. 'Si-l,Si ..." .. 'Sn ,por 0que no pue e exisnr una es ra egt3 Si que

domine estrictamente a s t . Esta contradiccion completa la demostracion.

Despues de haber demostrado Ia proposicion Bhemos ya demostrado

parte de la proposicion A; 10 unico que nos queda demostrar es que si

la eliminacion iterativa de estrategias estrictamente dominadas elimina

todas las estrategias excepto (St, ... ,s~), estas estrategias forman un equi-

librio de Nash. Por la proposicion B cualesquiera otros equilibrios de

Nash habrian sobrevivido tambien, por 10 que este equilibrio debe ser

unico. Suponemos aqui que G es finito ..

EI argumento es nuevamente por contradiccion, Supongamos que

la eliminacion iterativa de estrategias estrictamente dominadas elimina

todas las estrategias excepto (s i, ... ,s ;'), pero estas estrategias no forman

un equilibrio de Nash. Entonces debe existir un jugador iy alguna estra-

tegia factible Si en S « tal que (EN) no se cumpla, pero Si debe haber sido

estridamente dominada por alguna otra estrategia s~en algun punto delproceso. Los enunciados formales deestas dos observaciones son: existe

s, en Si tal que

(1.1.3)

y existe s~en el conjunto de estrategias del jugador ique queda en algun

punto del proceso tal que

(1.1.4)

para cada (Sl, ... ,Si-l,Si ...1, ... ,8n) que puede ser construida a partir de lasestrategias que quedan en los espacios de estrategias de los otros jugadores

en ese punto del proceso. Puesto que las estrategias de los otros jugadores

(si, ... ,8 i_ 1,s:+ I'" . ,s;:) nunca son eliminadas, una de las implicaciones de

(1.1.4) es

(1.1.5)



A p Ii ca c io n es / 15

Si s ~ = = s i (es decir, si s i es la estrategia que domina estrictamente a Si)

(1,1..5) contra dice a (1,1.3), en cuyo caso la demostracion esta completa. Si

s~= l si alguna otra estrategia S~' debe mas tarde dominar estrictarnente a

s~,ya que s i no sobrevive al proceso. Par eso, las desigualdades analogas

a (1.1.4) y (U.s) se cumplen para s~ y si', que sustituyen a Si Y s: respec-

tivamente. Una vez mas, si s i ' = = s i Ia demostracionesta completa; si no,

pueden construirse otras dos desigualdades analogas, Puesto que s i esla unica estrategia de S, que sobrevive al procesa, la repeticion de este

argurnento (en un juega finito) completa finalmente la demostracion,

1.2Aplicaciones

1.2.A Modelo de duapolio de Coumot

Como hemos indicado en la section previa, Cournot (1838) se anticip6

a Ia definicion de equilibrio de Nash en mas de un siglo (pero solo en

el contexte de un modelo concreto de duopolio). Par ello, no es sor-

prendente que el trabajo de Cournot constituya uno de los clasicos de la

teoria de juegos y una de las piedras angulares en organizacion industrial.

Consideramos aqui una version muy simple del modelo de Coumat ypresentaremos variaciones del modelo en los capitulos siguientes. En esta

seccion utilizamos el modelo para ilustrar: (a) la traducci6n del enunciado

informal de un problema a la forma normal de un juego; (b) los calculos

necesarios para hallar el equilibrio de Nash del juego y (e) Ia eliminacion

iterative de las estrategias estrictamente dominadas.

Sean q l y q2 las cantidades (de un producto homogeneo) producidas

par las empresas 1 y 2 respectivamente. Sea P(Q) ::::a - Q el precia

de equilibria de mercada cuando la cantidad agregada en el mercado es

Q = = ql + Q2' (Mas precisamente, P(Q) = = a - Q para Q < a y P(Q) = 0 para

Q ;::-:a.) Supongamos que el coste total de produccion de 1a cantidad q;

par la empresa ies Ci(qi) = cqi. Es decir, no existen costes fijos y el coste

marginal es constante e iguaI a c,donde supanemas que c < a. Siguiendoa Coumot, suponemos que las empresas eligen sus cantidades de forma

simultanea,"

7 En la seccion 1.2,B discutimos el modele de Bertrand (1883),en el cual las empresas

eligen precios en vez de cantidades, yen la secci6n 2,1,6 el modele de Stackelberg (1934), en

el cual las empresas eligen cantidades, pero unaempresa elige antes que (yes observada par)

la otra, Finaltnente, discutimos en la secci6n 2,3,C elmodele de Friedman (1971),en elcualla

interaccion descrita en el modele de Cournot ocurre repetidamente en el tiempo,



16/ JU EG OS EST.A :nCO S CO N !J'JFO RM ACIO N CO MPL ETA (c. 1)

Para encantrar el equilibria de Nash en el juega de Caumot, prirnero

traducimos el problema a un juego en forma normal, Recordemos de

la section anterior que la representation en forma normal de un juego

exige precisar: (l) los jugadores en el juego; (2) las estrategias de que

dispone cada jugador y (3) las ganancias recibidas par cada jugador con

cada cornbinacion de estrategias posibles, Hay dos jugadores en un juego

de duopolio: las dos empresas. En el modele de Coumot las estrategias

de que dispone cada empresa son las diferentes cantidades que puede

producir, Vamos asuponer que el producto es continuamente divisible.

Naturalmente, no puede haber produccion negativa. Por ello, el espacio

de estrategias de cada empresa puede ser representado como Si = [Il.co),

los numeros reales no negatives, en cuyo caso una estrategia tipica s, es

Ia elecci6n de una cantidad qi ~ O.Se podrfa argumentar que no se puede

disponer de cantidades demasiado grandes, par 10 que estas no deberfan

incluirse en el espacio de estrategias de una empresa. No obstante, puesto

que P(Q) = 0 para Q 2 '_ a,ninguna empresa producira una cantidad q i > a.

Quedan por concretar las ganancias de la empresa ien funcion de las

estrategias elegidas par dicha empresa y par Ia otra empresa, y definir

y hallar el equilibria. Suponemos que las ganancias de la empresa son

simplemente su beneficio, Porello, la ganancia u;'(Si,Sj)en un juego ge-

neral en forma normal de dos jugadores puede expresarse de la siguienteforma:!! .

Recordemos de la seccion previa que, en un juego en forma normal de

dos jugadores,el par de estrategias (si ,si) forma un equilibria de Nash si,

para cada jugador i,

(EN)

para cada posible estrategia Si en Si. De la rnisma forma, para cadajugador i, si debe ser una solucion del problema de optimizaci6n

8 Observese que hemos cambiado ligeramente la nota cion al escribir Ui(Si,Sj) e.n vez

de ui(St,sZ)' Ambas expresiones representan las ganancias del jugador i en funci6n de las

estrategias elegidas pot todos los jugadores, Vamos 11 utilizar estas expresiones (ysus analogas

con n jugadores) indistintarnente,



A pi ic ac io ne: / 17

En el modele de duopolio de Coumot, el enunciado analogo es que el par

de cantidades (q i ,g il forma un equilibrio de Nash si, para cada empresa

i, qi es una soluci6n de

Suponiendo que q ; < a~c (como demostraremos que ocurre), la condicion

de primer orden del problema de optimizacion de la empresa ies necesaria

y suficiente, con 10 que se obtiene

(1.2.1)

Ast, si el par de cantidades (q i ,q i) ha de forrnar un equilibrio de Nash, las

cantidades elegidas por las ernpresas deben cumplir

y

q i = ~(a ~ q i ~ c).

Resolviendo este par de ecuaciones obtenemos

* * a~ cql = q2 =-3-'

que es ciertamente menor que a - c, como habiamos supuesto.

La interpretaci6n de este equilibrio es simple. Cada empresa querria

por supuesto tener el monopolio del mercado, en cuyo caso elegiria qi para

maximizar 7ri(qi,O), producina la cantidad de rnonopolio qm = (a - c)/2 y

alcanzana un beneficio de monopolio 7ri(qm,O) = (a - c > 2 / 4 . Dado que hay

dos empresas, los beneficios agregados del duopolio se verfan maximiza-

dos fijando una cantidad agregada ql +q2 igual a la cantidad de monopolio

gmt como ocurriria si q; = qm/2 para cada i, por ejemplo. EI problema de

este arreglo es que cada empresa tiene un incentivo para desviarse de el,

puesto que la can tid ad de monopolio es baja, el predo correspondiente

P(qm) es alto y, a este precio, cada empresa querna aumentar su cantidad,

pese a que tal incremento en la producd6n bajarfa el precio de equilibria

de mercado. (Formalmente, utilicese (1.2.1) para comprobar que g", /2 no

es lamejor respuesta de Ia empresa 2 a la eleccion de qm/2 por parte de la

empresa 1.) En el equilibrio de Cournot, al contrario, Ia cantidad agregada

es mas alta, por 10 que el precio correspondiente es mas bajo, con 10 que Ia



18/ JUECOS fSTATICOS CON INFORMACI6N COMPLETA (c. 1)

tentaci6n de aurnentar la producci6n queda reducida justa 10 precise para

que cad a empresa decida no hacerlo, al darse cuenta de que con ella caera

el precio de equilibrio de mercado. Vease el ejercicio 1.4 para un analisis

de c6mo la presencia de un numero n de oligopolistas afecta al dilema

planteado en equilibrio por la tentaci6n de aumentar la producci6n y el

temor a reducir el preda de equilibrio de mercado,

En vez de hallar de forma algebraica el equilibrio de Nash del juego

de Coumot, se podria hallar graficamente del modo siguiente: la ecuaci6n

(1.2.1) proporciona la mejor respuesta de la empresa ia la estrategia de

equil ibria de la empresa j, q ; . Un razonamiento analogo conduce a la mejor

respuesta de la empresa 2 a cualquier estrategia erbi t rar ia de la empresa

I, y la mejor respuesta de la empresa 1 a cualquier estrategia arbitraria

de Ia empresa 2. Suponiendo que la estrategia de la empresa 1 cumpIe

ql < a - c, la mejor respuesta de la empresa 2 es

del mismo modo, si q2 es menor que a - c,la mejor respuesta de la empresa

1es

q,

(0, a - c)

(0, (a - c) /2)

«a - c)/2, 0) (a - c, 0) q,

Figura 1.2.1



Ap li ca c io n e 5 / 19

Como se muestra en la figura 1.2.1 estas dos funciones de mejor respuesta

se cortan solo una vez, en el par de cantidades de equilibrio (qi,qi)·

Un tercer modo de hallar este equilibrio de Nash es aplicar el proceso

de eliminacion iterativa de las estrategiasestrictamente dominadas, Este

proceso ofrece una iinica solucion que, por la proposition A del apendice

de 1asecd6n anterior, debe ser un equilibrio de Nash (qi,qi). El proceso

completo requiere un numero infinito de pasos, cada uno de los cuales

elimina una fraccion de lascantidades que quedan en el espacio de es-

trategias de cada empresa. Vamos a discutir solamente los dos primeros

pasos. En primer lugar, la cantidad de monopolio qm = (a - c)/2 dominaestrictamente a cualquier cantidad mas alta. Es decir, para cada x > 0,

' l r i{q""qj) > 7i" i(qm + x,qj) para toda q j 2 ': 0. Paracomprobarlo, n6tese que

Q = qm + X + q j < a, par 10 que

y

Y si Q = qm + X + qj 2 ': a, entonces P(Q) = = 0, por 10 que producir una

cantidad menor aumenta el beneficio. En segundo lugar, puesto que

las cantidades mayores que qm han sido eliminadas, la cantidad (a -

c)/4 domina estrictamente a cualquier cantidad m a s baja. Estoes, para

cualquier x entre cero y (a - d/4,'lri[(a - c)/4,qj] > 1I"J(a - c)/4 - x,qj] para

cualquier q j entre cera y (a - c)/2. Para comprobarlo, n6tese que

1 1 " ' ( a - c q . ) = ~ [ 3 ( a - c) _ q . ], 4 'J 4 4 ]

y

( a - c ) [ a - c ] [ 3 ( a - C ) ]'lri ~. - x,qj = ~ - x. 4 + x - qj

=11" iqm,qj) - x [a ~ c + x - qj] .

Tras estos dos pasos, las cantidades que quedan en el espacio de estrategias

de cada empresa son las contenidas en el intervalo entre (a - c)/4 y (a - c)/2.

La repetici6n de estos argumentos conduce a intervalos cada vez menores



20/ JUEGOS FSTATtCOS CON lNFORMA06N COMPLETA (C 1)

de las cantidades que quedan. En el lfrnite, estos intervalos convergen al

unico punta q i = (a - c)/3.

La eliminaci6n iterativa de las estrategias estrictamente dominadas

tambien se puede representar en forma grafica utilizando la observacion

(incluida en la nota 1; vease tambien la discusion en la seccion 1.3.A) de

que una estrategia es estrictamente dominada si y solo si no existe ninguna

conjetura sabre las decisiones posibles de los demas jugadores para la eual

sea Ia mejor respuesta. Puesto que solo hay dos empresas en este modele,

podemos reformular esta observacion del siguiente modo: una cantidad

q; es estrictamente dominada si y s610 si no hay ninguna conjetura sobre qj

tal que qi sea la mejor respuesta de la empresa i. Nuevamente, discutimos

s610 los dos primeros pasos del proceso iterative. En primer lugar, nunca

es una respuesta mejor para Ia empresa iproducir mas que la cantidad de

monopolio qm = = (a- c)/2. Para comprobarlo, consideremos, por ejemplo,

la funci6n de mejor respuesta de la empresa 2: en la figura 1.2.1, R2(qt)

es igual a qm cuando ql = = 0, y disminuye cuando ql aumenta. Asi, para

cualquier qj ;:::.0, si Ia empresa i cree que la empresa jelegira qj, Ia mejor

respuesta de la empresa ies menor que a igual a qm. No existe qj tal que

la mejor respuesta de la empresa isea mayor que q T T 1 . En segundo lugar,

dada esta cota superior para la cantidad de la empresa j, podemos derivar

una cota mas baja a la mejor respuesta de Ia empresa i: si qj :::; (a - c)/2,entonees R;(qj) ;::: (a - c)/4, como mostramos para la mejor respuesta de

laempresa 2 en la figura 1.2.2.9

q,

R,(q,)

(0,. (a - c) /2)

(0, (a - c) /4)' i

«(a- c) /2,0) (a - c, 0)

Figura 1.2.2

9 Estos dos argumentos son ligeramente lncompletos, puesto que no hemos analizado

la mejor respuesta de la empress icuando no tiene la certeza de cual sea la cantidad qj.

Supongamos que la empresa i no esta segura de qj pero cree que el valor esperado de qj

es E(qj). Puesto que 1f"i(qi,qj) es lineal enqj' la mejor respuesta de Ia empresa i dentro de

su incertidumbre es igual a su mejor respuesta cuando tiene la certeza de que la empress j

elegira E(qj), caso que hemos desarrollado en 1 " . 1 texto.



A pli ca ci on es / 21

Como en el caso anterior, la repeticion de estes argumentos conduce a la

cantidad q i := (a - c)/3.

Concluimos esta secci6n cambiando el modelo de Cournot, de forma

que la eliminacion itera tiva de las estrategias estrictamente dominadas no

ofrezca una solucion unica. Para hacerlo, afiadimos simplemente una a

mas empresas a1duopolio existente. Vamos a comprobar que el primero

de los dos pasos discutidos en eIcaso del duopolio continua cumpliendose,

pero el proceso termina ahf, Par eso, cuando hay mas de dos empresas,

1aeliminacion iterativa de las estrategias estrlctamente dominadas ofrece

s610 la predicci6n imprecisa de que la cantidad de cada empresa no ex-

cedera a la cantidad de monopolio (como en la figura 1.1.4, donde no se

eliminaba ninguna estrategia durante el proceso).

Para ser mas concretes, consideramos el caso detres empresas. Sea

Q~i Ia suma de las cantidades elegidas por las empresas distintas de i,y

sea 1r;(q ; ,Q~;) ;::: ; (a - q i - Q -i - c) siempre que q i + Q-i< a (mientras que

Jri(qi,Q-J = -Cqi si qi + Q-i ::::a). Nuevamente es cierto que la cantidad

de manop olio qm = (a - c)/2 domina estrictamente cualquier cantidad

mas alta. Es decir, para cualquier x > 0, Jri(qm,Q-i) > 1ri(qm + X,Q-i)

para todo Q-i ::::0, como en el primer paso del caso de duopolio. Sin

embargo, puesto que hay dos empresas ademas de la empresa i, 10 tinico

que podemos decir acerca de Q-ies que esta entre cero y (a - c), porque qj

y q~ estan entre cero y (a - c )/2. Pero esto implicaque ninguna cantidad

q i ::::Oes estrictamente dominada en el caso de la empresa i,porque para

cada qi entre cera y (a - c)/2 existe un valor de Q _; entre cero y (a - c)

(concretamente, Q-i = a - c - 2qi) , tal que q i es la mejor respuesta de la

empresa ia Q-i.Par ello, en 10 sucesivo ya no se puede eliminar ninguna

estrategia.

1.2.B Modelo de duopolio de Bertrand

A continuaci6n consideramos un modelo diferente de la relaci6n que

puede existir entre dos duopolistas, basado en la sugerencia de Bertrand

(1883) de que, de hecho, las empresas eligen precios, y no cantidades

como en el modelo de Coumot. Es importante observar que el modelo de

Bertrand constituye un j ue go d if er en te al modelo de Cournot: los espacios

de estrategias sou diferentes, las fundones de ganandas son diferentes

y (como se vera) el comportamiento de los equilibrios de Nash en los

dos modelos es diferente. Algunos autores resumen estas diferencias ha-

blando de los equilibrios de Cournot y de Bertrand. Pero esto puede crear



22 / ]vEGOS ESTATICOS CON INFORMACI6N COMPLETA (c. 1)

confusiones, puesto que existen diferencias entre los juegos de Bertrand

y Cournot y en el comportamiento de equilibrio en estes juegos, pero no

existe diferencia en el concepto de equilibrio utilizado en ambos juegos.

E n am bos el concepio de equ ilib r ia u tilizada es el eq uilib ria de N ash defin ido en

l a s ec cum anter ior .

Consideremos el caso de productos diferenciados. (Para el caso de

productos homogeneos vease el ejercieio 1.7.) Si lasempresas 1 y 2 eligen

los precios PI Y .P 2 respectivamente, la cantidad demandada a la empresa

ipar los consumidores es

donde b > 0 refleja hasta que punto el producto de la empresa i es un

sustituto del producto de la empresa j. (Esta es unafunci6n de demanda

irreal, puesto que Ia can tid ad demandada del producto de la empresa

ies positiva incluso cuando la empresa ifija un predo arbitrariamente

alto, siempre que la empresa j tambien fije un predo suficientemente

alto. Como se vera, el problema s610 tiene sentido si b < 2.) Como en

la discusion del modelo de Cournot, suponemos que no existen costes

fijos de producci6n y que los costes marginales son constantes e iguales

a c, donde c < a y las empresas deciden (por ejemplo, eligen los precios)simultaneamente,

Como antes, Ia primera tarea en el proceso de hallar el equilibria de

Nash es traducir el problema a un juego en forma normal, Tenemos

dos jugadores nuevamente. Sin embargo, esta vez las estrategias de que

dispone cada empresa son los diferentes preeios que pueden fijar, en

vez de las diferentes cantidades que pueden producir. Vamos a supone.r

que los precios negativos no son factibles, pero que cualquier preeio no

negative 10 es; par ejemplo, no existe ninguna restriccion a los precios

expresados en centimos. ASl , el espacio de estrategias de cada empresa

puede ser nuevamente representado como S, = [0,(0), los mimeros reales

no negatives, y una estrategia tipica s, es ahora la decisi6n de un precioPi 2 : O .

Vamos a suponer nuevamente que la funci6n de ganancias de cada

empresa es simplemente su beneficio. EI beneficia de la empresa icuando

elige el precio Pi y su rival elige el predo Pj es

"lfi(Pi,Pj) = qi(Pi,Pj)[Pi - cl = [a ~ Pi +bpjl[P i - c].

Asi, el par de precios (pi ,pi) constituye un equilibrio de Nash si para cada



.Ap iicac iones / 23

empresa i,. p i es una solucion de

max 1l"i(Pi,Pj> = max [a - Pi + b pjJ [P i. - c].O$p; <c o O$p; <c o

La solucion al problema de optimizaci6n de ies

* 1( . bp* )Pi = : 2 a + j + C •

Por 10 tanto, si el par de precios (pi,pi) ha de ser un equilibria de Nash,

las decisiones de precios de las empresas deben cumplir

p i = ~(a + b p i + c)

y

p i = ~(a + b p i + c).

Resolviendo este par de ecuaciones obtenemos

* * a + cPI =P2 = --.

2-b

1.2.C Arhitraje de oferta final

A ciertos trabajadores del sector publico no les esta permitido declararse

en huelga; en su Iugar, las disputes salariales se resuelven mediante una

decision arbitral vinculante. (La liga de futbol es un ejemplo mas llamativo

que el del sector publico, pero es sustancialmente menos importante desde

un punta de vista economico.) Otras muchas disputes, entre las que

se encuentran los casas de negligencia medica y las denuncias de los

inversores contra sus agentes de bolsa, tambien suelen resolverse por

decision arbitral. Las dos formes principales de' arbitraje son el arbitraje

convencionaly el de oJerta final. En el arbitraje de oferta final las dos partes

hacen ofertas salariales yel arbitro decide entre una de las ofertas, Por

el contrario, en un arbitraje conventional el arbitro tiene libertad para

imponer cualquier salario, A continuation, vamos a derivar las ofertas

salariales de equilibro de Nash, en un modelo de arbitraje de oferta final

desarrollado por Farber (1980).10

10 Esta aplicact6n induye algunos conceptos basicos de probabilidad: fundon de distri-

bucion de probabilidad, funci6n de densidad de probabilidad y valor esperado, Daremos

definiciones sucintas cuando sean necesarias: para mas detalles, consulrese cualquier texto de

introducdon a la probabilidad.



24/ J U EG O S E S T. A. TI C0 5 CON INFORMA06N COMPLETA (c. 1)

Supongamos que las partes en dispu ta son una empresa y un sindicato,

y que Ia disputa es acerca de los salarios, Supongamos que el juego se

desarrolla de Ia siguiente manera: primero, Ia empresa y el sindicato rea-

lizan simultaneamente ofertas, denominadas We y WS' En segundo lugar,

el arbitro elige una de las dos ofertas. (Como en muchos de los Ilama-

dos juegos estaticos, esto es en realidad un juego dinamico del tipo que

discutiremos en el capitulo 2, pero aqui 10 reducimos a un juego estatico

entre la ernpresa y el sindicato al suponer una determinada conducta del

arbitro en la segunda etapa.) Supongamos que el arbitro tiene un acuerdo

ideal que Ie gustaria imponer, que denominamos : x . . Supongamos ademasque, tras observar las ofertas de las partes, We y ws, el arbitro elige sim-

plemente la oferta mas cercana a x: siernpre que We < ui; (una intuici6n

que demostraremos que se cumple) el arbitro elige We si x < (We +Ws) /2 y

elige W 8 si X > (we +W 8) /2, como vemos en la figura 1.2.3. (Lo que oeurre

si x = (w e +ws)/2 es irrelevante: supongamos que el arbitro lanza una

moneda.)

w,

x

W, es elegida W, es elegida

W,

(w, +w,l /2

Figura 1.2.3

EIvalor de x es conocido por el arbitro, pero no por las partes. Las par-

tes ereen que x se distribuye aleatoriamente segun una distribud6n de pro-

babilidad F(x),. con la correspondiente funci6n de densidad j(x).ll Dada

nuestra especificacion aeerea del eomportamiento del arbitro, si las ofertas

son We Yws, las partes creen que las probabilidades Prob{we sea elegida}

y Prob{ws sea eJegida} pueden ser expresadas de la siguiente forma:

11 Esto es, Ia probabilidad de que x sea menor que un valor arbitrario :z;* es F(x*),

y la derivada de esta probabilidad con respecto a x~ es f(x~). Puesto que F(:z;*)es una

probabilidad, tenemos que 0 ::; F(x") ::; 1 para cualquier x·. Adeznas, si x*" > x*,

F(x* *) 2 : F(x*); entonces f($*) 2 : 0 para cada :z;*.



A pl ic ac io nes / 25

{ W e + W s } ( W e + W s )Prob{ weelegido} = Prob x <. 2 . = F· 2

y

{ } ( W e + W s )Prob weelegido ::;1 - F 2·'

Asf, el acuerdo salarial esperado es

We • Prob{ weelegido }+ws . Prob{ wselegido} =

F ( W e + w s ) [ 1 F ( W e + W s ) ]W e . 2· + W s . - 2 .

Suponemos que 1aempresa quiere minimizar el salario esperado impuesto

por el arbitro y el sindicato quiere maximizarlo,

Si el par de ofertas ( w ; , w ; ) ha de constituir un equilibrio de Nash del

juego entre la empresa y el sindicato, w ; debe ser una solucion de12

. ( w e + w : ) *mm We • F . .. . +Ws .w. 2

y w ; debe ser una solucion de

Asi, el par de ofertas salariales (w;,w;) debe ser una solucion de las con-

diciones de primer orden de estos problemas de optimizacion:

( <., " ) ' ~ f ( W : + W ; ) = F ( W : + W : )WS W e 2 2 2

y

(W: - w ; ) . ~f ( w ; ; w : ) = [ 1 - F ( w : ; w : ) ] .(Posponemos Ia consideracion de si estas condiciones de primer orden son

suficientes.) Puesto que los terminos de la izquierda de estas condiciones

de primer orden son iguales, los terminos de la derecha deben asimismo

ser iguales, 1 0 que implica que

12 Al fonnular los problemas de optimizacion de la empresa y el sindicato hemos supuesto

que la oferta de la ernpresa es menor que la oferta del sindicato. Es inmediato demostrar que

esta desigualdad se debe cumplir en.equilibria.



26/ JUEGOS ESTAT1COSCON INFORMA.o6N COMPLETA (c. 1)

F ( W ; + w ; ) = ~.'2 2'

(1.2.2)

esto es, Ia oferta media debe ser igual a la mediana del acuerdo preferido

por el arbitro, Sustituyendo (1.2.2) en cualquiera de las condiciones de

primer orden obtenemos

(1.2.3)

esto es, 1adistancia entre las ofertas debe ser igual a 1a inversa del valor

de la fund6n de densidad evaluada en la mediana del acuerdo preferido

por el arbitro,

Consideremos el siguiente ejemplo, que ofrece un resultado de estatica

comparativa que resulta intuitivamente atractivo. Supongamos que el

acuerdo preferido por e1arbitro se distribuye normalmente con media m

y varianza 0.2, en cuyo caso la fund6n de densidad es

j(x) = - J .1. exp {.-2\(x - m ) 2 } . .2rra2 . ()

(En este ejemplo, se puede demostrar que las condiciones de primer orden

anteriormente dadas son suficientes.) Puesto que una distribuci6n normal

es simetrica con respecto a su media, 1amediana de Iadistribuci6n es igual

a su media, m. Por 10 tanto, (1.2.2) se convierte en

w ; + w ;---"...."....---"-m

2

y (I.2.3) se convierte en

* * 1 r.::;--;;2Ws - We = f(m) = V /.7r(]"',

por 10 que las ofertas de equilibrio de Nash son

~w ; =m+YT y

~w ; =m-YT'

Asi, en equilibrio, las ofertas de las partes se centran alrededor de la

esperanza del acuerdo preferido por el arbitro (es decir, m), y la distancia

entre las ofertas aumenta con la incertidumbre de las partes acerca del

acuerdo preferido por elarbitro (es decir, 0'2).



Apl icadones I 27

La interpretacion de este equilibrio es simple. Cada parte se enfrenta

a un dilema. Una oferta mas agresiva (es decir, una oferta mas baja

par parte de la empresa 0 una oferta mas alta por parte del sindicato)

genera unas ganancias mayores si es elegida por el arbitro, pero es menos

probable que sea elegida. (Veremos en el capitulo 3 que un dilema similar

aparece en una licitad6n a pliego cerrado y al precio mas alto: una puja

mas baja genera unas gananeias mayores S 1 es la puja ganadora, pero

reduce probabilidad de ganar.) Cuando hay mas incertidumbre sobre eI

acuerdo preferido porel arbitro (es decir, (f2 es mas alta), las partes pueden

permitirse ser mas agresivas, puesto que una oferta agresiva tiene menosprobabilidades de ser muy diferente del acuerdo preferido por el arbitro,

Por el eontrario, euando apenas hay incertidumbre, ninguna parte puede

permitirse hacer una oferta alejada de Ia media, porque es muy probable

que el arbitro prefiera acuerdos cercanos a m.

1.2.D El problema de los ejidos

AI menos desde Hume (1739), los filosofos politicos y los economistas

han entendido que si los ciudadanos responden unicamente a incentivos

privados, habra un deficit en 1aprovision de bienes pnblicos y los recursosptiblicos estaran sobreutilizados, Hoy en dfa, basta con fijarse en el medio

ambiente para constatar 1afuerza de esta idea. Fue el trabajo ampliamente

citado de Hardin (1968) el que fij6la atenci6n de los no economistas sobre

el problema. A continuaci6n analizamos un ejemplo buc6lico.

Consideremos los n habitantes de una aldea, Cada verano todos los

aldeanos llevan sus cabras a pas tar en el ejido de 1aald ea. Denominamos

9i el mimero de cabras que el s-esimo eampesino posee y el mimero total

de cabras en la aIdea G = 91 + ... + 9n. E1coste de comprar y cuidar una

cabra es c, independientemente de cuantas cabras se posean. E1valor de

eriar una cabra en el ejido cuando allf se concentra un total de G cabras es

v(G) por c ab ra . Puesto que una cabra necesita al menos una cierta cantidad

de pasta para sobrevivir, existe un numero maximo de cabras que pueden

pastar en el ejido, Gma",:V(G) > 0 para G < Gm""" pera v(G) "" 0 para

G 2 : Gma",. Par otra parte, puesto que las primeras cabras disponen de un

amplio espacio para pas tar , aiiadir una mas no afecta a las que ya estan alli,

pero cuando hay tantas cabras pastando que apenas pueden sobrevivir

(es decir, G esta justo par debajo de Gma",),·afiadir una cabra mas afecta a

las demas de forma dramatica, Formalmente: para G < Gmax, v'(G) < 0



28/ JU EG OS E ST AT IC OS C ON IN FO RM AC l6N C OM PL II TA (C 1)

Y vll(G) < 0, como muestra la figura 1.2.4.

v

G

Figura 1.2.4

Durante la primavera, los aldeanos eligen simultaneamente cuantas

cabras van a tener. Supongamos que las cabras son continuamente divisi-

bles. Una estrategia del aldeano i es la decision sabre el numero de cabras

que llevara a pastar en el ejido, g i. Suponer que el espacio de estrategias

es [0,(0) cubre todas las opciones del aldeano; [O,Gma.') tambien bastarfa,

Las ganancias del aldeano i por criar 9icabras cuando el mimero de cabrascriadas por otros aldeanos es 91," . ,9i-J,9;+1 ... ,g", es

(1.2.4)

As!, si (gi , .... ,g~)ha de constituir un equilibria de Nash, para cada i, gi

debe maximizar (1.2.4) dado que los otros aldeanos eligen (gi,·· ·,g:-l'

9:+1"" ,y:'). La condici6n de primer orden de este problema de optimi-

zaci6n es

(1.2.5)

donde g:; denota gi + ... + g:-l + gi+] + ... + g:". Sustituyendo gi en

(1.2.5), sumando todas las condiciones de primer orden de los n aldeanos

y dividiendo luego por n se obtiene

v(G*) + ~G*V'(G*) - C"" 0,n

0.2.6)

donde G* denota 91+... +9;'· Par el contrario, el 6ptimo social, denotado

can GU, es una solucion de



T e or ia a v a nz a da : E s tr a te gi as m i xi as y e xi si en c ia d e e qu il ib r io / 29

max Gv(G) - Gc,O::;;G<=

para la cual la condicion de primer orden es

v(C*") + C""v'(C**) - c= 0 0.2.7)

La comparacion entre 0.2.6) y 0.2.7) muestral'' que C* > C"*: en el

equilibrio de Nash se crfan demasiadas cabras comparado con e16ptimo

social. La condicion de primer orden 0.2.5) refleja los incenti vos que tieneun aIdeano que ya esta criando gi cabras pero considera afiadir una mas

(0, de forma m a s precise, una pequefia fracci6n de una mas). El valor de

la cabra adicional es V(gi + g:i) Y su coste es c. E l dafio a las cabras ya

existentes del aldeano es V'(gi +g:) por cabra, 0giV'(gi + g:i) en total. Los

recursos comunales estan sobreutilizados porque cada aldeano considera

solo su propia situacion, y no el efecto de sus decisiones sobre los otros

aldeanos; de aqui la presencia de C*v'(G*)/n en 0.2.6), pero de C**v'(G**)

en (1.2.7).

1.3 Teoria avanzada: Estrategias mixtas y existencia de equilibrio

1.3.A Estrategias mixtas

En la seccion I.I.e hemos definido S. como el conjunto de estrategias can

que cuenta el jugador i, y la combinaci6n de estrategias (si, ... ,s;') como

un equilibrio de Nash si, para cada jugador i, s i es Lamejor respuesta del

juga dar ia las estrategias de los otros n - I jugadores:

para cada estrategia Si en Si. Segim esta definicion no existe ningiin

equilibria de Nash en el siguiente juego conocido como el ju ego de la s

m o ned as (m a tc hin g p en nies ).

13Supongamos, ala inversa, que G* :S G*"*. Entnnces v(G*) :::::v(G**), puesto que v' < O.

Del mismo modo, 0 > v'CG*) :::::'(G**), puesto que o" < O.Finalmente, G*In < G**. Asf,

el to~mtinode la izquierda de (1.2.6) es estrictamente mayor que el tohmino de la izquierda de

0.2.7),10 emu es imposible dado que ambos son igualesa cero,



30/ JVEeas ESTATICOS CON INFORMACI6N COMPLETA (c. 1)

Jugador 2

Cara Cruz

Cara -1,1 1,- 1Jugador 1

Cruz 1,-1 -1,1

E .l ju eg o d e la s mone da s

En este jaego el espacio de estra tegias de cada jugador es {cara, cruz}.

La historia que explica las ganancias en la matriz binaria es la siguiente:

imaginemos que cada jugador tiene una moneda y debe elegir mostrar

una cara de la moneda. 5i las dos monedas coinciden, esto es, ambas

muestran la misma cara, el jugador 2 gana la moneda del jugador 1. Si las

caras de las monedas no coinciden entonces el jugador 1gana la moneda

deljugador 2. No existe ningun par de estrategias que pueda cumplir

(EN), puesto que si las estrategias de los jugadores coinciden (cara, cara)

o (cruz, cruz), eI jugador 1prefiere cambiar su estrategia, mientras que si

las estrategias no coinciden (cara.cruz) a (cruz, cara), es el jugador 2 quien

prefiere cambiar su estrategia.

EI rasgo distintivo de este juego es que a cada jugador Ie gustaria

adivinar la jugada del otro y que el otro no adivinase la suya. Versiones

de este juego tambien se dan en el p6quer, el beisbol, en las batallas y en

otras situacianes. En el p6quer, la cuesti6n analoga es can que frecuencia

tirarse un farol: si se sabe que el jugador i nunca se tira faroles, sus

oponentes pasaran siempre que iapueste de forma agresiva, hacienda

que a iIe canvenga tirarse un farol de cuando en cuando. Par otra

parte, tirarse faroles can demasiada frecuencia constituye una estrategia

perdedora, En beisbol, supongamos que el lanzador puede lanzar 1abola

a bien de forma rapida a bien describiendo una curva, y que el bateador

puede dade a cualquiera de ellas si (y 5610 si) la preve correctamente. De

forma similar, en una batalla, podemos suponer que los atacantes pueden

elegir entre dos objetivos (0 dos rutas, como par tierra 0 par mar), y que

la defensa puede rechazar cualquiera de los dos ataques si (y s610 si) este

es previsto de forma correcta,

En cualquier juega en el cual a cada jugador le convenga adivinar la

jugada del otro y queel afro no adivine la suya, no existe ninglin equili-

brio de Nash Calmenos tal como este concepto de equilibrio se defini6 en

la secd6n 1.1.C),porque la solucion de tal juego induye necesariamente



T eo r {a a v a nz ad a : E s tr at eg ia s m i xt as y e xi si en c i a de e qui li b ri o I 31

un elemento de incertidumbre sabre 10 que han inlos jugadores. A conti-

nuacion, introducimos Ia nocion de es ira ieg ia mix ia , que interpretamos en

terminos de la incertidumbre de un jugador respecto a 10 que otro jugador

hara, (Esta interpretacion fue avanzada por Harsanyi [1973]; la discutire-

mos con mas detalle en la seccion 3.2.A.) En la proxima secd6n vamos a

ampliar Ia definicion de equilibria de Nash para que incluya estrategias

mixtas, incorporando can ella el elemento de incertidumbre inherente a la

solucion de juegos como el juego de las maned as, del poquer, del beisbol

y de las ba tallas,

Formalmente, para el jugador iuna estrategia mixta es una distri-

bud6n de probabilidad sohre (algunas 0todas) las estrategias en Si. De

aqui en adelante nos referiremos a las estrategias en S, como estrategias

puras del jugador i. En los juegos can decision simultanea e Informacion

complete analizados en este capitulo, las estrategias puras de un jugador

son las diferentes decisiones que el jugador puede tamar. En el juego de

las monedas, par ejemplo, S, consiste en las dos estrategias puras cara y

cruz, as! que una estrategia mixta para el jugador i es la distribuci6n de

probabilidad (q,l ~ q), donde q es la probabilidad de elegir cara, 1 ~ q es

la probabilidad de elegir cruz, yO 5 q 5 1. La estrategia mixta (0,1) es

simpleme.nte la estrategia pura cruz; del mismo modo, Ia estrategia mixta

0,.0) es la estrategia pura cara,

Como un segundo ejemplo de estrategia mixta, recordemos lafigura

1.1.1, en la que el jugador 2 cuenta con las estrategias puras izquierda,

centro y derecha. En este caso, para el jugador 2 una estrategia mixta es la

distribud6n de probabilidad (q,r,1 - q - r), en la que q es la probabilidad

de elegir izquierda, r es la probabilidad de elegir centro y 1 - q - r es la

probabilidad de elegit derecha, Como antes, 0 ::; q : : ; 1, Y ahara tambien

o < r ::;1 yO::; q + r ::;1. En este juego la estrategia mixta 0/3,1/3,1/3)

asigna la misma probabilidad a izquierda, centro y derecha, mientras que

(1/2,1/2,0) asigna Ia misma probabiIidad a izquierda y centro, pero no

asigna ninguna probabilidad a derecha. Como siempre, las estrategias

puras de un jugador son simplemente los casos limite de sus estrategias

mixtas (por ejemplo, aquf Ia estrategia pura izquierda del jugador 2 es la

estrategia mixta 0,0,0)).

De forma mas general, supongamas que el jugador imenta can K

estrategias puras: S; = {Sil,'" ,SiK}. En este easo, para e1 jugador i

una estrategia mixta es una distribuci6n de probabilidad (Pil, ... ,PiK), en

la que PH c es la prababilidad de que el jugador ielija la estrategia Sik,

para k = 1, ... ,X. Puesto que Pik es una probabilidad, es necesario que



3 2 I JUEGOS E S T A TICOS CON INFORMA06N COMPLETA (e. 1)

o : : ; Pik ::; 1 para k = 1, ... ,K Y Pit + ... + PiJ( = 1. Vamos a utilizar

Pi para denotar una estrategia mixta del conjunto de distribuciones de

probabilidad sabre Sir del mismo modo que utilizarnos Si para denotar

una estrategia pura de B i.

Definicion. E n el juego en form a norm al G = {B 1, ... IBn; 'Ut, ... ,Un} supon-

gam os que Bi = {Si1,' .. .suc }. E n esie caso p ar a e l j ug ad or iuna estrategia

mixta es u na disiribucuinde probabilidad Pi = (Pil, ... ,PiJ() , donde 0 ::; Pik ::; 1

para k = 1,... ,K Y Pil + ... + PiT( = = 1.

Concluimos esta secci6n volviendo brevemente a la nocion de es-

trategias estrictamente dominadas que introdujimos en la seccion 1.1.B,

con objeto de ilustrar el papel potencial de las estrategias mixtas en los

argurnentos alii utilizados, Recordemos que 5 1 una estrategia Si es estric-

tamente dominada, no existe ninguna conjetura que el jugador i pueda

formarse (sobre las estrategias que elegiran los demas jugadores) tal que

hiciera optima elegir Si. EI argumento inverse tambien se cumple, siem-

pre que permitamos estrategias mixtas: si no existe ninguna conjetura que

e1jugador ipueda formarse (sobre lasestrategias que elegiran los demas

jugadores) tal que hiciera optimo elegir o S i , existe otra estrategia que do-

mina estrictamente as;.14 Los juegos de las figuras 1.3.1 y 1.3.2 muestranque este argumento inverso seria falso si limitaramos nuestra atenci6n a

estrategias puras.

Jugador 2

I D

A 3,~ 0,-

Jugadar 1 M O,~ 3,-

B 1,~ 1,~

Figura 1.3.1

14 Pearce (1984) demuestra este resultado en el caso de dos jugadores, e indica que se

cumple para elcaso de o n jugadores siempre que las estrategias mixtas de los jugadores puedan

estar correladonadas, Es decir, siempre que 10que suponga el jugad.or isobre 10que hara

el jugador jpueda estar correlacionado con 1.0que suponga el jugad.or isobre 1.0que hara el

jugador k, Aumann (1987) sugiere que tal correlacion en los supuestos de ies completamente

natural, induso si i,iY k toman sus decisiones de forma totalment.e independiente: por

ejemplo, i puede saber que tanto jcomo k fueron a unaeseuela de direccion de empresas, 0

inC\uso a la rnisrna escuela, pero puede no saber 10que se ensefia en ella.



T eo rf a a o an za da : E s tr at eg ia s m i xt as y e xi si en c ia d e e qu il ib ri a / 33

La figura 1.3.1 muestra que una estrategia pura dada puede estar es-

trictamente dominada par una estrategia mixta, induso si 1a estrategia

pura no esta estrictamente dominada par ninguna otra estrategia pura.

En este juego, para cualquier conjetura (q,l - q) que e1jugador 1 pudiera

formarse sabre el juego del jugador 2, la mejor respuesta de 1 es a A

(si q ;::: 1/2) a M (5 1 q ::; 1/2), pero nunca E, Sin embargo, B no esta

estrictamente dominada ni par A ni par M, La clave es que E esta es-

trictamente dominada por una estrategia mixta: si el jugador 1 elige A

con probabilidad 1/2 y M con probabilidad 1/2, Ia ganancia esperada de

les 3/2, independientemente de que estrategia (pura 0mixta) utilice 2, y3/2 es mayor que el pago a 1 que produce con certeza Ia eleccion de B.

Este ejemplo ilustra e1papel de las estrategias mixtas para encontrar "otra

estrategia que domine estrictamente a s,",

Jugador 2

I D

A 3,- 0,-

Jugador 1 M 0,- 3,-

B '12,- 2,-

Figura 1.3.2

La figura 1.3.2 muestra que una estrategia pura dada puede ser una

mejor respuesta a una estrategia mixta, incluso si la estrategia pura no es

una mejor respuesta a ninguna otra estrategia pura, En este juego, B no

es una mejor respuesta para e1jugador 1 a I o D del jugador 2, pero B es la

mejor respuesta del jugador 1ala estrategia mixta (q,l - q) del jugador 2,

siempre que 1/3 < q < 2/3, Este ejemplo ilustra el papel de las estrategias

mixtas en la "conjetura que se puede formar el jugador i" .

1.3.B Existencia del equilibrio de Nash

En esta seccion discutimos varios temas relacionados con la existencia del

equilibrio de Nash. En primer lugar, ampliamos la definicion de equili-

bria de Nash dada en la secci6n 1.1.e para incluir las estrategias mixtas.

En segundo lugar, aplicamos esta definicion ampliada al juego de las mo-

nedas y a la batalla de los sexes, En tercer lugar, utilizamos un argumento

grafico para demostrar que cualquier juego de dos jugadores en el cual



34 / JU EG OS ES TA TIC OS C ON lN FO RM AC IO N C OM PLE TA (c. 1)

cada jugador cuenta can dos estrategias puras tiene un equilibria de Nash

(que posiblemente incluya estrategias mixtas). Finalmente, enunciamos y

discutimos eI teorema de Nash (1950), que garantiza que cualquier juego

finite (es decir, cualquier juego can un numero finite de jugadores, cada

uno de los cuales cuenta con un mimero finite de estrategias puras) tiene

un equilibrio de Nash (que posiblemente induya estrategias mixtas).

Recordemos que la definici6n de equilibria de Nash dada en Ia seccion

1.1.C garantiza que Ia estrategia pura de cada jugador constituye una

mejor respuesta a las estrategias puras de los restantes jugadores. Para

ampliar la definicion de modo que induya estrategias mixtas. necesita-

mos simplemente que Ia esttategia mixta de cada jugador sea una mejor

respuesta a las estrategias mixtas de los otros jugadores. Puesto que cual-

quier estra tegia pura puede ser representada como la estrategia que asigna

una probabilidad cero a todas sus otras estrategias puras, esta definicion

ampliada incluye a Ia anterior.

La forma de hallar la mejor respuesta del jugador 1 : a una estrategia

mixta del jugador jse basa en la interpretaci6n de la estrategia mixta del

jugador j como representaci6n de la incertidumbre del jugador isabre 10

que hara el jugador j. Continuamos con el juego de las maned as como

ejernplo, Supongamos que el jugador 1 cree que el jugador 2 elegira cara

con probabilidad q y cruz con probabilidad 1 - q; esto es, 1 supone que2 elegira la estrategia mixta (q,l - q). Baja este supuesto, las ganancias

esperadas del jugador 1 son q . (-1) + (1 - q) . 1 ::::1 - 2q eligiendo cara y

q. 1 + (1- q) . (-1) ::::2q - 1 eligiendo cruz. Puesto que 1 - 2q > 2q - 1 si

Y 5610 si q < 1/2, la mejor respuesta en estrategias puras del jugador 1 es

cara si q < 1/2 Ycruz si q > 1/2, Yel jugador 1 sera indiferente entre cara

y cruz si q ::::1/2. Nos quedan par considerar las estrategias mixtas del

jugador 1.

Sea (r.I - r) Ia estrategia mixta en la cual el jugador 1 elige cara con

probabilidad r. Para cada valor de q entre cera y uno, calculamos e1(1os)

valor(es) der, denotado(s) por r* (q ) tal que (r,l-r) sea una mejor respuesta

del jugador 1 a (q,1 - q) del jugador 2. Los resultados se recogen en lafigura 1.3.3. La ganancia esperada del jugador 1 al elegir (r.I - r) cuando

2 elige (q,1 - q) es

rq· (-1)+r(l- q)·1 +(1-r)q· I+(1-r)(I- q). (-1) ::::2q-ll+r(2-4q), (1.3.1)

donde rq es la probabilidad de (cara, cara), r(1 - q) 1a probabilidad de



T e or ia a v a nz a da : E s tr a te g ia s m i xi as y ex is ie nc ia d e e qu il ib ri a I 3 5

(cara, cruz), y as} sucesivamente.P Puesto que la ganancia esperada del

jugador 1 es creciente en r si 2 - 4q > 0 y decreciente en r si 2 - 4q < 0,

Ia mejor respuesta del jugador 1 es r = 1 (es decir, cara) si q < 1/2 Yr = 0

(es decir, cruz) si q > 1/2, como indican los dos segmentos horizon tales

de r*{q) en la figura 1.3.3. Esta afirmacion es mas poderosa que la afir-

maci6n del parrafo anterior con Ia que esta estrechamente relacionada:

en aquella considerabamos solamente estrategias puras y encontrabamos

que si q < 1/2, cara era la mejor estrategia pura, y que si q > 1/2, cruz

era la mejor estrategia pura. En esta consideramos todas las estrategias,

puras y mixtas, pero encontramos nuevamente que si q < 1/2, cara es lamejor estrategia de todas (puras 0mixtas), y que si q > 1/2, cruz es la

mejor estrategia de todas.

r

(Cara) 1

(Cruz)

1/2 1

(Cara)

q

(Cruz)

Figura 1.3.3

La naturaleza de Ia mejor respuesta del jugador 1a (q,1 - q) cambia

cuando q = 1/2. Como indicamos anteriormente, cuando q= 1/2 el

jugador 1es indiferente entre las estrategias puras cara y cruz. Ademas,puesto que 1aganancia esperada del jugador 1 en (1.3.1) es independiente

15 Los sucesos A y B son indepelldienies 5 1 Prob{A y B} ",-Prob{A}·Prob{B}. Asi, al

escribir rq como Ia probabilidad de que 1 elija cara y 2 elija cara, estamos suponiendo que

1 y 2 toman sus decisiones de forma independiente, como corresponds a la descripcion que

dimos de los jUeg05de decision simultanea, Consiiltese Aumann (1974)pararla definicion de

equil iur io correl l1c ionado, qlle se utiliza en juegos en los cuales las decisienes de los jugadores

pu.eden estarcorrelaclonadas, puesto que observan 1 " 1 resultado de un suceso aleatoric, como

el lanzamiento de una moneda, antes de elegir sus respectivas estrategfas,



36 / JUEGOS FSTATICOS CON INFORMACION COMPLETA (c. 1)

de 7'cuando q = 1/2, el jugador 1 es tarnbien indiferente entre todas las

estrategias mixtas (7',1- 1'). Es decir, cuando q = 1/21a estrategia mixta

(1') - 1') es la mejor respuesta a (q,l - q) para cualquier valor de r entre

cera y uno. AsC 7'*(1/2) es todo el intervale [0, 1J, como indica el segmento

vertical de 7'*q) en la figura 1.3.3. En el analisis del modelo de Cournot

en Ia seccion 1.2.A, llamamos a R;(qj) 1afunci6n de mejor respuesta de la

empresa i .. Aqui, puesto que existe un valor de q tal que 1'*(q) tiene mas

de un valor, llamamos a 1'' '(q) la correspondencia de mejor respuesta del

jugador 1.

Para derivar de forma mas general la mejor respuesta del jugador

ia Ia estrategia mixta del jugador j, as! como para dar un enunciado

formal de la definicion ampliada del equilibrio de Nash, limitamos ahora

nuestra atenci6n al caso de dos jugadores, que permite presentar las ideas

principales de modo mas sencillo. 5ea J el numero de estrategias puras

en 51 y K el numero de estrategias puras en 52. Vamos a escribir 5, =

{ SII, ... ,51J} Y 52 = {S21,' .. ,SZI( }, y vamos a utilizar Slj y S2k para denotar

las esrrategias puras arbitrarias de 51 y 52 respectivarnente.

Siel jugador 1cree que el jugador 2 utilizara las estrategias (821r ••• ,821( )

can probabilidades (p21,' .. ,PU(), Ia ganancia esperada del jugador 1 par

utilizar la estrategia pura S1j es

[(

2 :: P2kUl (Slj,S2k),k"" ' l

(1.3.2)

y la ganancia esperada del jugador 1 par utilizar la estrategia mixta PI =

(PH, ... ,PlJ) es

J [ I( 1I (P]'P2) = L :Plj 2 : : P2k ul (S1j ,SZk)

) = - 1 k=1

J K=LLPlj' PZkUl(Slj,SZk),

j=I k=l

(1.3.3)

donde PIj . Pzk es la probabilidad de que 1 utilice Slj y 2 utilice SZk. La

ganancia esperada del jugador 1 conla estrategia mixta PI, dado en 0.3.3),

es la suma ponderada de las ganancias esperadas con cada una de las

estrategias puras {su, ... ,SlJ} dada en (1.3.2), donde las ponde.raciones

son las probabilidades (Pn, ... ,PlJ)' Asi, para que la estrategia mixta

(P11, ... ,PIJ) sea una mejor respuesta de.l jugador 1 a la estrategia mixta P2

del jugador 2, debe cumplirse que Plj > 0 s610 si



Teo r ia a vam;ada : E s tr at eg ia s m i xt as y e xi st en c ia d e e qu il ib ri o I 37

J( tc2 . : = P2k Ut (Slj ,SZk) :? : 2 . : = PZI .:u l ( S t l, S 2k )

1.:0=1 k",1

para cada Slj ' en 81' Esto es, para que una estrategia mixta sea una mejor

respuesta a P 2 debe asignar una probabilidad positive a una estrategia

pura concreta 5610 si esta es una mejor respuesta a Pl' De forma inversa,

si el jugador 1 tiene varias estrategias puras que son mejores respuestas a

P2, cualquier estrategia mixta que asigna toda su probabiIidad a algunas

o a todas estas mejores respuestas en estrategias puras (y probabilidadcero al resto de las estrategias puras) es tambien una mejor respuesta del

jugador 1 a Pz .

Para dar un enunciado formal de Ia definicion ampliada del equilibrio

de Nash necesitamos calcular la ganancia esperada del jugador 2 cuando

los jugadores 1 y 21:ltilizan las estrategias mixtas PI y P2. Si el jugador 2 cree

que el jugador 1 utilizara las estrategias (SI1,' .. ,8lJ) con probabilidades

(PIl,' .. ,PlJ), la gananda esperada del jugador 2 par utilizar las estrategias

(S 21, ' , "S2I< ) can probabilidades (PZI , ' . " p a J < ) es

",<!>t.",) ~ ~P2k

[ ~ P l ' U 2 ( S l " " ' ) lJ K

:=L2 . . : Ptj . PZkUz(Slj,SZk),i o = 1 k o = 1

Dadas v- (P t ,P2) YV2(P t ,P2) podemos reformular el requisi to del equilibria

de Nash de que la estrategia mixta de cada jugador tenga que ser una

mejor respuesta a la estrategia rnixta de los demas jugadores: para que

el par de estrategias mixtas (Pi,pi> forme un equilibrio de Nash, p i debecumplir

Cl.3.4)

para cada distribucion de probabilidad Pl sobre 81, Ypi debe cumplir

V2(pi ,pi) :? : V2(P i ,P2)

para cada distribucion de probabilidad p z sabre 8z .

(1.3.5)

Definicion. E n el ju eg o en lo nn a n or ma l de do s ju ga do res G := {81,82; UpliZ} la s

es tra teg ia« mix ta s (pj,pi) [onnan un equ ilibrio de N ash si fa estra teg ia m ixta



38 / JUEGOS FSTATICOS CON lNFORMACl6N COMPLETA (c. 1)

de cada jugador es una meier respuesta a la e si ra i eg ia m i xi a del afro jugador:

(1.3.·4) y (1.3.5) deben cumplirse.

q

q*(r)

(Cara) 1

(Cruz)

1/2 1

(Cara)

r

(Cruz)

Figura 1.3.4

r

(Cara) I

1/2 ,-_ -~ - - - , - - - - - - - - - -- ----~,-- - - - - - - -- - - ~ , - - _ ,

q*(r)

(Cruz)

(Cruz)

1 q

(Cara)

Figura 1.3.5

A continuacion, aplicamos esta definicion aI juego de las monedas y a

Ia batalla de los sexos. Para ella, utilizarnos la representacion grafica de Ia



T r on a a v an z ad a : E s tr a te gi as m i xt a s y e xi si en c ia d e e qu il ih r io / 39

mejor respuesta del jugador ia la estrategia mixta del jugadorj presentada

en Ia figura 1.3.3. Para complementar Ia figura 1.3.3 calculamos el(los)

valortes) de q, denotado(s) por q*(r), tal(es) que (g,l - q) es una mejor

respuesta del jugador 2 a (r,l- r) del jugador 1. Los resultados se recogen

en la figura 1.3.4. Si r < 1/2,.la rnejor respuesta de 2 es cruz, de forma que

q" (1') = O.Del mismo modo, si r > 1/2, la mejor respuesta de 2 es cara, de

forma que q*(r) = 1. Si r : : : : : 1/2, el jugador es indiferente no s610 entre cara

y cruz sino tambien entre todas las estrategias mixtas (q,l - q), de forma

que q*(1/2) es todo el intervalo [0, 1].

Girando 90 grados la figura 1.3.4 y dandole la vuelta, obtenemos la

figura 1.3.5. Esta es menos adecuada que la figura 1.3.4 como represen-

tad6n de la mejor respuesta del jugador 2 a la estrategia mixta del jugador

1, pem puede combinarse con la figura 1.3.3 para obtener la figura 1.3.6.

r

(Cara) 1

1/2 , .~ ~ _ _ • _ _ - - - - - - - . 1 1

q*(r)

(Cruz)

1/2 1

(Cara)

q

(Cruz)

Figura 1 . 3 . 6

La figura 1.3.6 es analoga a la figura 1.2.1 del analisis de Coumot

de la seccion 1.2.A. Igual que la intersecci6n de las funciones de mejor

respuesta R2 (qt) YRl (q2) dio el equilibrio de Nash del juego de Coumot,

Ia interseccion de las correspondendas de mejor respuesta r"(q) y q"(r)

nos da el equilibrio de Nash (en estrategias mixtas) en el juego de las

monedas: si un jugador i elige (1/2,1/2), 0/2,1/2) es la mejor respuesta

del jugadori, tal como 10 exige el equilibria de Nash.



40 I JU EG OS E ST AT IC OS C ON IN FO RM AC IO N C OM PL ET A (c. 1)

Conviene resaltar que elequilibrio de Nash en estrategias mixtas no se

basa en que ningtin jugador lance una moneda al aire, arroje unos dados 0

elija de forma aleatoria una estrategia. Mas bien, interpretamos la estrate-

gia mixta del jugador j como una representacion de Ia incertidumbre del

jugador irespecto a la decision del jugador jsobre la estrategia (pura) que

va a seguir. En beisbol, por ejemplo, el1anzador puede decidir si Ianzar

una bola r a pida 0una curva basandose en c6mo le salieron los lanzamien-

tos durante el entrenarniento. Si el bateador conoce el razonamiento del

lanzador pero no sabe que ocurrio durante su entrenarniento, puede ser

que crea que existen las mismas posibilidades de que el lanzador lanceuna bola rapida 0curva. Representanamos entonces la conjetura del ba-

teador como la estrategia mixta dellanzador (1/2,1/2), cuando en realidad

el lanzador elige una estrategia pura basandose en la informacion que no

dispone el bateador,

Enunciado de un modo mas general, Ia idea consiste en dotar al juga-

dor jde una cierta informacion privada de manera que, dependiendo de

c6mo el jugador j entienda dicha informacion, se incline por una de las

estrategias puras posibles. Sin embargo, puesto que el jugador ino dis-

pone de Ia informacion privada de i.zcontiruia con la incertidumbre de

no saber cual sera la decision de j, y represe.ntamos dicha incertidumbre

de icomo una estrategia mixta de j. Ofrecemos un enunciado mas formal

de esta interpretacion de las estrategias mixtas en la secci6n 3.2.A.

Consideremos la batalla de los sexos, de la secci6n 1.1.C, como un

segundo ejemplo de equilibrio de Nash con estrategias mixtas. Sea (q,l- q)

la estrategia mixta en la mal Pat elige la opera con probabilidad q y sea

(r ,I - r) la estrategia mixta en la cual Chris elige opera con probabilidad r .

SiPat elige (q,l-q),las ganancias esperadas de Chris son q·2+(1-q)·0 = = 2q

al elegir 6pera y q . 0 + (1 - q ) . 1 = = 1 - q al elegir boxeo, Asi, si q > 1/3,

la mejor respuesta de Chrises 6pera (es decir, l' = = 1); si q < 1/3 Ia meier

respuesta de Chris es boxeo (es decir, r = 0) y, si q = 1/3, cualquier valor

de r es una mejor respuesta. De modo similar, si Chris elige (1' ,1 ~ r)

las gana.ncias esperadas de Pat son r . 1 + (1 -- r) . 0 = = r al elegit 6pera y

1'·0+(1-1')·2:= 2(1--r) al elegirboxeo. Asi.si T > 2/3,lamejorrespuesta de

Pa! es 6pera (es decir, q = 1); si r < 2/31a mejor respuesta de Pat es boxeo

(es decir, q = = 0) y, si r = = 2/3 cualquier valor de q es una mejor respuesta.

Como muestra Ia figura 1.3.7, las estrategias mixtas (q,1 -- q) = = (1/3,2/3)

de Pat y (r.l - r) = = (2/3,1/3) de Chris forman, par 10 tanto, un equilibria

de Nash.

Al contrario que en la figura 1.3.6, donde s610 existia una intersecci6n



Teor fa Ilvlmzada: Es tr a ie g ia » m i xi a s y e xi st en c ia d e e qu il ib ri o / 41

de las correspondencias de rnejor respuesta de los jugadores, existen en la

figura 1.3.7 tres intersecciones de r*(q) y q*(T): (q = O,r = 0), (q ::: 1 ,1 ' : :: 1 )

y (q ::: 1/3,r :::2/3). Las dos primeras intersecciones representan los

equilibrios de Nash en estrategias puras (boxeo, boxeo) y (opera, opera)

descritos en Ia seccion 1.1.C.

r

r'(q)

(Opera) ll--------c======~_ :

2/3q~(r)

(Boxeo) - - - + ~ ~ ~ - ~ - . - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - -

1/3 1

(Opera)

q

(Boxeo)

Figura 1.3.7

En cualquier juego, un equilibria de Nash (que incluya estrategias pu~

ras 0mixtas) aparece como una intersecci6n de las correspondencias de

mejor respuesta de los jugadores, incluso cuando hay mas de dos juga-

dares y tambien cuando algunos a todos los jugadores tienen mas de dos

estrategias puras. Por desgrada, los unicos juegos en los que las corres-

pondendas de mejor respuesta de los jugadores tienen representaciones

graficas sencillas son los juegos de dos jugadores en los que cada jugador

s610tiene dos estrategias, Discutimos ahara can un argumento grafico que

cualquier juego de ese tipo tiene un equilibria de Nash (que posiblemente

incluya estrategias mixtas).

Cogsideremos las ganandas del jugador 1 representadas en 1afigura

1.3.8. Hay dos comparaciones importantes: z can z e y can w. Basandonos

en estas comparaciones, podemos definir cuatro casas prindpales: 0 )

x > z e y > w; (ii) x < z e y < w; (iii) x > z e y < w, y (iv) x < z

e y > w. Discutimos primero estos cuatro casas y luego abordamos los

casos restantes en los que x = z a y =w.



42/ JUEGOS ESTATICOS CON lNFORMAOON COMPLETA (c, 1)

Jugador 2

Izquierda Derecha

Alta :£,- Y,-

Jugador 1

Baja z- W,-

Figura 1.3.8

En el caso (1 ) para e1jugador 1 alta domina estrictamente a baja, y en

el caso (ii) baja domina estrictamente a alta. Recordemos de Ia seccion

previa que una estrategia es estrictamente dominada si y solo si no existe

una conjetura que el jugador ipudiera formarse (sabre las estrategias que

elegiran los demas jugadores) tal que hiciera 6ptimo elegir S;. ASl, si

(q,l - q) es una estrategia mixta del jugador 2, donde q es la probabilidad

de que 2 elija izquierda, en el caso (j) no existe un valor de q tal que baja

sea 6ptima para el jugador I, y en el caso (ii) no existe un valor de q tal

que alta sea optima, 5i (r.l - r) denota una estrategia mixta del jugador 1

en Ia que r es la probabilidad de que 1 elija alta, podemos representar las

correspondencias de mejor respuesta para los casas (i) y (ii) como en la

figura 1.3.9. (En estos dos casas las correspondencias de mejor respuesta

son de heche funciones de mejor respuesta, puesto que no existe un valor

de q tal que el jugador 1 tenga multiples mejores respuestas.)

r

(AHa) 1 b..; ; c , . . C';'. . ; :; . . ' ; 7 . , . . C ' ; ' , .;7.;-;-;,.; 7. , . . C';'. ; :; ,. " " ",. ' ; 7 .. , ,, ", ,

r

(Alta) 11--------.f*(q)

(Baja).!Baja)

(lzquierda)

1 q

(Derecha) (Izquierda)

1 q

(Derecha)

Caso (i) Caso (ii)

Figura 1.3.9



T eo r {a a v an z ad a : E s tr a te gi as m i xi as y ex is te n ci a d e e qu il ib r ia /4 3

En los casas (ill) y (iv), ni alta illbaja son estrictamente dominadas.

Asi, alta debe ser 6ptima para algunos valores de q y baja 6ptima para los

demas, Sea q' = (w - y) / (x - z +w - y). En el caso (iii) alta es optima para

q > q ' y baja para q < q ', mientras que enel caso (iv) ocurre 10 contrario.

En ambos casos, cualquier valor de r es 6ptimo cuando q = q', Estas

correspondencias de mejor respuesta se representan en la figura 1.3.10.

r

(Alta) 11----,,__=====__=r

(Alta) 1 f---,-----.r*(q)

(Baja) '

q' 1 q

(Izquierda) (Derecha)

Ceso (iii)

(Baja)

(Izquierda)

q ' 1 q

(Derecha)

C a so ( iv )

Figura 1.3.10

Puesto que q ' ::::1 si x ::::Z y q ' = 0 si y = w, las correspondencias de

mejor respuesta en los casos en que ocurra x ::::0Y = w tienen forma de

L (es decir, dos caras adyacentes del cuadrado unitario), como ocurrirfa

en Ia figura 1.3.10 si q ' = 001 en los cases (iii) y (iv),

Afiadiendo ganancias arbitrarias del jugador 2 a la figura 1.3.8 Yrea-

lizando calculos analogos obtenemos la mismas cuatro correspondencias

de mejor respuesta, can Ia salvedad de que en el eje horizontal se mide

r y en e1vertical se mide q, como en 1a figura 1.3.4,. Girando 90 grados

y dando 1avuelta a esas cuatro figuras, como hicimos para obtener 1.3.5,

obtenemos 1.3.11y 1.3.12. (En estas figuras r' se define de forma analogs

a q' en la figura 1.3.10.)

La cuesti6n crucial es que, dada cualquiera de estas cuatro corres-

pondencias de mejor respuesta del jugador 1, r*(q) de las figuras 1.3.9 0

1.3.10, Ycualquiera de las cuatro del jugador 2, q* (r) de las figuras 1.3.11

o 1.3.12, el par de correspondencias de mejor respuesta tiene al menos

una intersecci6n, por 10 que el juego tiene a1menos un equilibrio de Nash.

Comprobarlo para los dieciseis pares posibles de correspondencias de me-

jor respuesta se deja como ejercicio. En lugar de ello, nosotros vamos a



44 I JUEG05 ESTAl1COS CON INFORMACI6N COMPLETA (c. 1)

describir las caracterfsticas cualitativas que pueden resultar. Puede darse:

(1) un unico equilibria de Nash en estra tegias pur as; (2)un unico equilibrio

de Nash en estrategias rnixtas; a (3) dos equilibrios en estrategias puras y

ununico equilibria en estrategias rnixtas. Recordemos e1 caso de Ia figura

1.3..6, el juego de las monedas, que constituye un ejemplo del caso (2) y

el de 1afigura 1.3.7, la batalla de los sexes, que constituye un ejemplo del

caso (3). El dilema de los presos es un ejempla del caso (1); se obtiene de

la combinaci6n del caso (i) 0 (ii) de r-*(q) con el caso (i) 0 (ii) de q*(r-) .16

r

(Alta) 1 f------- .....

(Baja)

j:

q*(r) :

r

!1 q


Cuso (i)

r

(Alta) 1 1------..."

-------- , ---------------

(Baja)

(Izquierdo)

1 q

(Derecha)

Casa (iii)

r

(Alta) 1 f------- .....

q*(r)

1 q


Caso (ii)

Figura 1.3.11

r

(Alta) 1 )-,------........,

r'

1 q

(Derecha)

Ca so ( iv )

q*(r)

(Baja)

(Izquierda)

Figura 1.3.12

16 Los cases que induyen x '" Z 0Y '= w no contradicen la afirmacion de que el par de

correspondencias de mejor respuesta tiene al menos una interseccion. AI contrario, adamas

de las caracterfsticas cualitativas descritas enel texto, pueden ahora darse dos equilibrios de

Nash en estrategias puras sin un equilibrio de Nash en estrategias mixtas, y un continuo de

equilibrios de Nash en estrategias mixtas.



Te or ia a v a n zada : E s tr a .t eg i as m i xt a s y ex is ten ci a d e e qu il ib ri o I 4 5

Concluimos esta secci6n con una discusi6n sobre Ia existencia del

equilibrio de Nash en juegos mas generales. Si formulamos los argumen-

tos anteriores para juegos de dos par dos en forma matematica en vez de

grafica, podemos generalizarlos para aplicarlos a juegos con n jugadores

con espacios de estrategias finites y arbitrarios.

Teorema. (Nash (1950): En el juego en form a norm al de n jugadores G '"

{ S1, . .. ,8,,; Ul, ., . ,un}, si n es un num ero fin ito y 9; es fi ni to p ar a cada i, existe

a l m en os u n e qu ilib ria d e N a sh , q ue p oe ib ie m en ie in clu ye e str ate gia s m ixia s.

La demostraci6n del teorema de Nash utiliza un te or em a d e p un to fijo .

Como ejemplo simple de un teorema de punto fijo, supongamos que f(x)

es una fund6n continua can dominic [0, 1] Yrecorrido [0, 1], EI teorema

de punta fijo de Brouwer garantiza que existe al menos un punto fijo, es

decir, existe al menos un valor x* en [0,IIal que fex") = z". Tenemos un

ejemplo de ella en la figura 1.3.13..

La aplicaci6n del teorema de punta fijo para demostrar el teorema de

Nash se hace en dos etapas: (1) mostrando que cualquier punto fijo de

una derta correspondencia es un equilibria de Nash y (2) utilizando un

teorema de punto fijo adecuado para demostrar que esta correspondenciadebe tener un punta fijo, La correspondencia apropiada es la carrespan-

dencia de mejor respuesta de n jugadores. EI teorema de punta fijo rele-

vante se debe a Kakutani (1941), quien generaliz6 el teorema de Brouwer

can el fin de incIuir correspondencias (de buen comportamiento) ademas

de funciones. La correspondencia de mejor respuesta de n jugadores se

obtiene a partir de las correspondencias individuales de mejor respuesta

1

{(x)

x*

x~ 1 x

Figura 1.3.13



46 / JUEGOS ESTATICOS CON INFORMACION COMPLETA (c. 1)

de los n jugadores del modo siguiente: consideramos una combinaci6n

arbitraria de estrategias mixtas (PI, ... ,p,,). Para cada jugador i derivamos

Ia mejor respuestats) de ia las estrategias mixtas de los otros jugadores

(PI, ... ,Pi-l ,Pi+1, ... ,P"J. Construimos a continuaci6n el conjunto de todas

las combinaciones posibles de dicha mejor respuesta para cada jugador,

(Formalmente derivamos Ia correspondencia de mejor respuesta de cada

jugador y luego construimos el producto cartesiano de estas n correspon-

dencias individuales.) Una combinacion de estrategias mixtas (Pi , .... ,p~)

es un punto fijo de esta correspondencia si (pi, ... ,p;') pertenece a1 con-

junto de todas las combinaciones posibles de las mejores respuestas de losjugadores a (pi, ... ,p~). Es decir, para cada i,pi debe ser la mejor (0 una

de las mejores) respuesta(s) del jugador ia (pi! ,P:-I/P:+lI ... ,p~),pero

esto es precisamente la afirmacion de que (Pi, IP~) es un equilibrio de

Nash. Con ello, completamos la primera etapa.

La segunda etapa utiliza el hecho de que Ia correspondencia de me-

jor respuesta de cada jugador es continua, en un sentido adecuado del

termino. El papel de la continuidad en el teorema de punto fijo de Brou-

wer puede observarse modificando f(x) en Ia figura 1.3.13: si f(:r;) es

discontinua, no tiene necesariamente un punto fijo. En la figura 1.3.14,

por ejemplo, f(x) > x para toda x < z' , pero f( x') < x' para z ;: x'.17

1

45'

f{x)

1 x

Figura 1.3.14

'Para ilustrar las diferencias entre I(x) en Ia figura 1.3.14 y la corres-

pondencia de mejor respuesta de un jugador, consideremos el caso (iii)

17 El valor de 1(:£') se indica con el cfrculo negro. El cfrculo blanco indica que l(x') no

incluye este valor. La linea discontinua se incluye tintcamente para indicar que ambos drculos

se dan cuando x = x'; no indica valores adicionales de 1(;£').



Lec tu ra s ad ic iona les I 47

de la figura 1.3.10: para q = q', r'*(qJ) incluye cera, uno y tadoel intervalo

entre enos. (De modo un poco mas formal, r*(q') incluye el lfmite de r'*(q)

cuando q tiende a q' par la izquierda, el limite de r*(q) cuando q tiende a

q ' por Ia derecha, y todos los valores de r entre ambos limites.) Si f(x')

en la figura 1.3.14 se comportara de forma analoga a la correspondencia

de mejor respuesta del jugador 1, f(x') incluirfa no solo el circulo negro

(como en la figura), sino tarnbien el circulo blanco y todo el intervale entre

ellos, en cuyo caso f(x) tendria un punta fijo en x',

La correspondencia de mejor respuesta de cada jugador se comporta

siempre como r*(q') en la figura 1.3.14: siempre incluye (las generaliza-

ciones adecuadas de) el limite por la izquierda, el limite par la derecha

y los valores intermedios, EI motivo de esto es que, como demostramos

anteriormente en el caso de dos jugadores, si el jugador itiene varias es-

trategias puras que son mejores respuestas a las estrategias mixtas de los

demas jugadores, cualquier estrategia mixta Pi que asigna toda su pro-

babilidad a algunas 0a todas las mejores respuestas en estrategias puras

del jugador i(y probabilidad cero al resto de las estrategias puras de i) es

tambien una mejor respuesta del jugador i. Puesto que la corresponden-

cia de mejor respuesta de cada jugador se comporta siempre del mismo

modo, 10 mismo acurre can la correspondenda de mejor respuesta de

los n jugadores. Estas prapiedades cumplen las hipotesis del teorema deKakutani, por 10 que esta Ultima correspondencia tiene un punta fijo,

EI teorema de Nash garantiza que existe un equilibria en una amplia

clase de juegos, pera ninguna de las aplicaciones analizadas en la seccion

1.2pertenece a esta clase (porque cada aplicaci6n tiene espacios de estrate-

gias infinitos). Esto demuestra que las hip6tesis del teorema de Nash son

condiciones suficientes pem no necesarias para que exista un equLlibrio;

existen muchos juegos que no cumplen las hip6tesis del teorema pera, no

obstante, tienen uno a mas equilibrios de Nash.

1.4 Lecturas adicionales

Consuljese Brandenburger (1992)sobre los supuestos en que se fundamen-

tan la eliminaci6n iterative de las estrategias estrictamente dominadas y

el equilibria de Nash, y tambien sobre la interpretacion de las estrategias

mixtas en terminos de las conjeturas de los jugadores. Sabre la relacion

entre los modelos (tipo Cournot), en los que las empresas eligen cantida-

des y los modelas (tipo Bertrand), en los que las empresas eligen precios,



48 / JUECOS FSTATICOS CON fNFORi\1ACI6N COMPLErA (C. 1)

consultese Kreps y Scheinkman (1983), quienes demuestran que en algu-

nas circunstancias el resultado de Coumot se da en un modele de tipo

Bertrand en el cual las empresas se enfrentan a restricciones de capaci-

dad (que escogen a un cierto coste antes de elegir los precios). Sobre

el arbitraje, constiltese Gibbons (1988), quien demuestra que el acuerdo

preferido par el arbitro puede depender del contenido informative de las

ofertas de las partes, tanto en el arbitraje convencional como en el de oferta

final. Finalmente, consultese Dasgupta y Maskin (1986) sobre la existen-

cia del equilibria de Nash en juegos con espacios de estrategias continuos,

incluyenda equilibrios en estrategias puras.

1.5 Ejerdcios

1.llQue es un juego en forma normal? lQue es una estrategia estricta-

mente dominada en un juego en forma normal? lQue es un equilibrio de

Nash con estrategias puras en un juego en forma normal?

1 . 2 En el siguiente juego en forma normal, lque estrategias sobreviven

a una eliminaci6n iterative de las estrategias estrictamente dominadas?

lCuaies son los equilibrios de Nash can estrategias puras?

I 0D

A

M

B

2 , 0 1 , 1 4 , 2

3 , 4 1 , 2 2 , 3

1 , 3 0 , 2 3 , 0

1.3 Los jugadores 1 y 2 estan negociando como repartirse mil pesetas.

Ambos jugadores indican simultaneamente 1a parte de las mil pesetas

que querrian conseguir, 81 Y 82, donde 0 ::; 81,82::; 1. Si 81 + 82 ::; 1,

los jugadores ven cumplidos sus deseas; si 81 + 82 > 1, ambos jugadores

reciben cera pesetas. lCuales son los equilibrios de Nash con estrategias

puras de este juego?

1.4 Supongamos que existen n empresasen eI modelo de oligopolio de

Coumot. Sea qi la cantidad producida por una empresai, y sea Q =

ql + ... + qn la cantidad agregada en el mercado, Sea P el precio de

equilibrio de mercado y supongamos que la demanda inversa viene dada



E je rc ic io s / 49

por P(Q) = a - Q (suponiendo que Q < a; en el caso contrario P= 0).

Supongamos que para la empresa iel coste total de producir la cantidad qi

es Ci(qi) = cqc: Es decir, no hay costes fijos Yel coste marginal es constante e

igual a c,donde suponemos que c < a..Siguiendo a Cournot, supongamos

que las empresas eligen sus vohimenes de produccion simultaneamente,

,Cual es el equilibrio de Nash? , Q u e ocurre cuando n tiende a infinito?

1.5 Consideremos las dos versiones finitas siguientes del modelo de duo-

polio de Coumot. En primer lugar, supongamos que cada empresa debe

elegir 0la mitad de la cantidad de monopolio, qm/2 = (a - c)/4, 0la can-

tidad de equilibrio de Coumot, qe = (a - c)/3. No pueden darse otras

cantidades, Demuestrese que este juego con dos alternatives es equiva-

lente al dilema de los presos: cada empresa tiene una estrategia estric-

tamente dominada, y arnbas estan peor en equilibrio que si cooperasen.

En segundo lugar, supongamos que cada empresa puede elegit 0 qm/2 0

qe, 0una tercera cantidad q '. Hallese un valor de q ' tal que el juego sea

equivalente al modele de Caumot de la seccion 1.2.A, en el sentido de

que (qe ,qc ) sea un equilibrio de Nash unico y ambas empresas esten peor

en equilibrio de 10 que estarian si cooperasen, pero ninguna de ellas tiene

una estrategia estrictamente dominada,

1.6 Considerese el modelo de duopolio de Caumot en el que la demanda

inversa es P(Q) - = a - Q pero las empresas tienen castes marginales

asimetricos, Cl para la empresa 1 y C2 para la empresa 2. lCual es el

equilibria de Nash si 0 < Ci < a/2 para cada empresa? , Q u e ocurre si

Cl < Cz < a pero 2C2 > a + cj?

1.7 En la seccion 1.2.B analizamos el modele de duopolio de Bertrand con

productos diferenciados, En el caso de productos homogeneos se obtiene

un resultado paderoso. Supongamos que la cantidad que demandan los

consumidores a la empresa ies a - Pi cuando Pi < Pj, 0 cuando Pi > Pj,

y (a - p;)/2 cuando Pi = Pj. Supongamos tambien que no hay costes

fijos y que los costes marginales son constantes e iguales a c, donde c < a.

Demu~strese que si las empresas eligen precios simultaneamente, el unico

equilibrio de Nash consiste en que ambas empresas fijen un precio c.

1.8 Considerese una poblacion votante uniformemente distribuida en el

espectro ideo16gico que va de Laizquierda (x = 0) ala derecha (x = = 1).

Cada uno de los candidatos para un unieo puesto elige simultaneamente



50/ JUEGOS ESTATICOS CON WFOR1>: lAOON COMPLETA (c. 1)

un programa electoral (es decir, un punto en la linea entre x = 0y x = 1).

Los votantes observan el programa de los candidates y luego cada votante

vota por el candida to cuyo programa se acerque mas a su posicion en el

espectro. Si, par ejemplo, hay dos candidates y eligen programas Xl = 0,3

YX2 = 0,6, todos los votantes ala izquierda de x = 0,45 votan al candidate

1, y todos los que estan a la derecha votan al candidato 2, y el candidate 2

gana la eleccion can un 55 par ciento de los votos. 5upongamos que a los

candidates s610les importa ser elegidos; en realidad, su programa no les

interesa para nada .. Si hay dos candidatos, LcuaI es el equilibria de Nash

can estrategias puras? Si hay tres candidates. indiquese un equilibria de

Nash can estrategias puras. (Supongamos que cuando varies candidatos

eligen el mismo programa, los votos obtenidos par ese programa se divi-

den a partes iguales, y que los empates entre los que consiguen mas votos

se resuelven a cara 0 cruz.) Vease Hotelling (1929) para un primer modele

similar,

1.9lQue es una estrategia mixta en un juego en forma normal? lQue es un

equilibrio de Nash con estrategias mixtas en un juego en forma normal?

1.10 Demuestrese que no existen equilibrios de Nash con estrategias mix-

tas en los tres juegos en forma normal analizados en la secci6n 1.1: E1dilema de los presos, el de 1afigura 1.1.1 y el de la figura 1.1.4.

1.11 Hallese eI equilibria de Nash con estrafegias mixtas del juego del

ejercicio 1.2.

1.12 Hallese el equilibria de Nash con estrategias mixtas del siguiente

juego en forma normal:

I D

A 2,1 0,2B 1,2 3,0

1.13 Dos empresas oftecen un puesto de trabajo cada una. Supongamos

que (par razones que no discutimos aquf, pero que se refieren al grade

de importancia de que se ocupe el puesto) las empresas ofrecen salaries

diferentes: la empresa i ofrece el salario Wi, donde (1/2)Wl < Wz < 2WI'

lmaginemos que hay dos trabajadores, cada uno de los cuales 5610puede



R ef er en c ia s / 51

solicitar trabajo en una de las empresas. Los trabajadores deciden si-

multaneamente si solicitar el trabajo de la empresa lode la empresa 2.

Si s610 un trabajador solicita trabajo en una de las empresas, dicho tra-

bajador obtiene el trabajo, Si ambos trabajadores solicitan trabajo en la

misma empresa, Ia empresa contrata a uno de enos aleatoriamente, yel

otro queda desempleado (1 0 que significa una gananda cero), Hallense

los equilibrios de Nash del juego en forma normaL (Para mas informacion

sobre los salarios que fijaran las empresas, consiiltese Montgomery [199lJ.)

Trabajador 2

Solicitar a Solicitar aempresa 1 empresa 2

Solicitar aempresa 1

1 1Wl,W22w1'2w1

W2,Wt1 1

iW2'zW2

Trabajador 1

Solicitar aempresa 2

Fecha 2

1.14 Demuestrese que la proposici6n Ben el apendice a la seccion Ll.C

secumple tanto para equilibrios de Nash con estrategias puras como con

estrategias mixtas: las estrategias utilizadas con probabilidad positiva en

un equilibrio de Nash con estrategias mixtas sobreviven al proceso de

eliminacion iterativa de las estrategias estrictamente dominadas,

1.6 Referencias

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