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El ensayo que Antonio Lazcano Araujopublica en este número de Ciencias

y que leyó en la presentación de Matemá-ticas para las ciencias naturales1 tiene lachispa, el buen humor y la erudición a losque Toño nos tiene acostumbrados. Loscomentarios, las anécdotas elegantes y do-cumentadas que salpican sus cuartillas,dan a los nombres de los estudiosos queél cita y pueblan hoy nuestros más respe-tados libros técnicos, una dimensión tan-giblemente humana y hacen de su gentilpresentación —que agradecemos por todolo que vale— un artículo interesante, edu-cativo y realmente disfrutable.

La forma en la que Lazcano caracteri-za la relación entre su disciplina de ori-gen, la ciencia biológica, y la nuestra, lamatemática, es muy sugestiva. Al señalarque se trata de un amasiato turbulento oun amor extravagante, asoma las naricesuna vieja disputa filosófica que Toño tocade soslayo y a la que nosotros queremosreferirnos explícitamente: se trata de dis-cernir la existencia de una disciplina quepueda legítimamente llamarse biologíamatemática o, en forma sucinta, bioma-temática.

El debate suscita con frecuencia reac-ciones encontradas y extremas, exacta-mente como las que se dan en una dispu-ta conyugal y cómo, en tales episodios, elno llamar al pan, pan, y al vino, vino, en-cona resentimientos y distancia en los ac-tores.

Por ejemplo, aquellos biólogos que to-man el reduccionismo mecanicista (sinmatemáticas) como método universal ensu disciplina, suelen adoptar una actitudpragmática respecto de las reflexiones fi-losóficas; olvidan toda la tradición huma-nista de las ciencias y parecen contentoscon ello; si hay algún método matemáti-co que les sirva, lo aprovechan pero pa-san de largo cuando alguien les invita apensar en las implicaciones epistemoló-gicas de ese uso.

Sin duda, el desdén de la filosofía es-trecha el horizonte y engendra errores,como el de creer a pie juntillas que todoen biología puede reducirse, por ejemplo,a describir secuencias de ADN. Sin em-

F a u s t i n o S á n c h e z G a r d u ñ o

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EL DIFÍCIL AMOR ENTRE

LA BIOLOGÍA Y LA

MATEMÁTICA

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bargo, es un hecho que hay enigmas esen-ciales de la vida —como la biología deldesarrollo, i.e. el proceso que lleva del ge-notipo al fenotipo y que da lugar a la emer-gencia de patrones, a la diferenciacióncelular, a la especialización de tejidos,

etcétera— inexplicables en términos so-lamente del código genético, cuya solu-ción exige, de inicio, admitir que la físi-ca y la matemática de este fin de siglohan empezado a hacer contribuciones no-tables a la comprensión de esos enigmas

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fundamentación neodarwinista de la teo-ría de la evolución que inició Galton yculminaron Haldane y Fisher”.

Nuestro primer empeño en esta discu-sión es dejar establecido que no es esa larelación interdisciplinaria que nos intere-sa: la estadística se encarga de recolectary presentar ordenadamente datos experi-mentales y de hacer inferencias que, porsu naturaleza, no pueden trascender el lí-mite del empirismo; es decir, los méto-dos estadísticos pueden ser muy valiososen la descripción de lo que ocurre, peroson estériles para explicar cómo o por qué.Esto quiere decir, también, que la búsque-da de relaciones causales, explicativas, nopertenece a su dominio.

No, nuestra concepción de la bioma-temática es semejante a la de la fisicama-temática: así como el ser humano piensasu circunstancia en el lenguaje natural, lafísica se piensa en matemáticas; y de ma-nera semejante a cómo la gramática, des-de la perspectiva chomskiana, con sus re-glas de generación y transformación, esel soporte para que los hablantes de unalengua desarrollen pensamientos compli-cados y sean capaces de expresar razonesy sentimientos completamente nuevos. Lalógica de la matemática permite consti-tuir, con las representaciones de las cosasfísicas, cuerpos de enunciados formalescuyos teoremas describen estructuras, ni-veles de interrelación, dinámicas, princi-pios generales o leyes. Por ello, no puedeser más grande la diferencia entre lo quenuestra biología matemática pretende y elempirismo estadístico.

DEL AMASIATO TURBULENTO

Pero, entonces, ¿qué relación puede ha-ber entre dos ciencias cuyas metodologíasy objetos de estudio son completamentediferentes? La biología estudia desde or-ganismos tan diminutos como los radio-larios o las amibas o, más pequeños aún,como las bacterias, hasta las imponentessequoias, los seres humanos y los enor-mes cetáceos; considera todos sus nive-les de organización y explora las relacio-

y que, muy probablemente, la respuestacorrecta dependa del auxilio de estas dosciencias.

Otros biólogos, quizá de mayor rai-gambre naturalista, suelen dejarse llevarpor el escepticismo, pues la inmensa va-riabilidad de la vida, el carácter esencial-

mente contingente con el que conciben suhistoria y la abrumadora complejidad—en el sentido de que en ellos actúan mul-titud de elementos interrelacionados demanera no simple— de sus fenómenos,les hacen creer que los procesos biológi-cos no pueden ser sometidos a leyes cau-sales porque, como se ve en la física, ta-les leyes empiezan siempre por idealizarlas cosas, y ese procedimiento, aplicadoal estudio de la vida, es notoriamente in-capaz de lidiar con ella.

Por esto, aunque respeten y aun aplau-dan “la mezcla medio explosiva de can-dor e interés” con la que físicos y mate-máticos pretenden extender sus métodosa la biología, no dejan de sonreír com-pasivamente como parece hacerlo Laz-cano al final de su artículo, pues posi-

blemente piensan que están “empeñadosen un intento condenado a fracasar. Po-brecitos”.

Sin embargo, tanto los desdeñososcomo los escépticos parecen coincidir enque un buen auxiliar para la investigaciónen biología es la estadística y, cuando seplantea el tema de la relación entre biolo-gía y matemática, suelen decir “ah, sí, cla-ro que no se puede entender la biologíacontemporánea sin la estadística” y agre-gan, “por ejemplo, es indispensable en la

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nes intra e interespecíficas a diferentes es-calas espaciales y temporales: examina lascaracterísticas macroscópicas de los orga-nismos y escudriña en su intimidad celu-lar y molecular; describe la breve historiade la vida de los individuos y trata de re-construir la sucesión de las especies en lainmensidad de los tiempos geológicos. Eltrabajo de un biólogo suele combinar la in-vestigación de campo con la de laborato-

rio; se enfrenta en su tarea, siempre direc-tamente, con la más maravillosa de lasrealidades físicas, la de la vida.

En cambio, la matemática es unaciencia formal y deductiva. Como lalógica o la gramática, posee un lengua-je propio. Por medio de sus símbolosestablece relaciones, orden y estructu-ras y, con base en supuestos sencillos yreglas de inferencia claras, obtiene con-secuencias ciertas dentro del aparatoformal en el que son deducidas. Aun-que la visión popular de la matemáticasuele suponer que sólo tiene que ver concantidades y figuras geométricas, en sumundo, al que se ha asomado incluso elpato Donald, hay mucho más que arit-

mética; los niveles de idealización sonprácticamente no acotados y se constru-yen modelos o formalizan teorías cuyarelación con los problemas de la reali-dad física, que frecuentemente los ins-piran, es secundaria en tanto su lógicaes completamente ajena a lo que pue-dan representar las ecuaciones. El de losmatemáticos, además, es un trabajo degabinete; si acaso, utilizan la computa-

dora como una herramienta, pero... Vol-vamos a la pregunta: ¿qué relación pue-de establecerse entre una ciencia que es-tudia a los seres vivos y otra que es pro-totipo de abstracción?

Hasta hoy, prácticamente en todas par-tes, la escuela dominante en biología tien-de sólo a describir, clasificar o narrar perono explica lo que ocurre con la vida. Elproblema de explicar, como se entiende enla física o la química, estableciendo rela-ciones causales para descubrir por qué larealidad de la vida es como es, con base enhipótesis o teorías que puedan ser refuta-das, no parece pertinente.

Por ello, al referirse al trabajo de D’ArcyThompson, a quien llama con justicia y

concisión “sombra tutelar” de los bioma-temáticos, Toño Lazcano afirma: “... aligual que algunos de sus contemporáneos,Thompson estaba convencido de que lasformas geométricas de los organismos re-presentaban soluciones optimizadas con lasque la materia viva respondía en formaplástica y polifilética ante la acción direc-ta de las fuerzas físicas. Pocos creen esohoy en día (el subrayado es nuestro)”.

En efecto, los miem-bros de la corriente do-minante no creen esoporque creen otra cosa.Por ejemplo, posible-mente creen que la dis-tribución espacial de laspartes de las plantas o laanatomía de los anima-les son ininteligiblesporque la selección na-tural es un proceso his-tórico, esencialmentecircunstancial, sujeto depuro azar y, por ello, aje-no a principios explica-tivos generales.

En cambio, el tipo deafirmación thompsonia-na que refiere Toño no esla expresión de un ele-mento doctrinario sinouna hipótesis biofísica;es decir, es un enunciadosujeto a refutabilidad.

Dadas las condiciones bajo las cuales sesupone válido, pueden confrontarse susconsecuencias con la realidad y, de acuer-do a esta confrontación, corregirse o to-marse como una plataforma para plantearhipótesis de mayor alcance explicativo. Porel contrario, las creencias son irrefutables.

Más adelante, Lazcano cita a StephenJay Gould: “los trabajos de David Raupcon fósiles de gasterópodos y amonitessugieren que en algunos casos (el subra-yado es nuestro) es posible explicar laforma de los organismos y sus partes re-conociendo la manera en que están de-terminadas jerárquicamente por unoscuantos factores mucho más sencillospero interconectados.”

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Y nosotros llamamos la atención so-bre el subrayado precautorio: si es posi-ble la explicación en algunos casos ¿quéinvalida la posibilidad de que sean facto-res sencillos interconectados los que go-biernen, en general, la arquitectura de to-dos los seres vivos? Nuevamente, sólo lacreencia de que eso no puede ser porquees de otra manera y una vez montados enla fe, lo de menos es ver ventajas adapta-tivas por todos lados.

A despecho de la reconvención aira-da del mismo Darwin queen la edición de 1872 de Elorigen de las especies ad-virtió que él no sostenía talcosa,2 los neodarwinistasafirman que todos los ras-gos que están presentes enla morfología de una espe-cie tienen que verse comoel resultado de la combina-ción de un cambio en elmedio ambiente, que habríareducido la probabilidad de sobreviven-cia de unos ancestros e incrementado lade otros, convirtiéndolos en los más ap-tos y en los únicos capaces de dejar des-cendientes.

En esta visión no caben las limitacio-nes estructurales, físicas y químicas na-turalmente impuestas sobre cualquierdinámica evolutiva. El mismo Stephen JayGould ha dicho que las historias adaptati-vas podrían llevar a decir —como el fa-moso doctor Pangloss de la novela volte-riana— que “las narices de los seres hu-manos están hechas no para respirar, sinopara portar los anteojos sobre ellas”.

Desde luego, las regularidades fibonac-cianas, las centenas de ejemplos de patro-nes que se encuentran en la obra deThompson, la multitud de semejanzasmorfológicas que se observan entre losseres vivos y la materia inanimada sonsorprendentes. Pero si nos limitamos aregistrarlas maravillados, como lo hanhecho tantos naturalistas hasta el día dehoy, nos dejaremos dominar por el pas-mo y estaremos muy lejos de una expli-cación, ya que hará falta complementarel asombro con el escepticismo, ingre-

dientes indispensables de la ciencia, se-gún Carl Sagan, y en la búsqueda consi-guiente de inteligibilidad.

D’Arcy Thompson encontró el por quéde las espirales que se forman por acu-mulación de material calcáreo; durante losúltimos veinte años, con avances y retro-cesos, se ha buscado explicar por qué lacoloración de los animales obedece a pro-cesos de reacción-difusión de las sustan-cias que dan el color sobre la piel y, re-cientemente, los físicos franceses Yves

Couder y Adrien Douady han dado conlos por qués del predominio de los núme-ros de Fibonacci en la arquitectura de lasplantas.

Estos procesos son, entonces, una con-secuencia inevitable de las leyes natura-les y no dejan lugar a accidentes históri-cos modulados por la selección natural.Por ejemplo, tal vez para la forma de lospétalos o el aroma de las flores sea im-portante el relato adaptacionista, pero eltrabajo de Couder y Douady parece ha-ber establecido que la arquitectura esen-cial de las plantas nada tiene que ver conventajas selectivas.

Pero, ¿existen leyes que gobiernan almundo biológico en el mismo sentidoque las leyes de la física mandan sobrela materia inanimada? O, acaso, ¿es lamateria viva diferente a la que componeel agua, las rocas, los mares, los plane-tas y las galaxias, de manera que la viday sus manifestaciones son incomprensi-bles, porque son el producto de desig-nios divinos o de una ciega y azarosavariación seguida de un retorno a ciertoorden, impuesto por la todopoderosa se-lección natural?

Si la primera pregunta se responde afir-mativamente y se renuncia de una vez ypara siempre a cualquier tipo de vitalis-mo, las leyes de la biología podrán ex-presarse, como las de la física, en el len-guaje preciso y claro de la matemática.En este caso, como dice Ian Stewart3, enuna de esas afirmaciones de talante pita-górico que llevan a los biólogos a ver afísicos y matemáticos del modo como losfamas ven a los cronopios en la mitologíacortazariana, con ternura reprobatoria:“el

siglo venidero presenciará una ex-plosión de nuevos conceptos ma-temáticos, de nuevos tipos de ma-temática creados por la necesidadde entender los patrones del mun-do viviente. Esas nuevas ideasinteractuarán con las ciencias bio-lógicas y físicas por caminos com-pletamente nuevos. Proveerán —si son exitosas— una comprensiónprofunda de ese extraño fenóme-no que llamamos “vida” en la cual

sus sorprendentes capacidades sean vistascomo algo que fluye inevitablemente desdela riqueza subyacente y la elegancia mate-mática de nuestro universo.

DEL AMOR EXTRAVAGANTE

Toño recuerda en su ensayo los modelosde D’Arcy Thompson, un zoólogo natura-lista que dominaba la geometría euclidia-na y destacaba la fecunda colaboración,que dio lugar a toda una escuela de la eco-logía de poblaciones, entre el fisicomate-mático Vito Volterra y Umberto D’Ancona,un biólogo pesquero. Sin embargo, el tra-bajo de Thompson es prácticamente des-conocido para la mayoría de los biólogosy sólo algunos ecólogos estudiaban, has-ta muy recientemente, los modelos de Lo-tka-Volterra.

En la práctica de la investigación bio-lógica, este amor extravagante ha dado aluz y ha alimentado muchas criaturas másque no tienen, en verdad, nada qué vercon “sistematizar y organizar el conoci-miento en términos cuantitativos”, comoresume Lazcano la capacidad humana dehacer matemáticas.

El debate suscita con frecuenciareacciones encontradas y extremas,exactamente como las que se dan

en una disputa conyugal, y cómo, en talesepisodios, el no llamar al pan, pan

y al vino, vino, encona resentimientosy distancia a los actores.

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De hecho, no es exagerado decir queen los campos más interesantes de la ma-temática moderna importan más las cua-lidades de los sistemas, y esto, no obs-tante, permite abordar problemas tanto deorden teórico como práctico.

Por ejemplo, un instrumento aparen-temente muy abstracto del análisis mate-mático, la transformada de radón, es fun-damental en técnicas médicas de recons-trucción no destructiva de órganos. Lataxonomía biológica, que fue durantemucho tiempo dominio exclusivo del na-turalismo, se hace hoy con base en la ló-gica matemática y la teoría de conjuntos.Esclarecer fenómenos como el superenrro-llamiento del ADN o identificar la acciónde topoisomerasas ha requerido el concur-so de topólogos especialistas en teoría denudos. De manera que las aplicaciones re-cientes y, previsiblemente, las que estánpor venir, de la matemática en la biologíaconfiguran más una ciencia de calidadesque de cantidades.

De mayor alcance y, a juicio nuestro,mucho más estimulantes, han sido los es-fuerzos por construir un aparato matemá-tico capaz de representar procesos genera-les como el origen de la vida y la morfo-génesis, caracterizados por la emergenciade un orden desde la materia “informe”,y la evolución biológica.

Estos temas resumen las preocupacio-nes que llevaron al embriólogo británi-co, Conrad Hal Waddington, a convocar—a mediados de la luminosa década delos sesenta— a físicos, biólogos y mate-máticos a discutir la posibilidad de fun-dar una biología teórica equiparable enmétodos y objetivos a la física teórica.4

En 1966 René Thom aborda estos pro-blemas y propone, con base en la teoríade catástrofes, traducir la dinámica mor-fogenética a un sistema de ecuaciones dereacción-difusión en donde la especiali-zación celular se caracteriza por regíme-nes de metabolismo local estable que re-sultan atractores de la cinética bioquími-ca y donde el significado funcional delos tejidos correspondientes se expresaen la estructura geométrica o topológicade los mismos.

Para convencer a los “espíritus es-trictamente empiristas, a la Bacon” delvalor de una teoría como la suya, Thomdice que es incorrecto suponer que unmodelo cuantitativo podría ser mejorporque, en última instancia, éste supo-ne un corte cualitativo de la realidad y“el objetivo final de la ciencia no es acu-mular datos empíricos sino organizar-los en estructuras más o menos forma-lizadas que los subsuman y los expli-quen, y para llegar a esta meta, hay que

tener ideas a priori sobre la manera enque ocurren las cosas, hay que tener mo-delos y teorías”.

Desarrollar ésta, que es la propuestade uno de los más profundos filósofos dela ciencia de nuestros días, es fundamen-tal para la buena relación entre matemáti-ca y biología, aunque Lazcano resientamás las “promesas incumplidas”, no deRené Thom sino de otros matemáticos,como Christopher Zeeman, que ingenua-mente creyeron tener una herramienta uni-

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Faustino Sánchez GarduñoDepartamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Uni-

versidad Nacional Autónoma de México.

José Luis Gutiérrez SánchezPrograma Interdepartamental de Agroecología, Universi-

dad Autónoma Chapingo (UACH) y Departamento de Ma-

temáticas, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional

Autónoma de México.

Notas y referencias

1. Gutiérrez Sánchez, José Luis y Faustino Sánchez Gar-

duño. 1998. Matemáticas para las ciencias naturales,

México, Sociedad Matemática Mexicana, Serie Tex-

tos Número 11.

2. Véase la discusión de Pedro Miramontes en su artícu-

lo “Biomatemáticas”, por aparecer en una antología

de ensayos publicada por el Centro Interdisciplinario

de Ciencias y Humanidades de la Universidad Nacio-

nal Autónoma de México.

3. Ian Stewart, 1998. Life’s Other Secret. The New Ma-

thematics of the Living World, Londres, The Penguin

Press.

4. Véase José Luis Gutiérrez Sánchez, “Waddington,

Thom y la Biología teórica”, en Clásicos de la Biolo-

gía matemática (editado por Faustino Sánchez Gar-

duño y Pedro Miramontes), México, Facultad de Cien-

cias, UNAM (en prensa).

5. Véase Pedro Miramontes op. cit.

6. Ian Stewart, op. cit.

versal de modelación en la teoría de ca-tástrofes.

Como se ve, más allá de la metáforadel amor difícil, la importancia del deba-te es mucha.6 En el fondo, éste se refierea la posibilidad de aplicar los métodos dela matemática a la biología, no sólo parala modelación de fenómenos o procesosparticulares —cosa que, como hemos vis-to sin demasiado esfuerzo, ya se hace conéxito en muchas ramas de las ciencias dela vida— sino para plantear, a semejanzade como se hace en física, teorías expli-cativas generales que puedan ser confron-tadas con la realidad para confirmar o re-futar sus leyes o teoremas.

Más aún, la polémica tiene que ver conel problema de si existe o no la unidad delas ciencias, tema que muchos filósofosde la biología se empeñan en dar por ter-minado, al resolverlo con una rotundanegativa, y para el que, como el ave fé-nix, renace de sus cenizas cada tanto.

Nosotros, desde luego, postulamos quesí hay tal unidad y que es la matemáticael lenguaje que se la da. Ian Stewart7 lodice de esta manera: “Ya pueden verse losprimeros y tenues destellos de esta nuevafusión de las ciencias. La matemática—nueva, vital, creativa— da forma, ahora,a nuestra comprensión de la vida en cadanivel: desde el ADN hasta los bosques tro-picales, desde los virus hasta las parvadasde pájaros, desde los orígenes de la primeramolécula que se copió a sí misma hasta lamajestuosa e indetenible marcha de la evo-lución. Reconocemos que, como toda nue-va ciencia, nuestra comprensión matemáti-ca de la biología está fragmentada, hechade pedazos y se presta a debate. Por incom-pletos o mal conceptualizados que pudie-ran finalmente resultar estos fragmentos, sonya absolutamente fascinantes. Especialmen-te para quienes tengan la imaginación sufi-ciente para ver hasta dónde podrían llevar...

Tal vez, Toño, amigo, es tiempo de se-guir la pauta del pato Donald y otros pita-góricos y empezar a tatuarnos, en la pal-ma de la mano, pentágonos con estrellasde cinco picos o de aprender a solfear laimpresionante y maravillosa música de lasesferas.

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