Ductilitatea elementelor de beton armat la incovoiere

Ductilitatea este o masura a capacitatii unui element sau sistem structural de a avea deformatii importante in domeniul postelastic inainte de colaps fara o reducere semnificativa a rezistentei.

Fig. 1. – Relatia forta deplasare pentru:

a), b) – materiale ductile;

c) – materiale fragile.

Comportarea elementelor este caracterizata prin existenta urmatoarelor domenii:

0-1 – domeniul de comportare elastica;

1-2 – domeniul de comportare plastica (cu sau fara ecruisaj);

2 – punct de rezistenta maxima;

2-3 – domeniu de degradare a rezistentei (acesta poate sa nu existe in cazul unor materiale ductile).

Daca deformatiile postelastice sunt mici sau daca rezistenta scade rapid cu cresterea deformatiei postelastice, comportarea se numeste fragila (figura 1-c).

Deformatiile postelastice sunt necesare din mai multe motive.

Un motiv este redistributia solicitarilor in cazul structurilor static nedeterminate, redistributie care se face cu deformatii postelastice si cu aparitia

1

fisurilor in cazul elementelor din beton armat. Prin redistributie se permite reducerea varfurilor de moment, si in consecinta o dimensionare economica.

Un alt avantaj al comportarii ductile il reprezinta avertizarea cedarii elementului – printr-o comportare ductila, deformatiile pot creste mult peste limita admisa si deci pot fi observate, astfel putand fi luate masuri in vederea evacuarii oamenilor si a bunurilor materiale.

Al treilea avantaj – pe care se bazeaza in mare parte proiectarea antiseismica a structurilor – il reprezinta posibilitatea disiparii a unei parti din energia indusa de cutremur. Aceasta energie este disipata prin deformatii postelastice in anumite zone prestalibite (Capacity Design) si permite dimensionarea structurii la forte mult mai mici decat in cazul comportarii elastice, de exemplu, in cazul structurilor din beton armat fortele seismice se pot reduce cu pana la 85% fata de cazul comportarii elastice a structurii.

Ductilitatea se poate ierarhiza in felul urmator:

- Ductilitate la nivelul materialului (legi constitutive ale materialelor –

relatii σ – ε);- Ductilitate la nivelul sectiunilor ( relatii moment – curbura);- Ductilitate la nivelul elementelor (relatii moment – rotire);- Ductilitate la nivelul structurilor (relatii forta – deplasare).

Ductilitatea de material:

In cazul elementelor din beton armat, ductilitatea la nivelul materialului este reprezentata de ductilitatea betonului, si ductilitatea otelului folosit pentru armarea elementului.

Ductilitatea otelului:

Proprietatile otelului sunt cel mai bine reprezentate prin curbe tensiune-

deformatie (σ-ε), obtinute prin incercari de intindere.

In urmatoarea figura este reprezentata o curba tensiune-deformatie, fiind ilustrate zonele caracteristice.

2

Fig. 2 – Curba tensiune – deformatie specifica pentru un otel ductil.

Graficul poate fi divizat in doua zone:

- Zona deformatiilor elastice – liniare. Deformatiile sunt direct proportionale cu efortul (aceasta zona este reprezentata printr-o portiune de dreapta, tangenta la aceasta dreapta reprezentand modulul de elasticitate al otelului, E) pana la atingerea rezistentei la curgere, σy.

- Zona deformatiilor plastice. Dupa atingerea rezistentei la curgere, deformatiile nu mai sunt direct proportionale cu incarcarea. Acestea cresc pana la atingerea rezistentei la intindere a otelului. Intr-o prima faza se poate observa fenomenul numit “curgerea otelului”, care este reprezentat printr-o parte aproape orizontala din grafic.

Limita de proportionalitate, σp, reprezinta punctul pana la care este valabila legea lui Hooke. Limita de curgere, σy, reprezinta valoarea efortului unic la care epruveta se deformeaza fara ca sarcina sa mai creasca.

Ductilitatea otelului este de obicei determinata cu ajutorul a doi parametri:

3

1. Raportul ft/fy (Rm/Re) – acesta parametru reprezinta raportul dintre rezistenta caracteristica la intindere a otelului si rezistenta caracteristica la curgere a otelului.

2. Alungirea la efort maxim (Agt) – acest parametru reprezinta alungirea corespunzatoare efortului maxim (σu).

In Eurocode 2 este facuta o clasificare a otelurilor functie de raportul f t/fy

si de alungirea la efort maxim (Agt). Astfel, se definesc trei clase de ductilitate:

- Clasa A – otel cu ductilitate scazuta (Agt ≥ 2,5% si ft/fy ≥ 1,05);- Clasa B – otel cu ductilitate medie (Agt ≥ 5,0% si ft/fy ≥ 1,08);- Clasa C – otel cu ductilitate ridicata (Agt ≥ 7,5% si ft/fy = 1,15..1,35);

Ductilitatea betonului:

Betonul simplu este un material care are o rezistenta la intindere mult mai mica decat la compresiune, de aceea in practica inginereasca, rezistenta la intindere este neglijata. In figura urmatoare sunt prezentate cateva curbe tensiune-deformatie specifica pentru betoane de diferite clase. Se poate observa ca odata cu cresterea clasei betonului ductilitatea acestuia scade. Ductilitatea betonului ca material este exprimata prin deformatia specifica

ultima εcu. Clasele uzuale de beton au deformatii specifice ultime de ordinul a 0.0035.

Fig. 3 – Curba tensiune-deformatie specifica pentru betoane de diferite clase. (Paulay & Priestley, 1992).

Betonul armat este un material de constructie care combina avantajele betonului simplu cu cele ale otelului. Totusi, pentru o buna conlucrare, si in

4

special pentru a asigura o buna ductilitate structurilor din beton armat sunt necesare respectarea unor serii de masuri constructive.

O cerinta fundamentala necesara pentru o comportare ductila a structurilor din beton armat o reprezinta confinarea betonului.

Acest fenomen poate fi pus in evidenta supunand un cilindru de beton la o presiune hidrostatica la care se adauga o compresiune suplimentara dupa directia axei cilindrului. Se poate observa ca atat rezistenta cat si deformatia ultima cresc cu presiunea laterala.

In practica, confinarea betonului se obtine de obicei prin intermediul unor armaturi transversale. Acestea impiedica deformatiile transversale ale betonului solicitat la compresiune, ceea ce induce o stare triaxiala de solicitare in beton - aceasta se numeste confinare pasiva. Efectul confinarii este de crestere a rezistentei la compresiune a betonului, dar mai ales a ductilitatii acestuia. Orientativ, deformatia specifica ultima a betonului confinat este de ordinul a 0,035, aproximativ de zece ori mai mare decat cea a betonului neconfinat (0,0035).

Efectul de confinare poate fi sporit prin urmatoarele moduri:

- reducerea distantelor dintre punctele de fixare a armaturilor longitudinale (reducerea distantelor s si al);

- marirea sectiunii etrierilor sau a rezistentei la curgere a acestora;- dispunerea unor armaturi longitudinale suficient de groase.

Au fost propuse mai multe modele pentru betonul confinat, unul dintre ele fiind propus de catre Mander.

5

Fig. 4 – Model Tensiune-Deformatie propus pentru model confinat si neconfinat. (Mander, 1988).

Pentru modelul din Eurocode 2, se da ecuatia pentru beton neconfinat, impreuna cu relatii pentru calculul deformatiilor specifice si a rezistentei betonului confinat.

Fig.5 – Grafic comparativ – beton confinat/beton neconfinat.

Ductilitatea de sectiune

6

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

5

10

15

20

25

30

35

40

necon-finat

ε

σ [M

Pa]

σ ( ε )={f cc [2 εεcc

−( εεcc )

2]−pentru ε<εcc

f cc−pentru εcc ≤ ε ≤ εuc

La structurile din beton armat, deformatiile plastice apar prin formarea de articulatii plastice in elementele solicitate la incovoiere. De aceea este utila analiza ductilitatii la nivel de sectiune, analizand relatia dintre moment si curbura.

Fig.6 – Definirea ductilitatii de sectiune (Paulay & Priestley, 1992)

Ductilitate sectionala poate fi definita prin urmatoarea expresie:μɸ= ɸm/ɸy, unde: μɸ - reprezinta factorul de ductilitate;

ɸm – curbura ultima (care este de obicei controlata de atingerea deformatiilor ultime in beton, εcu – zdrobirea betonului comprimat);ɸy – curbura la curgere din relatia biliniara [ ’ɸ y=εy/(d-cy)]cy – inaltimea zonei comprimate.Din relatiile de mai sus rezulta ca o zona comprimata mai mica duce la o ductilitate sectionala mai mare.Cei mai importanti factori care afecteaza ductilitatea de sectiune sunt urmatorii:- Deformatia specifica ultima a betonului, εcu: deoarece deformatia specifica ultima a betonului controleaza de obicei curbura ultima ɸm, valori mai ridicate ale εcu conduc la o ductilitate de sectiune sporita. Deformatia

7

specifica ultima a betonului poate fi imbunatatita prin confinarea acestuia.- Forta axiala creste inaltimea zonei comprimate la curgere si la atingerea deformatiei specifice ultime, ceea ce rezulta in cresterea curburii la curgere, ɸy si reducerea curburii ultime ɸm. In consecinta, ductilitatea de sectiune scade.- Rezistenta la compresiune a betonului sporita: o crestere a fck reduce inaltimea zonei comprimate la curgere si la deformatia ultima, de unde o curbura de curgere, ɸy mai mica, iar cea ultima ɸm mai mare. In consecinta, ductilitatea de sectiune μɸ creste. De precizat ca

odata cu cresterea clasei betonului, deformatia specifica ultima scade,

astfel incat pentru betoanele de clasa foarte ridicata, ductilitatea sectiunii poate sa scada.- Limita de curgere a armaturii mai ridicata conduce la o deformatie specifica de curgere, εy mai mare si deci la o ductilitate de sectiune μɸ redusa.

Ductilitatea de element

Cea mai convenabila masura a ductilitatii unui element o reprezinta deformatia acestuia.

8

Fig.7 – Diagrame de moment incovoietor si de curbura, precum si deformatiile unei console cu sectiune dreptunghiulara din beton armat.

Astfel, pentru o consola, ductilitatea poate fi definita prin urmatoarea expresie: μΔ= Δ/Δyunde Δ este deplasarea ultima a varfului consolei, iar Δy reprezinta delpasarea varfului consolei la curgere.Δy = ɸy*L2/3Atat timp cat momentul la baza consolei este mai mic decat momentul de curgere My, diagramele de moment incovoietor si de curbura sunt triunghiulare, cu valori maxime la baza consolei. Daca forta laterala creste, curbura de la baza consolei depaseste curbura de curgere, deformatiile inelastice inregistrandu-se pe o portiune Lp din lungimea consolei, L. Zona in care se concentreaza deformatiile inelastice se numeste articulatie plastica. Pentru o relatie bilineara moment – curbura, dupa atingerea momentului plastic in articulatia plastica, aceasta inregistreaza rotiri la un moment constant. Rotirea in articulatia plastica este egala cu

Өp = ɸp*Lp = (ɸm - ɸy)*LpDeplasarea de la varful consolei care se produce dupa formarea articulatiei plastice, se datoreaza in totalitate rotirii din articulatia plastica, si are valoareaΔp = Өp *(L-0.5* Lp) = (ɸm - ɸy)*Lp*(L-0.5* Lp)Folosind expresiile de mai sus, se stabileste urmatoarea relatie intre ductilitatea consolei μΔ si ductilitatea la nivel de sectiune μɸ : μΔ = 1+3(μɸ-1) *Lp(L-0.5 Lp)/L

9

Aceasta relatie poate fi folosita si pentru evaluarea ductilitatii unui element incovoiat. Totusi, exista mai multi factori care pot influenta capacitatea de deformatie plastica a elementelor structurale. Majoritatea dintre acestia au fost stailiti pe baza unor incercari experimentale si pe baza observatiilor comportarii structurilor la cutremurele din trecut.

Articulatia plastica

Articulatia plastica este reprezentata de zona din elementul structural pe lungimea careia se intind deformatiile inelastice.

10

Fig.8 – Articulatia plastica in cazul unei grinzi din beton armat.

In figura de mai sus este prezentata o grinda de beton armat care a atins curbura si momentul ultim in sectiunea critica. Se observa existenta unei zone pe care se intind deformatiile inelastice ( zona hasurata). Aceasta zona se numeste articulatie plastica. Pentru simplitate, se defineste o lungime conventionala, lp, numita lungimea articulatiei plastice, pe care curbura plastica se considera constanta. Cercetari privind lungimea articulatiei plastice si a factorilor care o influenteaza au fost efectuate de-a lungul timpului (Baker & Amarakone, 1964; Mattock, 1964; Dilger, 1966; Bachman, 1970; Park, 1972; Bae & Bayrak, 2008).

Studiile teoretice si experimentale au pus in evidenta o serie de factori care influenteaza lungimea articulatiei plastice:

- Inaltimea utila a sectiunii d: majoritatea formulelor empirice considera ca lp creste proportional cu d;

- Distanta pana la punctul de inflexiune z: lp creste proportional cu z;- Prezenta fisurilor din forta taietoare: produce cresterea efortului in

armatura longitudinala si impliict alungirea zonei inelastice;- Diametrul armaturii longitudinale: dincolo de punctul de incastrare,

deformatiile mari ale armaturii aflata in domeniul inelastic se transmit pe o anumita lungime;

- Marimea fortei axiale de compresiune: in general se considera ca duce la marirea lp, dar unele rezultate experimentale sunt contradictorii.

Estimarea lungimii articulatiei plastice:

Exista numeroase formule propuse pentru determinarea lungimii articulatiei plastice, dar este inca un subiect pentru care nu s-a ajuns la un consens.

Mander (1983): Dupa examinarea rezultatelor experimentale, Mander a concluzionat ca cele mai mari contributii la deformatiile plastice le aduc urmatoarele doua fenomene: (i) plasticizarea in lungul elementului din cauza gradientului de moment si (ii) fenomenul de curgere a armaturii dincolo de limitele articulatiei plastice (yield penetration). Lungimea provenita din

11

curgerea armaturii in afara limitelor articulatiei plastice poate fi scrisa functie de diametrul barei:

Lpy= 32√db

S-a constatat ca lungimea aditionala a articulatiei plastice, provenita din gradientul de moment este aproximativ 6% din lungimea stalpului. Astfel, lungimea articulatiei plastice a fost aproximata la valoarea:

Lp= 32√db + 0.06L

Bae (2005): In urma rezultatelor experimentale, efectuand teste pe stalpi a observat ca esista o relatie intre lungimea articulatiei plastice si diferiti parametri, cum ar fi:

- Raportul lungime stalp/inaltime sectiune (L/h);- Marimea fortei axiale;- Procentul de armare longitudinala.

Astfel, a constatat ca lungimea articulatiei plastice creste odata cu cresterea raportului L/h, si acest efect devine mai pronuntat odata cu cresterea fortei axiale.

Fig.9 – Relatia intre lungimea articulatiei plastice si raportul L/h (Bae 2005).

Din figura urmatoare se poate observa ca pentru forte axiale mici (P≤0.2P0) lungimea articulatiei plastice este aproape constanta. Lungimea articulatiei plastice creste odata cu cresterea fortei axiale (P>P0).

12

Fig.10 – Relatia intre lungimea articulatiei plastice si incarcarea axiala (Bae 2005).

De asemenea, s-a mai constatat ca lungimea articulatiei plastice creste odata cu cresterea coeficientului de armare longitudinala.

Fig.11 – Relatia intre lungimea articulatiei plastice si coeficientul de armare longitudinala (Bae 2005).

Paulay & Priestley (1992):

Se poate considera ca o alternativa rezonabila adoptarea unei formule simple de calcul, ca cea propusa de Paulay & Priestley, 1992:

lp = 0,08z + 0,022dbfy ≈ 0,5h

unde db – diametrul barelor longitudinale;

fy – limita de curgere a armaturii longitudinale;

z – bratul de parghie al armaturilor longitudinale.

13

Studiu de caz:

Capacitatea de rotire a zonei plastice în cazul stâlpului din beton armat supus la încovoiere cu forţă axială de compresiune.

Se considera stalpul din figura:

14