Capitolul 1

Retele de activitate. Metoda

drumului critic

1.1 Notiunea de graf

Fie X o multime nevida si cel putin numarabila de elemente numitenoduri sau varfuri.

Definitia 1.1.1 Numim graf perechea (X,Γ), unde Γ ⊆ X × X, adica o

multime de perechi ordonate sau nu de elemente din X.

Daca X este o multime finita, atunci graful (X,Γ) se numeste graf

finit, ın caz contrar se zice ca avem un graf infinit.

Definitia 1.1.2 Daca toate perechile distincte din Γ sunt ordonate, graful se

numeste orientat. In cazul contrar, graful se numeste neorientat.

Pentru un graf orientat (X,Γ) perechea ordonata (x, y) ∈ Γ, x, y ∈ X,se numeste arc, x fiind extremitatea initiala, iar y extremitatea finalaa arcului. In cazul unui graf neorientat o pereche neordonata (x, y) ∈ Γ,x, y ∈ X se numeste muchie.

Observatia 1.1.1 In afara grafurilor din Definitia ?? mai exista si grafuri

ın care multimea Γ consta atat din arce cat si din muchii. Aceste grafuri se

numesc grafuri mixte.

In continuare noi o sa lucram numai cu grafuri orientate si finite, faraa mai specifica acest lucru, mentionand totusi ın cateva locuri si denumireanotiunilor corespunzatoare de la grafurile neorientate.

Un graf orientat si finit va fi notat prin (X,Γ), undeX = {x1, x2, . . . , xn}va reprezenta multimea varfurilor, iar Γ multimea arcelor.

Un graf (X,Γ) se reprezinta geometric ın modul urmator:a) fiecare varf este reprezentat printr-un punct din plan;b) fiecare arc (xi, xj) ∈ Γ se reprezinta printr-o linie (dreapta sau curba) careuneste cele doua extremitati si pe care se afla o sageata cu sensul de la xi laxj (vezi fig.1). Daca xi coincide cu xj, zicem ca avem o bucla.

Este de mentionat faptul ca astfel de ”scheme” se ıntalnesc cu o marefrecventa sub diverse nume ın diverse domenii: sociograme (ın psihologie,sociologie), simplexe (ın topologie), circuite electrice (ın fizica, electronica),diagrame de organizare (economie, retele de comunicatie, chimie), arborigenealogici, etc. Teoria grafurilor are deci obiect de studiu un instrumentmatematic util stiintelor de comportament, teoriei informatiei, teoriei jocurilor,teoriei retelelor de transport, teoriei multimilor, precum si altor domenii.

Fig.1

Intr-un graf neorientat muchia se reprezinta printr-un arc fara sageata.Intr-un arc (xi, xj) varful xi se numeste predecesorul lui xj, iar xj

succesorul lui xi.

1

Exemplul 1.1.1 Graful (X,Γ) dat prin X = {x1, x2, x3, x4, x5}, Γ =

{(x1, x2), (x1, x3), (x1, x4), (x2, x3), (x3, x2), (x2, x4), (x3, x4), (x3, x5), (x4, x5)} este

reprezentat ın Fig. 2. In aceeasi figura este reprezentat si graful neorientat

corespunzator lui.

Fig.2

Definitia 1.1.3 Fie (X,Γ) un graf dat. Numim subgraf al grafului dat, un

graf (X1,Γ1), unde X1 ⊂ X si Γ1 ⊂ Γ.

Subgraful (X1,Γ1) se obtine din graful (X,Γ) prin suprimare a unuia

sau a mai multor varfuri si a arcelor aferente lor.

Definitia 1.1.4 Numim drum ıntr-un graf o succesiune de arce, adiacente

doua cate doua, la fel orientate, la care extremitatea finala a unui arc coin-

cide cu extremitatea initiala a arcului precedent.

Un drum ın care extremitatea finala a ultimului arc coincide cu extrem-

itatea initiala a primului arc se numeste circuit.

Un drum se da prin scrierea ıntre acolade (sau alte tipuri de paran-

teze) a succesiunii varfurilor prin care trec arcele care constituie drumul sau

mentionand arcele din care se compune.

Definitia 1.1.5 Numarul de arce dintr-un drum se numeste lungimea lui.

Definitia 1.1.6 Matricea patratica B = (bij), i, j = 1, n, definita astfel

bij =

{1 , daca (xi, xj) ∈ Γ

0 , daca (xi, xj) ∈ Γ

se numeste booleana (asociata) atasata grafului (X,Γ)

2

Exemplul 1.1.2 Fie (X,Γ) graful din Fig. 3.

Fig.3

Matricea booleana atasata grafului este

B =

x1 x2 x3 x4 x5

x1 0 1 1 0 0x2 0 0 0 1 0x3 0 1 0 0 1x4 0 1 0 0 1x5 0 0 0 0 0

Definitia 1.1.7 Matricea patratica D = (dij), i, j = 1, n, definita astfel

dij =

{1 , exista drum de la xi la xj

0 , nu exista drum de la xi la xj,

se numeste matricea drumurilor atasata grafului (X,Γ).

Exemplul 1.1.3 Pentru graful din Fig 3 matricea drumurilor este

D =

x1 x2 x3 x4 x5

x1 0 1 1 1 1x2 0 1 0 1 1x3 0 1 0 1 1x4 0 1 0 1 1x5 0 0 0 0 0

Definitia 1.1.8 Matricea patratica L = (lij), i, j = 1, n, definita astfel

lij =

{xixj , daca (xi, xj) ∈ Γ

0 , daca (xi, xj) ∈ Γ

se numeste matricea latina atasata grafului (X,Γ).

3

Exemplul 1.1.4 Pentru graful din figura 3 matricea latina este

L =

x1 x2 x3 x4 x5

x1 0 x1x2 x1x3 0 0x2 0 0 0 x2x4 0x3 0 x3x2 0 0 x3x5

x4 0 x4x2 0 0 x4x5

x5 0 0 0 0 0

In rezolvarea unor probleme teoretice sau practice se introduc si altetipuri de matrice atasate unui graf, care se defineste ın cadrul respectiv.

1.2 Probleme de optim ın grafuri

In multe probleme practice suntem pusi ın situatia de a atasa fiecaruiarc din graful asociat problemelor respective un numar (timp de deplasarede-a lungul arcului, cost de transport de-a lungul arcului, beneficiu etc.)care, ıntr-o astfel de situatie, se interpreteaza ca lungimea sau capacitateaarcului. De obicei, ıntr-o astfel de problema practica se cere drumul delungime optima (maxima sau minima).

Vom mai considera ca graful asociat problemei nu are circuite, dar areun varf de intrare x1 si un varf de iesire xn.

1.2.1 Algoritmul Bellman

Algoritmul elementar Bellman are la baza principiul de optimalitate allui Bellman: orice politica optimala este formata din subpolitici op-timale.

Prin acest algoritm fiecarui varf xi i se ataseaza un numar di, reprezentandlungimea minima a drumurilor de la x1 la xi.

Consideram d1 = 0. Acum, sa presupunem ca dorim sa gasim pe dl,unde varful xl este succesorul varfurilor xi, xj si xk, la care au fost dejacalculate numerele di, dj si dk. Atunci lungimea minima dl de la x1 la xl sedetermina prin formula

dl = min(di + cil, dj + cjl, dk + ckl)

unde cil, cjl si ckl sunt capacitatile corespunzatoare arcelor (xi, xl), (xj, xl) si(xk, xl).

In formula lui dl subliniem ın paranteze valoarea pentru care minimuleste atins. Dupa determinarea tuturor numerelor d1, d2, . . . , dn, valoarea luidn este lungimea minima a drumului de la x1 la xn, iar pornind de la xn sprex1 si citind varfurile subliniate, obtinem drumul de lungime minima.

4

Pentru un drum de lungime maxima se lucreaza ın mod analog, ınlocuindminimul cu maximul.

Exemplul 1.2.1 Pentru graful din Fig. 4 sa se afle drumul de lungime

minima.

Fig.4

Avem succesiv:

d1 = 0,d3 = min{d1 + 7} = 7,d2 = min{d1 + 2, d3 + 4} = min{2, 10} = 2,d4 = min{d2 + 3, d3 + 9} = min{5, 16} = 5,d5 = min{d2 + 4, d4 + 8} = min{6, 13} = 6,d6 = min{d5 + 3, d4 + 2} = min{9, 7} = 7,d7 = min{d5 + 9, d6 + 7} = min{15, 14} = 14.

Prin urmare, lungimea minima este 14, iar drumul care are aceastalungime este: dmin = {x1, x2, x4, x6, x7}. In Fig.4 arcele drumului minimsunt dublate cu linie ıntrerupta.

Exemplul 1.2.2 Pentru graful din Fig. 5 sa se afle drumul de lungime

maxima.

5

Fig.5

Avem succesiv:

d1 = 0,d2 = d1 + 2 = 2,d3 = max{d2 + 9, d2 + 14} = 16,d4 = d2 + 5 = 7,d5 = d4 + 7 = 14,d6 = d2 + 3 = 5,d7 = max{d3 + 4, d6 + 8} = max{20, 13} = 20,d8 = max{d5 + 5, d7 + 10} = max{19, 30} = 30,d9 = d7 + 9 = 29,d10 = d7 + 9 = 29,d11 = d8 + 8 = 38,d12 = max{d10 + 5, d11 + 0} = max{34, 38} = 38,d13 = max{d11 + 7, d12 + 6, d9 + 10} = max{45, 44, 39} = 45,d14 = d13 + 3 = 48.

Prin urmare, lungimea maxima este 48, iar drumul care are aceastalungime este: dmax = {x1, x2, x4, x5, x3, x7, x8, x11, x13, x14}. In Fig.5 arceledrumului maxim sunt dublate cu linie ıntrerupta.

1.2.2 Algoritmul Bellman–Kalaba

Pentru determinarea drumului optim ıntre doua varfuri ale unui graf se cal-culeaza, ın etape succesive, pentru fiecare varf, cote (valori de marcaj).

Ideea de baza este aceeasi ca si la procedeul elementar, dar acum calcululse realizeaza mai simplu, prin introducerea unei ınmultiri speciale a uneimatrice cu o coloana a sa.Notam cu C = (cij)i,j=1,n, matricea ın care elementele cij sunt date prin

cij =

l(xi, xj), daca exista arcul (xi, xj),0, daca i = j,•, daca nu exista arcul (xi, xj),

unde l(xi, xj) reprezinta valoarea atasata arcului (xi, xj) al grafului, simbolul”•” reprezinta +∞ (sau un numar foarte mare pozitiv), cand se cere drumulde lungime minima, respectiv −∞ (sau un numar foarte mare, ın modul,negativ), cand se cere drumul de lungime maxima.

Notam cu l(k)i , i = 1, n, valoarea (cota) atasata varfului xi ın etapa k,

unde, de obicei, se ia l(1)i = cin, cand se cauta drumul de lungime optima

ıntre x1 si xn.Se determina valorile l

(k)i , pas cu pas, prin rezolvarea sistemului

l(k)i = min

j=1,n

(cij + l

(k−1)j

), k = 2, 3, . . . , i = 1, n,

6

cand se cere drumul de lungime minima.Algoritmul se ıncheie atunci cand l

(k)i = l

(k+1)i , iar l

(k)1 reprezinta lungimea

minima a drumului de la x1 la xn.Pentru a stabili efectiv drumul de lungime minima se procedeaza astfel:

pornind de la x1, pentru fiecare arc (xi, xj) se decide apartenenta sa la drumul

minim daca l(k)j − l

(k)i = cij = l(xi, xj).

Observatia 1.2.1 Etapele algoritmului se pot organiza astfel:

–l(1)i reprezinta ultima coloana a matricei C;

– se ınmulteste matricea C cu aceasta coloana l(1)i dupa regula: ”.” se ınlocuieste

cu ”+”, iar ”+” se ılocuieste cu ”min” (astfel se determina valorile l(2)i );

–se continua succesiv pentru diferite valori ale lui k, pana cand se obtin doua

coloane identice (l(k)i = l

(k+1)i ).

Exemplul 1.2.3 Sa se determine drumul de lungime minima ıntre varfurile

x1 si x7 din graful din Fig.6.

Fig.6

Scriem matricea C a grafului dat, unde, ın cazul drumului de lungimeminima, simbolul ”• ” ınseamna ”+∞”, si calculam valorile l

(k)i ın modul

indicat. Avem succesiv

C =

0 5 3 7 • • •• 0 2 • 4 • •• • 0 • 6 5 •• • 1 0 • 8 •• • • • 0 4 10• • • • • 0 9• • • • • • 0

7

l(1)i =

••••1090

, l

(2)i =

•1414171090

, l

(3)i =

171414151090

, l

(4)i =

171414151090

.

Cum l(3)i = l

(4)i algoritmul se incheie. Avem

lmin(x1, x7) = l(3)1 = 17,

iar drumul de lungime minima se afla prin selectarea arcelor (xi, xj) pentru

care l(k)j − l

(k)i = cij. Obtinem ca arcele de pe drumul de lungime minima

sunt (x1, x3), (x3, x6) si (x6, x7).

Exemplul 1.2.4 Sa se determine drumul de lungime maxima ıntre varfurile

x1 si x7 din graful din Fig. 6.

Scriem matricea C a grafului dat, unde, ın cazul drumului de lungimemaxima, simbolul ”• ” ınseamna ”−∞”, si calculam valorile l

(k)i ın modul

indicat. Avem succesiv

C =

0 5 3 7 • • •• 0 2 • 4 • •• • 0 • 6 5 •• • 1 0 • 8 •• • • • 0 4 10• • • • • 0 9• • • • • • 0

l(1)i =

••••1090

, l

(2)i =

•1416171390

, l

(3)i =

241819171390

,

l(4)i =

242119201390

, l

(5)i =

272119201390

, l

(6)i =

272119201390

.

8

Cum l(5)i = l

(6)i algoritmul se incheie. Avem

lmax(x1, x7) = l(5)1 = 27,

iar arcele drumului de lungime maxima sunt: (x1, x4), (x4, x3), (x3, x5),(x5, x6) si (x6, x7).

Exemplul 1.2.5 Folosind algoritmul Bellman-Kalaba, sa se determine dru-

murile de lungime minima si maxima ıntre varfurile x1 si x6 ın graful din

Fig.7.

Fig.7

Scriem matricea C a grafului dat si calculam valorile l(k)i , succesiv, prin

relatiile

l(k)i = min

j=1,n

(cij + l

(k−1)j

), k = 2, 3, . . . , i = 1, n.

Avem succesiv

C =

0 7 9 11 18 20• 0 10 6 8 14• • 0 • • 8• • • 0 3 12• • • • 0 8• • • • • 0

,

l(1)i =

201481280

, l(2)i =

171481180

, l(3)i =

171481180

.

9

Intrucat l(2)i = l

(3)i algoritmul se ıncheie. Avem lmin(x1, x6) = 17, iar drumul

de lungime minima se afla prin selectarea arcelor (xi, xj) pentru care

l(k)j − l

(k)i = cij. Obtinem astfel urmatoarele arce: (x1, x3) si (x3, x6).

Pentru drumul de lungime maxima procedam la fel, dar ”min” se schimbacu ”max”. Avem succesiv

C =

0 7 9 11 18 20• 0 10 6 8 14• • 0 • • 8• • • 0 3 12• • • • 0 8• • • • • 0

,

l(1)i =

201481280

, l(2)i =

261881280

, l(3)i =

261881280

.

Astfel lmax(x1, x6) = 26, iar drumul de lungime maxima este format dinarcele: (x1, x5) si (x5, x6).

1.3 Retele de activitate

Exista o serie de probleme, care se pot transpune ın grafuri. La acesteaurmeaza sa se determine o serie de elemente semnificative, din mai multepuncte de vedere.

Metoda drumului critic este folosita ın rezolvarea problemelor de man-agement al proiectelor. Aceasta metoda lucreaza cu timpi bine determinati,asociati fiecarei activitati si permite, totodata, atat estimarea costurilor, catsi a timpului de executie a proiectului. Este o metoda determinista, carepermite controlul timpului si costului de executie a unui proiect, prin deter-minarea drumului critic al acestuia.

SCOPUL METODEI DRUMULUI CRITIC:Scopul principal al folosirii metodei ıl reprezinta identificarea corecta

a activitatilor critice si furnizarea catre manager cel putin a urmatoarelorinformatii:

• care activitati sunt critice;

• care activitati sunt necritice;

• ce rezerva de timp au activitatile necritice pentru a nu deveni critice.

Managementul prin exceptie presupune exercitarea controlului doar asupraactivitatilor critice (la proiecte foarte mari, care implica mii de activitati,

10

nu se pot supraveghea toate acestea, ci numai cele care au o importantadeterminanta asupra duratei de timp necesara terminarii proiectului).

CARACTERISTICILE METODEI DRUMULUI CRITIC:Acesta metoda are foarte multe caracteristici, dintre care sunt prezentate

urmatoarele:

• Formeaza baza planificarii si predictiei proiectului si furnizeaza conduc-erii proiectului posibilitatea de a gasi cea mai buna folosinta a resurselorın scopul obtinerii unui rezultat cunoscut, ıntr-un timp limitat si avndcosturi limitate.

• Permit o viziune schematica a proiectului si totodata controlul asupraproiectelor unice.

• Ajuta echipa de management al proiectului sa rezolve probleme de in-certitudine care pot aparea ın desfasurarea proiectului, prin gasirearaspunsurilor la ıntrebari de genul: Cum va fi afectata terminareaproiectului de o ıntarziere pentru anumite elemente (activitati, eveni-mente) ale sale? Unde exista rezerve de timp ıntre elemente? Careelemente sunt determinante pentru respectarea termenului proiectului?Aceste raspunsuri furnizeaza conducerii proiectului mijloace de evalu-are a alternativelor/optiunilor la ındemana pentru redresarea situatiei.

• Utilizeaza o asa numita analiza de tip retea a timpului drept metoda debaza pentru determinarea fortei de munca, a materialelor si a echipa-mentelor si, totodata, pentru furnizarea mijloacelor de verificare a pro-gresului facut ın desfasurarea proiectului.

• Furnizeaza structura de baza pentru prezentarea rapoartelor de infor-mare.

• Evidentiaza interdependentele dintre elementele sale.

• Permit exercitii de genul ”Ce se ıntampla daca ...”.

• Identifica cel mai lung traseu sau drumul critic.

• Permit stabilirea termenelor pentru efectuarea analizelor de risc.

Ne fixam atentia asupra unei lucrari mari, care se poate descompune ıntr-o multime de operatii (activitati elementare). Graful atasat acestei lucrarieste reteaua de activitati, adica un graf conex, orientat, fara circuite,cu un singur varf de intrare ın graf x1 si un singur varf de iesire din grafxn. Varfurile grafului sunt evenimente, de ınceput respectiv de sfarsit deoperatie, iar arcele reprezinta operatiile. Lungimea unui arc este durataoperatiei respective.

Construirea retelei de activitati se va realiza pe baza tuturor conditiilortehnologice, respectiv logice.

Drumul critic- drumul de lungime maxima- este constituit din arce cesunt operatii critice, adica acele operatii care nu pot ıntarzia, sau nu-si potprelungi durata, fara ca sa fie afectat termenul de ıncheiere a ıntregii lucrari.

11

In graf unele operatii se pot reprezenta, caci asa se desfasoara, ın serie(deci una dupa alta), iar alte operatii se desfasoara ın paralel (simultan).Uneori se introduc si operatii fictive de durata zero, cu scopul sublinieriifaptului ca o operatie nu poate ıncepe pana nu sunt ıncheiate alte douaoperatii care se desfasoara ın paralel.

Dupa reprezentarea lucrarii ın reteaua de activitati, se trece la deter-minarea celor doua categorii de elemente:

1. pentru varfuri:–ti-timpul cel mai scurt (devreme) de realizare a evenimentului xi .–si-timpul cel mai lung (tarziu) de realizare a evenimentului xi ;2. pentru arce:–mij- rezerva (marja) libera de timp a operatiei (xi, xj),–Mij-rezerva(marja) totala de timp a operatiei (xi, xj).Sa vedem acum cum se determina aceste elemente.Pentru evenimentul xi timpul cel mai devreme de realizare ti este lmax(x1, xi),

deoarece toate succesiunile de operatii, care ıncep ın x1 si se termina ınxi, deci si acelea cu durata maxima, trebuie sa fie realizate, adica ti =lmax(x1, xi).

Astfel tn reprezinta timpul cel mai devreme de realizare a evenimentuluixn, deci a ıntregii lucrari, dar care nu este altceva decat lmax(x1, xn). Deci,drumul de lungime maxima este drumul critic, format din arcele care suntoperatii critice.

Pentru evenimentul xi timpul cel mai tarziu de realizare si se va determinaavand ın vedere faptul ca sn = tn. Astfel obtinem si = sn − lmax(xi, xn) =tn− lmax(xi, xn), deoarece toate succesiunile de operatii care ıncep ın xi, decisi aceea cu durata maxima, trebuie sa se poata ıncheia pana la momentulcand se realizeaza xn, adica tn.

Evident pe drumul critic are loc egalitatea ti = si.Pentru operatia (xi, xj) se determina rezerva libera mij prin relatia

mij = tj − ti − l(xi, xj),

iar rezerva totala Mij, prin relatia

Mij = sj − ti − l(xi, xj).

Astfel mij reprezinta timpul ce se poate scurge de la cel mai devremetermen de ıncheiere a operatiei (xi, xj) pana la cel mai devreme termen derealizare a evenimentului xj, iar Mij reprezinta timpul ce se poate scurge dela cel mai devreme termen de ıncheiere a operatiei (xi, xj) pana la cel maitarziu termen de realizare a evenimentului xj.

Determinarea tuturor acestor elemente se poate realiza comod prin ıntocmireaunui tabel de formai j lij = l(xi, xj) ti tj sj mij Mij

Observatia 1.3.1 Operatiile fictive nu se trec ın tabelul final.

Algoritm:1. Se gaseste drumul de lungime maxima x1 → xn (drumul critic).

12

2. Fiecarui varf i se atasaza o casuta de forma ti | si ıncepand cucele corespunzatoare varfurilor de pe drumul critic, unde si = ti, sicontinuand cu celelalte varfuri.3. Se trec datele obtinute ın tabelul descris mai sus si se com-pleteaza coloanele corespunzatoare lui mij si Mij.

1.4 Aplicatie numerica

Dorim sa determinam elementele ce caracterizeaza urmatoarea retea de ac-tivitati reprezentata in Fig. 8.

Fig.8

1. Cu ajutorul unui algoritm de determinare a drumului optim ıntr-un graf(de exemplu: Bellman, Bellman-Kalaba, Ford) se gaseste lmax(x1, x14) = 48si dmax = (x1, x2, x4, x5,x3, x7, x8, x11, x13, x14), adica drumul critic:

Fig.9

2. Adaugam fiecarui varf de pe drumul critic casutele ti | si, unde avemti = si, si continuand cu celelalte varfuri:

13

Fig.10

3. Se trec datele ın tabel si se completeaza coloanele mij si Mij:i j lij ti tj sj mij Mij

1 2 2 0 2 2 0 0222

346

953

222

1675

16712

500

507

3 7 4 16 20 20 0 04 5 7 7 14 14 0 055

38

25

1414

1630

1630

011

011

6 7 8 5 20 20 7 7777

8910

1099

202020

302929

303534

000

055

8 11 8 30 38 38 0 09 13 10 29 45 45 6 610 12 5 29 38 39 4 511 13 7 38 45 45 0 012 13 6 38 45 45 1 113 14 3 45 48 48 0 0

Observatia 1.4.1 Drumul critic este

dmax = (x1, x2, x4, x5, x3, x7, x8, x11, x13, x14) ,

adica acela format din operatii critice. Operatiile critice se recunosc ın tabelul

de mai sus, anume sunt acelea la care ambele rezerve de timp sunt nule

(mij = Mij = 0). Timpul cel mai devreme de ıncheiere a ıntregii lucrari este

48, adica durata (lungimea maxima) drumului critic.

14

Bibliografie

[1] Acu, D., Acu, M., Dicu, P. , Acu, A.M., Matematici aplicate ın economieVolumul I - Elemente de algebra, programare liniara si teoria grafurilorsi probleme de transport, Editura Universitatii ”Lucian Blaga” din Sibiu,2001.

[2] Acu, A.M., Acu, M., Dicu, P., Matematici aplicate ın economie - El-emente de algebra, programare liniara si teoria grafurilor - Probleme,Editura Universitatii ”Lucian Blaga” din Sibiu, 2001.

[3] Blaga, P., Muresan, A., Matematici aplicate ın economie, vol.I, II, Tran-silvania Press, Cluj–Napoca, 1996.

15