Download - Wassersto - ahnliche Atome · Einfuhrung in der Theorie des ein-Elektron-Systeme (also Wassersto -Atome oder Wassersto - ahnliche Ionen) geben und einiges ub er die Dirac-Gleichung

Kapitel III

Wasserstoff-ahnliche Atome

Dieses Kapitel1 ist dem Atom und seiner theoretischen Beschreibung gewidmet. In der Atom-physik betrachtet man quantenmechanische Zustande von atomaren Schalen. Das einfachste undam meisten studierte Problem ist das Problem des Wasserstoff-Atoms. In erster Naherung kannman das Wasserstoff-Atom als ein nicht-relativistisches System von zwei Teilchen, ein Proton(oder allgemeiner ein positiver Kern) und ein Elektron, die miteinander durch die Coulomb-Wechselwirkung gebunden sind, betrachten. Dieses einfaches Problem kann man mit Hilfeder Schrodinger-Gleichung losen, und damit die Energie-Niveaus des Wasserstoff-Atoms finden.Die Schrodinger-Gleichung liefert die Energie-Niveaus, die schon von dem Bohr-Modell bekanntwaren. Allerdings, selbst wenn das theoretisch berechnete Wasserstoff-Atom Energiespektrumgrob dem Experiment entspricht, ist die Ubereinstimmung weit von perfekt und fur eine exacteBeschreibung muss man das Problem relativistisch betrachten. Eine relativistische Beschreibungdes Wasserstoff-Atoms ist durch die Dirac Gleichung gegeben.

Die Dirac-Gleichung berucksichtigt den Spin vom Elektron, ein Effekt der rein relativistischist. Damit kann man die Feinstruktur der atomaren Spektren erklaren. Weitere Korrekturenzu den von der Dirac-Gleichung gegebenen atomaren Niveaus wie die Lamb-Verschiebung unddie Hyperfeinstruktur beziehen sich auf der Kopplung des Elektrons zu dem Strahlungsfeld unddem Kernspin. Auch die Kerneigenschaften, wie z.B. seine Masse und raumliche Ausdehnungkonnen die Spektren von Atomen beeinfussen. In den folgenden Abschnitten wollen wir eineEinfuhrung in der Theorie des ein-Elektron-Systeme (also Wasserstoff-Atome oder Wasserstoff-ahnliche Ionen) geben und einiges uber die Dirac-Gleichung und die weiteren Korrekturen, diein den Atomarenspektren zu sehen sind, erlautern.

III.1 Die Suche nach einer relativistischen Quantenmechanik

Die Schrodinger-Gleichung fur das Wasserstoff-Atom, die bereits in der Quantenmechanik-Vorlesung angesprochen und gelost worden ist, betrachtet nicht relativistisch das Problem einesElektrons in einem vom positiven Kern erzeugten Zentralfeld. Dieses Problem hat eine radi-ale Symmetrie und kann sehr schon in Kugelkoordinaten gelost werden. Damit kann man dieWellenfunktion des Elektrons erfahren, Ψ(r, θ, φ) = Rnl(r)Ylm(θ, φ), die von der Hauptquanten-zahl n, der Drehimpulsquantenzahl l, l = 0, 1, 2, ..., n− 1 und der magnetische Quantenzahl ml,ml = −l, l+1, ..., 0..., l−1, l bestimmt wird. Die entsprechende Energie des atomaren Zustandes

1Herzlichen Dank an Kristian Haberkorn, denn ohne seine Hilfe ware dieses Kapitel nicht so schon auf Deutschgeschrieben!

3

4 KAPITEL III. WASSERSTOFF-AHNLICHE ATOME

ist allerdings entartet und hangt nur von der Hauptquantenzahl n ab, in atomaren Einheiten,

En = − Z2

2n2, (III.1)

wobei Z die Kernladung ist. Um diese (l,m) Entartung zu erheben, muss man die Symmetriedes Systems brechen, was meistens mit einem Magnetfeld gemacht wird. In einem Magnetfeldspalten sich die Energieniveaus des Atoms auf, was dann zu dem Aufspalten und Polarisationvon Spektrallinien fuhrt, wie schematisch in Abb. III.1 dargestellt ist. Dieses Phanomen, erstmalin 1896 beobachtet, tragt den Namen des hollandischen Physikers Pieter Zeeman, der fur seineEntdeckung mit dem Nobelpreis fur Physik 1902 belohnt wurde.

Abb. III.1: Die Aufspaltung einer Spektrallinie in einem außeren Magnetfeld.

Die Aufspaltung der Energieniveaus kann man nicht-relativistisch bestimmen. Dabei mussman berucksichtigen, dass die Kreisbewegung des Elektrons um den Kern ein magnetisches Mo-ment erzeugt, welches mit dem externen Magnetfeld wechselwirkt. Allerdings konnten dieseUberlegungen nicht alle experimentelle Beobachtungen erklaren. Man sprach von einem “nor-malen” Zeeman-Effekt und einem “anomalen” Zeeman-Effekt, der nur unter Berucksichtigungdes vom elektronischen Drehimpuls verursachten magnetischen Moments nicht zu erklaren war.

Eine Reihe von spannenden Experimenten in der Zwanzigerjahren des letzten Jahrhunderts,gleichzeitig begleitet durch die weitere Entwicklung der Quantentheorie fur relativistische Falle,haben das Problem des anomalen Zeeman-Effekts gelost. Der Schlussel zur Erklarung war derSpin des Elektrons. 1922 haben Stern und Gerlach ein Experiment zur Bestimmung des ato-maren magnetischen Moments durchgefuhrt. Dabei haben sie die Ablenkung von Silberatomenin einem atomaren Strahl, der sich durch eines inhomogenen Magnetfeld bewegt, beobachtet.Da man eine willkurliche Orientierung des atomaren magnetischen Moments erwartete, hattedie Ablenkung symmetrisch um die ursprungliche Strahlachse sein sollen. Die Uberraschungwar groß zu sehen, dass die magnetischen Momente der Silberatome nur zwei Orientierungenhaben, und die Ablenkung in dem inhomogenen Magnetfeld ein bestimmtes Muster formt, mitzwei getrennten Linien symmetrisch um den Null-Punkt. Diese Quantisierung der magnetischenMoment-Komponente in der Magnetfeldrichtung nennt man auch Raumquantisierung und stelltdie Quantisierung des Drehimpulses um eine Raumrichtung dar. Der Stern-Gerlach-Versuch undseine Ergebnisse waren sehr verbluffend fur die Physikgemeinde, die noch dabei war, die Quan-tenmechanik zu entwickeln. Zwar hatte Bohr die Drehimpuls Quantisierung schon eingefuhrt,

III.1. DIE SUCHE NACH EINER RELATIVISTISCHEN QUANTENMECHANIK 5

aber ein Drehimplus der keine ganze Zahl ist, hatte man noch nie gesehen.

Eine Erklarung kam 1925 von S. Goudsmit und G. E. Uhlenbeck, die versucht haben, dieratselhaften Beobachtungen des anomalen Zeeman Effekts und des Stern-Gerlach-Versuchs ineinem Schlag zu erledigen. Die Losung der Ratsel war die Einfuhrung eines elektronischenmagnetischen Moments, welches einem Eigendrehimpuls, dem Spin, entspricht. Aus dem Stern-Gerlach Experiment ergibt sich dann, dass der Spin des Elektrons s = 1

2 sein muss, wahrend derBahndrehimpuls fur die Silberatome null sein muss.

Wahrenddessen, 1924 machte Louis de Broglie sein beruhmten Ansatz, dass der Welle-Teilchen-Dualismus, der damals nur fur Photonen bekannt war, ein Wesensmerkmal nicht nur derPhotonen sondern auch der Materie sei. Mit der Erkenntnis, dass alle Teilchen auch Welleneigen-schaften besitzen, arbeitete de Broglie weiter an der Verbesserung des Bohr-SommerfeldschenAtommodells. Er ordnete jedem Elektron eine so genannte Materiewelle zu, die sich auf denBohrschen Bahnen ausbreitet. De Broglie zeigte auf diesem Weg die Beziehung zwischen derBahnstabilitt und dem Bahnumfang der Elektronen im Bohrschen Atommodell auf,

2πr = nλ⇔ 2πr =nh

p. (III.2)

Ein Elektron kann sich nur ohne Energieverlust um den Atomkern bewegen, wenn sein Bahnum-fang ein ganzzahliges Vielfaches seiner Wellenlange ist. Diese Ansatze lieferten wichtige Anre-gungen fur Erwin Schrodinger, der noch im selben Jahr seine partielle Differentialgleichung, dieberuhmte Schrodinger-Gleichung, aufstellte. Diese konnte das Verhalten der Elektronen in denstationaren Energiezustanden darstellen. Allerdings ist die Schrodinger-Gleichung, wegen seinerunterschiedlichen Ordnungen der Zeit- und Raumableitungen nicht Lorentz-kovariant, also nichtrelativistisch.

Ein Versuch, die Schrodinger-Gleichung und den Spin des Elektrons zu vereinbaren fuhrte1927 zur Pauli-Gleichung, [

1

2m(~σ · (~p− q ~A))2 + eΦ

]|ψ〉 = i~

∂

∂t|ψ〉 , (III.3)

die selbst wenn immer noch nicht-relativistisch, beinhaltet schon den 12 -Elektronspin. Die

entsprechende Spinoren-Darstellung kommt uber die Pauli-Matrizen ~σ, einen Satz von hermitis-chen und unitaren 2× 2 Matrizen,

σx =

(0 1

1 0

),

σy =

(0 −ii 0

),

σz =

(1 0

0 −1

). (III.4)

Die Pauli-Gleichung geeignet sich zur Beschreibung der noch nicht relativistischen atomarenSysteme wo die Elektronengeschwidigkeit noch viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist.

In dem Bemuhen, eine relativistische Quantenmechanik zu formulieren, hat man zunachstversucht, mittels des Korrespondenzprinzips eine relativistische Wellengleichung aufzustellen,die die Schrodinger-Gleichung ersetzen sollte. Die erste derartige Gleichung war die von


Schrodinger [Schr1926b], Gordon [Gord1926] und Klein [Klei1927] aufgestellte skalare Wellengle-ichung zweiter Ordnung, die nun den Namen Klein-Gordon-Gleichung tragt. Aus der Energie-Impuls-Beziehung

E =√p2c2 +m2c4 , (III.5)

durch Ersetzung von klassischen Großen durch Operatoren,

E → i~∂

∂t,

~p → ~i∇ , (III.6)

erhielt man eine Wellengleichung,

i~∂

∂tψ =

√−~2c2∇2 +m2c4 ψ . (III.7)

Eine offensichtliche Schwierigkeit dieser Gleichung besteht in der Wurzel aus der raumlichenAbleitung, deren Entwicklung auf unendlich hohe Ableitungen fuhrt. Deswegen geht manstattdessen von der quadrierten Relation

E2 = p2c2 +m2c4 , (III.8)

aus, was dann

− ~2 ∂2

∂t2ψ = (−~2c2∇2 +m2c4)ψ . (III.9)

Die noch kompaktere, und offensichtlich kovariante Form(∂µ∂

µ +(mc

~

)2)ψ = 0 , (III.10)

ist under dem Namen Klein-Gordon-Gleichung bekannt. Hier ist xµ der raum-zeitliche Ortsvek-tor xµ = (ict, ~r) und der Kovariante Vektor ∂µ = ∂

∂xµ ist die vierdimensionale Verallgemeinerungdes Gradientenvektors. Es wurde die Einsteinische Summenkonvention benutzt, und uber dop-pelt auftretende Indizes summiert. Wenn man aber eine Kontinuitatsgleichung aus der Klein-Gordon-Gleichung herleiten mochte, stoßt man auf negative Warscheinlichkeitsdichten, die un-physikalisch sind. Außerdem merkte man, dass die Losungen der Klein-Gordon-Gleichung sowohlpositive als auch negative Energien haben, und die Energie nach unten nicht beschrankt ist. DieGleichung wurde deshalb verworfen, da sie ihr primares Ziel, eine relativistische Theorie fur dasElektron zu entwickelt, verfehlt hatte. Die richtige relativistische Theorie furs Elektron wurdevon Paul A. M. Dirac 1928 entwickelt [Dira1928], der seine Uberlegungen mit ganz ahnlich aufdem Korrespondenzprinzip und der Energie-Impuls-Beziehnung bezog.

III.2 Die Dirac-Gleichung fur Wasserstoff-ahnliche Systeme

Die Klein-Gordon-Gleichung hat sich als ungeeignet fur die Berechnung der Warscheinlichkeit-samplitude erwiesen. Dirac, auf seiner Suche nach einer Wellengleichung fur die Warschein-lichkeitsamplitude, war der Meinung, dass man eine Gleichung braucht, die erste Ordnung inder Raum- und Zeitableitung ist. Dafur musste man mit der Energie-Impuls-Beziehnung (III.5)anfangen, was große Schwierigkeiten wegen der Wurzel stellte. Was bedeutet eine Wurzel vonOperatoren? Soll man die in einer unendlichen Reihe entwickeln und dann versuchen, die dabei

III.2. DIE DIRAC-GLEICHUNG FUR WASSERSTOFF-AHNLICHE SYSTEME 7

entstandene sehr hessliche Gleichung iterativ zu losen? Dirac hatte eine vielversprechende Idee,wie man das Wurzel-Problem entkommen kann. Er merkte, dass

∇2 − 1

c2

∂2

∂t2= (αx∂x + αy∂y + αz∂z +

i

cβ∂t)(αx∂x + αy∂y + αz∂z +

i

cβ∂t) , (III.11)

unter der Voraussetzung, dass die ganze Mischterme ∂x∂y verschwinden, die Losung seines Prob-lems liefern wurde. Dabei mussen die Koeffizienten die folgenden Bedingungen erfullen,

αiαj + αjαi = 0 mit i 6= j, i, j = x, y, z

αiβ = 0

α2i = β2 = 1 (III.12)

Fur Dirac, der zu der Zeit gerade mit der von Born und Heisenberg entwickelte Matrix-Mechanikbeschaftigt war, wurde sofort klar, dass solche Bedingungen nur von Matrizen erfullt werdenkonnen. Die unbekannten Koeffizienten αi und β waren also Matrizen, und es wurde gezeigt,dass sie mindestens 4 × 4 Matrizen sein mussen, um die Bedingungen (III.12) zu erfullen. Diegesuchte Wellenfunktion hat also 4 Komponenten, und nicht nur zwei, wie man es von derPauli-Gleichung kannte. Die Dirac-Gleichung fur ein freies Elektron lautet dann

i~∂

∂tψ = (c~α · ~p+ βmc2)ψ . (III.13)

Die Matrizen ~α = (αx, αy, αz) und β sind 4 × 4 Matrizen, die Antikommutator-Relationenerfullen (III.12), was bedeutet, dass die Wellenfunktion 4 Komponenten hat,

ψ =

ψ1(~r, t)

ψ2(~r, t)

ψ3(~r, t)

ψ4(~r, t)

(III.14)

Eine Mogliche Darstellung der Matrizen ist

β =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

=

(I 0

0 −I

),

~α =

(0 ~σ

~σ 0

), (III.15)

wo I die 2 × 2 Einheitsmatrix ist, und ~σ die Pauli Matrizen (III.4). Man kommt also zu denvon Pauli fur die Beschreibung des Spins eingefuhrte Matrizen zuruck. Die Dirac-Gleichung, dieganz allgeimein aus der Energie-Impuls-Beziehung als relativistische Wellengleichung abgeleitetworden wurde, konnte die Existenz des 1

2 -Elektronspins bestatigen. Deswegen ist der Spin derTeilchen als eine strikt relativistische Eigenschaft betrachtet.

Die Dirac-Gleichung (III.13) in Verbindung mit den Matrizen (III.15) wird Standarddarstel-lung der Dirac-Gleichung genannt. Man bezeichnet die Wellenfunktion (III.14) als Viererspinoroder manchmal Bispinor, insbesondere dann, wenn ψ durch zwei Zweierspinoren dargestellt wird.


Die Auswahl der Matrizen (III.15) ist nicht eindeutig, es lasst sich aber zeigen, dass eine beliebigeAuswahl fur ~α und β mit den Eingeschaften (III.12) dieselbe physikalische Ergebnisse liefert.Die Dirac-Gleichung besitzt ebenso wie die Klein-Gordon-Gleichung Losungen mit negatives En-ergie, so dass fur jeden Quantenzustand mit positiver Energie E gibt es einen korrespondieren-den Zustand mit der Energie −E. Der erlaubte Energiebereich fur Kontinuumzusande, gegebendurch die Energieeigenwerte fur ein freies Elektron ist E < −mc2 und E > mc2. Ein Elektronmit positiver Energie konnte durch Emission von Photonen Ubergange in beliebig tief liegendeZustande mit negativer durchfuhren und dabei unendlich viel Energie abstrahlen. Um dies zuverhindern, postulierte Dirac 1930 [Dira1930] dass die Zustande mit negativer Energie alle be-setzt sind. Diese unendliche Menge von Elektronen, die alle Zustande mit negativer Energiebesetzen, wurden Dirac Sea genannt, das Dirac’sche Meer also. Allerdings ist es auf Deutschunter Dirac-See bekannt, was nicht der genaue Ubersetzung entspricht. Locher in dem Dirac-Seestellen Teilchen mit engegengesetzter Ladung (Antiteilchen) dar. Das Positron, das Antiteilchendes Elektrons, wurde das erste Mal von Carl Anderson 1932 experimentell gesehen. Das Dirac-See Bild gibt eine anschauliche Erklarung was passiert, wenn ein Positron und ein Elektron sichtreffen: das Elektron kann einen Ubergang zu dem freien Zustand von negativer Energie machenunter Emission von Strahlung. Dabei verschwinden sowohl das Elektron, als auch das Loch, alsodas Positron, was under Annihilation bekannt ist. Die Dirac-See Interpretation, die ursprunglichvon Dirac eingefuhrt wurde, ist heutzutage veraltet. Quantenfeldhteorie beschreibt das Positronals ein reeles Teilchen, nicht als Loch, und damit muss man kein Vakuum haben, welches schoneine unendliche Menge von Teilchen beinhaltet.

III.2.1 Kovariante Form der Dirac-Gleichung

Die Dirac-Gleichung (III.13) kann auch in kovarianter Form geschrieben werden, indem manversucht, dass zeitliche und raumliche Ableitungen mit Matrizen mit ahnlichen algebraischenEigenschaften multipiziert werden. Dafur kann man die Dirac-Gleichung mit −iβ/c von linksmultiplizieren,

(−iβ~α · ~p− imc− β ~c

∂

∂t)ψ = 0 . (III.16)

Nun definieren wir neue Dirac-Matrizen,

γµ = (β,−iβ~α) (III.17)

womit man die Dirac-Gleichung dann die Gestalt annimmt

(γµ∂µ +mc

~)ψ = 0 . (III.18)

Dabei wurde die Einsteinische Summenkonvention benutzt, und uber doppelt auftretende Indizessummiert. Die neue Dirac-Matrizen, die γ-Matrizen haben die Eingenschaft

γνγµ + γµγν = 2δµνI . (III.19)

In der speziellen Darstellung (III.15) haben die γ-Matrizen die Form

γ0 =

(I 0

0 −I

), γi =

(0 σi

−σi 0

). (III.20)

Eine aquivalente Darstellung der γ-Matrizen, die ebensfalls die algebraischen Relationen (III.19)erfullt, erhalt man duch γ →MγM−1, wo M eine beliebige nichtsingulare Matrix ist. Andere inder Teilchenphysik gebrauchliche Darstellungen sind die Majorana-Darstellung und die chiraleDarstellung.


III.2.2 Die Dirac-Gleichung fur ein Zentralfeld

Die bis jetzt erhaltene Dirac-Gleichung beschreibt ein freies Elektron. Man kann jederzeitdazu ein elektromagnetisches Feld ankoppeln durch die ubliche Ersetzung pµ → pµ − eAµ, wo

Aµ = ( iΦc ,~A) der Potential Vierervektor ist, der sowohl das skalare Potential Φ als auch das

Vektorpotential ~A beinhaltet. Damit erhalt man die Dirac-Gleichung

(γµ(pµ − eAµ)− imc)ψ = 0 . (III.21)

Fur ein skalares Zentralfeld haben wir Aµ = δµ0A0(r) = δµ0iΦ(r)c , und im Fall vom Coulomb-

Potential, Φ(r) = Ze4πε0r

. Die Dirac-Gleichung fur ein Wasserstoff-ahnliches System ist gegebendurch (diesmal nicht in der expliziten kovarianten Form)

(c~α · ~p+mc2β + eΦ(r))ψ = i~∂ψ

∂t. (III.22)

Angenommen, dass die Wellenfunktion die bekannte Zeitabhangigkeit hat,

ψ(~r, t) = Ψ(~r) e−iE~ t , (III.23)

erhalten wir die Gleichung

(c~α · ~p+mc2β + eΦ(r))Ψ = EΨ . (III.24)

Wir machen uns jetzt auf der Suche nach der Losungen dieser Gleichung. Wie man von der Quan-tenmechanik schon weiss, Operatoren, die untereinander tauschen, haben auch einen gemein-samen Satz von Eigenvektoren. Um die Eingenvektoren des Dirac-Hamiltonian-Operators

HD = c~α · ~p+mc2β + eΦ(r) (III.25)

zu finden schauen wir dann zuerst nach denjenigen Operatoren, die mit ihm vertauschen. Vonder Losung der Schrodinger-Gleichung konnen wir uns erinnern, dass der Bahndrehimpuls einsolcher Operator war, der mit dem Zentralfeld-Hamiltonoperator vertauschte. Allerdings ist dieSituation bei der Dirac-Gleichung komplizierter, da wir mehrere Drehimpulse haben, z.B. derSpin. Das Elektron hat jetzt einen Spin, der mit dem Spin-Operator

~S =~2

(~σ 0

0 ~σ

), (III.26)

verbunden ist. Der Spin ist ein Drehimpuls, bzw. seine Komponente erfullen die Ver-tauschungsrelationen [Si, Sj ] = i~εijkSk, wo εijk der Levi-Civita Tensor ist und i, j, k = 1, 2, 3.Man kann sofort das Quadrat des Spin-Operators berechnen,

~S2 =3

4~2

(I 0

0 I

). (III.27)

Die Kopplung vom Spin und Bahndrehimpuls ergibt den Gesamtdrehimpuls ~J = ~L + ~S. DerBahndrehimpuls fur unser System mit Vierer-Wellenfunktion hat die Darstellung

~L = ~r × ~p

(I 0

0 I

). (III.28)


Der Gesamtdrehimpuls ist dann

~J =

(~2~σ + ~r × ~pI 0

0 ~2~σ + ~r × ~pI

), (III.29)

und erfullt die Vertauschungsrelationen [Ji, Jj ] = i~εijkJk, [Ji, ~J2] = 0, mit i = 1, 2, 3, [ ~J, ~S2] =

[ ~J, ~L2] = 0. Man kann zeigen, dass die folgenden Operatoren vertauschen: Jz, ~J2, HD, ~S2 und

noch dazu

K = β

(2

~2~S · ~L+ 1

)= β

(1

~2( ~J2 − ~L2 − ~S2) + 1

)= β

(1

~2( ~J2 − ~L2) +

1

4

). (III.30)

Dabei ist K der Spin-Bahn-Operator, der bei dem Umschreiben der Dirac-Gleichung aufKugelkoordinaten auftaucht. Fur das Problem des relativistischen Elektrons in einem Zen-tralfeld ist es vorteilhaft, genau wie bei der Schrodinger-Gleichung fur das Wasserstoff-Atom,die Kugenkoordinaten zu benutzen, womit die Dirac-Gleichung lautet(

cαr

(~i

(∂

∂r+

1

r

)− ~i

β

rK

)+mc2β + eΦ(r)

)Ψ = EΨ . (III.31)

Hier ist die radiale Komponente der ~α-Matrix

αr =

(0 σr

σr 0

), (III.32)

mit

σr = σx cos ϕ sin θ + σy sin ϕ sin θ + σz cos θ , (III.33)

oder in Matrixform

σr =

(cos θ sin θe−iϕ

sin θeiϕ − cos θ

). (III.34)

Wer sind jetzt die Eigenfunktionen zu Jz, ~J2, ~S2 und K? Dafur untersuchen wir erstmal einzeln

das Eigenwertproblem fur jeden Operator.Eigenfunktionen von Jz und ~J2: Von den zwei-komponentigen Eigenfunktionen erwartenwir, wie bei jedem Drehimpuls, dass die Operatoren Jz und ~J2, wo ~J in (III.29) definiert ist,die folgenden Eigenwert-Gleichungen haben,

JzΨjm = m~Ψjm ,

~J2Ψjm = j(j + 1)~2Ψjm . (III.35)

Da ~J von der Kopplung von ~S und ~L entsteht, sollen die Eigenfunktionen Ψjm die Form haben

Ψjm =

l∑m1=−l

1/2∑m2=−1/2

(l m11

2m2|j m)Ylm1(θ, ϕ)χm2 , (III.36)

mit den Spinoren

χ1/2 =

(1

0

), χ−1/2 =

(0

1

). (III.37)


Hier bezeichnen (l m112 m2|j m) die Clebsch-Gordan Koeffizienten, die uns von der

Kopplung von Drehimpulsen in der Quantenmechanik bekannt sind, und Ylm sind dieKugelflachenfunktionen. Man kann dann die Eigenfunktionen von Jz und ~J2 explizit fur diezwei mogliche Beziehungen zwischen l und j schreiben,

• l = j − 12 , also Spin und Bahndrehimpuls parallel,

Ψl=j− 12,jm =

1√2l + 1

(√l +m+

1

2Ylm− 1

2(θ, ϕ)χ 1

2+

√l −m+

1

2Ylm+ 1

2(θ, ϕ)χ− 1

2

).

(III.38)

• l = j + 12 , also Spin und Bahndrehimpuls antiparallel,

Ψl=j+ 12,jm =

1√2l + 1

(−√l −m+

1

2Ylm− 1

2(θ, ϕ)χ 1

2+

√l +m+

1

2Ylm+ 1

2(θ, ϕ)χ− 1

2

).

(III.39)

Eigenfunktionen von K: Sei es k = 2~2~S · ~L+ 1 = 1

~2 ( ~J2 − ~L2) + 14 . Der Operator K ist dann

gegeben durch

K = β

(k 0

0 k

)=

(k 0

0 −k

). (III.40)

Wir suchen jetzt die Eigenfunktionen von k, so dass kΨ = −κΨ. Der Eigenwert von k ist also−κ. Lass uns nachprufen, wie die Eigenfunktionen von Jz und ~J2 die Eigenwert-Gleichung vonk erfullen. Es lasst sich leicht zeigen, dass

kΨl=j− 12,jm = (j(j + 1)− (j − 1

2)(j +

1

2) +

1

4)Ψl=j− 1

2,jm = (j +

1

2)Ψl=j− 1

2,jm ,

kΨl=j+ 12,jm = (j(j + 1)− (j +

1

2)(j +

3

2) +

1

4)Ψl=j+ 1

2,jm = −(j +

1

2)Ψl=j+ 1

2,jm . (III.41)

Die Eigenfunktionen von Jz und ~J2 sind also auch Eigenfunktionen von k, zu den Eigenwertenκ = −(j + 1

2), bzw. κ = (j + 12), also κ = ±1,±2,±3, . . .. Wir konnen jetzt die Eigenfunktionen

statt mit j und l nur mit κ indexieren, Ψκm. Es unterscheiden sich wieder die zwei Falle fur dieOrientierung der Spin- und Bahndrehimpulse: sind Spin- und Bahndrehimpuls parallel, bzw. istκ negativ, haben wir

κ = −|κ|

j = |κ| − 1

2, l = |κ| − 1 . (III.42)

Ein positives κ zeigt dagegen, dass die Spin- und Bahndrehimpulse antiparallel ist, und

κ = |κ|

j = |κ| − 1

2, l = |κ| . (III.43)

Einige Beispiele von Quantezahlen fur die Dirac-Energieniveaus im Wasserstoffatom mit denentsprechenden Quantenzahlen sind in der Tabelle III.1 dargestellt.


Tabelle III.1: Relativistische Quantenzahlen fur die Dirac-Energieniveaus: Spin-Bahn-Quantenzahl κ, Gesamtdrehimpulsquantenzahl j, Bahndrehimpulsquantenzahlen l1 und l2 furdie obere, bzw. untere Spinor-Komponente und die entsprechenden spektroskopischen Zustand-Bezeichnungen.

κ j l1 l2 Bezeichnung

–1 1/2 0 1 s1/2

+1 1/2 1 0 p1/2

–2 3/2 1 2 p3/2

+2 3/2 2 1 d3/2

–3 5/2 2 3 d5/2

+3 5/2 3 2 f5/2

–4 7/2 3 4 f7/2

+4 7/2 4 3 g7/2

Eigenfunktionen von K, Jz, ~J2 und ~S2: Bis jetzt haben wir die zwei-komponentigeEigenfunktionen von den Operatoren K, Jz und ~J2 gefunden. Mit ihnen konnen wir jetzt dievier-komponentige Eigenfunktionen von K, Jz, ~J

2 und ~S2 aufstellen. Sei es

Ψ1κm =

(Ψκm

0

), Ψ2

κm =

(0

Ψ−κm

). (III.44)

Wir prufen jetzt nach, ob Ψ1κm und Ψ2

κm Eigenfunktionen von unseren Operatoren sind, und zuwelchen Eigenwerten. Man kann leicht zeigen, dass

JzΨ1,2κm = m~Ψ1,2

κm ,

~J2Ψ1,2κm =

(|κ| − 1

2

)(|κ|+ 1

2

)~2Ψ1,2

κm ,

~S2Ψ1,2κm =

3

4~2Ψ1,2

κm

KΨ1κm =

(k 0

0 −k

)(Ψκm

0

)=

(kΨκm

0

)= −κΨ1

κm ,

KΨ2κm =

(k 0

0 −k

)(0

Ψ−κm

)=

(0

−kΨ−κm

)= −κΨ2

κm . (III.45)

Die zwei Eigenfunktionen Ψ1κm und Ψ2

κm haben fur alle betrachtete Operatoren dieselben Eigen-werte. Mit Hilfe diesen Funktionen kann man also die Losung der Dirac-Gleichung fur dasZentralfeld finden.Bemerkung: Die Funktionen Ψ1,2

κm sind auch Eigenfunktionen von dem Bahndrehimpuls ~L2,aber mit verschiedenen Eigenwerten. Fur κ > 0,

~L2Ψ1κm = l1(l1 + 1)Ψ1

κm = κ(κ+ 1)~2Ψ1κm ,

~L2Ψ2κm = l2(l2 + 1)Ψ2

κm = (κ− 1)κ~2Ψ2κm . (III.46)


Fur Ψ1κm ist also fur κ > 0 l1 = κ, wahrend l2 = κ− 1. Man kann zeigen, dass die verschiedene

Eigenwerte fur die Eigenfunktionen Ψ1,2κm die folgende Beziehung zu κ haben

l1 =

{κ if κ > 0 ,

|κ| − 1 if κ < 0 ,

l2 =

{κ− 1 if κ > 0 ,

|κ| if κ < 0 .(III.47)

Es kommt oft vor, dass die relativistische Wellenfunktionen mit der Gesamtdrehimpulsquan-tenzahl j und der Bahndrehimpulsquantenzahl der oberen Komponente l1 bezeichnet wird.Damit gibt es eine Verbindung zu der Notation fur nichtrelativistische Wellenfunktionen. Dieentsprechende Werte von l1 und l2 fur verschiedene atomare Orbitale sind zusammen mit den jund κ Werte in der Tabelle III.1 dargestellt.

Fur die Eigenfunktionen des Dirac-Hamiltonoperators machen wir nun den Ansatz,

Ψ = g(r)Ψ1κm + if(r)Ψ2

κm =

(g(r)Ψκm

if(r)Ψ−κm

). (III.48)

wo jetzt g(r) und f(r) die Radialfunktionen der oberen und unteren Komponente sind, auchals große bzw. kleine Komponente des Dirac-Spinors bezeichnet. Mit Hilfe diesem Ansatz kannman jetzt die Dirac-Gleichung furs Zentralfeld (III.24) in zwei Differenzialgleichungen fur dieRadialfunktionen g(r) und f(r) schreiben. Dabei benutzen wir die Auswirkung der αr Matrixauf den Dirac-Spinor [Rose1971],

αrΨ =

(−if(r)Ψκm

−g(r)Ψ−κm

), (III.49)

und auch dass

αrβKΨ = αrβ(−κ)Ψ = −καr

(g(r)Ψκm

−if(r)Ψ−κm

)=

(−if(r)Ψκm

g(r)Ψ−κm

). (III.50)

Damit erhalt man die beiden radialen Gleichungen wenn obere und untere Komponente getrenntgeschrieben werden:

df

dr− κ− 1

rf − 1

~c(mc2 + eΦ(r)− E)g = 0 ,

dg

dr+κ+ 1

rg − 1

~c(mc2 − eΦ(r) + E)f = 0 . (III.51)

Wir werden die Losung dieser Gleichungen nicht explizit berechnen, da dies ausserhalb derReichweite dieser Vorlesung ist. Die Radialefunktionen sind von konfluenten hypergeometrischenFunktionen bestimmt. Eine ausfuhrliche Behandlung findet man in Ref. [Land1986]. Demnachstbetrachten wir nur qualitativ die Asymptotik der Wellenfunktion. Fur gebundene Zustandeerwartet man Radialfunktionen in der Form

g(r) =a1

re−λr , f(r) =

a2

re−λr . (III.52)


In dem asymptotischen Fall, wenn r → ∞ lassen sich die Radialgleichungen unter Ver-nachlassigung der 1

r2Terme wie folgt schreiben

− λa1 −1

c~(mc2 + E)a2 = 0 ,

−λa2 −1

c~(mc2 − E)a1 = 0 . (III.53)

Hat dieses Gleichungssystem in a1 und a2 auch nichttriviale Losungen, muss die Determinantedes Systems gleich Null sein, ∣∣∣∣∣ λ 1

~c(mc2 + E)

1~c(mc

2 − E) λ

∣∣∣∣∣ = 0 , (III.54)

was dazu fuhrt, dass

λ = ±mc2

~c

√1− E2

(mc2)2. (III.55)

Damit g(r) und f(r) gebundene Zustande beschreiben, muss λ reel und positiv sein, was alsBedingung fur die Energie auswirkt,

−mc2 < E < mc2 . (III.56)

Die gebundene Zustande sind also in dem Energieinterval (−mc2,mc2) zu finden, im Gegensatzzu den Kontinuumzustande, die sich nur ausserhalb dieses Intervals befinden, wie schematischin Abb. III.2 dargestellt.

Abb. III.2: Das Dirac-Spektrum fur gebundene und Kontinuum-Zustande

Mit der Notation ε = E/(mc2), erhalten die Radialwellenfunktionen den Ausdruck

g(r) = A√

1 + εe−λr

r,

f(r) = −A√

1− ε e−λr

r. (III.57)


Ein Vergleich zwischen g(r) und f(r) zeigt sofort wieso sich die zwei Komponenten der Dirac-Wellenfunktion die “große” und die “kleine” Komponente nennen. Das Verhaltnis

g(r)

f(r)= −

√1 + ε

1− ε(III.58)

wird fur ε ≈ 1 sehr groß, und damit die obere Komponente des Dirac-Spinors viel großer alsdie untere Komponente, |g| � |f |. Ein Beispiel fur radialen Wellenfunktionen fur die 2s1/2 und2p3/2 in Wasserstoff-ahnlichem Uran (Z = 92) sind in Abb. III.3 zu sehen. Die gebundenenWellenfunktionen sind mit den schnell-oszillierenden Wellenfunktionen fur ein freies Elektron inder Nahe eines Uran-Kerns verglichen.

-20

-10

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5

Bound r

wf

(au)

r (au)

(a)

gκ(r)

fκ(r)

-1

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

Bound r

wf

(au)

r (au)

(b)

gκ(r)

fκ(r)

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5

Conti

nuum

rw

f (a

u)

r (au)

(c)

gκ(r)

fκ(r)

Abb. III.3: Relativistische Elektronenwellenfunktionen: die radiale Wellenfunktionen gκ(r) undfκ(r) fur das 2s1/2 Orbital (a) und das 2p3/2 Orbital in Wasserstoff-ahnlichem Uran (Z = 92).(c) Radiale Wellenfunktionen gκ(r) und fκ(r) fur ein freies Elektron mit Energie E = 15.27 keVund κ = 2 in der Nahe eines He-artigen Urans. Es wurden atomaren Einheiten (au) benutzt.

III.2.3 Diskretes Spektrum

Sowohl die diskrete Eigenwerte als auch die dazugehorigen Eigenfunktionen lassen sich analytischbestimmen. Die Zustande sind mit den Quantenzahlen nljm bezeichnet, wobei n die Haup-tquantenzahl ist, n = 1, 2, 3, . . . und l ist der l-Wert der großen Komponente, also l1 in (III.47),analog zu der nicht-relativistische Bezeichnungsweise. Es gilt l < n, so dass l = 0, 1, . . . , n − 1.Bezeichnet werden die Zustande mit l = 0, 1, 2, 3, 4, . . . durch die Kleinbuchstaben s (sharp), p(principal), d (diffuse), f (fundamental), g, h, . . . . Die weitere Indices m und j sind die zu dem


Gesamtdrehimpuls zugehorigen Quantenzahlen, mit m = −j,−j + 1, . . . , j. Die Energieeigen-werte sind gegeben durch

Enj = mc2 1√1 + (αZ)2

n−(j+1/2)+√

(j+1/2)2−(αZ)2

. (III.59)

und sind in l und m entartet. Hier bezeichnet α die Feinstrukturkonstante, α = 1/137.035. Furden Fall, dass αZ � 1, wie z.B. bei Wasserstoff, kann man die Energien in (III.59) nach αZentwickeln, mit dem Ergebnis

Enj = mc2

(1− (αZ)2

2n2− (αZ)4

2n3

(1

j + 1/2− 3

4n

)− . . .

). (III.60)

Der erste Term in der obigen Gleichung, mc2, entspricht der Ruhenergie des Elektrons. In demzweiten Term kann man den Eigenwert der Schrodinger-Gleichung erkennen, also die nichtrela-tivistische Bindungsenergie. Fur n = 1 haben wir

|E1| =(αZ)2

2mc2 = 13, 6Z2 eV , (III.61)

was fur das Wasserstoffatom den bekannten Wert 13,6 eV liefert. Der dritte Term in (III.60) er-hebt fur die Dirac-Gleichung Eigenwerte im Vergleich zu den Schrodinger-Gleichung Eigenwertenteilweise die Entartung. Ein nicht-relativistischer nur von der Hauptquantenzahl abhangigerEnergie-Eigenwert En spaltet sich in n Niveaus laut Dirac-Theorie, fur jeden Gesamtdrehimpul-squantenzahl j = 1/2, 3/2, . . . , n − 1/2. Diese Aufspaltung ist under dem Namen Feinstrukturbekannt. Die Konstante α ' 1/137, die die Skala dieser Aufspaltung kontroliert, wird deswegenFeinstruktur-Konstante gennant. Die Feinstrukturaufspaltung fur eine bestimmte Hauptquan-tenzahl n mit jmin = 1/2 und jmax = n− 1/2 ist gegeben durch

∆EFn = En,jmax − Enjmin = |En|(αZ)2n− 1

n2. (III.62)

Die typische Werte fur die Feinstrukturaufspaltung fur die ersten drei atomaren Schalen sind inder Tabelle III.2 gegeben. Abb. III.4 zeigt die Schrodinger und die Dirac Energie-Eigenwertefur das Wasserstoffatom.

In der Dirac-Theorie haben zwei Zustande mit derselben Hauptquantenzahl n und Gesamt-drehimpulsquantenzahl j, aber mit verschiedener Bahndrehimpulsquantenzahl l = j ± 1/2dieselbe Energie. Die Paritat der Zustande ist aber von (−1)l gegeben, also haben sie unter-schiedliche Paritaten. Die Entartung der Energie-Niveaus nach l wird von kleinen quantenelek-trodynamischen Effekten, auch Strahlkorrekturen genannt, aufgehoben. Die Strahlkorrekturensind fur die zusatzliche Energie-Verschiebung zwischen den 2s1/2 und 2p1/2 Niveaus, die Lamb-Verschiebung, verantwortlich.

Bemerkung: Die Spektrallinien, die bei Ubergangen zwischen Feinstruktur-Niveaus entste-hen, bilden ein Multiplett von Linien. Da die Emission von Strahlung, bzw. der Dipol-Momentnicht vom Spin abhangt, sind die Auswahlregel fur Elektrisch-Dipol Ubergange immer noch diesel-ben, also ∆l = ±1 und ∆j = ±1. Ein Schema mit den moglichen Ubergangen zwischen denn = 3 und n = 2 atomaren Schalen zusammen mit den beobachteten Spektrallinien sind in Abb.III.5 dargestellt.

III.3. UBERGANG ZU SCHRODINGER-AHNLICHEN GLEICHUNGEN 17

Tabelle III.2: Relativistische Quantenzahlen und Energien fur die Dirac-Energieniveaus: Haup-tquantenzahl n, Spin-Bahn-Quantenzahl κ, Gesamtdrehimpulsquantenzahl j, Bahndrehimpul-squantenzahl fur die große Komponente l1, die Schrodinger-Energie in |E1|-Einheiten und dieentsprechenden Feinstruktur-Korrekturen.

n κ j l1 Spektr. Bez. En/|E1| EFnj/((αZ)2|E1|)1 –1 1/2 0 1s1/2 -1 - 1

4

2 –2 3/2 1 2p3/2 -14 - 1

64

–1 1/2 0 2s1/2 -14 - 5

64

+1 1/2 1 2p1/2 -14 - 5

64

3 –3 5/2 2 3d5/2 -19 - 1

324

–2 3/2 1 3p3/2 -19 - 3

324

+2 3/2 2 3d3/2 -19 - 3

324

–1 1/2 0 3s1/2 -19 - 9

324

+1 1/2 1 3p1/2 -19 - 9

324

III.3 Ubergang von der Dirac-Gleichung zu Schrodinger-ahnlichen Gleichungen

Die Dirac-Gleichung ist linear in der Zeit- und Koordinaten-Ableitung. Wir versuchen jetzt vonder Dirac-Gleichung zu einer Gleichung zu kommen, die der Schrodinger-Gleichung ahnlich ist,also zweiter Ordnung in die Raum-Ableitung ist. Dafur starten wir von der kovarianten Form

(γµ(pµ − eAµ)− imc)ψ = 0 , (III.63)

und multiplizieren von links mit dem Faktor

(γµ′(pµ′ − eAµ′) + imc) . (III.64)

Dies ergibt

0 = ((pµ − eAµ)2 +m2c2)ψ − ~e2iγµγµ

′Fµµ′ψ , (III.65)

wo wir mit die folgende Notation benutzt haben,

Fµν =∂

∂xµAν −

∂

∂xνAµ . (III.66)

Der erste Teil der Gleichung (III.65) enspricht der Klein-Gordon-Gleichung, wahren der zweiteTerm fur die Wechselwirkung zwischen dem Spin und dem elektromagnetischen Feld steht. Mandefiniert dabei ein Dirac’sches Moment,

~e2iγµγνFµν = ~e

(~σ 0

0 ~σ

)~B +

~eic

(0 ~σ

~σ 0

)~E , (III.67)


Abb. III.4: Feinstruktur fur das Wasserstoff-Atom. Die nicht-relativistische Werte sind linksgezeigt (a), mit der Feinstruktur-Aufspaltung rechts (b). Die benutzte Abbildung-Skala ist furjedes Niveau aus Sichtbarkeitsgrunden eine andere.

welches ein elektrisches und magnetisches Dipolmoment zugleich ist. Hier wurde wieder dieEinsteinische Summenskonvention benutzt. Unter der Annahme, dass die Wellenfunktion dieubliche Zeitabhangigkeit hat,

ψ = e−imc2t

~ ψ , (III.68)

erhalt man nach einfachen Schritten

i~∂ψ

∂t=

[(p− e ~A)2

2m+ eΦ−

(i~ ∂∂t − eΦ)2

2mc2− ~e

2m

(~σ 0

0 ~σ

)~B +

i~e2mc

~α · ~E

]ψ . (III.69)

Das ist eine exakte Gleichung die aus der Dirac-Gleichung hergeleitet wurde, namlich die Pauli-Gleichung mit relativistischen Korrekturen. Der Term ∼ ~α · ~E mischt die oberen und unteren

Komponenten. Wenn (i~∂/∂t−eΦ)2

2mc2und i~e

2mc~α · ~E vernachlassigt werden, erhalt man die Pauli-Gleichung fur die große Komponente. In erster Ordnung in v/c ist die Dirac-Gleichung der nurzwei-komponentigen Pauli-Gleichung aquivalent. Um von dem 4-komponentigen Dirac-Spinorauf eine 2-komponentige Wellenfunktion zu kommen, kann man versuchen, die kleine Kompo-nente nahrungsweise zu eliminieren. Dafur schreibt man die Wellenfunktion in (III.69) als

ψ =

(χ

ϕ

). (III.70)

Aus der Pauli-Gleichung mit relativistischen Korrekturen (III.69) kann man eine Beziehungzwischen den zwei Komponenten χ und ϕ der Wellenfunktion herleiten,

ϕ = (2mc2 + i~∂

∂t− eΦ)−1c~σ(~p− e ~A)χ . (III.71)

III.3. UBERGANG ZU SCHRODINGER-AHNLICHEN GLEICHUNGEN 19

Abb. III.5: (a) Die Ubergange, die zur Balmer-alpha Linie zwischen n = 3 und n = 2 inWasserstoff beitragen. (b) Die beobachteten relativen Intensitaten von den Linien (a), (b)-(g).Da (b) und (g) dieselben oberen Zustand haben, ist die Verschiebung der Linien nur aufgrundder 2p3/2 − 2p1/2 Energie-Differenz. Laut Dirac-Theorie, sollen die (d) und (e) Linien gleichsein, wie auch die Linien (f) und (g). Die Unterschiede im Spektrum tauchen aufgrund derLamb-Verschiebung auf.

Fur nicht so starke Felder ~A erhalten wir

ϕ ' 1

2mc2c~σ · ~pχ . (III.72)

Diese Naherung fuhr weiter fur die zwei Komponenten zu

~α · ~Eψ =

(~σ · ~Eϕ~σ · ~Eχ

)=

((~σ · ~E) 1

2mc2c(~σ · ~p)χ

~σ · ~Eχ

), (III.73)

was mit Hilfe der Beziehung

(~a · ~σ)(~b · ~σ) = ~a ·~b+ i~σ · (~a×~b) , (III.74)

und den Kreuzprodukt-Eigenschaften dann ergibt

~α · ~Eψ =

(~E

2mc(~p+ i(~p× ~σ))χ

~σ · ~Eχ

). (III.75)


Unsere Gleichung fur die große Komponente wird dann, mit der Einfuhrung vom BohrschenMagneton µB = e~/(2m) = 5, 788× 10−5 eV/T,

i~∂χ

∂t=

[(~p− e ~A)2

2m+ eΦ−

(i~ ∂∂t − eΦ)2

2mc2− µB~σ · ~B −

µB2mc2

~E(~p× ~σ) +iµB

2mc2( ~E · ~p)

]χ .

(III.76)Wegen der durchgefuhrten Nahrungen ist die Hermizitat in den beiden letzten Summandenverletzt. Die Rekonstruktion der Hermizitat lautet

µB2mc2

1

2

(~σ( ~E × ~p)− i ~E · ~p− ~σ(~p× ~E) + i~p · ~E

)=

µB4mc2

(2~σ( ~E × ~p) + i~~σ∇× ~E + ~∇ ~E

).

(III.77)Jetzt kann man eine Schrodinger-ahnliche Gleichung fur die große Komponente schreiben,

i~∂χ

∂t=

[(~p− e ~A)2

2m+ eΦ

−(i~ ∂

∂t − eΦ)2

2mc2− µB~σ · ~B −

µB4mc2

(2~σ( ~E × ~p) + i~~σ∇× ~E + ~∇ ~E

)]χ .(III.78)

Das gleiche Ergebnis—eine aus der Dirac-Gleichung hergeleitete Spin-abhangige Schrodinger-artige Gleichung—erhalt man mit Hilfe der Foldy-Wouthuysen Transformation. Die Foldy-Wouthuysen-Transformation gestattet eine Darstellung der Dirac-Gleichung, bei der die oberenzwei Komponenten des Spinors moglichst wenig mit den unteren zwei verkoppeln. Dazu ver-sucht man, die “ungeraden” (d.h. koppelnden) Anteile im Dirac-Hamilton-Operator mittels einerunitaren Transformation zum Verschwinden zu bringen. Ein ungerader Operator ist beispiel-sweise ~α, der die oberen und unteren Komponenten vermischt. Im allgemeinen ist die volligeEntkopplung nur naherungsweise moglich und nur fur die freie Dirac-Gleichung exakt durch dieTransformation

Hf := eiSfHe−iSf = eiSfβe−iSf(cβ~α~p+mc2

). (III.79)

mit dem Operator S sei definiert durch

Sf := − i

2mcβ~α~pf(p) , (III.80)

mit f(p) eine reellwertige Funktion des Operators p. Fur die Interpretation des Terms(i~∂/∂t−eΦ)2

2mc2machen wir zuerst die Bemerkung, dass in nullter Ordnung wir die Schrodinger-

Gleichung erhalten, (i~∂χ

∂t− eΦ

)χ =

(~p− e ~A)2

2mχ . (III.81)

Wir konnen also den untersuchten Term mit Hilfe des Impulses schreiben,

(i~ ∂∂t − eΦ)2

2mc2=

(~p− e ~A)4

8m3c2. (III.82)

Die Entwicklung des relativistischen Energieausdrucks((~p− e ~A)2c2 +m2c4

)1/2= mc2 +

(~p− e ~A)2

2m− 1

8

(~p− e ~A)4

m3c2+ . . . (III.83)

lasst uns erkennen, dass dieser Term eine relativistische Korrektur der kinetischen Energiedarstellt.

III.4. DIE LAMB-VERSCHIEBUNG 21

Wenn man jetzt den Ausdruck (III.78) fur den Fall eines Zentral-Feldes mit V (r) = −eΦ(r)und ~A = 0 anwenden, erhalt man

∇ ~E = −∆Φ =∆V

e,

~E × ~p = −∇Φ× ~p =1

er

dV

dr~L . (III.84)

Damit lasst sich der Hamiltonoperator der aus der Dirac-Gleichung hergeleiteten Schrodinger-ahnliche Gleichung fur die große Komponente wie folgt schreiben:

H =p2

2m− eΦ︸︷︷︸

nicht−relativistisch

− p4

8m3c2︸︷︷︸rel. Korrektur

der kinetischen Energie

+~2

2m2c2

1

r

dV

dr

~L · ~S~2︸︷︷︸

Spin−Bahn−Kopplung

+~2

2m2c2∆V︸︷︷︸

Darwin−Term

. (III.85)

Damit haben wir den vollen Ausdruck eines Hamiltonoperators, welcher mit Hilfe derSchrodinger-Gleichung die Ergebnisse von der Dirac-Gleichung fur das Elektron reproduziert.Die relativistischen Korrekturen konnen als Storung fur den nicht-relativistischen Hamiltonop-erator betrachtet werden und mit Hilfe der Storungstheorie behandelt werden. Der erste Termnach dem nicht-relativistischen Hamiltonoperator ist die relativistische Korrektur (in v2/c2

Ordnung) der kinetischen Energie, manchmal auch relativistische Massenkorrektur genannt.Der zweite Term ist durch die Spin-Bahn Wechselwirkung gegeben. Der letzte Term ist einerelativistische Korrektur (wieder in v2/c2 Ordnung) zu dem Potential und tragt den NamenC. G. Darwins, da er derjenige war, der die Rekonstruirung der verletzten Hermizitat (III.77)eingefuhrt hat und damit die aufgetauchten Schwierigkeiten losen konnte. Fur Systeme mitnur einem Elektron ergibt ∆V ∼ δ(~r), so dass der Darwin-Term nur fur die Energie derZustande mit l = 0 eine Rolle spielt. Dieser Term ist auch fur die sogenannte Zitterbewegungdes Elektrons zustandig. Der von der Dirac-Gleichung abgeleitete Aufenthaltsort des Elektronsenthalt eine Schwingung in der Zeit, also eine Art Zitterbewegung mit einer Amplitudeδx = ~c/m, die laut Schrodinger [Schr1930], aus der Interferenz zwischen positiven undnegativen Energiezustanden entsteht. Die Zitterbewegung des Elektrons wurde bis jetzt niedirekt experimentell nachgewiesen, dafur aber mit einem Kalziumion simuliert [Gerr2010].

III.4 Die Lamb-Verschiebung

Strahlungskorrekturen heben die l-Entartung der Energieniveaus nach der Dirac-Gleichung auf.Experimentell wurde das erste Mal 1947 von W. E. Lamb und R. C. Retherford nachgewiesen,dass die 2s1/2 und 2p1/2 Energieniveaus in Wasserstoff nicht genau ubereinstimmen. Allerdingsist diese Verschiebung sehr sehr klein, was erklart, wieso es so lange gedauert hat, bis man sieexperimentell sehen konnte. Tatsachlich wurden nach der Entwicklung der Dirac-Gleichung undder theoretischen Erklarung der Feinstruktur viele spektroskopische Experimente durchgefuhrt,um die Dirac-Theorie nachzuprufen. Neben vielen Experimenten, die die Dirac-Theorie bestatigthaben, gab es schon 1937 und 1938 einige Messungen von W. V. Houston und R. C. Williams,die angedeutet haben, dass die 2s1/2 und 2p1/2 Energieniveaus eine kleine Verschiebung hatten.Allerdings waren die Feinstruktur-Messungen von der Dopplerlinienverbreiterung so gestort, dassman nichts Genaues daruber sagen konnte. Erst 1947 wurde die Frage der Verschiebung vonLamb und Retherfort endgultig geklart, weswegen die Verschiebung den Namen Lambs tragt.


Die Neuigkeit bei der Messung von Lamb und Retherford war, dass sie statt optischeSpektroskopie, Mikrowellen-Techniken angewendet haben, um einen direkten Radiofrequenz-Ubergang zwischen den 2s1/2 und den 2p1/2 Zustand zu treiben. Fur Frequenzen von Radio-Wellen ist die Dopplerverbreiterung deutlich kleiner als fur optische Frequenzen, so dassman die im Experiment von Lamb und Retherford vernachlassigen konnte. Die spontaneUbergangwarscheinlichkeit ist wegen der kleinen Energie sehr klein, der induzierte Ubergangdennoch moglich. Solche Radiofrequenz Ubergange wurden im Experiment von Lamb undRetherford zwischen den 2s1/2 und 2p1/2 und den 2s1/2 und 2p3/2 Zustanden induziert. Derwichtigste Punkt bei dem Experiment ist, dass der 2s1/2 Zustand langlebig, also metastabil ist.Dies bezieht sich auf die Tatsache, dass den Zerfall vom 2s1/2 Zustand zu dem 1s1/2 Grundzu-

stand von der Auswahlregel ∆l = ±1 verboten ist, bzw. der Ubergang magnetisch Dipol ist,und fur Wasserstoff uber zwei Photonen lauft. Die Lebensdauer des 2s1/2 Zustandes ist 1/7Sekunden, die vom 2p1/2 nur 1.6 × 10−9 s. Hat man also einen Strahl von Wasserstoffatomen,die zum Teil in angeregten Zustanden mit n = 2 sind, zerfallen schnell die Atome, die sichin den 2p Orbitale befinden, wahrend die in 2s1/2 in diesem Zustand bleiben. Im Experimentvon Lamb und Retherford wurde ein Strahl von Wasserstoffatomen in ihrem Grundzustand miteinem Elektronenstrahl mit Energien von etwa 10.2 eV gekreuzt, wie in Abb. III.6. Dies fuhrtezu Anregungen in die n = 2 Schale, so dass etwa ein Atom in 108 zu den 2s1/2, 2p1/2 oder 2p3/2

Zustanden angeregt wurde. Die Atome in dem langlebigen 2s1/2 Zustand konnen den Detek-tor noch in dem metastabilen Zustand erreichen, wahrend die Atome in den 2p1/2 oder 2p3/2

Zustanden bis zum Detektor zum Grundzustand zerfallen. Ist der Detektor nur fur angeregteAtome empfindlich, kann man nur die Atome im metastabilen Zustand messen.

Abb. III.6: Schematische Darstellung des Lamb-Retherford-Experiments. Das kollimierteStrahlenbundel von Wasserstoffatomen kommt aus dem Ofen. Einen kleinen Anteil der Atomewird durch Elektronenstoße in die n = 2 Schale angeregt. Der Strahl wird dann durch einenBereich mit Radiofrequenz elektromagnetischem Feld gefuhrt, bevor er den Detektor erreicht.Der Detektor registriert nur Atome in Zustanden mit n = 2.

Die Energiedifferenz zwischen den 2s1/2 und 2p1/2 Zustande kann in diesem experimentellenAufbau gemessen werden, indem man zwischen Produktion und Detektion einen Radiofrequenz-feld einschaltet. Wenn die Frequenz genau der 2s1/2 − 2p1/2 oder 2s1/2 − 2p3/2 Energiedifferenz

entspricht, treibt das Feld Ubergange zwischen den Zustanden, entvolkert den metastabilenZustand und sinkt damit die Messungsrate am Detektor. Mit dieser Methode konnten Lamb undRetherford sowohl die Zeeman-Komponenten der 2s1/2, 2p1/2 oder 2p3/2 Zustanden abtrennen,als auch die von elektrischen Feldern verursachte Storung (den Stark-Effekt) reduzieren. IhreMessung zeigte, dass der 2s1/2 Zustand etwa 1000 MHz oberhalb des 2p1/2 Zustandes liegt.Weitere Experimente von S. Triebwasser, E. S. Dayhoff und W. E. Lamb 1953 haben den sehrprazisen Wert (1057.77±0.10) MHz fur die 2s1/2−2p1/2 Energiedifferenz bestimmt, welche heuteunder den Namen Lamb-Verschiebung bekannt ist. Dieser Wert, was 4.37462×10−6 eV in Energie


bedeutet, entspricht etwa ein Zehntel der Feinstrukturaufpaltung fur n = 2. Eine schematischeDarstellung der Energieniveaus fur n = 2 ist in Abb. III.7 dargestellt.

Abb. III.7: Feinstruktur-Aufspaltung der Spektrallinien und Lamb-Verschiebung. Die Niveaussind nicht maßstabgerecht dargestellt.

Die Bemuhungen auf der theoretischen Seite, die Lamb-Verschiebung zu erklaren, fuhrtenzur Entwicklung der QED. Die radiativen Korrekturen zur Dirac-Theorie entstehen dann beider Berucksichtigung der Wechselwirkung zwischen dem Elektron und dem quantisierten elek-tromagnetischen Feld. Obwohl nicht alle Abweichungen von der Diracschen Theorie auf dieQuantenelektrodynamik zuruckzufuhren sind, werden dennoch alle diese Abweichungen unterdem Begriff Lamb-Verschiebung zusammengefaßt. Die Hauptbeitrage sind durch die Selbsten-ergie und die Vakuumpolarisation gegeben, dessen Feynman-Diagramme in Abb. III.8 dargestelltwerden. Die QED, die Struktur des Kerns (Protons) und die volle relativistische Behandlungdes Wasserstoffs als Zweikorperproblem liefern außer der Vakuumpolarisation und Selbstenergienoch verschiedene andere Korrekturen zur Diracschen Theorie, die wir hier nach der Große ihrerBeitrage zum Wasserstoffspektrum auflisten wollen:

• die Selbstenergie (self-energy),

• die Vakuumpolarisation (vacuum polarization),

• Ruckstoßkorrekturen (recoil corrections),

• Strahlungs-Ruckstoßkorrekturen (radiative recoil corrections),

• Zwei- und Drei-Schleifen-Korrekturen zur Selbstenergie (two- and three-loop corrections),

• Kerngroßenkorrektur (finite nuclear size effect).

Die Lamb-Verschiebung wird fur jeden Zustand des Wasserstoffatoms einzeln ausgewertet.Durch die Differenz der Verschiebungen der einzelenen Niveaus ergibt sich dann der Energieun-terschied, der experimentell nachgewiesen wird. Die theoretisch berechtete Lamb-Verschiebungfur das Wasserstoffatom ist laut P. J. Mohr (1057.864±0.014) MHz [Mohr1975]. Man spricht beiallen hier erwahnten Effekten von QED Korrekturen zur Diracschen Theorie, weil die Effekteklein sind und daher storungstheoretisch behandelt werden konnen.

Die genaue Berechnung der Lamb-Verschiebung unter Berucksichtigung aller Beitragen istjenseits des Umfangs dieser Vorlesung. Wir geben hier nur eine qualitative Beschreibung derLamb-Verschiebung, basierend auf die Arbeit von T. A. Welton [Welt1948]. Diese Erklarung


Abb. III.8: Feynman Diagramme der Selbsenergie (a) und Vakuumpolarisation (b).

bezieht sich auf die Wechselwirkung eines nichtrelativistischen Elektrons mit den Vakuumfluktu-ationen des elektromagnetischen Feldes. Wie schon im Kapitel ?? erwahnt, hat ein quantisierteselektromagnetisches Feld Nullpunktschwingungen, selbst wenn die mittlere Feldstarke null ist.Durch die Kopplung des Elektrons an das elektromagnetische Vakuumfeld entstehen mittlerequadratische Abweichungen der raumlichen Koordinate des Elektrons vom Mittelwert. Diesefuhren dann zu einer effektive Ausdehnung des Elektrons, als ob es nicht mehr punktformigware, sonder ein Kugel von Radius R. Da die potentielle Energie des Elektrons im Kernfeldvon seiner Position abhangt, ist sie durch die Fluktuationen des elektromagnetischen Feldesverandert. Die Lamb-Verschiebung ist gegeben durch die Differenz in der potentiellen Energie,

∆V = V (~r + δ~r)− V (~r) = δ~r · ∇V +1

2(δ~r · ∇)2V (~r) + . . . (III.86)

Da die Vakuumfluktuationen isotropisch sind, gilt

〈δ~r〉 = 0 ,

〈(δ~r · ∇)2〉 =1

3〈(δ~r)2〉∇2 . (III.87)

Die Lamb-Verschiebung wird damit

〈∆E〉 =1

6〈(δ~r)2〉〈∆V (r)〉 . (III.88)

Fur einen punktformigen Kern haben wir

∆V =Ze2

ε0δ(~r) , (III.89)

wobei δ(~r) die dreidimensionale Dirac δ-Funktion ist. Damit erhalten wir die Lamb-Verschiebung

〈∆E〉 =Ze2

ε0

1

6〈(δ~r)2〉〈Ψ|δ(~r)|Ψ〉 . (III.90)

Aus diesem Ausdruck konnen wir erkennen, dass die großte Energieverschiebung bei s-Zustandenzustande kommt, da |Ψ(0)|2 6= 0. Unter Benutzung nichtrelativistischer Wellenfunktionen furdie s-Zustande erhalten wir

〈∆E〉 =Ze2

ε0

1

6〈(δ~r)2〉 Z

3

πn3

1

a3, (III.91)


mit dem Bohr-Radius a0 = ~c/(αmc2)=0.529 a=0.529×10−10 m. Die Energie-Verschiebung des2s-Zustands ist also positiv. Fur die Berechnung der mittleren quadratischen Variation 〈(δ~r)2〉fangen wir mit der klassischen Bewegungsgleichung an

δ~r = − e

m( ~E + ~v × ~B) . (III.92)

Die Magnetfeldkomponente wird in der Regel vernachlassigt. Das elektrische Feld wird quan-tisiert,

~E =∑~k,λ

~E~k,λ , (III.93)

wobei ~k der Wellenvektor und λ die Polarisation der Feldmode ist. Damit konnen wir dieKoordinaten-Variation fur das Elektron als eine Summe der von einer einzelnen Mode verur-sachten Variationen schreiben,

δ~r =∑~k,λ

δ~r~k,λ . (III.94)

Die einzelne Variationen sind ergeben durch

δ~r~k,λ =e ~E~k,λmω2

k

, (III.95)

und damit unsere mittlere quadratische Variationen

〈(δ~r~k,λ)2〉 =e2

m2

∑~k,λ

〈 ~E2~k,λ〉

ω2k

. (III.96)

Aus der Gesamtenergie des Feldes

1

2

∫dV[ε0〈 ~E2

~k,λ〉+ µ0〈 ~H2

~k,λ〉︸︷︷︸

ε0〈 ~E2~k,λ〉

]=

1

2~ωk (III.97)

konnen wir die Fluktuation des elektrischen Feldes bestimmen,

〈 ~E2~k,λ〉 =

~ωk2ε0L3

, (III.98)

wo L3 das Quantisierungsvolumen ist. Die Summe uber die Feldmoden kann in einem Integraluber die Frequenz ω umgewandelt werden, wie schon im Kapitel ?? besprochen∑

~k,λ

. . .→ 2L3

(2π)3

∫d3~k . . . =

L3

π2c3

∫ω2dω . (III.99)

Damit erhalten wir fur die mittlere quadratische Variationen

〈(δ~r)2〉 =e2

m2

~2ε0L3

L3

π2c3

ω3dω

ω4=

(~cmc2

)2 2α

π

∫dω

ω. (III.100)

Als obere und untere Integralgrenze wahlen wir die Bohr-Radius a0 und die Compton-Wellenlange λc,

~ωmin = Zαmc2 ,

~ωmax = mc2 , (III.101)


womit unser Integral lautet

ωmax∫ωmin

dω

ω= ln

(1

Zα

). (III.102)

Die von den Vakuumfluktuationen verursachte mittlere quadratische Variation der Elektronko-ordinate ist dann

〈(δ~r)2〉 =

(~cmc2

)2 2α

πln

(1

Zα

)= λ2

c

2α

πln

(1

Zα

). (III.103)

Fur das Beispiel des Wasserstoffatoms (Z = 1) erhalten wir eine mittlere quadratische Variationvon 〈(δ~r)2〉1/2=58.4 fm und eine Lamb-Verschiebung fur den 2s Zustand von 2.76 µeV. Der Ver-gleich mit dem experimentellen Wert von 4.3 µeV zeigt, dass diese Rechnung nur qualitativ ist.Eine prazisere Rechnung nach Bethe und Salpeter [Beth2008] oder die von P. Mohr [Mohr1975]sind in Ubereinstimmung mit dem experimentellen Wert.

Abb. III.9: Die Lamb-Verschiebung ∆E des Grundzustandes von wasserstoffahnlichen Ionen alsFunktion der Kernladung Z (mit α die Feinstrukturkonstante). Die ausgefullten Kreise stellenErgebnisse von Experimenten am ESR bei der GSI Darmstadt dar, die durchgezogene Linie gibtdie Theorie wieder.

Die Lamb-Verschiebung wurde auch fur andere wasserstoffahnliche Systeme gerechnet undgemessen. Die Große der radiativen Korrekturen wachst schnell mit der Kernladung Z,wie in Abb. III.9 dargestellt. Fur hochgeladene Ionen wo αZ groß ist, spielen auch QEDKorrekturen zweite Ordnung (s. Abb. III.10) eine Rolle. Das Beispiel der verschiedenenBeitrage zu der Grundzustand Lamb-Verschiebung in wasserstoffahnlichem Uran U91+ ist inder Tabelle III.10 dargestellt. Die Summe der berechneten Beitrage ergibt 463.95 eV, in guterUbereinstimmung mit dem experimentellen Wert fur die Lamb-Verschiebung des 1s1/2 Grundzu-standes 468.±13. eV.

III.5. DIE HYPERFEINSTRUKTUR 27

Abb. III.10: Links: Tabelle mit den QED Beitragen bis zur zweiten Ordnung in α fur denGrundzustand des wasserstoffahnlichen Urans U91+. Rechts: QED Korrekturen zweite Ordnungin α. Es handelt sich um zweiter Ordnung Selbstenergie (SESE) und Vakuum-Polarisation(VPVP) Korrekturen und mogliche Mischungen zwischen ihnen (SEVP) und (S(VP)S).

III.5 Die Hyperfeinstruktur

Hyperfeineffekte ruhren von der Wechselwirkung des Kerns mit den Elektronen her. SolcheEffekt wurden zuerst von A. Michelson 1891 und von C. Fabry und A. Perot 1897 beobachtet.Wie ihr Name schon zeigt, verursachen diese Effekte Aufspaltungen oder Verschiebungen dienoch kleiner sind, als die Feinstruktur. Die Hyperfeineffekte sind in zwei Kategorien aufgeteilt.Diejenige Effekte, die zu einer Aufspaltung der Niveaus fuhren, sind Hyperfeinstruktur-Effektegenannt. Die Effekte die nur eine Verschiebung der Energieniveaus im Atom verursachen sindunter dem Namen Isotopie-Verschiebungen bekannt. Die Hyperfeinstruktur-Effekte sind durchdie elektromagnetischen Multipol-Momente des Kerns verursacht, im wesentlichen durch dasmagnetische Dipolmoment und das elektrische Quadrupolmoment. Die Isotopie-Verschiebungentreten wegen der endlichen Masse des Kernes oder endlichen Ausdehnung der Kernladung auf.Verschiedene Aspekte der Isotopie-Verschiebung und der Hyperfeinstruktur werden in dem An-hang zum Skript “Nuclear Effects in Atomic Transitions” dargestellt und werden im Skriptselbst nicht behandelt. Dieser Abschnitt bezieht sich nur auf die Hyperfeinstruktur der Atome.

III.5.1 Hyperfeinstruktur durch magnetische Dipol-Momente

Noch bevor die Sache mit dem elektronischen Spin geklart war, hat Pauli 1924 die Hy-pothese gemacht, dass der Kern auch einen Gesamtdrehimpuls besitzt, den Kernspin. DieHyperfeinstruktur-Effekte, so Pauli, wurden dann von den magnetischen Wechselwirkungen zwi-


schen Kern und den atomaren Elektronen in Bewegung verursacht. Eine Rolle dabei wurde dieOrientierung des Kernspins ~I spielen. Proportional zum Kernspin ~I hat der Kern dann auch einmagnetisches Dipol-Moment ~MN , mit

~MN = gIµN~I

~, (III.104)

wo µN das nukleare Magneton µN = e~/(2mp) ist, mp die Protonenmasse, und gI der nukleare g-Faktor, auch Lande-Faktor genannt. Aufgrund des Massen-Verhaltnisses zwischen Elektron undKern ist das nukleare Magneton 1836 Mal kleiner als das Bohr-Magneton, µN = 0.03152 µeV/T.

Betrachten wir jetzt ein wasserstoffahnliches Ion mit der Kernladung Ze so dass Zα � 1und das nukleare Dipol-Moment ~MN . Der Hamiltonoperator fur so ein System kann man als

H = H0 +HMD , (III.105)

schreiben, wobei wir mit H0 den Hamiltonoperator in (III.85) bezeichnen, welcher sowohl dieCoulomb-Wechselwirkung als auch die relativistischen Feinstruktur-Korrekturen beinhaltet. DasDipol-Moment ~MN verursacht die Storung HMD. Da das nukleare Dipol-Moment viel kleiner alsdas vom Elektron ist, werden die Hyperfeinstruktur-Korrekturen im Spektrum noch viel kleinerals die Feinstruktur-Korrekturen. Wir teilen den Storhamiltonoperator weiter in zwei Teilenauf,

HMD = H1 +H2 . (III.106)

Dabei beschreibt H1 die Tatsache, dass das Dipol-Moment des Kerns ein magnetisches Felderzeugt, welches mit der Bahn des Elektrons wechselwirkt,

H1 =e

m~A(~r) · ~pe . (III.107)

Das Vektorpotential ~A(~r) erzeugt von einem punktformigen Dipol am Koordinatenursprung istgegeben durch [Jack2006]

~A(~r) = −µ0

4π

(~MN ×∇

(1

r

))=

µ0

4πr3~MN × ~r . (III.108)

Damit erhalt man fur den Hamiltonoperator H1 den Ausdruck

H1 =µ0

4π

2

~2gIµBµN

1

r3~I · ~L , (III.109)

wobei ~l den Bahndrehimpuls des Elektrons bezeichnet. Dieser Term ist auch Kern Spin-Bahn-Wechselwirkung genannt, und verschwindet fur elektronische Zustande, die l = 0 haben, alsofur die s-Orbitalen.

Der zweite Term in (III.106) beschreibt die Wechselwirkung zwischen dem Elektronen-Spin(mit dem entsprechenden elektronischen Dipol-Moment ~mS) und dem magnetischen Feld desKerns,

H2 = −~mS · ~B = 2µB~S

~~B . (III.110)

Das Magnetfeld vom Kern ist gegeben durch

~B = ∇× ~A = −µ0

4π

(~MN∆

(1

r

)− ( ~MN · ∇)∇1

r

). (III.111)


Damit erhalt man fur den Hamiltonoperator H2, auch Spin-Spin Wechselwirkung genannt, denAusdruck

H2 = −µ0

4π

2

~2gIµBµN

((~S · ~I)∆

(1

r

)− (~S · ∇)(~I · ∇)

1

r

). (III.112)

Nach weiteren einfachen Schritten und mit der Bemerkung, dass ∆1r = −4πδ(~r), erhalten wir

H2 =µ0

4π

2

~2gIµBµN

4π~S · ~Iδ(~r)−

1r3

(~S · ~I − 2(~S·~r)(~I·~r)

r2

)fur l 6= 0

4π3~S · ~Iδ(~r) fur l = 0

(III.113)

Wir wollen jetzt die von dem Storhamiltonoperator (III.106) verursachte Energie-Verschiebung in erster Ordnung in der Storungstheorie berechnen. Dabei betrachten wir zuerstden Fall mit l 6= 0. Unser Storhamiltonoperator HMD erhalt in diesem Fall den Ausdruck

HMD =µ0

4π

2

~2gIµBµN

1

r3~G · ~I , (III.114)

wo wir die Notation ~G = ~L− ~S + 3(~S ·~r)~r/r2 benutzt haben. Analog zur Spin-Bahn-Kopplung,ist die Diagonalisierung des Storhamiltonoperators viel vereinfacht durch die Einfuhrung desatomaren Gesamtdrehimpulses (also Kern und Elektron zusammen)

~F = ~I + ~J , (III.115)

mit ~I der Kernspin und ~J = ~S + ~L der Gesamtdrehimpuls des Elektrons. Die Eigenwerte von~F 2 sind F (F + 1)~2 und die von Fz mF~. Aus der Additionsregel fur Drehimpulse erhalten wirdie moglichen Werte fur F ,

F = |I − j|, |I − j|+ 1, . . . , I + j − 1, I + j . (III.116)

Da F und mF gute Quantenzahlen fur die Storung HMD sind, konstruieren wir am besten dieungestorten Funktionen |lsjIFmF 〉 als liniare Kombination von den Funktionen |lsjmjImI〉und berechnen damit die Energie-Verschiebung fur l 6= 0 in der ersten Ordnung Storungstheorie,

∆E =µ0

4π

2

~2gIµBµN 〈lsjIFmF |

1

r3~G · ~I|lsjIFmF 〉 . (III.117)

Nach weiteren einfachen Operationen s. [Bran2003] erhalten wir

∆E =C

2[F (F + 1)− I(I + 1)− j(j + 1)] , (III.118)

mit der Konstante

C =µ0

4π2gIµBµN

l(l + 1)

j(j + 1)

Z3

a30n

3l(l + 1/2)(l + 1), (III.119)

mit a0 das Bohr’sche Radius.Fur den Fall dass l = 0, verschwindet H1 und wir erhalten den Ausdruck des

Storhamiltonoperators, auch Fermi-Kontakt-Wechselwirkung genannt,

HMD =µ0

4π

2

~2gIµBµN

8π

3δ(~r)~S · ~I = −µ0

4π

8π

3~mS · ~MNδ(~r) . (III.120)

Auch fur diesen Fall fuhrt man den atomaren Gesamtdrehimpuls ~F an, so dass

~S · ~I =1

2[(~I + ~S)2− ~I2− ~S2] =

1

2[(~F − ~L)2− ~I2− ~S2] =

1

2(~F 2− ~I2− ~S2) , da l = 0 . (III.121)


Die Energie-Verschiebung hat dann den Ausdruck

∆E =A0

2[F (F + 1)− I(I + 1)− s(s+ 1)] , (III.122)

mit der Konstante

A0 =µ0

4π2gIµBµN

8π

3

Z3

πa30n

3. (III.123)

Da fur l = 0, j = s, konnen wir die zwei Falle zusammenfassen und einen Ausdruck der Energie-Verschiebung fur beliebige Werte von l geben,

∆E =A

2[F (F + 1)− I(I + 1)− j(j + 1)] , (III.124)

mit

A =µ0

4π4gIµBµN

1

j(j + 1)(2l + 1)

Z3

a30n

3, (III.125)

was unabhangig von F ist. Ein anderer Ausdruck fur die Energie-Verschiebung ist

∆E =me

mpgIZ3α2

n3

F (F + 1)− I(I + 1)− j(j + 1)

j(j + 1)(2l + 1)

mec2

2α2︸︷︷︸

13.6 eV

. (III.126)

Fur einen Kern mit Spin ~I, ein Feinstruktur-Energieniveau, welches den Quantenzahlen j undl entspricht, wird in weitere Hyperfeinkomponenten F gespalten. Da die Energie-Verschiebungnicht vom mF abhangen, ist jede Hyperfeinkomponente immer noch (2F + 1) entartet. EinFeinstruktur-Energieniveau spaltet sich in einem Hyperfeinstruktur-Multiplett mit (2j + 1)Niveaus, wenn I ≥ j oder mit (2I + 1) Niveaus, wenn j ≥ I. Dies erlaubt die Bestimmungvon I wenn j groß genug ist. Fur “normalen” Wasserstoff (mit einem Proton als Kern), istder Kernspin I = 1/2 und die Hyperfeinstruktur ist fur alle j-Werte ein Doublet. Fur Deu-terium, ein Wasserstoffatom mit einem Proton und einem Neutron im Kern und I = 1, erhaltenwir ein Doublet fur j = 1/2 und Tripletten fur alle andere Werte von j. Die Hyperfinestruk-tur fur die zwei Wasserstoffisotopen ist in Abb. III.11 dargestellt. Die Intervall-Regel fur dieMagnetisch-Dipol Hyperfeinstruktur ist gegeben durch

∆E(F )−∆E(F − 1) =A

2[F (F + 1)− (F − 1)F ] = AF , (III.127)

also proportional zu F . Man kann auch die Energie-Aufspaltung δE zwischen den zwei außerstenKomponenten eines Hyperfeinstruktur-Multipletts (Fmax = I+j und Fmin = |I−j| bestimmen,

δE =me

mpgI

4Z3α2mec2

2 α2

n3(j + 1)(2l + 1)

{I + 1/2 fur j ≤ I ,I(j+1/2)

j fur j ≤ I .(III.128)

Aus dieser Aufspaltung lasst sich der nukleare g-Faktor gI bestimmen. Furs Wasserstoffatom,z.B., mit Z = 1, I = 1/2, gI = 5.5883, ist die Energie-Aufspaltung

δE =me

mpgI2α

2 j + 1/2

n3j(j + 1)(2l + 1)13.5 eV , (III.129)

was fur den Grundzustand ergibt

δE(n = 1, j = 1/2, l = 0) =me

mpgIα

2 8

313.5 eV = 5.88× 10−6 eV . (III.130)


Diese Ubergangsenergie entspricht 1420 MHz und einer Wellenlange von 21 cm. Der von H. M.Goldenberg, D. Kleppner und N. F. Ramsey 1960 entwickelte Wasserstoff-Maser bezieht sichauf diesen Ubergang und hat einen sehr prazisen Wert fur die Ubergangsfrequenz geliefert, ν =1420405751.800±0.028 Hz. Der Vergleich mit dem theoretischen Wert ν = 1420, 45199(10) MHzzeigt, dass die obige einfache erster Ordnung Storungstheorie mit dem experimentellen Ergebnisinnerhalb von 0.1% ubereinstimmt. Mehr uber weitere Korrekturen, Ubergange zwischen Hyper-feinniveaus, die Cesium-Atomuhr und Hyperfeinstruktur-Experimente befindet sich im Anhang“Nuclear Effects in Atomic Transitions”.

Abb. III.11: Die Hyperfeinstruktur fur die n = 1 und n = 2 Niveaus von Wasserstoff undDeuterium (nicht maßstabgerecht dargestellt).

III.5.2 Hyperfeinstruktur durch das nukleare Quadrupol-Moment

Eine andere wichtige Kernstruktur-Eigenschaft ist das elektrische Quadrupolmoment, definiertals eine Summe uber alle Protonen p im Kern,

Qij =∑p

3xpixpj − δijR2p , (i, j = 1, 2, 3) . (III.131)

Hier ist ~Rp die Protonkoordinate im Schwerpunktsystem des Kernes. Meistens bezeichnet mandie Große des Quadrupolmoments als der Erwartungswert der z-Komponente in dem Zustand|I,MI = I〉, also

Q = 〈I,MI = I|Qzz|I,MI = I〉 = 〈I,MI = I|∑p

3Z2p −R2

p|I,MI = I〉 , (III.132)

was eine Flachedimension hat und normalerweise in barn (10−24 cm2) gegeben ist. Ein Kernmit einer kugelsymmetrischen Ladungsdichte hat kein elektrisches Quadrupolmoment, da Q =0. Das Quadrupolmoment zeigt also wie weit von der Kugelsymmetrie die Ladungsdichte desKerns ist. Fur Kerne mit einer gestreckten Ladungsdichte in Richtung von ~I ist Q > 0 undman bezeichnet den Kern als prolat. Ist die Ladungsdichte abgeplattet, haben wir Q < 0und man bezeichnet den Kern als oblat, s. Abb. III.12. Der Wechselwirkungshamiltonoperator


Abb. III.12: Mogliche Kernladungsdichten: kugelsymmetrisch (links), prolat (mitte) oder oblat(rechts).

zwischen dem elektrischen Quadrupolmoment des Kerns und dem von dem Elektron erzeugtenelektrostatischen Potential am Kern Ve ist gegeben durch [Rams1953, Casi1963]

HEQ = B32~I · ~J(2~I · ~J + 1)− ~I2 ~J2

2I(2I − 1)j(2j − 1), (III.133)

mit der Quadrupolkonstante B

B = Q

⟨∂2Ve∂z2

⟩, (III.134)

mit ⟨∂2Ve∂z2

⟩=

⟨j,mj = j

∣∣∣∣∂2Ve∂z2

∣∣∣∣ j,mj = j

⟩= −

⟨j,mj = j

∣∣∣∣3z2 − r2

r5

∣∣∣∣ j,mj = j

⟩(III.135)

ist der Erwartungswert des vom Elektron erzeugten elektrischen Feldgradients am Kern. Fureine kugelsymmetrische elektronische Ladungsverteilung (die s-Zustande mit j = 1/2) ver-schwindet 〈∂2Ve/∂z

2〉 und es gibt keine Quadrupolwechselwirkung. Kerne mit I = 0 oderI = 1/2 haben kein elektrisches Quadrupolmoment. Fur alle andere Systeme, kann man dieEnergie-Verschiebung in erster Ordnung berechnen,

∆E = 〈jIFmF |HEQ|jIFmF 〉 =B

4

32K(K + 1)− 2I(I + 1)j(j + 1)

I(2I − 1)j(2j − 1), (III.136)

mit der NotationK = F (F + 1)− I(I + 1)− j(j + 1) . (III.137)

Die gesamte Energie-Verschiebung kann man jetzt als Summe von der magnetischen und elek-trischen Wechselwirkung in (III.124) und (III.136) schreiben,

∆E =A

2K +

B

4

32K(K + 1)− 2I(I + 1)j(j + 1)

I(2I − 1)j(2j − 1). (III.138)

Da die Quadrupol-Hyperfeinstruktur der Intervall-Regel nicht folgt, hat die gesamte Energie-Verschiebung eine unregelmaßige Struktur, wie in Abb. III.13 dargestellt. Das Intervall zwischenzwei Hyperfeinstruktur-Komponenten ist gegeben durch

∆E(F )−∆E(F − 1) = AF +B

4

3F (2F 2 + 1)− 6F [I(I + 1) + j(j + 1)]

I(2I − 1)j(2j − 1). (III.139)


Genau wie bei der magnetischen Hyperfeinstruktur, ist jedes Niveau (2F + 1)-fach entartet.Diese Entartung kann durch ein außeres Magnetfeld gehoben werden, was dem Zeeman-Effektfur Hyperfeinstruktur-Komponenten enspricht.

Abb. III.13: Hyperfeinstrukturschema fur j = 1 und I = 3/2 fur das Beispiel des Quecksil-beratoms 201Hg. Das Feinstrukturniveau (links) wird von der magnetischen Wechselwirkung(mitte) und der elektrischen Wechselwirkung (rechts) gespalten. Verlgleich mit (III.138).

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