Dr. Mayhuasca Salgado RonaldDocente
Probabilidad y
distribución binomial
ESTADÍSTICA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD – ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MEDICINA VETERINARIA
• Conocer las bases de la teoría de la probabilidad y del teorema
de distribución binomial
• Conocer y calcular los niveles de sensibilidad y especificidad de
algún indicador poblacional
Objetivos
Probabilidades
La probabilidad estudia la verosimilidad relativade que determinado suceso ocurra o no, conrespecto a otros sucesos…
Norman G, Streiner D. Bioestadística. Madrid: Harcourt Brace;1998.
Se enfoca la probabilidad desde dos perspectivas: el empírico y el teórico
Ejemplo:
Si afirmamos que la probabilidad de que un fármaco cure a un enfermoes P (curación)= 0.7 [ó 70%], esto quiere decir que al prescribir elfármaco a 100 enfermos esperaríamos que curase a 70 y fracasase en30, como lo más probable
El método empírico
Es la probabilidad de la sucesión de un evento basada en resultados antiguos,con el supuesto de que las circunstancias que influyeron en dicho eventopermanezcan iguales en el tiempo.
Ejemplo
En base a esto es más probable (o verosímil) que el paciente tenga una enfermedad común que una inusual
El método empírico
Probabilidad de un cobayo de padecer un cuadro de salmonelosis, basado en los porcentajes queafectan a una población determinada P: 0,38
Conceptos básicos
Cualquier subconjunto de un espacio muestral. Puede ser elemental (un único elemento) o compuesto(ejemplo: elegir al azar diez individuos, y que dos de ellos tengan grupo sanguíneo AB)
Suceso
Dos suceso son complementarios, si seexcluyen mutuamente y la suma de susprobabilidades es de 1, ya que siempreque uno no se dé, sucederá el otro.Siempre que A, no B; y siempre que B,no A.
Suceso complementario
Son sucesos incompatibles y la suma de ambos es el espacio muestral
Conceptos básicos
Su realización simultánea esimposible, se excluyenmutuamente Siempre que A, no B;y siempre que B, no A.
Suceso incompatible
Color de pelaje: marrones
…sin embargo existen otros colores…
Conceptos básicos
INDEPENDIENTES: cuando laprobabilidad de que ocurra uno deellos no depende de aprobabilidad de que ocurra el otro
Suceso dependientes e independientes
Que un perro posea dermatitis, es independiente al hecho de tener infección intestinal
DEPENDIENTES: cuando laprobabilidad de que ocurra uno deellos depende de a probabilidadde que ocurra el otro
Falta de adiestramiento canino y poca habilidad motriz y de obediencia
Operaciones básicas
Si 2 sucesos (A o B) sonincompatibles, la probabilidad deque ocurra el uno o el otro es lasuma de sus probabilidades de cadauno.
Disyunción de sucesos (A o B)
P(A U B) = P(A) + P(B)
Operaciones básicas
La probabilidad de que ocurran dossucesos independientes (A y B) sepuede calcular como el producto desus probabilidades.
Intersección de sucesos (A y B)
Si la probabilidad de A es 0,3 y de B es 0,5, ambos independientes, la probabilidad de A y B (simultáneamente) será de 0,3 x 0,5 = 0,15 Sarna y pneumonía
Operaciones básicas
Cuando dos sucesos soncompatibles, la probabilidad deque ocurra al menos uno (A, B, olos dos), será la suma de susprobabilidades, restando laprobabilidad de su intersección
Unión de sucesos (A y B)
P(A) + P(B) – P(A)xP(B)
La probabilidad de ser portador de unaenfermedad A es 1/10 y de otra es de 1/100.Ambas son compatibles (se puede ser portadorde ambas) e independientes (el ser portador de1 no implica ser portador de la otra). Por tantola probabilidad de ser portador de una de ellaso de ambas es; (1/10+1/100) – (1/10x 1/100)=109/1000 = 0,109
Ejemplo
Operaciones básicas
Cuando dos sucesos son compatibles, laprobabilidad de que ocurra al menosuno (A, B, pero no los dos), será lasuma de sus probabilidades, restando 2veces la probabilidad de su intersección
Unión de sucesos (A y B)
P(A) + P(B) – 2 P(A)xP(B)
La probabilidad de ser portador de unaenfermedad A es 1/10 y de otra es de 1/100.Ambas son incompatibles ( NO se puede serportador de ambas). Por tanto la probabilidadde ser portador de una de ellas pero no deambas es; (1/10+1/100) – 2(1/10x 1/100)=108/1000 = 0,108
Ejemplo
Operaciones básicas
Cuando dos sucesos no sonindependientes (o sea sondependientes), y la P(B) esdiferente de cero, la probabilidaddel suceso A condicionada a B,expresa la posibilidad de que,habiendo ocurrido B, ocurra A.
Probabilidad condicionada (Bayes)
P(A/B) = P(B/A)xP(A)P(B)
El método teórico
Se basan en la teoría de la probabilidad, cuyo fundamento radica en la posibilidad aleatoriade que ocurran diversos eventos. Se toman en cuenta:
Sucesos incompatibles - sucesos condicionados
Dos sucesos X e Y son incompatiblessi el hecho de que uno ocurraconlleva a la imposibilidad de quesuceda el otro
Dos sucesos X e Y están condicionadossi el hecho de que ocurra Y depende deque lo haya hecho X, o viceversa
Ocurrencia de trastorno autista/hiperactividad
Intentos de suicidio/ niveles dedepresión
Cada uno posee sus propias formas de cálculo
El método teórico
Si X e Y son sucesos incompatibles, la probabilidad de X o Y es laprobabilidad de X más la probabilidad de Y.
A esta relación se le denomina ley de la suma.
Sucesos incompatibles y la ley de la suma
Pr (X o Y) = Pr (X) + Pr (Y)
Siendo Pr: probabilidad
El método teórico
Si X e Y son sucesos condicionados, la probabilidad de que ambos ocurransimultáneamente es la probabilidad de X por la probabilidad de Y, con elsupuesto de que ya sucedió X.
A esta relación se le denomina ley de la multiplicación
Sucesos condicionados y la ley de la multiplicación
Pr (X e Y) = Pr (X) x Pr (Y/X)
Siendo Y/X : la probabilidad de Y condicionado a X
MIR 87
Si la probabilidad de nacer con la enfermedad A es 0,10 y con la B es 0,50; ¿cuál es
la probabilidad de nacer con cualquiera de las dos, pero no con ambas?
1. 0.052. 0.503. 0.554. 0.605. 0.65
MIR 98
La prevalencia de una enfermedad no transmisible en una poblaciónsuficientemente extensa es 0.01. La probabilidad de que elegidos 3 individuosdistintos al azar , los 3 estén enfermos es:
1. 0.012. 0.0000013. 0.0034. 0.035. 0.000003
El método teórico
Aquellos sucesos que no están condicionados por sucesos anteriores
Sucesos independientes
Pr (al menos 1) = 1 - Pr (ninguno)……= 1-(1-∝)n.p = 1 - q
Ley de «al menos uno»
En el que la suma de todos los eventos será 1, es decir al elegir habrá un 100%de probabilidad de que ocurra alguna de las alternativas que se pudo escoger,es decir la probabilidad de 1,0.
La probabilidad de al menos 1, es el complemento de la probabilidad de ningúncaso, o sea:
Sucesos condicionados y procedimientos de detección
Suponiendo que se debe realizar el proceso diagnóstico de unasola enfermedad con dos únicos posibles estados, enfermo (E) ysano (S) y que se dispone de un indicador con dos posiblesvalores, positivo (+) y negativo (-). De allí tenemos:
Sensibilidad (Sens): tendencia o propensión de los enfermos a dar positivo
Especificidad (Esp): tendencia o propensión de los sanos a dar negativos
Valor predictivo positivo (VP+): confianza o credibilidad de un resultado positivo
Valor predictivo negativo (VP-): confianza o credibilidad de un resultado negativo
Sucesos condicionados y procedimientos de detección
En otras palabras:
Sensibilidad (Sens): Es la capacidad el método para detectar a los enfermos; mide el porcentaje de enfermos que el método es capaz de detectar
Especificidad (Esp): Es la capacidad del método para identificar a los que no tienen la enfermedad. Mide el porcentaje de sanos que dan negativo a la prueba
Valor predictivo positivo (VP+): Mide la probabilidad de que una persona que resultó positiva a la prueba realmente tenga la enfermedad
Valor predictivo negativo (VP-): Mide la probabilidad de que una persona que resultó negativa a la prueba realmente esté sana.
E+/Et x 100
S-/St x 100
P(E+/+) x 100
P(S-/-) x 100
Sucesos condicionados y procedimientos de detección
En la sensibilidad y especificidad el condicionante es la realidad(enfermo o sano), mientras que el condicionado es el indicador, o seavan de la causa a la consecuencia; los valores predictivos van al revés,van del indicador hacia la realidad: Ejemplo
Prueba aceptada
+ - TOTAL
Enfermos 94 38 132
sanos 215 653 868
TOTAL 309 691 1000
Probabilidades diagnósticas en una muestra con 13,2% de enfermos
Sucesos condicionados y procedimientos de detección
Prueba aceptada
+ - TOTAL
Enfermos 94 38 132
sanos 215 653 868
TOTAL 309 691 1000
Sens= P(+/E) .... 94/132= 0,712.. = 71,2%
Esp = P(-/S) .... 653/868= 0,752.. = 75,2%
VP+ = P(E/+) .... 94/309= 0,304.. = 30,4%
VP- = P(S/-) .... 653/691= 0,945.. = 94,5%
La sensibilidad y especificidad pueden ser universales (se pueden extrapolar deuna población a otra), pero los valores predictivos dependen de la frecuenciade la enfermedad en la población de estudio
Sucesos condicionados y procedimientos de detección
Ejemplo:
Se estima que el 10% de una granja de vacunos de cierto vecindario tiene fiebreaftosa; una muestra de sangre sirve para detectar la enfermedad. Deexperiencias anteriores se sabe que el análisis de sangre tienen una sensibilidadde 99% y especificidad de 90%.
a. Si el análisis de sangre resulta positiva, ¿cuál es la probabilidad de que notenga tuberculosis?
b. Si la prueba resulta negativa , ¿Cuál es la probabilidad de que estéenferma?
Distribución binomial
Marque la alternativa correcta.1. Las variables cualitativas indican cualidades no medibles en números…( )2. Las variables continuas permiten datos en decimales… ( )
Si te proyectas en el acto de «champear» (adivinar) las respuestas a dospreguntas , tendrías las siguientes alternativas:
a. VV b. FF c. VF d. FV
La distribución binomial da las probabilidades de diferentesresultados de una serie de sucesos aleatorios, cada uno de los cualespuede tomar solamente uno de los dos valores.
Distribución binomial
La distribución binomial da las probabilidades de diferentes resultados de unaserie de sucesos aleatorios, cada uno de los cuales puede tomar solamenteuno o dos valores.
La distribución binomial nos permite describir y darnos lasposibilidades de sucesos dicotómicos
Del ejemplo anterior, si tuviéramos 15preguntas, las probabilidades deacertar a la respuesta correcta enforma ordenada de V o F llegan a 215
formas distintas
Sin embargo existe un método fácilllamado desarrollo binomial paracalcular esto
Desarrollo binomial
Definamos términos:
En base a un planteamiento:
Pueden existir garrapatas por cada ovino que revisamos ¿Cuál es la probabilidad dehallar 7 ovinos con garrapatas en 10 evaluaciones a ovinos?
n: es el número de intentos (10 en nuestroejemplo)r: es el número de resultados favorables (7en este caso)p: es la probabilidad de que tenga lugar elsuceso que nos interesa en cada intento (ennuestro caso 0,5)q: es (1-p)
𝑛!
𝑟! 𝑛−𝑟 !pr.qn-r
Siendo n!: factorial de n
Es decir n!= n x (n-1)x (n-2)x…x 1
Desarrollo binomial
¿Cuál es la probabilidad de hallar 7 ovinoscon garrapatas en 10 evaluaciones?
𝑛!
𝑟! 𝑛−𝑟 !pr.qn-r
10!
7! 10−7 !0,57.0,510-7
La probabilidad de hallar exactamente 7 infestados en10 ovinos esta por debajo del 12% si escogemos lospacientes al azar.
= 0,1172
¿Y la probabilidad de hallar por lo menos 7infestados en 10 ovinos?
8 de 10 = 0,04399 de 10 = 0,009810 de 10 = 0,0010
Si decimos «por lo menos 7», entonces quiere decirque es válido 8, 9, 10 infestados en las 10 revisiones…necesitamos hallar la probabilidad acumulada de7,8,9,10
Sumando los resultados obtenemos 17,09%
Respuestas:Existe 11,72% de posibilidades de hallar 7 infestadospor cada 10 ovinos que evaluamos, y la posibilidad de17% de hallar por lo menos 7 infestados en la mismacantidad de ovinos
7 de 10= 0,11728 de 10= 0,04399 de 10= 0,009810 de 10= 0,0010
Desarrollo binomial¿Y la probabilidad de hallar por lo menos 7 infestadosen 10 ovinos?
Ahora, si tomamos en cuenta los antecedentes enrevisiones literarias sobre los infestados en lapoblación, alcanzan el 20%, ¿Cuál es la probabilidadde hallar 5 infestados en 15 ovinos?
n: 15 pacientesr: 5 pacientesp: 0,20 (prevalencia)q: es (1-p) = 0,80
𝑛!
𝑟! 𝑛−𝑟 !pr.qn-r
= 0,1032
Desarrollo binomial
Ejemplo 02
¿Cuál es la probabilidad de hallar 5 infestados en 15ovinos? Considere los datos de prevalencia anterior
n: 15 pacientesr: 5 pacientesp: 0,20 (prevalencia)q: es (1-p) = 0,80
= 0,1032
Rpta: la probabilidad de hallar 5 infestados en15 ovinos es del 10,32%
𝑛!
𝑟! 𝑛−𝑟 !pr.qn-r
Propiedades de la distribución binomial
Las propiedades de una distribuciónbinomial dependen de n y p(también de q). Entonces:
Media= n.p
Varianza= n.p.q
D.E= 𝑛. 𝑝. 𝑞Cuando aumentamos el valor de n (muestra )manteniendo el valor de p, una gráfica puedeparecerse más a una distribución normal.
Para n=30, una figura (o curva) es idéntica a la normal
Propiedades de la distribución binomial
Si trabajamos con distribuciones binomiales con n igual o mayor que 30,podemos aproximar a una curva normal.
Cuando p=0,5, podemos usar la curva normal a partir de n=10, pero cuando pse aleja de 0,5 se parece menos a la curva normal, por lo que debemos usar lacurva normal sólo cuando n es por lo menos 30.
En distribución normal se trabajan con variables continuas
En distribución binomial se trabajan con variables discretas
De esto de deduce: Que en realidad el valor discreto 5, abarca los extremos continuos 4,5 -5,5
Teaching point
Aproximación de la distribución binomial a la normal
Representación de la distribución Binomial de parámetros: B (n;p)
Representación de la distribución Normal de parámetros: N (𝜇; 𝜎)
Cuando “n” es grande, la distribución Binomial resultalaboriosa…Abraham de Moivre (1664-1754) demostró quebajo ciertas condiciones una distribución Binomial se puedeaproximar a una distribución Normal de media: 𝜇 = n.p ydesviación estándar (típica): 𝜎= 𝑛. 𝑝. 𝑞
𝑛!
𝑟! 𝑛−𝑟 !pr.qn-r
B(n,p) ≅ N(n.p, 𝒏. 𝒑. 𝒒)
Aproximación de la distribución binomial a la normal
Al observar las gráficas de varias distribuciones binomiales se evidencia que a medida queaumenta el parámetro “n” , su gráfica se asemeja más a la gráfica de una distribución normal:
Una diferencia entre losgráficos normal ybinomial es que ladistribución binomial seva desplazando a laderecha a medida queaumenta “n”.
Aproximación de la distribución binomial a la normal
Para evitar esta desviación se corrige o ajustan ambas distribuciones restando a lavariable la media y dividiéndola por la desviación estándar de la distribución binomialcon la que trabaja:
La bondad de aproximación es mejor a medidaque aumenta “n” (de preferencia mayor a 30)
y cuando p sea más próximo a 0,5
Si, n. p. ≥ 5 𝑦 𝑛. 𝑞 ≥ 5, entonces la aproximaciónes adecuada permitiéndonos calcularprobabilidades con facilidad
𝑋 =𝑥 − (𝑛. 𝑝)
𝑛. 𝑝. 𝑞Z=
𝑿 − 𝑿
𝑺
Aproximación de la distribución binomial a la normal
Aplicando a nuestro ejemplo¿Cuál es la probabilidad de hallar 5 ovinos con garrapatas15 revisiones? Considerando una prevalencia de 20%.
Z=𝑿 − 𝑿
𝑺
Recordemos que 5 es discreto, pero de modo continuosería representado por sus extremos: de 4,5 a 5.5
Debemos tipificar cada extremo de acuerdo a la fórmula
Media= n.p = 15x 0.20= 3
D.E= 𝑛. 𝑝. 𝑞= 15𝑥0.20𝑥0.80
Z0,45= 1,61
Z5,5= 0,97Se calcula (tipifica) para X=4,5 y X=5,5
De acuerdo a la tabla Z, la diferencia entre ellos es0,1123, que indica que la probabilidad de hallar 5infestados en 15 ovinos es 11% aproximadamente.
Considerando el p=20 y que n era menor a 30, lacifra es cercana a la calculada con la distribuciónbinomial: 0,1032.
Aproximación de la distribución binomial a la normal
Conclusiones
- La probabilidad se puede determinar a través del método empírico o teórico
- La sensibilidad y especificidad de una prueba permiten determinar el gradode confianza que uno puede
- Para muestras: n ≥ 30, la curva de distribución binomial y normal expresanpropiedades equivalentes
