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UNIDAD UNOUNIDAD UNO
“NÚMEROS”“NÚMEROS”
¿De qué se tratará esta
Unidad?
Para esto seguramente será necesario que repases las operaciones básicas para que las ocupes en distintas situaciones.
Consiste en profundizar los conceptos aprendidos en educación Básica sobre los números enteros, fraccionales y decimales, positivos y negativos.
Números
Números Naturales
Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor
Números Enteros
Números Racionales
Números Irracionales
Números Reales
¿ QUÉ PRENDERÁS
Sistema de EvaluaciónSistema de Evaluación
• Se realizarán evaluaciones formativas y una prueba sumativa al terminar la Primera Unidad.
• Las evaluaciones formativas serán mediante prueba escrita, trabajos en clase o revisión de cuaderno con los ejercicios resueltos.
A lo largo de la historia el hombre ha tenido la
necesidad de contar y de solucionar problemas. Los primeros
números escritos de los que tenemos noticia nacieron en Egipto
y Mesopotamia hace unos 5.000 años. Unos 3.000 años
después, los romanos inventaron nuevos símbolos utilizando
letras.
Conoces algunos antecedentes sobre la Historia de los Números.
Pero el más notable de todos los sistemas
numéricos primitivos fue el sistema de
numeración de los mayas, un pueblo de América
Central.
La matemática se ha ido construyendo
recopilando información de diversas culturas
hasta lo que hoy conocemos.
Conoces algunos antecedentes sobre la Historia de los Números.
La invención del cero se ha atribuido, por lo general, a los hindúes (en una fecha anterior al año 800 d. C. que todavía no se ha podido precisar) y aún se discute si los primeros fueron ellos o los babilonios.
El cero es un interesante ejemplo de los orígenes independientes de las ideas matemáticas en culturas diferentes.
Un poco de Historia…….
Conoces algunos antecedentes sobre la Historia de los Números.
A INVESTIGAR ¡¡¡¡
Señala dos ventajas que para la humanidad ha
tenido la invención del cero.
Conoces algunos antecedentes sobre la Historia de los Números.
Cuadrados Mágicos
Un cuadrado mágico es un conjunto de números
ordenados en igual cantidad de columnas y filas, de
manera que los números de cada fila, columna y
diagonal sumen lo mismo.
Por ejemplo, en el siguiente cuadrado los
números de cada fila, columna y diagonal
suman 34:
162313
511108
97612
414151
Columna
s
Filas15 14 41
En la primera fila:
En la segunda columna: 15 + 6 + 10 + 3= 34, etc.
1 + 15 + 14 + 4 = 34
Diremos entonces que el número mágico de este cuadrado es 34.
A trabajar ¡¡¡¡¡¡
Completa en tu cuaderno los siguientes cuadrados mágicos, determinando en primer lugar el número mágico:
151544
121299
88111155
33221616
99221111
3319191212
13136644
141477552323
151588111717
En cursos anteriores ya has estudiado los números
naturales y sus operaciones. ¿Qué recuerdas de ellos?
Encontrarás los números naturales en muchas
situaciones y anuncios como los siguientes:
TERREMOTO DEJA UNA CIFRA DE 1.080 DAMNIFICADOS
COMBO 1:1 HOTDOGBEBIDAPAPAS FRITAS$1.080
SE VENDE:
Departamento de 2 y 3 dormitorios desde 1.080 UF
Si observas la cifra que aparece en cada anuncio, podrás notar
que el número es el mismo, sin embargo, representan algo distinto
dependiendo del contexto en que esté.
El Conjunto de los Números Naturales se designa por laletra lN.
Se expresa por extensión como: lN = 1, 2, 3, 4, 5,...
Si a este conjunto agregamos el cero obtenemos elconjunto .
0lN
0lN = 0, 1, 2, 3, 4, 5,...
Las propiedades en el conjunto de los números naturales son las siguientes :
3. Tiene primer elemento ( el 1 ).
4. Es infinito, o sea, no tiene último elemento.
5. Entre dos números consecutivos, no existe otro.
El conjunto es DISCRETO.DISCRETO.
7. Está ordenado por la relación “menor” ,“mayor o
igual”.
8. Se aplica la propiedad de tricotomía.
( Dos números , se pueden comparar con una sola
de las siguientes relaciones : “mayor” , “menor” o
“igual”.)
Además de las propiedades anteriores, este conjunto se puede
separar en dos “subconjuntos”: los parespares y los imparesimpares, y ningún
número pertenece a ambos.
Los pares son: 2, 4, 6, 8, 10… y los impares son: 1, 3, 5, 7, 9…
Además a veces se pueden escribir secuencias con números
naturales que cumplen con alguna característica común o
regularidad.
Por ejemplo, en la secuencia 12, 15, 18, 21,… cada número se
obtiene agregándole 3 al anterior.
En el siguiente ejemplo, verifica que en cada fila las igualdades sean verdaderas.
5 = 1 · 5
5 + 7 = 2 · 6
5 + 7 + 9 = 3 · 7
5 + 7 + 9 + 11 = 4 · 8¿Cuál sería la décima fila?
Para resolver este problema observa cómo son las sumas que están a
la izquierda y los factores correspondientes de la derecha.
Los problemas anteriores se caracterizan porque debes
descubrir la regularidad numérica, el patrón o ley de formación
de la secuencia.
Trabajo en Equipo:Trabajo en Equipo:2. Observen y verifiquen las siguientes igualdades:
1 · 9 + 2 = 11
12 · 9 + 3 = 111
123 · 9 + 4 = 1.111
1.234 · 9 + 5 = 11.111
g) ¿Cuál será la octava fila?
h) Según el patrón dado, ¿Cuánto sería 1.234.567 · 9 + 8?
2. En el siguiente problema las fichas circulares están
colocadas en arreglos triangulares.
b) ¿Cuántas fichas se necesitarán para los dos arreglos
triangulares siguientes?
c) Si en el arreglo triangular del lugar 28 se necesitaron
406 fichas, ¿cuántas se necesitarán para el del lugar
29?
Los números naturales los encontramos no sólo en los diversos
tipos de información, sino en las actividades diarias. Los
utilizamos cuando hacemos las compras en el supermercado,
cuando pagamos cuentas como la del teléfono, el agua, el gas o
la luz; cuando pagamos el pasaje en una micro, y en muchas
otras ocasiones. En todos estos casos no basta conocerlos,
sino que es importante saber operar con ellos, es decir,
sumar, restar, multiplicar y dividir.
En lN se definen las siguientes operaciones, con sus respectivas propiedades :
i) Cerrada, a, b lN a b = c , c lNii) Asociativa, a, b, c lN; (a b) c = a ( b c)iii) Elemento Neutro, a lN ! 1 lN tal que a 1 1 a a (todo número natural multiplicado por
1 da el número natural ). iv) Conmutativa, a, b lN, a b = b a v) Distributividad de la multiplicacióncon respecto a la adición : a, b, c lN ; a ( b + c ) = a b + a c
i)Cerrada, a, b lN, a + b = c , c lN(al sumar dos naturales, el
resultado es también un natural).
v) Asociativa, a, b, c lN; (a + b) + c = a + ( b + c)
ix) Conmutativa, a, b lN, a + b = b + a
MULTIPLICACIONADICION
EJERCICIOS CON LOS NÚMEROS NATURALES :
4. Se compran 8 libros a $ 2.500 cada uno, 5 lápices a $ 1.200 cada uno y 4 lápices Parker a $4.100 cada uno. Si se vende todo a $ 40.800 ¿Cuánto se descuenta ?
3. Si a · b · c = 30 ¿ Cuánto vale b · a · c = ...... y c · a · b = ......
2. Clarifica por medio de un ejemplo el concepto de la distributividad de la multiplicación con respecto a la adición.
1. ¿ Porqué el conjunto de los números naturales no tiene elemento neutro para la suma ?
1. Compré 14 trajes a $ 30.000 cada uno; 22 sombreros a $ 2.000 cadauno y 8 bastones a $ 5.000 cada uno. Vendo los trajes por un total de $ 560.000, cada sombrero a $ 1.000 y cada bastón a $ 3.000. ¿ Gano o pierdo ? ¿ Cuánto ?
5. Un auto sale de Osorno al Sur a 70 km/hra y otro vehículo sale hacia el Norte a 85 Km/hra. Si ambos salen a las 10 de la mañana ¿A qué distancia se hallarán a la 1 de la tarde ?
Números PrimosNúmeros Primos
Los números primosnúmeros primos son aquellos números
naturales que se pueden descomponer en exactamente
dos factores distintos: el unouno y el mismo número.mismo número.
EJEMPLO
El 17 es un número primo, porque al escribirlo como producto resulta:
1 · 17 = 17 o 17 · 1 = 17, es decir, sus únicos factores son el uno y el mismo 17.
El 27 “NO ES UN NÚMERO PRIMONO ES UN NÚMERO PRIMO”, porque al
escribirlo como producto resulta:
1 · 27 = 27 o 27 · 1 = 27 o 9 · 3 = 27 o 3 · 9 = 27
, es decir, sus factores pueden ser el 1, el 3, el 9 y el 27.
Se dice entonces que el 27 es un “NÚMERO
COMPUESTO”.
OBSERVACIONES:
El número uno no es un número primono es un número primo ni compuesto.
Los primeros números primos son:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,……
La demostración de que existen infinitos números
primos fue hecha por Euclides, en el siglo II
a. de C., y es considerada una de las más bellas
en la Historia de la matemática.
Una de las propiedades importantes de los números primos
es que cualquier número natural mayor que 1 es primo o se
puede expresar como producto de números primos.
Por ejemplo, el número 120 se puede expresar como
2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 120 o escrito en potencias: 23 · 31 · 51 = 120
Esta descomposición se llama factorización primafactorización prima y tiene
importancia para el estudio de las propiedades de los
números; entre ellas, los divisores de un número, el cálculo
del máximo común divisor (MCD) y del mínimo común
múltiplo (mcm).
Para descomponer un número en factores primos
procederemos dividiendo el número sucesivamente por los
números primos hasta llegar al último factor primo, tal
como se puede apreciar en el siguiente ejemplo:
• Descomponer el número 2.700 en factores primos:
233355
1.350 675 225 75 25 5 1
22.700
Por lo tanto, la descomposición de 2.700 en factores primos corresponde a: 22 · 33 · 52.
Trabajito:Trabajito:
2. Clasifica los siguientes números naturales en primos o compuestos.
29, 101, 67, 71, 13, 79, 91, 677, 479, 386, 401.
4. ¿ Por qué el número uno no es primo?
5. Descompón los siguientes números en sus factores primos:
f) 144
g) 136
h) 228
i) 350
10.Escribe todos los números primos desde el 23 al 61.
(Son 10).
MÚLTIPLOS Y DIVISORESMÚLTIPLOS Y DIVISORES
En una radioemisora, cada 15 minutos una locutora anuncia la hora mediante una grabación programada automáticamente a través de una computadora.
Por lo tanto, las horas son anunciadas a los 15, 30, 45, 60 minutos,… después de la primera vez.
Estos números corresponden a los múltiplos múltiplos de 15 y son el producto de 15 por los números naturales 1, 2, 2, 4, 5,…,etc.
El conjunto de todos los múltiplos de 12 lo designaremos
con el símbolo M(12) y corresponde a : {12,24,36,48,60,…}
Si quisiéramos saber si 168 es múltiplo o no de 12, es
decir, si pertenece al conjunto anterior, tenemos que
saber si 168 es el producto de 12 por algún otro número
natural, es decir, averiguar si 12 divide exactamente a
168.
Ya que 168 = 14 · 12; podemos asegurar que 168 es múltiplo
de 12 o que 12 es divisor de 168.
Los conceptos de múltiplo y divisormúltiplo y divisor están
fuertemente relacionados.
Si designamos por a y b dos números naturales,
podemos establecer:
“ “ Si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a”.Si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a”.
Para determinar en forma rápida si un número es divisible o no por otro existen las llamadas reglas de divisibilidad, reglas de divisibilidad, algunas de las cuales se presentan a continuación:
12 es múltiplo de 4.
3.712Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro.
4
1+5+4+2=12 y éste es múltiplo de tres.
1.542La suma de sus cifras es múltiplo de tres.
3
6 es número par.2.536Su última cifra es un número par.
2
Ya queEjemploCuando
Un número es divisible por
(2+9)-(6+5)=06.259La suma de las cifras ubicadas en un lugar impar restada con la suma de las cifras ubicadas en el lugar par da cero o es múltiplo de 11
11
Termina en 0.2.360Su última cifra es cero.10
5+8+1+4=18 Y éste es múltiplo de nueve.
5.814La suma de sus cifras es un múltiplo de nueve.
9
4 es número par y 2+2+1+4=9 y éste es múltiplo de 3.
2.214Es divisible por dos y tres a la vez.
6
Termina en 5.2.685Su última cifra es 0 o 5.5
Observación
Los divisores de un número se pueden obtener de diferentes maneras:
Usando las reglas de divisibilidad.
Descomponiendo el número en diversas multiplicaciones de dos factores. Por ejemplo:
2424 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6,
entonces los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
Ayuda:
Tú puedes calcular cuántos divisores tiene un número multiplicando los sucesores de los exponentes de la factorización prima.
Por ejemplo: 335
45 15 5 1
2 90
Su factorización prima es: 9090 = 21 · 32 · 51 ,
luego los exponentes son 1,2 y 1.
Finalmente multiplicamos los sucesores, es decir,
2 ·3 ·2 = 12
Por lo tanto 90, tiene 12 divisores.
D(90)={1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}
ACTIVIDAD:
2. Descompón los números 72 y 180 en factores
primos y determina cuatro divisores comunes.
Mínimo Común Múltiplo Y Máximo Mínimo Común Múltiplo Y Máximo Común DivisorComún Divisor
Revisemos las siguientes situaciones de la vida diaria en que se aplica el
cálculo del mcm y del MCD:
En el taller:
Juan ha comprado un vehículo y leyendo el manual observó que el
cambio de aceite debía hacerse cada 6.000 km, el cambio de filtro de
aceite cada 10.000 km, y la revisión de frenos cada 12.000 km.
Al leer esto se preguntó: ¿en cuántos kilómetros más tendré que hacer
las tres cosas a la vez?
Juan decidió anotar los kilómetros en que tendrá que hacer los cambios
de aceite, de filtro de aceite y la revisión de frenos, y ordenarlos, con lo
que obtuvo:
Cambio de aceite: 6.000, 12.000, 18.000, 24.000, 30.000, 36.000,
42.000, 48.000, 54.000, 60.000,66.000,……
Cambio de filtro: 10.000, 20.000, 30.000, 40.000, 50.000, 60.000,….
Revisión de frenos: 12.000, 24.000, 36.000, 48.000, 60.000, 72.000,…
¿Puedes decir ahora a los cuántos kilómetros le corresponden los tres
servicios?
El número que debe calcular Juan corresponde al menor de los múltiplos comunes, es decir, al mcm (mínimo común mínimo común múltiplomúltiplo).
El cálculo del mcm se puede realizar utilizando la descomposición en factores primos de los números.
6.000= 24 ·3 · 53
10.000=24 · 54
12.000= 25 · 3 · 53
Ahora, para hallar el mcm se deben multiplicar todos los se deben multiplicar todos los factores primos distintos que aparecen en las factores primos distintos que aparecen en las descomposiciones, elevados al mayor exponente que tenga descomposiciones, elevados al mayor exponente que tenga cada uno.cada uno.
En este caso el mcm es: 25 · 3 · 54 =60.000
RECUERDA:
El MCD se puede calcular desarrollando la
descomposición prima y multiplicando posteriormente
los factores comunes elevados cada uno al menor
exponente que tenga en las descomposiciones.
Ejemplo:
Clara está a cargo del festival del colegio y debe
empapelar una parte de una pared con cuadrados de
cartulina de diversos colores.
El pliego de cartulina de color tiene un tamaño de 72 por
96 cm y quiere hacer la menor cantidad de cortes posibles
para que no sobre material en cada pliego. ¿Cuánto debe
medir el lado de cada cuadrado para que cumpla con
lo anterior?
Para resolver esto, Clara debería calcular el máximo
común y divisor (MCD) de 72 y 96.
72 =
