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TEMATRIGONOMETRÍASAN MARCOS REGULAR 2009 - III

RAZONES TRIGONOMÉTRICASDE ÁNGULOS AGUDOS

I. CONCEPTOS PREVIOSTriángulo ABC (recto en B)

B A

C

a b

c

a y c (catetos) b ab c

b (hipotenusa)

II. DEFINICIÓNLa razón trigonométrica de un ángulo agudo se definecomo el cociente que se obtiene al dividir las medidasde las longitudes de sus lados del triángulo rectánguloque lo contiene con respecto a este ángulo agudo.De esta manera, con respecto a un mismo ánguloagudo, podemos obtener seis distintos cocientes, paralos que se define:

Cateto opuesto aSen AHipotenusa b

Cateto adyacente cCos AHipotenusa b

Cateto opuesto aTan ACateto adyacente cCateto adyacente cCot ACateto opuesto a

Hipotenusa bSec ACateto adyacente c

Hipotenusa bCsc ACateto opuesto a

TRIGONOMETRÍA - TEMA 2

III. PROPIEDADES DE LAS RAZONESTRIGONOMÉTRICAS

AB

C

c

a b

Aplicando definiciones:

Se incluyó en los exámenes de SAN MARCOS 2000, 2001, 2004 y 2007.

• En todo ABC (recto en B), se cumple elteorema de Pitágoras:a2 + c2 = b2

a2 = b2 – c2

La trigonometría fue inventada como un medio para medirindirectamente las partes de un triángulo rectángulo. De hecho,la palabra trigonometría significa 'medición de tres ángulos'.Actualmente la trigonometría tiene muchas aplicaciones que

nada tienen que ver con triángulos, pero los conceptos básicosse entienden mejor todavía en relación con el triángulorectángulo. Iniciamos nuestro estudio de la trigonometría conun breve análisis del triángulo rectángulo.

120TRIGONOMETRÍA SAN MARCOS REGULAR 2009 - III2

TEMA

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

120

A. Razones recíprocas

Sen A Csc A 1Cos A Sec A 1Tan A Cot A 1

Comprobación

a bSen A Csc A 1 1 1 1b a

B. Razones complementarias (Co-razones)De las definiciones, en (III) se observa:

Sen A Cos C Tan A Cot C

Sec A Csc C

m A m C 90

Ejemplo:

• Sen 70° = Cos 20º

• Sec (30°+x) = Csc(60º - x)

• Tan 70° = Cot 20º

• Tan (50°+ 50°+ ) = Cot (40º - )

• Cos (90°– )= Sen

• Csc (x – y) = Sec (90º – x + y)

En general:

RT( ) CO RT(90 )

C. El valor de una razón trigonométrica solodepende de la medida del ángulo de referencia

Sabemos:

C.O.TanC.A.

a mTanb n

IV. TRIÁNGULOS PITAGÓRICOSTriángulos en que las longitudes de los lados sonnúmeros enteros positivos.

V. TANGENTE Y COTANGENTE DELÁNGULO MITAD

A B

C

b a

c

ATan Csc A Cot A2

ACot Csc A Cot A2

Demostracíon:

A/2

A/2

A

b

b

B

C

D

a

cA

• Se prolonga la base BA hasta el punto (D) de manera

que AD = AC.

• Unimos el punto D y el punto C.

• El triángulo DAC es isósceles.

A b c b cCot2 a a a

• En el triángulo ABC:

ACot Csc A Cot A2

En todo ABC (recto en B)

m A m C 90

Si a y b son PESI, entonces m = ak ; n = bk .

121SAN MARCOS REGULAR 2009 - III TRIGONOMETRÍA 2TEMA


121

Problema 1

Si4Cosx5 , calcula el valor de:

E = 9 ( C o t

2x + Csc2x)es:

San Marcos 1997

Nivel fácil

A) 27 B) 41 C) 81/41D) 9/41 E) 41/9

ResoluciónUbicación de incógnitaCalcula el valor de razonestrigonométricas.

Análisis de los datos– Sabemos:

C.A.CosH

C.A.CotC.O. HCot

C.O.

Operación del problema:En el triángulo, reemplazando en E:

4 5 16 25 41E 9 9 93 3 9 9 9

2 2

E = 41

Respuesta: B) 41

Problema 2De la figura QM y MR están en la razónde 3 a 4. Calcula Tan .

San Marcos 2003

Nivel intermedio

A)35 B)

2 27

C)25

D)45 E)

27

Resolución

Ubicación de la incógnitaCalcula el valor de una razóntrigonométrica (Tan)

Análisis del gráfico

VI. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLESa. Exactos

45º

45º

1 k

1 k

k 2

60º

30º

2 k1 k

k 3

b. Aproximados

37º

53º

3 k

4 k

5 k74º

16º

25 k7 k

24 k

VII.TABLA DE VALORES NOTABLES

30° 60° 45° 37° 53°

Sen 1/2 3 /2 2 /2 3/5 4/5

Cos 3 /2 1/2 2 /2 4/5 3/5

Tan 3 /3 3 1 3/4 4/3

Cot 3 3 /3 1 4/3 ¾

Sec 2 3 /3 2 2 5/4 5/3

Csc 2 2 3 /3 2 5/3 5/4

Operación del problema– Trazamos MN perpendicular al

lado PR.

– Triángulo rectángulo RNM(de 45°)

– Dato:QM 3KMR 4K

QM 3K Sea K 2MR 4K

QM 3 2MR 4 2

– Triángulo rectángulo PQR(de 45°)

– PQ = QR = 7 2 PR 14

Conclusiones

Graficando:

4 2Tan10 5

Respuesta: C)25


TEMA


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NIVEL I1. En un triángulo rectángulo, el

coseno de uno de sus ánguosagudos es 0,96. Si su hipotenusamide 50 m, hallar el perímetro dedicho triángulo.A) 112 m B) 224 m C) 96 mD) 52 m E) 412 m

2. Si 6Sen –Csc 1 y es agudo,

calcula 2 2A Cos Cot

A) 1,7 B) 2,7 C) 3,7D) 4,7 E) 5,7

3. ABCD es un cuadrado dondeBC = 5CE. Calcula Cos .

A) 5/4 B) 41 /5

C) 41 /4 D) 17 /5

E) 17 /9

4. Si F x Csc Tan 2Cos3n 2n n 1

Calcula: F(2)A) 2º B) 2C) 22 D) 23

E) 0

NIVEL II5. En la figura, hallar "Tan "

A) 2 B) 2

C) 3 D) 3 /2

E) 5

6. Si Senx.Secy = 1, "x" e "y" sonángulos agudos.Calcula:

x y x yE Tan .Cot .Tanx.Tany

2 3

A) 1 B) 2

C) 3 D) 5

E) 6

7. Si: 3

Sen –2x y Tanx 1

2

El valor de "q" es:

2

21 Tan x

q1 Cot x

A) 2 B) 2/3

C) 3 D) 1/2

E) 1/3

8. Siendo "x" un ángulo agudo, secumple que:

Sen Cot Secx . Csc Tan Secx 18 3

Calcula: Tanx.

A) 22 /11 B) 23 /11

C) 2 6 /11 D) 26 /11

E) 29 /11

Problema 3En la figura, EF = 2 cm. Halla BC.

San Marcos 2008

Nivel díficil

A) 2sen cm B) 2ctg cmC) 2cos cm D) 2tg cmE) 2sec cm

ResoluciónUbicación de incógnitaDeterminar la longitud del lado BC

Análisis de los datos o gráficos

Operación del problema* Desde el punto E, trazamos una

perpendicular al segmento CF.* BC // EH también BC = EH.* Graficamos:

x

2E

H

F

Por resolución:x = cos2x = 2cos

Conclusiones

En el sombreado:

x =2cos

Método práctico

Sabemos:

Respuesta: C) 2cos α c m

123SAN MARCOS REGULAR 2009 - III TRIGONOMETRÍA 2TEMA


123

9. Si

2 2

2 2ab Sen10º–1 a –b Cos80º

Mab Cos80º 1 a b Sen10º

Simplifica:

1 M1–M

A) b/a B) 2C) 2a/b D) 3b/aE) a/b

10.En un triángulo rectángulo ABC(C = 90º), se cumple:

TanA + TanB =23

(SecA + CscB)

Hallar el valor de: E = SenA + CosBA) 3/2 B) 2/3C) 4/3 D) 3E) 5/3

11.En un triángulo rectángulo (C = 90º)se cumple:SenA . TanB – SecB.TanA = –2Calcular: T = 2TanB.CscA – 3A) –5 B) 1C) 1/2 D) –2E) –3

12.Del gráfico mostrado, determine elvalor de sabiendo que

AB = BC = AC

A) 1/2 B) 3 /8 C) 3 /4

D) 2/5 E) 3 /6

NIVEL III

13.A partir del gráfico, halla:

P 1 Tan , siendo AB = BC = CD.

A) 2 3 B) 4 3

C) 6 3 D) 3 2

E) 2 2

14.Del gráfico, calcula: " Tan "(T y C son puntos de tangencia).

A) 1/3 B) 1/4C) 1/6 D) 1/8E) 1/16

15.En el cuadrado ABCD, calcula:K 3Tan –9Tan ; A es un centrode EC.

A) 3 B) 4C) 5 D) 6E) 7

1. Completa (razones recíprocas):Sen50º _______________Tan3x _______________Cos(y + 10º) _______________

2. Completar:

3. Completa:I. Tan45º + 2Sen30º = ____________II. Csc30º + Sec245º = ____________III. 5Sen37º + Tan260º = ____________

4. Completa (triángulo de Pitágoras):


TEMA


124

5. Completa (razones complementarias)Sec50º = _____________

Tan(25º + ) = _____________Sen = _____________

6. De la figura:

a = _________

x = _________

7. Completa:

3Tan

5

Perímetro = __________

Cot 2,4

Área = __________

8. Completa:

Cot __________2

Tan __________2

9. Sabiendo que 0º < x < 90º

Tan7xCot x 10º 1 x ________

Sen2x Cosx x ________

10.Señala si los siguientes enunciados son verdaderos (V)o falsos (F):

I. Cot18º30' = Sec60º + Tan45º ( )

II. Cot26º30' = Sen30º + Cos60º ( )

III. Tan22º30' + 2Sen30º = Csc30º ( )

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