UNIVERSITEDEPROVENCE(AIX-MARSEILLEI)TH`ESEpourobtenirlegradedeDOCTEURDELUNIVERSITEAIX-MARSEILLEIDiscipline :ACOUSTIQUEpresenteeetsoutenuepubliquementparRomainBelletle19octobre2010VERSUNENOUVELLETECHNIQUEDECONTROLEPASSIFDUBRUIT:ABSORBEURDYNAMIQUENONLINEAIREETPOMPAGEENERGETIQUEDirecteuretCodirecteurdeth`ese :BrunoCochelinetPierre-OlivierMatteiJuryPresident MrClaude-Henri Lamarque Professeur,ENTPELyonRapporteurs MrBertrandDubus Directeurderecherche,IEMNLilleMrGaetanKerschen Professeur,UniversitedeLi`egeExaminateurs MrUlfKristiansen Professeur,NorwegianInstituteofTechnologyMrAlainPocheau Professeur,UniversitedeProvence-IRPHEMrBrunoCochelin Professeur,CentraleMarseille-LMAMrPierre-OlivierMattei ChargederechercheHDR,LMAInvites MrZoranDimitrijevic IngenieurPSAMrPhilippeHerzog Directeurderecherche,LMAtel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010UNIVERSITEDEPROVENCE(AIX-MARSEILLEI)TH`ESEpourobtenirlegradedeDOCTEURDELUNIVERSITEAIX-MARSEILLEIDiscipline :ACOUSTIQUEpresenteeetsoutenuepubliquementparRomainBelletle19octobre2010VERSUNENOUVELLETECHNIQUEDECONTROLEPASSIFDUBRUIT:ABSORBEURDYNAMIQUENONLINEAIREETPOMPAGEENERGETIQUEDirecteuretCodirecteurdeth`ese :BrunoCochelinetPierre-OlivierMatteiJuryPresident MrClaude-Henri Lamarque Professeur,ENTPELyonRapporteurs MrBertrandDubus Directeurderecherche,IEMNLilleMrGaetanKerschen Professeur,UniversitedeLi`egeExaminateurs MrUlfKristiansen Professeur,NorwegianInstituteofTechnologyMrAlainPocheau Professeur,UniversitedeProvence-IRPHEMrBrunoCochelin Professeur,CentraleMarseille-LMAMrPierre-OlivierMattei ChargederechercheHDR,LMAInvites MrZoranDimitrijevic IngenieurPSAMrPhilippeHerzog Directeurderecherche,LMAtel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010RemerciementsMarquantlandunelongueaventuretr`espersonnellemaisloindetresolitaire,jetiensainsi`aremerciericilesnombreusespersonnesquimontaide`aleurmani`ere`alaccomplissementdecetravail.Merci tout dabord`aBertrandDubus et GaetanKerschendavoir si rapidement acceptedetrerapporteursdemath`eseet`aClaude-Henri Lamarquedavoiracceptedepresidermonjury. Merci aussi `a Ulf Kristiansen, Alain Pocheau et Zoran Dimitrijevic davoir bien voulu fairepartiedemonjury.Jeremerciesinc`erementmondirecteurdeth`eseBrunoCochelindemavoirpermisdetra-vailler avec lui sur ce sujet si motivant. Merci de mavoir laisse mener cette th`ese avec autant deliberte, jai eubeaucoupdeplaisir`atravailleravectoi. Merci `amesencadrantsPierre-OlivierMattei etPhilippeHerzogpourleurdisponibilitesansfaille, leurcuriositeetpourleslonguesdiscussions, scientiquesounon. Merci enn`aSergioBellizzi qui, sansfairepartiedemesen-cadrants,atoujourseteparticuli`erementinteresseparmestravauxetavecquijaipeutetreleplus echange.Jai eu la chance de pouvoir eectuer deux sejours dans dautres laboratoires an dapprendredestechniquesdontnousnetionspasspecialistesauLMA.JeremerciedoncGaetanKerschenetsesdoctorantsRegisViguieetMaximePeetersdemavoirsibienaccueilli`aLi`egeetClaude-HenriLamarque,StephanePernotetEmmanuelGourdondavoirfaitdememe`aLyon.Merci `aZoranDimitrijevicdemavoirpermisdeectuer, ` alandemath`ese, cecontratportant sur uneapplicationindustrielledemes travaux, pour sagentillesseet pour linteretglobalporte`acetravail.Mercisurtoutdemavoirproposeunpost-doc.Memesicelui-cineseferapasavecmoi,jesp`erequeleprojetpourraaboutir`adimportantsresultats.Quesesoitpourlamiseenplacedexperiences,lafabricationdepi`ecesoularesolutiondeprobl`emes informatiques, jetiens `aremercier les techniciens et ingenieurs FredericDerivaux,StephanDevic, StephaneLejeunes, FredericMazerolleet CedricPinh`edepour leur precieuseaide,leurdisponibiliteetleurenthousiasme.Merci `a mes compagnons de bureau Bastien et Fran cois pour les moments partages, des plusstudieuxauxplusarroses...etmerciauxdoctorantsS2Mpourlespausescafesisportives.Ennetsurtout, jeremerciemafamillepourleuraideetleursoutienconstants, enayantune pensee emue pour mes grands-p`eres. Merci Doris pour ta patience, tous ces eorts pour moi,etpournosbellesexperiencesdecapturederesonance.tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010SommaireSommaire 1Introductiongenerale 51 Uneexperiencenumerique 91.1 Premiercas:unsyst`emelineairecouple`aunoscillateurlineairequelconque . . . 101.2 Secondcas:unsyst`emelineairecouple`aunoscillateurlineaireaccorde . . . . . 111.3 Troisi`eme cas : un syst`eme lineaire couple `a un oscillateur lineaire accorde et amorti 111.4 Transitionversloscillateurnonlineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Quatri`emecas:unsyst`emelineairecouple`aunoscillateurnonlineaire . . . . . 142 Lecontr oledesvibrationsetdubruit 172.1 Techniquesdecontroledesvibrationseningenieriemecanique. . . . . . . . . . . 182.1.1 Syst`emespassifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.2 Syst`emesactifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.3 Controledesvibrationsgr ace`aunabsorbeurnonlineaire . . . . . . . . . 212.2 Techniquesdecontroledubruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 Lesmateriauxabsorbants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2 Labsorbeurdynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.3 Lecontroleactif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Etude dun oscillateur vibroacoustique non lineaire : la membrane viscoelastiquecirculaire 273.1 Modelisationdelamembrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Caracterisationexperimentaledemembranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.1 Mesuredesparam`etresphysiquesdesmembranes . . . . . . . . . . . . . . 313.2.2 Caracterisationdelaraideurdesmembranes . . . . . . . . . . . . . . . . 314 Couplagedelamembraneavecunmilieuacoustique 374.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2 Realisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Modelisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.1 Leclassiquesyst`ememecanique`adeuxdegresdeliberte. . . . . . . . . . 394.3.2 Letube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.3 Labotedecouplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.4 Lasourcesonore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.5 Lesyst`eme`adeuxdegresdelibertenal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3.6 Modesnonlineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431tel-00544719, version 1 - 9 Dec 20105 Lepompage energetique:principauxresultatsexperimentauxetnumeriques 475.1 Lesdierentsregimesobservessousexcitationsinusodale . . . . . . . . . . . . . 485.1.1 Conguration1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.1.2 Conguration2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2 Oscillationslibres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.1 Signauxtemporels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.2 Evolutiondelenergiedusyst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2.3 Diagrammestemps-frequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2.4 Diagrammesfrequence-energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2.5 Comparaisonentreresultatsexperimentauxetnumeriques. . . . . . . . . 735.2.6 Dissipationdanslamembrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3 Reponsesfrequentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.3.1 Dierentstypesdereponsesfrequentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846 Analyseparametrique 916.1 Rayondelamembrane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.2 Epaisseurdelamembrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.3 Amortissementdelamembrane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.4 Tensiondelamembrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.5 Longueurdutube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997 Utilisationdeplusieursmembranesenparall`ele 1037.1 Montageexperimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.2 Regimessousexcitationsinusodale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.3 Oscillationslibres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.4 Reponsesfrequentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.5 Utilisationdumod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128 Extensionversdautresmilieuxacoustiques 1178.1 Couplageavecunecaviteacoustiqueparallelepipedique . . . . . . . . . . . . . . . 1188.2 UtilisationdulogicieldecalculnumeriqueABAQUS . . . . . . . . . . . . . . . . 1229 Procedeet dispositif dattenuationdesbruits debouchedunmoteurther-mique. 1279.1 Etudetheoriquepreliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.2 Contenudubrevet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.2.1 Procede et dispositif dattenuation des bruits de bouche dun moteur ther-mique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.2.2 Revendications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.2.3 Abrege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.3 Vericationexperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.3.1 Ledispositifexperimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.3.2 Resultatsexperimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Conclusiongenerale 153Annexes 155tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010AComparaisonsentremesuresetsimulationsenoscillationslibres 157A.1 Congurationsetparam`etres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157A.2 Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158BCalculducoecientdamortissementdelamembrane 165B.1 Identicationexperimentaleducoecientdamortissementdelamembrane . . . 165B.2 Calcul du coecient damortissement de la membrane `a partir de mesures doscil-lationslibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Tabledesgures 173Bibliographie 1813tel-00544719, version 1 - 9 Dec 20104tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010IntroductiongeneraleLaluttecontrelebruit est depuis denombreuses annees, et encoreplus aujourdhui, unenjeumajeurdansnotresocieteetdeconsiderableseortsderecherchedansleslaboratoiresetdedeveloppementdanslindustriesontmisenoeuvreandedevelopperdessolutionse-caces contre cette nuisance. Trois grands types de technologies sont aujourdhui utilisees pour lecontrole du bruit : la dissipation passive du son gr ace `a des materiaux absorbants poreux, la miseenplacedabsorbeursdynamiquespassifsdetyperesonateurdeHelmholzoulecontroleactifdubruit. Cesdierentestechniquesontpermisdeconsiderablementprogresserdanslaqualiteetleconfortacoustiquedestransportsoudesbatiments. Cependantaucunedecestechniquesnepermetderesoudreenti`erementleprobl`emedubruitetdenombreusesvoiessontencore`aexplorer.Eneet,lesmateriauxporeuxpeuvent etretr`esecacespourladissipationdesaiguset des mediums mais restent inoperants pour les basses frequences. Le controle sonore dans cettederni`eregammedefrequencesnecessiteuneepaisseurdemateriauabsorbant biensuperieure`acequi peutetreimplantedefa conrealiste, notammentdanslebatiment. LeresonateurdeHelmholtz est quant `a lui pleinement ecace pour attenuer, voire faire disparatre une resonanceprecisegr aceauphenom`enedanti-resonance, maisil doitpourcelaetreparfaitementaccordesurcelle-ci. Sonprincipal defautestainsi denepouvoirtraterquuneseulefrequence. Enncontrairementauxmateriauxporeux,latechnologieactivetrouvesonecacitedanslesbassesfrequences, cestpourquoi dailleurslestechniqueshybridessuscitentungrandinteret. Cepen-dantlimplantationdecelle-cipeutsaverernettementpluscomplexeetch`erequelessolutionspassives et son ecacite est tr`es locale dans lespace. Son application industrielle la plus couranteest ainsi le casque actif, puisque son but est de nagir quen un point precis. Ceci fait ainsi ressor-tirlaproblematiquedutraitementenlargebandedesbassesfrequencespourlesquellesaucunmecanismededissipationpassivenaencoreetemisenevidenceenacoustique, problematiquequiestaucoeurdecestravauxdeth`ese.Ducotedelamecanique,lecontroledesvibrationsestunchampderechercheauxapplica-tions existantes et potentielles au moins aussi nombreuses quen acoustique et dont les technolo-giessonttr`essimilaires`acellesdecritentprecedemment. Eneetladissipationpassive, gr ace`ades materiauxvisco-elastiques, est tr`es utiliseepour absorber les vibrations des structuresmecaniques dans unbut dameliorationduconfort voiredepreservationmemedelintegritedelastructure. Lesabsorbeursdynamiqueslineairesaccordes(tunedmassdamper), ditab-sorbeurs de Frahm et qui constituent le parfait equivalent mecanique du resonateur de Helmholtz([5, 42, 4, 46, 54]), sontegalement tr`es repandus dans lindustrie. Ils permettent, commeenacoustique, de trater une resonance precise dune structure en etantaccorde sur celle-ci. Ils ontdonc le meme defaut decacite en large bande. Enn les technologies actives ont egalement etedeveloppees,permettantderesoudredimportantsprobl`emes,maisayanttoujoursledefautduco ut,delacomplexiteetdelapportnecessaireen energie.Depuisunedizainedannees,unecommunautedemecaniciensspecialistesdeladynamique5tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010nonlineaireaetabli quelutilisationdunabsorbeurpurementnonlineaire, composetypique-ment dunemasseet dunressort `araideur essentiellement nonlineaire, peut constituer uneinteressantesolutionalternativepour les probl`emes devibration. Ladynamiqueduntel ab-sorbeur nonlineaire couple `aunsyst`eme primaire lineaire, qui di`ere radicalement de celleobserveeavecunabsorbeurlineaire, aetedecriteendetail dans[12, 59, 58, 61, 63] entermedecapturederesonanceetdemodesnonlineaires. Lapremi`ereobservationexperimentaledecescomportementsaetepublieeen2004[37]. Leprincipeestdeplacerlabsorbeurdansunesituation(unmodenonlineaire)`apartirdelaquelleuntransfertirreversibledenergievibra-toire apparat, de lastructure primaire vers labsorbeur nonlineaire, lenergieetant ensuitedissipeedanslabsorbeur.Leresultatestuneecaceextinctiondesvibrationsdanslesyst`emeprimaire,pendantquelemouvementseconcentreetselocalisesurlabsorbeur.Cephenom`eneaeteappeleenergypumping(pompageenergetique)puisplut ottargetedenergytransferdanslalitterature. Uneproprieteimpotantedecetypedabsorbeursestlefaitquilspuissentagir enbasse frequence et dans une large gamme de frequence. Eneet, puisque laraideurdun tel absorbeur est essentiellement non lineaire, cet oscillateur peut vibrer `a nimporte quellefrequenceetnapasdefrequencederesonance.Ilsadapteainsidelui-meme`alafrequencedusyst`eme primaire auquel il est couple. Un des defauts de labsorbeur non lineaire est que le trans-fertdenergienapparatquelorsquelenergievibratoiredusyst`emeprimaireatteintuncertainseuil, ce qui peut constituer une importante limitation en vue dapplications pratiques. Plusieurscasdesyst`emeprimaireauquelunabsorbeurnonlineairea etecoupleontdej` a ete etudies:unguide donde [62], une poutre [44, 43, 16, 14], une plaque [15], un syst`eme lineaire `a deux degresde liberte [21], une chane doscillateurs couples [34, 33] voire un syst`eme primaire lui-meme nonlineaire [68, 65, 66]. Dans le domaine de lingenierie, lapplication du pompage energetique a eteexploreepourlisolationdemachinesvibrantes[19], lecontroledesinstabilitesaeroelastiquesduneailedavion[29,26],laconceptiondabsorbeursanti-sismiquesdanslegeniecivil[17,40]etlastabilisationdesyst`emesdeforage[67].Desinvestigationsont ete egalementfaitesautourdutypedenon-linearite`autiliser:absorbeur`aimpact[41,28],non-linearitenon-polynomiale[8], absorbeur`aplusieursdegresdeliberte[30, 55, 57,56] ouaussi amortissementnonlineaire[53]. Un ouvrage faisant le point sur la theorie, les avantages et inconvenients de tels absorbeursnonlineaires arecemmentetepubliepar Vakakis et al. [60]. Larticle[31] faitegalement unrecapitulatifdenombreuxtravauxandexposerdefa consynthetiquelerolequepeutavoirunabsorbeurnonlineaire.Lidee qui est `a la base de ce travail a donc ete dadapter ce concept dabsorbeur non lineaireau domaine de lacoustique, an de mettre au point un nouveau type de controle passif du bruitqui serait ecace en basses frequences. Le syst`eme primaire lineaire est donc ici un milieu acous-tique auquel une ne membrane ciculaire visco-elastique a ete couplee, exploitant la non-linearitegeometriqueapparaissantlorsdesesmouvementstransversauxdegrandeamplitude. Enutil-isantnotammentuneversionamelioreedumontageexperimentalpresentedans[3],nousavonsetudie tant experimentalement que numeriquement les transferts energetiques de lenergie sonoredumilieuacoustiqueverslamembraneetuneexplicationdetailleedesphenom`enesprincipauxphenom`enesobservesapu etrepubliee[2].CetravailabeneciedusoutiendelANRADYNO(AbsorbeursDynamiquesNonlineaires)dontleslaboratoirespartenairesonteteleLaboratoirede Mecanique etdAcoustique(LMA)`aMarseille etle Laboratoire deGeomateriaux(LGM)delENTPE`aLyon. Il gureegalementparmi lesfaitmarquantsdelINSIS-CNRS2010etaeteselectionnepourgurerdanslerapportdactivitescientiqueduCNRS2009uneanneeavecleCNRS`aparatreprochainement.UnecollaborationavecleconstructeurautomobilePSAaete mise enoeuvre eta permis dedeposerunbrevetpourlapplicationdupompage energetique6tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010au traitement du bruit dadmission des moteurs thermiques. Notons que le terme de membraneabsorberest present dans lalitterature[6, 48, 49], mais designeenrealiteunabsorbeur defonctionnementprochedeceluidunresonateurdeHelmholtzquinadoncaucunrapportaveccetravailsurleth`emedunabsorbeurnonlineaire.Le premier chapitre de ce manuscrit de th`ese presente une rapide experience numerique intro-ductivepermettantdecomprendretr`essimplementparunraisonnementprogressifleprincipedupompage energetique.Lechapitre suivant consiste `aplacer cetravail dans soncontexte, cest-`a-dire`afaireunresumedestechniquesdecontroledesvibrationsetdubruitexistantes. Ceci permetbiens urdefairelepointsurcequiexistedej` a,maissurtoutdejustierlinteretpotentieldecesujetdeth`ese.La membrane seule, en tant quoscillateur vibroacoustique non lineaire, est lobjet du troisi`emechapitre. Un mod`ele, reduisant son comportement `a un seul degre de liberte, et une caracterisationexperimentale de sa raideur y sont exposes. Ses deux aspects permettant chacun de montrer quelamembraneconstitueunoscillateur`araideuressentiellementcubique.Lequatri`emechapitrepresenteleprincipeducouplagedunetellemembrane`aunsyst`emeacoustiquesimple(premier modederesonanceduntubeouvert). Unmod`eledecesyst`emecouple y est developpe, permettant daboutir `a un syst`eme `a deux degres de liberte et de calculersespermiersmodesnonlineaires.Le coeur de ce document arrive dans le cinqui`eme chapitre. Le phenom`ene de pompageenergetiqueyestexpliquepardenombreuxresultatsexperimentaux, auquelssontconfrontesleurequivalentobtenuparsimulationgr aceaumod`eleth`eorique. Linuenceducouplagedumilieuacoustique avec lamembrane nonlineaire est ypresentee sous ses aspects temporelsenphases transistoires et sous oscillations forcees. Letude ducomportement dusyst`eme enfrequentielest egalementmeneedanscechapitre.En vue dune eventuelle optimisation du phenom`ene, le sixi`eme chapitre porte sur une analyseparametriquedelinuencedelamembrane. Leroledechaqueparam`etreyest ainsi etudie,tantexperimentalementquenumeriquement,andecomprendrecommentilpeut etrepossibledadapterlimplantationdunemembrane`adierentscasdeventuellesapplicationspratiques.Lechapitreseptpresentelesphenom`enesobservessuiteaucouplagedumilieuacoustique`aplusieurs membranes en parall`ele. Un montage experimental avec deux membranes a ete realise,permettantdemettreenevidencedesphenom`enesinteressants, qui sontensuitegeneralises`aunnombrequelconquedemembranesgr aceaumod`ele.Une ouverture vers le couplage dune membrane `a des milieux acoustiques moins academiquesquun tube est realisee dans le chapitre huit. Un mod`ele theorique du couplage dune membrane`a un milieu acoustique parallelepipedique (typique de nombreux cas de milieux reels du batimentou du transport) met en evidence la possibilite de ce type dimplantation. La capacite du logicielde calcul numerique ABAQUS `a simuler le phenom`ene de pompage energetique y est egalementdemontree.Cesdeuxpointspermettentdouvrirdenombreusespossibilitesdetudesetdappli-cations`adesmilieuxacoustiquesreelsetcomplexes.Ennleneuvi`emechapitrepresenteletravaileectuepourleconstructeurautomobilePSApourlapplicationdecestravauxaucontroledubruitdadmissiondesmoteursthermiques.Lebrevet depose `a la suite de la partie theorique ce travail y est directement reporte et les resultatsexperimentauxobtenussurunmontagesimulantlecasdumoteuretduconduitdadmissionysontpresentes.Lesconclusionsetlesperspectivesfourniesparcetteprogressiondelideeverslapplicationsontnalementapporteesenndedocument.7tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010Chapitre1UneexperiencenumeriqueIntroductionCepremier chapitreportesur uneetudenumeriquepreliminairepermettant dintroduireetdecomprendretr`esrapidementleconceptdepompageenergetiqueetdutilisationdunab-sorbeurnonlineaire. Pourcontrolerlesvibrationsdunsyst`eme, plusieurstechniquesexistent.Enresumanttr`esrapidement, nouspouvonsajouterdelamortissement, ajouterdelamasse,emettredesvibrationsopposees(controleactif), creeruneantiresonanceparcouplageavecunresonateur accorde, etc. Lapistequi aeteetudieedans cetteth`eseest letransfert denergiedusyst`emelineaire`acontrolerversunautreoscillateur, appeleabsorbeurdynamique, couple`acelui-ci. Partant decetteidee, nous allons voir progressivement par depetites experiencesnumeriquescommentjustierlinteretdelutilisationdunabsorbeurnonlineaire.9tel-00544719, version 1 - 9 Dec 201010 1.Uneexperiencenumerique1.1 Premier cas : unsyst`eme lineaire couple `aunoscillateurlineairequelconqueFig.1.1Schemadupremiersyst`emecoupleavecdeuxoscillateurslineairesnonaccordes.Premi`erement,partonsducasleplussimpleetleplusquelconquepossible:consideronsunsyst`emeprimairelineairemasse-ressort(syst`eme`acontroler)faiblementcouple`aunoscillateursecondairelineairemasse-ressortquelconque. Nousavonsdoncunsyst`emecorrespondant`alagure1.1etregiparlesyst`emedequations`adeuxdegresdelibertes(2ddl)suivant: x + 12x + (x y) = 0 y + 22y + (y x) = 0avec = 0.05, 1= 1, 2= 0.1.(1.1)Lorsquelonsimulelesoscillationslibresdecesyst`emeapr`esuneimpulsioncorrespondantaux conditions initiales x(0) = 1, x(0) = 0, y(0) = 0, y(0) = 0, nous voyons sur la gure 1.2 queles deux oscillateurs vibrent chacun `a leur frequence propre. Il ny a pas de resonance entre eux,pas dechange denergie. Devidence, puisque lobjectif est la reduction des vibrations du syst`emeprimaire, cettecongurationnestpassatisfaisanteetuncertainreglagedusecondoscillateurva etrenecessaire.0 100 200 300 400 50010.500.51txyFig.1.2Simulationdusyst`emedequations1.1apr`esimpulsion.tel-00544719, version 1 - 9 Dec 20101.Uneexperiencenumerique 111.2 Second cas : un syst`eme lineaire couple `a un oscillateurlineaireaccordeReprenons le meme syst`eme mais en modiant la frequence propre de loscillateur secondaireandaccordercelui-ci `aloscillateurprimaire. Lesyst`emedequationsetsesparam`etressontdoncmaintenant: x + 12x + (x y) = 0 y + 22y + (y x) = 0avec = 0.05, 1= 1, 2= 0.98.(1.2)Lasimulationdesoscillationsapr`eslamemeimpulsionquedanslepremiercas(conditionsinitiales x(0) =1, x(0) =0, y(0) =0, y(0) =0) met maintenant enevidence dintensesechanges denergie entre les deux oscillateurs (gure 1.3). Les deux oscillateurs sont accordes, ilspeuventdoncentrerenresonancelunaveclautreetgr ace`aceladesechangesdenergiessontpossibles. Cependantlesechangessefontdanslesdeuxsens, sousformedebattements, cest-`a-direquelenergiepassedeloscillateurprimaireversloscillateursecondaire,puisrevientversloscillateurprimaireetainsidesuite.Oren etantdansuncontextedereductiondesvibrationsdeloscillateurprimaire, ceretourdelenergieestcequenousvoudrionseviter. Idealement, ilnefaudraitquunseultransfertdenergie,deloscillateurprimaireverslesecondaire,etpasderetourpossible.0 100 200 300 400 50010.500.51txyFig.1.3Simulationdusyst`emedequations1.2apr`esimpulsion.1.3 Troisi`emecas: unsyst`emelineairecouple`aunoscillateurlineaireaccordeetamortiDans un troisi`eme cas, voyons ce que change lajout damortissement dans chacun des oscilla-teurs `a ce que nous venons de voir (gure 1.4). Considerons donc le troisi`eme syst`eme dequationssuivant: x + 1 x + 12x + (x y) = 0 y + 2 y + 22y + (y x) = 0avec = 0.05, 1= 1, 2= 0.981= 0.01, 2= 0.01.(1.3)tel-00544719, version 1 - 9 Dec 201012 1.UneexperiencenumeriqueFig.1.4Schemadusyst`emecoupleavecdeuxoscillateurslineairesaccordesetamortis.La simulation des oscillations apr`es impulsion pour ce syst`eme nous permet dobserver (gure1.5) des battements amortis suivant une decroissance globale exponentielle. Lamortissement narienchangeaux echangesdenergiequisonttoujoursintensesmaisdanslesdeuxsens.0 100 200 300 400 50010.500.51txyFig.1.5Simulationdusyst`emedequations1.3apr`esimpulsion.1.4 TransitionversloscillateurnonlineaireDecettepetiteetudeprogressive, nouspouvonsconclurequuneresonanceentrelesdeuxoscillateurs est necessaire pour assurer unechange denergie. Mais comment enempecher leretourdecelle-ci ?Encassantlaresonanceapr`eslepremiertransfertdenergiedeloscillateurprimaireversloscillateursecondaire.Commenouslavonsvu,danslecasdunoscillateursecondairelineaire,lamortissementnepermetpasde cassercette resonance etlenergie ne cessejamaisdaller etvenirdunoscillateurvers lautre. En eet, dans le cas dun oscillateur lineaire, il y a independance entre frequence etenergie. Loscillateurvibre`asafrequenceproprequelquesoitsonamplitude. Pourleprouver,prenonslexempledunsimpleoscillateurmasse-ressortlineaire(gure1.6)regi parlequation x + 02x=0. Cherchonslessolutionsperiodiquesx1(t)=Acos(t)decetteequation. NousobtenonslequationA(202) = 0etnalement= 0etAquelconque.Dansundiagrammeamplitude/frequence, ces solutions sont donc representees par une caracteristique verticale `a =0(gure 1.7). En considerant ce type de diagramme, il apparat clairement que pour permettreuneresonanceentredeuxoscillateurslineaires,ilestnecessairequeleurscaracteristiquessoientsuperposees`alamemefrequence. Leprobl`emeestqualorstoutpointdecesdroitesestpointdintersection. Ainsi, unefois laresonanceetablie, lamortissement feradecrotrelamplitudetel-00544719, version 1 - 9 Dec 20101.Uneexperiencenumerique 13maislaresonanceresterapossiblequelquesoitcetteamplitude,jusqu`azero.Fig.1.6Schemadunoscillateurmasse-ressortlineaire.Fig. 1.7Caracteristique de loscillateurlineaire.Enrevanche, enassociantunoscillateurprimairelineairedecaracteristiqueverticale`aunoscillateur de caracteristique oblique passant par lorigine, un point dintersection existerait tou-jours, etdoncunepossibilitederesonanceaussi. Parcontrelecheminverslextinction(zeroenamplitude) serait dierent pour chacundes oscillateurs, laresonanceserait doncautoma-tiquement et passivement cassee gr ace `alamortissement, empechant lapoursuite dechangedenergieetdoncsonretour.Cettedependanceentre energieetfrequencetypiquedunsyst`emenon lineaire et correspondant `a cette caracteristique oblique peut etre obtenue avec un oscillateurnon lineaire masse-ressort `a raideur cubique (gure 1.8). En eet lequation regissant cet oscilla-teur est y +c y3= 0 et en recherchant de meme les solutions sous la forme y1(t) = Acos(t) parequilibrage harmonique il vient : (A2+34cA3) cos(t) +(14cA3) cos(3t) = 0. En negligeant letermeen3pournegarderqueceluien,nousobtenonslequationdedroiteA = 23c.Unoscillateurnonlineaire`araideurcubiqueadoncbienunecaracteristiqueoblique, representeegure1.9,correspondant`aunedependance energie/frequence.Celui-cipeutvibrer`animporteFig.1.8Schemadunoscillateurmasse-ressortnonlineaire.Fig. 1.9Caracteristique de loscillateurnonlineaire.quelle frequence, mais `a chaque fois `a une amplitude donnee. A condition que lenergie soit su-isantepouratteindrecetteamplitude, il pourradoncentrerenresonanceavecnimportequeloscillateurlineaireensepla cantsursonpointdefonctionnementrepresenteparlintersectionentresacaracteristiqueobliqueetlacaracteristiqueverticaledusyst`emeprimaire.Untransfertdenergiedunoscillateurlineaireversunoscillateurnonlineairesembledoncpossiblesuivantceraisonnement. Ensuite, aveclamortissement, lesdeuxoscillateursvontnecessairementallervers les faibles amplitudes de vibration, mais en suivant chacun leur propre caracteristique (voirgure1.10).Laresonanceseradonccasseeetleretourdelenergietransferee`aloscillateurnonlineaireneserapluspossible.tel-00544719, version 1 - 9 Dec 201014 1.UneexperiencenumeriqueFig.1.10Superpositiondescaracteristiquesdesoscillateurslineaireetnonlineaire.1.5 Quatri`emecas:unsyst`emelineairecouple`aunoscillateurnonlineaireFig. 1.11 Schemadusyst`emecoupleavecunoscillateurlineaireetunoscillateurnonlineaire.Considerons `a nouveaule syst`eme doscillateurs couples, mais enrempla cant la raideurlineairedeloscillateur secondairepar uneraideur cubiqueet enajustant lesparam`etres. Cesyst`emeestrepresentesurlagure1.11etregiparles equationssuivantes: x + 1 x + 12x + (x y) = 0 y + 2 y + y3+ (y x) = 0avec = 0.05, 1= 1, = 361= 0.01, 2= 0.03.(1.4)Lagure 1.12representant les vibrations de ce syst`eme apr`es une impulsion(conditionsinitiales x(0) = 1, x(0) = 0, y(0) = 0, y(0) = 0)permeteectivementdeconrmercequia etedit dans le paragraphe precedent. Un transfert denergie de loscillateur primaire vers loscillateurnon lineaire a lieu, et aucun retour napparat. On parle alors de transfert irreversible denergie,permettantuneextinctiondesvibrationsdusyst`emeprimaireplusrapidequenaturellement.Apr`eslimpulsion, loscillateurnonlineaireentreenresonanceaveclesyst`emeprimaireetseplacealorssursonpointdefonctionnementmentionneplushaut. Safrequenceetantimposeeparlesyst`emeprimaire, sonamplituderestealorsquasi-constantequelquesoitlamplitudedevibrationdecedernier, etcejusqu`alextinctionpresquecompl`etedeloscillateurlineaire. Apartirdecepoint, loscillateurnonlineairequittelaresonanceetsuitsonproprecheminverslextinction,nerenvoyantpaslenergiequilaemmagasinee.Ladecroissancedesafrequencedevibrationavecsonamplitudeapparatalorsclairement. Cephenom`eneaeteappelepompageenergetiquedanslalitterature(energypumping)puisplut ottargetedenergytransfer(voirtel-00544719, version 1 - 9 Dec 20101.Uneexperiencenumerique 15articlesfondateurs[13, 12, 59, 58]), enreferenceaucoteirreversibledutransfertdenergiequiestlaprincipalecaracteristiquedecequiapparatgr ace`acetteutilisationdunabsorbeurnonlineaire.0 100 200 300 400 50010.500.51txyFig.1.12Simulationdusyst`emedequations1.4apr`esimpulsion.ConclusionLes idees exprimees dans cette etude preliminaire constituent la base de ce quil faut savoir surle pompage energetique. A partir de ce concept, comme nous le verrons dans le chapitre suivant,quelquesequipesderechercheonttravaillecesderni`eresannees`adevelopperlesconnaissancesetlesapplicationsdecephenom`ene.Nousavonsquant`anous etudielapplicationdupompageenergetique`alacoustique,entantquenouvelletechniquepassivedecontroledubruit.tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010Chapitre2LecontroledesvibrationsetdubruitIntroductionQuecesoitpourdesraisonsdeconfort,dusureoudesecurite,laluttecontrelesvibrationset lebruit est devenudepuis bienlongtemps unenjeumajeur et undomainedans lequel larechercheetlindustriefontdeconsiderableseortstantlechampdapplicationsestenorme.Denombreusestechnologiesontdonc etemisesaupoint,avecchacuneleurspropresproprietes,avantages et inconvenients. Nous verrons donc dans ce chapitre quelles sont les principales tech-niquesdecontroledesvibrationsetdubruitexistantes,andemettreenevidencelecontextedecetravailetdejustiersoninteretpotentiel.17tel-00544719, version 1 - 9 Dec 201018 2.Lecontroledesvibrationsetdubruit2.1 Techniques de controle des vibrations en ingenierie mecanique2.1.1 Syst`emespassifsLessyst`emespassifsisolentlesstructuresoudissipentlenergiegr ace`aleurproprietesdy-namiques intrins`eques. Ces syst`emes sont engeneral peuco uteux(par rapport auxsyst`emesactifs dont nous parlerons ensuite), relativement faciles `a concevoir, utiliser ou entretenir et per-mettentde reduire considerablementla reponse de la structureauxsollicitations exterieures. Ilspeuventdissiperlenergiedefa condirecte, parfrictionparexemple, oudefa conindirecteencontre-balan cantlesvibrations.Lessyst`emes`adissipationdirecte Dissipateurparfriction:Les dissipateurs par frictionutilisent les frottements crees par leglissement entredeuxsurfaces pour dissiper lenergie des vibrations. Ce type dabsorbeur est le plus rudimentaire.Lesanciensamortisseursdevehicule(voirgure2.1), o` ulessieuetaitsuspenduparunensembledelattestravaillantenexionetfrottantlesunessurlesautresfonctionnaientsurceprincipe.Fig. 2.1Suspensiondessieu`aressort`alamesavecdissipationparfrottementsecentreleslames. Amortisseurvisco-elastique:Endissipant delenergie, unecouchedemateriauviscoelastiquecolleesur unpanneauvibrant permet dattenuer les vibrations delastructuresans changer ses proprietes deresistancemecanique.Danslecasduntraitement`acoucheviscoelastiquenoncontrainte(voirgure2.2`agauche), seul lemateriauviscoelastiqueestcollesurlaplaque. Lorsquelaplaquevibreenexionlacoucheviscoelastiquetravailleprincipalemententractionetcompression.Pouretreecace,cettesolutionnecessitesouventuneepaisseurimportantede materiau viscoelastique, ce qui la rend incompatible avec les contraintes de masse. Danslecasduntraitement`acoucheviscoelastiquecontrainte(voirgure2.2`adroite),lajoutdune couche metallique (aluminium, acier) collee de lautre cote de la couche viscoelastiquepermet de faire travailler le materiau viscoelastique en cisaillement, situation dans laquelleil estbienplusecace. Lepaisseurnecessairepourobtenirunamortissementequivalentestalorsbeaucoupplusfaiblequepourunecouchenoncontrainte.tel-00544719, version 1 - 9 Dec 20102.Lecontroledesvibrationsetdubruit 19Fig.2.2Schemadecouchevisco-elastiquecollee`auneplaqueandabsorbersesvibrations.Agauche:couchevisco-elastiquenoncontrainte.Adroite:couchevisco-elastiquecontrainte. Amortissementvisqueux:Lessyst`emes`aamortissementvisqueuxexistentsousdeuxformesprincipales.Ilspeuventdissiperlenergiedesvibrationsenappliquantuneresistance`alastructuregr ace`alac-tiondunpistonforceepar unuide. Lamortissement peut aussi etreproduit par desmateriauxvisqueux. Ce type damortissement est tr`es couramment utilise, notammentdanslesamortisseursautomobiles(voirgure2.3).Fig.2.3Schemadunamortisseurtelescopique`adissipationvisqueuse.Lessyst`emes`adissipationindirecteCe qui est appele syst`eme `a dissipation indirecte est en fait un absorbeur dynamique accorde(TunedMassDamper), cest-`a-direunsyst`emeoscillantajoute`aunestructuredanslebutdereduire sa reponse `a une excitation. Ce syst`eme est eectif dans une bande etroite de frequence.Les elementsdeterminantspourlamiseenplaceduntelsyst`emesontlechoixdesafrequencepropreet lechoixdesaposition. Lafrequencepropredelabsorbeur devibrations doitetrechoisieselondeuxcrit`eres:enfonctionduspectredelexcitationetenfonctiondesfrequencespropresdelastructure`aamortir.Lorsque lastructure est excitee suivant une frequence unique connue et distante de sesfrequences de resonance, la frequence propre de labsorbeur de vibrations peut etre ajustee pourintroduireuneantiresonance`acettefrequencedexcitation. Sinon, labsorbeurestsouventac-cordesurlafrequencederesonancedunmodedevibrationindesirable. Lamortissementdoitetreimportantpournepasintroduireunedoubleresonanceencoreplusimportante,maissu-isamment faible cependant pour que labsorbeur ait une inuence sur la reponse de la structure.Labsorbeur de vibration sera ecace sil est positionne sur un ventre du mode excite. Si sa masseesttropimportante,ilrisque,enmodiantcompl`etementlesmodespropresdelastructure,detel-00544719, version 1 - 9 Dec 201020 2.Lecontroledesvibrationsetdubruitnefairequedeplacerleprobl`eme. Reduirelamortissementpermetdaugmenterlattenuationsansaugmenterlamasse, maisreduitlabandedefrequenceltree, rapprochelafrequencederesonanceintroduitedelafrequenceltreeetaugmentecetteresonance.Cettesolutionpeutserevelernefastesi lafrequencedexcitationestmal evalueeouevolueaucoursdelaviedelastructure.Bien que tr`es repandus notamment dans les industries aeronautiques, automobiles (voir gure2.4(c) `a propos dune application sur une formule 1) et en genie civil, les absorbeurs dynamiquesnegurentpasaucataloguedesfournisseurs, cartoutsyst`emeoscillantpeutjouercerole. Ilpeut par exemple sagir dun radiateur automobile accorde pour ltrer la resonance de la caisse,oudunreservoirdeauplaceausommetdunbatiment. Avecsonpoidsrecordde730tonnes,labsorbeur installe dans la tour de Taipei est certainement le plus cel`ebre (voir gures 2.4(a) et2.4(b)).(a)SchemadelimmeubledeTaipei qui utiliseunabsorbeur dynamique en tant que syst`eme anti-sismique.(b) Photographie de lab-sorbeur dynamique presentdanslimmeubledeTaipei(c)schemadunezduneformule1danslequelestin-talleunabsorbeurdynamique.Fig.2.4Exemplesdabsorbeursdynamiquesutilisesdanslegenieciviletlautomobile.tel-00544719, version 1 - 9 Dec 20102.Lecontroledesvibrationsetdubruit 212.1.2 Syst`emesactifsLessyst`emesactifsfournissentunereponseadaptee`achaquecontrainteappliqueeetper-mmettentdadapterleurcomportemementenfonctiondeschangementsdeleurenvironnement.Le principe est le suivant : les structures `aisoler sont munies de syst`emes de capteurs quimesurentlesvibrationsdelastructureet/oulesexcitationsappliquees ; lesinformationssontensuiteinterpreteespardesalgorithmesdecontrolequideterminentlareponselaplusadapteeen vue dune application `a la structure qui doit etre isolee. Cette reponse, qui doit etre appliquee`alastructure, estrealisee`alaidedactionneursetnecessitedonclapportdenergieexterieurepour ce syst`eme de retour. Ce dernier point, avec la complexite et le co ut de telles solutions peutconstitueruninconvenientimportantenfonctiondescasparrapportauxsyst`emespassifs.2.1.3 Controledesvibrationsgrace`aunabsorbeurnonlineaireA partir des publications [12, 59, 58], une solution alternative pour les probl`emes de vibrationa ete mise en evidence il y a une dizaine dannees avec lutilisation dun absorbeur purement non-lineaire compose typiquement dune masse et dun ressort `a raideur essentiellement non lineaire.La dynamique dun tel absorbeur, couple `a un syst`eme primaire lineaire, di`ere radicalement decelle observee avec un absorbeur lineaire. En plus des articles sus-cites, celle-ci a notamment etedecriteendetail dans[61, 63, 27] entermedecapturederesonanceetdemodesnonlineairesetlapremi`ereobservationexperimentaledecescomportements, surledispositif visiblesurlagure 2.5, a ete publiee en 2004 [37]. Sous certaines conditions, le phenom`ene principal qui peutapparatreestuntransfertirreversibledenergiedelastructureprimaireverslabsorbeurnonlineaire, lenergie etant ensuite dissipee dans labsorbeur. On observe alors une rapide extinctiondes vibrations dans le syst`eme primaire, pendant que le mouvement se concentre sur labsorbeur.Cephenom`eneaeteappeleenergypumping(pompageenergetique) puis plut ot targetedenergytransferdanslalitterature.Etant donne que la raideur dun tel absorbeur est essentiellement non lineaire, cet oscillateurnapasdefrequencederesonanceetpeutvibrer`animportequellefrequence.Ilsadapteainsidelui-meme`alafrequencedusyst`emeprimaireauquel il est couple. Il peut ainsi agir dansunelargegammedefrequenceetestsurtoutdispose`aetreecaceenbassefrequence.Undesdefauts de labsorbeur non lineaire est que le transfert denergie napparat que lorsque lenergievibratoiredusyst`emeprimaireatteintuncertainseuil, cequi peutconstitueruneimportantelimitationenvuedapplicationspratiques.En ce qui concerne le syst`eme primaire auquel un absorbeur non lineaire est couple, plusieurscasonteteetudiesdefa contheorique: unguidedonde[62], unepoutre[44, 43, 16, 14], uneplaque[15], unsyst`emelineaire`adeuxdegresdeliberte[21], unechanedoscillateurscouples[34, 33] voireunsyst`emeprimairelui-memenonlineaire[68, 65, 66]. Des recherches onteteegalementmeneesautourdutypedenon-linearite`autiliser:absorbeur`aimpact[41,28],non-linearitenon-polynomiale[8], absorbeur`aplusieursdegresdeliberte[30, 55, 57, 56] ouaussiamortissement nonlineaire[53]. Dans ledomainedelingenieriemecanique, lapplicationdupompageenergetiqueaeteexploreepourlisolationdemachinesvibrantes[19], lecontroledesinstabilitesaeroelastiquesduneailedavion[29,26],laconceptiondabsorbeursanti-sismiquesdanslegeniecivil [17, 40] etlastabilisationdesyst`emesdeforage[67]. Unouvragefaisantlepoint sur la theorie, les avantages et inconvenients de tels absorbeurs non lineaires a recemmentetepubliepar Vakakis et al. [60]. Larticle[31] fait egalement unrecapitulatif denombreuxtravauxandexposerdefa consynthetiquelerolequepeutavoirunabsorbeurnonlineaire.tel-00544719, version 1 - 9 Dec 201022 2.Lecontroledesvibrationsetdubruit(a)Photographietireede[37].(b)Photographietireede[23].Fig. 2.5Photographies dupremier montageexperimental realisesur lesujet dupompageenergetique.2.2 TechniquesdecontroledubruitDu cote de lacoustique, la lutte contre le bruit est depuis longtemps un des th`emes majeursdudomaineetdeconsiderableseortsderecherchedansleslaboratoiresetdedeveloppementdans lindustrie sont mis en oeuvre an de developper des solutions ecaces contre cette nuisance.Enresumant, troisgrandstypesdetechnologiessontaujourdhui utiliseespourlecontroledubruit:ladissipationpassivedusongr ace`adesmateriauxabsorbantsporeux,lamiseenplacedabsorbeursdynamiquespassifsdetyperesonateurdeHelmholzoulecontroleactifdubruit.2.2.1 LesmateriauxabsorbantsLideedesmateriauxporeuxestdelaisserlesonsereechir`ademultiplesreprisescontreles parois des pores et ainsi rallonger son trajet. Sa dissipation est alors largement ampliee. Deplussi londesonorepeutpenetrer`alinterieurdumateriau, elleyengendredesfrottements,desdeplacementsdebresleg`eres,etdoncdeladissipation.Laporositedoitdonc etredetypeouverte. Pour queceprincipefonctionne, il est necessairequelalongueur dondesoit petitetel-00544719, version 1 - 9 Dec 20102.Lecontroledesvibrationsetdubruit 23(a)Photographietireede[17]. (b) Photographie tiree de[40].Fig. 2.6Photographies de montages experimentauxtraitant de lapplicationdupompageenergetiqueaugeniecivilanti-sismique.Fig. 2.7Photographie, tireede[26], dumontageexperimental traitant delapplicationdupompage energetiqueaucontroledesinstabilitesaero-elastiquesduneailedavion.tel-00544719, version 1 - 9 Dec 201024 2.Lecontroledesvibrationsetdubruitdevant lepaisseur demateriauabsorbant. Cest pourquoi les materiauxporeuxpeuventetretr`es ecaces pour ladissipationdes aigus et des mediums mais restent inoperants pour lesbasses frequences. Le controle sonore dans cette derni`ere gamme de frequences necessiterait uneepaisseurdemateriauabsorbantbiensuperieure`acequi peutetreimplantedefa conrealiste,notammentdanslebatiment(parexempleunson`a85Hzaunelongueurdondede4m).2.2.2 LabsorbeurdynamiqueEn acoustique, les absorbeurs dynamiques lineaires accordes utilisent le principe du resonateurdeHelmholtz. Saconceptionconstitueeduncol suivi dunvolumeferme(voirgure2.8)luipermetdesecomportercommeunoscillateurmecaniquemasse-ressort.Iladoncunefrequencede resonance bien precise. Ce type dabsorbeur est pleinement ecace pour attenuer, voire fairedisparatreuneresonanceprecisegr aceauphenom`enedanti-resonance, maisil doitpourcelaetre parfaitement accorde sur celle-ci. Son principal defaut est ainsi de ne pouvoir trater quuneetroitebandefrequencielle. Unautreimportantdefautestquautourdelanti-resonancequi aremplacelepicderesonanceinitialdumilieuacoustiquetraite,deuxnouvellesresonancessontcrees.Fig.2.8SchemadeprincipeduresonateurdeHelmholtz.2.2.3 LecontroleactifContrairement auxmateriauxporeux, latechnologie active trouve sonecacite dans lesbassesfrequences, cestpourquoi dailleurslestechniqueshybridessuscitentungrandinteret.Uneouplusieurssourcesditessecondairesemettentdesondesdepressiondefa con`aproduireunchampacoustiqueenoppositiondephaseaveclebruitindesirabledansunezoneplusoumoins etendue. Les deux champs de pression se superposent, interf`erent et permettent dobtenirle silence. Dans la pratique on nobtient pas le silence absolu mais une forte attenuation du bruitdependante de la methode utilisee pour generer lantibruit. Si un auditeur est place dans la zonedesilence,ilneseraplusgeneparlebruitindesirable.Cependantlimplantationduncontroleactif peut saverer nettement plus complexe et ch`ere que les solutions passives et son ecacite, enplus detre limitee aux basses frequences, est tr`es locale dans lespace. Son application industriellelapluscouranteestainsilecasqueactif,puisquesonbutestdenagirquenunpointprecis.Cecifaitainsiressortirlaproblematiquedutraitementenlargebandedesbassesfrequencespour lesquelles aucun mecanisme de dissipation passive na encore ete mis en evidence en acous-tique,problematiquequiestaucoeurdecestravauxdeth`ese.tel-00544719, version 1 - 9 Dec 20102.Lecontroledesvibrationsetdubruit 25ConclusionPartant du constat quaucune technique de controle passif du bruit nexiste encore en acous-tique pour les basses frequences et quune avancee interessante autour du phenom`ene de pompageenergetiqueavaiteteinitieedansledomainedelamecanique, lideequi est`alabasedecetteth`eseaetedetudier lafaisabiliteet lepotentiel decettenouvelletechniquedecontroledesvibrationspourlacoustique.Lebutestainsidessayerdemettreaupointunnouveautypedecontrole passif du bruit qui serait ecace en basses frequences gr ace `a lutilisation dun absorbeurnonlineaire.tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010Chapitre3Etudedunoscillateurvibroacoustiquenonlineaire:lamembraneviscoelastiquecirculaireIntroductionDans le but dappliquer le concept de pompage energetique `a lacoustique, la premi`ere tacheest biens ur demettreaupoint loscillateur nonlineairequi seracouple`aunmilieuacous-tique.Plusieurstypesdesolutions`aceprobl`emepeuventemerger,commelaconceptionduneraideurnonlineairepurementacoustique. Celle-ci pourraiteventuellementetreobtenueparlamiseaupointdunecaviteacoustiquedontlesparoisauraientuneformespecialementetudieeandobtenir cette raideur nonlineaire. Lutilisationdunhaut-parleur peut egalement etreenvisagee. Celui-ci seraitm uparlapressionacoustiqueenvironnanteetexerceraitsurcelle-ciuneforcederetourdependantdesaraideurmecaniqueinternenaturelleoumodiee.Cesdeuxpossibilitessontenrealiteencoredesprobl`emesouvertsetcomplexes, `aletudenotamment`alENTPEetauLMA. Pourcetteth`ese, lasolutionqui adonceteretenueestlaplussimpledentreelles: celledunoscillateurvibro-acoustiqueconstituedunenemembranecirculairevisco-elastiqueencastree. Commenous leverrons dans cechapitre, unetellemembranecon-stitue en eet une raideur essentiellement cubique lorsquelle est deformee transversalement et aun avantage evident de simplicite de mise en oeuvre par rapport autres possibilites de recherche.Lemateriauestdoncsupposelineaire, lanon-lineariteetantobtenuegeometriquement. Cettesolutionestenfaitunderivenaturelpourlacoustiquedeloscillateurcubiquedej` autilisepourdes applications mecaniques par Mc Farland [38] et Gourdon [17] et constitue dune masse reliantdeuxressortsetsedepla canttransversalement`aladirectiondecesressorts.Lobjet decechapitreest doncletudeet lacaracterisationdecettemembrane. Dans lapremi`erepartie, unemodelisationdecet oscillateur est proposeeandobtenir uneequationregissant son mouvement et caracterisant sa raideur. La seconde partie est consacree `a lavericationexperimentaledecettecaracterisationderaideurnonlineairepourplusieursmem-branesdierentes.27tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010283.Etudedunoscillateurvibroacoustiquenonlineaire:lamembraneviscoelastiquecirculaire3.1 ModelisationdelamembraneFig.3.1Schemasdelamembrane.Sous leet dune dierence de pressionentre les deuxfaces de lamembrane, celle-ci sedeformetransversalementducotedelaplusfaiblepression. Nousmontronsdanscettepartiecommentreliercettedeformation`alasurpressionexcerceesurunefacedelamembraneparunmod`elesimpledecelle-ci.Pourle mod`ele, nous considerons les equations nonlineaires de plaque de type Von-Karman(grands deplacements, petites deformations, rotations moderees) enprenant encompte unepretension constante dans le plan de la membrane. etant donne que le probl`eme est axisymetrique,lechampdedeplacementpeutsecriredelamani`eresuivante:u(r, , z) =_u(r) zw(r)r_er + w(r)ez. (3.1)Le tenseur des deformations de Green-Lagrange correspondant est E = e+zk, o` u les composantesdestenseursgeneralisesdetensioneetdeexionksont:err=ur+12(wr )2e=urer= 0krr= 2wr2k= 1rwrkr= 0. (3.2)Unmod`eledeKelvin-Voigtestadoptepourtenircomptedelaviscositedanslamembrane:lesecondtenseurdecontraintedePiola-KirchhoSestdeduitdutenseurdedeformationdeGreen-Lagrange Eet de saderivee temporelle par larelationS=D: (E+ E) o` u estlecoecientdamortissementetDestletenseurisotropiquedeHookenedependantquedumoduledYoungEetducoecientdepoisson.Lescomposantesdutenseurdescontraintesgeneralisees(tensionetexion)sontlessuiv-antes:Nrr=Eh12(err + e + ( err + e))N=Eh12(e + err + ( e + err))Nr= 0Mrr=Eh312(12)_krr + k + (krr + k)_M=Eh312(12)_k + krr + (k + krr)_Mr= 0(3.3)o` uhestlepaisseurdelamembrane.tel-00544719, version 1 - 9 Dec 20103.Etudedunoscillateurvibroacoustiquenonlineaire:lamembraneviscoelastiquecirculaire29Enn, ledeplacementu0, ladeformatione0etlacontrainteN0associes`alaprecontrainteconstantee0appliquee`alamembranesont:u0(r) = e0r, e0rr= e0= e0, N0rr= N0=Eh1 e0. (3.4)Nousecrivons maintenant lequationgouvernant lamembraneenutilisant leprincipedutravail virtuel applique `a la surface de la membrane Sm= R2et en considerant p = P+P=Pa P0, ladierencedepressionentrelapressionauborddelamembranecotezpositifs(enpratiquepressionacoustique)etznegatifs(enpratiquepressionatmospherique):_Sm((N0+ N)e + Mk)dS +_SmpwdS=_Smmh wwdS. (3.5)o` umestlamassevolumiquedumateriauconstitutifdelamembrane.Nous appliquons ensuite une reduction de Rayleigh-Ritz avec une fonction de forme paraboliquepour decrire ladeformationtransversale de lamembrane, le degre de liberte qm(t) etant ledeplacementtransversalducentredelamembrane:w(r, t) = (R2r2R2)qm(t), u(r, t) = 0w(r, t) = (R2r2R2)qm(t), u(r, t) = 0(3.6)Cettefonctiondeformepermetdecrirelesexpressionsdesdierentescomposantes:___err=12(wr )2= 2(rqmR2)2krr= k=2qmR2e= er= kr= 0,___err=wrwr= 4(rR2)2qmqmkrr= k=2R2qm, (3.7)___Nrr=Eh12_2(rqmR2)2+ 4(rR2)2qm qm_ =2Ehr2(12)R4(qm2+ 2qm qm)Mrr=Eh312(12)(2qmR2+ 2qmR2+ (2 qmR2+ 2 qmR2)) =Eh36(1)R2(qm + qm)M= Mrr. (3.8)Eninserant3.4,3.6,3.7et3.8danslequationduprincipedespuissancesvirtuelles3.5nousobtenonslequationsuivante,quilfautensuiteexprimersousuneformeplussimplepouravoirlequationnaledelamembrane:_R0( [Eh1 e0 +2Ehr2(1 2)R4(qm2+ 2qm qm)]4r2R4 qmqm 2Eh36(1 )R2(qm + 2 qm)2R2qm+ pR2r2R2qm mhR2r2R2 qmR2r2R2qm)2rdr =0tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010303.Etudedunoscillateurvibroacoustiquenonlineaire:lamembraneviscoelastiquecirculaireLecalculdecetteintegraledonnelequation: [Eh1 e0R44+2Eh(1 2)R4(qm2+ 2qm qm)R66]4R4qm2 2Eh36(1 )R2(qm + 2 qm)2R2R222 +pR242 mh qmR262 =0quidevientapr`essimplications:mhR23 qm+2Eh33(1 )R2[(1+ 3R2e0h2)qm+ qm] +8Eh3(1 2)R2(qm3+2qm2 qm) =R22p (3.9)Nousecrivonsenncetteequation`aundegredelibertedelamembranesouslaformenalesuivante:mm qm + k1[(1 + )qm + qm] + k3(qm3+ 2qm2 qm) =Sm2p (3.10)avec mm=mhSm3, =3R2e0h2, Sm= R2k1=2Eh33(1 )R2, k3=8Eh3(1 2)R2Lequation 3.10 obtenue est nalement et eectivement lequation dun oscillateur non lineaireessentiellementcubiqueetamorti. Lecoecientderaideurcubiqueobtenuestk3. Cependant,une raideur lineaire est tout de meme presente. Celle-ci a pour coecient k1`a vide (sansprecontrainte). Cette raideur peut etre augmentee en ajoutant une precontrainte, representee parle coecient , `a la membrane. La raideur vaut alors k1(1+). Plus precisement, est en fait lerapportentrelaprecontraintee0etlacontraintecritiquedeambageh23R2,desortequelorsquee0= h23R2, alors 1+ = 0. Notons f0 la frequence propre de la membrane `a vide et f1 sa frequencepropre avec precontrainte. Nous avons alors k1/mm= (2f0)2et k1(1+)/mm= (2f1)2. Nouspouvonsainsiremplacer(1 + )par(f1/f0)2,quiestlaformequenousgarderonspourlesuitecar nous avons une expressionlitterale de f0et parce que lagrandeur caracteristique de latensiondelamembranelaplusfacilementmesurableestf1. Dapr`eslequation3.10obtenue,lexpressiondef0estf0=12_2Eh2(1)mR4. Ordapr`eslelivredeA. Leissa([32], tableau2.1),cettefrequenceapourexpressionf0=12_1.0154412Eh2(12)mR4. Andameliorernotremod`ele,nousrempla consdonclavaleurapprocheedonneeen3.10, obtenue`acausedelhypoth`esedeformeparaboliqueadoptee(quipermetlobtentionduncoecientderaideurnonlineairecor-rectmaisquicreeuneerreursurlaraideurlineaire),parlexpressionk1=1.0154518Eh3(12)R2,anquek1/mmcorrespondemaintenant`a(2f0)2.Lequationnaleestdonclasuivante:mm qm + k1[(f1f0)2qm + qm] + k3(qm3+ 2qm2 qm) =Sm2p (3.11)avec mm=mhSm3, f0=121.0154412Eh2(1 2)mR4, Sm= R2k1=1.0154536Eh3(1 2)R2, k3=8Eh3(1 2)R2Il est`anoterquenplusduntermedamortissementvisqueuxclassique, untermedamor-tissementnonlineaireenqm2 qmestpresent.tel-00544719, version 1 - 9 Dec 20103.Etudedunoscillateurvibroacoustiquenonlineaire:lamembraneviscoelastiquecirculaire313.2 Caracterisationexperimentaledemembranes3.2.1 Mesuredesparam`etresphysiquesdesmembranesLes dierents param`etres du mod`ele de la membrane etant denis `a partir de ses param`etresphysiques, une mesure de ces derniers est bien entendu necessaire. Nous avons `a notre dispositiontrois membranes en latex dierentes, depaisseurs 0.18, 0.39 et 0.62 mm. Nous prendrons donc lesvaleurs courament utilisees pour ce materiau pour les deux param`etres suivant : masse volumiquem= 980 kg.m3et coecient de poisson = 0.49. En eet le latex est `a peine moins dense queleauetquasimentincompressible. Encequi concernelemoduledYoung, nousavonseectuedes essais de traction sur des bandes rectangulaires du meme materiau que les trois membranes.La gure 3.2 presente les resultats de ces essais sous la forme de courbes contrainte/deformation.0 0.05 0.1 0.15 0.200.050.10.150.20.25Dformation relativeContrainte (MPa)membrane 1membrane 2membrane 3Fig.3.2Courbesexperimentalescontrainte/deformationpourlestroismembranes.Etant donne que nous sommes alles jusquaux grandes deformations (presque 20%) ces courbes nesont pas des droites. Nous choisissons alors comme valeur du module dYoung la pente moyenne,bienqueladenitiondecettegrandeursoitlapente`alorigine.Lesresultatssontnotesdansletableaurecpitulatifsuivant:h(mm) E(MPa) m(kg.m3) membrane1 0.18 1.17 980 0.49membrane2 0.39 1.29 980 0.49membrane3 0.62 1.20 980 0.493.2.2 CaracterisationdelaraideurdesmembranesUnsecondmontageexperimentala etedeveloppeandecaracteriserlaraideurtransversaledesmembranes. Pourcela, undespremierstravauxdecetteth`eseaetedeconcevoirunsup-portdemembrane, permettantdelacoincerecacementandassurerdebonnesconditionstel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010323.Etudedunoscillateurvibroacoustiquenonlineaire:lamembraneviscoelastiquecirculairedencastrement, dechanger derayonet depermettreunreglageprecis et independant delatension. Lagure3.3presenteleschemadeprincipedecesupport. Lesupportsuperieurestxe de mani`ere permanente au montage. La membrane est montee entre les bagues inferieure etsuperieurequi formentunensemblemobileparrapportausupportinferieur, permettantainsidallonger la membrane et donc de controler sa tension. Independament de ce reglage de tension,ilestpossibledeplacernimportequellepairedemorssurlessupports.Unefoislesmorsetlamembranexesetlatensionreglee,lensembleinferieurvientsexersurlensemblesuperieur,creantunemembranecirculaireencastreedudiam`etre(4,6ou8cm)etdelatensionvoulus.Fig. 3.3Schemadeprincipedusupportdemembrane. Grisfonce: supportsuperieur. Grisclair: supportinferieur. Vertfonce: morssuperieur. Vertclair: morsinferieur. Bleufonce:baguesuperieure.Bleuclair:bagueinferieure.Danslebutdemesurerenquasi-statiquelarelationentrelapressionappliqueeduncotedelamembraneetsondeplacement,nousavonsmontelesupportdemembranesurunecaviteetanche(voirgure3.4et3.5).Gr ace`aunepompe`avelo,nouspouvonsaugmenterlapression`alinterieurdecelle-ci,puispendantuntr`eslentdegonagemesurerladierencedepressionappliquee`alamembrane. Pour cela, uncapteur dierentiel depressionayant unemesure`alinterieurdelacaviteetuneautre`alexterieuraeteutilise. Simultanement`acettepremi`eremesure,ledeplacementducentredelamembraneestmesurepar`auncapteurdedeplacementlaserpartriangulation.Touteslescombinaisons(epaisseur,rayon,tension)ontetemesurees,maispourunevidentsouci deplaceetdelourdeur, seulsdeuxcas(cas1: h=0.18mm, R=4cm, 3tensionsetcas2:h=0.62mm,R=3cm,3tensions)serontpresentesici.Lescaracteristiquesmesureesdanschacunde ces deux cas apparaissent respectivement sur les gures 3.6(a) et 3.6(b) et montrent clairementque la raideur des membranes est eectivement cubique dans tous les cas, avec une contributionlineaire en plus dependant de la tension. Nous voyons que ce param`etre naecte que cette partielineaire de la raideur, alors que la partie cubique ne depend que de la geometrie de la membrane etdesparam`etresmecaniquesdumateriau.Cesobservationssontdoncqualitativementenparfaitaccordaveclequation3.10. Quantitativement, uneapproximationpolynomiale`alordretroisdescaracteristiquesmesureesdonnelesresultatssuivants:tel-00544719, version 1 - 9 Dec 20103.Etudedunoscillateurvibroacoustiquenonlineaire:lamembraneviscoelastiquecirculaire33Fig. 3.4Photographiedumontageexperimental decaracterisationdelaraideurdesmem-branes.Fig. 3.5Photographiesdunemembraneavec(`adroite)etsanspression(`agauche)danslacavite. Cas1 Tensionfaible:Sm2p = 51.55qm + 6.19 105qm3Tensionmoyenne:Sm2p = 68.65qm + 6.23 105qm3Tensionforte:Sm2p = 95.80qm + 5.87 105qm3 Cas2 Tensionfaible:Sm2p = 59.7qm + 5.06 106qm3Tensionmoyenne:Sm2p = 218qm + 4.89 106qm3Tensionforte:Sm2p = 272qm + 4.74 106qm3En comparaison, la valeur donnee par le mod`ele du coecient k3est de 1.47 106N.m3pourlecas1et9.23 106N.m3pourlecas2.Laccordnestpasparfait,ilyaunrapportdenvirondeuxentreles valeurs experimentales et theoriques, mais elles sont tout dememedumemetel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010343.Etudedunoscillateurvibroacoustiquenonlineaire:lamembraneviscoelastiquecirculaireordredegrandeur.Nepouvantmesurerlatensionoulafrequencepropredesmembranessurcemontage experimental, nous ne pouvons pas faire de comparaison sur la valeur du coecient k1.0 0.005 0.01 0.015 0.02020040060080010001200140016001800tension faibletension moyennetension forteDplacement (mm)Pressiondiffrentielle(Pa)(a)Cas1:h = 0.18mm,R = 4cm,troistensions.0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010500100015002000250030003500400045005000tension faibletension moyennetension forteDplacement (mm)Pressiondiffrentielle(Pa)(b)Cas2:h = 0.62mm,R = 3cm,troistensions.Fig. 3.6 Caracteristiques experimentales pression/deplacement de deux membranes circulaireselastiquesdierentesplusoumoinstendues.tel-00544719, version 1 - 9 Dec 20103.Etudedunoscillateurvibroacoustiquenonlineaire:lamembraneviscoelastiquecirculaire35ConclusionDanscechapitre, nousavonsdoncdemontre, tant analytiquement quexperimentalement,quune simple membrane visco-elastique ne et circulaire constitue un oscillateur vibro-acoustiquederaideuressentiellementcubique. Lemateriauestlineairemaislanon-lineariteestobtenuegeometriquementparledeplacementtransversal. Cestsurceconstatquecetypedabsorbeurnonlineaireaeteutilisedanscetteth`esepouretrecouple`aunmilieuacoustiqueetetudierlephenom`enedepompageenergetiqueenacoustique. Leprincipedececouplage, lemontageexperimental correspondant ainsi que le mod`ele complet de celui-ci sont presentes dans le chapitresuivant.tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010Chapitre4CouplagedelamembraneavecunmilieuacoustiqueIntroductionPartant delidee, presenteedans lepremier chapitre, ducouplagedunsyst`emeprimairelineaire `a un oscillateur non lineaire permettant davoir une technique de controle des vibrationsaux proprietes interessantes et de la possibilite davoir un oscillateur vibro-acoustique non lineaireavecunemembrane, nous avons construit unmoyendecoupler celle-ci `aunmilieuprimaireacoustique. Ce chapitre est ainsi consacre au principe de couplage, `a sa realisation experimentaleainsiqu`alelaborationdunmod`ele`adeuxdegresdeliberteledecrivant.37tel-00544719, version 1 - 9 Dec 201038 4.Couplagedelamembraneavecunmilieuacoustique4.1 PrincipeLesimplesyst`eme`adeuxdegresdelibertes(2ddl)decritdanslepremierchapitre(gure1.11)(unsyst`emeprimairelineairemasse/ressortcoupleparunefaibleraideur`aunabsorbeurnonlineairemasse/ressortcubique)aservidebase`alaconceptiondunmontageexperimentalo` ulesyst`emeprimaireestunmilieuacoustiqueetlabsorbeurnonlineaireunemembrane.En tant que syst`eme primaire, nous considerons le premier mode acoustique dun tube cylin-driqueouvert `aces deuxextremites, delongueur Let desectionSt=R2t. Lorsquelair `alinterieurdutubevibresurcemode, lapressionacoustiqueestnulleauxextremitesdutubeetmaximaleaumilieu, tandisquelavitesseacoustiquedelairestmaximaleauxextremitesetnulleaumilieu. Autrementdit, unerepresentationdiscr`etesimplieedecemodedevibra-tionpeutetreobtenueenconsiderantdeuxmassesdairsedepla cantaveclamemeamplitudemaisenoppositiondephaseauxextremitesdutubeetconnecteesparunressortrepresentantlacompressibilitedelair. Ceci constitueainsi uneanalogie`aunsyst`ememecanique`a1ddlmasse/ressort. Lebutestalorsdagirsurcesyst`eme, gr ace`aunabsorbeurnonlineaire, andelimitersesvibrationsetdoncleniveausonore. Commenouslavonsvudansleprecedentchapitre, cet absorbeur est unemembranenecirculairevisco-elastiquequi constitueunos-cillateurvibro-acoustiquederaideuressentiellementcubique. Lefaiblecouplageentrelesdeuxoscillateurs est assurepar lacompressibilitedelair dunebotedevolumeimportant placeeentrecesdeux elements.Leschemadeprincipedecetensembleestpresentesurlagure4.1.ma mmua(t) qm(t)hautparleurtubebote de couplagemembranemaua(t)p1(t)p2(t)p(x,t) , uair (x,t)qm(t)0 LxFig.4.1Schemadeprincipedumontageexperimental.4.2 RealisationLe montage experimental base sur ces principes a ete realise (voir gure 4.2) et a eectivementpermis dobserver le phenom`ene de pompage energetique du milieu acoustique vers la membrane.En pratique, le tube est en forme de U de mani`ere `a ce quil puisse etre allonge ou raccourci sanstoucheraurestedudispositif, `alamani`ereduntrombone`acoulisse. Salongueurpeutainsivarier entre 1.5 et 2.5 m, correspondant `a des premi`eres frequences de resonance comprises entre75et120Hz. Lediam`etredutubed=94mmetantpetitdevantsalongueurL, lefaitquilsoitdroitoucourbenapasdimportancepourlesbassesfrequencesemployees. LevolumedelabotedecouplageestdeV2= 27L.Lesupportdemembranedecritprecedemmentestmontesurcettebote, ducoteopposeautube. Pourlasource, nousutilisonsunhaut-parleurprevutel-00544719, version 1 - 9 Dec 20104.Couplagedelamembraneavecunmilieuacoustique 39pourlesfortsniveaux, relieautubeparlintermediairedunebotedecouplage. Unanalyseurcontrolelexcitationduhaut-parleuretrecueilledeuxmesures:lapressionacoustiquemesureeaumilieudutubeparunmicrophoneetlavitessedelamembranemesureeensoncentreparunvibrom`etrelaser.source acoustiquebote de couplagetubevibromtrelaseranalyseurgnrateurmicrophonemembraneFig.4.2Schemaetphotographiedumontageexperimental.4.3 ModelisationUnsimplemod`eledumontageexperimentalestpresentedanscettepartie.Lemilieuacous-tiqueetlabsorbeurnonlineairesontchacunmodelisesparunsyst`eme`aundegredeliberte,permettantdarriver`aunsyst`emeglobal`adeuxdegresdelibertepourlemontage.4.3.1 Leclassiquesyst`ememecanique`adeuxdegresdelibertePouranalyserlephenom`enedepompage energetique,lacommunautescientiqueconcerneeadabordetprincipalementutiliseunsimplesyst`ememecanique`adeuxdegresdeliberte.Unemasseetunressortlineaireamorti constituentlesyst`emelineaireprimaire`aproteger, etunetel-00544719, version 1 - 9 Dec 201040 4.Couplagedelamembraneavecunmilieuacoustiquemasseetuneraideurcubiqueamortielineairementformentlabsorbeurnonlineaire. Unfaiblecouplage entre ces deux oscillateurs est realise par une faible raideur lineaire placee entre ceux-ci.Lesyst`emenonlineaireetantrelieaubati, cettedispositionestappelleedanslalitteraturelaconguration grounded. Lautre syst`eme classique est base sur la conguration non groundedo` ulabsorbeurnonlineaireestdirectementetuniquementattacheausyst`emelineaire. Il aetemontre(voir[25])que, parunsimplechangementdevariable, il estpossibledepasserduneconguration`alautreet queles deuxtypes desyst`emes sont doncequivalents. Dans notrecas,puisquelamembraneestobligatoirementattacheeaubati,noussommesdoncbiendanslacongurationgrounded.Soient u1(t) et u2(t) les deplacements respectifs des masses du syst`eme lineaire primaire et dusyst`eme non lineaire. Le syst`eme dequations (adimentionnelles) de la conguration groundedestlesuivant: u1 + a u1 + u1 + b(u1u2) = 0c u2 + d u2 + eu32 + b(u2u1) = 0, (4.1)o` ubestlepetitcoecientdecouplage, clerapportdesmasses, aetdlescoecientsdamor-tissementrespectifsdessyst`emeslineaireetnonlineaire,etelecoecientderaideurcubique.Malgre sa simplicite apparente, ce syst`eme a une dynamique tr`es complexe qui a ete etudieeetdecritedans[25,27,9,11,22,35,20,50,51,45].Sansentrerdanslesdetails,rappelonsquecelle-ci peutnotammentetremiseenevidenceparletudedesmodesnonlineairesdusyt`emecouple. Ceci seradoncfaitpournotremod`ele, maisvoyonstoutdabordcommentcelui-ci estetabli.4.3.2 LetubeEtantdonnequelalongueurdutubeestgrandedevantsondiam`etre,celui-ciestconsiderecommeunidimensionnel. Notonsuair(x, t)etp(x, t)respectivementledeplacementdelairetlapressiondansletube.Lemouvementdelairestgouverneparlesequationsdeconservationsuivantes:a2uairt2= px(4.2)p = ac20uairx, (4.3)aveclesconditionsauxlimitesp(0, t)=p1(t)etp(L, t)=p2(t). Ici, aestlamassevolumiquedelairetc0lavitessedusondanslair.AndappliquerunereductiondeRitz`aundegredeliberte,nous ecrivonsces equationssouslaformevariationnellesuivante:_L0aSt2uairt2uairdx = _L0aStc20uairxuairxdxp2(t)Stuair(L, t) + p1(t)Stuair(0, t). (4.4)La fonction de forme adoptee pour uair(x, t) est exactement celle du premier mode acoustique dutube.Soitua(t)ladeplacementdelair`alextremitedutubecotemembrane(x = L).Celui-ciestpositiflorsquelairsortdutube.uair(x, t) = ua(t)(cos(xL)) (4.5)uair(x, t) = ua(t)(cos(xL)). (4.6)tel-00544719, version 1 - 9 Dec 20104.Couplagedelamembraneavecunmilieuacoustique 41LareductiondeRayleigh-Ritzpermetdarriver`alequationdierentiellesuivante:(aStL2) ua+(aStc2022L) ua= p1Stp2St. (4.7)Nousprenonsmaintenantencomptelamortissementenintroduisantuntermevisceuxavecuncoecient cf. Lequation nale du tube, dont la representation schematique apparat sur la gure4.3,estdonclasuivante:ma ua+cf ua+kaua= p1Stp2St(4.8)o` u ma=aStL2, ka=aStc2022L.p1(t)p2(t)cfkama/2ma/2Fig.4.3Schemadelanalogiemecaniquerepresentantloscillateurprimaire.4.3.3 LabotedecouplageLevolumedelabotedecouplageest consideresusament grandpour fairelhypoth`esedunepressionp2spatialementconstante`alinterieurdecelle-ci. Cettepressionestreliee`alavariationdevolumeV2V2, dueaumouvementdelamembraneduncoteet`acelui delamassedairdutubedelautre,parlarelationsuivante:p2(t) = ac20V2V2(4.9)= kb[Stua(t) Sm2qm(t)] (4.10)avec kb=ac20V2.4.3.4 LasourcesonorePourdesraisonsdesimplicite, labotedentreedutube, lehaut-parleur, lesyst`emedam-plicationainsiquelecontroleur,cest-`a-diretoutelachanedentree,nontpasetemodelises.Nous supposons simplement que lexcitation produit une pression acoustique periodique qui agitcommeunesource`alentreedutubeavecuneamplitudeP1etunefrequence:p1(t) = P1 cos(t) (4.11)tel-00544719, version 1 - 9 Dec 201042 4.Couplagedelamembraneavecunmilieuacoustique4.3.5 Lesyst`eme`adeuxdegresdelibertenalEninserantles equations4.9et4.11dans4.8et3.11,nousobtenonslesyst`emedequationsnal`adeuxdegresdelibertesuivant,dontonrappellelexpressiondesparam`etres:ma ua + cf ua + kaua + Stkb(StuaSm2qm) = Fcos(t) (4.12)mm qm + k1[(f1f0)2qm + qm] + k3[q3m + 2q2m qm] +Sm2kb(Sm2qmStua) = 0 (4.13)avec ma=aStL2, mm=mhSm3kb=ac20V2, ka=aStc2022Lk1=1.0154536Eh3(1 2)R2, k3=8Eh3(1 2)R2f0=121.0154412Eh2(1 2)mR4, Sm= R2Ande comparer le syst`eme dequations issude notre modelisationausyst`eme 4.1adi-mentionnecourammentutiliseparlacommunautedanslalitterature, nousallonsproceder`asonadimentionnement. Desquantitesadimentionnellessontintroduitesennormalisantqmparlepaisseurdelamembranehetuaparhetlerapportdesection2StSm. Letempsestnormaliseparlapremi`erepulsationpropredutube1.q=qmh, u =uah2StSm, = 1t, avec, 1=c0L. (4.14)Eninserantcesquantitesdansles equations4.8et3.11,enprenant4.9et4.11encompte,nousobtenonsnallementlesyst`emeadimentionne`adeuxdegresdelibertesuivant:d2ud2+ dud+ u + (u q) = F cos( 1) (4.15)d2qd2+ c1[(f1f0)2q + dqd ] + c3(2q2dqd+ q3) = (u q) (4.16)avec =2StLV22, =2cfaStc0, =83mhStaLSm(4.17)c1=2 1.01549(1 2)Eh3LStac20R6, c3=6433(1 2)Eh3LStac20R6(4.18)f0=121.01544Eh212(1 2)R2(4.19)Cesyst`emedi`eredusyst`emeclassique4.1surlespointssuivants: labsorbeurnonlineairenapasuneraideurcubiquepure. Untermederaideurlineaireestpresent. Il dependdelapretensiondanslamembranemaisresteneanmoinsnonnulmemeavecunepretensionnulle.Cependant,engranddeplacement,letermecubiqueseraprepondantdevantcettecontributionlineaire, en plus dun terme damortissement visqueux classique pour la membrane, un termedamortissement nonlineaire enq2m qm est present et meme preponderant engranddeplacements.tel-00544719, version 1 - 9 Dec 20104.Couplagedelamembraneavecunmilieuacoustique 43Malgre ces dierences, les deux syst`emes sont tr`es similaires et de rapides experiences numeriquesontmontrequelesyst`eme4.15permettaiteectivementdereproduirelephenom`enedepom-pageenergetiqueavecdesvaleursdepastropimportantes,unparam`etreprochedeluniteet un petit coecient de couplage . Le principe et le dimensionnement du montage semble donctheoriquementjudicieuxpourobserverlephenom`eneenacoustique.4.3.6 ModesnonlineairesIl a ete montre que le pompage energetique est intimement lie `a une capture de resonance 1 :1(voir[59]),labsorbeurcaptantlaresonancedumilieuprimaire.Cecipeut etremisen evidenceparletudedesmodesnonlineairesdusyst`emenon-amorti. Pourlescalculer, lamethodedelequilibrage harmonique est utilisee. Les deplacements des deux oscillateurs sont alors exprimessouslaformeua(t)=U cos(t)etqm(t)=Qcos(t). Enintroduisantcesexpressionsdanslesyst`eme4.12(sanslestermesdamortissement), avecF=0etennegligeantlesharmoniquessuperieures,nousobtenonslesyst`emealgebriquesuivantpourlesamplitudesUetQ:(ma2+ ka + S2tkb)UStSm2kbQ = 0(mm2+ k1(f1f0)2+ (Sm2)2kb)QStSm2kbU+34k3Q3= 0.Ce syst`eme peut aisement etre resoluet donne les expressions suivantes pour les deuxdeplacements:U() =StSmkb2(ma2+ ka + S2tkb)Q (4.20)Q() = 43k3(mm2k1(f1f0)2(Sm2)2kb +(StSmkb)24(ma2+ ka + S2tkb))(4.21)Pourlacongurationh = 0.6mm,R = 30mm,f1= 57Hz,lesvaleursdecessolutionssonttracees en fonction de et apparaissent sur la gure 4.4. Compte tenu du fait que les mouvementsdes deux oscillateurs sont supposes synchrones `a la meme frequence (capture de resonance 1 :1),nousappelonslasolutiono` uua(t)etqm(t)sontenoppositiondephaselemodenonlineaireS11etlasolutiono` uilssontenphaselemodeS11+(notationutiliseegeneralementdanslalitterature,voirparexemple[27,24]).Gr ace aux equations du mod`ele, lenergie Edu syst`eme global peut etre denie comme suit :E() =12kaU()2+12k1(f1f0)2Q()2+14k3Q()4+12kb(StU() Sm2Q())2. (4.22)Nouspouvonsmaintenanttracer`anouveaulessolutionsS11etS11+, maisdansundi-agrammefrequence-energietotalevisiblesur lagure4.5. Commenous leverronsplus tard,cemodederepresentionesttr`esutilepourdecrireetcomprendrelephenom`enedepompageenergetique. Cependant, enassociantlesdeuxoscillateursenunegrandeurdenergietotale, lalocalisationdelenergiedanslunoulautredeceux-cinestplusvisible.Pourobservercela,ilfautalorssereporter`alapremi`ererepresentationdesmodesenamplitudedelagure4.4.Deuxcommentairespeuventdoresetdej` a etrefaitsgr ace`acesgures: Sur le diagramme 4.5, nous avons globalement deux courbes qui se croisent. Une horizontalecorrespondant `alacaracteristique dusyst`eme primaire lineaire, et une courbe obliquetel-00544719, version 1 - 9 Dec 201044 4.Couplagedelamembraneavecunmilieuacoustique50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 16020246810121416 x 103S11+ / UairS11+ / QmembraneS11 / UairS11 / QmembraneFrquence (Hz)Amplitudededplacement(m)Fig. 4.4Modes nonlineaires dusyst`eme - Amplitudes de deplacement enfonctionde lafrequence.7 6 5 4 3 2 1 0 1 2406080100120140160S11+S11Frquence(Hz)Energie totale (log)Fig.4.5Modesnonlineairesdusyst`emedanslediagramme energie-frequence.pour la raideur cubique de la membrane. Lorsquun couplage entre les deux oscillateurs estajoute, cesdeuxcaracteristiquesselientpourformerlesdeuxmodesnonlineairesS11etS11+.Danslesbasses energies,cesmodessontrepresentespardesdroiteshorizontalesetconcidentenfaitaveclesmodeslineairesdutube(lignehorizontale`a92Hz)etdelamembrane(lignehorizontale`a57Hz). Lorsque lon est sur la premi`ere frequence de resonance du tube, ici `a 92 Hz, deux posibilitesexistent pour le syst`eme en fonction de lenergie. Si lenergie est faible, le syst`eme est sur letel-00544719, version 1 - 9 Dec 20104.Couplagedelamembraneavecunmilieuacoustique 45mode S11. Sur cette partie du mode, lenergie est localisee sur le tube, cest donc une zonequinestpasinteressantedansnotrecas.Parcontre,`apartirduncertainseuildenergie,lesyst`emeserasur lemodeS11+. Les deuxoscillateurs sont dans cecas enphase, lacapturederesonanceaeulieuetuntransfertdenergieestdoncpossible. Eneet, danscettepartiehorizontaledumodeS11+, lenergieest partageeentreles deuxsyst`emes.Cestsurtoutensuite,silonsupposequelesyst`emeestinitialementsurunpointdecettezone, quelonpeut sattendre`aobservercequeloncherche, cest-`a-direunecompl`etelocalisation de lenergie sur loscillateur non lineaire. En eet, par amortissement, lenergieva decrotre. En suivant le chemin du mode S11+, le syst`eme va entrer dans la zone obliquedumodequi,commeonlevoitsurlarepresentationenamplitude,correspond`aunezoneo` ulenergieestquasimententi`erementlocaliseesurlabsorbeurnonlineaire. Letransfertaura donc ete complet. Ces simples representations des deux premiers modes non lineairesfont donc dej` a apparatre plusieurs caracteristiques du phenom`ene. Lobservation reelle decelui-cietsonexplicationpluscompl`etefontlobjetduchapitresuivant.ConclusionBasesuruneanalogie`aunsyst`emeconnupour etudierlepompage energetique,nousavonsainsi pumettreaupointunmontageexperimental pourobserverlephenom`enesurunmilieuacoustique. Une modelisation de ce montage a ete realisee, permmettant daboutir `a un syst`eme`a deux degres de liberte proche du syst`eme typique donne par le couplage dun oscillateur lineaire`a un oscillateur `a raideur cubique. Ceci est dej` a une sorte de validation du principe du montage.A partir de ce mod`ele, les premiers modes non lineaires du syst`eme ont pu etre traces, permettantdej` a de comprendre une partie du phenom`ene et de cibler les zones interessantes `a atteindre. Lesphenom`enesobservesexperimentalementgr ace`acemontagefontlobjetduchapitresuivant.tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010tel-00544719, version 1 - 9 Dec 2010Chapitre5Lepompageenergetique:principauxresultatsexperimentauxetnumeriquesIntroductionLe principe du dispositif experimental ainsi que le mod`ele associe etant vus, nous presentonsdans cechapitreles dierents resultats experimentaux, ainsi queleurs comparaisons aveclesresultats numeriques, permettant decomprendreles caracteristiques et lefonctionnement duphenom`ene de pompage energetique. Pour chaque point, les presentations ne seront faites quavecuneoudeuxcongurations,les etudesparametriquesfaisantlobjetduchapitresuivant.Les dierents regimes observes sous excitationharmonique seront tout dabordabordes,suivisdescomportementsenoscillationslibresetdeletudedesreponsesfrequentielles.47tel-00544719, version 1 - 9 Dec 201048 5.Lepompageenergetique:principauxresultatsexperimentauxetnumeriques5.1 LesdierentsregimesobservessousexcitationsinusodaleDans cette partie, nous nous interessons aucomportement dusyt`eme sous excitationsi-nusodale`alafrequencedupremiermodeacoustiquedutube. Enraisondelapresencedunenon-linearite, plusieurs types de comportements sont observes en fonction de lamplitude de lex-citation. Ces dierents regimes ont ete mesures avec de nombreuses congurations de membrane,cependant ceux-ci sont toujours qualitativement similaires, cest-`a-dire que les mecanismes et lesexplicationssonttoujourslesmemes.Ainsi,seulesdeuxcongurationsserontpresentees,cequirepresentedej` aungrandnombredegures.Chaquemesuresera egalementsuiviedelasimula-tionassociee,andecomparerlemod`ele`alexperience.Cesdeuxcongurationssontdonc: conguration1:L = 2m,R = 2cm,h = 0.18mm,f1= 62Hz, conguration2:L = 2m,R = 3cm,h = 0.39mm,f1= 73Hz.5.1.1 Conguration1SignauxtemporelssousexcitationsinusodaleLaseriedesous-gures5.1presentelesdierentsregimesobserves,pourlaconguration1,dans lordre croissant damplitude dexcitation. Y gurent le signal temporel dentree envoye auhaut-parleur(enhautenV, amplitudeA, frequencedupremiermodedutube), lamesuredelapressionpaumilieudutube(aumilieuenPa), lamesuredelavitesse qmaucentredelamembrane(enbasenm.s1)ainsiquelediagrammedudeplacementaucentredelamembraneqm(enmm)enfonctiondudeplacementdelairenboutdetubeua(enmm)permettantdemettreenevidenceledecalagedephaseentrelesdeuxsignauxrepresentantlesdeuxdegresdeliberte homog`enesdumod`ele. Pourpasserdela vitessede lamembrane`asondeplacement,unesimpleintegrationestcalculee,etpourpasserdelapressionaumilieudutubeaudeplacementde lair enbout de tube, nous utilisons la relationentre les amplitudes u0et p0presenteeprecedementu0= p0Lac20etlefaitqueuaetpsontnecessairementenoppositiondephasesurlepremiermodedutube.Larelationentreuaetpestdonc:u(L, t) = p(L/2, t)Lac20.En dessous dun certain seuil dexcitation que lon nommera S1, le regime observe estperiodique. Les gures correspondantes sont indexees 5.1(a), 5.1(b) et 5.1(c). Les regimes presentessur ces gures montrent une reponse du syst`eme o` u lamplitude du signal de pression acoustiquecrot avec lamplitude dexcitation, ceci de fa con relativement lineaire, et o` u lamplitude du signaldevitessedelamembranesuitcettememecroissance.Lediagrammededroitedudeplacementdelamembraneenfonctiondecelui delairpermetdevoirqueceux-ci sontenoppositiondephasesurceregime.Au dessus du seuil S1et en dessous dun second seuil S2, le regime devient quasi-periodique.Troiscasdeceregimesontpresentessurlesgures5.1(d),5.1(e)et5.1(f).Ceregimeesttout`afait particulier et caracteristique du phenom`ene de pompage energetique et de transfert denergieversunabsorbeurnonlineaire. Danschacundecestroiscas, leregimeobservecorrespondaumememecanismeo` ulesyst`emealterneindenimententredeuxcomportements: Lapressionacoustiquecrotsurunregimesimilaireaupremierregimeperiodiqueobervepourlesfaiblesexcitations(cest-`a-direquelesdeplacementssontenoppositiondephase),puisd`esquecelle-ciatteintuncertainniveau,iciprochede500Pa,lamembranesactiveetseplaceenphaseavecledeplacement delair provoquant lephenom`enedepompageenergetiquequi setraduit parune decroissance de la pression acoustique dans le tube. Ce placement de la membrane en phaseavecledeplacementdelairenboutdetubeestappeledanslalitteraturecapturederesonancetel-00544719, version 1 - 9 Dec 20105.Lepompageenergetique:principauxresultatsexperimentauxetnumeriques 49(voir[59,23,45]).Plusparticuli`erement,nousassistonsici`aunecapturederesonance1:1dutubeparlamembranepuisquelorsdecephenom`ene, lesdeuxoscillateursvibrentenphase`alamemefrequence.Pendantcettephase,untransfertdenergiealieudumilieuacoustiqueversloscillateurnonlineaire. Alandelaphasedepompageenergetique, lapressionacoustiquedans le tube devient trop faible pour maintenir la large vibration de la membrane. Celle-ci l achealors la resonance 1 :1 pour se replacer en opposition de phase avec lair en bout de tube et laisserlapressionacoustiquecrotre`anouveau.Lecyclesereproduitensuiteindeniment.Ceregime,caracteristique dupompage energetique, est ainsi dumeme type que celui des publications[10,52]danslesquellesune etudetheoriquedecesproprietesestrealisee.Audessusduseuil S2, leregimeobserveredevientperiodique. Quatreexemplesdecelui-cisont donnes sur les gures 5.1(g), 5.1(h), 5.1(i) et 5.1(j). Nous pouvons alors voir que, pourles fortes excitations, lesyst`emesestabilisesur lesecondtypedecomportement duregimequasi-periodiquedecritci-dessus.Eneetlefortniveaudelasourcepermet`alamembranederesteractiveetausyst`emedesemaintenirsurlacapturederesonance1:1avecdessignauxdedeplacementenphase. Notonsquelesdeplacementsdesdeuxoscillateurssontdeplusenplusparfaitementenphaseaveclaugmentationduniveaudelexcitation,commeentemoignentlesdiagrammesdedroitedeplusenplusetroits. Nousarrivonsainsi pourlespremiersexemples(gures5.1(g)et5.1(h))`aobserverdesreponseso` uleniveauacoustiquerestemoderemalgrelefortniveaudexcitation, alorsquelamembranevibresousdegrandesamplitudes(vingtfoissonepaisseur)etconcentrelenergiesurelle-meme. Lesdiagrammesdedroitepermettentde clairement voir laforte localisationde lenergie sur lamembrane pour ces deuxgures.Lorsqueleniveaudelasourceaugmenteencore(gures5.1(i)et5.1(j)), cettelocalisationseperdprogressivement. Eneet, surceregime, lamembranecaptelaresonancedutubeetseplacesursonpointdefonctionnementcorrespondant`acettefrequence. Entantquoscillateuressentiellementcubique,sonamplitudeestalorsxee.Ainsi,lorsquelonaugmentelamplitudedelasource,cestprincipalementlemilieuacoustiquequisuivracetteaugmentation,alorsquelamplitudedevibrationdelamembranenepourrapresquepascrotre.NiveauxsuccessifsdamplitudedevibrationPourchaquesous-guredelaserie5.1,uncoupledevaleurscorrespondantauxamplitudesmaximalesdedeplacementdesdeuxoscillateurspeutetredeni. Cescouplesdevaleurssontalors reportes, en fonction de lamplitude dexcitation correspondante, dans la gure 5.2 o` u sontpresents les resultats de toute la serie de mesures dont font partie les dix exemples de la gure 5.1.La gure 5.2 est donc une sorte de recapitulatif de cette serie, mettant en evidence clairement lestrois zones correspondant aux trois dierents comportements decrits ci-dessus. Dans la premi`erezone (faibles niveaux dexcitation), les amplitudes de vibrations des deux oscillateurs augmententensembleavecleniveaudexcitation. Danslaseconde(regimequasi-periodique), lamembranevibre soudainement sous de grandes amplitudes et surtout le niveaude vibrationdumilieuprimaireestlimitesousuncertainseuil,memeenaugmentantleniveaudelasource.Eneet,surleregimequasi-periodique,lamembranesedeclenched`esquelapressionacoustiqueatteintuncertainniveau. Celui-ci nepeutdoncpasetredepasse. Cestencelaqueceregimeestleplus interessant entermedelimitationsonoreet soninteret seraencoreplus clairement misenevidencedanslapartieportantsurlesreponsesfrequentielles.Enndanslatroisi`emezone,lamplitudedevibrationdansletubepeut`anouveauaugmenteravecleniveaudelasource,alorsquecelledelamembranerestequasimentbloquee`alamemevaleur.tel-00544719, version 1 - 9 Dec 201050 5.Lepompageenergetique:principauxresultatsexperimentauxetnumeriques0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.100.10 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1500500 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.100.10.2 0 0.20.30.20.100.10.20.3(a) A = 0.100V .0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.200.20 0.02 0.04 0.06 0.08 0.110001000 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.500.50.5 0 0.50.500.5(b) A = 0.300V .NiveauxdenergieetmodesnonlineairesApartirduncoupledamplitudes,nouspouvonsgr aceaumod`elepresentedanslechapitreprecedent et plus precisemment avec la formule 4.22 calculer le niveau denergie correspondant dusyst`eme couple. Ces niveaux sont reportes sur la gure 5.3 dans un diagramme frequence/energieet superposes au trace des modes non lineaires correspondant `a la conguration consideree. Cettegurepermetdemettreenevidencequelesreponsesenregimeforce`alafrequencedumilieuacoustique se traduisent dans ce diagramme par des points qui sont soit au voisinage de la branchehorizontaledumodenonlineaireS11pourlesfaiblesniveauxdexcitationetdoncdenergie(signaux de deplacement des gures 5.1(a), 5.1(b) et 5.1(c) eectivement en opposition de phase),soit au voisinage de la branche horizontale de S11+ pour les forts niveaux denergie (signaux dedeplacementdesgures5.1(g),5.1(h),5.1(i)et5.1(j)eectivementenphase).Cependantdeuxremarquesimportantessont`afaire`alavuedecettegure5.3: Le regime periodique o` ules deplacements des oscillateurs sont enoppositionde phaseest observepourdesniveauxdenergiedusyst`emequi depassent clairementlabranchehorizontaledumodeS11. Eneetleseuil dedeclenchementdelamembraneobservetel-00544719, version 1 - 9 Dec 20105.Lepompageenergetique:principauxresultatsexperimentauxetnumeriques 510 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.500.50 0.02 0.04 0.06 0.08 0.120002000 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.500.50.5 0 0.510.500.51(c) A = 0.400V .0 0.5 1 1.5 20.500.50 0.5 1 1.5 220002000 0.5 1 1.5 22021 0 142024(d) A = 0.530V .0 0.5 1 1.5 20.500.50 0.5 1 1.5 220002000 0.5 1 1.5 22021 0 142024(e) A = 0.600V .tel-00544719, version 1 - 9 Dec 201052 5.Lepompageenergetique:principauxresultatsexperimentauxetnumeriques0 0.5 1 1.5 20.500.50 0.5 1 1.5 220002000 0.5 1 1.5 22021 0 142024(f) A = 0.800V .0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.11010 0.02 0.04 0.06 0.08 0.110001000 0.02 0.04 0.06 0.08 0.11010.5 0 0.53210123(g) A = 0.900V .0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.11010 0.02 0.04 0.06 0.08 0.120002000 0.02 0.04 0.06 0.08 0.11011 0 142024(h) A = 1.15V .tel-00544719, version 1 - 9 Dec 20105.Lepompageenergetique:principauxresultatsexperimentauxetnumeriques 530 0.02 0.04 0.06 0.08 0.12020 0.02 0.04 0.06 0.08 0.150005000 0.02 0.04 0.06 0.08 0.12022 0 242024(i) A = 2.00V .0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.15050 0.02 0.04 0.06 0.08 0.11000010000 0.02 0.04 0.06 0.08 0.12025 0 5505(j) A = 4.00V .Fig. 5.1 Resultats experimentaux. Conguration 1 : L = 2 m, R = 2 cm, h = 0.18 mm, f1= 62Hz.Dierentsregimesobservessousexcitationsinusodale`alafrequencederesonancedutubede dierentes amplitudes (ordre croissant). Signal duhaut : signal dentree duhaut-parleurdamplitudeA(V).Signaldumilieu:pressionacoustiqueaumilieudutubep(Pa).Signaldubas : vitesse du centre de la membrane qm(m/s). Diagramme de droite : deplacement du centredelamembraneqm(mm)enfonctiondudeplacementdelairenboutdetubeua(mm).experimentalement est superieur `acelui obtenupar simulation. Ainsi il existeunecartsignicatif entre le dernier point de ce regime et la pointe extreme de la branche horizontalede S11. Cette dierence entre le mod`ele et lexperimental sera plus clairement visible surlesguressuivantesdesimulation. Les derniers points des reponses o` ules deplacements sont enoppositiondephasesont`adesniveauxdenergiesuperieursauxpremierspointsdesreponseso` ulesdeplacementssont en phase. Pourtant dans le premier cas, les niveaux dexcitation sont inferieurs `a ceuxdusecondcas. Enrealiteleniveaudexcitationreellementfourni parlehaut-parleurnetel-00544719, version 1 - 9 Dec 201054 5.Lepompageenergetique:principauxresultatsexperimentauxetnumeriques0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 450000.511.522.533.544.5A (V) umax ++++ qmax (mm)1 2 31 : u, q en opposition2 : quasipriodique3 : u, q en phaseFig. 5.2Resultats experimentaux. Conguration1: L=2m, R=2cm, h=0.18mm,f1=62Hz. Amplitudes maximales des deplacements delair enbout detubeet ducentredelamembranepourtouslesregimesmesureslorsdunbalayageenamplitudedelexcitationsinusodale.suitpasexactementlaconsigneenVolt.Eneetcedernieresttr`esfortementcoupleaveclerestedusyst`eme(milieuacoutiqueetmembrane). Ledeclenchementdelamembrane,quicreeunereductiondelapressionacoustiquedansletube,provoqueenfait egalementunereductiondelamplitudedevibrationduhaut-parleur.Cestpourquoi nouspouvonsobserverlareponsedelagure5.1(c)o` uleniveaudenergieetleniveauacoustiqueestsuperieur `aceuxde lareponse 5.1(g) o` upourtant laconsigne enVolt est superieure.Pendantlesregimesquasi-periodiques, lehaut-parleursuitegalementcetypederegimemalgreunsignaldexcitationdamplitudeconstante.SimulationsAnde comparer le mod`ele `a lexperience, nous procedons maintenant aux simulationsdesreponsesdusyst`eme`auneexcitationsinusodale. Lesvaleursdesparam`etresdusyst`emedequations4.12utiliseespourcalculersessolutionssonttoujoursexactementlesreellesvaleursphysiquesdeceux-ci, `alexceptionducoecientdamortissementdelamembrane. Eneetdevantladicultedemodelisationdeladissipationdanslamembraneetdemesuredececo-ecient,nousavonschoisideprendrelavaleurquidonnelemeilleurresultatdesimulationenreponse libre. Une meilleure description de ce probl`eme pourra ainsi etre trouvee dans le prochainchapitrequiportesurlecomportementdusyst`emeenreponselibre.Pourchaquemembrane`anotre disposition, les valeurs des coecients damortissement determinees de cette fa con valent : membranedepaisseurh = 0.18mm,= 1.0 103s1, membranedepaisseurh = 0.39mm,= 6.2 104s1, membranedepaisseurh = 0.62mm,= 2.5 104s1.tel-00544719, version 1 - 9 Dec 20105.Lepompageenergetique:principauxresultatsexperimentauxetnumeriques 557 6 5 4 3 2 1 0406080100120140160Energie totale (log)Frquence (Hz)u, q en oppositionu, q en phaseS11+S11Fig.5.3Resultatsexperimentaux.Conguration1:L = 2m,R= 2cm,h = 0.18mm,f1=62Hz. Niveauxdenergiedesregimesmesureslorsdunbalayageenamplitudedelexcitationsinusodaleetmodesnonlineairesdusyst`eme.Malgrelesconsiderablesniveauxdepressionacoustiquemesuresdansletube, ledispositifexperimental aetedimensionnedemani`ere`acequelamajeurepartiedes phenom`enes nonlineaires aie lieu au niveau de la membrane et que le milieu acoustique conserve un comportementlineaire. Ceci peut etre verie `a partir de la valeur de pression maximale dans le tube pmax. Celle-ci atteintenviron1000Pa, cequiequivaut`aunevitessevmaxdenviron2.5m.s1enboutdetube. Ainsi, lesfacteursadimentionnelspmax/Patmetvmax/c0sonttouslesdeuxinferieurs`a102, assurant quelhypoth`esedelinearitedumilieuacoustiqueadopteedans lemod`eleestvalide. Laprincipalesourcedenon-linearitepourrait cependant provenir delagenerationdevorticiteauxchangementsdesection`alandutube. Pourunmilieucylindrique,