Transcript
Page 1: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de unángulo agudo.

Bajo licencia de creative commons

Unos investigadores británicos afirman que el penalti perfecto existe. Después de muchas investigaciones yde estudiar numerosos vídeos concluyen que la forma de lanzar un penalti para conseguir un disparoimparable es: coger carrerilla cinco o seis pasos desde el borde del área, golpear el esférico a una velocidadde 105km/h o más con un ángulo de 20 a 30 grados y de esta forma el balón cruza la línea de gol a 0,5metros por debajo del larguero, a la misma distancia de cada uno de los palos.

Este es un simple ejemplo en el que podemos ver una aplicación de la medida de ángulos para solucionar unproblema, pero ya desde la antigüedad se utilizó la medida de ángulos en campos como la navegación paraorientarse y conocer la posición del barco, o la astronomía para localizar estrellas en el cielo.

En este tema estudiaremos dos de las unidades en las que se pueden medir los ángulos: el gradosexagesimal y el radián , la relación que existe entre ellos, así como operaciones con ángulos. Veremostambién qué son las razones trigonométricas de un ángulo.

Page 2: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

1. Medida de ángulos

http://aristotelizar.com/web/category/sociedad/page/193/

Bajo licencia de creative commons

Mi pueblo está a 60 kilómetros (o 60.000 metros) de mi casa y tardo una hora ycinco minutos en llegar. Allí tengo un huerto que mide 2 hectáreas, o lo que es lomismo 2 hectómetros cuadrados.

Igual que podemos medir la distancia desde mi casa a mi pueblo, el tiempo que tardoen llegar o la superficie de mi huerto, también podemos medir la amplitud de unángulo. Y lo mismo que para medir las distancias, el tiempo o la superficie podemosutilizar distintas unidades, para medir ángulos también usaremos distintas unidades.

Page 3: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

1.1. El grado sexagesimal

Fuente propia

La forma de medir ángulos en el sistema sexagesimal, es la misma que utilizamos para medir el tiempo.Para medir el tiempo se elige como unidad principal la hora y luego la podemos dividir en minutos ysegundos. Pues bien, para medir la amplitud de un ángulo, se elige como unidad principal el gradosexagesimal que, como en el tiempo, también se puede dividir en minutos y segundos.

Sabemos que un ángulo recto mide 90º. Si lo dividimos en 90 partes iguales, cada unamedirá un grado sexagesimal , se escribe 1º .

Un ángulo nulo = 0º

Un ángulo recto = 90º

Un ángulo llano = 180º

Una circunferencia = 360º

Para medir ángulos más pequeños utilizaremos otras unidades más pequeñas que el grado: elminuto y el segundo.

Cada grado vale 60 minutos, se escribe: 1º =60'

Cada minuto vale 60 segundos, se escribe: 1' = 60''

El grado, el minuto y el segundo forman el sistema sexagesimal de medidas de ángulos. Para pasar deuna unidad a otra bastará multiplicar o dividir por 60 como indica el siguiente gráfico:

Actividad

Page 4: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

Fuente propia

Medidor de ángulos digital

Bajo licencia de creative commons

Expresa en la unidad que se indica:

a) 20º en segundos

b) 3' en segundos

c) 90'' en grados

d) 18'' en minutos

1. ¿Cuántos grados son 45'?

a) 0,0123º

Pregunta de Elección Múltiple

Page 5: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

c) 0,75º

2. ¿Cuántos segundos son 120º?

a) 432000''

b) 7200''

c) 2''

3. ¿Cuántos grados son 585''?

a) 9,75º

b) 0,1625º

c) 35100º

4. ¿Cuántos segundos son 37'?

a) 0,6''

b) 133200''

c) 2220''

Page 6: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

1.2. Forma compleja e incompleja de la medida de unángulo

http://blogs.ya.com/clasedequinto/

Bajo licencia de creative commons

En el presente apartado la explicación que se da del uso de la calculadora científica parapasar la medida de un ángulo en grados de forma incompleja a compleja o viceversa se haextraído del manual de instrucciones de la calculadora casio fx-570es. En la calculadoracientífica que posea el alumno/a es probable que el procedimiento sea algo diferente (aunqueno debe ser muy distinto). En ese caso se debe consultar el manual de instrucciones propiode la calculadora.

Vamos a seguir comparando las medidas de ángulos con las de tiempo. Por ejemplo, podemos decir que unapelícula dura 1 hora 30 minutos y 45 segundos o que dura 1,5125 horas . Son dos formas diferentesde expresar la misma cantidad de tiempo. La primera en horas, minutos y segundos se llama formacompleja , y la segunda solo en horas se llama forma incompleja . Del mismo modo, un ángulo puede

medir, por ejemplo 45º 9' 36'' (forma compleja) ó 45,16º (forma incompleja) .

Vamos a ver como se pasa de forma incompleja a compleja y al contrario con la calculadora.

Vamos a pasar 45,16º a forma compleja :

En la calculadora, si escribimos 45,16 (recuerda que en

la calculadora has de utilizar el punto de vez de la coma

decimal) y pulsamos

seguidade

y en la pantalla aparece 45º 9º 36 . Esto lo interpretamos como 45º 9' 36'' , y es la expresión en formacompleja de 45,16º .

Ahora lo haremos al contrario.

Vamos a pasar 45º 9' 36'' a forma incompleja :

Actividad

Page 7: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

Si queremos introducir en la calculadora la expresión del ángulo en forma compleja para que nos devuelvala expresión en forma incompleja, haremos lo siguiente:

Escribimos 45 y pulsamos escribimos 9 y pulsamos

escribimos 36 y volvemos a pulsar

Por último pulsamosyvolvemosa pulsar:

Después de seguir todos estos pasos, la calculadora nos devuelve la expresión 45,16 que son grados

aunque la calculadora no lo indique.

Está claro que a la hora de hacer operaciones es mucho más cómodo hacerlo en forma incompleja por eso sien algún ejercicio nos dan la medida de un ángulo en forma compleja, siempre podemos echar mano de lacalculadora para pasarla a incompleja que es más fácil de "manejar".

Ahora coge tu calculadora que vamos a practicar.

1. Utiliza la calculadora para expresar 25' 50'' en grados.

a) 45,6º

b) 0,43º

c) 0,255º

2. Expresa en forma compleja 7,25º con la calculadora.

a) 7º 15' 0''

b) 7º 26' 0''

c) 7º 41' 16''

3. Expresa 25º 30' 54'' en forma incompleja. Hazlo con la calculadora.

a) 25,3054º

b) 25,5º

c) 25,515º

Pregunta de Elección Múltiple

Page 8: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

Cuando nos dan un ángulo expresado en forma compleja para que lo pasemos a incompleja, no siemprenos van a pedir que lo expresemos en grados como acabamos de aprender, aunque esto sea lo máshabitual. También nos pueden pedir que lo expresemos en minutos o en segundos. Esto también lopodemos hacer con la calculadora aplicando lo que hemos aprendido en el presente apartado. Vamos ahacer algunos ejemplos.

Expresa en la unidad que se indica:

a) 45º 9' 36'' en grados

b) 45º 9' 36'' en minutos

c) 45º 9' 36'' en segundos

1. Expresa en grados 15º 42' 18''

a) 15, 4218º

b) 15,705º

c) 18º

2. Expresa en minutos 50º 6' 18''

a) 3006,3'

b) 50,105'

c) 5618'

3. Expresa en segundos 10º 21' 52''

a) 10,36444...''

b) 621,8666...''

c) 37312''

Pregunta de Elección Múltiple

Page 9: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

1.3. El radian

Fuente propia

1 radián = 57,3º

Hemos visto en los apartados anteriores que los ángulos se pueden medir en grados minutos y segundos.Otra unidad importante para medir ángulos es el radián. Vamos a ver la equivalencia que existe entre losgrados y los radianes y verás que fácil es pasar de una unidad a otra, simplemente hay que usar una reglade tres.

Podemos decir que una circunferencia completa mide 360º ó radianes, y se escribe. Por tanto media circunferencia medirá la mitad, es decir, 180º ó .

Con esta equivalencia, , es fácil pasar la medida de un ángulo de grados aradianes y viceversa, simplemente aplicando una regla de tres.

Vamos a ver algunos ejemplos .

Actividad

Page 10: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

http://profeblog.es

Bajo licencia de creative commons

1. Expresa 120º en radianes.

2. Expresa en grados.

1. La medida en grados de 1 radián, es:

a) 57,3º

b) 1º

c) 30º

2. La medida en grados de es:

a) 150º

b) 300º

c) 320º

3. Expresa 225º en radianes:

Pregunta de Elección Múltiple

Page 11: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

b)

c)

4. Expresa en grados

a) 0,9º

b) 200º

c) 162º

5. Expresa en radianes 60º

a)

b)

c)

Page 12: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

1.4. Operaciones con medidas de ángulos

http://mrscordle.com/MathFacts.aspx

Bajo licencia de creative commons

En este apartado vamos a ver las operaciones con medidas de ángulos expresados en gradossexagesimales o en radianes.

Para realizar las operaciones con medidas de ángulos expresadas en grados sexagesimales es muy sencillo,basta con introducir los datos en la calculadora. Si la medida está expresada en forma compleja, solotendrás que pasarla a forma incompleja como has aprendido en el apartado 1.2 y después realizar laoperación.

Veamos algunos ejemplos:

http://profeblog.es

Bajo licencia de creative commons

Realiza las siguientes operaciones con medidas de ángulos:

a) (22º 12' 9'') x 4

b) 15,37º + 25,2º

c) 46,22º - 10º 36' 18''

d) 36, 12º : 3

Page 13: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

Ya has visto que esto es muy fácil prueba tú ahora:

1. Calcula 3,25º x 5

a) 16,25º

b) 17,083º

c) 18,75º

2. Realiza la siguiente suma (15' 18'') + (20º 6' 18'')

a) 20º

b) 35,66º

c) 20,36º

3. Calcula 38,24º - 9,5º

a) 47,74º

b) 28,74º

c) 29º

4. Realiza la siguiente división (10º 59' 6'') : 5

a) 2, 1192º

b) 2º

c) 2,197º

Pregunta de Elección Múltiple

Page 14: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

Hemos visto como se hacen operaciones con medidas de ángulos en forma sexagesimal. Vamos a ver comose opera con medidas de ángulos expresados en radianes verás que también es muy sencillo:

Vamos a hacer un ejemplo :

Como solo hay que sumar el 2 con el 0,75 y después añadirle el número

Ahora vamos a practicar el resto de las operaciones con algunos ejercicios.

http://periku.wordpress.com/2006/10

Bajo licencia de creative commons

Realiza las siguientes operaciones con medidas de ángulos:

a)

b)

c)

1. Realiza la siguiente suma:

Pregunta de Elección Múltiple

Page 15: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

a)

b)

c)

2. Calcula:

a)

b)

c)

3. Resuelve la siguiente multiplicación:

a)

b)

c)

4. Resuelve esta división

a)

b)

c)

Page 16: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

2. Razones trigonométricas de un ángulo agudo

http://filemon.upct.es

Bajo licencia de creative commons

En los siguientes apartados (del 2.1 al 2.4) la explicación que se da del uso de la calculadoracientífica para el cálculo y las operaciones con razones trigonométricas se ha extraído delmanual de instrucciones de la calculadora casio fx-82MS. En la calculadora científica queposea el alumno/a es probable que el procedimiento sea algo diferente (aunque no debe sermuy distinto). En ese caso se debe consultar el manual de instrucciones propio de lacalculadora.

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos detriángulos. Estas relaciones y el nombre que recibe cada una de ellas es lo que veremos en este apartado.

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación y la astronomía,en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra yla Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa.

Uno de los hechos más famosos de la antigüedad fue como Thales de Mileto midió la altura de la granpirámide usando solamente su bastón y las sombras de la pirámide y del bastón.

Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar los conceptos "cateto opuesto" y "catetocontiguo". Vamos a ver cual es cada uno de ellos.

Como sabemos, en un triángulo rectángulo hay tres ángulos, un ángulo de 90º que es el que forman los doscatetos y dos ángulos agudos (menores de 90º), formados cada uno de ellos por un cateto y la hipotenusa.

El cateto opuesto a un ángulo agudo, es el que está justo frente a dicho ángulo, y el cateto contiguo a unángulo agudo es el que forma parte del ángulo. Vamos a verlo con el siguiente ejemplo:

Actividad

Page 17: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

Fuente propia

El cateto opuesto al ángulo es "b" porque es el cateto que está justo frente a

El cateto adyacente al ángulo es "c" porque es el cateto que forma parte del ángulo , ya que elotro lado del ángulo, el lado "a", es la hipotenusa.

¿Sabrías decir cuales son los catetos opuesto y adyacente del ángulo ? Vamos a comprobarlo con elsiguiente ejercicio.

1. El cateto opuesto al ángulo es:

a) a

b) b

c) c

2. El cateto adyacente al ángulo es:

a) c

b) b

c) a

Pregunta de Elección Múltiple

Page 18: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

2.1. Seno de un ángulo agudo

http://www.virtual.unal.edu.co

Bajo licencia de creative commons

Con lo que acabamos de aprender ya tenemos las herramientas necesarias para estudiar las razonestrigonométricas de un ángulo agudo. Empezaremos por el seno. Aunque para explicar las razonestrigonométricas vamos a utilizar el ángulo , de la misma forma se pueden calcular también las razonestrigonométricas del ángulo .

Fuente propia

Definimos el seno del ángulo , y se escribe de la siguiente forma:

Actividad

Page 19: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

Fuente propia

1. Calcula el seno del ángulo

2. Calcula ahora el seno del ángulo

En el ejercicio anterior hemos calculado el seno del ángulo y del ángulo sin saber cuanto mide ni cuánto mide .Pero una vez que conocemos el valor del seno, es muy fácil calcular con la calculadora lamedida de estos ángulos. Vamos a calcular la medida del ángulo y después tu harás lo mismo paracalcular la medida del ángulo .

Hemos calculado . Para calcular la medida de , seguiremos los siguientes pasos con lacalculadora:

0,6

Después de pulsar estas teclas la calculadora nos devuelve el número 36,86989765. Esto quiere decir que el

ángulo Pero nosotros no necesitamos escribir tantos decimales, podemos aproximar

el número que nos da la calculadora con dos decimales y escribir

Calcula cuanto mide el ángulo del ejercicio. Da la respuesta con dos decimales.

a) 36,86º

b) 48,59º

c) 53,13º

Pregunta de Elección Múltiple

Page 20: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

Fuente propia

También podemos calcular el seno de un ángulo con la calculadora si conocemos su amplitud. Vamos acalcular sen 63,43º

La tecla para calcular el seno de un ángulo es . Hay dos tipos de calculadoras vamos a ver como secalcula el seno en cada una de ellas.

Primer tipo

Hay que pulsar primero el valor del ángulo y después la tecla del seno, así:

63,43

La calculadora nos devuelve el número 0,89438856, pero nosotros no necesitamos escribir tantos decimales

y podemos dar una aproximación de ese número. Así, podemos decir: ó también

Segundo tipo

Hay que pulsar las teclas al contrario, es decir, primero pulsamos la tecla del seno y después la medida delángulo, así:

63,43

Pero el resultado que obtenemos es el mismo.

Intenta calcular tú ahora con la calculadora el seno del ángulo . Da larespuesta con dos decimales.

a) sen 26, 57º = 0,44

b) sen 26, 57º = 1, 2

c) sen 26, 57º = 0, 89

Veamos algunas aplicaciones de lo que hemos aprendido.

Pregunta de Elección Múltiple

Page 21: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

1. Calcula la altura de este edificio aplicando la definición de seno.

Fuente propia

2. Calcula el valor del ángulo del siguiente triángulo.

Fuente propia

1. En el siguiente triángulo, calcula y .

Pregunta de Elección Múltiple

Page 22: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

a)

b)

c)

2. Calcula con la calculadora sen 65º. Da la solución con dos decimales.

a) sen 65º = 0,42

b) sen 65º = 2,14

c) sen 65º = 0,90

3. Sabiendo que . Calcula el valor de . Da el resultado en radianes.

a)

b)

c)

4. Calcula la hipotenusa "a" del siguiente triángulo aplicando la definición de seno.

Fuente propia

a) a = 4,62 cm

b) a = 3,48 cm

c) a = 8 cm

Page 23: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

Recuerda que hemos visto dos unidades de medida de ángulos: grados y radianes. Todo lo que hemostrabajado en este apartado con la calculadora, lo hemos hecho con la calculadora en modo DEG (esto esmodo grados) que quiere decir que si escribimos:

3

la calculadora nos calcula el seno de 3º. Pero también podemos poner la calculadora en modo RAD (esto esmodo radianes), que quiere decir que si escribimos en la calculadora:

3

la calculadora nos calculará el seno de 3 rad. Veamos como se pasa de un modo a otro. En la calculadora,aparece debajo de la pantalla, lo siguiente:

Esto quiere decir que para trabajar en grados, tememos que pulsar las teclas:

Y para trabajar en radianes, pulsaremos las teclas:

Como ya sabes hay diferentes tipos de calculadoras, pero en todas aparece bien claro las teclas que hay quepulsar para trabajar en los diferentes modos.

Page 24: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

2.2. Coseno de un ángulo agudo

http://www.logalia.net

Bajo licencia de creative commons

Todo lo que hemos aprendido en el apartado anterior sobre el seno de un ángulo lo vamos a aprenderahora sobre el coseno.

Igual que para el seno, vamos a utilizar el ángulo para la definición, pero después veremos que elcoseno de se calcula de la misma forma. Es todo muy parecido al apartado anterior, verás que fácil.

Fuente propia

Definimos el coseno del ángulo , y se escribe , de la siguiente forma:

Actividad

Page 25: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

Fuente propia

1. Calcula el coseno del ángulo

2. Calcula ahora el coseno del ángulo

Al igual que con el seno en el apartado anterior, hemos calculado ahora el coseno del ángulo y delángulo pero no sabemos cuanto miden ni , ni . Pues lo mismo que antes, vamos a calcular lamedida de y de a partir del valor del coseno.

Vamos a calcular primero el valor de y después tú calcularás la medida de siguiendo los mismospasos.

Sabemos que . Para calcular , haremos los siguientes pasos en la calculadora:

0,8

Después de pulsar estas teclas la calculadora nos devuelve el número 36,86989765. Esto quiere decir que el

ángulo . Pero como ya sabes, nosotros no necesitamos tantos decimales, y podemos

aproximar este número y quedarnos con dos decimales, así diremos que .

Fíjate que nos sale el mismo valor de que cuándo hicimos estos mismos pasos con el seno en elapartado anterior. Esto es lógico porque hemos puesto como ejemplo el mismo triángulo, pero bueno, nossirve para practicar.

Siguiendo los pasos que acabas de aprender, calcula la medida del ángulo a partir delvalor del coseno. Da la respuesta con dos decimales.

a)

b)

c)

Pregunta de Elección Múltiple

Page 26: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

Fuente propia

También podemos calcular el coseno de un ángulo si conocemos su amplitud. Vamos a calcular el coseno de63,43º.

La tecla para calcular el coseno de un ángulo es . Como ya sabes, hay dos tipos de calculadorasvamos a ver como se calcula el coseno en cada una de ellas.

Primer tipo

Hay que pulsar primero el valor del ángulo y después la tecla del coseno, así:

63,43

La calculadora nos devuelve el número 0,447290848, pero podemos aproximar este número tan largo con

dos decimales. Así podemos decir que ó también

Segundo tipo

Hay que pulsar las teclas al contrario, es decir, primero pulsamos la tecla del coseno y después la medida delángulo, así:

63,43

Pero el resultado que obtenemos es el mismo.

Calcula el coseno del ángulo . Da la respuesta con dos decimales.

a) cos 26,57º = 0,44

b) cos 26, 57º = 1, 5

c) cos 26, 57º = 0,89

Vamos a practicar un poco con lo que hemos aprendido.

Pregunta de Elección Múltiple

Page 27: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

1. ¿A qué distancia me encuentro del edificio?

Fuente propia

2. Calcula el valor de

Fuente propia

1. En el siguiente triángulo calcula .

Pregunta de Elección Múltiple

Page 28: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

Fuente propia

a)

b)

c)

2. Calcula con la calculadora.

a)

b)

c)

3. Sabiendo que . Calcula el valor de .

a)

b)

c)

4. Calcula el cateto c del siguiente triángulo rectángulo aplicando la definición de coseno.

Fuente propia

Page 29: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

b) c = 2,5 cm

c) c = 0,1 cm

Page 30: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

2.3. Tangente de un ángulo agudo

http://psu-matematicas.blogspot.com

Bajo licencia de creative commons

Bueno, ya solo nos queda estudiar la tangente. Vamos a hacerlo de la misma forma que el seno y el coseno.

Fuente propia

Se define la tangente del ángulo , y se escribe como:

Actividad

Page 31: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

Fuente propia

1. Calcula la tangente del ángulo .

2. Calcula ahora la tangente del ángulo .

Al igual que en los dos apartados anteriores hemos podido calcular la medida de los ángulos y apartir del seno o del coseno, también podemos hacerlo a partir de la tangente.

Vamos a calcular la medida de , y después tú harás lo mismo con .

Sabemos que . Para hallar pulsaremos las siguientes teclas en la calculadora:

0,75

Después de pulsar estas teclas, la calculadora nos devuelve el número: 36, 86989765

Que como ya sabes esto quiere decir que y que lo podemos aproximar como:

o también

Siguiendo estos pasos, calcula la medida del ángulo a partir de su tangente.

a)

b)

c)

Practiquemos lo que hemos aprendido sobre la tangente.

Pregunta de Elección Múltiple

Page 32: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

1. Calcula la altura del edificio con los siguientes datos:

Fuente propia

2. Calcula el valor de con los siguientes datos:

Fuente propia

1. En el siguiente triángulo calcula y .

Fuente propia

a)

Pregunta de Elección Múltiple

Page 33: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

c)

2. Calcula con la calculadora.

a)

b)

c)

3. Sabiendo que calcula el valor de .

a)

b)

c)

4. Calcula el cateto c del siguiente triángulo aplicando la definición de tangente:

Fuente propia

a) c = 1,44 cm

b) c = 0,692 cm

c) c = 4,330 cm

Page 34: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

2.4. Cálculo de las razones trigonométricas de unángulo conocida una de ellas

http://www.depositohidrografico.com

Bajo licencia de creative commonns

Bueno, estamos ya en el último apartado, lo que vamos a ver ahora es cómo calcular las razonestrigonométricas de un ángulo a partir de una de ellas. Esto te resultará sencillo, puesto que no necesitasnuevos conocimientos, basta con recordar lo que has aprendido del manejo de la calculadora y detrigonometría a lo largo de este tema.

Vamos a verlo con un ejercicio resuelto y verás que fácil es.

Calcula las demás razones trigonométricas de sabiendo que

1. Sabiendo que . Calcula las demás razones trigonométricas de .

a)

b)

c)

Pregunta de Elección Múltiple

Page 35: Tema 4: Ángulos. Razones trigonométricas de un ... …agrega.juntadeandalucia.es/repositorio/04022011/53/es-an... · Para estudiar las razones trigonométricas vamos a utilizar

a)

b)

c)

3. Sabiendo que . Calcula las demás razones trigonométricas de .

a)

b)

c)


Top Related