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NÚMEROS ENTEROS

Y RACIONALES MINI ENSAYO

MT- 441

SO

LC

3A

MT

A04

44

1V

2

2

1. La alternativa correcta es A.

Unidad temática Geometría analítica

Habilidad Análisis

Al ubicar los puntos en el plano cartesiano resulta

Como a b, entonces PQRS es un rectángulo. Luego:

I) Falsa, ya que QS corresponde a un segmento decreciente, por lo cual su

pendiente es negativa.

II) Falsa, ya que PR y QS corresponden a las diagonales del rectángulo, y las

diagonales de un rectángulo no son perpendiculares.

III) Verdadera, ya que al trazar una diagonal en un rectángulo, siempre se forman

dos triángulos congruentes.

Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.



Habilidad Aplicación

x – py – 12 = 0, (– 8, – 7) pertenece a esta recta, entonces:

x – py – 12 = 0 (Reemplazando (– 8, – 7))

– 8 – (– 7 p) – 12 = 0

– 20 + 7p = 0

7p = 20 (Despejando p)

p = 7

20

a

b

P Q

RS

x

y

a

b

P Q

RS

x

y

3

3. La alternativa correcta es D.



La recta pasa por los puntos (3, 0) y (0, 5), entonces:

(3, 0) x 1= 3, y1 = 0

(0, 5) x2 = 0, y2 = 5

Aplicando la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

112

121 xx

xx

yyyy (Reemplazando)

y – 0 = 30

05 (x – 3) (Desarrollando)

y = 3

5(x – 3) (Distribuyendo)

y = 3

5x + 5

Por lo tanto, la ecuación de la recta de la figura es:

y = 3

5x + 5

x

y

5

3

4

4. La alternativa correcta es C.


Habilidad Análisis

Analicemos las opciones, utilizando la ecuación principal de la recta y = – 11

I) Verdadera, ya que la pendiente es cero.

II) Falsa, ya que el coeficiente de posición es – 11, entonces L1 intersecta al eje Y en

el punto (0, – 11).

III) Verdadera, ya que en la recta de ecuación y = 7, la pendiente es cero.

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.

5. La alternativa correcta es B.

Unidad temática Relaciones y funciones


f(x) = ax + 4, con a 0 y f(q) + f(3q) + f(5q) = 18

Evaluemos la función f(x) = ax + 4 en q, 3q y 5q

f(q)= aq + 4

f(3q)=3aq + 4

f(5q)= 5aq + 4

Entonces:

f(q) + f(3q) + f(5q) = 18 (Reemplazando)

aq + 4 + 3aq + 4 + 5aq + 4 = 18 (Reduciendo términos semejantes)

9aq + 12 = 18

9aq = 6 (Despejando q)

q = a9

6 (Simplificando)

q = a3

2

5



Habilidad Análisis

Según la gráfica, la función pasa por los puntos (– 6, 0), (6, 0) y (0, – 4). Luego, al

reemplazar la primera coordenada de cada uno de ellos en la función, el resultado será la

respectiva segunda coordenada.

O sea, f (– 6) = 0, f (6) = 0 y f (0) = – 4

Tomando la primera igualdad:

f (– 6) = 0 (Reemplazando)

06

462

a

a (Desarrollando)

06

436

a

a (Multiplicando cruzado)

36 + 4a = 0 (Ordenando)

4a = – 36 (Despejando a)

4

36a

a = – 9

Por lo tanto, el valor de a es – 9

7. La alternativa correcta es E.


Habilidad Análisis

f(x)

x

– 3

3

4 – 4

y

5 6 – 5

6

Analicemos las aseveraciones:

I) Verdadera, ya que f(5) = – 3 y f(– 5) = – 3

II) Verdadera, ya que f(6) = – 3 y f(– 2) > – 3.

III) Verdadera, ya que f(0) = 0 y f(1) < 0.

Por lo tanto, ninguna de ellas es falsa.



Habilidad Análisis

f(x) = 124

5

x

Para determinar el dominio debemos tener presente que el denominador no puede ser

cero. Entonces:

4x – 12 ≠ 0 (Despejando 4x)

4x ≠ 12 (Despejando x)

x ≠ 4

12 (Simplificando)

x ≠ 3

Luego, el dominio es IR – {3}.

Para determinar el recorrido debemos despejar la variable x en función de y, para luego

analizar las indeterminaciones.

f(x) = 124

5

x

y = 124

5

x y(4x – 12) = 5 (Distribuyendo)

4xy – 12y = 5 (Despejando 4xy)

4xy = 12y + 5 (Despejando x)

x = y

y

4

512

El único valor que NO puede tomar y es 0. Luego, el recorrido es IR – {0}.

7


Unidad temática Función afín y función lineal

Habilidad Análisis

f (x) = – 2x – 3

I) Falsa, ya que si el punto (– 1, – 5) pertenece a la recta, entonces, al reemplazar

en la ecuación, se debe cumplir la igualdad.

y = – 2x – 3 (Reemplazando x = – 1 e y = – 5)

– 5 = – 2 ∙ – 1 – 3 (Multiplicando)

– 5 = 2 – 3 (Desarrollando)

5 ≠ – 1

Por lo tanto, (– 1, – 5) NO pertenece a la recta correspondiente a la función.

II) Verdadera, ya que:

Coeficiente de posición: – 3, entonces intersecta al eje Y en (0, – 3)

III) Falsa, ya que:

Pendiente: – 1, como es negativa, la función es decreciente.

Por lo tanto, sólo la afirmación II es verdadera.



Habilidad Análisis

L1: f(x) = x – 5

x

y

– 2

2 L1

L2

8

I) Verdadera, ya que la ecuación de la recta que pasa por (– 2, 0) y (0, 2) es:

112

121 xx

xx

yyyy (Reemplazando)

y – 0 = )2(0

02 (x – (– 2)) (Desarrollando)

y – 0 = 2

2 (x – (– 2))

y = x + 2

Por lo tanto, la función correspondiente a la recta L2 es g(x) = x + 2 y como tiene

la misma pendiente que L1, tiene la misma inclinación con respecto al eje de las

abscisas.

II) Falsa, ya que es una función afín.

III) Verdadera, ya que la ecuación de la recta correspondiente a L2 es y = x + 2.

Por lo tanto, solo la afirmación II es falsa.



Habilidad Análisis

I) Falsa, ya que la función correspondiente a la recta es f(x) = 2 que es una función

constante.

II) Verdadera.

III) Falsa, ya que la función correspondiente a la recta es f(x) = 2.

Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera.

x

y

2

9




L1 pasa por el punto (0, – 7) y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 9x + y = 8.

9x + y = 8 (Expresando la ecuación de la forma principal)

y = – 9x + 8

Por lo tanto, la pendiente de L1 es 9

1.

Aplicando la fórmula punto pendiente:

y – y1 = m(x – x1) (Reemplazando)

y – (– 7) = 9

1(x – 0) (Desarrollando)

y + 7 = 9

1x (Despejando y)

y = 9

1x – 7

Por lo tanto, la función correspondiente a L1 es f(x) = 9

1x – 7



Habilidad Análisis

Debemos establecer los pares de puntos para encontrar la ecuación de la recta,

entonces:

- 3 alumnos, $ 14.000

(3, 14.000)

- 4 alumnos, $ 18.000

(4, 18.000)

Aplicando la fórmula de la ecuación de la recta:

112

121 xx

xx

yyyy (Reemplazando)

10

y – 14.000 = 34

000.14000.18 (x – 3) (Desarrollando)

y – 14.000 = 1

000.4(x – 3) (Distribuyendo)

y – 14.000 = 4.000x – 12.000 (Despejando y)

y = 4.000x – 12.000 + 14.000

y = 4.000x + 2.000

Por último, evaluamos en x = 7

y = 4.000 ∙ 7 + 2.000 (Multiplicando)

y = 28.000 + 2.000

y = 30.000

Por lo tanto, el profesor cobrará $ 30.000 por 7 alumnos.



Habilidad Análisis

Si S(x) es el sueldo mensual que recibe el vendedor por la venta de x libros, entonces

S(x) = mx + n, siendo m la comisión por cada libro y n el sueldo fijo.

Como en enero vendió 26 libros, recibiendo un sueldo de $ 248.000, entonces:

S(26) = 26m + n = 248.000 (1)

Como en febrero vendió 34 libros, recibiendo un sueldo de $ 312.000, entonces:

S(34) = 34m + n = 312.000 (2)

Restando (2) – (1), resulta:

34m + n – 26m – n = 312.000 – 248.000 (Reduciendo)

8m = 64.000 (Despejando m)

8

000.64m

m = 8.000

Reemplazando m en (1), resulta:

26 ∙ 8.000 + n = 248.000 (Multiplicando)

208.000 + n = 248.000 (Despejando n)

n = 248.000 – 208.000

n = 40.000

11

Luego, S(x) = 8.000 x + 40.000. Entonces, si en marzo recibe el doble de sueldo que en

enero, se plantea:

8.000 x + 40.000 = 2 ∙ 248.000

8.000 x + 40.000 = 496.000 (Ordenando)

8.000 x = 496.000 – 40.000

8.000 x = 456.000 (Despejando x)

000.8

000.456x

x = 57

Por lo tanto, en marzo debe vender 57 libros para recibir el doble del sueldo que recibió

en enero.


Unidad temática Función parte entera y función valor absoluto


Si 10732 x , entonces existen dos posibilidades:

32 – 7x = 10 (Ordenando)

– 7x = 10 – 32 (Restando)

– 7x = – 22 (Despejando x)

7

22x (Aplicando ley de los signos)

7

22x

32 – 7x = – 10

– 7x = – 10 – 32 (Restando)

– 7x = – 42 (Despejando x)

7

42x (Aplicando ley de los signos)

x = 6

Por lo tanto, los valores de x que cumplen la igualdad son 7

22 y 6. Como esta pareja

no aparece entre las cuatro primeras alternativas, entonces la respuesta es: ninguna de

las parejas de valores anteriores.

12




f(x) = 4

38 x (Evaluando la función en 4)

f(4) = 4

438 (Multiplicando)

f(4) = 4

128

f(4) = 4

4 (Aplicando definición de valor absoluto)

f(4) = 4

4

f(4) = 1



Habilidad Análisis

Debemos desplazar el gráfico de f(x) = |x| dos unidades a la derecha, es decir:

f(x) = 2x

2

2

y

x

13



Habilidad Análisis

I) Falsa, ya que la gráfica escalonada corresponde a la función parte entera.

II) Falsa, ya que el recorrido es IR +

{0}.

III) Verdadera, ya que:

f(x) = 2 3x (Evaluando la función en 2

1)

2

1f = 2 3

2

1 (Resolviendo)

2

1f = 2

2

5 (Aplicando definición de valor absoluto)

2

1f = 2 ∙

2

5 (Simplificando)

2

1f = 5

Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.




f(x) = |x – 3| – |6 – x|

Para determinar el punto de intersección del gráfico de la función, con el eje de las

ordenadas, la abscisa debe ser igual a 0, entonces:

f(0) = |0 – 3| – |6 – 0| (Resolviendo)

= |– 3| – |6| (Aplicando definición de valor absoluto)

= 3 – 6

= – 3

Luego, el punto donde intersecta al eje de las ordenadas es (0, – 3).

14




Evaluando en la función f(x) = x – 1:

f(3) = 3 – 1 = 3 – 1 = 2

f(1,8) = 8,1 – 1 = 1 – 1 = 0

Entonces, el valor de f(3) – f(1,8) = 2 – 0 = 2




6,2

2,58,32

(Aplicando definición de parte entera)

2

)6(32

(Desarrollando)

2

69 (Sumando)

2

15



Habilidad Análisis

I) Falsa, ya que 4

6 = [– 1,5]

– 1,5 está entre – 1 y – 2, el menor entre ambos es – 2.

II) Verdadera, ya que 12,7 está entre 12 y 13 y el menor entero entre ambos es 12.

III) Verdadera, ya que 5

7

5

21 = 1,4

1,4 está entre 1 y 2, el menor entre ambos es 1.

Por lo tanto, solo las igualdades II y III son verdaderas.

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Habilidad Análisis

I) Verdadera, ya que:

5,25,25,2f (Aplicando valor absoluto y parte entera)

f (2,5) = 2,5 + 2

f (2,5) = 4,5

II) Verdadera, ya que:

5,25,25,2f (Aplicando valor absoluto y parte entera)

f (– 2,5) = 2,5 + (– 3)

f (– 2,5) = 2,5 – 3

f (– 2,5) = – 0,5

III) Verdadera, ya que:

555f (Aplicando valor absoluto y parte entera)

f (– 5) = 5 + (– 5)

f (– 5) = 5 – 5

f (– 5) = 0

Por lo tanto, todas las afirmaciones son verdaderas.



Habilidad Evaluación

(1) f(– 3) = 5. Con esta información, es posible determinar el valor de m, ya que:

f(– 3) = – 6m + 3

5 = – 6m + 3

Con esta ecuación, se puede determinar m.

(2) f(x) = 3

5 si x = 2. Con esta información, es posible determinar el valor de m, ya que:

f(2) = 4m + 3

3

5= 4m + 3

Con esta ecuación, se puede determinar m.

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Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.



Habilidad Evaluación

Sea f(x) = mx + n, es posible determinar que la función es afín si:

(1) La recta correspondiente a f(x) intersecta al eje de las ordenadas en (0, 4). Con esta

información, no es posible determinar que la función es afín, ya que no tenemos

información de la pendiente, por lo que podría ser función constante.

(2) f(x) es una función decreciente. Con esta información, no es posible determinar

que la función es afín, ya que no tenemos información del coeficiente de posición

y podría pasar por el origen.

Con ambas informaciones, es posible determinar que la función es afín.

Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.

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