Download - Respect, Professionalism, & Entrepreneurship fileRespect, Professionalism, & Entrepreneurship Perjanjian Tanda • Tegangan normal bernilai positif untuk tegangan tarik, dan bernilai

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Analisis Tegangan dan Regangan

Pertemuan – 12, 13

Mata Kuliah : Mekanika Bahan

Kode : TSP – 205

SKS : 3 SKS


• TIU : Mahasiswa dapat menganalisis tegangan normal dan geser

menggunakan lingkaran Mohr

• TIK : Mahasiswa dapat menganalisis tegangan pada bidang


• Sub Pokok Bahasan :

Tegangan Bidang

Tegangan Utama dan Tegangan Geser Maksimum


• Jenis-jenis tegangan yang timbul pada batang akibat tarik, tekan, maupun torsi yang sudah dipelajari hingga saat ini adalah merupakan contoh-contoh dari tegangan bidang (plane stress)

• Tinjau suatu elemen kubus dalam gambar, dengan sumbu xyz sejajar dengan tepi-tepi elemen

Tegangan Bidang

• Bila bahan berada dalam keadaan tegangan bidang dalam bidang xy, maka hanya muka x dan y dari elemen yang mengalami tegangan, muka z tidak bertegangan dan sumbu z adalah normal permukaan tersebut

Tegangan bukanlah vektor karena tidak dapat dijumlahkan dengan aturan jajaran genjang. Sebenarnya tegangan merupakan besaran yang lebih rumit daripada vektor dan dalam matematika disebut tensor. Besaran tensor lainnya adalah regangan dan momen inersia


Tegangan Normal

• Tegangan normal s, mempunyai subskrip yang menunjukkan muka di mana tegangan normal tersebut bekerja

• Tegangan yang bekerja di muka x dari elemen dinotasikan sx

• Tegangan yang bekerja di muka y dari elemen dinotasikan sy

• Tegangan normal yang sama bekerja di muka yang berlawanan

Tegangan Geser

• Tegangan geser t, memiliki dua subskrip, subskrip pertama menunjukkan muka di mana tegangan bekerja, subskrip kedua menunjukkan arah di muka tersebut

• Tegangan txy bekerja di muka x dalam arah sumbu y

• Tegangan tyx bekerja di muka y dalam arah sumbu x

Tegangan Bidang


Perjanjian Tanda • Tegangan normal bernilai positif untuk tegangan tarik, dan bernilai

negatif untuk tegangan tekan

• Tegangan geser bernilai positif apabila bekerja di muka positif dalam arah positif, atau bekerja di muka negatif dalam arah negatif. Sedangkan tegangan geser bernilai negatif apabila bekerja dalam muka dan arah yang tidak bertanda sama

Tegangan Bidang

Untuk memudahkan penggambaran elemen tegangan bidang, biasanya cukup digambarkan dalam bentuk dua dimensi

txy = tyx


Tegangan di Potongan Miring • Selanjutnya akan ditinjau tegangan pada elemen

kubus tadi, apabila elemen ini diputar berlawanan jarum jam melalui sudut q terhadap sumbu xy

• Elemen yang diputar ini terkait dengan sumbu x1,y1 dan z1

• Tegangan normal dan geser pada elemen baru ini diberi notasi sx1, sy1, tx1y1 dan ty1x1

• Pada elemen ini berlaku pula hubungan

Tegangan Bidang

1111 xyyx tt


Tegangan di Potongan Miring • Potongan elemen tegangan yang mempunyai muka miring yang sama dengan muka x1

dari elemen miring, ditunjukkan pada gambar kiri

• Untuk menuliskan persamaan kesetimbangan potongan elemen tersebut, maka dibuat free-body diagram yang menunjukkan gaya-gaya yang bekerja di semua muka

• Luas muka kiri (muka x negatif) diberi notasi Ao.

Tegangan Bidang

Stresses Forces


• Susun persamaan kesetimbangan

• SFx1 = 0

• SFy1 = 0

• Karena txy = tyx, maka dua persamaan di atas dapat disederhanakan :

Tegangan Bidang

sx1Aosec q – sxAocos q – txyAosin q – syAotan q sin q – txyAo tan q cos q = 0

tx1y1Aosec q + sxAosin q – txyAocos q – syAotan q cos q + tyxAo tan q sin q = 0

sx1 = sxcos 2q + sysin 2q + 2txysin q cos q

tx1y1= −(sx− sy)sin q cos q + txy(cos 2q − sin 2q)

Jika q = 0o atau 90o ??


• Dari persamaan-persamaan dalam trigonometri :

• Maka persamaan sebelumnya dapat dituliskan menjadi :

Tegangan Bidang

qq 212

12 coscos qq 212

12 cossin qqq 22

1sincossin

qtqssss

s 2222

1 sincos xy

yxyx

x

qtqss

t 222

11 cossin xy

yx

yx

Persamaan ini disebut persamaan transformasi untuk tegangan bidang, karena persamaan ini mentransformasikan komponen tegangan dari satu sistem sumbu ke sistem sumbu lainnya


• Dengan mengganti nilai q menjadi q+90o, maka akan diperoleh sy1 :

• Dan akhirnya akan didapatkan pula hubungan :

• Persamaan ini menunjukkan bahwa jumlah tegangan normal yang bekerja di muka-muka yang saling tegak lurus dari elemen tegangan bidang adalah konstan dan tidak bergantung pada sudut q.

Tegangan Bidang

yxyx ssss 11

qtqssss

s 2222

1 sincos xy

yxyx

y


• Jika semua tegangan yang bekerja di elemen xy adalah nol kecuali tegangan normal sx, maka elemen dikatakan berada dalam keadaan tegangan uniaksial

• Persamaan transformasi yang berkaitan adalah :

Tegangan Bidang

qs

s 212

1 cosxx

qs

t 22

11 sinxyx

sx1 atau tx1y1

smaks = sx

tmaks = 0.5sx


• Apabila sx= sy = 0, namun txy dan tyx ≠ 0 maka elemen dikatakan berada dalam keadaan geser murni (pure shear)


Tegangan Bidang

qts 21 sinxyx

qtt 211 cosxyyx sx1

tx1y1

sx1 maks pada q = 45o


• Bila elemen mengalami tegangan normal dalam arah x dan y, tanpa ada tegangan geser maka elemen dikatakan berada dalam keadaan tegangan biaksial


Tegangan Bidang

qssss

s 222

1 cosyxyx

x

qss

t 22

11 sinyx

yx


Contoh 1

Sebuah elemen yang berada dalam keadaan tegangan bidang mengalami tegangan sx = 110 MPa, sy = 40 MPa dan txy = tyx = 27 MPa, seperti tampak pada gambar. Hitunglah semua tegangan yang bekerja pada suatu elemen yang miring pada sudut q = 45o


Jawab :

MPa752

40110

2

yx ss MPa35

2

40110

2

yx ss txy = 27 MPa

sin 2q = sin 90o = 1 cos 2q = cos 90o = 0

qtqssss

s 2sin2cos22

1 xy

yxyx

x

= 75 + 35(0) + 27(1) = 102 MPa

qtqss

t 2cos2sin2

11 xy

yx

yx

= 35(1) + 27(0) = 35 MPa

qtqssss

s 2sin2cos22

1 xy

yxyx

y

= 75 – 35(0) = 75 MPa

Soal 5.1 – 5.10


• Tegangan normal maksimum dan minimum (yang disebut dengan tegangan utama), dicari dari persamaan transformasi untuk sx1 yang dideferensial terhadap q dan menyamakannya dengan nol.

• Yang menghasilkan

• Dua harga sudut 2qp yang diperoleh berbeda sebesar 180o, sehingga qp sendiri mempunyai dua nilai yang berbeda 90o. Sudut qp dikenal sebagai sudut utama

• Bidang yang berkaitan dengan sudut utama, disebut dengan bidang utama

Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum

qtqssq

s2221 cossin

d

dxyyx

x

yx

xy

ptanss

tq

22


• Dari persamaan untuk tan 2qp, maka dapat diperoleh pula hubungan untuk sin 2qp dan cos 2qp sebagai berikut

• Dengan nilai R adalah :


Rsin

xy

p

tq 2

Rcos

yx

p2

2ss

q

2

2

2xy

yxR t

ss


• Dari dua buah nilai qp yang diperoleh, maka akan ditemukan besarnya tegangan – tegangan utama sebagai berikut :

• Dengan s1 merupakan tegangan utama maksimum, dan s2 adalah tegangan utama minimum

• Dari persamaan tersebut dapat dilihat pula bahwa berlaku juga hubungan yang menyatakan s1 + s2 = sx + sy


2

2

2122

xy

yxyx

, tssss

s

Tegangan geser adalah sama dengan nol di bidang-bidang utama


• Elemen-elemen yang berada dalam keadaan tegangan uniaksial dan tegangan biaksial, memiliki bidang utama berupa bidang-bidang x dan y itu sendiri (karena nilai tan 2qp = 0, yang dipenuhi oleh qp = 0o dan 90o)

• Elemen yang berada dalam geser murni, memiliki bidang utama yang berorientasi 45o terhadap sumbu x (karena tan 2qp = , yang dipenuhi oleh qp = 45o dan 135o). Jika txy positif, maka s1 = txy, da s2 = - txy


Elemen dalam keadaan Tegangan Uniaksial dan Biaksial

Elemen dalam keadaan Geser Murni


• Dengan cara yang sama tegangan geser maksimum dan bidang dimana tegangan tersebut bekerja dapat dicari dari persamaan transformasi untuk tx1y1 yang dideferensial terhadap q dan menyamakannya dengan nol.

• Yang menghasilkan

• Diperoleh pula hubungan antara qs dan qp sebagai berikut :


022211

qtqssq

tsincos

d

dxyyx

yx

xy

yx

stant

ssq

22

ops 4511 qq

ops 4512 qq


• Besarnya tegangan geser maksimum yang diperoleh adalah :

• Dapat dibuktikan pula bahwa tegangan geser maksimum sama dengan setengah selisih tegangan-tegangan utama

• Bidang-bidang tegangan geser maksimum juga mengandung tegangan normal yang besarnya sama dengan :


2

2

2xy

yx

maks tss

t

2

21 sst

maks

2

yx

ratarata

sss


Contoh 2

Sebuah elemen yang dalam keadaan tegangan bidang mengalami tegangan sx = 85 MPa, sy = −29 MPa dan txy = −32 MPa seperti tampak pada gambar.

a. Tentukan tegangan utama dan tunjukkan tegangan tersebut pada suatu gambar elemen yang berorientasi benar

b. Tentukan tegangan geser maksimum dan tunjukkan tegangan tersebut pada gambar elemen yang berorientasi benar


Jawab : Tegangan Utama

5614,0)29(85

)32(222tan

yx

xy

pss

tq

2qp = 150,69o qp = 75,35o

2qp = 330,69o qp = 165,35o

MPa282

2985

2

yx ss MPa57

2

2985

2

yx ss txy = 32 MPa

Untuk qp = 165,35o

qtqssss

s 2sin2cos22

1 xy

yxyx

x

= 28 + 57(0,872) 32(0,4895) = 93,37 MPa

Untuk qp = 75,35o

qtqssss

s 2sin2cos22

1 xy

yxyx

x

= 28 + 57(0,872) 32(0,4895) = 37,37 MPa


Tegangan Geser Maksimum

78125,1)32(2

2985

22tan

xy

yx

st

ssq 2qs = 60,69o qs = 30,35o

qtqss

t 2cos2sin2

xy

yx

maks

= 57(0,872) 32(0,489) = 65,35 MPa

Tegangan normal terkait :

MPa282

2985

2

yx

ratarata

sss

Soal 5.11 – 5.16


• Sub Pokok Bahasan :

Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Bidang

Hukum Hooke Untuk Tegangan Bidang


• Persamaan transformasi untuk tegangan bidang dapat dinyatakan dalam bentuk grafis yang sering dikenal dengan Lingkaran Mohr

• Sebutan Lingkaran Mohr diberikan untuk menghargai jasa ilmuwan Jerman Otto Christian Mohr (1835-1918) yang menemukannya pada tahun 1882.

• Lingkaran Mohr ini sangat berguna dalam analisis tegangan, karena dapat memberikan beragam informasi tegangan normal dan tegangan geser yang bekerja pada setiap bidang dari suatu elemen



• Persamaan-persamaan transformasi untuk tegangan bidang dapat dituliskan kembali menjadi :

• Jika kedua sisi dikuadratkan, dan jumlahkan keduanya maka akan didapatkan :


qtqssss

s 2222

1 sincos xy

yxyx

x

qtqss

t 222

11 cossin xy

yx

yx

2

2

2

11

2

122

xy

yx

yx

yx

x tss

tss

s


• Dengan mengingat bahwa :

• Maka persamaan tersebut dapat dituliskan ringkas :

• Persamaan tersebut merupakan persamaan lingkaran dalam sistem

koordinat x1 dan y1, memiliki radius R dan pusat lingkaran tersebut terletak pada sx1 = srata-rata dan tx1y1 = 0


2

yx

ratarata

sss

2

2

2xy

yxR t

ss

22

11

2

1 Ryxrataratax tss


• Dalam menggambarkan lingkaran Mohr, diambil kesepakatan tegangan geser positif digambar dalam arah sumbu vertikal ke bawah dan sudut positif sebesar 2q digambarkan berlawanan arah jarum jam


2

2

2xy

yxR t

ss

0

2;C

yx ss


Apabila nilai sx, sy dan txy diketahui, maka dapat digambarkan Lingkaran Mohr dengan langkah sebagai berikut : • Gambarkan sistem koordinat sx1 (absis) dan tx1y1 (ordinat) • Tentukan lokasi pusat lingkaran (titik C) • Tentukan lokasi titik A (q = 0o), yang merepresentasikan

tegangan di muka x, dan titik B (q = 90o) yang merepresentasikan tegangan di muka y

• Garis yang melalui titik A, B dan pusat C merupakan diameter lingkaran

• Dengan menggunakan titik C sebagai pusat, gambarkan lingkaran Mohr melalui titik A dan B




qtq

ss 22

2

1sincos

Rcos xy

yx

qtq

ss 22

2

1cossin

Rsin xy

yx

Rcos

yx

p2

2 1

ssq

Rsin

xy

p

tq 12

Tegangan Utama Maks

Tegangan Geser Maks


Tegangan Bidang

Contoh 3

Di suatu titik pada permukaan suatu silinder bertekanan, bahannya mengalami tegangan biaksial sx = 90 MPa dan sy = 20 MPa. Dengan menggunakan Lingkaran Mohr, tentukanlah tegangan yang bekerja di suatu elemen yang miring pada sudut q = 30o.


sx1

tx1y1

C (55;0) A (90;0)

q = 0o

B (20;0)

q = 90o

R

60o

D (sx1;tx1y1) q = 30o

sx1 = srerata + R cos 60o = 72,5 MPa tx1y1= R sin 60o = 30,3 MPa

D’ (sy1;ty1x1) q = 120o

sy1 = srerata R cos 60o = 37,5 MPa ty1x1= R sin 60o = 30,3 MPa

MPa3502

2090

2

2

2

2

xy

yxR t

ss


Contoh 4

Sebuah elemen yang dalam keadaan tegangan bidang di permukaan mesin besar, mengalami tegangan sx = 105 MPa, sy = 35 MPa dan txy = 27,5 MPa. Dengan menggunakan Lingkaran Mohr, tentukanlah:

a.tegangan yang bekerja di suatu elemen yang miring pada sudut q = 40o

b.Tegangan utama

c.Tegangan geser maksimum


tx1y1

sx1 C (70;0)

R

A (105;27,5) q = 0o

B (35;−27,5) q = 90o

80o

D (sx1;tx1y1) q = 40o

MPa51445272

35105

2

2

2

2

2

,,R xy

yx

t

ss

sx1 = 70 + 44,51(cos 41,84o) = 103,16 MPa tx1y1= 44,51(sin 41,84o) = 29,69 MPa

41,84o

38,16o

D’ (sy1;ty1x1) q = 130o

41,84o

sy1 = 70 44,51(cos 41,84o) = 36,84 MPa tx1y1= 44,51(sin 41,84o) = 29,69 MPa

P1 (s1;0) q = 19,08o s1 = 70 MPa + 44,51 MPa = 114,51 MPa

P2 (s2;0) q = 109,08o

s2 = 70 MPa 44,51 MPa = 25,49 MPa

S1 (70;R) qS1 = 64,08o

S2 (70;+R) qS2 = 26,92o


Soal 5.17 – 5.25

Download - Respect, Professionalism, & Entrepreneurship fileRespect, Professionalism, & Entrepreneurship Perjanjian Tanda • Tegangan normal bernilai positif untuk tegangan tarik, dan bernilai

Top Related