RESUMENEl presente trabajo integrativo sobre la enseanza de las matemticas estudia primeramente el papel de la actitud en el aprendizaje de la materia y los estilos de aprendizaje que los estudiantes puedan tener, los cuales son activo, reflexivo, terico y pragmtico. Por otro lado, los docentes deben tener en cuenta a la matematizacin horizontal y la vertical para decidir sobre el estilo de enseanza pertinente (estructuralista, mecanicista, emprico y realista) y el mtodo de dictado de clases. De manera especial, se aprecia el aporte de la psicologa en la exposicin de conceptos como numeralidad, subitizacin y conteo, como parte del desarrollo temprano del nio. En etapas posteriores (pre-operacional, operaciones concretas y operaciones formales) la persona va adquiriendo mayores habilidades que van de lo concreto hacia la abstraccin y niveles ms simblicos. Finalmente, se estudia el papel del clculo, la memoria, la atencin y la informacin que se tenga sobre el problema de matemticas para su resolucin. Palabras Clave: Matemticas, enseanza, aprendizaje. ABSTRACTThe integrative study about the education of mathematics studies first of all the rol of the attitude in the subjects training and the style of learning that each student may have, which are active, reflexive, theoretical and pragmatic. On the other hand, the teachers must have on consideration the mathematical approach that can be horizontal or vertical in order to decide the best style of teaching (structuralism, mechanicism, empirical and realistic) and the method for the class dictation. On a special note, we appreciate the contribution of psychology in the exposition of concepts such as numerality, subitizing and counting, which are part of the childs early development. In later stages (pre-operational, concrete operational and formal operational stage) the person acquires major habilities that goes from concrete to abstract and more symbolic stages. Finally, we study the rol of calculation, memory, attention and the information we have about the problem we need to solve. Keywords: Mathematics, teaching, learning.

PROBLEMA DE INVESTIGACIN

1. Cules son los problemas ms frecuentes durante la enseanza de las matemticas? 2. Cules son los estilos de aprendizaje de los estudiantes y los de enseanza de los docentes en la enseanza de las matemticas? 3. Cul es el aporte de la psicologa en la enseanza de las matemticas? 4. Cules son las habilidades para las matemticas que la persona va adquiriendo de acuerdo a las diferentes etapas de desarrollo?

OBJETIVOS

1. Identificar los problemas ms frecuentes durante la enseanza de las matemticas 2. Describir los estilos de aprendizaje de las matemticas en los estudiantes y de enseanza en los docentes. 3. Explicar cul es el aporte de la psicologa en la enseanza de las matemticas 4. Describir las habilidades para las matemticas que la persona va adquiriendo de acuerdo a las diferentes etapas de desarrollo.

MARCO TERICO1. POR QU EL RECHAZO DE LAS MATEMTICAS?

ACTITUDES

Si el objetivo de la escuela es de verdad preparar para la vida, deber contribuir al desarrollo de toda la personalidad de los alumnos. Desde hace algunos aos, las directrices de la reforma educativa van en esta direccin. El aprendizaje integral no slo abarca el intelecto, sino que hace referencia tambin a la emocin, a la intuicin y a la accin en el proceso de aprendizaje".Adems, considerando el concepto de actitud, la respuesta parece indudable: la vida del aula conlleva una participacin y una serie de intercambios que da pie a un proceso a travs del cual, sobre la base de las informaciones recibidas, los sujetos van extrayendo una serie de atributos y formando un conjunto de creencias y actitudes sobre las que disean y modelan sus actuaciones con el fin de establecer relaciones satisfactorias con el medio. Por tanto, el estudio de las actitudes puede contribuir a facilitar la comprensin de lo que sucede en las aulas y la dinmica de los centros.Por otra parte, respecto a la importancia que se da al estudio de las actitudes dentro del campo de la investigacin educativa, hemos de sealar que existen gran variedad de artculos y libros que analizan o citan en algn momento el papel de las actitudes del profesorado, alumnado, padres, equipos directivos de centro, administracin... Bell y otros (1988: p. 239) dicen que "la mayor parte de los profesores dan considerable importancia a la promocin de actitudes favorables en sus clases de matemticas". Gmez Chacn, investigadora matemtica en estos temas, dice en su artculo "Un instrumento para la autorregulacin de las emociones en Matemticas" (1997, p. 5): "En los ltimos aos distintos autores han concedido un papel importante a las estrategias que permiten al sujeto la toma de conciencia de la actividad mental, concedindole gran relevancia a los aspectos cognitivos (metacognicin). Sin embargo se ha prestado menor atencin a la toma de conciencia de la actividad emocional". La introduccin de sta "permite hacer valer el derecho que tienen las emociones a jugar un papel significativo facilitador o debilitador del aprendizaje y a que la calidad emocional de las interacciones en clase ejerza una influencia significativa en lo que se aprende".Por ello en el mismo artculo Gmez Chacn (1997, p. 5) habla de la alfabetizacin emocional, que "engloba habilidades tales como el control de los impulsos y fobias en relacin con la asignatura, control que permite desarrollar la necesaria atencin para que se logre el aprendizaje, la autoconciencia, la motivacin, el entusiasmo, la perseverancia, la empata, la agilidad mental, etc."Uno de los grandes problemas que se plantean en la enseanza de las Matemticas (y de la enseanza en general) queda reflejada en la rueda de Dyer:

En muchas ocasiones se acepta el paso del 3 al 4 como algo que viene impuesto, sin buscar soluciones ni luchar contra esa situacin. "No tiene sentido aceptar esa actitud tan general de considerar las Matemticas como disciplina tediosa, difcil de entender e intil. Se trata de buscar soluciones constantemente...". Chamoso y Miguel (1995: p. 322). Y para eso necesitamos varias cosas en el marco que hemos diseado. En primer lugar, una actitud positiva del alumno hacia la enseanza. En segundo lugar, una preocupacin del profesor (no se puede dejar de sealar la importancia y la necesidad de una actitud favorable del profesor). Y en tercer lugar una apertura a cualquier tipo de recursos para la enseanza de las Matemtica. Esto ltimo no es algo separado de los otros dos anteriores, sino ms bien una ayuda para poder desarrollarlos.

2. ESTUDIANTESESTILOS DE APRENDIZAJE

2.1. Estilo Activo

2.1.1. Predominancia alta

Los estudiantes con predominancia alta en Estilo Activo poseen una serie de preferencias y dificultades (tabla 1), que indican las situaciones en las que aprenden mejor o se sienten ms cmodos y, aquellas otras, en las que se encuentran con dificultades y se muestran ms incmodos.

2.1.2. Bloqueos

Los bloqueos ms frecuentes que impiden el desarrollo del Estilo Activo son:

- Miedos. Miedo al fracaso, a la equivocacin. Experimentar el fracaso y la equivocacin en algunas tareas, nos permite aprender tambin cmo hacer las cosas mejor. Sin embargo, -afirma Sternberg (2000)-, unos, que obtienen generalmente resultados bajos, tienen miedo al fracaso porque lo han experimentado demasiadas veces; otros, por el contrario, no han sido capaces de aceptar los fracasos ocasionales como parte normal de su aprendizaje. Existen ocasiones en las que no conviene correr riesgos, pero hay otras en las que hay que hacerlo y la indolencia puede acarrear la prdida de oportunidades

Tabla 1

PreferenciasDificultades

Intentar cosas nuevas Resolver problemas Competir en equipo Dirigir debates Hacer presentaciones No tener que escuchar sentado mucho tiempo Realizar actividades diversas Exponer temas con mucha cargaterica Prestar atencin a los detalles Trabajar en solitario Repetir la misma actividad Limitarse a cumplir instrucciones precisas Estar pasivo: or conferencias, explicaciones,... No poder participar

- Ansiedades. La ansiedad ante cosas nuevas preocupa e inquieta.

- Sentirnos obligados a hacer algo que no queremos. Puede ser debido al esfuerzo que comporta o porque no vemos qu valor puede tener. Necesitamos experimentar parasentirnos a gusto, adems es motivante y favorece el aprendizaje con cierta autonoma y control.

- Falta de confianza en s mismo. Una tendencia excesiva al juicio crtico es un defecto que nos hace desconfiar de nuestras propias capacidades. Muchas veces no nos deja avanzar.

- Pensar las cosas muy detenidamente. Un cierto grado de reflexin es necesario. Ahora bien, darle vueltas y ms vueltas a las cosas no permite avanzar e impide tomar decisiones.

2.1.3. Sugerencias de propuestas didcticas

Las posibles propuestas didcticas para mejorar el Estilo Activo son:

- Hacer algo nuevo, algo que nunca se ha hecho antes, al menos de vez en cuando. Por ejemplo, como seala Guzmn (1991), hay que intentar aproximarse a problemas desconocidos, aunque sea con cierto recelo. No sabemos si es fcil o difcil, si estar a nuestro alcance o no. Jugamos con l, cada vez se hace menos hostil. Lo manipulamos, y se hace ms amigo, nos da pistas y nos anima a explorarlo.

- Activar la curiosidad. La curiosidad -afirma Alonso, J. (1997)- es un proceso activado por caractersticas de la informacin como su novedad, su complejidad, su carcter inesperado, su ambigedad y su variabilidad. Es evidente que el profesor capta la atencin de los alumnos de esta manera.

- Practicar la resolucin de problemas en grupo. Este tipo de trabajo requiere de cooperacin y dilogo con los compaeros.

- Cambiar de actividad en la hora de clase. Hacer el cambio lo ms diverso posible. Por ejemplo, despus de una exposicin breve por parte del profesor o de un alumno, cambiar a una actividad de experimentacin (individual o en grupo) como la resolucin de ejercicios o problemas, comprobar o verificar propiedades, etc. Es necesario proponer a los alumnos una gran variedad de tareas.

- Forzarse a uno mismo a ocupar el primer plano. Ofrecerse voluntario para resolver un ejercicio o para exponer un tema en clase. Cuando se trabaja en grupo, obligarse a hacer de moderador o secretario.

- Discusin de ideas. Los alumnos preguntan y responden cuestiones entre ellos, explican sus respuestas o estrategias, sugieren ideas y discuten sobre las mismas.

- Puesta en comn. Se trata de exponer las conjeturas, los resultados parciales, las ideas ms significativas, ofreciendo las explicaciones adecuadas para facilitar la comprensin.

- Pedir a un estudiante que describa oralmente su proceso de resolucin de un problema, que comunique sus ideas, con ayuda del protocolo realizado.

- Resolver ejercicios que consistan en la repeticin de una determinada tcnica previamente expuesta por el profesor. Es decir, aquellos ejercicios que tienen por finalidad la consolidacin y automatizacin de tcnicas.

- Permitir cometer errores. Cuando se exploran cosas nuevas es inevitable cometer errores. Pero se debe aprender de ellos. Sin embargo, en los centros se tiende a no perdonarlos y, como consecuencia, se acaba teniendo miedo a errar y, por tanto, a pensar de forma independiente y creativa. La insistencia en respuestas correctas fomenta el conformismo, no la creatividad.- Estimular el razonamiento crtico. El profesor plantea preguntas para estimular el razonamiento y el debate. Fomenta el dilogo entre el profesor y el alumno y de los alumnos entre s.

2.2. Estilo Reflexivo

2.2.1. Predominancia alta

Las preferencias y dificultades de los estudiantes con predominancia alta en Estilo Reflexivo se indican en la tabla 2, mostrando las situaciones en las que aprenden mejor y, aquellas otras, en las que se encuentran con dificultades.

Tabla 2

PreferenciasDificultades

Observar y reflexionar Llevar su propio ritmo de trabajo Tener tiempo para asimilar, escuchar, preparar Trabajar concienzudamente Or los puntos de vista de otros Hacer anlisis detallados y pormenorizados Ocupar el primer plano Actuar de lder Presidir reuniones o debates Participar en reuniones sin planificacin Expresar ideas espontneamente Estar presionado de tiempoVerse obligado a cambiar rpidamente de una actividad a otra

2.2.2. Bloqueos

Los bloqueos ms frecuentes que impiden el desarrollo del Estilo Reflexivo son:

- Carecer de tiempo suficiente para planificar y pensar. Dejar tiempo para la reflexin es fundamental. Pero si no tenemos la oportunidad de pensar en lo que estamos haciendo y de reflexionar en lo que ha ido bien, lo que ha ido mal y por qu, las oportunidades de mejorar a largo plazo sern escasas.

- Obligacin de cambiar rpidamente de actividad. Cambiar de actividad exige un gran esfuerzo de voluntad, de decisin. Pero en este mundo que nos ha tocado vivir las personas que aprenden a enfrentarse al cambio estn ms preparadas para sobrevivir y prosperar.

- Impaciencia. La impaciencia es falta de paz, de tranquilidad, ir con prisas. Quien asiduamente se enfrenta a problemas semejantes a los que le proponen, a su ritmo, con tranquilidad, ser capaz de enfrentarse a problemas a plazo fijo, a tomar decisiones con inmediatez. En cualquier caso la prisa siempre es mala consejera.

- La falta de control. Algunos estudiantes son capaces de realizar trabajos acadmicos excelentes, pero sus aptitudes no estn desarrolladas debido a la tendencia que tienen a trabajar de manera impulsiva e irreflexiva. Las mejores soluciones suelen obtenerse despus de un perodo de reflexin

- La falta de orientacin hacia el producto. Algunos estn muy preocupados por el proceso mediante el que se hacen las cosas, pero no tanto por el resultado. En general y desgraciadamente, nos juzgarn fundamentalmente por el resultado.

2.2.3. Sugerencias de propuestas didcticas son:

Las posibles sugerencias de propuestas didcticas para mejorar el Estilo Reflexivo- Practicar la manera de escribir con sumo cuidado. Escribir un enunciado de un teorema, una demostracin, el desarrollo de un ejercicio o problema.

- Salir a la pizarra a resolver un problema o a realizar una tarea. Hay alumnos que nunca se ofrecen voluntarios para esta actuacin, sobre todo por miedo a equivocarse. Debe, pues, fomentarse la participacin en el aula como una actividad regular y procurar que genere satisfaccin personal.

- Elaborar protocolos. Se trata de registrar de forma ordenada todo lo que ha sucedido a lo largo del proceso de resolucin de un ejercicio o problema, una demostracin de un teorema.

- Recoger informacin mediante la observacin. Por ejemplo, escribiendo toda la informacin posible que se extraiga de una presentacin de modo grfico (tablas, diagramas, grficos en general,...) realizada por parte del profesor o de otro alumno.

- Comunicar informacin mediante expresin oral. Por ejemplo, explicacin oral y justificada del proceso seguido en la resolucin de problemas.

- Investigar, aadir informacin nueva a la ya existente. Se tratara de todos aquellos procedimientos relacionados con la bsqueda, recogida y seleccin de informacin necesaria para definir y plantear un determinado problema y, despus, resolverlo. A modo de ejemplo, la bsqueda en textos, revistas o en bases de datos, de informacin estadstica.

- Dejar tiempo para pensar de forma creativa. Somos una sociedad con prisas. Necesitamos tiempo para pensar un problema, desmenuzarlo y producir una solucin creativa. Por tanto, se debe dejar suficiente tiempo en los deberes y en los exmenes. Desgraciadamente, en muchas ocasiones, tanto los profesores como los estudiantes no tenemos tiempo para pensar, y mucho menos para pensar de forma creativa. Hay que dar tiempo para que se haga.

- Observar como imitacin interior. El alumno que observa a su profesor mientras ste explica una leccin o realiza un ejercicio, le imita interiormente. La observacin de una actividad suele ser til para su posterior realizacin independiente.- Captacin matemtica de un proceso. La captacin de un desarrollo matemtico por parte del profesor requiere la actividad del intrprete (alumno). Esto es, no basta la explicacin del profesor, es necesaria la participacin activa del alumno.

- A toda accin prctica debe seguir una fase de reflexin. Los alumnos razonan sus propuestas de solucin, formulan sus reflexiones. El profesor procura que se escuchen mutuamente y entiendan lo que sus compaeros dicen. Oye sus reflexiones, ayuda a interpretarlas y las hace comprensibles para los alumnos; destaca las ideas importantes; expresa de nuevo lo que los estudiantes han expuesto con vaguedad; repite varias veces lo importante.

- La alegra de conocer. Experimentar la alegra solucionando problemas, reconociendo su claridad y belleza, es fundamental para el trabajo en matemticas.

- El principio de la ayuda mnima. El profesor observar lo que el grupo de clase es capaz de hacer por s mismo, de una forma autnoma. Paulatinamente ir tomando la direccin, guiar hacia los conocimientos que considere esenciales. Hasta el final no mostrar a los alumnos la respuesta.

- Activar y mantener el inters. Para mantener la atencin del alumno centrada en el desarrollo de una explicacin o en la realizacin de una tarea, se debe conectar lo que el alumno sabe y lo que el profesor va diciendo. Para ello, Alonso, J. (1997) seala las siguientes estrategias:a) Activar los conocimientos previos al comenzar la clase (objetivos planteados, razones por las que se tratan de conseguir y principales puntos a tratar) que conducirn a una curiosidad, estimularn el recuerdo de lo que se sabe, e incluso, a la bsqueda de nueva informacin sobre el tema.b) Utilizar ilustraciones y ejemplos. El uso frecuente de ilustraciones y ejemplos son recursos importantes para mantener el inters.

- Exposicin oral del profesor. El profesor se encarga de presentar la materia que hay que aprender. Su utilizacin ptima es para presentar informacin nueva.

2.3. Estilo Terico

2.3.1. Predominancia alta

Se indican en la tabla 3 las situaciones en las que aprenden mejor y en las que se encuentran con dificultades, los estudiantes con predominancia alta en Estilo Terico.

2.3.2 Bloqueos

Los bloqueos ms frecuentes que impiden el desarrollo del Estilo Terico son:

- Dejarse llevar por las primeras impresiones. Visin estereotipada que consiste en ver, ante una situacin determinada, solamente lo que esperamos ver. Es necesario permanecer abierto a lo extrao, a las desviaciones de lo que aparentemente se espera ver.

Tabla 3

PreferenciasDesventajas

Sentirse en situaciones claras yestructuradas Participar en sesiones de preguntas y respuestas Entender conocimientos complicados Leer u or hablar sobre ideas y conceptos bien presentados Leer u or hablar sobre ideas y conceptos que insistan en la racionalidad y la lgica Tener que analizar una situacin completa Verse obligado a hacer algo sin uncontexto o finalidad clara Tener que participar en situaciones donde predominen las emociones y los sentimientos Participar en actividades no estructuradas Participar en problemas abiertos Verse, por la improvisacin, ante la confusin de mtodos o tcnicas alternativas

- Preferir la intuicin y la subjetividad. La rigidez en la utilizacin de diversos procesos de pensamiento constituye un tipo importante de bloqueo. La rigidez mental impide la flexibilidad de pensamiento necesaria para cambiar estrategias o modificarlas.

- Desagrado ante enfoques estructurados y organizados. Todos sentimos en alguna ocasin en nuestro trabajo intelectual un cierto rechazo hacia algunas de las tareas que nos vemos obligados a llevar a cabo. En unos casos sentimos rechazo porque encontramos la tarea aburrida, rutinaria, opaca. En otros casos nos resulta la actividad antiptica porque nos resulta extraa, no familiar, no connatural a nuestra forma espontnea de proceder (Guzmn, 1991).

- La dependencia excesiva de los dems (profesor y compaeros). Muchos estudiantes confan en que, o bien los dems les solucionen los problemas, o bien les expliquen de forma permanente cmo afrontarlos, ya que, sin esa ayuda, se encuentran totalmente perdidos.

- Preferencia por la espontaneidad y el riesgo. Asumir riesgos sensatos y estimular a los otros a asumirlos es beneficioso. Seala Sternberg (1997), que se debe valorar la creatividad de los estudiantes a la hora de llevar a cabo una prctica o un proyecto.

- Incapacidad de convertir el pensamiento en accin. No basta con tener buenas ideas, sino tambin la capacidad de ponerlas en prctica, trasladar el pensamiento a la accin. Esto es, hacer Matemticas.

- Incapacidad para terminar y llevar a cabo los trabajos. Algunas personas son incapaces de llegar hasta el final, cualquier cosa que empiezan no son capaces de finalizarla. Se enredan en cualquier paso intermedio.

2.3.3. Sugerencias de propuestas didcticas son:

Las posibles propuestas de sugerencias didcticas para mejorar el Estilo Terico

- Leer atentamente y de forma pausada un teorema, una proposicin, una propiedad o el enunciado de un problema. Despus tratar de resumir lo que se ha ledo, dicindolo con palabras propias.

- Tomar una situacin compleja y analizarla. Por ejemplo, dado un problema novedoso buscar las posibles relaciones con otros que se tengan almacenados en la memoria de tal forma que, la informacin inicial se transforme en otra informacin que permita obtener su solucin. O de otra manera, decodificar la informacin, es decir, traducir la informacin inicial a un nuevo cdigo o lenguaje con el que el alumno est familiarizado y le permita conectar la informacin nueva con las ya existentes.

- Prever contratiempos y preparase para resolverlos. Debemos ser optimistas siempre que sea posible; el pesimismo agota la energa, mina el empuje. Deberamos aprender a ver los contratiempos como oportunidades de aprendizaje y no como causas de desesperacin.

- Resumir teoras e hiptesis, formular y comprobar conjeturas. El profesor debe recompensar explcitamente los esfuerzos creativos de los estudiantes, adems del conocimiento, habilidades analticas y la redaccin.

- Practicar la manera de hacer preguntas. Guzmn (1991) considera la pregunta como una actitud y seala: la pregunta es como un anzuelo para extraer ideas originales. El esfuerzo consciente por preguntarse y preguntar genera una actitud inquisitiva, que es la base de todo progreso en el conocimiento.

- Cuestionar los supuestos. Todo pensamiento creativo afirma Sternberg (1997) comienza con una pregunta: Por qu? Los profesores debemos estimular a los alumnos a que cuestionen los supuestos.

- Adquirir experiencia. En el caso de la aplicacin rgida de algoritmos matemticos, suele ser til crear situaciones donde los estudiantes deban pensar como el matemtico que ideo el algoritmo e intenten por su cuenta desarrollarlo de nuevo.

- La codificacin selectiva. Supone separar la informacin relevante de la irrelevante.

- La perseverancia. Algunos estudiantes se dan por vencidos con demasiada facilidad. Si en los primeros intentos no tienen xito, abandonan. La perseverancia es imprescindible en la realizacin de un ejercicio de Matemticas- Formulacin algebraica. El alumno debe dotar a las frmulas y a las frases de sentido. Tiene que poder explicarla, justificarla en su lenguaje. Con ello demuestra que los signos son para l portadores de significado.

- Aprender de memoria y automatizar. En Matemticas hay que hacer ejercicios y aprender frases de memoria. La finalidad es su automatizacin. Algunas frmulas, determinados enunciados y reglas, hay que aprenderlas de memoria

- Aplicar los conceptos. Hay que dar ocasin a los alumnos de emplear los instrumentos que han adquiridos. Por ejemplo, si se trata de un problema que hay que resolver de forma autnoma, debe preguntarse dnde cree que existen las aplicaciones prcticas y tericas de los conceptos estudiados.

2.4. Estilo Pragmtico

2.4.1. Predominancia alta

Las preferencias y desventajas que presentan los estudiantes con predominancia alta en Estilo Pragmtico figuran en la tabla 4.

Tabla 4

PreferenciasDesventajas

Aprender tcnicas inmediatamenteaplicables Percibir muchos ejemplos y ancdotas Experimentar y practicar tcnicas con asesoramiento de un experto Recibir indicaciones prcticas y tcnicas Aprender cosas que no tengan unaaplicabilidad inmediata Trabajar sin instrucciones claras sobre cmo hacerlo Considerar que las personas no avanzan con suficiente rapidez

2.4.2. Bloqueos

Los bloqueos ms frecuentes que impiden el desarrollo del Estilo Pragmtico son:

- Considerar las tcnicas tiles exageradas. Contemplacin, abstraccin, especulacin, por ejemplo, no son actividades mentales muy de moda para los prcticos. Sin embargo, de ellas han dependido fundamentalmente los grandes avances del pensamiento humano, incluso en las ciencias.

- No saber para qu sirve lo que se estudia puede resultar desmotivante. Los estudiantes, en general, prefieren trabajar en algo que resulte til, que no en algo que no se sabe para qu sirve. Sin embargo, en innumerables ocasiones la aplicabilidad no es inmediata, hay que ir subiendo peldaos paso a paso hasta ver el horizonte prctico.

- Dejar los temas abiertos. En la fase inicial de un determinado problema concdete la oportunidad de volar libremente, djate llevar por conjeturas imaginativas, por tu fantasa, todo ello por encima de planteamientos lgicos. Ya vendr el rigor (Guzmn,1991).

- La distraccin y la falta de concentracin. Hay personas que se distraen con mucha facilidad y suelen tener breves lapsos de atencin y, como consecuencia de ello, no suele cundirles mucho. El profesor debe proporcionar a sus alumnos un ambiente adecuado para trabajar y animarles a lograr sus objetivos (Sternberg, 2000).

2.4.3. Sugerencias de propuestas didcticas

Las posibles propuestas de sugerencias didcticas para mejorar el EstiloPragmtico son:

- Llevar a cabo la correccin de ejercicios y la posterior autoevaluacin.

- Recabar ayuda de personas que tienen experiencia. Guzmn (1991) indica que el experto y el aprendiz se manifiestan ante un problema difcil de forma muy distinta; el experto manifiesta una mayor intuicin y flexibilidad para abandonar un camino equivocado, mientras que el aprendiza suele presentar cierta inmovilidad de pensamiento.

- Aprender del maestro. En la relacin entre el maestro y el aprendiz, el maestro aborda y plantea un problema nuevo y hace que el principiante intervenga en su resolucin. De esta manera, el aprendiz presencia muchos ejemplos de la aplicacin adecuada, y dispone de numerosas ocasiones para poner en prctica su propia comprensin (Gardner,2000).

- Experimentar y observar. La experimentacin es una de las tcnicas ms fructferas para el descubrimiento y la resolucin de problemas. De la observacin surge una conjetura, se sigue experimentando y se contrasta.

- Estudiar las tcnicas que utilizan otras personas. Cuando se descubra que algo hacen bien, imitarlos. El profesor debe actuar de entrenador en el sentido de que, al principio y en multitud de ocasiones, mostrar las habilidades y las tcnicas que, posteriormente, el alumno utilizar de forma estratgica en la resolucin de ejercicios y problemas.

- Recibir informacin de una actuacin en clase. Despus de una intervencin en clase, una presentacin o en la realizacin de un ejercicio, recibir informacin de cmo se ha hecho.

- Ejercitar. Plantear problemas que tengan como finalidad la utilizacin de las distintas tcnicas, algoritmos y destrezas matemticas en contextos distintos de los que se han aprendido y enseado.

- Utilizar imgenes. Muchos ejercicios y problemas se hacen ms asequibles cuando se utiliza una representacin adecuada de los elementos que en ellos intervienen. Se piensa generalmente mejor con el apoyo de imgenes que con palabras, nmeros, smbolos, y frmulas.

- Crear entornos de aprendizaje asistidos por ordenador. Los estudiantes pueden investigar cualquier tema de inters por su cuenta o en colaboracin con otros compaeros. Intercambian informacin, se comunican con estudiantes de otros lugares y tambin pueden consultar con expertos a travs de Internet.

3. DOCENTESESTILOS DE ENSEANZA

La matemtica como actividad posee una caracterstica fundamental: La Matematizacin. Matematizar es organizar y estructurar la informacin que aparece en un problema, identificar los aspectos matemticos relevantes, descubrir regularidades, relaciones y estructuras.

Treffer en su tesis (1978) distingue dos formas de matematizacin, la matematizacinhorizontaly la matematizacinvertical.

Lamatematizacin horizontal, no lleva del mundo real al mundo de los smbolos y posibilita tratar matemticamente un conjunto de problemas.

En esta actividad son caractersticos los siguientes procesos:

IDENTIFICAR las matemticas en contextos generales ESQUEMATIZAR FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias maneras DESCUBRIR relaciones y regularidades RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemas TRANSFERIR un problema real a uno matemtico TRANSFERIR un problema real a un modelo matemtico conocido.

LaMATEMATIZACIN VERTICAL, consiste en el tratamiento especficamente matemtico de las situaciones, y en tal actividad son caractersticos los siguientes procesos: REPRESENTAR una relacin mediante una frmula UTILIZAR diferentes modelos REFINAR y AJUSTAR modelos COMBINAR e INTEGRAR modelos PROBAR regularidades FORMULAR un concepto matemtico nuevo GENERALIZAR

Estos dos componentes de la matematizacin pueden ayudarnos a caracterizar los diferentes estilos o enfoques en la enseanza de la matemtica.

EstructuralismoPara el estructuralismo, la matemtica es una ciencia lgico deductiva y ese carcter es el que debe informar la enseanza de la misma.El estiloestructuralistahunde sus races histricas en la enseanza de la geometra eucldea y en la concepcin de la matemtica como logro cognitivo caracterizado por ser un sistema deductivo cerrado y fuertemente organizado. Es por lo que, a los ojos de los estructuralistas, a los alumnos se les debe ensear la matemtica como un sistema bien estructurado, siendo adems la estructura del sistema la gua del proceso de aprendizaje. Ese fue y sigue siendo el principio fundamental de la reforma conocida con el nombre de Matemtica Moderna y cuyas consecuencias llegan hasta nuestros das.El estilo estructuralista carece del componente horizontal pero cultiva en sobremanera la componente vertical.

Mecanicismo

El estilomecanicistase caracteriza por la consideracin de la matemtica como un conjunto de reglas. A los alumnos se les ensea las reglas y las deben aplicar a problemas que son similares a los ejemplos previos. Raramente se parte de problemas reales o cercanos al alumno, ms an, se presta poca atencin a las aplicaciones como gnesis de los conceptos y procedimientos, y mucha a la memorizacin y automatizacin de algoritmos de uso restringido. El estilo mecanicista se caracteriza por una carencia casi absoluta de los dos tipos de matematizacin.

El ataque ms demoledor a esta planteamiento de enseanza proviene de H.Freudenthal (1991):" De acuerdo con la filosofa mecanicista el hombre es como una computadora, de tal forma que su actuacin puede ser programada por medio de la prctica. En el nivel ms bajo, es la prctica en las operaciones aritmticas y algebraicas (incluso geomtricas) y la solucin de problemas que se distinguen por pautas fcilmente reconocibles y procesables. Es en este, el ms bajo nivel dentro de la jerarqua de los ms potentes ordenadores, donde se sita al hombre".

Freudenthal termina su alegato con la siguiente pregunta dirigida a sus propagadores:Por qu ensear a los alumnos a ejecutar tareas al nivel en el que los ordenadores son mucho ms rpidos, econmicos y seguros?

Empirismo

Toma como punto de partida la realidad cercana al alumno, lo concreto. La enseanza es bsicamente utilitaria, los alumnos adquieren experiencias y contenidos tiles, pero carece de profundizacin y sistematizacin en el aprendizaje. El empirismo est enraizado profundamente en la educacin utilitaria inglesa.Realista

El estilorealistaparte as mismo de la realidad, requiere de matematizacin horizontal, pero al contrario que en le empiricista se profundiza y se sistematiza en los aprendizajes, poniendo la atencin en el desarrollo de modelos, esquemas, smbolos, etc. El principio didctico es la reconstruccin o invencin de la matemtica por el alumno, as , las construcciones de los alumnos son fundamentales. Es una enseanza orientada bsicamente a los procesos. Este estilo surgi en los Pases Bajos partiendo de las ideas de Freudenthal y ha sido desarrollado por los actuales miembros del Freudenthal Institut de la Universidad de Utrecht.

4. MTODOS FAMOSOS Y TICS

METODO SINGAPUR

Elmtodo Singapurpara ensear matemticas desarrolla la comprensin, retencin, gusto por la aplicacin de las matemticas y laresolucin de problemas de la vida diariaa travs de habilidades sencillas. Estos programas noapuntan amemorizarsino a generar habilidades de fondo.El mtodo, tanto la enseanza como el aprendizaje de las matemticas, es aplicable a todos los niveles educativos, pues su propsito es en sumo sencillo: resolver problemas sobre la base de unaadecuada lectura del planteamientopara conseguir unasolucin acertada.Su cualidad ante otros mtodos es ladisposicin grfica de los datosy el manejo de algunosobjetos para el apoyo a la comprensin, explicacin y respuesta de los problemas. Su enseanza va de lo concreto (material palpable) a lo pictrico (uso de imgenes y colores), para finalizar con lo abstracto (smbolos).

METODO MONTESSORI

Busca un desarrollo armnico para lograr autodisciplina. Slo usan materiales Montessori estandarizados a nivel mundial, de modo que todo est hecho con elementos puros como madera o greda y de colores naturales. La sala est lo menos decorada posible. La educadora es una gua que presenta el uso de los materiales al nio para que elija lo que l quiera hacer. La meta es formar personas con una buena autoestima, no competitivas y capaces de una rpida adaptacin ante nuevas situaciones.

METODO WALDORF

Los nios no van a una sala sino a un lugar que es lo ms similar a una casa. Por eso, el lugar es luminoso y no hay decoracin infantil. Todos los nios de 3 a 6 aos estn juntos, y as los grandes aprenden a ayudar a los chicos. Durante el da cocinan alimentos sanos, cuentan cuentos y juegan libremente. No hay actividades intelectuales como calcular.

METODO JAPONES

ElMtodo Kumones un sistema de aprendizaje dematemticasylenguajedesarrollado por eljaponsTru Kumon. Este mtodo involucra la repeticin de ejercicios bsicos de matemticas y lenguaje que gradualmente se hacen ms complejos hasta que el estudiante alcance un nivel avanzado de destreza. El propsito ms importante de este mtodo es el de sentar las bases del aprendizaje en aquellas reas que proporcionan un alto nivel de autoconfianza al estudiante y la habilidad de aprender por l mismo, como son las matemticas y el lenguaje.

METODO HIGHSCOPE

El principio es el aprendizaje activo, o sea, que los nios aprendan de la experiencia directa. Para esto trabajan con material concreto: si hablan de lgica matemtica, les ensean cortando una pizza en pedazos; si hablan sobre los bomberos, va un bombero a hablarles de su profesin. Al final se convierte en un aprendizaje significativo para ellos, porque les queda grabado. Adems, complementan los contenidos que se estn viendo con paseos afuera del jardn.

TICS

Cuando mencionamos las Tecnologas de la Informacin y Comunicacin (TIC) aludimos tanto a medios fsicos (hardware) como virtuales (software), a travs de los cuales recibimos y enviamos informacin. Los medios fsicos habituales por los que recibimos y enviamos informacin son: el televisor, la radio y, sobre todo, el ordenador personal y el mvil. En contextos educativos, tenemos, adems, la pizarra digital y la tableta. En el presente, y debido al desarrollo de proyectos institucionales que presentaremos ms adelante, se ha incorporado a un gran nmero de centros educativos de primaria la pizarra digital. Podemos distinguir entre PD (Pizarra Digital) y PDI (Pizarra Digital Interactiva). La PD se trata simplemente de un ordenador conectado a un videoproyector que nos permite observar en gran tamao lo visionado en el ordenador, mientras que la PDI, adems, nos posibilita interactuar directamente en la pantalla con la imagen, normalmente usando un lpiz-puntero o los dedos de la mano. Actualmente, a nivel mundial se est reconociendo el potencial de las TIC como una generacin que nace y crece con ellas. Conscientes, por una parte de las ventajas de estos recursos en el desarrollo y las oportunidades de aprendizaje o de acceso a la informacin, tambin debemos ser conscientes de los peligros que pueden ocasionar si no contamos con adultos informados que orienten y medien su interaccin a temprana edad. De esta manera queremos terminar dejando en claro que cada alumno es diferente, cada quien tiene un nivel de aprendizaje diferente y siempre habr alumnos que entiendan a la perfeccin sin mtodos recreativos o sin diversin, sin embargo concluimos, que siempre tener la opcin de aprender mediante la diversin, por mtodo recreativos como las TIC ser de gran ayuda.

5. APORTE DE LA PSICOLOGA

5.1. DESARROLLO TEMPRANO

5.1.1. Deteccin numrica

Las investigaciones ms recientes en el nio de cero a cuatro aos han revelado la presencia de capacidades cognitivas en general, y matemticas en particular, mayores y ms complejas de las que se presuma posea hasta hace pocos aos. Bajo el robro de deteccin numrica veremos los conceptos de numerosidad, subitizacin y conteo, y desarrollaremos algunos aspectos relevantes de investigaciones pertinentes.

5.1.2. Numerosidad

El trabajo paradigmtico se debe a los experimentos de Antell y Keating. Se les present a nios recin nacidos a travs del procedimiento habituacin y deshabituacin tarjetas que contenan el mismo nmero de puntos, pero variando en longitud de lneas y densidad de puntos. Luego se les mostraba una tarjeta posthabituacin con un nmero distinto de puntos (se mantena longitud y densidad). Al cambiar el nmero emerga el proceso de atencin renovada. Si se sustituan los puntos por objetos de diferentes colores y formas se obtenan los mismos resultados. En otros experimentos con nios algo mayores de seis a ocho meses, se logr igual deteccin de numerosidad pero con carcter interno sensorial (auditivo- visual).

5.1.1.2. Subitizacin

Se define a la subitizacin como el reconocimiento inmediato sin conteo explcito de un conjunto pequeo de objetos. Las formaciones de hasta tres a cuatro puntos se subitizan fcilmente. Si se incrementan los puntos a seis o diez ya no es posible resolver la tarea. En los adultos el costo en trminos de tiempo es de 50 milisegundos por cada cifra adicional, hasta cuatro cifras en experimentos con nios de cinco aos. En nios menores de seis a ocho meses alcanza, segn Gelman, hasta tres elementos, sugirindose la existencia de predisposiciones innatas que influyen sobre la atencin y la memoria, lo que permitira el almacenamiento de las representaciones numricas. No se iniciara el desarrollo cognitivo del nio con vagas distinciones "muchos-pocos", sino habran tempranamente procesos numricos con caractersticas de dominio especfico.Se han propuesto dos teoras principales para explicar este proceso de subitizacin. Una teora es la de Glasersfeld, de base perceptiva y sin procedimientos numricos. Gallistel y Gelman han propuesto por su parte una teora de recuento rpido generada por una predisposicin de dominio especfico sin base perceptiva.

5.1.1.3. Conteo

Gelman ha propuesto cinco principios del aprendizaje del conteo que funcionan como reglas de predisposicin innatas.

Principios de correspondencia biunvoca: un elemento de una coleccin con uno de la otra. Principio de ordenacin estable: el recuento es independiente de los rtulos que se unen, como por ejemplo cuando se aplica 1, 2, 4, pero no se repite ningn rtulo. Principio de indiferencia de elementos: puede contarse cualquier clase de objetos. Principio de indiferencia de orden: el conteo es en cualquier secuencia. Principio de cardinalidad simple: el ltimo trmino del recuento da el valor cardinal del conjunto.

Desde el punto de vista operacional, el conteo tiene las siguientes propiedades:a) Demora en los adultos 1/3 de segundo por objeto, en los nios demora 2/3 de segundo tambin por cada objeto.b) Los matemticos hbiles empiezan a usar desde los cuatro aos para contar conjuntos grandes, el agrupamiento en subconjuntos. Se cuenta cada subconjunto y se acumulan al final. Las pistas como marcas, colores y distancias, favorecen los agrupamientos. Si las pistas estn distribuidas al azar no se producen los agrupamientos.c) El conteo de objetos es ms difcil cuando estos estn fijos y dispersos; lo es menos cuando estn fijos alineados; y aun menos difcil cuando son mviles y pueden agruparse una vez contados.d) El principio de cardinalidad parece actuar segn Wynn slo a partir de los tres aos, los nios menores aun cuando puedan contar bien hasta cinco, cuando se les pregunta por cunto hay, no dan la ltima cifra como respuesta.

Finalmente debe sealarse que est firmemente establecida la capacidad animal para discriminar tres a cuatro objetos. Algunas especies discriminan entre cantidades grandes (40-50 picotazos).Gallistel ha propuesto como mecanismos los principios de indiferencia de elementos y correspondencia biunvoca. En esto los animales se asemejan al nio pequeo, pero no en el principio de indiferencia del orden, su recuento es unidireccional. El nio tiene mayor complejidad de principios y la potencialidad para pasar a un sistema simblico de exclusividad especfica.

5.1.2. Desarrollo simblico

La deteccin temprana de la numerosidad y el conteo son el inicio de un proceso cuyo primer desarrollo deber culminar en la adquisicin y uso de los sistemas simblicos (lenguaje) y conceptuales (teoras) pertinentes que le servirn de base a la expansin futura de sus competencias matemticas. Los temas de estos acpites sern los numerales, la notacin y la matemtica infantiles.

5.1.2.1. Numerales

Los numerales se definen como los trminos del lenguaje oral que rotulan a los nmeros en cuanto cantidades. Los numerales se aprenden por reglas diferentes al etiquetado de objetos o denominacin. La base de este aprendizaje son los principios de irrelevancia del objeto y de ordenacin estable, que no son aplicables para nombrar objetos. Ambos dominios no se confunden ante la masa de estimulacin, debido segn Gelman a la influencia de los principios innatos de dominio especfico.A la importancia del lxico numrico debe aadirse la importancia delaprendizaje del lenguaje matemtico en general (lxico y gramtica) y a hacerlo independientemente del lenguaje estndar cotidiano. Los buenos matemticos dominan el lenguaje matemtico, y este dominio correlaciona positivamente con la comprensin matemtica.

5.1.2.2. Notacin

La notacin numrica es logogrfica a diferencia de la escritura que es fonogrfica, mientras el dibujo es pictogrfico.El desarrollo cultural y su dominio individual son dos aspectosindispensables para la evolucin de la competencia matemtica.

Basados en Hugues proponemos un desarrollo de la notacin en tres etapas:

Primera etapa: garabato, no se identifica ninguna asociacin entre el elemento grfico y el elemento numrico.Segunda etapa: biunvoca, en este perodo correlacionan el nmero de unidades grficas con el nmero de objetos. El grafismo empleado primero es pictogrfico (dibujo del objeto) y luego es icnico (signos). Si se le pregunta que diga por escrito cuntos bloques hay? en un grupo de tales que se le proporciona, en la sub-etapa pictogrfica los representa con dibujos que semejan los bloques con indicacin de la cantidad, forma, posicin y orientacin de estos. En la sub-etapa icnica dibuja marcas con correspondencias con los bloques y cada signo representa un bloque distinto.Tercera etapa: simblica, se subdivide segn Stallard en cuatro sub- etapas: 1) Dominio de cifras simples; 2) dominio de operaciones sencillas como 2+2= 4 (realizacin); 3) dominio de operaciones ms difciles como -4; 4+0=; + 3=5; 4) Dominio posicional: uso de cifras mayores como3,405, etc.

5.1.2.3. Metamatemtica

Se define como metamatemtica a las ideas peculiares del nio sobre el nmero. Hay dos teoras principales de carcter secuencial La primera teora investigada por Gelman asume los nmeros como lo que se obtiene al contar, el nmero se piensa como una propiedad de las cosas contables. En esta teora ni el cero ni las fracciones son nmeros.Para la segunda teora el nmero es algo con lo que se realizan y a los que se aplican operaciones matemticas. En esta concepcin cambia la naturaleza del cero y de las fracciones. Wellamn y Miller investigaron las ideas sobre el cero y sealaron tres estadios de progreso: el primero es de familiarizacin y notacin del cero independientemente de su comprensin; en el segundo estadio comprende que el cero hace referencia a ninguno o nada; en el tercer estadio comprende que es el nmero ms pequeo de la serie de enteros no negativos.Karminoff-Smith investig el desarrollo de las ideas del nio sobre las fracciones: primero el nio identifica a las fracciones con el papel que los enteros cumplen en las operaciones (sumar 1/2+ 1/4= 1/6). En una segunda etapa comprende que los dos nmeros implican la divisin entre nmeros distintos. Se va ms all del nmero en relacin con lo real para definirlo como relacin entre nmeros distintos. Luego va ms all del nmero en relacin con lo real para definirlo como pura relacin entre nmeros.

5.2. DESARROLLO OPERATORIO

5.2.1. Las operaciones intelectuales

Piaget defini las operaciones como acciones simblicas, interiorizadas y reversibles. El desarrollo de las operaciones significa:

a) diferenciacin simblica entre significantes y significados; b) restricciones lgicas al operar conscientemente con los smbolos y c) desarrollo del pensamiento verbal.Los niveles piagetanos de operaciones intelectuales son:

Etapa preoperatoria (2-7 aos): existe la diferenciacin significante- significado, pero sin restricciones lgicas.

Etapa lgico-concreta (7-12 aos): operaciones en el plano de las representaciones, estructura el presente en funcin del pasado sin las deformaciones, dislocaciones ni contradicciones del nio preoperatorio.

Etapa lgico-formal (12-16 aos): operaciones sobre lo posible configurando lo real como uno de sus casos. Frente a un problema se preveen todas las relaciones de posible validez y luego se determina por experimentacin y anlisis lgico cules de las relaciones posibles tiene validez real. Es un pensamiento hipottico-deductivo, proposicional y probabilstico.

Segn Piaget las principales caractersticas de las operaciones son:

Transformaciones de los smbolos en forma interiorizada y reversible configurando estructuras y sistemas de procesamiento (razonamiento). Aprehensin simultnea simblica e interna de una sntesis nica de una serie completa de hechos separados. Reflexin sobre la organizacin de los propios actos: carcter contemplativo, no slo activo. Independizacin ms all de los actos presentes y de los objetos concretos del entorno real: transicin a manipular simblicamente entidades no tangibles.

5.2.2. Nivel preoperatorio o preconservante

En trminos piagetanos es el nio preconservante de cantidad, con dificultades para conservar la cantidad de lquido, las discontinuidades espaciales en correspondencia y otras transformaciones geomtricas ynumricas. Al final de esta etapa se desarrollan las primeras operaciones intuitivas de conservacin de la cualidad y de funcin orientada.

5.2.2.1. Transformaciones numricas

Correspondencias biunvocas. Dificultad entre los cuatro a seis aos para poner en correspondencia objetos como flores y floreros, verificndola al poner la flor dentro del florero. Los pequeos la descubren por la relacin contenido-continente.

Relaciones de equivalencia. Dificultad para establecer la correspondencia con F1 (flores del experimento del prrafo anterior) con F2 (un nuevo conjunto de flores), despus que se ha trabajado slo con F2 igual F" pero de diferente clase y en los mismos floreros.

Adicin de clases. Experimentos en los cuales se muestra un conjunto de bolas de madera con ms bolas rojas que blancas. Dificultad para responder si hay ms bolas rojas o de madera.

Composicin aditiva (4+4= 7+1): Experimentos del tipo: si un da come cuatro galletas en la maana y cuatro en la tarde, al da siguiente le dan igual cuatro, para la maana y cuatro para la tarde; pero no tiene hambre y deja tres para la tarde; ha comido igual los dos das?

Correspondencia ordinal. Diez muecos y diez bastones de tamao graduado de mayor a menor en desorden, debe darle a cada mueco el bastn suyo para que pueda salir a pasear. Comparacin global del nio, sin seriacin ni correspondencia biunvoca.

Conservacin de la cantidad. Esta puede ser continua o discontinua. Se explora por correspondencias entre el contenido de una botella y en contenido vaciado en vasos uno alto y el otro ancho.

5.2.2.2. Transformaciones geomtricas

Construccin de la medida. Construir una torre igual a otra de 80 cms. Hecha de cubos, sobre una mesa casi un metro ms baja que la del modelo. Fracasa, su copia es sumaria, imperfecta y sin anlisis.

Conservacin de la longitud. Si bien son buenos perceptores al taquitoscopio de segmentos desplazados. Cuando a nivel representacional se desplaza una varilla, implica un cambio de evaluacin: uno u otro se hace ms grande o ms chico.

Lugares geomtricos. Se le propone materializar en dibujos que elija, la posicin de sus camaradas de juego lanzando una pelota a un centro comn que est igual de lejos para todos en un crculo.

Geometra del espacio. Parte de referir todos los puntos del espacio a un punto de vista nico y propio. Sobre una maqueta se le pregunta por posiciones prximas o cercanas desde perspectivas diferentes a las propias.

5.2.2.3. El problema de la conservacin y teoras explicativas

El problema de la conservacin puede plantearse as: cmo los nios muy pequeos que ya poseen numerosidad, cuentan y poseen principios para hacerlo y, adems comprenden la cardinalidad, sin embargo fallan en la conservacin? Se han elaborado tres teoras importantes:

a) Teora de Piaget: los nios no tienen un conjunto de principios numricos explicativos.

b) Teora de Gelman: falta la representacin abstracta (algebraica) de razonar sobre relaciones numricas sin representacin concreta.

c) Teora de Karmiloff-Smith: se debe a un proceso de redescripcin que pasa de la conservacin embutida en el recuento a hacerla explcita en la actividad de contar, es decir extraerla para utilizarse con cantidades sin especificar.

5.2.3. Nivel lgico concreto

Se desarrollan de siete a doce aos operaciones capaces de manejar representaciones bajo restricciones lgicas. Estas operaciones son las de clasificacin jerrquicas, seriacin ordenada y conservacin de invariantes (cantidad, peso y volumen).

5.2.3.1. Operaciones aritmticas

Consisten en el grupo aditivo de nmeros enteros con composicin (1 +1= 2; 2+3= 5; etc.); asociatividad [(1 + 1)+ 1 = 1 +(1 + 1 )]; inversos (-1; -2); identidad (0); iteracin (1+1= 2; 2+1= 3; etc.).El otro grupo es el multiplicativo de nmeros enteros con composicin (2x 1 = 2; 3x2= 6; etc.), asociatividad [(1 x2)x3= 1 x(2x3)]; inverso ( (1; (2); identidad (1).El grupo es un sistema de transformaciones con composicin, asociatividad, reversibilidad (inversin) e identidad. La interaccin convierte a los elementos lgicos intensivos en cuantificables.

5.2.3.2. Operaciones mtricas

Es la medicin de relaciones partes a todo, en la que las partes se convierten en unidades iterables a las que se aplican nmeros. Depende de operaciones infralgicas que son operaciones lgicas aplicadas a los objetos y a las relaciones espacio-temporales de sus partes, en virtud de lo cual: 1) el objeto es una entidad nica, sus partes no permanecen ni independientes ni separadas cuando componen un todo; 2) la constitucin del objeto requiere proximidad de sus partes; 3) sus operaciones constitutivas son sntesis y particin que se corresponden con adicin y sustraccin de clases. En las operaciones mtricas se aplica la lgica de la cuantificacin al mundo fsico. Los nios avanzan en la medicin usando primero su cuerpo como medida comn, para luego usar objetos independientes.

5.2.4. Nivel lgico formalLas operaciones concretas tienen, como punto de partida lo real.

Estn ligadas al aqu-ahora, son como "islotes funcionales" que no configuran un sistema por el que ante un problema el nio pueda pasar de una estructura operatoria a otra. En cambio, las operaciones lgico formales elaboran lo potencial y posible como distinto de lo real; se desarrollan estrategias hipottico-deductivas y las entidades ms importantes en el razonamiento no son las representaciones de objetos y hechos concretos sino el pensamiento proposicional, generado a partir de las vinculaciones lgicas entre las proposiciones resultantes de las operaciones concretas. Estos vnculos interproposicionales son implicaciones, conjunciones, disyunciones, identidades, etc. Son operaciones de segundo grado, operaciones sobre operaciones.Las propiedades del nivel lgico formal en trminos piagetanos son la combinatoria intraproposicional que consisten en la red de diecisis combinaciones posibles dado A= nios aprobados, y B= nias aprobadas (A; B; AB; AB; AB; etc.). La otra propiedad es la de las transformaciones interproposicionales del grupo INRC (identidad, negativa, recproca y correlativa). El sistema aplicado al mundo fsico de aumentar viscosidad (I) o disminuir peso (C) para resistir el desplazamiento de un pistn se completan con sus negaciones respectivas: disminuir viscosidad (N) y aumentar pero (R), constituyendo un grupo de transformaciones interpreposicionales.

5.2.4.1. Esquema de combinaciones El experimento tiene tres etapas:

a) Se proporcionan cuatro frascos semejantes con lquidos inodoros e incoloros, son: 1) cido sulfrico diluido; 2) agua; 3) agua oxigenada y adems 4) una botella con cuentagotas y con yoduro de potasio.

b) Se le presentan dos vasos al sujeto. El primero tiene 1+3; el segundo tiene dos. Le echa g al primero (1+3+g) que da un color amarillo. Le echa g al segundo (2+g) que no cambia de color. El yoduro en (1 + 3 + g) es oxidado por el agua oxigenada en un medio cido, lo que produce el color. En el segundo (2+g), el agua es neutra y su mezcla no cambia el color. Si se aade d a (1+3+g)+4 lo decolora. El nio debe repetir la experiencia de mezclar dando color amarillo.c) El sujeto preformal no agota las combinaciones. El sujeto formal las realiza en orden. Ej.: (2+g); (1 +g); (3+g) y (4+g). Luego pasa a (1 +2+g); (1 + 3+g); (1 +4+g); (2+ 3+g); (2+4+g); (3+4+g). En seguida pasa a probar combinaciones con tres frascos y el grupo total. A pesar del resultado (1+3+g), trata de agotar todas las combinaciones para explicar el resultado.

5.2.4.2. Esquema de proporciones

En condiciones de experimentos como los del pistn, peso y viscosidad del lquido se tiene la relacin proporcional I/R = C/N. Si I = P; R = q y N = p; entonces se tiene p/q = q/p, Y en consecuencia p v p = q v q.

5.2.4.3. Esquema de correlaciones

Se plantea el problema de la correlacin entre color de ojos y color de cabello, en el que:a = ojos azules y cabellos rubios (p.q)

b = ojos azules y cabellos negros(p.q)

c = ojos negros y cabellos rubios (p.q)

d = ojos negros y cabellos negros(p.q)

Slo si (a+d) es mayor que (b+c) en funcin de la totalidad de posibilidades existe la correlacin, que ser mayor cuanto mayor sea la diferencia a+d > b+c.

5.2.4.4. Esquema de distribucin

Corresponde a la distribucin de Gauss a travs del experimento de lanzar bolitas por un orificio central a cuatro cajas planas inclinadas, cuya parte inferior se divide en dos, tres, cuatro o 18 casilleros y la parte superior tiene una abertura central en forma de embudo.El nio debe prever la distribucin. El preformal slo prevee distribucin uniforme en general, y nunca la simetra de los casilleros externos. Puede predecir el mayor nmero en el casillero central. El nio formal anticipa distribucin en campana y equilibrio en casilleros externos.

5.3. PROCEDIMIENTOS DE CLCULO

El clculo es el conjunto de algoritmos y procedimientos computacionales mediante los que se manipulan los nmeros y sus smbolos.

5.3.1. Precisin

Los errores en el clculo pueden ser de dos tipos: a) en la tarea meta se aplican procedimientos incorrectos y b) en las subdestrezas prerrequisitos hay falta de habilidades pertinentes. Los errores se evalan de la siguiente manera:

a) Los errores que slo se dan en la tarea-meta se deben a procedimientos incorrectos.

b) Los errores que se dan conjuntamente en habilidades previas y tarea- meta son falta de conocimientos prerrequisitos.5.3.2. Procedimientos incorrectos

5.3.2.1. Los errores como fuente de datos

Deben verse los errores no como seal de falta de inteligencia, sino como fuente de datos y ayuda para comprender la naturaleza del desempeo. Deben elevarse estos a un nivel metacognitivo generando la conciencia de los errores como producto de una secuencia incorrecta o incompleta; el conocimiento procedimental nuevo generado as ser ms independiente.

5.3.2.2. Errores en la resta (un ejemplo)

Son de dos tipos: a) inversin de la diferencia cuando se resta siempre de la cifra mayor, ej.: 62-39= 37; y b) el manejo del cero que produce las mayores dificultades, entre ellas:a) Tomar prestado de cero: 103-45= 158.

b) Saltar la columna correspondiente para tomar prstamo, tomando de la siguiente: 503-114 = 299.

c) O-N= N, cuando el dgito de arriba es cero se pone en la diferencia el de abajo N.

d) O-N= O, cuando el dgito de arriba es cero se pone en la diferencia cero.

e) N-O= O, cuando el dgito de abajo es cero se pone en la diferencia cero.

5.3.3. Falta de habilidades previas

5.3.3.1. Anlisis de tareas lgicas

Es preguntarse ante una tarea: qu tiene que saber hacer una persona para resolver correctamente esta clase de tareas suponiendo que slo se le proporcionan instrucciones. Identificadas las habilidades prerrequisito a ellas tambin se les puede aplicar un anlisis de tarea lgico, avanzando a un segundo nivel de anlisis. Los datos empricos sealan que es muy comn que este segundo nivel sea el que falle.

5.3.3.2. Habilidades pertinentes, tiempo de aprendizaje y nivel de competencia

Trabajos de Gagn y Paradise encontraron que la correlacin entre las habilidades pertinentes y el tiempo de aprendizaje con el nivel de competencia eran de .78 y .82. Una medida de inteligencia general (vocabulario) tena una correlacin de .18 y .22, con tiempo de aprendizaje y nivel de competencia.

5.3.4. Clculo eficaz5.3.4.1. Almacn declarativo

Al inicio del aprendizaje el almacn puede ser declarativo, an no se ha procedimentalizado por lo que el trabajo es lento e impreciso.

5.3.4.2. Nmeros de pasos

En la suma los nios pequeos usan primero iteracin (+ 1); la de los mayores recupera informacin pertinente de la MLP, lo que la hace ms eficaz. Hay cinco procedimientos iterativos:a) Contar ambas cantidades, es el ms eficaz. b) Contar desde el primero sumando.c) Contar desde el segundo sumando.d) Contar desde el nmero menor.e) Contar desde el nmero mayor, es el ms eficaz.

5.3.4.3. Procedimientos compuestos

Los matemticos hbiles configuran los diversos pasos de clculo como un sistema de produccin reduciendo el nmero de ellos. Se encontr en estudiantes expertos un promedio de 2.7 pasos y en los principiantes uno de 3.7.

5.3.4.4. Estimaciones

Las estimaciones son aproximaciones tentativas a los resultados. su funcin es el actuar conjuntamente con el clculo y al llegar con ambos procedimientos a resultados similares, servir de comprobacin del clculo hecho. Las grandes discrepancias (no las pequeas) sealan error. Las estrategias de estimacin son tres:a) Reformulacin, redondear nmeros para hacerlos manejables. b) Traduccin, modificar la estructura del planteo por otra, ej.:492+504+487= 500x3.c) Compensacin, ajustes en una direccin que se equilibran con ajustes en otra.

5.3.5. Papel de la memoria5.3.5.1. Papel de la memoria de largo plazo

La memoria de largo plazo cumple tres roles fundamentales:

Integracin de la representacin (Larkin): es como se conectan y relacionan entre s los conceptos en forma rica y ordenada. Se explora por asociaciones sobre el tema, con rfagas asociadas a un concepto organizador: el experto produce bloques de tems, el inexperto los recupera al azar. Correspondencia con tema: debe haber un ajuste entre las ideas del sujeto sobre el tema con la estructura del contenido y la estructura de los expertos (libros de texto y enseanza). Se usan para estimarla mtodos de asociacin de palabras, agrupacin de tarjetas y tests grficos. Grado de conexin: relaciones del tema con otros conocimientos de la persona. Se estiman a partir de actuaciones y entrevistas. Por ejemplo el dominio de la resta implica conexiones con el conocimiento del valor posicional de las cifras.

5.3.5.2. Papel de la memoria de corto plazo

Siegel y Ryan compararon nios con problemas de lectura, con transtomos de atencin y con dificultades especificas de mtemticas. Todos tenan dos tareas, una verbal y otra numrica. La primera era decir las palabras que faltaban en frases. La segunda era identificar puntos amarillos, en tarjetas distribuidas al azar, entre puntos azules. Luego de cada tarea deban decir las palabras y los nmeros respectivamente y en el mismo orden. Los nios con dificultades especficas tenan puntuaciones bajas slo en la tarea numrica y no en la verbal.

5.4. RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Los problemas matemticos exigen para ser resueltos "comprensin matemtica", es decir saber cuando hay que utilizar un procedimiento u otro para solucionarlo. Es una utilizacin flexible y apropiada de los sistemas de proposiciones y producciones: este conjunto se denomina "organizacin del conocimiento".Segn Loftus y Suppes las variables de dificultad de un problema son las siguientes:a) Nmero de operaciones necesarias.b) Relacin de los procedimientos del problema con el anterior. c) Longitud lxica del enunciadod) Complejidad gradual del enunciado. e) Conversin de unidades de medida.

5.4.1. Organizacin del conocimiento

La organizacin del conocimiento especfico influye en la solucin de problemas de un campo dado porque gua la bsqueda de solucin. Una solucin rpida y precisa depende de la organizacin del conocimiento (DDC). Esta es como un mapa cognitivo de un rea determinada.

5.4.1.1. Estructura asociativa

La ODC de los expertos es muy similar con la estructura aceptada de un rea de estudios. Se puede investigar por asociaciones libres a partir de los. trminos claves del rea. Por ejemplo, Gagn estudi las asociaciones libres (5) a los trminos sumar, restar, multiplicar y exponente. Los conceptos de suma y resta estn ms prximos entre s que con el concepto exponente, pero sumar est ms cerca de exponente que restar.

5.4.1.2. Asociaciones post-estudio

Greeslin y Shavelson exploraron las asociaciones antes de estudiar (pre- test) y dos semanas despus (post-test) y dos semanas despus (retencin). En el post-test y la retencin el grupo experimental alcanz una ODC similar a la del texto.

5.4.1.3 Enunciados narrativos

Silver pidi a los sujetos ordenar 16 problemas en grupos relacionados matemticamente. Los problemas tenan dos clases de relaciones: por el contenido al tratar de igual tema como por ejemplo la agricultura; la otra relacin era el proceso: se tiliza el mismo procedimiento matemtico de solucin. Luego sobre la base de solucin a 12 de esos problemas se dividi a los sujetos en buenos, medios y malos solucionadores. Los buenos clasificaron los problemas casi totalmente por el proceso y los malos los clasificaron con ligero dominio por el contenido. Los medios tambin los clasificaron por el proceso.

5.4.2. Procesamiento cognitivo

El procesamiento cognitivo implica a qu se le presta atencin y qu se recuerda. Atender y recordar son dos aspectos claves del procesamiento cognitivo.

5.4.2.1. La atencin

Robinson y Hayes estudiaron la diferenciacin de los aspectos relevantes de un problema. Los buenos estudiantes se desempearon de la siguiente manera:

Los segmentos relevantes de los enunciados fueron identificados como tales en mayor proporcin que los irrelevantes (90-20 %). Si la pregunta se ubica al inicio del enunciado es ms probable identificar a la primera lectura los aspectos relevantes, que si se pone al final: la pregunta es orientadora. En la segunda lectura slo mejora la performance en los que haban ledo la pregunta al final.. Aspectos irreleventes no matemticos en ese contexto son ms proclives a la confusin.

5.4.2.2. La retencin

Mayer descubri que los estudiantes recordaban mejor los aspectos relevantes de los problemas que ms frecuentemente aparecen en los textos. Los estudiantes recordaran mejor las Proposiciones de asignacin (dar un valor numrico a una variable, ej.: el camin parti a las 13 horas) que las proposiciones de relacin (describir con un valor numrico la relacin entre dos variables, ej. un segundo camin viaja a la velocidad de 15 kms. Hora ms que el primero. Las proposiciones de asignacin son el 61 % de los enunciados de los problemas, las proposiciones de relacin son el 11 % en los textos. El 29 % de proposiciones de relacin se olvidan, frente a slo el 9 % de preposiciones de asignacin.

5.4.3. Solucin de problemas

Siguiendo a Resnick estudiaremos cuatro secuencias bsicas: repre- sentacin del problema, datos del problema, instrucciones del problema y soluciones del problema.

5.4.3.1. Representacin del problema

El sujeto identifica y codifica las caractersticas del problema para hacerlo interpretable por los mecanismos de procesamiento. Forma representaciones estableciendo vnculos entre el planteamiento del problema y su propia red semntica y procedimental (matemtica y espacial); participan aqu las habilidades lingsticas generales, el conocimiento del vocabulario matemtico y las imgenes que traducen icnicamente las caractersticas del problema.

5.4.3.2. Datos del problema

Se denomina entorno de la tarea pues comprende los elementos disponibles y que son percibidos. Suscitan informacin especfica e inspiran procedimientos determinados. El entorno tambin puede dar lugar a errores porque los datos orientan mal a la solucin. Este proceso se adecua al encarrilamiento o fijacin funcional de la Gestalt.

5.4.3.3. Instrucciones del problema

Activan esquemas representacionales en funcin del modo como se propagan. Katona experiment con tres instrucciones diversas para recordar un nmero largo: darlo en las centenas que lo componen (tres cifras), insertarlo como PBI de la nacin y proponerlo como una serie numrica. Activ tres tipos de estrategias con diferente eficacia cognitiva. Las instrucciones que facilitan representaciones ricas, inspirando el suso de conceptos pre-aprendidos, tiene un efecto diferente al de instrucciones para ejecutar rutinas ejercitadas.

5.4.3.4. Soluciones del problema

Una vez representado un problema, ste puede ser resuelto algortmicamente o no. En el primer caso la representacin adecuada es el paso ms importante, pues slo queda aplicar los procedimientos. Si la representacin no tiene solucin algortmica directa es fcil generar soluciones falsas y erradas; en este segundo caso el sujeto podr resolverlo s: a) detecta la no aplicabilidad de las rutinas que conoce; y b) desarrolla estrategias para localizar informacin pertinente o reconstruir lo que falta a partir de elementos asociados entre s. Las estrategias son:

Generacin y ensayo. Recorre la lista de elementos candidatos que se ajustan a un criterio, el cual define lo que hace falta hasta encontrar uno que los satisface.

Empleo de subobjetivos. Reformula objetivos parciales que avancen l-n direccin del objetivo final y resuelve primero los parciales. Los expertos son ms hbiles en esta estrategia: sus subobjetivos son resolubles. En esta estrategia las pistas que se ofrecen son entendidas en funcin de la representacin que del subobjetivo como problema tiene el sujeto.

5.5. PSICODIDCTICA NUMRICA

La psicodidctica numrica o algortmica se orienta a la matemtica tradicional y a sus componentes de clculo, problemas y aplicaciones. Se divide generalmente en cursos de Aritmtica, Algebra, Geometra y Clculo. En la educacin bsica se orienta al dominio de las operaciones con nmeros, sus mecanismos y las tablas correspondientes. Estudia y ejercita problemas modlicos de aplicacin. Pueden distinguirse en esta psicodidctica tres estrategias de enseanza-aprendizaje: ejercicios de Thorndike, acumulaciones de Gagn y rutinas de Resnick.

5.5.1. Los ejercicios de Thorndike

Se fundamenta en la ley del efecto descubierta por Thorndike en sus investigaciones sobre aprendizaje por ensayo y error, consistente en conexiones entre situacin y respuesta. Si la conexin se acompaa de un estado satisfactorio aumenta su fuerza, si el estado es poco o nada satisfactorio entonces disminuye.

5.5.1.1. Aplicacin educativa

El propsito pedaggico es establecer los vnculos y hbitos necesarios para el clculo y los problemas. Debe analizarse los temas educativos para establecer el inventario de conexiones necesarias, cada una de las cuales debe recibir tratamiento pedaggico.Las conexiones o vnculos pueden ser de dos tipos: propeduticos y cooperativos. Las conexiones propeduticas son utilizadas slo para facilitar nuevos aprendizajes y deben ser temporales; por ejemplo, multiplicar 5 X 4, sumando 5, 10, 15, 20, que deber ser sustituido por 5 X4 = 20. Las conexiones cooperativas son vnculos organizados subyacentesa operaciones largas y complejas, que requieran para ser adquiridas una prctica progresiva y cuidadosa.

5.5.1.2 Papel de la prctica

Los vnculos se crean ofreciendo cantidades de ejercicios adecuados en orden apropiado para cada tipo de tema, progresando de lo sencillo a lo complejo. Buswell demostr que pequeas cantidades de ejercicios frecuentes son mejores que largas concentraciones. Los ejercicios aislados pueden asentar lo recin aprendido y corregir respuestas equivocadas.

5.5.1.3. Crticas al modelo

Bronwell critic en su momento a Thorndike por no tener en cuenta:

a) que hay diferencias cualitativas entre los clculos del nio y los del adulto: el nio asume procedimientos propios; b) que el objetivo educativo es desarrollar la capacidad de pensar matemticamente y no slo resolver con precisin el 100% de listas de problemas.

5.5.2. Las acumulaciones de Gagn

En el aprendizaje acumulativo de Gagn las tareas sencillas funcionan como componentes de las ms complejas, permitiendo al aprender las sencillas transferir el aprendizaje a lo complejo. Las tareas se ordenan en una jerarqua de aprendizaje aplicable a todo conocimiento. Esta jerarqua abreviadamente consta de: a) resolucin de problemas, que requieren como requisitos b) reglas, principios y conceptos definidos, que requiere c) conceptos concretos, que requiere d) discriminaciones, que, finalmente requiere e) conexiones E-R.

5.5.2.1 Elaboracin y validacin de jerarquas

Se realizan por un anlisis racional de tareas; se identifican las destrezas y conocimientos esenciales, jerarquizados y configurados de arriba-abajo, necesarios para aprender una capacidad. Al anlisis del primer nivel de prerrequisito y as sucesivamente. Se ignoran los requisitos ms elementales. Hay que identificar claramente el objetivo final, el punto de partida y los pasos intermedios.Las jerarquas se validan por los procedimientos: a) escalamiento, medido por el dominio de los prerrequisitos con los signos + y -. Luego se ordena a los estudiantes por rendimiento en la tarea. Debe generarse una escala Guttman; b) entrenamiento, ejercitado en los prerrequisitos l un grupo experimental, su rapidez y calidad de aprendizaje debe ser mejor que el del grupo control similar, pero sin entrenamiento.

5.5.2.2. Aplicacin educativa

Hay dos condiciones para el xito de la accin educativa: dominio de prerrequisitos y secuenciacin de la enseanza: a) dominio de prerrequisito: el aprendizaje solo puede iniciarse cuando se conoce las tareas previas que saben y dominan los educandos; b) secuenciacin de la enseanza: es la aplicacin del ordenamiento de la enseanza de la jerarqua de aprendizaje y el anlisis de tareas. Las jerarquas especficas deben ser probadas empricamente. Son un mapa para la secuencia de enseanza.

5.5.3. Rutinas de Resnick

Esta psicodidctica est centrada en los pasos mentales necesarios a dar para resolver una tarea: son las exigencias a la memoria y a las habilidades. La secuencia de pasos mentales es una rutina.

5.5.3.1. Identificacin de rutinas

Son dos los procedimientos para identificar las rutinas: el anlisis hipottico y el anlisis de tarea:

a) El anlisis hipottico es un anlisis racional de los procesos y la elaboracin de un diagrama de flujo. Ej.: para el conteo de objetos mviles que se pueden tocar y mover a voluntad hay el siguiente diagrama de flujo:

ABCD

Extraer unobjeto del conjunto y decir la cifra unoExtraer unobjeto del conjunto y decir la cifra : dos, tres, etc..Existen msobjetos en el conjunto?Si NoDeclarar que laltima cifra corresponde al nmero del conjunto

En esta tarea no se usa necesariamente la memoria (los objetos contados pueden ser separados). Si los objetos no pueden moverse hay una tarea adicional: recordar los objetos tocados pero no movidos.

b) El anlisis de tareas se concreta en tres procedimientos bsicos: tiempo de reaccin, anlisis de protocolos y problemas en contexto. En el anlisis por tiempo de reaccin hay que hallar los diferentes tiempos por tareas y por soluciones iguales con diferente estrategia. Por ejemplo, en suma hay tres posibles estrategias: contador se pone en cero, contador parte del primer nmero, y contador parte del nmero mayor. Los resultados demuestran la inversin de ms tiempo con la primera estrategia y de menos tiempo con la tercera. En el anlisis de protocolos se pretende identificar procedimientos y errores. Los protocolos son registros lo ms completos posibles de lo que hace el sujeto al resolver un problema. Hay gran cantidad de estrategias poco ortodoxas. Los buenos matemticos usan algoritmos, los malos cometen errores. Estos no son causales sino sistemticos, derivados de su falta de comprensin. Finalmente el anlisis por programas en contexto somete a comparacin programas de computacin con anlisis de protocolos. Se ha descubierto que frente a los programas por ejemplo algebraicos (Bobrow) en los que la computadora primero divide el problema en frases, segundo traduce las frases a trminos algebraicos, tercero escribe con ellos ecuaciones y las resuelve, el sujeto humano tiene dos variantes: una, el conocimiento amplio de equivalencias de frases; y otra, el uso de representaciones fsicas de las que extrae informacin pertinente.

5.5.3.2 Aplicaciones educativas

La enseanza debe orientarse al dominio de rutinas con comprensin de la naturaleza sistemtica del algoritmo para su uso significativo. Debe superarse la incomprensin de los procedimientos y porque los errores no son casuales deben analizarse e identificarse las rutinas defectuosas usadas. La enseanza debe ajustarse a las dificultades individuales y respetar las estrategias propias si son matemticamente correctas y llevan a soluciones correctas. Debe insertarse en los siguientes aspectos educativos:

a) Doble codificacin: tanto verbal como icnica, no slo de problemas fsicos sino de cantidades.bbb

b) Automatizacin: el dominio incompleto de las rutinas (ej. las tablas) genera mucho error por sobrecarga de la memoria en el procesamiento. Si se trabaja con currculo en espiral y no se registra en la memoria desde el inicio valores numricos y algoritmos pertinentes y la prctica es escasa, habrn dificultades posteriores si ese dominio es incluido despus como componente de tareas ms complejas.

c) Transiciones en competencias: desde los procedimientos que utiliza el propio estudiante debe apoyarse mejores rutinas y estrategias, ensendolas y fomentando la invencin de rutinas ms eficientes.

d) Conexin de relaciones: la memoria semntica no slo debe asociar tems sino relacionarlos o con ms exactitud multirrelacionar los diversos componentes de dos o ms redes semnticas entre s.

e) Objetivos cognitivos: las redes semnticas deben concretizar objetivos cognitivos ampliando la estructura del conocimiento adems del rendimiento o conducta. Los objetivos deben centrarse en conocimiento y procedimientos; para especificarlos deben tenerse en cuenta los siguientes aspectos: conceptos de la estructura del contenido, pautas bien estructuradas del conocimiento y por ltimo, informacin emprica derivada de las estructuras del conocimiento de los expertos.

f) Enseanza de problemas: debe ser un eje en la enseanza cuidando, primero de dar conocimientos maximizando vnculos entre conocimientos bien estructurados y procedimientos; segundo tener en cuenta que los datos o entornos del problema son el estmulo primario para procesar la solucin; tercero, disear estrategias concretas de solucin de problemas, enseando a anticipar y visualizar las posibles diversas vas de accin antes de definir y proceder por una de ellas.

5.6. PSICODIDCTICA CONJUNTISTA

La psicodidctica conjuntista, estructural, lgica simblica o algebraica est orientada al dominio de las estructuras algebraicas fundamentales de la matemtica moderna. Sus partes son: el lgebra de conjuntos con temas como las operaciones entre conjuntos: disyuncin, unin, etc., las relaciones entre elementos del conjunto, tales como: funciones, productos, y equivalencia; y las estructuras de los conjuntos tales como grupo, anillo, reticulado y sus propiedades de transformacin y composicin: los nuevos conceptos de la matemtica moderna tienen un amplsimo rango de generalidad y un alto nivel de abstraccin, estas propiedades le conceden mayor rigor lgico, un alto nivel de exigencia intutitiva y formalista y en consecuencia, segn sus defensores, una mayor capacidad para reconocer por "tacto" lo relevante e importante matemticamente. Sus detractores se basan en esas mismas caractersticas para criticar sus dificultades de aplicabilidad.Son tres las psicodidcticas que se han orientado preferentemente a la matemtica moderna: la comprensin de Gestalt, el descubrimiento de Bruner y el constructivismo de Dienes.

5.6.1. La comprensin de la Gestalt

Los conceptos fundamentales de la Gestalt con relevancia para las matemticas son los de forma, insight y pensamiento productivo.

a) Forma (Wertheimer): el perceptor aporta a la percepcin la configuracin, que es ms que la simple suma de elementos bajo las reglas de la pregnancia o buena forma.

b) Insight (Kohler): inteleccin sbita de una situacin problema que reorganiza la situacin en forma repentina y espontnea. Procede de la reestructuracin de los elementos del problema que se ven en un nuevo contexto. Son famosos los experimentos realizados por Kohler con chimpancs.

c) Pensamiento productivo (Duncker): elaboracin nueva, no reproductiva ante un problema. La solucin productiva no es tan slo un paso a partir del planteamiento del problema. Inicialmente surge el principio o valor funcional de la solucin. Este principio se logra concretizar ms y ms. Las propiedades generales o esenciales de una solucin son anteriores a las especficas: stas se derivan de aquellas.

5.6.1.2. Aplicaciones educativas

a) Aprendizaje comprensivo. Orientar al sujeto al descubrimiento de los principios, estructura o relaciones subyacentes es mejor que un aprendizaje sin sentido: mejora la atencin, la transferencia y la capacidad de reconstruir la solucin. Katona esperiment con nmeros de trece cifras frente a las que los sujetos podan asumir tres tareas.

Primera: repetir tres veces el nmero por grupo de tres cifras (centenas). Segundo: recordarlo como PBI del pas. Tercera: aprenderla como una serie numrica. El mejor resultado a la semana, pues todos los grupos pudieron recitarla inmediatamente, fue el del grupo tercero que recordaba perfectamente la serie porque haba descubierto la ley de su formacin para aprenderla. El segundo grupo recordaba la cifra aproximada del valor PBI. El tercero no recordaba nada.

b) Facilitacin del insight (Polya). Consiste en dar pistas y apoyos para descubrir las estructuras subyacentes cuando se trabaja un problema: son heursticos orientados a cuatro estrategias secuenciales. Primera: comprender el problema, identificar datos e incgnita. Segundo: desarrollar un plan hacia la solucin estableciendo las relaciones entre datos e incgnita usando problemas relacionados, replanteamiento, rodeos, etc. Tercero: ejecutar el plan comprobando la correccin de cada paso. Cuarto: examinar la solucin obtenida y su congruencia con los datos y la incgnita.

5.6.2. El descubrimiento de Bruner

Las siguientes son las dos caractersticas esenciales del aprendizaje por descubrimiento: a) es producido por una indagacin activa ante un problema cuya solucin genera un conocimiento ms profundo y completo, y b) debe reconocerse la situacin y activarse los recursos cognitivos necesarios para procesar un producto que la satisfaga.Segn Glazer tiene caractersticas de aprendizaje inductivo por ~r de los ejemplos a las reglas. Tambin se ha sealado que es un aprendizaje con errores, porque el sujeto agrega su propia estructura a la secuencia instructiva propuesta. Debe orientrsele a sacar provecho de sus errores y a reducir stos al mnimo posible.

5.6.2.1 Principios del descubrimiento Son cuatro los principios propuestos:

a) Principio de sencillez: todo problema o cuerpo de conocimientospuede ofrecerse en forma sencilla como para que cualquier estudiante determinado 10 pueda comprender en forma reconocida.

b) Principio de la representacin: el conocimiento de un campo se desarrolla ordenada y evolutivamente en una secuencia de formas representacionales: enactiva, icnica y simblica, es decir en accin, imgenes y pensamiento verbal.

c) Principio del proceso: el descubrimiento estimula un modo de aprender operando y anima al desarrollo de una concepcin matemtica ms como proceso que como producto.

d) Principio de la satisfaccin: el descubrimiento es no intrn- secamente gratificante por lo que requieren formas extrnsecas de premio.5.6.2.2. Tipos de descubrimiento

Bigg propuso cinco tipos de aprendizaje por descubrimiento. Reduciremos su propuesta a slo tres tipos.

a) Fortuito y libre: es muy aleatorio y no garantiza aprendizaje. b) Guiado: apoyado en funcin de la actuacin del sujeto.e) Dirigido y programado: es contradictorio a los mismos principios del descubrimiento, no se puede garantizar su eficacia.

El aprendizaje por descubrimiento no es absolutamente generalizable y exige altas condiciones profesionales y pedaggicas del profesor.

5.6.3. El constructivismo de Dienes

Est basado en los aportes psicoevolutivos de Piaget y de Bruner, y en una concepcin estructuralista de la matemtica moderna.

5.6.3.1 Principios fundamentales

a) Principio dinmico: se supondrn primero juegos preliminares estructurados y prcticos, dan la experiencia indispensable. En los mayores puede hacerse juegos mentales.

b) Principio constructivo en la estructuracin secuencia! de los juegos la construccin preceder siempre al anlisis reflexivo. Este est generalmente ausente hasta los doce aos.

c) Principio de variabilidad matemtica: los conceptos con ms de una variable deben ser estudiados con experiencias que supongan el manejo del mayor nmero posible de esas variables.

d) Principio de variabilidad perceptiva: es una exigencia de con- cretizacin mltiple, la misma estructura conceptual deber presentarse en tantas formas perceptivas equivalentes como sea posible.

5.6.3.2. Etapas didcticas

La didctica constructivista se ofrece en un modelo cclico, es una secuencia en sus etapas, tres de ellas ldicas y las otras tres representacionales.

Las primeras etapas son ldicas. La primera es de libertad: manipulacin libre de los materiales concretos y descubrimiento de sus propiedades. La segunda es de reglas: con los mismos materiales inventa o aplica reglas, debe hacrseles conscientes de los cambios de reglas. La tercera es de comparaciones: se comparan los juegos reglados par a par, encontrando semejanzas, diferencias, clases y tipos de juego.

Las ltimas tres etapas son representacionales. La primera es espacial: realiza diagramas o diseos con la estructura comn a los tipos de juego. La segunda es simblica: determinacin de un lenguaje para las propiedades comunes a los juegos. La tercera es formalizada: organizacin de un sistema ordenado de las propiedades de cada tipo de Juego.

DISCUSIN

Luego de habernos planteado identificar los problemas ms frecuentes durante la enseanza de las matemticas, conocer los estilos de aprendizaje que se encuentran en estudiantes y estilos de enseanza en docentes, explicar cul es el aporte de la psicologa en la enseanza de las matemticas, podemos referir que las personas pertenecientes al grupo se encuentran de acuerdo con la informacin que se manej y todo lo que revela las distintas fuentes bibliogrficas con las que se trabaj.

El grupo puede afirmar que el aprendizaje de las matemticas es un proceso muy importante, el cual empieza en la niez como muchas otras reas que desarrollara la persona, pero que a lo largo del camino recorrido no pierde importancia en ningn momento ya que es un proceso que depende de los conocimientos previos como tambin de los que se va asimilando de manera continua. Tambin es importante mencionar el tema de la actitud, que es un tema critico en la actualidad en la enseanza de las matemticas y dems materias impartidas, ya que no solo se habla del tema de la actitud referida al nio con las matemticas que debera ser positiva y de predisposicin, sino tambin a la actitud que imprime el profesor en su enseanza en los mtodos que usa , la apertura a nuevas forma de enseanza, la importancia que le da a que sus alumnos aprendan mediante las estrategias necesarias y no solo buscar el camino que le parezca mejor ya que como se trat en el desarrollo de este tema, observamos los distintos estilos de aprendizaje de los alumnos y las distintas formas en que puede el profesor ensear.

Otro tema relevante y con el que es grupo se encontr gratamente sorprendido fue por toda la informacin reunida referida a la cantidad de aportaciones que ha realizado la psicologa educativa al rea educacional, especficamente al rea de las matemticas, rea que no es ajena a los aportes de la psicologa educativa.

CONCLUSIONES

PRIMERALos problemas ms frecuentes durante la enseanza de las matemticas son referidas a que los sujetos van extrayendo una serie de atributos y formando un conjunto de creencias que toma el estudiante a la hora de la aprender. SEGUNDALos estilos de aprendizaje de las matemticas en los estudiantes tenemos al estilo activo, reflexivo y pragmtico y a los tipos de enseanza de los docentes se habla de la matematizacin. TERCERALos aportes de la Psicologa Educativa son numerosos en el campo de la Pedagoga. Su aporte en el mbito de los mtodos de enseanza ayuda la mejor clasificacin de las diferentes estrategias de enseanza-aprendizaje.CUARTAFinalmente cabe constatar que a la hora de hablar de las habilidades para l