Primzahlen und Primzahlen und ihre Verteilungihre Verteilung
Warum beschäftigt man Warum beschäftigt man sich mit Primzahlen?sich mit Primzahlen?
Warum beschäftigt man Warum beschäftigt man sich mit Primzahlen?sich mit Primzahlen?
Primzahlen sind die „Atome“ der Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen Zahlen (Eindeutige natürlichen Zahlen (Eindeutige Primfaktorzerlegung!)Primfaktorzerlegung!)
Warum beschäftigt man Warum beschäftigt man sich mit Primzahlen?sich mit Primzahlen?
Primzahlen sind die „Atome“ der Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen Zahlen (Eindeutige natürlichen Zahlen (Eindeutige Primfaktorzerlegung!)Primfaktorzerlegung!)
Primzahlentheorie findet in der modernen Primzahlentheorie findet in der modernen Kryptographie Anwendung z.B. RSA:Kryptographie Anwendung z.B. RSA:
Prinzip: Prinzip: Multiplikation von Primzahlen Multiplikation von Primzahlen
ist „leicht“ist „leicht“
Aufspaltung von großen Aufspaltung von großen Zahlen Zahlen in ihre Primteiler ist in ihre Primteiler ist „schwer“ „schwer“
Warum beschäftigt man Warum beschäftigt man sich mit Primzahlen?sich mit Primzahlen?
Primzahlen sind die „Atome“ der Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen Zahlen (eindeutige natürlichen Zahlen (eindeutige Primfaktorzerlegung!)Primfaktorzerlegung!)
Primzahlentheorie findet in der Primzahlentheorie findet in der modernen Kryptographie modernen Kryptographie Anwendung (z.B. RSA)Anwendung (z.B. RSA)
Primzahlen spielen eine wichtige Primzahlen spielen eine wichtige Rolle in der modernen ZahlentheorieRolle in der modernen Zahlentheorie
Definition Definition
Eine natürliche Zahl n heißt Eine natürliche Zahl n heißt Primzahl, wenn sie Primzahl, wenn sie genaugenau 2 2 Teiler hat.Teiler hat.
Merke: 1 ist nicht prim!Merke: 1 ist nicht prim!
Definition Definition
Eine natürliche Zahl n heißt Eine natürliche Zahl n heißt Primzahl, wenn sie Primzahl, wenn sie genaugenau 2 2 Teiler hat.Teiler hat.
Merke: 1 ist nicht prim!Merke: 1 ist nicht prim!
In dieser Darstellung werden folgende In dieser Darstellung werden folgende Konventionen benutzt:Konventionen benutzt:
p bezeichnet immer eine Primzahlp bezeichnet immer eine PrimzahlP P bezeichnet die Menge aller Primzahlenbezeichnet die Menge aller Primzahlen
Primzahlentheorie in der Primzahlentheorie in der AntikeAntike
Es ist nicht genau bekannt wann Menschen das Es ist nicht genau bekannt wann Menschen das erste Mal über Primzahlen nachdachtenerste Mal über Primzahlen nachdachten
Erstes Wissen über Primzahlen nachweisbar Erstes Wissen über Primzahlen nachweisbar bei den antiken Griechen, genauer bei den bei den antiken Griechen, genauer bei den Pythagoräern ca. 500-300 v.Chr.Pythagoräern ca. 500-300 v.Chr.
Um 300 v.Chr.: Euklids Elemente Buch IX: Der Um 300 v.Chr.: Euklids Elemente Buch IX: Der Beweis für die Existenz von unendlich vielen Beweis für die Existenz von unendlich vielen Primzahlen.Primzahlen.
200 v.Chr.: Das Sieb des Eratosthenes 200 v.Chr.: Das Sieb des Eratosthenes (Algorithmus zur Bestimmung von Primzahlen (Algorithmus zur Bestimmung von Primzahlen bis zu einer Zahl x)bis zu einer Zahl x)
Das antike ChinaDas antike China
Die antiken Die antiken Chinesen Chinesen beschäftigten sich beschäftigten sich mit Primzahlen im mit Primzahlen im Rahmen ihrer Rahmen ihrer Zahlenmystik.Zahlenmystik.
In der chinesischen In der chinesischen Vorstellung waren Vorstellung waren ungerade Zahlen ungerade Zahlen männlich und gerade männlich und gerade weiblich. Ungerade weiblich. Ungerade Zahlen mit vielen Zahlen mit vielen Teilern galten als Teilern galten als „unmännlich“. „unmännlich“. Primzahlen galten Primzahlen galten daher als besonders daher als besonders männlich männlich
Das antike ChinaDas antike China
Die antiken Chinesen Die antiken Chinesen beschäftigten sich mit beschäftigten sich mit Primzahlen im Primzahlen im Rahmen ihrer Rahmen ihrer Zahlenmystik.Zahlenmystik.
Sie stellten jedoch Sie stellten jedoch auch einige auch einige Vermutungen auf, die Vermutungen auf, die erst von Fermat erst von Fermat bewiesen werden bewiesen werden konntenkonnten
Das antike China Das Das antike China Das MittelalterMittelalter
Die antiken Chinesen Die antiken Chinesen beschäftigten sich beschäftigten sich mit Primzahlen im mit Primzahlen im Rahmen ihrer Rahmen ihrer Zahlenmystik.Zahlenmystik.
Sie stellten jedoch Sie stellten jedoch auch einige auch einige Vermutungen auf, Vermutungen auf, die erst von Fermat die erst von Fermat bewiesen werden bewiesen werden konntenkonnten
Keine Keine Weiterentwicklung Weiterentwicklung der der Primzahlentheorie.Primzahlentheorie.
Primzahltheorie nach dem Primzahltheorie nach dem MittelalterMittelalter
Die ersten neuen Erkenntnisse zur Die ersten neuen Erkenntnisse zur Primzahltheorie wurden durch Primzahltheorie wurden durch Fermat und Mersenne erzielt:Fermat und Mersenne erzielt:
Mersennesche Primzahlen:Mersennesche Primzahlen:
Nicht jede Zahl dieser Form ist prim!Nicht jede Zahl dieser Form ist prim!
Die größte bekannte Die größte bekannte PrimzahlPrimzahl
Die größte bekannte Primzahl ist eine Die größte bekannte Primzahl ist eine Mersennesche Primzahl und wurde am Mersennesche Primzahl und wurde am 14.12.2005 durch GIMPS* entdeckt:14.12.2005 durch GIMPS* entdeckt:
Eine Zahl die 9.152.052 Dezimalstellen Eine Zahl die 9.152.052 Dezimalstellen lang ist. lang ist.
*(Great Internet Mersenne Prime Search) *(Great Internet Mersenne Prime Search)
Leonard Euler und die Leonard Euler und die PrimzahlenPrimzahlen
Euler fand einen weiteren Beweise Euler fand einen weiteren Beweise für die Existenz von unendlich vielen für die Existenz von unendlich vielen Primzahlen. Primzahlen.
Dieser stand im engen Dieser stand im engen Zusammenhang zur Eulerschen Zusammenhang zur Eulerschen Zetafunktion:Zetafunktion:
Eulers Beweis für die Eulers Beweis für die Existenz von unendlich Existenz von unendlich
vielen Primzahlenvielen Primzahlen
Leonard Euler und die Leonard Euler und die PrimzahlenPrimzahlen
Darüber hinaus bewies er weitere Darüber hinaus bewies er weitere Zusammenhänge zur Primzahlverteilung: Zusammenhänge zur Primzahlverteilung:
daraus folgerte er, dass Primzahlen dichter daraus folgerte er, dass Primzahlen dichter in N liegen als Quadratzahlen.in N liegen als Quadratzahlen.
Euler führte außerdem als erster Euler führte außerdem als erster analytische Methoden in die Zahlentheorie analytische Methoden in die Zahlentheorie ein!ein!
Wie sind die Primzahlen in Wie sind die Primzahlen in den natürlichen Zahlen den natürlichen Zahlen
verteilt? verteilt? Betrachte die Funktion Betrachte die Funktion
Einige Werte für π(x)Einige Werte für π(x)
xx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …11 …
π(x)π(x) 0 1 2 2 3 3 4 4 4 4 50 1 2 2 3 3 4 4 4 4 5
Wie sind die Primzahlen in Wie sind die Primzahlen in den natürlichen Zahlen den natürlichen Zahlen
verteilt?verteilt?Betrachten wir zunächst den Graph Betrachten wir zunächst den Graph
von π(x) im Zahlenraum bis 100:von π(x) im Zahlenraum bis 100:
π(x) im Bereich π(x) im Bereich
[0,100][0,100]
Wie sind die Primzahlen in Wie sind die Primzahlen in den natürlichen Zahlen den natürlichen Zahlen
verteilt?verteilt? Die Grafik verdeutlicht, dass die Die Grafik verdeutlicht, dass die
Funktion π(x) unregelmäßig Ihren Funktion π(x) unregelmäßig Ihren Funktionswert ändert.Funktionswert ändert.
Es stellt sich die Frage, ob es Es stellt sich die Frage, ob es möglich ist, eine elementare möglich ist, eine elementare Funktion anzugeben, welche die Funktion anzugeben, welche die Anzahl der Primzahlen bis zu einer Anzahl der Primzahlen bis zu einer Zahl x angibt. Zahl x angibt.
Wie sind die Primzahlen in Wie sind die Primzahlen in den natürlichen Zahlen den natürlichen Zahlen
verteilt?verteilt?Wollen wir eine elementare Funktion Wollen wir eine elementare Funktion
finden, die π(x) angibt, so stoßen wir finden, die π(x) angibt, so stoßen wir zunächst auf ein Problem:zunächst auf ein Problem:
Es gibt beliebig große Primzahllücken!Es gibt beliebig große Primzahllücken!
Eine Primzahllücke ist ein Intervall Eine Primzahllücke ist ein Intervall der natürlichen Zahlen in dem der natürlichen Zahlen in dem keinekeine Primzahl existiert. Beispiel: [8,10]Primzahl existiert. Beispiel: [8,10]
Existenz von beliebig Existenz von beliebig großen Primzahllücken.großen Primzahllücken.
Beweis:Beweis:Betrachte k aus N. Bilde [k!+2,k!+k]. Betrachte k aus N. Bilde [k!+2,k!+k]. Für jede Zahl Für jede Zahl n aus [k!+2,k!+k] gilt: sie aus [k!+2,k!+k] gilt: sie
wird von mindestens einer Zahl 2,3,…,k wird von mindestens einer Zahl 2,3,…,k geteilt. geteilt.
Damit ist n keine Primzahl! Damit ist n keine Primzahl!
Es existieren also beliebig große Es existieren also beliebig große Bereiche in den natürlichen Zahlen, die Bereiche in den natürlichen Zahlen, die keine Primzahlen enthaltenkeine Primzahlen enthalten
Wie können wir dennoch Wie können wir dennoch etwas über die Verteilung etwas über die Verteilung
von P in N erfahren?von P in N erfahren?Wir müssen eine Funktion finden die Wir müssen eine Funktion finden die
π(x) approximiert!π(x) approximiert!
Ist dies möglich?Ist dies möglich?
Wie können wir dennoch Wie können wir dennoch etwas über die Verteilung etwas über die Verteilung
von P in N erfahren?von P in N erfahren?Wir müssen eine Funktion finden die Wir müssen eine Funktion finden die
π(x) approximiert!π(x) approximiert!
Ist dies möglich?Ist dies möglich?
- Ja! Betrachte π(x) auf einem - Ja! Betrachte π(x) auf einem größeren Intervall:größeren Intervall:
π(x) im Bereich der ersten π(x) im Bereich der ersten 800 Primzahlen800 Primzahlen
π(x) im Bereich der ersten π(x) im Bereich der ersten 8000 Primzahlen8000 Primzahlen
Wie können wir dennoch Wie können wir dennoch etwas über die Verteilung etwas über die Verteilung
von P in N erfahren?von P in N erfahren?Wir müssen eine Funktion finden die π(x) Wir müssen eine Funktion finden die π(x)
approximiert!approximiert!
Betrachte π(x) auf einem größeren Intervall:Betrachte π(x) auf einem größeren Intervall:π(x) scheint sich global in Form einer π(x) scheint sich global in Form einer
stetigen Funktion annähern zu lassen. stetigen Funktion annähern zu lassen. Dabei gilt jedoch, dass π(x) lokal immer Dabei gilt jedoch, dass π(x) lokal immer
unstetig bleibt, und somit auf keinem unstetig bleibt, und somit auf keinem Intervall mit einer stetigen Funktion Intervall mit einer stetigen Funktion übereinstimmen kann!übereinstimmen kann!
Wie können wir dennoch Wie können wir dennoch etwas über die Verteilung etwas über die Verteilung
von P in N erfahren?von P in N erfahren?Definition:Definition:
Eine Funktion f(x) heißt asymptotisch Eine Funktion f(x) heißt asymptotisch gleich zu einer Funktion g(x) wenn gilt:gleich zu einer Funktion g(x) wenn gilt:
In Zeichen f(x)~g(x)In Zeichen f(x)~g(x)
d.h. der Funktionswert der Funktionen ist d.h. der Funktionswert der Funktionen ist für beliebig große x annähernd gleich.für beliebig große x annähernd gleich.
Gauß 1792 und Legendre Gauß 1792 und Legendre 17981798
Beim Studium von Logarithmentafeln Beim Studium von Logarithmentafeln und Primzahltabellen entdeckte C.F. und Primzahltabellen entdeckte C.F. Gauß einen Zusammenhang zwischen Gauß einen Zusammenhang zwischen den Logarithmen und der Primzahlen in den Logarithmen und der Primzahlen in N.N.
Er stellte folgende Vermutung auf, Er stellte folgende Vermutung auf,
konnte diese jedoch nicht beweisen.konnte diese jedoch nicht beweisen.
Gauß 1792 und Legendre Gauß 1792 und Legendre 17981798
Legendre stieß ebenfalls auf die Gauß‘sche Legendre stieß ebenfalls auf die Gauß‘sche Vermutung und veröffentlichte diese 1798.Vermutung und veröffentlichte diese 1798.
Die besondere Leistung von Gauß und Die besondere Leistung von Gauß und Legendre liegt darin, dass Sie den Legendre liegt darin, dass Sie den Zusammenhang zwischen Logarithmen und Zusammenhang zwischen Logarithmen und Primzahlen erkennen konnten, ohne unsere Primzahlen erkennen konnten, ohne unsere (wesentlich erweiterten) Primzahltabellen(wesentlich erweiterten) Primzahltabellen
Es zeigte sich jedoch bald, dass die Es zeigte sich jedoch bald, dass die Funktion π(x) für große x nur sehr schlecht Funktion π(x) für große x nur sehr schlecht approximiert.approximiert.
Ziel: genauere Ziel: genauere Abschätzungen für π(x) Abschätzungen für π(x)
Legendre fand daraufhin die (für Legendre fand daraufhin die (für kleine x) genauere Abschätzung:kleine x) genauere Abschätzung:
Heute wissen wir, dass die bessere Heute wissen wir, dass die bessere Wahl für die Konstante 1 gewesen Wahl für die Konstante 1 gewesen wäre! Diese Abschätzung konnte wäre! Diese Abschätzung konnte Legendre noch nicht treffen! Legendre noch nicht treffen!
Ziel: genauere Ziel: genauere Abschätzungen für π(x)Abschätzungen für π(x)
Gauß vermutete dagegen:Gauß vermutete dagegen:
Li ist der Li ist der Integrallogarithmus Integrallogarithmus
Eine Abschätzung die sich auch für große x als Eine Abschätzung die sich auch für große x als erstaunlich genau herausstellte! erstaunlich genau herausstellte!
Ziel: genauere Ziel: genauere Abschätzungen für π(x)Abschätzungen für π(x)
Gauß konnte jedoch auch diese Gauß konnte jedoch auch diese Vermutung nicht beweisen!Vermutung nicht beweisen!
Anmerkung: Anmerkung: Die Aussage Li(x)~ π(x) ist äquivalent zu Die Aussage Li(x)~ π(x) ist äquivalent zu
da Li(x) ebenfalls asymptotisch gleich zu da Li(x) ebenfalls asymptotisch gleich zu der der
Funktion ist. Funktion ist.
Die Güte der Approximation Die Güte der Approximation von π(x) von π(x)
Betrachten wir im Folgenden die Betrachten wir im Folgenden die Graphen von Graphen von
1. π(x) 1. π(x)
2. 2.
3. Li(x)3. Li(x)
im Bereich der Zahlen bis 1000 und im Bereich der Zahlen bis 1000 und im Bereich bis 100.000im Bereich bis 100.000
Die Güte der Approximation Die Güte der Approximation von π(x)von π(x)
Die Grafik lässt erkennen, dass Li(x), Die Grafik lässt erkennen, dass Li(x), π(x) für große x besser approximiert π(x) für große x besser approximiert als als
Die Grafik verleitet zu der Annahme, Die Grafik verleitet zu der Annahme, dass die Beziehung Li(x)> π(x) für alle dass die Beziehung Li(x)> π(x) für alle x gilt. Man kann jedoch zeigen, dass x gilt. Man kann jedoch zeigen, dass für große x genauso häufig für große x genauso häufig
Li(x)< π(x) oder Li(x)= π(x) gilt. Li(x)< π(x) oder Li(x)= π(x) gilt.
Pafnuty Tschebyscheff Pafnuty Tschebyscheff (1821-1894)(1821-1894)
Russischer AdeligerRussischer Adeliger Um 1850:Um 1850:
wenn wenn existiert, dann ist existiert, dann ist der der Grenzwert 1Grenzwert 1
Pafnuty Tschebyscheff Pafnuty Tschebyscheff (1821-1894)(1821-1894)
Russischer AdeligerRussischer Adeliger Um 1850:Um 1850:
wenn wenn existiert, dann ist existiert, dann ist der der Grenzwert 1Grenzwert 1
Bewies die Abschätzung:Bewies die Abschätzung:
Pafnuty Tschebyscheff Pafnuty Tschebyscheff (1821-1894)(1821-1894)
Konnte außerdem das Bertrandsche Konnte außerdem das Bertrandsche Postulat beweisen:Postulat beweisen:
Tschebyscheff konnte zwar die Tschebyscheff konnte zwar die Gaußsche Vermutung nicht beweisen, Gaußsche Vermutung nicht beweisen, lieferte jedoch wichtige lieferte jedoch wichtige Zwischenergebnisse auf dem Weg zu Zwischenergebnisse auf dem Weg zu einem Beweis!einem Beweis!
Bernhard RiemannBernhard Riemann Untersuchte ebenfalls die Eulersche Untersuchte ebenfalls die Eulersche
Zetafunktion, erweiterte den Zetafunktion, erweiterte den Definitionsbereich jedoch auf komplexe Definitionsbereich jedoch auf komplexe Zahlen!Zahlen!
Riemanns Untersuchungen führten zum Riemanns Untersuchungen führten zum Beweis der Gauß`schen Vermutung.Beweis der Gauß`schen Vermutung.
Der PrimzahlsatzDer Primzahlsatz
Beweis der Gaußschen Vermutung Beweis der Gaußschen Vermutung 1898 durch Hadamard und 1898 durch Hadamard und (unabhängig davon) von de La Vallee (unabhängig davon) von de La Vallee de Poisson:de Poisson:
Der PrimzahlsatzDer Primzahlsatz
Beweis der Gaußschen Vermutung 1898 durch Beweis der Gaußschen Vermutung 1898 durch Hadamard und (unabhängig davon) von de La Hadamard und (unabhängig davon) von de La Vallee de Pouisson:Vallee de Pouisson:
Der Beweis erfolgte durch den Nachweis, dass Der Beweis erfolgte durch den Nachweis, dass
Kein Kein elementarer (d.h. auf den reellen Zahlen)elementarer (d.h. auf den reellen Zahlen) basierender Beweis!basierender Beweis!
Der elementare Beweis des Der elementare Beweis des PrimzahlsatzesPrimzahlsatzes
Konnte erst 1948 von P. Erdös und A. Konnte erst 1948 von P. Erdös und A. Selberg erbracht werden.Selberg erbracht werden.
Der elementare Beweis konnte mit Hilfe Der elementare Beweis konnte mit Hilfe neuer, von Selberg entdeckter, neuer, von Selberg entdeckter, Siebmethoden geführt werden. Die Siebmethoden geführt werden. Die Entdeckung des Beweises führte zum Entdeckung des Beweises führte zum Streit zwischen Selberg und Erdös, der Streit zwischen Selberg und Erdös, der erst nach einiger Zeit beigelegt werden erst nach einiger Zeit beigelegt werden konnte. konnte.
Die Riemannsche Die Riemannsche VermutungVermutung
Bernhard Riemann fand bei der Bernhard Riemann fand bei der Untersuchung der Zetafunktion im Untersuchung der Zetafunktion im komplexen folgende Vermutung:komplexen folgende Vermutung:
Diese Vermutung ist bis heute Diese Vermutung ist bis heute unbewiesen, sie wird Riemannsche unbewiesen, sie wird Riemannsche Vermutung genannt.Vermutung genannt.
Die Riemannsche Die Riemannsche VermutungVermutung
Die so genannten trivialen Nullstellen:Die so genannten trivialen Nullstellen:
Man kann zeigen, dass die Zetafunktion auf Man kann zeigen, dass die Zetafunktion auf den negativen Zahlen fortsetzbar ist den negativen Zahlen fortsetzbar ist
Dort hat die Funktion Nullstellen, die sie an Dort hat die Funktion Nullstellen, die sie an Vielfachen von s = - 2 annimmt.Vielfachen von s = - 2 annimmt.
Diese Nullstellen werden die trivialen Diese Nullstellen werden die trivialen Nullstellen der Zetafunktion genannt. Nullstellen der Zetafunktion genannt.
(siehe auch Prachar, Karl: Primzahlverteilung (siehe auch Prachar, Karl: Primzahlverteilung Berlin 1957)Berlin 1957)
Die Riemannsche Die Riemannsche VermutungVermutung
Warum ist die Riemansche Vermutung Warum ist die Riemansche Vermutung wichtig für die Verteilung von wichtig für die Verteilung von Primzahlen?Primzahlen?
Die Riemannsche Die Riemannsche VermutungVermutung
Warum ist die Riemansche Vermutung Warum ist die Riemansche Vermutung wichtig für die Verteilung von wichtig für die Verteilung von Primzahlen?Primzahlen?
H. Koch konnte 1901 zeigen, dass die H. Koch konnte 1901 zeigen, dass die Riemannsche Vermutung äquivalent Riemannsche Vermutung äquivalent ist zu:ist zu:
Die Riemannsche Die Riemannsche VermutungVermutung
H. Koch konnte 1901 zeigen, dass die H. Koch konnte 1901 zeigen, dass die Riemannsche Vermutung äquivalent ist zu:Riemannsche Vermutung äquivalent ist zu:
Die Riemannsche Vermutung ermöglicht Die Riemannsche Vermutung ermöglicht damit eine Abschätzung der Güte der damit eine Abschätzung der Güte der Approximation. Approximation.
Sie liefert also direkt Informationen über Sie liefert also direkt Informationen über die Verteilung der Primzahlen in N. die Verteilung der Primzahlen in N.
Die Riemannsche Die Riemannsche VermutungVermutung
Ein Beweis der Riemannsche Ein Beweis der Riemannsche Vermutung könnte wichtige Vermutung könnte wichtige Informationen über die Verteilung Informationen über die Verteilung der Primzahlen liefern!der Primzahlen liefern!
Sie ist eines der Sie ist eines der Jahrtausendprobleme des Clay Jahrtausendprobleme des Clay Mathematics InstitutsMathematics Instituts
ZusammenfassungZusammenfassung
Primzahlen sind die „Atome“ der Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen Zahlennatürlichen Zahlen
ZusammenfassungZusammenfassung
Primzahlen sind die „Atome“ der Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen Zahlennatürlichen Zahlen
Einige offene Fragen in der Einige offene Fragen in der Zahlentheorie beziehen sich direkt Zahlentheorie beziehen sich direkt auf die Theorie der Primzahlen.auf die Theorie der Primzahlen.
ZusammenfassungZusammenfassung
Primzahlen sind die „Atome“ der Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen Zahlennatürlichen Zahlen
Einige offene Fragen in der Einige offene Fragen in der Zahlentheorie beziehen sich direkt Zahlentheorie beziehen sich direkt auf die Theorie der Primzahlen.auf die Theorie der Primzahlen.
Die Riemannsche Vermutung liefert Die Riemannsche Vermutung liefert wichtige Informationen zur wichtige Informationen zur Verteilung der PrimzahlenVerteilung der Primzahlen
ZusammenfassungZusammenfassung
Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen ZahlenZahlen
Einige offene Fragen in der Zahlentheorie Einige offene Fragen in der Zahlentheorie beziehen sich direkt auf die Theorie der beziehen sich direkt auf die Theorie der Primzahlen.Primzahlen.
Die Riemannsche Vermutung liefert wichtige Die Riemannsche Vermutung liefert wichtige Informationen zur Verteilung der PrimzahlenInformationen zur Verteilung der Primzahlen
Primzahlen finden vielfältige Anwendung in der Primzahlen finden vielfältige Anwendung in der modernen Welt (ohne sie gibt es kein RSA, modernen Welt (ohne sie gibt es kein RSA, womit e-commerce in der uns heute womit e-commerce in der uns heute bekannten Weise nicht möglich wäre)bekannten Weise nicht möglich wäre)
Quellen und weiterführende Quellen und weiterführende LiteraturLiteratur
Prachar, Karl: Primzahlverteilung Berlin Prachar, Karl: Primzahlverteilung Berlin 19571957
du Sautoy, Marcus: Die Musik der du Sautoy, Marcus: Die Musik der Primzahlen, München 2003Primzahlen, München 2003
Ischebeck, Friedrich: Einladung zur Ischebeck, Friedrich: Einladung zur Zahlentheorie, Zürich 1992Zahlentheorie, Zürich 1992
Loo Keng, Hua: Introduction to number Loo Keng, Hua: Introduction to number theory, Peking 1982theory, Peking 1982
http://primes.utm.edu/howmany.shtmlhttp://primes.utm.edu/howmany.shtml http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/
HistTopics/Prime_numbers.htmlHistTopics/Prime_numbers.html http://www.mersenne.org/http://www.mersenne.org/
