練習11 = 2− 5 のとき − − 1 の値を求めなさい。

2 = 15 のとき + − 35 の値を求めなさい。

練習3図のように1辺が4 の正四面体O− ABCがあります。いま、辺OC上にOD = 3 となるように点Dを取ります。このとき △ ABDの面積を求めなさい。

1

練習5図のように、1辺20cmの正方形ABCDの頂点Aを中心とする半径20cmの円を描き、この円と対角線ACとの交点をEとして、線分AEを直径とする円を描きます。このとき、赤色部分の2つの図形の面積の和を求めなさい。※埼玉県の過去問

2

練習6図のA～Dは円周上の点で、Oは円の中心です。このとき、図の はそれぞれ何度ですか。

(1) (2)

練習7図中のA, B, Cは円周上の点であり、Oは円の中心です。∠OAC = 20°,∠OBC = 54°のとき ∠AOBの大きさは何度ですか。

3

練習13図はABを直径とする半円AB上に点Cをとり、ACを直径とする半円とBCを直径とする半円を描いたものです。図のような長さのとき、斜線部分の面積を求めなさい。

練習14図において4点A,B,C,Dは円O上にあり、点Pは2直線AB,CDの交点である。このとき、∠APDの大きさは何度ですか。

4

練習16図のような △ ABCで∠A = 75°, 　∠C = 60°, 　AC = 6 のとき BCの長さはいくつですか。

練習17図のように半径6 と直径8 の半円に囲まれる部分 斜線部分 の面積を求めなさい。

練習18底面の半径が で母線の長さが の円錐があります。この円錐の側面に塗料をぬって平面上に置き、頂点Oを中心としてすべらないように円錐を2回転させると、図のように平面上に塗料がついて、扇形が描けました。この扇形の中心角の大きさは何度ですか。

5

練習19図は点Oを中心とする2つの半円で、大きい半円の弦APは小さい半円に点Qで接しています。OA = 2, 　OB = 1のとき斜線部分の面積を求めなさい。

6

練習20図の展開図を組み立ててできる立体の体積を求めなさい。ただし、のりしろは一切考えないものとします。

練習21図の △ ABCにおいてBD: DC = 3: 2, 　AE: ED = 3: 1のとき、AF: FBを求めなさい。

7

練習23図のように = は定数 のグラフ上に2点A, Bがあります。点Aの座標が −4, 8 で、点Bの 座標が2であるとき次の問に答えなさい。

(1) の値はいくつですか。(2) 直線ABの方程式を求めなさい。(3) 直線ABと 軸との交点をP、放物線上を動く点をQとします。　 △ OBQと △ OBPの面積が等しくなるときの点Qの座標をすべて求めなさい。

8

練習24図1の △ ABCはAB = AC = 13, 　BC = 10の二等辺三角形であり、Oは円の中心です。また、C, D, Eは円周上にあり、AEとCDの延長線の交点がBになっています。

(1) △ OED ≡△ OCDを証明しなさい。(2)AEの長さを求めなさい。(3)図2のように点Pが弧AE上をAからEまで動くとき、 △ OPDの面積が最大となる点Pを図3に作図しなさい。(4)(3)のときの △ OPDの面積はいくつですか。

9

練習27

図1のようなAB = 2, AD = 3の長方形ABCDがあります。この長方形を対角線で折り返したとき、頂点Cが移った点をEとします。また、ADとBEの交点をFとします。

(1) △ ABF ≡△ EDFを証明しなさい。(2)右図のように、図1でできた図形をさらに点Dが点Bに重なるように折り返すと、点Eは点Aに重なりました。このとき、折り目であるFGの長さを求めなさい。

10

練習29図のように2直線ℓ, とℓ上の点Aがあります。中心が直線 上にあり、点Aで直線ℓに接する円について、その円の中心Oを定規とコンパスを用いて作図しなさい。

11

補習2

図Ⅰにおいて、四角形ABCDはAB：AD＝1： 2 , 　AB = 21 cmの長方形です。Mは辺ADの中点であり、MとBを結びます。△MBEは△MBAを直線MBを直線MBを軸として折り返してできる三角形です。このとき、Aの折り返し先の点をEとします。(1)線分MEの長さはいくらですか。

次に、Eから辺ABに引いた垂線と辺ABとの交点をHとし、Eから辺ADに引いた垂線と辺ADとの交点をKとします。(図Ⅱ参照)(2) △ BEH ∽△MEKであることを証明しなさい。(3)線分AHの長さはいくらですか。

12

補習9

平面上に2点A( , )とB( , )があります。AB間の距離を三平方の定理を用いて求めなさい。●

●

A( , )

B( , )

13

補習14 ※別スレに載せた問題ですが、良問なのでこちらにも再掲しました。

円柱の形をした2つの容器A、Bがあります。容器Aは底面積が で深さが 、容器Bは底面積が で深さが あり、それぞれに

ずつ水が入っています。今、1つのさいころを続けて2回投げて、1回目に出る目の数を として容器Aから容器Bへ の水を移し、2回目に出る目の数を として容器Bから容器Aへ の水を移します。(※容器の厚さは考えないものとします。)(1) 容器Aの底から水面までの高さと、容器Bの底から水面までの高さが　　 等しくなるとき、その高さを求めなさい。(2) 容器Aの水の量が、容器Bの水の量の2倍になる確率を求めなさい。

14

補習15図のようにOを中心、ACを直径とする円があり、円周上に4点A, B, C, Dがあります。また、線分BD上に点Eがあり、AE ⊥ BDとします。この円の半径が6、∠DAE＝25°のとき、弧ABの長さを求めなさい。

15

補習18

図1のようなAB = 12 の長方形の紙ABCDを、図2のように辺AD上に点Pをとり、線分BPを折り目として折ります。このとき、Aが移動した点をQとします。次に、図3のようにP、Qを通る線を折り目として折り、この折り目の線と辺BCとの交点をRとします。この後に、折った部分を全て元に戻したところ、 △ PBRができました。 図41 以上の手順に従って △ PBRを作ると、∠RPB＝70°になりました。

このとき∠BRPの大きさを求めなさい。

2 以上の手順に従って △ PBRを作ると、PB = PRになりました。このときAPの長さを求めなさい。

16

追補1

底面の半径2, 　高さ2 35の円錐があります。図のように底面の円周上のAから母線OAの中点Bまで、この側面を一周して、最も短くなるように糸を張るとき、この糸の長さを求めなさい。

17

追補2図の点A～Eは、Oを中心とする円の円周上にあります。図中の の角度はいくつですか。

追補3図の △ ABCで、D, EはAD = DE = EBを満たす点であり、BCを延長した直線と、点Dを通りECに平行な直線との交点をFとします。GF = 7のとき、DGの長さはいくつですか。

18

追補4 ※『わからない問題をみんなで解こう 数学編』29番より∠C＝90°, 　AC＝BC＝12cmの △ ABCがある。

点Pは頂点Aを出発して辺AB上を毎秒2 2 の速さでBに向かい、点Qは頂点Bを出発して辺BC上を毎秒3 の速さでCに向かって動いている。P, QはそれぞれA, Bを同時に出発して4秒間動くものとする。

(1)P, Qが出発して1秒後の △ PQBの面積を求めなさい。

(2)ACの中点をMとし、出発してから3秒後のBM, PQの交点をRとする。このときBRの長さを求めなさい。

(3) △ PBQ： △ ABC＝1：3になるのは、P, Qが出発してから何秒後ですか。

A

C B

●

●Q

P

19

追補7AD＝ である長方形ABCDを、AB上の点Fと頂点Dを通る線分を折り目にして折り返すと、Aが辺BCの中点Eと重なりました。△ DEFの面積が 3であるとき、 の値を求めなさい。

追補9 ※まなさん提供の問題より

長方形ABCDがあり、点Eは辺BCの延長上の点で、BC: CE = 2: 1である。辺AB上に、二点A、Bと異なる点Fをとり、点Eと点Fを結ぶ。また、線分EFと対角線BD、辺CDとの交点をそれぞれG、Hとする。四角形AFGDの面積と三角形BEGの面積が等しいとき、線分CHの長さは線分HDの長さの何倍になりますか。

20

追補15図のABCDEFは正六角形であり、M, Nはそれぞれ辺CDおよびDEの中点です。このとき、線分AMと線分ANにより、この正六角形の面積が3等分されることを証明しなさい。

追補17図で、BC = BD = 6、∠DBE = ∠CBE、△ ABC = 4 ×△ ADE のときADの長さはいくつになりますか。

21

追補19図の線分ABは円の直径です。AB∥CDのとき、∠ および∠ の大きさはそれぞれ何度ですか。

追補25図において、線分ABは半円の直径で、Oはその中心です。∠BAP = 30°となる点Pを、定規とコンパスを用いて弧AB上に作図しなさい。

22

追補26図の線分BCは半円の直径で、線分BCを延長した線分上に点Aがあります。∠APB = 15°となる点Pを、定規とコンパスを用いて弧BC上に作図しなさい。

追補27左図で、五角形ABCDEは正五角形です。右図に示した正五角形の一部をもとにして、正五角形ABCDの辺CDを、定規とコンパスを用いて作図しなさい。

A B C

AB

C23

追補28 次の各問いに答えなさい。

(1) 3− (−2) × (−3) ÷ 3　を計算しなさい。

2 12 − 48 + 75　を計算しなさい。

(3) = 7 + 2　のとき　 − − 7　の値を求めなさい。

(4) 2次方程式　 − − 3 = 0　を解きなさい。

(5) 次の連立方程式を解きなさい。　　 − = 10　− − = 1

(6) 次の式を計算しなさい。

5− 2 2 − 5 + 2 2

(7) は に反比例し、 = −3のとき　 = 2です。このとき、 を の式で表しなさい。

(8) 底面の円の半径が2、母線の長さが8の円錐があります。この円錐の側面の展開図は扇形になりますが、その扇形の中心角は何度ですか。

24

追補28(9) 図のように、2点C, Dは線分ABを直径とする半円の弧上にあり、Oは半円の中心です。また、弧CDの長さ＝弧DBの長さであり、弧CDの長さは弧ABの長さの

1 6 です。このとき、 は何度になりますか。

(10) 彩さんと花子さんの通う中学校には生徒会役員が彩さんと花子さんを含めて5人います。この5人の中から文化祭の責任者と体育祭の責任者を1人ずつくじ引きで選ぶことにしました。このとき、彩さんと花子さんの二人ともどちらかの責任者に選ばれる確率を求めなさい。

(11) あるお店では、3種類の今川焼きを販売しています。このお店では、つぶあん入り、クリーム入り、くるみ入りの各々3個が入った9個入りセットを＠800円で販売しており、同じものをバラで買うよりも100円だけお得になります。また、クリーム入りの今川焼きの定価を2割引きすると、つぶあん入りの今川焼きと同じ値段になり、反対に2割増しにすると、くるみ入りの今川焼きと同じ値段になります。中学生の彩さんは、このお店に千円札1枚を持って、つぶあん入りの今川焼きを4個、クリーム入りとくるみ入りの今川焼きをそれぞれ2個ずつの合計8個を買いに行きました。彩さんが受け取ったお釣りはいくらですか。ただし、値引きやお釣りの計算間違いなどはないものとします。

つぶあん入り今川焼き ＠？円クリーム入り今川焼き ＠？円くるみ入り今川焼き ＠？円

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