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UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRESFACULTAD DE MEDICINA HUMANA

MATEMATICA APLICADA

NUMEROS REALES I

2014

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EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES

Se llama el Sistema de Número Reales a un conjunto no vacío R,

dotado de 2 operaciones internas, la adición y la multiplicación, y se

denota así:

< R , + , x >

Donde se considera una relación de orden mayor denotado por “ > ”

que satisface los siguientes axiomas:

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EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES

Axiomas de Adición A.1. Si a, b ∈ R (a + b) ∈ R ……………………….. Clausura.A.2. Si a + b = b + a a, b ∈ R ………………………. Conmutativa.A.3. (a + b) + c = a + (b + c); a, b,c ∈ R …………… Asociativa.A.4. Existe 0 ∈ R / a + 0 = 0 + a = a; a ∈ R …... .. Elemento neutro aditivo.

A.5. a ∈ R; (-a) ∈ R / a + (-a) = (-a) + a = 0 …… Inverso aditivo.

Axiomas de multiplicaciónM.1. Si a, b ∈ R a.b ∈ R …………………………… Clausura.M.2. a. b = b. a; a, b ∈ R ………………………….......Conmutativa.M.3. (a x b) x c = a x (b x c); a, b ∈ R ……………… Asociativa.M.4. 1 ∈ R / 1 x a = a x 1 = a ∈ R ……………….. Elemento neutro mult.M.5. a ∈ R, con a ≠ 0, ∈ R / x a = a x = 1 … Inv Mult.

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EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES

Axiomas Distributivas respecto a la adiciónD.1. Si a, b, c ∈ R a x (b + c) = (a x b) + (a x c). Distributiva por la izquierda.

D.2. Si a, b, c ∈ R (b + c) x a = (b x a) + (c x a) ... Distributiva por la derecha.

Axiomas de igualdad

I.1. a = a …………………………………..………………. (Reflexiva).I.2. Para a, b ∈ R a = b ó a ≠ b ………….…………… (Dicotomía).I.3. Si a = b b = a……………… ………..…………. (Simetría).I.4. Si a = b b = c a = c ………...………………. (Transitiva).I.5. Si a = b a + c = b + c; c ∈ R …………………. (Unicidad de adición).I.6. Si a = b a x c = b x c; c ∈ R …………… (Unicidad de la multiplicación).

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EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES

Axiomas de Orden

O.1. Si a,b, ∈ R a = b ; a > b ; a < b ………....... (Tricotomía).

O.2. Si a > b b > c a > c ……….…….. (Transitiva).

O.3. Si a > b a + c > b + c; c ∈ R …..……... (Consistencia Aditiva).

O.4. a > b c > 0 a x c > b x c ……...…….. ..(Consistencia Multiplicativa).

O.5. a > b c < 0 a x c < b x c ……...…….. ..(Consistencia Multiplicativa).

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EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES

Definición de sustracción de Números RealesDado dos números a y b. Se define la diferencia de a y b, como la suma de a con el inverso aditivo de b. Es decir : a – b = a + ( - b ) a, b ∈ R

Definición de división de Números RealesDado 2 números a y b. Se define el cociente de a entre b, como el producto de a con el inverso multiplicativo de b. Es decir :

, a, b ∈ R, b ≠ 0

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EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES

TEOREMAS SOBRE ADICION Y MULTIPLICACION

: a x 0 = 0 = 0 x a , a ∈ R

: - a = (-1) x a , a ∈ R

: a(- b) = - (a x b) = (- a) x b, a, b ∈ R

: - (- a) = a , a ∈ R

: (- a)(- b) = a x b , a, b ∈ R

: a + c = b + c a = b , a, b, c ∈ R

: a x c = b x c , c ≠ 0 a = b a, b, c ∈ R

: ax(b - c) = axb - axc , a, b, c ∈ R

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EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES

TEOREMAS SOBRE ADICION Y MULTIPLICACION

T13 :

9

EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES

TEOREMAS SOBRE ADICION Y MULTIPLICACION

: a + a = 2a, en general a + a + a + ….. + a = na

: a + c = x ∈ R, a ≠ 0 a x + b = 0 x =

: a. b = 0 a = 0 b = 0

: (a + b) (a - b) =

: a = b a = - b

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LOS INTERVALOS

Son conjuntos de números reales que están definidos mediante la condición de que sus elementos satisfacen ciertas desigualdades. Entre estas tenemos : 1) Intervalo Abierto: Dado a, b ∈ R { x ∈ R / a < x < b } = < a, b >

2) Intervalo Cerrado: Dado a, b ∈ R { x ∈ R / a ≤ x ≤ b } = [ a, b ]

a b ∞-∞

a b ∞-∞

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LOS INTERVALOS

3) Intervalos Semiabiertos: i) Dado a, b ∈ R { x ∈ R / a ≤ x < b } = [ a, b >

ii) Dado a, b ∈ R { x ∈ R / a < x ≤ b } = < a, b ]

4) Intervalos Infinitos: i) Dado a, b ∈ R { x ∈ R / x ≥ a } = [ a, +∞ >

a b

a b

a +∞

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LOS INTERVALOS

3) Intervalos Semiabiertos: ii) Dado a ∈ R { x ∈ R / a < x } = < a, >

iii) Dado a ∈ R { x ∈ R / x ≤ a } = < - , a ]

iv) Dado a ∈ R { x ∈ R / x < a } = < - ∞ , a >

a +∞

-∞ a

-∞ a

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OPERACIONES CON INTERVALOS

CONCEPTOS BASICOS DE OPERACIONES DE CONJUNTOS

1. Reunión de Conjuntos A ∪ B, es el conjunto de elementos que pertenecen a A o B o

ambos. A ∪ B = { x / x ∈ A V x ∈ B }

U

B A

A B

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OPERACIONES CON INTERVALOS

CONCEPTOS BASICOS DE OPERACIONES DE CONJUNTOS

2. Intersección de Conjuntos A ∩ B, es el conjunto de elementos que pertenecen a A y B a la

vez, es decir son elementos comunes a ambos conjuntos. A ∩ B = { x / x ∈ A x ∈ B }

U A B

A ∩ B

a b

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OPERACIONES CON INTERVALOS

CONCEPTOS BASICOS DE OPERACIONES DE CONJUNTOS

3. Diferencia de Conjuntos A - B, es el conjunto de elementos de A que no pertenecen a B. A - B = { x / x ∈ A x B }

U A B A – B

A B A – B a b

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OPERACIONES CON INTERVALOS

CONCEPTOS BASICOS DE OPERACIONES DE CONJUNTOS

4. Complemento de un Conjunto A’ , es el conjunto de elementos que no pertenecen al conjunto A. A’ = { x / x ∈ U x A }

U U A

A´ A

a

a

A’ A

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OPERACIONES CON INTERVALOS

CONCEPTOS BASICOS DE OPERACIONES DE CONJUNTOS

4. Diferencia Simétrica de Conjuntos A Δ B = { x / x ∈ (A – B) x ∈ (B – A) } A Δ B = (A – B) ∪ (B – A) A Δ B = (A ∪ B) - (B ∩ A) U A B

A Δ B A Δ B

a b

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OPERACIONES CON INTERVALOS

Ejemplos Dados los intervalos A = < -2 , 2 > ; B = [ 0 , 5 > ; C = [2 , 7] ; U = R a. A ∪ B b. B ∩ A c. A - B d. A’ e. (A ∪ C) – B f. (A’ ∩ B) ∪ C Solución: a. A ∪ B A ∪ B = < -2 , 5 >

b. A ∩ B

A ∩ B = [ 0 , 2 >

-2 0 2 5

AB

-2 0 2 5

AB

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OPERACIONES CON INTERVALOS

Ejemplos Dados los intervalos A = < -2 , 2 > ; B = [ 0 , 5 > ; C = [2 , 7] ; U = R a. A ∪ B b. B ∩ A c. A - B d. A’ e. (A ∪ C) – B f. (A’ ∩ B) ∪ C Solución: c. A - B A ∪ B = ˂ -2 , 0 ˃

d. A’

A’ = < - ∞ , -2 ] ∪ [ 2 , + ∞ >

-2 0 2 5

AB

-2 0 2 5

AA’A’

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OPERACIONES CON INTERVALOS

Ejemplos Dados los intervalos A = < -2 , 2 > ; B = [ 0 , 5 > ; C = [2 , 7] ; U = R a. A ∪ B b. B ∩ A c. A - B d. A’ e. (A ∪ C) – B f. (A’ ∩ B) ∪ C Solución: e. (A ∪ C) – B A ∪ C = < -2 , 7 ]

(A ∪ C) – B = < -2 , 0 > ∪ [ 5 , 7 ]

v

-2 0 2 5

AB

C

-2 0 2 5

AB

C

7

7

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OPERACIONES CON INTERVALOS

Ejemplos Dados los intervalos A = < -2 , 2 > ; B = [ 0 , 5 > ; C = [2 , 7] ; U = R a. A ∪ B b. B ∩ A c. A - B d. A’ e. (A ∪ C) – B f. (A’ ∩ B) ∪ C Solución: f. (A’ ∩ B) ∪ C (A’ ∩ B) = [ 2 , 5 >

(A’ ∩ B) ∪ C = [ 2 , 7 ]

-2 0 2 5

A’B

C

7

A’

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2. Dados los intervalos: A=[- 4, 4 > , B= < 2, 8] , C=< -1, 10 > , U= R.

Hallar: a) A B b) C – B c) A C d) B’ C’ Solucion

a) [- 4, 8 ] b) < 8, 10 > - 4 - 2 -1 4 8 10 c) [ -4, -1] [ 4, 10 >

d) R - <- 2 ,10 >

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INTERVALOS

3. Si x є [1, 5], entonces a que intervalo pertenece: 2x + 3.

Solución Sabemos que: 1 ≤ X ≤ 5 por 2 : 2≤ 2x ≤ 10 mas 3: 2 + 3 ≤ 2x + 3 ≤ 10 + 3 tenemos: 5 ≤ 2x + 3 ≤ 13 Entonces : ( 2x + 3) є [ 5, 13 ]

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INTERVALOS4. Si ( x – 3) є < -3, 5 > , entonces el intervalo

al que pertenece ¨x¨ es: Solución Sabemos que: - 3 < x – 3 < 5 Entonces: - 3 + 3 < x < 5 + 3 Por lo tanto: 0 < x < 8 x є < 0,8 > 5. Si: x є < 3, 9 > entonces 1/ (3x + 1)

pertenece al intervalo: Solución Sabemos que: 3 < x < 9 Por 3: 9 < 3x < 27 Mas 1: 10 < 3x + 1 < 28 (observa los extremos

positivos) Entonces podemos invertir: 1/28 < 1/(3x+1) < 1/10

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ECUACIONES E INECUACIONES

Una ecuación es una igualdad que es válida solo para algunos valores. Una ecuación lineal ( De primer grado ) se expresa en la forma: Una ecuación Cuadratica ( De segundo grado ) se expresa en la forma:

Es necesario tener en cuenta las siguientes reglas :1. Si se suma o resta una misma expresión a ambos miembros de

una ecuación , la ecuación resultante es equivalente a la dada.2. Si a ambos miembros de una ecuación se multiplica o se divide

entre un número diferente a cero, la ecuación no varía.

ax + b = 0 ; a ≠ 0

a + bx + c = 0 ; a ≠ 0

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RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2 GRADO

Sea la Ecuación:

Para su resolución se utilizará los siguientes métodos: 1. Método de la Formula General:

Donde : = - 4ac se llama discriminante.

Si: = - 4ac > 0 ; la ecuación tiene 2 raíces reales y

diferentes.

Si: = - 4ac = 0 ; la ecuación tiene 2 raíces iguales.

Si: = - 4ac < 0 ; la ecuación tiene 2 raíces imaginarias.

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RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2 GRADO

2. Método de la Factorización: Sea la ecuación Para su resolución usar el Teorema: ab = 0 a = 0 ó b = 03. Método de Completar Cuadrados Sea la ecuación: Para su resolución usar el Teorema a = b ó a = -bPropiedades de la raíces de una Ecuación Cuadrática Sea la ecuación : Si sus raíces son: ; entonces se tiene que:

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RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2 GRADO

Ejemplo 1: Dada la ecuación : , resolver por los 3 métodos. 1.Método de la Formula General: a = 1, b = - 6 , c = 8

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RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2 GRADO

2.Método de la Factorización (x – 2) (x - 4) = 0

Aplicamos el teorema a x b = 0 a = 0 b = 0 x – 2 = 0 x – 4 = 0 x = 2 x = 4

3.Método de Completar Cuadrados: Sea la ecuación Para su resolución usar el Teorema: a = b ó a = -b

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ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

Forma General:

Teorema de Cardamo – Viete Sean: , las “n” raices

de la ecuacion polinomica. 1. Suma de raices : 2. Producto de raices:

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ECUACIONES POLINOMIALES

1. Resolver la ecuación: , indicar la menor raiz de la ecuacion.

Solución 1 - 5 6 4 - 8 2 2 - 6 0 8 (x- 2)(x- 2)(x- 2)(x +1)= 0 1 - 3 0 4 0 .(x + 1) = 0

2 2 -2 -4 x = 2, multiplicidad 3 1 -1 -2 0 x = - 1 2 2 2 1 1 0

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EJERCICIOS Y PROBLEMASResolver las siguientes ecuaciones:a) X – {5 + 3x – [ 5x – ( 6 + x)]} = - 5 b) c)

d) e) f)

g) h)

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h) Hallar el valor de “a” para que la ecuacion en “x” , tenga raices iguales.

i) Que valor debe tener “m” para que una raiz sea la inversa de la otra en:

j) Dos de las raices de la ecuacion: , son 2 y 4. Hallar “ h + k ”.

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INECUACIONES

Una inecuación es toda desigualdad donde existe una o mas cantidades desconocidas llamadas variables.Las inecuaciones de una variable son proposiciones de la forma: P(x) > 0 , P(x) < 0 , P(x) ≥ 0 , P(x) ≤ 0Teoremas1.Si a < b c < d a + c < b + d2.Si a < b - a > - b3.Si a < b c > 0 a x c < b x c4.Si a < b c < 0 a x c > b x c5.Si a ≠ 0 6. tiene el mismo signo que a, es decir:

i. a > 0 > 0 ii. a < 0 < 07.Si a y b tienen el mismo signo y si: a < b 8.Si a x b > 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0)9.Si a x b < 0 (a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0)

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INECUACIONES

10.Si > 0 , b ≠ 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0)

11.Si < 0 , b ≠ 0 (a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0)

12.Si a ≥ 0 b ≥ 0 a > b

13.Si b ≥ 0 ;

14.Si b ≥ 0 ;

15.Si b > 1 x < y

16.Si 0 < b < 1 x > y

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INECUACIONES

1.Inecuación lineal. Es de la forma:

Una inecuación se caracteriza porque tiene n soluciones. Para la resolución de una inecuación lineal es necesario tener en

cuenta los siguientes teoremas. i) Si a > b donde c ∈ R a + c > b + c ii) Si a > b ; y c > 0 a x c > b x c iii) Si a > b ; y c < 0 a x c < b x cEjemplo: Resolver: 2x – 9 > 5x – 3 2x – 9 – 5x + 9 > 5x – 3 – 5x +9 -3x > 6 x < -2 S = {x ∈ R / x < -2} S =

<-∞; -2 >

ax + b > 0 ; ax + b ≥ 0 ; ax + b < 0 ; ax + b ≤ 0

- ∞ - 2

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INECUACIONES3. Determinar el valor de verdad de la siguiente

afirmacion: Si, ( 5 – 4x ) < - 10 , 5 >

SOLUCION

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INECUACIONESPara hacer mas sencilla la demostracion: 2x – 1 3x + 2 Entonces tenemos: - 2x – 4 / 3 2/ 3 0 - 7/ 3

Si: - 10 < 5 – 4x < - 5 , Sumamos: - 5 ……-10 – 5 < - 4x < 5 – 5 Obtenemos:………………….. - 15 < - 4x < 0 Dividimos entre: -4…………. 15/4 > x > 0 Por 3…………………………...45/4 > 3x > 0Sumamos 2…………………… 45/4 + 2 > 3x + 2 >

0 + 2Entonces obtenemos:……….. 53/4 > 3x + 2 > 2

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INECUACIONESObserva que los extremos de la inecuacion son de

igual signo por lo tanto podemos invertir la inecuacion.

La inecuacion quedara: 4/ 53 < < 1/ 2

por – 7/ 3:………- 28/ 159 > - > - 7/ 6

sumar: 2/ 3 …..2/3 – 28/ 159 > 2/3 - > - 7/ 6 + 2/ 3

entonces: - 1/ 2 < 2/ 3 - < 26/ 53 entonces la afirmacion es verdadera.

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INECUACION4. Si: x [ - 2 , 0 ], a que intervalo pertenece

la expresion :

Solución Si:………….. – 2 x 0 Por – 1 ……... 0 x 2Elevamos al cuadrado: …. .0 4Por -1 :…………- 4 - 0Sumar: 4 ………-4 + 4 4 - 0 + 4Queda ………… 0 4 - 4Sacamos la raíz cuadrada: 0 2Por 3/2 …………… 0 3Entonces: ………… [ 0, 3 ]

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INECUACIONESEjercicios:1. Si: [ - 5/2 , - 1/2 ]. A que intervalo pertenece “ x ” ……………Rpta. [ - 4, 4/5 ] 2. Si: [ 8, 16 ], hallar el valor de m, n si x [ m, n ]………Rpta…[ 17/4, 3/2 ]3. Si “x” < - 4, - 2 > entonces a que intervalo pertenece: ……………Rpta…

4. Si “x” R, entonces la expresion: ..Rpta: <0,5/4>

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INECUACIONES5. Resolver: Solución mcm: 12….. 3( 3x – 1) – 36( 5 – 2x ) 4( 4 – 2x) reduciendo:…… 89 x 199 entonces:………….. X 199 / 89

6. Resolver: Solucion: Asi: mcm: 4 mcm: 2

- 12x < - 14 x 2 x > 7/6 x 2 7/6 2 c.s. X < 7/6 , 2 >

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INECUACIONES

2.Inecuación de Segundo GradoEs de la forma : ó donde a , b , c son números reales, a ≠ 0 Para la resolución, consideramos los siguientes teoremas:i) Si utilizamos el método de factorización: Si: a x b > 0 ( a > 0 b > 0 ) ( a < 0 b <

0 ) Si: a x b < 0 ( a > b b < 0 ) ( a < 0 b >

0 ) Se utiliza los mismos teoremas para ≥ ó ≤II. Si utilizamos el método de completar cuadrados: Si: b ≥ 0 a < - a > Si: b ≥ 0 a > - a < es decir: - < a <

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INECUACIONES

Ejemplo: Resolver por el método de factorización. Se usara el teorema a x b > 0 (a > 0 b > 0) (a < 0

b < 0)

x ∈ < -∞ , -2 > ∪ < 3 , + ∞ >

- 2 3

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INECUACIONES

Ejemplo: Resolver: por el método de completar cuadrados.

Se usará el teorema

x ∈ < -1 , 5/3 >

- 1 5/3

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INECUACIONES Metodo de los puntos criticos:3. Resolver: Analizamos primero el discriminante: , entonces 2

puntos criticos Hallamos los puntos criticos( p.c) multiplicamos por: - 1: 1. Factorizamos: ( 3x – 2 ) ( 2x – 1 ) 02. Hallamos los P.C.: x = 2/3 y x = 1/2 3. + + 1/2 2/3

C.S. [ 1/2 , 2/3 ]

-

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INECUACION

4. Resolver: Analizamos el discriminante: , , un solo P.C. Factorizamos: Entonces un solo P.C: X = 3

+ +

3 C.S. { 3 }

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INECUACIONES

5. Resolver: Analizamos el discriminante.

,no hay punto critico.

9 – 20 0, no hay punto critico.

C. S. R

+

49

INECUACION6. Resolver: Solución Para resolver este tipo de inecuaciones se

separa la inecuacion en dos inecuaciones: ( x + 3 )( x – 2 ) PC: X = -3 y X= 2 PC: X = 1 multipli. 2 + + -3 1 2 C.S : R - < -3, 2 >

+ +

++

_