Download - matematika 1 udžbenik

7/22/2019 matematika 1 udžbenik

http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-udzbenik 1/156

O G L E D

N I

P R I M

J E R A K

Branimir Dakic

Neven Elezovic

MATEMATIKA 1

udzbenik i zbirka zadataka

za 1. razred gimnazija i tehnickih skola

1. dio



O G L E D

N I

P R I M

J E R A K

Intelektualno je vlasnistvo, poput svakog drugog vlasnistva, neotu -divo, zakonom

zaˇ

sticeno i mora se poˇ

stivati. Nijedan dio ove knjige ne smije se preslikavati nitiumnazati na bilo koji nacin, bez pismenog dopustenja nakladnika.

CIP zapis dostupan u racunalnom kataloguNacionalne i sveucilisne knjiznice u Zagrebu pod brojem 858101.

ISBN 978-953-197-845-3 (cjelina)ISBN 978-953-197-846-0 (Dio 1)



O G L E D

N I

P R I M

J E R A K

Branimir Daki´ c

Neven Elezovi´ c

MATEMATIKA 1

udˇzbenik i zbirka zadataka

za 1. razred gimnazija i tehnickih skola

1. dio

1. izdanje

Zagreb, 2013.



O G L E D

N I

P R I M

J E R A K

c Branimir Dakic, prof.

prof. dr. sc. Neven Elezovic, 2013.

Urednica

Sandra Gracan, dipl. ing.

Recenzenti

Zeljka Frkovic, prof.

prof. dr. sc. Ljubo Marangunic

Lektorica

Dunja Apostolovski, prof.

Crteˇ zi, slog i prijelom

Element d.o.o., Zagreb

Dizajn

Edo Kadic

Nakladnik

Element d.o.o., Zagreb, Menceticeva 2

tel. 01/ 6008-700, 01/ 6008-701faks 01/ 6008-799

[email protected]

Tisak

STEGA TISAK d.o.o., Zagreb



O G L E D

N I

P R I M

J E R A K

Predgovor

Ovaj udzbenik namijenjen je vama, ucenicima 1. razreda srednje skole. Uz njegacete ponoviti i utvrditi ranija, ali i stjecati nova matematicka znanja.

Kako je sastavljen ovaj udˇzbenik?

U dvije knjige ukupno je devet poglavlja, u svakom poglavlju jedna je tematskacjelina.

Pojedino poglavlje otvara se zanimljivim i poticajnim problemom do cijeg rjesenjadolazimo nakon obrade gradiva te cjeline. Zbog toga pozorno proucite pojediniuvodni problem i razmislite o tome kako nove matematicke spoznaje pomazu unjegovu rjesavanju.

Novo gradivo u udzbeniku izlaze se na vama primjeren i pristupacan nacin. Potk-repljuju ga pomno odabrani i potpuno rijeseni raznovrsni primjeri od kojih je velikbroj vezan uz primjenu matematike u drugim znanostima i u svakodnevnom zivotu.Sve te primjere potrudite se pozorno i temeljito prouciti. Gotovo iza svakog primjera slijedi zadatak cije ce samostalno rjesavanje pridonijeti boljem razumijevanjui usvajanju gradiva.

Velik broj ilustracija i slika podize zornost sadrzaja.

Ova knjiga sadrzava i opseznu zbirku zadataka za vjezbu. Zadatci su razvrstani pomanjim tematskim cjelinama unutar poglavlja. Na kraju knjige njihovi su rezultati,a slozeniji zadatci imaju naveden i postupak rjesavanja.

I imajte na umu: uspjesno ucenje matematike zahtijeva upornost i marljivost, onomora biti redovito, nikako “kampanjsko”. Nastojte uciti sto vise samostalno, uzpomoc udzbenika. Tako ce vase znanje biti temeljitije i trajnije.

Ukazimo jos i na male, raznovrsne i zanimljive umetke (kutke) kojima je svrha

unijeti zivost u proces uˇcenja. Ti su umetci naznaˇceni posebnim simbolima. Evonjihova tumacenja:

Za radoznale

U ovim kutcima dane su neke napomene i krace dopune neposrednopovezane s gradivom koje se upravo obra -duje. Poklonite im trenutak

pozornosti, nece to zahtijevati poseban dodatni napor, a moˇ

ze pridonijetiprosirivanju vasih matematickih vidika.



O G L E D

N I

P R I M

J E R A K

Kutak plusKutak plus sadrzava dodatne napomene uz tekuce gradivo. Tim malimdodatcima mozete upotpuniti i produbiti svoje znanje. Savjetujemo ivama, koji mozda mislite kako ti dodatci nisu za vas: ne odustajte olako.Barem pokusajte razumjeti o cemu se radi jer ovdje nije rijec ni o cemunedostupnom.

Istrazite

U ovim kutcima naici cete na otvorene probleme koje valja istraziti.“Otvoreno” znaci da vam nije unaprijed propisan put k rjesenju, niti jesamo rjesenje predvidivo. Neki od problema pod ovim naslovom moguse obraditi i kao projektni zadatci ili kao matematicki eseji.

Bez rijeci

Dokaze nekih matematickih cinjenica mozemo izraziti zorno i bez rijeci

kao svojevrsne matematicke rebuse. Kad kazemo “bez rijeci”, podrazu-mijevamo da je dokaz neke matematicke cinjenice predocen bez ikakvapisanog obrazlozenja. Dokazu vodi analiza same slike, a na vama je daga opisete rijecima.

Iz zabavne matematike

Zabavna (ili rekreacijska) matematika priznata je grana matematike. Za-

bavna je zbog “zabavnih” problema, ˇ

sto ne znaˇ

ci da su ti problemi sasvimmatematicki bezazleni. Uz zadatke u ovim kutcima, u udzbeniku cetenaci jos citav niz zadataka, ugra -denih u samo izlaganje gradiva, koji bise tako -der mogli svrstati u zabavnu matematiku.

Povijesni kutak

Matematicka znanost ima bogatu i zanimljivu povijest. U svakom pojedi-nom poglavlju ovog udzbenika povijesni kutak ukratko govori o povijesti

podruˇcja matematike koje se u tom poglavlju obra -duje. Ponekad su to

samo male napomene.

Tocno-netocno pitalice

Tocno-netocno pitalice namijenjene su prije svega za vas samostalan rad.One su pozorno i sustavno osmisljene te sadrzajno pokrivaju pojedinecjeline. Nije dovoljno reci je li vas odgovor na pojedinu pitalicu tocanili netocan. Upravo podrobno obrazlozenje izbora izme -du “da” i “ne” je

ono sto se trazi. Zbog toga budite uporni u traganju za rjesenjima.

Autori



O G L E D

N I

P R I M

J E R A K

Sadr ˇ zaj

1. Brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Prirodni i cijeli brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Racionalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Realni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4. Operacije sa skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2. Potencije i algebarski izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1. Pojam potencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2. Racunanje s potencijama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3. Znanstveni zapis realnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.4. Algebarski izrazi. Potenciranje binoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.5. Razlika i zbroj potencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.6. Rastavljanje na faktore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.7. Algebarski razlomci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.8. Linearne jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3. Ure -daj na skupu realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.1. Svojstva relacije ure -daja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.2. Linearne nejednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.3. Apsolutna vrijednost realnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.4. Udaljenost tocaka na brojevnom pravcu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.5. Jednadˇzbe i nejednadˇzbe s apsolutnim vrijednostima . . . . . . . . . . . . . . 125

4. Koordinatni sustav u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.1. Koordinatni sustav u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.2. Udaljenost dviju tocaka u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.3. Povrsina trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.4. Poloviste duzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5. Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.1. Definicija i opis vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.2. Mnozenje vektora realnim brojem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.3. Zbrajanje vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.4. Rastav vektora u komponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.5. Vektori u koordinatnom sustavu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Rjesenja i upute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1671. Brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1682. Potencije i algebarski izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723. Ure -daj na skupu realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834. Koordinatni sustav u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875. Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Kazalo pojmova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194



O G L E D

N I

P R I M

J E R A K



1 BROJEVI

O G L E D

N I

P R I M

J E R A K

Upitate li nekoga, kome matematika i nije osobito

bliska, ˇ cime se matemati

ˇ cari bave, mo

ˇ zete o

ˇ cekivatiodgovor: brojevima! I premda baˇ s i nije toˇ can, odgo-

vor nije neobiˇ can. Jer, prva iskustva s matematikomu svakog su ˇ covjeka vezana uz brojeve i raˇ cunanje. A

joˇ s ne tako davno, prvoˇ skolski su se ud zbenici iz ma-tematike zvali Ra ˇ cunice. Kada su ljudi poˇ celi rabitibrojeve? Na ovo pitanje nemogu´ ce je dati odgovor.

Brojevi i njihovo zapisivanje nastajali su i razvijali seu dugotrajnom povijesnom procesu 1 .

U ovom poglavlju dat ´ cemo pregled skupova brojevakoje smo do sada upoznali.

1.1. Prirodni i cijeli brojevi

Prirodni brojevi su brojevi 1, 2, 3, 4, 5. . . Njima se sluzimo pri brojenju iliprebrajanju. Prirodnim brojem iskazujemo brojnost nekog skupa, odgovaramona pitanje koliko je u skupu clanova.

Postoji najmanji prirodni broj, to je broj 1. Ne postoji najveci prirodni broj. Izama kako velikog prirodnog broja n slijedi veci ( n + 1 ) sto znaci da je skupprirodnih brojeva beskona ˇ can.

Skup prirodnih brojeva

Skup prirodnih brojeva oznacavamo s N .

N = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , n . . .}.

Istrazite

PROSTI BROJEVI

Prirodni broj koji osim samoga sebe i broja 1 nema drugih djelitelja zove se prost iliprimbroj. Evo svih prostih brojeva koji su manji od 100:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Nastavi ovaj niz ispisujuci sveproste brojevemanjeod 200. Sto mislis, imali tomispisivanjukraja? Je li skup prostih brojeva beskonacan?

Starogrcki matematicar i fizicar Eratosten “pronalazio” je proste brojeve postupkom prosijavanja. Istrazi o kakvom je

postupku rijeˇc. Posjeti u svrhu traganja za odgovorom http://element.hr/plus/autosieve/medium .

1 Vidjeti prezentaciju O podrijetlu brojeva, www.element.hr/plus (Matematika plus).

2



PRIRODNI I CIJELI BROJEVI 1.1

O G L E D

N I P R I M

J E R A K

Povijesni kutak

KAKO SU BROJEVE ZAPISIVALI NA ˇ SI PREDCI?

Tijekom ljudske povijesti u raznim drustvenim zajednicama razvili su se razlicitizapisi prirodnih brojeva. Razlikujemo pozicijski i nepozicijski sustav zapisa.

U nepozicijskomsvaka znamenkanosi istu brojevnu vrijednostbez obzira na njezinomjesto (poziciju) u zapisu broja. Jedan je takav primjer i rimski zapis. Primjerice,CCXXIX znaci broj 100 + 100 + 10 + 10 + (10− 1) = 229 . Znak C uvijek nosibrojevnu vrijednost 100, a znak X vrijednost 10.

U pozicijskim sustavima, kakav je i ovaj nas suvremeni, upravo je obrnuto. Zna-

menke nose brojevne vrijednosti koje ovise o njihovu poloˇ

zaju (poziciji) u zapisu.Tako primjerice, 333 znaci 3 ·100 + 3 ·10 + 3 . Dakle, prva trojka znaci 300, druga30, a treca 3 jedinice.

Druga bitna karakteristika zapisa prirodnog broja jest njegova osnovica ilibaza. Danas se u cijelom svijetu rabi dekadski brojevni sustav kojemu jeosnovica 10. Vjerojatni razlog je taj sto covjek na obje ruke ima ukupno 10prstiju. Postoje i brojevni sustavi s drugim osnovicama, primjerice binarnina kojem pociva rad elektronickih racunala.

Pri zapisivanju brojeva nerijetko su se uzimala slova pisma. Tako je primje-

rice u rimskom i grˇ

ckom zapisivanju, ali i u staroslavenskoj glagoljici kojase u hrvatskim krajevima zadrzala gotovo 10 stoljeca.

Istra ˇ zite:

1. Kako su brojeve zapisivali i s njima racunali stari Rimljani?

2. Kako su nasi predci zapisivali brojeve koristeci se glagoljicom?

3. Navedite jos neki primjer nedekadskog brojevnog sustava. Mozete liopisati osnovne znacajke binarnog brojevnog sustava?

Zbroj dvaju prirodnih brojeva uvijek je prirodan broj. Kazemo da je skup pri-rodnih brojeva zatvoren s obzirom na zbrajanje. A je li zatvoren s obzirom naoduzimanje? Drugim rijecima, je li razlika m − n dvaju prirodnih brojeva uvijekprirodni broj? Ne, razlika dvaju prirodnih brojeva od kojih je prvi manji ili jednakdrugom nije prirodan broj. To je razlog za prosirenje skupa N negativnim cijelimbrojevima i nulom.

Negativni cijeli brojevi su se “udomacili” u naˇsoj svakodnevnici. Njima zapi-sujemo temperaturu ispod nistice, visinu vodostaja rijeke koja je manja od oneiskazane nulom, dubinu mora, stanje na tekucem ili nekom drugom bankovnomracunu itd.

Prirodni brojevi zajedno s negativnim cijelim brojevima i nulom cine skup cijelihbrojeva.

Skup cijelih brojeva

Skup cijelih brojeva oznaˇcavamo sa Z :

Z = {. . .− 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 . . .}

3



1 BROJEVI

O G L E D

N I P R I M

J E R A K

Zadatak 1. Nadmorska visina

Mrtvo more je jezero povrsine 600 km2 . Nadmorska visina njegove povrsine

iznosi −418 m . Dno jezera doseˇ

ze −794 m . The Challenger Deep najniˇ

za jetocka na Zemlji, a nalazi se u Tihom oceanu na juznom dijelu Marijanske brazdena nadmorskoj visini −10971 m . Najvisa tocka iznad razine mora je Mount Everest na granici Tibeta i Nepala. Njezina je nadmorska visina 8848 m.

Planinski vrh Chimborazo u Ekvadoru je najudaljenija tocka od sredista Zemlje.Ta udaljenost iznosi 6384.4 km sto je za oko 2 km udaljenije nego Mount Eve-rest . Posljedica je cinjenice da Zemlja nije sfera vec je spljostena na polovima,a Chimborazo je u blizini ekvatora.

1) Kolika je najveca dubina Mrtvog mora?

2) Kolika je razlika izme -du nadmorskih visina najnize i najvise tocke na Zemlji?

3) Kolika je udaljenost Mount Everesta od sredista Zemlje?

Za radoznale

PRI ˇ CA O NULI

Nula, naoko nista neobicno, broj kao i svaki drugi!Je li uistinu tako? Pogledajmo ove jednakosti:

a + 0 = a, a·

0 = 0, a−

a = 0, a0 = 1.

S nulom se ne smije dijeliti , ucimo jos u osnov-

noj skoli. A zasto? Iza

0 = b slijedi a = b · 0 ,

pa imamo ove dvije mogucnosti:

(1) ako je a = 0 , onda je 0 = b · 0 i ta je jednakost ispunjena za svaki broj b . Dakle,dijeljenje je tada neodre -deno. Rezultat dijeljenja

je bilo koji broj b ;

(2) ako je a = 0 , jednakost a = b · 0 nije ispunjena niti za jedan broj b . Naime, snjezine lijeve strane je broj razlicit od nule, a s desne nula. U ovom slucaju dijeljenjenije definirano, ono nije mogu´ ce.

Nula je cijeli broj. Ona nije prirodni broj po definiciji.

Prema nekim povjesnicarima matematike nulu su uveli Kinezi. Neki drugi pripisujunjezinu pojavu indijskim matematicarima iz 6. st., od kojihpotjece i njezina suvremena

oznaka. Njezin je naziv latinskog podrijetla (lat. nullus = nijedan).

4




O G L E D

N I P R I M

J E R A K

Kutak plus

GAUSSOVA DOSJETKA

Gauss kao osmogodiˇ snjidjeˇ cak

Danas, kad gotovo u svakom dzepu imamo kalkulator (ne zaboravite da ga imatei na svojem mobilnom telefonu) manje je vazno racunanje “napamet”, ali su do-sjetke i snalazljivost u racunanju vjestine koje ce uvijek biti na cijeni. Jedna jetakva, osobito popularna dosjetka vezana uz ime njemackog matematicara CarlaFriedricha Gaussa (1777. – 1855.), cesto nazivanog princeps mathematicorum (lat.princem svih matematicara).

Kad je Gauss bio prvoskolac, njegov je ucitelj zadao ucenicima da izracunaju zbrojprvih 100 prirodnih brojeva. Zelio ih je zaposliti na neko vrijeme kako bi imaomalo mira, ali se nemalo iznenadio jer je vec nakon minutu-dvije Gauss dojavio daima rjesenje.

Dobio ga je zdruzivsi brojeve u parove, prvi s posljednjim ( 1 + 100), drugi spretposljednjim ( 2 + 99 ), treci s pretpretposljednjim ( 3 + 98 ) itd. Takvih parova je 50, a zbroj dvaju pribrojnika u svakom paru je isti, iznosi 101. Konacan jerezultat 50 · 101 = 5050 .

Opisani se Gaussov postupak moze prosiriti na zbroj ma koliko prvih prirodnih

brojeva te se tako dobije:

S (n) = 1 + 2 + 3 + . . . + n = n(n + 1)

2 .

Provjeri ovu jednakost za neke brojeve n .

Na isti nacin mozemo racunati i zbroj prvih n parnih brojeva. No kad vec imamo izvedenu formulu za zbroj prvih nprirodnih brojeva, S (n) , mozemo postupiti i na ovaj nacin:

2 + 4 + 6 + . . . + 2n = 2(1 + 2 + 3 + . . . + n) = 2 · n(n + 1)

2 = n(n + 1).

Rije ˇ si zadatke:

1. Izracunaj zbroj prvih n neparnih prirodnih brojeva.

2. Koliko je 1 + 4 + 7 + . . . + 100 ?

3. Koliki je zbroj svih troznamenkastih brojeva koji pri dijeljenju s 5 daju ostatak 3?

4. Zbroj prvih n prirodnih brojeva jednak je 3003 . Koliki je n ?

5. Broj n(n + 1)

2

je prirodan broj za svaki prirodni broj n . Zasto? Kojom znamenkom moze taj broj zavrsavati?

Postoji li takav n za koji je 1 + 2 + 3 + . . . + n = 5555 ?

Bez rije ˇ ci

Sljedece slicice ilustriraju Gaussovu dosjetku ugeometrijskoj izvedbi. Mozete li je protumaci-ti?

ˇ

Zelite li se potanje pozabaviti ovom temom,upucujemo vas na www.element.hr/plus.

5



1 BROJEVI

O G L E D

N I P R I M

J E R A K

Zadatci 1.1.

1. 1) Zapiˇsi prirodni broj koji neposredno slijedi izaprirodnog broja n .

2) Zapisi prirodni broj koji neposredno pretho-di prirodnom broju n − 2. Kad zadatak imarjesenje?

3) Zapisi broj koji je za 2 veci od zbroja brojevam i n .

4) Zapisi broj koji je dvostruko veci od razlikebrojeva a i b .

5) Zapisi broj koji je tri puta manji od umnoskabrojeva a i b .

2. Ispisi:

1) sve cijele brojeve koji su izme -du cijelih brojeva k − 1 i k + 5 ;

2) sve neparne cijele brojeve koji su veci od2k − 1 i manji od 2k + 7, gdje je k cijelibroj;

3) sve parne cijele brojeve vece od 2k − 5 i ma-nje od 2k + 1, gdje je k cijeli broj.

3. Marko je dvostruko stariji od Filipa, a Filip je 3godine stariji od Luke. Ako je Luki n godina,koliko ukupno godina imaju sva trojica?

4. Zamisli neki broj. Dodaj mu 1 pa zbroj pomnozis 4. Zatim oduzmi 4 pa dobiveni rezultat podijelis 4. Koji je broj rezultat?

Ponovi ovaj postupak nekoliko puta. Sto primje-cujes? Obrazlozi!

5. Neka je d dan, a m mjesec ro -denja tvojeg prijatelja. Evo kako ces odrediti koji je dan njegovro -dendan. Zadaj mu neka provede sljedeciracun:

— Podvostruˇ ci broj d .

— Pomnoˇ zi dobiveni rezultat s 10.

— Dodaj 73. — Pomnoˇ zi s 5.

— Dodaj broj m.

Neka ti sada prijatelj kaze rezultat koji je dobio.Oduzmi krisom od tog rezultata broj 365 i dobitces datum njegovog ro -denja.

Obrazlozi matematicku pozadinuovog opceg rje-senja.

6. Neka tvoj prijatelj broj svojih godina starosti po-mnozi s 4. Tom broju neka doda 10 pa rezultatpomnozi s 25. Neka potom od dobivenog re-zultata oduzme broj dana u neprestupnoj godini.

Konaˇcno, neka razlici doda iznos sitniˇsa u lipamakoji ima u svojem dzepu (svakako neka je manjiod 100). Nakon ovog racuna zahtijevajte da vamkaze rezultat. Dodat cemo tom rezultatu 115 iocitati: prve dvije znamenke su godine, a slje-dece dvije iznos sitnisa u dzepu vaseg prijatelja.Mozete li razobliciti ovu “caroliju”?

7. Na polici se nalazi sest svezaka Op ´ ce enciklope-dije, poredanih slijeva udesno, jedan do drugog.Svaki svezak ima 515 stranica ne racunajuci ko-rice.

1) Koliko ukupno stranica ima Op ´ ca enciklope-dija?

2) Koliko stranica ima izme -du 313. stranice dru-gog sveska i 127. stranice petog?

3) Brojimo li stranice enciklopedije redom te iz-brojimo 1784, u kojem svesku i na kojoj stra-nici smo se zaustavili?

4) Brojimo li stranice enciklopedije redom, aliotraga prema naprijed te se zaustavimo nabroju 3000, u kojem svesku i na kojoj stra-nici smo se zaustavili?

8. Me -du brojevima1, 2, 3, . . . , 9 odaberi dva me -du-sobno razlicita broja. Ispisi sve dvoznamenkastebrojeve kojima su znamenke ti brojevi, te ih zbro-

ji. Taj je zbroj uvijek djeljiv s 22. Zbog cega?

Obrazloˇzi! Mo

ˇze

ˇs li provesti analogno zaklju

ˇci-

vanje za tri odabrana broja?

Napomena: Dvoznamenkast broj xy zapisuje-mo u obliku 10 x + y . Jednako je tako xyz =100 x + 10 y + z .

9. Broj 100 zapisi povezujuci racunskim operacija-ma

1) cetiri jedinice; 2) cetiri trojke;

3) cetiri petice.10. Ispisi redom brojeve 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Pove zi te

brojeve znakovima + i − (koristeci ih ukupnotriput) tako da dobijes 100.

11. Zapisi broj 100 uporabom svih 10 znamenki iuporabom cetiriju osnovnih racunskih operacija.

12. Rijesi rebus:

O H O H O+ A H A H A

A H A H A H

6

1 1




O G L E D

N I P R I M

J E R A K

13. Odredi cetiri uzastopna prirodna broja kojima jezbroj jednak 1 258 .

14. Zbroj pet uzastopnih parnih prirodnih brojeva jednak je 6 080 . Koji su to brojevi?

15. Zbroj sedam uzastopnih neparnih prirodnih brojeva jednak je 581. Koliki je zbroj sedam nared-nih neparnih prirodnih brojeva?

16. Umnozak triju uzastopnih prirodnih brojeva jed-nak je 4080. Koliki je zbroj tih triju brojeva?

17. Koja je posljednja znamenka umnoska

1 · 3 · 5 · 7 · . . . · 99?

18. S kolikonula zavrsava umnozak 1·2·3·4·. . .·33 ?

19. Koja je posljednja znamenka umnoska prvih sto-tinu prostih brojeva?

20. Prepisi, pa umjesto kvadratica upisi broj tako dadobijes tocne jednakosti:

1) −

11 + = −

24 ;

2) − (−45) = 13 ;

3) 23 + = −1 ;

4) + (−17) = −34 ;

5) 33 − (−44) = ;

6) −75 − 28 = ;

7) −

61 + = 77 ;

8) − (−111) = −205.

21. Izracunaj:

1) −5 · (2 − 11) − 4 · (3 − 12) ;

2) 2·

(−

3)−

4·

(−

5) + (−

6)·

(−

7) ;

3) (−12) · (−11) − (−10) · (−15) ;

4) −12 · (−3) − 5 · 14 − 11 .

22. Racunamo: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + . . .Ako imamo konacan broj pribrojnika, recimo n ,koliki je rezultat ovog zbrajanja?

23. Najvisa ikad izmjerena temperatura zraka na Zem-lji zabiljezena je u Libiji 13.9.1922. Iznosila je

57.8 ◦

C ili 136 ◦

F. Najniˇ

za je izmjerena naAntarktici (Vostok Station) 12.1.1983., kada jetermometar pokazivao −89.2 ◦C ili −128.6 ◦F .

Kolika je razlika izme -du najnize i najvise tempe-rature ikad izmjerene na Zemlji?

U Hrvatskoj je do sada najvisa izmjerena tempe-ratura iznosila 42.8 ◦C ili 109 ◦F , a izmjerena je5.8.1998. u Plocama. Najniza temperatura izm-

jerena je u Cakovcu 3.2.1929.,a bilo je −35.5 ◦C

ili −31.5 ◦

F .Kolika je razlika izme -du najvise i najnize izmje-rene temperature u Hrvatskoj?

24. Arhimed je zivio od 287. g. pr. Kr. do 212. g. pr.Kr. To bismo jednostavnije mogli zapisati: Ar-himed je zivio od −287. do −212. g. Koliko

je godina pozivio Arhimemed? Odgovori na istopitanje za sljedece matematicare:

Tales je zivio od −

620. do −

540. godine.

Vitruvije je zivio od − 75. do 15. godine.

Heron je zivio od 10. do 70. godine.


LEWIS CARROLL

Lewis Carroll, cuven po svojim knjigama o Alisi, pseudonim je Charlesa Dod-gsona, engleskog matematicara, profesora na Christ Churchu, najvecem koledzuSveucilista u Oxfordu. Carroll je rado zabavljao svoje prijatelje raznim igrama sbrojevima.

Evo jedne od njih:

Igru igraju dva igraca. Polazeci od broja 1 oni naizmjence dodaju prirodne brojevepo volji, ali svaki puta ne veci od 10. Pobjednik je onaj koji prvi dosegne broj 100.Kako treba igrati neki igrac kako bi pobijedio u ovoj igri?

7

1



1 BROJEVI

O G L E D

N I P R I M

J E R A K

1.2. Racionalni brojevi

Zbroj i razlika svakih dvaju cijelih brojeva cijeli je broj. I umnozak svakih dvajucijelih brojeva je cijeli broj. No kolicnik dvaju cijelih brojeva opcenito nije cijelibroj. Skup cijelih brojeva nije zatvoren s obzirom na dijeljenje. Ta cinjeni-ca namece potrebu za prosirenjem skupa cijelih brojeva. Tako dobivamo skupracionalnih brojeva.

Racionalni su brojevi kolicnici cijelih brojeva. Mozemo ih zapisivati u obliku

razlomaka. Evo nekoliko primjera racionalnih brojeva:

1 : 2 = 1

2, −3 : 4 =

−3

4 , 111 : 25 =

111

25 , 7 : (−33) =

7

−33.

Dijeljenje s nulom nije izvedivo pa u nazivniku razlomka ne smije biti nula.

Svaki je cijeli broj ujedno i racionalan. Obrazlozi!

Skup racionalnih brojeva

Kolicnik m : n dvaju cijelih brojeva m i n ( n = 0) jest racionalan

broj. Racionalan broj m : n zapisujemo u obliku razlomka m

n . Broj

m je brojnik, a broj n nazivnik razlomka.

Skup racionalnih brojeva oznacavamo s Q .

Provedemo li razlomkom zadano dijeljenje cijelih brojeva, dobit cemo racionalanbroj zapisan u decimalnom obliku. Tako je primjerice

3

10 = 0.3,

−17

8 = −2.125,

315

32 = 9.84375,

17

−25 = −0.68.

Svi navedeni primjeri konacni su decimalni brojevi. Postoje i beskonacni deci-malni racionalni brojevi:

37 = 3 : 7 = 0.428571428571428571428571 . . .

1

3 = 1 : 3 = 0.3333333333333333333333333333333333 . . .

−10

11 = −10 : 11 = −0.90909090909090909090909090 . . .

Valja uociti kako se u decimalnom zapisu svakog od triju navedenih brojeva uzas-topce ponavlja skupina znamenki. U prvom primjeru to su znamenke 428571, u

drugom je to znamenka 3, a u trecem su to znamenke 90. Kaˇ

zemo da su ovakvibrojevi periodi ˇ cki. Skupinu znamenki koja se uzastopce ponavlja zovemo peri-od. Ovakve brojeve zapisujemo tako da navedemo sve znamenke jednog perioda,a nad prvu i posljednju znamenku stavimo tocku. To je, naravno, vise nacelno

8

1 2



RACIONALNI BROJEVI 1.2

O G L E D

N I P R I M

J E R A K

nego prakticno izvedivo rjesenje jer period moze ponekad biti toliko velik da ganema smisla navoditi. Brojeve koji su odabrani za primjere zapisujemo:

0.428571, 0.3,

−0.90.

Zbog cega pri decimalnom zapisu racionalnog broja dolazi do ponavljanja sku-pine znamenki? Odgovor na ovo pitanje bit ce sasvim jasan provedete li pisanodijeljenje (ne dijeljenje dzepnim racunalom ili bilo kakvim slicnim pomagalom)brojnika i nazivnika u danom razlomku:

26 : 111 = 0.234

260

380

470

26

U ovom trenutku dosli smo do pocetne pozicije. Ako nastavimo dijeljenje, ukolicniku ce se ponavljati niz znamenki 234.

Bez obzira je li decimalni zapis nekog racionalnog broja konacan ili beskonacan,taj je zapis potpuno poznat i moze se odrediti bilo koja njegova znamenka.

Primjer 1. Koja je znamenka na 1001. mjestu iza decimalne tocke u decimalnom

zapisu broja 3

7 ?

Vidjeli smo da je 3

7 = 0.428571 , tj. uzastopce se ponavlja skupina od 6

znamenki.

Podijelimo li 1001 sa 6, dobit cemo kolicnik 166 i ostatak 5. Stoga ce seskupina od 6 navedenih znamenki izredati 166 puta i potom ce slijediti jospet znamenki. Zakljucujemo da je 1001. po redu znamenka 7.

Zadatak 1. Koja je znamenka u broju

0.123456789101112131415 . . .

na 77. mjestu iza decimalne tocke? Je li taj broj racionalan? Obrazlozi!

9

1



1 BROJEVI

O G L E D

N I P R I M

J E R A K

Jednakost racionalnih brojeva

Prirodno se namece pitanje: Kad su dva racionalna broja (razlomka) jednaka?

Jednakost racionalnih brojeva

Racionalni brojevi (razlomci) a

bi

c

d jednaki su ako i samo ako je

umnozak a · d jednak umnosku b · c :

a

b

= c

d ⇐⇒ a

·d = b

·c

Primjer 2. Obrazlozimo jednakosti:

1) 2

3 =

6

9 ; 2)

−45

−108

= 5

12 ; 3)

−4

7 =

−20

35 .

1) 2

3 =

6

9 , jer je 2 · 9 = 3 · 6 .

2) −45

−108 =

5

12 , jer je −45 · 12 = 5 · (−108).

3) −47

= −2035

jer je (−4) · 35 = (−20) · 7 .

Zadatak 2. Odredi broj x tako da vrijedi:

1) 15

x

= 35

42

; 2) 5

12

= 20

x + 1

; 3)

−3

8

= 12

x

.

Primijetimo da vrijedi −2

5 =

2

−5 jer je (−2) · (−5) = 5 · 2. Oba broja, i

−2

5 i

2

−5 zapisujemo kao −2

5 , te su takvi brojevi negativni racionalni brojevi:−2

5 =

2

−5 = −2

5.

10

1 2




O G L E D

N I P R I M

J E R A K

Kra´ cenje i pro ˇ sirivanje razlomaka

Za svaki racionalni broj

a

b i svaki broj m razliˇ

cit od nule vrijedi:a · m

b · m=

a

b.

Ovu jednakost lako je provjeriti. Ona izravno slijedi iz definicije jednakostirazlomaka i svojstava mnozenja cijelih brojeva:

(a · m) · b = a · (b · m).

Pro ˇ sirivanje i kra´ cenje razlomka

pro ˇ sirivanje

←

a · m

b · m=

a

b

→

kracenjeIstaknutu jednakost mozemo citati dvostrano. Citamo li je zdesna ulijevo, tada je rijec o pro ˇ sirivanju razlomka, a citamo li je slijeva udesno, tada govorimo o kracenju razlomka.

Primjer 3. Svaki se racionalni broj moze kracenjem dovesti na oblik u kojem brojniki nazivnik nemaju zajedniˇ ckih djelitelja.

46

= 2 · 23 · 2

= 23, −21

28 = −3 · 7

4 · 7 = −3

4.

Od dvaju razlomaka, ciji su nazivnici jednaki prirodni brojevi, veci je onaj kojiima veci brojnik. Tako se prosirivanje razlomaka moze koristiti i za usporedburazlomaka.

Primjer 4. Koji je broj veci, x =

3

8 ili y =

4

11 ?

Da bismo ih mogli usporediti, brojeve svodimo na zajednicki nazivnik:

x = 3

8 =

3 · 11

8 · 11 =

33

88, y =

4

11 =

4 · 8

11 · 8 =

32

88.

Vidimo da je x > y .

Zadatak 3. Poredaj po velicini brojeve: 4

5 ,

14

15 ,

5

6 ,

2

3 ,

7

10 ,

23

30 .

11

1 BROJEVI



1 BROJEVI

O G L E D

N I P R I M

J E R A K

Operacije s racionalnim brojevima

Pri zbrajanju racionalnih brojeva razlomke svodimo na zajedniˇ

cki nazivnik. U tusvrhu mozemo uzeti umnozak nazivnika kao zajednicki nazivnik:

a

b +

c

d =

a · d

b · d +

b · c

b · d =

ad + bc

bd .

Racunajuci ovako uvijek cemo dobiti ispravan rezultat, ali brojnik i nazivnikdobivenog razlomka vrlo cesto ce se moci skratiti:

5

6 +

3

8 =

5 · 8 + 3 · 6

6

·8

= 58

48 =

29

24.

Jednostavniji se racun dobiva ako za zajednicki nazivnik odaberemo najmanji za- jedniˇ cki viˇ sekratnik nazivnika. U ovom primjeru za zajednicki nazivnik mozemouzeti V (6,8) = 24 :

5

6 +

3

8 =

5 · 4 + 3 · 3

24 =

29

24.

Oduzimanje racionalnih brojeva vrsimo na analogan nacin.

Zbrajanje i oduzimanje racionalnih brojeva

a

b +

c

d =

ad + bc

bd ,

a

b − c

d =

ad − bc

bd

Prisjetimo se jos definicije umnoska i kolicnika racionalnih brojeva:

ab · c

d = ac

bd .

Posebno, primijetimo da vrijedi

a

b · b

a =

a · b

b · a = 1.

Broj b

a nazivamo recipro ˇ cnim brojem broja

a

b i oznacavamo s

ba

=a

b

−1

.

Dakle, reciprocni broj zadanog racionalnog broja ima zamijenjen brojnik i naziv-nik. Primijetimo da je

b

a = 1 :

a

b.

Dijeljenje racionalnih brojeva zato se svodi na mnoˇ

zenje reciproˇ

cnim brojem:a

b :

c

d =

a

b · d

c =

ad

bc.

12





O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Mno ˇ zenje i dijeljenje racionalnih brojeva

a

b · c

d =

ac

bd ,

a

b :

c

d =

a

b · d

c =

ad

bc

Kolicnik dvaju razlomaka moze se zapisati u obliku dvojnog razlomka:

a

b :

c

d =

a

bc

d

= ad

bc.

Pritom a i d nazivamo vanjskim, a b i c unutarnjim clanovima dvojnog raz-lomka. Ovo pamtimo kao pravilo: razlomci se dijele tako da se prvi razlomak

pomnoˇ zi reciproˇ cnim razlomkom drugog.

Povijesni kutak

ARITHMETIKA HORVATSZKA – prvi ud ˇ zbenik matematike na hrvatskom jeziku

Arithmetika horvatszka, svecenika Mihalja Siloboda-Bolsica (Podgra -de podOkicem 1724. – Sv. Nedelja 1787.) mali je prirucnik pisan kajkavskim narje-cjem i tiskan u Zagrebu 1758. g. Od cetiriju vecih dijelova, prva tri se bavebrojevima i operacijama s njima dok cetvrti sadrzi prakticne racune vezane uztrgovinu, dugovanja, troskove i sl. Knjizica je u puku bila vrlo popularna pa

se u ono doba nevjeˇ

zi u raˇ

cunanju govorilo “neka se primi ˇ

Siloboda”, a ako jenetko bio vjest u racunu pohvalili bi ga da “racuna kao Silobod”.

Knjizica je sadrzavala i nekoliko zagonetki. Jednu od njih, u izvornom oblikuvidite na slici dolje. Tu je odmah dano i rjesenje. Pokusajte ovu zagonetkuprocitati s razumijevanjem.

Dodajmo jos kako je godine 1766. franjevac Mate Zoricic, objavio svoju Aritmetiku, knjizicu vrlo slicnu Silobodovoj.Obje aritmetike namijenjene su sirokom puku koji je u racunu bio potpuno neuk sto je, kako pise Zoricic, glavno zlo iuzrok siromastva i bijede u narodu.

13

1 BROJEVI



1 BROJEVI

O G L E D N

I P R I M

J E R A K

Zadatci 1.2.

1. Razlomke 52

, 54

, 38

, 1516

prikazi u obliku deci-

malnog broja.

2. Brojeve 0.5 , 0.25, 0.125, 0.75, 0.625 prikaziu obliku razlomka.

3. Poredaj po velicini brojeve: 2

3 , 66 % , 0.666,

0.6 .

4. Ako je 13

= 0.3, koliko je 130

?

Ako je 2

7 = 0.285714, koliko je 2

6

7?

5. Odredi period u decimalnom zapisu racionalnogbroja:

1) 5

6 ; 2)

3

11 ; 3)

5

13 ; 4)

6

7 .

6. Koja se znamenka nalazi na 101. mjestu iza de-cimalne tocke u decimalnom zapisu svakog odcetiriju brojeva iz prethodnog zadatka?

7. Odredi 303. znamenku u dec. zapisu broja 15

37 .

8. Odredi 777. znamenku u dec.zapisubroja −111

11 .

9. Odredi 1500. znamenku u dec. zapisu broja 313

.

10. Za koje su cijele brojeve a brojevi 1

a,

a + 2

a(a − 3) ,

a

2a − 10 ,

a + 2

a2 − 4 racionalni?

11. Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomak6

n + 1 cijeli broj.

12. Za koje je cijele brojeve n razlomak 6

n − 1 cijeli

broj?

13. Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomakn + 2

n − 2 cijeli broj.

14. Odrediprirodni broj x tako da vrijedejednakosti:

1) x

12 =

2

3 ; 2)

4

x =

2

5 ; 3)

3

7 =

x

21 .

15. Za koji cijeli broj x vrijedi:

1) 1

5 =

x

20 ; 2)

x

6 = −1

3 ; 3) − x

24 =

5

6 ?

16. Za koji je broj x ispunjena jednakost 9+ x

15+ x =

2

3 ?

17. Zakojijebroj x ispunjena jednakost 123− x

101+ x =

5

9 ?

18. Ako od brojnika i nazivnika razlomka 15

32 oduz-

memo isti broj x , dobit cemo razlomak 4

21 . Ko-

liki je x ?

19. Ako brojniku razlomka 113

212 dodamo neki broj, a

isti taj broj oduzmemo od nazivnika, dobit cemo

razlomak 23

. O kojem se broju radi?

20. Skrati razlomke:

1) 105

168 ; 2)

1155

5775 ; 3)

6930

12 870 ;

4) 3 333 333

5 555 555 ; 5)

135 135

234 234 .

21. Poredaj po veliˇ

cini brojeve:

1) 3

4 ,

11

12 ,

19

24 ,

17

18 ,

67

72 ;

2) 3

4 , 0.7 ,

13

16 , 0.7 ,

29

32 ;

3) −3

4 , − 11

12 , − 19

24 , − 17

18 , − 67

72 .

22. Ako je a = 0.˙

3 , b = 0.25, koliko je

1

a , a2

,a + b , a · b ,

a

b?

23. Ako je 1

a+

1

b= 1 ,

1

b+

1

c= 2 ,

1

c+

1

a= 5 ,

koliko je a + b + c ?

24. Primjenjujuci jednakost 1

n− 1

n + 1 =

1

n

·(n + 1)

izraˇcunaj:1

1 · 2 +

1

2 · 3 +

1

3 · 4 + . . . +

1

99 · 100.

14




O G L

E D N I P R I M

J E R A K

25. Izracunaj:

1

1 · 3

+ 1

3 · 5

+ 1

5 · 7

+ . . . + 1

99 · 100

.

26. Izracunaj:

1)

1.6 − 3

5

·−2

1

4

− 0.2 :

−4

5

;

2)4

5 − 1.8

:−1

4

5

+ 0.1 ·

−5

9

;

3)3

2 − 2

3

1 + 2

3

:

0.75 − 23

: 1.25 − 1

;

4)

3

5 − 1.2

1 + 1

1

2

:

2.5 − 2

5

:

7

8 − 3

.

27. Izracunaj:

1)

2

3

+ 7

12 − 1

43

4 − 1

2

−3

4 − 2

53

2 − 4

5

− 7

2 ;

2)

2

3 − 4

154

−3 − 8

32

−8

3 − 1

22

− 1

5 +

3

20 ;

3)

2

5 − 3

20 +

1

10

:

1

2

3

20 +

1

10 − 1

8 · 5

+ 3

20 − 2

25 · 4 ;

4)1 +

13

5 − 7

24

5 : 4 +

2

3

:

13

2

:

2

7 +

2 − 3

7

:

11

5

1 − 1

7 :

2 − 5

7

;

5)

5

2 −

3

4 +16

3 +

5

12

− 7

8

:

13

2

5

12 +

3

4 · 3

2 − 15

14+5

4 − 7

6 ·9

.

28. Izracunaj:

1)3

4

25 + 0.593

4 − 0.15

: 4

; 2)

7

24 : 0.125 + 3.5

2

3 − 0.25

.

29. Izraˇcunaj:

1)

1.5+2

5

· 5

3−

0.25+2

3

· 0.75− 3

20 · 5

4

: 3 ;

2)

2 +

3

2 − 0.8

· 5

3 −

3

4 + 0.5 +

5

3

· 0.6

2 + 0.875

−

3

2

;

3)0.9−3

4−0.7

· 16+0.4−2.1−56−3

5

2

4

5+0.9−1.2 · 3

4−6

7 : 1.2

:

9

7+

3

5

2 .

30. Izracunaj:

1)

1

4 − 1

102

:

7

3 − 5

62

−

7

10 − 3

52

;

2)

2+ 14−3

2

2 · 32−2

3

2−152 −25

4

2: 4 ;

3)3

2 − 1

4

2

−1

2 − 1

4

2 :

1 + 1

2

2

;

4)5

3−5

4

2

·

2+2

5

−5

6− 7

10

2

· 15

4

· 10

7 ;

5)

11

12 − 1

22

· 12

5 −

8

15 − 2

52

· 15

4 :

7

5 .

31. Izracunaj:

1)

0.75

12

3 − 1.2

:3 + 1

1

21.4

·

1

2 − 1

31

3 − 1

4

;

2) 0.875

3.2 − 1 13

:3 +

3

4

1.2 ·

1 − 1

3

1 + 14

.

32. Izracunaj x iz sljedecih jednakosti, primjenjujucisvojstva osnovnih racunskih operacija s racional-nim brojevima:

1) (5 − 0.2) : (3.3 − x ) = 12 ;

2) (184+ x ):32

5 = (2 x

−48):2.4 ;

3) 1 :

34

5 − 0.8 x

= 55 : ( x + 4) ;

4) 1.2 − (0.8 + x ) = −3.6 ;

5) 1.1 − (5 x + 5.5) = 11.1 ;

6) 12 · (0.22 − x ) = −1.44 ;

7) −1.2 · (0.3 + x ) = −3.6 ;

8) 10

[(8 x + 24) : 5] : 4 + 6

= 1 ;

9) 208 :

112−(100−3 x )·4

23

= 2 ;

15

1 BROJEVI



O G L

E D N I P R I M

J E R A K

10)( x − 11.875) :

5

8

0.625

·

8

25 −2

1

5

= 1 ;

11)

(145−24 x ):5

29 +24

: 5 = 5 ;

12)3

4

15

(5.5 + x ) : 213

7

− 13

8 = 5.625.

33. Ako je a : b : c = 1 : 2 : 4 , koliko jea + 2b

−3c

3a − 2b + c ?

34. Broj 135 podijeli na dva dijela koji su u omjeru7 : 8.

35. Ako je 3 x : 5 y = 7 : 11 , koliko je x : y ?

36. Ako su velicine kutova u trokutu u omjeru1 : 3 : 4 , koliki je najveci kut trokuta?

37. Mjere unutarnjih kutova cetverokuta u omjeru su1 : 2 : 3 : 4 . Kolika je mjera najmanjeg kutaovog cetverokuta?

38. Ako su a , b i c duljine stranica trokuta i ako jea : b = 5 : 4 , a : c = 3 : 5, a opseg trokutaiznosi 156 cm, kolika je duljina najkrace straniceovog trokuta?

39. Broj 2 400 podijeli na tri dijela koji su u omjeru

3 : 5 : 8.40. Broj 697 podijeli na tri dijela, a, b i c tako da je

a : b = 3 : 4 i b : c = 3 : 5.

41. Opseg oranice iznosi 2 800 metara. Kolike suduljina i sirina oranice ako su u omjeru 5 : 9 ?

42. Za 1.5 sat napuni se 0.3 obujma bazena. Koli-ko treba vremena da bi se napunilo 0.9 obujmabazena?

43. Nakon 12 minuta gorenja duljina svijece smanjise s 30 cm na 25 cm. Nakon koliko ce vremenasvijeca dogorjeti?

44. Ako su od 70 proizvoda 3 s greskom, koliko seproizvoda s greskom moze ocekivati u 840?

45. U jednom razredu na pismenom ispitu iz matema-tike 1/ 3 ucenika nije rijesila jedan zadatak, 1/ 4

nije rijeˇ

sila po dva zadatka, 1/ 6 po po tri zadatka,a 1/ 8 sva cetiri zadatka. Koliko je ucenika tocnorijesilo sve zadatke ako je u razredu manje od 30ucenika?


Koje su od sljedecih tvrdnji tocne, a koje netocne?Odgovori, a odgovor obrazlozi.

1. Za bilo koji cijeli broj n brojevi n + 2 ,n + 4 i n + 6 su tri uzastopna parna cijelabroja.

2. Zbroj neparno mnogo neparnih cijelih brojeva je neparan broj, a zbroj parno mnogoneparnih cijelih brojeva je paran broj.

3. Broj n omjer je dvostrukog zbroja i um-noska brojeva a i b . To mozemo zapisati

u obliku n = 2(a + b)

ab.

4. Postoji ukupno 10 cijelih brojeva za koje

je razlomak 15

n + 1 cijeli broj.

5. Za svaki broj a = 0 broj 0 : a nije defi-niran, a vrijedi a : 0 = 0 .

6. Brojevi a = 4

11 i b = −0.36 suprotni su

brojevi.

7. Brojevi m = 40 i n = 0.25 me -dusobnosu reciprocni.

8. Zbroj svih znamenki u jednom periodude-cimalnog zapisa broja

1

11 jednak je 2.

9. U decimalnom zapisu razlomak

1

1 + 1

1 + 1

1 +

1

2 je konacan decimalni broj.

10. Zbroj triju uzastopnih prirodnih brojevadjeljivih s 3 jednak je 333. Najveci od tihbrojeva je 111.

11. Umnozak triju uzastopnih prirodnih brojeva jednak je 1320. Zbroj tih brojeva jednak je 33.

12. Broj n pri dijeljenju sa 7 daje kolicnik 21i ostatak 3. Zbroj znamenki broja n je 6.

16

REALNI BROJEVI 1.3



O G L

E D N I P R I M

J E R A K

1.3. Realni brojevi

Iracionalni brojevi

Postoje brojevi koji nisu racionalni, koje nije moguce predociti kao kolicnik dvaju

cijelih brojeva. Takvi se brojevi zovu iracionalni brojevi. Brojevi√

2 ,√

3 ,√ 5 i π primjeri su iracionalnih brojeva.

12

1

Povijest iracionalnih brojeva seze do pred kraj staroga vijeka. Pitagora i njegovi

uˇcenici suo

ˇcili su se s cinjenicom da racionalni brojevi ne mogu dati odgovor

na neka pitanja sto se pojavljuju u geometrijskim problemima. Tako primjericenisu imali odgovor na jednostavno pitanje: kolika je tocno duljina dijagonalekvadrata sa stranicom duljine 1?

Danas znamo odgovor. Zapisujemo ga kao√

2 i zovemo drugi korijen od 2.

Sama pomisao da postoje brojevi koji nisu racionalni u ono bi doba bila bogohul-na i uzdrmala bi temelje Pitagorina ucenja. Legenda kaze da je jednog Pitagorina

uˇ

cenika samo naslucivanje kako postoje neracionalni brojevi koˇ

stalo glave jer suga bogovi kaznili morskom olujom tijekom koje je potonuo zajedno sa svojombarkom i svojom idejom.

U prakticnim racunima iracionalne brojeve mijenjamo njihovim pribliznim vrijednostima, dakle racionalnim brojevima. Kolika bi bila duljina dijagonale kva-

drata s prethodne slike? Najcesce uzimamo√

2 ≈ 1.41, dzepno racunalo daje√ 2 ≈ 1.414213562 , a mogli bismo po potrebi odrediti i veci broj decimala.

F1Tools

F2Algebra

MAIN RAD AUTO FUNC 1/30

F3Calc

F4Other

F5Prgm10

F6Clean up

3.141459265359

Osobito je zanimljiv iracionalan broj π . O njemu ce jos bi-ti podosta govora, a sada samo spomenimo kako pri racunanjuopsega ( o = 2r π ) ili povrsine ( P = r 2π ) kruga s polumje-rom r uzimamo π = 3.14, a zapravo bi bilo ispravnije pisatiπ ≈ 3.14, jer se radi o pribliznoj vrijednost tog broja. Dzepnaracunala pruzaju znatno precizniju vrijednost.

Matematicarima je poseban izazov pronaci razlomak koji je sto

bliˇ

zi ovom ˇ

cudesnom broju. Vrlo je poznato jednostavno rjeˇ

se-nje koje se pripisuje Arhimedu:

22

7 = 3.142857 . . .

U tom prikazu prve dvije su decimale iste kao prve dvije decimale broja π . Evo jos jednog rjesenja koje bi nakon dijeljenja brojeva u brojniku i nazivniku dalodecimalni broj u kojem se prvih 25 decimala podudara s prvih 25 decimala brojaπ

1 019 514 486 099 146

324 521 540 032 945 = 3.1415926535897932384626433787996 . . .

17

1 BROJEVI



O G L

E D N I P R I M

J E R A K

Kutak plus

KORIJEN IZ 2 NIJE RACIONALAN BROJ

Broj√

2 nije racionalan. Dokazimo ovu tvrdnju.

Kad bi√

2 bio racionalan broj, mogli bismo ga zapisati u obliku kolicnika dvaju prirodnih brojeva. Pa uzmimo da

on to jest, da ga mozemo zapisati u obliku razlomka m

n , gdje su m i n prirodni brojevi (jer je

√ 2 pozitivan broj).

Tako -der mozemo pretpostaviti da m i n nisu oba parna. Kad bi oni bili takvi, kratili bismo ih sve dok to mo zemo, dokbarem jedan od njih ne bude neparan.

Kvadriramo jednakost m

n =

√ 2 i dobijemo 2 =

m2

n2 , odnosno m2 = 2n2 . Zakljucujemo da je m2 paran broj. No,

onda je i m paran. (Zasto?) Dakle, n je neparan. Zapisimo m = 2k pa je 4k 2 = 2n2 , odnosno n2 = 2k 2 . Slijedi

n2 je paran broj, pa je time i n paran.

No prirodni je broj n ili paran ili neparan; ne moze biti jedno i drugo. Do ovog proturjecnog zakljucka dovela nas je

pretpostavka da je√

2 racionalan broj. Stoga je ta pretpostavka kriva, tj.√

2 nije racionalan broj.

RACIONALNI BROJEVI BLISKI KORIJENU IZ 2

Broj√

2 rjesenje je jednadzbe x 2 = 2, koju mozemo napisati kao ( x − 1)( x + 1) = 1 ili x − 1 = 1

x + 1 pa je

x = 1 + 1

1 + x . Odavde slijedi

x = 1 + 1

1 + x = 1 +

1

2 + 1

1 + x

= 1 + 1

2 + 1

2 + 1

1 + x

. . .

Time dobivamo izraze 1 + 1

2

, 1 + 1

2 + 12

, 1 + 1

2 + 12 +

1

2

, 1 + 1

2 + 12 +

1

1 + 1

2

. . .

Napisi ih u obliku racionalnog broja i usporedi njihove vrijednosti u odnosu na√

2. Izracunaj jos nekoliko sljedecihbrojeva dobivenih po istom principu.

KAKO SE KORIJEN BROJA 2 RA ˇ CUNA S POMO ´ CU D ˇ ZEPNOG RA ˇ CUNALA?

Svako dˇzepno raˇcunalo ima tipku za ra ˇcunanje drugog korijena. Kojim se postupkom taj korijen odre -duje? Uvjerimo

se da se jednadzba x 2 = C moze napisati u obliku x = 1

2

„ x +

C

x

«. Odaberimo ovdje C = 2 , no mozemo racun

napraviti i za bilo koji drugi C . Krenimo od x = 2 sto cemo uvrstiti zdesna: x = 1

2

„2 +

2

2

«= 1.5 .

Ponovimo li postupak s ovom vrijednoscu za x , pa onda ponovno s novoizracunatima, dobit cemo

x = 1

2

„1.5 +

2

1.5

«= 1.41˙6, x =

1

2

„1.41˙6 +

2

1.416

«= 1.414215686 . . .

Izracunaj sljedecu vrijednost i usporedi je s decimalnim prikazom broja √ 2 .

18

REALNI BROJEVI 1.3



O G L

E D N I P R I M

J E R A K

Realni brojevi

Svaki je prirodni broj ujedno i cijeli broj. Kazemo da je skup prirodnih brojeva

podskup skupa cijelih brojeva.

Svaki je cijeli broj racionalan pa kazemo da je skup cijelih brojeva podskup skuparacionalnih brojeva. Dakako, i svaki je prirodni broj (jer je cijeli) racionalan.

Udruzeni u jedan skup, racionalni i iracional-ni brojevi cine skup realnih brojeva. Skuprealnih brojeva oznacavamo s R .

Me -dusobni odnosi skupova brojeva mogu se zorno prikazati dijagramom u kojem je skup zapisan naniˇ zoj razini podskup skupa ˇ sto je na viˇ soj razini i skojim je povezan crtom. Pozorno razmotrite slikui protumaˇ cite je.

R

Q I

Z

N

Skup realnih brojeva

Skup realnih brojeva R sastoji se od racionalnih i iracionalnih brojeva.Svaki realni broj a mozemo prikazati u (konacnom ili beskonacnom)decimalnom prikazu:

a = a0.a1a2a3 . . .

pri cemu je a0 cijeli broj, a a1 , a2 , a3 . . . neke od znamenki 0, 1,2, . . . , 9.

Operacije s realnim brojevima

Cetiri su temeljne operacije s realnim brojevima: zbrajanje, oduzimanje, mno-zenje i dijeljenje. Opisimo osnovna svojstva koja imaju te operacije. Posebnocemo obratiti pozornost na svojstva operacija zbrajanja i mnozenja.

Prvo svojstvo, komutativnost, kaze da se dva broja mogu zbrojiti ili pomnoziti

u bilo kojem poretku. Za bilo koja dva realna broja a i b vrijedi

a + b = b + a, ab = ba.

Svojstvo asocijativnosti govori o zbrajanju ili mnozenju triju brojeva. Tri sebroja mogu zbrojiti ili pomnoziti, ne mijenjajuci im poredak, na dva razlicitanacina. Rezultat ce biti isti. Dakle, za bilo koja tri realna broja a , b i c vrijedi

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc).

19

1 BROJEVI



O G L

E D N I P R I M

J E R A K

Primjer 1. Zbog svojstava asocijativnosti i komutativnosti dozvoljeno je zbrojeve iumnoske od triju (ili vise) clanova pisati bez zagrada i racunati bilo kojimporetkom! Utvrdi koja smo svojstva i koji poredak koristili u ovom racunu:

117 + 149 + 13 = 117 + 13 + 149 = 130 + 149 = 279;

144 + 373 + 156 = 144 + 156 + 373 = 300 + 373 = 673;

45 · 7 · 2 = 45 · 2 · 7 = 90 · 7 = 630.

Sljedeca svojstva zbrajanja i mnoˇzenja realnih brojeva tiˇcu se dvaju istaknutihbrojeva, 0 (nule) i 1 (jedinice).

Za bilo koji realan broj a vrijedi

a + 0 = a, a · 1 = a.

Kaˇ

zemo daje 0 neutralni element za zbrajanje, a jedinica je neutralni elementza mno ˇ zenje.

Zbroj brojeva 2 i −2 jednak je nuli. Opcenito, za svaki broj a postoji realni broj,koji oznacavamo s −a , takav da zbrojen s a daje nulu:

a + (−a) = 0.

Broj −a nazivamo suprotni broj broju a .

Suprotan broj broju 0 je opet 0, dakle −0 = 0 . 0 je jedini broj s tim svojstvom:ako za neki realni broj a vrijedi a = −a , onda mora biti a = 0 .

Ne smijemo brkati suprotni broj s negativnim brojem! Ako je a negativan realnibroj, onda je njemu suprotan broj −a pozitivan! Primjerice, ako je a = −3 ,onda je −a = −(−3) = 3. Opcenito je za bilo koji broj a ispunjeno

−(−a) = a.

Za radoznaleJe li broj −a pozitivan ili negativan?

Ovo pitanje povlaci novo pitanje: reci mi kakav je a pa cu ti odgovoriti kakav je

−a .

Ako je a pozitivan, −a je negativan, a ako je a negativan, onda je −a pozitivan

20

REALNI BROJEVI 1.3



O G L

E D N I P R I M

J E R A K

Oduzimanje realnih brojeva je isto sto i zbrajanje sa suprotnim brojem:

a−

b =

a + (−

b).

Primjer 2. Vrijedi −(a + b) = −a − b . U to cemo se uvjeriti tako da zbrojimo broja + b s −a − b :

a + b + (−a − b) = a + (−a) + b + (−b) = 0.

Dakle, −a − b je suprotni broj za a + b , pa vrijedi

−(a

+ b

) = −a

−b.

Za svaki broj a razlicit od nule postoji realni broj, koji cemo oznaciti s a−1 , zakoji vrijedi

a · a−1

= 1.

Broj a−1 nazivamo inverzni ili recipro ˇ cni broj broju a , a = 0. Kako je

a · 1

a = 1 , zakljucujemo da je reciprocni broj jednak

a−1 = 1

a.

Dijeljenje realnih brojeva svodi se na mnozenje reciprocnim brojem. Ako su a ib realni brojevi, b = 0, onda je

a : b = a · 1

b .

Svojstvo distributivnosti povezuje operacije zbrajanja i mnoˇ

zenja. Za sve realnebrojeve a , b i c vrijedi:

a(b + c) = ab + ac.

Primjer 3. U sljedecim jednakostima koristili smo svojstvo distributivnosti:

29

·17 + 71

·17 = (29 + 71)

·17 = 100

·17 = 1700,

42 · 37 + 33 · 37 + 25 · 37 = (42 + 33 + 25) · 37 = 100 · 37 = 3700.

21

1 BROJEVI



O G L

E D N I P R I M

J E R A K

Svojstva zbrajanja i mno ˇ zenja realnih brojeva

Operacije zbrajanja i mnozenja realnih brojeva imaju sljedeca svojstva:

1. Komutativnost:a + b = b + a , a · b = b · a .

2. Asocijativnost:

(a + b) + c = a + (b + c) , (a · b) · c = a · (b · c) .

3. Distributivnost (obostrana) mnozenja prema zbrajanju:

a · (b + c) = a · b + a · c , (a + b) · c = a · c + b · c .

4. Postojanje neutralnih elemenata, 0 (nule) za zbrajanje i 1 (jedini-ce) za mnozenje:

x + 0 = x , x · 1 = x .

5. Postojanje suprotnog broja i inverznog broja:

a + (−a) = 0 , a · 1

a = 1 (a = 0) .

Zadatak 1. Primjenjujuci svojstva zbrajanja i mnozenja realnih brojeva, izracunaj na stoucinkovitiji nacin:

1) 1.73 + 3.65 + 5.27 ; 2) −0.25 · 33 · 4 ; 3) 3

4 · 0.24 · 4

6 ;

4) 4.4 · 10.3 + 5.6 · 10.3 ; 5) 0.76 · 4.2 + 0.24 · 4.2 + 4.2 .

Ra ˇ cunanje s realnim brojevima

Govorili smo o svojstvima racunskih operacija s realnim brojevima. No ako surealni brojevi beskonacni decimalni brojevi, osobito ako su iracionalni, kako snjima racunati? Evo jednog primjera:

Primjer 4. Kolika je povrsina kruznog odsjecka ako je duljina polumjera kruga 6 cm,

a sredisnji kut iznosi 120◦ ?

A B

S

60

Povrsina odsjecka jednaka je razlici po-vrsina kruznog isjecka i povrsine troku-ta ABS . Isjecku pripada sredisnji kutod 120◦ , pa je njegova povrsina jedna-ka trecini povrsine kruga:

Pi = 12π cm2.

22

REALNI BROJEVI 1.3



O G L

E D N I P R I M

J E R A K

A povrsina trokuta ABS jednaka je povrsini jednakostranicnog trokuta sastranicom duljine r = 6 cm:

P = 9√

3 cm2.

Tada je povrsina odsjecka jednaka

Po = Pi − P = (12π − 9√

3) cm2.

I zadatak je rijesen.

No rezultat, premda sasvim tocan, ne daje jasnu sliku o velicini povrsine

kruznog odsjecka. Zato cemo brojeve π i√

3 zamijeniti njihovim pribli-znim vrijednostima. Te priblizne vrijednosti ovise o tome koliku tocnostˇ

zelimo postici. U ovom primjeru razumno je procijeniti da je dovoljnoracunati s pribliznim vrijednostima π ≈ 3.14 i √ 3 ≈ 1.73. Tada je

Po = 12π − 9√

3 ≈ 37.68 − 15.57 = 22.11 cm2.

Pri racunanju s realnim brojevima u pravilu racunamo s njihovim pribliznim vrijednostima. Valja biti svjestan da tako radimo i kad pri racunu rabimo dzepnoracunalo, samo sto se onda brojevi uzimaju s boljim pribliznim vrijednostima.

Uzmimo nas prethodni primjer. Uz pomoc dzepnog racunala racun bi izgledaoovako:

Po = 12π − 9√

3 ≈ 12 · 3.141592654 − 9 · 1.732050808

= 37.69911184 − 15.58845727

= 22.11065457 cm2.

Usporedimo li ovaj s prethodno dobivenim rezultatom, vidimo da i nema velike

razlike.

Brojevni pravac

Cijele brojeve mozemo slikovito prikazati na brojevnom pravcu. Taj prikaz na-likuje na prikaz ljestvice termometra. Povucimo horizontalni pravac i odaberimona njemu jednu istaknutu tocku O kojoj pridruzimo broj 0. Nekoj tocki E desnood nje pridruzimo broj 1. Duzina OE naziva se jedini ˇ cna du ˇ zina, njezina jeduljina jedinica mjere. Nanosenjem jedinicne duzine desno od tocke E odreditcemo polozaj prirodnih brojeva. Ako tu istu duzinu nanosimo lijevo od tockeO , odredit cemo polozaj negativnih cijelih brojeva. Tako je udaljenost izme -dusvakih dvaju uzastopnih cijelih brojeva jednaka jedini ˇ cnoj duljini.

O E

2 31-1-2 0

23

1 BROJEVI



O G L

E D N I P R I M

J E R A K

Ako je temperatura u nekom trenutku bila 0 ◦C, pa je narasla na 1 ◦C, tada je ziva u termometru u me -duvremenu poprimila sve vrijednosti izme -du tocakaoznacenih s 0 i 1. Kojim brojevima odgovaraju te tocke?

Pokusajmo odgovoriti na ovo pitanje. Tako se, npr., na polovini udaljenosti izme-

-du 0 i 1 nalazi broj 1

2 . Podijelimo li jedinicnu duzinu na pet jednakih dijelova,

tada djelisnim tockama odgovaraju brojevi 1

5 ,

2

5 ,

3

5 i

4

5 .

O E

2

3

5 55

3

5

1

1

2

2

2

4

1-1

0

Gdje se na brojevnom pravcu nalaze racionalni brojevi? Ako su brojevi m i

n prirodni, onda cemo m

n smjestiti ovako: jedinicnu duzinu podijelimo na n

jednakih dijelova, i zatim nanesemo m takvih duzina udesno, pocevsi od broja0. Ako je m negativan, onda duzine nanosimo lijevo od broja 0.

31

1

5

n

n

n

m

m-1 0

Hocemo li racionalnim brojevima ispuniti cijeli brojevni pravac?

Konstruirajmo duzine s duljinama√

2 i√

3 . Nanesemo li te duzine na brojevni

pravac, dobit cemo tocke koje ne odgovaraju racionalnom broju, jer√

2 i√

3nisu racionalni.

Na slici vidimo jednu prakticnu konstrukciju kojom na brojevni pravac smjestamobrojeve oblika

√ n , n ∈ N .

0 1 2 3 2 5

1

Svakom realnom broju odgovara jedna tocka na brojevnom pravcu. Isto tako,svakoj tocki brojevnog pravca odgovara jedan realni broj. Zato moˇ zemo poisto-vjetiti toˇ cke brojevnog pravca s realnim brojevima. Tako i cijeli brojevni pravacnazivamo jos realni pravac ili realna os.

24

REALNI BROJEVI 1.3



O G L

E D N I P R I M

J E R A K

Povijesni kutak

BROJEVI

Prirodni brojevi nastali su iz prakticne potrebe za prebrajanjem– kolicinskom opisivanjem i vrednovanjem konacnih skupova.Taj je proces trajao tisucljecima, gotovo tijekom citave ljudskepovijesti. U davno doba prebrajanje se provodilo pridruziva-njem i uspore -divanjem broja elemenata nekog skupa sa skupomkamencica ili sitnih predmeta izra -denih od gline. Zanimljivo je primijetiti kako se visa matematika, ona koja se uci na pr-

vim godinama studija, u engleskom govornom podru ˇcju zoveCalculus, sto potjece od latinskog calculus – kamencic.

Sustav “zapisivanja” kolicina tijekom vremena se unaprje -divao pa su se primjerice nekoliko tisucljeca prije Krista naBliskom istoku u tu svrhu rabili mali glineni predmeti raznih oblika i velicine. Koliko je ovaj sustav bio slozen govorii podatak da se krajem 4. tisucljeca pr. Kr. rabilo 300 razlicitih figurica.

Jos se jedan nacin prebrajanja razvijao tijekom povijesti, a sastojao se u pri-druzivanju elemenata nekog skupa i ureza na zivotinjskoj kosti ili drvenomprutu.

Najstariji arheoloski nalazi koji to potkrepljuju jesu majmunske kosti na -de-ne u jami Border Cave u planini Lemombo na granici Svazija i JuznoafrickeRepublike. Sto je na njima biljezeno, danas nije moguce znati. Vjeruje seda su te kosti stare priblizno 37000 godina. Slicne kosti stare oko 30 000godina nasao je 1937. godine u srednjoj Ceskoj arheolog Karl Absolom.Spomenimo jos i kosti (na slici) koje je u Ishangu na granici Ugande iKonga, svega petnaestak kilometara od ekvatora 1960. godine pronasaobelgijski istrazivac De Braucourt, a starost im je 20 000 godina.

Primijetimo kako se ovakvo zapisivanje rabi jos i dandanas pa se takvezabiljeske provode pri nekim kartaskim igrama, glasovanjima i sl. Kako toizgleda, vidimo na zidu jedne pivnice.

U odnosu na dug put do prirodnih brojeva cijeli, racionalni iiracionalni brojevi relativno su brzo nastali. Cini se kako sunegativne cijele brojeve i nulu uveli Kinezi i to iz prakticnepotrebe trgovackog poslovanja. No njihovo sustavno uvo -denjeu matematiku uslijedilo je znatno kasnije, tek na pocetku 17.

stoljeca.

Pratilo ih je ponekad i zestoko osporavanje, cak i tako velikihmatematicara kao sto su bili Descartes i Pascal ( Ne postoji ma-nje od nule). Mnogi drugi, me -du kojima Leibniz i Newton,spremno su ih prihvacali.

Racionalni brojevi su znatno stariji od cijelih. Tako je racunanje s razlomcima bilo vrlo sustavno razra -deno jos uEgiptu, u 4. tisucljecu prije Krista. Da postoje brojevi koji nisu racionalni, spoznali su pitagorejci i to je otkri ce za njihbilo vrlo neugodno jer se nije uklapalo u njihovo ucenje o savrsenosti brojeva. Legenda kaze kako su bogovi jednog

Pitagorina sljedbenika koji se drznuo i pomisliti da postoje joˇs neki brojevi, ne samo racionalni, kaznili stradavanjemu velikoj oluji na moru.

25

1 BROJEVI



O G L

E D N I P R I M

J E R A K

Aritmeti ˇ cka sredina

Primjer 5. Marina je na kraju skolske godine iz 8 predmeta imala zakljucenu ocjenuodlican, iz 5 predmeta vrlo dobar te iz 2 predmeta dobar. S kojim opcimuspjehom je Marina zavrsila razred? Mogla je imati i bolji uspjeh. Kako?

Da bismo odredili Marinin opci uspjeh moramo izracunati srednju ocjenusvih 15 predmeta. Zbrojit cemo sve ocjene pa zbroj podijeliti s brojem

predmeta: 8 · 5 + 5 · 4 + 2 · 3

15 =

66

15 = 4.4.

Rezultat 4.4 znaci da je Marinin opci uspjeh vrlo dobar. Da bi proslas odlicnim, potreban je najmanji prosjek 4.5, a to znaci da ukupan zbrojnjezinih ocjena mora biti jednak najmanje 15·4.5 = 67.5 , odnosno barem68. Kako je to Marina mogla postici?

Aritmeti ˇ cka sredina

Prosjek ili aritmeti ˇ cka sredina n brojeva a1 , a2 , a3, . . . ,an je broj

A = a1 + a2 + a3 + . . . + an

n.

Dakle, ako je dan neki skup brojcanih podataka, tada je njegova aritmetickasredina broj koji dobijemo dijeljenjem zbroja svih podataka s brojem podataka.

Zadatak 2. U nekoj nogometnoj momcadi od 11 igraca

petorica imaju po 25 godina, trojica po 23,dvojica po 19 i jedan igrac ima 18 godina.

1) Kolika je prosjecna starost igraca ovemomcadi?

2) Ako se tijekom igre umjesto jednog de-vetnaestogodisnjeg igraca uvede zamjena,prosjecna starost momcadi je tada 23 go-

dine. Koliko godina ima igraˇc uveden u

igru?

26

REALNI BROJEVI 1.3



O G L

E D N I P R I M

J E R A K

Postotak i promil

U svakodnevnom zivotu vrlo se cesto susre-

cemo s postotcima. Postotcima se izraˇzava

povecanje zivotnih troskova, popust u trgo-vini, kamate na kredite ili stednju, nagibceste, stopa gospodarskog rasta itd. Dopu-nite ovaj niz s jos nekoliko svojih primjera.

A sto je postotak?

Postotak

Postotak je razlomak s nazivnikom 100. Pisemo p

100 = p %.

Ako je dan neki iznos x , tada je p % od x jednako p100

· x .

Primjer 6. Kolicina krvi u ljudskom tijelu iznosi 7 % tjelesne mase.

1) Izracunaj kolicinu krvi u svojem tijelu.

2) Ako je masa krvi u tijelu tvojeg prijatelja jednaka 3.64 kg, kolika jenjegova tjelesna masa?

3) Pretpostavimo da tvoja tjelesna masa poraste za 1 kg. Za koliko sepoveca kolicina krvi u tvojem tijelu? Izrazi to povecanje i u postotcima.

Sto znaci podatak da je kolicina krvi u ljudskom tijelu 7 % tjelesne mase?To znaci da na svakih 100 jedinica tjelesne mase imamo 7 jedinica krvi

(sedam po sto ili sedam posto ili 7 %). U tijelu mase m (kg) koliˇcina krvi(izrazena u kg) jednaka je

7

100 · m = 0.07m kg.

Dakle, radi se o proporcionalnosti s koeficijentom 7

100 = 0.07 .

Ako je tjelesna masa neke osobe 60 kg, u njezinom organizmu je koli cina

krvi jednaka 7100

· 60 = 0.07 · 60 = 4.2 kg . Kolicina krvi osobe cija je

tjelesna masa 48 kg iznosi 0.07 · 48 = 3.36 kg .

27

1 BROJEVI



O G L

E D N I P R I M

J E R A K

Rijec postotak sama za sebe govori o cemu je rijec. Ona je doslovan prijevodstrane rijeci procent koja se i u hrvatskom jeziku povremeno rabi. No, uz postotkecesto se moze cuti i za promile.

Promil

Promil je razlomak s nazivnikom 1000. p

1000 = p ‰

Ako je dan neki iznos x , tada je p ‰ od x jednako p

1000 · x .

Obrazlozite sljedeci niz jednakosti:

1 ‰ = 1

1000 = 0.001 = 0.1 %.

Primjer 7. Jedno od vaˇ

znih svojstava morske vode jest slanost ili salinitet. Iskazuje seu promilima mase pa tako salinitet od 1 ‰ znaci da je u 1 kg morske vodesadrzan 1 gram soli. Prosjecna slanost svjetskih mora jednaka je 35 ‰ .Crveno more ima slanost 40 ‰ , Balticko more jedva 6 ‰ . Slanost Jad-ranskog mora veca je od prosjeka i jednaka je 38 ‰ . Litra morske vodeteza je od litre ciste vode i u Jadranu u prosjeku tezi 1 028 g.

Sol se iz morske vode dobiva pri-rodnim putem, isparavanjem u ve-likim i plitkim bazenima. Proceszapocinje u proljece, a zavrsava u jesen berbom soli. U Hrvatskoj susolane na otoku Pagu, u Stonu te uNinu.

Solana na Pagu zauzima povrsi-nu od 258 ha i godisnje proizvede20 000 t soli sto je 80 % ukupnedomace proizvodnje soli.

Odgovori na sljedeca pitanja:

1) Koliko je soli u 10 litara vode u Jadranskom moru?

2) Koliko nam litara jadranske morske vode treba za 1 kg soli?

3) Kolika je ukupna proizvodnja soli u trima hrvatskim solanama?

(Odgovori: 1) 391 g, 2) 25.6 l, 3) 25 000 t.)

28

REALNI BROJEVI 1.3



O G L

E D N I P R I M

J E R A K

Zadatci 1.3.

1. Koji su od sljedecih brojeva racionalni:

−11

15 ,

√ 17 ,

π

2 , −

√ 22

, 5 , 5√

5, −444?

2. Izme -du kojih se dvaju uzastopnih cijelih brojevanalaze sljedeci brojevi:√

117, −√

515, 5π

3 , −√

77 ,√

777, −15π ?

3. Poredaj po veliˇ

cini brojeve: 3.14 ,

22

7 , π ,

355

113 ,√ 9.9 .

4. Je li broj 0.3333 . . . racionalan ili iracionalan?Obrazlozi!

5. Postupajuci kao u “Kutku plus” dokazi da broj√ 3 nije racionalan broj.

6. Dokazi da je broj√

2 +√

3 iracionalan. Uputa:

zapisi √ 2 + √ 3 = a , gdje je a racionalan broj.

7. Odredi sest brojeva cija je aritmeticka sredina jednaka 3, a svaki je sljedeci od prethodnog veciza 0.4.

8. Srednja vrijednost 15 uzastopnih prirodnih bro-

jeva jednaka je 14. Koji je najmanji, a koji jenajveci od tih brojeva?

9. Prosjecnatezina djecakau razredu je 55kg, a pro-sjecna tezina djevojcica 47 kg. Koliki je omjerbroja djevojcica i broja djecaka ako je prosjecnatezina svih ucenika tog razreda 49 kg?

10. Koji je od brojeva 28, 30, 26, 37 i 29 aritmetickasredina ostalih cetiriju?

11. Odredi sedam brojeva cija je aritmeticka sredina6.6, a svaki je sljedeci broj od prethodnog manjiza 0.2.

12. Prosjecna starost igraca jedne nogometne mom-cadi, njih jedanaestorice, je 25.5 godina. Ako jeiz igre iskljucen igrac star 20.5 godina, kolika jeprosjecna starost igraca koji su ostali u igri?

13. U nekom razredu s 30 ucenika prosjecna ocjenaopceg uspjeha je 3.85. S prosjekom 5.0 razred

je zavrsilo 6 ucenika. Kolika je prosjecna ocjenaostalih 24 ucenika?

14. U nekoj je skoli 16

svih ucenika zavrsila razred s

odlicnim uspjehom, 2

3 s vrlo dobrim,

1

8 s dob-

rim. S dovoljnim nije zavrsio niti jedan ucenik, a13 ucenika upuceno je na popravni ispit. Kolika

je srednja ocjena ucenika koji su uspjesno zavrsiliskolsku godinu?

15. Prosjecna visina djevojcica u nekom razredu je

164 cm, a djecaka 172 cm. Ako je prosjecna vi-sina svih u razredu 167 cm, koliki je omjer brojadjevojcica i broja djecaka u tom razredu?

16. Hotel Plavi Jadran, ciji je kapacitet 180 poste-lja, u 7. i 8. mjesecu bio je popunjen 95 %, u6. i 9. popunjenost je bila 75 % . U trima zim-skim mjesecima hotel je bio zatvoren, a u ostalimmjesecima popunjenost je bila 45 % . Koliki je

bio prosjeˇ

can mjeseˇ

cni broj gostiju tog hotela uvremenu kada je hotel bio otvoren?

17. Odredi aritmeticku sredinu brojeva 5

12 i

7

15 .

Uvjeri se da je taj broj veci od manjeg, a manjiod veceg od tih dvaju brojeva.

18. Koristeci se svojstvom aritmeticke sredine odredi

pet brojeva koji su veci od

5

6 , a manji od

8

9 .

19. Za neku je gradnju potrebno 200000 komadaopeke. Ako je otpad zbog loma 4.5 % kolikokomada treba nabaviti?

20. Kava pri przenju gubi 12 % mase. Koliko tre-ba sirove kave da bi se przenjem dobilo 10 kgprzene?

21. Netko za prijevoz robe plati 600 kn sto cini1.5 %njezine vrijednosti. Koliko vrijedi roba?

22. U nekoj skoli 55 % svih ucenika su djevojcice.Ostalo su djecaci i njih je za 60 manje nego dje-vojcica. Koliko je ucenika u toj skoli?

23. Ucenici triju razreda skupljali su stari papir. Raz-red A skupio je za 20 % vecu kolicinu od razreda

B, a razred B za 20 % manje od razreda C. Ako jeukupno skupljeno 759 kg papira, koliko je skupiopojedini razred?

29

1 BROJEVI

24 Tocno netocno pitalice



O G L

E D N I P R I M

J E R A K

24. U predizbornoj kampanji jedan je politicar obe-cao kako ce za vrijeme svojeg cetverogodisnjegmandata ukinuti PDV na knjige koji sada iznosi20 % i to tako da ce ga svake godine umanjiti za

5 % u odnosu na prethodnu godinu. Moˇze li tajpoliticar, bude li izabran, ispuniti svoje obecanje?

25. Novine obavjestavaju kako je porast cijene auto-mobilskoggoriva tijekomposljednje 3 godine bioredom za 4 %, 5 % i 8 % Tako je u te 3 godine ci-

jena porasla za ukupno 17 %, zakljucuje novinar.No ta je racunica pogresna. Izracunajte koliko jeporasla cijena goriva u posljednje tri godine.

26. Odgovori na sljedeca pitanja:1) Koliko je ucenika u tvojem razredu zavrsilo

osmi razred s opcim uspjehom vrlo dobar?Izrazi taj broj u postotcima.

2) Na pismenom ispitu iz matematike u tvojemrazredu 32 % ucenika ocijenjeno je odlicnomocjenom. Koliki je to broj ucenika?

27. U morskoj je vodi 0.3 % soli. Koliko kilograma

soli ima u jednom hektolitru morske vode?28. Od neke svote odbije se 8 % na troskove, a os-

tatak se podijeli na 5 osoba. Koliko je iznosilacijela svota ako je svaka osoba dobila po 930 kn?


1. Svaki je iracionalan broj ujedno i realan.

2. Svaki je racionalan broj ujedno i cijelibroj.

3. Broj 0.10100100010000100000 . . . je ra-cionalan broj.

4. Broj 3.14159 je iracionalan broj.

5. Zbroj svaka dva iracionalna broja iraci-onalan je broj.

6. Ako je x −2 y=3 , onda je 3 x −6 y+3=12 .

7. Ako je 5 % nekog broja jednako 75, tada je 80 % tog istog broja jednako 1250.

8. Akoje 1 ‰ od x jednako11, onda je 1 %od x jednako 110.

9. Ako je 2 % od y jednako 22, onda je 2 ‰od y jednako 2.2.

10. Aritmeticka sredina 15 uzastopnih prirod-nih brojeva jednaka je 20. Najmanji od tihbrojeva je broj 13.

Istrazite

ALKOHOL U KRVI VOZA ˇ CA

Alkohol u krvi vozaca najcesci je uzrok pogubnih prometnih nesreca. Prometna policija osobito je stroga u provjeramaalkoholiziranosti vozaca uz blagdane kakav je primjerice Martinje. Godine 2010. na taj je dan samo na jednoj kont-rolnoj tocki kod Duge Rese 31 vozac ostao bez vozacke dozvole. Rekorder pri toj provjeri bio je vozac u cijoj je krviizmjereno 3.41 ‰ alkohola. Sto znaci taj podatak?

Koncentracija alkohola, iskazana u promilima, u krvi vo-zaca racuna se prema formuli:

C =

A

· p

·0.79

100 m · k

U toj je formuli A kolicina popijenog alkohola izrazena uml, p jakost alkohola izrazena u postotcima, 0.79 je speci-ficna tezina etilnog alkhola, m tjelesna masa osobe (u kg),a k je koeficijent redukcije koji je za muskarce 0.68, zazene 0.61.

Primjerice, ako muskarac mase 70 kg popije litru piva jacine 6 %, koncentracija alkohola u njegovoj krvi iznosit

ce C = 1000 · 6 · 0.79

100

·70

·0.68

≈ 1 ‰ . Tolika kolicina alkohola u krvi neke osobe izaziva osjecaj zbunjenosti i slabije

orijentacije.Istrazite podrobnije kako alkohol utjece na sposobnost vozaca. Proucite propise o dopustenoj kolicini alkohola u krvivozaca.

30

OPERACIJE SA SKUPOVIMA 1.4

1 4 O ij k i



O G L

E D N I P R I M

J E R A K

1.4. Operacije sa skupovima

Pojam skupa

Govorili smo o skupu prirodnih brojeva, skupu racionalnih brojeva. . . Sto je toskup? Poput drugih temeljnih pojmova (npr., broja, tocke, pravca i sl.) taj se pojam ne definira, jer ga je tesko rasclaniti na jednostavnije pojmove, pa to necemoni pokusavati. Zadovoljit cemo se dogovorom da je skup odre -den ako je dobrodefiniran zakon prema kojem odre -dujemo njegove elemente. Tako je, npr., skup

“svih uˇ

cenika u vaˇ

sem razredu” dobro definiran. Me -dutim, skup “svih visokihucenika u vasem razredu” nije dobro definiran, jer nam je nepoznat kriterij “biti

visok”. Skupove zorno predocavamo Euler-Vennovim dijagramima.

Oznacimo s A skup neparnih prirodnih broje-va manjih od 10. Taj je skup dobro definiran, jer za svaki zadani broj znamo odrediti pripadali mu ili ne. Zapisujemo ga unutar viticastezagrade, navodeci njegove elemente:

A = {1, 3, 5, 7, 9},ili na ovaj nacin:

A = {n : n ∈ N je neparan, n < 10}.Broj 7 pripada ovom skupu; pisemo 7 ∈ A . ( Citaj: 7 je element skupa A , ili 7pripada skupu A .) Broj 6 mu ne pripada. Pisemo 6 /∈ A .

Neka je B = {3, 5, 9} . Svaki element skupa B pripada skupu A . Kazemo onda da je B

podskup skupa A i piˇsemo B ⊆ A . Ako skup A sadrzi barem jedan element koji ne pripadaskupu B , onda kazemo da je B pravi podskupskupa A i pisemo B ⊂ A . Dakle, u ovom jeprimjeru B ⊂ A .

Tako je, primjerice, (obrazlozi!)

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Primjer 1. U skupu A svih cetverokuta u ravniniizdvojimo podskupove:

B = {skup svih paralelograma} ,

C = { skup svih pravokutnika} ,

D =

{skup svih kvadrata

}.

DC B A

Obrazlozi: D ⊂ C ⊂ B ⊂ A .

31

1 BROJEVI

Neka je sada



O G L

E D N I P R I M

J E R A K

Neka je sada

A = {n ∈ N : n je paran} = {2, 4, 6, 8, 10, 12 . . .}, B = {n ∈ N : n je djeljiv s 3} = {3, 6, 9, 12, 15 . . .}.

Za ove skupove ne vrijedi ni A ⊆ B ni B ⊆ A . Me -dutim, ovi skupovi ipak imajuneke zajednicke elemente, a to su brojevi 6, 12, 18 itd, tj. brojevi djeljivi sa 6.

Presjek skupova

Presjek skupova A i B je skup A ∩ B , koji sadrzi zajednicke elementeovih dvaju skupova:

A ∩ B = { x : x ∈ A i x ∈ B}.

Za prije navedene skupove je presjek:

A ∩ B = {n ∈ N : n je djeljiv s 2 i s 3}= {n ∈ N : n je djeljiv sa 6}= {6, 12, 18, 24 . . .}.

Zadatak 1. Ako je V n skup visekratnika prirodnog broja n , odredi skupove1) V 2 ∩ V 3 ; 2) V 5 ∩ V 10 ; 3) V 12 ∩ V 18 .

Svaki se parni broj moze napisati u obliku 2k , gdje je k cijeli broj. Skup svihparnih cijelih brojeva mozemo zapisati u obliku

A = {n : n = 2k , k ∈ Z}.

Oduzmemo li parnom broju 1 , dobit cemo neparan broj. Svaki neparni broj jeoblika 2k − 1 . Skup svih neparnih cijelih brojeva je:

B = {n : n = 2k − 1, k ∈ Z}.

Skupovi A i B nemaju zajednickih elemenata. Za njih kazemo da su disjunktni.Njihov presjek A ∩ B je prazan. Pisemo: A ∩ B = ∅ . ∅ je oznaka za prazanskup, skup koji nema nijednog elementa.

S druge strane, svaki je cijeli broj bilo paranbilo neparan. To znaci da se svaki cijeli brojnalazi ili u skupu A ili u skupu B . Kazemo da je unija skupova A i B jednaka skupu cijelihbrojeva. Opcenitije, definiramo:

Unija skupova

Unija skupova A i B je skup A ∪ B , koji sadrzi one elemente koji senalaze u barem jednom od ovih dvaju skupova:

A ∪ B = { x : x ∈ A ili x ∈ B}.

32

OPERACIJE SA SKUPOVIMA 1.4

∅



O G L

E D N I P R I

M J E R

A K

Primjer 2. Za skupove brojeva vrijedi: Q ∩ I = ∅ , Q ∪ I = R .

Zadatak 2. Ako je Dn skup djelitelja prirodnog broja n , odredi skupove:1) D12 ∪ D18 ; 2) D15 ∪ D30 ; 3) D23 ∪ D41 .

Zadatak 3. Euler-Vennovim dijagramima uvjeri se u istinitost sljedecih jednakosti:1) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) ;2) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) .

Kutak plus

KOLIKO JE ELEMENATA U SKUPU?

Od 25 ucenika nekog razreda njih 20 uci engleski jezik, a 18 njemacki jezik. Koliko ucenika uci oba jezika ako svakiucenik uci barem jedan od njih?

Ocito, kako je 20 + 18 > 25 , onda sigurno ima ucenika koji uce oba strana jezika. Oznacimo s k (E ) broj ucenika kojiuce engleski, a s k (G) broj ucenika koji uce njemacki jezik. Neka je n = k (E ∩ G) broj ucenika koji uce oba jezika.

G E

Prikazimo dijagramom te skupove:

Ocito je k (E ∪ G) = k (E ) + k (G) − k (E ∩ G) pa imamo

jednadˇ

zbu 25 = 20 + 18 − n . Odatle slijedi n = 13 .

Dakle, oba jezika uci svega 13 ucenika, samo engleski ucinjih 7, a samo njemacki 5.

Rije ˇ si zadatke:

1. U nekom je razredu 28 ucenika. U razne sportske aktivnosti ukljuceno ih je 15, a 16 ucenika pjeva u pjevackomzboru skole. Sedam ucenika tog razreda niti su me -du sportasima, niti su clanovi pjevackog zbora. Koliko je ucenikaovog razreda ukljuceno u obje aktivnosti?

2. Uˇcenici nekog razreda uˇce dva jezika, engleski i njemaˇcki. Engleski uˇce 23 uˇcenika, njemaˇcki 19, a oba jezika uˇci12 ucenika. Koliko je ucenika u tom razredu ako svaki uci barem jedan od ova dva jezika?

3. U nekoj udruzi umirovljenika 34 muskih clanova nosi naocale, a 2

3 ih je celavo. U toj je udruzi 48 muskih clanovai svaki je ili celav ili nosi naocale. Ima li me -du njima takvih koji su celavi, a nose i naocale?

4. Maturalna zadaca iz matematike sastojala se od triju zadataka. Prvi je rije silo 82 % ucenika koji su pristupili ispitu,drugi i treci po 78 %. Prvi i drugi zadatak rijesilo je 62 % maturanata, prvi i treci 66 %, a drugi i treci 60 %. Svatri zadatka tocno je rijesilo 75 ucenika. Koliko je ucenika rjesavalo ovu zadacu?

5. Od 20 djecaka 14 ih ima sme -de oci, 15 svijetlu kosu, 17 ih je tezih od 20 kg, a 18 visih od 1.60 m. Dokazi da sume -du njima barem cetvorica koji imaju sve cetiri navedene osobine.

33

1 BROJEVI

Zadatci 1 4



O G L

E D N I P R I

M J E R

A K

Zadatci 1.4.

1. Ispisi sve elemente ovih skupova:

1) skup svih djelitelja broja 48;

2) skup svih zajednickih visekratnika brojeva 6i 9 manjih od 150;

3) skup prostih brojeva manjih od 100;

4) skup svih dvoznamenkastih brojeva cije suznamenke 1, 2 ili 3.

2. Dan je skup

S = − 1√ 2, 0.11, 3.14159,−101, π 4 , 0.71.23

.

Napisi podskup ovog skupa ciji su elementi ira-cionalni brojevi.

3. Za prirodni broj n definiramo skup S n = { x ∈N : x < n} . Odredi skupove S 1 , S 10 i S 1000 .

4. Odredi sve skupove X za koje vrijedi X

⊆ {a, b, c

}.

5. Neka je A ⊆ B . Cemu su jednaki skupovi A ∩ B , A ∪ B ?

6. U kojem su me -dusobnom odnosu sljedeci skupo-vi:

1) A = {n ∈ N : n=3k } , B = {n ∈ N : n=6k } ;

2) A={n∈N : n=4k −1} , B={n∈N : n=2k +4} ?

7. Odredi neki skup A tako da vrijedi:

1) {1, 2, 3} ∩ A = {1, 2} ;

2) {1, 2, 3} ∩ A = ∅;

3) {1, 2, 3} ∩ A = {3, 4} .

8. Odredi neki skup B tako da vrijedi:

1) {1, 2, 3} ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} ;

2) {1, 2, 3} ∪ B = {1, 2, 3} .

9. Elementi skupova A , B i C neki su od prirodnih

brojeva koji su manji od 10. Pritom je: A ∩ B ={3, 8} , A ∩ C = {8, 9} , B ∩ C = {8} , A ∪ B ={1, 2, 3, 4, 8, 9} , A ∪ C = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9} , B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} . Odredi skupove A , B i C .

10. Elementi skupova A , B i C neki su od pri-rodnih brojeva koji su manji od 10. Pritom

je: A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = {3, 4} ,

A∪

B = {

1, 2, 3, 4, 6, 7}

, A∪

C = {

1, 2, 3, 4, 5}

, B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7} . Odredi skupove A , B iC .

11. Skupovi A , B i C podskupovi su skupa prirod-nih brojeva: A = {n : n = 2k − 1, k ∈ N} , B ={n : n = 3k , k ∈ N} , C = {n : n = 4k , k ∈ N} .Odredi skupove A ∪ B , A ∪ C , B ∪ C , A ∩ B , A ∩ C , B ∩ C .

12. Sto se moze reci o skupovima A , B , C za kojevrijedi:

1) A ∪ B = A ,

2) A ∪ B = A ∩ B ,

3) A ∩ B ∩ C = A ,

4) A ∪ B ∪ C = A ?

13. Odredi A ∪ B i A ∩ B ako je:

A = { x ∈ N : 2 < x < 11} ,

B = { x ∈ N : 7 x 17} .


A = { x ∈ Z : −12 < x < −1} ,

B = { x ∈ Z : −2 x 5} .


A =

x ∈ Q : 0 < x

1

2

,

B =

x ∈ Q : −12 x

14

.


A =

x ∈ Q : −3

8 < x

5

7

,

B =

x ∈ Q : −4

9 x

7

9.

17. Obrazlozi:

1) A ∩ B ⊆ A i A ∩ B ⊆ B ;

2) A ⊆ A ∪ B i B ⊆ A ∪ B ;

3) A ∩ B ⊂ A ∪ B .

18. Odredi skup X tako da vrijedi:

{1, 2, 3} ⊆ X ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}.

34



O G L

E D N I P R I

M J E R

A K

2 POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI



O G L

E D N I P R I

M J E R

A K

Povijest ˇ sahovske igre seˇ ze u daleku proˇ slost. O njezinunastanku postoji viˇ se legendi. ˇ Cini se da igra potjeˇ ce iz

Indije gdje joj je nadjenuto ime ˇ caturanga – ˇ cetverored. Naime, borbeni raspored indijske vojske ˇ cinila su ˇ cetirireda: slonovi, borbena kola, konji i pjeˇ saci. Njima pri-druˇ zeni kralj (vojskovo -da) i kraljica zbog sigurnosti susmjeˇ steni u sredinu rasporeda.

ˇ Zele´ ci zahvaliti izumtelju ˇ saha, indijskom mudracu Sissi Ben Dahiru, mladi car Sahram ponudi mu nagradu ponjegovoj ˇ zelji. A Dahirov odabir bio je naoko vrlo skro-

man. Zatraˇ zio je da mu dadu onoliko zrna ˇ zita koliko sedobije ako se na prvo polje ˇ sahovske ploˇ ce stavi jedno

zrno, a na svako od naredna 63 dvostruko viˇ se nego na prethodno.

Car se neugodno iznenadio kada je shvatio da u cijelomcarstvu nema toliko ˇ zita koliko bi valjalo dati Sissi. Po-kuˇ sajte odgovoriti na ovo pitanje. Koliko je ukupno zrnaˇ zita valjalo isplatiti mudrome Sissi?

2.1. Pojam potencije

Promotrimo li umnozak 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10, uocit cemo kako on sadrzisedam jednakih faktora. Jednostavnije ga zapisujemo 107 . Zapisom 56 kracesmo zabiljezili umnozak 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5. U njemu je sest jednakih faktora, sestpetica. Jednako je tako x 8 = x · x · x · x · x · x · x · x .

Brojeve 107 , 56 , x 8 zovemo potencije.

Broj 10 u prvom primjeru, 5 u drugom i x u trecem osnovice su ili baze navedenihpotencija. Brojevi 7, 6 i 8 njihovi su eksponenti. Eksponentom je zapisan broj jednakih faktora u umnosku.

Zadatak 1. Svaki od narednih umnozaka zapisi u obliku potencije te odredi njihovu osnovicui eksponent:

1) 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 ; 2) 1

3 · 1

3 · 1

3 · 1

3 · 1

3 · 1

3 · 1

3 · 1

3 ;

3) 0.4 · 0.4 · 0.4 · 0.4 · 0.4 ; 4) 0.1 · 0.1 · 0.1 · 0.1 · 0.1 · 0.1 .

36

POJAM POTENCIJE 2.1

Potencija



O G L

E D N I P R I

M J E R

A K

Potencija an , gdje je a neki realan broj, jest umnozak n jednakihfaktora:

an = a · a · a · . . . · a.

Broj a je osnovica ili baza potencije, prirodni broj n njezin je ekspo-nent.

Vratimo se sada zadatku o sahu. Ukupan broj zrna koje je zatrazio Sissa jednak je

1 + 2 + 2

2

+ 2

3

+ 2

4

+ . . . + 2

63

.Ako ste krenuli u njegov izracun, vjerojatno ste brzo odustali. Tu ne pomaze nitidzepno racunalo, jer taj je broj jednak 18 446 744 073 709 551 615.

Potencije su korisne upravo pri zapisivanju vrlo velikih (ili vrlo malih) brojeva iracunanju s njima. Tako primjerice broj zrnaca zita, broj koji ima 20 znamenki,mozemo jednostavno zapisati kao 264 − 1 .

Primijetite da vrijedi:

(−a)2 = (−a) · (−a) = a2

(−a)3 = (−a) · (−a) · (−a) = −a3

(−a)4 = (−a) · (−a) · (−a) · (−a) = a4.

Zakljucujemo da vrijedi opcenito:

Potencije suprotnih brojeva istim parnim eksponentom jednake su. Potencijesuprotnih brojeva istim neparnim eksponentom suprotni su brojevi.

Potencije suprotnih brojeva

Ako je a bilo koji realan broj, a n prirodni broj, tada vrijedi:

(−a)2n = a2n, (−a)2n−1 = −a2n−1

Zadatak 2. Odgovori i odgovor obrazlozi. Koliko je:

1) (−10) · (−10) · (−10) · (−10) · (−10) ;

2) (−0.1) · (−0.1) · (−0.1) · (−0.1) · (−0.1) · (−0.1) ;

3) 3 · (−3) · 3 · (−3) · 3 · (−3) · 3 · (−3) ;

4) (−5) · (−5) · 5 · (−5) · 5 · (−5) · (−5) ;

5) −

1

2 · −

1

2 · −1

2 · −

1

2 · −1

2 .

37


Za radoznale



O G L

E D N I P R I

M J E R

A K

VELIKI BROJEVI

Kako zapisivati velike brojeve? Na to pitanje znamo odgovor. A kako ˇcitati zapisetakvih brojeva? Odgovor cete naci u ovoj tablici.

Broj

Americkii modernibritanski naziv

Tradicionalnibritanski ieuropski naziv

1 000 000 = 106 milijun milijun

1 000 000 000 = 109 bilijun

u Britaniji:tisucu milijuna;

u kontinentalnojEuropi: milijarda

1 000 000 000 000 = 1012 trilijun bilijun

1 000 000 000 000 000 = 1015 kvadrilijun tisucu

bilijuna

1 000 000 000 000 000 000 = 1018 kvintilijun trilijun

1 000 000 000 000 000 000 000 = 1021 sekstilijun tisucu

trilijuna

1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1024

septili jun kvadrilijun

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1027 oktilijun tisucu

kvadrilijuna

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1030 nanilijun kvintilijun

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1033 decilijun tisucu

kvintilijuna

I evo jos jedne zanimljivosti: Broj 10100 zove se googol, a naziv potjece od Mil-

tona Sirote koji ga je izmislio kao devetogodiˇ

snji djeˇ

cak. Milton je necak ameriˇ

ckogmatematicara Edwarda Kasnera. Googolplex je broj zapisan znamenkom 1 iza kojeslijedi googol nistica.

PREFIKSI ZA VELIKE BROJEVE: PREFIKSI ZA MALE BROJEVE:

Prefiks simbol broj

deka da 10

hekto h 10

2

kilo k 103

mega M 106

giga G 109

tera T 1012

peta P 1015

eksa E 1018

zeta Z 1021

jota Y 1024

Prefiks simbol broj

deci d 10−1

centi c 10−2

mili m 10−3

mikro µ 10−6

nano n 10−9

piko p 10−12

femto f 10−15

ato a 10−18

zepto z 10−21

jokto y 10−24

38

POJAM POTENCIJE 2.1

Zadatci 2.1.



O G L

E D N I P R I

M J E R

A K

Zadatci 2.1.

1. Zapisi u obliku potencije sljedece umnoske

1) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 ;

2) 0.4 · 0.4 · 0.4 · 0.4 · 0.4 ;

3)2

3

·2

3

·2

3

·2

3

;

4) (a − b) · (a − b) · (a − b) ;

5) (ab) · (ab) · (ab) · (ab) · (ab) · (ab) .

U svakoj potenciji uoci njezinu bazu i njezin eks-

ponent.

2. Provjeri jednakosti:

1) 13 + 23 = 32 ;

2) 13 + 23 + 33 = 62 ;

3) 13 + 23 + 33 + 43 = 102 ;

4) 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 152 .

Uocavas li pravilnost? Zapisi i provjeri istinitost

sljedece jednakosti u ovom nizu.

3. Odredi sve prirodne brojeve n za koje je:

1) 12 < 2n < 42 ; 2) 15 < 3n < 255 ;

3) 1234 < 10n < 100 001 .

4. 1) Odredi najmanji prirodni broj n za koji je5n > 3126.

2) Odredi najvecibroj n za koji je 10n < 55565 .

5. Kojom znamenkom zavrsavaju brojevi 222 , 333 ,444 , 555 ?

6. Koristeci se zapisom potencije zapisi sljedeceumnoske:

1) (−10) ·(−10) ·(−10) ·(−10) ·(−10) ·(−10) ;

2) 7 · (−7) · 7 · (−7) · (−7) · 7 · (−7) ;

3) (−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1)

· (−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1) ;4) −3 · (−1) · (−3) · (−1) · (−3) · (−1) · (−3)

· (−1) · (−3) .

7. Procitaj brojeve.

1) 5044356301; 2) 1234567890112;

3) 344556 667 778 889 000 .

8. Broj zrnaca zita u prici o sahu je

18 446 744 073 709 551 615.

Procitaj taj broj.

9. Koliko je velik broj zrnaca zita iz price o sahu,moze se vidjeti i iz ovog podatka: posljednjih segodina u svijetu godisnje proizvede izme -du 500i 600 milijuna tona psenice.

1) Ako 1 kg psenice sadrzi priblizno 25 000 zrna,

koliku masu ˇ

zita je zatraˇ

zio Sissa?2) Koliko bi prosjecnih godisnjih prihoda pseniceu novije doba u svijetu trebalo isporuciti izumi-telju?

10. Pra-pra-pra-. . . -pra

Svaka osoba ima dva bioloska roditelja, dvije ba-ke i dva djeda, cetiri prabake i cetiri pradjeda,sesnaest praroditelja itd. Malo rodoslovno (ge-nealoˇ sko) stablo zorno prikazuje upravo takvu

povezanost za razliku od velikog stabla koje obu-hvaca siru obitelj.

Mala genealogija obitelji Draˇ skovi´ c u dvorcu Trakoˇ s´ canlijep je primjer malog genealoˇ skog stabla. Nastala je

1755. godine, a na slici se vidi i tada najpotpuniji prikazovog prelijepog dvorca s kulama i zidinama te visokim

tornjem u sredini na kojem je sat.

Koliko izravnih predaka ima svaka osoba u pret-hodnih 10 generacija? Mozeslipoopciti zakljuci-vanje i dati odgovor za prethodnih n generacija?

Uocavas li povezanost izracuna broja zrnaca uprici o sahu i broja predaka?

39


2.2. Ra ˇ cunanje s potencijama



O G L

E D N I P R I

M J E R

A K

j p j

Potencije su realni brojevi pa pri racunanju s njima vrijede sva pravila koja vrijedei za racunske operacije s realnim brojevima.

Zadatak 1. Prouci i obrazlozi sljedece racune:

1) 311 + 311 + 311 + 311 + 311 = 5 · 311 ;

2) 28 + 28

−28 + 28

−28 = 28 ;

3) 3 · 413 + 4 · 413 − 5 · 413 = 2 · 413 ;

4) 10 · (−0.1)5 − 12 · (−0.1)5 − 5 · (−0.1)5 − (−0.1)5 = −8 · (−0.1)5 ;

5) a3 + 3a3 + 5a3 + 7a3 + 9a3 = 25a3 ;

6) 3 x 5 − 2 x 4 + 5 x 4 − 7 x 5 + x 4 − 4 x 5 = −8 x 5 + 4 x 4 .

Kako mnoˇzimo potencije? Koliko je primjerice 3

7

· 35

? Prema definiciji po-tencije prva potencija sastoji se iz 7, a druga iz 5 jednakih faktora. Tako ondaimamo

37 · 35 = (3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3) · (3 · 3 · 3 · 3 · 3) = 312.

Dakle, umnozak je potencija s istom bazom 3 i s eksponentom koji je zbrojeksponenata potencija koje se mnoze.

Primjer 1. Prouci i obrazlozi sljedece racune:

1) 35 · 36 = 35+6 = 311 ;

2) 108 · 107 = 108+7 = 1015 ;

3) (0.5)4 · (0.5) = (0.5)4+1 = (0.5)5 ;

Zadatak 2. Koliko je:

1) 57 · 55 ; 2) 34 · 35 ;

3) (1.5)3 · (1.5)12 ; 4) (0.25) · (0.25)6 ?

Opcenito vrijedi:

am · an = (a · a · a · . . . · a) m puta

· (a · a · a · . . . · a) n puta

= a · a · a · . . . · a m+n puta

= am+n.

40

RA ˇCUNANJE S POTENCIJAMA 2.2

Mno ˇ zenje potencija jednakih baza



O G L

E D N I P R I

M J E R

A K

Umnozak dviju potencija jednakih baza jest potencija iste baze kojoj jeeksponent zbroj eksponenata potencija koje mnozimo:

am · an = am+n.

Pravilo za mnozenje dviju potencija jednakih baza mozemo prosiriti. Za svakatri prirodna broja k , m i n vrijedi:

a

k

· a

m

· a

n

= a

k +m+n

.

Dokazimo tu jednakost:

ak · am · an = (ak · am) · an = ak +m · an = ak +m+n.

Iskazi rijecima ovo pravilo te obrazlozi njegov navedeni dokaz. Vrijedi li poop-cenje pravila na umnozak bilo kojeg broja potencija jednakih baza?

Primjer 2. U sljedecim primjerima primijenili smo pravilo mnozenja potencija jed-nakih baza.

1) 28 · 210 · 212 = 28+10+12 = 230 ;

2)1

2

4

·1

2

5

·1

2

6

·1

2

7

=1

2

4+5+6+7

=1

2

22

.

Zadatak 3. Pomnozi:

1) 202 · 203 · 204 ; 2) 10 · 103 · 105 · 107 ; 3) (−8)3·(−8)4·(−8)5 ;

4) (−2)7·(−28)·(−2)9 ; 5) (−5)3 · (−54) · (−5)6 · (−5) .

Mnoziti mozemo i potencije koje nemaju jednake baze, ali onda one moraju imati jednake eksponente.

Pomnozimo primjerice 26 · 56 .

Kako se svaka od dviju potencija sastoji od jednakog broja faktora, mozemo pisati

26

·56 = (2

·2

·2

·2

·2

·2)

·(5

·5

·5

·5

·5

·5)

= (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5)

= (2 · 5)6 = 106.

41


Dakle, zdruzili smo po jedan faktor prve s jednim faktorom druge potencije tetako dobili novu potenciju s bazom (2 · 5) . Eksponent je isti, broj 6.



O G L

E D N I P R I

M J E R

A K

( )

Ako bismo primjerice mnozili 26

·58 , tada bi racun mogao ovako izgledati:

26 · 58 = (26 · 56) · 52 = (2 · 5)6 · 52 = 106 · 52 = 25 · 106.

Mno ˇ zenje potencija razli ˇ citih baza

Za umnozak dviju potencija razlicitih baza i jednakih eksponenata vrijedi pravilo:

an · bn = (a · b)n.

Primjer 3. Prouci sljedece jednakosti:

1) 35 · 55 = (3 · 5)5 = 155 ;

2) 108 · 0.018 = (10 · 0.01)8 = (0.1)8 ;

3) 313 · 1

313

= 3 · 1

313

= 113 = 1 ;

4) −123·−1

6

3

= − 123·−1

6

3=123·

1

6

3

=

12·1

6

3

= 23 = 8 .

Zadatak 4. Pomnozi:

1) 47 · 57 ; 2) 611 · 1311

; 3) 6710

· 7810

; 4) (0.2)8 · (2.5)8 .

I ovo pravilo mozemo poopciti: za mnozenje potencija razlicitihbaza, ali jednakiheksponenata vrijedi

an · bn · cn = (a · b · c)n.

Protumacite i opisite dokaz ove jednakosti.

Primjer 4. 1) 210 · 510 · 1010 = (2 · 5 · 10)10 = 10010 ;

2) 37 · 1

12

7

· 27 =

3 · 1

12 · 2

7

=1

2

7

;

3) 126

· 236

· 346

· 456

· 566

= 12 · 23 · 34 · 45 · 5

66

= 166

.

42


Primjer 5.

Izracunajmo na najjednostavniji nacin umnozak 43 · 55 .



O G L

E D N I P R I

M J E R

A KPotencije koje valja pomnoziti niti su jednakih baza niti imaju jednake

eksponente. No ipak cemo ih zapisati kao potencije jednakih eksponenatapa pomnoziti:

43 · 55 = 26 · 55 = 2 · 25 · 55 = 2 · 105 = 200 000.

Zadatak 5. Izracunaj

1) 26·56·106 ; 2)1

2

9

·(−12)9·(0.5)9 ; 3) 0.110·10010·0.0110·1010 .

Sto bi znacio zapis (23)4 ? To je potencija s bazom 23 i eksponentom 4 pamozemo pisati:

(23)4 = 23 · 23 · 23 · 23 = 23+3+3+3 = 23·4 = 212.

Opcenito je:

(am)n = am · am · am · . . . · am

n puta

= a

n puta m + m + m + . . . + m = am·n.

Potenciranje potencije

Potenciranjem potencije dobijemo novu potenciju iste baze ciji je eks-ponent umnozak dvaju eksponenata:

(am)n = am·n.

Primjer 6. Obrazlozi:

1) (103)4 = (104)3 = 1012 ;

2) 46 = 84 = 163 ;

3) 102 · 1003 · 10004 = 102 · 106 · 1012 = 1020 .

43


I dij lj j t ij di j d t i ili



O G L

E D N I P R I

M J E R

A K

I dijeljenje potencija provodi se po jednostavnim pravilima:

ako potencije imaju jednake baze, onda je zapravo rijeˇ

c o kracenju razlomka:

am : an = ( a · a · a · ... · a m

) : ( a · a · a · ... · a n

) =

m a · a · a · ... · a

a · a · a · ... · a n

.

U brojniku imamo umnozak m faktora, a u nazivniku n faktora. Postoje trimogucnosti:

ako je m > n , onda je am : an = am−n ;

ako je m = n , onda je am : an = 1 ;

ako je m < n , onda je am : an = 1

an−m .

Tako je, primjerice:

a12

: a15

= 1

a15−12 = 1

a3 .

Pri dijeljenju potencija javlja se prakticna potreba za uvo -denjem potencije ciji jeeksponent negativan broj. Ako je a = 0 , onda stavljamo:

a−n = 1

an.

Uz taj dogovor, prijasnji racun mozemo nastaviti ovako:

a12 : a15 = 1

a3 = a−3 = a12−15.

Opcenito, mozemo pisati:

Dijeljenje potencija jednakih baza

Kolicnik dviju potencija jednakih baza jednak je potenciji iste bazekojoj je eksponent razlika eksponenata djeljenika i djelitelja.

am : an = am−n.

Zadatak 6. Obrazlozi:

1) 2−3 = 1

8 , 2)

1

3

−2

= 9 , 3)4

5

−1

= 5

4 , 4) (0.1)−2 = 100.

44


Zadatak 7. Izracunaj:

1 3 2 3 3 2



O G L

E D N I P R I

M J E R

A K1) 2−3 + 3−2 ; 2) 4−2 +

1

23

; 3) 2

3−3

+ 3

2−2

.

Primjer 7. U sljedecim zadatcima primijenili smo pravilo o dijeljenju potencija:

1) 10−5 : 10−8 = 10−5−(−8) = 10−5+8 = 103 ;

2) (86 · 4−7) : (24 · 16−3) = (218 · 2−14) : (24 · 2−12) = 24 : 2−8 = 212 .

Sto nam daje formula za dijeljenje potencija ako su eksponenti jednaki? Ako jem = n , tada je am−n = a0 .

No, znamo da se u tom slucaju potencije koje dijelimo sastoje od jednakog broja jednakih faktora, pa za svaku bazu a = 0 prirodno proizlazi a0 = 1 .

a0 = 1

Ako je baza potencije nula, onda za svaki prirodni broj n vrijedi 0n = 0. Me -du-tim, 00 niti 0−n nije definirano za prirodni broj n .

Vidjeli smo kako dijelimo potencije jednakih baza. No dijeliti mozemo i potencijerazlicitih baza, ali tada im moraju biti jednaki eksponenti:

an : bn =

n a · a · a · ... · a

b · b · b · ... · b n

= a

b · a

b · ... · a

b n

= (a : b)n.

Dijeljenje potencija jednakih eksponenata

Kolicnik dviju potencija jednakih eksponenata jednak je potenciji s

istim eksponentom kojoj je baza kolicnik baza djeljenika i djelitelja:

an

bn =

a

b

n

.

Zadatak 8. Provjeri sljedece jednakosti:

1) 38 : 124 =3

4

4

; 2) 25−5 : 10−10 = 210 .

45


Za potenciju razlomka s negativnim eksponentom opcenito vrijedi:



O G L

E D N I P R I

M J E R

A Ka

b−n

= b

an

.

Dakle, potencija razlomka s negativnim eksponentom jednaka je potenciji recip-rocnog razlomka sa suprotnim eksponentom. Dokazimo to:

a

b

−n

= 1

a

bn =

1

an

bn

= bn

an =

b

a

n

.

Pravilo (am)n = amn vrijedi i ako su m i n cijeli brojevi. Posebno je

(an)−1 = (a−1)n = a−n.

Rijesit cemo sada nekoliko zadataka kako bismo na primjerima pokazali primjenuracuna s potencijama.

Primjer 8. Koliki je n ako je

4n+1 + 4n+1 + 4n+1 + 4n+1 = 84?

Zbrajamo jednake pribrojnike, pa je

4n+1 + 4n+1 + 4n+1 + 4n+1 = 4 · 4n+1.

Sada je dana jednakost poprimila oblik

4n+2 = 84.

Obje cemo strane jednakosti napisati kao potencije iste baze — broja 2,da bismo mogli izjednaciti njihove eksponente:

4n+2 =

22n+2

= 22n+4, 84 =

234

= 212,

pa slijedi 2n + 4 = 12, tj. n = 4 .

Zadatak 9. Odredi broj n ako je 2 · 22 · 23 · . . . · 2n = 6411 .

46


Primjer 9.

Koji je broj veci:

1) 233 ili 322 2) 4−11 ili 8−8?



O G L

E D N I P R I

M J E R

A K

1) 233 ili 322 ; 2) 4−11 ili 8−8?

Vrijednosti dviju potencija lako je usporediti ako ih napisemo tako daimaju jednake baze ili jednake eksponente.

1) Zapisimo potencije tako da imaju jednake eksponente: 233 = 811 , a

322 = 911 . Ocito je 811 < 911 , pa je dakle 233 < 322 .

2) Ove dvije potencije mozemo zapisati kao potencije jednakih baza:

4−11

= 1

411 = 1

222 ; 8−8

= 1

88 = 1

224 .

Prva je potencija veci broj.

Zadatak 10. Koji je broj veci:

1) 915 ili 2710 ; 2) 2−39 ili 3−26 ?

Primjer 10. Izracunajmo: (−23)4 − 163 + (−42)3 − (−82)2.

Sve pribrojnike mozemo napisati kao potencije s bazom 2, vodeci pritomracuna da je potencija negativnog broja s parnim eksponentom pozitivanbroj, a s neparnim eksponentom negativan. Tako onda imamo:

(−2

3

)

4

− 16

3

+ (−4

2

)

3

− (−8

2

)

2

= 2

12

− 2

12

− 2

12

− 2

12

= −2 · 212 = −213.

Zadatak 11. Izracunaj: (−53)−2 − (−25)−3 − 5−6 .

Primjer 11. Koliko znamenki ima broj 164 · 256 ?

Zadani umnozak potencija prikazat cemo u sljedecem obliku:

164 · 256 = (24)4 · (52)6 = 216 · 512 = 24 · 212 · 512 = 16 · 1012.

Iz posljednjeg se zapisa jednostavno zakljucuje da dani broj ima 14 zna-menki.

Zadatak 12. Odredi najmanji prirodni broj n za koji broj 210 · 5n ima tocno 13 znamenki.

47


Primjer 12.

Zapisimo u obliku potencije: 5 · 83 − 6 · 162 + 3 · 45 .



O G L

E D N I P R I

M J E R

A KSve se potencije u trima pribrojnicima mogu zapisati kao potencije s bazom

2 te imamo:5 · 83 − 6 · 162 + 3 · 45 = 5 · (23)3 − 6 · (24)2 + 3 · (22)5

= 5 · 29 − 6 · 28 + 3 · 210.

Sada te potencije imaju jednaku bazu, ali ne i jednak eksponent pa ih nemozemo zbrajati. Stoga cemo ih zapisati tako da imaju i jednake baze i jednake eksponente:

5 · 29 − 6 · 28 + 3 · 210 = 5 · 2 · 28 − 6 · 28 + 3 · 22 · 28

= 10 · 2

8

− 6 · 2

8

+ 12 · 2

8

= 16 · 28 = 212.

Primjer 13. Izracunajmo

2

3

−3

· (2.5)0 + 2−4

(−0.4)−2 −45

−1

.

Imamo redom2

3

−3

· (2.5)0 + 2−4

(−0.4)−2 −4

5−1

=

27

8 · 1 +

1

1625

4 − 5

4

=

55

1620

4

= 11

16.


MAGI ˇ

CNI KVADRAT

Magicni je kvadrat posebna igra brojeva o kojoj ce jos biti rijeci. U ovom problemu imamo tako -derkvadrat koji je pomalo magican. Tvoj je zadatakprecrtati u biljeznicu prazni kvadrat i preraspodije-liti u kucice upisane izraze tako da umnozak svakatri u jednom retku ili stupcu te na dvjema dijagona-

lama kvadrata bude jednak a3b3 .

48


Zadatci 2.2.



O G L

E D N I P R I

M J E R

A K1. Izra

ˇ

cunaj:1) x 3 + x 3 + x 3 ; 2) a4 + a4 − 3a4 ;

3) 35+4·35−2·35 ; 4) 2·48−4·48−6 · 48 ;

5) 11 · 510 − 12 · 510 + 6 · 510 ;

6) a9 + 2a9 − 3a9 + 4a9 ;

7) 3n6 − 7n6 − 11n6 + 5n6 ;

8) 6 x 4 − 7 x 4 + 2 x 4 − x 4 .

2. Izracunaj:

1) 33 − (−3)3 − 33 ;

2) (−5)4 − 54 − (−5)4 ;

3) −23 − (−2)3 + (−2)3 − 23 ;

4) (−a)2n − a2n ;

5) (−a)2n−1 − a2n−1 .

3. Pomnozi:

1) 35 · 37 ; 2) 54 · 56 ; 3) 106 · 103 ;

4) 28 · 2 ; 5) (0.7)2 · (0.7)3 .

4. Pomnozi:

1) 3a2b · 4a3b2 ; 2) −4 x 3 y · 3

8 x 2 y3 ;

3) 5 x 5 y3 · − 310

x 3 y4

;

4) −3

8a3b2 ·

−4

9a2b3

;

5) 3

10ab5 ·

−4

9a3b

;

6)

−1

2

a2bc3

· 4

5

abc2 .

5. Pomnozi:

1) 23 · 24 · 25 ; 2) 34 · 36 · 38 ;

3) 5 · 55 · 57 ; 4) 10·102·103·104·105 .

6. Pomnozi:

1) (

−3)3

·(

−35) ; 2) (

−2)3

·(

−25)

·(

−2)7 ;

3) −102 · (−103) · (−10)4 · (−10)5 · (−106) .

7. Izraˇ

cunaj:1) 23 · 24 · 25 ; 2) 34 · 36 · 38 ;

3) a3 · a · a5 ; 4) 4 · 43 · 45 ;

5)

1

a

7

·

1

a

3

·

1

a

7

.

8. Koliko znamenki ima broj:

1) 2

11

· 5

11

; 2)

2

25

· 5

20

; 3)

2

10

·510

·10

15

;4) 47 · 510 ; 5) 410 · 2511 ; 6) 811 · 533 ?

9. Odredi najmanji prirodni broj n za koji broj2n · 512 ima 15 znamenki.

10. Ako je m = 55 , n = 66 , koliko znamenki imabroj m · n ?

11. Ako je m = 45 , n = 58 , koliko je nula u zapisubroja m · n ?

12. Koliko znamenki ima broj 210 · 515 ? S kolikonula zavrsava broj 811 · 2516 ?

13. Ako je a = 3 ·511 , b = 5 ·311 , koja je posljednjaznamenka umnoska a · b ?

14. Ako je m = 4

·312 , n = 3

·412 , koja je posljednja

znamenka broja m + n ?

15. Koliki je n ako je:

1) 44 + 44 + 44 + 44 = 2n ;

2) 55 + 55 + 55 + 55 + 55 = 25n ;

3) 84 + 84 + 84 + 84 = 4n .

16. Obrazlozi:

1) 311 − 310 = 2 · 310 ;

2) 44 + 44 + 44 + 44 = 45 ;

3) 1010 − 109

108 − 107 = 100 .

17. Koliki je n , ako je

1) 22 · 43 · 84 = 16n ;

2) 55

· 255

· 1255

= 25n

;3) 10 · 1003 · 1000n = 100000 000 0002 .

49


18. Potenciraj:

1) (34)3 ; 2) (82)2 ;

3) (103)4 4) ( n+1)3

27. Ako je ab2 = 5 , a a2b5 = 15, izracunaj a i b .Rezultat provjeri.

28 2 3 3 4 5 2



O G L

E D N I P R I

M J E R

A K3) (103)4 ; 4) (an+1)3 ;

5) (a4)n+1 ; 6) (an−

1)n+1 .

19. Izracunaj i zapisi rezultat u obliku potencije:

1) (33)4 · (34)3 ; 2) (25)3 · (23)3 ;

3) (10n+2)3 · (102)n−1 ;

4) (4n−1)2 · (42)n+1 .

20. Zapisi u obliku potencije s bazom 2:

1) (16 · 43 · 82)5 ; 2) (162 · 43 · 84)3 .

21. Zapisi u obliku potencije s bazom 3:

1) (272 · 81 · 93)4 ; 2) (93 · 3 · 272)3 .

22. Izracunaj:

1) (ab2)3 · (a2b)3 ; 2) (a3b3)2 · (a2b2)3 ;

3) (a3b4)5 · (a5b4)3 ; 4) (a2b3)4 · (a3b2)4 .

23. Koji je od sljedecih brojeva veci:

1) 411 ili 166 ; 2) 278 ili 912 ;

3) 12515 ili 2525 ; 4) 275 ili 98 ;

5) 430 ili 820 ; 6) 522 ili 333 ?

24. Izracunaj:

1) (−23)4+2·(−24)3+3·(−22)6 ;

2) (−32

)3

+5·(−3)6

−(−33

)2

;3) (−27)2−36+(−9)3−(−32)3 ;

4) (−252)3−(1252)2−(−54)3+6253 ;

5) (−4)3+(−23)2+(−8)2−26 ;

6) (−92)3−813+(27)4+(−93)2 .

25. Zapisi u obliku potencije s bazom 2 sljedece brojeve:

1) 3 · 26 + 10 · 25 ; 2) 11 · 46 + 20 · 210 ;3) 6 · 211 + 5 · 46 ; 4) 213 + 4 · 211 ;

5) 20 · 45 + 3 · 213 + 5 · 84 ;

6) 2 · 163 − 3 · 46 + 5 · 84 .

26. Zapisi u obliku potencije s bazom 3 sljedece brojeve:

1) 37 + 6

·36 ; 2) 6

·39 + 95 ;

3) 5 · 95 + 12 · 39 ; 4) 39 + 6 · 94 ;

5) 2 · 96 + 15 · 311 + 2 · 274 .

28. Ako je x 2 y3 = 80, a x 3 y4 = 50, izracunaj xy2 .

29. Ako je 2m−1 · 3m+1 = a , koliko je 62m+1 ?

30. Ako je 2m · 3n = a , koliko je 4m+1 · 9n−1 ?

31. Ako je 8n

4m−n =

1

32 te

9n

27m+n = 3 , izracunaj m

i n . Rezultat provjeri.

32. Ako je x = 2n+1 , y = 5n+1 , koliko znamenkiima broj x 2 · y2 ?

33. Podijeli:

1) 37 : 34 ; 2) 511 : 56 ; 3) 66 : 65 .

34. Izracunaj:

1) 4

5 x 5

y3 : 8

15 x 3

y2 ;

2)−3 x 4 y4

:

6

11 xy2

;

3) (8a8b8) : (16a5b5) ;

4)

9

16a6b4

:

18a3b

;

5) 5

24 a3

b8 : −

25

12 a2

b5 .

35. Izracunaj:

1) 99

273 · 36 ; 2)

645

83 · 164 ; 3)

1256

258 · 53 .

36. Izracunaj:

1) 275

+ 274

98 + 97 + 96 ; 2) 16

7

− 166

810 + 89 + 88 ;

3) 254 − 253

58 − 57 + 56 .

37. Izracunaj:

1) 20 − (−2)−4 ; 2) (−0.25)−2 · 100;

3) (0.2)−4

·(−

1.6) ; 4) 0.01·

(−

0.5)−3 ;

5) 8−3 ·1

2

−10

; 6)1

2

−3

·(−4)0+1

2

−1

.

50


38. Izracunaj:

1) (a−1b + ab−1)−2 , za a = 1

3 , b =

1

5 ;

42. Pojednostavni:

1)

1

25

−n

: 52n−1 ; 2) 32n+1 :

1

9

−n

;



O G L

E D N I P R I

M J E R

A K2) (a

−1

− b

−1

)

2

· (a + b)

−2

, za a =

1

3 , b = 3 ;

3) a−1b−2 + a−2b−1 , za a = 2

3 , b = −3

2 .

39. Izracunaj:

1)

6−4·

5

160−2

; 2)

2

3−1

− 3

4

−1

;

3)3−2 −

3

4

−2

2 −1

5

−1 ; 4)

3 ·2

3

−2

+ 4−11

2

−1

+ 5

;

5)2−2 + 5 ·

1

2

0

3 − 2

3−2

; 6)

2

3

−3

· (2.5)0 + 2−4

(−0.4)−2 − 4

5−1

.

40. Izracunaj:

1) 212 · 1

4 · (0.25)5 ; 2)

1

252 · 1254 · (0.04)3 ;

3) 1

32 · 85 · 0.25−2 ; 4) 512 · 1

25 · 0.045 ;

5)

3−10

·7−5

· 1

9−2

1

21

8

· 49;

6) 0.04−2 · 1254 · 0.2−1

4 · 258 .

41. Pojednostavni:

1) a−3

3b−2−3

· (9a4b−1)−2 ;

2) (0.25 x −4 y−3)2 ·

x −3

4 y2

−3

;

3)

8a−2

b−3

3

·

16a−3

b−2

−3

;

4) −9a4

2b3−3

· 4a−5

27b−4−2

.

25

9

3) 4n−1:(2 · 8−n−1) ; 4) 272n+1 :1

9

1−

3n;

5)

16n−1 :

1

8

2n−2

: 45n−3 .

43. Poredaj po velicini brojeve:

1) −105, 10−5, (−10)5,−10−5, (−10)−5, 105 ;

2) −0.15

, 0.1−5

, (−0.1)5

,−0.1−5

, (−0.1)−5

, 0.15

.44. Broj m zapisi u standardnom zapisu:

1) m = 3 · 105 + 8 · 103 + 2 · 10 + 10−1

+10−2 + 10−3 ;

2) m = 1 · 104 + 2 · 103 + 3 · 10 + 10−2 .

Toˇcno-neto

ˇcno pitalice


1. Posljednja znamenka broja 1313 je 1.

2. 3·104 + 4·104 − 5·104 − 2·104 = 0 .

3. 84 + 84 + 84 + 84 = 47 .

4. Zbroj triju potencija broja 3 ciji su ekspo-nenti uzastopni prirodni brojevi djeljiv jes 13.

5. 2 x −1 − 3 x −1 = − x .

6. 210 · 55 = 1015 .

7. 162 + 83 + 44 = 210 .

8. 3 x −3 = 1

3 x 3 .

9. Ako je 2n+1 = a , onda je 4n−1 = a2

16 .

10. 3 · 104 + 5 · 10 + 10−2 = 3005.01 .

11. 3

45

· 4

55

· 5

65

= 1

210

.

12. (−0.1)3·(−0.01)3·(−0.001)−3= − 1 .

51


2.3. Znanstveni zapis realnog broja



O G L

E D N I P R I

M J E R

A KKoliko je zlata u Jadranskom moru?

Zlato, to vjecno bogatstvo, priroda se potrudila dobro sa-kriti u svojim njedrima pa se nalazi u brdskim stijenama,u rijecnom sljunku, duboko pod zemljom i tko zna gdjesve ne. Zlata ima i u morskoj vodi pa ga tako u 1 litrivode Jadranskog mora ima 0.000 000 004 g.

Ako znamo da je prosjecna dubina Jadranskog morad = 240 m , a damu jepovrsina P = 138 600 000 000 m2 ,kolika je ukupna masa zlata u Jadranskom moru?

Ukupnu kolicinu vode u Jadranskom moru racunajte poformuli

V = P · d .

U ovom zadatku valja se potruditi i biti vrlo tocan kako bi se doslo do odgovora.Razlog su brojevi koji se ovdje pojavljuju, od kojih je jedan malen (0.000 000 004)

a drugi velik (138 600 000 000). Nezgrapnost zapisivanja takvih brojeva potak-nula je uvo -denje posebnog, znanstvenog zapisa vrlo velikih ili vrlo malih realnihbrojeva.

Znanstveni zapis realnog broja

Znanstveni zapis realnog broja r je zapis oblika

r = a.bcd

·10n.

Pritom je a jednoznamenkast cijeli broj, b , c i d su prve tri decimalneznamenke broja r , a n je cijeli broj. Broj decimala u znanstvenomzapisu broja ponekad je i veci od 3, ali cijelo je mjesto samo jedno. Pri-mijetimo da je znanstveni zapis nekog broja najcesce njegova pribliznavrijednost.

Primjer 1. 1) Duljina krvnih ˇ

zila u ljudskom organizmu pribliˇ

zno je jednaka96 000 000 m sto je u znanstvenom zapisu 9.6 · 107 metara.

2) Brzina rasta gljive poslije kise je 0.0000008 m/s . U znanstvenom

zapisu je to broj 8 · 10−7 .

3) Obujam Zemlje iznosi priblizno

1 093 000 000 000 000 000 000 = 1.093 · 1021 m3.

4) Promjer virusa ospica iznosi 0.000 000 251 = 2.51 · 10−7 metara.

52

ZNANSTVENI ZAPIS REALNOG BROJA 2.3

Zadatak 1. Zapisi sljedece podatke uz uporabu znanstvenog zapisa:

1) Japan ima oko 128 000 000 stanovnika.



O G L

E D N I P R I

M J E R

A K2)

Zemlja je stara 4 600 milijuna godina.3) Masa zrna maka priblizno je jednaka 0.000 000 5 kg.

4) Masa virusa gripe iznosi 707 · 10−15 g.

5) Disk od jednog terabajta sadrzi oko 1 099 500 000 000 bajtova.

Vratimo se sada zadatku sa samog pocetka. Mozemo ga iskazati na sljedecinacin:

Jadransko more ima prosjecnu dubinu d = 240 m = 2400 dm = 2.4 · 103 dm ,povrsina mu je P = 1.386 ·1011 m2 = 1.386 · 1011 · 102 dm2 = 1.386 ·1013 dm2 .Uzmemo li da u jednoj litri morske vode ima 0.000 000 004 g = 4 · 10−9 g zlata,pitamo se kolika je ukupna masa zlata u Jadranskom moru?

Izracunajmo najprije koliko je litara vode u Jadranskom moru. Obujam vode jednak je

V = P · d = 1.386 · 1013 · 2.4 · 103 dm3

= 3.3264 · 1016 dm3 = 3.3264 · 1016 litara.

U jednoj litri je 4 · 10−9 g = 4 · 10−12 kg zlata pa je onda u Jadranu masa od

m = 3.3264 · 1016 · 4 · 10−12 = 1.33056 · 105 kg zlata.

Ako rezultat izrazimo u tonama, onda je m = 133.056 t.

Primjer 2. Uzmemo list papira debljine 0.1 mm i prerezemo ga na dva dijela. Svakiod dvaju dobivenih dijelova ponovno prerezemo na dva dijela. Zatim svakiod cetiriju dijelova ponovno prerezemo na dva dijela i tako postupak pro-vedemo ukupno 50 puta. Zamislimo da sve dobivene papirice poslazemo jedan na drugi. Kolika je visina dobivena stupca?

Nakon svakog novog rezanja broj papirica se udvostrucuje. Tako ce nakraju taj broj biti jednak 250 = 1 125 899 906 842 624 ≈ 1.126 · 1015 .

Kad bismo sve te papirice poslagali jedan na drugi dobili bismo stupac

visok 1.126·1015 ·10−1 m m = 1.126·1015 ·10−1 ·10−6 k m = 1.126·108

km.

Prisjetimo se da je udaljenost Zemlje i Sunca priblizno jednaka 1.5

·108

km.

53


Zadatak 2. Ako 10 grama pijeska sadrzi 3500 zrna, koliko zrna sadrzi masa od 100 kg?Rezultat prikazi u znanstvenom zapisu.



O G L

E D N I P R I

M J E R

A KPrimjer 3. U jednoj popularno-znanstvenoj TV emi-siji receno je da vidra po jednom cetvor-

nom centimetru ima prosjecno 20 000dlaka, sto je ukupno oko 8 · 109 dlaka.Ovaj se racun pokazuje nevjerodostoj-nim. Zasto?

Podijelimo li 8 · 109

2 · 10

4 = 4

·105 cm 2

dobit cemo ukupnu povrsinu vidrina tijela. Kako je 1 m 2 = 104 cm 2 ,onda je ta povrsina jednaka 40 m 2 , sto je nemoguce.

Primjer 4. Ljudska vlas ima promjer od 10−4

m. Promjer niti paukove mreze jed-nak je 5 · 10−6 m. Koliko je puta

ljudska vlas deblja od niti paukovemreze?

Izracunajmo omjer:

10−4

5 · 10−6 =

106

5 · 104 =

102

5 =20.

Ljudska je vlas oko 20 puta debljaod niti paukove mreze.

Zadatak 3. Iz olujnog oblaka padne 6 500 000 000 000 kapi kise. Procitaj taj broj pa gaprikazi u znanstvenom zapisu.

Primjer 5. U ljudskom je tijelu oko 6 bilijunastanica, a u svakoj stanici priblizno

35 000 gena. Koliko je gena u ljud-skom organizmu?

Racunamo redom:

6 · 1012 · 35 000 = 210 000 · 1012

= 2.1 · 1017.

U ljudskom organizmu ima oko 2.1

·1017 gena.

54


Primjer 6.

Zrnce peludi trave imamasu od 5·10−9

grama. Koliko je zrnaca u 1 g peludi?



O G L E D N

I P R I M J E R

A KAko zrnce peludi trave ima masu od5 · 10−9 grama, onda je u 1 g peludi1

5 · 109 = 2 · 108 zrnaca peludi.

Zadatak 4. U ozujku 2013. godine vlasti u SaudijskojArabiji upozorile su gra -dane da se ocekujenajezda od 800 milijuna skakavaca. Bio bito za 45 % veci broj od onoga prije de-set godina. Koliki broj skakavaca je napaoSaudijsku Arabiju 2003. godine?

Istrazite

ZBRINJAVANJE OTPADA

Zbrinjavanje otpada jedan je od najvecih problema u suv-remenom svijetu. Velik je to problem i u nas, posebice uvecim gradovima. U Zagrebu je glavno odlagaliste otpada

smjeˇ

steno neposredno uz prigradsko naselje Jakuˇ

sevac napovrsini od 80 hektara. Od 1965. godine, kada je otvoreno,na tom je prostoru odlozena tolika kolicina otpada da jenastao brijeg visine 45 metara.

Na Jakusevcu se u novije vrijeme dnevno zavrsi 1000 tonaraznovrsnog otpada, a kad bi mu se samo na jedan dan one-mogucio pristup stvorila bi se kolona kamiona punih otpadaduga 15 km.

1) Koliko se otpada svake godine prosjecno odlaze na Ja-

kuˇ

sevcu? Izrazi tu koliˇ

cinu u kilogramima.

2) Ako pretpostavimo da na Jakusevcu zavrsava otpad500 000 gra -dana Zagreba, koliko je to godisnje “poglavi”?

3) U Zagrebu se godisnje prikupi 1.1 · 108 kg otpadnog papira. Godsnje su potrebe za tim papirom 3.2 · 105 tona, stoznaci da ga Hrvatska uvozi. Koliki se dio potreba za otpadnim papirom (izrazi u postotcima) prikuplja u Hrvatskoj?

4) U Hrvatskoj se u godinu dana prikupi 1.5 · 104 tona otpadnog stakla. Ako su godisnje potrebe za otpadnim staklom

9.3 · 107

kg, koliki dio svojih potreba (izraˇ

zeno u postotcima) Hrvatska uvozi?

55


Zadatci 2.3.

1. Zapisi u znanstvenom obliku brojeve 10. Kapljica vode ima prosjecnu masu od 0.08 g. Ko-



O G L E D N

I P R I M J E R

A Kp j

1) 500 · 107 ; 2) 0.05 · 107 ;

3) 500 · 10−7 ; 4) 0.05 · 10−7 .

2. Zapisi u znanstvenom obliku sljedece brojeve:

1) 1100 · 10−6 ; 2) 0.11 · 1010 ;

3) 110 · 108 ; 4) 0.0011 · 10−5 .

3. Odredi dzepnim racunalom rezultat mnozenja i

protumaˇci ga:

1) 414515 · 313 616 ;

2) 123 456789 · 987654321;

3) 0.000535 : 455 566 ;

4) 0.078865 · 0.000956 ;

5) 9 456 728 : 0.00005.

4. Obrazlozi jednakosti:

1) 108

+ 107

= 1.1 · 108

;2) 44 · 10−4 · 115 · 10−5 = 5.06 · 10−6 ;

3) 3 · 109

50 = 6 · 107 ; 4)

1.3 · 108

5.3 · 105 = 245 .

5. Neka je a = 8.55 · 108 , te b = 9.12 · 105 .

1) Izracunaj a − b . 2) Koliko je a · b ?

Rezultate navedi u znanstvenom zapisu.

6. Neka je a = 2.5 · 10−4 , te b = 6 · 10−3 .

1) Izracunaj b − a . 2) Koliko je b3?


7. Neka je a = 4.5 · 10−9 , te b = 6.6 · 105 .

1) Izracunaj a · b . 2) Koliko je a : b ?


8. 1) Ako je 210

· 512

= n · 1011

, koliki je n ?2) Ako je 212 · 258 = 6.25 · 10n , koliki je n ?

3) Ako je 410 · 5n = 3.2 · 1016 , koliki je n ?

9. Pluton je od Zemlje udaljen 4.58 ·109 km. Radi-

ovalovi se sire brzinom svjetlosti, 3 · 105 km/ s.Koliko ce dugo trajati prijenos radijskog signa-la s Plutona na Zemlju? Rezultat neka bude uznanstvenom zapisu na dvije decimale i to izra-ˇcunan:1) u satima; 2) u sekundama.

p j p j g

liko je kapljica vode u 1 m 3 vode?

11. Zrno maka ima masu od 5 · 10−4 g. Koliko jezrna u 1 kg maka?

12. Ljudska kosa raste brzinom od 5 · 10−9 m/ s.Koliko centimetara kosa naraste za 10 tjedana?

13. Godisnje se u svijetu rodi oko 130 000 000 djece.Koliko se djece rodi svake minute?

14. Dnevna proizvodnja nafte u svijetu 2005. godineiznosila je oko 7 · 107 barela dnevno. (1 barel =159 litara).

1) Ako u jednu cisternu stane 2.5 · 104 litaranafte, koliko bi cisterni trebalo za prijevozove kolicine nafte?

2) Ako je duljina cisterne 10 metara, koliko bibila duga kolona u koju bi se slozile sve tecisterne?

15. Udio zemalja clanica OPEC-a (engl. Organizati-on of the Petroleum Exporting Countries) u ukup-noj proizvodnji nafte u svijetu iznosi 40 % . Izra-cunaj kolika je bila proizvodnja nafte u zemljamaOPEC-a 2005. godine, a rezultat izrazi u litramai u znanstvenom zapisu.

16. Brzina svjetlosti i brzina zvuka

Brzina svjetlosti je oko c = 3 · 108 m/ s. Brzina

zvuka je oko 0.2 milje u sekundi. Koliko je putabrza svjetlost od zvuka?

17. Pje ˇ sice do Mjeseca

Udaljenost Zemlje od Mjeseca je 3.84 · 108 km.Koliko bi vremena trebalo pjesaku koji hoda br-zinom od 4 km/ h da prije -de toliku udaljenost?

18. Svjetlosna godina

Jedna svjetlosna godina je udaljenost stojeza365

dana prije -de svjetlost. Od zvijezde Sjevernja

ˇ

cedo Zemlje svjetlost putuje 680 godina. Kolika jeudaljenost Sjevernjace od Zemlje u metrima?

56


19. Proxima Centauri

Proxima Centauri je najbliza zvijezda Suncevusustavu, udaljena je od Zemlje 4.3 svjetlosne go-dine. Kolika je ta udaljenost u kilometrima?

od pocetka 1922. do kraja 1923., u Njemackoj je hiperinflacija podigla cijene s razine 100 na10 000 000 000. O kakvoj se nedaci radi ilustri-raju i dvije slicice na kojima su prednja i straznjastrana istog pisma upucenog u to vrijeme Na nji



O G L E D N

I P R I M J E R

A K20. Rubikova kocka

CuvenuRubikovu kockuva-lja iz nekog stanja doves-ti do toga da su sve njezi-ne strane jednobojne. Brojsvih mogucih rasporeda bo-

ja na vidljivim stranama ma-lih kockica jednak je

43252 003 274 489 856 000.

Prikazi taj broj u znanstve-nom zapisu.

21. Zaga -denje mora

U mnostvu izuma americkog znanstvenika i izu-miteljaBenjamina Franklina (1706. – 1790.) mo-zda je najpoznatiji gromobran. Taj je znanstvenikpoznat po izreci “Vrijeme je novac”.Franklin je izracunaoda

0.1 cm3

nafte oneˇcisti

povrsinu vode od 40 m2 .

Kolika je pri tom deb-ljina naftne mrlje?

Akojepovrsina Jadran-skog mora jednaka

135 595 km2 ,

kolika bi kolicina naf-te po Franklinu pokri-la cijelu njegovu povr-sinu?

22. Voda u oceanima

Srednja dubina svih oceana na Zemlji je 3.7 ·103 m, a povrsina oceana iznosi 3.6 · 1014 m2 .Koliki je obujam vode u oceanima? Uzmi da je1 L = 1 dm3 .

23. Infl

acijaInflacija je jedna od najgorih nepogoda koja mo-ze zateci neku drzavu. U nepune dvije godine,

strana istog pisma upucenog u to vrijeme. Na nji-ma su na ime postarine nalijepljene tri marke odpo dvije milijarde maraka, cetiri od po 500 mili-

juna te 50 od po 200 milijuna. Koliko je iznosilapostarina za ovo pismo?

24. Inflacijski rekord

Najgora inflacija zadesila je Ma -darsku u perioduod 1945 do 1946, cijene su se udvostrucavale sva-kih 15 sati. Najveca banknota 1944 iznosila je1000 pengoa, da bi 1946 bila otisnuta novcanicaod 1 milijarde bilijuna pengoa. Napisi vrijednostte novcanice u znanstvenom zapisu.

18. kolovoza 1946 uvedena je forinta, 1 forintavrijedila je 4

· 1029 pengoa. Procitajte taj broj

koristeci naˇsu skalu.

25. Pu ˇ sa ˇ ci

Uzmimo da je neki pu-sac poceopusiti s 18go-dina (tada neka osobamoze legalno kupiti ci-garete) i da je dozivio70 godina. Pretpostavi-

mo da popuˇ

si kutiju od20 cigareta dnevno.

1) Koliko cigareta je pusac popusio za zivota?

2) Ako je pusenje tom pusacu skratilo zivot za5 godina, koliko je njegov zivot skratila jednapopusena cigareta?

26. Solarna energija

Povrsinaod 1 m2 jedne vrste solarnih celijamozeproizvesti 140 W elektricne energije. Jednogo-disnja potrosnja elektricne energije u RepubliciHrvatskoj je 2 100 MW (1 MW = 106 W). Koli-

57


28. Ra ˇ cunalo

Godine 1988. poznati proizvo -dac racunala IBMpustio je u prodaju racunalo koje izvodi 3.9 · 108

racunskih operacija u sekundi. Bilo je to 15 000ˇ ˇ ˇ



O G L E D N

I P R I M J E R

A Kka bi bila povrsina solarnih celija iz kojih bismodobivali svu ovu energiju?

27. Kineski zid

U Ripleyjevoj knjizi Vjerovali ili ne iz godine1932. izme -du ostaloga stoji kako je Kineski zid,

jedno od svjetskih cuda, vidljiv golim ljudskimokom i s Mjeseca. Ta je gra -devina ukupno du-ga oko 8800 km, a njezina najveca sirina je 9.1metar. Je li tvrdnja vjerodostojna?

Usporedimo vidljivost Kineskog zida s Mjesecas vidljivoscu vlasi ljudske kose s neke udalje-nosti d . Uzmimo da je promjer ljudske vlasi8 · 10−8 km . Postavimo omjer:

d : 3.844 · 105 = 8 · 10−8 : 9.1 · 10−3.

Odatle je d = 3.844 · 105 · 8 · 10−8

9.1 · 10−3 ≈ 3.38 km .

Dakle, tvrdnja da se Kineski zid vidi s Mjesca

odgovara tvrdnji da je ljudska vlas vidljiva naudaljenosti vecoj od 3 km.

Izracunajte s koje je najvece udaljenosti iz sve-mira vidljiv Kineski zid uz pretpostavku da jeljudska vlas vidljiva na najvecoj udaljenosti od1 m.

puta brze od najbrzih stolnih racunala toga vre-mena. Koliko je operacija u sekundi izvodilo“staro” stolno racunalo?

Na internetskoj adresi http://element.hr/plus/2/potencije-i-algebarski-izrazinalazi se nekoliko kvizova koji mogu dobro po-

sluˇ

ziti za uvjeˇ

zbavanje gradiva o potencijama.Preporucujemo ti da ih proradis.



1. −2−2 · (−2)2 = −1 .

2. (0.1)−2 + (0.1)−2 + (0.1)−2 = 106 .

3. 10−10 − 10−8

10−9 − 10−7 = 0.1 .

4. (0.1)4 · (0.01)5 = 10−14 .

5. 85 + 85 = 48 .

6. 100 − (−10)−2 = 1.01 .

7. Ako je 2m+1 = x te 2n−1 = y , onda je4m+n = x 2 y2 .

8. Broj 225 · 2515 ima 25 znamenki.

9. 1

· 104 + 2

· 102 + 4

· 10−1 + 10−3 =

10200.401.

10. 0.0355 · 108 = 3.55 · 106 .

11. Broj 1234 · 10−9 u znanstvenom zapisuglasi 1.234 · 10−6 .

12. 85 000 · 6440 = 5.474 · 108 .

58

ALGEBARSKI IZRAZI. POTENCIRANJE BINOMA 2.4

2.4. Algebarski izrazi. Potenciranje binoma



O G L E D N

I P R I M J E R

A KAlgebarski izrazi

Pri racunanju najcesce rabimo posebne brojeve. Zovemo ih konstantama. Zeli-mo li, me -dutim, iskazati neko opce matematicko pravilo, neku zakonitost, nekosvojstvo ili zapisati neku formulu, koristimo se opcim brojevima ili varijablama.

Prepoznajete li ove zapise:

o = a + b + c, P = 1

2a · v, V = B · v, C = C 0 · p, s =

1

2gt 2?

Sto oni izrazavaju? Prvi bismo mogli procitati kao opseg trokuta, drugi kaopovrsinu trokuta itd.

Algebarski izraz je bilo koji izraz koji sacinjavaju varijable i konstante pove-zane osnovnim algebarskim operacijama. Najjednostavniji algebarski izraz jemonom. Monom je jednoclan, on je umnozak konstanti i varijabli. Evo nekoliko

primjera monoma:

2 x , 1

2a2b, −3abc, r 2π .

U monomu 2 x broj 2 je konstanta ili koeficijent , a x je varijabla. U monomu1

2a2b broj

1

2 je koeficijent, a i b su varijable.

Zbroj dvaju monoma je binom. Izrazi

a2 + b2, 3 xy + 2 z, x 3 − 1

primjeri su binoma, dvoclanih algebarskih izraza.

Troclani izraz, kao sto je izraz 3 xy2−2 xy−1 zove se trinom. Opcenito, viseclanialgebarski izrazi zovu se polinomi.

S polinomima racunamo primjenjujuci poznata svojstva racunskih operacija. Pri-

tom se osobita pozornost posvecuje mnoˇzenju. Ono se zasniva na svojstvu dis-

tributivnosti mnozenja prema zbrajanju realnih brojeva:

a · (b + c) = a · b + a · c.

Ovo svojstvo primjenjujemo i pri mnozenju viseclanih algebarskih izraza. Evokako to izgleda kad mnozimo dva binoma:

(a + b) · (c + d ) = (a + b) · c + (a + b) · d = a · c + b · c + a · d + b · d .

Svaki clan prvog pomnozili smo sa svakim clanom drugog binoma. Ovo pravilo

proˇ

siruje se na umnoˇ

zak dvaju viˇ

seˇ

clanih izraza. Primjerice:( x 2 −2 x + 3) ·(2 x −5) = 2 x 3 −5 x 2 −4 x 2 +10 x + 6 x −15 = 2 x 3 −9 x 2 + 16 x −15.

59


Potenciranje binoma

Vidjeli smo kako se potencira umnozak vise realnih brojeva. Vrijedi (a · b)n =an bn . Ova se jednakost prosiruje na potenciranje umnoska bilo koliko faktora



O G L E D N

I P R I M J E R

A K·pa opcenito vrijedi:

Umnozak potenciramo tako da potenciramo svaki pojedini faktor umnoska.

(a1 · a2 · a3 · . . . · am)n = an1 · an

2 · an3 · . . . · an

m.

Kako potencirati viseclani algebarski izraz? Potrazimo odgovor na ovo pitanje

za najjednostavniji sluˇcaj, za kvadriranje dvoˇclana izraza, za kvadriranje binoma.

Koliko je dakle (a + b)2 ? Imamo redom:

(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.

Kvadrat binoma

Za svaka dva realna broja a i b vrijedi:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Za kvadriranje razlike dvaju realnih brojeva onda vrijedi:

(a − b)2 = (a + (−b))2 = a2 + 2a · (−b) + (−b)2 = a2 − 2ab + b2.

Bez rijeci

KVADRAT BINOMA

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

60


Primjer 1.

U ovom primjeru provedena su kvadriranja nekih dvoclanih izraza.

1) (a + 3)2 = a2 + 2a · 3 + 32 = a2 + 6a + 9 ;



O G L E D N

I P R I M J E R

A K2) (2 x + 5 y)2 = (2 x )2 + 2 · 2 x · 5 y + (5 y)2 = 4 x 2 + 20 xy + 25 y2 ;

3) ( x 2 − 10 y)2 = ( x 2)2 + 2 x 2 · (−10 y) + (−10 y)2 = x 4 − 20 x 2 y + 100 y2 .

Zadatak 1. Provedi sljedeca kvadriranja:

1) (ab + 1)2 ; 2) (3 x − 4 y)2 ; 3) 23

x + 34

y2

; 4) (0.1 − 0.2a)2 .

Identitet, koji smo nazvali kvadrat binoma, cesto primjenjujemo i u obrnutomsmjeru, zdesna u lijevo: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 . Time neke troclane izrazezapisujemo u obliku jednoclanih. Primjerice:

a2 − 8a + 16 = a2 − 2 · 4a + 42 = (a − 4)2.

Zadatak 2. Navedeni troclani izrazi rezultati su kvadriranja dvoclanih izraza. Kojih?

1) 4a2 + 20a + 25 ; 2) 4 x 2 − 4 x + 1 ;

3) x 4 − 16 x 2 + 64 ; 4) 1

4b2 − b + 1 .

Bez rijeci

KVADRAT TRINOMA

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

61


U ovom dijelu gradiva, a i kasnije tijekom skolovanja, cesto cemo pri postupanjus raznim algebarskim izrazima rabiti rijec identitet. Identitet je jednakost koja je ispunjena za svaki broj iz nekog istaknutog skupa brojeva. Tako je jednakost(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 primjer identiteta u skupu realnih brojeva. Ona je tocnaza svaka dva realna broja a i b . U nastavku cemo upoznati citav niz algebarskihid i



O G L E D N

I P R I M J E R

A Kidentiteta.

Kako se dvoclani izraz potencira eksponentom koji je veci od 2? Izracunajmo(a + b)3 :

(a + b)3 = (a + b)2 · (a + b) = (a2 + 2ab + b2) · (a + b)

= a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

U slobodnijem izrazavanju obicno kazemo da smo kubirali binom, u ovom slucajuzbroj dvaju realnih brojeva.

Koristeci se prethodnim identitetom mozemo odrediti i kub razlike dvaju brojeva:

(a − b)3 = (a + (−b))3 = a3 + 3a2 · (−b) + 3a · (−b)2 + (−b)3

= a3 − 3a2b + 3ab2 − b3.

Kub binoma

Za svaka dva realna broja a i b vrijedi:

(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3.

Primjer 2. Evo nekoliko primjera kubiranja dvoclanih izraza:

1) (2a + 3b)3 = (2a)3 + 3 · (2a)2 · (3b) + 3 · (2a) · (3b)2 + (3b)3

= 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3 ;

2) (5a2 − 1)3 = (5a2)3 + 3 · (5a2)2 · (−1) + 3 · 5a2 · (−1)2 + (−1)3

= 125a6

−75a4 + 15a2

−1 ;

3)2

3 x +

1

4 y

3

= 8

27 x 3 +

1

3 x 2 y +

1

8 xy2 +

1

64 y3 .

Zadatak 3. Provedi naznaceno kubiranje u svakom od sljedecih zadataka:

1) (3a3

+ 5)3

; 2) 1

2 x − 1

3 y3

; 3) (m4

− 3n3

)3

.

62


Kutak plus

POTENCIRANJE BINOMA



O G L E D N

I P R I M J E R

A KPOTENCIRANJE BINOMA

Vidjeli smo kako se kvadrira i kako se kubira binom. Prirodno se namece pitanje: kako odrediti bilo koju potencijudvoˇ clana izraza, odnosno, kako izraˇ cunati (a + b)n za bilo koji prirodni broj n ?

Imamo redom:(a + b)4 = (a + b)3 · (a + b) = a

4 + 4a3

b + 6a2

b2 + 4ab

3 + b4.

(a + b)5 = (a + b)4 · (a + b) = a5 + 5a

4b + 10a

3b

2 + 10a2

b3 + 5ab

4 + b5.

(a + b)6

= (a + b)5

· (a + b) = a6

+ 6a5

b + 15a4

b2

+ 20a3

b3

+ 15a2

b4

+ 6ab5

+ b6

.Postupak bismo mogli nastaviti, ali vec je i ovo dovoljno za sljedeci zakljucak.

Prvo, broj clanova polinoma koji dobijemo nakon mnozenja za 1 jeveci od eksponenta potencije s lijeve strane pojedine jednakosti. I drugo, u clanovima polinoma, od pocetka prema kraju, eksponenti od a padaju, a eksponenti od b rastu.Njihov je zbroj u svakom pribrojniku uvijek jednak eksponentu n potencije (a + b)n .

Blaise Pascal (1623. – 1662.), francuski matematiˇ car,

fiziˇ car i filozof

Preostaje jos pitanje: kako odrediti koeficijente polinoma? Po -dimo redom, odkvadrata, te ispisimo koeficijente u jednu trokutastu tablicu:

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Promotrimo li dobro ovu tablicu, uocit cemo pravilo ispisivanja brojeva u poje-dinom retku. Naime, na pocetku i kraju svakog retka je broj 1. Svaki je ostali

broj u retku zbroj dvaju brojeva koji se nalaze iznad njega.

Tablicu bismo na vrhu mogli dopuniti koeficijentima od (a + b)1 = 1 · a + 1 · b ,

a na sam vrh staviti broj 1, (jer je (a + b)0 = 1 ). Tako bi nastao trokut poznatkao Pascalov trokut.

Evo kako bismo sada odredili, primjerice, (a + b)7 :

(a + b)7 = a7 + 7a6b + 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b5 + 7ab6 + b7.

Rije ˇ si zadatke:1. Dopisi jos cetiri retka Pascalova trokuta.

2. Ispisi sve clanove polinoma koji dobijemo izracunavanjem potencije (a− b)9 .

3. Izracunaj (2 x − 3 y)5 .

4. Odredi 9. clan polinoma koji se dobije potenciranjem binoma (a2 − b3)10 .

5. Izracunaj zbroj svih brojeva u pojedinom retku Pascalova trokuta. Sto primjecujes? Obrazlozi!

63


K

Zadatci 2.4.

1. Odaberi za x , y i z bilo koje brojeve te provjeri

da se nakon njihova uvrˇ

stavanja u polja tabliced bij iˇ i k d t P k ˇi k k j k d t

6. Odredi onaj clan umnoska

(3a 5b + 1)(a + 2b 4ab)



O G L E D N

I P R I M J E R

A Kda se nakon njihova uvrstavanja u polja tablicedobije magiˇ cni kvadrat . Pokazi kako je kvadratmagican, neovisno o izboru triju brojeva.

2. Sljedece jednakosti vrijede za sve realne brojevea, b i c . Provjeri.

1) a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=2(ab+ac+bc) ;2) a(b − c) + b(c − a) + c(a − b) = 0 ;

3) a(b + c) − b(c + a) − c(a + b) = −2bc ;

4) a(b − c) − b(c − a) − c(a − b) = 2(ab − ac) .

3. Pojednostavni:

1) 2a(3a − 5b) + 2b(2a − 3b) − 6a(a − b) ;

2) x ( x

−2 y2)

− y(2 x 2

− y) + 2 xy( x + y) ;

3) 2ab(a−b)−a(a−b2)−b(a2−b)+a2−b2 .

4. Izracunaj:

1) ( x − 2 y)( x + 2 y) − (2 x − y)(2 x + y) ;

2) ( x − y)( x + 2 y) − ( x + y)(2 x − y) ;

3) ( x − y)( x − 1) − ( x + y)( x + 1) ;

4) (2a − 3b)(3a + 2b) − (2a − 3b)(3a − 2b) ;

5) (2 x

−5 y)(3 x + 4 y) + (3 x + 2 y)(4 x

−5 y) ;

6) ( x 2 + 1)( y2 − 1) + ( x 2 − 1)( y2 + 1) .

5. Izracunaj:

1) (2a − b + 1)(a + b) − (2a + b − 1)(a − b) ;

2) (a − b + c)(a − c) + (a + b − c)(a + c) ;

3) ( x − 2 y + 3 z)( x + y) − ( x + 2 y − 3 z)( x − y) ;

4) ( x −2 y−1)( x −2 y+1)−( x +2 y−1)( x +2 y+1) ;

5) (2a−b+c)(2a+b−c)−(2a−b−c)(2a+b+c) ;6) (3a−2b+c)(2a+3b−c)−(2a+3b−c)(3a+2b+c) .

(3a − 5b + 1)(a + 2b − 4ab)

koji sadrzi ab .


(2a − 3b)(3a + b)(a − b)

koji sadrzi ab2 .


(a − b + ab)(a + b − ab)(a + b + ab)

koji sadrzi a2b2 .

9. Ako je 3a−b+2c+5d = 11 te a+5b+2c−d =9 ,koliko je a + b + c + d ?

10. Ako je 13 x − 52 y = 1 , koliko je 11 x − 44 y ?

11. Ako je u = −2 x 2 + 6 xy−4 y2 te v = 3 x 2 −9 xy +

6 y2

, onda je 3u + 2v = 0 . Provjeri!12. Ako je (2 x − y)( x − 2 y) = 4 , koliko je

−4 x 2 + 10 xy − 4 y2?

13. Ako je (3 x + 2)(2 x − 3) = 11 , koliko je

( x − 1)(6 x + 1)?

14. Ako je (4 x −

2)(3 x −

4) = 9 , koliko je

(3 x − 1)(2 x − 3)?

15. Dokazi da je za svaki prirodni broj n broj

(2n + 3)(3n − 2) − (3n + 2)(2n − 3)

djeljiv s 10.


(2n + 3)(3n−

7)−

(n + 1)(n−

1) djeljiv s 10.


(5n− 2)(3n −1)− (2n + 3)(2n −3) djeljiv s 11.

18. Izracunaj:

123456787 · 123456788 − 123456789 · 123456786.

Provedi kvadriranja:

64


K

19. 1) (3a + 2b)2 ; 2) (4a + 5)2 ;

3) (7a + 3b)2 ; 4) (5a + 6)2 ;

5) (2a − 1)2 ; 6) (4a − 3b)2 ;

7) (10a

−b)2 ; 8) (6a

−5)2 ;

9) (11 1)2 10) (8 3)2

30. Ako je a2 + b2 = 13 , a + b = 11 , koliko je ab ?

31. Ako je a − b = 3 , a + b = 2 , koliko je a2 + b2 ?

32. Ako je x 2 + xy + y2 = 7 i x + y = 2 , koliko je

x2 + y2 ?



O G L E D N

I P R I M J E R

A K− −9) (11a + 1)2 ; 10) (8a + 3)2 .

20. 1)1

2a + b

2

; 2)1

2a − 1

2

;

3)1

2a − 2

3

2

; 4)2

3a +

3

4b2

;

5) 3

4a +

1

62

; 6) 1

2ab − c

2

;

7) 1

10a − 1

2; 8)

4

5a +

5

6b2

;

9)3

8a +

1

6b2

; 10) 8

15a − 5

12b2

.

21. 1)1

2 x 2 − 2

3 y22

; 2)

5 x 2 y2 + 1

4

2

;

3) 1

6

x

− 1

3

y2 z32

; 4) 2

3

a3 + 3

4

b4c2

;

5) (0.1 + a2b2)2 ; 6) (a2b − ab2)2 ;

7) (0.2 x 2 + 0.3 y3)2 ; 8) (0.5a3 − 1)2 ;

9)2

3 x 2 − 6 yz3)2 ; 10)

1

4a3 − 2

2

.

22. Provjeri sljedeca dva identiteta i opisi njihovoznacenje:

1) (−a − b)2

= (a + b)2

;2) (a − b)2 = (b − a)2 .

23. Ako je (−2 x + 1)2 = 3 , koliko je (4 x − 2)2 ?

24. Ako je (−3 x + 6)2 = 9 , koliko je ( x − 2)2 ?

25. Provjeri sljedece identitete:

1) ( x − 2 y)2 + 8 xy = ( x + 2 y)2 ;

2) (2a + 3b)2 − 24ab = (2a − 3b)2 ;3) x 2 + 9 y2 = ( x + 3 y)2 − 6 xy ;

4) 16a2 + 25b2 = (4a + 5b)2 − 40ab .

26. Ako je 2a(2a − 3) = 10 , koliko je (4a − 3)2 ?

27. Ako je ( x − 1)( x − 3) = 5 , koliko je ( x − 2)2 ?

28. Ako je a + b = 1 , koliko je a(a − 2) + b(b −2) + 2ab ?

29. Ako je a + b = 3 , ab = −1 , koliko je a2 + b2 ?

x + y ?

33. Ako je x 2 − xy + y2 = 7 i x − y = 5 , koliko je xy ?

34. Ako je a2 − a − 1 = 0 , koliko je a4 − 2a3 + a2 ?

35. Za koji je broj k dana jednakost identitet:

1) (4a − 2)4 = k · (2a − 1)4 ;

2) (6a − 3)3 = k · (1 − 2a)3 ?

36. Provjeri: (ka + kb)2 = k 2 · (a + b)2 .

37. Ako je x + y = 1

5 , x · y = −3

5 , koliko je x 2 + y2 ?

38. Ako je x + 1

x = 2 , koliko je x 2 +

1

x 2 ?

39. Ako je x + 1 x

= 5 , koliko je x 4 + 1 x 4

?

40. Ako je a − 1

a= 3 , koliko je a2 +

1

a2 ?

41. Zapisi u obliku kvadrata binoma:

1) 4 x 2 + 4 x + 1 ;

2) x 2

−6 x + 9 ;

3) 1

4a2 − ab + b2 ;

4) a2 + 3a + 9

4 ;

5) 4 x 2 + x + 1

16 ;

6) 4

9a4+

9

16b4−a2b2 ;

7) a4b4 − 8a2b2 + 16 ;

8) 9a2b4 − 24ab2c3 + 16c6 .


1) 4a2 + 28a + 49 ;

2) 9a2 − 30ab + 25b2 ;

3) 1

9a2 +

1

2ab +

9

16b2 ;

4) 1

4a2b2 − 3ab + 9 ;

65


K

5) 16a4 + 24a2b3 + 9b6 ;

6) 49a6 − 70a3b4 + 25b8 ;

7) 9

16a4 +

3

5a2b +

4

25b2 ;

8) 4 a2b2 − 6 ab + 9

3)

a + b

2

2

+

a − b

2

2

= a2 + b2

2 ;

4) a + b

2 2

−a − b

2 2

= ab ;

5) ( 2 b2)( 2 d2) ( bd)2 ( d b )2



O G L E D N

I P R I M J E R

A K8) 4

25a b − 6

5ab + 9

4 .

43. Za koju vrijednost od m se sljedeci trinomi moguprikazati u obliku kvadrata binoma:

1) mx 2 − 12 x + 4 ; 2) 16 x 2 − 8mx + 25 ;

3) x 2 − 5 x + 4m ?

44. Izraˇ

cunaj napamet:1) 5.22 + 6.82 + 10.4 · 6.8 ;

2) 1102 + 102 − 2200;

3) 13.82 + 16.22 + 32.4 · 13.8 ;

4) 15.12 − 30.2 · 5.1 + 5.12 .

45. Za koji realni broj a je polinom 9 x 2 + 3ax + 1 ,kvadrat binoma?

46. Za koji realni broj m je polinom 4 x 2 − 3mx + 9 ,kvadrat binoma?

47. Za koje x izraz x 2 − 2 x + 3 prima najmanjuvrijednost?

48. Za koje x izraz 1 − x − x 2 prima najvecu vrijed-nost?

49. Ako je 4 x 2 + y2 − 4 x + 2 y + 2 = 0 , koliki su x i y ?

50. Ako je 2 x 2 + 4 xy + 4 y2 − 2 x + 1 = 0 , odredi x i y ?

51. Dokazi:

1) (n + 7)2 − n2 je broj djeljiv sa 7 za svaki cijelibroj n ;

2) (n + 2)2 − (n − 2)2 je broj djeljiv s 8 za svakicijeli broj n .

52. Broj (5k + 1)2 + (5m + 2) je djeljiv s 5 za svakadva broja k i m .

53. Provjeri vrijede li sljedece jednakosti za sve real-ne brojeve a , b i c :

1) (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2) ;2) (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab ;

5) (a2 + b2)(c2 + d 2) = (ac + bd )2 + (ad −bc)2 ;

6) (a2 −b2)(c2 − d 2) = (ac + bd )2 − (ad + bc)2 ;

7) (ad +bc)2+(ac−bd )2 = (ad −bc)2+(ac+bd )2 ;

8) (ad −bc)2−(ac−bd )2 = (ad +bc)2−(ac+bd )2 .

54. Pojednostavni:

1) 2a + 142

−2a − 142

;

2) 2a(3a − 2b)2 + 6b(2a − 3b)2 ;

3) (2a − 1)2(a + 1) − (2a + 1)2(a − 1) ;

4) ( x 2 − 4)2 − ( x + 2)( x − 2)( x 2 + 4) ;

5) (a − 2b)2 + (a + 2b)2 ;

6) (2a + 3b)2 − (3a − 2b)2 .

55. Provjeri da za kvadriranje troclanog izraza vrijedi: (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac .

Izracunaj zatim i (a + b + c + d )2 .

56. Kvadriraj sljedece trinome:

1) (a + b − c)2 ; 2) (a − b − c)2 ;

3) (2a − 3b + c)2 ; 4) (a − 2b − 3c)2 ;

5) (ab

−bc

−ca)2 ; 6) (2ab

−b + 3bc)2 ;

7) (2a − 3b + c)2 ; 8) (3a − 2b − c)2 .

57. Primjenjujuci identitete

(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 odredi:

1) (4a + 1)3 ; 2) (a − 6)3 ;

3) (ab + 5)3 ; 4) (3a

−5b)3 ;

5) (2a2 − 1

6)3 ; 6) (2ab − 3cd )3 .

58. Primjenjujuci identitete

(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 odredi:

1)1

3c2 − 1

2d 23

; 2) (3a2b − 4c3)3 ;

3) 2

3 a

2

b

2

− 3

2 c

43

; 4) (2

m

− 3

m

)3

;5) (2n + 2m)3 ; 6) (2n+1 − 2n−1)3 .

66


K

59. Kubiraj:

1) (a2b2 − 5)3 ; 2) (2ab2 − 1)3 ;

3) (4a + 3b2)3 ; 4) (a3b3 − 3)3 ;

5) (6a

4

− 5)

3

; 6) (4a

2

b

3

+ 3c

4

)

3

.

64. Zapisi u obliku kuba binoma sljedece cetverocla-ne izraze:

1) a3 + 6a2 + 12a + 8 ;

2) 27a3

−27a2 + 9a

−1 ;

3) a3−21a2+147a−343;



O G L E D N

I P R I M J E R

A K) ( ) ; ) ( + )

60. Kubiraj:

1)

1

3a2b2 + 1

3

; 2)

a − 1

3

3

;

3)

2

3a + 1

3

; 4)

1

2a +

1

3b

3

;

5) 23

ab − 34

cd 3

; 6) 25

a2 + 16

b23

.

61. Odredi drugi clan nakon provedenog kubiranjabinoma:

1) (3a2b3 − 1)3 ; 2) (4a3b2 + 11c4)3 .

62. Odredi treci clan nakon provedenog kubiranja bi-

noma:1) (3a2b − 5)3 ; 2) (4a2b3 + 11)3 .

63. Za koje cijele brojeve a i b je cetveroclani izrazkub binoma:

1) 27 x 3+ax 2+bx −64 ;

2) ax 3+12 x 2+6 x +b ;

3) ax 3+150 x 2+bx +8 ;

4) x 3+ax 2+48 x +b .

) + ;

4) 125a3+225a2b+135ab2+27b3 ;

5) a6b6 − 12a4b4 + 48a2b2 − 64 ;

6) 27a6b3 + 54a4b2c3 + 36a2bc6 + 8c9 ;

7) 27a3 − 9

2a2 +

1

4a − 1

216 ;

8) 1

8a3b3

−

1

4a2b2cd +

1

6abc2d 2

−

1

27c3d 3 .

65. Zapisi u obliku kuba binoma sljedece cetverocla-ne izraze:

1) 27m + 3 · 18m + 3 · 12m + 8m ;

2) 8n − 3 · 22n+m + 3 · 2n+2m − 8m ;

3) a3 − 12a2 + 48a − 64 ;

4) 27a3 + 27a2 + 9a + 1 ;

5) 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3 ;

6) 64a6 − 144a4b + 108a2b2 − 27b3 ;

7) 8a3 + 60a2b2 + 150ab4 + 125b6 ;

8) a9 − 18a6b2 + 108a3b4 − 216b6 .

Bez rijeci

(a + b)2 = (a − b)2 + 4ab.

67


K

2.5. Razlika i zbroj potencija

Mnozenjem dvaju viseclanih algebarskih izraza od kojih jedan ima m , a drugin clanova dobijemo viseclani izraz s ukupno m · n pribrojnika. Neki od tih



O G L E D N

I P R I M J E R

A Kj p p j

pribrojnika ponekad se mogu zbrojiti ili oduzeti. Jedan poseban primjer u tomsmislu je umnozak razlike i zbroja dvaju brojeva:

(a − b) · (a + b) = a2 + ab − ab − b2 = a2 − b2.

Rezultat mnozenja je dvoclan, on je razlika kvadrata brojeva a i b .

Razlika kvadrata

Za svaka dva realna broja a i b vrijedi jednakost

(a − b) · (a + b) = a2 − b2.

Primjer 1. Koristeci se gornjim identitetom provedeno je “skraceno” mnozenje:

1) (a − 4) · (a + 4) = a2 − 42 = a2 − 16 ;

2) (3 x − 8 y) · (3 x + 8 y) = (3 x )2 − (8 y)2 = 9 x 2 − 64 y2 ;

3)1

2ab − 2

3c

·1

2ab +

2

3c

=1

2ab2

−2

3c2

= 1

4a2b2 − 4

9c2 .

Zadatak 1. Zapiˇsi u obliku razlike kvadrata sljedece umnoˇske:

1) (2 x − 7 y) · (2 x + 7 y) ; 2) (a2 − 1) · (a2 + 1) ;

3)3

5 x − 2

3 yz

·3

5 x +

2

3 yz

.

Uoˇ

cimo kako nam identitet a2

− b2

= (a − b) · (a + b) omogucuje zapis raz-like kvadrata dvaju brojeva kao umnoska njihove razlike i njihova zbroja. Evonekoliko primjera.

Primjer 2. 1) x 2 − 9 y2 = x 2 − (3 y)2 = ( x − 3 y) · ( x + 3 y) ;

2) 16a4 − 1

4 = (4a2)2 −

1

22

=

4a2 − 1

2·

4a2 + 1

2;

3) c6 − 0.01 = (c3)2 − (0.1)2 = (c3 − 0.1) · (c3 + 0.1) .

68

RAZLIKA I ZBROJ POTENCIJA 2.5

K

Zadatak 2. Sljedece razlike kvadrata dvaju brojeva zapisi u obliku umnoska njihove razlikei njihova zbroja:

1) 9a2

−25b2 ; 2) 16 x 4

−1 ; 3)

1

4

a2b2

−1.44c2 .



O G L E D N

I P R I M J E R

A KZa razliku trecih potencija (kubova) vrijedi identitet koji je poopcenje razlikekvadrata.

Razlika kubova

Za svaka dva realna broja a i b vrijedi sljedeca jednakost:

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

Bez rijeci

RAZLIKA KVADRATANa slikama su prikazana dva geometrijska tumacenja razlike kvadrata. Proucite ih iobrazlozite.

a2 − b2 = (a − b)(a + b).

1)

2)

69


K

Identitet mozemo jednostavno provjeriti provedemo li mnozenje naznaceno nadesnoj strani. Ucini to!

I ovaj se identitet moze iscitati dvojako. Slijeva u desno prikazujemo razlikukubova kao umnozak dvaju polinoma. Gledamo li zdesna u lijevo, rijec je o

“skracenom” mnozenju.



O G L E D N

I P R I M J E R

A KPrimjer 3. U sljedecim primjerima razlike trecih potencija zapisane su u obliku um-

noska dvoclanog i troclanog izraza:

1) 8a3 − 27b3 = (2a)3 − (3b)3 = (2a − 3b) · ((2a)2 + 2a · 3b + (3b)2)

= (2a−

3b)(4a2 + 6ab + 9b2) ;

2) 125 x 3 − 1 = (5 x )3 − 13 = (5 x − 1) · (25 x 2 + 5 x + 1) .

Zadatak 3. Zapisi u obliku umnoska sljedece razlike kubova:

1) 27 x 3

− 125 y3

; 2) a3

− 8 ; 3)

1

64 x 3

− 1

125 .

Iz izraza za razliku kubova lako se izvede novi identitet – zbroj kubova:

a3+b3 = a3

−(

−b)3 = (a

−(

−b))

·(a2+a

·(

−b)+(

−b)2) = (a+b)

·(a2

−ab+b2).

Zbroj kubova

Za svaka dva realna broja a i b vrijedi jednakost:

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2).

Primjer 4. U sljedecim primjerima zbrojevi trecih potencija zapisani su u obliku um-noska dvaju faktora:

1) a3 + 0.001 = a3 + (0.1)3 = (a + 0.1)(a2 − 0.1a + 0.01) ;

2) 1

8

x 6 + 1

125

= 1

2

x 23

+ 1

53

= 1

2

x 2 + 1

51

4

x 4

− 1

10

x 2 + 1

25 .

70


K

Zadatak 4. Zapisi u obliku umnoska sljedece zbrojeve kubova:

1) 1

27a3 +

1

64b3 ; 2) 729a6 + 1 ; 3) 0.001 x 3 + 1 .



O G L E D N

I P R I M J E R

A KKutak plus

RAZLIKA I ZBROJ POTENCIJA

Identiteti

a2

− b2

= (a − b) · (a + b); a3

− b3

= (a− b) · (a2

+ ab + b2

)pokazuju kako se razlika kvadrata i razlika kubova dvaju brojeva mogu zapisati u obliku umno ska. Lako je provjeritida vrijede i sljedeca dva identiteta:

a4 − b

4 = (a− b) · (a3 + a

2b + ab

2 + b3);

a5 − b

5 = (a− b) · (a4 + a

3b + a

2b

2 + ab3 + b

4).

Ovaj induktivni put vodi prema zakljucku:

za svaki prirodni broj n i svaka dva realna broja a i b vrijedi identitet:

an − b

n = (a − b) · (an−1 + a

n−2b + a

n−3b

2 + . . . + a2

bn−3 + ab

n−2 + bn−1).

Kada je rijec o slicnom zapisu zbroja potencija an + bn , onda vrijedi sljedeci poucak:

zbroj dviju potencija an + bn , ciji je eksponent isti prirodni broj n , moze se zapisati u obliku umnoska ako i samo ako je n neparan broj. Tada vrijedi:

a2k +1 + b

2k +1 = (a + b) · (a2k − a

2k −1b + a

2k −2b

2 − . . . + a2

b2k −2 − ab

2k −1 + b2k ).

Rije ˇ si zadatke:

1. Zapisi u obliku umnoska polinom a12 − 1 .

2. Zapisi u obliku umnoska zbroj potencija x 5 + y5 .

3. Dokazi da je razlika 11n − 1 broj djeljiv s 10 za svaki prirodni broj n .

4. Dokazi da je broj 530 − 260 djeljiv s 9.

5. Skrati razlomak: x 8 + x 6 + x 4 + x 2 + 1

x 4 + x 3 + x 2 + x + 1.

71


K

Zadatci 2.5.

1. Pomnozi:

1) (2a − 3)(2a + 3) ;2) (4a + 5)(4a − 5) ;

6) (a2 + 2b − c3)(a2 − 2b + c3) ;

7) (5a + 3b2 + 4c3)(5a − 3b2 − 4c3) ;8) (3a2 − 3b2 − 3c2)(3a2 − 3b2 + 3c2)



O G L E D N

I P R I M J E R

A K( )( )

3) (ab − 11)(ab + 11) ;

4) (a2b2 − 7)(a2b2 + 7) ;

5) (2ab3 + 3)(3 − 2ab3) ;

6) (a2 + 6b3)(a2 − 6b3) ;

7) 1

3

a3

− 1

4

b2c1

3

a3 + 1

4

b2c ;

8)

3

5a3b3 − 0.1

3

5a3b3 + 0.1

.

2. Zapisi u obliku razlike kvadrata sljedece umnos-ke:

1) (2ab − 3)(2ab + 3) ;

2) (13 x − 12 yz)(13 x + 12 yz) ;

3) (5 − abc)(5 + abc) ;4) (a2 − 10)(a2 + 10) ;

5)1

2a − 3

4bc1

2a +

3

4bc

;

6)2

3ab +

3

4bc2

3ab − 3

4bc

;

7)

0.2a − 1

7bc0.2a +

1

7bc;

8)

0.1ab2− 35c3

0.1ab2+ 3

5c3

.

3. Ako je a2 − b2 = 15 , a − b = 9, koliko je1 − 3a − 3b ?

4. Ako je x 2 − y2 = 21 , y = x + 3 , koliko je x + y ?

5. Ako je (a + b)2 = 11 , (a − b)2 = 13 , koliko je

(a2

−b2)2 ?

6. Ako je ( x + 1)( x − 1) = 3 , koliko je:

1) ( x 2 − x )( x 2 + x ) ; 2) ( x 3 − x )( x 3 + x ) ?

7. Izracunaj:

1) (a + b + c)(a − b − c) ;

2) (a + b − c)(a − b + c) ;

3) (a − b + c)(a − b − c) ;

4) (a − b − c)(a + b − c) ;5) (2a − b + 3c)(2a + b − 3c) ;

8) (3a − 3b − 3c )(3a − 3b + 3c ) .

8. Napisi u obliku umnoska sljedece razlike kvad-rata:

1) 9 − a2b2 ; 2) 36a2b2 − 121;

3) a2 − 81b4 ; 4) 64a4 − b6 ;

5) 16

81

a4b4

−1 ; 6) 64a8

−1 ;

7) 0.01 x 2 − 1.44 y4 ; 8) 9

16 x 2 y4 − 1

25 z6 ;

9) 2.25a4b4− 1

400 ; 10)

4

9a8 − 25

64b8c12 ;

11) 25a2 − 1 ; 12) 49a2 − 81b2c2 ;

13) 16a4 − 1 ; 14) 36a2b2 − 49 ;

15) 81a4

−16 .

9. Izracunaj napamet:

1) 6.52 − 3.52 ; 2) 1012 − 1 ;

3) 44.22 − 34.22 ; 4) 0.992 − 0.012 .

10. Izracunaj bez uporabe dzepnog racunala:

1)√

15 · √ 135 +

98.52 − 97.52 ;

2) 3 1

16 + 522

− 482

;

3)

652 − 562

√ 522 − 202

;

4)

0.652 − 0.162

0.372 − 0.122 .

11. Napisi u obliku umnoska sljedece razlike kvad-rata:

1) (a − b)2 − c2 ; 2) a2 − (b − c)2 ;

3) (a+b)2−(c−d )2 ; 4) 9(a2 − 2b)2 − 16c2 ;

5) 25a2−16(b2−3c)2 ; 6) 9

16a4 −

b − 1

2c22

.

12. Pomnozi:

1) (2a − 1)2 · (2a + 1)2 ;

2) (4 − 4a + a2

)(4 + 4a + a2

) ;3) (a − 1)2(a2 + 1)2(a + 1)2 ;

72


K

4) (a2 + a + 1)2 · (a2 − a + 1)2 ;

5) (2a2 − 2a − 1)2 · (2a2 + 2a + 1)2 .

13. Izracunaj:

1) (a − b)3

· (a + b)3

;2) (a2 − 1)3 · (a2 + 1)3 · (a4 + 1)3 .

18. Razlika kvadrata dvaju uzastopnih cijelih brojevaneparan je broj. Dokazi!

19. Umnozak dvaju uzastopnih parnih brojeva djeljiv je s 8. Dokazi!



O G L E D N

I P R I M J E R

A K( ) ( ) ( )

14. Napisi u obliku umnoska:

1) 27a3 + 8b3 ; 2) 1 − 64a3 ;

3) 8a3b3 + 1 ; 4) 125a3 − 64b6 ;

5) 1

27a12 +

64

125 ; 6)

8

27a6b9 − 1

125c12 .

15. Pomnozi:

1) (a − 2b)(a2 + 2ab + 4b2) ;

2) (2a − 3)(4a2 + 6a + 9) ;

3) (4ab − 1)(16a2b2 + 4ab + 1) ;

4) (7a2

− 4b2

)(49a4

+ 28a2

b2

+ 16b4

) ;

5)

1

3ab−3

4c2

1

9a2b2+

1

4abc2+

9

16c4

;

6)

2

5a3 − 1

4b3

4

25a6 +

1

10a3b3 +

1

16b6

.

16. Ne mnozeci polinome, izravno zapisi rezultatmnozenja:

1) (2a+5b)(4a2−10ab+25b2) ;

2) (3a − 1)(9a2 + 3a + 1) ;

3) (4a+7b)(16a2−28ab+49b2) ;

4) (a2 + 3b3)(a4 − 3a2b3 + 9b6) ;

5)

5ab+1

2

25a2b2−5

2ab+

1

4

;

6) 1

2

x 2

−11

4

x 4 + 1

2

x 2 + 1 .

17. Zapisi u obliku umnoska:

1) a3 − 125b3 ; 2) a6 − b6 ;

3) a9 − 64b6 ; 4) 27a3 − 8b6c9 ;

5) 1

8a9b9 − 1 ; 6)

27

125a6b9 − 1

64c12 .

20. Umnozak kvadrata prirodnog broja i broja kojiprethodi tom kvadratu djeljiv je s 12. Dokazi!

21. Razlika kvadrata dvaju uzastopnih neparnih brojeva djeljiva je s 8. Dokazi!

22. Kvadrat prirodnog broja pri dijeljenju s 3 dajeostatak 0 ili 1. Dokazi!

23. Dokazi da zbroj kvadrata triju uzastopnih cijelihbrojeva pri dijeljenju s 3 daje ostatak 2.

24. Ako umnosku dvaju uzastopnih cijelih brojevadodamo veci od njih, dobit cemo kvadrat vecegbroja. Dokazi!

25. Ako umnosku triju uzastopnih cijelih brojeva do-damo srednji broj, dobit cemokub srednjeg broja.

Dokaˇ

zi!26. Kvadrat svakog neparnog broja umanjenza 1 dje-

ljiv je s 8. Dokazi!

27. Ako je svaki od dvaju neparnih cijelih brojevadjeljiv s 3, razlika kvadrata tih brojeva djeljiva jesa 72. Dokazi!

28. Umnozak cetiriju uzastopnih cijelih brojeva uve-can za 1 potpuni je kvadrat. Dokazi!

29. Dokazi da je broj (6n − 7)2 − (4n − 3)2 djeljivs 40 za svaki cijeli broj n .

30. Dokazi da je broj (20n + 17)2 − (17n + 20)2

djeljiv s 888 za svaki neparni cijeli broj n .

31. Rijesi u skupu cijelihbrojeva jednadzbu x 2− y2 =105.

32. Kub prirodnog broja pri dijeljenju s 9 daje ostatak0, 1 ili 8. Dokazi!

33. Razlika kuba neparnog prirodnog broja i samogbroja djeljiva je s 24. Dokazi!

34. Dokazi: zbroj kubova triju uzastopnih cijelih brojeva djeljiv je s 3.

73


K

2.6. Rastavljanje na faktore

Jedno od svojstava koje vrijedi za racunanje s realnim brojevima jest svojstvodistributivnosti mnozenja prema zbrajanju. Za svaka tri realna broja a , b i cvrijedi:



O G L E D N

I P R I M J E R

A Kvrijedi:

a · (b + c) = a · b + a · c.

Ovo se svojstvo moze “citati” i zdesna u lijevo

a · b + a · c = a · (b + c).

Kazemo tada da smo dvoclani izraz a · b + a · c zapisali u obliku umnoska,odnosno da smo ga rastavili na faktore.

Primjer 1. U sljedecim primjerima rastavili smo na faktore nekoliko polinoma pri-mjenjujuci pritom svojstvo distributivnosti:

1) x 2 + xy = x · ( x + y) ;

2) 3m3 + 3mn = 3m · (m2 + n) ;

3) 6a3b4 − 9a2b2 = 3a2b2(2ab2 − 3) .

Zadatak 1. Rastavi na faktore sljedece polinome:

1) 4a3 + 12a ; 2) 12 x 2 y − 30 xy2 ; 3) 21a4b4 + 35a3b .

Svojstvo distributivnosti mnozenja prema zbrajanju realnih brojeva moze se pri-mijeniti i u ovom mnozenju:

a · (b + c + d ) = a · b + a · c + a · d .

Primjer 2. Obrazlozi sljedece jednakosti:

1) a2b2 + 2a2b + 3ab2 = ab(ab + 2a + 3b) ;

2) 6 x 4 y3 − 12 x 3 y2 + 24 x 2 y = 6 x 2 y( x 2 y2 − 2 xy + 4) .

Zadatak 2. Rastavi na faktore:

1) 4 x 2 y3 − 12 x 2 y2 − 16 xy ; 2) 9a3b4 + 21a3b3 − 24a2b3 ;

3) 15m3n3 − 25m2n2 + 45mn .

74

RASTAVLJANJE NA FAKTORE 2.6

K

Prisjetimo se sada kako mnozimo dva dvoclana izraza:

(a + b) · (c + d ) = a · (c + d ) + b · (c + d ) = ac + ad + bc + bd .

Ovaj postupak proveden zdesna u lijevo primijenit cemo pri nekim rastavljanjimana faktore cetveroclanih izraza. Evo jednog primjera:

Rastavimo na faktore polinom 2ab + 10a + 3b + 15 .



O G L E D N

I P R I M J E R

A KImamo redom:

2ab + 10a + 3b + 15 = (2ab + 10a) + (3b + 15) = 2a(b + 5) + 3(b + 5)

= (2a + 3)(b + 5).

Najprije smo zdruzili (grupirali) po dva od cetiriju clanova i iz svakog od njihizlucili zajednicki faktor. Tako smo dobili dvoclani izraz u kojem je (b + 5)faktor u svakom od obaju pribrojnika.

Primjer 3. U sljedecim primjerima provedeno je rastavljanje na faktore cetveroclanihalgebarskih izraza:

1) 6a4 + 10a3b + 9ab + 15b2 = 2a3(3a + 5b) + 3b(3a + 5b)

= (2a3 + 3b)(3a + 5b) ;

2) 6 x 3 − 3 x 2 y2 − 8 xy + 4 y3 = 3 x 2(2 x − y2) − 4 y(2 x − y2)

= (3 x 2 − 4 y)(2 x − y2) .

Zadatak 3. Rastavi na faktore sljedece cetveroclane izraze:

1) a3 + 2a2b2 + 3ab + 6b3 ; 2) 2 x 3 + 5 x 2 y2 − 5 y3 − 2 xy .

Evo niza raznovrsnih rijesenih primjera u kojima je zadatak rastaviti na faktoreneke viseclane algebarske izraze. Prouci pozorno te primjere te se potrudi rijesitiprimjerima pridruzene zadatke.

Primjer 4. 8a3b + 8a2b2 + 2ab3

Tri su pribrojnika, svaki sadrzi 2ab kao faktor pa imamo:

8a3b + 8a2b2 + 2ab3 = 2ab(4a2 + 4ab + b2) = 2ab(2a + b)2.

Zadatak 4. Napisi u obliku umnoska:

1) −2 x 4 y + 12 x 3 y − 18 x 2 y ; 2) 2a(a − 1)2 + 8a(a − 1) + 8a .

75


K

Primjer 5.

24ab − (3a + 2b)2

Kad provedemo kvadriranje i reduciranje, dobit cemo:

−9a2 + 12ab

−4b2 =

−(9a2

−12ab + 4b2) =

−(3a

−2b)2.



O G L E D N

I P R I M J E R

A KZadatak 5. Rastavi na faktore:

1) (3 x − 2 y)2 + 24 xy ; 2) 40 xy − (2 x + 5 y)2 .

Primjer 6. 2( x + y + 1) − ( x + y + 1)

2

− 1

Ovaj troclani izraz zapisat cemo u obliku

−[( x + y + 1)2 − 2( x + y + 1) + 1].

U izrazu u uglatoj zagradi sada valja prepoznati

−[( x + y + 1) − 1]2 = −( x + y)2.

Primjer 7. x 2 − 8 xy + 16 y2 − 1

Uocimo da su prva tri pribrojnika kvadrat od x − 4 y , pa nakon sto ihtako zapisemo, imat cemo razliku kvadrata ( x − 4 y)2 − 1. Evo i rjesenjazadatka:

x 2 − 8 xy + 16 y2 − 1 = ( x − 4 y)2 − 1 = ( x − 4 y − 1)( x − 4 y + 1).

Zadatak 6. Rastavi na faktore:

1) 9a2 − 12ab + 4b2 − 25 ; 2) 4a2 − b2 − 2a − b .

Primjer 8. (a − 1)3 − (a − 1)(2a − 3)

Primjecujemo da je (a−1) zajedniˇcki faktor obaju pribrojnika pa najprije

izlucimo njega:

(a − 1)[(a − 1)2 − (2a − 3)],

a nakon toga sredimo izraz u zagradi pa imamo:

(a − 1)(a2 − 4a + 4) = (a − 1)(a − 2)2.

Zadatak 7. Rastavi na faktore: (3a + 2)3 − 3(3a + 2)(2a + 1) .

76

RASTAVLJANJE NA FAKTORE 2.6

K

Zadatci 2.6.

Koristeci se svojstvom distributivnosti x · y + x · z = x

·( y + z) mnozenja prema zbrajanju realnih brojeva,

zapisi u obliku umnoska sljedece brojevne izraze:

4) a2b(b + 1) − b(b + 1) ;

5) 2ab(ab − 3) − 4a2

b2

(ab − 3) ;6) a2b(ab + b2) − ab2(a2 − ab) .



O G L E D N

I P R I M J E R

A K1. 1) 2a2b + 4ab2 ; 2) 3a4b + 15a2b2 ;

3) 6a3b + 8a2b3 ; 4) 9a4b2 − 15a2b3 ;

5) 10a2b3c + 5ab2c4 ; 6) 5a3b2 + 20a2b4 .

2. 1) 6a2b2 − 12a2b + 18ab2 ;

2) 7a3b + 14a2b2

−21a2b ;

3) 10a3b2c − 15a2b3c + 25ab3c3 ;

4) 33a4b3c2 − 44a4bc4 + 55a3b2c4 ;

5) 30a3b3c2 + 18a2b4c3 + 6a2b2c2 ;

6) 27a2b4c − 36a3b4 − 63a2b3c2 .

3. 1) 22a3b2c3 − 33a2b2c4 + 44a3bc4 ;

2) 21a3b3 + 35a3b3c − 28a2b2c2 ;

3) 2a3

b − 4a2

b2

+ 2ab3

;4) x 6 y2 + 2 x 4 y4 + x 2 y6 ;

5) 4a4b − 16a3b2 + 16a2b3 ;

6) 50 x 2 y3 − 125 x 3 y4 − 5 xy2 .


1) (a − 2b)2 + 8ab ;

2) (2a + 3b)2

−24ab ;

3) (a2 − 4b2)2 + 16a2b2 ;

4) 20b2c + (b2 − 5c)2 .

Zapisi u obliku umnoska:

5. 1) 2a3 − 12a2 + 18a ;

2) x 4 y2 − 4 x 3 y3 + 4 x 2 y4 ;

3) 16a3b + 48a2b2 + 36ab3 ;

4) 12a2b − 12a3b − 3ab ;

5) −2a3 − 4a4 − 2a5 ;

6) 8a(a − 1)2 + 24a(a − 1) + 18a ;

7) 3a(a2+1)2−24a(a2+1)+48a ;

8) ( x + y − 1)2 − 2(1 − x − y) + 1 ;

6. 1) a(a + b) + 3(a + b) ;

2) a(b − 2) + 2(b − 2) ;3) ab(a − 1) − a(a − 1) ;

Rastavi na faktore sljedece viseclane izraze:

7. 1) (2a − 1)(3a + 2) + (2a − 1)(2a + 3) ;

2) (2a − 4b)(a − b) − (6b − 3a)(a + b) ;

3) (a + 2b)(b + c − 1) + (2a + b)(b + c − 1) ;

4) (a − 3b)(a − b + c) + (a − 3b)(a + b + c) ;5) (a − b + 1)(2b + c) + (a − b + 1)(b + 2c) ;

6) (3a + 6)(2a − 1) − (2a + 1)(a + 2) .

8. 1) (ab − 1)(a + 2b) − (1 − ab)(2a + b) ;

2) (2a − 3)(b2 − 2) + (2a + 3)(2 − b2) ;

3) (a2 − ab)(4a − 2b) − (ab − a2)(2a − 4b) ;

4) (a

−b + 1)(2b + c)

−(a

−b + 1)(b + 2c) ;

5) (1 + abc)(a + b + c) − (1 + abc)(a − b − c) ;

6) (3a+b−2c)(4a−6b)+(6a+2b−4c)(3b−2a) ;

7) a(a − b + 1) + b(a − b + 1) − a + b − 1 ;

8) a(a + b − 1) + b(a + b − 1) − a − b + 1 .

9. 1) a2(a + 1) − 2a(a + 1) + a + 1 ;

2) (a − 1)a2 + 2a(a − 1) + a − 1 ;

3) (a2 − b2)(a + b) − 2(a2 − b2) + a − b ;4) a2(a2 − 1) + 2a(a2 − 1) + a2 − 1 ;

5) ( x − y)( x − y+1)2−2( x − y)( x − y+1)+ x − y .

10. 1) 3a2 + 2a + 4b + 6ab ;

2) 2a3 + 5a2b2 + 6ab + 15b3 ;

3) a3b + a2 + b2 + ab3 ;

4) 6a2bc +

9ab2

+ 8ac2

+ 12bc ;

5) a3b + 3a2 − 3ab2 − 9b ;

6) 21a2bc − 7ab3 − 3ac2 + b2c .

11. 1) 2ab + 4a + b2 + 2b ;

2) 6ab + 9a + 4b + 6 ;

3) 4ab + 20a + 3b + 15 ;

4) 3a2b + 6ab2 + 2a + 4b ;

5) x 3

− 3 x 2

− 3 x + 9 ;6) a3 − a2b − 2ab2 + 2b3 ;

77


K

7) 4a2 + 2ab − 2ac − bc ;

8) 6a3b − 9a2b2 − 4a + 6b ;

9) 6a3 + 8a2b2 − 3ab − 4b3 ;

10) x 3

−2 x 2 + x

−2 .

12. 1) a3 − 2ab − a3b + 2ab2 + a2b − 2b2 ;

2) 2a3 − 2a3b2 + 2ab2 + 3a2b − 3a2b3 + 3b3 ;

16. 1) a2 − 2ab + b2 − c2 ;

2) a2 − 10a + 25 − b2 ;

3) b2 + 6b + 9 − 9c2 ;

4) 1

−8 xy

− x 2

−16 y2 ;

5) 16 x 2 − 25 y2 − 24ax + 9a2 ;

6) 25 − a2 − 4b2 + 4ab ;



O G L E D N

I P R I M J E R

A K2) 2a − 2a b + 2ab + 3a b − 3a b + 3b ;

3) 2a3 − 2a2b − 2ab2 − 3a2 + 3ab + 3b2 ;

4) 3a3 + 2a3b + 3a2b − 3ab2 − 2ab3 − 3b3 .

13. 1) (2a−1)(a+2)2−8a(2a−1) ;

2) (a

−2)(a

−1)2 + 4a(a

−2) ;

3) (a+3)(3a+1)2−12a(a+3) ;

4) (3a−2)(2a−3)2+24a(3a−2) ;

5) a(a + 1) − (a + 4)(a + 1)2 .

14. Zapisi u obliku umnoska sljedece razlike kvadra-ta:

1) (a2 + b2)2 − 4a2b2 ;

2) (a2 + 1)2

−4a2 ;

3) (a2 + 6ab)2 − 81b4 ;

4) (a2 + 4b2)2 − 16a2b2 ;

5) 16a2b2 − (a2 + 4b2)2 ;

6) 144a2b2 − (4a2 + 9b2)2 ;

7) 9( x −3 y)2−25(2 x + y)2 ;

8) 4(2 x − y)2 − 9( x + 3 y)2 ;

9) 9(4 x − y)2

− 16(3 x + y)2

;10) 4a2(a−5b)2−25b2(5a−b)2 .

Rastavi na faktore:

15. 1) a2(b − 1) − b2(b − 1) ;

2) x 2( x + y − 1) − x − y + 1 ;

3) 4a2( x − 1) − 4 x + 4 ;

4) 9a2(b2 − 1) − 4b2 + 4 ;

5) a2 − 4b2 − 9b2(a2 − 4b2) ;

6) a2 − 1 − ab + b ;

7) x 2 − xy − y − 1 ;

8) a2b2 − a2 − ab2 + a ;

9) a2b − a2 − b2 + 1 ;

10) 4a2

−b2

−4a + 1 .

7) a2−b2+c2−d 2+2ac+2bd ;

8) a2−b2+c2−d 2−2ac−2bd ;

9) a2 − b2 − c2 − 4a + 2bc + 4 ;

10) a2b2 − a2 − b2 − 4ab + 1 .

17. 1) 4a2b2

−4b2

−a2 + 1 ;

2) a2b2 − 4a2 − 4b2 + 16 ;

3) x 4 − 2 x 3 + 2 x − 1 ;

4) 16 x 4 − 16 x 3 + 4 x − 1 ;

5) x 4 − 2 x 3 − 2 x 2 + 2 x + 1 ;

6) x 4 − 3 x 3 − 8 x 2 + 12 x + 16 ;

7) (a + 1)4 − a4 + 2a2 − 1 ;

8) ( x 2

−2 x )2 + 2 x 2

−4 x + 1 .

18. 1) (ab − 1)2 − (a − b)2 ;

2) 4(ab + 1)2 − (4a + b)2 ;

3) ( x 2 − y2)2 − ( x + y)2 ;

4) ( x 2 − y2)2 − ( x − y)2 .

19. 1) a5b5 − a3b3 ; 2) 2a3b − 8ab3 ;

3) a4

b2

+ 8ab5

; 4) a6

b3

− a3

b9

;5) 3a4b8 + 81ab2 ; 6) 64a8b2 − a2b2 .

20. 1) a2 + 4ab + 4b2 − 4a2b2 ;

2) x 2+ y2−2 xy−1 ; 3) 2 xy− x 2− y2+1 ;

4) (a−b)3−a+b ; 5) (b−a)3+a−b ;

6) (a − b)4 − a4 + 2a2b2 − b4 ;

7) 3(a2

−4b2)

−(a

−2b)2 ;

8) 2(a2 − 4b2) − (a + 2b)2 ;

9) (3a − 1)2 − 3(9a2 − 1) ;

10) (a2 − b2)2 − (a − b)4 .

21. 1) x 3 − 1 ; 2) x 3 + 1 ; 3) x 6 − 1 ;

4) x 6 + 1 ; 5) x 9 − 1 ; 6) x 9 + 1 ;

7) x 12 − 1 ; 8) x 12 + 1 .

78

ALGEBARSKI RAZLOMCI 2.7

K

2.7. Algebarski razlomci

Algebarski razlomak je uobicajeni naziv za razlomak ciji su brojnik i nazivnikpolinomi. Primjeri algebarskih razlomaka su razlomci



O G L E D N

I P R I M

J E R

A Kp j g

a − b

a2 + b2;

xy

x 2 − 2 xy + y2;

x 3 − x 2 + x − 1

x 2 − x + 1

Pritom su a , b , x i y realni brojevi uz uvjet da njihov izbor ne daje nulu unazivniku pojedinog razlomka. Zbog toga u prvom razlomku mora biti a = 0 i

b = 0, u drugom x = y , dok u trecem nema ograniˇ

cenja, razlomak je odre -denza svaki realni broj x .

S algebarskim razlomcima postupamo jednako kao sto smo postupali s obi ˇ cnimrazlomcima – racionalnim brojevima.

Podsjetimo se kako smo tada obradili i pojmove jednakosti dvaju razlomaka teprosirivanja i skracivanja razlomaka za racionalne brojeve (str. 11. ovog udzbe-nika). Ponovimo ukratko:

Za jednakost dvaju razlomaka vrijedi:

Jednakost razlomaka

a

b =

c

d ⇐⇒ a · d = b · c.

Odatle proistjece sljedeca vazna jednakost: a · m

b · m =

a

b , pri cemu je m = 0 .

Zakljucujemo: postoji li u brojniku i nazivniku algebarskog razlomka zajednickifaktor, mozemo ga ispustiti. Kazemo da smo razlomak skratili. No promatramoli istu jednakost zdesna u lijevo, reci cemo da smo razlomak pro ˇ sirili.

Primjer 1. Skratimo razlomke: 1) x 2 − xy

xy − y2 ; 2)

a3b − ab3

a3b − 2a2b2 + ab3 .

1) Najprije brojnik i nazivnik razlomka rastavimo na faktore:

x 2 − xy = x ( x − y), xy − y2 = y( x − y),

79


K

pa imamo: x 2 − xy

xy − y2 =

x · ( x − y)

y · ( x − y) =

x

y.

Tako smo kracenjem razlomka dobili znatno jednostavniji, njemu jed-nak razlomak za sve realne brojeve x i y uz uvjet x − y = 0 , odnosno

x = y te y = 0 .



O G L E D N

I P R I M

J E R

A K2) Imamo redom:

a3b − ab3

a3b − 2a2b2 + ab3 =

ab(a2 − b2)

ab(a2 − 2ab + b2) =

(a − b) · (a + b)

(a − b)2

= a + b

a − b

.

Ovim kracenjem dobili smo znatno jednostavniji razlomak, uz uvjeta = 0 , b = 0 i a = b .

Zadatak 1. Skrati razlomke:

1) 4 x 2 − 4 x + 1

12 x 3 − 3 x ; 2)

4 x 2 − 9

(2 x + 3)2 − 24 x .

Ra ˇ cunanje s algebarskim razlomcima

Za racunanje s algebarskim razlomcima vrijede sva pravila koja smo upoznalivec ranije, pri racunanju s racionalnim brojevima zapisanim u obliku razlomka.

Primjer 2. Izracunajmo: 1) a

a − 1 +

1

a − 1 ; 2)

b

2a2 − ab− 4a

2ab − b2 .

1) a

a − 1 +

1

a − 1 =

a + 1

a − 1 ;

2)

b

2a2 − ab − 4a

2ab − b2 =

b

a(2a − b) − 4a

b(2a − b)

= b2

ab(2a − b) − 4a2

ab(2a − b) =

b2 − 4a2

ab(2a − b)

= (b − 2a)(b + 2a)

ab(2a − b) = −b + 2a

ab .

U prvom primjeru zbrajali smo razlomke jednakih nazivnika i rezultat je razlomak s istim tim nazivnikom i brojnikom koji je jednak zbrojubrojnika.

80


K

U drugom primjeru razlomci nemaju jednake nazivnike pa moramo odre-diti “najmanji zajednicki visekratnik” dvaju nazivnika. Rastavili smo ihna faktore te odredili zajednicki nazivnik ab(2a − b) , najmanji izraz kojikao faktore sadrzi i jedan i drugi nazivnik. Nakon provedenog zbrajanjakratili smo dobiveni rezultat. Pritom valja primijetiti kako su 2a

− b i

b − 2a suprotni brojevi pa je rezultat njihova dijeljenja jednak −1 .



O G L E D N

I P R I M

J E R

A KZadatak 2. Odredi najmanji zajedniˇ cki viˇ sekratnik sljedecih izraza:

1) a2b , 2ab , 3ab2 ; 2) ab , a − b , a2 − b2 ;

3) 3 x 2

−3 xy , 5 x 2 y + 5 xy2 , x 3 y

− xy3 ; 4) ab3

−a3b , a2

−2ab+b2 , ab2+a2b .

5) a3b2 − a2b3 , 3a3 − 6a2b + 3b3 , 2a2b + 4ab2 + 2b3 ;

6) x 3 − y3 , x 3 y − 2 xy2 + xy3 , x 3 y2 − x 2 y3 ;

Za mnozenje i dijeljenje algebarskih razlomaka vrijede tako -der vec poznata pra-vila i postupci koje primjenjujemo pri racunanju s realnim brojevima.

Primjer 3. Izracunajmo: 1) a2

b2

a − b · a

2

− b2

ab ; 2) a

b − b

a : 1

a − 1

b .

1) Umnozak dvaju razlomaka je razlomak ciji brojnik je umnozak broj-nika, a nazivnik umnozak nazivnika dvaju razlomaka koje mnozimo.Imamo dakle:

a2b2

a − b · a2 − b2

ab =

a2b2

a − b · (a − b)(a + b)

ab

= a2

b2

(a − b)(a + b)ab(a − b)

= ab(a + b);

2) Najprije trebamo “srediti” izraze unutar zagrada. Zatim provodimonaznaceno dijeljenje tako da prvi razlomak mnozimo s razlomkomkoji je reciprocan drugom:

a

b − b

a :

1

a − 1

b =

a2 − b2

ab :

b − a

ab

= a2 − b2

ab · ab

b − a = −a − b.

Zadatak 3. Izracunaj:

1) x

y2 − y

x 2 : 1

x − 1

y ; 2) a3 − a2

a2 + 2a · a2 + 4a + 4

a

−a2

.

81


AK

Zadatci 2.7.

Skrati razlomke:

1. 1) a2 − 4

2a − 4 ; 2)

a2 − 4

a2 − 2a ;

a2 − 4 4a2 − 9

Izracunaj:

9. 1) 1 x

+ 2 x

+ 3 x

+ 4 x

+ 5 x

;

2) 2 x 2



O G L E D N

I P R I M

J E R

A K3)

a 4

2a2 − 4a; 4)

4a 9

4a2 + 6a;

5) 4a2 − 6a

4a2 − 9 ; 6)

4a2 − 9

6a − 4a2.

2. 1)

a2 + ab

ab + b2 ; 2)

a2b + ab2

a2 − b2 ;

3) a3b − ab3

ab2 − a2b; 4)

a3b − ab3

a4b2 − a2b4.

3. 1) a2 − b2

(a + b)2 ; 2)

(a − b)2

a2 − b2 ;

3) a3 + b3

a2

−b2

; 4) a2−b2

a3

−b3

;

5) (a2−b2)2

(a+b)2 ; 6)

a4−b4

a2−b2.

4. 1) x 2 − 2 x + 1

2 x 2 − 2 x ; 2)

a2 + 4a + 4

a2 − 4 ;

3) 4a2 − 4a + 1

4a2 − 1 ; 4)

4a2 − 9

4a2 − 12a + 9 ;

5) 16a2

−24a

+ 9

9 − 16a2 ; 6) 25a2

−9

25a2 + 30a + 9 .

5. Koliko je:

1) a2 − 2ab + b2

ab − b2 , za a = −0.5 , b = −3

2 ?

2) a2 + b2 − c2 + 2ab

a + b + c, za a =

1

4 , b =

2

3 ,

c = −

0.25 ?

3) a3b − ab3

a3b − 2a2b2 + ab3 , za a =

3

8 , b = −0.4 ?

6. Ako je x − 2 y

2 x + y= 3 , koliko je

x + 3 y

3 x − y?

7. Ako je b

a=

2

3, c

b=

3

4 , koliko je

a + b + c

a − b − c?

8. Ako je x y

+ x = y x

+ y , x = y , koliko je 1 x

+ 1 y

?

2) x + 1

+ x + 1

;

3) a

a − b− b

a − b;

4) 1

a

−b

+ 1

b

−a

;

5) a2

a − b− b2

a − b;

6) a2

a + b+

2ab

a + b+

b2

a + b.

10. 1) 1

x − 1

xy+

1

y; 2)

1

x 2 y− 1

xy2 ;

3)

x

y2 − 1

x 2 y2 − y

x 2 ; 4)

2

x − 1

− x

2 x − 4

3 x ;

11. 1) 1

a2−b2 +

1

b2−c2 ; 2)

x − y

x − x − y

y;

3) x − y

x 2 y− x + y

xy2 ; 4)

3a − 1

a2b− 3b − 1

ab2 ;

5) 2 x

2 x

−2 − 2 x + 1

3 x

−3

; 6) a

2a

−4 − 2

a2

−2a

;

12. 1) y

x 2− xy− x

xy− y2 ;

2) a−4

2a−4+

2

a2−2a;

3) a2 − b2

a3 + b3 − a − b

a2 − ab + b2 ;

4) a

2a−4 − 2a

−1

3a−6 ;

5) 2

x − 3 − x + 1

2 x − 6 .

13. 1) 2a−2

2a−6− a+3

3a−9 ;

2) 3a2

6a+4− 2

9a+6 ;

3) b2a2−ab

− 4a2ab−b2

;

82


AK

4) 4b

3a2+2ab− 9a

3ab+2b2 ;

5) a−25

5a−25 +

3a+5

a2−5a;

6)

1

−6a

4a2−6a +

8

6a−9 .

14 1) 1

+ a−1

;

17. Izracunaj vrijednost brojevnog izraza1

a+

1

b

: (a + b) , za a = −1

3

4 , b = 0.8 .

18. Izracunaj vrijednost brojevnog izraza

a

b− b

a

· ab

a − b, za a = −1.2 , b = 1

2

5 .



O G L E D N

I P R I M

J E R

A K14. 1)

6a−4+

3a2−2a;

2) 2

3a−9− a+1

2a2−6a;

3) a−1

a2

−2a

− a

a2

−4

;

4) 4−a

2a−4− 2

a2−2a;

5) a − 1

a2 − 4 − 2a − 3

2a2 − 4a;

6) a + b

a2b − ab2 − a − b

a2b + ab2 .

15. 1) 3

2 x 2 + 2 x +

2 x − 1

x 2 − 1 ;

2) a − 12b

a2 − 16b2 +

4b

a2 − 4ab;

3) 3a − 3

2a2 − 3a− 4a − 3

6a − 9 ;

4) 12 − y

6 y − 36 − 6

y2 − 6 y;

5)

a

−6

4 − a2 +

2

2a − a2 .

16. 1) x −2

x 2+2 x +

x +2

x 2−2 x − 4 x

x 2−4 ;

2) x +2

2 x −4 +

2− x

3 x +6 +

5 x 3+8

24−6 x 2 ;

3) 2a+b

2a2

−ab

− 16a

4a2

−b2

+ 2a−b

2a2+ab;

4) 32 x 2 + 2 x

+ 2 x − 1 x 2 − 1

− 2 x

;

5) x + 3

x +

x

3 − x +

9

x 2 − 3 x ;

6) 1

x − x − 9

x 2 − 9 +

3

3 x − x 2 .

19. Izracunaj vrijednost brojevnog izrazaa − a−1

b+1

:

b − b−1

a+1

, za a =

1

4 , b =

2

3 .

20. Ako je a

b= 5, koliko je

a + b

b,

b

a,

a − b

a,

a + b

a − b?

21. Ako je a + b

b= 3, koliko je

a

b,

b

a + b,

b

a,

a − ba

?

22. Ako je a

a − b=

2

3 , koliko je

a

b?

23. Ako je 1

a(b + 1) +

1

b(a + 1) =

1

(a + 1)(b + 1) ,

koliko je 1

a+

1

b?

24. Pomnozi razlomke:

1) 2 x

x + 2 · x 2 + 2 x

x + 1 ; 2)

x − 1

x + 1 · 2 x + 2

x 2 − x ;

3) x

2 x −1 · 4 x 2−1

4 x

; 4) x 2 − 1

x 2 · x

2 x + 2

;

5) 3 x −1

3 x +1 · 3 x

9 x 2−1 ; 6)

x 2+4 x +4

4 x · x 2

x 2−4.

25. Podijeli razlomke:

1) a2−4

4a2 :

a+2

2a−4 ; 2)

3a

9a2−1 :

9a2

6a2−2a;

3) x 2

−1

x 2+1 :

x 2

− x

x 2+ x ; 4)

a2

−3a

(a+3)2 :

(a

−3)2

a2+3a;

83


AK

5) x 2− x

2 x +2 :

x 2−1

( x +1)2 ;

6) 1

x 2−4 x +4 :

x 2+4 x +4

( x 2−4)2 .

Izraˇ

cunaj:

26. 1)

a − a2 + 4

4

· 8

4 2 ;

28. 1) 2

a2 − a− 2a

1 − a2

· 2a2 + 2a

a3 − 1 − 4

a − 1 ;

2)

a − a2 − b2

ab

·

a + a2 − b2

ab

+b

a− a

b

2

;

3) 1 − 3

x − 3 : 12

x 2 − 3 x − x

(3 − x )2 ;

4) 2a

2 b2 +

a − b2 + 2 b + b2

· (a + b)2

9 4 b4 ;



O G L E D N

I P R I M

J E R

A K)

4

4 − a2

;

2)

1

a− a + 2

2a + 1

· a − 4a3

a2 − 1 ;

3) 2

3a− a

2a2

−2 · 3a − 3a2

2a + 4 ;

4)

2

a− a + 4

a − 2

· a2

a3 − 8 ;

5)

2a − 10a − 9

2a − 1

· 1 − 2a

9 − 4a2 ;

6)

1 − a − 3

2a + 2

· a + 1

a2 + 5a;

7) 1 − 3 x

x + 1 ·

x 2

−1

1 − 4 x 2 ;

8) 9

1 − 9 x 2 ·

x − x − 1

4

;

9) 1 − 4a2

6 :

a − a + 1

3

;

10) 4 − 4 + a2

a : 1

2 − 1

a .

27. 1)

2a − 1

a + 2 − 1

· a2 + 2a

a2 − 9 ;

2)

1 − a

2a − 1

· 4a2 − 1

a2 − 2a + 1 ;

3)

a − 1

2

−a

· a2 − 4a + 4

a2

−1

;

4) 1

a2 − 2a− 2

a2 − 4

:

1

a2 + 4a + 4 ;

5)

1− 4ab

(a+b)2

:

a2−b2

a2+2ab+b2 ;

6)

1 +

(a − b)2

4ab

· a3b − a2b2 + ab3

a3 + b3 ;

7) ab

a2 − b2 − b

2a − 2b : 2b

a2 − b2 .

)

a2 − b2 a2 + 2ab + b2

9a4 − b4

;

5) x − 3

x 2 − 3 x + 9 − 6 x − 18

x 3 + 27

:

5 x − 15

4 x 3 + 108 .

29. 1) a3 − 1

1 + 1

a − a

a + 1

;

2) 2a

a + 1

a + 1 − a2

a

;

3) 1 − 1

1 − a2

a − 1

· a3 + 1

a2 ;

4)

1 − 1

a + a

a − 1

· 1

a3 + 1 .

30. 1)

1

a2 − 1

a − 11

a2 +

1

a + 1

·1

− 1

a3

1 + 1

a3

;

2)

1

a− 1

b + c1

a+

1

b + c

·1 +

b2 + c2 − a2

2bcc + b − a

abc

;

3)

a + b

a − b − a − b

a + b

1 − a2 + b2

a2 − b2

·b +

1

a

a + 1

b

;

4) a3 + b3

a − b + ab

a − b

− a3 − b3

a + b − ab

a + b

.

84

LINEARNE JEDNAD ˇZBE 2.8

AK

2.8. Linearne jednad ˇ zbe



O G L E D N

I P R I M

J E R

A K

Gospo -da i gospodin Mati´ c imaju osam k´ ceri koje su se ra -dale svake dvije godine po jedna. Gospodin Mati´ c dvije je godine stariji od svoje supruge koja je imala25 godina kada je rodila prvo dijete. Njih desetero zajedno imaju ukupno 151godinu. Koliko je godina najstarijoj k´ ceri?

Ovo je jedan od onih problema koji se svode na rjesavanje linearne jednadzbe s

jednom nepoznanicom. Takve su jednadzbe oblika

ax + b = 0.

S x je oznacena nepoznanica, velicina koju treba odrediti, a i b su realni brojevi,koeficijenti jednadzbe.

Najcesce jednadzbe nemaju ovaj jednostavan oblik pa ih primjenom svojstava jednakosti trebamo do tog oblika privesti. Uglavnom se radi o ova tri jednostavnasvojstva:

1. Ako s obje strane jednakosti dodamo isti broj, dobit cemo tocnu (ekviva-lentnu) jednakost. Drugim rijecima, ako su m i n realni brojevi te m = n ,onda je m + k = n + k za svaki realni broj k .

2. Ako jednakost pomnozimo realnim brojem razlicitim od nule, dobit cemotocnu (ekvivalentnu) jednakost. Drugim rijecima, ako su m i n realnibrojevi te m = n , tada za svaki realni broj k = 0 vrijedi m · k = n · k .

3. Ako je a = b i b = c , onda je a = c . Rijeˇcima: ako su dva broja jednaka

trecem, onda su i me -dusobno jednaki.

85


AK

Linearna jednad ˇ zba

Linearna jednadzba je svaka jednadzba koja se moze svesti na oblik

a · x = b,gdje je a = 0 .

b



O G L E D N

I P R I M

J E R

A KBroj x = b

a rje ˇ senje je ove jednadzbe.

Dvije jednadzbe su ekvivalentne ako imaju isto rjesenje.

Linearnu jednadzbu rjesavamo tako da je uzastopnom primjenom svoj-

stava jednakosti realnih brojeva svodimo na jednostavniju, ali ekviva-lentnu jednadzbu.

Pokazimo na primjerima kako se rjesava linearna jednadzba:

Primjer 1. Rijesimo jednadzbu

1 + x − 1

2 =

2 x − 1

3 − 5

6.

Prebacimo sve clanove jednadzbe koji sadrze nepoznanicu na lijevu stranu jednadzbe, a ostale na desnu:

x − 1

2 − 2 x − 1

3 = −1 − 5

6.

Zbrojimo izraze na lijevoj i na desnoj strani:

3 x − 3 − 2(2 x − 1)

6 =

−11

6 .

Tako se dobije − x − 1

6 = −11

6 , odnosno − x − 1 = −11, te je x = 10

rjesenje dane jednadzbe.

No kod ovakvih jednadzbi gdje su neki clanovi razlomci, cesce se postu-pa na sljedeci nacin: odredi se najmanji zajednicki visekratnik nazivnikasvih razlomaka u jednadzbi, te se obje strane mnoze tim brojem. Tako serijeˇ simo razlomaka. U nasem bi primjeru to izgledalo ovako:

6

1 + x − 1

2

= 6

2 x − 1

3 − 5

6

.

Odmah se dobije 6+3 x −3 = 4 x −2−5 , tese dalje nastavlja s rjesavanjemna poznati nacin.

Zadatak 1. Rijeˇ

si jednadˇ

zbu: 1 − 3 x

−1

4 =

x + 1

3 − 5

6 .

86


AK

Primjer 2.

Rijesimo jednadzbu:

x + 1

2 x 2 + x − 1

4 x 2

−1

= x − 1

2 x 2

− x .

Najprije rastavimo na faktore nazivnike triju razlomaka:

x + 1 − 1=

x − 1.



O G L E D N

I P R I M

J E R

A K x (2 x + 1)

(2 x − 1)(2 x + 1)

x (2 x − 1).

Zatim odredimo najmanji zajednicki visekratnik triju nazivnika. To je broj x (2 x −1)(2 x +1) . Njime pomnozimo jednadzbu ( svaki njezin clan). Takodobijemo:

( x + 1)(2 x − 1) − x = ( x − 1)(2 x + 1).No ova jednadzba nije ekvivalentna zadanoj. Zasto? Zato sto bi brojevi

0 , 1

2 i − 1

2 mogli biti njezina rjesenja, ali nijedan od njih ne moze biti

rjesenje zadane jednadzbe.

Nastavimo s rjesavanjem i dobijemo x = 0 .

Za x = 0 u dva od triju razlomaka dane jednadzbe imamo nulu u nazivni-

ku. Stoga jednadˇ

zba nema rjeˇ

senja.

Zadatak 2. Rijesi jednadzbu: x − 2

x 2 − x − 1

2 x =

3

x − 1 .

Istrazite

MAGI ˇ CNI KVADRAT

U “kucice” kvadrata n×n treba upisati brojeve 1, 2, 3, . . . , n2 tako da zbroj brojeva u svakom retku, svakom stupcu te

na dvjema dijagonalama bude jednak. Zbroj svih brojeva u kvadratu je 1 + 2 + 3 + . . . + n2 = n2 · (n2 + 1)

2 (objasni

zasto!), pa ta magicna suma iznosi n · (n2 + 1)

2 .

Jedan od najpoznatijih magicnih kvadratanalazi se na cuvenoj grafici (dubo-rezu) Melancholia njemackog umjetnika Albrechta Durera (1471. – 1528).Magicni broj toga kvadrata iznosi

4 · 17

2 = 34.

U srednja dva polja posljednjeg retka upisani su brojevi 15 i 14. To nijeslucajno jer je 1514. godina kada je Melancholia nastala, a i godina je smrtiumjetnikove majke.

Imamo i druge brojne primjere magicnih kvadrata. Posebno je zanimljivmagicni kvadrat 8

×8 Benjamina Franklina (1706. – 1790.) Zbog cega?

Otkrijte to sami. Istrazite i zanimljivu povijest magicnih kvadrata.

87


AK

Primjer 3.

Formulom P = a + c

2 · v izracunavamo povrsinu trapeza. Pritom su a i

c duljine osnovica trapeza, a v duljina njegove visine.

Iz ove formule izrazimo duljinu stranice c trapeza.

Najprije jednadzbu P = a + c

2 · v pomnozimo s

2

v . Tako dobijemo

2 · P 2 · P



O G L E D N

I P R I M

J E R

A K2 P

v = a + c . Zatim nalazimo c =

2 P

v − a .

Time je zadatak rijesen.

Zadatak 3. Iz jednadzbe s = v · t + s0 izrazi t . Mozete li jednadzbi dodijeliti neko fizikalnoznacenje?

Zadatak 4. Evo jednog jednostavnog zadatcica. Precrtaj u biljeznicu kvadrat 3×3 i u k uciceupisi rjesenja ovih 9 jednadzbi tako da kvadrat bude magican.

1. 2 + x

2

= 1

2

(2 x

−4) ;

2. x − 2

2 − x − 3

3 =

x − 1

4 ;

3. 1

3

x

2 − x

3

= 1 − 2 x − 1

9 ;

4. x

2 −0.2 =

x − 0.1

3

;

5. 3

1 − 1

2

1 − x − 4

2

= 1 +

x

4 ;

6. 3 x − 7

5 − 4 x − 12

3 =

1 − x

2 ; 7.

x − 0.1

2 − x + 0.1

3 = 2 − x + 0.5

6 ;

8.

1 + x

2

3 −1 − x

3

2 = 1 +

x

6 ; 9. 1 − 1

21 − 1

2 x − 1

2 =

1 + 3 x

8 .

Jednad ˇ zbe s parametrom

Osim nepoznanice x u linearnoj se jednadzbi moze pojaviti i neki opci broj, kojizovemo parametar. Rjesavajuci takvu jednadzbu ne ocekujemo da ce njezinorjesenje biti konkretan realni broj, vec ce ono ovisiti o parametru. Zbog toga

rjeˇ

savanje jednadˇ

zbi s parametrom zahtijeva svojevrsnu raspravu. Kakvu, bit ceocito iz sljedeceg rijesenog primjera.

88


AK

Primjer 4.

Rijesimo jednadzbu a2( x + 1) = x + a. Pritom je broj a realni parametar.

Zadana je jednadzba ekvivalentna jednadzbi

a2

x + a2

= x + a, odnosnoa2 x − x = a − a2. Dalje je

(a2 − 1) x = a(1 − a),



O G L E D N

I P R I M

J E R

A Ki konacno (a − 1)(a + 1) x = a(1 − a) .

1. Za a = 1 jednadzba prima oblik 0 · 2 · x = 1 · 0. Ova je jednakostispunjena za svaki realni broj x . Kazemo da jednadzba ima beskonacnomnogo rjesenja, ona je stoga neodre -dena.

2. Za a = −1 jednadzba prima oblik −2 · 0 · x = −1 · 2. Ova jednakostnije ispunjena niti za koji realni broj x . Naime, s njezine je lijeve stranenula, a s desne −2 .

Zato za a = −1 jednadzba nema rje ˇ senja.

3. Za a = 1 i a = −1 rjesenje jednadzbe je x = − a

a + 1 .


RAVNOTE ˇ ZA

Sam Loyd (1841. – 1911.) jedan je od najpoznatijih autora matematickihzagonetki. U knjizi Cyclopedia of 5000 puzzles, tricks and conundrumsnailazimo na ovaj zadatak:

Na vagi s dvjema pliticama u ravnoteˇ zi se nalaze s jedne strane 3 kockicei jedan zvrk, a s druge strane 12 kuglica. U ravnoteˇ zi je tako -der zvrk s

jednom kockicom i 8 kuglica. Ako je na lijevoj plitici jedan zvrk, kolikokuglica treba staviti na desnu pliticu kako bi vaga bila u ravnote ˇ zi?

Evo rjesenja:

Ako na obje strane vage prema drugoj slici dodamo po tri kockice, zbogprethodne ravnoteze to ce znaciti da bi u ravnotezi bile 4 kockice i 8 ku-glica s 12 kuglica. Zakljucujemo da su kuglica i kockica jednake tezine.Stoga na desnu stranu vage valja staviti devet kuglica kako bi sa zvrkomna lijevoj strani vaga bila u ravnotezi.

U komentaru ove zagonetke Loyd kaze: U ovoj zagonetki nalazimo izvr-snu zornu ilustraciju naˇ cela supstitucije i dodavanja jednakih iznosa naobje strane jednad zbe bez naruˇ savanja ravnoteˇ ze. Ujedno se pokazujeistinitom algebarsko pravilo da su stvari jednake istome i same jednake.

89


AK

Zadatak 5. Rijesi jednadzbu a2( x − 1) − 1 = x + 2a i provedi raspravu ovisnosti rjesenja ovrijednosti realnog parametra a .

Zadatak 6. Rijesi jednadzbu mx − 1

x + m

= mx + m

x − 1

. Pritom je m realni parametar.

Provedi raspravu o rjesenju te jednadzbe.

P bl i t j



O G L E D N

I P R I M

J E R

A KProblemi prvog stupnja

Vratimo se sada zadatcima cije se rjesavanje svodi na rjesavanje linearne jed-nadzbe s jednom nepoznanicom. Takve zadatke cesto zovemo jednostavno pro-

blemi prvog stupnja s jednom nepoznanicom. Oni u sebi sadrˇ

ze neki stvaran,prakticni problem s kojim se susrecemo u svakodnevnom zivotu.

Nazalost, za rjesavanje problemskih zadataka nema posebnih recepata. No ipak,bilo bi dobro slijediti neka jednostavna pravila. Navedimo ih u najkracem obliku:

• Dobro prouci zadatak. Ako je potrebno, procitaj ga i nekoliko putasve dok ti ne postane kristalno jasan.

• Pri analizi problema koristi zorne predodzbe: crtaj skice, dijagra-me, tablice i sl. To ce sigurno pridonijeti boljem sagledavanju irazumijevanju problema.

• Za velicine koje se pojavljuju u zadatku pozorno odaberi oznake.Neka odabir oznaka asocira na velicine koje predstavljaju. Nepoz-nanicu standardno oznaci s x .

• Prevedi problem na njegov matematiˇcki zapis (jednadˇzbu) te ga rijesi.

• Kriticki se postavi prema rjesenju. Razmisli: ima li ono smisla?

• Provjeri zadovoljava li dobiveno rjesenje sve uvjete zadatka.

Na vise primjera, koje valja pozorno prouciti, prikazat cemo rjesenja nekoliko

raznovrsnih i tipiˇcnih problema 1. stupnja. To ce zasigurno doprinijeti boljemrazumijevanju i uspjesnijem rjesavanju slicnih zadataka.

No najprije rijesimo uvodni zadatak.

Ako najmla -da djevojcica ima x godina, ostalih sedam imaju redom x + 2 , x + 4 , x + 6 , x + 8 , x + 10 , x + 12 i x + 14 godina.

Gospo -da Matic prvu je djevojcicu rodila kad joj je bilo 25 godina, pa ona sada

ima 25 + ( x + 14) godina ( 25+ godine najstarije kceri). A gospodinu Maticusu dvije godine vise, 27 + ( x + 14) godina.

90


AK

Zbrojimo godine svih deset clanova obitelji Matic:

(8 x + 56) + [25 + ( x + 14)] + [27 + ( x + 14)] = 151.

Jednadzba koju smo dobili je linearna jednad ˇ zba s jednom nepoznanicom.

Rijeˇ

simo je, odredimo nepoznanicu x , dob najmla -de kceri.

Zbrojimo najprije brojeve s lijeve strane jednadzbe. Tako dobijemo:

10 x + 136 = 151.



O G L E D N

I P R I M

J E R A KOdatle je 10 x = 15, te je x = 1.5 . Najmla -da Maticeva kci ima godinu i pol

dana. Najstarijoj je onda 15.5.

Primjer 5. Na nekoj je farmi 470 kokica i zecica. Ukupno imaju 1240 nogu. Koliko je zecica na toj farmi?

Svaki zecic ima cetiri, a svaka kokica dvije noge. Oznacimo li sa z brojzecica na farmi, tada je broj kokica jednak 470 − z. Broj nogu zecica je

z · 4 , a broj nogu kokica 2 · (470 − z). Vrijedi jednakost:

2(470 − z) + 4 z = 1240.

Iz ove jednostavne linearne jednadˇ

zbe nalazimo z = 150. Na farmi je 150zecica.

Zadatak 7. Vlasnik antikvarijata kupio je dvije knjige za ukupno 225 kn, a potom ih prodaoi zaradio 40 % . Po kojoj je cijeni kupio pojedinu knjigu, ako je na prvoj zaradio25 %, a na drugoj 50 %?

Zadatak 8. Atleticari Ante i Mate trce od mjesta A do mjesta B koja su udaljena 9 km. Antetrci brzinom od 9 km/ h, a Mate 12 km/ h. Kad Mate stigne do B , on se okrene itrci natrag, ususret Anti.

Nakon kojoj ce udaljenosti od mjesta B Mate susresti Antu?

Primjer 6. Kada je otac imao 33, sinu su bile 3 godine. No sada je otac tri puta starijiod sina. Koliko je godina ocu, koliko sinu?

Neka je od vremena kada je ocu bilo 33, a sinu 3 godine proslo x godina.Sada otac ima 33 + x , a sin 3 + x godina. No otac je tri puta stariji odsina. Zapisimo tu cinjenicu jednadzbom:

33 + x = 3(3 + x ).

Iz te jednadzbe slijedi x = 12. Dakle, otac sada ima 45 godina, a sin 15.

91


AK

Zadatak 9. Prije pet godina otac je bio 5 puta stariji od sina, a za 3 godine bit ce stariji triputa. Koliko je godina ocu?

Primjer 7.

Ploveci niz rijeku, put izme -du dvaju pristanista A i B brod prevali za 6sati. U povratku, ploveci uzvodno, brodu za isti put treba 9 sati. Ako jebrzina broda na mirnoj vodi 18 km/ h, kolika je brzina rijecnog toka?

Oznacimo s v brzinu rijecnog toka (nepoznanicu) s d udaljenost dvaju



O G L E D N

I P R I M J E

R A KOznacimo s v brzinu rijecnog toka (nepoznanicu), s d udaljenost dvaju

pristanista A i B .

udaljenost d

A B vrijeme

6 sati

9 sati

18+v

18 - v

brzina nizvodno

brzina uzvodno

Kad brod plovi nizvodno, njegova se brzina uvecava za brzinu rijecnogtoka i iznosi 18 + v . A kad plovi uzvodno, ona se za tu brzinu umanjuje i

jednaka je 18 − v .No u oba je slucaja prije -deni put d jednak. Zbog toga mozemo zapisati jednadzbu

(18 + v) · 6 = (18 − v) · 9.

Iz nje se lako dobije v = 3.6 km/ h.

Primjer 8. Iz dvaju gradova me -dusobno udaljenih 132 km, krenu istovremeno i is-tom cestom jedan drugom ususret dva automobila krecuci se jednolikimbrzinama od 75 km/ h, odnosno 90 km/ h. Nakon koliko ce se vremenaautomobili susresti?

Automobili se susretnu t sati nakon polaska. Pritom jedan prije -de put s ,

a drugi put 132

−s . Pri jednolikom gibanju je t =

s

v pa mozemo zapisati

jednadzbu:s

75 =

132 − s

90 .

Rjesenje ove jednadzbe je s = 60 km.

Zakljucujemo: prvi je automobil do trenutka susreta presao 60 km, a drugi

72 km. Za to im je trebalo t = s

v=

60

75 =

72

90 = 0.8 sati ili 48 minuta.

92


AK

Zadatak 10. Iz mjesta A u mjesto B vozi kamion brzinom 60 km/ h. Nakon sto je presao 20km, iz A krene automobil vozeci brzinom 80 km/ h.Nakon koliko vremena ce automobil sustici kamion?Koliki je put pritom prevalio automobil?

Primjer 9.

Ako bi se bazen punio vodom kroz jednu slavinu, punjenje bi trajalo asati. Ako bi se punio drugom, napunio bi se nakon b sati. Koliko bi trajalopunjenje bazena objema odvrnutim slavinama?



O G L E D N

I P R I M J E

R A KNakon sat vremena prvom bi se slavinom napunilo

1

aobujma bazena.

A nakon sto bismo sat vremena bazen punili samo drugom slavinom,

napunilo bi se 1b

obujma.

Nakon sat vremena punjenja bazena objema slavinama popunjenost bazena

je 1

a+

1

bnjegova obujma, sto mozemo zapisati kao

1

x .

Primjerice, ako bi bilo a = 4 sata, b = 6 sati, tada bismo imali:

1

4

+ 1

6

= 5

12

= 1

x

te je x = 12

5 = 2.4 sata, odnosno 2 sata i 15 minuta.

Opcenito je 1

a +

1

b =

1

x te je

a + b

ab =

1

x i konacno

x = ab

a + b.

Zadatak 11. Iz jedne pune cisterne kapaciteta 32 hl tekucina istjece brzinom 0.2 hl u minuti.Iz druge pune cisterne kapaciteta 36 hl tekucina istjece brzinom 0.3 hl u minuti.Nakon koliko vremena ce u objema cisternama biti jednako mnogo tekucine?

Primjer 10. Radeci dnevno po 8 sati, 6 radnika zavrsi neki posao za 15 dana. Koliko

sati dnevno bi trebalo raditi 8 radnika kako bi isti posao dovrˇsili za 10dana?

Za 15 dana, radeci dnevno 8 sati, 6 radnika potrosi 15 · 6 · 8 = 720 sati.Osmorici radnika za isti posao treba isto toliko sati pa je 10 · 8 · x , gdje je

x broj sati dnevnog rada svakog od osmorice radnika. Dakle,

720 = 80 x ,

te je x = 9 sati.

93


AK

Zadatak 12. Jedan radnik radi neki posao i planira ga dovrsiti za 8 sati. No nakon 2 satapridruzi mu se drugi radnik i oni zavrse posao nakon 3 sata rada.

Koliko bi vremena trebalo drugom radniku da je sam radio taj posao?

Primjer 11.

U svjezim je smokvama 80 % vode, a usuhim 20 % . Koliko ce se suhih smokavad biti ˇ j 120 k j ˇih?



O G L E D N

I P R I M J E

R A Kdobiti susenjem 120 kg svjezih?

U 120 kg svjezih smokava nalazi se 0.8 · 120 = 96 kg vode.

Ostatak, 24 kg, suha je tvar. No tih 24 kg suhe tvari cini 80 % u masisuhih smokava.

Dakle, 24 = 0.8 · x , odakle se dobije x = 30 kg.

Primjer 12. Prva slitina sadrzi 40 % bakra, druga 32 %. S kolikom masom prveslitine treba mijesati 5 kg druge kako bi se dobila slitina s 35 % bakra?

Oznacimo s x masu prve slitine. U toj je masi x · 0.4 kg bakra.

U 5 kg druge slitine masa bakra jednaka je 5 · 0.32 .

Pomijesamo li ove dvije slitine dobit cemo smjesu cija je masa jednaka x + 5, a kolicina bakra bit ce ( x + 5) · 0.35 .

Postavimo jednadzbu:

x · 0.4 + 5 · 0.32 = ( x + 5) · 0.35.

Njezino je rjesenje x = 3 .

Dakle, zelimo li da smjesa dviju slitina ima 35 % bakra, onda s 5 kg drugevalja pomijesati 3 kg prve slitine.

94


AK

Zadatci 2.8.

1. Rijesi jednadzbe:

1) 1 +

x

2 =

x

−1

3 ; 2)

x

2 +

x

3 = 1 − x

−2

6 ;

3) x +1

2 +

x −1

3 = 1 ; 4) 1 − 2 x − 3

3 =

x

2 − x

6 ;

5) x − 1 − x − 1

= x + 1

;

7) ( x − 3)( x + 4) − 2(3 x − 2) = ( x − 4)2 ;

8) (3 x − 1)2 − 5(2 x + 1)2 =( x − 1)2 − (6 x − 3)(2 x + 1) ;

9) ( x − 2)3 − ( x + 2)3 = (1 − 3 x )(1 + 4 x ) ;



O G L E D N

I P R I M J E

R A K5)

2

3

4 ;

6) 2 x − 3

3 − x − 1

2 = 1 − x

6 ;

7) 21 − x

−1

3 =

1

2 x − x + 2

3 .

2. Provjeri je li dani broj x 0 rjesenje dane jednadz-be:

1) 2 x − x − 0.2

3 = 0.1 , x 0 =

1

50 ;

2) ( x −1)( x +1)

3 − (2 x +1)2

12 = 1

1

4 − x , x 0=2 ;

3) x

2+

x

3−1

5

x

4−1

7

x

6−3

=59

84 , x 0= − 1 ;

4) 0.01 − x

0.02 − 2

1

2 =

2 − 3 x

0.01 ; x 0 = 0.808;

5) 0.3 x −1

0.05 −1.5 x −1

0.5 =3−0.2 x −0.02

0.01 , x 0=1 .

3. Za koju je vrijednost realnog broja k rjesenje

jednadzbe 0.1 x − 1

3 − 0.2 x − k

2 = 0.6 broj 1?

4. Za koju vrijednost broja m je broj − 1

2 rjesenje

jednadzbe mx − 1

3 +

3

4 = 1 − 1

x ?

5. Rijesi sljedece jednadzbe:

1) ( x + 3)(3 x − 1) − ( x + 2)(2 x − 1) = ( x + 2)2

;

2) 3( x − 1)( x − 2) − 2( x − 2)( x − 3)−( x − 3)( x − 4) = 0 ;

3) (5 x − 1)2 − (3 x − 1)2 = (4 x − 3)(4 x + 3) ;

4) 4( x − 1)( x − 3) − 3( x + 1) = (2 x − 3)2 ;

5) (4 x − 1)( x + 3) − 3( x − 2) = (2 x − 3)2 ;

6) ( x + 5)( x + 2) − 3(4 x − 3) = ( x − 5)2 ;

10) ( x − 2)3( x + 5) − 8 = ( x + 2)2( x 2 − 5 x − 2) .

6. 1) Ako je y = 1 − 3 x

1 + 3 x , koliko je x ?

2) Ako je y = p + x

1 + px , koliko je x ?

3) Ako je c = a − b

1 − ab, koliko je a ?

4) Ako je 1

x =

1

y+

1

z, koliko je z ?

5) Ako je c = mx 1 + nx 2

m + n

, izracunaj n .

7. Temperaturne skale po Celsiusu (C ◦ ) i Fahren-

heitu (F ◦ ) vezane su relacijom C ◦=5

9(F◦−32) .

Izrazi iz te jednakosti F.

8. Povrsinutrapezaracunamo po formuli P = a + c

2 ·

v . Izrazi iz te formule duljinu visine v .

9. Oplosje kvadra s bridovima duljina a , b i c ra-cuna se po formuli O = 2(ab + bc + ca) . Izraziiz te formule duljinu brida c . Kolika je duljinabrida b ? Moramo li ponovno racunati? Zasto?

10. Broj h = 21 x

+ 1 y

je harmonijska sredina bro-

jeva x i y . Ako su zadani brojevi h i x , koliki je y ?

95


RAK

Rijesi jednadzbe:

11. 1) 4 + x

8 = 2 − 3 − 4 x

5 ;

2) x − 2 − x 3

= 1 + x 2

;

3) 2 − 3 x + 1 − 2 x

5 = 1 − 7 x − 5

2 ;

16 3

4) 2 x (3 x −2)−3

1 − (2 − x )(2 x + 3) − x − 3

2

= 13 ;

5) 3 x − 3 x

−1

4 − 1 − 2 x − x + 3

5 = 5 x − 2 ;

6) x

2 −

x

4 − 1

3

x

3 − 1

4

x

2 − 2

=

x

3 .



O G L E D N

I P R I M J E

R A K4) 2 x − 6 − 16 − x

3 =

x + 3

2 ;

5) 3 − 2 x

3 −

x + 1

2

= 1

− 5 x − 1

6

;

6) x − 2 x + 3

5 − 1

2 = 1 +

x − 1

10 ;

7) 1

3

x

2−1

4

−1

6 =

1

9

x

8+

1

2

;

8) 1 − 1

4

x

2 − 1

6

=

1

8

2 +

2

3 x

;

9) 13

x 2 − 2

3

− 12

1 − x + 6

6

= 1

36 .

12. 1) 0.12 − x

0.03 +

0.01 + 3 x

0.02 = 4

1

2 ;

2) x − 0.5

2 +

x − 0.25

4 +

x − 0.125

8 = 0 ;

3)

1

− 1 − x

34 −2

− 2 − x

53 = 1 115 ;

4)3 x − 12 − x

159

−9 x − 3

5 + 1

6 =

19

90 ;

5)3 x +

5 x − 1

83

− x − 2 x − 1

32

= 5 ;

6) 0.4 x − x

−0.8

45

− 0.3 x − x + 1.2

54

= 0.45 .

13. 1) ( x − 2)2

2 − ( x − 3)(2 x − 5)

4 = 3 − ( x − 4) ;

2) ( x + 1)( x − 2)

2 − (2 x − 3)2

8 = 1 +

x

2 ;

3) 1 − (3 x

−2)(2 x + 3)

3 =

5 x

6 − (2 x

−3)2

2 ;

2

4 3

3 4

2

3

14. 1)

2 x − 15

6

2

−

2 x − 3

6

2

= 4 ;

2)3 x

2 − 1

3

2 −3 x

2 +

1

2

2= 1

1

9 ;

3)

5 x +

1

2

2

−

4 x + 1

2

2

= (3 x − 1)2 ;

4)

5 x − 1

2

2

−

4 x − 1

2

2

=

3 x − 1

3

2

;

5) x 2 − 3

42

− x 2

+ 142

= 1 12

;

6)

3 x

4 − 1

2

2

−

x

4 +

2

3

2

= 1

2

x − 1

3

2

;

7)

x

2 +

3

4

2

−

x

3 − 1

4

2

= 5

1 + x

6

2

.

15. 1)

3

x − 1

6 − 2 x =

2

3 x − x 2 ;

2) 3

x − 1 =

2 − x

x − x 2 − 1

2 x ;

3) 4

x − 5

x − x 2 =

9

2 x − 2 ;

4) 1

2 x − 1

1

−2 x

= 4 x

4 x 2

−1

;

5) 2

x +

2

x 2 − x =

5

3 x − 3 ;

6) 5 x −4

2 x −1−4 x −1

6 x −3=1− 2 x +3

10 x −5 ;

7) x +3

2 x 2−6 x − x +3

3 x 2−9 x =

1

6 x ;

8)

x +3

8 x 2−2 x − 3 x +5

12 x 2+3 x =

1

−2 x

16 x 2−1 ;

96


RAK

9) 2 x + 1

9 x 2 − 1 − 1

1 − 3 x =

7

6 x + 2 ;

10) 2 x 2 + 1

2 x − 4 x 2 − 1 − 3 x

6 x − 3 =

1

3 x .

16. 1) 3 x − 1

6 x − 3 +

1

4 x 2 − 1 =

x

2 x + 1 ;

2) x + 5

x 2 − 5 x − x − 5

2 x 2 − 10 x =

x + 25

2 x 2 − 50 ;

4) (1 − a)3

1 − ax =

(1 + a)3

1 + ax ;

5) ax − 1

ax − a2 − ax + 1

ax + a2 =

a − 1

x 2 − a2 ;

6)

x

−a

x 2 − 1 +

a

x 2 + x =

x + a

x 2 − x .

19. Rijesi jednadzbe:

1)

a + x

1 − a = 1 + a

;



O G L E D N

I P R I M J E

R A K3)

x + 3

2 x 2 − 6 x − x − 3

3 x 2 + 9 x =

x

6 x 2 − 54 ;

4)

x

−1

2 x 2 + x − 2 x

2 x 2 − x =

3

−2 x

4 x 2 − 1 ;

5) 1

1 − 4 x 2 +

x + 1

2 x 2 + x =

x − 1

2 x 2 − x ;

6) 4( x + 9)

5 x 2 − 45 +

x + 3

5 x 2 − 15 x =

x − 3

x 2 + 3 x ;

7) 3

10 x 2 + 2 x − 5

30 x 2

−6 x

= 1

25 x 2

−1

;

8) 3 x − 1

12 x − 15 +

15

32 x 2 − 50 =

2 x + 1

8 x + 10 ;

9) 2 x − 1

6 x 2 − 4 x − 1 − 3 x

9 x 2 + 6 x =

2

3 x ;

10) 3 x − 1

6 x − 3 − 1

1 − 4 x 2 =

x

2 x + 1 .

17. Rijesi sljedece jednadzbe u kojima je a parame-tar, a x nepoznanica:

1) a(a2 − x ) = a − x ;

2) a2( x − 1) = 2ax − 4 ;

3) a2( x − 1) = x + a ;

4) 9a2( x + 1) = 4 + 6ax ;

5) a2( x − 1) = ax − 1 ;

6) a2

(2 x − 1) = −4 − 4ax .

18. Uz raspravu o ovisnosti rjesenja o realnom para-metru a rijesi jednadzbe:

1) a

x + 1 − a − 1

x =

1

x − a;

2) a

x − 1 +

1

x − a=

a + 1

x ;

3) (1

−a)2

x − a = (1 + a)2

x + a ;

1)a − x

1 + a

=1 − a

;

2) 1 −1

− a − x

a + x

1 + a − x

a + x

= x + 1a2

;

3)

1 − ax

a − x

1 + ax

a + x

=1 +

1

a − 1

x

1 + 1

a+

1

x

;

4)

x + a

x − a +

x

−a

x + a

1 −

x − a

x + a

2 = a

x + x

a.

20. Ako zrakoplov za 4 sata leta preleti 3 200 km,koliki put ce preletjeti za 5 sati?

21. Neki automobil trosi 5.2 litre goriva za put od 90km. Koliko ce goriva taj automobil potrositi za

225 km?22. Gospodin Brzic svojim automobilom za 35 mi-

nuta prije -de 45.5 km. Uz uvjet da automobil nezakaze, koliko ce daleko dospjeti gospodin Brzicza 6 sati neprekidne i jednolike voznje?

23. U jednoj brzoj praonici automobila za 25 minutaoperu 8 automobila. Koliko im vremena treba daoperu 12 automobila?

24. Radeci dnevno po 8 sati, Roko za dva dana zara-di 240 kuna. Koliko ce Roko zaraditi za 12 satirada?

25. Baka Marija je 2.5 kg banana platila 15 kuna.Koliko bi platila 2 kg?

26. Vrijedna tipkacica za 5 minuta otipka 140 rijeci.Koliko joj vremena treba da otipka 630 rijeci?

27. Omjer broja osobnih automobila i broja svih dru-gih vozila koji se krecu autocestom je 15 : 4 .

97


RAK

Ako u nekom vremenu tom autocestom pro -de88 vozila koja nisu osobni automobili, koliko biosobnih automobila trebalo proci u istom vreme-nu?

28. Udaljenost od 100 km na zemljovidu je predo-ˇcena udaljenoˇscu od 2.5 cm. Kolika udaljenostna zemljovidu odgovara stvarnoj udaljenosti od39 km?

29. Kuhar u izvi -dackom taboru priprema kajganu ta-ko da na svaka tri izvi -daca planira 7 jaja. Koliko

42. Zbroj dvaju brojeva iznosi 531. Ako veci broj po-dijelimo manjim, dobit cemo kolicnik 6 i ostatak20. Koji su to brojevi?

43. Znamenka desetica dvoznamenkastog broja veca je za 4 od znamenke jedinica. Ako tom broju

pribrojimo broj zapisan istim znamenkama, ali uobrnutom poretku, dobit cemo 154. O kojem jedvoznamenkastom broju rijec?

44. Nazivnik razlomka za 700 je veci od brojnika.3



O G L E D N

I P R I M J E

R A je kuhar zamutio jaja ako kani nahraniti 60 izvi-

-daca?

30. U mjenjacnici “Najbolji tecaj” za 100 kruna do-

biju se 354 kune. Ako neki kaput stoji 335 kruna,kolika je njegova cijena u kunama ravnamo li sepo tecaju iz navedene mjenjacnice?

31. U nekom je razredu 12 odlikasa, sto cini 37.5 %broja svih ucenika tog razreda. Koliko taj razredima ucenika?

32. Ako cijena neke kosulje nakon snizenja od 15 %iznosi 204 kune, kolika je bila cijena te kosuljeprije snizenja?

33. Cijena knjige umanji se za 20 %, a potom jos iza 25 % nove cijene. Koliko je ukupno umanjenapocetna cijena knjige?

34. Trostruki broj x umanjen za pet daje isti rezultatkao isti taj dvostruki uvecan za sedam. O kojem

je broju rijec?

35. Dvostruki najmanji od tri uzastopna neparna bro-

ja za 15 je veci od najveceg. Koliki je zbroj tihtriju brojeva?

36. Zbroj dvaju brojeva od kojih je veci za 3 manjiod dvostrukog manjeg je 333. Koji su to brojevi?

37. Zbroj cetvrtine i sestine nekog broja za 5 je manjiod polovine tog broja. Koji je to broj?

38. Zbroj dvaju brojeva je 30, a razlika njihovih kva-drata je 120. Koji su to brojevi?

39. Razlika kvadrata dvaju uzastopnih neparnih cije-lih brojeva iznosi 128. Koji su to brojevi?

40. Ako od umnoska triju uzastopnih neparnih cije-lih brojeva oduzmemo kub srednjeg od tih trijubrojeva, dobit cemo 60. Koji su to brojevi?

41. Ako umnosku triju uzastopnih parnih prirodnihbrojeva pribrojimo njihov udvostrucen zbroj i

oduzmemo kub srednjeg broja, dobit cemo 20.Koji su to brojevi?

Nakon kracenja dobije se razlomak 3

7 . Kojim je

brojem kracen razlomak?

45. Koliki je vanjski kut trokuta ABC pri vrhu A ?

46. Razlika duljina hipotenuze i jedne katete pravo-kutnog trokuta je 8 cm, a duljina je druge katete36 cm. Kolika je povrsina ovog trokuta?

47. Opseg pravokutnika je 80 m. Njegova je duljastranica tri puta dulja od krace. Kolika je povrsi-na tog pravokutnika?

48. Duljina igralista oblika pravokutnika za 8 je me-

tara veca od ˇ

sirine. Kad duljinu povecamo za2 m, a sirinu za 1 m, povrsina igralista poveca seza 46 m2 . Kolike su duljina i sirina igralista?

49. Tri brata imaju zajedno 58 godina. Koliko je ko-

jem od njih godina ako su 3

4 broja godina najm-

la -deg jednake 2

3 broja godina srednjeg, odnosno

1

2 broja godina najstarijeg brata?

50. Perica ima u dzepu 50 kn sitnisa od po 1, 2 i 5kuna. Novcica od 5 kn dva je puta vise nego odonih po 2 kn, a novcica po 1 kn dva je puta manjenego onih po 2 kn. Koliko novcica po 5 kn imaPerica?

51. Uze duljine 10 m prerezano je na dva dijela. Veci je dio za 0.5 m kraci od dvostrukog kraceg.

Kolike su duljine dvaju komada?

98


RAK

52. Jedan je komad zice dulji od drugog 54 metra.Kad od svakog komada odrezemo po 12 m, duljice komad biti cetiri puta dulji od kraceg. Kolikosu dugacki ti komadi zice?

53. Na dvije police su 72 knjige. Kad s prvena drugu

premjestimo 6 knjiga, na prvoj ce biti dvaput viˇseknjiga nego na drugoj. Koliko je knjiga na svakojpolici?

54. Na kolodvorustoje dvije kompozicije vlaka. Jed-na ima 12 vagona vise nego druga. Kad bismo

63. U morskoj je vodi 4.5 % soli. Koliko slatke vo-de valja uliti u 40 litara morske kako bi u takopomijesanoj vodi bilo 2 % soli?



O G L E D N

I P R I M J E

R A svaku kompoziciju umanjili za 6 vagona, u jed-

noj bi ostalo 3 puta vise vagona nego u drugoj.Koliko je vagona u kojoj kompoziciji?

55. Uˇcenici jednog razreda u

ˇce dva strana jezika. Od

njih 32 prvi strani jezik uci ih 24, a drugi 28.Ako svaki od ucenika uci barem jedan strani je-zik, koliko ucenika uci oba jezika? Izrazi taj broji u postotcima.

56. Na jednom pisanom ispitu koji sadrzi 40 pitanjaza tocan odgovor dobije se 20 bodova, a za ne-tocan oduzima 5 bodova. Ako je neki ispitanikodgovorivsi na sva pitanja sakupio 425 bodova,

na koliko je pitanja dao pogreˇsan odgovor?

57. Ako se posuda puni prvom slavinom, napunit cese za 18 minuta, a ako se puni drugom, bit ce pu-na za 27 minuta. Otvorimo li obje slavine, koliko

ce vremena proci dok u posudi bude 5

6 njezina

obujma?

58. Vodom iz prve slavine bazen se napuni za m sati,

a vodom iz druge za n sati. Ako se istovreme-no ukljuce obje slavine, za koliko ce se vremenanapuniti bazen?

59. Tekucinom iz prve slavine posuda se napuni za10 minuta, a tekucinom iz druge za 15 minuta.Ako otvorimo ove dvije i jos jednu, trecu slavi-nu, posuda ce se napuniti za 4 minute. Kolikobi vremena bilo potrebno da se posuda napunitekucinom samo iz trece slavine?

60. Svjeze smokve sadrze 72 % vode, a suhe 20 %.Koliko se suhih smokava dobije susenjem 20 kgsvjezih?

61. U svjezim je gljivama 88% vode, a u suhim svega8 %. Koliko bismo svjezih gljiva trebali ubratizelimo li nakon susenja imati 3 kg suhih gljiva?

62. Susenjem oraha gubi se 25 % njihove mase. Od

koje ce se mase svjeˇ

zih oraha nakon suˇ

senja do-biti 3 kg suhih oraha?

p j j

64. Ako u 60 litara alkohola koncentracije75 % ulije-mo 30 litara alkohola koncentracije 90 %, kolikace biti koncentracija alkohola u smjesi?

65. Pomijesamo li vrucu vodu temperature 76 ◦C ihladnu temperature 12 ◦C, dobit cemo 96 litaravode s temperaturom 40 ◦C . Koliko je pritomuzeto vruce vode?

66. Mijesamo tri vrste kave. Uzmemo li 120 kg pocijeni 40 kn za kilogram i 150 kg po cijeni 36 knza kilogram, koliko moramo uzeti kave po 45 knza kilogram zelimo li da cijena mjesavine bude

42 kn za kilogram?

67. Jedna vrsta dusicne kiseline koncentracije je 30 %,

druga 55 %. Koliko koje vrste treba pomijeˇsati

kako bi se dobilo 100 litara kiseline koncentracije50 %?

68. Dva automobila, jedan stalnom brzinom od 100km/ h drugi 115 km/ h u isto vrijeme krenu auto-cestom iz Splita za Zagreb. Nakon koliko vreme-na ce biti udaljeni 5 km?

69. Ivica biciklom prije -de put od kuce do skole za 20

minuta. No ako bi brzinu povecao za 5 km/ h, uskolu bi stizao za 15 minuta. Koliko je Ivicinakuca udaljena od skole?

70. Vozac za 1 sat prije -de polovinu puta, a potomubrza za 15 km/ h i drugu polovinu prije -de za45 minuta. Kojom je brzinom vozac vozio prvupolovinu puta?

71. Putnicki vlak prije -de put izme -du Rijeke i Zag-

reba za 24

5 sata, a teretni za 42

3 sata. Ako je

99


RAK

putnicki vlak brzi od teretnog za 26 km/ h, kolika je udaljenost Zagreba i Rijeke?

72. Iz mjesta M krene pjesak, a nakon 2 sata u istomsmjeru za njim se uputi biciklist. Brzina kretanjapjesaka je 4.5 km/ h, a biciklist za 45 minuta pri-

je -de 9 km. Koliki je put preˇsao pjeˇsak u trenutkukad ga je biciklist dostigao?

73. Iz dvaju gradova istovremeno krenu jedan dru-gom ususret dva automobila, jedan brzinom60 km/ h, drugi 80 km/ h. Ako su gradoviudaljeni448 k k k lik ´ bili



1. x 2 − 4

x + 2 = x − 2 je tocna jednakost za

svaki broj x .

2. a · b

c= a · b

c.



O G L E D N

I P R I M J E

R A448 km, nakon koliko ce se vremena automobili

susresti?

74. Ploveci niz rijeku, brod prije -de put od mjesta A

do mjesta B za 6 sati. Uzvodno mu za isti puttreba 10 sati. Ako je brzina broda po mirnoj vodi16 km/ h, kolika je brzina rijeke?

75. Ploveci uzvodno, brod preplovi put od mjesta Mdo mjesta N za 6 sati i 15 minuta. Obratno plove-ci brodu za isti put treba 3 sata i 45 minuta. Ako

je brzina rijeke 4 km/ h, kolika je brzina broda pomirnoj vodi?

76. Baka Marta iz pune salice crne kave otpije 16

pa

do vrha dolije mlijeko. Zatim otpije 1

3 i opet do

vrha dolije mlijeko. Otpije potom jos 1

2 bije-

le kave i do vrha dolije mlijeko. Koliko je tadamlijeka u salici?

77. Raˇ

cunalni virus prvoga dana pojede

1

2 svih poda-takapohranjenih na racunalu,drugog dana pojede1

3 preostalih podataka, a treceg dana nestane jos

1

3 od onoga sto je jos ostalo. Koliko je podataka

ostalo na racunalu?

78. Ani je pukla ogrlica. Jednu trecinu perlica nasla je na podu, jednu cetvrtinu na stolu, jednu peti-nu na naslonjacu, a jedna se sestina zadrzala naniti. Na kraju su nedostajale 3 perlice. Koliko jeperlica bilo na ogrlici prije njezinog raspadanja?

c c

3. ak + b

ck + d =

a + b

c + d za svaki k = 0 .

4. ak + bk

ck =

a + b

cza svaki k = 0 .

5. Broj −1 rjesenje je jednadzbe

1 − 1 − x

2 − 1 + x

4 = 0 .

6. Broj −0.9 rjesenje je jednadzbe x 3

4 − x

34

= 11

8

.

7. Rjesenje jednadzbe 3 x − 1

3 = 1 +

x + 1

2

je broj veci od 18

5 i manji od

19

5 .

8. Da bi broj −2 bio rjesenje jednadzbemx − 1

3 − x + 4

2 = 1 − x

6 ,

m mora biti jednak −5 .

9. Za m = 1 jednadzba m(m2 − x ) = m − x nema rjesenja.

10. Za m = 1

2 jednadzba

m(2m2 − x ) = m − x

2

je neodre -dena.

11. Ako je t = uv

u − v, onda je u =

vt

t − v.

12. Iz formule K = c(1 + nt ) slijedi

t = K + c

cn.

100

RA K



O G L E D N

I P R I M J E

R A

RA K



O G L E D N

I P R I M J E

R A

5 VEKTORI

RA K



O G L E D N

I P R I M J E

R A

• Koje sve sile djeluju na skijaˇ sa koji se spuˇ sta niz strmu padinu? O ˇ cemu ovise

veliˇ cine tih sila? Koji je njihov smjer? Kako odrediti rezultantu svih tih sila?

• Ako ˇ camcem prelazimo rijeku, kako posti´ ci da put prelaska bude najkra´ ci?Treba uzeti u obzir da na ˇ camac, uz snagu naˇ sih zaveslaja ili snagu motora,djeluje i rijeka koja ga povlaˇ ci nizvodno.

To su samo neka od mnoˇ stva pitanja na koja u fizici traˇ zimo odgovore. Takviodgovori u fizici (ali i u drugim prirodnim znanostima) zahtijevaju odre -denamatematiˇ cka znanja. U ovim primjerima to je znanje o vektorima.

5.1. Definicija i opis vektora

ˇ Sto je vektor?

Velicine, kao sto su duljina, povrsina, masa i mnoge druge izrazavaju se iznosom,kolicinom, brojem. Kazemo da su to skalarne veli ˇ cine ili jednostavno skalari.Neke druge velicine osim iznosa imaju i dodatnu bitnu osobinu − smjer djelova-

nja. Takve su primjerice brzina, ubrzanje, sila. Za njih kaˇ

zemo da su vektorskeveli ˇ cine.

Ako su A i B dvije razlicite tocke ravnine, njima je odre -dena duzina AB . Za-

pisom BA dana je ista duzina. Duzina AB (ili BA ) ima svoju duljinu. Duljinaduzine skalarna je velicina i zapisuje se kao | AB|.Ako su A i B dvije tocke ravnine kojima je odre -dena duzina, ali pritom razliku-

jemo redoslijed pa je tocka A prva, po ˇ cetna to ˇ cka ( hvati ˇ ste), a tocka B druga,

zavr ˇ

sna to ˇ

cka (kraj) duˇ

zine, tada za duˇ

zinu kaˇ

zemo da je usmjerena du ˇ

zina ilivektor.

150

DEFINICIJA I OPIS VEKTORA 5.1

RA K

Usmjerenost duzine odrazava se i u oznaci pa umjesto

oznake AB , koja se rabi zazapis duzine, pisemo−→

AB .

Time je naznaceno da je tocka A pocetna, a tocka Bzavrsna tocka tog vektora.

Ponekad se vektor zapisuje malim slovom nad koje se

stavi strelica. Tako mozemo pisati v = −→ AB .

Duljina, smjer i orijentacija vektora



O G L E D N

I P R I M J E

R Aj , j j j

Svaki je vektor potpuno odre -den duljinom, smjerom i orijentacijom. Opisimo

ova tri vaˇ

zna pojma.• Duljina vektora−→

AB je udaljenost njegove pocetne i zavrsne tocke. Dakle,

to je duljina duzine AB . Duljinu vektora oznacavamo s |−→ AB | te je

|−→ AB | = | AB|.• Kazemo da pravac p koji prolazi tockama A i B sadrzi vektor

−→ AB ili da

vektor−→

AB lezi na pravcu p . Pravac p , ali i svaki pravac koji mu je paralelan

odre -duje smjer vektora −→ AB . Za vektore koji imaju isti smjer reci cemo dasu kolinearni.

• Duljinom i smjerom vektor jos uvijek nije odre -den. Moramo zadati njegovpocetak i njegov kraj. Time je odre -dena orijentacija vektora. U zapisu vek-tora orijentacija je istaknuta redoslijedom navo -denja pocetne i zavrsne tocke.Na crtezu vektora orijentacija se razabire iz strelice koja se uvijek crta pri

zavrsnoj tocki. Tako iz zapisa−→

AB vidimo da je ovaj vektor orijentiran od A prema B . Uvedimo jos i pojam suprotni vektori. Za dva vektora kazemo da

su suprotni ako imaju istu duljinu i smjer, ali suprotnu orijentaciju. Suprotni

vektor vektoru a pisemo kao − a . Vektor suprotan vektoru−→

AB je vektor−→

BA .

Primjer 1. Nacrtan je jednakokracan trapez ABCD .Na slici su istaknuti neki vektori odre--deni vrhovima trapeza.

Primijetimo da su vektori −→ AD i −→ BC jednake duljine, ali nisu istog smjera.

Istog smjera su vektori−→

AB i−→CD (oni

leze na paralelnim pravcima). No ta dvavektora nemaju jednake duljine. Vekto-

ri−→

AB i−→CD imaju suprotnu orijenta-

ciju.

151

5 VEKTORI

RA K

Zadatak 1. Na slici je jednakostranican trokut ABC .Tocke A1, B1 i C 1 polovista su njegovh

stranica. Duzine A1 B1, B1C 1 i A1C 1 pa-

ralelne su stranicama AB, BC , odnosno

AC i od njih su upola krace.

Provjeri sljedece tvrdnje:

1) Vektori−→ AC i

−−→C 1 A1 su istog

smjera i imaju jednaku orijentaciju.

2) Vektori−−→ AC 1 i

−−→ A1C imaju istu duljinu,

nisu istog smjera i nisu iste orijentacije.→ →



O G L E D N

I P R I M J E

R A

3) Vektori−→ BC i

−−→ B1C 1 su vektori istog smjera i suprotne orijentacije.

4) Vektori−−→ AC 1 i

−−→ B1 A1 imaju istu duljinu, isti smjer i istu orijentaciju.

Odre -denost i jednakost vektora

Vektor je odre -den duljinom, smjerom i orijentacijom.

Dva su vektora jednaka ako imaju istu duljinu, isti smjer i istu orijentaciju.

Zadatci 5.1.

1. Koje su od sljedecih velicina vektorske, a koje skalarne: temperatura, obujam, brzina, masa,ubrzanje, sila, elektricni napon?

2. Dan je paralelogram ABCD . Tocka O sjeciste

je njegovih dijagonala. Promatramo skup vektorakojima su pocetna i zavrsna tocka vrh paralelog-rama ili tocka O .

1) Ispisi sve vektorekoji imaju jednak smjer kao

i vektor−→ AO . Ispisi sve vektore koji imaju

jednaku orijentaciju kao i vektor−→ AO .

2) Ispisi sve vektorekoji imaju jednak smjer kao

i vektor−→ BD . Ispisi sve vektore koji imaju

jednaku orijentaciju kao i vektor −→ BD .

3. Koliko ima vektora kojima su pocetna i zavrsnatocka neka dva vrha trokuta ABC ?

4. Koliko ima vektora kojima su pocetna i zavrs-na tocka vrhovi cetverokuta ABCD ako je tajˇcetverokut paralelogram, a koliko ako nije para-lelogram?

5. Nacrtaj pravilan sesterokut ABCDEF . Neka jeS sjeciste dijagonala tog sesterokuta. Ispisi svevektore kojima su pocetna i zavrsna tocka nekivrh sesterokuta ili tocka S , a koji su

1) jednaki vektoru−→ BC ;

2) suprotni vektoru −→SA .

152

MNOZENJE VEKTORA REALNIM BROJEM 5.2

R A K

5.2. Mno ˇ zenje vektora realnim brojem

Jedna od jednostavnih i prirodnih racunskihoperacija je mnozenje vektora realnim brojem.Sto bi, primjerice, za zadani vektor a znacilo

3 a ili −1

2 a ?

Vektor 3 a je vektor istog smjera i orijentacije



O G L E D N

I P R I M J E

Rkao i vektor a , ali tri puta vece duljine.

Vektor − 12

a je vektor istog smjera, suprotne

orijentacije kao i vektor a te je upola kraci odvektora a .

Mno ˇ zenje vektora realnim brojem

Neka je dan vektor v i neka je x realan broj razlicit od nule. Tada jeumnozak x

· v vektor sa sljedecim svojstvima:

1) | x · v| = | x | · | v| .

Rijecima: Vektor x · v je | x | puta dulji od vektora v .

2) Smjer vektora x · v isti je kao i smjer vektora v .

3) Orijentacija vektora x · v za x > 0 jednaka je orijentaciji vektora v , a suprotna orijentaciji vektora v ako je x < 0 .

Nul-vektor

Vektor kojem se podudaraju pocetna i zavrsna tocka zove se nul-vektor. Oz-

nacavamo ga s 0 . Duljina nul-vektora jednaka je nuli i to je jedini vektor sovim svojstvom. Nema smisla govoriti o smjeru i orijentaciji nul-vektora, a podogovoru se uzima da je nul-vektor kolinearan sa svakim vektorom. Za umno zak0 · v vrijedi:

|0 · v| = |0| · | v| = 0,

pa je 0 · v nul-vektor, jer samo nul-vektor ima duljinu jednaku nuli.

153

5 VEKTORI

R A K

Jedini ˇ cni vektor

Za vektor v kazemo da je jedini ˇ cni vektor ako je njegova duljina jednaka 1,dakle ako je | v| = 1 .

Podijelimo li bilo koji vektor v (osim nul-vektora) njegovom duljinom, dobitcemo jedinicni vektor v0 :

v0 = v

| v| .

Ovako definiran jedinicni vektor kolinearan je s vektorom v ima dakle isti smjer



O G L E D N

I P R I M J E

ROvako definiran jedinicni vektor kolinearan je s vektorom v , ima dakle isti smjerkao i v , a ima i jednaku orijentaciju kao i vektor v . Jedinicnim se zove jer mu jeduljina jednaka 1. Provjerimo:

| v0| = v

| v| =

| v|| v| = 1.

5.3. Zbrajanje vektora

Vratimo se sada problemu plova camca pri prijelazu rijeke. Neka camac plovibrzinom od 2 m/ s okomito na njezin tok, a brzina rijecnog toka neka je 1 m/ s.Kako izgleda put kojim plovi camac?

Ovaj problem dakako nije nov, nije novo ni nje-govo rjesenje. Znali su ga jos stari Grci.

Predocimo vektorima v1 i v2 brzine gibanja cam-ca i rijeke. Vektori su me -dusobno okomiti, a prvi

je dvostruko dulji, jer je i brzina camca dva putaveca. Camac ce se kretati po pravcu kojem pripa-da dijagonala pravokutnika koji je odre -den sa v1

i v2 .

Iznos te brzine jednak je duljini dijagonale pravokutnika. Izracunat cemo jeprimjenom Pitagorina poucka:

| v

| = | v1

|2 +

| v2

|2 =

√ 5

≈ 2.24 m/ s.

Prije priblizno 400 godina nizozemski znanstve-nik Simon Stevin (1540.–1620.) rjesavao je pro-bleme gibanja tijela na koje istovremeno djelujevise sila. Mnogo prije nego li je pojam vektorausao u matematiku, odgovorio je na pitanje: Mo-ˇ ze li se djelovanje dviju (ili viˇ se) sila zamijenitidjelovanjem samo jedne sile s istim uˇ cinkom?

154

ZBRAJANJE VEKTORA 5.3

R A K

Djelovanje dviju sila predstavljenih vektorima F 1 i F 2 moze se zamijeniti djelovanjem samo

jedne sile predstavljene vektorom−→F . Pritom

je−→F dijagonala paralelograma kojemu su F 1

i F 2 susjedne stranice.

Na ovaj nacin opravdana je sljedeca definicija zbrajanja vektora:

Zbroj dvaju vektora — pravilo paralelograma

Zbroj dvaju vektora−→OA i

−→OB s

istim pocetkom O je vektor−→OC



O G L E D N

I P R I M J E

Ristim pocetkom O je vektor OC

takav da je OC dijagonala para-lelograma OACB :

−→OA +

−→OB =

−→OC .

Kako cemo zbrajati vektore a i b koji imaju pocetke u razlicitim tockama?

Neka je O pocetna tocka vektora a i neka je A zavrsna tocka istog vektora.

Konstruirajmo vektor jednak vektoru b s pocetkom u tocki O (vidi sliku gore).

Zbroj vektora −→OA + −→OB je vektor c = −→OC . A kako je −→OB = b , onda je

a + b = c .

Primijetimo da se definirano zbrajanje vektora moze opisati na jos jedan nacin.Istaknimo na gornjoj slici trokut OAC .

Ocito je−→OB = b =

−→ AC . Vidimo da

zbrajanje vektora a i b mozemo protu-

maˇciti na sljedeci naˇcin: kraj vektora apocetak je vektora b . Njihov je zbrojvektor kojemu je pocetak u pocetku vek-

tora a , a kraj u kraju vektora b .

Za vektore kod kojih se zavrsetak jednoga podudara s pocetkom drugog kazemoda su ulan ˇ cani ili da se nadovezuju.

Zbroj dvaju vektora — pravilo trokuta

Vektori a i b su ulan ˇ cani ako se zavrsetakprvoga podudara s pocetkom drugoga.

Zbroj dvaju ulancanih vektora−→

AB i−→

BC je

vektor−→

AC koji spaja pocetnu tocku prvog sazavrsnom tockom drugog vektora.

155

5 VEKTORI

R A K

Svojstva zbrajanja vektora

Zbrajanje vektora ima svojstva koja su slicna svojstvima racunskih operacija s

brojevima.(1) Za svaka dva vektora a i b vrijedi svojstvo komutativnosti:

a + b = b + a.

Uvjeri se u tocnost ove tvrdnje oslanjajuci se na pravilo paralelograma pri zbrajanju vektora.

(2) Z k i k b i ij di j ij i i



O G L E D N

I P R I M J E

R(2) Za svaka tri vektora a , b i c vrijedi svojstvo asocijativnosti:

( a + b) + c = a + ( b + c).Neka su dana tri vektora a , b i c . Dovedimo ih u ulancan polo-

zaj: pocetak vektora b je u zavrsetku vektora a , a p ocetak vektora

c u zavrsetku vektora b . Oznacimo jos: a = −→ AB , b =

−→ BC ,

c = −→

CD . Onda vrijedi: ( a + b) + c = (−→

AB + −→ BC ) +

−→CD =

−→ AC +

−→CD =

−→ AD .

Zbrajajuci u drugom poretku, imamo:

a + ( b + c) = −→ AB + (

−→ BC +

−→CD ) =

−→ AB +

−→ BD =

−→ AD .

Vrijedi dakle

( a + b) + c = a + ( b + c).

Primjer 1. Neka je dan pravilni sesterokut ABCDEF i neka je S sjeciste njegovih

dijagonala. Odredimo vektore:

1)−→

AB + −→CD ; 2)

−→ AS +

−→ DE ; 3)

−→ BC +

−→EF ;

4)−→SD +

−→CS ; 5)

−→ AF +

−→CD ; 6)

−→ AF +

−→SC .

Promatrajmo sliku i slijedimo zapise:

1)−→

AB + −→CD =

−→ AB +

−→ BS =

−→ AS ;

2)−→

AS + −→ DE =

−→ AS +

−→SF =

−→ AF ;

3)−→

BC +−→EF =

−→ BC +

−→CB =

−→ BB = 0 ;

4)−→SD +

−→CS =

−→SD +

−→SF =

−→SE ;

5)−→

AF + −→CD =

−→ BS +

−→SE =

−→ BE ;

6)−→

AF + −→SC =

−→ AF +

−→FS =

−→ AS .

156

ZBRAJANJE VEKTORA 5.3

R A K

Zadatak 1. Neka je dan pravilni sesterokut kao na slici u prethodnom primjeru. Izracunaj:

1)−→CS +

−→ BC ; 2)

−→ AB +

−→SE ; 3)

−→FS +

−→ DS ;

4)−→

AF + −→ DC ; 5)

−→SE +

−→CD ; 6)

−→ AD +

−→CB .

Oduzimanje vektora

Oduzimanje vektora svodi se na zbrajanje vektora. Ako su dana dva vektora a i b , tada je po definiciji:



O G L E D N

I P R I M J E

R a

− b = a + (

− b).

Dva se vektora oduzimaju tako da se prvom vektoru pribroji suprotan drugi vektor.

Opisimo kako se za zadane vektore a i b konstruira njihova razlika, vektor

a − b . Neka ta dva vektora imaju zajednicki pocetak: tocku A i neka je a = −→ AB

i b = −→ AC . Onda je

−→CA = − b i imamo:

a + (− b) = −

b + a = −→CA + −→ AB = −→CB .

Dva se vektora oduzimaju tako dase dovedu u zajedniˇ cko hvatiˇ ste.

Razlici odgovara vektor kojem je poˇ cetak u zavr setku drugog, a za-vr setak u zavr setku prvog vektora.

Oduzimanje vektora

Razlika dvaju vektora a − b jest vektor koji je zbroj vektora a i sup-

rotnog vektora vektoru b :

a − b = a + (− b).

Zadatak 2. Neka je dan pravilni sesterokut kao u primjeru 1. Odredi:

1)−→

AB − −→ AS ; 2)

−→FC − −→

AB ; 3)−→

AS − −→ AF ;

4)−→

BS − −→

DC ; 5)−→

AB − −→

BC ; 6)−→

AB − −→

ED .

157

5 VEKTORI

R A K

Zadatci 5.3.

1. Dan je paralelogram ABCD . Neka je tocka S sjeciste njegovih dijagonala. Izracunaj:

1) −→SD + −→CD ; 2) −→ AS + −→ BS ;

3)−→ AD +

−→CB ; 4)

−→ AB +

−→SD ;

5)−→ AB +

−→ BS ; 6)

−→ BS +

−→CS .

2. Tocka S sjeciste je dijagonala paralelogramaABCD Izracunaj:

5)−→ AC −−→

SC ; 6)−→ AS −−→

SD .

8. Neka su A , B , C , D , E , F vrhovi pravilnogsesterokuta. Provjeri jednakosti:

1)−→ AB − −→

DC = −→ BC ; 2)

−→ BC − −→

ED = −→ AF ;

3)−→CD − −→

FE = −→ BA ; 4)

−→ AF − −→

DE = −→ BC .

9. Nacrtaj neka tri vektora a , b i c te konstruiraj



O G L E D N

I P R I M J E

R ABCD . Izracunaj:

1)−→ AS +

−→ BS +

−→CS ;

2)−→ AB +

−→CS +

−→ BD ;

3)−→ AB +

−→ AC +

−→ AD ;

4)−→SA +

−→SB +

−→SC +

−→SD .

3. Neka je ABCDEF pravilan sesterokut i neka jeS sjeciste njegovih dijagonala. Izracunaj:

1) −→ AB + −→EF ; 2) −→ AB + −→SD ;

3)−→ BC +

−→ES ; 4)

−→CS +

−→EF ;

5)−→ DE +

−→SC ; 6)

−→CF +

−→ AS .

4. Tocka S sjeciste je dijagonala pravilnog sestero-kuta ABCDEF . Izracunaj:

1)−→ AB +

−→SD +

−→SF ; 2)

−→ AB +

−→CD +

−→EF ;

3)−→ AB +

−→ AS +

−→ AF ; 4)

−→SB +

−→SD +

−→SF .

5. Odredi zbroj vektora:

1)−→ AC +

−→ DB +

−→CD +

−→ BA ;

2)−→ AB +

−→CD +

−→ BC +

−→ DE .

6. Moze li zbroj vektora biti vektor manje duljine

nego sto je duljina svakog pojedinog pribrojni-ka?

Moze li razlika vektora biti manje duljine od nji-hova zbroja?

7. Nacrtaj paralelogram ABCD i odredi njegovosrediste S . Izracunaj:

1)−→ BC −−→

DC ; 2)−→ AB−−→

BC ;

3) −→ AS −−→ BS ; 4) −→ BS −−→SD ;

sljedece vektore:

1) a + b − c ; 2) a − b + c ; 3) a − b − c .

10. Tocka T teziste je trokuta ABC . Odredi zbroj

vektora−→TA +

−→TB +

−→TC .

11. Pojednostavni:

1) −→ AB − −→ BC − −→CD − −→ DA ;

2) (−→ AB − −→

BC ) − (−→CD +

−→ AD ) + (

−→CB − −→

CD ) .

12. Dan je trapez ABCD . Dokazi da je vektor−→ AC +

−→ DB kolinearan s vektorom

−→ AB .

13. Tocka O sredisteje pravilnog peterokuta ABCDE .

Dokazi da su vektori−→OA +

−→OB +

−→OC i

−→OD +

−→OE kolinearni.

14. Srednjica trokuta je duzina koja spaja polovis-ta dviju stranica trokuta. Srednjica je paralelnatrecoj stranici i od nje je upola kraca. Dokazi!

15. Srednjica trapeza duzina je koja spaja polovistanjegovih krakova. Srednjica je paralelna osnovi-

cama i njezina je duljina s = 1

2(a + c) , gdje su

a i c duljine osnovica trapeza. Dokazi!

16. Ako je P poloviste duzine AB , a O neka tockau

ravnini, tada je−→OP =

1

2(−→OA +

−→OB ) . Dokazi!

17. Dokazidajeduzina MN koja spaja polovista M i

N dijagonala AC i BD trapeza ABCD paralelnas osnovicama trapeza.

158

RASTAV VEKTORA U KOMPONENTE 5.4

R A K

5.4. Rastav vektora u komponente

Neka je zadan vektor v i neka su a i b dva nekolinearna vektora.

Prikazimo vektor v kao zbroj dvaju vektora, jednog koji ima isti smjer kao i

vektor a i drugog ciji je smjer isti kao i smjer vektora b . Kazemo da vektor v

treba rastaviti u komponente po vektorima a i b .

Postavimo vektore v , a i b tako da imaju zajednicki pocetakO i neka je T kraj vektora v . Konstruirajmo paralelogramOATB .



O G L E D N

I P R I M J E

RVektor−→OA kolinearan je s vektorom a pa postoji broj α takav

da je −→OA = α · a .

Jednako tako vektor−→OB kolinearan je s vektorom b pa postoji broj β takav da

je−→OB = β · b . Tako je konacno v = α a + β b.

Iz opisanog postupka vidimo da je rastav nekog vektora po danim komponentamauvijek provediv.

Rastav vektora na komponente

Neka su a i b nekolinearni vektori. Svaki se vektor v moze prikazatiu obliku

v = α a + β b.

Kazemo da smo vektor v rastavili u komponente po vektorima a i b .Za dana tri vektora taj je prikaz jedinstven. Kazemo jos da smo vektor

v prikazali kao linearnu kombinaciju vektora a i b .

Primjer 1. Tijelo na kosini. Na tijelo na kosini

djeluje sila teze F . Ona se rastavlja

na dvije komponente: F p okomitu

na podlogu, te silu F a koja djeluje

u smjeru kosine.

Sila F p pritisce tijelo na podlogu ine sudjeluje u gibanju tijela. Sila F a uzrokuje kretanje tijela i djelujeu smjeru gibanja. Primijetimo da jenjezin iznos to veci sto je veci kutα .

159

5 VEKTORI

R A K

Tijelo na koloturi djeluje svojom tezi-nom tako da se konopci napnu. Ovdjese sila teze rastavlja na dvije kompo-nente u smjeru napetih konopaca. Pri-mijetimo da na kraci konopac djeluje

sila veceg iznosa.

Sjetimo se sada naseg skijasa. Pri spustanju niz padinu na njega djeluje vise sila.Pokusajte ih opisati.



O G L E D N

I P R I M J E

RPrimjer 2. Dan je paralelogram ABCD . To

ˇ

cke P i Q poloviˇ

sta su njegovih stra-nica BC i CD . Vektore

−→ AP ,

−→ AQ i

−→PQ rastavimo u komponente po

vektorima a = −→ AB i b =

−→ AD .

Promotrimo sliku. Zakljucujemo:−→

AP = −→ AB +

−→ BP = a + 1

2 b ;

−→ AQ =

−→ AD +

−→ DQ = 1

2 a + b ;

Sada joˇ

s prikaˇ

zimo i vektor −→PQkao linearnu kombinaciju vektora a

i b .

Najprije zakljucujemo:−→

AP + −→

PQ = −→ AQ te je

−→PQ =

−→ AQ − −→

AP =12 a + b − ( a + 1

2 b) = − 1

2 a + 1

2 b .

Zadatak 1. Dan je kvadrat ABCD . Tocke M , N , P iQ polovista su njegovih stranica. Neka je

e = −→ AM i f =

−→ AQ . Prikazi sljedece vekto-

re kao linearnu kombinaciju vektora e i f :

1)−→

AN ; 2)−→

AQ ; 3)−→

NP ; 4)−→

AC ;

5)−→

BQ ; 6)−→PQ .

160

RASTAV VEKTORA U KOMPONENTE 5.4

R A K

Zadatci 5.4.

1. Dan je paralelogram ABCD . Prikazi vektore−→ AC i

−→ BD kao linearnu kombinaciju vektora

−→ AB

i −→ AD .

2. Dan je paralelogram ABCD . Prikazi vektore−→ AD i

−→ AB kao linearnu kombinaciju vektora

−→ AC

i−→ BD .

3−→

7. Dan je kvadrat ABCD . Tockama E i F dijago-

nala BD kvadrata podijeljena je na tri sukladna

dijela. Izrazi vektore −→ AE , −→ AF i −→EF kao line-

arnu kombinaciju vektora v1 = −→ AB i v2 =

−→ AD .



O G

L E D N

I P R I M J E

R3. Dan je paralelogram ABCD . Neka je AC = a ,

−→ BD = b . Izrazi vektore −→ AB , −→ BC i −→CD kaolinearnu kombinaciju vektora a i b .

4. Tocke E , F , G i H polovista su stranica parale-

lograma ABCD . Ako je−→ AE = a ,

−→ AH = b

provjeri sljedece jednakosti:

1)−→ AF = 2 a + b ; 2)

−→ AC = 2 a + 2 b ;

3) −→ AG = a + 2 b ; 4) −→ BD = 2 b − 2 a .

5. Stranica BC trokuta ABC tockama P i Q podi-

jeljena je na tri jednaka dijela. Izrazi vektore−→ AP

i−→ AQ kao linearnukombinaciju vektora

−→ AB = c

i−→ AC = b .

6. Tocke D, E i F polovista su stranica BC , AC i

AB trokuta ABC . Prikazi vektore−→ AD ,

−→ BE i

−→CF kao linearnu kombinaciju vektora −→ AB = c

i−→ AC = b .

8. Neka je ABCDEF pravilan sesterokut. Izrazi

vektore−→ BC i

−→ BD kao linearnu kombinaciju

vektora−→ AB i

−→ AF .

9. Tocke A , B , C , D , E i F vrhovi su pravil-

nog sesterokuta. Ako je −→ AF = e1 , −→ AC = e2 ,

prikazi vektore−→ AB ,

−→ AD i

−→ AE kao linearnu

kombinaciju vektora e1 i e2 .

10. Neka su M , N i P polovista stranica BC , AC i

AB trokuta ABC . Prikazi vektore−→ AM ,

−→ BN i

−→CP kao linearne kombinacije vektora

−→ AB = e1

i −→ AC = e2 .

11. U trokutu ABC tocke M i N polovista su strani-

ca AB i AC . Prikazi vektore−→ AB ,

−→ AC i

−→ MN

kao linearnu kombinaciju vektora m = −→

CM i

n = −→ BN .

12. Tocka M poloviste je stranice BC , a tocka N

stranice CD paralelograma ABCD . Prikaˇzi vek-

tore−→ AB i

−→ AD kao linearne kombinacije vektora

−→ AM i

−→ AN .

161

5 VEKTORI

R A K

5.5. Vektori u koordinatnom sustavu

Vektori se mogu vezati uz koordinatni sustav. Tada se svaki vektor ravnine prika-

zuje kao linearna kombinacija dvaju jedinicnih vektora kojima je smjer odre -denkoordinatnim osima.

Prvom, koji oznacavamo s i , pocetna je tocka ishodiste koordinatnog sustava, a

kraj tocka (1, 0) . Drugom jedinicnom vektoru, oznacavamo ga s j , pocetak jeishodiste, a zavrsetak tocka (0, 1) .

U i d bil k ji k−→OT ˇ k



O G

L E D N

I P R I M J E

RUzmimo sada bilo koji vektor OT s pocetkom

u ishodiˇ

stu i krajem u toˇ

cki T ( x , y) i rastavimoga na komponente po vektorima i i j .

Nacrtajmo pravokutnik OT 1TT 2 .

Vektor−−→OT 1 je kolinearan s vektorom i i ima

duljinu | x | . Mozemo ga zapisati u obliku−−→OT 1 = x · i .

Analogno, vektor−−→OT 2 je kolinearan s vektorom j i ima duljinu | y| . Mozemo ga

zapisati u obliku−−→OT 2 = y · j .

Konacno je−→OT = x i + y j.

Neka je sada −−→T 1T 2 neki vektor u koordinatnoj ravnini kojem je pocetna tockaT 1( x 1, y1) , a zavrsna T 2( x 2, y2) .

Ocito je−−→T 1T 2 =

−−→OT 2 −

−−→OT 1 .

No−−→OT 2 = x 2 i + y2

j i−−→OT 1 = x 1 i + y1

j paimamo:

−−→OT = ( x 2 i + y2 j) − ( x 1 i + y1 j)= ( x 2 − x 1) i + ( y2 − y1) j.

Dakle,−→OT = ( x 2 − x 1) i + ( y2 − y1) j.

162

VEKTORI U KOORDINATNOM SUSTAVU 5.5

R A K

Primjer 1.

U ravnini su zadane tocke A(−1, 1), B(4, −1) i C (−3, 4) . Odredimo

zbroj i razliku vektora−→

AB i−→

AC .

Najprije odredimo vektore−→

AB i−→

AC :

−→ AB = ( x B − x A) i + ( y B − y A) j = 5 i − 2 j,−→

AC = ( x C − x A) i + ( yC − y A) j = −2 i + 3 j.

Sada je: −→ AB +

−→ AC = (5 i − 2 j) + (−2 i + 3 j) = 3 i + j

−→ AB − −→

AC = (5 i − 2 j) − (−2 i + 3 j) = 7 i − 5 j.



O G

L E D N

I P R I M J E

RNacrtajte sliku i provjerite rjesenje.

Zadatak 1. U ravnini su zadane tocke A(−2, 2) , B(0, −1) i C (1, 1) . Odredi zbroj i razliku

vektora−→

AB i−→

AC i rezultat provjeri na slici.

Vektor u koordinatnom sustavu

Za svaku tocku T ( x , y) vektor−→OT , kojem je pocetak ishodiste koor-

dinatnog sustava moze se prikazati u obliku −→OT = x i + y j.

Vektor−−→T 1T 2 s pocetkom u tocki T 1( x 1, y1) i zavrsetkom u tocki

T 2( x 2, y2) ima prikaz

−−→T 1T 2 = ( x 2 − x 1) i + ( y2 − y1) j.

Dva su vektora v1 = x 1 i + y1 j i v2 = x 2 i + y2

j jednaka ako i samoako je x 1 = x 2 i y1 = y2 .

Primjer 2. Dane su tocke A(−1, 3) , B(2, 1) i C (3, −1) . Odredimo tocku D( x , y)

tako da vrijedi−→

AB = −→

CD .

Najprije zapisimo−→

AB = 3 i − 2 j .

Zatim je −→CD = ( x − 3) i + ( y + 1) j .

Kako je−→

AB = −→

CD , slijedi

x − 3 = 3 i y + 1 = −2.

Zakljucujemo x = 6 , y = −3 te je D(6, −3) .

163

5 VEKTORI

R A K

Zadatak 2. Pokazi da tocke A(−4, 3) , B(0, 1) i C (2, 0) leze na jednom pravcu.

Uputa: Dovoljno je pokazati da su vektori−→

AB i−→

BC kolinearni, tj. da postoji

broj k = 0 takav da je

−→ AB = k

· −→ BC .

Duljina vektora

Duljina vektora−−→T 1T 2 kojem je tocka

T ( ) ˇ t t ˇk T ( )



O G

L E D N

I P R I M J E

RT 1( x 1, x 2) pocetna, a tocka T 2( x 2, y2) za-

vrˇ

sna, jednaka je duljini duˇ

zine T 1T 2 .

Vrijedi dakle:

|−−→T 1T 2 | = |T 1T 2|

=

( x 2 − x 1)2 + ( y2 − y1)2.

Primjer 3. Odredimo jedinicni vektor e vektora kojemu je pocetna tocka A(5, −1) ,a zavrsna B(1, 2) .

Jedinicni vektor vektora v je vektor e = v

| v

|

.

Najprije izracunajmo duljinu vektora−→

AB .

|−→ AB | =

(−4)2 + 32 =√

25 = 5.

Sada je e =

−→ AB

|−→ AB |=

−4 i + 3 j

5 = −4

5 i +

3

5 j .

Lako je provjeriti: | e| =

4

5

2

+

3

5

2

= 1 .

Zadatak 3. Odredi jedinicni vektor vektora−→

MN ako je M (3, −1) , N (−2, 4) .

164

VEKTORI U KOORDINATNOM SUSTAVU 5.5

R A K


Koje su od sljedecih tvrdnji tocne, a koje netocne? Odgovori i odgovor obrazlozi.

1. Duljina vektora−→ AB jednaka je duljini duzine AB .

2. Kolinearni vektori su vektori koji imaju isti smjer i jednaku duljinu.

3. Zbroj dvaju suprotnih vektora je nul-vektor.



O G

L E D N

I P R I M J E

R4. Jedini

ˇ

cni vektor vektora v je vektor istog smjera kao i vektor v a duljinamu je 1.

5. Za svake tri tocke A, B i C vrijedi:−→ AB − −→

AC = −→ BC .

6. Za svake tri tocke A, B i C vrijedi:−→ AB +

−→ BC +

−→CA =

−→0 .

7. Dane su toˇcke A(1, −2), B(4, −1), C (3, 3) . Ako je a = −→ AB , b = −→ AC ,onda je a + b = 5 i + 6 j .

8. Duljina vektora v = −6 i + 8 j je 10.

9. Vektori a = −2 i + 3 j i b = 4 i − 6 j su kolinearni.

165

5 VEKTORI

R A K

Zadatci 5.5.

1. Dane su tocke A(4, 0) , B(1, 3) , C (−2, −1) ,

D(1,

−1) . Odredi vektore

−→ AB ,

−→ BC ,

−→CD ,

−→ BD

i −→ AC . Dobivene rezultate provjeri crtanjem ukoordinatnoj ravnini.

2. Dane su tocke A(−1, −3) , B(4, 1) i C (2, 4) .

Odredi vektore−→ AB ,

−→ BC i

−→CA .

Prikazi tocke A , B i C u koordinatnoj ravnini iprovjeri je li dobro rijesen zadatak.

3 D ˇk A( 2 0) B(0 1) i C(4 3) P

14. Tocke A(3, 2) , B(1, −2) i D(5, 1) tri suvrha pa-ralelograma ABCD . Kolika je duljina dijagonale

AC ?15. Odredi jedinicni vektor istog smjera i orijentacije

kao i vektor−→ AB ako je A(3, 1) , B(−1, −2) .

16. Odredi jedinicni vektor koji ima isti smjer, ali su-

protnu orijentaciju od vektora−→ AB ako je A(−4, 9) ,

B(−2, 5) .



O G

L E D N

I P R I M J E

R3. Dane su tocke A(

−2, 0) , B(0, 1) i C (4, 3) . Pro-

vjeri da je −→ BC = 2 · −→ AB .

4. Tocke A(−1, 1) , B(2, −1) , C (5, −3) pripadaju jednom pravcu. Provjeri! Provjeri tako -der da je

tocka B poloviste duzine AC .

5. Tocke A(101, −49) , B(−51, 27) , C (77, −37)pripadaju jednom pravcu, odnosno, kolinearnesu. Provjeri!

6. Dane su tocke A(−2, 4) , B(5, 1) , C (3, 5) . Pro-

vjeri:−→ AB +

−→ BC +

−→CA =

−→0 .

7. Dane su tocke A(−1, 1) , B(2, −1) , C ( x , −3) .Odredi nepoznatu koordinatu tocke C tako dasve tri tocke pripadaju jednom pravcu.

8. Dane su tocke A(−5, −3) , B(−2, y) , C (4, 0) .Odredi nepoznatu koordinatu tocke B tako da

toˇ

cke A , B i C budu kolinearne.9. Ako su A(1, −1) , B(3, 2) i C (−2, 3) tri uzas-

topna vrha paralelograma ABCD , odredi koordi-nate cetvrtog vrha D .

10. Ako su A(2, 1) , B(−2, 4) i D(0, −3) trivrha pa-ralelograma ABCD , odredi koordinate vrha C .

11. Tocke A(0, 3) i B(2, 2) dva su vrha paralelog-rama ABCD , tocka S (3, 4) sjeciste je njegovih

dijagonala. Odredi koordinate vrhova C i D .

12. Tocke B(1, −2) i C (3, 2) vrhovi su paralelogra-

ma ABCD , tocka S −1

2, 3

2

sjeciste je njegovih

dijagonala. Odredi vrhove A i D ovog paralelo-grama.

13. Tocke A(−1, −1) , B(3, −2) i C (5, 2) tri suuzastopna vrha paralelograma ABCD . Kolika

je duljina dijagonale BD ?

17. Tocke A(−

1, 1) , B(3,−

2) , C (7, 7) vrhovi su

trokuta ABC . Odredi vektor u smjeru simetraleunutarnjeg kuta pri vrhu A ovog trokuta.

18. Odredi vektor v kolinearan s vektorom−→ AB , gdje

je A(2, −1) , B(−1, 3) ako je | v| = 20 .

19. Danesutocke A(1, 1) , B(2, 2) , C (0, 3) i D(5, 8) .

Prikazi vektor−→ AD kao linearnu kombinaciju

vektora −→ AB i −→ AC .

20. Vektor−→ AD prikazi kao linearnu kombinaciju

vektora−→ AB i

−→ AC ako je A(−2, 1) , B(−1, −1) ,

C (1, 2) i D(1, 9) .

21. Danesutocke A(1, 3) , B(2, 2) , C (3, 5) i D(4, 7) .

Vektor−→ AB prikazi kao linearnu kombinaciju

vektora −→ BC i −→ BD .

22. Dani su vektori a = 3ı − , b = i − 2 ,

c = −ı + 7 . Vektor v = a + b + c prikazi

kao linearnu kombinaciju vektora a i b .

23. Odredi | a − 3 b| i |3 a − 2 b| ako je a = ı − 3 , b = 2ı − 5 .

24. Dani su vektori a = −ı + 2 , b = 3ı + 4 i c = −2ı + . Odredi vektor v kolinearan s c , a

duljine jednake duljini vektora a + b .

166

R A K



O G

L E D N

I P R I M J E

R

1 RJEˇ

SENJA ZADATAKA

R A K

1. Brojevi

Rje ˇ senja 1.1

1. 1) Sljedbenik broja n je broj n + 1 .

2) Prethodnik broja n−2 je (n−2)−1 = n −3 .

3) To je broj m + n + 2 .

4) To je broj 2(a − b) .

5) To je broj ab

3 .

12. 90909 + 10101 = 101010 .

13. n +(n +1) +(n +2)+(n+3) = 4n + 6 = 1 258,odatle je n = 313 , te su trazeni uzastopni brojevi313, 314, 315, 316.

14. (2n−4) + (2n−2) + 2n + (2n + 2) + (2n + 4) =10n = 6 080 , te je n = 608 . Zakljucujemo da je rijec o brojevima 1 212 , 1 214 , 1 216 , 1 218 ,1220.



O G

L E D N I P R

I M J E R2. 1) To su brojevi k , k + 1 , k + 2 , k + 3 , k + 4 .

2) To su brojevi 2k + 1 , 2k + 3 i 2k + 5 .

3) To su brojevi 2k − 4 , 2k − 2 , 2k .

3. 4n + 9 .

4. [(n + 1) · 4 − 4] : 4 = (4n + 4 − 4) : 4 = n .

5. Prati niz zapisa: 2d → 20d → (20d + 73) →(20d +73)·5 → (100d +365+m) → (100d +m) .Rezultat je cetveroznamenkast broj cije su prve

dvije znamenke redni broj dana, a posljednje dvije redni broj mjeseca ro -denja.

6. Oznacimo sa n broj godina, a sa s kolicinu sit-nisa. Slijedi niz zapisa: 4n → 4n + 10 →(4n + 10) · 25 → (4n + 10) · 25 − 365 →(4n + 10) · 25 − 365 + s = 100n + s − 115.Dodamo li ovom posljednjem broju 115 dobit ce-mo 100n + s . Ocigledno, prve dvije znamenkesu broj godina, posljednje dvije iznos su sitnisa.

7. 1) 3090; 2) 1360 ; 3) 239;

4) prvi svezak, stranica 91 .

8. Odaberemo li primjerice brojke 2 i 5, dvozna-menkasti brojevi su 22, 25, 52 i 55. Njihov zbroj je 154 i on je djeljiv s 22.

Opcenito, odaberemo li dvije razlicite znamenke x i y , svi dvoznamenkasti brojevi su xx , xy , yx ,i yy , a njihov zbroj je

xx + xy + yx + yy

= 10 x + x + 10 x + y + 10 y + x + 10 y + x

= 22 x + 22 y = 22 · ( x + y).

9. Primjerice: 111 − 11, 33 · 3 + 3/3 ,(5 + 5 + 5 + 5) · 5 .

10. Primjerice: 123 − 45 − 67 + 89 .

11. Primjerice: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 · 9 .

15. 679.

16. 48.

17. 5.

18. Sa sedam nula.

19. Broj 2 jedini je paran prost broj. Svi su ostaliprosti brojevi, a me -du njima je i broj 5, neparni.Zbog toga umnozak zavrsava nulom.

20. 1) −13 ; 2) −32 ; 3) −24 ; 4) −17 ;5) 77 ; 6) −103; 7) 138; 8) −316.

21. 1) 81 ; 2) 56 ; 3) −18 ; 4) −45 .

22. Ako je n paran brojonda imamo (1−2)+(3−4)

+(5−6) + . . .+[(n−1)−n] = n

2·(−1) = −n

2 ;

Ako je n neparan broj onda imamo (0 + 1) +

(−2 + 3) + (−4 + 5) + . . . + [−(n − 1) + n] =n

2 · 1 =

n

2 .

23. Na Zemlji: 57.8 ◦C − (−89.2 ◦C) = 147 ◦C ili136 ◦F − (−128.6 ◦F) = 264.6 ◦F ;

U Hrvatskoj: 42.8 ◦C − (−35.5 ◦C) = 78.3 ◦Cili 109 ◦F − (−31.5 ◦F) = 140.5 ◦F .

24. Arhimed:

−212

−(

−287) = 75 ; Tales:

−540

−(−620) = 80 ; Vitruvije: 15 − (−75) = 90 ;Heron: 70 − 10 = 60 .

Rje senje problemaiz Zabavnematematike (LewisCarrol), str. 7:

Drugi igrac odabire uvijek onaj broj koji je razlikabroja 11 i onog koji je odabrao prvi igrac. Dodg-son je razradio ovu ideju te stvorio igru koja je

poznata kao Arithmetical Croquet .

168

BROJEVI 1

R A K

Rje ˇ senja 1.2

1. 5

2 = 2.5 ,

5

4 = 1.25 ,

3

8 = 0.375,

15

16 =

0.9375.

2. 0.5 = 12

, 0.25 = 14

, 0.125 = 18

, 0.75 = 34

,

0.625 = 5

8 .

3. Brojevi poredani po redu od najmanjeg prema

najvecem su: 66 % = 0.66, 0.666, 2

3 = 0.6 .

4. 1

= 0.03 ; 2 6

= 2.857142 .

21. 1) 3

4 ,

19

24 ,

11

12 ,

67

72 ,

17

18 ;

2) 0.7 , 3

4 , 0.7 ,

13

16 ,

29

32 ;

3) − 67

72 , − 11

12 , − 3

4 , − 17

18 , − 19

24 .

22. 1

a= 3 , a2 =

1

9 , a + b =

7

12 , a · b =

1

12 ,

a

b=

4

3 .

23. a = 1

2 , b = −1 , c =

1

3 , a + b + c = −1

6 .

24. 99

100 .



O G

L E D N I P R

I M J E 4.

30

0.03 ; 2

7

2.857142 .

5. 1) 5

6 = 0.83 ; 2)

3

11 = 0.27 ;

3) 5

13 = 0.384615 ; 4)

6

7 = 0.857142 .

6. 1) 3; 2) 2; 3) 1; 4) 4.

7. 5.

8. 0.

9. 9.

10. Broj 1

a je racionalan broj za sve cijele brojeve

a , a = 0. Broj a + 2

a(a − 3) je racionalan za sve

a , a = 0 i a = 3. Broj a

2a − 10 je racionalan

za sve a , a

= 5. Broj

a + 2

a2 − 4

je racionalan za

sve a , a = −2 i a = 2 .

11. −7 , −4 , −3 , −2 , 0, 1, 2, 5.

12. n ∈ {−5, −2, −1, 0, 2, 3, 4, 7} .

13. Zapisimo n + 2

n − 2 =

n − 2 + 4

n − 2 = 1 +

4

n − 2 te

je n ∈ {−2, 0, 1, 3, 4, 6} .

14. 1) x = 8 ; 2) x = 10 ; 3) x = 9 .

15. 1) x = 4 ; 2) x = −2 ; 3) x = −20 .

16. x = 3 .

17. x = 43 .

18. x = 11 .

19. x = 17 .

20.

5

8 ;

1

5 ;

7

13 ;

3

5 ;

15

26 .

100

25. Imamo 1

1 · 3 +

1

3 · 5 +

1

5 · 7 + . . . +

1

99 · 100 =

1

2

1− 1

3

+1

3− 1

5

+ . . .+

1

99− 1

101

=

1

2

1 − 1

101

=

50

101 .

26. 1) −2 ; 2) 1

2 ; 3) − 5

12 ; 4) 4 .

27. 1) 0; 2) − 6

5 ; 3)

7

5 ; 4)

2

3 ; 5)

4

5 .

28. 1) 25; 2) 14;

29. 1) 3; 2) 2; 3) 1

8 .

30. 1) 0; 2) 0; 3) 2

3 ; 4)

1

2 ; 5)

1

4 .

31. 1) 1 ; 2) 225

.

32. 1) x = 2.9 ; 2) x = 72 ; 3) x = 41

9 .

4) x = 4 ; 5) x = −3.1 ; 6) x = 0.34 ;7) x = 2.7 ; 8) x = 7 ; 9) x = 18 ;

10) x = 105

8 ; 11) x = 0 ; 12) x =

9

2 .

33. −73

.

34. 135 = 63 + 72 .

35. x : y = 35 : 33.

36. 90◦ .

37. 36◦ .

38. b = 36 cm.

39. 450, 750, 1200.

169

1 RJEˇ

SENJA ZADATAKA

R A K

40. a : b : c = 9 : 12 : 20 , dijelovi su redom 9k ,12k i 20k te iz 41k = 697 dobijemo k = 17 ia = 153, b = 204, c = 340 .

41. 500 metara i 900 metara.

42. 4.5 sati.

43. Za 1 sat.

44. 36.

45. Najmanji prirodni broj djeljiv sa 3, 4, 6 i 8 je broj24 (sljedeci je 48). Dakle, barem jedan zada-tak netocno je rijesio ukupno 21 ucenik pa je svezadatke rijesilo samo troje.

Rje ˇ senja 1.3

14. 4.04.

15. Omjer brojeva djevojcica i djecaka u tom razredu je 5 : 3 .

16. U mjesecima kada je hotel radio, prosjecan mje-secni broj gostiju bio je jednak

2 · 0.95 + 2 · 0.75 + 5 · 0.45

9 · 180 = 113.

17. Aritmeticka sredina je 53

120 . I sada je

5

12 =

50

120 <

53

120 <

7

15 =

56

120 .

18 5

< 121

< 61

< 31

< 63

< 127

< 8



O G

L E D N I P R

I M J Ej j

1. −11

15 , 5 , −444.

2. 10 <√

117 < 11 , −23 <√

515 < −22 ,

5 < 5π

3 < 6 , −9 < −√

77 < −8 , 2 7 <√

777 < 28 , −48 < −15π < −47 .

3. Poredani po velicini dani brojevi cine niz: 3.14 ,

π , 355113

, 227

, √ 9.9 .

4. Odgovor je neizvjestan, ne znaju se ostale zna-menke danog broja.

6. Pretpostavimo da je√

2 +√

3 = a , pri cemu je

a racionalan broj. Tada je√

3 = a −√ 2 . Kvad-

riramo ovu jednakost pa imamo a2 −2√

2a = 1 .

Dalje je √ 2 = a2

−1

2a . Kako je s lijeve straneove jednakosti iracionalan, a s desne racionalanbroj (Zasto?), ona je proturjecna. Dakle, pret-postavka je bila pogresna i zakljucujemo kako jedani broj iracionalan.

7. 2, 2.4, 2.8, 3.2, 3.6, 4.

8. Srednji je broj 14, najmanji je 7, a najveci 21.

9. Ako je m broj djecaka, a c broj djevojcica, tada

iz 55m + 47c

m + c= 49 slijedi c = 3m .

10. 30.

11. 6, 6.2, 6.4, 6.6, 6.8, 7, 7.2.

12. 25.5 · 11 − 20.5

10 = 26 godina.

13.

3.85

·30

−6

·5

24 = 3.5625.

18.6

<144

<72

<36

<72

<144

<9

.

19. 209425.

20. 11.4 kg.

21. 40 000.

22. U skoli je 600 ucenika, 330 djevojcica i 270 dje-caka.

23. 264, 220, 275 kg.

24. Ne, ne moze. Uz navedene uvjete umanjenje cebiti 18.55 %. Kad bi svake godine umanjenjebilo za 5 % u odnosu na pocetno stanje, onda biiznosilo 20 %.

25. Prve godine cijena je porasla za 4 % te je iz-nosila 1.04c , gdje je c cijena goriva prije po-skupljenja. Naredne godine doslo je do po-skupljenja za 5 % te je nova cijena jednaka

1.04c + 1.04c · 0.05 = 1.04c · 1.05 = 1.092c . Ikonacno, nakon novog poskupljenja za 8 % cije-na iznosi 1.092c + 1.092 ·0.08 = 1.092 ·1.08c =1.17936c . Ukupno poskupljenje dakle nije 17 %vec je gotovo 18 %.

27. 0.3 kg.

28. 5054 kn.

Rje ˇ senja 1.4

1. 1) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} ;

2) {18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144} ;

3) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97} ;

4) {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33} .

2. S I = − 1

√ 2, π

4

170

BROJEVI 1

R A K

3. S 1 = { x ∈ N : x < 1} = ∅;

S 10 = { x ∈ N : x < 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ;

S 1000 = { x ∈ N : x < 1000} = {1, 2, 3, . . . , 997,998, 999} .

4. X ∈{{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} .

5. A ∩ B = A , A ∪ B = B .

6. 1) B ⊆ A ; skup A sadrzi brojeve djeljive s 3, askup B brojeve djeljive sa 6;

2) A ∩ B = ∅ ; skup A sadrzi neparne brojeve, askup B parne.

7. 1) A je bilo koji skup koji sadrzi brojeve 1 i 2,ali ne i broj 3;

2) A je bilo koji skup koji ne sadrzi niti broj 1

18. X = {1, 2, 3} , X = {1, 2, 3, 4} , X = {1, 2, 3, 5} , X = {1, 2, 3, 4, 5} .



O G

L E D N I P R

I M J E) j j p j j

niti broj 2 niti broj 3;3) takav skup A ne postoji.

8. 1) B je skup koji sadrzi brojeve 4 i 5 (i mozda jos neki od brojeva 1, 2 ili 3);

2) B moze sadrzavati samo neke od brojeva 1 ,2 ili 3.

9. A={1, 2, 3, 8, 9} , B={3, 4, 8} , C ={5, 6, 7, 8, 9} .

10. A = {1, 2, 3, 4} , B = {3, 4, 6, 7} , C = {3, 4, 5} .11. A ∪ B={n : n = 2k − 1 ili n = 3k , k ∈ N} ;

A ∪ C = {n : n = 2k − 1 ili n = 4k , k ∈ N} ; B ∪ C = {n : n = 3k ili n = 4k , k ∈ N} ; A ∩ B = {n : n = 6k − 3, k ∈ N} ; A ∩ C = ∅ ; B ∩ C = {n : n = 12k , k ∈ N} .

12. 1) B ⊆ A ; 2) A = B ; 3) A ⊆ B i A ⊆ C ;4) B ⊆ A i C ⊆ A .

13. A ∪ B = { x ∈ N : 2 < x

17} ; A ∩ B = { x ∈ N : 7 x < 11} .

14. A ∪ B = { x ∈ Z : −12 < x 5} ;

A ∩ B = {−2} .

15. A ∪ B =

x ∈ Q : −1

2 x

1

2

;

A ∩ B = x ∈ Q : 0 < x 1

4 .

16. A ∪ B =

x ∈ Q : −4

9 x

7

9

= B ;

A ∩ B =

x ∈ Q : −3

8 < x

5

7

= A .

17. 1) x ∈ A∩ B =⇒ x ∈ A i x ∈ B ,p aje A∩ B ⊆ Ai A ∩ B ⊆ B ;

2) x ∈ A =⇒ x ∈ A∪ B , x ∈ B =⇒ x ∈ A∪ B ;

3) x

∈ A

∩ B =

⇒ x

∈ A i x

∈ B =

⇒ x

∈ A ∪ B .

171

2 RJEˇ

SENJA ZADATAKA

R A K

2. Potencije i algebarski izrazi

Rje ˇ senja 2.1

1. 1) 77 ; 2) (0.4)5 ; 3)2

3

4

; 4) (a − b)3 ;

5) (ab)6 .

2. Vrijedi opcenito:

13 + 23 + 33 + . . . + n3 =n(n + 1)

2

2

.

No malo je prerano za provjeru te tvrdnje, valja

7. 1) 212 ; 2) 318 ; 3) a9 ; 4) 49 ;

5)

1a

17

.

8. 1) 211 · 511 = 1011 , broj ima dvanaest znamenki;

2) 225 · 520 = 25 · 1020 = 32 · 1020 , broj imadvadeset dvije znamenke;

3) 210 · 510 · 1015 = 1010 · 1015 = 1025 , broj imadvadeset sest znamenki.

9. 27 · 212 · 512 = 128 · 1012, n = 19 .



O G

L E D N I P R

I M J Ej p p j j j

pricekati do cetvrtog razreda.

3. 1) n = {4, 5} ; 2) n = {3, 4, 5} ; 3) n ={4, 5} .

4. 1) n = 6 ; 2) n = 4 .

5. 4, 3, 6, 5 redom.

6. 1) (−10)6 ; 2) 77 ; 3) (−1)11 ; 4) (−3)5 .

9. 2)

≈ 748 619 945 363 806 kg.

10. 210 ; 2n .

Rjesenje magicnog kvadrata sa 48. stranice:

Rje ˇ senja 2.2

1. 1) 3 x 3 ; 2) −2a4 ; 3) 36 ; 4) −219 ;5) 511 ; 6) 4a9 ; 7) −10n6 ; 8) 0 .

2. 1) 33 ; 2) −54 ; 3) −24 ; 4) 0 ;5)

−2a2n−1 .

3. 1) 312 ; 2) 510 ; 3) 109 ; 4) 29 ;5) (0.7)5 .

4. 1) 12a5b3 ; 2) −3

2 x 5 y4 ; 3) −3

2 x 8 y7 ;

4) 1

6a5b5 ; 5) − 2

15a4b6 ; 6) −2

5a3b2c5 .

5. 1) 212 ; 2) 318 ; 3) 513 ; 4) 1015 .

6. 1) 38

; 2) (−2)15

; 3) 1020

.

10. m · n = 55 · 66 = 306 = 36 · 106 = 729 · 106 .Broj ima devet znamenki.

11. m · n = 45 · 58 = 210 · 58 = 22 · 28 · 58 = 4 · 108 .U zapisu broja m · n je osam nula.

12. 210 · 515 = 3125 · 1010 ; broj ima 14 znamenki.

811 · 2516 = 2 · 1032 ; broj zavrsva s 32 nule.

13. a

·b = 15

·1511 , posljednja znamenka je 5.

14. 2.

15. 1) n = 10 ; 2) n = 3 ; 3) n = 7 .

16. 1) 311−310 = 3 ·310−310 = (3−1)·310 = 2 ·310 ;

2) 44 + 44 + 44 + 44 = 4 · 44 = 45 ;

3) 1010 − 108

108 − 107

10 · 109 − 109

10 · 107 − 107

(10 − 1) · 109

(10 − 1) · 107 =

109

107 = 109−7 = 102 = 100.

17. 1) n = 5 ; 2) n = 15 ; 3) n = 5 .

18. 1) 312 ; 2) 84 = 212 ; 3) 1012 ; 4) a3n+3 ;

5) a4n+4 ; 6) an2−1 .

19. 1) 312 · 312 = 324 ; 2) 215 · 29 = 224 ;3) 105n+4 ; 4) 44n = 28n .

20. 1) (24

·26

·26)5 = (216)5 = 280 ;

2) (28 · 26 · 212)3 = (226)3 = 278 .

21. 1) (36 · 34 · 36)4 = 364 ;

2) (36 · 3 · 36)3 = (313)3 = 339 .

22. 1) a9b9 ; 2) a12b12 ; 3) a30b32 ; 4) a20b20 .

23. 1) 411 = 222 , 166 = 224 , dakle 411 < 166 ;2) 278 = 324 , 912 = 324 , te je 278 = 912 ;

3) 12515 = 545 , 2525 = 550 , dakle 12515 <

2525 .

172

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI 2

R A K

24. 1) 212 − 2 · 212 + 3 · 212 = 2 · 212 = 213 ;

2) −36 + 5 · 36 − 36 = 3 · 36 = 37 ;

3) 36 − 36 − 36 + 36 = 0 ;

4) −512 − 512 + 512 + 512 = 0 ;

5) −26 + 26 + 26 − 26 = 0 ;

6) −312

− 312

+ 312

+ 312

= 0 .

25. 1) 3 · 26 + 5 · 26 = 8 · 26 = 29 ;

2) 11 · 212 + 5 · 212 = 16 · 212 = 216 ;

3) 3 · 212 + 5 · 212 = 8 · 212 = 215 ;

4) 213 + 213 = 2 · 213 = 214 ;

5) 5 · 212 + 6 · 212 + 5 · 212 = 16 · 212 = 216 ;

6) 214 .

35. 1) 99

273 · 36 =

318

39 · 36 = 33 = 27 ;

2) 25 = 32 ; 3) 1

5 .

36. 1) 315 + 312

316

+ 314

+ 312

= 28 · 312

91·

312 =

4

13 ;

2) 228 − 224

230 + 227 + 224 =

15 · 224

73 · 224 =

15

73 ;

3) 58 − 56

25 · 56 − 5 · 56 + 56 =

24 · 56

21 · 56 =

8

7 .

37. 1) 15

16 ; 2) 1 600 ; 3) −1 0 0 0 ; 4) − 2

25 ;

5) 2 ; 6) 10 .

15 2 5



O G

L E D N I P R

I M J E26. 1) 37 + 2 · 37 = 3 · 37 = 38 ;

2) 2 · 310 + 310 = 3 · 310 = 311 ;

3) 5 · 310 + 4 · 310 = 9 · 310 = 312 ;

4) 39 + 2 · 39 = 3 · 39 = 310 ;

5) 2 · 312 + 5 · 312 + 2 · 312 = 9 · 312 = 314 .

27. Iz ab2 = 5 slijedi a2b4 = 25. Tako je onda

a2b5 = a2b4 · b = 25 · b = 15 , odakle slijedi

b = 3

5 . Zatim nalazimo a = 125

9 .

28. Dijeljenjem dviju jednakosti dobijemo xy = 5

8 .

Sada prvu jednakost zapisemo u obliku xy · xy2 =

80 i imamo 5

8 xy2 = 80 odakle slijedi xy2 =

128.

29. Imamo redom: 22m−2 · 32m+2 = 9

4 · 62m = a2 .

Pomnozimo jednakost sa 6 i zatim izracunamo:

62m+1 = 8a2

3 .

30. Zadanu jednakost kvadriramo i pomnozimos 4

9 .

Dobijemo 4m+1 · 9n−1 = 4

9a2 .

31. m = 0, n = −1 .

32. x 2 + y2 = 102n+2 . Taj broj ima 2n+3 znamenke.

33. 1) 33 ; 2) 55 ; 3) 6 .

34. 1) 3

2 x 2 y ; 2) −11

2 x 3 y2 ; 3)

1

2a3b3 ;

4) 1

32a3b3 ; 5)

− 1

10ab3 .

38. 1)

34

; 2) 0.64 ; 3) − 6 .

39. 1) 1

4 ; 2)

4

3 ; 3)

5

9 ; 4) 1 ; 5) 7 ;

6) 11

16 .

40. 1) 1 ; 2) 25 ; 3) 214 ; 4) 1 ; 5) 63 ;

6) 5

4 .

41. 1) a

3b4 ; 2) 4 x ; 3)

1

8a3b3 ; 4) − b

2a2 .

42. 1) 52n : 52n−1 = 5 ; 2) 32n+1 : 32n = 3 ;

3) 22n−2 : 2−3n−2 = 25n ;

4) 36n+3 : 3−2+6n = 35 ;

5) (24n−4 : 2−6n+6) : 210n−6=210n−10 : 210n−6= 1

16 .

43. 1) −105 = (−10)5 < −10−

5 = (−10)−

5 <10−5 < 105 ;

2) (−0.1)−5 < −0.15 = (−0.1)5 < 0.15 <0.1−5 .

44. 1) 308020.111; 2) 12030.01 .

Rje ˇ senja 2.3

1. 1) 5 · 109

; 2) 5 · 105

; 3) 5 · 10−5

;4) 5 · 10−9 .

2. 1) 1.1 · 10−3 ; 2) 1.1 · 109 ; 3) 1.1 · 1010 ;4) 1.1 · 10−8 .

4. 1) 108 + 107 = 108 + 0.1 · 108 = 1.1 · 108 ;

2) 44 · 10−4 · 115 · 10−5 = 44 · 115 · 10−9 =5060 · 10−9 = 5.06 · 10−6 ;

3) 3

·109

50 =

3

50 ·109 = 0.06

·109 = 6

·107 ;

173

2 RJEˇ

SENJA ZADATAKA

R A K

4) 1.3 · 108

5.3 · 105 =

1.3

5.3 · 103 = 245.

5. 1) a − b = 8.54 · 108 , a · b = 7.8 · 1014 .

6. 1) b − a = 5.75 · 10−3 , b3 = 216 · 10−9 =2.16 · 10−7 .

7. 1) a · b = 2.97 · 10−3 , a : b = 6.8 · 10−15 .

8. 1) n = 2.5 ; 2) n = 14 ; 3) n = 15 .

9. 1) 4.24 sati; 2) 1.53 · 104 sekundi.

10. 1.25 · 107 .

11. U jednom je kilogramu 2 · 106 = 2 000 000 zrnamaka.

12. t = 10 tjedana = 70 dana = 70 24 3600 =

5. 1) 2a + 2ab ; 2) 2a2 + 2bc − 2c2 ;

3) −2 xy + 6 xz ; 4) −8 xy ; 5) 4bc ;

6) −8ab − 12b2 + 4bc .

6. −3ab .

7. 4ab2 .

8. 2a2b2 .

9. Zbrojimo li dvije jednakosti, dobit cemo:4(a+b+c+d ) = 20 te je a+b+c+d = 5 .

10. Pomnozi jednakost 13 x − 52 y = 1 s 11

13 .

12. Kako je (2 x y)( x 2 y) = 2 x 2 5 xy + 2 y2 = 4 ,



O G

L E D N I P R

I M J E· ·6 048 000 sekundi. Za to vrijeme kosa naraste

oko 3 cm.

13. 130 000 000

365 · 24 · 60 = 247.33637747 .

14. 1) 445 200 ; 2) 4452000m.

15. 4.452 · 109 .

17. 96 · 106 h .

18. 9.461 · 1015

metara.19. Udaljenost je jednaka 4.3 · 5.9 · 1012 · 1.609 =

40.82 · 1012 = 4.082 · 1013 km.

20. 4.325 · 1019 .

22. Obujam vode izraz e n u m3 iznosi 3.7 ·103 ·3.6 ·1014 m3 = 1.332 · 1018 m3 . Kako je 1 m3 =103 dm3 , a 1 L = 1 dm3 , onda je obujam jednak

1.332

·1021 litara.

23. 18 milijardi maraka.

25. 1) 52 godine · 365 dana · 20 cigareta = 379600cigareta.

2) t = 5 god.

379 600 cig. ≈ 1.32 ·10−5 god. ≈ 7 min.

26. P = 2100 · 106

140 m2 = 1.5 · 107 m2 = 15 km2 .

27. 1.14 · 105 km = 114 000 km .

28. 26000.

Rje ˇ senja 2.4

3. 1) −6b2 ; 2) x 2 + y2 ; 3) a2b − ab2 .

4. 1) −3 x 2 −3 y2 ; 2) − x 2 − y2 ; 3) −2 x −2 xy ;4) 8ab

− 12b2 ; 5) 18 x 2

− 14 xy

− 30 y2 ;

6) 2 x 2

y2

− 2 .

− − −onda je −4 x 2 + 10 xy − 8 y2 = −8 .

13. Iz (3 x + 2)(2 x − 3) = 11 slijedi 6 x 2 − 5 x = 17te je ( x − 1)(6 x + 1) = 16 .

14. 3.5.

15. Dani je izraz jednak 10n , a taj broj djeljiv je s 10za svaki prirodni broj n .

16. Nakon mnozenja i sre -divanja danog izraza dobit

cemo 5n2 − 5n − 20 = 5(n2 − n − 4) . Taj je brojocito djeljiv s 5. Primijeti da je broj u zagradiuvijek paran.

17. Nakon mnozenja i sre -divanja danog izraza dobit

cemo 11n2 − 11n + 11 = 11(n2 − n + 1) .

18. Oznacimo x = 123456789 . Onda je zada-tak izracunati ( x − 2)( x − 1) − x ( x − 3) = x 2

−3 x + 2

− x 2 + 3 x = 2 .

19. 1) 9a2 + 12ab + 4b2 ; 2) 16a2 + 40a + 25 ;3) 49a2 + 42ab + 9b2 ; 4) 25a2 + 60a + 36 ;5) 4a2 − 4a + 1 ; 6) 16a2 − 24ab + 9b2 ;7) 100a2 − 20ab + b2 ; 8) 36a2 − 60a + 25 ;9) 121a2 + 22a + 1 ; 10) 64a2 + 48a + 9 .

20. 1) 1

4a2 + ab + b2 ; 2)

1

4a2 − a + 1 ;

3)

1

4 a2

− 2

3 a +

4

9 ; 4)

4

9 a2

+ ab +

9

16 b2

;

5) 9

16a2 +

1

4a +

1

36 ; 6)

1

4a2b2 − abc + c2 ;

7) 1

100a2 − 1

5a + 1 ; 8)

16

25a2 +

4

3ab +

25

36b2 ;

9) 9

64a2 +

1

8ab +

1

36b2 ;

10) 64

225a2

− 4

9ab +

25

144b2 .

174


R A K

21. 1) 1

4 x 4−2

3 x 2 y2+

4

9 y4 ; 2) 25 x 4 y4+

5

2 x 2 y2+

1

16 ;

3) 1

36 x 2 − 1

9 xy2 z3 +

1

9 y4 z6 ;

4) 4

9a6 + a3b4c +

9

16b8c2 ;

5) 0.01 + 0.2a2b2 + a4b4 ;

6) a4b2 − 2a3b3 + a2b4 ;

7) 0.04 x 4 + 0.12 x 2 y3 + 0.09 y6 ;

8) 0.25a6 − a3 + 1 ;

9) 4

9 x 4 − 8 x 2 yz3 + 36 y2 z6 ;

10) 1

16a6 − a3 + 4 .

39. 527.

40. a2 + 1

a2 =

a − 1

a

2

+ 2 = 11 .

41. 1) (2 x + 1)2 ; 2) ( x

−3)2 ; 3)

1

2a

−b

2

;

4)

a + 3

2

2

; 5)

2 x + 1

4

2

;

6)2

3a2 − 3

4b22

; 7) (a2b2 − 4)2 ;

8) (3ab2 − 4c3)2 .

43. 1) m = 9 ; 2) m = 5 ili m = −5 ;

3) m = 25

16 .



O G

L E D N I P R

I M J E22. Obje ove jednakosti izricu cinjenicu da su kvad-

rati suprotnih brojeva jednaki.

23. (−2 x +1)2 = (2 x −1)2 = 3. Ondaje (4 x −2)2 =(2(2 x − 1))2 = 4 · 3 = 12 .

24. Iz (−3 x + 6)2 = 9 · ( x − 2)2 = 9 slijedi

( x − 2)2 = 1 .

26. 49.

27. 6.

28. a(a − 2) + b(b − 2) + 2ab = (a + b)2 − 2(a + b)= −1 .

29. a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab = 9 + 2 = 11 .

30. ab = 54 .

31. a2 + b2 = 13

2 .

32. Iz x 2

+ xy + y2

= ( x + y)2

− xy = 7 slije-di xy = −3 . Zatim izracunamo x 2 + y2 =( x + y)2 − 2 xy = 10 .

33. Iz x 2 − xy + y2 = ( x − y)2 + xy = 25 + xy slijedi25 + xy = 7 odnosno xy = −18 .

34. Vrijedi a4 − 2a3 + a2 = (a2 − a)2 , a kako je

a2 − a = 1 , odgovor je 1.

35. 1) (4a

− 2)4 = 16(2a

− 1)4 = k

· (2a

− 1)4 ,

slijedi k = 16; 2) (6a − 3)3 = 27(2a − 1)3 =−k · (2a − 1)3 te je k = −27 .

36. (ka + kb)2 = k 2a2 + 2 · ka · kb + k 2b2 =k 2 · (a2 + 2ab + b2) = k 2 · (a + b)2 .

37. x 2 + y2 = ( x + y)2 − 2 xy = 31

25 .

38. x 2 + 1

x 2

= x + 1

x

2

−2 = 4

−2 = 2 .

44. 1) 144; 2) 10 000; 3) 900; 4) 100.

45. a = ±2 .

46. m = ±4 .

47. Zapisimo x 2 − 2 x + 3 = ( x − 1)2 + 2 . Ocito,ovaj izraz prima najmanju vrijednost za x = 1 iona iznosi 2.

48. Zapiˇsimo 1− x − x

2

= −[( x +

1

2 )2

−5

4 ] . Najvecu

vrijednost izraz 5

4 prima za x = −1

2 .

49. Jednadzbu zapisimo u obliku (2 x − 1)2 + ( y +

1)2 = 0. Slijedi x = 1

2 , y = −1 .

50. Kao u prethodnom zadatku, iz ( x + 2 y)2 + ( x −1)2 = 0 slijedi x = 1 , y = −

1

2 .

51. 1) (n + 7)2−n2 = 7(2n + 7) ; broj je djeljiv sa 7;

2) (n + 2)2 − (n − 2)2 = 8n ; broj je djeljiv s 8.

52. (5k + 1)2 + (5m + 2) = 5(5k 2 + 5m2 + 2k +4m + 1) ; broj je djeljiv s 5.

54. 1) 2a ; 2) 18a3 − 64ab2 + 54b3 ;

3) 2 ; 4) −8 x 2

+ 32 .

56. 1) a2 + b2 + c2 + 2ab − 2ac − 2bc ;

3) 4a2 + 9b2 + c2 − 12ab + 4ac − 6bc ;

4) a2 + 4b2 + 9c2 − 4ab − 6ac + 12bc ;

5) a2b2 + b2c2 + c2a2 − 2ab2c − 2a2bc + 2abc2 ;

6) 4a2b2 + b2 + 9b2c2 − 4ab2 + 12ab2c − 6b2c .

57. 1) 64a3 + 48a2 + 12a + 1 ;

2) a3 − 18a2 + 108a − 216;

175

2 RJEˇ

SENJA ZADATAKA

R A K

3) a3b3 + 15a2b2 + 75ab + 125 ;

4) 27a3 − 135a2b + 225ab2 − 125b3 ;

5) 8a6 − 2a4 + 1

6a2 − 1

216 ;

6) 8a3b3 − 36a2b2cd + 54abc2d 2 − 27c3d 3 .

58. 1) 127

c6 − 16

c4d 2 + 14

c2d 4 − 18

d 6 ;

2) 27a6b3 − 108a4b2c3 + 144a2bc6 − 64c9 ;

3) 8

27a6b6 − 2a4b4c4 +

9

2a2b2c8 − 27

8 c12 ;

4) 8m − 3 · 12m + 3 · 18m − 27m ;

5) 8n + 3 · 22n+m + 3 · 2n+2m + 8m ;

6) (4 · 2n−1 − 2n−1)3 = (3 · 2n−1)3 = 27 · 8n−1 .

63 1) 108 b 144 2) 8 b 1

5)4

9a2b2 − 1

4

9a2b2 + 1

=2

3ab − 1

2

3ab + 1

4

9a2b2 + 1

;

6) (8a4 − 1)(8a4 + 1) ;

7) (0.1 x

−1.2 y2)(0.1 x + 1.2 y2) ;

8)

34

xy2 − 15

z3

34

xy2 + 15

z3

;

9)

1.5a2b2 − 1

20

1.5a2b2 +

1

20

;

10)2

3a4 − 5

8b4c6

2

3a4 +

5

8b4c6

.

9. 1) 30; 2) 10 200; 3) 784; 4) 0.98.

10. 1) 59; 2) 213

4

; 3) 11

16

; 4) 9

5

.



O G

L E D N I P R

I M J E63. 1) a = −108, b = 144; 2) a = 8 , b = 1 ;

3) a = 125, b = 60 ; 4) a = ±12 , b = ∓64 .

64. 1) (a + 2)3 ; 2) (3a − 1)3 ; 3) (a − 7)3 ;

4) (5a + 3b)3 ; 5) (a2b2 − 4)3 ;

6) (3a2b + 2c3)3 ; 7)

3a − 1

6

3

;

8) 1

2ab − 1

3cd

3

.

65. 1) (3m + 2m)3 ; 2) (2n − 2m)3 .

Rje ˇ senja 2.5

2. 1) 4a2b2 − 9 ; 2) 169 x 2 − 144 y2 z2 ;

3) 25 − a2b2c2 ; 4) a4 − 100;

5) 1

4a2 − 9

16b2c2 ; 6)

4

9a2b2 − 9

16b2c2 ;

7) 0.04a2 − 1

49b2c2 ; 8) 0.01a2b4 − 9

25c6 ;

3. −4 .

4. −7 .

5. 143.

6. 1) 12; 2) 60.

7. 1) a2

−(b + c)2 = a2

−b2

−c2

−2bc ;

2) a2 − (b − c)2 = a2 − b2 − c2 + 2bc ;3) (a − b)2 − c2 = a2 + b2 − c2 − 2ab ;

4) (a − c)2 − b2 = a2 + c2 − b2 − 2ac ;

5) 4a2 − (b − 3c)2 = 4a2 − b2 − 9c2 + 6bc ;

6) a4 − (2b − c3)2 = a4 − 4b2 − c6 + 4bc3 ;

7) 25a2−(3b2+4c3)2 = 25a2−9b4−16c6−24b2c3 ;

8) (3a2−3b2)2−9c4 = 9a4+9b4−9c4−18a2b2 .

8. 1) (3−ab)(3 + ab) ; 2) (6ab−11)(6ab + 11) ;

3) (a−9b2

)(a+9b2

) ; 4) (8a2

−b3

)(8a2

+b3

) ;

4 16 511. 1) (a − b − c)(a − b + c) ;

2) (a − b + c)(a + b − c) ;3) (a + b − c + d )(a + b + c − d ) ;

4) (3a2 − 6b − 4c)(3a2 − 6b + 4c) ;

5) (5a − 4b2 + 12c)(5a + 4b2 − 12c) ;

6)

3

4a2 − b +

1

2c2

3

4a2 + b − 1

2c2

.

12. 1) (4a2 − 1)2 = 16a4 − 8a2 + 1 ;2) (a2 − 4)2 = a4 − 8a2 + 16 ;

3) (a2−1)2(a2 +1)2 = (a4 −1)2 = a8−2a4 +1 ;

4) ((a2 + 1)2 − a2)2 = (a4 + a2 + 1)2

= a8 + 2a6 + 3a4 + 2a2 + 1 ;5) (4a4 − (2a + 1)2)2 = 16a8 − 32a6 − 32a5

+ 8a4 + 32a3 + 24a2 + 8a + 1 .

13. 1) (a2

−b2)3 = a6

−3a4b2 + 3a2b4

−b6 ;

2) (a8 − 1)3 = a24 − 3a16 + 3a8 − 1 .

14. 1) (3a + 2b)(9a2 − 6ab + 4b2) ;

2) (1 − 4a)(1 + 4a + 16a2) ;

3) (2ab + 1)(4a2b2 − 2ab + 1) ;

4) (5a − 4b2)(25a2 + 20ab2 + 16b4) ;

5)

1

3a4 +

4

51

9a8 − 4

15a4 +

16

25;

6)

23

a2b3 − 15

c4

49

a4b6 + 215

a2b3c4 + 125

c8

.

16. 1) 8a3+125b3 ; 2) 27a3−1 ; 3) 64a3+343b3 ;

4) a6 + 27b9 ; 5) 125a3b3 + 1

8 ; 6)

1

8 x 6 − 1 .

18. (n + 1)2 − n2 = 2n + 1 .

19. Tvrdi se da je umnozak 2n

·(2n+2) = 4n(n+1) ,

djeljiv s 8. Oˇcito je da je djeljiv sa 4, a kako je

176


R A K

jedan od faktora n i n + 1 paran, jer su to dvauzastopna prirodna broja, umnozak je djeljiv s 8.

20. Zapisimo: n2 · (n2 − 1) = (n − 1) · n2 · (n + 1) .

Ako je n paran broj, onda je n2 djeljiv sa 4, a jedan od triju uzastopnih brojeva u umnosku si-gurno je djeljiv s 3. Ako je n neparan broj, onda

su parni prvi i treci faktor umnoska.

21. (2n + 3)2 − (2n + 1)2 = 8(n + 1) .

22. Ako je broj djeljiv s 3, onda je i njegov kvadratdjeljivs 3. Ako nije djeljiv s 3,onda je oblika n =3k ±1 , p a j e n2 = 9k 2±6k +1 = 3k (3k ±2)+1 .

23. (n − 1)2 + n2 + (n + 1)2 = 3n2 + 2 .

24. n(n + 1) + (n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 .

5) 6a2b2c2(5ab + 3b2c + 1) ;

6) 9a2b3(3bc − 4ab − 7c2) .

4. 1) (a+2b)2 ; 2) (2a−3b)2 ; 3) (a2 +4b2)2 ;

4) (b2 + 5c)2 .

5. 1) 2a(a2

− 6a + 9) = 2a(a − 3)2

;2) x 2 y2( x 2 − 4 xy + 4 y2) = x 2 y2( x − 2 y)2 ;

3) 4ab(4a2 + 12ab + 9b2) = 4ab(2a + 3b)2 ;

4) −3ab(4a2 − 4a + 1) = −3ab(2a − 1)2 ;

5) −2a3(a2 + 2a + 1) = −2a3(a + 1)2 ;

6) 2a(4(a − 1)2 + 12(a − 1) + 9)= 2a(2(a − 1) + 3)2 = 2a(2a + 1)2 ;

7) 3a[(

a2

+ 1

)

2 8(

a2

+ 1

) + 9

]3 ( 2 1 4)2 3 ( 2 3)2



O G

L E D N I P R

I M J E25. (n − 1) · n · (n + 1) + n = n3 − n + n = n3 .

26. (2n+1)2−1=(2n+1−1)(2n+1+1)=4n(n+1) .

27. (3(2n − 1))2 − (3(2m − 1))2 = 36(n − m)(n +m − 1) . Jedan je faktor ovog umnoska djeljiv s36, a od ostalih dvaju jedan je paran. Stoga je tajumnozak djeljiv sa 72.

28. n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n2+3n)(n2+3n + 2)

+1 = (n2+3n)2+2(n2+3n)+1 = (n2+3n+1)2 .

29. (6n − 7 − 4n + 3)(6n − 7 + 4n − 3) = (2n −4)(10n − 10) = 20(n − 1)(n − 2) .

30. Kad dani broj, koji je zapisan u obliku razlikekvadrata zapisemo u obliku 111(n − 1)(n + 1) ,uocit cemo da je ondjeljiv sa 888. Da je djeljiv sa111 ocito je, a dva preostala faktora, jer je n ne-paran, parni su brojevi, pri cemu je jedan djeljiv

sa 4.31. Uputa: x 2 − y2 = ( x − y)( x + y) = 1 · 3 · 5 · 7 .

32. Razmotri sve mogucnosti za n : n = 3k , n =3k + 1 , n = 3k + 2 .

33. (2k − 1)3 − (2k − 1) = 2k · (2k − 1)(2k − 2) .Od triju uzastopnih prirodnih brojeva jedan je si-gurno djeljiv s 3, dva su parna od kojih je jedandjeljiv sa 4.

34. (n − 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n(n2 + 2) .

Rje ˇ senja 2.6

1. 1) 2ab(a + 2b) ; 2) 3a2b(a2 + 5b) ;

2. 2) 7a2b(a + 2b − 3) ;

3) 5ab2c(2a2 − 3ab + 5bc2) ;

4) 11a3

bc2

(3ab2

− 4ac2

+ 5bc2

) ;

[( + ) − ( + ) + ]= 3a(a2 + 1 − 4)2 = 3a(a2 − 3)2 ;

8) ( x + y − 1)2 + 2( x + y − 1) + 1

= (( x + y − 1) + 1)2 = ( x + y)2 .

7. 1) 5(2a − 1)(a + 1) ; 3) 3(a + b)(b + c − 1) ;4) 2(a + c)(a − 3b) ; 5) 3(b + c)(a − b + 1) ;6) 4(a − 1)(a + 2) .

8. 1) 3(ab

−1)(a + b) ; 2)

−6(b2

−2) ;

3) 6a(a − b)2 ; 4) (b − c)(a − b + 1) ;

5) 2(1 + abc)(b + c) ; 6) 0 ;

7) (a − b + 1)(a + b − 1) ; 8) (a + b − 1)2 .

11. 1) (2a + b)(b + 2) ; 2) (3a + 2)(2b + 3) ;

3) (4a + 3)(b + 5) ; 4) (3ab + 2)(a + 2b) ;

5) ( x − 3)( x 2 − 3) ; 6) (a − b)(a2 − 2b2) ;

7) (2a + b)(2a

−c) ; 8) (2a

−3b)(3a2b

−2) ;

9) (2a2 − b)(3a + 4b2) ; 10) ( x − 2)( x 2 + 1) .

12. 1) (a2 − 2b)(a − ab + b) ;

2) (2a + 3b)(a2 − a2b2 + b2) .

13. 1) (2a − 1)(a − 2)2 ; 2) (a − 2)(a + 1)2 ;

3) (a + 3)(3a − 1)2 ; 4) (3a − 2)(2a + 3)2 ;

5) −(a + 1)(a + 2)2 .

14. 1) (a − b)2(a + b)2 ; 2) (a − 1)2(a + 1)2 ;3) (a + 3b)2(a2 + 6ab − 9b2) ;

4) (a−2b)2(a+2b)2 ; 5) −(a−2b)2(a+2b)2 ;

6) −(2a − 3b)2(2a + 3b)2 ;7) −7( x +2 y)(13 x −4 y) ; 8) 7( x + y)( x −11 y) ;9) −7 y(24 x + y) ;

10) (2a2 − 35ab + 5b2)(2a2 + 15ab − 5b2) .

15. 1) (a − b)(a + b)(b − 1) ;

2) ( x − 1)( x + 1)( x + y − 1) ;

177

2 RJEˇ

SENJA ZADATAKA

R A K

3) 4(a − 1)(a + 1)( x − 1) ;4) (b − 1)(b + 1)(3a − 2)(3a + 2) ;5) (a−2b)(a+2b)(1−3b)(1+3b) ;6) (a − 1)(a − b + 1) ; 7) ( x + 1)( x − y − 1) ;

8) a(a−1)(b−1)(b+1) ; 9) (b−1)(a2−b−1) ;10) (2a − b − 1)(2a + b − 1) .

16. 1) (a − b)2 − c2 = (a − b − c)(a − b + c) ;2) (a − 5)2 − b2 = (a − b − 5)(a + b − 5) ;3) (b − 3c + 3)(b + 3c + 3) ;4) (1 − x − 4 y)(1 + x + 4 y) ;5) (3a − 4 x − 5 y)(3a − 4 x + 5 y) ;6) (5 − a + 2b)(5 + a − 2b) ;

7) (a + c)2 − (b − d )2

= (a + c − b + d )(a + c + b − d ) ;

8) (a c)2 (b + d )2

= (a c b d)(a c + b + d) ;

Rje ˇ senja 2.7

1. 1) a + 2

2 ; 2)

a + 2

a; 3)

a + 2

2a;

4) 2a − 3

2a; 5)

2a

2a + 3 ; 6) − 2a + 3

2a.

2. 1) a

b; 2)

ab

a − b; 3) −a − b ; 4)

1

ab.

3. 1) a − b

a + b; 2)

a − b

a + b; 3)

a2 − ab + b2

a − b;

4) a + b

a2 + ab + b2 ; 5) (a − b)2 ; 6) a2 + b2.

4. 1) x − 1

2x

; 2) a + 2

a 2

; 3) 2a − 1

2a + 1

;

2 3 3 4 5 3



O G

L E D N I P R

I M J E− −= (a − c − b − d )(a − c + b + d ) ;

9) (a − 2)2 − (b − c)2

= (a − b + c − 2)(a + b − c − 2) ;

10) (ab − 1)2 − (a + b)2

= (ab − a − b − 1)(ab + a + b − 1) .

17. 1) 4b2(a2 − 1) − (a2 − 1) = (a2 − 1)(4b2 − 1)= (a − 1)(a + 1)(2b − 1)(2b + 1) ;

2) a2(b2 − 4) − 4(b2 − 4) = (a2 − 4)(b2 − 4)

= (a − 2)(a + 2)(b − 2)(b + 2) ;3) ( x 2 − 1)( x 2 + 1) − 2 x ( x 2 − 1)= ( x 2 − 1)( x 2 − 2 x + 1) = ( x − 1)3( x + 1) ;

4) (4 x 2 − 1)(4 x 2 + 1) − 4 x (4 x 2 − 1)= (2 x − 1)3(2 x + 1) ;

5) ( x 2 − 1)2 − 2 x ( x 2 − 1)= ( x − 1)( x + 1)( x 2 − 2 x − 1) ;

6) ( x 2 − 4)2 − 3 x ( x 2 − 4)= ( x

−2)( x + 2)( x + 1)( x

−4) ;

7) (a + 1)4 − (a2 − 1)2 = 4a(a + 1)2 ;8) ( x 2 − 2 x )2 + 2( x 2 − 2 x ) + 1 = ( x 2 − 2 x + 1)2

= ( x − 1)4 .

18. 1) (ab − a + b − 1)(ab + a − b − 1)= (a − 1)(a + 1)(b − 1)(b + 1) ;

2) (2a − 1)(2a + 1)(b − 2)(b + 2) ;

3) ( x + y)2( x − y − 1)( x − y + 1) ;

4) ( x

− y)2( x + y

−1)( x + y + 1) .

21. 1) ( x − 1)( x 2 + x + 1) ; 2) ( x + 1)( x 2 − x + 1) ;

3) ( x 3 − 1)( x 3 + 1)= ( x − 1)( x + 1)( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1) ;

4) ( x 2 + 1)( x 4 − x 2 + 1) ;

5) ( x − 1)( x 2 + x + 1)( x 6 + x 3 + 1) ;

6) ( x + 1)( x 2 − x + 1)( x 6 − x 3 + 1) ;

7) ( x − 1)( x + 1)( x 2 + 1)( x 2 + x + 1)( x 2 − x

+ 1)( x 4

− x 2 + 1) ;

8) ( x 4 + 1)( x 8 − x 4 + 1) .

2 x a − 2 2a + 14)

2a + 3

2a − 3 ; 5)

3 − 4a

3 + 4a; 6)

5a − 3

5a + 3.

5. 1) (a − b)2

b(a − b) =

a − b

b=

a

b− 1 = −2

3 ;

2) 7

6 ; 3) − 1

31 .

6. Iz x

−2 y

2 x + y = 3 slijedi y

= − x te je

x +3 y

3 x − y = −1

2 .

7. Iz a : b : c = 6 : 4 : 3 slijedi a = 6k , b = 4k ,c = 3k , pa je vrijednost razlomka jednaka −13 .

8. Zadanu jednakost zapisimo u obliku x

y− y

x =

y − x , odnosno x 2 − y2

xy= y − x . Slijedi

x + y

xy = −1 , odnosno

1

x +

1

y = −1 .

9. 1) 15

x ; 2) 2 ; 3) 1 ; 4) 0 ; 5) a + b ;

6) a + b.

10. 1) x + y − 1

xy; 2)

y − x

x 2 y2 ; 3)

x 3 − y3 − 1

x 2 y2 ;

4) 3 x + 1

6 x .

11. 1) a2 − c2

(a2 − b2)(b2 − c2 ; 2) − ( x − y)2

xy;

3) − x 2 + y2

x 2 y2 ; 4)

a − b

a2b2 ; 5)

1

3 ; 6)

a + 2

2a.

12. 1) − x + y

xy; 2)

a − 2

2a; 3) 0 ; 4) − 1

6 ;

5)

−1

2.

178


R A K

13. 1) 2

3 ; 2)

3a − 2

6 ; 3) −2a + b

ab;

4) 2b − 3a

ab; 5)

a − 5

5a; 6) − 1

6a.

14. 1) 1

2a; 2)

1

6a; 3)

1

a(a + 2) ; 4) −a − 2

2a;

5) − 3

2a(a + 2) ; 6) 4

a2 − b2 .

15. 1) 4 x − 3

2 x ( x − 1) ; 2)

a − 4b

a(a + 4b) ; 3) −2a − 3

3a;

4) − y − 6

6 y; 5)

2 − a

a(a + 2) .

16. 1)

−2

x

; 2)

−5 x − 1

6

; 3)

−2

a

;

1 6

26. 1) 2(a − 2)

a + 2 ; 2) 2a − 1 ; 3)

2 − a

4(a + 1) ;

4) − a

(a − 2)2 ; 5)

2a − 3

2a + 3 ; 6)

1

2a;

7) x − 1

2 x + 1 ; 8)

9

4(1

−3 x )

; 9) − 2a + 1

2 ;

10) −2(a − 2) .

27. 1) a

a + 3 ; 2)

2a + 1

a − 1 ; 3)

(a − 1)(a − 2)

a + 1 ;

4) − a+2

a; 5)

a−b

a+b; 6)

a+b

4 ; 7)

a−b

4 .

28. 1) 8 − 4a

(a − 1)2 ; 2) a2 ; 3)

x ( x − 3)

6 − x ;

4) 1

(a b)(3a2 b2) ; 5) 4( x

−3)

5



O G

L E D N I P R

I M J E x 6 a

4) 1

2 x ( x − 1) ; 5) 0 ; 6)

6

x ( x + 3) .

17. −5

7 .

18. 1

5 .

19.

3

4 .

20. Imamo redom: a + b

b=

a

b+ 1 = 6 ;

b

a=

1

5 ;

a − b

a= 1 − b

a=

4

5 ;

a + b

a − b=

a

b+ 1

a

b− 1

= 3

2 .

21. a

b = 2 ;

b

a + b =

1

3 ;

b

a =

1

2 ;

a

−b

a =

1

2 .

22. Iz a − b

a=

3

2 , slijedi

b

a= −1

2 , te

a

b= −2 .

23. Nakon mnozenja jednakosti sa (a + 1)(b + 1)

dobijemo a + 1

a+

b + 1

b= 1 , a odatle slijedi

1 + 1

a+ 1 +

1

b= 1 , odnosno

1

a+

1

b= −1 .

24. 1) 2 x 2

x + 1 ; 2)

2

x ; 3)

2 x + 1

4 ; 4)

x − 1

2 x ;

5) 3 x

(3 x + 1)2 ; 6)

x ( x + 2)

4( x − 2).

25. 1) (a − 2)2

2a2 ; 2)

2

3(3a + 1) ; 3)

( x + 1)2

x 2 + 1 ;

4) a2

a2 − 9

; 5) x

2

; 6) 1.

4) (a − b)(3a2 − b2) ; 5) 5 .

29. 1) a2(a − 1) ; 2) 1 ; 3) (a + 1) ;

4) 1

a2(a + 1) .

30. 1) −1 ; 2) a(b + c − a)

2 ; 3) −2 ; 4) 0 .

Rje ˇ senja 2.8

1. 1) x = −8 ; 2) x = 4

3 ; 3) x = 1 ;

4) x = 2 ; 5) x = −5 ; 6) x = 4.5 ;7) x = 3.

2. 1) Da; 2) Ne; 3) Ne; 4) Da; 5) Da.

3. k = 2 .

4. m = −31

2 .

5. 1) x = 5 ; 2) x = 9

4 ; 3) x =

9

4 ; 4) x = 0 ;

5) x = 3

10 ; 6) x =

6

5 ; 7) x = 8 ;

8) x = −1

3 ; 9) x = −17 ; 10) x =

1

2 .

Rjesenje magicnog kvadrata sa 88. stranice:

179

2 RJEˇ

SENJA ZADATAKA

E R A K

6. 1) x = 1 − y

3( y + 1) ; 2) x =

y − p

1 − py;

3) a = b + c

bc + 1 ; 4) z =

xy

y − x ;

5) n = mx 1 − cm

c

− x 2

.

7. F◦ = 1

5(9C◦ + 160) .

8. v = 2P

a + c.

9. c = O − 2ab

2(a + b) , b =

O − 2ac

2(a + c) .

10. y = hx

2 x − h

.

4

neodre -dena, za a = 1 i a = −1 rjesenje jed-

nadzbe je x = a

a − 1 .

4) 3a(3a − 2) x = (2 − 3a)(2 + 3a) ; Za a = 0

jednadzba nema rjesenja, za a = 2

3 jednadzba je

neodre -dena, za a = 0 i a = 2

3 rjeˇsenje jednadˇz-

be je x = −3a + 2

3a.

5) a(a − 1) x = (a − 1)(a + 1) ; Za a = 0 jed-nadzba nema rjesenja, za a = 1 jednadzba jeneodre -dena, za a = 0 i a = 1 rjesenje jednadz-

be je x = a + 1

a.

6) 2a(a + 2) x = (a

− 2)(a + 2) ; Za a = 0

jednadˇzba nema rjeˇsenja, za a = −2 jednadˇz-



O G

L E D N I P R

I M J E11. 1) x = −4

3 ; 2) x = 2 ; 3) x = 13 ;

4) x = 7 ; 5) x = −2 ; 6) x = 4 .

12. 1) x = 0 ; 2) x = 3

8 ; 3) x = 86 ;

4) x = 9 ; 5) x = 5 ; 6) x = 70 .

13. 1) x = 5 ; 2) x = 25

4

; 3) x = 15

17

;

4) x = 5 ; 5) x = 7 ; 6) x = 12 .

14. 1) x = 3

2 ; 2) x = −1

2 ; 3) x =

1

7 ;

4) x = 1

9 ;

15. 1) x = 2 ; 2) x = −3

5 ; 3) x = 2 ;

4) Jednadzba nema rjesenja;

5) Jednadzba nema rjesenja; 6) x = 1 ;7) Jednadzba nema rjesenja; 8) x = 19 ;

9) x = 1 ; 10) x = −1

6 .

16. 5) Jednadzba nema rjesenja; 6) x = 1

2 ;

7) x = 1 ; 8) Jednadzba nema rjesenja;

9) x = 14

15

; 10) Jednadzba nema rjesenja.

17. 1) (1 − a) x = a(1 − a2) ; Za a = 1 jednadzba je neodre -dena. Za a = 1 , x = a(a + 1) ;2) a(a − 2) x = (a − 2)(a + 2) ; Za a = 0 jed-nadzba nema rjesenja, za a = 2 jednadzba jeneodre -dena, za a = 0 i a = 2 rjesenje jednadz-

be je x = a + 2

a.

3) (a − 1)(a + 1) x = a(a + 1) ; Za a = 1 jed-

nadˇ

zba nema rjeˇ

senja, za a = −1 jednadˇ

zba je

j j j , jba je neodre -dena, za a = 0 i a = −2 rjesenje

jednadzbe je x = a − 2

2a.

18. 1) Za a = 0 jednadzba je neodre -dena,za a = −1i a = 1 jednadzba nema rjesenja, za sve ostale

realne a je x = a − 1

2 .

2) Za a = 0 jednadzba je neodre -dena,za a = −

1i a = 1 jednadzba nema rjesenja, za sve ostale

realne a je x = a + 1

2 .

3) Za a = 0 jednadzba je neodre -dena,za a = −1i a = 1 jednadzba nema rjesenja. Za a = 0 , a =1 i a = −1 rjesenje je jedinstveno: x =

a2 + 1

2 .

4) Za a = 0 jednadzba je neodre -dena,za a = −1i a = 1 jednadzba nema rjesenja. Za a

= 0 ,

a = 1 i a = −1 rjeˇsenje je jedinstveno: x =a2 + 3

3a2 + 1 .

5) Za a = 1 jednadzba je neodre -dena, za a = 0i a = −1 jednadzba nema rjesenja. Za a = 0 ,a = 1 i a = −1 rjesenje je jedinstveno: x =

a

2(a + 1) .

6) Za a = 0, a = −1 i a = 1 jednadzba nema

rjeˇ

senja. Za a = 0 , a = −1 i a = 1 rjeˇ

senje je jedinstveno: x = − 2a

a + 1 .

19. 1) x = a2 ; 2) x = a − 1 ;

3) Jednadzba nema rjesenja; 4) x = 3a .

20. Za 1 sat zrakoplov preleti 800 km, a za 5 satipreletjet ce 4 000 km.

21. Za 225 km automobil ce potroˇ

siti 13 litara goriva.

180


E R A K

22. Gospodin Brzic i nije tako brz, vozi prosjecnombrzinom 78 km/ h te ce za 6 sati prijeci 468 km.

23. Za pranje 12 automobila utrosi se 37.5 minuta.

24. Roko ce za 12 sati rada zaraditi 180 kuna.

25. Baka Marija bi 2 kg banana platila 12 kuna.

26. Za 630 rijeci tipkacici treba 22.5 minuta.

27. Trebalo bi proci 330 osobnih automobila.

28. Stvarnoj udaljenosti od 39 km na zemljovidu pri-pada 0.975 cm.

29. Da nahrani 60 izvi -daca, kuhar je zamutio 140 jaja.

30. Cijena kaputa u kunama iznosi 1 185.9 kuna.

44. a

a + 700 =

3

7 . Iz ove jednadzbe izracunamo

a = 525 . Razlomak 525

1 225 kratimo sa 175, te

dobijemo razlomak 3

7 .

45. α

= 135◦

15

.

46. Primjenjujemo Pitagorin poucak i postavljamo

jednakost a2 + 362 = (a + 8)2 iz koje dobije-mo a = 77 . Dalje nalazimo b = 36 cm te

izracunamo povrsinu koja iznosi 1 386 cm 2 .

47. P = 300 m2 .

48. Duljina je igralista 20, a sirina 12 metara.

49. Braci je 16, 18 i 24 godine.



O G

L E D N I P R

I M J Ej p

31. Oznacimo li ukupan broj ucenika u razredu s x ,onda je 0.375 x= 12, odakle se dobije x= 32.

32. Iz jednadzbe 0.85 x = 204 nalazimo cijenu ko-sulje prije snizenja x = 240 kuna.

33. Ako je x cijena knjige prije umanjenja, onda je

njezina cijena nakon prvog snizenja 4

5

x , a na-

kon drugog 3

5 x . Stoga je ukupno snizenje cijene

40 %.

34. 3 x − 5 = 2 x + 7 , x = 12 .

35. 2(2 x − 1) = 2 x + 3 + 15 . To su brojevi 19, 21,23, zbroj im je 63.

36. x + 2 x

−3 = 333 , odatle x = 112. Drugi je broj

221.

37. Iz jednadzbe x

4 +

x

6 + 5 =

x

2 dobije se x = 60 .

38. Iz jednadzbe a2 − (30 − a)2 = 120 dobijemoa = 17 . Drugi je broj jednak 13.

39. Iz jednadzbe (2n + 1)2 −(2n−1)2 = 128 dobijese n = 16, te su trazeni brojevi 31 i 33.

40. To su brojevi −17, −15, −13 .

41. Iz jednakosti (2n − 2) · 2n · (2n + 2) + 2(2n −2 + 2n + 2n + 2) − 8n3 = 20 dobijemo n = 5 ,te su trazeni brojevi 8, 10 i 12.

42. Postavimo jednadzbu a + (6a + 20) = 531 izkoje je a = 73 . Drugi, veci broj je 458.

43. Iz jednadzbe (a+4)·10+a+10a+(a+4) = 154

slijedi a = 5, te je rijeˇ

c o broju 95.

j g50. Oznacimo sa x broj novcica od 5 kn. Tada ima-

mo: 5 x + x

2 · 2 +

x

4 = 50 , x = 8 .

51. 3.5 m i 6.5 m.

52. Jedan komad zice dug je 30 metara, a drugi 84metra.

53. Na jednoj je polici 18 knjiga, a na drugoj 54 knji-

ge.

54. U jednoj je kompoziciji 12, a u drugoj 24 vagona.

55. Iz jednadzbe 32 = 24 + 28 − x , gdje smo s x oznacili broj ucenika koji uce oba strana jezika,dobije se x = 20 , sto je u postotcima 62.5 %.

56. Postavimo jednadzbu (40 − x ) · 20 + x · (−5) =425, a iz nje je x = 15 .

57. Za 1 minutu vodom iz prve slavine napuni se 118

posude, a vodom iz druge 1

27 obujma posude.

Ako su obje slavine otvorene, nakon jedne mi-

nute u posudi ce biti 1

18 +

1

27 =

5

54 njezina

obujma vode. A 5

6 obujma napunit ce se vodom

nakon 9 minuta.

58. Prema prethodnom zadatku, bazen ce se napuniti

nakon mn

m + nsati.

59. Bilo bi potrebno 12 minuta.

60. U 20 kg svjezih smokava 5.6 kg je suha tvar, os-talo je voda. Tih 5.6 kg u suhih je smokava 80 %njihove mase te iz 0.8 x = 5.6 dobijemo x = 7 ,odnosno, od 20 kg svjezih smokava susenjem se

dobije 7 kg suhih.

181

2 RJEˇ

SENJA ZADATAKA

E R A K

61. U 3 kg suhih gljiva ima 3 · 0.92 = 2.76 kgsuhe tvari, koja u svjezim gljivama cini svega12 %. Stoga je 2.76 = 0.12 x , odakle se izracuna x = 23 kg.

62. Od 4 kg.

63. U 40 litara morske soli ima 1.8 litara ciste soli, atih 1.8 litara je 2 % u masi od 90 litara. Stogavalja doliti 50 litara slatke vode.

64. 60 · 75 + 30 · 90

60 + 30 = 80 , te je jakost alkohola u

smjesi jednaka 80 %.

65. Iz jednadzbe 76 x + (96 − x ) · 12

96 = 40 , dobije

se x = 42 , dakle valja uzeti 42 litre vrele vode.

66 I j d dˇb 120 · 40 + 150 · 36 + x · 45

42

5

9 − 5

9 · 1

2 =

5

18 . Konacno, u salici je ostalo

13

18mlijeka.

77. Nakon prvog dana ostalo je 1

2 podataka, nakon

drugog 1

2 −1

6 =

1

3 , a nakon treceg

1

3 −1

9 =

2

9 .

78. Iz jednadzbe 1

3 x +

1

4 x +

1

5 x +

1

6 x + 3 = x dobije

se x = 60 .



O G

L E D N I P R

I M J E66. Iz jednadzbe

120 + 150 + x = 42

dobije se x = 380 kg.

67. Iz jednadzbe 30 x + (100 − x ) · 55

100 dobijemo x =

20 .

68. 115t − 100t = 5 , t = 20 min.

69. Ako je v1 prva, a v2 druga, od v1 za5km/ hvecabrzina, onda iz v2 = v1 + 5 uvrstavajuci v =

s

t

imamo s

1/4 =

s

1/3 + 5 , odakle dobijemo s = 5

km.

70. Iz jednadzbe v ·1 = (v+15)· 3

4 dobijemo v = 45

km/ h.

71. Iz v · 145

= (v − 26) · 143

imamo v = 65 km/ h,

te je trazena udaljenost s = 182 km.

72. Iz 4.5t = 12(t − 2) slijedi t= 3.2 sata, te jes= 14.4 km.

73. Automobili ce se susresti nakon 3 sata i 12 minu-ta.

74. Iz jednadzbe (16 + v)

·6 = (16

−v)

·10, gdje je

s v oznaˇcena brzina rijeˇcnog toka, slijedi v = 4km/ h.

75. Iz jednadzbe (v+4)·33

4 = (v−4)·6

1

4 dobijemo

v = 16 km/ h.

76. Nakon prvog ispijanja u salici je ostalo 5

6 kave,

nakon drugog 5

6 − 5

6 · 1

3

= 5

9

, a nakon treceg

182

URE¯DAJ NA SKUPU REALNIH BROJEVA

3

JE R A K

3. Ure daj na skupu realnih brojeva

Rje ˇ senja 3.1

2. 1) m < n ; 2) m < n ; 3) m > n .

10. 1) −1, 3 ; 2) −∞, 1 ∪3

2, +∞

;

3)−∞, −3

4

; 4)

−∞,

1

2

∪ [3, +∞ ;

5) [−1.1, +∞ ; 6) ∅ .

11. 1) −∞, −1]∪ 1, 2] ; 2) [−2, 1]∪ 3, +∞ ;3)

−∞, 0

∪[3, +

∞ ; 4) [0, +

∞ .

12. 1) A ∪ B = −1 3] A ∩ B = 0 2] ;

3 750 kn. Oduzmemo li od toga 10 % popusta na

gotovinsko placanje dobit cemo konaˇ

cnu cijenu3 375 kn. Zakljucujemo da Marko moze kupitiizlozeno prijenosno racunalo uz uvjet da placagotovinom.

2) Iz c · 1.125 3 600 slijedi c 3200, stoznaci da Marko uz zadane uvjete moze kupiti iskuplje racunalo, ali najvise ono s istaknutom ci- jenom od 3 200 kn.

3) Kad bi Marko kupio racunalo pocijeni 3200 kn

na to bi morao dodati 25 % PDV-a ˇ

sto bi ukupnoiznosilo 4 000 kn. Nakon popusta za gotovinsko



O G

L E D N I P R

I M J E12. 1) A ∪ B 1, 3] , A ∩ B 0, 2] ;

2) A ∪ B = −3, +∞ , A ∩ B = [0, 5 ;3) A ∪ B = R , A ∩ B = [−1, 1] ;4) A ∪ B = −∞, −2 ∪ [0, 2] , A ∩ B = ∅;5) A ∪ B = A , A ∩ B = B , jer je B ⊂ A ;6) A ∪ B = B , A ∩ B = A .

Rje ˇ senja 3.2

3. 1) x > 1

6 ; 2) x 1 ;

3) Nejednadzba nema rjesenja, ona je ekvivalent-na netocnoj nejednakosti −3 > −2 ;

4) x −5

3 ;

5) Rjesenje nejednadzbe je svaki realni broj x ,nejednadzba je ekvivalentna tocnoj nejednakosti

−7 < 12 ;

6) x < 14 .

4. 1) x > 1

3 ; 2) x > −17

36 ; 3) x > −9 ;

4) x > 5

6 .

5. x = 3 .

6. x = 3 .

7. Nejednadˇzba je ekvivalentna nejednakosti 3>0 .

8. Nejednadzba je ekvivalentna nejednakosti 15<0 .

9. m > −3 .

10. m < 3

2 ili m > 2 .

11. m < −1 ili m > 2 .

12. 1) Kad na cijenu od 3 000 kn dodamo 25 % pore-

za na dodanu vrijednost (PDV) bit ce to ukupno

placanje od 10 % dobije se 3 600 kn, a upravo stoliko novca Marko raspolaze.

13. 1) Ucenik koji je rijesio tocno 20 zadataka saku-pio je ukupno 20 · 2 + 10 · (−1) = 30 bodova, ato znaci da je dobio ocjenu dovoljan.

2) Iz jednadzbe 2 x +(30− x )·(−1) = 39, gdjeje x broj tocno rijesenih zadataka, slijedi x = 23 .

3) Iz uvjeta 41 2 x + (30 − x ) · (−1) 50slijedi 71 3 x 80 pa zakljucujemo kako jeza vrlo dobru ocjenu potrebno rijesiti 24, 25 ili26 zadataka.

4) Ako sa x oznacimo broj tocno rijesenih zada-taka u ovom ispitu, tada je ukupan broj osvojenihbodova jednak 3 x − 30 . Nakon rjesavanja nejednadzbe 3 x − 30 < 0 zakljucit cemo da je zamanje od10 tocno rijesenih zadataka ukupan broj

bodova negativan.

14. 1) Ako je k broj prije -denih kilometara, onda jeukupan trosak po prvoj tarifi za trodnevni najam jednak 150 · 3 + 0.5k . Po drugoj tarifi trosak je jednak 250 · 3 i on ne ovisi o broju prije -denihkilometara. Iz uvjeta 150 · 3 + 0.5k < 250 · 3slijedi 0.5k < 300 te je k < 600 km. Dakle,odabir prve tarife u trodnevnom najmu automo-

bila povoljniji je ako se automobil uzima u najamza put kraci od 600 km.

2) Uzmimo da auto unajmljujemo na d dana pricemu cemo prijeci k kilometara. Tada bi trosakpo prvoj tarifi iznosio 150d + 0.5k , a po drugoj250d . Iz uvjeta 150d + 0.5k < 250d slijedik < 200d .

15. Neka je V obujam spremnika, d put koji automo-

bil prije -de s punim spremnikom. Dakle, 650 <

183

3 RJE ˇSENJA ZADATAKA

JE R A K

d < 700 . Kako je 33 l goriva 3

5 njegova obujma,

tada imamo 390 < 3

5d < 420 .

16. Iz 180 < C < 190 slijedi 356 < 9

5 C +32 <

374 . Postoji opasnost da Nina prepeˇ

ce biskvit jer je 400 ◦F temperatura iznad gornje dopustivegranice.

17. Trosak kopiranja u “Uredu” za n kopija iznosi0.03n+6300, a za isti brojkopija trosovi u “Pres-liku” iznosili bi 0.15n . Zahtjev 0.03n + 6300 <0.15n ispunjen je za n > 52500 .

Ako bi se svih 150 000 kopija platilo “Presliku”to bi iznosilo 22 500 kn. A troskovi istog posla u

“Uredu” stoje 10800kn paje uˇste

-deno 11 700 kn.

18 Iz 65 80−0 75t 68 slijedi 12 0 75t 15

24. 1) x < −1 ; 2) x > −1

2 ; 3) x <

3

2 ;

4) x < −1

2 ili x = 1 ; 5) x <

1

2 ili x = 3 ;

6) x > 1

2 ; 7) x < 1 ; 8) x > −1 .

25. 1) −3 < x < 3 ; 2) − 73 x < −3

2 ;

3) x > −5

2 ; 4) x < −2 ili x > −5

3 ;

5) x < 1

2 ili x 2 ; 6) −3 < x < 11 .

26. 1) 1

2 < x 2 ; 2) −6 x < −3

2 ;

3) x

−3 ili x > 0 ; 4)

−7 x <

−2 ;

5) x < −3

2 ili x −2

3 ;



O G

L E D N I P R

I M J E18. Iz 65 80−0.75t 68 slijedi 12 0.75t 15

te je 16 t 20 . Teta Inka mora biti na di- jeti najmanje 16, a najvise 20 tjedana kako biostvarila svoj cilj.

19. Neka je m broj minuta dodatnih razgovora. Tadamora biti 0.20m + 125 < 0.25 + 100 . Odatleslijedi m > 500.

20. 1) 2 < x < 7 ; 2) 1

3 < x < 3 ; 3) x < −15 ;

4) x > 7

5 ; 5)

7

3 < x <

12

5 ;

6) Iz prve nejednadzbe slijedi x < 15

7 , a iz druge

x > 6 . Sustav nema rjesenja jer ne postoji takav

realni broj x koji je i veci od 6 i manji od 15

7 .

21. 1) x 5 ili x = 0 ; 2) x > 0 , x = 1 ;3) x

2

3 ; 4) x −1 ; 5) x < −5

2 ;

6) x > 2

3 , x = 2 .

22. 1) x < 1 ili x > 2 ; 2) −5 x 1

2 ;

3) − 1

4 < x <

1

3 ; 4) − 7

4 x −5

3 ;

5) x 15

ili x 27

; 6) x 34

ili x 43

.

23. 1) x < −3 ili x 3 ; 2) − 2

3 < x −1

2 ;

3) x < 0 ili x > 1

7 ; 4) − 1

2 x <

3

5 ;

5) x < −2

3 ili x >

5

2 ; 6) x <

3

5 ili x >

5

3 ;

7) x < 1

2 ili x

8

3 ; 8) x <

−3

2 ili x

1

2 .

)2 3

6) x −1 ili x > 1

2 .

27. 1) x < 1

3 ili

1

2 < x < 1 ;

2) x < −1

2 ili − 1

3 < x < −1

4 ;

3) x < −3 ili −2 < x < 1 ;4) −2 < x < −1 ili x > 3 .

28. 1) −2 x 1 ; 2) 3

2 < x

5

2 ; 3) x > 0 ;

4) −10 < x −13

3 .

29. 1) 0 < x < 2 ali x = 1 ; 2) −1 < x < 0 ;

3) x <

−1 ili

−1

2

< x <

−1

4

; 4) x <

−1 .

30. 1) −2 x < 1 ili x 2 ;

2) x < −1

2 ili

1

2 < x < 4 ;

3) −3 < x < 0 ili x > 1 ;

4) x −1

3 ili 0 < x <

1

3 .

31. 1) Zadana nejednadzba je ekvivalentna nejed-

nadzbi −( x

+ 1)

2

2( x 2 − 1) > 0, a rjesenje ove je svaki

realni broj x , −1 < x < 1 ;2) Nejednadzba je ekvivalentna nejednadzbi

( x − 2)2

( x − 1)2 0, pa je njezino rjesenje svaki re-

alni broj x , x = 1 ;

3) x < −3 ili x > 1

2 ; jednakost nije ispunjena

ni za koji realni broj x ;

184

URE¯DAJ NA SKUPU REALNIH BROJEVA

3

JE R A K

4) x < −3 ili x > −2 , jednakost nije ispunjenani za koji realni broj x ;5) x < −1 ili 0 < x < 1 ;6) Nejednadzba je ekvivalentna nejednadzbi

x 2 + x + 2

( x − 1)( x + 1) 0. Jer je x 2 + x + 2 > 0 za

svaki realni broj x , onda je i ( x − 1)( x + 1) > 0 ,odakle slijedi x < −1 ili x > 1 . Jednakost nijeispunjena ni za koji realni broj x ;7) −1 < x < 0 ili x > 1 ;

8) − 3

2 < x < 0 ili x >

3

2 ;

9) Nejednadzba je ekvivalentna s x + 3

x ( x + 2) 0 ,

x = 2 i njezino je rjesenje svaki realni broj x

, −3 x

< −2 ili x

> 0 i x

= 2 ;

10) x −1 ili − 1

2 < x < 0 ili x

1

2 .

11. Najprije zapisimo f ( x )=

( x +2)2+

( x −2)2

= | x +2|+| x −2| . Za −2 < x < 2 je f ( x ) = 4 .

A jer je −2 <√

2 − √ 3 < 2 , to je f (

√ 2 − √

3)= 4 .

12. Najprije zapisimo f ( x )= (2 x −1)2− ( x +3)2

−√ x 2

= |2 x −1| − | x +3| − | x | . Za x < −3 je f ( x ) = |2 x − 1| − | x + 3| − | x | = 4 . A jer je sva-

ki od brojeva − 33

8 , −√

112, −π manji od −3 ,

vrijednost funkcije za svaki od njih jednaka je 4.

13. 1) − x +1 ; 2) x ; 3) − x −2 ; 4) −2( x +1) .

14. 1) Za x > 1 imamo razlomak x

x + 1 , a za x < 1

razlomak x

+ 2

x + 1 , x = −1 ;

1



O G

L E D N I P R

I M J E)

2

2

Rje ˇ senja 3.3

1. 1) 0 ; 2) 4 ; 3) 1 .

2. 1)

−5 ; 2)

−

25

36

; 3) 5

√ 2

4

;

4) −5(√ 3 + √ 2) .

3. 1) | 6

7 − 8

9| = 8

9 − 6

7 , jer je 6 · 9 < 7 · 8 ;

2) |1 − √ 2| = √

2 − 1 , jer je 1 <√

2 ;

3) |√ 2 − 1.414| =

√ 2 − 1.414, jer je√

2 > 1.414;

4)√

6 ≈ 2.449 < 2.45 , te je stoga |√ 6 − 2.45|

= 2.˙

4˙

5 −√

6 ;5) |1 + √ 2 − √ 5| = 1 + √ 2 − √ 5 ;

6) |1 − √ 2 − √

5| = −1 +√

2 +√

5 .

4. 1) −1 ; 2) −4 + 2

√ 2

4 − √ 2 − √

3.

5. 1) 0 ; 2) 2√

2 − 3 ; 3) 0 .

6. 1) 2 − √ 2 ; 2) 2

√ 2 − 2 ; 3) 6 − π ;

4) √ 2 − 1 ; 5) 2 − √ 3 .7. 1) x − 1 ; 2) 2 − x ; 3) 2 x + 1 ; 4) 2 x − 3 ;

5) −3 x − 2 .

8. 1) 3 , 2) x + 2 ; 5) −6 ; 6) − x .

10. Najprije zapisimo f ( x )=

( x −3)2− ( x +3)2

= | x −3|−| x +3| . Za −3 < x < 3 je f ( x ) =−2 x . A jerje −3 < −√

8 < 3 , to je f (−√ 8) =

2√ 8 = 4√ 2 .

2) Za x < 0 i x = −1 imamo razlomak − x − 1

x + 1 ,

a za x > 0 i x = 1 vrijednost razlomka je jed-naka 1.

3) Za x 0 i x = −1 imamo razlomak − x − 1

x + 1 ,

za 0 x < 1 razlomak − x + 1

x

−1

, a za x > 1

vrijednost razlomka jednaka je 1.4) Za x < 1 razlomak je jednak −1 , za 1 < x <2 vrijednost razlomka jednaka je 1, a za x > 2

dobije se razlomak x + 1

x − 1 .

Rje ˇ senja 3.4

1. 1) | AB| = 4 ; 2) | AB| = 71

2 ;

3) | AB| = 9.9 ; 4) | AB| = 16

15 ;

5) | AB| = 23

12 ; 6) | AB| = 5.75 .

2. 1) T (−1) ili T (1) ; 2) T (−2.5) ili T (2.5) ;

3) T −10

3

ili T 10

3

.

3. 1) −2 < x < 2 ; 2) x −9

2 ili x

9

2 ;

3) −3 x 3 ; 4) x < −5

4 ili x >

5

4 .

4. 1) T (−4) ili T (2) ; 2) T (0.5) ili T (3.9) ;

3) T (

−3) ili T −

11

5 ; 4) T (0) ili T (1) .

185


JE R A K

5. 1) T (−1) ili T (3) ; 2) T (−4) ili T (−2) ;3) T (0) ili T (−22) ; 4) T (2) ili T (4) ;

5) T 1

8

ili T

7

8

; 6) T

−7

9

ili T

−5

9

.

6. 1) To su sve tocke koje su od tocke A uda-ljene najvise 2 tj. za cije koordinate x vrijedi

1 x 5 ;2) To je skup tocaka koje su od tocke A(−1)udaljenije od 2, tj. za ciju koordinatu x vrijedi x < −3 ili x > 1 ;

3) −4 x 0 ; 4) x −7 ili x −3 ;

5) −2 < x < 6 ; 6) x < −11

6 ili x > −7

6 .

7. 1) Rijec jeo polovistu duzine AB , A(1) , B(−3) ,

a to je toˇ

cka T (−1) ;2) T (−3) .

Rje ˇ senja 3.5

7. 1) x = −3 ili x = 3 ; 2) x = −1 ili x = 1 ;

3) x 1 = −3 , x 2 = −1 , x 3 = 1 , x 4 = 3 ;

4) x = 3 ili x = −1 ; 5) x 1 = −4 , x 2 = 6 ;

6) x 1

= −

4 , x 2

= −

2 , x 3

= 0 , x 4

= 2 ;

7) x 1 = −3 , x 2 = −1 , x 3 = 0 , x 4 = 2 ;

8) x 1 = −2

3 , x 2 = 0 , x 3 =

2

3 , x 4 =

4

3 .

8. 1) x = 0 ili x = 4

3 ; 2) x =

2

3 ili x = 4 ;

3) x = 1 ili x = 7 ; 4) x = −1

2 ili x = 4 ;

9. 1) x 1 = −1 , x 2 = 15

;



O G

L E D N I P R

I M J E8. 1) −2, 0] ∪ [4, 6 ;

2) −5, −2 ∪ −1, 2 ;

3)

−3

2, 1

2

∪

3

2, 7

2

.

9. 1) P(8) ; 2) P(

−1) ; 3) P−

37

36 .

10. P1

−1

2

, P2(1) , |P1P2| = 3

2 .

11. Iz −3 + x

2 = −1 slijedi x = 1 .

12. B−27

4

.

13. P1−

5

4 , P

211

4 ,

|P

1P

2| = 4 .

14. A(−4) , C (6) , | AC | = 10 .

15. Tocka B je polovisteduzine AC , x B = −2 + 1

2 =

−1

2 .

Tocka A je poloviste duzine CD , −2 = 1 + x D

2 ,

x D = −5 , D(−5) .

Tocka C je poloviste duzine DE , 1 = −5 + x E

2 ,

x E = 7 , E (7) .

16. |T 1T 3| = 2|T 1T 2| , |T 1T 4| = 3 · |T 1T 2| , |T 1T 5| =4 · |T 1T 2| . Zato je T 1T 100| = 99 · |T 1T 2| .

17. |T 1T 3| = 2 · |T 1T 2| , |T 1T 4| = 4 · |T 1T 2| =22 · |T 1T 2| , |T 1T 5| = 8 · |T 1T 2| = 23|T 1T 2| . Zato

je |T 1T 11| = 29

· |T 1T 2| = 512|T 1T 2| .

2) Jednadzba nema rjesenja.

10. 1) x ∈−1, 1]∪[3, 5 ;

2) x ∈−11

12, −5

6

∪−1

2, − 5

12

;

3) x ∈− 1

12, − 1

18∪

7

18,

5

12.

11. 1) x 1 = 7

6 , x 2 = 17

6 ; 2) x 1 = 3

2 , x 2 = 5

2 ;

3) x = 1 .

14. 1) x < 1

2 ili x >

3

2 ; 2)

1,

3

2

∪5

2, 3

;

3) x < 1

2 ili x >

7

2 ; 4) − 1

3 < x <

4

3 .

15. 1)

1

2 x 3

2 , x = 1 ; 2) −1

3 x 1 ;

3) x ∈ −2, 0 , x = −1

2 ; 4) x

1

4 , x = 3

2 ;

186

KOORDINATNI SUSTAV U RAVNINI

4

MJE R A K

4. Koordinatni sustav u ravnini

Rje ˇ senja 4.1

1. A(4, 2) , B(−3, −2) , C (0, 4) .

2. A(3, 0) , B(0, 5) , C (−3, −3) .

3. Cetvrti je vrh tocka (1, −3) , a srediste kvadrata je (3, −1) .

4. 1) C (−2, 4) , D(−2, −2) ili C (10, 4) , D(10, −2) ;2) C (5, −7) , D(−3, −7) ili C (5, 9) , D(−3, 9) .

5. 1) B(5,

−2) , D(

−3,

−2) ;

2) B(−2, −3) , D(2, 3) ;3) B(5, −5) , D(0, 0) .

y > − x , pa je rijec o poluravnini kojoj je granicapravac y =

− x .

y

x



O G

L E D N I P R

I M J E6. 1) Duljina ortogonalne projekcije duzine AB naos x je 6 jedinica, a na os y 1 jedinica.2) 7, 4; 3) 5, 6; 4) 0, 6.

7. 1) Pravac paralelan s osi ordinata, a prolazi toc-kom (−1, 0) ;2) Pravac paralelan s osi apscisa, prolazi tockom

(0

,2

);

U sljedecim cetirima zadatcima danim nejedna-kostima odre -dene su poluravnine. Uoci da rubpoluravnine pripada ili ne pripada poluravnini.O cemu to ovisi?

3) 4) y

x

3

y

x

3

2

5) 6) y y

x x3

2 5

3

8. 1) Kad bi bila zadana jednakost x + y = 0, od-nosno y = − x , potrazili bismo sve tocke ravninetipa T ( x , − x ) , dakle tocke kojima su koordinatesuprotni brojevi. Sve takve tocke pripadaju si-

metrali II. i IV. kvadranta. No mi imamo uvjet

2) Slicno kao u prethodnomzadatku, rijecjeo p o -luravnini iznad granice y = x , ali sada je uklju-cena i granica.

9. 1) Rjesenje prve nejednadzbe je svaki realni broj x , x −1 ili x 2 . Skup tocaka ravnine sto je odre -den uvjetom ( x + 1)( x − 2) 0 , stoga je unija dviju poluravnina (prva slicica). Rje-

senje druge nejednadzbe je svaki realni broj y ,−2 y 1 , sto u ravnini odre -duje jednu prugu(druga slicica). No rijec je o sustavu nejednadz-bi, pa kao njegovo konacno rjesenje valja namodrediti presjek pojedinih rjesenja (treca slicica).

y y

x x21

1

2

y

x1

1

2

y

x

2

3

5

2

3

2

2) Rijesi na slican nacin izadatak 2). Skup tocaka je kvadrat, presjek dvijupruga koje su pojedinac narjesenja nejednadzbi sus-

tava.

187


MJE R A K

10. 1) 2) y y

x x

1

1

y y

x x

3) 4)

2

133

2

11. 1) Iz

| x

| < 1 slijedi

−1 < x < 1 , pa je rjesenje

pruga bez granica (slika 1));2) Uvjet | y| 2 znaci y −2 ili y 2, tei j ˇ j ij d ij t ih l

5) y

x

2

1 3

4

6) y

x

1

3 3

3

13.

2

2

2

4

4



O G

L E D N I P R

I M J Eimamo za rjesenje uniju dviju zatvorenih polu-ravnina (slika 2));3) (slika 3)); 4) (slika 4)).

1) 2) y y

x x1 1

2

2

3) 4) y y

x x3

3

1

1

12. 1) 2)

x x

y y

2

2 3 32

2

3) y

x

4

3 1

2

4) y

x

4

2 3

4

1 1

2

2

2

2

2

1 1

1

1

2

14. 1) x 1 ; 2) x + 1 > 0 i y + 1 > 0 ;3) −1 < y 2 ; 4) | x | 2 i | y| 2 .

Rje ˇ senja 4.2

1. 1)

| AB

|= 5 ; 2)

| AB

| = 10 ;

3) | AB| = 2√ 5 ; 4) | AB| = 5 ;

5) | AB| = 4√

5 ; 6) | AB| = 25 .

2. Svaka od triju danih tocaka jednako je, za r =√ 29 , udaljena od tocke (−2, 3) , tj. sredista kru-

znice.

3. 1) | AB| = 5 , | BC | = 5 , | AC | = 10, te je| AC | = | AB| + | BC | , dapace, tocka B poloviste

je duˇ

zine AC .

188


4

MJE R A K

2) Izracunamo | AB| = 2√

5 , | BC | = 3√

5 ,

| AC | = 5√

5, te vidimo da je | AB| + | BC | =| AC | , sto znaci da tocke A , B i C pripadaju jednom pravcu.

4. 1) | AB| = | AC | = √ 40 ;

2) |

AC | = |

BC | =

√ 50 .

5. Duljina dijagonale kvadrata jednaka je | AC | =√ 50 = 5

√ 2 , te je duljina stranice kvadrata jed-

naka 5. Stoga je povrsina kvadrata jednaka 25kv. jed.

6. | MN | = 2r = 10 , r = 5 , P = 25π .

7. Duljina stranice trokuta jednaka je a = | AB| =√ 20 .

Povrsina trokuta iznosi P =√ 3

4 a2 = 5

√ 3 .

15. | AB| = |CD| =√

29 , | BC | = | AD| =√

17 ,dakle cetverokut ABCD je paralelogram. Dulji-

ne njegovih dijagonala jednake su | AC | = √ 52 ,

| BD| = √ 40 .

16. Najprije provjeravamo da je cetverokut ABCDromb. Dovoljno je pokazati da su sve cetiri stra-

nice tog cetverokuta jednake duljine. Uistinu,| AB| = | BC | = |CD| = | AD| =

√ 10. Dulji-

ne su dijagonala romba e = | AC | =√

32, f =

| BD| =√

8, a kako je romb cetverokut s oko-mitim dijagonalama, njegova povrsina jednaka je

P = 1

2ef = 8 .

17. 1) | AB|2 = |CD|2 = 72 , | BC |2 = | AD|2 = 18 ,

dakle cetverokut ABCD jest paralelogram. No jos j e i | AC |2 = | BD|2 = 90 , sto znaci daje pravokutnik Njegova je povrsina P = 36



O G

L E D N I P R

I M J E4

8. 1) | AB|2 = 20 , | BC |2 = 5 , | AC |2 = 25, te je

| AB|2 + | BC |2 = | AC |2 ;

2) | AB|2 = 10 ; | BC |2 = 100, | AC |2 = 90 ,hipotenuza je stranica | BC | .

9. | AB|2 = 5 , | AC |2 = 10 , | BC |2 = 5 .

10. Kako je | AB|2 = 200, | BC |2 = 160, | AC |2 =40 , taj je trokut pravokutan. Hipotenuza pravo-kutnog trokuta promjer je trokutu opisane kruz-nice (Talesov poucak). Ovdje je hipotenuza stra-

nica AB , njezina je duljina 10√

2 , pa je duljina

polumjera jednaka 5√

2 .

11. Srediste kruznice opisane trokutu je tocka jedna-ko udaljena od svih triju vrhovatrokuta. No vrho-

vi A i B imaju istu apscisu pa ce ordinata srediˇstabiti jednaka y = 2 . Iz uvjeta |SB| = |SC | do-bije se x = 1. Dakle, srediste kruznice je tockaS (1, 2) . Polumjer kruznice je r = 5 .

12. Neka je S ( x , y) srediste kruznice. Tada mora vri- jediti | AS | = | BS | = |CS | . Iz | BS | = |CS | slijedi x = 1 , a iz | AS | = | BS | dobijemo x = 2 y .

Tako je srediste kruznice tocka S 1, 1

2 . Jesmo

litocno racunali mozemo provjeriti tako sto cemou jednadzbu 3 x − 2 y − 2 = 0 , koju dobijemo izuvjeta | AS | = |CS | , uvrstiti dobivene koordinate

tocke S . I jos izracunamo r 2 = 65

4 .

13. S 5

3, 4

3

; r =

10√

2

3 .

14. |

AB| = |

CD| =

5 , |

BC | = |

AD| =

√ 10 .

je pravokutnik. Njegova je povrsina P = 36 .2) Rjesavamo kao pod 1); P = 40 .

18. Neka je T ( x , 0) tocka na osi apscisa. Iz uvje-

ta | AT | = 10 dobijemo jednadzbu ( x − 3)2 +36 = 100 , odnosno ( x − 3)2 = 64. Odatle je| x − 3| = 8 pa imamo dva rjesenja, dvije tocke:T 1(

−5, 0) i T 2(11, 0) .

19. Neka je T (0, y) tocka na osi ordinata. Iz uvje-ta | AT | = 5 dobijemo jednadzbu | y − 2| = 4pa imamo dvije tocke T 1(0, −2) i T 2(0, 6) kojezadovoljavaju postavljene uvjete.

20. Jednostavno izracunamo | AT |2 = x 2 + (2 x −10)2 = 5 x 2 − 40 x + 100, te | BT |2 = ( x −8)2 + (2 x − 6)2 = 5 x 2 − 40 x + 100 . Ocito,

| AT

| =

| BT

|. Skup svih tocaka T je pravac, si-

metrala duˇzine AB .1) | AT |2 = ( x + 3)2 + ( x − 5)2 ,

| BT |2 = ( x − 5)2 + ( x + 3)2 ;

2) | AT |2 = 5 x 2 − 10 x + 10 = | BT |2 .

21. 1) Iz uvjeta | AT | = | BT | , gdje su A i B danetocke, a T ( x , 0) tocka koju trazimo, dobije se

( x + 1)2 + 1 = ( x − 5)2 + 9 , a odatle x = 8

3 .

Tako smo dobili toˇcku T

8

3 , 0

.

2) T 1

2, 0

.

22. 1) T (0, 4) ; 2) T (0, −1) .

23. T (2, 2) .

24. Primijenit cemo obrat Pitagorinog pouˇ cka, tj. po-

traziti tocku T (0, y) tako da vrijedi | MT |2 +

| NT

|2

= | MN

|2 . Iz ovog uvjeta nakon uvrs-

189


MJE R A K

tavanja koordinata tocaka dobijemo jednadzbu

y2+7 y+6 = 0 . Polinom s lijeve strane rastavimou faktorete imamo ( y+1)( y+6) = 0 . Dvije toc-ke rjesenje su zadatka: T 1(0, −6) i T 2(0, −1) .

25. Postupimo kao u prethodnom zadatku i dobijemo

jednadzbu x 2

− 11 x + 24 = ( x

− 3)( x

− 8) =

0 . Uvjete zadatka zadovoljavaju dvije to ˇcke,T 1(3, 0) i T 2(8, 0) .

Rje ˇ senja 4.3

1. 1) P = 16 ; 2) P = 16 ; 3) P = 18 ;

4) P = 55

2 .

2. U oba slucaja povrsina trokuta jednaka je nuli,a to znaci da sve tri tocke, A , B i C pripadaju jednom pravcu.

17. B1(2, −2) , B2

−9

2, 9

2

.

18. Neka je C ( x , y) treci vrh trokuta. Povrsina troku-ta jednaka je 34, te odatle uvrstavajuci koordinatevrhova trokuta u formulu za povrsinu dobijemo jednadzbu | x + 4 y − 5| = 34 . No trokut je jed-

nakokraˇ

can, ˇ

sto znaˇ

ci | AC | = | BC | , odakle pro-istjece y = 4 x − 3 . Tako smo dobili sustav dviju jednadzbi s rjesenjima koja su koordinate tockeC . Dvije su tocke rjesenja zadatka, C 1(−1, −7)i C 2(3, 9) .

19. 1) | AB| = | BC | = |CD| = | AD| = √ 40 ;

| AC | = | BD| = √ 80 ;

2) P = 40 kv. jed.

20. 1) | AB| = |CD| = √ 80 , | BC | = | AD| = √ 20 ,| AC | = | BD| = 10 ;

2) P 40 kv jed



O G

L E D N I P R

I M J E3. Iz uvjeta P = 0 dobije se: 1) x = 3 ; 2) y = 7 .

4. Iz uvjeta P( ABC ) = 0 slijedi y = 0 .

5. Iz uvjeta P( ABC ) = 0 slijedi x = 0 .

6. 1) Povrsina paralelograma dvostruko je veca odpovrsine trokuta

BCD pa je jednaka 23.

2) P = 12 .

7. Povrsina trokuta ABC dvostruko je veca odpovrsine trokuta APC . Stoga je P ABC =2 · P APC = 11 .

8. 1) P = P ABC + P ACD = 31 ; 2) P = 16 ;3) P = 8 .

9. P = P ABC + P ACD + P ADE

= 21

2 + 15 + 14 = 79

2 .

10. Najprije izracunamo povrsinu trokuta i duljinustranice | AB| . Dobijemo P = 10 , | AB| = 5 . I

sada iz P = 1

2| AB| · v nalazimo v = 4 .

11. v = 4 .

12. Iz uvjeta da je povrsina trokuta jednaka 12 dobijemo jednadzbu

| x

−2|

= 4, a njezina surjesenja x = 6 i x = −2 . Tako imamo tocke A1(6, 2) i A2(−2, 2) .

13. Iz P = 5 slijedi jednadzba | y − 5| = 5 . Ko-nacno, C 1(−1, 10) , C 2(−1, 0) .

14. Zadatak ima dva rjesenja, C 1( 32

, 2) i C 2(− 72

, 2) .

15. Zadatak ima dva rjesenja, B1(−1, −3) i B2(−1, 175

) .

16. C 1(−

1, −

1)

, C 2(

3,

3)

.

2) P = 40 kv. jed.

21. 1) Poloviste duzine AC i poloviste duzine BDista je tocka P(2, 1) ;

2) P = 2 · P( ACD) = 18 kv. jed.

Rje ˇ senja 4.4

1. 1) P(2, 1) ; 2) P−1

2, 0

;

2. A(2, 2) , B(−3, 5) , C (−5, −2) , D(−1, −3) .

3. A(−1, 3) , B(−6, −2) , C (−3, −6) .

4. 1) C (3, 0) , D(6, −1) ;

2) A1

2 , −13

2

, C 7

2 ,

1

2

;3) A(1, −3) , D(4, 3) .

5. 1) A(−5, 5) , C (−1, 1) , E (3, −3) ;

2) A(−5, −2) , B(−3, 0) , D(1, 4) ;

3) A(4, −3) , B(6, −2) , C (8, −1) .

7. S (4, 4) , r =√

10 .

8. S (0, 1), r = 5, P = 25π .

10. C (3, 5), D(−1, 4) , P = 20 kvadratnih jedinica.

12. Polovista stranica cetverokuta su tocke P1(2, −2) ,P2(5, 0) , P3(2, 4) , P4(−1, 2) . Poloviste P(2, 1)duzine P1P3 ujedno je i poloviste duzine P2, P4 ,a to znaci da je cetverokut P1P2P3P4 paralelog-ram.

P( ABCD) = 36 , P(P1P2P3P4) = 18 kvadrat-

nih jedinica.

190


4

MJE R A K

13. S (4, 0), C (7, 1), D(3, 2) .

14. 1) | A1 B1| = 3√

2 , | B1C 1| =√

37 , | A1C 1| = 5 .

16. Oznacimovrhove trokuta s A( x A, y A) , B( x B, y B) ,

C ( x C , yC ) , i neka je P poloviste od BC , Q od

AC , i R od AB . Tada imamo sustav jednadzbi

x A + x B = 8 , x B + x C = 2 , x A + x C = 0 iz kojegse dobije x A = 3 , x B = 5 , x C = −3 . Iz sustava y A + y B = 4 , y B + yC = −2 , y A + yC = 8 slijedi y A = 7 , y B = −3 , yC = 1 . Vrhovi trokuta sutocke A(3, 7) , B(5, −3) , C (−3, 1) .

17. Mozemo odrediti vrhove trokuta, A(−2, 2) , B(4, 0) , C (6, 4) pa izracunati njegovu povrsinu.Dobit cemo P = 14 . A mogli smo izravno racu-nati povrsinu trokuta

A1 B1C 1 , pa bismo dobili

P1 = 72

te je povrsina trokuta ABC cetiri puta

veca od povrsine trokuta A1 B1C 1 .



O G

L E D N I P R

I M J Ep 1 1 1

18. Najprije odredimo polovista A1(4, 1) , B1(2, 2) ,

C 1(1, 0) stranica BC , AC i AB trokuta ABC .

Potom izracunamo: | AB| = | BC | = √ 20 , | AC | =√

40, te | A1 B1| = | B1C 1| =√

5 , | A1C 1| =√ 10 . Opseg trokuta A1 B1C 1 jednak je 2

√ 5+

√ 10 , sto je dvostruko manje od opsega trokuta ABC . I dalje, povrsina trokuta ABC iznosi

10, a povrsina trokuta A1 B1C 1 jednaka je 5

2 , a

to je cetiri puta manje od povrsine prvog trokuta.

191


MJE R A K

5. Vektori

Rje ˇ senja 5.1

3. 6.

5. 1)−→ AS ,

−→SD ,

−→FE ; 2)

−→ AS ,

−→SD ,

−→ BC ,

−→FE .

Rje ˇ senja 5.3

1. 1)−→ BD ; 2)

−→ AE ; 3)

−→ AS ; 4)

−→ AC ;

5) −→ AS ; 6) −→ BF .

2. 1)−→ BS ; 2)

−→ BS ; 3) 2

−→ AC ; 4) 0 .

13. Mozemo pisati−→OA +

−→OB +

−→OC = 3 · −→OT , gdje

je T teziste trokuta ABC , a ono pripada pravcu

OB . Istom pravcu pripada i vektor−→OD +

−→OE .

(Zasto?)

14. Neka su M i N polovista stranica AC i BC tro-−→ −→ −→ −→



O G

L E D N I P R

I M J E3. 1)−→SB ; 2)

−→ AC ; 3)

−→ED ; 4)

−→CA ;

5) 0 ; 6)−→CE .

4. 1)−→ AS ; 2) 0 ; 3)

−→ AD ; 4) 0 .

5. 1) −→ AC + −→ DB + −→CD + −→ BA = ( −→ AC + −→CD ) +−→ DB +

−→ BA =

−→ AD +

−→ DB +

−→ BA =

−→ AB +

−→ BA = 0 ;

2)−→ AE .

7. 1)−→ BD ; 2)

−→ DB ; 3)

−→ AB ; 4) 0 ; 5)

−→ AS ;

6)−→ AB .

10. Konstruiramo paralelogram ADBT . Tada je:

−→TA + −→TB + −→TC = ( −→TA + −→TB ) + −→TC =−→TD +

−→TC = 0 .

11. 1) 2−→ AB ; 2) 3

−→ DB .

12. Zapisimo:−→ AC =

−→ AD +

−→ DC =

−→ AD + k · −→ AB ,

−→ DB =

−→ AB − −→

AD . Tada je−→ AC +

−→ DB =

(k + 1)−→ AB .

kuta ABC . Tada je AM + MN + NB = AB ,

te−→CM +

−→ MN +

−→ NC = 0 . Zbrojimo li ove dvi-

je jednakosti, dobit cemo izravno 2−→ MN =

−→ AB ,

odnosno−→ MN =

1

2

−→ AB .

15. Neka su M i N polovista krakova AD , od-

nosno BC , trapeza ABCD . Mozemo zapisati:−→ AM +

−→ MN +

−→ NB =

−→ AB , te

−→ DM +

−→ MN +

−→ NC =

−→ DC . Nakon zbrajanja ovih dviju jed-

nakosti dobijemo 2−→ MN =

−→ AB +

−→ DC , a odatle

−→ MN = 1

2 ( −→ AB + −→ DC ) . Kako su vektori −→ AB i−→ DC kolinearni, iz ove jednakosti izravno slijeditvrdnja iskazana u zadatku.

16. Zbrojimo li jednakosti−→OP =

−→OA +

−→ AP i

−→OP =

−→OB +

−→ BP , dobit cemo 2 · −→OP =

−→OA +

−→OB , a odatle

−→OP =

1

2

(−→OA +

−→OB ) .

192

VEKTORI

5

MJE R A K

D

M N

A

C

B

17. Kako je−→ AM =

1

2

−→ AC =

1

2(−→ AD +

−→ DC ) te

−→ AN =

1

2(−→ AB +

−→ AD ) , slijedi da je

−→ MN =

−→ AN − −→

AM = 1

2(−→ AB − −→

DC ) . No, vektori−→ AB

i−→ DC su kolinearni, tj. postoji takav realni broj

k , k = 0, za koji je −→ AB = k · −→ DC . Stoga je−→ MN =

1

2(k − 1)

−→ DC .

11. Iz sustava jednakosti 1

2

−→ AB +

−→ MC =

−→ AC i

−→ AB +

−→ BN =

1

2

−→ AC dobijemo

−→ AB = −2

3 m − 4

3 n .

Analogno,−→ AC = − 4

3 m − 2

3 n , te konacno, na

temelju svojstava tezista trokuta,

−→ MN = −1

3 m +

1

3 n .

12. −→

AB = 4

3

−→ AM − 2

3

−→ AN ;

−→ AD = −2

3

−→ AM +

4

3

−→ AN .

Rje ˇ senja 5.5

9. D(

−4, 0) .

10. C (−4, 0) .

11. C (6, 5) , D(4, 6) .



O G

L E D N I P R

I M J ERje ˇ senja 5.4

1. −→

AC = −→ AB +

−→ AD ;

−→ BD = −−→

AB + −→ AD .

2. −→

AD = 1

2

−→ AC +

1

2

−→ BD ;

−→ AB =

1

2

−→ AC − 1

2

−→ BD .

3. −→

AB = 1

2 a − 1

2 b ;

−→ BC =

1

2 a +

1

2 b ;

−→CD = −−→

AB ;−→ DA = −−→

BC .

5. −→

BC = b

− c ,

−→ AP =

1

3

b+ 2

3

c ,−→ AQ =

2

3

b+1

3

c .

6. −→

AD = 1

2 b +

1

2 c ;

−→ BE = − c +

1

2 b ;

−→CF = − b +

1

2 c .

8. −→

BC = −→ AB +

−→ AF ;

−→ BD =

−→ BC +

−→CD =

−→ AB + 2

−→ AF .

9. −→

AB = −1

2 e1 +

1

2 e2 ;

−→ AD = e1 + e2 ;

−→ AE =

3

2 e1 +

1

2 e2 .

10. −→

AM = 1

2 e1 +

1

2 e2 ;

−→ BN = − e1 +

1

2 e2 ;

−→CP =

1

2

e1

− e2 .

( , ) , ( , )

12. A(−4, 1) , D(−2, 5) .

13. D(1, 3) , | BD| = √ 29 .

14. C (3, −3) , | AC | = 5 .

15. −→ AB = −4 i − 3 j , e = −

4

5 i − 3

5 j .

16. −→

AB = 2 i − 4 j , e = − 1√ 5

i + 2√

5 j .

17. Vektori e1 = 1

5(4 i − 3 j) i e2 =

1

5(4 i + 3 j) je-

dinicni su vektori istog smjera i orijentacije kao

i vektori−→ AB , odnosno

−→ AC . Vektor s u smje-

ru simetrale kuta α kolinearan je s vektorom

e1 + e2 , tj. s = k ( e1 + e2) = k · 8

5 i , k = 0 .

18. v = −12ı + 16 ili v = 12ı − 16 .

19. −→

AD = 5 · −→ AB + −→ AC .

20. −→

AD = −3 · −→ AB + 2 · −→ AC .

21. −→ AB = −7 · −→ BC + 4 · −→ BD .

22. v = 2 a − 3 b .

23. | a − 3 b| = 13 , |3 a − 2 b| = √ 2 .

24. v = −4√

2ı + 2√

2 ili v = 4√

2ı − 2√

2 .

193

MJE R A K

Kazalo pojmova

algebarski izraz, 59— razlomak, 79

apscisa, 134apsolutna vrijednost realnog broja, 117aritmeticka sredina, 26, 130, 145asocijativnost, 19, 22

baza potencije, 37binom, 59, 60

broj, cijeli, 3—, iracionalni, 17—, inverzni, 21—, reciprocni, 12, 21

mnozenje potencija jednakih baza, 41— — jednakih eksponenata, 42

modul realnog broja, 117

nejednadzbe s apsolutnim vrijednostima, 129neutralni element, za mnozenje, 20

— — za zbrajanje, 20nul-vektor, 155

oduzimanje, 12

ordinata, 134orijentacija vektora, 153os apscisa, 134os ordinata 134



O G

L E D N I P R

I M J E, reciprocni, 12, 21—, suprotni, 20

brojevni pravac, 23

decimalni zapis racionalnog broja, 8dijeljenje polinoma, 79

—, potencija jednakih baza, 44— —jednakih eksponenata, 45

disjunktni skupovi, 32

distributivnost, 22, 59, 74duljina vektora, 153

eksponent, 37Euler-Vennovi dijagrami, 31

interval, otvoreni, 106—, poluotvoreni, 106—, zatvoreni, 106

jedinica mjere, 23 jedinicna duzina, 23 jedinicni vektor, 156

jednakost racionalnih brojeva, 10koeficijenti polinoma, 59kolinearnost vektora, 153komutativnost, 19, 22konstanta, 59koordinate tocke, 121, 134koordinatne osi, 134korijen, drugi, 118kracenje i prosirivanje razlomka, 11kub razlike, 62

— zbroja, 62kvadranti, 135kvadrat binoma, 60

— razlike, 60— zbroja, 60

linearna jednadzba, 85

os ordinata, 134osnovica potencije, 37

period decimalnog prikaza, 8polinom, 59poloviste duzine, 145potencija, 36

— suprotnog broja, 37— potencije, 43

povrsina trokuta, 142pravokutni koordinatni sustav, 134prazan skup, 32presjek skupova, 32

rastavljanje na faktore, 74razlika kubova, 69

— kvadrata, 69relacija ure -daja, 102

skalarne velicine, 152skup prirodnih brojeva, 2

— racionalnih brojeva, 8— realnih brojeva, 19

smjer vektora, 153suprotni vektori, 153

udaljenost dviju tocaka, 138— tocaka na pravcu, 122

ulancani vektori, 157unija skupova, 32uspore -divanje realnih brojeva, 102

varijabla, 59

vektor, 152vektorske velicine, 152

zapis racionalnog broja, 8zbrajanje i oduzimanje racionalnih brojeva, 12zbroj kubova, 70

Zagreb, prosinac 2013.

194

Download - matematika 1 udžbenik

Top Related