Los Números Reales

INDICE

TEMA 1: LOS NÚMEROS REALES ..................................................................................... 3

1.1. DEFINICIÓN ............................................................................................................... 3

1.2. HISTORIA................................................................................................................... 3

1.3. NOTACIÓN: ............................................................................................................... 4

TEMA 2: OPERACIONES CON NÚMEROS REALES ............................................................. 6

2.1. ADICIÓN DE NÚMEROS REALES ................................................................................ 6

2.1.1. Propiedades de la Adición de Números Reales: ........................................... 6

2.2. SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS REALES ....................................................................... 7

2.3. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES .................................................................. 8

2.3.1. Propiedades de la multiplicación de números reales .................................. 8

2.4. DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES ............................................................................... 9

2.4.1. OBSERVACIONES: ........................................................................................ 10

2.5. POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES ................................................................... 11

2.5.1. POTENCIA DE BASE REAL Y EXPONENTE NATURAL .................................... 11

2.5.2. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES ..................... 11

2.6. RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES ....................................................................... 12

2.6.1. SIGNOS EN LA RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES ................................... 13

2.6.2. PROPIEDADES ............................................................................................. 13

TEMA 1: LOS NÚMEROS REALES

1.1. DEFINICIÓN

Los números reales son aquellos que poseen una

expresión decimal e incluyen tanto a los números

racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los

números irracionales, que no se pueden expresar de

manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales

no periódicas, tales como: , .

Pueden ser descritos de varias formas, algunas

simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas

y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa,

puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y

se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa.

Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad

de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y

rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real. En una sección

posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases

de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de

Dedekind.

Los números reales incluyen:

Los números enteros (Como 1,2,3,4,-1, etc.)

Los números racionales (como 3/4, -0.125, 0.333..., 1.1, etc.)

Los números irracionales (como π, √3, etc.)

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1.2. HISTORIA

Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a.

C.; alrededor del 500 a. C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio

cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron

ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco

después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII

Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba

irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una

definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg

Cantor en 1871.

En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener

amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la

construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes

matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor

(encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis

matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind).

Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no

de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la

antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler,

Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.

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Para mayor información sobre la Historia de los Números Reales puede consultar a la

siguiente página web:

http://www.anzwers.org/free/ronumer3/contenido.html

1.3. NOTACIÓN:

Los números reales se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia

infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232.

Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final

(324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se

consideran sin importancia.

Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No

sólo es más conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números

racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino

que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del número real. En

el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse

que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la

continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros

lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad.

Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo

recursivo. Un número no-recursivo es aquél que es imposible de especificar

explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo supone que todos los números

reales son recursivos.

Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por números racionales;

de todas maneras, algunos programas de ordenador pueden tratar un número real de

manera exacta usando su definición algebraica (por ejemplo, " ") en vez de su

respectiva aproximación decimal.

Los matemáticos usan el símbolo R (o, de otra forma, R, la letra "R" en negrita) para

representar el conjunto de todos los números reales.

La notación matemática Rn se refiere a un espacio de n dimensiones de los números

reales; por ejemplo, un valor R3 consiste de tres números reales y determina un lugar en

un espacio de tres dimensiones.

En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo

subyacente es el campo de los números reales. Por ejemplo, matriz real, polinomio real, y

Álgebra de Lie real.

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TEMA 2: OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

2.1. ADICIÓN DE NÚMEROS REALES

Ya conocemos ahora el conjunto R o conjunto de los números reales.

El producto cartesiano R x R será entonces el conjunto de pares ordenados (a;b) donde

aR y bR.

Si a cada par ordenado (a; b) le hacemos corresponder un tercer número real a + b y le

llamamos SUMA, tendremos entonces la operación ADICIÓN DE NÚMEROS REALES, donde

la SUMA es el resultado de dicha operación.

Ejemplos:

1) Efectuar con aproximación al centésimo:

Resolvemos:

Los tres sumandos en decimales:

Aproximando cada sumando al centésimo:

Efectuando:

2.1.1. Propiedades de la Adición de Números Reales:

1. Propiedad de clausura

La suma de dos o más números reales es otro número real:

Si: aR y bR entonces: (a + b)R

2. Propiedad conmutativa

El orden de los sumandos no altera la suma.

a + b = b + a

3. Propiedad asociativa

La forma como agrupemos los sumandos no altera la suma.

a + (b + c ) = (a + b) + c

4. Elemento neutro

Es el cero.

Si sumamos un número real con cero, la suma resultante es el mismo número.

a + 0 = a

5. Inverso aditivo

Si sumamos un número real con su opuesto, obtenemos como resultado cero.

a + (-a) = 0

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2.2. SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS REALES

La sustracción de dos números reales es un caso particular de la adición de los mismos.

Es decir, efectuar la sustracción de dos números reales M y S significa sumar M con el

opuesto de S.

M – S = D es equivalente a efectuar M + (-S) = D

Donde: M es el minuendo

S es el sustraendo y

D es la diferencia o resultado de la sustracción.

Ejemplo:

De

restar con aproximación al milésimo

Resolvemos:

Escribiendo los números dados en su representación decimal:

Aproximación al milésimo cada uno de estos números:

Efectuando la sustracción: 0,778 – 3,317 = -2,539

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En la Sustracción de Números Reales debes de tener en cuenta las propiedades del tema

2.1.1.

2.3. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES

Sea R el conjunto de números reales, tenemos que el producto cartesiano R x R será entonces el conjunto de pares ordenados (a; b), donde:

a R y b R

Si a cada par ordenado (a; b) le hacemos corresponder un tercer número real (a , b) y le llamamos PRODUCTO, tendremos entonces la operación MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES, donde el PRODUCTO es el resultado de dicha operación. Ejemplo:

Efectuar:

aproximando a centésimos.

Resolvemos:

Determinamos los valores decimales de cada número y redondeamos:

Efectuamos la multiplicación:

Redondeamos el producto:

2.3.1. Propiedades de la multiplicación de números reales

Propiedad de clausura Si multiplicamos dos números reales, el resultado o producto es otro número real.

Si: a R y b R Ejemplo:

Si:

Entonces:

0,8 R

Propiedad conmutativa El orden de los factores reales no altera el producto.

Ejemplo:

Propiedad asociativa La forma en que se agrupan los factores reales no altera el producto.

Ejemplo:

Elemento neutro Es el uno (1). Si multiplicamos cualquier número real por 1 se obtiene el mismo número real.

Si: a R a x 1 = a

Elemento absorbente Cualquier número multiplicado por cero (0) da como producto CERO.

Si: a R a x 0 = 0

Propiedad distributiva Al multiplicar un número real por la suma de otros dos, el resultado es igual a la suma de los productos de dicho número por cada sumando.

Ejemplo:

Propiedad del inverso multiplicativo Al multiplicar un número real distinto de cero por su inverso, se obtiene como producto resultante UNO.

Si: a R

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2.4. DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES

Dividir dos números reales a y b es lo mismo que multiplicar el dividendo (a) por el inverso

del divisor

no nulo, es decir:

, equivale a efectuar:

;

La división de dos números reales a y b, tiene por objeto hallar un tercer número llamado cociente (q), de modo que:

2.4.1. OBSERVACIONES:

La división de números reales no es conmutativa:

La división de números reales no es asociativa:

La división de números reales es distributiva respecto al divisor, cuando el

dividendo es una suma, así:

Ejemplos: 1) Al dividir , el cociente es -3.

Porque:

2) Efectuar:

, con aproximación al centésimo

Resolvemos:

Transformamos la multiplicación:

=

=

=

Determinamos el valor decimal y redondeando:

Efectuando:

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2.5. POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES

En el PRODUCTO CARTESIANO x si a cada par ordenado (a; n), donde a y n Z, le hacemos corresponder un tercer número real llamado POTENCIA, entonces tendremos la operación POTENCIACIÓN de números reales. Así: donde se tiene:

a base real

n exponente entero

P potencia real

2.5.1. POTENCIA DE BASE REAL Y EXPONENTE NATURAL

Si , es una potencia donde , tenemos que: n factores de a Ejemplos: a)

b)

2.5.2. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES

1. Multiplicación de potencias de bases iguales

Ejemplo:

2. División de potencias de bases iguales

ó

Ejemplo:

3. Exponente cero

Si , entonces:

Ejemplo:

4. Exponente negativo

Si: , entonces:

; también:

“El exponente negativo invierte la base” Ejemplo:

5. Potencia de una multiplicación

Ejemplo:

6. Potencia de una división

Ejemplo:

7. Potencia de potencia

Ejemplo:

Ejemplo donde se combinan estas propiedades:

1) Efectuar:

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2.6. RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES

Si tomamos el producto cartesiano R x R para seleccionar los pares ordenados (a ; n) de tal

modo que n N y n 2, se dice que la radicación es una operación que le hace

corresponder a cada par (a ; n) un tercer número real

llamado raíz (r), de tal manera que .

Es decir:

Donde: n es el índice: n N; n 2

a es el subradical o radicando; a R

es el operador radical

r es la raíz; r R

Ejemplos:

1) porque

2) porque

2.6.1. SIGNOS EN LA RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo: porque

2.6.2. PROPIEDADES

RAIZ DE UNA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES

a, b R

n N, n 2 Ejemplo:

RAÍZ DE UNA DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES

Ejemplo:

RAÍZ DE UNA POTENCIA

Ejemplo:

RAÍZ DE RAÍZ

Ejemplo:

POTENCIA DE UNA RAÍZ

El exponente n que afecta a la raíz puede introducirse como exponente del radicando, sin que se altere el índice ni el resultado. Ejemplo:

1)

2)

pero

, luego:

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Para reforzar las operaciones con números reales revisa la siguiente página web: http://www.slideshare.net/esthersh21/operaciones-con-nmeros-reales