Transcript
Page 1: LINIER PROGRAMMING Formulasi Masalah dan Pemodelanadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/53044/02. Linier...Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah

LINIER PROGRAMMING

Formulasi Masalah dan Pemodelan

MATA KULIAH

MATEMATIKA SISTEM

INFORMASI 2[KODE/SKS : IT011215 / 2 SKS]

Page 2: LINIER PROGRAMMING Formulasi Masalah dan Pemodelanadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/53044/02. Linier...Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah

Pengertian Linear Programming

Linear Programming (LP) adalah salah satu teknikriset operasi yang paling banyak dipergunakan dalamprakti dan paling dikenal karena mudah dipahami.

LP menggunakan model matematika linear. Denganmenggunakan teknik LP, kita bisa mencapai “output”yang optimum (= maksimum atau minimum)berdasarkan “input” yang terbatas.

Metode-metode yang ada di Linear Programing :

Grafik Kendala: hanya untuk perusahaan yang memproduksi hanya 2 produk.

Simplex

Dualitas Digunakan bila terjadi perubahan kapasitas.

Page 3: LINIER PROGRAMMING Formulasi Masalah dan Pemodelanadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/53044/02. Linier...Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah

4 Ciri Khusus Linier Programming:

1.penyelesaian masalah mengarah pada pencapaian tujuan

maksimisasi atau minimisasi

2.kendala yang ada membatasi tingkat pencapaian tujuan

3.ada beberapa alternatif penyelesaian

4.hubungan matematis bersifat linear

TUJUAN LINIER PROGRAMMING

Tujuan perusahaan umumnya:memaksimalisasi keuntungan,

namun karena terbatasnya sumber daya,makadapatjuga

perusahaan meminimalkan biaya

Page 4: LINIER PROGRAMMING Formulasi Masalah dan Pemodelanadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/53044/02. Linier...Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah

5 syarat tambahan dari permasalahan linear programming

(asumsi dasar), yaitu:

1. certainty (kepastian): fungsi tujuan dan fungsi kendala

sudah diketahui dengan pasti dan tidak berubah selama

periode analisa.

2. proportionality (proporsionalitas): proporsionalitas dalam

fungsi tujuan dan fungsi kendala.

3. additivity (penambahan): aktivitas total sama dengan

penjumlahan aktivitas individu.

4. divisibility (bisa dibagi-bagi) : solusi tidak harus merupakan

bilangan integer (bilangan bulat), tetapi bisa juga berupa

pecahan.

5. non-negative variable (variabel tidak negatif): Artinya bahwa

semua nilai jawabanatau variabel tidak negatif.

TUJUAN LINIER PROGRAMMING

Page 5: LINIER PROGRAMMING Formulasi Masalah dan Pemodelanadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/53044/02. Linier...Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah

Fungsi-Fungsi Dalam PL

1. Fungsi Tujuan (objective function)

Fungsi yang menyatakan tujuan yang akan dicapai,

dapat berupa laba maksimal atau biaya minimal

2. Fungsi Kendala (contrains or subject to)

Fungsi yang menyatakan batasan atau kendala dari faktor produksi yang dimiliki

Simbol yang digunakan : <, >, =

3. Fungsi Status (status function)

Fungsi yang menyatakan bahwa setiap variabel yangterdapat di dalam model programasi linear tidak bolehnegatif

Page 6: LINIER PROGRAMMING Formulasi Masalah dan Pemodelanadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/53044/02. Linier...Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah

Fungsi Matematika untuk

Masing-masing Fungsi

1. Fungsi TujuanMaks. Laba Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn

3. Fungsi Statusx1 ; x2 ……………….. Xn > 0

Bentuk Umum Model LP:

Maksimum / Minimum : Z = Fungsi Tujuan

dengan syarat : ( ≤ , = , ≥ ) Fungsi Batasan

2. Fungsi Kendala

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn

<<

b1

b2

.. .. .. ..

.. ..

am1x1 + am2x2 + … + amnxn< bn

.. ..

Page 7: LINIER PROGRAMMING Formulasi Masalah dan Pemodelanadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/53044/02. Linier...Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah

Contoh 1

Suatu perusahaan menghasilkan dua produk, meja dan kursi yang

diproses melalui dua bagian fungsi: perakitan dan pemolesan. Pada

bagian perakitan tersedia 60 jam kerja, sedangkan pada bagian

pemolesan hanya 48 jam kerja. Untuk menghasilkan 1 meja

diperlukan 4 jam kerja perakitan dan 2 jam kerja pemolesan,

sedangkan untuk menghasilkan 1 kursi diperlukan 2 jam kerja

perakitan dan 4 jam kerja pemolesan,Laba untuk setiap meja dan

kursi yang dihasilkan masing-masing Rp. 80.000 dan Rp. 60.000,-

Berapa jumlah meja dan kursi yang optimal dihasilkan?

Studi Kasus

Page 8: LINIER PROGRAMMING Formulasi Masalah dan Pemodelanadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/53044/02. Linier...Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah

Perumusan persoalan dlm bentuk matematika:

Maks :Laba = 8X1 + 6 X2 (dalam satuan Rp.10. 000)

Dengan kendala:

4X1 + 2X2 60

2X1 + 4X2 48

X1, X2 0

Penyelesaian

Perumusan persoalan dalam bentuk tabel :

Proses Waktu yang dibutuhkan

per unitTotal jam

tersediaMeja Kursi

Perakitan 4 2 60

Pemolesan 2 4 48

Laba/unit 80.000 60.000

Page 9: LINIER PROGRAMMING Formulasi Masalah dan Pemodelanadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/53044/02. Linier...Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah

Perumusan persoalan dalam model LP untuk contoh 1

1.Definisi variabel keputusan:

Keputusan yg akan diambil adalah berapakah jumlah meja

dan kursi yang akan dihasilkan. Jika meja disimbolkan

dengan X1 dan kursi dengan X2, maka definisi variabel

keputusan:

X1 = jumlah meja yang akan dihasilkan (dalam satuan

unit) X2 = jumlah kursi yang akan dihasilkan (dalam

satuan unit)

2.Perumusan fungsi tujuan:

Laba utk setiap meja dan kursi yg dihasilkan masing2 Rp.

80.000 dan Rp. 60.000. Tujuan perusahaan adalah

untuk memaksimumkan laba dari sejumlah meja dan

kursi yg dihasilkan. Dengan demikian, fungsi tujuan

dapat ditulis: Maks.:Laba = 8X1 + 6X2 (dalam satuan

Rp.10. 000)

Page 10: LINIER PROGRAMMING Formulasi Masalah dan Pemodelanadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/53044/02. Linier...Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah

Perumusan persoalan dalam model LP untuk contoh 1

(Lanjutan)

3.Perumusan Fungsi Kendala

a.Kendala pada proses perakitan

Utk menghasilkan 1 buah meja diperlukan waktu 4 jam

dan untuk menghasilkan 1 buah kursi diperlukan waktu 2

jam pada proses perakitan. Waktu yang tersedia adalah

60 jam.

4X1 + 2X2 60

b.Kendala pada proses pemolesan

Untuk menghasilkan 1 buah meja diperlukan waktu 2 jam

dan untuk menghasilkan 1 buah kursi diperlukan waktu 4

jam pada proses pemolesan. Waktu yang tersedia adalah

48 jam.

2X1 + 4X2 48

4.Kendala non-negatif

Meja dan kursi yang dihasilkan tidak memiliki nilai negatif.

X1, X2 0

Page 11: LINIER PROGRAMMING Formulasi Masalah dan Pemodelanadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/53044/02. Linier...Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah

Studi Kasus

Untuk menjaga kesehatan seseorang harus memenuhi kebutuhan

minimum perhari akan beberapa zat makanan. Misalnya ada 3 zat

makanan yang dibutuhkan yaitu : kalsium ( I) , protein ( II ) , dan

vitamin A( III) yang harga , zat yang terkandung dan kebutuhan

minimum perhari akan zat makanan tersebut pada table berikut :

Masalahnya bagaimana kombinasi ketiga jenis

makanan itu akan memenuhi kebutuhan minimum

perhari dan memberikan biaya terendah?

Makanan

I II III

Kebutuhan Minimum

Harga/unit 0.5 0.8 0.6

Kalsium 5 1 0 8Protein 2 2 1 10Vitamin A 1 5 4 22

Contoh 2: Masalah Diet

Page 12: LINIER PROGRAMMING Formulasi Masalah dan Pemodelanadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/53044/02. Linier...Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah

Variabel : x1 = jumlah makanan I

x2 = jumlah makanan II

x3 = jumlah makanan III

Fungsi Tujuan :

Minimum : Z = 0.5 x1 + 0.8 x2+ 0.6 x3

Fungsi Batasan :

2 x 2 x x 10(Pr otein )1 2

22(Vita min)x 5 x 4 x1 2

5 x x 8(kalsium )1 2

3

3

Page 13: LINIER PROGRAMMING Formulasi Masalah dan Pemodelanadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/53044/02. Linier...Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah

Contoh 3 : ( Bakery )

Suatu bakery membuat roti yang berisi daging dari suatu campuran daging dan ayam tanpa lemak. Daging sapi mengandung 80 persen daging dan 20 persen lemak dan harganya 80 rp /ons. Daging ayam mengandung 68 persen daging dan 32 persen lemak dan harganya 60 rp/ons. Berapa banyaknya masing-masing daging yang harus digunakan untuk tiap ons roti daging jika diinginkan untuk meminimumkan harganya dengan mempertahankan kandungan lemak tidak lebih dari 25 persen?

Model LP :

x1 = jumlah ons daging sapi

x2 = jumlah ons daging ayam

F. Tujuan :Min: Z = 80 x1 + 60x2

F. Batasan :

x x 11

0.250.2x 0.32x1

2

2

Page 14: LINIER PROGRAMMING Formulasi Masalah dan Pemodelanadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/53044/02. Linier...Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah

Solusi LP

Metode untuk memecahkan program linier diataranya adalahmetode grafik dan metode simpleks.

Untuk memulai penerapan metode tersebut maka semua fungsibatasan ketidaksamaan harus ditransformasikan menjadipersamaan dan juga harus diketahui salah satu pemecahan yangfeasible (layak)dan tidak negative.

Batasan yang memiliki bentuk :

Dimana adalah salah satu dari relasi ≤ ,≥ , = ( tidak perlu sama untuksetiap I ) konstanta bi selalu dianggap tidak negatif

Contoh : 2x 3x 5x 31 2 3

Dikalikan -1 jadi

Sehingga ruas kanan tidak negatif

a x bj i

n

j 1

i j

2x 3x 5x 31 2 3

Persyaratan Tidak Negatif

Page 15: LINIER PROGRAMMING Formulasi Masalah dan Pemodelanadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/53044/02. Linier...Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah

Variabel Slack ( Kurang) dan Surplus

n

Variabel Slack ( Kurang )

j 1

Untuk diubah menjadi suatu persamaan dengan menambah sebuah variabel taknegatif baru pada ruas kirinya.

Contoh : 2x 3x 5x 31 2 3

Diubah menjadi persamaan menjadi :

n

Variabel Surplus

j 1

Untuk diubah menjadi suatu persamaan dengan mengurangkan sebuahvariabel tak negatif baru pada ruas kirinya.

Contoh

:

Diubah menjadi persamaan menjadi :

a x bi

i j j

2x 3x 5x x 31 2 3 4

a x bi

i j j

2x 3x 5x 31 2 3

2x 3x 5x x 31 432

Page 16: LINIER PROGRAMMING Formulasi Masalah dan Pemodelanadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/53044/02. Linier...Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah

Variabel buatan ( artificial variable )

Pada ruas kiri setiap fungsi batasan yang tidak

mengandung variabel slack dapat ditambahkan

variabel buatan. Dengan demikian tiap fungsi

pembatas akan mempunyai variabel slack dan

buatan.

Contoh: (***)

Persamaan variabel buatan x5 dan x6

2 x 3 x x 31 2 3

x 4 x x x 51 2 4 5

7 x 8 x x 1 01 2 6

2 x 3x 31

x 4 x 51 2

7 x 8x 101 2

2

7 x 8 x 1 01

2 x 3 x x 31

x 4 x x 51 2

2

4

32

Page 17: LINIER PROGRAMMING Formulasi Masalah dan Pemodelanadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/53044/02. Linier...Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah

Solusi Awal yang feasible.

Setiap persamaan batasan akan mengandung variabel slack atau buatan. Solusi awal tak negatif bagi fungsi batasan diperoleh dengan menetapkan variabel slack dan buatan sama dengan ruas kanan dari fungsi kendala dan menetapkan semua variabel lainnya termasuk variabel surplus sama dengan nol.

Contoh: (***)

Solusi awal :

Penalty Cost

Penambahan var slack dan surplus tidak mengubah sifat fungsi batasan maupun tujuan. Oleh karena itu variabel tersebut dapat diikut sertakan pada fungsi tujuan dengan koefisien nol. Sedangkan variabel buatan mengubah fungsi fungsi batasan.Karena variabel buatan ini hanya dtambahkan pada salah satu ruas persamaan, maka system yang baru ekivalen dengan fungsi kendala yang lama jika dan hanya jika variabel buatannya nol.

x 3,x 5, x 105 63

Page 18: LINIER PROGRAMMING Formulasi Masalah dan Pemodelanadydaryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/53044/02. Linier...Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah

Contoh kasus minimum & maksimum Seorang produsen memiliki 2 macam bahan mentah I

dan II yang masing-masing tersedia sebanyak 8satuan dan 5 satuan (ton, kuintal, dll). Diamemproduksi 2 macam produk yaitu produk A dan B.Berdasarkan data teknis, maka diketahui bahwa: 1unit produk A memerlukan 2 unit bahan mentah I dan1 unit bahan mentah II dan 1 unit produk Bmemerlukan 3 unit bahan mentah I dan 2 unit bahanmentah II. Berdasarkan hasil riset pemasaran, 1 unitproduk A laku Rp 15 ribu dan 1 unit produk B laku Rp10 ribu kalau dijual di pasaran. Berapa produksibarang A dan B agar jumlah hasil maksimum/minimum dengan memerhatikan pembatasan bahwabahan mentah yang dipergunakan dalam prosesproduksi tidak boleh melebihi persediaan yang ada.Bahan mentah I tidak boleh lebih dari 8 unit danbahan mentah II tidak boleh lebih dari 5 unit.


Top Related