MATERI :DIMENSI TIGAKELAS/SEMESTER : X/GANJIL

A

H G

FE

DC

B

TITIK

Definisi:Titik tidak dapat didefinisikan tetapi dapat dinyatakan dengan tanda noktah (.). Nama sebuah titik biasanya menggunakan huruf kapitalContoh :Lihat Kubus ABCD.EFGH di sampingTitik-titik pada kubus ABCD.EFGH tersebut adalah: A, B, C, D, E, F, G, dan H

garisDefinisi :Garis adalah deretan titik-titik (tak berhingga yang saling bersebelahan dan memanjang ke dua arah.Contoh :Lihat Kubus ABCD. EFGH di sampingGaris-garis pada kubus ABCD.EFGH antara lainABCGBG (diagonal sisi)AG (diagonal ruang)

A

H G

FE

DC

B

BIDANG

Definisi Bidang Datar :Bidang merupakan titik – titik yang mempunyai ukuran luas.

Contoh bidang pada kubus ABCD.EFGH- Bidang ABCD- Bidang DCGH- Bidang BDGA

H G

FE

DC

B

KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG

Kedudukan Titik dan Garis Kedudukan Titik dan Bidang Kedudukan 2 buah Garis Kedudukan Garis dan Bidang Kedudukan 2 buah Bidang

Kedudukan titik dan garis

Titik Terletak pada GarisContoh pada Kubus ABCD.EFGHB terletak pada ABP terletak paba CGQ terletak pada ABTitik Di Luar GarisC di luar garis ADP di luar garis BFA

H G

FE

DC

B

P

Q

KEDUDUKAN TITIK DAN BIDANG

Titik Terletak pada BidangContoh pada Kubus ABCD .EFGHB pada bidang ABCDP pada bidang DCGHQ pada bidang ABCDTitik Di Luar BidangC di luar bidang ADHEP di luar bidang BDG

A

H G

FE

DC

B

P

Q

KEDUDUKAN 2 BUAH GARIS

Saling BerimpitAB dan ABAB dan BQSaling sejajarAB dan DCEH dan FGSaling BerpotonganAB dan BCEG dan APSaling BersilanganBC dan DHAP dan BG

A

H G

FE

DC

B

P

Q

CONTOH KEDUDUKAN 2 GARIS PADA KUBUS ABCD.EFGH

KEDUDUKAN GARIS DAN BIDANG

Garis Terletak pada BidangBC pada ABCDAG pada ACGEGaris Sejajar BidangBC sejajar ADHEEF sejajar DCGHGaris Memotong/Menembus BidangAB memotong BCGFCE memotong BDG

A

H G

FE

DC

B

CONTOH KEDUDUKAN GARIS DAN BIDANG PADA KUBUS ABCD.EFGH

KEDUDUKAN 2 BUAH BIDANG

Saling BerimpitABCD dan ABDABD dan BCDSaling SejajarBCGF dan ADHEBDG dan AFHSaling BerpotonganABFE dan BCGFACGE dan BDG

A

H G

FE

DC

B

CONTOH KEDUDUKAN 2 BUAH BIDANG PADA KUBUS ABCD.EFGH

Kita akan membahas jarak antara:

titik ke titik titik ke garis titik ke bidang garis ke garis garis ke bidang bidang ke bidang

Jarak titik ke titik

Gambar disamping,menunjukan

jarak titik A ke B,adalah panjang ruas garis

yang menghubungkantitik A ke B

A

BJa

rak

dua

titik

ContohDiketahui

kubus ABCD.EFGHdengan

panjang rusuk a cm.Tentukan jarak

titik A ke C, titik A ke G,

dan jarak titik A ketengah-tengah bidang EFGHA B

CD

HE F

G

a cm

a cm

a cm

P

PembahasanPerhatikan

segitiga ABC yangsiku-siku di B, maka

AC = = = = Jadi diagonal sisi AC = cm

A BCD

HE F

G

a cm

a cm

a cm

22 BCAB 22 aa

2a2

2a

2a

Jarak titik ke GarisA

g

Jara

k titik

dan

gar

is

Gambar disamping,menunjukanjarak titik A kegaris g adalahpanjang ruas garis yang ditarik dari titik A dan tegak lurus garis g

Contoh

Diketahui T.ABCDlimas beraturan.Panjang rusuk alas12 cm, dan panjangrusuk tegak 12√2 cm. Jarak A ke TC adalah….

12 cm

12√2

cm

T

C

A B

D

PembahasanJarak A ke TC = APAC = diagonal persegi = 12√2AP = = = = Jadi jarak A ke TC = 6√6 cm

12 cm

12√2

cm

T

C

A B

D

P

12√2

6√2

6√2

22 PCAC 22 )26()212( 108.2)36 144(2

6636.3.2

Jarak titik ke bidangGambar disamping,menunjukan jarakantara titik A kebidang V adalahpanjang ruas garis yang menghubungkantegak lurus titik A ke bidang V

A

V

Contoh

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 10 cmJarak titik A kebidang BDHF adalah….

A BCD

HE F

G

10 cm

P

PembahasanJarak titik A kebidang BDHF diwakili olehpanjang AP.(APBD)AP = ½ AC (ACBD) = ½.10√2 = 5√2

A BCD

HE F

G

10 cm

P

Jadi jarak A ke BDHF = 5√2 cm

Jarak garis ke garisGambar disamping,menunjukan jarakantara garis g ke garis h adalahpanjang ruas garis yang menghubungkan tegak lurus keduagaris tersebut

P

Q

g

h

ContohDiketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 4 cm.Tentukan jarak:

A BCD

HE F

G

4 cma.Garis AB ke garis HGb.Garis AD ke garis HFc.Garis BD ke garis EG

PenyelesaianJarak garis:a.AB ke garis HG = AH (AH AB, AH HG) = 4√2 (diagonal

sisi)b.AD ke garis HF = DH (DH AD, DH HF = 4 cm

A BCD

HE F

G

4 cm

Penyelesaian

Jarak garis:b.BD ke garis EG = PQ (PQ BD, PQ EG = AE = 4 cm

A BCD

HE F

G

4 cmP

Q

Jarak garis ke bidangGambar disamping, menunjukanJarak antara garis g ke bidang V adalahpanjang ruas garis yang menghubungkantegak lurus garisdan bidang

V

g

Contoh

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 8 cmJarak garis AE kebidang BDHF adalah….

A BCD

HE F

G

8 cm

P

PembahasanJarak garis AE kebidang BDHF diwakili olehpanjang AP.(AP AEAP BDHF)AP = ½ AC(ACBDHF) = ½.8√2 = 4√2

A BCD

HE F

G

8 cm

P

Jadi jarak A ke BDHF = 4√2 cm

V

W

Jarak Bidang dan Bidangperagaan,

menunjukan jarakantara bidang Wdengan bidang Vadalah panjang ruas garis yangtegak lurusbidang W dantegak lurus bidang V

W

Jara

k Dua B

idang

Contoh

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 6 cm.Jarak bidang AFHke bidang BDGadalah….

A BCD

HE F

G

6 cm

6 cm

PembahasanJarak bidang AFHke bidang BDGdiwakili oleh PQPQ = ⅓ CE(CE diagonal ruang)PQ = ⅓. 9√3 = 3√3

A BCD

HE F

G

6 cm

6 cm

P

Q

Jadi jarak AFH ke BDG = 4√2 cm

Sudut Pada Bangun Ruang:

Sudut antara dua garis

Sudut antara garis dan bidang

Sudut antara bidang dan bidang

Sudut antara Dua Garis

Yang dimaksud dengan

besar sudut antara

dua garis adalah

besar sudut terkecil

yang dibentuk

oleh kedua

garis tersebut

k

m

ContohDiketahui kubus ABCD.EFGH Besar sudut antaragaris-garis:a. AB dengan BGb. AH dengan AF c. BE dengan DF

A BCD

HE F

G

PembahasanBesar sudut antaragaris-garis:a. AB dengan BG = 900

b. AH dengan AF = 600 (∆ AFH smss)c. BE dengan DF = 900 (BE DF)

A BCD

HE F

G

P

QV

Sudut antara Garis dan Bidang

Sudut antara garis a dan bidang

dilambangkan (a,)adalah sudut antara

garis a dan proyeksinya pada .

Sudut antara garis PQ dengan V = sudut antara PQ dengan P’Q = PQP’

P’

ContohPada limas

segiempat beraturan

T.ABCD yang semua

rusuknya sama panjang,

sudut antara TA dan bidang ABCDadalah….

T

A B

CD

a cm

a cm

Pembahasan• TA = TB = a cm• AC = a√2 (diagonal persegi)• ∆TAC = ∆ siku-siku samakaki

T

A B

CD

a cm

a cm

sudut antara TA dan bidang ABCDadalah sudut antara TA dan ACyang besarnya 450

Sudut antara Bidang dan Bidang

Sudut antara

bidang dan bidang adalah sudut antara

garis g dan h, dimana

g (,) dan h (,).(,) garis potong bidang dan

(,)

g

h

Contoh

Diketahui kubus ABCD.EFGHa. Gambarlah sudut antara bidang BDG dengan ABCDb. Tentukan nilai sinus sudut antara BDG dan ABCD!

A BCD

HE F

G

Pembahasana. (BDG,ABCD) • garis potong BDG dan ABCD BD • garis pada ABCD yang BD AC • garis pada BDG yang BD GP

A BCD

HE F

G

Jadi (BDG,ABCD) = (GP,PC) =GPC

P

Pembahasanb. sin(BDG,ABCD) = sin GPC

=

=

= ⅓√6A BCD

HE F

G

Jadi, sin(BDG,ABCD) = ⅓√6

P

GP

GC

x 6a

a

21 .6

6

6

6

21