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Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo es producto de un estudio experimental realizado en diversas

aulas del país como parte del proyecto Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat), desarrollado por la

Dirección General de Materiales y Métodos Educativos de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal, de

la Secretaría de Educación Pública, y por el Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa.

Coordinación de autores

Sonia Ursini Legovich

Mónica Orendain Tremear

Autores

Simón Mochón Cohen (Cinvestav)

Teresa Rojano Ceballos

Sonia Ursini Legovich

Diseño de actividades

Simón Mochón Cohen

Coordinación editorial

Elena Ortiz Hernán Pupareli

Cuidado de la edición

José Manuel Mateo

Corrección

Felipe Vázquez

Supervisión técnica-editorial

Alejandro Portilla de Buen

Diseño y formación

Leticia Dávila Acosta

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología

Dirección general

Elisa Bonilla Rius (SEP)

Guillermo Kelley Salinas (ILCE)

Coordinación general de Enseñanza

de las Matemáticas con Tecnología

Teresa Rojano Ceballos (Cinvestav)

Vinculación, infraestructura y soporte técnico

Marcela Santillán Nieto (ILCE)

Coordinación

Sonia Ursini Legovich (Cinvestav)

Mónica Orendain Tremear (asistente)

Evaluación

Teresa Rojano Ceballos

Luis Moreno Armella (Cinvestav)

Elvia Perrusquía Máximo (asistente)

Asistentes de cómputo

Iván Cedillo Miranda

Arturo Torres

Instructores

Ramiro Ávila (Hermosillo, Son.)

César Corral (Chihuahua, Chih.)

Fortino Fregoso (Guadalajara, Jal.)

Gerardo Haase (Aguascalientes, Ags.)

José Ramón Jiménez (Hermosillo, Son.)

Felícitas Licea (Colima, Col.)

Alejandro Ocaña (Xalapa, Ver.)

Leticia Pérez (Tlaxcala, Tlax.)

Rubén Sanzón (León, Gto.)

Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo.

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología

se imprimió por encargo de la Comisión Nacional

de los Libros de Texto Gratuitos

en los talleres de

con domicilio en

el mes de noviembre de 2000.

El tiraje fue de 10000 ejemplares

más sobrantes de reposición.

La evaluación del proyecto Emat fue financiada

por el Conacyt, en el marco del proyecto

de grupo Incorporación de Nuevas Tecnologías

a la Cultura Escolar (G526338S), bajo la dirección

de investigadores del Cinvestav.

D.R. © SEP-ILCE, 2000

Secretaría de Educación Pública

Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F.

Instituto Latinoamericano

de la Comunicación Educativa

Calle del Puente 45, colonia Ejidos

de Huipulco, Tlalpan 14380, México, D.F.

ISBN 970-18-5150-1

Impreso en México

DISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA

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Profesor: ¡Bienvenido a Emat! 7

El laboratorio Emat 9

Hoja electrónica de cálculo 15

Estudiantes: ¡Bienvenidos a Emat! 25

Actividades básicas 27

Un paseo corto por una hoja de cálculo 28

Introduciendo fórmulas 29

Más fórmulas 31

Otra fórmula ¿conocida? 33

Comprando ropa 34

Adivina la fórmula 36

Invierte la fórmula 37

Generando secuencias de números 38

Comparando secuencias 40

Comprando ropa (versión avanzada) 42

Actividades expresivas 43

Divisibilidad 44

¿Sabes qué significa MCD? 46

¿Sabes qué significa mcm? 48

Porcentajes (1) 50

Descuentos y más descuentos 51

Variación proporcional (1) 53

Variación proporcional (2) 56

Variación proporcional (3) 58

Raíz cuadrada y cúbica 59

Ecuaciones (1) 61

Ecuaciones (2) 63

Ecuaciones (3) 65

¿Sabes qué es una razón? 66

Otro tipo de razones 68

Una investigación con razones 70

Máquinas transformadoras 72

Números consecutivos 73

Del perímetro y el área a los lados 75

Variación lineal (1) 77

ÍndiceÍndice

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Variación lineal (2) 79

Variación lineal (3) 82

Lineales que caen 84

Ecuaciones explícitas vs. recursivas 87

Recursividad (1) 89

Recursividad (2) 91

Péndulo 93

Ángulo de elevación y de depresión 95

Explosión demográfica 98

Inflación contra salario 99

Interés compuesto 101

Tiempos de duplicación en el crecimiento compuesto 103

Construyendo dados 105

El problema del cumpleaños 108

Actividades exploratorias 110

Descomposición en primos 112

Cálculo del MCD y el mcm 113

Fracciones equivalentes 115

Polígonos regulares 118

Algoritmo de Euclides para calcular el MCD y el mcm 121

Analizando gráficas de rectas 123

Sistema de dos ecuaciones 124

Ecuaciones diofantinas 127

Funciones cuadráticas 129

Simulación con el modelo de urna (1) 131

Simulación con el modelo de urna (2) 133

Simulación con el modelo de urna (3) 134

Jugando con dados de tres caras 136

Chances 139

Análisis de textos 142

Apuestas 144

Adivina qué está pasando 147

¿Por dónde saldrá? 149

Anexos 153

Descripción del archivo FactPrim.xls 154

Descripción del archivo HojaAlg.xls 155

Descripción del archivo Rndmz.xls 156

Examen: Hoja de cálculo. Primer grado 158

Examen: Hoja de cálculo. Segundo grado 164

Examen: Hoja de cálculo. Tercer grado 169

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Profesor:¡Bienvenido a Emat!Profesor:¡Bienvenido a Emat!

Este libro forma parte de la serie de publicaciones derivada de los materiales

diseñados y puestos a prueba dentro del proyecto Enseñanza de las Mate-

máticas con Tecnología (Emat). A principios de 1997, por iniciativa de la

Subsecretaría de Educación Básica y Normal y el Instituto Latinoamericano de la Co-

municación Educativa, se puso en marcha la fase piloto de este proyecto de innova-

ción educativa en 15 escuelas secundarias públicas de ocho estados de la república.

Los propósitos generales del proyecto Emat se enmarcan en los del Programa de Mo-

dernización Educativa y son los siguientes:

Elevar la calidad de la enseñanza de las matemáticas en la escuela secun-

daria.

Impulsar la formación de profesores de matemáticas de este nivel escolar.

Promover el uso de las nuevas tecnologías en la educación.

Generar y actualizar métodos y contenidos educativos de la matemática

escolar.

Más específicamente, con el proyecto Emat se busca mostrar que es factible

aprovechar las nuevas tecnologías —apoyadas en un modelo pedagógico que

permita construir ambientes de aprendizaje apropiados— para enriquecer y

mejorar la enseñanza actual de las matemáticas en la escuela secundaria. En-

tre las características principales del modelo que propone el proyecto Emat se

encuentran:

1. La utilización de piezas de software y herramientas que hacen posible dar

un tratamiento fenomenológico a los conceptos matemáticos; es decir, con

dichas piezas y herramientas se puede concretar la idea de que los con-

ceptos son organizadores de fenómenos. Así, la contextualización de las

actividades matemáticas no es una mera ambientación, sino que las situa-

ciones planteadas por la actividad corresponden a comportamientos de

fenómenos que —en cierto modo— forman parte de la esencia del concepto

que se busca enseñar.

2. La utilización de piezas de software y herramientas que impliquen repre-

sentaciones ejecutables, es decir, que contemplen la manipulación directa

de objetos o de representaciones de objetos (matemáticos).

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3. La utilización de piezas de software y herramientas cuyo uso está relacio-

nado con un área específica de la matemática escolar (aritmética, álge-

bra, geometría, probabilidad, modelación, matemática del cambio).

4. La especialización de los usuarios de la tecnología (alumnos y maestros)

en una o más piezas de software o herramientas, de tal forma que logren

dominarla y, al mismo tiempo, la empleen en la enseñanza y aprendizaje

de temas curriculares específicos, antes de pasar al uso de otra herramien-

ta en el aula.

5. La puesta en práctica de un modelo de cooperación para el aprendizaje:

los estudiantes trabajarán en parejas frente a la computadora en una mis-

ma actividad, lo que promoverá la discusión y el intercambio de ideas.

6. La práctica de un modelo pedagógico en el que el profesor promueve el

intercambio de ideas y la discusión en grupo, y al mismo tiempo actúa

como mediador entre el estudiante y la herramienta, es decir, el ambiente

computacional —asistiendo a los estudiantes en su trabajo con las activida-

des de clase y compartiendo con ellos el mismo medio de expresión.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo

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El laboratorio EmatEl laboratorio Emat

Estudios realizados en los últimos años han demostrado que el uso de nuevas

tecnologías abre perspectivas interesantes para la enseñanza de las mate-

máticas y otras ciencias. Entre los beneficios que brindan podemos mencio-

nar los siguientes:

Ofrece al estudiante ambientes de trabajo que estimulan la reflexión y lo

convierten en un ser activo y responsable de su propio aprendizaje.

Provee un espacio problemático común al maestro y al estudiante para

construir significados.

Elimina la carga de los algoritmos rutinarios para concentrarse en la con-

ceptualización y la resolución de problemas.

Da un soporte basado en la retroalimentación.

Reduce el miedo del estudiante a expresar algo erróneo y, por lo tanto, se

aventura más a explorar sus ideas.

La computadora y la calculadora nunca van a suplir al maestro: son instrumen-

tos de apoyo, como el pizarrón y el gis, aunque sus características sean esencial-

mente diferentes.

El objetivo principal del empleo de la tecnología en el aula no se reduce a

practicar algoritmos, sino que ayuda al alumno a descubrir y construir conceptos y

técnicas mediante el ejercicio de la reflexión. Así, la matemática pasa a ser mucho

más que una simple mecanización de procedimientos.

Una característica importante de los paquetes de cómputo que se han elegido

para el proyecto Emat es que son abiertos. Es decir, el usuario decide qué hacer

con ellos, en vez de que el programa computacional dirija todo el trabajo —como

ocurre en los programas tutoriales—. Estos paquetes abiertos pueden usarse con

objetivos didácticos muy diversos, muchos de los cuales están definidos por las

actividades que se proponen en este libro.

Un laboratorio Emat está integrado básicamente por el siguiente equipo:

Computadoras para los alumnos

Computadora para el maestro

Impresora

Módem (opcional)

Reguladores de corriente

Calculadoras

Mesas y sillas adecuadass

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Para instalar un laboratorio Emat en una escuela es necesario contar con un

aula de buen tamaño (por ejemplo de 8 x 12 m) que tenga corriente eléctrica de

110 voltios y que cuente con contactos trifásicos. Si se desea que alguna computa-

dora tenga acceso a internet debe contarse, además, con una línea telefónica.

Dado que el equipo que integra el laboratorio es muy costoso, resulta indispen-

sable instalar en el aula varias protecciones; por ejemplo: puerta con llave, enreja-

do en las ventanas, mueble para guardar las calculadoras. Es importante también

que las computadoras estén conectadas a reguladores de corriente.

Para el buen funcionamiento del trabajo en un laboratorio Emat, recomenda-

mos que, en la medida de lo posible, las computadoras se acomoden en forma de

herradura, como se muestra en el esquema.

Al instalar las computadoras hay que procurar que entre ellas quede espacio

suficiente para que puedan sentarse cómodamente dos o tres niños por máquina.

La disposición en herradura tiene múltiples ventajas. Por un lado, facilita al maestro

pasar de un equipo de alumnos a otro y observar el trabajo que están realizando.

Por el otro, con sólo girar las sillas, dando la espalda a la computadora, los alum-

nos pueden acomodarse para participar en una discusión colectiva o atender las

explicaciones que el maestro dirija a todo el grupo.

Es necesario también que en el centro del aula haya mesas de trabajo. Los alum-

nos las utilizarán, sobre todo, cuando trabajen con las calculadoras, pero también

cuando sus actividades requieran desarrollar alguna tarea con lápiz y papel.

Para enseñar matemáticas en un laboratorio Emat se hace uso de distintos pa-

quetes computacionales (Cabri-Géomètre, Excel, SimCalc MathWorlds, Stella).

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo

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Algunos de estos son de acceso libre y pueden obtenerse en internet; otros son

comerciales y necesitan adquirirse con los proveedores junto con los permisos para

usarse en grupo. Para más información al respecto puede consultar la página de

Emat en internet, cuya dirección es:

http://emat-efit.ilce.edu.mx/emat-efit/emat

Metodología de trabajo

Enseñar matemáticas utilizando computadoras o calculadoras conlleva muchos

cambios en la organización del trabajo. Éstos se reflejan principalmente en el pa-

pel que desempeña el maestro en este contexto, en la organización del trabajo de

los alumnos y en la manera de evaluar su rendimiento.

El papel del maestro

Las nuevas tecnologías requieren otro tipo de acercamiento a la enseñanza, por lo

que el papel del maestro cambia radicalmente cuando la clase de matemáticas se

desarrolla con tecnología apoyada en hojas de trabajo. Con esta combinación,

tecnología y hojas de trabajo, el profesor tiene la posibilidad de mediar el aprendi-

zaje de sus alumnos de tres formas distintas:

Mediante las hojas de trabajo que les proporciona.

Apoyando y guiando a los estudiantes durante la resolución de las hojas

de trabajo en el salón de clase. Los 45 o 50 minutos de la clase son los más

valiosos en el aprendizaje de los alumnos. En ese tiempo se tiene la oportu-

nidad de interactuar con ellos y de observar sus avances y dificultades, lo

que permitirá darles sugerencias cuando lo necesiten.

En discusiones del grupo completo. El profesor no debe convertirse en el

centro de la discusión; debe procurar que los estudiantes se apropien de

ella. Los alumnos deben presentar sus opiniones e ideas a los demás y el

profesor sólo debe coordinar esta actividad.

En el aula Emat el maestro asume el papel de organizador del trabajo, de guía

y de asesor. Propicia que sus alumnos desarrollen un espíritu abierto a la investiga-

ción; en otras palabras, los invita a:

Explorar.

Formular hipótesis.

Probar la validez de las hipótesis.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • El laboratorio Emat

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Expresar y debatir sus ideas.

Aprender a partir del análisis de sus propios errores.

En este contexto, el maestro ya no agota el tiempo de clase repasando o

explicando temas nuevos, sino que la mayor parte la dedica a que los alumnos

trabajen para resolver las actividades planteadas en las hojas de trabajo previa-

mente elaboradas. En el aula Emat, el maestro no resuelve las actividades, sus

intervenciones tienen como finalidad que los alumnos reflexionen y encuentren

por sí mismos una solución aceptable. Esta función se ve reforzada por la organi-

zación de los alumnos en equipos de trabajo, pues así el maestro puede pasar de

un equipo a otro observando el trabajo que realizan y auxiliándolos, cuando sea

necesario, para que puedan llevar a cabo la actividad propuesta. Cuando este

tipo de intervención no es suficiente, conviene que el maestro muestre un camino

de solución posible y los invite a adoptarlo y continuar por sí mismos. En estos

casos no se debe proporcionar demasiada información, pues lo importante es que

los equipos sigan trabajando de manera autónoma. El propósito siempre debe ser

ayudar a los alumnos a que se involucren en la actividad, pongan en juego su

saber matemático anterior y lleguen a desarrollar correctamente ideas matemáti-

cas nuevas a partir de sus propias experiencias.

Si la mayoría de los alumnos se enfrenta con el mismo tipo de dificultades al

abordar una actividad determinada, es conveniente organizar una discusión para

tratar de resolver el problema colectivamente. Discusiones de este tipo son buenas

oportunidades para resumir y sistematizar los avances y resultados sobre los que

existe consenso, así como para introducir información nueva que permita a los

alumnos avanzar en su trabajo.

La organización del trabajo de los alumnos

El uso de las computadoras no implica necesariamente un aprendizaje

individualizado. Esta idea parte de que algunos programas de cómputo han sido

diseñados para que sólo una persona trabaje a la vez (es el caso de los llamados

tutoriales). Los programas de cómputo seleccionados para trabajar en el aula Emat

fomentan la interacción de los alumnos entre sí y con su profesor, gracias al em-

pleo de hojas de trabajo. En este acercamiento social del aprendizaje la comuni-

cación desempeña un papel crucial.

Es aconsejable que los alumnos trabajen en equipos (de preferencia de dos

integrantes). Esto fomenta la discusión y produce un aprendizaje más completo y

sólido. Para que el trabajo en equipo sea en verdad efectivo, habrá que evitar

que los estudiantes desempeñen siempre las mismas funciones (por ejemplo, que

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo

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sólo uno lea y el otro trabaje con la computadora o la calculadora), pues si esto

ocurre, solamente adquirirán unas habilidades específicas pero no otras. Los es-

tudiantes pueden formar sus equipos como deseen, pero es aconsejable que

intercambien las tareas para que desarrollen todas las habilidades requeridas:

manejo del software, planteamiento del problema, lectura y comprensión de las

actividades, etcétera.

La organización de los alumnos en equipos de trabajo presenta muchas venta-

jas, sin embargo, no siempre los alumnos tienen experiencia en trabajar de este

modo. Es, por lo tanto, necesario que el maestro les ayude a adoptar esta manera

de trabajar. El trabajo en equipo propicia el intercambio y confrontación de ideas

entre los alumnos. Al trabajar de este modo se espera que cada individuo exponga

su punto de vista, lo discuta y confronte con los demás integrantes. Este intercambio

ayuda al alumno a organizar sus propias ideas y a comunicarlas, a reflexionar

sobre ellas, a defenderlas y a modificarlas cuando sea necesario, a escuchar y

debatir los argumentos de los demás e ir reafirmando sus conocimientos matemáti-

cos y adquiriendo otros nuevos.

Las hojas de trabajo

Las hojas de trabajo son una herramienta fundamental para realizar las activida-

des que se plantean en el aula Emat. En ellas se presenta un problema de manera

sucinta y se formulan preguntas que pueden llevar alguna sugerencia implícita

para que los alumnos empiecen a explorar el problema propuesto. Si bien las

actividades planteadas tienen que desarrollarse usando la tecnología, es necesa-

rio que los alumnos contesten por escrito las preguntas que se formulan en las

hojas de trabajo. Esto tiene un doble propósito. Por un lado, obliga a los alumnos

a reflexionar sobre el procedimiento y el resultado que obtuvieron empleando la

máquina y a sintetizar su experiencia para comunicarla; por otro lado, proporcio-

na información al maestro acerca de la comprensión que los alumnos han alcan-

zado de los conceptos matemáticos involucrados en la tarea. Esta información es

fundamental para que el maestro decida qué acciones pondrá en práctica en las

clases sucesivas, y para que conozca y evalúe el progreso de sus alumnos.

La mayoría de las actividades están pensadas para que todo un grupo de estu-

diantes las lleve a cabo durante las horas normales de clase. Al comenzar la sesión

de trabajo el maestro cuidará que todos los equipos cuenten con las hojas de traba-

jo necesarias para esa sesión y les pedirá que las lean. Es importante que el maes-

tro se cerciore de que los alumnos han entendido en qué consiste la actividad y qué

se espera que hagan. Si hay dudas al respecto, conviene leer la hoja de trabajo

frente a todo el grupo y llegar a un consenso acerca de lo que en ella se plantea.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • El laboratorio Emat

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Propósitos

¿Cuál es el objetivo didáctico de la hoja de cálculo?

La hoja electrónica de cálculo no se creó con un propósito educativo específico,

sin embargo, se ha encontrado que puede ser un gran apoyo para la enseñanza

de diversos temas de matemáticas. Entre las ventajas que reporta el uso didácti-

co de la hoja electrónica de cálculo se pueden mencionar los siguientes:

Permite desarrollar conceptos matemáticos importantes.

Es posible diseñar una experiencia didáctica para el aprendizaje de un

tópico particular.

Permite plantear un problema matemático para su solución.

Se puede construir un modelo matemático y usarlo en la enseñanza de las

ciencias.

Facilita la resolución de problemas de la vida cotidiana (depósitos en ban-

cos, compras en supermercados, etcétera).

¿Cuáles son las ventajas específicas de una hojaelectrónica de cálculo?

En primer lugar debe considerarse que permite hacer muchos cálculos repetitivos

de manera instantánea. Aunque una calculadora es una herramienta más adecua-

da para este propósito, la hoja de cálculo tiene otras virtudes:

La situación que queremos describir o el problema que debemos resolver

puede ordenarse en columnas; cada una de estas columnas representa

una de las variables de la situación.

A cada columna se le puede asignar una cabeza o título para no perder

de vista qué cantidad o variable se está representando.

Es posible designar cantidades especiales (parámetros) para que puedan

variarse fácilmente y observar su efecto.

Permite el empleo de fórmulas sencillas para relacionar las columnas o las

celdas subsecuentes.

Pone a nuestro alcance tablas de valores y sus gráficas correspondientes.

Hoja electrónicade cálculoHoja electrónicade cálculo

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Por lo anterior, la hoja de cálculo facilita el planteamiento y la resolución de

una amplia diversidad de problemas matemáticos, aunque no de todos; es por

esto que el profesor debe proporcionar a sus alumnos una amplia gama de recur-

sos para solucionar situaciones con y sin la computadora.

¿Qué tipo de técnicas matemáticas aparecenal utilizar una hoja de cálculo?

Si bien la hoja de cálculo puede utilizarse para enseñar casi cualquier tema, mu-

chas veces el enfoque resulta diferente del usual, ya que las técnicas para plantear

un problema con y sin la hoja de cálculo son distintas. Por ejemplo, una función

lineal puede plantearse mejor en una hoja de cálculo cuando se aborda con base

en sus cambios (lineal = cambios constantes). En general, el trabajo que se realiza

con la hoja de cálculo muestra que ésta es una herramienta adecuada para la

enseñanza de las relaciones recursivas.

Otro tema que se adapta sin problemas a la hoja de cálculo es el de las funciones

exponenciales, cuando se emplean para establecer un modelo de una situación real.

Por supuesto, existen otras técnicas y temas matemáticos relevantes e importan-

tes que se pueden abordar con la hoja electrónica de cálculo, si bien no todos

están incluidos en nuestro programa de estudios.

Contenidos matemáticos relacionadoscon la hoja de cálculo

Uno de los objetivos primordiales de este proyecto de enseñanza con tecnología

es que el alumno adquiera conocimientos y habilidades que le sean de utilidad no

sólo en materias de carácter científico y en estudios posteriores, sino también en su

vida cotidiana.

En algunos países se ha probado con éxito un enfoque didáctico conocido

como modelación matemática. En éste, el alumno se enfrenta a problemas basa-

dos en situaciones reales, y al resolverlos, se apropia de una serie de herramien-

tas matemáticas importantes. Como los conceptos, tópicos o métodos matemáti-

cos forman parte de la resolución de un problema real adquieren importancia y

así se justifica su estudio. Todas las actividades de este libro se rigen por esa

idea y pueden ser de gran utilidad para el aprendizaje de los estudiantes de

secundaria, aun cuando no sean del tipo que tradicionalmente se enseñan en el

salón de clase.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo

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Temas

Las actividades para trabajar con la hoja de cálculo electrónica están organiza-

das en tres grupos, los cuales se describen a continuación.

Actividades básicas. Se trata de 10 hojas de trabajo que introducen al alumno

en el manejo de la hoja electrónica de cálculo, al mismo tiempo que se abordan

algunos tópicos matemáticos importantes, con lo cual se inicia también el trata-

miento de algunos contenidos de la asignatura.

Actividades expresivas. El objetivo de esta serie de actividades es que los estu-

diantes construyan sus propias hojas de cálculo al tiempo que abordan nuevos

temas matemáticos.

Actividades exploratorias. Se llamó así al tercer grupo de hojas de trabajo

debido a que los alumnos emplearán archivos previamente elaborados para ex-

plorar diversos temas de la asignatura (el presente libro viene acompañado de un

CD con los archivos respectivos).

¿Para qué necesito hojas de trabajo?

Las nuevas tecnologías requieren un acercamiento didáctico diferente, basado en

el alumno y su interacción con las herramientas tecnológicas. Las hojas de trabajo

guían al alumno para que esta comunicación sea lo más provechosa posible y,

algo muy importante, le transfieren la responsabilidad de su aprendizaje.

Las estrategias de enseñanza que se plantean en este libro no se aplican sólo

cuando se usan herramientas tecnológicas, pues también reportan grandes benefi-

cios en el aula tradicional.

¿El diseño de las hojas de trabajo?

Para diseñar una hoja de trabajo se considera el tema, el objetivo didáctico que se

persigue y la herramienta computacional que se planea utilizar.

Con base en estas directrices, se estableció la secuencia para las hojas de

trabajo del presente libro y su contenido. A continuación se describe cada parte

de la secuencia con el fin de proporcionar al maestro una guía que permita dise-

ñar sus propias hojas de trabajo.

1. Se plantea una situación problemática en un contexto real. Esto ayuda al

estudiante a encontrar el significado de lo que está aprendiendo.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Hoja electrónica de cálculo

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2. Se formulan preguntas que ayudan a reflexionar sobre el problema. Estas

preguntas tienen como objetivo que el alumno entienda el problema plan-

teado y que formule algunas expectativas y predicciones antes de trabajar

con la computadora.

3. Se pide al alumno que explore y resuelva el problema con la herramienta

computacional.

4. Se plantean preguntas sobre los resultados así como retos. Para que el

alumno no se limite a realizar la actividad, conviene brindarle oportunida-

des para que cuestione los resultados y exprese ideas relacionadas con el

problema (esto, por falta de espacio, no siempre se hace explícito en la

hoja de trabajo, pero se debe considerar cada vez que se lleve a cabo una

actividad).

5. Discusión y conclusiones. Es importante que el alumno trate de extraer al-

gunas conclusiones de la actividad y que las exponga ante el grupo para

su discusión. En este caso se puede guiar a los alumnos destacando los

elementos más importantes de la actividad.

6. Trabajo extra. Un grupo siempre es heterogéneo y con frecuencia hay estu-

diantes que terminan de trabajar rápidamente. Para ellos se propone al final

de cada actividad un trabajo extra. No se trata de que todos los alumnos

lleven a cabo la actividad adicional, basta con que cubran el material básico.

Como puede observarse, al inicio de la hoja de trabajo se dirige bastante al

estudiante y ya al final se vuelve más abierta para que tenga la posibilidad de

explorar sus ideas.

¿Se pueden diseñar más hojas de trabajo?

Desde luego; para ello puede seguirse el modelo descrito en la sección anterior.

Sin embargo, se debe tener presente que diseñar hojas de trabajo no es sencillo y

que una vez diseñadas deben probarse y refinarse continuamente.

Es muy importante no abusar de la herramienta computacional que tenemos a

la mano. No convendría por ejemplo, usar una hoja de cálculo para hacer tres o

cuatro operaciones, cuando una calculadora sería realmente lo apropiado en este

caso. La hoja de cálculo es idónea, por ejemplo, para hacer cálculos repetitivos.

Debemos por tanto aprovechar las ventajas específicas que nos proporciona y no

emplearla para cualquier situación.

Para comenzar a ejercitarse en el diseño de actividades, el maestro puede usar

dos archivos: Rndmz.xls y HojaAlg.xls. incluidos en el CD que acompaña este libro.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo

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Los instructivos para emplearlos se encuentran en la sección de anexos (véanse pp.

153-156). Tras explorarlos, el maestro podrá aprovechar el primer archivo para

abordar las situaciones aleatorias, mientras que el segundo le será útil para plan-

tear temas algebraicos como las fórmulas inversas y la composición.

¿En qué orden debo aplicar las actividades?

Hay dos maneras: en la primera, si un alumno o un equipo ha concluido una activi-

dad, se le da la siguiente y así, cada uno avanza con un ritmo propio. En la segunda

opción, el grupo entero trabaja con la misma actividad y cuando ésta se da por

concluida, se pasa a la siguiente. La actividad concluye cuando la mayoría de los

estudiantes han terminado. Ambas formas de proceder tienen ventajas y desventa-

jas, pero aquí recomendamos la segunda por las razones expuestas a continuación.

El profesor debe preparar su clase con anterioridad para guiar a sus alumnos

adecuadamente cuando éstos tengan dudas y para prever dificultades que po-

drían presentarse. Obviamente se requiere más tiempo si se trabaja con varias

actividades simultáneamente, que si se emplea una a la vez.

Debe considerarse también que es más difícil dirigir una clase si cada alumno

resuelve una actividad diferente. Pero independientemente de las dificultades que

implica esta opción, quizá la ventaja más importante de trabajar la misma actividad

con todo el grupo es que pueden retomarse las ideas importantes de los alumnos

para comentarlas colectivamente. Este tipo de interacción es muy valiosa porque

unos aprenden de las ideas de otros (el profesor en este caso tiene el papel de un

director de orquesta que armoniza todos los instrumentos sin que se le oiga).

¿Cómo debo proceder si algunos estudiantes se atrasan enlas actividades?

El profesor puede obviar, con los estudiantes atrasados, algunas de las actividades

en las que se retoman temas ya vistos para que estos alumnos logren alcanzar a

todo el grupo. Sin embargo, hay que tener cuidado de que no se vaya a dejar sin

tocar algunas ideas relevantes.

Otra opción conveniente es que los estudiantes adelantados realicen activida-

des de enriquecimiento mientras los demás completan las actividades básicas, so-

bre todo cuando se está cerrando una unidad. Algunas de estas actividades de

enriquecimiento ya se encuentran diseñadas y representan el punto de partida

para que el profesor idee otras.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Hoja electrónica de cálculo

Page 20: Hoja Decal Culo

20@

¿Se deben corregir las hojas de trabajocontestadas por los alumnos?

Las hojas de trabajo no son cuestionarios. Las preguntas que incluyen tienen el

objetivo de guiar al estudiante y hacer que reflexione sobre las ideas que se están

tratando.

Por otro lado, una respuesta correcta no significa necesariamente que el estu-

diante haya entendido lo que está haciendo ni una respuesta errónea implica que

haya procedido de manera incorrecta. Lo importante es observar el trabajo de los

alumnos en clase.

¿Cómo se evalúa el trabajo de los alumnos?

Como ya mencionamos, los 45 o 50 minutos de clase son los más valiosos en el

aprendizaje de los alumnos. También es la mejor oportunidad del profesor para

evaluar a sus alumnos de una manera justa. Así, sugerimos que sea la evaluación

visual de las actividades diarias en el salón de clase la que le sirva para identificar

lo que aprendieron los estudiantes y sus dificultades individuales.

Por otro lado, el profesor tiene que definir sus propias estrategias para que esta

evaluación, además de serle útil para conocer el nivel de sus estudiantes, le sirva

para asignar una calificación a cada estudiante. Por ejemplo, al final de cada

clase puede asignar una clave (A = muy bien, B = bien, C = regular o D = deficien-

te) para representar el desempeño de cada estudiante durante el día.

¿Todas las actividades sugeridas están en el programade estudios?

Las actividades se basan en la modelación, que consiste en resolver problemas

relacionados con la vida real aplicando las matemáticas (desde luego, se pueden

escoger aquellos problemas en los que aparece la matemática que se desea ense-

ñar). Con este enfoque los diferentes tópicos de las matemáticas se van relacionan-

do y cubriendo de una manera global, al tiempo que adquieren sentido gracias a

que forman parte de un problema real.

La mayoría de las actividades están relacionadas con los programas de estu-

dios, sin embargo, la hoja de cálculo los aborda desde una perspectiva diferente.

Por ejemplo, las ecuaciones generalmente se tratan como una serie de técnicas

algebraicas para manipular la expresión y finalmente para “despejar la incógni-

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo

Page 21: Hoja Decal Culo

21@

ta”. En una hoja de cálculo el procedimiento implica la “búsqueda y refinamiento”

de los resultados. Hay que hacer énfasis que ambas formas son importantes y se

complementan.

Existen también varias actividades que no están explícitamente mencionadas

en el programa de estudios pero que por su importancia actual se han incluido.

Éstas están relacionadas con la recursividad, que junto con el uso de las

computadoras ha cobrado una gran relevancia en la enseñanza. Sugerimos in-

cluir este tipo de actividades ya que uno de los objetivos generales de la materia

de Matemáticas es mostrar al estudiante la conexión de las matemáticas con el

mundo real.

Ejemplo de distribución de actividades

No es necesario explicar a los estudiantes qué es una hoja de cálculo y cómo funcio-

na. Las mismas actividades los introducen poco a poco en el manejo de esta herra-

mienta. De hecho, las “Actividades básicas”, integradas por una serie de 10 hojas

de trabajo, cumplen con este propósito.

Después de que las “Actividades básicas” hayan sido cubierta por los alumnos,

se puede seleccionar cualquiera de las actividades que se encuentren en los otros

dos grupos: “Actividades expresivas” y “Actividades exploratorias”, dependiendo

de los temas específicos del programa que se deseen cubrir. Desde luego, es nece-

sario determinar si los estudiantes cuentan con los conocimientos suficientes para

trabajar con cada actividad, si bien casi todas son bastante sencillas y no requie-

ren de conocimientos previos.

Lo ideal es que el mismo profesor escoja la distribución de las actividades de

acuerdo con su programa de estudios. Aquí la flexibilidad puede ser la virtud más

importante. No siempre es necesario que el tema de la hoja de trabajo sea el

punto principal de la clase. La hoja de trabajo puede aprovecharse para introducir

ideas, como repaso o para presentar un enfoque diferente.

Aunque muchas hojas de trabajo aparentemente no tienen mucha relación

con el programa de estudios, pueden ser muy útiles para que los estudiantes re-

flexionen sobre una amplia gama de temas matemáticos.

Las hojas de trabajo están diseñadas con un contenido matemático específico,

el cual está delineado por el título de la misma. A continuación, se encuentra una

lista de las actividades incluidas, junto con su tema y su posible distribución dentro

de los tres años escolares de secundaria (la secuencia puede cambiar o mantener-

se de acuerdo con el criterio del profesor).

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Hoja electrónica de cálculo

Page 22: Hoja Decal Culo

22@

Un paseo corto por una hoja de cálculo

Introduciendo fórmulas

Más fórmulas

Otra fórmula ¿conocida?

Comprando ropa (1)

Adivina la fórmula

Invierte la fórmula

Generando secuencias de números

Comparando secuencias

Comprando ropa (2)

Aritmética Divisibilidad 1

¿Sabes qué significa MCD? 1

¿Sabes qué significa mcm? 1

Porcentajes (1) 1 2

Descuentos y más descuentos 1 2

Variación proporcional (1) 1

Variación proporcional (2) 1

Variación proporcional (3) 1

Raíz cuadrada y cúbica 1 2

Preálgebra Ecuaciones (1) 1 2 3

Ecuaciones (2) 2 3

Ecuaciones (3) 2 3

Aritmética ¿Sabes qué es una razón? 1 2

Otro tipo de razones 1 2

Una investigación con razones 1 2

Máquinas transformadoras 2 3

Preálgebra Números consecutivos 2

Geometría y preálgebra Del perímetro y el área a los lados 2

Álgebra Variación lineal (1) 1 2 3

Variación lineal (2) 1 2 3

Variación lineal (3) 1 2 3

Lineales que caen 2 3

Nuevas ideas Ecuaciones explícitas vs. recursivas 3

Recursividad (1) 3

Recursividad (2) 3

Contenidos curriculares

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo

Los números que aparecen del lado derecho corresponden al grado en el que se sugiere

realizar la actividad.

Page 23: Hoja Decal Culo

23@

Aplicación Péndulo 3

Trigonometría Ángulo de elevación y de depresión 3

Álgebra y nuevas ideas Explosión demográfica 3

Inflación contra salario 3

Interés compuesto 3

Tiempos de duplicación en el crecimiento compuesto 3

Probabilidad Construyendo dados 2 3

El problema del cumpleaños 3 3

Aritmética Descomposición en primos 1

Cálculo del MCD y el mcm 1

Fracciones equivalentes 1

Geometría Polígonos regulares 1

Aritmética Algoritmo de Euclides para calcular el MCD y el mcm 1

Álgebra Analizando gráficas de rectas 2 3

Sistema de dos ecuaciones 2

Ecuaciones diofantinas 2

Funciones cuadráticas 3

Probabilidad Simulación con el modelo de urna (1) 2 3

Simulación con el modelo de urna (2) 3

Simulación con el modelo de urna (3) 3

Jugando con dados de tres caras 3

Tratamiento de información Chances 1 2

Probabilidad Análisis de textos

Apuestas

Adivina qué está pasando

¿Por dónde saldrá? 1 2 3

Situaciones aleatorias 1 2 3*

Álgebra Fórmulas inversas y composición 3*

Descripción de archivos Descripción del archivo FactPrim.xls

Descripción del archivo HojaAlg.xls

Descripción del archivo Rndmz

Exámenes Examen: Hoja de cálculo. Primer grado

Examen: Hoja de cálculo. Segundo grado

Examen: Hoja de cálculo. Tercer grado

* Esta actividad deberá diseñarla el profesor.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Hoja electrónica de cálculo

Page 24: Hoja Decal Culo

24@

Las hojas de trabajo

En las páginas siguientes se incluyen las hojas de trabajo que el maestro puede

usar con sus alumnos para trabajar problemas de aritmética, preálgebra y álge-

bra. Las hojas están agrupadas en “Actividades básicas”, “Actividades expresivas”

y “Actividades exploratorias”.

Antes de empezar el trabajo en el laboratorio Emat es conveniente que el maes-

tro lea a todo el grupo el texto “Estudiantes: ¡Bienvenidos a Emat!”. El propósito de

esta lectura es contestar algunas de las preguntas que suelen inquietar a los alum-

nos al empezar esta nueva manera de trabajar.

Como se observará, en las actividades exploratorias se menciona entre parén-

tesis algunos archivos de Excel que es necesario copiar en las computadoras que

usarán los alumnos. Para tener acceso a estos archivos entre al CD que acompaña

al libro y haga clic en ACTIVIDADES.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo

Page 25: Hoja Decal Culo

25@

Estudiantes:¡Bienvenidos a Emat!Estudiantes:¡Bienvenidos a Emat!

Bienvenidos a Emat (Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología). A partir

de hoy muchas de las clases de Matemáticas se desarrollarán en este labo-

ratorio. Como podrán observar, en el laboratorio Emat hay varias compu-

tadoras y calculadoras. Trabajarán con unas u otras dependiendo del tema de estudio.

¿Cómo se trabaja en un laboratorio Emat?

En el laboratorio Emat el modo de trabajo es algo distinto al acostumbrado. Esto se

notará más todavía cuando se requiera el uso de las computadoras.

Se formarán equipos de dos o tres compañeros para que juntos resuelvan, con

ayuda de la computadora, las actividades que se propongan. A cada equipo se le

entregará una hoja de trabajo en la que vendrá detallada la actividad en cuestión.

Será necesario entonces que cada equipo lea con cuidado la hoja de trabajo y la

discuta hasta entender bien qué se espera de todos. Una vez entendida la activi-

dad, los equipos decidirán la estrategia que seguirán para resolverla. Es muy im-

portante que cada uno de los miembros del equipo participe y tenga en algún

momento acceso al teclado y al manejo del ratón.

¿Quién me puede ayudar?

Cuando necesiten ayuda para entender bien de qué trata la actividad o para sa-

ber cómo se maneja la computadora o la calculadora, pueden recurrir a otros

compañeros o al maestro. Lo importante al trabajar en el laboratorio Emat es com-

prender la actividad y realizarla. Es irrelevante si tu equipo trabaja más rápido o

más lento que los demás. No se trata de competir ni de ganar, se trata de aprender.

¿Cómo trabajaré en el laboratorio?

Para que los alumnos trabajen de manera provechosa en el laboratorio Emat, un

equipo de expertos ha diseñado una serie de actividades matemáticas que podrán

desarrollar usando la computadora o la calculadora y poniendo en juego sus co-

Page 26: Hoja Decal Culo

26@

nocimientos matemáticos anteriores; así aprenderán conceptos matemáticos nue-

vos. Las actividades se presentan en hojas de trabajo. Tendrán que leer las hojas

de trabajo con cuidado, discutirlas en equipo y contestar las preguntas que allí se

formulan. Discutan con el maestro y los demás compañeros los resultados que

obtengan en el equipo. Si resulta que al trabajar la misma actividad, otros compa-

ñeros llegan a resultados distintos, traten de entender por qué; quizá se trate de

resultados equivalentes o tal vez alguien cometió un error. Si esto último ocurre, no

hay que avergonzarse, pues de los errores podemos aprender mucho. Lo que se

debe hacer es analizar de nuevo el problema, entender dónde se cometió el error

y corregirlo.

¿Cuál es el papel del maestro?

En el laboratorio Emat no cambia sólo la manera de trabajar de los alumnos,

cambia también el papel del maestro. La función del maestro ya no será la de “dar

la clase”, sino la de coordinar el trabajo del grupo y dar seguimiento al trabajo de

cada equipo auxiliándolo cuando lo necesite. El maestro se vuelve entonces un

compañero experto que ayuda a los alumnos en su proceso de aprendizaje.

¿Cómo se evaluará el trabajo?

En el laboratorio Emat el maestro tomará en cuenta varios elementos. Considerará

la participación de cada quien en el equipo de trabajo así como las discusiones de

grupo. También valorará la constancia y el empeño que pongan en realizar las

actividades. De vez en cuando aplicará algún examen individual para ver qué

tanto han aprendido.

¿Cómo cuidar el equipo?

Finalmente queremos llamar la atención sobre el cuidado que hay que tener al

manejar el equipo del laboratorio Emat. Se trata de un equipo muy costoso que va

a ser usado por muchos compañeros. Al mismo laboratorio acudirán alumnos de

distintos grados y todos deben usarlo con provecho y cuidarlo. No hay que maltra-

tar el teclado ni la pantalla de las computadoras y se debe manejar el ratón con

cuidado, evitando que caiga al suelo.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo

Page 27: Hoja Decal Culo

Actividadesbásicas

Actividadesbásicas

Actividadesbásicas

Actividadesbásicas

Page 28: Hoja Decal Culo

28 a c t i v i d a d e s b á s i c a s@

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

El objetivo de esta actividad es que te familiarices con la hoja electrónica de cálculo.

En las celdas de una hoja de cálculo puedes introducir:

Texto:

Escribe la palabra Nombre en la celda A1 (para confirmar oprime la tecla

RETURN).

Escribe tu nombre en la celda B1.

Escribe la palabra Fecha en la celda F1.

Escribe la fecha de hoy en la celda G1.

Números:

Escribe un 8 en la celda C9.

Escribe un 9 en la celda D11.

Escribe un 7 en la celda E10.

Expresiones aritméticas (para que la hoja calcule expresiones aritméticas, debes

escribirlas empezando con el signo igual):

Escribe = 7 * 2 – 8 en la celda E9 y observa el resultado. Coloca nuevamente el

cursor en esta celda y fíjate en la expresión que escribiste en la barra CONTENIDO de la

hoja de cálculo.

Escribe = 9 – 2 * 2 en la celda D10 y verifica el resultado.

Escribe = (9 – 2) * 2 – 10 en la celda C11 y observa el resultado.

Fórmulas algebraicas (para escribir fórmulas también debes comenzar con el sig-

no igual):

Escribe = C9 – 5 en la celda C10. Explica el resultado:

Escribe = D10 – 4 en la celda D9. Explica el resultado:

Escribe = C11 / 2 en la celda E11. Explica el resultado:

Por último, escribe Cuadrado mágico en la celda D7. Coloca el texto en el centro de

la celda presionando el icono CENTRAR.

Para revisar si tu cuadrado mágico es correcto, suma cualquier columna o fila. El

resultado de la suma siempre deber ser 15. También debes obtener 15 como resultado

si sumas cualquiera de las dos diagonales.

Nombre Edad

Escuela Fecha

n paseo corto por una hojade cálculon paseo corto por una hojade cálculo

UU

Page 29: Hoja Decal Culo

29a c t i v i d a d e s b á s i c a s @

Digamos que en una panadería el pan dulce se vende a $1.75 la pieza, y para calcu-

lar el costo de las piezas vendidas se usa la siguiente fórmula:

= A2 * 1.75

Escribe la fórmula en la celda B2. Oprime RETURN.

En la celda B2 aparece el valor 5.25. ¿Sabes por qué? Si tu respuesta fue afirmati-

va, ya estás listo para vender pan dulce. Cambia el número 3 en la celda A2 por el 8.

¿Cuánto hay que pagar por 8 piezas de pan dulce?

¿Cuánto hay que pagar por 12 piezas de pan dulce?

Una persona va a comprar pan dulce para una fiesta con un billete de $100.

¿Cuántas piezas puede comprar?

(Cambia paulatinamente el número de la celda A2 hasta que en la celda B2 te

aproximes al 100, pero sin rebasar dicho número.)

Supón ahora que el precio de la pieza de pan dulce sube a $2.25. Cambia la

fórmula en la celda B2 por la correcta en esta nueva situación.

¿Cuánto hay que pagar por 12 piezas de pan dulce?

¿Cuántas piezas se pueden comprar como máximo con $100?

Piensa ahora que estás en el año 2010. Sin que vea tu compañero, cambia el precio

de la pieza de pan dulce en tu hoja de cálculo de acuerdo con esta nueva situación.

ntroduciendo fórmulasntroduciendo fórmulas • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre Edad

Escuela Fecha

A B C

1 PIEZAS A PAGAR

2 3 = A2 * 1.75

3

4

II

Page 30: Hoja Decal Culo

30 a c t i v i d a d e s b á s i c a s@

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Introduciendo fórmulas

Pídele a tu compañero que adivine la fórmula que pusiste en la celda B2 variando el

contenido de la celda A2 (está prohibido que escriba el número 1 en esta celda).

Fórmula:

Inviertan los papeles. Ahora tu compañero debe escribir la fórmula para que tú la

adivines.

Fórmula:

Guarda esta hoja de trabajo hasta el año 2010 para ver quién de los dos tenía

razón.

Page 31: Hoja Decal Culo

31a c t i v i d a d e s b á s i c a s @

El resultado es 110 cm.

Escribe ahora tu edad en la hoja de cálculo.

¿Qué estatura obtuviste al aplicar la fórmula?

¿Cuál es tu estatura real?

Explica la diferencia:

Con la fórmula de arriba es posible determinar la estatura promedio de niños cuya

edad es de entre 5 y 15 años. Introduce en la hoja de cálculo varias edades diferentes

y valora los resultados que obtengas.

De acuerdo con la fórmula contesta las siguientes preguntas:

¿Cuál es la estatura en centímetros de un adulto de 63 años de edad?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre Edad

Escuela Fecha

La siguiente fórmula relaciona la edad de un niño con su estatura.

estatura = 5 * edad + 85

Para calcular la estatura, se debe multiplicar la edad por 5 y sumarle 85.

En una hoja de cálculo como la siguiente, escribe en la celda B2 la fórmula

= 5 * A2 + 85

para calcular la estatura de un niño de 5 años (celda A1).

ás fórmulasás fórmulas

A B C

1 EDAD ESTATURA

2 5

3

4

MM

Page 32: Hoja Decal Culo

32 a c t i v i d a d e s b á s i c a s@

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Más fórmulas

¿A cuántos metros equivale?

Como puedes apreciar, la fórmula no es válida para personas adultas.

Una fórmula válida para niños de Estados Unidos es:

estatura = 6 * edad + 80

¿Cuánto debe medir un niño de 5 años en los Estados Unidos?

¿Cuál es la estatura promedio de niños de tu edad en los Estados Unidos?

Page 33: Hoja Decal Culo

33a c t i v i d a d e s b á s i c a s @

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

¿Conoces las siguientes fórmulas?

distancia = velocidad * tiempo

tiempo = distancia / velocidad

En esta actividad usarás la segunda para realizar algunos cálculos.

Supón que un coche sale de la ciudad de México y se dirige a Acapulco. Si la

velocidad promedio del coche es de 100 km/h y Acapulco se encuentra a 400 km de

distancia, ¿cuánto tiempo tardará en realizar este recorrido? Para encontrar la respues-

ta llena una hoja de cálculo como la siguiente:

Escribe en la celda C2 la fórmula = A2/B2. El resultado debe ser de 4 horas.

¿Cuánto tiempo tardará en realizar el mismo recorrido un camión que se mueve a 60

km/h? Esto equivale a: horas y minutos.os.

La distancia entre la ciudad de México y Mérida es de 1560 km.

¿Cuánto tardará el mismo camión en realizar este recorrido?

La distancia entre la ciudad de México y Mexicali es de 2760 km. Si un coche

quiere hacer este recorrido en 24 horas exactamente, ¿qué velocidad promedio debe

mantener? (Sugerencia: Inserta esta distancia en tu hoja de cálculo y varía el valor de la

velocidad hasta que obtengas 24 horas en la columna tiempo.)

Nombre Edad

Escuela Fecha

OO

A B C

1 DISTANCIA VELOCIDAD TIEMPO

2 400 100

3

4

tra fórmula ¿conocida?tra fórmula ¿conocida?

Page 34: Hoja Decal Culo

34 a c t i v i d a d e s b á s i c a s@

omprando ropaomprando ropa

Si una mamá compra para sus tres hijos 6 camisas y cada una tiene un precio de

$71.00, ¿cuál es el costo total de las 6 camisas?

En la siguiente hoja de cálculo se registran los artículos que compró esta señora, con

sus respectivas cantidades y precios. Completa la hoja calculando el costo total de

cada tipo de prenda. Para ello, sigue estas instrucciones:

En la celda D2 escribe la fórmula para calcular el costo de las camisas compradas,

esto es:

= B2 * 71.00

En la celda D3 escribe la fórmula para calcular el costo de las playeras, esto es:

= B3 * 31.50

En la celda D9 escribe la fórmula para calcular el costo total, esto es:

= D2 + D3 + D4 + D5 + D6 + D7

A partir de la celda D4 sigue escribiendo fórmulas similares a las anteriores que

calculen el costo de cada uno de los artículos restantes.

Tu total debe ser de $1 787.00. Si no es así, revisa tu trabajo o compáralo con el de

alguno de tus compañeros y realiza las correcciones pertinentes.

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

A B C D

1 ARTÍCULO CANTIDAD PRECIO COSTO

2 Camisa 6 71.00

3 Playera 3 31.50

4 Falda 2 123.00

5 Pantalón 4 168.50

6 Shorts 6 39.90

7 Calcetines 9 11.90

8

9 TOTAL

CC

Page 35: Hoja Decal Culo

35a c t i v i d a d e s b á s i c a s @

Ahora considera la siguiente lista de artículos:

Introdúcelos en tu hoja de cálculo para obtener el total que se debe pagar.

Si sólo se compraran 2 camisas y 3 faldas, ¿cuánto se tendría que pagar?

Pídele a un compañero que complete la siguiente tabla como desee:

Introduce las nuevas cantidades en tu hoja de cálculo para que sepas cuánto debe-

rías pagar si hicieras esa compra.

Considera que, para el año siguiente, el precio de cada artículo subirá como se

indica en la tabla siguiente:

Introduce estos datos en tu hoja de cálculo. Calcula el nuevo total que la primera

señora tendrá que pagar si compra las mismas cantidades de ropa para sus tres

hijos. Nota que vas a tener que cambiar la columna C (precios) y también las fórmu-

las de la columna D, ya que éstas contienen los precios anteriores.

Comprando ropa

ARTÍCULO CANTIDAD

Camisa 3

Playera 3

Falda 1

Pantalón 2

Shorts 3

Calcetines 6

ARTÍCULO CANTIDAD

Camisa

Playera

Falda

Pantalón

Shorts

Calcetines

ARTÍCULO CANTIDAD

Camisa 88.00

Playera 43.00

Falda 150.00

Pantalón 195.00

Shorts 49.50

Calcetines 16.50

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 36: Hoja Decal Culo

36 a c t i v i d a d e s b á s i c a s@

Observa la siguiente tabla.

El número 7 resulta de escribir la fórmula = A2 + 4.

Ahora, sin que tu compañero vea, escribe un número en la celda A2 y una fórmula

en la celda B3. Puedes emplear cualquier operación para tu fórmula, por ejemplo:

= A2 – 5, = A2 * 3,

= A2 / 4, etcétera.

Pide a tu compañero que adivine la fórmula cambiando el número de la celda A2.

Una vez que la haya adivinado, dile que la escriba en la celda C3, para comprobar

que las fórmulas son iguales.

¿La fórmula de tu compañero es igual a la que tú pensaste? Escribe aquí la fórmula:

Intercambien ahora los papeles: tu compañero escribirá la fórmula y tú la adivinarás.

Escribe aquí la fórmula:

Repitan una vez más el juego. Escriban a continuación las fórmulas:

divina la fórmuladivina la fórmula

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •AA

A B C

1

2 3

3 7

4

Page 37: Hoja Decal Culo

37a c t i v i d a d e s b á s i c a s @

Escribe un número en la celda A2 y una fórmula en la celda B3. Enséñale a tu

compañero la fórmula y pídele que escriba una fórmula en la celda C2 que invierta

la acción de la fórmula que aparece en B3; es decir, el resultado de la celda C2

siempre debe ser igual al valor que aparece en A2.

Observa el ejemplo siguiente:

Para obtener el 7 de la celda B3 se escribió la fórmula = A2 + 4. Para invertir esta

fórmula, en C2 se escribió = B3 – 4. Así se obtuvo el 3 en C2, cuyo valor es igual que

en A2. Si cambias el valor en A2, cambiará en C2.

A continuación, escribe una fórmula en B3, y en C2 la fórmula que invierta su

acción. Después llena la tabla siguiente:

Para terminar, regresa a la actividad “Adivina la fórmula” (p. 16), pero ahora pide

a tu compañero que encuentre fórmulas con dos operaciones como las siguientes:

= 2 * A2 + 1,

= 3 * A2 – 2, etcétera.

nvierte la fórmulanvierte la fórmula • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •IINombre Edad

Escuela Fecha

A B C

1

2 3 3

3 7

4

FÓRMULA FÓRMULA QUE LA INVIERTE

Page 38: Hoja Decal Culo

38 a c t i v i d a d e s b á s i c a s@

• • • • • • • • • • • • • •

*Pide a tu maestro que te explique cómo copiar hacia abajo la fórmula que pusiste en A2.

Escribe un 4 en la celda A1 y en la celda A2 la fórmula: = A1 + 1. Tu hoja debe verse

como sigue:

En la celda A3 debes tener el valor 6 y la fórmula: = A2 + 1.

En la celda A4 debes tener el valor 7 y la fórmula: = A3 + 1.

Si esto es así, ¿qué fórmula debes tener en la celda A5? Compara tu fórmula con la

de tu hoja.

Cambia ahora el 4 de la celda A1 por el número 15 y observa lo que pasa. ¿Qué

secuencia obtienes ahora en la columna A?

¿Qué harías para obtener la secuencia 100, 101, 102, 103… en la columna A?

Hazlo.

Escribe el número 100 en la celda B1. En la celda B2 escribe una fórmula que te dé

como resultado el número 99. Cópiala hacia abajo para que obtengas en la columna B

la secuencia 100, 99, 98, 97… Tu hoja debe verse como sigue:*

A B C

1 100 100

2 101 99

3 102 98

4 103 97

Nombre Edad

Escuela Fecha

A B C

1 4

2 5

3

4

GG enerando secuencias de númerosenerando secuencias de números

Page 39: Hoja Decal Culo

39a c t i v i d a d e s b á s i c a s @

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Construye en la columna C la secuencia 1, 3, 5, 7… Recuerda que en C1 debes

poner el primer número, en C2 la fórmula que te dé el segundo número y después

copiarla hacia abajo.

Después construye las siguientes secuencias:

En la columna D: 10, 5, 0, -5… En la columna F: 40, 20, 10, 5, 2.5…

En la columna E: 1, 2, 4, 8, 16… En la columna E: 5, -5, 5, -5, 5…

Discute con el resto del grupo si una fórmula cambia o no cuando se copia hacia

abajo.

Generando secuencias de números

Page 40: Hoja Decal Culo

40 a c t i v i d a d e s b á s i c a s@

Extiende tu tabla hasta la semana 52 (un año) y contesta las siguientes preguntas:

¿En qué semana la cantidad de la segunda opción será igual a la de la primera?

¿Cuánto tendría que darte tu papá en la semana 26 (después de medio año) si

hubieras escogido la segunda opción?

¿Cuánto tendría que darte en esta misma opción en la semana 30?

¿Crees que pueda seguirte pagando tu semana?

En una secuencia aritmética se suma un número fijo al valor anterior para obtener el

siguiente. En una secuencia geométrica se multiplica el valor anterior por un número fijo

para obtener el siguiente.

¿Cuál de las secuencias de arriba es geométrica y cuál es aritmética?

Piensa en el siguiente problema: Tu papá te ofrece dos opciones para tu gasto semanal.

En la primera, te dará 100 pesos para empezar y cada semana incrementará 100

pesos a la cantidad inicial. En la segunda opción, te dará un centavo para empezar,

aunque promete que cada semana te dará el doble de la semana anterior. ¿Cuál de las

dos opciones escogerías?

Para averiguar cuál es la mejor elección, construye la siguiente hoja de cálculo usan-

do fórmulas en la fila 3 para generar las tres series.

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

A B C

1 SEMANA 1A OPCIÓN 2A OPCIÓN

2 1 100 0.01

3 2 200 0.02

4 3 300 0.04

CC omparando secuenciasomparando secuencias

Page 41: Hoja Decal Culo

41a c t i v i d a d e s b á s i c a s @

Clasifica las secuencias de la actividad “Generando secuencias de números”

(pp. 38-39) como aritméticas o geométricas.

Aritméticas:

Geométricas:

En las líneas de abajo, inventa tres secuencias aritméticas y tres secuencias geométricas:

Comparando secuencias• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 42: Hoja Decal Culo

42 a c t i v i d a d e s b á s i c a s@

omprando ropa (versión avanzada)omprando ropa (versión avanzada) • • • • • • • • • • • •

Usa una hoja de cálculo para obtener el costo de tres uniformes escolares, dos de

niñas y uno de niño. En la celda D2 escribe una fórmula que calcule el costo total

de cada rubro, multiplicando el costo unitario por la cantidad. Copia esta fórmula en

las celdas de abajo. En la celda D9 escribe una fórmula para calcular el costo total.

Usa esta hoja para calcular el costo total de las siguientes ventas:

a) 2 camisas, 3 playeras, 1 falda, 1 pantalón, 2 shorts y 4 pares de calcetines.

b) 5 camisas, 2 playeras, 3 faldas, 2 pantalones y 6 pares de calcetines.

Si tuvieras 600 pesos para gastar en el uniforme de la escuela y debes comprar por

lo menos 1camisa, 1playera, 1pantalón, 1short y un par de calcetines, ¿de cuántas

maneras diferentes puedes aprovechar tus 600 pesos? Usa tu hoja para encontrarlas.

Acabas de enterarte de que todos los precios aumentaron 8%, ¿cómo afecta esto a

tus respuestas a las preguntas anteriores?

A B C D

1 ARTÍCULO COSTO UNITARIO CANTIDAD COSTO

2 Camisa 71.90 3

3 Playera 31.90 3

4 Falda 123.90 2

5 Pantalón 168.00 1

6 Shorts 39.90 3

7 Calcetines 11.90 3

8

9 TOTAL

Nombre Edad

Escuela Fecha

CC

Page 43: Hoja Decal Culo

Actividadesexpresivas

Actividadesexpresivas

Actividadesexpresivas

Actividadesexpresivas

Page 44: Hoja Decal Culo

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@44

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

¿Cómo podemos saber si el número 1232 es divisible entre 2, 3, 4…? Recuerda que

divisible significa que el resultado de la división es un número entero. Hay criterios

que nos ayudan a determinar esto sin tener que efectuar las divisiones. Sin embargo,

como veremos en esta actividad, con una hoja de cálculo apropiada, estas operacio-

nes resultan automáticas.

Construye una hoja de cálculo como la siguiente e introduce en la segunda columna

las fórmulas apropiadas; por ejemplo: = B1/2, = B1/3… y así hasta llegar a la división

entre 12.

¿Entre qué números resultó divisible el 1232?

¿Entre qué números es divisible el 2311?

¿Entre qué números es divisible el 2 520?

Busca un número que sea divisible entre los primeros 12 números.

¿Cuál encontraste? Verifícalo en tu hoja de cálculo.

Aritmética

A B C

1 Número (N) 1232

2 N entre 2 616

3 N entre 3 410.6666666

4 N entre 4 308

5 N entre 5 246.4

6 N entre 6 205.3333333

7 N entre 7 176

8 N entre 8 154

9 N entre 9 136.8888888

10 N entre 10 123.2

11 N entre 11 112

12 N entre 12 102.6666666

Nombre Edad

Escuela Fecha

DD ivisibilidadivisibilidad

Page 45: Hoja Decal Culo

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @45

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Escribe el número 72 en la celda B1 para obtener su divisibilidad. Observa que el

número en B4 es el doble del que está en B8.

¿Por qué? ¿Será cierto esto para cualquier número?

Encuentra cinco relaciones más, como la anterior, de dobles y triples entre los núme-

ros en la columna B y explica por qué.

Para cada situación encuentra un número que sea divisible:

Entre 2 pero no entre 4

Entre 4 pero no entre 8

Entre 4 pero no entre 2

Entre 8 pero no entre 4

¿A qué conclusiones llegaste?

Para cada situación encuentra un número que sea divisible:

Entre 3 pero no entre 6

Entre 2 pero no entre 6

Entre 6 pero no entre 3

Entre 6 pero no entre 2

Si un número es divisible entre 6, debe ser divisible entre y

Divisibilidad

Page 46: Hoja Decal Culo

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@46

¿¿• • • • • • • • • • • • • • • • • • •

En esta actividad descubrirás el significado de estas tres letras. Para ello, analiza el

siguiente problema.

El dueño de una tienda tiene 56 cuadernos y quiere hacer paquetes para venderlos

al mayoreo. Todos los paquetes deben tener el mismo número de cuadernos y no debe

sobrar ninguno.

¿Puede hacer paquetes de 4 cuadernos sin que sobren?

¿Cuántos paquetes haría?

¿Puede hacer paquetes de 7 cuadernos sin que sobren?

¿Cuántos paquetes haría?

¿Puede hacer paquetes de 5 cuadernos sin que sobren?

¿Cuántos paquetes haría?

Primero conviene averiguar todas las posibilidades de empacar los cuadernos. Para

esto, construye una hoja de cálculo como la siguiente.

¿Qué fórmula se puede usar para obtener los números de la columna B?

Como puedes observar, es posible hacer paquetes de 2 y 4 cuadernos sin que sobre

ninguno. Existen otras cinco posibilidades.

Extiende tu tabla para obtenerlas y anota cuáles son.

AritméticaSabes qué significa MCD?Sabes qué significa MCD?

Nombre Edad

Escuela Fecha

A B C D

1 CUADERNOS TOTAL

POR PAQUETE DE PAQUETES

2 2 28

3 3 18.6666666

4 4 14

5 5 11.2

Page 47: Hoja Decal Culo

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @47

¿Los siete números que resultan son divisores (D) de 56?

Supón ahora que una sucursal de la tienda en cuestión tiene 80 de esos cuadernos

y también quiere agruparlos en paquetes. Utiliza la columna C para calcular el número

de paquetes resultante para este caso (toma en cuenta los cuadernos por paquete de la

columna A).

Anota cuántas posibilidades hay de formar paquetes con los cuadernos de la segun-

da tienda:

¿Estos nueve números son divisores (D) de 80?

El dueño de las tiendas ha resuelto que en ambas se vendan paquetes con el mismo

número de cuadernos. De las posibilidades que tiene cada una, ¿cuáles son las tres que

tienen en común?

Estos tres números son los divisores (D) comunes (C) de 56 y 80.

Como tienen tres posibilidades, deciden escoger la mayor de ellas. Es decir, ambas

tiendas forman paquetes de 8 cuadernos. Este número es el máximo común divisor (MCD)

de 56 y 80.

Considera ahora el siguiente problema.

Un obrero trabajó tres veces en una construcción. En cada oportunidad trabajó una

cantidad de días diferente, y le pagaron, respectivamente, $728, $1560 y $3 900.

Si quiere saber cuál fue su salario diario, ¿qué puede hacer para averiguarlo? Cons-

truye una hoja de cálculo para encontrar la respuesta.

El número que encontraste, ¿es el MCD de 728, 1560 y 3900?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ¿Sabes qué significa MCD?

A B C D

1 ¿SALARIO? PRIMER PAGO SEGUNDO PAGO TERCER PAGO

2 1 728 1560 3 900

3 2 364 780 1950

4 3 242.66666 520 1300

5 4 182 390 975

6 5 145.6 312 780

Page 48: Hoja Decal Culo

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@48

Para averiguarlo, analiza el siguiente problema.

Se busca poner en funcionamiento una estación con tres trenes: uno cubrirá el

norte de la ciudad (tren N), otro el sur (tren S) y el tercero el este (tren E). Los recorri-

dos durarán, respectivamente, 28, 36 y 45 minutos y se realizarán una y otra vez

durante 24 horas. Los encargados de la planeación desean saber en qué momento

los tres trenes estarán de nuevo en la estación si todos inician su primer recorrido a la

misma hora.

El tren N regresará a la estación después de 28 minutos en su primera vuelta. Regre-

sará otra vez a los 56 minutos, a los minutos, a los 112 minutos, etcétera.

El tren S regresará a la estación después de minutos en su primeraa

vuelta, a los minutos en su segunda vuelta, a los minutos en

su tercera vuelta, etcétera.

El tren E regresará a la estación después de minutos en su primeraa

vuelta, a los minutos en su segunda vuelta, a los minutos en

su tercera vuelta, etcétera.

Como puedes observar, los minutos que tarda en regresar cada tren son los múltiplos

de su tiempo de recorrido. Para resolver el problema planteado construye una hoja de

cálculo como la siguiente.

¿Qué formula se usó para la columna B?

¿Qué formula se usó para la columna C?

¿Qué formula se usó para la columna D?

Aritmética• • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre Edad

Escuela Fecha

Sabes qué significa mcm?Sabes qué significa mcm?¿¿

A B C D

1 VUELTAS TREN N TREN S TREN E

2 1 28 36 45

3 2 56 72 90

4 3 84 108 135

Page 49: Hoja Decal Culo

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @49

Extiende tu tabla hasta donde sea necesario para contestar las preguntas siguientes:

¿Después de cuántos minutos coinciden en la estación los trenes N y S?

¿Cuántas vueltas dio cada uno en el momento de coincidir?

¿Cuál es el siguiente tiempo en el que pasa esto otra vez?

¿En qué momento sucede de nuevo?

¿Cuál es el mínimo común múltiplo (mcm) de 28 y 36?

¿Después de cuántos minutos coinciden en la estación los trenes N y E?

¿Cuántas vueltas dio cada uno en el momento de coincidir?

¿En qué minuto se vuelven a encontrar?

¿Y después?

¿Cuál es el mínimo común múltiplo (mcm) de 28 y 45?

¿Después de cuántos minutos coinciden en la estación los trenes S y E?

¿Cuántas vueltas lleva cada uno?

¿Cuál es el siguiente minuto en el que coinciden otra vez?

¿En qué minuto vuelve a ocurrir esto?

¿Y después en qué momento vuelven a coincidir?

¿Cuál es el mínimo común múltiplo (mcm) de 36 y 45?

¿Después de cuántos minutos coinciden en la estación los tres trenes?

(Asegúrate de que tu resultado equivalga a 21 horas).

¿Cuántas vueltas ha dado cada uno?

¿Cuál es el mínimo común múltiplo (mcm) de 28, 36 y 45?

Pide a tu profesor que te dé otro problema de mínimo común múltiplo para que lo

resuelvas en otra hoja de cálculo.

¿Sabes qué significa mcm?• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 50: Hoja Decal Culo

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@50

orcentajes (1)orcentajes (1)

Una tienda ofrece 30% de descuento en todos sus artículos. Construye una hoja de

cálculo que aplique este descuento a cada artículo de una lista de compras.

Calcula el descuento para una camisa de 90 pesos.

Multiplica 90 x 0.3.

¿Qué observas?

Calcula ahora el descuento para un pantalón de 140 pesos.

Construye la siguiente hoja de cálculo, introduciendo las fórmulas correctas en las

columnas C y D. Una vez que verifiques tus resultados con los valores dados, cambia a

tu gusto los cinco artículos y sus precios.

Imagina ahora que en el departamento de ropa se ofrece 40% de descuento, en el

de comestibles 20%, y en el departamento de deportes y juguetes 35%. Construye

una hoja de cálculo para obtener los descuentos de seis artículos, dos de cada depar-

tamento, y el total a pagar.

Copia tu hoja de cálculo en la tabla siguiente:

Aritmética

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •PP

A B C D E F

1 ARTÍCULO DEPARTAMENTO PRECIO DESCUENTO PRECIO FINAL

2

3

4

5

6

7 TOTAL A PAGAR

A B C D E

1 ARTÍCULO PRECIO 30% DE DESCUENTO PRECIO FINAL

2 Camisa 90 27 63

3 Pantalón 140 42 98

4 C. D. 110 33 77

5 Pan 24 7.20 16.80

6 Queso 65.50 19.65 45.85

7 300.65 TOTAL A PAGAR

Page 51: Hoja Decal Culo

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @51

escuentos y más descuentosescuentos y más descuentos

Si se aplica un descuento extra de 30% después de haber aplicado uno de 20%, ¿qué

descuento total se obtiene?

En esta actividad estudiarás situaciones de este tipo y posiblemente te sorprenderás

con los resultados.

Empecemos con la situación de un solo descuento.*

En las celdas C2 y D2 de la hoja de cálculo escribe las fórmulas para determinar la

cantidad descontada y el precio con descuento, de acuerdo con los datos de las celdas

A2 y B2 (recuerda que para hacer cálculos, 20% se escribe 0.2).

Prueba tu hoja poniendo cantidades con las que puedas calcular el resultado

mentalmente.

Si el precio original de un coche es de $82 000.00 y los vendedores ofrecen 13%

de descuento, ¿cuál es el precio final?

Un traje con 30% de descuento vale $875.00. ¿Cuál era el precio original?

Hay dos maneras de averiguarlo: la primera consiste en tratar de adivinar el precio

normal hasta llegar al precio con descuento. La segunda es construir otra hoja de cálcu-

lo que realice esta conversión:

Precio con descuento ➞ Precio normal

Usa por lo pronto el primer método. El segundo queda como tarea.

Pasemos ahora a agregar un descuento adicional. Para ello observa la siguiente

hoja de cálculo. Tienes que trasladar el precio con descuento a la celda B5 con una

fórmula. Introduce las fórmulas apropiadas en las celdas C5 y D5.

* Si tienes dificultad para escribir textos largos en las celdas consulta a tu profesor.

Aritmética

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • •DD

A B C D E

1 PORCENTAJE DE PRECIO CANTIDAD PRECIO CON

DESCUENTO NORMAL DESCONTADA DESCUENTO

2 0.2 250.00 50.00 200.00

3

Page 52: Hoja Decal Culo

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@52

Descuentos y más descuentos

Cambia ahora el precio normal a $100.00. En la columna “Precio con descuento” el

resultado debe ser $80.00 y en “Precio con descuento extra” debe ser $56.00.

¿Cuál fue entonces el descuento total?

¿Cuál será el descuento total si se aplica primero un descuento de 50% y al precio

con descuento se le aplica otro 50%?

Un padre de familia tiene que pagar $1500 de colegiatura. La escuela le otorga

25% de descuento y después su hijo recibe una beca que representa 20% de la

colegiatura. La escuela afirma que debe pagar $900, pero él dice que sólo debe

pagar $825. Explica cómo llegaron cada uno a estas cantidades y discute quién tiene

la razón.

¿Infiere en algo si primero se aplica el descuento que corresponde al porcentaje de

la beca y después el descuento que otorga la escuela?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

A B C D E

1 PORCENTAJE DE PRECIO CANTIDAD PRECIO CON

DESCUENTO NORMAL DESCONTADA DESCUENTO

2 0.2 250.00 50.00 200.00

3

4 PORCENTAJE PRECIO CON CANTIDAD PRECIO CON

EXTRA DESCUENTO EXTRA DESCUENTO

DE DESCUENTO DESCONTADA EXTRA

5 0.3 200.00 60.00 140.00

Page 53: Hoja Decal Culo

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @53

La cantidad de dólares y su equivalente en pesos, así como la distancia recorrida por un

coche y el tiempo que tarda en recorrerla son cantidades relacionadas. A continuación

se abordará este tema.

Pensemos primero en la situación en la que un dólar se puede cambiar por 8 pesos.

¿A cuántos pesos equivaldrían 2 dólares?

¿A cuántos pesos equivaldrían 4 dólares?

¿A cuántos pesos equivaldrían 5 dólares?

Construye una hoja de cálculo relacionando estas dos cantidades.

La fórmula de A3 es = A2 + 1.

La fórmula de B2 es = 8 * A2.

Escribe ahora la fórmula de la celda B3.

Escribe la fórmula de la celda B6.

En general podemos escribir: columna B = factor * columna A

¿Cuál es el factor en el ejemplo anterior?

Piensa ahora en un coche que va a una velocidad constante de 80 km/h. Las dos

cantidades que consideraremos son la distancia recorrida (d) y el tiempo que tarda en

recorrerla (t).

A B

1 CANTIDAD DE DÓLARES CANTIDAD DE PESOS

2 1 8

3 2 16

4 3 24

5 4 32

6 5 40

Aritmética

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • •VV ariación proporcional (1)ariación proporcional (1)

Page 54: Hoja Decal Culo

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@54

Variación proporcional (1)

¿Qué distancia recorrió en 2 horas?

¿Qué distancia recorrió en 4 horas?

¿Qué distancia recorrió en 5 horas y media?

Construye una hoja de cálculo relacionando ambas cantidades.

La fórmula de la celda A3 es = A2 + 1.

La fórmula de la celda B2 es = A2 * v.

Escribe la fórmula de la celda B3:

Escribe la fórmula de la celda B6:

¿Cuál es el factor en el ejemplo anterior?

Cuando una cantidad se obtiene multiplicando otra por un factor constante se obtie-

ne una variación proporcional.

A continuación se plantean algunas preguntas para conocer otra propiedad de este

tipo de variaciones.

¿Qué le pasa a la distancia recorrida si duplicamos el tiempo?

Por ejemplo:

¿Cuántos kilómetros recorre el coche en cinco horas?

Si se duplica el tiempo, ¿ocurre lo mismo con la distancia?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

A B C

1 TIEMPO (EN HORAS) DISTANCIA (EN KILÓMETROS) VELOCIDAD CONSTANTE

2 0 0 v (km/h)

3 1 80 80

4 2 160

5 3 240

6 4 320

7 5 400

Page 55: Hoja Decal Culo

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @55

¿Qué le pasa a la distancia recorrida si triplicamos el tiempo?

¿Qué le pasa a la distancia recorrida si el tiempo se reduce a la mitad?

¿Qué le pasa a la distancia recorrida si el tiempo se reduce a la quinta parte?

¿A qué conclusión general puedes llegar entonces?

Variación proporcional (1)• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 56: Hoja Decal Culo

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@56

Resuelve el siguiente problema: si 0.45 kg equivalen a una libra, ¿cuántas libras habrá

en 90 kg?

Construye una hoja de cálculo como la siguiente; para ello relaciona ambas cantida-

des y encuentra las fórmulas para las columnas A y B.

¿Cuál es el factor de proporcionalidad en el ejemplo anterior?

Continúa llenando la tabla hasta que encuentres cuántas libras equivalen a 90 kg y

escribe la respuesta:

Observa ahora el tercer renglón de la hoja. ¿Podrías haber resuelto el problema

considerando sólo esta información?

¿Cómo?

Usa solamente los primeros 10 datos de tu tabla para responder las siguientes

preguntas:

¿Cuántas libras equivalen a 3 600 kg?

¿Cuántos kilogramos equivalen a 500 libras?

• • • • • • • • • • • • • • • • • •

A B C

1 LIBRAS KILOGRAMOS

2 1 0.45

3 2 0.9

4 3 1.35

5 4 1.8

6 5 2.25

7 6 2.7

Aritmética

Nombre Edad

Escuela Fecha

VV ariación proporcional (2)ariación proporcional (2)

Page 57: Hoja Decal Culo

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @57

¿Cuántos kilogramos equivalen a 0.5 libras? Usa el sexto renglón de tu hoja para

responder esta pregunta.

¿Cuántos kilogramos equivalen a 1.5 libras? Usa el resultado anterior para encon-

trar la respuesta.

¿Cuántos kilogramos equivalen a 2.6 libras? Usa la misma estrategia

Regresemos ahora al tercer renglón de tu hoja, donde se indica que 2 libras equiva-

len a 0.9 kg (casi 1 kg), y busca cuántas libras equivalen aproximadamente a 1 kg.

Ahora toma en cuenta la siguiente tabla para responder las preguntas que aparecen

abajo.

¿Cuántos kilómetros equivalen a 70 millas?

¿Cuántos kilómetros equivalen a 75 millas?

¿Cuántos kilómetros equivalen a 0.5 millas?

¿Cuántos kilómetros equivalen a 2.5 millas?

¿Cuántos kilómetros equivalen a 4.7 millas?

¿Cuántas millas equivalen a 96 kilómetros?

¿Cuántas millas equivalen a 10 kilómetros?

Variación proporcional (2)• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

MILLAS KILÓMETROS

1 1.6

2 3.2

3 4.8

4 6.4

5 8.0

6 9.6

7 11.2

8 12.8

9 14.4

Page 58: Hoja Decal Culo

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@58

Si una embarcación puede navegar 360 millas con 16 galones de combustible diesel,

¿qué distancia recorrerá con 300 galones?

Construye una hoja de cálculo como la siguiente para relacionar los galones con las

millas recorridas. Para responder la pregunta, conviene preguntarnos cuántas millas puede

navegar la embarcación con un solo galón. Escribe una fórmula en B3 para relacionar

las cantidades de A2 y B2.

¿Cuál es el factor de proporcionalidad en el ejemplo anterior?

Ahora contesta la pregunta original. Inserta el número 300 en la celda A4 y escribe

una fórmula en B4 que calcule la cantidad de millas correspondiente.

¿Qué distancia recorrerá entonces con 300 galones?

Usa tu hoja de cálculo para responder las siguientes preguntas:

¿Qué distancia recorrería la embarcación con 200 galones?

¿Qué distancia recorrería la embarcación con 80 galones?

¿Cuántos galones necesitará para recorrer 1 000 millas?

Construye ahora una hoja de cálculo para resolver las siguientes situaciones:

Si un frasco de café de 400 gramos cuesta $12.50, ¿cuánto debería costar uno de

250 gramos?

Si se determinó que el precio de un frasco de café es de $10, ¿cuántos gramos

contiene?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • Aritmética

Nombre Edad

Escuela Fecha

ariación proporcional (3)ariación proporcional (3)

A B

1 GALONES MILLAS

2 16 360

3 1 ?

4

VV

Page 59: Hoja Decal Culo

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @59

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

En esta ocasión la hoja de cálculo te servirá para obtener los cuadrados y lo cubos de

una lista de números, lo cual te ayudará, a su vez, a encontrar la raíz cuadrada y la raíz

cúbica de un número dado.

Calcula el cuadrado del número 20 y anota el resultado.

Calcula el cubo del número 20 y anota el resultado.

Construye una hoja de cálculo como la que se muestra e introduce fórmulas para las

columnas B y C. Para encontrar la fórmula de la columna C considera que

203 = 202 * 20

Extiende la tabla hasta el número 30.

Busca en tu tabla un número cuyo cuadrado sea 361 y anótalo:

¿Cuál es la raíz cuadrada de 361?

Busca en tu tabla un número cuyo cubo sea 1331 y escríbelo:

¿Cuál es la raíz cúbica de 1331?

¿Cuál es la raíz cuadrada de 676?

¿Cuál es la raíz cúbica de 10 648?

La raíz cuadrada de 300 no es un número entero. De acuerdo con tu tabla, ¿entre

qué números debe estar esta raíz?

Aritméticaaíz cuadrada y cúbicaaíz cuadrada y cúbica

Nombre Edad

Escuela Fecha

A B C

1 NÚMERO CUADRADO CUBO

2 0 0 0

3 1 1 1

4 2 4 8

5 3 9 27

6 4 16 64

7 5 25 125

RR

Page 60: Hoja Decal Culo

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@60

La raíz cúbica de 22000 no es un número entero. De acuerdo con tu tabla, ¿entre

qué números debe estar esta raíz?

¿Cómo podemos usar la hoja de cálculo anterior para que las raíces que se han

obtenido hasta aquí sean más precisas? Sabemos que la raíz cuadrada de 300 debe

estar entre los números 17 y 18. Así, podemos empezar la lista de números desde el 17

y tomar saltos cada 0.1, es decir, generar la lista de números: 17, 17.1, 17.2… como lo

muestra la tabla siguiente:

Completa la tabla para obtener el primer decimal de la raíz cuadrada de 300.

¿Qué resultado obtuviste?

Aplica la misma estrategia para obtener el segundo decimal de esta raíz.

√ 300 = 17.

Sigue el mismo procedimiento para obtener los primeros dos decimales de la raíz

cúbica de 22 000.

3√ 22 000 = 28.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Raíz cuadrada y cúbica

A B C

1 NÚMERO CUADRADO CUBO

2 17 289 4 913

3 17.1 292.41 5 000.211

4 17.2

5 17.3

6 …

Page 61: Hoja Decal Culo

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @61

Dentro de las matemáticas, una habilidad importante consiste en poder expresar rela-

ciones verbales entre cantidades por medio de fórmulas. Por ejemplo, ¿cómo escribirías

con símbolos: “un número es la octava parte de otro número”? Una hoja de cálculo

como la que se sugiere a continuación puede ayudarte a comprobar que la expresión

matemática que propusiste es correcta.

Escribe tu expresión matemática en la celda B2. ¿Obtuviste el resultado que espe-

rabas? (Si no fue así, consulta a tus compañeros para saber cómo procedieron).

Cambia el número 8 en la celda A2 por el 16 y por el 4 para comprobar que tu

expresión es correcta.

Construye una hoja de cálculo similar a la anterior, pero ahora el encabezado de la

primera columna será ”Cantidad de artículos vendidos“ y el de la segunda columna

será Costo total. Considera que cada uno se vende a $85. Para comprobar tu fórmula

cambia el número de artículos, por ejemplo 1, 10 y 100.

¿Cuál sería la fórmula algebraica apropiada?

Incluye dos columnas más en tu hoja de cálculo (observa el ejemplo de abajo).

Registra en una la cantidad vendida de un segundo artículo y en la otra el costo de los

artículos. Considera que el precio de cada uno es de $150. Usa la quinta columna para

calcular el costo total de los dos artículos. Varía el número de ambos artículos, por

ejemplo con 0, 1, 10 y 100 para comprobar tus fórmulas.

EE Preálgebra

A B

1 NÚMERO OCTAVA PARTE DEL NÚMERO

2 8 expresión

3

cuaciones (1)cuaciones (1)• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre Edad

Escuela Fecha

A B C D E

1 CANTIDAD COSTO CANTIDAD COSTO COSTO

PRIMER PRIMER SEGUNDO SEGUNDO DE AMBOS

ARTÍCULO ARTÍCULO ARTÍCULO ARTÍCULO ARTÍCULOS

2 0 expresión 1 expresión expresión

3

Page 62: Hoja Decal Culo

a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@62

¿Cuál sería la fórmula algebraica del costo del primer artículo? (Usa n para expresar

la cantidad del primer artículo.)

¿Cuál sería la fórmula algebraica del costo del segundo artículo? (Usa m para expre-

sar la cantidad del segundo artículo.)

¿Cuál sería la fórmula algebraica del costo de ambos artículos?

Veamos ahora un ejemplo diferente. Escribe una ecuación que exprese lo siguiente:

“Dos personas se reparten $750”

Considera a A como la cantidad que le toca a una de las personas y como B a la

cantidad que le toca a la segunda.

Elabora una hoja de cálculo como la siguiente y escribe en la celda B2 una expre-

sión que haga que el total de las dos cantidades en las columnas A y B sea 750.

Comprueba tu fórmula variando la cantidad de la primera persona.

Para terminar resuelve la siguiente cuestión: Un número es 15% mayor que otro.

Construye una hoja de cálculo que te ayude a escribir esta relación en forma algebraica.

Ecuaciones (1)

A B

1 CANTIDAD QUE LE TOCA CANTIDAD QUE LE TOCA

A UNA PERSONA A LA OTRA PERSONA

2 50 expresión

3

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 63: Hoja Decal Culo

63a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

cuaciones (2)

Aquí trataremos de usar las ventajas de una hoja de cálculo para resolver ecuaciones

del tipo:

q + 23 = 51

Para empezar, construye una hoja de cálculo como la siguiente; introduce en la

columna A la fórmula = A2 + 1, y en la columna B la fórmula = A2 + 23, luego cópialas

hacia abajo.

El objetivo es llegar al número 51 en la columna B. Una opción consiste en alargar

más nuestra lista. La otra implica cambiar el 1 en A2 por el 11. Haz esto y observa lo

que pasa.

¿Llegaste al 51 en la columna B? Si no es así, cambia el 11 por el 21. ¿Encontraste

la solución de la ecuación? ¿Cuál es?

Resuelve con el mismo método las siguientes ecuaciones:

155 + q = 242

A B

1 Número (q) q + 23

2 1 24

3 2 25

4 3 26

5 4 27

6 5 28

7 6 29

8 7 30

9 8 31

10 9 32

11 10 33

= A2 + 23

= A2 + 1

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •cuaciones (2) Preálgebra

Nombre Edad

Escuela Fecha

EE

Page 64: Hoja Decal Culo

64 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

q + 234.5 = 432.1

Ahora modifica tu hoja para resolver la siguiente ecuación:

q – 118 = 155

Veamos ahora una ecuación más complicada: ¿Qué número, luego de multiplicarlo

por 2 y de restarle 15, da 36 como resultado?

Para responder, construye una hoja de cálculo como la siguiente:

Cambia como antes el número inicial en A2 hasta que encuentres el resultado.

¿Cuál es?

Resuelve ahora la siguiente ecuación:

3n + 35 = 5

A B

1 Número (n) 2n –15

2 1 –13

3 2 –11

4 3 – 9

5 4 – 7

6 … …

= A2 + 1

Ecuaciones (2) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

= EXPRESIÓN

Page 65: Hoja Decal Culo

65a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Preálgebra

¿Cómo resolverías con una hoja de cálculo ecuaciones que tienen dos incógnitas, una

de cada lado del signo igual? Considera la ecuación:

4 n + 6 = 2 n + 4

¿Es n = 2 una solución?

¿Es n = 4 una solución?

Construye una hoja de cálculo para encontrar la solución.

Nombre Edad

Escuela Fecha

EE cuaciones (3)cuaciones (3)

Page 66: Hoja Decal Culo

66 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

Una razón es una relación entre dos cantidades. Por ejemplo:

6 de cada 10 humanos viven en el continente asiático.

3/5 partes de la superficie terrestre están cubiertas por agua.

Como se ve, la relación se establece entre una parte y el todo.

Esta actividad te ayudará a entender para qué sirven las razones. Para esto, piensa en

la situación siguiente.

Un jugador de basquetbol entrena desde la línea de tiro, durante la semana ante-

rior a la temporada de juegos. Los resultados que obtuvo están registrados en la

siguiente tabla:

Observa que en cada día se da la razón de canastas con respecto al total de tiros

(20 de 50, 52 de 100, 90 de 150…) Para poder comparar estas razones conviene

expresarlas como fracciones de la siguiente manera:

Construye una hoja de cálculo con la información de la tabla. En la cuarta columna

calcula la razón como fracción para que puedas observar el progreso del jugador

durante su entrenamiento.

Los porcentajes son una manera muy común de expresar razones. Los ejemplos del

principio pueden expresarse como sigue:

¿¿Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • Aritmética

razón como fracción =canastas

total de tiros

Sabes qué es una razón?Sabes qué es una razón?

DÍA TIROS CANASTAS CANASTAS/TIROS

1 50 20

2 100 52

3 150 90

4 200 110

5 250 175

6 200 152

7 250 170

Page 67: Hoja Decal Culo

67a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

60% de la población humana vive en el continente asiático.

60% de la superficie terrestre está cubierta por agua.

Agrega una quinta columna a tu hoja y calcula el porcentaje de canastas (esto es,

multiplica la cuarta columna por 100).

¿Cuál fue el mejor día del jugador en su entrenamiento?

¿Qué porcentaje de tiros encestó ese día?

La tabla siguiente muestra las cantidades de tiros y canastas de dos jugadores, con-

siderando los primeros 5 juegos de la temporada regular. Usa tu hoja de cálculo para

completar la tabla de abajo y de acuerdo con los resultados decide quién jugó mejor.

¿Quién fue el mejor?

Discute tu respuesta con otros compañeros.

¿Qué significa, en beisbol, que un jugador tenga 320 de porcentaje de bateo?

PRIMER JUGADOR SEGUNDO JUGADOR

JUEGO TIROS CANASTAS FRACCIÓN TIROS CANASTAS FRACCIÓN

1 24 8 18 7

2 13 6 16 6

3 21 8 15 6

4 30 9 9 5

5 17 7 6 3

¿Sabes qué es una razón?• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 68: Hoja Decal Culo

68 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Aritmética

Las razones no sólo relacionan una parte con el todo. También se usan para establecer

relaciones entre dos cantidades distintas. Por ejemplo, cuando decimos que 100 g de

cacahuates cuestan 6 pesos estamos expresando una razón de este último tipo.

Otro ejemplo de razón entre dos cantidades distintas es el consumo de gasolina de

un coche; por ejemplo: Con 40 litros de combustible se llena el tanque de un auto y

puede recorrer 480 kilómetros.

Estas razones, al igual que las que relacionan una parte con el todo, pueden ser

expresadas con un solo número:

Los cacahuates cuestan 60 pesos por kilo.

El rendimiento del auto es de 12 kilómetros por litro.

Una expresión como 80 kilómetros por hora es también una razón de este tipo.

Da otro ejemplo de razones de este tipo.

Analiza la tabla siguiente usando razones. Introduce dicha información en la hoja

de cálculo Cal/gr.xls.

ALIMENTO GRAMOS CARBOHIDRATOS PROTEÍNAS LÍPIDOS

Jugo de naranja 200 9 0 0

Huevo 50 3 11 10

Leche de vaca 240 12 8 8

Pan blanco 35 64 9 1

Arroz 100 80 7 1

Carne de res 90 0 19 18

Pescado 50 0 12 2

Frijoles 120 61 22 2

Tortillas 25 15 2 1

Chocolate 100 60 2 25

OO tro tipo de razonestro tipo de razones

Page 69: Hoja Decal Culo

69a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

Como puedes ver, la cantidad de gramos de cada alimento es diferente y por lo

tanto no pueden hacerse comparaciones entre ellos. Es necesario obtener las razones

de estas cantidades por gramo.

Para esto añade tres columnas a tu hoja de cálculo: una que calcule los carbohidratos

por gramo, otra las proteínas por gramo y la tercera los lípidos por gramo de cada alimento.

¿Qué alimento de la lista contiene mayor cantidad de carbohidratos por gramo?

¿Qué cantidad tiene?

¿Qué alimento de la lista contiene mayor cantidad de proteínas por gramo?

¿Qué cantidad tiene?

¿Qué alimento de la lista contiene mayor cantidad de lípidos por gramo?

¿Qué cantidad tiene?

Para calcular ahora la cantidad de calorías que cada alimento proporciona por

gramo, agrega otra columna a tu hoja con la cantidad de calorías por gramo que cada

alimento contiene; usa la fórmula siguiente:

(caloría/g) = 4 * (carbohidratos/g) + 4 * (proteínas/g) + 9 * (lípidos/g)

¿Qué alimento de la lista contiene más calorías por gramo?

¿Qué cantidad tiene?

Finalmente crea otra columna con la cantidad de calorías que tendrían 100 g de

cada alimento. En las siguientes líneas ordena los alimentos de mayor a menor según su

cantidad de calorías en 100 g.

ALIMENTO CAL/100 G

1

2

3

4

5

ALIMENTO CAL/100 G

6

7

8

9

10

Otro tipo de razones• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 70: Hoja Decal Culo

70 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

En esta actividad analizarás algunos datos sobre la población y el territorio mexicano

y deducirás otros.

De acuerdo con los datos de la hoja de cálculo AreaHabi.xls contesta las siguientes

preguntas:

¿Cuántos estados están en la lista?

¿Están todos?

Anota en orden descendente:

Los cuatro estados de mayor superficie:

Los cuatro estados de menor superficie:

Los cuatro estados con mayor población en 1990:

Los cuatro estados con menor población en 1990:

Ahora llena la hoja de cálculo siguiendo estas instrucciones:

1. En la celda C33 está calculada la superficie total de la República Mexicana.

¿Cuántos kilómetros cuadrados tiene?

Llena la columna D con el porcentaje de la superficie total que le corresponde a

cada estado, de acuerdo con la fórmula:

¿Cuál es el único estado al que corresponde más de 10% de la superficie total?

¿Qué porcentaje tiene?

• • • • • • • • • • • • • • •

Nombre Edad

Escuela Fecha

UU Aritméticana investigación con razonesna investigación con razones

% de la superficie =superficie del estado

superficie total x 100

Page 71: Hoja Decal Culo

71a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

2. Llena la columna F con el porcentaje de la población que le corresponde a cada

estado (la población total está calculada en la celda E33).

¿Qué estados tienen más de 10% de la población?

¿Por qué la población del Estado de México es tan grande?

Las dos razones calculadas en las columnas D y F establecen una relación de la

parte con el todo. La siguiente razón que se obtendrá es de otro tipo.

3. Llena la columna G con la densidad de la población de cada estado (número de

pobladores por kilómetro cuadrado), usando la fórmula:

¿Cuáles son los seis estados de menor densidad poblacional?

4. Supón que la población de cada estado crece 25% cada 10 años. En la columna H

estima la población que habrá en cada estado en el año 2010 usando la fórmula:

Población en 2010 = (Población en 2000) + 0.25 * (Población en 2000)

Explica el significado de esta igualdad.

¿Qué valor obtuviste para la población de tu estado en el año 2010?

¿Qué valor obtuviste para la población total de la República Mexicana en el año 2010?

Discute con tu profesor de Geografía estos datos.

5. Por último, llena la columna correspondiente a la capital de cada estado.

Una investigación con razones• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Densidad de población =habitantes del estado

superficie del estado

Page 72: Hoja Decal Culo

72 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

Imagina que unas máquinas son capaces de transformar unos números en otros núme-

ros. Por ejemplo, las dos máquinas mostradas en los esquemas de abajo son una

duplicadora y una sumadora del número 8:

¿Qué número saldrá de la duplicadora si se introduce el número 20?

¿Y de la sumadora del 8?

¿Qué número produce el mismo resultado al ser introducido en ambas máquinas?

Número Resultado

Construye una hoja de cálculo para estudiar estas transformaciones.

Introduce las fórmulas apropiadas y cópialas hacia abajo:

¿Cuál de las dos fórmulas siguientes es la correcta para la celda B2?

2 * A2 A2 * 2

Para cualquier número n la primera máquina le asignará el número:

Para cualquier número n la segunda máquina le asignará el número:

Piensa ahora en una máquina que resta 8 al número introducido.

Agrégala a la columna D de tu hoja de cálculo.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre Edad

Escuela Fecha

100 ➙ -- 8 ➙ 92

100 ➙ x 2 ➙ 200

100 ➙ + 8 ➙ 108

A B C

1 MÁQUINA DUPLICADORA SUMADORA

2 1 2 9

3 2 4 10

4 3 6 11

5 4 8 12

= A2 + 1

Fórmula

Fórmula

Aritméticaáquinas transformadorasáquinas transformadorasMM

Page 73: Hoja Decal Culo

73a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre Edad

Escuela Fecha

Encuentra dos números consecutivos que sumen 11:

¿Puedes encontrar dos números consecutivos que al restarlos el resultado sea 2?

Construye una hoja de cálculo que tenga dos números consecutivos y su suma. En

las celdas B2 y C2 anota las fórmulas apropiadas para calcular el número consecutivo

de A2 y la suma respectiva.

Para continuar el análisis de la suma de dos números consecutivos considera la

siguiente afirmación: La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos es

igual a su suma. Comprueba si esto es cierto extendiendo tu hoja como se muestra. En

D2, E2 y F2 tienes que escribir las fórmulas respectivas.

Después, varía el número inicial y observa si siempre la diferencia de los cuadra-

dos es igual a la suma de los números.

Resuelve ahora las siguientes situaciones; retoma lo que has visto en esta actividad

y emplea una hoja de cálculo para cada caso.

1. Eduardo es un año más grande que su hermano. En 40 años sus edades sumarán

123 años. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?

Preálgebraúmeros consecutivosúmeros consecutivosNN

A B C D

1 NÚMERO NÚMERO SUMA DE

INICIAL CONSECUTIVO LOS DOS NÚMEROS

2 5 6 11

3

C D E F

1 SUMA DE LOS CUADRADO CUADRADO DIFERENCIA

DOS NÚMEROS 1ER NÚMERO 2DO NÚMERO DE LOS CUADRADOS

2 11 25 36 11

3

Page 74: Hoja Decal Culo

74 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Números consecutivos

2. Dos hermanos con un año de diferencia en sus edades, las multiplican y les da 2 256.

¿Cuáles son sus edades?

3. Durante cinco años Charles Darwin realizó un viaje de exploración por varios

lugares del mundo. El número 9170 es el resultado de sumar los años en que

Darwin realizó su viaje.

Encuentra de qué años se trata.

(Sugerencia: Crea una hoja de cálculo con cinco números consecutivos y su suma.)

Page 75: Hoja Decal Culo

75a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

• • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre Edad

Escuela Fecha

Imagina que te encargan el diseño de una cuadra para caballos y sólo te ponen dos

condiciones: que ocupe un área rectangular de 500 m2 y que el perímetro sea de

exactamente 100 metros.

¿Se podrá construir un rectángulo con estas características?

¿Cuáles deben ser sus dimensiones?

Para resolver el problema, comienza por establecer una medida cualquiera para

uno de los lados del rectángulo; prueba con 20 metros.

¿Cuál debe ser la longitud del otro lado, si sabemos que el área del rectángulo

debe ser de 500 m2?

Calcula ahora el perímetro resultante con estos dos lados. ¿Es el esperado?

Escoge otra longitud para uno de los lados del rectángulo y sigue el procedimiento

anterior. ¿El perímetro es de 100 metros?

Para que este procedimiento sea efectivo conviene automatizarlo, empleando para

ello una hoja de cálculo como la siguiente.

Extiende los valores hasta que llegues al perímetro más cercano a 100 y copia aquí

las dos respuestas más cercanas:

Geometría y Preálgebrael perímetro y el áreaa los ladosel perímetro y el áreaa los lados

DD

A B C

1 LONGITUD DE UN LADO SEGUNDO LADO PARA PERÍMETRO

(SUPUESTA) SATISFACER EL ÁREA RESULTANTE

2 1 500 1002

3 2 250 504

4 3 166.66666666 339.33333333

5 4 125 258

Page 76: Hoja Decal Culo

76 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

Escribe ahora en la celda A2 el valor 13 y varíalo en esta columna cada 0.01, es

decir cada centímetro para aproximarte al valor de los lados con sólo dos decimales de

diferencia con respecto al resultado que se busca.

¿Cuáles son las medidas de los lados?

Ahora te piden construir un campo rectangular, también de 100 metros de perímetro,

pero con un área de 1000 m2. Modifica tu hoja de cálculo para resolver este nuevo

problema.

¿Pudiste encontrar una solución?

¿Por qué?

¿Cuál es el mínimo perímetro posible para un área de 1000 metros?

¿Cuál es la característica principal del campo que corresponde a este perímetro mínimo?

El problema general que has estado resolviendo es el siguiente: Se quiere construir

un rectángulo con cierto perímetro (P) y cierta área (A), y para ello debe determinarse la

longitud de sus lados. Ya vimos que a veces este problema tiene solución y a veces no.

En resumen, podemos decir que, para que este problema tenga solución: el área debe

ser menor o igual que el perímetro al cuadrado entre 16; esto es:

A ≤

Comprueba que en el primer problema esta relación se satisface, pero en el segundo no.

¿Se podrá construir el campo rectangular si en el segundo caso, en vez de 100

metros de perímetro se opta por uno de 1000 metros (un kilómetro) y se mantiene un

área de 1000 m2?

Para responder, usa la relación de arriba y modifica tu hoja de cálculo.

¿Cuáles son las medidas de los lados encontrados?

¿Y el área?

Del perímetro y el área a los lados • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

p2

16

Page 77: Hoja Decal Culo

77a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

¿Qué tienen en común el costo de un viaje en taxi y el cocinado de un pavo?

En matemáticas los fenómenos reales se clasifican de acuerdo con el tipo de modelo

matemático que los describe. En esta actividad verás que las dos situaciones menciona-

das coinciden en su estructura matemática.

Considera primero el viaje en taxi. Imagina que al subir, en el medidor aparece ya

la cantidad de $5.00 y que ésta aumenta $1.50 por cada kilómetro que el taxi recorre.

¿Cuánto habrá que pagar en total si el recorrido es de 4 kilómetros?

Las operaciones que hiciste posiblemente fueron:

1.5 * 4 + 5 = 11

Una fórmula general para hacer estos cálculos es:

1.5 * (km recorridos) + 5 = Cantidad a pagar

Utiliza una hoja de cálculo para obtener una tabla que represente esta situación. En

la columna A coloca los kilómetros recorridos e increméntalos de uno en uno emplean-

do una fórmula. En la columna B calcula la cantidad a pagar con la fórmula general:

¿Cuánto hay que pagar por un recorrido de 15 kilómetros?

En otra ciudad se cobra sólo $1.00 por el banderazo, pero $2.00 pesos por kiló-

metro recorrido. Agrega en la columna C la fórmula para esta ciudad. Compara los

resultados para averiguar qué ciudad brinda el servicio más barato.

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •VV ariación lineal (1)ariación lineal (1) Álgebra

A B C

1 KILÓMETROS CANTIDAD CANTIDAD

RECORRIDOS A PAGAR A PAGAR (2)

2 0 5

3 1 6.5

4 2 8

Page 78: Hoja Decal Culo

78 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

Ocúpate ahora de cocinar el pavo.

En un libro de cocina aparece la siguiente sugerencia:

Envuelva el pavo en papel aluminio; por cada

kilogramo de peso, hornee el pavo 15 minutos

y sume a esto 90 minutos extras.

¿Cuánto tiempo de cocinado necesita un pavo de 8 kilos?

Las operaciones que posiblemente hiciste fueron:

15 * 8 + 90 = 210

Una fórmula general para hacer estos cálculos es:

15 * (kg de peso) + 90 = minutos de cocinado

Usemos otra hoja de cálculo para obtener una tabla que represente esta situación.

En la columna A anota los kilogramos de peso. En las columnas B y C calcula el tiempo

de cocinado con fórmulas.

¿Cuánto tiempo se requiere para cocinar un pavo de 6.5 kilos?

Si observa las dos fórmulas, la del taxi y la del pavo, notarás que son muy similares.

Ambas pueden expresarse así:

a * x + b = y

o bien

y = a * x + b

donde a y b son números constantes y las variables están representadas por x y y.

A B C

1 KG DE PESO MINUTOS DE COCCIÓN HORAS DE COCCIÓN

2 1 105 1.75

3 2 120 2

4 3 135 2.25

Variación lineal (1) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 79: Hoja Decal Culo

79a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

En la actividad anterior descubriste la fórmula y = a * x + b. ¿Crees que esta ecuación

corresponde a una situación real? El tipo de relaciones que estas ecuaciones estable-

cen se llaman lineales, y tienen una característica muy sencilla que nos ayudará a con-

testar esta pregunta.

Las siguientes tablas muestran los resultados obtenidos en la actividad anterior:

Observa que las cantidades a pagar de la tabla de la izquierda aumentan, de

manera constante, de 1.5 en 1.5.

¿En que proporción aumentan los tiempos de cocinado en la tabla de la derecha?

¿Los aumentos son constantes?

Analiza ahora la siguiente tabla, que muestra el costo de una llamada telefónica

según el tiempo que dura la conexión.

¿Cuál es la proporción en la que aumentan los cargos en la tabla anterior?

ariación lineal (2)ariación lineal (2)

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •VV

TARIFA DE UN TAXI

KM RECORRIDOS CANTIDAD A PAGAR

0 5

1 6.5

2 8

3 9.5

TIEMPO DE CARGO A PAGAR

CONEXIÓN (MIN.) (PESOS)

5 $ 70

10 $ 130

15 $ 190

20 $ 250

COCINADO DE UN PAVO

KG DE PESO MINUTOS DE COCINADO

1 105

2 120

3 135

4 150

Álgebra

Page 80: Hoja Decal Culo

80 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

¿Los aumentos son constantes?

Del análisis de la tabla se desprende que el cargo es de 60 pesos por cada 5

minutos adicionales de conexión.

¿A cuánto asciende el cargo por minuto de conexión?

De esto se puede deducir que la fórmula para esta situación es la siguiente:

12 * (tiempo de conexión) + 10 = cargo a pagar

Con ella construye una hoja de cálculo como la siguiente:

Cambia la columna A, de modo que el tiempo se incremente cada minuto, comen-

zando con un minuto.

¿Cuánto aumentan los cargos de la columna B?

¿Los aumentos son constantes?

Cambia nuevamente la columna A, de modo que el tiempo se incremente cada tres

minutos.

¿ Cuánto aumentan ahora los cargos de la columna B?

¿Los aumentos son constantes?

La propiedad observada en todos estos casos es una característica general de las

relaciones lineales que puede enunciarse de la siguiente manera:

Si una variable se incrementa de manera constante, la otra variable cambiará tam-

bién en forma constante.

A B C

1 TIEMPO (MIN.) CARGO (PESOS)

2 5 $ 70

3 10 $ 130

4 15 $ 190

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Variación lineal (2)

Page 81: Hoja Decal Culo

81a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

Álgebra

Por ejemplo, si viajamos en un coche a una velocidad constante de 80 km/h, cada

hora se incrementarán 80 kilómetros en el odómetro*. Las dos variables en este caso son

el tiempo y la distancia recorrida.

Describe otra situación real en la que al aumentar una variable de manera constante,

la otra también varíe en forma constante.

* Aparato que se utiliza para contabilizar los kilómetros recorridos por un automóvil.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 82: Hoja Decal Culo

82 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

Nombre Edad

Escuela Fecha

Recuerda que la propiedad de las relaciones lineales es la siguiente:

Si una variable se incrementa de una manera constante, la otra variable cambiará

también en forma constante.

En esta actividad aprovecharás esta propiedad para determinar si una relación es

lineal o no y dar su ecuación.

Observa la siguiente tabla:

Debido a que x se incrementa de 2 en 2 (0, 2, 4…) y el valor de y se incrementa de

5 en 5 (4, 9, 14…) ésta es una relación lineal.

Si ahora queremos descubrir la ecuación que satisface la tabla anterior, tenemos

que deducir los valores de a y b en la fórmula:

y = a * x + b

La constante a representa el cambio de la variable y en relación con el cambio que

experimenta x (de 1 en 1). En la tabla anterior notamos que al incrementarse x de 2 en

2, y se incrementa de 5 en 5. Esto quiere decir que al incrementarse x de 1 en 1, y

aumentará de 2.5 en 2.5. Así, el valor de la constante a para este caso debe ser de

2.5; esto es:

a = 2.5

La constante b representa el valor de y cuando x = 0. En la tabla anterior observa-

mos que este valor es de 4. Así,

b = 4.

Por lo tanto, la ecuación que estábamos buscando es:

y = 2.5 * x + 4

Escribe esta fórmula en una hoja de cálculo como se muestra a continuación para

verificar que se obtienen los mismos valores de la tabla de arriba.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •VV Álgebraariación lineal (3)ariación lineal (3)

x 0 2 4 6 8 10

y 4 9 14 19 24 29

Page 83: Hoja Decal Culo

83a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Trabaja ahora junto con un compañero.

Abran una nueva hoja de cálculo. En la celda A1 escriban x, en la celda B1 escri-

ban y, y en la celda A2 escriban cualquier número. Después, uno de ustedes, debe

escribir en la celda B2 una fórmula del tipo: = 3 * A2 + 7 ( el 3 y el 7 son sólo ejemplos,

ya que puedes poner los números que quieras) para que el otro la adivine variando

como quiera el número en la celda A2. Después, quien adivine la fórmula debe escribir-

la en la forma:

y = a * x + b

Intercambien ahora papeles, y al final discutan con el grupo cuál es la mejor estrate-

gia para obtener la fórmula de sus datos numéricos.

Con la misma hoja del ejercicio anterior, repitan la actividad, pero ahora escriban en

la celda B2 fórmulas lineales o de otro tipo. Primero uno de ustedes debe verificar si la

relación es efectivamente lineal, usando la propiedad enunciada al principio de esta acti-

vidad, es decir, al cambiar x en forma constante, y también cambiará en forma constante.

Si es lineal, ¿cuál es su fórmula?

Variación lineal (3)

A B

1 x y

2 0

3 1

4 2

= 2.5* A2 + 4

Copia hacia

abajo la fórmula

Page 84: Hoja Decal Culo

84 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

En esta actividad estudiarás relaciones lineales en las que mientras una de las cantida-

des crece, la otra decrece. Una de las más sencillas es la que aparece cuando observa-

mos la variación de lo que falta o lo que sobra. El siguiente ejemplo servirá para ilustrar

esto.

La distancia entre Hermosillo y Chihuahua es de 650 kilómetros. Si desde Hermosillo

hacia Chihuahua hemos viajado 300 kilómetros, ¿cuántos kilómetros nos faltan para

llegar a la segunda ciudad? Completa la tabla siguiente:

¿Es ésta una relación lineal?

¿Por qué?

Escribe la fórmula que relaciona los kilómetros recorridos con los kilómetros que faltan.

Usa la fórmula de arriba en una hoja de cálculo para obtener los kilómetros que

faltan en función de los kilómetros recorridos. Verifica los valores de la tabla anterior.

¿Qué valor obtienes para los kilómetros que faltan si introduces el valor 700 en los

kilómetros recorridos?

¿Tiene esto sentido? Discútelo con tus compañeros.

Localiza en la gráfica de la siguiente página los puntos correspondientes a esta rela-

ción para cada 50 kilómetros recorridos. Uno de los puntos ya está dado como ejemplo.

¿Qué observas?

ineales que caenineales que caen• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Álgebra

Nombre Edad

Escuela Fecha

LL

KILÓMETROS RECORRIDOS 100 200 300 400

KILÓMETROS QUE FALTAN 350

Page 85: Hoja Decal Culo

85a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

La ecuación de esta recta es:

y = 650 – x

Compárala con la ecuación general dada en lecciones anteriores y señala en qué

difieren y qué propiedades tienen en común.

Piensa ahora en un triángulo isósceles.

Si los dos ángulos iguales son de 70o, ¿cuál debe ser la medida del tercer ángulo?

¿Es ésta una relación lineal?

Termina de llenar la siguiente tabla:

¿Es ésta una relación lineal?

¿Por qué?

Encuentra la fórmula que relaciona estos ángulos. Para ello, estudia la siguiente igual-

dad y decide si es correcta:

tercer ángulo= 180o – 2 * (ángulo común)

Usa la fórmula de arriba en una hoja de cálculo para calcular el tercer ángulo, una

vez que conozcas el ángulo común. Verifica los valores de la tabla anterior.

Lineales que caen• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

ÁNGULO COMÚN 50o 60o 70o 80o

TERCER ÁNGULO 80o 40o

Page 86: Hoja Decal Culo

86 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

¿Qué valor obtienes para el tercer ángulo si introduces el valor 90° para el ángulo

común?

¿Tiene esto sentido? Discútelo con tus compañeros.

En una hoja cuadriculada realiza una gráfica con la relación anterior. Es decir anota

los valores del ángulo común en el eje x y los valores correspondientes al tercer ángulo

en el eje y.

¿Qué observas?

La ecuación de esta recta es:

y = 180 - 2x

Compárala con la ecuación general mencionada en las actividades anteriores y

señala si difieren o se parecen. Anota tus conclusiones:

Considera a continuación el siguiente problema.

A una persona que pesa 240 kilos le recomiendan una dieta y le prometen que, de

seguirla, reducirá 10 kilos cada mes. Construye una tabla que represente el peso de la

persona en función de los meses que sigue la dieta y traza la gráfica de esta relación.

Da la ecuación de la recta obtenida.

Álgebra • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 87: Hoja Decal Culo

87a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Nuevas ideas

Nombre Edad

Escuela Fecha

EE

Usa una hoja de cálculo para resolver el siguiente problema de dos maneras diferentes.

Un teléfono celular tiene una renta mensual de $150.00 más $1.75 por cada minu-

to que dure una llamada.

¿Cuántos minutos puede ocuparse el teléfono para que la cuenta mensual no exce-

da de $500.00?

¿Cuánto se debe pagar en total por 10 minutos de uso al mes?

¿Cuánto se debe pagar en total por 20 minutos de uso al mes?

¿Podrías dar una fórmula que represente el total a pagar para m minutos de uso al

mes?

Construye una hoja de cálculo como la siguiente, usando la fórmula que generaste.

¿Cuántos minutos máximo se puede ocupar el teléfono para que la cuenta mensual

no exceda de $500.00?

Si en un mes alguien recibe una cuenta de $766.00, ¿cuántos minutos usó el teléfono?

A B

1 TIEMPO DE USO CANTIDAD TOTAL

(EN MINUTOS) A PAGAR

2 0 150.00

3 1 151.75

4 2 153.50

5 3 155.25

6 4 157.00 = 150 + 1.75 * A2

= A2 + 1

cuaciones explícitasvs. recursivascuaciones explícitasvs. recursivas

Page 88: Hoja Decal Culo

88 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Ecuaciones explícitas vs. recursivas

Sin usar ahora tu hoja de cálculo resuelve el siguiente problema: Si en un mes se

cargaron $430.00, ¿de cuánto hubiera sido la cuenta si el teléfono se hubiera usado un

minuto más?

Para resolver la pregunta de arriba, ¿usaste la fórmula de la hoja anterior?

Si no fue así, ¿qué fórmula o método usaste? Explícalo.

Construye una hoja de cálculo como la siguiente. Compara si el método que seguiste

es igual al aplicado en esta hoja.

¿Cuántos minutos se puede ocupar el teléfono para que la cuenta mensual no exce-

da de $500?

La fórmula usada en la primera hoja es del tipo explícito. La de esta hoja es del

tipo recursivo. Discute sus diferencias, así como las ventajas y desventajas de cada

una de ellas.

= A2 + 1 = B2 + 1.75

A B

1 TIEMPO DE USO CANTIDAD TOTAL

(EN MINUTOS) A PAGAR

2 0 150.00

3 1 151.75

4 2 153.50

5 3 155.25

6 4 157.00

Page 89: Hoja Decal Culo

89a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

ecursividad (1)ecursividad (1) Nuevas ideas

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •RR

En esta actividad estudiarás procesos que se repiten una y otra vez, y diseñarás un

procedimiento en una hoja de cálculo para describirlos.

Supón que una población de bacterias se triplica cada hora. Si al inicio se tienen

100 bacterias, ¿cuántas tendremos después de una hora?

¿Cuántas tendremos después de dos horas?

Construye una hoja de cálculo como la siguiente, introduce las fórmulas y cópialas

hacia abajo.

¿Cuánto tiempo debe pasar para que esta colonia llegue a un millón de bacterias?

¿Cuántas bacterias habrá después de un día?

¿Cuánto tiempo debe esperar un investigador que puso en un cultivo separado

10 de estas bacterias si quiere regresar a su laboratorio cuando haya 50 000?

= A3 + 1 = B2 * 3

A B C

1 TIEMPO CANTIDAD DE

(EN HORAS) BACTERIAS

2 Al inicio 100

3 1 300

4 2 900

5 3 2700

6 4 5100

Page 90: Hoja Decal Culo

90 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

Considera ahora esta situación:

Un coche vale inicialmente $100 000.00 y pierde 20% de su valor cada año. Cons-

truye una hoja de cálculo que dé el valor del coche en los años subsecuentes (de acuer-

do con el porcentaje mencionado, el coche tendrá un valor del 80% con respecto al

valor inicial; este valor se obtiene al multiplicar el valor inicial por 0.8).

¿Cuánto tiempo pasará para que el valor del coche sea de $10000.00 pesos?

¿Cuánto tiempo pasará para que el valor del coche sea de $1000.00 pesos?

Otro coche pierde sólo 15% de su valor cada año. Si nuevo cuesta $92500.00,

¿cuál será su valor después de 6 años?

Si finalmente este coche se vende en $18 000.00, ¿cuántos años han pasado des-

de que lo compraron por primera vez?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Recursividad (1)

= B2 * ?

A B C

1 TIEMPO VALOR DEL

(EN AÑOS) COCHE ($)

2 Al inicio 100000

3 1 80 000

4 2 64 000

Page 91: Hoja Decal Culo

91a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

En el periódico apareció una nota donde se afirmaba que la población de la Repú-

blica Mexicana había llegado en 1995 a 93 millones de habitantes aproximada-

mente, lo cual representaba un incremento de 10 millones con respecto al año de

1990. ¿Cómo podemos usar la hoja de cálculo para deducir con estos datos la tasa

de crecimiento anual y con ella predecir la cantidad de habitantes que habrá en los

años 2000, 2010, 2020 y 2030?

Construye una hoja de cálculo como la siguiente. Considera en principio una tasa

anual (TA) de 3%; introduce las siguientes fórmulas y cópialas hacia abajo:

¿La hoja de cálculo llega a los 93 millones para1995? Si no es así, la tasa anual no

es la correcta; cámbiala hasta llegar a la cantidad requerida para 1995 y luego res-

ponde las preguntas planteadas al inicio de esta actividad.

Discute con tus compañeros la necesidad de viviendas, agua, alimento, etcétera,

para el año 2030.

Resuelve de manera similar el siguiente problema: Un banco asegura que cualquier

depósito que realicen sus clientes se triplicará en 20 años.

Nombre Edad

Escuela Fecha

Nuevas ideas• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •RR

= B6 + C6

= B6 * TA

= B6 *$B$3

Define elnombre TA

A B C

1 TASA ANUAL

2 TA

3 0.03

4

5 AÑO POBLACIÓN INCREMENTO

(en millones) (en millones)

6 1990 83 2.49

7 1991 2.56

8 1992 88.05 2.64

9 1993 90.70

10 1994

11 1995

ecursividad (2)ecursividad (2)

Page 92: Hoja Decal Culo

92 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Recursividad (2)

¿Qué tasa de interés anual está dando?

¿En cuánto tiempo se duplicó la cantidad depositada?

Ahora construye una hoja de cálculo para la siguiente situación: si un elemento

radiactivo tiene una vida media de 35 años; ¿cuál es su tasa anual de desintegración?

¿Cuánto quedará de este elemento si se guardan 100 gramos durante 70 años?

Page 93: Hoja Decal Culo

93a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

Nombre Edad

Escuela Fecha

Aplicación

A la cantidad de oscilaciones de un péndulo en un intervalo determinado se le llama

frecuencia. La fórmula siguiente relaciona la longitud de un péndulo (l) con su periodo

de oscilación (P), es decir, con el periodo de tiempo que ocupa una oscilación comple-

ta, y sirve para obtener la frecuencia de cualquier péndulo:

P = 2π

en donde g es la constante de la gravedad, que para la Tierra tiene un valor de

9.8 m/s2 (en la Luna esta constante es de 1.6 m/s2).

Si un péndulo tiene una longitud de 15 cm, ¿cuántas oscilaciones efectuará por

minuto? Para responder construye una hoja de cálculo como la siguiente:

¿Cuál es la frecuencia (por minuto) del péndulo?

¿Qué frecuencia tendrá un péndulo de un metro de longitud?

¿Qué longitud debe tener el péndulo para que oscile una vez por segundo (60

oscilaciones por minuto)?

¿Qué le pasa a la frecuencia cuando la longitud del péndulo se reduce?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

A B C D E

1 LONGITUD LONGITUD PERIODO FRECUENCIA FRECUENCIA

(cm) (m) P (s) (Osc. por seg.) (Osc. por min.)

2 1 0.01 0.201 4.982 298.94

3 2 0.02 0.284 3.523 211.38

4 3 0.03 0.348 2.877 172.59

5 4 0.04 0.401 2.491 149.47

6 5 0.05 0.449 2.228 133.69

= 2 * 3.14 * RAÍZ (B2/9.8)

= 1/C2

√l

g

PP énduloéndulo

Page 94: Hoja Decal Culo

94 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

Péndulo • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

¿Qué frecuencia tendría un péndulo de medio centímetro de longitud?

¿Qué frecuencia tendría un péndulo de 100 metros de largo?

Cambia tu hoja de cálculo para que dé los resultados de la frecuencia de péndulos

en la Luna.

¿Son más lentos o más rápidos los péndulos en la Luna?

¿Qué te dice lo anterior sobre cómo caminaría o correría la gente en la Luna? ¿Y en

Júpiter? (Aquí se necesita investigar la constante de la gravedad en ese planeta.)

Page 95: Hoja Decal Culo

95a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

Considera el siguiente problema: se quiere calcular la altura de un edificio con base en

un solo dato: a una distancia de 50 metros su ángulo de elevación q es de 56°. Obser-

va la figura:

Para el triángulo rectángulo que forman el edificio y su ángulo de elevación se

puede plantear la siguiente relación:

tan θ =

o bien, despejando h:

h = d * tan θ

Construye una hoja de cálculo como la siguiente. La celda C2 convierte el ángulo a

radianes y la celda D2 calcula la tangente de este ángulo. Escribe la fórmula correcta

para la celda E2 de acuerdo con la igualdad de arriba.

Como puedes observar, la altura del edificio debe ser de 74 metros aproximadamente.

Usa ahora tu hoja de cálculo para resolver los siguientes problemas.

ngulo de elevacióny de depresiónngulo de elevacióny de depresión

TrigonometríaÁÁNombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

= TAN (C2)= RADIANTE (B2)

A B C D E

1 DISTANCIA (d) ÁNGULO θ ÁNGULO θ TANGENTE ALTURA (h)

(metros) (grados) (radianes) DEL ÁNGULO (metros)

2 50 56 0.9774 1.48256 74.13

Page 96: Hoja Decal Culo

96 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

¿Cuál es la altura de un árbol si su ángulo de elevación es de 70°, tomando como

referencia un punto en el suelo a 40 metros de la base del tronco?

De tarea, traza un dibujo a escala de esta situación en la parte de atrás de esta hoja.

¿Cuál es la altura de la torre Eiffel si su ángulo de elevación es de 56°, tomando

como base un punto en el suelo a 200 metros de la base?

Hasta aquí has visto cómo determinar la altura de un objeto cualquiera con base en

el ángulo de elevación y la distancia. A continuación revisarás el procedimiento para

calcular la distancia con base en el ángulo de elevación y la altura.

Trata de determinar a qué distancia se encuentra un barco que se observa desde la

azotea de un edificio de 440 metros de altura, tomando en cuenta que se forma un

ángulo de depresión θ de 30° (observa la figura).

De acuerdo con la figura anterior tenemos que:

tan θ =

o bien, despejando d:

d =

Agrega los datos de la tabla siguiente a la hoja de cálculo que has estado usando.

Las fórmulas para las celdas C6 y D6 son similares a las anteriores. Escribe la fórmula

correcta para la celda E6 de acuerdo con la igualdad citada (d = h/tan θ).

La distancia que buscas es de 760 metros o 3/4 de kilómetro, aproximadamente.

Ángulo de elevación y de depresión • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

h

tan θ

h

d

Page 97: Hoja Decal Culo

97a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

Resuelve los siguientes problemas:

¿A qué distancia de la costa se encuentra un avión que vuela a 5000 metros sobre el

nivel del mar si su ángulo de depresión con respecto a la costa es de 16°?

Convierte esta distancia a kilómetros.

Desde una montaña de 2400 metros de altura se puede observar un pueblo. El

ángulo de depresión con respecto al pueblo desde lo alto de la montaña es de 38°.

¿A qué distancia se encuentra la montaña del pueblo?

Da el resultado en kilómetros.

A B C D E

5 ALTURA (h) ÁNGULO θ ÁNGULO θ TANGENTE DISTANCIA (d)

(metros) (grados) (radianes) DEL ÁNGULO (metros)

6 440 30 0.5236 0.57735 762.10

Trigonometría• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 98: Hoja Decal Culo

98 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • Álgebra y Nuevas ideas

En 1990 vivían en nuestro país aproximadamente 80 millones de habitantes. Si

consideramos que el territorio mexicano tiene una extensión de casi dos millones

de kilómetros cuadrados, ¿cuántas personas crees que había en promedio por cada

kilómetro cuadrado? Al número de habitantes por kilometro cuadrado se le llama

densidad de población.

En esta actividad conocerás y aplicarás un método para calcular el crecimiento de

la población mexicana y cómo éste se refleja en su densidad de población.

Para empezar, construye una hoja de cálculo de acuerdo con las siguientes

instrucciones:

1. En la columna A escribe 1990 y encuentra una fórmula para generar una serie

que aumente de diez en diez el año.

2. En la columna B escribe la cantidad de habitantes que había en México en 1990.

Para calcular las poblaciones subsecuentes, establece un porcentaje de creci-

miento, digamos 25% (esto se puede precisar consultando los resultados del cen-

so más reciente). Enseguida, escribe en la celda B3 la fórmula = B2 + 0.25 * B2

(la población anterior más 25%) y cópiala hacia abajo.

3. En las celda C2 escribe la fórmula =B 2 / 2 000 000 (población/superficie) que

calcula la densidad poblacional respectiva y cópiala hacia abajo.

¿Qué densidad habrá en el año 2100?

¿En qué año la densidad llegará a 10 000 habitantes por kilómetro cuadrado?

Discute estos resultados y sus implicaciones con tus compañeros.

EE xplosión demográficaxplosión demográfica

A B C D

1 AÑO POBLACIÓN DENSIDAD

HAB. POR KM2

2 1990 80 000000 40

3 2000 100000 000 50

4 2010 125 000 000 63

Page 99: Hoja Decal Culo

99a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

nflación contra salarionflación contra salario• • • • • • • • • • • • • • Álgebra y Nuevas ideas

En esta actividad verás cómo la inflación reduce el salario efectivo de una persona.

Primero es necesario establecer un par de referencias. Considera que en 1990 el

salario de un trabajador era de $5 000.00 mensuales y que en ese año un coche

costaba $50 000.00.

¿Cuántos salarios del trabajador eran necesarios para pagar el coche?

Imagina ahora que la inflación anual es pequeña, por ejemplo de 5%, y que el

salario se mantiene fijo.

Con los datos anteriores elabora una hoja de cálculo. Los pasos siguientes te pue-

den servir:

1. En la columna A escribe 1990 y encuentra una fórmula para generar una serie

que aumente de uno en uno el año.

2. En la celda B2 escribe el salario sin cambio.

3. En la celda C2 escribe el costo inicial del coche. En la celda C3 escribe la fórmu-

la = C2 + 0.05 * C2 para calcular cuánto aumenta el costo del coche anualmen-

te debido a la inflación. Copia la fórmula hacia abajo.

4. En la columna D escribe una fórmula apropiada para calcular la cantidad de

salarios que se requieren para comprar el coche.

¿En qué año se necesitarán 20 salarios para pagar el coche?

¿En qué medida se ha reducido efectivamente el salario del trabajador?

Considera ahora la situación en la que el salario crece en la misma proporción que

la inflación. Modifica la columna B para que el salario aumente 5% cada año.

IINombre Edad

Escuela Fecha

A B C D

1 AÑO SALARIO COSTO COCHE SALARIOS PARA

COMPRAR COCHE

2 1990 5000 50 000 10

3 1991 5000 52 500 10.5

4 1992 5000 55125 11

Page 100: Hoja Decal Culo

100 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

¿Qué observas en la columna D?

La situación anterior sería ideal. Por lo general los salarios crecen a una razón menor

que la inflación real. Supón, por ejemplo, que la inflación real es de 30% anual. Aplica

este porcentaje al costo del coche en la columna C. Piensa también que debido a esta

inflación, los salarios se incrementan 20% anualmente. Aplica este aumento al salario

en la columna B. Tu hoja debe mostrar los siguientes resultados:

De acuerdo con tus resultados, ¿cuánto se habrá reducido el salario efectivamente

en 10 años?

¿Cuánto se habrá reducido el salario efectivamente en 20 años?

Comenta los resultados de la actividad con tus compañeros y tu maestro.

Inflación contra salario • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

A B C D

1 AÑO SALARIO COSTO COCHE SALARIOS PARA

COMPRAR COCHE

2 1990 5 000 50 000 10

3 1991 6 000 65 000 10.8

4 1992 7 200 84500 11.7

Page 101: Hoja Decal Culo

101a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Álgebra y Nuevas ideas

¿Sabes cuál es la diferencia entre interés simple e interés compuesto? A continuación

vas a conocerla.

Si se tiene un capital inicial de $10000.00 y al depositarlo en una cuenta de

inversión nos dicen que la tasa de interés anual es de 15%, ¿cuál será la ganancia que

se obtenga?

Para saberlo, primero debes determinar cuánto es 15% de $10 000.00.

Así, en el primer año tendremos un capital de:

10000 + 1500 = 11500 pesos

En el segundo año :

11500 + 1500 = 13000 pesos

¿Y en el tercero?

La manera en que calculaste la ganancia del capital inicial se llama interés simple,

porque éste se mantiene constante.

El interés simple no es muy justo si consideramos que, conforme pasan los años,

cada vez se tiene más dinero y por lo tanto los intereses deberían calcularse sobre las

nuevas sumas y no en función del primer depósito. A este principio se le llama interés

compuesto. En el primer año el capital es el mismo:

10000 + 1500 = 11500

En el segundo año tendremos un interés de:

0.15 * 11500 = 1725 (ya que en el banco hay ahora11500 pesos)

Así, el capital será de:

11500 + 1725 = 13 225

¿Cuál será el interés en el tercer año si procedemos de la misma manera; es decir si

aplicamos la fórmula 0.15 * 13225?

¿Cuál será entonces el capital?

II nterés compuestonterés compuesto

Page 102: Hoja Decal Culo

102 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

Y así sucesivamente.

La fórmula para calcular el interés compuesto puede escribirse así:

Capital siguiente = Capital anterior + Tasa interés * Capital anterior

Construye una hoja de cálculo que haga las operaciones automáticamente. Copia

el modelo de la siguiente tabla:

¿Qué capital habrá en 10 años?

¿Qué capital habría en 10 años si se calculara como interés simple?

¿Qué capital habrá en 20 años?

¿Qué capital habría en 20 años si se calculara como interés simple?

¿Qué capital tendrá una persona después de 20 años si deposita en el banco

$1000.00 con un interés anual de 12%?

¿Qué población tendrá un país después de 20 años si actualmente tiene 500000

habitantes y su tasa de crecimiento es de 3% anual?

¿Cuánto costará un cuadro famoso después de 20 años si actualmente tiene un valor

de 10 000 dólares y la tasa de crecimiento de su valor es de 80% anual?

Interés compuesto • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

A B C D

1 TASA DE INTERÉS CAPITAL INICIAL AÑO CAPITAL

2 0.15 10 000 0 10000

3 1 11500

4 2 13225

Page 103: Hoja Decal Culo

103a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • Álgebra y Nuevas ideas

Primero vamos a construir en una hoja de cálculo una tabla de crecimiento compuesto

como la que se muestra abajo.

En la columna A van los años. En la columna B se incrementa la cantidad inicial de

100 al 1% anual. En la columna C se incrementa la cantidad inicial de 100 al 2%

anual. Continúa estas columnas hasta el 10% (columna K)

Comprueba que los valores que se obtienen con las fórmulas son los mismos que los

de la tabla de arriba.

Extiende cada columna hasta que veas el valor 200. El tiempo correspondiente en

la columna A se llama tiempo de duplicación, ya que empezaste con 100 y se llegó

hasta 200. Con los valores encontrados, llena la tabla siguiente:

TT iempos de duplicación enel crecimiento compuestoiempos de duplicación enel crecimiento compuesto

= C2 + 0.02 * C2

= B2 + 0.01 * B2

A B C D E

1 AÑOS 1% 2% 3% 4%

2 0 100 100 100 100

3 1 101 102 103 104

4 2 102.01 104.04 106.09 108.16

5 3 103.03 106.12 109.27 112.49

TASA DE CRECIMIENTO TIEMPO DE DUPLICACIÓN

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

10%

Page 104: Hoja Decal Culo

104 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

Tiempos de duplicación en el crecimiento compuesto • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Discute con tus compañeros para qué pueden servir estos tiempos en los bancos, al

prever poblaciones y estimar el valor de casas, antigüedades y obras de arte.

Extiende tu hoja de cálculo hasta una tasa de crecimiento de 20% y reprodúcela en

una hoja de papel.

¿Qué le pasa a los tiempos de duplicación conforme la tasa de crecimiento; aumenta

más y más?

¿Cuál sería el tiempo de duplicación para una tasa de crecimiento de 100% anual?

¿Cuál sería el tiempo de duplicación para una tasa de crecimiento de 200% anual?

Page 105: Hoja Decal Culo

105a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Probabilidad

Abre una hoja de cálculo (por ejemplo en Excel ) y escribe en la celda B1 la fórmula:

= ALEATORIO( ). Esta función escoge al azar un número entre cero y uno. ¿Qué número te dio?

Aprieta varias veces la tecla F9 y observa que cada vez te da otro número con esta

propiedad.

Escribe en la celda B2 la fórmula: = B1 * 6.

¿En qué rango caen los números de esta celda?

Escribe ahora en la celda B3 la fórmula: = ENTERO (B2). Esta función quita la parte

decimal del número en B2 y deja sólo su parte entera.

¿Cuáles son los seis números diferentes que se pueden obtener en esta celda?

¿Son los que tiene un dado?

Por último, escribe en la celda B4 la fórmula: = B3 + 1

¿Cuáles son los seis números diferentes que se pueden obtener en esta celda?

¿Son los que tiene un dado?

Ya tienes construido un dado en la celda B4 (destaca la celda con algún color,

centra el número y dale un tamaño más grande).

Realiza ahora el siguiente experimento. Aprieta la tecla F9 120 veces. Para cada

una, registra en la tabla de abajo el resultado de la celda B4.

onstruyendo dadosonstruyendo dadosCCNombre Edad

Escuela Fecha

VALOR DADO CONTEO (MARCA UNA DIAGONAL / DONDE CORRESPONDA) TOTALES

1

2

3

4

5

6

Page 106: Hoja Decal Culo

106 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Construyendo dados

Analiza estos resultados y responde las siguientes preguntas:

¿A qué se debe que las cantidades no sean iguales?

¿Crees que cada valor debería haber aparecido exactamente 20 veces?

¿Crees que un dado real se comportaría de la misma manera?

¿Por qué decimos entonces que cada cara de un dado tiene la misma probabilidad

de salir y que ésta es de un sexto?

Discute con el grupo estas preguntas. A continuación usa la misma hoja de cálculo y

sigue para la columna D los mismos pasos que en la columna B, para que tengas simul-

táneamente dos dados. Realiza ahora el siguiente experimento. Aprieta la tecla F9 120

veces. Para cada una, registra en la tabla de abajo la suma de los resultados de las

celdas B4 y D4.

SUMA DE LOS CONTEO (MARCA UNA DIAGONAL / DONDE CORRESPONDA) TOTALES

DOS DADOS

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Page 107: Hoja Decal Culo

107a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

Analiza estos resultados y responde las siguientes preguntas.

¿Tienen todos los valores la misma probabilidad de aparecer?

¿Qué valor es más probable?

¿Qué valor es menos probable?

Compara tus resultados con otros equipos.

Considera ahora la siguiente pregunta: ¿En qué proporción cae un doble cuando se

tira un par de dados muchas veces? (Recuerda que un doble sucede cuando en los dos

dados sale el mismo número.)

Para responder aprieta la tecla F9 100 veces y registra en la tabla de abajo si los

valores de las celdas B4 y D4 coinciden o no.

Divide ahora los totales para que obtengas esta proporción.

¿Cuál es?

Por cada doble que sale, debe ocurrir que los dados no coincidan cinco veces.

Dicho de otra manera, un doble aparece en promedio, una de cada seis veces.

¿Éste es el resultado que obtuviste?

¿Por qué fue diferente?

Guarda tu hoja de calculo para que la utilices en la sesión siguiente.

LOS DOS DADOS CONTEO (MARCA UNADIAGONAL / DONDE CORRESPONDA) TOTALES

No coinciden

Coinciden

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Probabilidad

Page 108: Hoja Decal Culo

108 a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s@

Hay un problema muy famoso cuyo resultado sorprende a todos.

¿Cuál es la probabilidad de que en un salón de clase de 40 niños se encuentren

dos cuya fecha de cumpleaños coincida? ¿Crees que la probabilidad sea pequeña o

grande?

Para encontrar la respuesta analiza primero una situación similar.

¿Cuál será la posibilidad de que en un grupo de seis niños coincida el mes del

cumpleaños de dos de ellos?

Se podría inferir que si hay 6 niños y 12 meses, la probabilidad debería ser de un

medio. ¿Será cierto? Para simular esta situación, usa la hoja de cálculo que construiste

en la actividad anterior.

En las columnas B y D habías construido dos dados con sus caras en las celdas B4

y D4. Primero es necesario que en estas celdas aparezcan 12 números representando

los meses y no sólo seis, como las caras de un dado). Para esto, cambia las fórmulas de

las celdas B2 y D2 como sigue:

= B1 * 12

= D1 * 12

Comprueba que en las celdas B4 y D4 aparecen ahora los números del 1 al 12 al

apretar la tecla F9.

Como tenemos un grupo de seis niños, debemos tener seis de estos números al azar.

Para esto, copia el contenido de la columna D en las columnas A, C, E y F. A continua-

ción realiza este experimento. Aprieta la tecla F9 100 veces. Para cada una, registra

en la tabla de abajo cuando no coincidan ninguno de los seis meses o cuando sí haya

coincidencia.

¿Qué es más probable?

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • ProbabilidadEE l problema del cumpleañosl problema del cumpleaños

LOS SEIS MESES CONTEO (MARCA UNA DIAGONAL / DONDE CORRESPONDA) TOTALES

No coinciden

Coinciden dos o más

Page 109: Hoja Decal Culo

109a c t i v i d a d e s e x p r e s i v a s @

En teoría, en casi el 80% de los casos se encontrará coincidencia entre algunos de

los meses. ¿Es esto más o menos lo que tú encontraste?

En el problema original del día de cumpleaños, se puede calcular que en aproxima-

damente 90% de los salones con 40 niños se encontrarán dos niños con el mismo cum-

pleaños. Si no lo crees es muy fácil de comprobarlo. Visita algunos salones de aproxi-

madamente 40 niños y comprueba que en 9 de cada 10 casos la afirmación anterior se

confirma (si estás en una escuela con salones más chicos, la probabilidad de encontrar

coincidencia en salones de alrededor de 25 niños es de aproximadamente 60%).

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • El problema del cumpleaños

Page 110: Hoja Decal Culo

Las hojas de trabajo de esta sección

requieren que el alumno utilice archivos

incluidos en el CD que acompaña este

libro. Las actividades se han ordenado por

grado, pero si se considera conveniente

pueden combinarse en función del avance

de los alumnos.

Actividades exploratoriasActividades exploratoriasActividades exploratorias

Page 111: Hoja Decal Culo

112 a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s@

escomposición en primosescomposición en primos• • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Como sabes, el número 4 es igual a 2 × 2, el número 6 es igual a 2 × 3 y el 15 es

igual a . A esta manera de expresar un número se le llama

factorización. Observa por qué.

Cualquier número puede descomponerse en otros números o factores primos. Por

ejemplo, el número 30 puede escribirse como 6 × 5, y el 6 puede expresarse nueva-

mente como 2 × 3; así que el 30 queda descompuesto finalmente en 2 × 3 × 5.

Los números primos son aquellos que ya no pueden descomponerse de esta mane-

ra, es decir, la descomposición en números primos consiste en expresar un número de

modo que ya no pueda descomponerse más. Descompón los siguiente números en sus

factores primos:

36 =

24 =

Como puedes observar en estos ejercicios, los números primos que componen el

número pueden repetirse varias veces.

Piensa en un número que tenga repetido un primo cuatro veces.

El archivo FactPrim.xls (véase el anexo ”Descripción de archivos“) te será útil para

descomponer cualquier número en sus factores primos. Usa este archivo para compro-

bar que el número 120 puede descomponerse como sigue:

2 × 2 × 2 × 3 × 5

Obtén ahora la descomposición en primos de los siguiente números:

210 =

128 =

900 =

2431 =

51798 =

AritméticaDDNombre Edad

Escuela Fecha

Page 112: Hoja Decal Culo

113a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s @

álculo del MCD y el mcmálculo del MCD y el mcm• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Consideremos los números 30 y 42. Su descomposición en primos es:

2 × 3 × 5

2 × 3 × 7 respectivamente.

Los divisores elementales del 30 son 2 , 3 y 5 .

Los divisores elementales de 42 son:

¿Cuáles son los divisores elementales comunes a los dos?

Su máximo común divisor (MCD) es el producto de estos divisores elementales comu-

nes, es decir, el 6.

Con el archivo FactPrim.xls (véase el anexo ”Descripción de archivos“) encuentra la

descomposición de cada uno de los siguientes números y deduce el MCD de cada pareja

de números multiplicando los divisores elementales comunes (observa el ejemplo).

40 = 2 × 2 × 2 × 5

500 = 2 × 2 × 5 × 5 × 5

98 =

112 =

2700 =

4 500 =

7 560 =

1575 =

Consideremos nuevamente los números 30 y 42. Su descomposición en primos es:

2 × 3 × 5

2 × 3 × 7 respectivamente.

MCD = 2 × 2 × 5 = 20

MCD =

MCD =

MCD =

AritméticaCCNombre Edad

Escuela Fecha

Page 113: Hoja Decal Culo

114@ a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

Cualquier múltiplo del 30 debe contener al menos los números 2, 3 y 5 en su des-

composición. También, cualquier múltiplo del 42 debe contener al menos los números

2, 3 y 7 en su descomposición. Por lo tanto, cualquier múltiplo común de ambos núme-

ros debe contener al menos los números 2, 3, 5 y 7. Esto nos indica que el mcm de

ambos números es 2 × 3 × 5 × 7 = 210.

Con el archivo FactPrim.xls encuentra la descomposición de cada uno de los siguien-

tes números y deduce el mcm de cada pareja de números a partir de sus múltiplos

comunes.

10 =

12 =

30 =

48 =

40 =

500 =

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Cálculo del MCD y el mcm

mcm =

mcm =

mcm =

Page 114: Hoja Decal Culo

115a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s @

FF

Cuando repartimos dos barras de chocolate entre cuatro personas, cada una recibe

media barra. Así, decimos que:

Si repartimos cuatro barras de chocolate entre ocho personas, ¿qué fracción de la

barra recibe cada quien?

Estos resultados nos indican que las fracciones y son equivalentes, ya que

el resultado de repartir dos barras de chocolate entre cuatro personas es el mismo

que si se repartieran cuatro barras de chocolate entre ocho personas; es decir, en am-

bas situaciones cada quien recibiría .

Al repartir un pastel entre tres personas, ¿qué fracción recibe cada una?

Si se reparten dos pasteles entre seis personas, ¿qué fracción recibe cada una?

Escribe ambos resultados en fracciones equivalentes:

equivalente a

Da otra fracción equivalente a las dos anteriores:

¿Cómo la encontraste?

Un método para encontrar fracciones equivalentes consiste en multiplicar el numera-

dor y el denominador de la fracción por un número en común. Escribe cuatro fracciones

equivalentes a la siguiente fracción:

Ahora trabajarás con una hoja de cálculo incluída en el CD: Fracequi.xls.

Como puedes observar, en esta hoja a la izquierda aparecen (en amarillo) las

fracciones , y , con sus respectivas fracciones equivalentes a la derecha

(en verde).

entre = , equivalente a1

2

2

4

2 entre 4 = , equivalente a2

4

1

2

4

8

2

4

1

2

3

4

1

2

5

6

3

4equivale a

racciones equivalentesracciones equivalentes• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Aritmética

Nombre Edad

Escuela Fecha

Page 115: Hoja Decal Culo

116@ a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

Fracciones equivalentes

Busca en tu hoja las tres fracciones equivalentes que se te piden a continuación:

Los números en amarillo de la hoja se pueden cambiar. Por ejemplo, cambia el»»»»»

de la hoja por y escribe abajo las primeras cuatro fracciones equivalentes dadas

en la hoja:

Discute con tus compañeros y tu maestro qué significan los números en las celdas

grises de la fila 3 (los que están arriba de cada fracción equivalente) y escribe las

conclusiones a las que lleguen.

Las fracciones equivalentes son muy importantes para sumar fracciones, ya que sólo

se pueden unir fracciones del mismo tipo, es decir, con el mismo denominador (medios

con medios, tercios con tercios, etcétera). Por ejemplo, si queremos sumar las fracciones

tenemos que encontrar fracciones equivalentes a éstas, pero con el mis-

mo denominador. Busca en tu hoja estas fracciones y escríbelas abajo:

Suma con el mismo procedimiento los siguientes grupos de fracciones:

Observa la siguiente suma y resuelve las preguntas que aparecen en la siguiente

página.

2

3

equivale a , yx

12

3

4

60

x

x

100

2

3equivale a

2

3

1

2+

2

3

1

2

7

6

+ + =

1

3

1

2+

4

5+ =

3

4

1

2+

5

8+ =

3

4

1

2+

5

6+ =

1

8

3

10+ =

3

4

2

3

1

4+ =

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 116: Hoja Decal Culo

117@a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

¿El 8 puede ser denominador común en esta suma?

¿Puede ser denominador común el 16?

¿Puede haber más?

¿Cuáles?

¿Cuál sería el mejor?

¿Por qué?

Pídele a tu profesor más sumas de fracciones para resolverlas usando esta hoja.

Anótalas a continuación:

Discute en clase el significado de las expresiones Mínimo Común Denominador y

Mínimo Común Múltiplo.

Pasa a la Hoja2 de la hoja de cálculo Fracequi.xls. Las fracciones que aparecen en

amarillo se encuentran simplificadas a la derecha. Por ejemplo, la fracción se

puede reducir a (dividiendo entre dos al numerador y al denominador), o a

(dividiendo entre tres al numerador y al denominador).

Si colocas en la segunda fila amarilla, la fracción se simplificará a o a

.

Si colocas en la tercera fila amarilla, verás que esta fracción no puede simplifi-

carse dividiéndola entre dos, pero sí entre tres.

Como has visto, esta hoja te puede ayudar a simplificar fracciones. Por ejemplo,‹‹‹‹‹‹‹

se puede simplificar dividiendo entre dos al numerador y al denominador, luego otra

vez entre dos, y finalmente entre tres para llegar a .

Simplifica de la misma manera y describe cómo procediste.

Simplifica ahora y describe cómo procediste.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Aritmética

12

246

12

4

8

6

12

3

6

2

4

3

6

1

2

264

288

80

100

12

24

Page 117: Hoja Decal Culo

118 a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s@

olígonos regularesolígonos regulares

¿Sabes qué es el apotema de un polígono regular? ¿Cuánto mide el ángulo interior de

un polígono regular? ¿Cómo calcular su área? No te preocupes si no te acuerdas. En

esta actividad aprenderás a usar una hoja de cálculo para resolver estas preguntas.

El siguiente dibujo muestra un polígono regular de seis lados (¿sabes cómo se

llama?) y se indica uno de sus apotemas, su ángulo central y uno de sus ángulos

interiores.

Con líneas punteadas, traza los otros cinco apotemas de la figura. Anota la longitud

de uno de ellos y de uno de sus lados.

Mide con un transportador su ángulo central y su ángulo interior y escríbelos a con-

tinuación.

Dibuja un cuadrado en una hoja en blanco (¿es el cuadrado un polígono regular?)

y traza uno de sus apotemas. Mide uno de sus lados y su apotema, y anota su longitud.

Antes de continuar, abre el archivo Poligono.xls. Como puedes ver, se trata de una

hoja cálculo organizada en tres secciones. Trabaja con la primera: “Cálculo de períme-

tros y áreas de un polígono regular (primera parte)”.

En la columna llamada “Número de lados” hay un 4 y en la columna “Longitud de

un lado” aparece un 10. La hoja muestra el valor del apotema correspondiente (discute

con tus compañeros por qué para un cuadrado, el apotema es la mitad del lado). Tam-

bién puedes observar los valores del ángulo central e interior, así como el perímetro y el

área del cuadrado. Verifica que los valores que ofrece la hoja sean correctos.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre Edad

Escuela Fecha

GeometríaPP

Page 118: Hoja Decal Culo

119@a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

Cambia ahora el número de lados a 6 y anota la longitud del lado del hexágono

que mediste al principio de esta actividad. Compara el valor del apotema que muestra

la hoja con el que tú mediste. Compara también los resultados que obtuviste al medir los

ángulos con las medidas que proporciona la hoja.

Observa las fórmulas que se usaron en la hoja para calcular el perímetro y el área

(celdas F4 y G4). Descríbelas con tus propias palabras:

Perímetro =

Área =

Cambia el número de lados con los valores que indica la siguiente tabla y llénala de

acuerdo con los valores proporcionados en tu hoja:

Para el último valor de “Número de lados” (10), cambia en la hoja la longitud del

lado y observa qué efecto tiene esto en el valor de estos dos ángulos.

¿Qué ocurrió?

¿Por qué?

¿Cuánto suman el ángulo central y el interior?

¿Es cierta la siguiente fórmula?

Trabaja ahora con la segunda sección de la hoja: “Cálculo de perímetros y áreas

de un polígono regular (parte II)”.

360

número de lados= ángulo central

NÚMERO DE LADOS ÁNGULO CENTRAL ÁNGULO INTERIOR

3

4

5

6

8

10

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Polígonos regulares

Page 119: Hoja Decal Culo

120@ a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

Todo polígono regular se puede inscribir en un círculo. La figura siguiente muestra un

hexágono inscrito en un círculo.

En la figura se muestra el radio del círculo, que va del centro del polígono a uno de

sus vértices. Como puedes observar en la hoja, esta segunda parte incluye al radio

entre sus variables. Mantén el radio en el valor 10 y varía el número de lados con los

valores que indica la tabla siguiente. Llénala con los valores que te da la hoja sin omitir

decimales.

Pasa ahora a la tercera sección de la hoja: “Cálculo del Perímetro y Área de un

Círculo”. Con el mismo radio de 10, obtén de la hoja los siguientes dos valores:

Perímetro Área

Compara estos valores con los de la tabla anterior y discute con tus compañeros y tu

profesor por qué se acercan tanto los valores.

Observa las fórmulas que se usaron en la hoja para calcular el perímetro y el área

(celdas F16 y G16). Descríbelas con tus propias palabras.

Perímetro =

Área =

NÚMERO DE LADOS PERÍMETRO ÁREA

5

10

100

1000

10000

100000

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Polígonos regulares

Page 120: Hoja Decal Culo

121a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s @

Obtén el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (mcm) de las siguien-

tes parejas de números:

8 y 6 MCD = mcm =

27 y 8 MCD = mcm =

36 y 21 MCD = mcm =

Un método muy ingenioso, inventado por Euclides, para calcular el MCD de dos

números, en este caso 36 y 21, es el siguiente:

1. Se divide el número más grande entre el más pequeño: 36 entre 21 da como

resultado 1 y tiene un residuo de 15.

2. Se divide el divisor anterior entre el residuo anterior: 21 entre 15 da como resulta-

do 1 y el residuo es 6.

3. Se sigue dividiendo el divisor anterior entre el residuo anterior hasta que se llegue

a un residuo de cero. El último divisor es el MCD:

15 entre 6 da como resultado 2 y tiene un residuo 3.

6 entre 3 da como resultado 2 y tiene un residuo 0.

El MCD de 36 y 21 es el 3.

Usando este método calcula el MCD de 90 y 24.

Para ello, abre el archivo Euclides.xls. En él encontrarás los cálculos anteriores para

encontrar el MCD de 36 y 21. Compara cada paso para que verifiques que son iguales.

Introduce en las celdas amarillas los números 90 y 24 y revisa los pasos que seguis-

te para calcular el MCD de estos números.

¿Qué resultado obtuviste?

Usa el programa para obtener el MCD de las siguientes parejas de números:

NÚMERO 1 NÚMERO 2 MCD

990 420

990 330

530 384

600 229

• • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre Edad

Escuela Fecha

AA Aritméticalgoritmo de Euclides paracalcular el MCD y el mcmlgoritmo de Euclides paracalcular el MCD y el mcm

Page 121: Hoja Decal Culo

122@ a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

Seguramente ya notaste que en las columnas H e I la hoja de calculo ofrece también

el valor del mcm de los números. Si ya se calculó el MCD de dos números a y b, su mcm

se puede obtener muy fácilmente utilizando la fórmula:

mcm = a * b/MCD

Se sugiere al profesor complementar esta actividad dando el significado de “primos

entre sí” y calculando con la fórmula anterior el mcm.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Algoritmo de Euclides para calcular el MCD y el mcm

Page 122: Hoja Decal Culo

123@a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

AANombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • •

¿Sabes que la ecuación de una recta es de la forma: y = mx + b (donde m, b represen-

tan los números cualesquiera)?

¿Qué significa esto?

Para saberlo, encuentra el significado de los valores de m y b. Abre el archivo

GraLin.xls; cambia a tu gusto los valores de m y b y observa qué sucede.

Cambia varias veces el valor de b y observa el comportamiento de la gráfica.

¿Qué nos indica el valor de b en la gráfica de la recta?

Toma el valor b = 0; cambia varias veces el valor de m y observa el comportamiento

de la gráfica.

¿Qué nos indica el valor de m en la gráfica de la recta?

Con la información anterior, encuentra los valores apropiados de b y m para que la

recta:

a) Pase por el origen y el punto (2, 2).

b) Corte el eje y en el valor 8 y corte el eje x en el valor –4.

c)Corte el eje y en el valor 4 y baje 2 celdas en y por cada celda en x.

d) Sea horizontal y que corte el eje y en el valor 4.

Por último, introduce en el programa los coeficientes de una línea recta y pide a un

compañero que deduzca la ecuación de la recta estudiando la gráfica. Cuando la

haya encontrado, pídele que determine los coeficientes de una línea recta para que tú

los deduzcas.

nalizando gráficas de rectasnalizando gráficas de rectas Álgebra

Page 123: Hoja Decal Culo

124 a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s@

SS istema de dos ecuacionesistema de dos ecuaciones

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • •

¿Qué representa un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas? ¿Habrá siempre

una solución? ¿Qué representa cada ecuación? En esta actividad resolverás estas y

otras preguntas.

Considera por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones:

Ecuación 1: 2 x – 3 y = –13

Ecuación 2: 3 x + 2 y = 13

Abre la hoja de cálculo SistEcua.xls y encuentra estas ecuaciones. Notarás que hay

también una segunda forma de cada ecuación seguida del símbolo ⇒. Éstas son las

ecuaciones que resultan cuando se despeja y.

Despeja y de cada una de las ecuaciones anteriores y comprueba que son las

mismas ecuaciones dadas en la hoja de cálculo.

Ecuación 1: y =

Ecuación 2: y =

Cada ecuación de este tipo representa una recta, como se muestra a continuación.

Calcula el valor de y para cada una de las ecuaciones anteriores, donde x = 1. Llama-

remos a estos valores y1, y2, respectivamente:

Para x = 1, y1 = y2 =

Busca en la tabla de la hoja de cálculo los valores dados para x = 1, y verifica que

son iguales a los tuyos. Encuentra estos valores en las gráficas que se proporcionan en

la hoja.

¿Qué pasa en este punto (1,5)?

Haz lo mismo para:

x = 2 y1 = y2 =

Encuentra estos valores en las gráficas (toma en cuenta que los valores de la tabla

están redondeados a un decimal).

Álgebra

Page 124: Hoja Decal Culo

125@a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

Como puedes observar, este programa calcula ambos valores de y para valores de

x entre –5 y 5. Estos valores son graficados para cada una de las ecuaciones, con lo

que se obtienen las rectas que aparecen en el sistema de coordenadas.

Para x = –2, los valores en la tabla son:

y1 = y2 =

Encuentra en las gráficas los dos puntos que representan estos valores.

El punto de intersección de las dos rectas es la solución al sistema de ecuaciones

original. Comprueba que estos valores satisfacen ambas ecuaciones:

Ecuación 1: 2 x – 3 y = –13 2 ( 1 )–3 ( 5 ) = –13

Ecuación 2: 3 x + 2 y = 13 3 ( )+ 2 ( ) = 13

El programa no sería útil si sólo se pudiera trabajar con un sistema de ecuaciones.

Las ecuaciones de este programa cambian en función de los coeficientes que se encuen-

tran debajo de cada una de ellas.

Analiza ahora el siguiente sistema de ecuaciones:

Ecuación 1: 3 x – 2 y = –9

Ecuación 2: 3 x + 4 y = 0

Inserta sus coeficientes en el programa (no olvides los signos). Verifica que las

ecuaciones que aparecen en el programa son iguales a las de arriba.

¿Cuál es la solución de este sistema?

x = y =

Deja la primera ecuación igual y cambia la segunda a:

Ecuación 1: 3 x – 2 y = –9

Ecuación 2: 6 x – 4 y = –2

¿Tiene solución este sistema?

¿Por qué?

Cambia el –2 de la segunda ecuación a –18 y observa lo que pasa.

¿Tiene solución este sistema?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Sistema de dos ecuaciones

Page 125: Hoja Decal Culo

126@ a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

¿Por qué?

Observa lo que le ocurre a la gráfica y cambia ahora el –18 por –6, después por

–10, después por –14 y otra vez por –18. Reflexiona sobre tus últimas dos respuestas.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

Ecuación 1: x – 3 y = 20

Ecuación 2: 3 x + 4 y = 8

No olvides insertar los coeficientes en el programa.

A veces el rango de x (entre –4 y 4) no es el más apropiado (fíjate en las celdas L1

y M1). Este programa te permite cambiar el primer valor (–4). El segundo valor (4) se

ajusta automáticamente para tener siempre un rango de 8 unidades.

Cambia el rango para que puedas observar en la gráfica la solución del sistema

anterior.

¿Cuál es?

x = y =

Construye otra hoja de cálculo en la que haya seis celdas para introducir los coefi-

cientes de las ecuaciones; la hoja debe calcular la solución del sistema usando las

fórmulas que se tienen en el método de determinantes.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Sistema de dos ecuaciones

Page 126: Hoja Decal Culo

127@a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Resuelve los siguientes dos problemas ideando estrategias diferentes.

1. En una papelería empacaron 28 lápices en cajas de 4 y en cajas de 6. En total

utilizaron 6 cajas. ¿Cuántas cajas de cada tipo llenaron?

Cajas con 4 lápices

Cajas con 6 lápices

2. Para una función de un circo, los boletos de adultos cuestan $80.00 y los de niños

$50.00. Si alguien pagó $310, ¿cuántos boletos para adultos y cuántos para

niños compró?

Boletos de adulto

Boletos de niños

Como puedes notar, las soluciones para estos problemas son necesariamente núme-

ros enteros (número de cajas o número de boletos). Como veremos más adelante, en

muchas situaciones sólo tiene sentido buscar soluciones enteras.

Abre el archivo Tablpago.xls. Busca el valor 310 y lee a qué cantidades correspon-

de (columna verde y fila azul).

Cantidad 1

Cantidad 2

Observa que los valores del “Precio 1” y el “Precio 2” corresponden a los precios de

los boletos de adulto y niño. Las cantidades de arriba deben coincidir con el número de

boletos que encontraste.

Si observas, esta tabla indica el pago total de dos cantidades, cada una con su

precio respectivo. Usa esta tabla para saber cuánto se debe pagar por 8 boletos de

adulto y 6 boletos de niño.

¿Qué representan los valores de la columna C en esta hoja de cálculo?

cuaciones diofantinascuaciones diofantinasEE Álgebra

Page 127: Hoja Decal Culo

128@ a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Ecuaciones diofantinas

Cambia los valores de los precios en la hoja para resolver los siguientes problemas.

1. Tu amigo te dice que compró estampitas de $3.50 y chocolates de $2.00, y que

en total pagó $66.00. Sin embargo, no te dice cuánto compró de cada cosa.

¿Podrías averiguarlo?

Cantidad de estampitas Cantidad de chocolates

Busca en la tabla otra solución posible.

Cantidad de estampitas Cantidad de chocolates

¿Habrá otras soluciones? Encuentra una más.

Cantidad de estampitas Cantidad de chocolates

2. Una señora asegura que compró varios cochecitos de $5.00 y muñequitas de

$12.00, y que pagó en total $43.00. ¿Puede ser esto posible?

¿Por qué?

3. Una escuela compró varias calculadoras HAT a 8.20 pesos y algunas calculado-

ras TIM a 2.95 pesos. Si se pagaron exactamente 387 pesos, ¿cuántas se compra-

ron de cada tipo? (para resolver este problema debes extender la tabla hacia

abajo y hacia la derecha).

Cantidad de calculadoras HAT

Cantidad de calculadoras TIM

Para terminar, resuelve con la hoja de cálculo el primer problema planteado sobre

las cajas de lápices.

Se llama ecuaciones diofantinas a aquellas de las que sólo se busca su solución en

números enteros. Por ejemplo, encuentra números enteros n y m tales que:

2n + 4m =18

O bien, encuentra un par de enteros positivos tales que:

18a + 65b = 1865

La ecuación para el primer problema puede escribirse como sigue:

80 (Número de adultos) + 50 (Número de niños) = 310

Inventa un problema diofantino.

Page 128: Hoja Decal Culo

129@a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

unciones cuadráticasunciones cuadráticas

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Las llamadas funciones cuadráticas tienen la siguiente ecuación general:

y = a x2 + b x + c

donde a, b, c pueden ser cualquier número.

Abre el archivo Cuadrati.xls. En el programa de hoja de cálculo puedes introducir

los coeficientes de la ecuación que quieres estudiar y la hoja te dará información sobre

ella. Los coeficientes que incluidos en el archivo que abriste son: a = 2, b = 3 y c = –2,

los cuales representan la ecuación:

y = 2 x2 + 3 x –2

La primera información que da el programa de hoja de cálculo es el valor del discri-

minante de la ecuación. El signo del discriminante nos dice cuántas veces la gráfica de

la función corta el eje x. Estos cortes están dados por los valores x1 y x2.

Cambia varias veces el valor del coeficiente c como te indica la tabla de abajo. En

cada caso observa el signo del discriminante y su mensaje. Verifica en la gráfica el

número de cortes que tiene con el eje x. También observa que los valores de x1 y x2

dados en el programa corresponden a estos cortes. Llena la tabla siguiente:

VALOR DE C DISCRIMINANTE NÚMERO DE CORTES VALOR DE X1 VALOR DE X2

–2

–1

0

1

2

3

4

5

1.125

ÁlgebraFF

Page 129: Hoja Decal Culo

130@ a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Funciones cuadráticas

Notarás que las gráficas tienen la forma de una parábola.

¿Cómo se modificó la forma y la posición de la gráfica por el cambio del valor c?

Forma:

Posición:

Cambia varias veces el valor del coeficiente a y observa su efecto (usa primero los

valores 2, 3, 4, 5, 6; y después –2, –3, –4, –5 y –6).

¿A qué conclusiones puedes llegar?

Analiza ahora las siguientes funciones cuadráticas (si es necesario, cambia el valor

inicial de la tabla en la celda A16 a otro más apropiado). Puedes calcular la posición

del valor mínimo (o máximo) con el promedio de x1 y x2, es decir: (x1+x2)/2, ya que

está a la mitad entre estos puntos.

Comprueba que en cada caso la posición de mínimo o máximo está dada por: –b/2a.

Pídele a tu profesor que te explique cómo se calculan los cortes de la parábola,

dónde aparece el discriminante y por qué su signo te informa sobre sus cortes.

ECUACIÓN X1 X2 MÍNIMO O MÁXIMO POSICIÓN DEL MÍNIMO

y = 2x2 + 3x – 2 – 2 0.5 mínimo – 0.75

y = x2 – 9

y = x2 – 14x + 24

y = –2x2 + 6x

y= x2 + 3x – 3

Page 130: Hoja Decal Culo

131@a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

imulación con el modelode urna (1)imulación con el modelode urna (1)Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Un jugador de baloncesto encesta en promedio 80% de sus tiros libres y falla 20%.

Supón que en su entrenamiento tira 20 veces.

¿Cuántos de estos tiros se espera que enceste?

Una manera de simular (modelar) esta situación es poner en una bolsa (o urna) 8

pelotas blancas y 2 pelotas negras. Sacar una pelota de la bolsa representa un tiro del

jugador. Extraer una pelota blanca significa que el jugador metió el tiro y una negra

que lo falló. Si queremos simular otro tiro, debemos regresar la pelota que sacamos

para que no se altere la proporción de pelotas blancas y negras.

El archivo con el que vas a trabajar simula este tipo de situaciones en una hoja de

cálculo. Abre ModeUrena.xls. Los colores y las cantidades apropiadas a la situación

del jugador ya están puestos.

La tabla muestra los resultados de extraer una pelota 20 veces (recuerda que cada

vez se regresa la pelota extraída; a esto en matemáticas se le llama con reemplazo). La

tercera columna va registrando cuántas pelotas blancas han salido hasta ese momento

y la cuarta columna proporciona el porcentaje de pelotas blancas que han salido.

Escribe abajo el “resultado” de las primeras cinco extracciones.

Explica qué significa esto en el caso del jugador del baloncesto.

¿La celda C11 indica la cantidad correcta?

¿Cómo crees que se calculó el porcentaje en la celda D11?

¿Cuántas pelotas blancas salieron en total en las 20 extracciones?

Como encesta 80% de los tiros, se espera que acierte 16 de estos 20 tiros.

¿El resultado que obtuviste es mayor o menor a las 16 esperadas?

Simula 10 veces los 20 tiros que realiza el jugar (oprimiendo la tecla F9) y en cada

caso escribe el total de bolas blancas que salieron.

ProbabilidadSS

Page 131: Hoja Decal Culo

132@ a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

Simulación con el modelo de urna (1) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Calcula el promedio de los 10 resultados que obtuviste y compáralo con el valor

esperado (16).

¿Está cercano el promedio a este valor?

¿Es posible encontrar una situación en la que el total de blancas sea de 19? Inténtalo.

¿Lo lograste?

¿Es posible encontrar una situación en la que el total de blancas sea de 13? Inténtalo.

¿Lo lograste?

¿Es posible encontrar una situación en la que el total de blancas sea de 10 solamente?

Inténtalo. ¿Lo lograste?

La probabilidad de obtener 19, 13 o 10 es aproximadamente de 6%, 5% y 0.2%

respectivamente (es decir, 6 en 100, 5 en 100 y 2 en 1000).

Simula ahora la siguiente situación con el programa, cambiando los colores y las

cantidades.

En un hospital, la probabilidad de que nazca una niña (rosa) es de 60% y un niño

(azul) es de 40%. Si diariamente nacen en el hospital 20 bebés, ¿cuál de las tres opcio-

nes que aparecen a continuación es la más probable? (vas a tener que hacer muchas

simulaciones para obtener la respuesta y contar las veces que aparece cada opción).

a) Que nazcan 14 niñas (6 niños): ¿Cuántas? (12.4%)

b) Que nazcan 12 niñas (8 niños): ¿Cuántas? (18.0%)

c) Que nazcan 10 niñas (10 niños): ¿Cuántas? (11.7%)

Page 132: Hoja Decal Culo

133@a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

imulación con el modelode urna (2)imulación con el modelode urna (2)Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Simula una serie de volados con el archivo ModeUrna.xls. Escribe en las celdas reser-

vadas para los colores las palabras águila y sol.

¿Qué debes escribir en las cantidades?

¿Hubiera sido los mismo escribir en las cantidades 5 y 5 o 10 y 10?

¿Por qué?

En 20 volados ¿cuántas águilas esperas ver?

Constesta la siguiente pregunta, explicando cómo llegaste a la respuesta.

¿Qué es más probable que salga en los primeros dos tiros: dos águilas o un águila

y un sol (en cualquier orden)?

ProbabilidadSS

Page 133: Hoja Decal Culo

134 a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s@

Ahora imagina la siguiente situación.

Cinco amigos toman cinco palillos, uno de ellos partido a la mitad, y acuerdan que

el que saque el palillo corto usará primero la bicicleta que compraron entre todos.

En este caso quien toma el palillo corto no lo regresa sino que se queda con él. A

esto en matemáticas se le llama sin reemplazo. En estos casos, las proporciones cam-

bian conforme se toman los objetos.

¿Cuál es la probabilidad de que el primero que toma el palillo saque el más corto?

Si el primero que toma un palillo saca uno largo, ¿cuántos largos y cuántos cortos

quedan?

¿Cuál es entonces la probabilidad de que el segundo tome el palillo corto?

Si el primero que toma un palillo saca el corto, ¿cuántos largos y cuántos cortos

quedan?

¿Cuál es la probabilidad de que el segundo muchacho en turno tome el palillo corto?

Abre el archivo ModeUrna.xls para simular esta situación. Cambia los colores por

las palabras largo y corto, con sus cantidades respectivas (4 y 1). Cambia también la

celda G3 de Con a Sin, para indicar que tienes una situación sin reemplazo.

¿En qué extracción apareció el palillo corto?

¿En qué extracción es más probable que aparezca el palillo corto?

¿En qué extracción es menos probable que aparezca el palillo corto?

El experimento que aparece en la siguiente página te ayudará a saber si contestas-

te correctamente las preguntas anteriores.

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • ProbabilidadSS imulación con el modelode urna (3)imulación con el modelode urna (3)

Page 134: Hoja Decal Culo

135@a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

Oprime la tecla F9 y fíjate en que número de extracción salió el palillo corto. Marca

en la tabla siguiente con una diagonal (/) el número que corresponda. Sigue apretando

la tecla y marcando en dónde apareció el palillo corto. Después de haber llenado una

de las filas, cuenta las diagonales y escribe el total en la columna correspondiente.

¿Qué extracción tiene el mayor total?

¿Hay mucha variación con los otros totales o son más o menos similares?

Compara tus resultados con otros equipos de trabajo. Discute con todo el grupo cada

uno de los resultados obtenidos y sumen en el pizarrón los totales de todos los equipos.

¿A qué conclusión puedes llegar?

Considera las siguientes situaciones.

Un maestro califica sus exámenes sacando fichas de una bolsa. En ella tiene siete

palomitas (✓) y tres taches (✕). Cada vez que saca una ficha de la bolsa evalúa una

pregunta y después la deja afuera hasta que termina de calificar el examen. Modela

varias veces esta situación con el programa (supón que el examen tiene cinco preguntas).

¿Qué combinación de palomitas y taches es la más probable?

Un paquete de 52 barajas tiene cuatro ases. Una persona te dice que puede sacar-

los todos en las primeras 20 cartas que ponga sobre la mesa. ¿Qué tan probable es

esto? Simula esta situación y estudia la frecuencia de que aparezcan los cuatro ases en

las primeras 10 extracciones.

CONTEO DE VECES QUE EL PALILLO

CORTO SALE EN ESTA EXTRACCIÓN TOTAL

1

2

3

4

5

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Simulación con el modelo de urna (3)

Page 135: Hoja Decal Culo

136 a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s@

ugando con dadosde tres caras

J ugando con dadosde tres caras

J

Tira 10 veces un dado y escribe tus resultados en la segunda columna de la siguiente

tabla (los primeros cuatro tiros están ya incluidos como ejemplo):

En la tercera columna se va registrando la cantidad de veces en la que aparece un

número. En este caso el 4 ha aparecido dos veces (como en el primer tiro no salió el 4,

el conteo es de 0; en cambio, en el segundo tiro sí apareció este número y se registró el

1; en el tercer tiro tampoco salió el 4, así que el conteo siguió siendo de 1). Usando tus

resultados, completa la columna correspondiente.

Para calcular el porcentaje de cuatros que vayas obteniendo, divide el “Conteo”

entre el “Número de tiro” y multiplícalo por 100. Termina de completar la tabla y discute

con tus compañeros y maestro que se debe esperar con este porcentaje después de

muchos tiros.

Abre el archivo leygrnu5.xls. Esta hoja está organizada de la misma forma en la

anterior que se experimentó con el lanzamiento de un dado.

NÚMERO DE TIRO RESULTADO CONTEO PORCENTAJE

1 5 0 0

2 4 1 50

3 1 1 33.33

4 4 2 50

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Nombre Edad

Escuela Fecha

Probabilidad• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 136: Hoja Decal Culo

137@a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

¿Por qué tus resultados no coinciden con los de la hoja anterior?

Revisa que los valores de las columnas “Conteo” y “Porcentaje” están calculados

correctamente.

Observa el valor del porcentaje para 100 tiros. ¿Cuál es?

Si extendieras las cuatro columnas de la hoja hasta los 10 000 tiros (fila 10 006)

podrías leer los siguientes valores:

Considera la fracción ; escribe su forma decimal y su forma como porcentaje

(multiplicando la forma decimal por 100).

Compara este valor con tus valores de la tabla anterior y con los de tus compañeros.

Explica por qué son casi iguales.

En la siguiente página aparece una figura que muestra un dado de tres caras. La

cara oculta (el 2) es la que interesa.

Con la hoja de cálculo se puede simular un dado como éste cambiando el número

de posibilidades de 6 a 3.

En la columna de conteo verás únicamente ceros porque tiene asignado el valor 4 y

este número no puede aparecer en un dado de tres caras. Cambia este valor por 1, 2 o 3.

NÚMERO DE TIRO PORCENTAJE

2 000

4 000

6 000

8 000

10000

1

6

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Jugando con dados de tres caras

Page 137: Hoja Decal Culo

138@ a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

Llena para este caso la tabla siguiente:

Pasa la fracción a su forma decimal y como porcentaje.

Compara el segundo valor con los valores de la tabla anterior y con los de tus

compañeros. Explica por qué son casi iguales.

Experimenta por último con un dado de dos caras. Dibújalo en una hoja en blanco y

observa en la hoja de cálculo que le pasa al valor del porcentaje cuando el número de

tiros es muy grande (10 000).

NÚMERO DE TIRO PORCENTAJE

2 000

4 000

6 000

8 000

10000

1

3

Jugando con dados de tres caras • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 138: Hoja Decal Culo

139a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s @

CC• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre Edad

Escuela Fecha

Tratamiento de informaciónhanceshances

Cuando dos o más equipos compiten, se pueden estimar las posibilidades que cada

uno tiene de ganar. Por lo general damos estos chances de ganar en forma de porcen-

tajes o razones. Por ejemplo, podemos decir que Japón tiene sólo 30% de posibilidad

de vencer a Italia en un juego de fútbol. Otra manera de decir esto es que tiene un

chance de 3 en 10.

De la información anterior, ¿cuáles son los chances de que Italia le gane a Japón?

Exprésalo de las dos formas:

Como porcentaje: Como razón:

Verifica que los porcentajes sumen en total 100%.

Una tercera manera de representar estos chances es en forma de fracción. En nues-

tro ejemplo tenemos que:

Las posibilidades de ganar de Japón son de y de Italia de

¿Cuánto suman estas dos fracciones?

Abre ahora el archivo Chances.xls.

¿Cuáles son los dos equipos que tienen mayor chance de ganar?

¿Qué chances tienen? de En forma de fracción esto sería:

¿Es ésta la misma fracción dada en el programa?

¿Por qué?

El equipo Los churros tiene o 15% de posibilidades de ganar. Explica por qué

estos dos números representan lo mismo:

Notarás que el resultado de la suma de las fracciones es 1 y la de porcentajes es

100%. Discute con tus compañeros porque se obtiene este resultado.

En este programa se pueden cambiar los chances de cada equipo en la forma de

razón y el programa los calcula como fracciones y porcentajes, dando también el total

de cada uno.

3

10

4

20

3

20

Page 139: Hoja Decal Culo

140@ a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Chances

EQUIPO CHANCES FRACCIÓN

Lunáticos de 10 1/10

Patas de palo de 10 1/10

Los churros de 10 0/10

Invencibles de 10 1/5

Los mosqueteros de 10 1/10

A. T. I. de 10 2/5

Los osos de 10 1/10

Los mejores de 10

EQUIPO CHANCES FRACCIÓN

Lunáticos de 10%

Patas de palo de 25%

Los churros de 0%

Invencibles de

Los mosqueteros de 25%

A. T. I. de 5%

Los osos de 10%

Los mejores de 5%

1. Cambia los chances de manera que todos los equipos tengan las mismas posibili-

dades de ganar.

¿Qué chances pusiste a todos? de (recuerda que el porcentajeje

total debe ser 100%).

2. Cambia en el programa los chances de tal manera que se obtengan las fracciones

dadas en la tabla siguiente (observa que el segundo número debe ser 10 en todos

los casos). Anota abajo tu solución.

¿Qué fracción le corresponde a Los mejores?

3. Cambia los chances en tu programa respetando los datos de la tabla de abajo.

Cuando termines, llénala con tus respuestas.

Page 140: Hoja Decal Culo

141@a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

¿Qué porcentaje le corresponde a Los invencibles?

Proyecto: Piensa o imagina una situación que involucre a ocho equipos. Cambia en

la hoja los nombres de los equipos por los que quieras y asígnales los chances (acuér-

date que el total debe ser 100%). Copia tu cuadro en la siguiente tabla:

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Tratamiento de información

EQUIPO CHANCES FRACCIÓN PORCENTAJE

de

de

de

de

de

de

de

de

Page 141: Hoja Decal Culo

142 a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s@

nálisis de textosnálisis de textos

Abre el archivo Anatex95.xls. Verás un texto en amarillo que está guardado en la celda

B1. Explora esta hoja de cálculo para que deduzcas lo que hace.

¿Qué contiene la parte azul?

¿Qué contiene la parte verde?

Cambia el texto de la celda B1 por uno pequeño que tú quieras. Observa las seccio-

nes azul y verde. Verifica que el valor del Largo y que las cantidades de cada símbolo

son las correctas.

Observa que la parte azul llega hasta 255 letras (ésta es la máxima capacidad de

análisis de un texto). Cambia ahora el texto de la celda B1 por otro texto que sea mayor

de 200 letras pero que no rebase el límite de 255 (no tienes que contar el número de

letras, pues la hoja te lo dice al aceptarlo).

¿Cuál es la letra que aparece con más frecuencia en tu texto?

¿Cuántas veces?

Calcula el porcentaje de esta letra dentro del total de letras de tu texto de la siguien-

te manera:

% de la letra = × 100 =

Calcula el porcentaje de espacios dentro de tu texto de la siguiente manera:

% de espacios = × 100 =

En la celda E38 se calcula el número de palabras. Fíjate en la fórmula y explícala.

Observa ahora la gráfica. Si tuvieras que adivinar las letras que aparecen en una

palabra cualquiera, ¿con cuáles empezarías?

En la tabla que aparece en la página siguiente ordena las ocho letras que aparecen

con mayor frecuencia y calcula, como lo hiciste anteriormente, el porcentaje de cada letra.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre Edad

Escuela Fecha

ProbabilidadAA

número de veces que aparece

número total de letras (celda E37)

número de veces que aparece

número total de símbolos (Largo)

Page 142: Hoja Decal Culo

143@a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

Compara tu tabla con la de tus compañeros para que observen sus diferencias y

similitudes.

Escribe en la celda B1 el siguiente texto en inglés.

The sun did not shine. It was too wet to play. So we sat in the house all that cold,

cold, wet day. I sat there with Sally. We sat there, we two. And I said, How I wish

we had something to do. Too wet to go out and too cold to play ball (The cat in the

hat, Doctor Seuss).

Analízalo y compara tus resultados con los de tu texto en español.

LETRAS MÁS FRECUENTES VECES QUE APARECE % DE CADA LETRA

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Análisis de textos

Page 143: Hoja Decal Culo

144 a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s@

puestaspuestas

En esta actividad queremos averiguar las posibilidades de ganar en un juego.

Supón que compras una tarjeta como la que se muestra en la tabla siguiente (co-

menzaremos con sólo dos partidos). En la columna del Resultado hay que escribir

visitante (V), local (L) o empate (E) para indicar cuál equipo ganará o si habrá un

empate. Llénala como quieras.

Ahora abre la hoja de cálculo Apuestas.xls para saber los resultados.

¿Tienes tus dos resultados correctos?

Tu profesor debe recolectar de alguna manera todos los Sí o No para analizarlos

con el grupo.

¿Qué proporción de Sí se obtuvieron? 1 de cada: .

Veamos que se espera. En cada uno de los dos resultados hay tres posibles respues-

tas: V, L o E. Esto quiere decir que hay en total 3 × 3 = 9 combinaciones posibles.

Escribe abajo estas nueve combinaciones (tres ya están dadas):

Así, si adivinamos al azar tenemos 1 de 9 posibilidades de acertar y ganar el juego.

Entonces lo que esperamos es que 1 de cada 9 del grupo tenga la respuesta correcta.

¿Es esto lo que salió?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre Edad

Escuela Fecha

ProbabilidadAA

ADIVINE ¿CUÁL SERÁ EL GANADOR?

Escriba: visitante, local o empate

PARTIDO VISITANTE LOCAL RESULTADO

1 Toluca Morelia

2 Necaxa Monterrey

COMBINACIONES POSIBLES

Partido 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 V V V

2 V L E

Page 144: Hoja Decal Culo

145@a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

Realiza el siguiente experimento: oprime 90 veces la tecla F9 y observa los resultados.

¿Cuántas veces aparece la combinación V y V en los dos partidos.

¿Cuántas veces debió haber aparecido?

Discute con el grupo la diferencia.

Pasemos ahora a una situación con cuatro partidos en la tarjeta como la que apare-

ce a continuación. Llénala indicando si crees que ganará el visitante, o el local o si

habrá empate:

En la hoja de cálculo Apuestas.xls, escribe en Cantidad de partidos el número 4

para saber los resultados.

¿Tienes tus cuatro resultados correctos?

Tu profesor debe recolectar todos los Sí o No para analizarlos con el grupo.

¿Qué proporción de Sí se obtuvieron?

¿Qué debemos esperar?

En cada uno de los cuatro resultados hay tres posibles respuestas: V, L o E. Esto quiere

decir que habrá en total 3 × 3 × 3 × 3 combinaciones posibles.

¿Qué posibilidades tienes de adivinar correctamente en este caso?

Realiza el siguiente experimento: oprime 81 veces la tecla F9 y observa los resultados.

Anota cuántas veces aparece la combinación V, V, V y V en los cuatro partidos.

¿Cuántas veces debió haber aparecido?

Discute con el grupo la diferencia.

ADIVINE ¿CUÁL SERÁ EL GANADOR?

Escriba: visitante, local o empate

PARTIDO VISITANTE LOCAL RESULTADO

1 Guadalajara América

2 León UNAM

3 Atlante Puebla

4 Santos Atlas

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Apuestas

Page 145: Hoja Decal Culo

146@ a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

Repite el procedimiento para el caso de seis partidos. Llena la tabla con V, L o E:

En la hoja de cálculo Apuestas.xls, escribe en Cantidad de partidos el número 6 para

saber los resultados. ¿Tienes tus seis resultados correctos?

Casi seguro es que no, ¿verdad?

¿Qué debemos esperar?

¿Qué posibilidades tienes de adivinar correctamente en este caso?

Si hubiera en la tarjeta 10 partidos, ¿qué debemos esperar?

¿Qué posibilidades tienes de adivinar correctamente en este caso?

Proyecto: En la hoja de cálculo escribe un 3 en la Cantidad de partidos. Como ya

sabemos, tendremos 1 de 27 posibilidades de adivinar correctamente. Escoge cual-

quier combinación. Observa en tu hoja la frecuencia con la que aparece la combina-

ción que elegiste y compárala con las posibilidades mencionadas anteriormente (obser-

va cuántas veces aparece la combinación que elegiste al oprimir 270 o 540 veces la

tecla F9).

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Probabilidad

PARTIDO RESULTADO

1

2

3

4

5

6

Page 146: Hoja Decal Culo

147a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s @

Abre el archivo Adivdond.xls. Presiona la tecla F9 nueve veces, y en cada una observa

lo que pasa. Si te fijas, los contadores te indican cuántas veces le ha tocado a cada uno

de los tres tubos. El Total de tiros debe tener ahora el valor 10 (si te pasaste, puedes

empezar de nuevo, cerrando tu archivo sin guardarlo y abriéndolo de nuevo). Copia

los valores que obtuviste de cada contador en la tabla siguiente:

Compara estos valores con los de otro equipo de trabajo. ¿Son iguales?

¿Por qué?

Tu tarea es investigar cuál de los tres tubos tiene mayor probabilidad de que le

toque y cuál tiene menor probabilidad. Para esto, sigue presionando la tecla F9 hasta

que llegues a 100 tiros en total. Llena la tabla con tus valores obtenidos.

¿Cuál es el más probable?

¿Cuál es el menos probable?

Compara con otro equipo.

Una de las razones por las que hay que observar y experimentar con un fenómeno

es la de poder predecirlo. ¿Podrías predecir qué valores tendrán los contadores al

llegar a 1000 tiros? Trata de dar los valores que creas saldrán.

divina qué está pasandodivina qué está pasando• • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre Edad

Escuela Fecha

ProbabilidadAA

TOTAL DE TIROS CONTADOR 1 CONTADOR 2 CONTADOR 3

100

TOTAL DE TIROS CONTADOR 1 CONTADOR 2 CONTADOR 3

10

MIS PREDICCIONES SON

TOTAL DE TIROS CONTADOR 1 CONTADOR 2 CONTADOR 3

1000

Page 147: Hoja Decal Culo

148@ a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Adivina qué está pasando

Ahora llega a los 1000 tiros (para esto, deja apretada la tecla F9 para ir más rápido

y suéltala cuando estés cerca de los 1000 tiros). Escribe abajo los valores obtenidos.

Compara tus valores obtenidos con tus predicciones y con los valores de otros equipos.

¿Qué puedes concluir?

No sólo es importante poder decir qué es más probable que suceda y qué es menos

probable. También conviene dar números que indiquen esta probabilidad. Tu tarea aho-

ra es decir qué tan probable es que le toque a cada uno de los tubos. ¿Cómo?, tienes

que decidir (si tienes tiempo, puedes llegar ahora a 10 000 tiros en total y observar las

proporciones).

Escribe tus conclusiones y coméntalas con tus compañeros.

VALORES OBTENIDOS

TOTAL DE TIROS CONTADOR 1 CONTADOR 2 CONTADOR 3

1000

Page 148: Hoja Decal Culo

149a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s @

Por dónde saldrá?Por dónde saldrá?

Imagina una caja piramidal como la que aparece a continuación. En su parte superior

se tira una pelota y la caja se agita horizontalmente una y otra vez hasta que la pelota

sale por alguna de las salidas de abajo: A, B, C, D, E o F. En la figura se muestra una

posible trayectoria de la pelota.

Cada vez que la pelota se encuentra en un nivel, tiene la misma probabilidad de

caer a la izquierda o a la derecha.

¿Crees que la pelota tiene la misma probabilidad de llegar a todas las salidas

(A, B, C, D, E o F)?

¿Cuáles salidas crees que son las más probables?

¿Cuáles salidas crees que son las menos probables?

Discute estas preguntas con tus compañeros.

La probabilidad de que algo ocurra se mide con un número entre cero y uno. Por

ejemplo, al tirar una moneda decimos que la probabilidad de que salga Sol es 1/2 o

0.5 o 50%.

¿Una probabilidad de 0.2 equivale a la fracción? o ¿a un porcen-

taje de? %. Esto significa que 1 en cada 5, ocurrirá este evento.

En cada nivel, ¿cuál es la probabilidad de que la pelota caiga a la izquierda?

y ¿a la derecha?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Probabilidad¿¿Nombre Edad

Escuela Fecha

Ο

Ο

A B C D E F

Page 149: Hoja Decal Culo

150@ a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

Abre ahora la hoja ADIVDON2.XLS, la cual simula la situación anterior. Cada vez

que presiones la tecla F9 se tira otra pelota y las celdas azules llevan la cuenta. Las

celdas violetas dan la frecuencia de pelotas que llegan a esa salida.

Presiona la tecla F9 varias veces hasta llegar a un total de 10 (si te pasas, tendrás

que abrir de nuevo la hoja).

¿Observaste cómo la trayectoria de la pelota cambia cada vez?

Anota en la tabla siguiente las cantidades y las frecuencias obtenidas.

Comprueba que cada frecuencia se obtiene dividiendo la cantidad respectiva entre

el total.

Presiona ahora la tecla F9 hasta llegar a un total de 100. Anota en la tabla siguiente

las cantidades y las frecuencias obtenidas.

De acuerdo con estas observaciones, ¿cuáles salidas son más probables?

¿Cuáles salidas son menos probables?

Sigue presionando la tecla F9 hasta llegar a un total de 500. Anota en la tabla

siguiente las cantidades y las frecuencias obtenidas.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •¿Por dónde saldrá?

TOTAL = 100

A B C D E F

Cantidades

Frecuencias

TOTAL = 500

A B C D E F

Cantidades

Frecuencias

TOTAL = 10

A B C D E F

Cantidades

Frecuencias

Page 150: Hoja Decal Culo

151@a c t i v i d a d e s e x p l o r a t o r i a s

¿Siguen siendo las salidas C y D las más probables y las salidas A y F las menos

probables?

En realidad, por la simetría de la caja, esperaríamos que las salidas C y D tengan el

mismo número, pero por ser un proceso aleatorio, esto no sucede exactamente.

También esperaríamos que las salidas y tengan el mismo

número y que las salidas y tengan el mismo número.o.

Ahora queremos deducir cuánto más probables son las salidas C y D que las salidas

B y E. Observa tus datos de la tabla anterior y elige la más acertada de las tres opciones

dadas.

Las salidas C y D son 2, 3 o 4 veces más probables que las salidas B y E.

Observa tus datos y contesta: Las salidas C y D son veces más probables

que las salidas A y F.

Una buena actividad es sumar los resultados de la última tabla de 10 o 20 grupos

de trabajo para tener un total de 5 000 o 10000 observaciones. Con esto podemos

confirmar las respuestas a las preguntas anteriores.

Un ratón de laboratorio entra en un laberinto como el representado en la figura

siguiente. Discute la probabilidad que tiene de llegar a cada una de las salidas.

Proyecto (difícil): El archivo ADIVDON2.XLS tiene una segunda hoja (Hoja1) con una

caja más grande. Realiza el mismo trabajo que hicimos en esta hoja de trabajo pero

con el modelo más grande.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Probabilidad

Page 151: Hoja Decal Culo

AnexosDescripciónde archivos

AnexosDescripciónde archivos

AnexosDescripciónde archivos

Page 152: Hoja Decal Culo

154@

DD escripción del archivo FactPrim.xlsescripción del archivo FactPrim.xls• • • • • • • • • • • •

En esta ocasión usarás el archivo FactPrim.xls para descomponer en primos un número

cualquiera.

En la celda A2 se escribe el número que deseas descomponer.

A continuación, en la columna B escribe los números primos que consideres son

divisores de ese número. El programa que estás usando arroja el resultado de dividir el

número que escribiste en A2 entre los números que hayas escrito en la columna B (es

decir, los posibles primos) y lo coloca como el número nuevo para seguir con el algorit-

mo. En este punto pueden ocurrir tres cosas:

a) Si el resultado es entero, el número elegido sí es primo de A2.

b) Si el resultado es decimal, el número elegido no es un divisor del número. En tal

caso, hay que regresar a la celda anterior y probar otro posibilidad.

c) Es recomendable que se escriban los números primos en orden ascendente y

cuantas veces sea necesario.

Cuando termines de llenar la hoja de cálculo borra los números de las columnas (tu

profesor te indicará cómo) para que trabajes con un número nuevo.

La lista que aparece a continuación muestra los primeros 25 números primos. Re-

cuerda que un número es primo si su cuadrado no excede al número del cual es divisor.

NÚMERO DIVIDIDO ENTRE RESULTADO

6 728 400 2 3 364 200

3 364 200 2 1 682 100

1 682 100 2 841 050

841 050 2 420 525

420 525 3 140 175

140 175 3 46 725

46 725 3 15 575

15 575 5 3 115

3 115 5 623

623 7 89

89 89 1

1

Nombre Edad

Escuela Fecha

Page 153: Hoja Decal Culo

155@

DD escripción del archivo HojaAlg.xlsescripción del archivo HojaAlg.xls

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • •

Este archivo está diseñado para desarrollar conceptos algebraicos y relacionar el len-

guaje de fórmulas de la hoja de cálculo con el lenguaje algebraico.

Consta de tres hojas secuenciadas (Hoja 0, Hoja 1 y Hoja 2), y todas se caracteri-

zan porque:

1. Las celdas de color rosa se usan para introducir números.

2. Las celdas de color azul se usan para introducir fórmulas.

3. El nombre de la variable que define la columna está escrito en la celda de arriba.

4. Estos nombres pueden ser utilizados para escribir las fórmulas.

Asimismo, tienen diferentes objetivos de estudio:

Hoja 0:

Escritura de Fórmulas.

Hoja 1:

Inversa de Fórmulas.

Hoja 3:

Composición de dos fórmulas e inversa de éstas.

Page 154: Hoja Decal Culo

156@

escripción del archivo Rndmz.xlsescripción del archivo Rndmz.xls

Siempre que se quiera trabajar con uno de los archivos de probabilidad que generan

situaciones aleatorias, se debe correr antes el archivo Rndmz.xls en cada una de las

computadoras.

Lo que hace este archivo es empezar con una semilla aleatoria diferente para que

cada computadora tenga resultados diferentes. Si este programa no se corre antes,

todas las computadoras iniciarán con la misma semilla y los experimentos que se ha-

gan serán idénticos.

• • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre Edad

Escuela Fecha

DD

Page 155: Hoja Decal Culo

ExámenesExámenesExámenes

Page 156: Hoja Decal Culo

158@

Primer grado

Selecciona la opción correcta.

1. Completa la secuencia 28, 21, 14, 7, ,

a) –7, –14 b) 0, 0 c) 0, –7 d) 0, 03 e) 14, 21

2. ¿Cuál de las siguientes operaciones deshace la expresión 10x?

a) Suma

b) Multiplicación

c) División

d) Resta

e) Ninguna de las anteriores

3. 30% de 80 se puede expresar como:

a) 30 × 80 b) 0.3 × 80 c) d) e) 100 × 80

4. En la noche, un taxista agrega 10 pesos extras a la tarifa que cobra en el día. Si n

representa el cargo que el taxi hace de noche, la tarifa que cobra de día se puede

obtener de la expresión:

a) 10 – x b) B1 – 10 c) 10 – n d) n – 10 e) n + 10

5. Si s representa cierta cantidad de segundos, los minutos correspondientes se pue-

den calcular por medio de la fórmula:

a) b) 60s c) 60*s

d) segundos entre 60 e) segundos por 60

xamen: Hoja de cálculoxamen: Hoja de cálculo

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •EE

30 × 80

100

80 × 100

100

s

60

Page 157: Hoja Decal Culo

159@

Primer grado• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

x

2

16*x

2

3

8

5

3

300

15

15

300

t h

2 1

3 2

4 3

t h

2 12

3 13

4 14

t h

2 8

3 12

4 16

t h

2 4

3 9

4 16

t h

2 3

3 3

4 3

6. Suponiendo un cambio de 13 pesos por cada dólar, ¿cuántos pesos recibiría por

260 dólares?

a) $20 b) $0.05 c) $3 380 d) $273 e) $380

7. El Máximo Común Divisor de los números 2 × 2 × 5 y 2 × 3 × 5 × 7 es:

a) 20 b) 210 c) 2 d) 4 e) 10

8. Escoge la tabla que represente una variación proporcional.

a) b) c) d) e)

9. La fórmula de la secuencia 16, 8, 4, 2, … es:

a) El número anterior entre 8.

b) El número anterior entre 2.

c)

d)

e) B1 ÷ 2

10. La razón “3 de cada 5” es equivalente a:

a) 30% b) 60% c) d) e) 3.5

11. Suponiendo un cambio de 15 pesos por dólar, ¿cuántos dólares recibirías por 300

pesos?

a) b) 15 × 300 c) d) 20 e) 4 500

Page 158: Hoja Decal Culo

160@

12. ¿En cuál de las siguientes situaciones interviene el azar?

a) Lanzar un dado cargado y obtener siempre cinco.

b) Extraer una canica negra de una urna donde sólo hay canicas negras.

c) Lanzar un objeto al aire.

d) Lanzar un dado no cargado y no estar seguro del número que saldrá.

e) Ninguna de las anteriores.

13. Un múltiplo común de 8 y 12 es:

a) 2 b) 4 c) 48 d) 16 e) 36

14. ¿Qué operación utilizarías para encontrar el número que falta?

28 x = 2112

a) Suma

b) Multiplicación

c) División

d) Resta

e) Ninguna de las anteriores

15. La fórmula de la secuencia 28, 21, 14, 7, … es:

a) B1 – 7 b) El número anterior menos 7 c) 7 – x

d) x + 7 e) x – 7

16. En una tienda hay 20% de descuento en todos los artículos. ¿Cuánto hay que pagar

por una prenda que cuesta 300 pesos?

a) $280 b) $180 c) $240 d) $360 e) $3 600

17. ¿Qué situación crees que representa una variación proporcional?

a) La variación de las edades de dos personas.

b) La altura de una persona en función de su edad.

c) La conversión de monedas.

d) La altura de una pelota lanzada hacia arriba como función del tiempo.

e) Ninguna de las anteriores.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Examen: Hoja de cálculo

Page 159: Hoja Decal Culo

161@

18. Completa la secuencia 25, 15, 5, , :

a) 0, 0 b) 15, 25 c) 0, –5 d) –5, –15 e) 0, 0.9

19. ¿Qué operación utilizarías para encontrar el número que falta?

975 + = 652 487 ?

a) Suma

b) Multiplicación

c) División

d) Resta

e) Ninguna de las anteriores

20. La fórmula de la secuencia 3, 6, 9, 12, … es:

a) El número anterior más 3 b) A1*3 c) 3 + x

d) x – 3 e) x + 3

21. Si lanzamos una moneda, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta?

a) Es más probable que caiga águila.

b) Existe la misma posibilidad de que caiga sol o águila.

c) Es más probable que caiga sol.

d) Hay 50% de posibilidades de obtener un águila.

e) La moneda cae de canto.

22. Completa la secuencia 16, 8, 4, 2, , :

a) 1, 0.5 b) 0, –2 c) 2, 4

d) 1, e) Ninguna de las anteriores

23. ¿Cuál de las siguientes operaciones deshace una suma?

a) Suma

b) Multiplicación

c) División

d) Resta

e) Ninguna de las anteriores

1

2

Primer grado• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 160: Hoja Decal Culo

162@

Examen: Hoja de cálculo

24. ¿Cuál es la fórmula de la secuencia 25, 15, 5, …?

a) 5 – 10 b) B1 – 10 c) El número anterior menos 10

d) x + 10 e) x – 10

25. Un divisor común de 12 y 18 es:

a) 3 b) 9 c) 4 d) 36 e) 12 x 18

26. Si se compran 8 artículos a un precio (p) diferente cada uno, el costo total se puede

expresar como:

a) 8*A1 b) 8 + p c) 8*p

d) p/8 e) 8 por el precio

27. La raíz cuadrada del número 120 es:

a) 11.9 b) 10.95 c) 14 400 d) 1440 e) 120/2

28. Suponiendo un cambio de 13 pesos por cada dólar, ¿cuántos dólares recibirías

por 520 pesos?

a) 533 b) 6760 c) 0.025 d) 20 e) 40

29. Durante las vacaciones, a los estudiantes se les hace un descuento de 25 pesos en

el precio de los boletos en la central de autobuses. Si q representa el costo de un

boleto, el precio que debe pagar un estudiante en las vacaciones lo puedes obte-

ner de la expresión:

a) 25 – q b) q – 25 c) El precio del boleto menos 25

d) q + 25 e) C1 – 25

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 161: Hoja Decal Culo

163@

30. En una urna hay bolas blancas y negras. Tomamos una bola, vemos su color y la

regresamos a la urna. Si hacemos esto 10 veces, observamos en total siete bolas

negras y tres blancas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta?

a) Hay 10 bolas en total en la urna.

b) Seguro hay más bolas negras que blancas en la urna.

c) Hay 70% de bolas negras en la urna.

d) Es más probable que haya más bolas negras que blancas en la urna.

e) Es más probable que haya más bolas blancas que negras en la urna.

31. Completa la secuencia 3, 6, 9, 12, , :

a) 18, 24

b) 15, 18

c) 24, 28

d) 21, 24

e) 14, 16

Primer grado• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 162: Hoja Decal Culo

164@

Segundo grado

Selecciona la opción correcta.

1. En la noche, un taxista agrega 10 pesos extras a la tarifa que cobra en el día. Si n

representa el cargo que el taxi hace de noche, la tarifa que cobra de día se puede

obtener de la expresión:

a) 10 – x b) B1 – 10 c) 10 – n d) n – 10 e) n + 10

2. En una urna hay bolas blancas y negras. Tomamos una bola, vemos su color y la

regresamos a la urna. Si hacemos esto 10 veces, observamos en total siete bolas

negras y tres blancas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta?

a) Hay 10 bolas en total en la urna.

b) Seguro hay más bolas negras que blancas en la urna.

c) Hay 70% de bolas negras en la urna.

d) Es más probable que haya más bolas negras que blancas en la urna.

e) Es más probable que haya más bolas blancas que negras en la urna.

3. Suponiendo un cambio de 13 pesos por cada dólar, ¿cuántos pesos recibirías por

260 dólares?

a) $20 b) $0.05 c) $3 380 d) $273 e) $380

4. Completa la secuencia 28, 21, 14, 7, , :

a) –7, –14 b) 0, 0 c) 0, –7 d) 0, 03 e) 14, 21

5. ¿Cuál de las siguientes operaciones deshace la expresión 10x?

a) Suma

b) Multiplicación

c) División

d) Resta

e) Ninguna de las anteriores

xamen: Hoja de cálculoxamen: Hoja de cálculo

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •EE

Page 163: Hoja Decal Culo

165@

6. ¿En cuál de las siguientes situaciones interviene el azar?

a) Lanzar un dado cargado y obtener siempre cinco.

b) Extraer una canica negra de una urna donde sólo hay canicas negras.

c) Lanzar un objeto al aire.

d) Lanzar un dado no cargado y no estar seguro del número que saldrá.

e) Ninguna de las anteriores.

7. ¿Cuál es la solución de la ecuación: 3n + 25 = 25.063?

a) 2.65 b) 0.021 c) 3 d) 0.27 e) 0.063

8. Si s representa cierta cantidad de segundos, los minutos correspondientes se pue-

den calcular por medio de la fórmula:

a) s/60 b) 60s c) 60*s

d) segundos entre 60 e) segundos por 60

9. 30% de 80 se puede expresar como:

a) 30 x 80 b) 0.3 x 80 c) d)

e) 100 x 80

10. Completa la secuencia 16, 8, 4, 2, , :

a) 1, 0.5 b) 0, –2 c) 2, 4 d) 1,

e) Ninguna de las anteriores

11. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una recta?

a) y = 2x + 3 b) y = 5x2 – 2 c) y = 3/x + 1

d) y = –x + 3 e) y = x (x + 1)

12. La fórmula de la secuencia 16, 8, 4, 2, … es:

a) El número anterior entre 8

b) El número anterior entre 2

c)

d)

e) B1 ÷ 2

Segundo grado• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

x

2

16*x

2

30 × 80

100

80 × 100

100

1

2

Page 164: Hoja Decal Culo

166@

13. La recta y = 3x – 2 corta el eje y en el valor:

a) 3 b) –3 c) 2 d) –2 e) 1

14. Suponiendo un cambio de 15 pesos por dólar, ¿cuántos dólares recibirías por

300 pesos?

a) b) 15 x 300 c) d) 20 e) 4 500

15. ¿Cuál es la fórmula de la secuencia 25, 15, 5, …?

a) 5 – 10 b) B1 – 10 c) El número anterior menos 10

d) x + 10 e) x – 10

16. ¿Cuál de las siguientes operaciones deshace una suma?

a) Suma

b) Multiplicación

c) División

d) Resta

e) Ninguna de las anteriores

17. Completa la secuencia 3, 6, 9, 12, , :

a) 18, 24 b) 15, 18 c) 24, 28 d) 21, 24 e) 14, 16

18. ¿Cuál es la solución para la ecuación 4n – 2 = 10 ?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

19. ¿Qué operación utilizarías para encontrar el número que falta?

28 x = 2 112

a) Suma

b) Multiplicación

c) División

d) Resta

e) Ninguna de las anteriores

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Examen: Hoja de cálculo

300

15

15

300

Page 165: Hoja Decal Culo

167@

20. Durante las vacaciones, a los estudiantes se les hace un descuento de 25 pesos en

el precio de los boletos en la central de autobuses. Si q representa el costo de un

boleto, el precio que debe pagar un estudiante en las vacaciones lo puedes obte-

ner de la expresión:

a) 25 – q b) q – 25 c) El precio del boleto menos 25

d) q + 25 e) C1 – 25

21. Completa la secuencia 25, 15, 5, , :

a) 0, 0 b) 15, 25 c) 0, –5 d) –5, –15 e) 0, 0.9

22. La siguiente tabla representa una variación lineal (gráfica de línea recta). ¿Cuál es

el valor que corresponde al tiempo cero?

a) 0 b) 80 c) 60 d) 20 e) 180

23. En una tienda hay 20% de descuento en todos los artículos. ¿Cuánto hay que pa-

gar por una prenda que cuesta 300 pesos?

a) $280 b) $180 c) $240 d) $360 e) $3 600

24. Si se compran 8 artículos a un precio (p) diferente cada uno, el costo total se puede

expresar como:

a) 8*A1 b) 8 + p c) 8*p

d) p/8 e) 8 por el precio

25. En qué valor de x se cortan las siguientes dos rectas:

y = 2x y = 12 – x

a) x = 0 b) x = 1 c) x = 12 d) x = 4 e) x = –1

Tiempo 0 10 20 30

Altura ¿? 100 180 260

Segundo grado• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 166: Hoja Decal Culo

168@

26. ¿Qué operación utilizarías para encontrar el número que falta?

975 + = 652 487 ?

a) Suma

b) Multiplicación

c) División

d) Resta

e) Ninguna de las anteriores

27. ¿Cuál es la fórmula de la secuencia 28, 21, 14, 7, …?

a) B1 – 7 b) El número anterior menos 7 c) 7 – x

d) x + 7 e) x – 7

28. ¿Cuál es la solución para la ecuación:

7 ÷ m = 0.0175 ?

a) 0.86 b) 175 c) 400 d) 0.1225 e) 2.12

29. Suponiendo un cambio de 13 pesos por cada dólar, ¿cuántos dólares recibirías por

520 pesos?

a) 533 b) 6760 c) 0.025 d) 20 e) 40

30. ¿Cuál es la fórmula de la secuencia 3, 6, 9, 12, …?

a) El número anterior más 3 b) A1*3 c) 3 + x d) x – 3

e) x + 3

31. Si lanzamos una moneda, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta?

a) Es más probable que caiga águila.

b) Existe la misma posibilidad de que caiga sol o águila.

c) Es más probable que caiga sol.

d) Hay 50% de posibilidades de obtener un águila.

e) La moneda cae de canto.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Examen: Hoja de cálculo

Page 167: Hoja Decal Culo

169@

Tercer grado

Selecciona la opción correcta.

1. En la noche, un taxista agrega 10 pesos extras a la tarifa que cobra en el día. Si n

representa el cargo que el taxi hace de noche, la tarifa que cobra de día se puede

obtener de la expresión:

a) 10 – x b) B1 – 10 c) 10 – n d) n – 10 e) n + 10

2. Suponiendo un cambio de 15 pesos por dólar, ¿cuántos dólares recibirías por

300 pesos?

a) b) 15 x 300 c) d) 20 e) 4500

3. Completa la secuencia 28, 21, 14, 7, , ,

a) –7, –14 b) 0, 0 c) 0, –7 d) 0, 03 e) 14, 21

4. La población de una ciudad se duplica cada 10 años. En el año 1970 tenía 100000

habitantes. En 1980 tenía 300000, ¿cuántos habitantes tendrá en el 2000?

a) 700 000 b) 2700000 c) 900 000 d) 2400 000 e) 12 000 000

5. ¿Cuál es el resultado de la siguiente resta?

a) 516.2 b) 52.62 c) 151.62 d) 51.62 e) 51.42

15

300

300

15

xamen: Hoja de cálculoxamen: Hoja de cálculo

Nombre Edad

Escuela Fecha

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

204.29

152.67–

EE

Page 168: Hoja Decal Culo

170@

6. La ecuación y = 2x2 – 3x corresponde a la gráfica de una:

a) Recta

b) Parábola

c) Exponencial

d) Hipérbola

e) Horizontal

7. Si s representa cierta cantidad de segundos, los minutos correspondientes se pue-

den calcular por medio de la fórmula:

a) b) 60s c) 60*s d) segundos entre 60

e) segundos por 60

8. ¿A cuál de las siguientes gráficas corresponde la ecuación y = 4 x2 – 6x?

a) b) c)

d) e)

9. ¿Cuál es el resultado de la siguiente suma?

a) 1073.45 b) 1703.54 c) 170.354 d) 17 035.40 e) 170354

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Examen: Hoja de cálculo

752.31

951.23+

s

60

Page 169: Hoja Decal Culo

171@

10. La solución de la ecuación: x – 23.2 = 21.4, se encuentra entre los números:

a) 21 y 22 b) 42 y 43 c) 34 y 35 d) 44 y 45 e) 45 y 46

11. En una tienda hay 20% de descuento en todos los artículos. ¿Cuánto hay que pa-

gar por una prenda que cuesta 300 pesos?

a) $280 b) $180 c) $240 d) $360 e) $3 600

12. ¿Cuál es el resultado de la siguiente resta?

a) 240.03 b) 2420.17 c) 2421.03 d) 242.003 e) 2420.03

13. En una urna hay bolas blancas y negras. Tomamos una bola, vemos su color y la

regresamos a la urna. Si hacemos esto 10 veces, observamos en total siete bolas

negras y tres blancas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta?

a) Hay 10 bolas en total en la urna.

b) Seguro hay más bolas negras que blancas en la urna.

c) Hay 70% de bolas negras en la urna.

d) Es más probable que haya más bolas negras que blancas en la urna.

e) Es más probable que haya más bolas blancas que negras en la urna.

14. ¿Qué operación utilizarías para encontrar el número que falta?

975 + = 652 487?

a) Suma

b) Multiplicación

c) División

d) Resta

e) Ninguna de las anteriores

15. ¿Cuál es la fórmula de la secuencia 25, 15, 5, …?

a) 5 – 10 b) B1 – 10 c) El número anterior menos 10

d) x + 10 e) x – 10

Tercer grado• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

6630.15

4210.12–

Page 170: Hoja Decal Culo

172@

16. Completa la secuencia 25, 15, 5, , :

a) 0, 0 b) 15, 25 c) 0, –5 d) –5, –15 e) 0, 0.9

17. Suponiendo un cambio de 13 pesos por cada dólar, ¿cuántos dólares recibirías por

520 pesos?

a) 533 b) 6760 c) 0.025 d) 20 e) 40

18. ¿Cuál de las siguientes operaciones deshace una suma?

a) Suma

b) Multiplicación

c) División

d) Resta

e) Ninguna de las anteriores

19. Completa la siguiente secuencia 16, 8, 4, 2, , :

a) 1, 0.5 b) 0, –2 c) 2, 4 d) 1,

e) Ninguna de las anteriores

20. ¿En cuál de las siguientes situaciones interviene el azar?

a) Lanzar un dado cargado y obtener siempre cinco.

b) Extraer una canica negra de una urna donde sólo hay canicas negras.

c) Lanzar un objeto al aire.

d) Lanzar un dado no cargado y no estar seguro del número que saldrá.

e) Ninguna de las anteriores.

21. Si lanzamos una moneda, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta?

a) Es más probable que caiga águila.

b) Existe la misma posibilidad de que caiga sol o águila.

c) Es más probable que caiga sol.

d) Hay 50% de posibilidades de obtener un águila.

e) La moneda cae de canto.

1

2

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Examen: Hoja de cálculo

Page 171: Hoja Decal Culo

173@

22. La solución positiva de la ecuación: x2 + 1 = 9, se encuentra entre los números:

a) 1 y 2 b) 2 y 3 c) 3 y 4 d) 4 y 5 e) 5 y 6

23. ¿Qué operación utilizarías para encontrar el número que falta?

28 x = 2 112

a) Suma

b) Multiplicación

c) División

d) Resta

e) Ninguna de las anteriores

24. Completa la secuencia 3, 6, 9, 12, , :

a) 18, 24 b) 15, 18 c) 24, 28 d) 21, 24 e) 14, 16

25. La cantidad de bacterias en una colonia, en tres horas consecutivas es de 1000,

4 000 y 16 000. ¿Cuál esperarías que fuera la cantidad de bacterias en la hora

siguiente?

a) 28 000 b) 32 000 c) 48 000 d) 64 000 e) 19000

26. ¿Cuál es la fórmula de la secuencia 28, 21, 14, 7, …?

a) B1 – 7 b) El número anterior menos 7 c) 7 – x

d) x + 7 e) x – 7

27. 30% de 80 se puede expresar como:

a) 30 x 80 b) 0.3 x 80 c) d) e) 100 x 8030 × 80

100

80 × 100

30

Tercer grado• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 172: Hoja Decal Culo

174@

28. ¿A cuál de las siguientes gráficas corresponde la ecuación

y = 3x + 2x?

a) b) c)

d) e)

29. Suponiendo un cambio de 13 pesos por cada dólar, ¿cuántos pesos recibiría por

260 dólares?

a) $20 b) $0.05 c) $3380 d) $273 e) $380

30. Si se compran 8 artículos a un precio (p) diferente cada uno, el costo total se puede

expresar como:

a) 8*A1 b) 8 + p c) 8*p d) p/8

e) 8 por el precio

31. La raíz cuadrada positiva de 11 es un número que está entre:

a) 1 y 2 b) 2 y 3 c) 3 y 4 d) 4 y 5 e) 5 y 6

32. ¿Cuál es el resultado de la siguiente suma?

a) 575.24 b) 5 572.4 c) 57.524 d) 57 524 e) 557.24

562.93

12.31–

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Examen: Hoja de cálculo

Page 173: Hoja Decal Culo

175@

33. ¿Cuál es la fórmula de la secuencia 16, 8, 4, 2, …?

a) El número anterior entre 8 b) El número anterior entre 2 c)

d) 16* e) B1 ÷ 2

34. ¿A cuál de las siguientes gráficas corresponde la ecuación y = x3 – 2x?

a) b) c)

d) e)

35. Una persona deposita 1000 en una cuenta de ahorro que anualmente da un inte-

rés de 10% sobre la cantidad acumulada hasta ese año, ¿cuánto dinero habrá en

la cuenta después de cinco años?

a) $5 000.50 b) $1510.25 c) $1610.51 d) $5 000.10 e) $1250.51

36. Durante las vacaciones, a los estudiantes se les hace un descuento de 25 pesos en

el precio de los boletos en la central de autobuses. Si q representa el costo de un

boleto, el precio que debe pagar un estudiante en las vacaciones lo puedes obte-

ner de la expresión:

a) 25 – q b) q – 25 c) El precio del boleto menos 25

d) q + 25 e) C1 – 25

x

2

x

2

Tercer grado• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Page 174: Hoja Decal Culo

176@

37. ¿Cuál de las siguientes operaciones deshace la expresión 10x?

a) Suma

b) Multiplicación

c) División

d) Resta

e) Ninguna de las anteriores

38. La fórmula de la secuencia 3, 6, 9, 12, … es:

a) El número anterior más 3 b) A1*3 c) 3 + x

d) x – 3 e) x + 3

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Examen: Hoja de cálculo


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