Física

Aula 03 - Mecânica

Prof.: Célio Normando

Relações entre as grandezas

- Grandezas diretamente proporcionais ao quadrado

- Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado

- Grandezas Independentes

Grandezas diretamente proporcionais ao quadrado

X

Y

1

1

2

4

3

9

4

16

5

25

X2 1 4 9 16 25

Y é diretamente proporcional ao quadrado de X, visto que a razão entre Y e X2 é constante.

Analise a maneira como Y está variando com X .

Qual a relação entre as grandezas X e Y?

Y / XY / X22 = K (constante) => Y=K = K (constante) => Y=K .. X X22

Função do 2º grau incompleta.

Verifique a razão entre Y e X2 .

0

Y

X11

2

9

3

16

4

25

5

4

X

Y

1

1

2

4

3

9

4

16

5

25

Se a grandeza Y é diretamente proporcional ao quadrado da grandeza X, observe a construção do gráfico.

O gráfico obtido é uma parábola com o vértice na origem.

Grandezas diretamente proporcionais ao quadrado

Grandezas diretamente proporcionais ao quadrado

A energia cinética (Ec) de um corpo de massa m é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade (v)

Ec = m . v2

2

Observe que a razão entre a energia cinética (Ec) e a velocidade ao quadrado (v2) é constante.

Ec

v2=

m2

(constante)

Grandezas diretamente proporcionais ao quadrado

Suponha a massa(m) do corpo igual a 4kg (m = 4kg)

Se a velocidade (v) for igual a 6m/s (v = 6m/s) então:

A energia cinética seria

Ec = 72J

Ec = mv2

2 Ec =4 x 36

2

Na tabela seguinte, você ao pressionar a tecla “ENTER”, terá um novo valor de v e conseqüentemente um novo valor para a energia cinética.

Grandezas diretamente proporcionais ao quadrado

m = 4 kg

v (m/s) Ec (J) v2 (m2/s2)

6 72 36

8 128 64

9 162 81

10 200 100

12 288 144

20 800 400

Verifique que Ec

v2= 2 (constante)

Assim, a energia cinética (Ec) é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade (v).

Y

X

36

2

9

4

4

6

2,25

8

1,44

10

X2 4 16 36 64 100

Y é inversamente proporcional ao quadrado de X, visto que o produto entre Y e X2 é constante.

Y Y .. X X22 = K (constante) => Y=K / X = K (constante) => Y=K / X22

Observe como Y está variando com o X neste novo quadro.

Como a grandeza Y se relaciona com a grandeza X?

Compare o Y com o X2.

Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado

0

Y

X2

36

4

9

6

4

8

2,25

10

1,44

Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado

Y

X

36

2

9

4

4

6

2,25

8

1,44

10

Construindo o gráfico desta tabela obtém-se:

A curva obtida denomina-se hipérbole cúbica e representa o comportamento de Y quando é inversamente proporcional ao quadrado de X.

Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado

0

Y

X

Que curva é esta?

É uma hipérbole cúbica ou eqüilátera?

Sem valores não há elementos para julgar.

0

Y

XX1

Y1

X2

Y2

Colocando valores, examine dois pontos desta curva.

Se Y1 . X1 = Y2 . X2 , então a curva é uma hipérbole eqüilátera.

Se Y1 . X12= Y2 . X2

2 , então

a curva é uma hipérbole cúbica.

Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado

0

Y

X2

6

4

3

E agora temos uma hipérbole cúbica ou eqüilátera?

Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado

Verifique que o produto Y1 . X1 é igual ao produto Y2 . X2, logo a hipérbole é eqüilátera.

0

Y

X0,5

100

1

25

E esta nova curva o que será?

Y1 . X12 = Y2 . X2

2

100 x (0,5) 2 = 25 x (1) 2

Conclusão:A curva é uma hipérbole cúbica.

Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado

Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado

A força elétrica (F) é inversamente proporcional ao quadrado da distância (d) entre as cargas.

Deste modo o gráfico da força elétrica x distância é uma hipérbole cúbica.

0

F

d (m)2

40

4

10

2,5

(N)

8

Observe que o produto F. d2 = constante

Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado

A lei Física que relaciona a força elétrica (F) e a distância (d) é a lei de Coulomb.

F = K q1 . q2

d2 F . d2 = Kq1 . q2 (constante)

Y

X

10

0

12

1

16

2

22

3

30

4

Y é função do 2o Grau de X cuja expressão matemática é:

Y=aX2+bX+c

(Função do 2o Grau Completa)

Função do 2º Grau

Analise a tabela abaixo e responda a pergunta.

Como a grandeza Y varia com a grandeza X.

Para esta tabela a expressão será: Y = X2+ X + 10 .Confira

0

Y

X 0

Y

X

a > 0a < 0

Função do 2º Grau

O gráfico de uma função do 2º grau (função quadrática) é uma parábola.

A concavidade da parábola é para cima se a > 0 e para baixo se a < 0.

Função do 2º Grau

No movimento uniformemente variado (M.U.V) a posição (S) é uma função do 2º grau do tempo (t).

2

S = So + Vot + at212

Uma função do 2º grau completa.

Y

X

5

0

5

3

5

6

5

9

5

12

Y Independe de X quando, ao se variar X, o Y permanecer constante.

Y = K (Constante)

Função Constante

Grandezas Independentes

Verifique o tipo de relação entre Y e X nesta tabela.

Como se relacionam Y e X?

0

Y

XReta paralela ao eixo dasabscissas

Grandezas Independentes

Quando as grandezas são independentes tem-se uma função constante.

O gráfico será:

3 6 9 12

5

Grandezas Independentes

No movimento uniformemente variado a aceleração (a) independe do tempo (t).

Isto é, neste movimento a aceleração é constante.

a (m/s2)

t (s)

10 10 10 10 10

2 4 6 80

Um corpo em queda livre (M.U.V) tem aceleração constante.

Agora procure resolver as Atividades para Sala e Atividades Propostas.

As soluções estão disponíveis no Click Professor.