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Presentacin de PowerPoint

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

Ing. Karina Mina

Octubre 2014 Marzo 2015


CONTENIDO

Clasificacin del tipo de fluidos

Ecuaciones de flujo

Flujo continuo

Flujo no continuo o transitorio

Flujo semicontinuo

Factor de dao

Factor de flujo turbulento

Principio de Superposicin

Pruebas transitorias en pozos

IYIUIYU

PLAN DE DESARROLLO LIMONCOCHA


INTRODUCCION

El flujo de fluidos en los yacimientos de petrleo requiere del conocimiento de relaciones basadas en dos conceptos fundamentales: la Ley de Darcy y el Balance de Materiales y sus variaciones dependen de las caractersticas del yacimiento, entre las cuales deben considerarse: la configuracin geomtrica del sistema, la compresibilidad de los fluidos, la invariabilidad de las tasas de flujo y de la presin con el tiempo, o bien el flujo de una o ms fases simultneas.

IYIUIYU



1. CLASIFICACIN DEL FLUJO DE FLUIDOS

IYIUIYU


1.1 TIPOS DE FLUIDO

1.2 REGMENES DE FLUJO

1.3 NGULO DE BUZAMIENTO

1.4 GEOMETRA DE FLUJO

1.5 NMERO DE FASES FLUYENTES


1.1 TIPOS DE FLUIDOS

Se toma en cuenta el coeficiente de compresibilidad isotrmica, c

En trminos del volumen de fluido

En trminos de densidad del fluido

(1.1)

(1.2)

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Fluidos incompresibles

Fluidos ligeramente compresibles

Fluidos compresibles



1.1.1 FLUIDOS INCOMPRESIBLES

Volumen o densidad no cambian con la Presin:

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1.1.2 FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES

El cambio de volumen o densidad debido a la Presin es bastante reducido. Aplica para sistemas de petrleo crudo y agua.

Donde:

(1.3)

p = presin, lpca

V = volumen a presin p, pie

pi = presin inicial, lpca

Vi = volumen a pi, pie

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1.1.2 FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES

La expresin se representa por la expansin de la serie:

Considerando x muy pequeo, trmino , entonces:

(1.4)

(1.5)

Combinando las ec. 1.3 y 1.5 se obtiene:

Por analoga para la ec. 1.2 se obtiene:

(1.7)

(1.6)

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1.1.3 FLUIDOS COMPRESIBLES

Diferenciando con respecto a la presin y manteniendo T constante:

Simplificando:

Experimentan un gran cambio de volumen debido a la presin. Todos los gases se consideran compresibles.

(1.8)

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1.1.3 FLUIDOS COMPRESIBLES

Donde es el factor isotrmico de compresibilidad del gas en lpc -1

Finalmente , al sustituir en la ec. 1.8, resulta:

(1.9)

Para un gas ideal z = 1, dz / dp = 0. Entonces:

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Relacin presin volumen para diferentes

tipos de fluidos

Densidad del fluido en funcin de presin diferentes tipos de fluidos

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Existen tres tipos de condiciones o regmenes de flujo en funcin de la presin y el tiempo.

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Flujo continuo

Pseudosetady State Flow

Flujo semicontinuo

Unsteady State or Transient Flow

Flujo no continuo

Steady State Flow



Existe cuando en cada seccin transversal a la direccin de flujo, la densidad es constante en el tiempo; es decir, no existen cambios de presin ni de velocidad del fluido con el tiempo.

1.2.1 FLUJO CONTINUO

Los yacimiento de gas alcanzan condiciones de estado continuo ms rpidamente que los de petrleo, debido a que la viscosidad del gas es mucho ms baja, compensada por el aumento en la compresibilidad del fluido y la reduccin del tiempo de readaptacin*.

El comportamiento del estado continuo es adecuado cuando el tiempo de readaptacin es pequeo comparado con el tiempo transcurrido entre variaciones grandes de la tasa de flujo. En el caso de yacimientos, es adecuado cuando este tiempo es pequeo comparado con la vida productiva del yacimiento.

* Tiempo que transcurre desde el momento en que se produce un disturbio de presin hasta que se alcanzan las condiciones de flujo continuo.

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Denominado flujo variable, existe cuando la presin declina linealmente con el tiempo en cualquier posicin del yacimiento. La tasa de declinacin de la presin es directamente proporcional a la tasa de produccin del yacimiento e inversamente proporcional al volumen de drenaje.

1.2.2 FLUJO SEMICONTINUO

1.2.2 FLUJO NO CONTINUO

Es el flujo de la formacin al pozo, en el cual la presin del yacimiento no cambia linealmente con el tiempo.

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Condiciones o regmenes de flujo

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1.3 NGULO DE BUZAMIENTO

Cuando el ngulo de buzamiento es cero, se tiene un flujo horizontal y por lo tanto, la fuerza de gravedad no ser una fuerza de empuje durante el flujo de fluidos.

Si en flujo no es horizontal, se debe considerar el gradiente de gravedad. El trmino gravitacional est relacionado con la densidad del fluido y con el cambio de elevacin por la distancia (dz / dx). Si el ngulo de buzamiento es mayor de 5 grados, la gravedad contribuye de manera importante al flujo de fluidos

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IYIUIYU


Geometra

Flujo lineal

Flujo radial

Flujo semiesfric

Flujo esfrico



Las lneas de flujo son paralelas y el fluido fluye en una sola direccin. Adems la seccin transversal expuesta al flujo es constante.

Un ejemplo muy comn del flujo lineal es el flujo de fluidos en fracturas hidrulicas verticales.

1.4.1 FLUJO LINEAL

Las lneas de flujo son rectas y convergen en dos dimensiones a un centro comn, por ejemplo, un pozo. La seccin transversal expuesta al flujo disminuye a medida que se aproxima al centro.

1.4.2 FLUJO RADIAL

Las lneas de flujo son rectas y convergen en tres dimensiones hacia un centro comn. Dependiendo del tipo de configuracin de la terminacin de pozos, es posible tener un flujo esfrico o semiesfrico cerca de los pozos. Un pozo perforado en un pequeo intervalo podra resultar con este flujo en las cercanas de las perforaciones.

1.4.3 FLUJO ESFRICO

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Un pozo que slo penetra parte de la zona productiva podra resultar en flujo semiesfrico. Esta condicin puede ocurrir al formarse un cono de agua (conificacin) en la parte inferior del pozo cuando existe un empuje hidrulico.

1.4.4 FLUJO SEMIESFRICO

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1.5 FASES FLUYENTES EN EL YACIMIENTO

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Una sola fase

Petrleo

Dos fases

Petrleo agua

Tres fases

Petrleo, agua y gas

Agua

Gas

Petrleo gas

Gas - agua


1.5 FASES FLUYENTES EN EL YACIMIENTO

El flujo de una sola fase ocurre cuando slo existe movimiento de un fluido en el medio poroso, bien sea petrleo, gas o agua; sin embargo, puede existir simultnemente una segunda fase inmvil como agua connata a la saturacin de agua irreducible.

En el flujo multifsico existen dos o ms fases fluyendo simultneamente en el medio poroso.

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2. ECUACIONES DE FLUJO

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Ec. Del Transporte

Ec. Conservacin de la Masa

Varias ec. de Estado

LEY DE DARCY


2.1 LEY DE DARCY

La Ley Fundamental que rige el flujo de fluidos en el medio poroso es la LEY DE DARCY, introducida por primera vez en 1856 por Henry Darcy.

Esta expresin matemtica establece que la velocidad de un fluido homogneo en un medio poroso es proporcional al gradiente de presin e inversamente proporcional a la viscosidad del fluido.

Para un sistema lineal horizontal esta relacin es:

v=

Donde:

v = velocidad aparente del fluido a travs de la arena (cm/seg)

q = tasa de flujo volumtrica (cm3/seg)

A = rea total transversal de la roca (cm2)= rea del material de la roca y de los canales porosos

= viscosidad del fluido (centipoise)

dp/dx = gradiente de presin (atm/cm)

k = constante de proporcionalidad, permeabilidad de la roca (darcy)

Signo negativo se debe a que el gradiente de presin es negativo en la direccin del flujo

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2.1 LEY DE DARCY

Si el flujo no es horizontal, se tiene una forma ms generalizada de la Ecuacin de Darcy:

v=

Donde:

v = velocidad aparente del fluido a travs de la arena (cm/seg)

dp/dx = gradiente de presin en la direccin x (atm/cm)

= densidad del fluido (g/cm3)

= ngulo de buzamiento desde la horizontal (= buzamiento arriba; = buzamiento abajo)

= gradiente de gravedad en la direccin del flujo (atm/cm)

=

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2.1 LEY DE DARCY

Para un sistema radial horizontal, el gradiente de presin es positivo y la ecuacin de Darcy se puede expresar as:

v=

Donde:

q = tasa de flujo volumtrica en el radio r

= rea de la seccin transversal de flujo en el radio r

dp/dr = gradiente de presin al radio r

v = velocidad aparente del fluido al radio r

El rea de la seccin transversal al flujo a un radio r es el rea de un cilindro y para un pozo totalmente penetrado con un espesor neto h, viene dada por

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2.1 LEY DE DARCY

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LEY DE DARCY

Flujo laminar NRe < 1

Flujo continuo

Formacin homognea



3. FLUJO CONTINUO

Representa la condicin que existe cuando la presin a travs de todo el yacimiento no cambia con el tiempo.

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Flujo continuo

Flujo lineal



Flujo radial

Flujo multifsico






3.1 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES

Si el medio poroso es un sistema lineal horizontal, se supone que el flujo ocurre a travs de un rea A seccional constante, de tal forma que los extremos del sistema sean planos paralelos abiertos al flujo y que la presin en cada extremo del sistema sea constante sobre la superficie.

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Si un fluido incompresible fluye a travs del elemento dx, entonces la velocidad del fluido v y la tasa de flujo q son constantes en todos los puntos:

Resolviendo la integral se obtiene:

En unidades de campo:

Donde:

k = permeabilidad absoluta, md

= viscosidad, cp

A = rea seccional, pie2

q = tasa de flujo, BY/da

p = presin, lpca

L = distancia, pies

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EJERCICIO 1:

Un fluido incompresible de 2 cp est fluyendo en un medio poroso que tiene las siguientes caractersticas:

Longitud, pies..2000

Espesor, pies.20

Ancho, pies300

Permeabilidad, md100

Porosidad, %................................................15

Presin a la entrada del sistema, lpc..2000

Presin a la salida del sistema, lpc..1990

Calcule:

Tasa de flujo en BY/da

Velocidad aparente del fluido en pie/da

Velocidad real del fluido en pie/da

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La diferencia en la presin (P1-P2) no es la nica fuerza de empuje en el yacimiento. Tambin existe la gravitacional, que debe tomarse en cuenta para determinar la direccin y la tasa de flujo, puesto que la fuerza que ejerce el gradiente lquido siempre est dirigida verticalmente hacia abajo; mientras que los resultados de la que se genera debido a una cada de presin pueden ser en cualquier direccin. La fuerza que causa el flujo sera entonces la suma de estos dos vectores.

Donde:

= potencial del fluido en el punto i, lpc

= presin en el punto i, lpc

= distancia vertical desde el punto i hasta el nivel de datum seleccionado, cm

= densidad del fluido, lb/pie3

= densidad del fluido, g/cm3

El potencial de un fluido (), en dimensiones de presin, en cualquier punto del yacimiento se define como la presin en ese punto menos la presin que podra ejercer una columna lquida extendida hasta un datum arbitrario:

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El datum suele seleccionarse en el contacto agua petrleo o en el punto ms alto de la formacin.

Para calcular el potencial de lquidos en el punto i, la distancia vertical se asigna como un valor positivo cuando el punto i est por debajo del nivel de referencia, y como negativo cuando est por encima del nivel de referencia.

Cuando el punto i est por encima del nivel de referencia

Cuando el punto i est por debajo del nivel de referencia

De forma general, en funcin de potenciales la ec. 1.15 queda de esta forma

Conclusin: La cada de potencial es igual a la cada de presin slo cuando el sistema de flujo es horizontal.

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EJERCICIO 2:

Resuelva nuevamente el ejercicio anterior, suponiendo que el medio poroso se inclina con un ngulo de buzamiento de 5 y que el fluido incompresible tiene una densidad de 42 lb/pie3:

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3.2 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES

La Ec. 1.6 describe la relacin que existe entre la presin y el volumen para fluidos ligeramente compresibles.

En trminos de tasa de flujo:

Donde es la tasa de flujo a una presin de referencia

Separando variables se tiene:

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3.2 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES

Integrando resulta:

Si se selecciona la presin de entrada P1 como la presin de referencia y se sustituye en la ecuacin anterior, queda:

Si se selecciona la presin de entrada P2 como la presin de referencia y se sustituye en la ecuacin anterior, queda:

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EJERCICIO 3:

Resuelva nuevamente el ejercicio anterior, suponiendo que el medio poroso se inclina con un ngulo de buzamiento de 5 y que el fluido incompresible tiene una densidad de 42 lb/pie3:

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3.3 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES

En un flujo laminar de un gas en un sistema homogneo lineal, se aplica la ecuacin de estado correspondiente a un gas real para calcular el nmero de n moles de gas a una presin p, temperatura T y volumen V:

En condiciones normales, el volumen ocupado por estos n moles es:

Combinando estas dos expresiones y suponiendo =1, se obtiene:

En trminos de tasa de flujo se obtiene:

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Arreglando esta ecuacin, se obtiene finalmente:

Reemplazando la tasa de flujo de gas q por la Ley de Darcy, se obtiene la ecuacin:

Donde:

q = tasa de flujo del gas a la presin p , BY/dia

= tasa de flujo del gas en condiciones normales, PCN/dia

z = factor de compresibilidad del gas

= temperatura y presin en condiciones normales, R y lpca, respectivamente

-0.001127

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Separando variables e integrando entre P1 y P2 y suponiendo que z y son constantes en este intervalo de presiones, resulta:

Si lpca y = 520R, la expresin anterior se convierte en:

Donde:



= viscosidad del gas, cp

T = temperatura, R

A = rea transversal, pies2

L = longitud del sistema lineal, pies

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La ecuacin anterior es vlida para aplicaciones donde la presin es menor de 2000 lpc.

Las propiedades del gas deben ser evaluadas a una presin promedio definida por:

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EJERCICIO 4:

Un gas cuya gravedad especfica es de 0.72 fluye en un medio poroso lineal con una permebilidad absoluta de 60 md y a una temperatura de 140F. las corrientes de presin a la entrada y salida del sistema son 2100 lpc y 1894.73 lpc, respectivamente. El rea seccional transversal es 4500 pie2, la longitu total es 2500 pie. Calcule la tasa de flujo del gas en PCN/dia. Se conoce adems que lpca y

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3.4 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES

En un sistema radial, los fluidos se mueven hacia el pozo productor en todas las direcciones. Antes de que el flujo tenga lugar, existe una diferencia de presin y, por lo tanto, si un pozo es productor de petrleo, el flujo de los fluidos ocurre de la formacin hacia la boca del pozo, donde la presin debe ser menor que la existente en un punto de la formacin situado a cierta distancia del pozo.

La presin de la formacin en el hoyo del pozo productor se conoce como presin de fondo fluyente, Pwf.

Considrese un pozo tal como se muestra en la Figura, situado en una formacin cilndrica horizontal de radio exterior re y espesor h. El pozo tiene un radio rw y las presiones en el pozo y en el radio exterior son Pwf y Pe, respectivamente.

Para la aplicacin de la ecuacin que rige este flujo se parte de la ec. de Darcy:

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Para la aplicacin de la ecuacin que rige este flujo se parte de la ec. de Darcy:

Donde:

v = velocidad aparente del fluido, BY/dia-pie2

Haciendo en este ecuacin x = r y A = 2 y tomando en cuenta que para un sistema radial, r aumenta en la misma direccin que la presin p, lo que implica que es positivo y por lo tanto, no se requiere el signo menos, resulta:

La tasa de flujo para un sistema de petrleo crudo se expresa generalmente en unidades de superficie, esto es, en BN. Usando el smbolo Qo para representar al flujo de petrleo en BN/da, tenemos:

Donde:

Bo = factor volumtrico de petrleo en la formacin en BY/BN

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La tasa de flujo en la ecuacin de Darcy se puede expresar as:

Separando variables y considerando k, h, uo constantes, se puede integrar la ec anterior entre los radios r1 y r2 cuando las presiones son p1 y p2:

Para un sistema incompresible en una formacin homognea, la ec. Anterior se simplifica:

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Resolviendo la integral:

Frecuentemente, los dos radios de inters son el radio del pozo rw y el radio de drenaje re. Asi se tiene:

Donde:

= tasa de flujo de petrleo, BN/da

= presin en el radio de drenaje, lpc

= presin de fondo fluyente, lpc


= viscosidad del petrleo, cp

h = espesor, pies

= factor volumtrico del petrleo en la formacin, BY/BN

y = radios del pozo y de drenaje, respectivamente, pies

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El radio de drenaje o radio exterior, re, se determina usualmente a partir del rea de espaciamiento entre los pozos. Si se considera, por ejemplo, que sta es un crculo, se tiene:

La ecuacin de caudal se puede arreglar para calcular la presin p a cualquier radio r, entonces se tiene:

=

Donde:

A = espaciamiento entre pozos, acres

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EJERCICIO 5:

Un pozo de petrleo est produciendo a una tasa de flujo de 600 BN/da y a una presin de flujo estabilizada de 1800 lpc. El anlisis de los datos de una prueba de restauracin de presin indica que la zona productora tiene una permeabilidad de 120 md y un espesor uniforme de 25 pies. El pozo est desarrollado en el centro de un cuadrado cuya rea es 40 acres. Con los siguiente datos adicionales:

Factor volumtrico del petrleo, BY/BN..1.25

Viscosidad del petrleo, cp2.5

Radio del pozo, pies...0.25

Calcule el perfil de presin y liste las cadas de presin en intervalos de 1 pie desde rw hasta 1.25 pies, 4 hasta 5 pies, 19 hasta 20 pies, 99 hasta 100 pies y 744 hasta 745 pies.

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La presin en el radio de drenaje, pe, no puede ser medida fcilmente, pero en caso de estar presente un acufero fuerte y activo, se mantiene cercana a la presin inicial del yacimiento. Craft y Hawkins demostraron que la presin promedio del yacimiento est localizada a una distancia cercana al 61% del radio de drenaje, si se mantienen condiciones de flujo continuo. As en la ecuacin de Pwf se sustituye r por 0.61 y se obtiene:

En trminos de tasa de flujo:

Como :

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3.5 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES

Craft utiliz la ecuacin de la relacin de volumen y presin para expresar la dependencia de la tasa de flujo con presin para fluidos ligeramente compresibles. Si esta ecuacin se sustituye en la forma radial de la Ley de Darcy, entonces:

Separando variables e integrando, se obtiene la siguiente expresin:

Despejando qref, resulta:

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Seleccionando la presin de fondo fluyente Pwf como la presin de referencia y expresando la tasa de flujo en BN/da, se obtiene finalmente:

Donde:


= presin en el radio de drenaje, lpc

= presin de fondo fluyente, lpc

= coeficiente isotrmico de compresibilidad del petrleo, lpc-1


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EJERCICIO 6:

Una formacin productora tiene las siguientes caracterstica: un espesor de 25 pies; presin del yacimiento, 2506 lpc; presin de fondo fluyente, 1800 lpc; radio de drenaje, 745 pies; radio del pozo, 0.25 pies; permeabilidad, 0.12 darcy. La viscosidad del petrleo es 2.5 cp y el factor volumtrico, 1.25 BY/BN. Suponiendo que le fluido es ligeramente compresible y que le coeficiente de compresibilidad es 25*10-6 lpc-1, estime la tasa de flujo. Compare los resultados si se considera que le fluido es incompresible.

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3.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES

La ecuacin bsica de la Ley de Darcy en su forma diferencial para flujo horizontal laminar es vlida para describir el flujo de ambos sistemas lquidos y gases. Para flujo radial de un gas, la forma de ecuacin de Darcy es:

Donde:

= tasa de flujo de gas a un radio r, BY/da

r = distancia radial, pies

h = espesor de la zona, pies

0.001127 = constante de conversin para llevar de unidades darcy a unidades de campo

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La ecuacin bsica de la Ley de Darcy en su forma diferencial para flujo horizontal laminar es vlida para describir el flujo de ambos sistemas lquidos y gases. Para flujo radial de un gas, la forma de ecuacin de Darcy es:

Donde:

= tasa de flujo de gas a un radio r, BY/da


h = espesor de la zona, pies

0.001127 = constante de conversin para llevar de unidades darcy a unidades de campo

La tasa de flujo de gas se expresa generalmente en PCN/da. Designando la tasa de flujo de gas en condiciones normales como Qg, la tasa de flujo qg a una determinada presin y temperatura se puede convertir a la condiciones normales aplicanso la ecuacin de estado para un gas real para ambas condiciones. Entonces:

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Despejando qg resulta:

Combinando las ecuaciones de qg, se obtiene:

Donde:

= presin y temperatura en condiciones normales, lpca y R, respectivamente


= tasa de flujo del gas en el radio r, BY/dia


p = presin a un radio r, lpca

T = temperatura del yacimiento, R

z = factor de compresibilidad del gas a p y T

= factor de compresibilidad del gas en condiciones normales

=

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Suponiendo que y

Integrando la ecuacin desde las condiciones en el pozo (rw, Pwf) hasta cualquier punto en el yacimiento (r, p), resulta:

Si a esta ecuacin se le imponen las condiciones de la Ley de Darcy, esto es:

Flujo continuo, lo cual requiere que Qg sea constante para cualquier radio

Formacin homognea, qu eimplica que k y h son constantes, se tiene

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El trmino puede expandirse para dar:

Combinando las dos expresiones, resulta:

La integral se denomina potencial de un gas real o seudopresin de un gas real y generalmente se representa por m(p) o

Esta ecuacin fue introducida por Al Hussainy con el fin de linealizar la ecuacin que describe el flujo de un gas real.

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En trminos del potencial de un gas real se obtiene la ecuacin:

O bien:

La ecuacin anterior indica que un grfico de vs. da una lnea recta de pendiente e intercepto .

GRAFICO

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La tasa de flujo viene dada por:

En el caso de que r = re, entonces:

Donde:


= potencial de un gas real evaluado desde 0 hasta , lpc2/cp


= radio de drenaje, pies

= radio del pozo, pies

h = espesor, pies

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Como la tasa de flujo de gas se expresa comnmente en MPCN/da, se tiene:

La ecuacin anterior se puede expresar en trminos de la presin promedio del yacimiento en lugar de la presin inicial del yacimiento :

Para calcular la integral de la ecuacin de potencial de un gas real, los valores de se calculan para varios valores de p. Entonces versus p se representa en un papel de escala cartesiana y el rea bajo la curva se calcula en forma numrica o grfica. Esta rea desde p = 0 hasta cualquier punto p representa el valor de correspondiente a p.

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EJERCICIO 7:

Un pozo de gas con un radio de 0.3 pies est produciendo a una presin constante de flujo de fondo de 3600 lpc. Las propiedades del gas en funcin de presin se presentan a continuacin:

Se conoce adems que la presin inicial del yacimiento (presin de cierre) es 4400 lpc a 140F. La formacin tiene una permeabilidad de 65 md y un espesor de 15 pies. El radio del pozo es de 0.3 pies t re es de 1000 pies. Calcule la tasa de flujo del gas en MPCN/da.

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Los valores exactos de la tasa de flujo de gas que se pueden estimar usando las diferentes expresiones de la Ley de Darcy pueden aproximarse sacando el trmino de la integral como una constante. Es importante sealar que se considera constante slo para presiones menores a los 2000 lpc. Luego, la ecuacin de la tasa de flujo puede reescribirse as:

Sacando el trmino e integrando:

3.6.1 APROXIMACIN DE LA TASA DE FLUJO DE GAS

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El trmino se evala a una presin promedio de finida por:

El mtodo de aproximacin anterior se conoce como mtodo de las presiones al cuadrado y est limitado a clculos de flujo cuando la presin del yacimiento es menor de 2000 lpc.

3.6.1 APROXIMACIN DE LA TASA DE FLUJO DE GAS

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EJERCICIO 8:

Usando los datos del ejercicio anterior, calcule nuevamente la tasa de flujo del gas mediante el mtodo de las presiones al cuadrado y compare con el mtodo exacto.

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3.7 FLUJO HORIZONTAL EN UN SISTEMA MULTIFSICO

Cuando varias fases de fluidos estn fluyendo en un medio poroso horizontal, se debe utilizar en la ecuaciones de Darcy el concepto de permeabilidades efectivas para cada fase y las propiedades fsicas asociadas con cada una de ellas.

Para un sistema radial, la forma generalizada de la Ley de Darcy aplicada a cada fase es:

Donde:

= permeabilidades efectivas al petrleo, agua y gas, respectivamente, md

, = viscosidades del petrleo, agua y gas, respectivamente, cp

, = tasas de flujo del petrleo, agua y gas, respectivamente, BY/da

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Las permeabilidades efectivas pueden expresarse en trminos de las permeabilidades relativas y de la permeabilidad absoluta, as::

Donde:


Usando este concepto en las ecuaciones de Darcy para cada fase y expresando las tasas de flujo en condiciones normales, se obtiene, finalmente:

Donde:

= tasas de flujo de petrleo y agua, BY/da

= tasa de flujo de gas, PCN/da

= factores volumtricos del petrleo y del agua en la formacin, BY/BN

=factor volumtrico del gas en la formacin, BY/PCN


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Integrando las ecuaciones anteriores, resulta finalmente:

Donde:

= tasa de flujo de gas, MPCN/da


T = temperatura, R

Fase petrleo:

Fase gas:

Fase agua:

En trminos de potencial de un gas real:

En trminos de presiones al cuadrado:

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Generalmente, es conveniente expresar la tasa de flujo de cualquier fase como una relacin de las otra fases fluyentes. Dos relaciones importantes son: la relacin agua petrleo instantnea (RAP o WOR) y la relacin gas petrleo instantnea (RGP o GOR).

La forma generalizada de la ecuacin de Darcy se puede utilizar para determinar ambas relaciones de flujo.

La relacin agua petrleo es define como la relacin entre la tasa de flujo de agua y la tasa de flujo de petrleo, ambas expresadas en BN/da, esto es:

Donde:

RAP = relacin agua petrleo en BN/BN

Reemplazando y queda:

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La relacin gas petrleo instantnea, RGP o GOR, expresada en PCN/BN, se define con tasa de flujo total de gas, esto es, gas libre ms gas en solucin dividido entre la tasa de flujo de petrleo:

O tambin:

Donde:

factor volumtrico del gas en la formacin, BY/PCN

RGP = relacin gas petrleo instantnea, PCN/BN

= solubilidad del gas en PCN/BN

= tasa de flujo de gas libre, PCN/da


Sustituyendo y :

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3. FLUJO CONTINUO (RESUMEN ECUACIONES)

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Flujo continuo

Flujo lineal



Flujo radial

Flujo multifsico






4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO

Considerando la seccin A de la Figura, la cual muestra un pozo cerrado que est centrado en un yacimiento circular homogneo de radio re y con una presin uniforme pi a travs del yacimiento. Las condiciones iniciales del yacimiento representan el tiempo de produccin cero. Si luego se permite que el pozo fluya a una tasa constante q, ocurre un disturbio de presin en la formacin. La presin en el pozo, pwf, caer instantneamente al abrirlo. El disturbio de la presin se mover desde el pozo a una tasa que estar determinada por la permeabilidad, la porosidad, la viscosidad del fluido y las compresibilidades de la roca y de los fluidos.

La seccin B de la Figura muestra que a un tiempo t1, los disturbios o cambios de presin se han movido a una distancia r1 dentro del yacimiento. Los radios de tales cambios estn aumentando continuamente con el tiempo. Estos radios, comnmente como radios de investigacin y se denotan por rinv. Es importante sealar tambin que a medida que el radio de investigacin no alcanza el lmite del yacimiento, esto es, re, ste estar actuando como un yacimiento de tamao infinito, llamado as porque el radio de drenaje matemticamente es infinito.

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Un anlisis similar al sealado puede utilizarse para describir un pozo que est produciendo a una presin de fondo constante. La seccin C en la Figura muestra esquemticamente la propagacin de los radios de investigacin con respecto al tiempo. A un tiempo t4, los disturbios de presin alcanzan el lmite, esto es rinv = re. Esto causa que el comportamiento de presin cambie.

Basados en el anlisis anterior, el flujo transitorio es definido como el perodo durante el cual el lmite del yacimiento no tiene efecto sobre su comportamiento de presin, el cual se comportar como uno de tamao infinito. La seccin B de la Figura muestra que el perodo de flujo transitorio ocurre durante el intervalo de tiempo 0 < t < t1 para el caso de una tasa de flujo constante y durante el intervalo de tiempo 0 < t < t4 cuando existe produccin a una presin de fondo pwf constante.

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4.1 ECUACIONES BSICAS

En condiciones de flujo continuo, la cantidad de fluido que entra al sistema de flujo es igual a la que sale. Por el contrario, en condiciones de flujo transitorio, la tasa de flujo que entra a un elemento de volumen del medio poroso no es la misma que sale de l. De acuerdo con esto, el contenido de fluidos en el medio poroso cambia con el tiempo. Las variables en flujo transitorio, adicionales a las consideradas en flujo continuo son: el tiempo, t; la porosidad, y la compresibilidad total, ct.

La formulacin matemtica de las ecuaciones de flujo transitorio se basa en la combinacin de tres ecuaciones independientes y en unas condiciones especficas iniciales y de contorno que las constituyen .

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4.1 ECUACIONES BSICAS

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Ecuacin de Continuidad

Ecuacin de balance de materiales que toma en cuenta cada masa de fluido producido, inyectado o que permanece en el yacimiento

Ecuacin de Transporte

Es la combinacin de la ecuacin de continuidad con la de movimiento de fluido para describir la tasa de flujo que entra y la que sale del yacimiento. Es la ecuacin de Darcy generalizada en su forma diferencial.

Ecuacin de Compresibilidad

Esta ecuacin expresada en trminos de densidad o volumen, se usa para formular la ecuacin de flujo transitorio con el objeto de describir los cambios de volumen de fluido en funcin de presin.



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Condiciones iniciales y de contorno

Condiciones iniciales

El yacimiento se encuentra a una presin uniforme cuando comienza la produccin, a t = 0

Condiciones lmite o de contorno

La formacin produce a tasa constante hacia el pozo

No existe flujo a travs del lmite exterior y el yacimiento se comporta como un yacimiento de tamao infinito, re =



Considerando el elemento de flujo de la Figura, sta tiene un ancho dr y est localizado a una distancia r del centro del pozo.

El elemento poroso tiene un volumen diferencial dV. Aplicando el concepto de balance de materiales, la tasa msica de flujo que entra al elemento menos la tasa msica de flujo que sale de l durante un tiempo diferencial t debe ser igual a la acumulacin durante este intervalo de tiempo, o sea:

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Primer trmino: Masa que entra al elemento de volumen durante un intervalo de tiempo t

Donde:

vvelocidad del fluido fluyendo, pie/da

= densidad del fluido a (r+dr), lb/pie3

A = rea a (r+dr), pie2

= intervalo de tiempo, das

El rea del elemento a la entrada es:

Combinando las dos ecuaciones se tiene:

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Segundo trmino: Masa que sale del elemento de volumen durante un intervalo de tiempo t

Donde:

vvelocidad del fluido fluyendo, pie/da

= densidad del fluido a (r+dr), lb/pie3

A = rea a (r+dr), pie2

= intervalo de tiempo, das

Adoptando el mismo criterio:

Combinando las dos ecuaciones se tiene:

El rea del elemento a la salida es:

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Tercer trmino: Masa total acumulada en el elemento de volumen durante un intervalo de tiempo t.

El volumen total de un elemento de radio r viene dado por:

Sustituyendo por dV:

Luego:

Diferenciando la ecuacin anterior con respecto a r resulta:

O tambin:

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Reemplazando los trminos obtenidos en la ecuacin de balance de materiales queda as:

O tambin:

Dividiendo la ecuacin anterior por y simplificando resulta:

Donde:

= porosidad, fraccin

v velocidad del fluido fluyendo, pie/da


Este ecuacin se conoce como Ecuacin de Continuidad y muestra el Principio de la Conservacin de la masa en coordenadas radiales.

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Para relacionar la velocidad de flujo con el gradiente de presin dentro de un volumen dV, debe introducirse la ecuacin de transporte en la ecuacin de continuidad. La ecuacin de Darcy es esencialmente la ecuacin bsica de movimiento, la cual establece que la velocidad v es proporcional al gradiente de presin .

De la ecuacin de Darcy para flujo radial:

Donde:

= permeabilidad, md

v velocidad del fluido, pie/da

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Reemplazando los trminos obtenidos en la ecuacin de balance de materiales queda as:

O tambin:

Dividiendo la ecuacin anterior por y simplificando resulta:

Donde:


v velocidad del fluido fluyendo, pie/da


Este ecuacin se conoce como ECUACIN DE CONTINUIDAD y muestra el Principio de la Conservacin de la masa en coordenadas radiales.

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Para relacionar la velocidad de flujo con el gradiente de presin dentro de un volumen dV, debe introducirse la ecuacin de transporte en la ecuacin de continuidad. La ecuacin de Darcy es esencialmente la ecuacin bsica de movimiento, la cual establece que la velocidad v es proporcional al gradiente de presin .

De la ecuacin de Darcy para flujo radial:

Donde:

= permeabilidad, md

v velocidad del fluido, pie/da

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Combinando la ecuacin anterior y la ecuacin de continuidad, resulta:

Expandiendo la parte derecha de la ecuacin anterior, se obtiene:

Como la porosidad se relaciona con la compresibilidad de la formacin por medio de:

Al aplicar la regla de la cadena de la diferenciacin a , resulta:

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Sustituyendo la ecuacin anterior en la ecuacin de cf, se tiene:

Finalmente, sustituyendo esta expresin en las dos primeras ecuaciones se tiene:

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Ecuacin general en derivadas parciales

Describir el flujo de cualquier fluido que fluye en direccin radial en el medio poroso

Tomando en cuenta la Ecuacin de Darcy; es decir flujo laminar, vlida para lquidos y gases, son diferencias prcticas para la aplicacin de las ecuaciones especficas.



Para simplificar la ecuacin anterior, se supone que la permeabilidad y la viscosidad son constantes en el rango de presin, tiempo y distancia, lo que lleva a:

Expandiendo la ecuacin anterior:

Usando la regla de la cadena en las expresiones anteriores:

Dividiendo la expresin anterior para la densidad del fluido , se obtiene:

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La ecuacin anterior se denomina ECUACIN DE DIFUSIVIDAD y es usada, particularmente en el anlisis de datos de pruebas de pozos donde el tiempo t se expresa comnmente en horas. De esta forma esta ecuacin queda as:

Donde:

k = permeabilidad, md

r = distancia radial , pies

p = presin, lpca

= compresibilidad total, lpc-1

t = tiempo, horas


= viscosidad, cp

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Cuando el yacimiento contiene ms de un fluido, la compresibilidad total puede calcularse por:

Donde:

= compresibilidades del petrleo, agua y gas

= saturaciones del petrleo, agua y gas

La introduccin de ct en la ecuacin de difusividad no hace que la misma sea aplicable a flujo multifsico; el uso de ct, definida en la ecuacin anterior, simplemente toma en cuenta la compresibilidad de cualquier fluido inmvil que puede estar en el yacimiento con el fluido que est fluyendo.

El trmino de la ecuacin de difusividad, se denomina constante de difusividad y se denota por el smbolo , es decir:

As le ecuacin de difusividad queda as:

Se usa para estimar la presin en funcin del tiempo t y de la posicin r.

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Ecuacin de la difusividad

Medio poroso homogneo e isotrpico

Espesor uniforme

Flujo de una sola fase

Flujo laminar

Prop. de la roca y los fluidos independientes de la presin



Para condiciones de flujo continuo, la presin en cualquier punto del yacimiento es constante y no cambia con el tiempo, esto es = 0. Po lo tanto, la ecuacin de difusividad se reduce a la ecuacin presentada a continuacin, la cual se conoce ECUACIN DE LAPLACE para flujo continuo :

EJERCICIO 9:

Muestre que la ecuacin de Darcy en forma radial es la solucin de la ecuacin de Laplace.

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Para obtener una solucin de la ecuacin de difusividad, es necesario especificar una condicin inicial e imponer dos condiciones de contorno o de lmite. La condicin inicial establece que el yacimiento se encuentra a una presin constante pi cuando comienza la produccin. Las dos condiciones de lmite requieren que el pozo est produciendo a una tasa constante y que el yacimiento se comporte como un yacimiento infinito, re = .

De acuerdo a estas dos condiciones impuestas, la ecuacin tiene dos soluciones generalizadas:

A presin terminal constante.

A tasa terminal constante.

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La solucin a presin terminal constante de la ecuacin de difusividad est diseada para calcular el flujo acumulado a cualquier tiempo para un yacimiento en el cual la presin en uno de los lmites se mantiene constante. En esta solucin, la tasa de flujo se considera constante a determinado radio, usualmente en el radio del pozo, y el perfil de presin alrededor del pozo se determina en funcin del tiempo y de posicin. En este caso como la presin es constante a un radio en particular, la solucin permite conocer el movimiento acumulado del fluido para este radio. Esta solucin se utiliza comnmente en los clculos de intrusin de agua en yacimientos de petrleo y de gas.

La solucin a tasa terminal constante de la ecuacin de difusividad para un sistema radial toma en cuenta los cambios de presin a travs del sistema, donde la tasa de flujo se considera constante a cierto radio, usualmente el radio del pozo, y donde el perfil de presin en este radio se determina en funcin de tiempo y distancia. La solucin a tasa terminal constante forma parte integral de los anlisis de pruebas de cadas de presin (drawdown tests) y de restauracin de presin (buildup analyses). La mayora de estas pruebas se realizan con el pozo produciendo a una tasa de flujo constante y registrando la presin fluyente en funcin del tiempo, esto es, p(rw,t). Existen dos formas comunmente usadas en esta solucin:

La solucin de la funcin, Ei.

La solucin de la presin adimensional, pD.

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4.1.1 SOLUCIN DE LA FUNCIN Ei

Matthews y Rusell propusieron una solucin para la ecuacin de difusividad basada en las siguientes suposiciones:

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Yacimiento activo de tamao infinito

El pozo produce a una tasa constante

El yacimiento se encuentra a una presin uniforme pi cuando comienza la produccin.

El pozo, con un radio rw, se encuentra centrado en un yacimiento cilndrico de radio re.

No existe flujo en el lmite exterior, es decir a r.



Utilizando las condiciones anteriores, la solucin presentada por Matthews y Rusell tiene la siguiente forma:

Donde:

p(r,t) = presin a un radio r del pozo despus de t horas

t = tiempo, horas

= porosidad

= viscosidad, cp


= tasa de flujo, BN/da

La funcin matemtica Ei, se denomina integral exponencial y se define por:

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Craft presenta los valores de la funcin Ei (x) en forma grfica y tabulada como se muestra e la grfica y en la Tabla, respectivamente:

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La solucin Ei expresada en la ltima ecuacin se conoce como la solucin de lnea fuente. La integral exponencial Ei puede aproximarse por las siguientes ecuaciones cuando el argumento x es menor que 0.01:

Donde el argumento x es expresado en este caso por:

La ecuacin anterior aproxima la funcin Ei con un error menor del 0.25%.

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Otra expresin que tambin puede utilizarse para aproximar la funcin Ei en el rango 0.01 100:

Con los coeficientes hasta definidos por:

=0.8085064 =0.29302022 =3.5264177(10-2)

=-1.4036304(10-3) =-4.7722225(10-4) =5.1240532(10-7)

=-2.3033017(10-10) =-2.6723117(10-3)

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4.1.2 SOLUCIN DE LA PRESIN ADIMENSIONAL, pD

4.1.2.1 YACIMIENTO RADIAL FINITO

La llegada del disturbio de presin al lmite de drenaje del pozo marca el final del flujo transitorio y el comienzo de la etapa de flujo semicontinuo. Durante esta etapa, los lmites del yacimiento y la forma del rea de drenaje influyen en la respuesta de presin del pozo, as como en el comportamiento de la distribucin de presin a travs del yacimiento. Intuitivamente, no se puede esperar que el cambio de flujo transitorio a flujo semicontinuo en este sistema finito ocurra instantneamente. De hecho, existe un perodo corto que separa las dos etapas, denominado ltima etapa de transicin. Debido a su complejidad y corta duracin, este flujo de esta etapa no se utiliza en los anlisis de presin.

Para un sistema radial finito, la funcin es una funcin que depende adimensionalmente del tiempo y del radio, es decir:

Donde:

La Tabla siguiente presenta valores de en funcin de para 1.5 < < 10.

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Para un dado, los valores de menores a los listados en esta tabla indican que el yacimiento se comporta como infinito, por lo tanto debe buscarse en otra tabla.

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van Everdingen y Hurst aplicaron esta solucin para modelar el comportamiento de la intrusin de agua hacia el yacimiento, considerando como radio del pozo el radio exterior del yacimiento, y ste como radio exterior del acufero; por lo tanto, el rango de valores de en la tabla anterior es adecuado para esta aplicacin.

Chatas propuso la siguiente expresin matemtica para calcular pD:

Para 25 < tD y 0.25 < tD :

Un caso especial de la ecuacin anterior se alcanza cuando >>1, entonces :

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A continuacin se resume el procedimiento de clculo al usar para determinar la presin de fondo fluyente cuando est cambiando el perodo de flujo transitorio:

Paso 1: Calcular el tiempo adimensional .

Paso 2: Calcular el radio adimensional .

Paso 3: Determinar la funcin correspondiente por medio de la tabla o ecuacin apropiada, usando los valores calculados de y .

Paso 4: Calcular la presin al radio deseado, esto es aplicando esta ecuacin:

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EJERCICIO 12:

Un pozo de petrleo est produciendo a una tasa constante de 300 BN/da bajo condiciones de flujo transitorio. El yacimiento tiene las siguientes propiedades de la roca y los fluidos.

Radio del pozo, pies.0.25

Presin inicial, lpc.4000

Espesor, pies.15

Viscosidad del petrleo, cp.1.5

Permeabilidad, md...60

Porosidad, %...............................................................15

Compresibilidad total, lpc-1...12*10-6

Dao en el pozo..0

Factor volumtrico de petrleo, BY/BN.....1.25

Si el yacimiento tiene un comportamiento infinito, se desea estimar la presin de fondo fluyente despus de una hora de produccin usando la aproximacin de la presin adimensional.

4.1.2 SOLUCIN DE LA PRESIN ADIMENSIONAL, PD

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El ejemplo anterior muestra que la solucin dada por es idntica a la solucin dada por la funcin Ei. La principal diferencia entre estas dos aproximaciones es que la funcin slo se usa para calcular la presin a un radio r cuando la tasa de flujo Q es constante y conocida. En este caso la aplicacin de la funcin esta restringida al radio del pozo debido a que se conoce Q. por otra parte, la funcin Ei se utiliza para calcular la presin a cualquier radio utilizando la tasa de flujo del pozo Q.

Cuando un yacimiento tiene un comportamiento infinito con , la funcin se relaciona con Ei por la siguiente expresin:

)

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La viscosidad y la densidad de un gas varan significativamente con la presin, y por lo tanto, las suposiciones de la ecuacin de difusividad no satisfacen los sistemas de gas, esto es, de los fluidos compresibles. Para poder desarrollar una funcin matemtica que describa el flujo de fluidos compresibles en el yacimiento, deben considerarse las siguientes ecuaciones para gases reales:

Ecuacin de densidad:

Ecuacin de compresibilidad del gas:

Combinando estas dos ecuaciones bsicas con resulta lo siguiente:

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Al Hussainy, Ramey y Crawford linealizaron la ecuacin anterior introduciendo la definicin de potencial para un gas real m(p). As se tiene:

Diferenciando la ecuacin anterior con respecto a p, resulta:

De donde se obtienen las siguientes relaciones aplicando la regla de la cadena:

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Sustituyendo la antepenltima ecuacin en las dos anteriores se tiene:

Combinando estas dos ecuaciones para la ecuacin de difusividad para los gases se tiene:

Esta ltima ecuacin es la ECUACIN DE DIFUSIVIDAD PARA FLUIDOS COMPRESIBLES, la cual relaciona el potencial de un gas real con el tiempo t y el radio r:

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Al Hussainy seala que, en un anlisis de pruebas de pozos para un pozo de gas, la solucin de tasa constante tiene ms aplicaciones prcticas que la solucin de presin constante. El autor encontr la solucin exacta de la ecuacin de difusividad para fluidos compresibles comnmente conocida como mtodo de la solucin m(p). Existen otras dos soluciones que se aproximan a la solucin exacta, denominadas: mtodo de las presiones al cuadrado y mtodo aproximado de presin.. En sntesis, existen, pues tres formas de la solucin matemtica de la ecuacin de difusividad:

El mtodo de la solucin m(p) o solucin exacta

El mtodo de las presiones al cuadrado

El mtodo aproximados de presin

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Al Hussainy seala que, en un anlisis de pruebas de pozos para un pozo de gas, la solucin de tasa constante tiene ms aplicaciones prcticas que la solucin de presin constante. El autor encontr la solucin exacta de la ecuacin de difusividad para fluidos compresibles comnmente conocida como mtodo de la solucin m(p). Existen otras dos soluciones que se aproximan a la solucin exacta, denominadas: mtodo de las presiones al cuadrado y mtodo aproximado de presin.. En sntesis, existen, pues tres formas de la solucin matemtica de la ecuacin de difusividad:

El mtodo de la solucin m(p) o solucin exacta


El mtodo aproximados de presin

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4.2.1 MTODO DE LA SOLUCIN m(p) O SOLUCIN EXACTA

A la ecuacin de difusividad para fluidos compresibles se le impone la condicin de tasa constante como una de las condiciones de borde para resolverla. As, Al Hussainy propone la siguiente solucin exacta:

Donde:

= presin inicial del yacimiento, lpc

= presin de flujo fluyendo, lpc

= tasa de flujo del gas, MPCN/da

t = tiempo, horas


= compresibilidad isotrmica total a pi, lpc-1

= viscosidad del gas a la presin inicial, cp

= presin en condiciones normales, lpca

= temperatura en condiciones normales, R

= radio del pozo, pies

h = espesor, pies

= porosidad

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Cuando =14.7 psi y =520 R, la ecuacin anterior se simplifica asi:

Esta ecuacin en trminos adimensionales, quedara asi:

Donde Qg es la tasa de flujo de gas, MPCN/da.

El tiempo adimensional fue definido previamente como:

El parmetro se denomina Constante de Euler y est dado por:

=

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La solucin de la ecuacin de difusividad dada por la ecuaciones anteriores expresa la seudopresin de flujo de fondo de un gas real como una funcin del tiempo t del flujo transitorio. La solucin expresada en trminos de m(p) es la expresin matemtica recomendada para realizar el anlisis de presin en pozos de gas, debido a su aplicabilidad en un amplio rango de presiones.

Para el caso de flujo radial de un gas real, la ecuacin de difusividad puede expresarse en trminos adimensionales de la cada de seudopresin de un gas real utlizando la siguiente relacin:

Donde:



La cada de seudopresin adimensional puede determinarse en funcin de usando la expresin apropiada desde ecuaciones anteriores. Cuando , puede calcularse aplicando la ecuacin:

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EJERCICIO 13:

Un pozo de gas con un radio de 0.3 pies est produciendo a una tasa constante de 2000 MPCN/da bajo condiciones de flujo transitorio. La presin inicial del yacimiento (presin de cierre) es 4400 lpc a 140F. La formacin tiene una permeabilidad de 65 md y un espesor de 15 pies. La porosidad es de un 15%.

Las propiedades del gas en funcin de presin se presentan a continuacin:


Suponiendo que la compresibilidad total inicial es de 3 * 10-4 lpc-1, se desa calcular la presin de flujo en el fondo despus de 1.5 horas.

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4.2.2 MTODO APROXIMADO DE LAS PRESIONES AL CUADRADO

En este mtodo, la primera aproximacin a la solucin exacta se realiza sacando el trmino que depende de presin de la integral que definen m(pwf) y m(pi), para dar:

O bien,

Donde los valores de viscosidad y del factor de desviacin del gas se evalan a la presin promedio , la cual viene dada por:

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Combinando la ecuacin anterior con las ecuaciones para obtener Pwf se tiene:

O bien,

O la expresin equivalente:

Las formas anteriores de la solucin aproximada indican que el producto se asume constante a la presin promedio . Esto limita la aplicabilidad del mtodo de las presiones al cuadrado a presiones de yacimiento menores de 2000.

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EJERCICIO 14:

Un pozo de gas con un radio de 0.3 pies est produciendo a una tasa constante de 7454.2 MPCN/da bajo condiciones de flujo transitorio. La presin inicial del yacimiento es 1600 lpc a 140F. La formacin tiene una permeabilidad de 50 md y un espesor de 10 pies. La porosidad es de un 20%. Las propiedades del gas en funcin de presin se presentan a continuacin:

Suponiendo que la compresibilidad total inicial es de 6.25 * 10-4 lpc-1, calcule la presin de flujo en el fondo despus de 4 horas usando:

El mtodo m(p)



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4.2.3 MTODO APROXIMADO DE PRESIN

El segundo mtodo de aproximacin a la solucin exacta del flujo radial de gases consiste en tratar el gas como un seudolquido.

Recordemos que el factor volumtrico del gas en la formacin expresado en BY/PCN est dado por:

Resolviendo la expresin anterior para p/z, se tiene:

La diferencia en la seudopresin de un gas real viene dada por:

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Combinando las dos expresiones anteriores, resulta:

Fetkovich seal que a presiones elevadas (p>3000), es casi constante como se muestra en la figura:

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Imponiendo esta condicin a la ecuacin anterior e integrando se obtiene:

Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene:

O bien:

O equivalentemente, en trminos de la cada de presin adimensional:

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Donde:

= presin inicial del yacimiento, lpc


= tiempo, horas


= tiempo adimensional

= factor volumtrico promedio del gas en la formacin, BY/PCN

= cada de presin adimensional

Es importante observar que las propiedades del gas estn evaluadas a la presin promedio definida as:

De nuevo, esta frmula est limitada para presiones mayores de 3000 lpc. Cuando se resuelve para pwf, es suficiente evaluar las propiedades del gas a pi.

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EJERCICIO 15:

Repita el ejercicio 13 usando el mtodo de aproximacin de presin y compare los resultados con la solucin exacta.


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5. FLUJO SEMICONTINUO

En el flujo transitorio discutido previamente, se ha supuesto que un pozo est localizado en un yacimiento infinito y produciendo a una tasa de flujo constante, la cual crea un disturbio de presin que viaja a travs del yacimiento. Tal como se seal anteriormente, durante este perodo de flujo transitorio, los lmites del yacimiento no tienen efecto sobre el comportamiento de presin del pozo. Obviamente, el perodo donde esta suposicin puede ser impuesta es, a menudo, muy corto en longitud. Tan pronto como el disturbio de presin alcanza los lmites de drenaje, finaliza el rgimen de flujo transitorio y comienza un rgimen de flujo diferente conocido como FLUJO SEMICONTINUO, en el cual es necesario imponer a la ecuacin de difusividad diferentes condiciones de lmites a fin de obtener la solucin apropiada.

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En la Figura se muestra un pozo en un sistema radial que est produciendo a una tasa constante por un perodo lo suficientemente largo para afectar el rea total de drenaje.

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Durante este perodo de flujo semicontinuo, el cambio en presin con tiempo es el mismo a travs del rea de drenaje. La seccin (A) en la Figura muestra que la distribucin de presin se hace paralela en los perodos sucesivos. Matemticamente, esta condicin tan importante puede expresarse por:

La constante referida en la expresin anterior puede obtenerse de un simple balance de materiales usando la definicin de compresibilidad, esto es:

Arreglando esta ecuacin, resulta:

Diferenciando respecto al tiempo t, se obtiene:

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Si en la relacin anterior se expresa la tasa de declinacin de presin en lpc/hr, resulta:

Para un sistema radial de drenaje, el volumen poroso viene dado por:

Donde:


= tiempo, horas

q = tasa de flujo, BY/da

dp/dt = tasa de declinacin de la presin, lpc/hr

V = Vp = volumen poroso, BY

Combinando las ecuaciones anteriores, se obtiene:

Donde:

A = rea de drenaje, pie2

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Examinando la expresin anterior encontramos las siguientes caractersticas del comportamiento de la tasa de declinacin de presin, dp/dt, durante la etapa de flujo semicontinuo. Esto es:

La presin del yacimiento declina ms rpidamente con un aumento de la tasa de produccin de los fluidos.

La presin del yacimiento declina ms lentamente en yacimientos con mayores coeficientes de compresibilidad total.

La presin del yacimiento declina ms lentamente en yacimiento con mayores volmenes porosos.

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EJERCICIO 16:

Un pozo de petrleo est produciendo a una tasa constante de 1200 BN/da bajo condiciones de flujo semicontinuo. Los datos de presin del pozo muestran una declinacin de la presin a una tasa constante de 4,655 lpc/hr. Se tienen los siguientes datos adicionales:

Factor volumtrico del petrleo, BY/BN..1.3

Porosidad, %......................................................................15

Compresibilidad total, lpc-1..12*10-6

Espesor, pies.25

Calcule el radio de drenaje del pozo.

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p (lpc)g (cp)z

00.012701.000

4000.012860.937

8000.013900.882

12000.015300.832

16000.016800.794

20000.018400.770

24000.020100.763

28000.021700.775

32000.023400.797

36000.025000.827

40000.026600.860

44000.028310.896

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