EVALUACIONDE LOS PARAMETROS

CINETICOSDE LA ECUACIONDEMONODAlberto Duarte TorresIngeniero Qumico, MSc.Departamento t Ingeniera QumicaFacultad t IngenieraUniversidadNacionai t Colombia. Bogot

La evaluacin de la cintica decrecimiento de clulas microbiales,animales, o vegetales constituye unaspecto fundamental en el diseno,operacin, simulacin y predicindel comportamiento de los reactoresbiolgicos. El propsito de estearticulo es presentar una aplicacinde los mtodos diferencial e integralde anlisis de datos en ladeterminacin de los parmetros.cinticos del Modelo de Monod, unode los modelos empleados con mayorfrecuencia para relacionar el efecto dela concentracin de sustrato sobre lavelocidad especifica deformacin debiomasa.

INTRODUCCION

El crecimiento celular es elresultado de numerosas interaccionesentre reacciones bioqumicas yfenmenos de transporte con mltiplesfases y sistemas multicomponentes. Lamezcla heterognea de clulas jvenes yviejas experimenta durante el proceso decrecimiento un cambio continuomientras se adapta a un medio ambientecuyas condiciones fsicas y qumicasvaran permanentemente, A causa de laimposibilidad para modelar exactamentela cintica de crecimiento, deben hacersealgunas suposiciones con el propsito deobtener modelos simples tiles para eldiseo y operacin de fermentadores y laprediccin de su comportamiento. Elms sencillo es un modelo noestructurado y distribuido basado en lassiguientes suposiciones:

- Las clulas pueden serrepresentadas por un componente

simple tal como masa celular,nmero de clulas, o laconcentracin de proteinas, ADN(cido desoxirribonuclico) o ARN(cido ribonuc1ico).

- La poblacin celular estadistribuida uniformemente. Lasuspensin de clulas eshomognea, se ignora la naturalezaheterognea de las clulas y laconcentracin celular se expresacomo masa de clulas secas porunidad de volumen.

- El medio se formula de maneraque solo un componente sealimitante de la velocidad dereaccin. Los dems componentesestn presentes en concentraciones10suficentemente altas para evitarel efecto de cambios pequeossobre la velocidad de reaccin.

- El fermentador se controla paragarantizar un nivel constante decondiciones ambientales talescomo pH, temperatura yconcentracin de oxgeno disuelto.

INGENIERIA E INVESTIGACION

La mezclaheterognea declulas jvenes y

viejas experimentadurante el procesode crecimiento uncambio continuo

mientras se adaptaa un medio

ambiente cuyascondiciones fisicasy qumicas varanpermanentemente.

El modelo de Monod (Ecuaciones[1] Y [2]) describe la interaccin entre elcrecimiento de microorganismos en uncultivo por lotes y la utilizacin delsustrato limitativo del crecimiento enaquellos sistemas donde prcticamentetodo el sustrato es transformado enbiomasa:

dt (1)

Si la Ecuacin (3) se sustituye enla Ecuacin (1) se obtiene:

dx I!M'S-- [xo + Yx/s' (so - s) ] (4)

ds 1 dx

ds -1- - - ---[xo + Yxl,.(so - s)] (5)

, Ks + S I!M If .ds=-- f dt'0 s [xo + Yx/s' (so - s) ] Yx/s o

1 [In (1+ a.d)]

dI dt (2)

s-In=-=b-------c (6)

Donde, YXIS : factor derendimiento de sustrato en producto,(g clri1as).(g sustrato )-1; s: concen-tracindel sustrato limitante, g.litro";x: concentracin de biomasa, (g clulassecasj.Iitro"; ~: velocidad especficamxima de crecimiento, (hora):'; K,:constante de saturacin, g.litro'; K,:concentracin del sustratocorrespondiente a una velocidadespecfica de crecimiento igual amJ2 .

METODO INTEGRALDE ANALISIS

El punto de partida del mtodointegral de anlisis del modelo de Monod(Ecuaciones [1] y [2]), propuesto porOng, (1983), es la siguiente ecuacinobtenida mediante integracin de laEcuacin (2):

(3)

I I

Donde, x, s: concentracin inicialde biomasa y d~ ~to limitativo delcrecimiento, respectivamente _

so

a=-- (7)x

o

(8)

(9)

d =(so-s) (lO)

1IiII~_IN_~~~~~E~~~~TI~GA~CI~O~N~ _

La Ecuacin (6), deducida porGates y Marlar, (1968), indica unarelacin lineal entre los trminos{(lit). In (s/s)} y {(l /t).In (1 + a.d)}.Gates y Marlar, (1968), sugieren unprocedimiento basado en larepresentacin grfica de estos trminospara diferentes valores supuestos delparmetro a.

De acuerdo con Ong, 1983, losvalores de a, b, y e, asociados con lamejor lnea recta obtenida, sonseleccionados como los mejoresestimativos y utilizados en la evaluacincE .t.M' K, YYxl. a partir de lasEcuaciones (7), (8) Y(9):

e.t.M =

b-l

1+s

oa

K=sb-l

(11)

(12)

(13)

Los parmetros cinticos de laecuacin de Monod, .t.M y ~, nopueden estimarse con la misma facilidadque los correspondientes al modelo deMichaelis-Menten en una reaccinenzimtica. En el caso de una reaccinenzimtica, hay una velocidad inicial dereaccin medida en funcin de laconcentracin de sustrato a partir de unaserie de varios ensayos por lotes. En uncultivo de microorganismos, la velocidadinicial de reaccin siempre es cero por lanecesidad de una fase previa deadaptacin durante la cual no se aplica laecuacin de Monod. Adems, estasecuaciones, aunque similares, sondiferentes:

Michaelis-Menten:

dP rM.s--=r =---

pdt KM+s

(14)

El coeficiente de correlacin R,describe el grado de ajuste de una lnearecta. Por consiguiente el coeficiente Rcorrespondiente a la relacin linealexpresada en la Ecuacin (6) es:

(n.x.y-x. y)2R2= _

(16)

In (1 + a. d)x=----- (17)

Monod:

1 dx 1 .t.M.S---=-. r =---x dt x x K +s

s

(15)

t

sIn--

so(18)

Los parmetroscinticos de laecuacin de

Monod no puedenestimarse con lamisma facilidad

que loscorrespondientes

al modelo deMichaelis-Mentenen una reaccinenzimtica.

Donde, rM: velocidad mxima de lareaccin enzimtica; rp: velocidad deformacin de producto, g.Ilitro.hora):';.t.M: velocidad especfica mxima decrecimiento, (hora)"; x: concentracinde biomasa, (g clulas secasj.litro'; s:concentracin de sustrato, g.litro'; ~:constante de saturacin, g.(litro)I;~:constante de saturacin en el modelo deMichaelis Menten, g.(litro)"1.

Donde, n: nmero de datosanalizados; y: ordenada; x: abcisa. Enlastres ecuaciones anteriores se conocentodos los trminos, excepto el parmetroa. La funcin objetivo es minimizar(R2). Esta funcin objetivo es unimodalpara a > 0, esto es, solo tiene un valorptimo local igual al ptimo global. Elalgoritmo mencionado en esta Seccines una modificacin de la tcnica debsqueda unidimensional de Powelldesarrollada orignalmente para lasolucin de un problema deprogramacin no lineal no restringidadescrito por Reklaitis et al., 1983.

El programaC:\GWBASIC\MONOD .BAS~resumido en la

Tabla 5, constituye un ejemplo de laaplicacin del mtodo integral de anlisisde datos en la evaluacin de losparmetros cinticos de la Ecuacin deMonod.

INGENIERIA E INVESTIGACION 11-------

METODODIFERENCIAL DEANALISIS

El objetivo del mtodo diferencialde anlisis es la evaluacin de lasvelocidades de crecimiento de biomasa yde consumo de sustrato a partir de unconjunto de datos experimentales de lasconcentraciones de biomasa y desustrato en funcin del tiempo en uncultivo por lotes. Aunque existennumerosas alternativas para laevaluacin de estas velocidades, lossiguientes procedimientos han sidoutilizados con alguna frecuencia:

- El procedimiento geomtrico dediferenciacin de una funcinexperimental en un punto,propuesto por Leduy y Zajic,1973. En el programaC:\GWBASIC\LEDUYZAJ.BAS,resumido en la Tabla 6, se aplica lasubrutina de Leduy y Zajic, en laevaluacin de la velocidad decrecimiento de biomasa a partir deun conjunto de valores de laconcentracin de biomasa (variabledependiente) en funcin deltiempo.

- El procedimiento propuesto porTao, 1987, fundamentado enarreglos de polinomios de laforma:

f(x) = a(i) + b(i).x + c(i).x2 +d(i).xl (19)

Donde. x: variable dependiente; t:variable independiente.

El programa C:\GWBASIC\SPLINE.BAS, resumido en la

Tabla 7, evala los coeficientes de lacurva de ajuste correspondientes a cada

intervalo de la variable independiente(tiempo). La variable dependiente en laecuacin (19) es la concentracin debiomasa. En el programa se obtienen lasderivadas de los polinomios en cadapunto de la curva,

Los valores de los parmetros .t.My K, son obtenidos a partir de lassiguientes relaciones lineales, deducidasde la ecuacin de Monod, una vezconocidos los valores de la velocidad decrecimiento de biomasa rx y de lavelocidad de consumo de sustrato r :

Lineweaver-Burk:

1 1 K 1s

La representacin grfica de si.t.versus s, en el caso de microorganismosque se comportan de acuerdo con elmodelo de Monod, corresponde a unalnea recta, cuyo intercepto es K/~ ycuya pendiente es 11.t.M'

Eadie-Hofstee :

Il.t. = .t.M - -- . K, (22)

s

La representacin grfica de .t.versus .t.Is, en el caso demicroorganismos que se comportan deacuerdo con el modelo de Monod,corresponde a una lnea recta, cuyointercepto es IlM y cuya pendiente es-K

La principal limitacin del mtododiferencial de anlisis en ladeterminacin de parmetros cinticoses la dificultad para la realizacin deensayos en un reactor continuo demezcla completa (CSTR) donde existe laposibilidad de mantener un medioambiente estable para losmicroorganismos. En los ensayos porlotes pueden utilizarse matraces pararealizar simultneamente mltiplesensayos con diferentes condicionesambientales. Los ensayos en reactorescontinuos requieren tanques de reservade nutrientes y de producto conectadosaspticamente al fermentador. El controldel caudal se dificulta en algunos casospor la formacin de espuma y por eltaponamiento del dueto de salida conaglomerados de clulas. La duracin deun ensayo puede prolongarse durantevarios das, e incluso semanas, yaumentar el riesgo de contaminacin yde mutacin de la cepa por suadaptacin a las nuevas condicionesambientales.Estas pueden ser diferentesen un ensayo por lotes y en una

1IiII~_IN_~ ~~E~~~~TI~GA~CI~O~N~ _

(20)

La representacin grfica de 1 I.t.versus lis, en el caso demicroorganismos que se comportan deacuerdo con el modelo de Monod,corresponde a una lnea recta, cuyointercepto es 1 I.t.M Ycuya pendiente esK/.t.M' La evaluacin de ~ y K, por elmtodo de Lineweaver-Burk dependelas mediciones realizadas a bajasconcentraciones de sustrato. Si seconsidera que el valor de 1 I.t. tiende ainfinito a medida que la concentracin desustrato disminuye, los puntoscorrespondientes a estos valores afectanla pendiente y el intercepto.

Langmuir:

s K, 1-'-=--+--. s (21)Il ~ ~

fermentacin continua y afectan lavalidez del modelo cintico desarrolladoen un reactor continuo para la prediccindel comportamiento de una fermentacinpor lotes y viceversa. Por consiguiente,estos parmetros requieren unaverificacin cuidadosa con el propsitode evaluar la confiabilidad del modeloestablecido.

EVALUACIN DE LOSPARAMETROSCINTICOS DE LAECUACIN DE MONOD

El siguiente Ejemplo muestra laevaluacin de los parmetros cinticosde la Ecuacin de Monod. LosprogramasLEDUYZAJ.BAS ySPLINE.BAS obtienen las velocidadesde crecimiento de biomasa y consumo desustrato. Los parmetros f.lM, K, YYxl.son obtenidos mediante un anlisis deregresin de las ecuaciones deLineweaver-Burk, Langmuir y Eadie-Hofstee, con el programaC:\QPRO\MONOD.WQl. Losparmetros de la ecuacin de Monodtambin son obtenidos por mtodointegral de anlisis con el programaC:\GWBASIC\MONOD.BAS.

En la Tabla 1 se presentan datosde formacin de biomasa y consumo desustrato, para el crecimiento deAerobacter cloacae en un reactor porlotes. Evaluar los parmetros cinticos:f.lM' K, YYxl, ' de la ecuacin de Monodmediante los mtodos integral ydiferencial de anlisis de datos.

Tabla 1.Programa C:IXPROIMONOD.WQ1:Evaluacin de las velocidades de crecimientode biomasa y consumo de sustrato a partir dedatos de formacin de biomasa y consumo desustrato, generados mediante simulacin de la

informacin presentada por Herbert et. al(1956), para el crecimiento de Aerobacter

cloacae en un reactor por lotes con un medioquimicamente definido compuesto por glicerol

como sustrato limitativo del crecimiento.

A B e o E PTiempo Biomasa Sustrato dxldt dxldt s promhoras mg/litro mg/litro LD-Z SPLINE

0,00 15,5 73,9 13,46 12,24 67,250,52 22,5 60,6 15,54 15,90 54,900,86 28,6 49,2 19,25 19,63 42,851,18 35,3 36,5 22,09 22,29 31,001,43 41,1 25,5 23,07 23,92 18,251,74 48,2 11,0 17,43 20,20 7,052,06 53,0 3,1 5,40 9,12 1,752,37 54,4 0,4 1,02 1,66'2,48 54,5 0,2

G H I J K Ldxldt dxldt (1/s) x prom IJ IJprom prom SPLINELDZ SPLINE

14,500 14,070 0,0149 19,00 0,7632 0,740517,395 17,765 0,0182 25,55 0,6808 0,695320,670 20,960 0,0233 31,95 0,6469 0,656022,580 23,105 0,0323 38,20 0,5911 0,604820,250 22,060 0,0548 44,65 0,4535 0,494111,415 14,660 0,1418 50,60 0,2256 0,28973,210 5,390 0,5714 53,70 0,0598 0,1004

M N O P Q R(1/1J) (1/1J) (IJ/s) (IJ/S) (s/IJ) (s/IJ)LD-Z SPLINE LD-Z SPLINE LD-Z SPLINE

1,310 1,350 0,0113 0,0110 88,121 90,8141,469 1,438 0,0124 0,0127 80,638 78,9581,546 1,524 0,0151 0,0153 66,234 65,3181,692 2,653 0,0191 0,0195 52,445 51,2532,205 2,024 0,0249 0,0271 40,240 36,9384,433 3,452 0,0320 0,0411 31,251 24,334

16,729 9,963 0,0342 0,0574 29,276 17,435

S T U VIJprom 1/1Jprom IJprom/s s/IJ prom

LDZ-SPL LDZ-SPL LDZ-SPL LDZ-SPL

0,752 1,330 0,0112 89,4670,688 1,453 0,0125 79,7980,651 1,535 0,0152 65,7760,598 1,672 0,0193 51,8490,474 2,114 0,0260 38,5890,258 3,942 0,0365 27,7920,080 13,346 0,0458 23,355

INGENIERlAEINVESTIGACION 11-------

OBSERVACIONES A LA TABLA 1

- Columnas A, B, C: Datos decrecimiento de biomasa y consumode sustrato, generados mediantesimulacin de la informacinpresentada por Herbert, et. al.,(1956), para el crecimiento deAerobacter cloacae en un reactorpor lotes con un medioqumicamente definido compuestopor glicerol como sustrato .limitativo del crecmiento. Laconcentracin inicial de biomasa:15,50 (mgde biomasa seca)/litro,corresponde a la concentracin debiomasa despus del periodo deadaptacin, esto es, laconcentracin al comienzo de lafase exponencial.

- Columna D: Velocidad decrecimiento de biomasa obtenidacon el programa C:\DOS\GWBA-SIC\LEDUYZAJ.BAS (Tabla 6) apartir de la informacin de lascolumnas Ay B.

- Columna E: Velocidad decrecimiento de biomasa obtenidacon el programa C:\DOS\GWBA-SIC\SPLINE.BAS (Tabla 7) apartir de la informacin de lascolumnas AyB.

- Columnas F, G, H: Valorespromedio de las columnas C, D yE, respectivamente; Columna 1:recproco de los valores de lacolumnaF.

- Columna J: Concentracin debiomasa. Promedio de los valoresanotados en la columna B en cadaintervalo de tiempo. Columnas K,L: Velocidad especfica decrecmiento de biomasa, calculadacon los valores de la columna J, ylas columnas D y Erespectivamente, en (horas):'.

- Columna S: La velocidadespecfica promedio, Il prom es elpromedio aritmtico de los valoresanotados en las columnas K y L encada intervalo de tiempo.

OBSERVACIONES A LA TABLA 2

Y: Intercepto con el eje Y; Y:variable dependiente.

Err Y: Error estndar de losvalores estimados de Y.

R: coeficiente de correlacinlinear; R2: coeficiente dedeterminacin, (Steel y Tome,1980).

m: Valor de la pendiente ocoeficiente de X; X: variableindependiente.

Err X: Error estndar de losvalores estimados de X.

- Lineweaver-Burk, Ecuacin (20):Variable independiente: datos de lacolumna 1 (Tabla 1); Variabledependiente: columna N: mtodoSpline; columna M: mtodo deLeduyy Zajic; columna T: mtodode la velocidad especficapromedio de crecimiento.

y ErrY m Err x

Lineweaver-Burk, Ecuacin (20):

SPLLDZPROM

1,16990,80260,9862

0,04920,17690,0678

0,99980,99920,9998

15,425227,738821,5820

0,09900,35590,1364

ITabla 2. Resultados obtenidosmediante anlisis de regresin delos valores anotados en la Tabla1con el programaC:IQPROIMONOD. WQlLangmuir, Ecuacin (21):

SPLLDZPROM

16,213024,996520,6048

0,83192,36951,3236

0,99920,99160,9978

0,01380,03940,0220

Eadie-Hofstee, Ecuacin (22):

SPLLDZPROM

0,87231,07250,9483

0,01450,05500,0162

1,12780,95601,0419

0,9969 -13,72070,9624 -27,43950,9964 -18,8473

0,34352,42700,5057

1Ii---__ ~~~~ _, . _INGENIERIA E INVESl1GACION

Lineweaver-Burk, Ecuacin (20):

ITabla 3. Parmetros de la Ecuacin deSpline IJm = 0,8548 Ks = 13,185 R = 0,9999 Monod obtenidos a partir de los valoresLeduy y Zajic IJm = 1,2459 Ks = 34,560 R = 0,9996 anotados en la Tabla 2 (Mtododiferencial de anlisis);R: coeficiente dePromedio IJm = 1,014 Ks = 21,884 R = 0,9984 correlacin.Langmuir, Ecuacin (21):

Spline IJm = 0,8867 Ks = 14,376 R = 0,9996Leduy y Zajic IJm = 1,0460 Ks = 26,147 R = 0,9958Promedio IJm = 0,9598 Ks = 19,776 R = 0,9989

Eadie-Hofstee, Ecuacin (22):

Spline IJm = 0,8723 Ks = 13,721 R = 0,9984Leduy y Zajic IJm = 1,0725 Ks = 27,439 R = 0,9810Promedio IJm = 0,9483 Ks = 18,847 R = 0,9982

I Tabla 4. Parmetros de la Ecuacin de Monod obtenidos por el mtodo integralde anlisis con el programa C:IGWBASIClMONOD.BAS, resumido en laTabla 5, para un conjunto de valores de crecimiento de biomasa y consumo desustrato, (Valores anotados en las columnas A, B,y C de la Tabla 1, detblcidosde la informacin presentada por Herbert et al, 1956)yxls = 0,53 (g clulas secas) / (g glicerol utilizado)

m M = 0,8528 (hora):'

Ks = 12,326 (mg glicerol) / (litro de medio)Estos valores coinciden con los informados por Herbert et al.,1956:

yxls = 0,53 g/gm M = 0.85 (hora):'Ks = 12,3 mg/litro.

- Langmuir, Ecuacin (21):Variable independiente: datos de lacolumna F (fabla 1); Variabledependiente: columna R: mtodoSpline; columna Q: mtodo deLeduyy Zajic; columna V: mtodode la velocidad especficapromedio de crecimiento.

- Eadie-Hofstee, Ecuacin (22):Variable independiente: datos delas columnas P, O YU (Tabla 1 )para los mtodos de Spline, Leduyy Zajic, y velocidad especficapromedio de crecimiento,respectivamente. Variabledependiente: datos de las columnasL, K YS (fabla 1 ) para losmtodos de Spline, Leduy y Zajic,y velocidad especfica promedio decrecimiento, respectivamente.

_____ ____;;;,___~------JIIINGENIERIA E INVESTIGACION I

ITablaS. Programa C:IGWBASIC1MONOD.BAS. Gales, W.E.,yMarlar, 1968; Moser, 1988;Reklaitis, G. v., Ravindran, A., and Ragsdell; 1983; Ong,SL 1983;Rolz Carlos, 1989.10CLS20 PRINT "MONOD.BAS: METODO INTEGRAL DE ANALlSIS"30 PRINT "EVALUACION DE LOS PARAMETROS DE LA ECUACiN DE MONOD"40 PRINT50 PRINT "REFERENCIAS:"60 PRINT70 PRINT "Gates, W.E., y Marlar, J.T., Water PolI."80 PRINT "Control Fed. 40: R 469,1968"90 PRINT100 PRINT "Moser, A., Bioprocess Technology, Kinetics"110 PRINT "and Reactors, Springer Verlag, 1988"120 PRINT130 PRINT "Ong, S. L., Biotechnol. Bioeng. 25: 2347,1983"140 PRINT150 PRINT "Reklaitis, G.V., Ravindran, A. and Ragsdell,"160 PRINT 'KM., Engineering Optimization, Methods and"170 PRINT "Applications, John Wiley & Sons, 1983"180 PRINT190 PRINT "Rolz Carlos, Curso: Ingenieria de Reacciones"200 PRINT ''y Procesos Biologicos. Instituto Centroamericano"210 PRINT "de Investigacin y Tecnologia Industrial, Icaiti,"220PRINT "Programa: MOINTXS.BAS,1989"230 PRINT240 PRINT "PULSE ENTER !"250 ANS$ = INPUT$(1)260 CLS270 FOR X = 1 TO 10000280 NEXT X290 CLS:KEY OFF300 GOSUB 1050310 CLS320 WHILE CMD < >3330 ON CMD GOTO 360,640340WEND350 GOTO 1030360 PAGINA% = 1370 GOSUB 1200380 REM SUMINISTRAR DATOS Y CONSTANTES390 PRINT400 INPUT "Conc.inicial de biomasa y sustrato ";CXO,CSO410 PRINT420 INPUT "Numero de pares de datos, incluir datos para t=O ";N430 PRINT4401=N450 DIM CS(I),T(I),CX(i),X(I),Y(I),A(I),E 1 (I),XX(I),TT(I)460 FOR I = 1 TO N470 INPUT "Conc. biomasa, sustrato, tiempo ";CX(I),CS(I),T(I)

INGENIERIA E INVESTIGACION

480 NEXT I490 PRINT500 CLS510 REM CONCENTRACiN DE BIOMASAY DE SUSTRATO520 PRINT SPC(10);"DATOS EXPERIMENTALES"530 PRINT540 PRINT SPC(5);"Conc.biomasa";SPC(5);"Conc.sustrato";SPC(5);"Tiempo"550 PRINT560 F1 $ =" ##" + " ###.## " +SPACE$(5) + - ### ## n + SPACE$(5) + "###.##"570 FOR I = 1 TO N580 PRINT USING F1 $;1,CX(I),CS(I),T(I)590NEXT I600 PRINT610 PRINT "PULSE ENTER!"620 ANS$ = INPUT$(1)630 CLS640 IF PAGINA% > 1 THEN PRINT CHR $ (12);650 GOSUB 1200660 REM CALCULO DEL RENDIMIENTO CELULAR670 YE = (CX(N)-CXO)/(CSO-CS(N))680 REM CALCULO DE AP690 AP=YElCXO700 REM CALCULO DE X'S E Y'S SEGUN ONG710 FOR 1=1TON720 X(I)=LOG(1 +AP*(CSO-CS(I)IT(I)730 Y(I) = LOG(CS(I)/CSO)IT(I)740 NEXT I750 REM SUBRUTINA DE AJUSTE POR MINIMOS CUADRADOS760 L=2770 INPUT" Criterio de convergencia, (se sugiere 1 E-3): " ;E780 E1 =.5790 GOSUB 1740800 GOSUB 1230810 REM CALCULO DE MUMAX y KS820 MUMAX=A(2)/(A(1)-1)830 KS = 1 /AP) + CSO)/(A(1)-1)840 PRINT850 PRINT "Criterio de convergencia usado: ";E860 PRINT870 PRINT "El valor calculado del rendimiento Y es: ";YE880 PRINT890 PRINT "Velocidad maxima de crecimiento, MUMAX ";MUMAX900 PRINT910 PRINT "El valor estimado constante Ks es: ";KS920 PRINT930 PRINT "Desviacin estandar del ajuste ",940 PRINT INT(1 0000000#*D)/1 0000000#950 PRINT960 PRINT "Numero de iteraciones requeridas: ";M970 PRINT980 PRINT "PULSE ENTER !"

______________________________________________ ~rn~~~~ruA~E_~~~TI~GA~C~IO_N1III

990 ANS$ = INPUT$(1)1000 WHILE CMD < > 31010 ON CMD GOTO 290,2901020WEND1030 END1040 REM VENTANA DE MENU PRINCIPAL1050 PRINT" MENU PRINCIPAL"1060 PRINT1070 PRINT " 1. Ingreso datos experimentales"1080 PRINT " 2. Reiniciar calculo con nuevos valores parametros"1090 PRINT "3. Terminar el calculo"1100 PRINT1110 INPUT "Favor seleccione nmero y luego pulse ENTER !:",CMD1120 PRINT1130 PR INT" PU LSE ENTER !"1140 WHILE CMD < > FIX(CMD) OR CMD31150 BEEP1160 PRINT SPC(40);1170 INPUT "Favor entre 1.2 o 3: ".CMD1180 WEND1190RETURN1200 PRINT "CALCULO DE PARAMETROS DE MONOD"1210 RETURN1220 REM SUBRUTINA DE AJUSTE DE LA CURVA POR MINIMOS CUADRADOS1230 FOR 1=1TO L1240 E1(1)=E11250 NEXT I1260 M =01270 REM FIJAR RESIDUAL PARA EL ENSAYO1280 L1 = 1000000!1290 REM RECORRER TODOS LOS PARAMETROS1300 FOR I = 1 TO L1310AO=A(I)1320 REM OBTENER EL VALOR DEL RESIDUAL1330 A(I) =AO1340 GOSUB 15901350 REM ALMACENAR EL RESULTADO EN MO1360 MO = L21370 REM REPETIR PARA M11380 A(I) =AO*(1-E1 (1))1390 GOSUB 15901400 M1 =L21410 REM CAMBIAR EL INTERVALO SI ES NECESARIO1420 REM SI LA VARIANZA AUMENTA, DIVIDA E1 (1) EN DOS PARTES IGUALES1430 IF M1 > MO THEN E1 (1)= -E1 (1)/21440 REM SI LA VARIANZA DISMINUYE, AUMENTE E1(1)1450 IF M1 MO THEN A(I) = AO1480 IF M1 > MO THEN GOTO 13401490 NEXT I

11 INGENIERIA E INVESTIGACION---1 ----.;;;..;.~ -

1500 REM FIN DE UN PASO COMPLETO1510 REM ENSAYO DE CONVERGENCIA1520 M=M+11530 IF L2 = O THEN RETURN1540 IF ABS((L 1 -L2)/L2) < E THEN RETURN1550 REM SI ALCANZA ESTE PUNTO, SE REQUIERE OTRO PASO1560 L1 = L21570 GOTO 13001580 REM SUBRUTINA DE GENERACiN DE RESIDUAL1590 L2 = O1600 FOR J=1 TO N1610X=X(J)1620 REM OBTENCiN DE LA FUNCION1630 GOSUB 16901640 L2 = L2 + (Y(J)-Y) * (Y(J)-Y)1650 NEXT J1660 O = SQR(L2I(N-L))1670 RETURN1680 REM SUBRUTINA DE FUNCIONES1690Y=A(1 )*X-A(2)1700 RETURN1710REM LECTURA ESTIMADOS DE PARAMETROS INICIALES1720 ANS$ = INPUT$(1)1730 CLS1740 INPUT "Estimado inicial de Ks para iniciar calculo:";KS1750 PRINT1760 PRINT " Estimado inicial de Ks: "; KS1770 A(1) =(1 + (CXO +YE*CSO)/(YE*KS))1780 PRINT1790 INPUT" Estimado inicial de MUMAX para iniciar calculo:";MUMAX1800 PRINT " Estimado inicial MUMAX: " ;MUMAX1810 A(2) = MUMAX* (CXO + YE*CSO)/(YE* KS)1820 RETURN

Tabla 6. Programa C:\GWBASIC\LEDUYZAJ.BAS. Leduy, A.L.,y Zajic, J.E., 1973; Oner, M.O., et al., 1986;Rolz, Carlos, 1989.

10 CLS20 PRINT "LEDUYZAJ.BAS: METODO DIFERENCIAL DE ANALlSIS "30 PRINT40 PRINIT "PROCEDIMIENTO GEOMETRICO DE DIFERENCIACION DE UNA"50 PRINT "FUNCiN EXPERIMENTAL EN UN PUNTO"60 PRINT70 PRINT80 PRINT "REFERENCIAS: "90 PRINT100 PRINT "Leduy, A.L.,y Zajic, J.E., Biotechnol. Bioeng. "110 PRINT" 15: 805,1973"120 PRINT130 PRINT "Oner, M.O., et al., Biotechnol. Bioeng.140 PRINT "28: 902,1986"

INGENIERIA E INVESTIGACION 11-------

150 PRINT160 PRINT "Rolz Carlos, Instituto Centroamericano de "170 PRINT "Investigacin y Tecnologia Industrial. ICAITI"180 PRINT "Curso de Ingenieria de Reacciones y Procesos"190 PRINT "Biologicos, Guatemala, 1989.Programa: DIFLEZ.BAS"200 PRINT210 PRINT "EVALUACiN DE LAS VELOCIDADES DE CRECIMIENTO DE BIOMASA"220 PRINT "Y DE CONSUMO DE SUSTRATO A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES"230 PRINT240 PRINT "PULSE ENTER !"250 ANS$ = INPUT$(1)260 CLS270 FOR X = 1 TO 10000280 NEXT X290 CLS:KEY OFF300 GOSUB 790310 CLS320 WHILE CMD < >3330 ON CMD GOTO 360,440340WEND350 GOTO 770360 PAGINA% = 1370 REM SUMINISTRAR DATOS380 PRINT390 INPUT "Numero de valores de la variable dependiente ";V400 PRINT410W=V+3420 DIM TET A(W),CX(W),ZMAB(W),ZMBC(W),DCX(W),CXCR(W),ZMNO(W),ZNNO(W)430 DIM ZMMO(W),ZNMO(W),TETAC(W)440 FOR I = 1 TO V450 INPUT "IND,DEP";TETA(I),CX(I)460 NEXT I470 REM ESCRIBIR DATOS EXPERIMENTALES480 CLS490 PRINT SPC(16);" DATOS EXPERIMENTALES"500 PRINT510 PRINT SPC(5); "Variable independiente";SPC(5); "Variable dependiente"520 PRINT530 F1 $ =" ##" + "####.####" + SPACE$(10) +" ####.####"540 FOR 1=1 TO V550 PRINT USING F1 $;1,TETA(I),CX(I)560 NEXT I570 PRINT580 PRINT "PULSE ENTER !"590 ANS$ = INPUT$(1)600 IF PAGINA% > 1 THEN PRINT CHR$(12);610 CLS620 PRINT SPC(10); "DATOS CALCULADOS"630 PRINT640 PRINT SPC(5); "1ND";SPC(17); "DERIVADA"650 PRINT

INGENIERIA E INVESTIGACION

660 GOSUB 930670 F1 $ = " ##.## " @- + SPACE$(8) + " ####.## "680 FOR I = 1 TO V690 PRINT USING F1 $; TETA(I),DCX(I)700 NEXT I710 PRINT720 PRINT "PULSE ENTER !"730 ANS$ = INPUT$(1)740 WHILE CMD < >3750 ON CMD GOTO 290,290760WEND770 CLS780 END790 PRINT "MENU PRINCIPAL"800 PRINT810PRINT "1. Ingreso datos experimentales"820 PRINT "2. Reiniciar calculo"830 PRINT "3. Terminar calculo"840 PRINT850 INPUT "Favor seleccione numero: " ,CMD860 WHILE CMD < > FIX(CMD) OR CMD< 1 OR CMD>3870 BEEP880 INPUT "Favor entre 1,2 o 3: " ,CMD890WEND900 RETURN910 PAGINA% =PAGINA% + 1920 REM SUBRUTINA LEDUY y ZAJIC9301=1940 DCX(I) = (CX(I + 1)-CX(I))/(TETA(1 + 1)-TETA(I))950 ZMAB(I + 1) = (CX(I + 1)-CX(I))/(TETA(1 + 1)-TETA(I))960 2MBC(I + 1) = (CX(I + 2)-CX(1 + 1))/(TET A(I + 2)-TETA(I + 1))970 IF ABS(ZMAB(I + 1)-ZMBC(1 + 1)) < = .001 THEN 980 ELSE 1030980 DCX(I + 1) = .5 * (ZMAB(I + 1) + ZM BC(I + 1))990 1+11000 IF (1+ 2) < = V THEN 1010 ELSE 10201010 GOTO 9501020 IF kVTHEN 1110 ELSE 11301030 ZMNO(I + 1) = (TETA(I + 1)-TETA(1 + 2))/(CX(1 + 2)-CX(1 + 1))1040 ZNNO(I + 1) =.5*(CX(1 + 1) +CX(I + 2))-ZMNO(1 + 1)*.5*(TETA(1 + 1) +TETA(I +2))1050 ZMMO(I + 1) = (TETA(I)-TETA(I + 1))/(CX(1 + 1)-CX(I))1060 ZNMO(I + 1) =.5*(CX(I) +CX(I + 1))-ZMMO(I + 1)*.5*(TET A(I) +TET A(I + 1))1070 TETAC(I + 1) = (ZNNO(I + 1)-ZNMO(1 + 1))/(ZMMO(1 + 1)-ZMNO(1 + 1))1080 CXCR(I + 1) =ZMMO(I + 1)*TET AC(I + 1) +ZNMO(I + 1)1090 DCX(I + 1) = (TETAC(I + 1)-TETA(I + 1))/(CX(I + 1)-CXCR(I + 1))1100 GOTO 9901110 DCX(I + 1) = (CX(I + 1)-CX(I))/(TETA(1 + 1)-TETA())1120 GOTO 9901130 RETURN

lNGENJERlAEINVESTIGACION 11

Tabla 7. Programa C:\GWBASIC\SPLlNE.BAS. Rolz, C., 1989; Tao, B.Y., 1987.

10 CLS:KEY OFF20 PRINT "SPLlNE.BAS: METODO DIFERENCIAL DE ANALlSIS"30 PRINT40 PRINT50 PRINT "EVALUACiN DE LOS COEFICIENTES DE LA CURVA"

. 60 PRINT "DE AJUSTE DE UNA FUNCiN EXPERIMENTAL"70 PRINT80 PRINT "REFERENCIAS:"90 PRINT100 PRINT "Rolz Carlos, Instituto Centroamericano de"110 PRINT "Investigacin y Tecnologia Industrial, ICAITI"120 PRINT "Curso de Ingenieria y Procesos Biologicos"130 PRINT "Guatemala,1989"140 PRINT150 PRINT "Tao. B.Y .. Chem. Eng. October26, p. 109,1987'160 PRINT170 PRINT180 PRINT" EVALUACiN DE VELOCIDADES DE CRECIMIENTO"190 PRINT "DE BIOMASA y CONSUMO DE SUSTRATO A PARTIR"200 PRINT "DE DATOS EXPERIMENTALES"210 PRINT220 PRINT "PULSE ENTER !"230 ANS$ = INPUT$, 1)240 CLS250 INPUT "NUMERO DE PUNTOS DE DATOS" ;NUM260 PRINT270 PRINT "X: variable independiente: Y: variable independiente"280 PRINT290 DIM XDATA(NUM),YDATA(NUM)300 FOR 1=0 TO NUM-1310 INPUT "X,Y";XDATA(I), YDATA(I)320 NEXT I330 GOTO 390340 OPEN "0",#1 ,N$:WRITE #1, NUM350 FOR N = O TO NUM~1360 WRITE #1, XDATA(N):WRITE #1, YDATA(N)370 NEXT N380 CLOSE390 GOTO 480400 OPEN "1",#1,N$410 INPUT #1 ,NUM420 DIM XDATA(NUM),YDATA(NUM)430 FOR I =0 TO NUM-1440 INPUT #1, XDATA(I):INPUT #1,YDATA(I)450 NEXT I460 CLOSE470 ANS$ = INPUT$(1)480 N =NUM:CLS490 PRINT "RESULTADOS"

11 INGENIERlA E INVESTIGACION...___-----=-------------

500 PRINT510 PRINT520 PRINT "X: Variable independiente"530 PRINT "V: Variable dependiente"540 PRINT "B: primera derivada"550 PRINT "C,D: coeficientes"560 PRINT570 DIM A(N),B(N),C(N),D(N), P(N), O(N),R(N),S(N), STEPSIZE(N)580 REM XDATA(n), VDATA(n) son arreglos de n puntos de datos

. 590 REM A(N),B(N),C(N),D(N) son arreglos de coeficientes polinomiales600 REM en la torma f (x) = a (i) + b (i) .. x + c(i)" xA2 + d (i) .. xA3610 REM PASO 1 DEL ALGORITMO6200(0) = 1 :O(N) = 1 :R(O) =O:S(O)=O:S(N) =O:C(N) =0630 FOR 1=0TO N:A(I)=VDATA(I):NEXT I640 REM PASO 2 DEL ALGORITMO650 FOR I =OTO N-1660 STEPSIZE(I) =XDATA(I + 1)-XDATA(I)670 NEXT I680 REM PASO 3 DEL ALGORITMO690 FOR 1=1 TO N-1700 (1)=3"A(I+ 1)*STEPSIZE(I-1 -(A(I)"(XDAT A(I+ 1)-XDAT A(I-1))) + (A(I-1 )*STEPSIZE(I)))/ZTEPSIZE(I-1)

"STEPSIZE(I710 0(1) =2"(XDATA(1 + 1)-XDATA(I-1 -(STEPSIZE(I-1 )*R(I-1720 R(I) = STEPSIZE(I)/O(I)730 S(I) = (P(I)-(STEPSIZE(I-1) "S(I-1 )))/0(1)740NEXT I750 REM PASO 4 DEL ALGORITMO760 FOR 1=0 TO N-1770 J=N-1-1780 C(J) = S(J)-(R(J) "C(J + 1790 B(J) =A(J + 1)-A(J/STEPSIZE(J-(STEPSIZE(J)"(C(J + 1) +2"C(J/3)800 D(J) = (C(J + 1)-C(J/(3 .. STEPSIZE(J810 NEXT I

820 REM IMPRIMIR LOS COEFICIENTES DE CADA INTERVALO830 FOR 1=0TO N-1840 PRINT" X =" ;XDATA(I);SPC(3);" V =" ;VDATA(I); SPC(3);" 8 =" ;8(1); SPC(3); "C =" ;C(I);SPC(3); " O = ";0(1)850 NEXT I860 END

______________________ .....:IN:.:,G.:;:E:::,NIE:=RIA:::.:.;:E::.;INVES::...:.;::::::.;TI:,::GA::.::::;CI:,:::O.:;.:.N_II

1IiII~~IN~GE~~~~~E~~~~TI~GA~C~I~O~N~ _