Download - Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

7/26/2019 Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

1/30

07/04/16 07:10 MA-1223 Aljabar Linear 1

Aljabar Linear ElementerAljabar Linear Elementer

MA1223MA1223

3 SKS3 SKS


2/30


Jadwal KuliahJadwal KuliahHari IHari I jamjam

Hari IIHari II jamjam

Sistem PenilaianSistem PenilaianUTSUTS 40%40%

UASUAS 40%40%

QuisQuis 20%20%


3/30


Silabus :

Bab I Matriks dan Operasinya

Bab II Determinan Matriks

Bab III Sistem Persamaan Linear

Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang

Bab V Ruang Vektor

Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam

Bab VII Transformasi Linear

Bab VIII Ruang Eigen


4/30


REFERENSI :

Anton H., Rorres, C., 1995, Elementary Linear

Algebra :Applications Version, 6th edition, JohnWilley and Sons, Ne !or"

Ari#in, A., $%%1, Aljabar Linear, edisi "ed&a,'ener(it I)*, *and&n+

&r(in, J. R., 199$, Modern Algebra:AnIntroduction, -rd edition, John Willey and Sons,Sin+aore

/reys0i+ E., , 199-,Advanced EnginereengMathematics, th edition, John Willey 2 Sons,

)oronto 3eon, S. J., $%%1, Aljabar Linear dan Aplikasinya,

ter4eahan 'ener(it Erlan++a, Ja"arta


5/30


1.Matriks dan Operasinya

Sub Pokok Bahasan

Matriks dan Jenisnya

Operasi Matriks

Operasi Baris Elementer

Matriks Invers (Balikan)

Beberapa Aplikasi Matriks

Representasi image (citra)

Chanel/Frequency assignment Operation Research

dan lain-lain.


6/30


1. Matriks dan Jenisnya

Notasi Matriks

Matriks A berukuran (Ordo)mxn

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

11

21111

11111 Baris pertama

Kolom kedua

Unsur / entri /elemen ke-mn

(barismkolom n)


7/30


MisalkanAdanBadalah matriks berukuran sama

AdanBdikatakan sama (notasiA=B)

jika

aij=bijuntuk setiapidanj

Jenis-jenis Matriks

Matriks bujur sangkar (persegi)Matriks yang jumlah baris dan jumlahkolomnya adalah sama (nxn)

Contoh :

=210

121012

B ns&r dia+onal


8/30


Matriks segi tigaAda dua jenis, yaitu matriks segitiga atas dan bawah.

Matriks segi tiga atas

Matriks yang semua unsur dibawah unsur diagonalpada kolom yang bersesuaian adalah nol.

Matriks segi tiga bawah Matriks yang semua unsur diatas unsur diagonalpada kolom yang bersesuaian adalah nol.

=

800

710

395

E

=

203

015

002

F


9/30


Matriks Diagonal

Matriks bujur sangkar dimana setiap unsur

yang bukan merupakan unsur diagonal adalah nol.

Matriks satuan(Identitas)

Matriks diagonal dimana setiap unsur diagonalnya

adalah satu.

=

100

020

003

D

=100

010001

I


10/30


Transpos Matriks

Matriks transpos diperoleh dengan menukarbaris matriks menjadi kolom seletak, atau

sebaliknya.Notasi At(hasil transpos matriks A)

Contoh :

maka

Jika matriks A = Atmaka matriks A dinamakan

matriks Simetri.Contoh :

=01-2-3

12

A

= 02-1

1-32t

A

=

31

12A


11/30


2. Operasi Matriks

Beberapa Operasi Matriks yang perlu diketahui :

1. Penjumlahan Matriks

2. Perkalian Matriks

Perkalian skalar dengan matriks

Perkalian matriks dengan matriks

3. Operasi Baris Elementer (OBE)


12/30


Penjumlahan Matriks

Syarat : Dua matriksberordo sama dapat

dijumlahkan

Contoh

a.

+

b.

+

dc

ba

hg

fe

++

++=

hdgc

fbea

43

21

87

65

=

10

6 8

12


13/30


Perkalian MatriksPerkalian Skalar dengan MatriksContoh :

=

Perkalian Matriks dengan MatriksMisalkan A berordopxqdan B berordomxn

Syarat : A X B haruslahq=m hasil perkalian AB berordopxn

B X A haruslahn=phasil perkalian BA berordomxq

Contoh :Diketahui

dan

sr

qpk

skrk

qkpk

32

xfed

cbaA

=

23

xur

tq

sp

B

=


14/30


Maka hasil kali A dan B adalah :

MisalkanA,B,Cadalah matriks berukuran sama

dan , merupakan unsur bilangan Riil,

Maka operasi matriks memenuhi sifat berikut :

1. A+B=B+A

2. A+ (B+C) = (A+B) +C (A+B) =A+ B

4. ( + ) (A) =A+A

=

= 23

32

x

x ur

tq

sp

fed

cbaAB

ap+bq+cr

dp+eq+fr

as+bt+cu

ds+et+fu 2x2


15/30


=

01-

2-312

A

Contoh :

Diketahui matriks :

Tentukana.A At

b.AtA


16/30


Jawab :

=

02-1

1-32tA

maka

=

01-

2-3

12tAA

02-1

1-32

sedangkan

01-

2-3

12

= 02-11-32

AAt

=

=

5

-2

-2

13

-2

-3

1-3

4

-4-4 514


17/30


Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi baris elementer meliputi :

1. Pertukaran Baris

2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol

3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan

konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris

yang lain.

Contoh : OBE 1

=

420

321

1-2-3-

A

420

1-2-3-

321

~21

bb

Baris pertama (b1) ditukar

dengan baris ke-2 (b2)


18/30


OBE ke-2

b1~

OBE ke-3

=

311-2

7120

4-04-4

A

311-2

7120

1-01-1

Perkalian Baris pertama (b1)

dengan bilangan

=

311-2

7120

1-01-1

A

+

7120

1-01-1

~2 31 bb

Perkalian (2) denganb1lalu

tambahkan pada baris ke-3 (b3)

0 1 1 5


19/30


Beberapa definisi yang perlu diketahui :

Baris pertama dan ke-2 dinamakanbaris tak nol, karenapada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.

Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada bariske-2 dinamakanunsur pertama tak nolpada barismasing-masing.

Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama)dinamakansatu utama.

Baris ke-3 dinamakanbaris nol, karena setiap unsurpada baris ke-3 adalah nol.

=0000

1300

3111

B


20/30


Sifat matriks hasil OBE :

1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah1 (dinamakan satu utama).

2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendahmemuat 1 utama yang lebih ke kanan.

3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol),maka ia diletakkan pada baris paling bawah.

4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsuryang lainnya adalah nol.

Matriks dinamakan esilon baris jika

dipenuhi sifat 1, 2, dan 3Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika

dipenuhi semua sifat

(Proses EliminasiGauss)

(Proses EliminasiGauss-Jordan)


21/30


Contoh :

Tentukan matrik eil!n bari tere"uki "ari

#a$ab :

=311-27120

1-01-1

A

+

7120

1-01-1

2~31

bbA

1-01-1

~32

bb

0 1 1 5

0 1 1 5

0 2 1 7


22/30


+

5110

1-01-1

2~ 32 bbA

5110

1-01-1

~3b

+3100

1-01-1

~23 bb

+3100201012 bb

0 0 -1 -3

00 1 3

0 2

0

1

1 0 1

0


23/30


Perhatikan hasil OBE tadi :

Setiap baris mempunyai satu utama.Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena jumlah

baris lebih sedikit dari jumlah kolom

(kolom 4 tidak mempunyai satu utama)

31002010

1001


24/30


Invers Matriks

Misalkan A adalah matriks bujur sangkar.

B dinamakan invers dari A jika dipenuhiA B = I dan B A = I

Sebaliknya, A juga dinamakan invers dari B.

Notasi A = B-1

Cara menentukan invers suatu matriks A adalah

( )1| AI( )IA |

7*E

8

Jika OBE dari A tidak dapat menghasilkan matriksidentitas maka A dikatakantidak punya invers


25/30


Contoh :

Tentukan matriks invers ( jika ada ) dari :

Jawab :

b1b 2

~

=122

011

123

A

100

010

001

122

011

123

100

001

010

122

123

011

010011-3b1+b22b1+b3

0 -1 1

00 21 1

0

0

-1 -3


26/30


-b2

-b3+ b2

-b2+ b1

Jadi Invers Matriks A adalah

120

010

100

011

120

010

100

011

120

111

100

010

120

031

010

100

110

011

=

120

111

101

1A

1 1 -1 3 00

10 0 1-1 -1

1110

0 0


27/30


Perhatikan bahwa :

dan

maka

=

120

111

1011A

=

122

011

123

A

=

120

111

101

210

121

012

1

AA

=100010

001


28/30


11 A

k

Berikut ini adalah sifat-sifat matriks invers :

i. (A-1)-1=A

ii. JikaA,Bdapat dibalik atau memiliki inversmaka (A.B)-1=B-1.A-1

iii. MisalkRiilmaka(kA)-1=

iv. Akibat dari (ii) maka (An)-1= (A-1)n


29/30


Latihan

Diketahui

, dan

Tentukan (untuk no 1 5) matriks hasil operasi berikut ini :

1.AB

2. 3CA

3. (AB)C

4.(4B)C + 2C

=

11

21

03

A

=

20

14B

=

513

241C


30/30


Untuk Soal no. 5 7, Diketahui :

dan

5. Tentukan :D + E2 (dimanaE2 =EE)6. Tentukan matriks bentuk eselon baris tereduksi dariA,

B, C, D, dan E

7. Tentukan matriks invers dariD danE(jika ada)

=

210

121012

D

=144

010

023

E

Download - Docfoc.com-Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

Top Related