Distribuciones especiales de variable continuaDistribucin NormalDistribucin UniformeDistribucin ExponencialDistribucin GammaDistribucin WeibullLa Distribucin NormalCaractersticas y propiedades: Es una distribucin simtrica, unimodal, centrada en su valor medio Q Tiene dos parmetros: Aprox. El 68.27% del reaen el intervalo Aprox. El 95.45% del rea en Aprox. El 99.7% del rea en el intervalo Si X e Y son variable independientes normales, entonces la variable:X + Y tambin es normal Si X1, X2, . . . ,Xnsontodasvariablesnormalesindependientes,entonces:Y = X1 + X2 + . . . +Xn tambin tiene distribucin normal. Esladistribucinconmsaplicacionesenunanlisisestadsticodedatos.Q s W2 Q s W3 Q s W2QyFuncin de probabilidad normal Funcin de probabilidad normalLa variable X definida en R se llama variable normal conparmetros u y o2 si su funcin de densidad deprobabildad es:222) x (e21) x ( fWQ

W T!

Notacin: X ~ N(u;o2)La distribucin normal (cont.) La distribucin normal (cont.)Xf(x)u uW T21Curva o campana de GaussFuncin de distribucin normal2( )2212xx dx e gu

ox o Entre la media y una desviacin tenemos siempre la misma probabilidad: aproximadamente el 68.27%.Si tomamos intervalos centrados en , y cuyos extremos estna distancia ,tenemos probabilidad 68.27%a distancia 2 ,tenemos probabilidad 95.45%a distancia 3 tenemos probabilidad 99.7% Entre la media y dos desviaciones aprox. 95.45%Valor esperado y varianza22Si: ( ; ), entonces:( ) V( )p QW! Q ! WLa distribucin normal estndar La distribucin normal estndarzf(z)0u = 0o = l2z-2e21) z ( fx=Z u=oObservaciones En Minitab, para calcular reas bajo la curvanormal o valores de una variable X se debenconocer los valores de En caso no se conozca alguno de estosvalores, o ambos, se debe utilizar laestandarizacin asignando 0 a la media y 1 ala desviacin estndar2uyDISTRIBUCINUNIFORMEf(x)0E F x1F-E21, x - f (x) 0 ,entr s c s s( - ) E(x)V(x)2 12E e e FFE! EF FE! !Notacin: X ~ U(E;F)Funcin de distribucin Ejemplo: Ejemplo:El tiempoquedemora Pedrode sucasaa laUniversidadsedistribuyede manerauniformeentre 40y 60 minutos. Siendo la hora de ingreso8:00 am, cul es la probabilidad de quePedrollegue tarde si sali de su casa a las 7:10 am ?DISTRIBUCIN EXPONENCIALLavariablealeatoriaXqueesigual al tiempoentre ocurrencias sucesivas de unprocesodePoisson con media P>0, tiene distribucinexponencial con parmetro F[F = 1/P].Notacin: X ~ exp(F)x1 e , x>0f (x)0 , entr s c s s

F! FFuncin de Probabilidad2( )E(X) V(X)2 12EF FE= =Notacin: X ~ U(E , F)DISTRIBUCION GAMMAUna v.a exponencial describe el intervalo hasta quese obtiene la primera ocurrencia en un proceso dePoisson. Unageneralizacinesel intervalohastaque se presentan E conteos en un proceso dePoisson. La variable aleatoria que es igual alintervalo en el que ocurren E conteos en un procesode Poisson es una variable aleatoria GAMMA.Notacin: X ~ G(E;F), donde F = 1/PFUNCIN DE PROBABILIDADx1 - e x) ( ) x (

l!ESPERANZA: E(X) = EFVARIANZA: V(X) = EF2DISTRIBUCION de WEIBULLSeempleaamenudoparamodelar el tiempohasta presentarse una falla en muchos sistemasfsicos diferentes. Los parmetros de ladistribucin proporcionan mucha flexibilidadpara modelar sistemas en los que el numero defallas aumenta con el tiempo.Notacin: X ~ W(E;F), donde E se llamaparmetro de forma y F parmetro de escala.FUNCIN DE PROBABILIDADx1 - e x) x ( f

= =11 ) X ( E

)

`

|

l l

l =

) X ( VDistribucin Ji-cuadradoSe dice que X es una v.a. que tiene unadistribucin Ji-cuadrado con m grados de libertad,si su funcin de probabilidad es:Notacin:E(X) = m y V(X) = 2mm 12 2m2m2112 ( )f(x) x e x 0 ! u2(m)pGDistribucin Ji-CuadradoSuma de variables con distribucin Ji-cuadrado(Propiedad reproductiva) Sean X1 y X2 variables aleatorias independientes, cadauna con una distribucin Ji-cuadarado con my ngrados de libertad respectivamente, si se define la v.a.Y de la siguiente manera:Y = X1+X2entonces Ytendr una distribucin Ji-cuadrado conm + n grados de libertad:2(m n)Y

pGDistribucin t de StudentSe dice que X es una v.a. que tiene una distribucin T deStudent con mgrados de libertad, si su funcin deprobabilidad es:El valoresperadoylavarianzadeestavariableestndadas por las siguientes expresiones: m12 m122m2x(x) 1 xmm R

! ( ) 0, ( ) 22mE X V X mm! !"

Distribucin T-StudentDistribucin F de FisherSe dice que X es una v.a. que tiene una distribucinF deFisherconmgradosdelibertadenel numeradoryngradosdelibertadenel denominador, si sufuncindeprobabilidad es:En este caso:222122 2( )( ) ( ) 0( ) ( )(1 )mmmnmnmnm nmnxf x xx

+! "+ +

22( 2)( ) 2 , ( ) 42 ( 2)( 4)n n n mEX n VX nn m n n = V > = V >

Distribucin F de FisherRelaciones importantes entre estas distribucionesTeorema 1:SeaZunav.a. condistribucinnormal estndar, esdecir Z~N(0,1), entonces la variable aleatoria Z2tendrdistribucin Chi-cuadradacon un grado de libertadTeorema 2:Sean Zi i=1,2,,k, v.a. independientes con distribucinnormal estndar. Entonces:2) 1 (2~G Z2 2 2 2 21 2 ( )1... ~kk i kiZ Z Z Z= = G Teorema 3:Sean Z y X, v.a. independientes, donde Z~N(0,1), normalestndar yX~G2(m) , Chi-cuadradaconmgrados delibertad. Entonces tendremos quelav.a. Ttieneunadistribucint de Student conmgrados de libertad,donde:( )~mZT tXm= Teorema 4:SeanXeY, v.a. independientes, dondeX~G2(m) , Ji-cuadrado conmgrados de libertas e Y~G2(n), Ji-cuadrado con n grados de libertad. Entonces tendremosque la v.a. F tiene una distribucinF deFisher con mgrados de libertad en el numerador y n grados delibertad en el denominador, donde:( , )//mnX mF FY n! :