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Distribuciones de Probabilidad

Aplicaciones a la Ingeniería de MantenimientoHenry Villarroel

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADUNIDAD III

DISTRIBUCION EXPONENCIAL

Es la distribución que mejor modela la tasa de falla constante o vida útil de los equipos

Muchos componentes electrónicos tales como circuitos, transistores muestran un comportamiento de falla exponencial

Fre

cuen

cia

rela

tiva

(%

)

Intervalos de Clase (tiempo)



Modelo matemático

ttf e )(

ttR e )(

t

t

tR

tfth

ee

)(

)()(

0 0

1)(

dttdttRMTBF e

Fre

cuen

cia

rela

tiva

(%

)


Tas

a d

e F

alla

(%

)


)(1)( tRtF

Modelo matemático

ttR e )(

1

MTBFt

368.01

1

)(

eetR

haciendo

Con

fiab

ilid

ad R

(t)

Intervalos de tiempo

0.368

MTBF

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

UNIDAD IIIDISTRIBUCION EXPONENCIAL

ttR e )(

ttR )(ln

Linealizando la ecuación R(t)

22.

)(ln.)(ln..

ii

i

ttn

tRttRtnb i

bxy Aplicando regresión lineal

Ln

R(t

)


0.368

MTBF



Procedimiento para la predicción del MTBF y tasa de falla en la distribución exponencial:

Agrupar los datos y graficar f(t) vs. Tiempo Ordenar la información de los tiempos de operación en orden

ascendente (de menor a mayor) Calcular la probabilidad de falla estadística por:

i= numero de orden de observaciónN=numero total de observaciones

Calcular la probabilidad de supervivencia R(t)=1-F(t) Construir la recta de confiabilidad versus tiempos de operación en

papel exponencial Determinar el MTBF con R(t)=37% aprox. en la grafica

1)(

Ni

tF



4.03.0

)(

Ni

tF 50N20N5020 NNi

tF )(

EJEMPLO DE PATRON DE FALLAEn la tabla siguiente se muestran las horas de operación antes de fallar de un montacargas de la empresa Otinsa. Se desea estimar el MTBF

Horas antes de fallar

Causa de la falla

11 caucho

19 Carburación

28 Sistema hidráulico

15 Sistema de elevación

5 Sistema de dirección

49 Sistema de dirección

2 Caucho

7 Sistema hidráulico



Intervalos (horas)

Fr f (t) No. De sobrevivientes

h (t)

2 - 14 4 0.50 8 0.50

15 - 27 2 0.25 4 0.50

28 - 40 1 0.125 2 0.50

41 - 53 1 0.125 1 1.00

EJEMPLO DE APLICACIÓN DISTRIBUCION EXPONENCIAL (Cont.)

2min X

49max X

47249minmax XXRango

382.2.8 K 1275.114

47ISe toman 4 intervalos



Grafica de f(t) montacargas

0.5

0.25

0.125 0.125

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

O2 - 14 15 - 27 28 - 40 41 - 53

Intervalos de Clase

Fre

cu

en

cia

re

lati

va

(%

)

Grafica de h(t) del Montacargas

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

2.0 - 14.0 15.0 - 27.0 28.0 - 40.0

Intervalos de ClaseT

as

a d

e f

alla

(%

)





Ordinal (i) Tiempo (horas)

F(t) R(t)

1 2 0.0833 0.9167

2 5 0.2023 0.7977

3 7 0.3214 0.6786

4 11 0.4404 0.5596

5 15 0.5595 0.4405

6 19 0.6785 0.3215

7 28 0.7976 0.2024

8 49 0.9166 0.0834

1. Ordenar en forma ascendente

2. Calculo de

3. Calculo de R(t)=1-F(t)4.0

3.0)(

Ni

tF

MTBF=18 horas

R(t)=36.8%



Método Grafico

Resultados

18MTBF

18)(

t

tR e

horas

)(1)( tRtF


Unidad IIIDISTRIBUCION NORMAL

En mantenimiento esta distribución describe el periodo de desgaste de los equipos

También puede ser utilizada para modelar los tiempos de reparación de los equipos



La tasa de falla aumenta aumenta sostenidamente porque los elemento del equipo sufren un proceso de deterioro físico

Se define como una variable aleatoria continua x que es normalmente distribuida con media y varianza

2

2

1

.2

1)(

xt

etf

0

)(1)( dttftR xMTBF

x2

)(.

)(

)(

)()(

tR

Z

tR

tfth



Distribucion normal estándar

Dado que y determinan completamente la distribución normal, entonces en la distribución normal existen familias de distribuciones normales, una de mas cuales la mas importante es la distribución normal estándar( , )

La distribución normal se puede estandarizar con:

0x

1

x

xt

Z

1

0

f x( )

128 x8 9 10 11 12

0

0.5

1

Variable Aleatoria

f(xi)

xi

f(xi)

xi

2

2

.2.

1)1,0,(

z

tf e

dt

z

zF ez

2

2

.2.

1)(

)(1)( zFzR



Ejemplo de aplicación de la distribucion normal En tabla adjunta que se muestra a continuación se muestran los

tiempos de reparación (datos agrupados) de las tareas de mantenimiento de la planta eléctrica P-01. La Gerencia de mantenimiento desea estimar para planificación de la próxima tarea de mantenimiento la probabilidad de reparar la planta eléctrica entre 4 a 10 horas Intervalos de

Clase (horas)Acciones de

mantenimiento

1.1 - 2 5 0.06

2.1 - 4 10 0.18

4.1 - 6 16 0.37

6.1 - 8 22 0.64

8.1 - 10 14 0.81

10.1 . 12 10 0.93

12.1 - 14 5 0.06

14.1 - 16 1 0.01

)(tf

MTTR 6.6 horas14.3 horas



Histograma de Frecuencia Tiempos de Reparacion Planta Electrica

0

5

10

15

20

25

1.1 - 2 2.1 - 4 4.1 - 6 6.1 - 8 8.1 - 10 10.1 - 12 12.1 - 14 14.1 - 16

Intervalos de Clase (horas)

Fre

cuen

cia

de

Cla

se



)08.183.0( TM

)08.183.0( TM

Resolución del Problema

)104( TM Estandarizando los tiempos:

83.0)14.3

61.64()

)(1

xt

Z

08.1)14.3

61.610()(2

xt

Z

?)08.183.0( TM

?)( 21 ZTZM

83.01 Z 08.12 Z 08.12 Z 83.01 Z

= -

)08.1( )83.0(-

0.8599 0.2033-

0.6560 (65.66%) )104( TM


UNIDAD IIIDISTRIBUCION WEIBULL

Es la distribución de vida mas ampliamente utilizada en los análisis para describir la tasa de falla de los equipos, por su versatilidad.

Matemáticamente se define:

/.

1

)( tettf

1)( tth

/)( tetR

h(t)

β=Pendiente o parámetro de forma

α = Parámetro de escala (edad característica de falla)



Características: β<1 tasa de falla

decreciente (Mortalidad infantil)

β =1 tasa de falla constante (vida útil)

β > 1 tasa de falla creciente (desgaste)

)1

1(.

MTBF

)1

1(

= Función Gamma

Casos particulares:

1 MTBF

5.0 .2MTBF



/)( tetR

1

t

3678.01)( etR

6322.0)(1)( tRtF

Haciendo:


0.6322

F(t)PAPEL WEIBULL

t

METODO GRAFICO PARA DETERMINAR LA DISTRIBUCION DE WEIBULL



METODO ANALITICO PARA DETERMINAR LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

/)( tetR

ttLnR )(

LnLnttR

LnLn ..)(

1

axby .

bLntLntn

tRLnLnLnt

tRLnLnLntn

i

ii

22.

))(

1.)

)(1

(..

aLntLntn

tRLnLnLnt

tRLnLnLnt

Lni

i

22

2

.

))(

1(.)

)(1

(.

.

aLn

a

e

Aplicando Regresión Lineal a la ecuación



Procedimiento para la predicción edad característica de falla y modo de falla en la distribución Weibull:

Agrupar los datos y graficar f(t) vs. Tiempo Ordenar la información de los tiempos de operación en orden

ascendente (de menor a mayor) Calcular la probabilidad de falla estadística por:

i = numero de orden de observación N=numero total de observaciones Construir la recta de confiabilidad versus tiempos de operación Determinar la edad característica de falla( ) con F(t)=62.22%

aprox. en la grafica Determinar

1)(

Ni

tF 4.03.0

)(

Ni

tF 50N20N5020 N Ni

tF )(

α

β



EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCION DE WEIBULL El gerente de mantenimiento de una planta eléctrica desea conocer el modo de falla y la

edad característica de falla de un motor diesel. Para este propósito disponen de los tiempos de operación en horas del equipo hasta fallar: 6,23,163,282,215,46,503,92,12,46,20

Intervalos de clase (horas)

Frecuencia de clase

0 – 100 9

100 – 200 1

200 – 300 2

300 – 400 2

400 – 500 0

500 - 600 1

Histograma de Frecuencia Motor Diesel

0

2

4

6

8

10

0 - 100 100 - 200 200 - 300 300 - 400 400 - 500

Intervalos de Clase (horas)

Fre

cuen

cia

de

Cla

se



4.03.0

)(

Ni

tF

RESOLUCION UTILIZANDO EL METODO GRAFICO

Ordinal Tiempo F(t)

1 2 0.0523

2 6 0.1269

3 12 0.2015

4 16 0.2761

5 20 0.3507

6 23 0.4254

7 46 0.500

8 46 0.5746

9 92 0.6492

10 163 0.7239

11 215 0.7985

12 282 0.8731

13 503 0.9478

Graficar la recta de confiabilidad F(t) vs. Tiempo en papel Weibull

α = 85 horas

62.22 %



Resultados

Método Grafico

85

6.0

6.0

85)(

t

tR e

Mortalidad Infantil

horas Edad Característica de Falla

12892.127)505.1).(85()1

1(.

MTBF horas

)(1)( tRtF



Taller de aplicación

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