Download - Determina la TVI de f(x) = x 2 – 2x en el punto x 0 =2, x 0 = 1, x 0 = 0

Determina la TVI de f(x) = x2 – 2x en el punto x0 =2, x0 = 1, x0 = 0

∆x

∆x

∆y∆y

Determina la TVI de f(x) = 4 – 2x en el punto x0 =-2, x0 =0, x0 =0´3

∆y

∆y

∆x

∆x

Determina la TVI de f(x) = 4x – 2 en el punto x0 =-1, x0 =0, x0 =-3

Determina la TVI de f(x) = x2 – 2 en el punto x0 = -1, x0 = -2, x0 = 1/2

Determina la TVI de f(x) = 1/x en el punto x0 =2, x0 =1/4, x0 =-3

∆x

∆y

∆x∆y

Determina la TVI de f(x) = senx en el punto x0 =0, x0 =π/2, x0 = π

∆y

∆x

∆x

Definición de derivada.

A la tasa de variación instantánea de una función en un punto se le llama también derivadaLa derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe:

h

afhaflímafTVIh

)()()(

0

Determina la función derivada de f(x) = 2– x2 y calcula su valor para x0 = -1, x0

= -2, x0 = 1/2

h

xfhxflímxfh

)()()(

0

hlímh

0

Determina la función derivada de f(x) = 2x3–3x2 y calcula su valor para x0 = -1, x0 = 0, x0 = 2

h

xfhxflímxfh

)()()(

0

hlímh

0

Determina la función derivada de f(x) = 2x3–6x y calcula su valor para x0 = -1, x0 = 0, x0 = 2

h

xfhxflímxfh

)()()(

0

hlímh

0

Determina la función derivada de f(x) = 2x + 3 y calcula su valor para x0 = -1, x0 = 2, x0 = 1

h

xfhxflímxfh

)()()(

0

hlímh

0

Determina la función derivada de f(x) = 4 y calcula su valor para x0 = -1, x0 = 2, x0 = 1

h

xfhxflímxfh

)()()(

0

hlímh

0

Determina la función derivada de f(x) = 2x2+x-1 y calcula su valor para x0 = -1, x0 = 0, x0 = 2

h

xfhxflímxfh

)()()(

0

hlímh

0

Determina la función derivada de f(x) = senx y calcula su valor para x0 =0, x0=π/2, x0 = π

h

xfhxflímxfh

)()()(

0

hlímh

0

2B–A

2BA

sen ( A ) – sen ( B ) = 2 sen cos

NOTACIÓN

x

df(x)f '(x) D f(x)

dx

En Física

SE UTILIZAN PARA HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SIN NECESIDAD DE HALLAR EL

LÍMITE CUANDO h TIENDE A 0….

Permiten encontrar f ’(x) de forma rápida.

REGLAS DE DERIVACIÓN

REGLAS DE DERIVACIÓN

n(x)f',xf(x)Si n

0(x)f':entonces5,f(x)Si

1(x)f':entoncesx,f(x)Si

0(x)f',f(x)Si n

5(x)f':entonces3,-5xf(x)Si

2(x)f':entonces6,x2f(x)Si

Encuentra la derivada de las siguientes funciones:

x7

3f(x)c.

3f(x)b.

34xf(x)a.

REGLAS DE DERIVACIÓN1nn nx(x)f',xf(x)Si

(x)f':entonces,5xf(x)Si

(x)f':entonces,xf(x)Si3

4

(x)f':entonces,x

1-

x

4x-3xf(x)Si

(x)f':entonces,x2f(x)Si

33

1/4


x

6x

53

f(x)c.

x

22xx3f(x)b.

14xxf(x)a.

5

235

2

Interpretación geométrica de la derivada.

http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Imagen:Tangente.png

y f(a) f '(a)(x a)

ECUACIÓN DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO x=a

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la parábola y=x2 en el punto (-2,4)

Si la derivada es nula en un punto (mtan=0), f(x) presentará una tangente horizontal en ese punto. Si f´(a) = 0, f(x) tendrá una tangente horizontal en x=a

¿En qué puntos la siguiente función tiene una recta tangente con pendiente horizontal ? Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto (2,2)

3xxf(x) 3 y f(a) f '(a)(x a)

¿En qué puntos la función f(x) = 1/x tiene una recta tangente con pendiente horizontal ? Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto (2,1/2)

y f(a) f '(a)(x a)

¿En qué puntos la función f(x) =senx tiene una recta tangente con pendiente horizontal ? Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto (π/3,√3/2)

y f(a) f '(a)(x a)

Determina ¿En qué puntos la función f(x) =2-x2 tiene una recta tangente con pendiente horizontal ? Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto (1,1) y en el punto (-1,1)

DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NEPERIANO

Si f(x) = lnx, entonces f ´ (x) = 1/x

h

xfhxflímxfh

)()()(

0

hlímh

0

Si f(x) = lng(x), entonces f ´ (x) = g´(x)/g(x)


)x

6ln(f(x)c.

xlnf(x)b.

)4xxln(f(x)a.

5

2


)6ln(f(x)c.

ln(lnx)f(x)b.

)64xx3ln(f(x)a. 23

x

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Si f(x) = ex, entonces f ´ (x) = ex

Si f(x) = eg(x), entonces f ´ (x) = g´(x)eg(x)


7

ef(x)c.

3ef(x)b.

4ef(x)a.

2x

x

-4x

2


xe

f(x)c.

ef(x)b.

ef(x)a.x

4/x

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE A

Si f(x) = ax, entonces f ´ (x) = axlna

Si f(x) = ag(x), entonces f ´ (x) = g´(x)ag(x)lna

x6f(x)c.

3f(x)b.

4f(x)a.x

x


x6

x

-4x

6f(x)c.

3f(x)b.

4f(x)a.2

Regla del producto de funciones:

(x)g'f(x)g(x)(x)f'(m(x))'

:g(x)(x)m(x) Sea

xf

Ejemplos:

f(x)=x3ln(x)

f(x)=x.ex

h

xmhxmlímxmh

)()()´(

0

hlímh

0

g(x)f(x) m(x) Sea


)3ln()3(f(x)c.

ef(x)b.

lnef(x)a.x

4x

xx

x

x

Regla del cociente de funciones:

2

'

g(x)

(x)g'f(x)g(x)(x)f'

g(x)

f(x))´(

:f(x)/g(x)m(x) Sea

xm

Ejemplos:

f(x)=x2 /(x+2)

f(x)=3ex/(x3)

)´(

(g(x)) f(x). f(x)/g(x)m(x) Sea -1

xm


)3/()3(f(x)c.

/ef(x)b.

/ef(x)a.x

x2

xx

x

x


2

5)x/(x

x)/x(4

/lnf(x)c.

e)5/(f(x)b.

ef(x)a.

xx

xx

Potencia de una función:

)´(g(x)n(x)f',)(f(x)Si 1nn xgxg

(x)f':entonces

5(lnx) x 5lnf(x)Si

(x)f':entonces

,2)x3(f(x)Si

33

4

(x)f':entonces

,2

2x3f(x)Si

(x)f':entonces

,)xe(2f(x)Si

3

2

2

1/4x/2

x

)(g(x)(x)f',)(f(x)Si 2 xgxg



senx(x)f'cosxf(x)

REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

xx

xx

coslnf(x)c.

cos/f(x)b.

ef(x)a.

2

cosx

seng(x))´((x)f'cosg(x)f(x) xg

)cos(lnf(x)c.

)/1cos(f(x)b.

)ecos(f(x)a. cosx

xx

x

)2cos(cosf(x)c.

)2

(cosf(x)b.

)3(cosf(x)a.

2

4/1

3x3

x

x

x

h

xfhxflímxfh

)()()´(

0

hlímh

0

cosx f(x) Sea

cos ( A ) – cos ( B ) = – 2 sen sen

2BA

2B–A

cosx(x)f'senxf(x)


senxsenx

xsenx

lnf(x)c.

cos/f(x)b.

4f(x)a. sen4x

cosg(x))´((x)f'seng(x)f(x) xg

)ln()(lnf(x)c.

)(1

)(1f(x)b.

)2(f(x)a. 2

senxxsen

esen

esen

xsen

x

x

xsec(x)f'tgxf(x) 2


tgxx

xtg

lnf(x)c.

)(f(x)b.

3xtgxf(x)a.

3

g(x)sec)´((x)f'tgg(x)f(x) 2xg


)/2(f(x)c.

)2(f(x)b.

tgxxf(x)a.

22

33

xxtg

xtg

(x)f'

)(cos

)(tgg(x)f(x)

xg

xseng

cx-cotgxcosexseccos(x)f'secxf(x) 2 xcoco


ecx

ecx

x cos7f(x)c.

cosf(x)b.

(cosecx)f(x)a.

cos

3

3

x)(x)cosecg(g´(x)cotgg-

g(x)sec)(cos)´((x)f'secg(x)f(x) 2 coxgxgco


xec

xec

x 4cos7f(x)c.

cosf(x)b.

cosecxf(x)a.

4cos

3 3

3

tgxsecxxsec(x)f'secxf(x) 2 senx


x

x

sec

3

7f(x)c.

secf(x)b.

x/secx)(f(x)a.

)secg(x)g´(x)tgg(x

g(x)sec)()´((x)f'secg(x)f(x) 2 xsengxg


x

xe

4sec

3 3

3

7f(x)c.

secf(x)b.

x/secxf(x)a.

xsec(x)f'tgxf(x) 2coco


x

x

gcot

3

7f(x)c.

)(gcot3f(x)b.

x(cotgx)f(x)a.

g(x)sec)´((x)f'tgg(x)f(x) 2coxgco


)7(cotf(x)c.

)3(gcotf(x)b.

)(cotg(lnx)f(x)a.

7

2

xseng

x

m(x)g(x))(f(x)

REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES POTENCIALES EXPONENCIALES

x

senx

x

xc

)(f(x)c.

))3(os(f(x)b.

(x)f(x)a. 2x

m(x)g(x))ln(lnf(x)

g(x))ln()(lnf(x) xm

tgx

x

x

x

)(f(x)c.

))(sen(f(x)b.

(lnx)f(x)a./1

x

323 33

23)( xxxxxf

3

24 632

2

3

4)(

xx

xxxf

3 22

31)(

xxxxxxxf

xexxxxf 32 ln)(

x

xxxxf /13 4

1ln)(

2/1)( xexexf xx

4/4)( xxf x

)2/()( xxxf

14

25)(

2

x

xxf

x

x

ex

exxf

)(

tgxxy

xseny ln

21 xseny

x

xtgy

1

1

2xxy

x xy ln

senx

xy

1

1

(x))g1/()´((x)f'tgg(x)f(x) 2 xgarc


)(f(x)c.

)2(f(x)b.

arctgxf(x)a.

2

3

xarctg

xarctg

)x1/(1(x)f'tg(x)f(x) 2arc


)(f(x)c.

)(/f(x)b.

arctgx1f(x)a. 2

xtge

xarctgx

x

arctgx

)(1/)´((x)f'seng(x)f(x) 2 xgxgarc


)(f(x)c.

)(f(x)b.

x)arcsen(ln3f(x)a.

4

2/12/1

xarcsenx

xarcsen

21/1(x)f'sen(x)f(x) xarc


)(f(x)c.

)(f(x)b.

xarcsen(x)/f(x)a.

2

2

xxarcsen

xarcsen

)(1/)´((x)f'cosg(x)f(x) 2 xgxgarc


)arccos(/f(x)c.

)arccos(f(x)b.

2x)arccos(tagf(x)a.

22

2/12/1

xx ee

xx

21/1(x)f'cos(x)f(x) xarc


xe

x

arccos2

cosx

f(x)c.

))ln(arccos(f(x)b.

arccos(x))(f(x)a.

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