Transcript
Page 1: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

HAL Id: inria-00072878https://hal.inria.fr/inria-00072878

Submitted on 24 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Coupled Geodesic Active Regions for ImageSegmentation

Nikolaos Paragios, Rachid Deriche

To cite this version:Nikolaos Paragios, Rachid Deriche. Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation. RR-3783, INRIA. 1999. �inria-00072878�

Page 2: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

ISS

N 0

249-

6399

ISR

N IN

RIA

/RR

--37

83--

FR

+E

NG

ap por t de r ech er ch e

THÈME 3

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Coupled Geodesic Active Regions for ImageSegmentation

Nikos PARAGIOS and Rachid DERICHE

N° 3783

Octobre 1999

Page 3: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,
Page 4: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis2004, route des Lucioles, B.P. 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

Téléphone : 04 92 38 77 77 - International : +33 4 92 38 77 77 — Fax : 04 92 38 77 65 - International : +33 4 92 38 77 65

������������ ������������������������ �!��"�$#%�'&(��)+*-,/.�!�0��!�,/1#���.2�3���#

4%57698-:�;=<?>@<%ACBDCEGFIH�JK>%FIL(M�5NJPO?Q�>@BRTS�Q

UWVYXZT[�\�]_^a`cbd[fehgji�bhkmlj`%VYljZnZT[opZ�gqirVskm`Y[jtkuZ�gwvj[fxftzyYlq`Y`Y{f[fxftYi"lj`Y`sgwk|xhxdgq`si"[}x

~�ehlw��["b��1lq�Ilwbd�zk|x

�1gw�s�9lje�b1y�[�eh[firVY[fehirVs[�`I��\c�w�q\�]���i"bdlq�sed[T�f�j�q��]_�s�2�sgqvq[fx

�����f��(�Y�q�q� UWVYk|x��sgq�9[fe1�Yeh[fxd[`cbhx�gT`Yl(�q[f����gqedk|g(bhkmlj`sgw��ZT[bdVYl�y� ¡lqe1kuZ�gwvj[�x�[fvqZT[`cbhgwbdkulq`�¢�VYk|irVk|xWlq�Ybhgwku`Y[}y@�z£@¤Y`Ykm ¡£zkm`svn�Ilq¤s`syYgweh£@gw`9y@eh[vqkulq`Yop�sgjx�[}y�ku`� ¡lqehZ�g(bdkulq`�x�lj¤Yeri"[fx¥¤Y`syY[eWbdVs[�¦�[fl�y�[fxdkui§ i"bdku�q[��1[vqkulq`C ¡ehgqZn[f¢¥ljed¨-© § x�brg(bdk|x�bdk|igw�3gw`sgq�m£�xdkux�l(�q[fe�bdVY[$lq�sxd[eh�q[}y?y�[`sxdkmb�£� ¡¤s`si�bhkmlj`«ª¡kuZ�gwvq[Vskux�bdljvqergwZ@¬n¤sxdkm`Yv­g®ZTk°¯zbd¤sed[�lw �¦2gw¤sxhxdkugq`G[�u[ZT[`cbhxft�ku`sy�k|ig(bh[fx@bdVY[�`c¤sZ��I[e�lw 2bdVY[±y�km²I[fed[f`jbeh[vjkmlj`sx³gw`sy@bdVY[fkme�ku`cbd[`9x�kmb�£��Yehlq�I[edbdku[fxf©�UWVs[`´tzbhVY[2�9lj¤Y`syYgqed£Tku`� ¡lqehZ�g(bdkulq`�kux�yY["bd[fedZTku`Y[fy%¤sxdkm`Yvg��Yehlq�sgq�Ykm�uk|x�bhkui=[fy�vj[¥y�[bd[fi"bdljeft(¢�VYku�u[=bhVY[¥eh[vjkmlj`�km`Y ¡lqehZTgwbdkulq`�k|x3vqku�q[f`�y�kued[}i�bd�u£� ¡edljZPbdVY[Wlq�9x�[fed�j[fykuZ�gwvj[³¤9x�ku`Yv2bdVs[�i"lj`sy�kmbdkulq`sgq�Y�Yehlq�sgq�Ykm�ukmb�£�y�[`9x�kmb�£� ¡¤Y`9i�bdkulq`9x�lw IbdVs[1ZTk°¯zbd¤sed[1ZTl�y�[f�7©�UWVY[�y�[µs`Y[}ylj����[fi"bdku�q[� ¡¤Y`si�bhkmlj`%k|x³Znku`YkuZTkm¶f[fy�¤sx�ku`Yvng�vjehgjy�km[f`cb�oay�[fxhi"[f`jb�ZT[bdVYl�y�¢�VY[eh[·g$�m[f�q[f�Ixd["b�gw�Y�sedlcgqirVk|xW¤sxd[fy%bdlTkuZn�s�m[fZn[f`cb³bhVY[2ed[}x�¤s�°bhkm`Yv�~�¸�¹ºx�£�x�bd[fZ�© § ifi"ljehy�ku`Yv�bdlnbdVY[2ZTlwbhkmlj`�[}»c¤sg(bhkmlj`sx�¼ ~�¸�¹�½¾tbhVY[Tx�[b�lq =km`sk°bhkugq��i¤Yeh�q[fx�kux��Yehlq�9gwvjgwbd[}y�bdl(¢WgweryYx�bhVY[nxd[vjZT[`cbhgwbdkulq`Ceh[fxd¤Y�mb�¤Y`9y�[e·bdVY[Tku`�¿s¤Y[f`si"[lq ��9lj¤Y`syYgqed£±gw`sy±eh[vqkulq`Yop�sgjx�[}y�xd[vjZT[`cbhgwbdkulq`± ¡lqeri"[}xt3gw`syÀ�I[ku`YvÁilq`sx�bdergwku`Y[fy±�z£�gCed[fvq¤Y�|gwehk°b�£ ¡ljehi[q©3UWVY[�irVsgw`Yvj[fx�lw 9bdlq�Ilq�ulqvj£�gweh[=`sgwbd¤Yergw�u�u£�Vsgw`syY�m[}y�bhVsgw`Y¨�x3bhl�bhVY[��m[f�q[f�zxd["b�kuZT�Y�m[fZT[`cbhgwbdkulq`´t¢�Vskm�u[�g�ilq¤Y�Y�u[fyÁZ�¤Y�mbdkmo¾�YVsgqxd[T�Yehlq�sgqvjg(bhkmlj`Âkux�gjy�lq�Ybd[fyCbdVsgwb�km`sied[}gqxd[fx�bdVY[Tehlq�Y¤9x�bh`Y[fxhx2gw`syÁbdVY[ilq`z�q[fedvj[`si[@erg(bd[��z£Ãkm`cbhedl�y�¤sikm`sv�g±i"lq¤s�Y�m[}y­xd£�x�bh[ZÄlq �[f»c¤sgwbdkulq`sx$ ¡lqenbhVY[Ây�k°²-[eh[`cbT�m[f�q[f�Wxd["b ¡¤s`si�bhkmlj`sx©�ų[fxdkuy�[}xtÆbdlÂeh[fy�¤9i"[nbdVY[%ed[}»j¤skmeh[fy±i"ljZn�s¤�bhgwbdkulq`sgq�=i"lcx�b�gw`9yÁbhlCy�[fied[}gqxd[nbdVY[@ehk|x�¨Clq ilq`z�q[fedvj[`si[�bdl�g·�ml�ifgw�zZTkm`YkuZ�¤sZ�tcg�Z$¤Y�mbdkmo¾xhigq�m[Wgw�Y�sedlcgqirV�k|x�gw�|x�l�i"lj`sx�k|y�[fed[}y�©�UWVY[W�I[ed ¡lqehZ�gw`si[lq �lj¤Ye�ZT["bdVslzy�k|x1y�[fZnlj`sx�bderg(bd[}y@lj`?gn�(gwehku["b�£�lw �xd£c`cbhVY["bhkui2gw`9y�eh[fgq�-kmZ�gwvj[fxf©ÇÂÈcÉ-ÊhË�Ì �(Í3�q� ^aZ�gwvq[�Îz[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`´tcÏCg(¯�kmZ$¤YZ�дku¨q[f�mkuVYlzl�y�tc¦�[flzyY[fxdkui § i"bdku�q[��1[vqkulq`9xtzд[f�q[�Î�["b�UWVY[flqeh£qtYÏ?¤Y�mbdkmop�sVsgqxd[�~�ehlq�sgqvjg(bhkmlj`´t�Ï?¤Y�mbdkmo¾xhigq�m[�Îz[fvqZT[`cbhgwbdkulq`´©

ѳÒ�Ó°ÔnÕ¥Öq×rØ�Õ¥ÙwÔnÚNÛ�ÜzÝzÞfÝGÓmÜ­ßzÙw×dà%Û�ÜzÝzÞf×�à�ÒcÞÂá�âaã�ä2åæ×hÞ}Ô�ÞÙw×rç�Ò«ÜcÞà�Õ=Öq×rغèNé�ê+ê¥ÖjÜwàh×hÙwçrà�ë·Öé3ã1ì³í´îÁã�ïWð¾ê³Ñ=ñqò�ðpówówôqñqõ�ÖwÚÆàrÒcÞ�Ñ=î�ã÷ö�×hÖwøq×hÙqùTù$Þwúû�ü|ý1þrÿ���������(þ�7þ���ÿ� � ��û�������� ����ÿ þ�� ÿ��Nÿ þ�� ������� �!� "�"�#$#%#´ü&�� ��'� ÿ��Nÿ þ�� �( ")� �*+ ���,}ÿ��-")�wû.�� �����û��/"0����(þ�7þ���ÿ� � ��û����"

Page 5: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

���������.�!� ���� ����!����#%�'���=�3������ ����������������%��������%)æ�".0T�!$,/1#���.2�3���# ����*-,/.�!�

� ���� � ¸·gq`sx2i"[nehgq�Y�Ilqedbft-`Ylq¤9x·�sed{}x�[f`jbhlq`sx�¤Y`Y[�gw�s�Yedl�irVY[$�(gwehkugwbdkulq`Y`Y[f�m�u[��Ilq¤se·bhehgqk°bh[e��m[�sedlj�Y�mXfZT[¥y�[¥�ug�x�[fvqZT[`cbrg(bdkulq`�y�� kuZ�gwvq[��1��� gqkuyY[³y�¤�Znl�y�Xf�m[Wy�[�������¡Ì�� ���T�w� ���9È ��� zÌ Í � � � � È �»c¤Yk¥�9[fedZT[b�y�[@�Yeh[`syYed[�[f`Ãi"lqZT��bh[@y�[@Z�gw`skmXfed[�¤Y`sk°µs{f[@�u[fx�ku`� ¡lqehZ�g(bhkmlj`sx��ukm{f[fx�gq¤�¯±eh{vjkmlj`sx2["bgq¤�¯�ilq`cbdlj¤Yehxf©¹�`��Yeh[ZTku[e}tj��� Vskux�bdljvqergwZTZT[·y�[��!� kuZTgqvq[·lq�sxd[eh�q{f[1[fx�bWgq�Y�Yehl�¯�kmZT{1�sgqe¥¤s`Y[·ZTkm¯zbd¤Yeh[�yY[2¦2gq¤sx�o

xdku[`Y`Y[j©#"¥["b�bh[�yY[`sxdk°bh{�yY[·�Yehlq�9gw�Yku�mkmbd{·[fx�b³[f`sxd¤Yk°bh[·¤Ybdku�mk|x�{f[�gwµs`%y�[2y�{}y�¤Ykued[��m[�`YljZ��Yeh[·y�[�eh{vqkulq`9x[b��m[f¤Yehx2�sedlj�Yedku{"bh{fx�x�brg(bhkux�bdk|»c¤Y[fxf©nÐÆ[fx�ilq`cbdlj¤Yehx2y�[}x2ed{fvqkulq`sx�xdlq`cb�[`sxd¤Ykmbd[�igqehgji�bd{fedk|xd{fx1�9gwe�¤Y`Y[gq`sgw�u£�x�[Wx�bhg(bhkux�bdk|»c¤Y[1»c¤YkY�I[ehZT["b=y�[1y�{µs`Ykue�¤Y`Y[�{f`Y[ehvqku[�»c¤YkYku`si"�u¤�b¥gq¤sxdxdk��Yku[`T¤Y`nbd[fedZT[1y�[�eh{vjkmlj`»c¤�� ¤Y`$bd[fedZT[�y�[�i"lj`jbhlq¤Ye}©�Ð#� {}»c¤sg(bhkmlj`ny$� ¹�¤Y�u[edoaÐÆgwvjehgq`Yvq[¥gqxhx�l�i"ku{[����ug�ZTku`YkmZTk|xdgwbdkulq`Ty�[W�!� {`s[ehvqku[[}x�b�gq�mljehx2eh{fxdlq�u¤Y[%�?��� gqkuy�[@yY[@�ug�ZT{"bhVYl�y�[%y�[}x�i"lj¤Yeh�9[}x�y�[�`Yku�q[}gw¤�¯�©&�`À[`sxd[Z$�Y�m[@yY[%i"lj¤Yed�I[fxku`Ykmbdk|gw�u[fx³�(g�gqkm`sxdk�x�[2y�{f�Y�ugji"[fe³xdlq¤sx¥��� ku`�¿s¤Y[f`si"[2y$� ¤Y`Y[2i"lj`jbhehgqkm`cbh[·y�[�ed{fvq¤Y�|gwehkmbd[1[b�yY[� ¡ljehi[fx³gqxhx�lqoikm{f[fx�gq¤�¯�ilq`cbdlj¤Yehx³[b�gw¤�¯�ed{fvqkulq`sxf©�д[fx�irV9gw`Yvj[ZT[`cbhx�yY[2bdlq�Ilq�ulqvjkm[�xdlq`cb�`sg(bh¤Yeh[�u�m[fZn[f`cb�bdergwkmbd{fxvje('ji"[)���|g�Znk|xd[n[f`�lz[f¤Y�zed[Ty$� ¤Y`Y[@gw�s�Yedl�irVY[)���sgqxd[nyY[Tilq¤Yeh�I[fx2y�[T`Yku�q[fgq¤´© § µs`Ày$� gw¤YvjZn[f`cbd[e�|g�ehlq�s¤sx�bh[fxhx�[�y�[��!� gw�Y�sedl�irVY[1[b³�Ilq¤s�qlqkue³�sgwe³["¯�[ZT�Y�u[2x�[fvqZT[`cbd[fe¥gq¤sxdxdkI�Ykm[f`%�u[fx³{�j[`cbd¤s[�u�m[}x=�sgqe�obhkm[}x�ku`cbd{fedku[¤Yeh[fx�»c¤�� ["¯zbd{fedku[¤Yeh[fx·y�[fx·eh{vqkulq`9xtI`Ylq¤9x��Yehlq�Iljxdlq`9x�["b�y�{�j[�ulq�Y�Ilq`9x1¤Y`Y[n�Yehlq�sgqvjgwbdkulq`Z$¤Y�mbdkmop�YV9gqxd[*���sgqxd[1y$� ¤Y`%xd£�x�bhXZT[�y$� ¹�¸�~Ãi"lj¤Y�Y�u[fxf© § µs`@y�[1eh{fyY¤Ykmeh[1�u[�i"l,+�b¥y�[·igw�|i"¤s�s["¯�kuvq{jtq¤Y`Y[gq�Y�Yehl�irVY[2Z�¤Y�mbdkmop{}irVY[�u�u[�[}x�b�i"lq`9x�k|y�{eh{[j©�~��u¤sx�ku[¤sehx�eh{fxd¤Y�mbhgwbhxW["¯��I{ehkmZT[f`jbrgw¤�¯�tYlj��bd[f`z¤Y[fx-�T�sgqe�bhkmeyY[2xd{f»c¤Y[f`si"[}x�y$� kmZ�gwvj[fxWeh{[f�m�u[fxft�km�u�u¤sx�bhed[f`cbW�u[fx�yYkm�j[erx�[}xW�9lqbd[`cbhkugq�mkmbd{}x�y�[�i"[b�bd[�gq�Y�Yehl�irVY[q©.�Ì �}� Ê �0/ �À� Î�[vqZT[f`jbrg(bhkmlj`Ày�� kuZ�gwvq[jtÆeh{vjkmlj`sx2gqi�bhkm�j[fx2vj{l�y�{fxdk|»j¤s[fxft�bdVY{flqehkm[�y�[�i"lq¤sed�I[fx�y�[`skm�j[fgw¤Æt��Yedlj�sgwvcg(bhkmlj`@Z�¤Y�mbdkmo¾�YVsgqxd[qtYxd[vjZT[`cbhgwbdkulq`�Z�¤Y�mbdkmop{}irVY[�u�u[q©

Page 6: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ \

5 *-#���)3���?�%�=�3�"�$#

UWVs[�xd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`%lq �g�vjkm�j[`�kmZ�gwvj[�¼u��6zt27q\�t27j�ztz\s��½¾t�kuxWlj`Y[·lq ´bdVs[�ZTlcx�bWkmZT�Ilqedbhgq`jb³bd[}irVY`Yk|»c¤Y[fx ¡lje·kuZ�gwvj[$gw`9gw�u£zxdk|xtI¤Y`sy�[fehx�bhgq`sy�ku`Yv�gq`syCku`cbd[fed�Yeh["brg(bhkmlj`´©�ų[}x�k|y�[fxft-k°b2k|x�eh[f»c¤Ykued[}yCgqx�g��ml(¢Wo¾�m[f�q[f�x�bd[f�%bhl@gn�ugqedvj[·`z¤YZ$�9[fe�lw �VYkmvjV��u[�j[�ÆilqZT�Y¤�bh[e��zk|x�kulq`�bhgjx�¨�xf©

8s[fg(bh¤Yeh["o¾�sgqxd[fy?kuZ�gwvq[$x�[fvqZT[`cbhgwbdkulq`Âk|x��I[ed ¡lqehZT[fy¤9x�ku`Yv@b�¢³l@�sgjx�k|i�kuZ�gwvq[$�Yehlzi[fxhx�ku`YvTbh[firV�o`sku»c¤Y[}x�93bdVs[ � Ì � � Í3��� É-Ê �3�Y� È Í � È�� È � �}��� �¡Ì �ºª¡¢�VskuirV�kuxWlq  bd[`�eh[" ¡[eheh[fy@gjx¥[}y�vq[op�9gqxd[fys¬=ed[f�mku[fxlj`«bhVY[Âvq[f`Y[erg(bhkmlj`«lq �g®x�bdeh[`YvqbdV kmZ�gwvj[�gq`sy­bdVY[Â[¯zbdergqi�bhkmlj`«lq ��YehlqZTku`Y[`cb�[fyYvq[fxft=¢�Vskm�u[?bdVY[� È����¡Ì��´Ê �3�Y� È ÍG� È�� È�� �}��� �NÌ��Àeh[�uku[fxWlq`�bdVs[�VYlqZTljvq[`s[kmb�£�lw �x��sgwbdk|gw�u�m£%�ml�igq�mku¶[}y� ¡[fg(bh¤Yeh[fx�gw`9y�sedlj�9[fe�bhkm[}x©

: ¹�gweh�u£?gq�Y�YehljgjirVY[fxW ¡lje � Ì � � Í3��� É-Ê �3�Y� È Í kuZ�gwvj[�x�[fvqZT[`cbrg(bdkulq`ÂV9g��q[�¤sxd[fyÁ�ml�ifgw�´µ9�°bh[ehkm`Yvbd[}irVY`Yk|»j¤s[fx�x�¤sirV�gqx1[}y�vq[ny�["bh[fi"bdkulq`Clj�9[fehgwbdlqerx�¼ ;Yt3�-;�½¾©2UWVY[fxd[$gq�Y�YehljgqirVs[fx1gqed[�g�i"ljZn�sedlqoZTkuxd[Â�9[b�¢¥[f[`GxdkmZT�Y�ukuik°b�£jtW¢�k°bhV gqiilqZT�sgq`c£zku`Yv±�mkuvqVcb%i"ljZT�Y¤�bhgwbdkulq`sgq��i"lcx�b@gq`syºx�brgw�Yku�mkmb�£¤Y`sy�[fe�`Yljkuxd[qtj�Y¤�b=Vsg��j[�y�k=<@i¤Y�°b�£$km`�[}x�brgw�Y�uk|x�VYku`Yv�bdVs[�i"lj`Y`Y[fi"bdku�zk°b�£$lw -[fy�vj[Wxd[vjZT[`cbhxf©3UWVskux�Yehlq�Y�u[Z�Vsgjx³�9[f[`?i"lq`Y ¡edlj`jbh[fy��z£�[fZn�s�ml(£zku`YvnÎz`9gw¨q[ >(ÅWgw�u�ulclj`sx�ZTl�y�[f�ux�¼u��Yt27�;�½�¢�VYkuirV�igq`�Yehl(�ck|y�[Wg2i"�uljxd[fy�i¤Yeh�q[�gqx�g2i"ljZn�sedljZnk|xd[¥�I["b�¢³[[f`$eh[vj¤Y�ugqedkmb�£2lw 9bdVY[�i"¤sed�j[Wgq`sy�VskmvjVnvjehgjy�kmo[`cb��(gw�u¤Y[fx�gwZTlj`Yv�bhVY[�i"¤Yeh�q[¥�9ljkm`cbrx©�UWVYk|xÆb�£z�I[Wlw Igq�Y�YehljgjirVY[fxÆVsg��q[¥�9[f[`n["¯zbd[f`sx�ku�q[f�m£�¤9x�[}ybdlCy�[}gw��¢�kmbdV±bdVs[�kmZ�gwvj[�x�[fvqZT[`cbhgwbdkulq`��Yedlj�Y�u[Z�¼?7��wt@7�6}½¾©@UWVY[kue�Z�gwku`±Vsgw`syYkuifgw�±kux2bhVsg(bbdVY[f£�eh[f»c¤Ykueh[@g?vqlzl�y�ku`Ykmbdk|gw�ukm¶}g(bhkmlj`Àx�bd[f�´©Â��[fi[`cbd�u£qt�bdVs[@vq[flzyY[fxdkui�gji�bdku�q[�ilq`cbdlj¤Ye�ZTl�y�[�Vsgqx��I[[f`Áku`jbhedl�y�¤9i"[fyü ��tA7q��½�¢�VYk|irVÁi"ljZ��Yku`Y[fyÁ¢�k°bhVCbhVY[$�u[�j[��x�[b·bhVY[ljed£À¼ \q\�½�y�[}gw�|x�¢�kmbdVbdVY[�gq�9l(�j[·�ukuZnkmbhgwbdkulq`?eh[fxd¤Y�°bhkm`svnku`Âgn�q[eh£�[�u[vcgw`cb1gw`sy��Il(¢¥[fe� ¡¤Y�´xd[vjZT[`cbhgwbdkulq`�bdlzlq�p©§ �mbdVYlj¤YvqVà¡lqe�Z�gw`z£±ed[}gw�=ifgqxd[fx2bhVY[%¤9x�[@lq ��9lj¤Y`syYgqed£co¾�sgqxd[fy±x�[fvqZT[`cbrg(bdkulq`®ZT[bdVYl�yYx$gweh[km`9gw�Y�Yehlq�sedk|g(bh[qt�bhVY[£��Yedl(�zk|y�[�x�ljZT[nkuZT�9lje�brgw`cb�gqyY��gq`cbhgwvj[fxf©@ÎzVsgw�I[��(gwehkugwbdkulq`sx2gqed[T`sgwbd¤�oehgq�m�u£TVsgw`9y��m[}y@gw`9y�bdVs[£�gweh[�`Ylqb³xd[`sxdkmbdku�q[1bhl$vj�mlj�sgw�9km�u�u¤YZTkm`sgwbdkulq`�irVsgw`Yvj[fx¥y�¤Y[·bdl�bhVY[· Ngqi�bbdVsgwb1bdVs[£�ed[f�m£�lq`?ed[f�ugwbdku�q[2ku�m�u¤YZTkm`9g(bdkulq`CirV9gw`Yvj[fxft�ehgwbdVY[fe�bdVsgq`�bdVY[�gq�sxdlq�u¤�bd[�ku�m�u¤YZTku`sg(bhkmlj`km`cbh[`sxdk°bhkm[}x© § yYy�kmbdkulq`sgq�m�u£qtÆbdVY[}x�[�ZT["bhVYl�yYx�eh[f»c¤Ykued[T�ul(¢ ilqZT�Y¤�brg(bdkulq`9gw�=iljx�b�gq`sy±�ml�ifgw�ukm¶f[�9[b�bh[e�bhVY[�ed[fvqkulq`B>(lq����[}i�bW�9lj¤Y`syYgqedku[fxf©

: UWVY[ � È����¡Ì ��Ê ���Y� È Í ZT[bdVYl�yYx?gweh[CZTlqeh[Áxd¤Ykmbhgw�s�m[Àgw�Y�sedlcgqirVY[}xT ¡lqe�kmZ�gqvq[Áxd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`gw`sy ifgw` �9[«edlj¤YvqVY�u£÷i�ugjxdxdk°µ9[fyPkm`cbhlºb�¢¥lGigwbd[fvqlqehku[fx-9ºUWVs[Ãed[fvqkulq`�o¾vqehl(¢�ku`Yv®bd[}irVY`Yk|»c¤Y[fx¼ 7Ytz�Yt%7w��tz�j\(½�gq`sy�bhVY[�ÏÂgweh¨ql(�T�1gw`9y�lqZC83km[f�uysx¥�9gqxd[fy%gq�Y�YehljgjirVY[fx�¼?6�t-�(�ct-�f��½¾©�UWVY[·eh[vjkmlj`vqehl(¢�km`sv�Zn[bdVYl�yYx³gweh[1�sgjx�[}yTlq`%xd�Y�uk°bdo¾gq`syzo¾ZT[ehvq[��Yehl�i"[fyY¤Yed[}x�¤sxdku`Yv�x�bhg(bhkux�bdk|igq�9VslqZTlqvj[`Y[ok°b�£�bh[fx�bhxft}¢�Vs[eh[�bdVs[¥x�bhg(bhkux�bdk|ix�gweh[�vq[f`Y[erg(bh[fy�gq`sy2¤Y�-yYg(bh[fy�yY£c`9gwZTkuifgw�u�m£jtf¢�Vskm�u[�bhVY[¥Z�gq`Y`Y[e¢�k°bhVC¢�VYk|irVÂkm`sk°bhkugq��eh[vjkmlj`sx1gweh[2 ¡lqehZT[fyÂgq`sy�bdVY[ni"ehk°bh[ehkugn ¡lje·xd�Y�uk°bdbdku`Yv�gq`sy?ZT[ehvqku`YvTbdVY[fZgweh[Cx�[b +D�B(���� (�E ©�UWVY[Ceh[fxd¤Y�mbdku`YvÃx�[fvqZT[`cbrg(bdkulq` ¢�ku�m�·km`Y[f�zk°brgw�Y�u£­y�[f�9[f`syºlq` bhVY[ÁirVYljkui[lw �ku`Yk°bhkugq�=eh[vjkmlj`sxt�¢�VYku�m[@kuehed[fvq¤Y�|gwehk°bhkm[}x2lq`ÀbhVY[@�Ilq¤Y`sysgwehkm[}x�¢�km�u�¥gq�Y�I[fgwe$x�ku`si"[@bdVY[@eh[vjkmlj`x�V9gw�I[fx�y�[f�9[f`sy®lj`�bhVY[@�sgqe�bhkui¤Y�|gwe�vqehl(¢�ku`YvÂgw�uvqlqehkmbdVYZ?© § `YlwbhVY[e��9l(¢³[ed ¡¤Y��eh[vjkmlj`�op�9gqxd[fybdlzlq�ptY¢�VYk|irV?Vsgqx1�9[f[`?¢�kuyY[�u£%ku`c�j[fx�bdkuvjgwbd[fy% ¡lqe�kmZ�gwvj[�x�[fvqZT[`cbhgwbdkulq`´t�k|xWbhVY[$ÏÂgqed¨jl(�T��gw`�oy�lqZF83km[f�uysx¥ªpÏÂ�G8�¬�¼?7�H�½¾©3^a`2bdVsgwb3igjx�[�bhVY[¥xd[vjZT[`cbhgwbdkulq`2�Yehlq�Y�u[ZPkuxÆ�zkm[f¢¥[}y�gqxÆg�x�bhgwbdk|x�bhkuifgw�[fx�bdkuZ�g(bdkulq`±�Yehlq�Y�u[Z ¢�VY[eh[T[fgqirV��Ykm¯z[f��k|x�x�brg(bdk|x�bdk|igw�u�u£Áy�[�I[`9y�[`cb�lq`s�m£Clj`�kmbhx2`s[kuvqVz�9ljehxx�lCbdVsgwb�bdVY[�i"lqZT�Y�u["¯�kmb�£Álq ³bhVY[@ZTl�y�[�¥kux�ed[}x�bhedk|i�bh[fy�©?UWVY[%xd[vjZT[`cbhgwbdkulq`Àkux�lq��brgwku`Y[fy±�z£µs`sy�ku`YvTbhVY[�Z�g(¯�kmZ$¤YZ +I�J� ���3�(���� (�� Z�gw�?vqku�q[f`@bdVs[�lq�sxd[eh�q[}y%yYgwbhgY©�UWVs[�Z�gqkm`ÂgqyY��gq`cbhgwvj[

KLK � M2N�O�P�N

Page 7: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

� � ���������A�G! � �)�� / +�$B� ! +����.�����'!G) �� ��

lw �bhVYkux=b�£z�9[·lw Ægq�Y�YehljgqirVs[fx�k|x�bhVsg(b¥bdVY[f£Tgqed[��u[fxhx³g(²-[fi�bh[fyn ¡ehlqZ bdVs[��Yeh[fxd[`si[1lw �`Yljkuxd[qtzgw`9y�Yehl(�ck|y�[2g�vj�mlj�sgw�-xd[vqZT[f`jbrg(bhkmlj`�i"ehkmbd[ehkulq`´©�UWVY[2lq��bhkmZTku¶fgwbdkulq`%�sedlj�Y�m[fZ'bd¤Yeh`sx¥bdlT�I[2[f»c¤Yku�jogw�u[`cb�¢�kmbdVÀbhVY[@ZTkm`skmZTku¶fg(bhkmlj`®lw 1gÂvj�mlj�sgw��lj����[fi"bdku�q[T ¡¤Y`si"bdkulq`«gq`sy±kux�¤sxd¤sgw�u�m£±�I[ed ¡lqehZn[}y¤sxdkm`Yv�x�bhlzirV9gqx�bdk|iª7Ï?[}gw`�opµs[�|y�t�ÎzkuZ�¤Y�|g(bh[fy § `Y`Y[fgq�mku`Yvz¬2lqe�yY["bd[fedZTku`Yk|x�bhkui�eh[�|g(¯Ygwbdkulq`®gw�uvqlqoedkmbdVsZTx�ª¡^¾bd[fehgwbd[}y "¥lj`sy�kmbdkulq`sgq��Ï?l�y�[fx2¼ \(½¾t��1kuvqVs[fx�b "¥lq`�µ9yY[`si[�83kuehx�b�¼u��7}½¡¬�© § �°bhVYlq¤svqV�bdVY[ÏÂ�G8�o¾�sgqxd[fy�lq�Y��[fi�bhkm�j[� ¡¤Y`si�bhkmlj`Âkux�gT�q[eh£@�Il(¢¥[fe� ¡¤s��Znl�y�[f�7t9¤sxd¤sgw�u�m£%k°b�k|xWbhkmZT[�ilq`sxd¤YZTkm`svª¡[}x��I[fikugq�m�u£�¢�VY[`%bdVY[2xdlq�u¤�bdkulq`�x��sgji"[·kux³�|gwehvq[}¬"tj¢�VskuirV�ZnkuvqVcbW�9[��I[eri"[ku�q[}y%gjx¥g�Vsgw`syYkuifgw�´©

: 83km`sgq�m�u£qt=bdVY[fed[?k|xTg�xdkmvj`Ykmµ9igq`jbT["²-lqedb � Ì � � � È � �(��� È � Ì � � Í3��� É-Ê �3�Y� È Í Ë%� ���'� È ���¡Ì ��Ê���s� È Í � È�� È � �f��� �¡Ì�� �����Æ� Ì �Y��� È � ¼ ��t��f\�t 7.7zt�\�;�t-\c�ct�\j��t-� 7zt-�j\(½p©�UWVY[Ty�k<�i¤Y�mb�£Â�mku[fxlq`�bdVY[� Ngji�b³bdVsgwbW[f�q[f`@bdVslq¤YvjV@bdVs[·b�¢³lnZnl�y�¤s�m[}xW£cku[�|y%ilqZT�Y�u[ZT[`cbrgweh£�km`� ¡ljedZ�gwbdkulq`´tcbdVs[£km`z�jlq�u�q[=ilq`�¿sk|i�bhkm`sv·gw`9y�km`9i"lqZTZT[`9x�¤Yerg(bh[�lq�Y��[fi�bhkm�j[fxf©ÆUWVY[¥ed[fvqkulq`�o¾�sgqxd[fy�ZT["bhVYl�yYx3g(b�bh[ZT��bbdlÁifgw�Ykmbhgq�mku¶[�lj`®VYlqZTljvq[`s[kmb�£C�Yehlq�I[edbdku[fxft�¢�VY[fed[}gqx2�Ilq¤Y`9yYgweh£cop�sgjx�[}yÁlj`Y[fx�¤sxd[TbdVY[@`slq`�oVYlqZTljvq[`s[kmb�£�lw 3bdVY[�xhgwZT[�yYg(brgTgqx�gnvq¤Yk|y�[j©

^a` lqery�[e$bdl±�I["b�bh[e�ku`cbdehlzyY¤si"[�bdVY[?�Yehlq�Iljxd[fy­gw�Y�sedlcgqirVÃgw`9y®bdl®y�[fZTlq`sx�bderg(bh[@bdVs[�`s[¢+¨j[£k|xhx�¤Y[}x�¢�kmbdVÃeh[fxd�I[fi�b$bdlÁbdVY[�["¯�kux�bdku`Yv�lq`Y[}xt�xdlqZT[@lw �bhVY[%ZTlcx�bned[f�Yed[}x�[f`cbhg(bhkm�j[@gqx�¢¥[f�m�Wgqx�Znlcx�bi�mlcx�[f�m£�ed[f�ugwbd[fyTxd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`ngq�Y�YehljgjirVY[fx3¢�kmbdVTbdVs[1lq`Y[��sedlj�9lcx�[}y�ku`TbdVYk|x=xd[fi"bdkulq`´tcgweh[³ ¡lq�u�ml(¢�ku`Yvs©

� +�������� ��������$ +�$B�����( �����J���J���� km`�¼ 7�;�½YVsg��q[¥�Yehlq�Iljxd[fy2bhVY[³xd`sgq¨q[=ZTl�y�[f�j ¡lje�kmZ�gwvj[¥xd[vjZn[f`cbhg(obhkmlj`´tcbdVsgwbWgqkmZ�x³g(bWZTkm`YkuZTkm¶fkm`sv$gni"¤Yeh�q[op�sgjx�[}ynlq����[}i�bdku�q[� ¡¤Y`si"bdkulq`@bhl(¢³gqehysx=g�eh[vj¤Y�|gwe¥i¤Yeh�q[1bhVsg(bk|x�g(b�bhehgji�bh[fy?�z£?�Yk°¯�[f�ux�¢�k°bhVÁkuZn�Ilqedbhgq`cb�vqergqy�ku[`cb��(gq�m¤Y[}x© ����� �$ km`üu��w½3Vsgjx��sedlj�9lcx�[}y�g%ZTlzyYk°oµIig(bhkmlj`Âlw �bhVY[$xd`sgw¨j[�ZTlzyY[�3�c£?gqysy�km`sv%g��Yeh[fxhx�¤sed[� ¡ljehi[�bdV9g(b�VY[f�m�9x�kmb�bhl�g��qljkuy��ul�igw��ZTkm`YkuZ�gY©83ku`sgw�u�u£qt ��+����������� � ��* *,���+ $1� /1+�����( � ku`­¼ ��½=gw`9y!� ���"�J�$1+�����+ * E ���+�� ku` ¼ 7q��½�Vsg��q[$�Yedlj�9lcx�[}ybhVY[�vq[fl�y�[fxdkuiTgji�bdku�q[�ilq`cbdlj¤Ye�ZTlzyY[�ptÆ¢�VYk|irV®i"lqZ$�Yku`Y[fy�¢�k°bhVÀbdVY[��u[�j[��xd["b�bhVY[ljed£Cl(�j[eri"ljZn[}x·g�|gwehvq[$`z¤YZ��I[e2lw ¥�mkuZTk°brg(bdkulq`9x·kuZT�9lcx�[}yC�z£?bdVs[Ti�ugjxdxdk|igw��xd`sgw¨j[�ZTl�y�[��gw`9yC�Yehl(�zkuy�[}x·g��Il(¢¥[fe� ¡¤Y�bhlzlq�Y ¡lje¥kuZ�gwvj[�x�[fvqZT[`cbrg(bdkulq`Æ© § xdkuZnku�|gwe=ZTl�y�[f�3ªNkmZT�Y�u[ZT[`cbh[fy@¢�kmbdVskm`�bhVY[��m[f�q[�Ix�[b= ¡ergwZT[¢³lqeh¨Y¬bhVsg(b�k|x��sgqxd[fy�lq`ng·vj[ljZn[bdehkui"op�9gqxd[fy2ZTkm`skmZTku¶fg(bhkmlj`ngq�Y�YehljgjirV�¢³gjx3�Yedlj�9lcx�[}y��z£$# + ���+.� ���@/1���� ��+ $+�$B�&%��* �J(�� ku`À¼ \.H�½¾©

' �� �(�����" 0��'+ � ku`?¼ �q½sVsg��j[³�sedlj�9lcx�[}y$g�eh[vqkulq`nvqehl(¢�ku`Yv�xd[vjZT[`cbhgwbdkulq`Tgw�uvqlqehkmbdVYZ�bhVsg(b�Z�gq¨q[fx¤9x�[�lq ³�ul�igw�=VYkux�bdljvqergwZ �skuir¨�x2bhlCy�["bh[ehZnku`Y[�bhVY[�`z¤YZ��I[engw`sy�bhVY[� ¡lqehZ lq ¥bhVY[@ku`Ykmbdk|gw��eh[vjkmlj`sx©UWVs[`´t3bdVskux�`c¤sZ��I[e�k|x�yY[fi"eh[fgjx�[}y±�c£±�I[ed ¡lqehZnku`YvCgÂeh[vjkmlj`Àvqehl(¢�km`Yv?�YV9gqxd[q©ÂUWVYk|x�ZT["bhVYl�y®Vsgqx�I[[f`Âx�¤sifi"[}xdx� ¡¤Y�u�m£@[¯��Y�mljk°bh[fy%bdl@y�[}gw��¢�kmbdV?Z�¤s�°bhk°o¾ZTlzysgw� >�Z�¤s�°bhk°op ¡[fgwbd¤Yeh[�ysg(bhgs©

����+�* � +�$B� ' � ����� � & ku` ¼?7�½WVsg��q[��Yehlq�Iljxd[fy®gÁx�[f[fy�[}y®ed[fvqkulq`�o¾vqehl(¢�ku`Yv�gq�mvjlqehk°bhVYZ  ¡lje$kuZ�gwvj[xd[vjZT[`cbhgwbdkulq`´© UWVY[fkme�gw�Y�sedlcgqirVºkux��sgjx�[}yºlq` eh[vjkmlj` vjedl(¢�ku`Yv®�Y¤Yb�k|x�gq�uxdl®�q[fed£ºi"�uljxd[Âbdl«bdVY[¢Wg(bh[erx�Vs[fy­Zn[}irVsgw`skuxdZ?©KUWVY[Âeh[vjkmlj`­vjedl(¢�ku`Yv±kux�i"lq`cbhedlj�m�u[fy­¤sxdkm`YvÃg®xdZ�gw�u�1`z¤YZ��I[e%lw 2�Yk°¯�[f�uxbhVsg(b2eh[" ¡[e�bhl%bhVY[nxd[[}yYxft´gw`sy�igw`Á�Yedl(�zk|y�[fyC�q[eh£Âxdgwbdk|x� Ngji�bhlqeh£�eh[fxd¤Y�mbhx·¢�k°bhVYlq¤Yb2ku`z�qlj�m�zku`Yv%Z�gw`z£�9gwergwZT["bh[erx©

( �� $B+�( � � ���I �����3+D+ $B� ' +*)�����E ku`ü 7q��½�Vsg��q[��Yehlq�Iljxd[fyÂg@Zn[bdVYl�yC ¡lqe·xd[vjZT[`cbdku`Yv@ergw`Yvj[�kmZnogqvq[}x=ku`cbdln�Y�ugq`sgweWgw`9y%xd[fi"lj`sy@ljehyY[eWx�¤Yed Ngqi[fxf©3UWVskuxWgw�s�YedlcgqirV%ilq`sxdk|x�brx=lq ´b�¢¥lTx�bd[�9x,+cbdVs[�ZTl�y�[f�°oxd[�u[fi"bdkulq`�gw`sy%bdVY[2ZTl�y�[�mo¾ed[}i"l(�q[fed£jtqbhVsg(b1gqed[2x�lj�m�j[fy�x�[}»j¤s[`cbdk|gw�u�m£�¢�kmbdVskm`?gw`�k°bh[erg(bhkm�j[·�Yehl�i"[}y�¤Yeh[¢�Vs[eh[��sgqe�bhkugq�m�u£Âed[}i"l(�j[eh£%lw ¥bdVY[nZTl�y�[�|x�kux· ¡lq�u�ul(¢¥[}yC�z£ÂZTlzyY[��x�[f�m[}i�bhkmlj`­ª¡lj��bdkuZTkm¶}g(bhkmlj`Á�Yehl�i"["oyY¤Yed[�¬WbhVsg(b�ed[���[fi�brx�bhVY[�-�¢¥[}gw¨/.�Znl�y�[f�uxf©·UWVskux·km`cbh[ergqi�bhkm�j[�x�[}»c¤Y[`cbdk|gw�u�u£��Yehl�i"[}y�¤Yeh[�kux·�I[ed ¡lqehZn[}y¤s`jbhkm��i"lq`z�j[ehvq[`9i"[q©

021@K�043

Page 8: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ 6

�(���$ �� + � km`±¼u���f½¾t�Vsg��q[��Yehlq�Iljxd[fy�g�eh[fi¤Yehxdku�q[�ÏC�G8�op�sgjx�[}y�xd[vjZT[`cbhgwbdkulq`�gq�mvjlqehk°bhVYZ?©3UWVskuxgq�mvjlqehk°bhVYZ Z�gw¨j[fx�¤9x�[1lq ´g�ÅWg�£q[fx�xdZTlzlwbdVskm`Yv�lj�9[fehgwbdkulq`nbdV9g(b=£zku[�|yYx�bhl2bdVY[ +G�%�����3�(�����(�� y�k|x�bhedku�Y¤�obhkmlj`�lw �bhVY[³ed[}gw�jxhi"[f`Y[fx³ªNxd[vjZT[`cbhgwbdkulq`9¬´��gq�m¤s[fx�vqku�q[`2bhVY[³`Ylqk|x�£�kuZTgqvq[j© �1l(¢³[�j[e}tbhVY[Wgqxhx�¤YZT��bhkmlj`bhVsg(b�bhVY[�vqku�q[f`%kuZ�gwvq[2k|x1i"ljedeh¤Y��bh[fy%�c£%¢�VYk°bh[�`Ylqk|xd[2ilq`sx�bdergwku`sx¥bdVs[�Znl�y�[f�Ægw�s�Y�mk|igq�Yku�mkmb�£q©

G��=".�( + $B� � �J����� km`­¼m�}��½pt�V9g��q[��sedlj�9lcx�[}yÂg%ÅWg�£q[}x�k|gw`? ¡ergwZT[¢³lqeh¨�bdVsgwb�¤Y`sk°µs[}x2x�[f�q[ergw�3gw��o�sedlcgqirVY[}x�lq ³kuZ�gwvq[�xd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`´©TUWVYkux�gw�Y�YehljgjirVCk|x�kmZT�Y�u[ZT[f`jbh[fy±ku`�bhVY[@i"lj`cbd["¯zb�lw �ÏÂgweh¨ql(���gw`sy�ljZ 83km[f�uysxtY¢�Vs[eh[2gT�j[eh£T¿s["¯�ku�Y�u[�lq����[}i�bdku�q[� ¡¤Y`9i�bdkulq`Âk|x�y�[µs`Y[fy�bhVsg(b·ifgw`��9[2bhehgq`sx� ¡lqehZn[}ybhl�xd[�j[ergw�=¢³[�u�W¨z`Yl(¢�`ÃkuZTgqvq[�x�[fvqZT[`cbhgwbdkulq`Àbh[firVY`Yk|»c¤Y[fx$�z£®ZTlzyYk° ¡£zku`Yv�kmbhxn�sgqehgqZT["bd[fehxf©�UWVskuxZT[bdVYl�y�kux�»c¤Ykmbd[�vj[`Y[fehgq��gw`sy?xd[[Z�x³bhlnV9g��q[�gw`�kmZT�Yeh[fxhxdkm�j[·�I[ed ¡lqehZ�gw`si[q©

+����.� $ +�$B� ' � E��� ku`«¼?7�7}½�V9g��q[��Yehlq�Iljxd[fyÁg@b�¢³lwoax�brgwvj[�x�[fvqZT[`cbrg(bdkulq`ÁZn[bdVYl�y�© § `�ku`Ykmbdk|gw��sk°¯�[�´i�ugjxdxdkmµ9igwbdkulq`%k|xWlq�Ybhgwku`Y[}y%�z£%gq`sgw�u£z¶ku`Yv�bhVY[�y�k|x�bhedku�Y¤�bhkmlj`sxWlw �bdVY[�ilwo¾l�ii"¤sedeh[`si[�Z�g(bhedk|i"[}x©UWVs[³�ul�igq�si"lj`sx�k|x�bd[`9i"£�lw -�Ykm¯�[�si�ugjxdxdk°µIig(bhkmlj`�k|x3bdVY[f`TkmZT�Y�u[ZT[`cbh[fy�gw`9y�¤Y�-yYgwbd[fyn�z£�Z�gw¯zkuZTkm¶fkm`svbhVY[�[`cbhedlj�c£�lw 9�ul�igq�Ykm`Y ¡lqehZTgwbdkulq`´tq¢�VY[eh[Wed[fvqkulq`nkm`� ¡ljedZ�gwbdkulq`nkux�[¯��Yed[}xdxd[fy��zkug�ilq`sy�kmbdkulq`9gw���Yehlq��ogq�Yku�mkmbdku[fxftY¢�VYk|irVÂgweh[�[}x�bhkmZ�gwbd[fy� ¡ehlqZ+bdVY[�ilwo¾l�ii"¤sedeh[`si[�Z�g(bhedkm¯�[fxf© § yYy�kmbdkulq`9gw�u�m£jt�bdVY[��9lj¤Y`syYgqed£ku`� ¡ljedZ�g(bhkmlj`�k|xW["¯��Yeh[fxhxd[fy@�zk|gTi"lq`9y�k°bhkmlj`sgw���sedlj�sgw�Yku�uk°bhkm[}xt�¢�VYk|irV?gweh[2yY["bd[fedZTku`Y[fy +I��(���� (�� ©

��+��-�=��� � ��+ $1� ( ����� km`K¼ \.;�½³V9g��q[%�sedlj�9lcx�[}y®gCZT["bhVYl�y®bdV9g(b�i"lqZ$�Yku`Y[fx$ed[fvqkulq`®vjedl(¢�ku`YvCgw`9y[}y�vq[�y�[bd[}i�bdkulq`T ¡lje�kmZ�gqvq[1xd[vqZT[f`jbrg(bhkmlj`´©�UWVY[Wµ9ehx�b=x�brgwvj[³lq -bdVYk|x�gw�s�YedlcgqirV$ed[f�mku[fx�lj`�g�x��Y�ukmb�oagw`syzoZT[fedvj[2gq�mvjlqehk°bhVYZ bhVsg(b�gqkmZ�x·g(b1�Yehl(�zkuy�ku`Yv�gw`?l(�j[edo¾xd[vjZn[f`cbd[fy%ed[}x�¤s�°b}©¥UWVY[f`´tYbhVY[�lq¤Ybd�Y¤�b·lw �bdVY[xd�Y�uk°bdo¾gq`syzo¾ZT[ehvq[2�Yehlzi[fy�¤sed[�k|x�ilqZ��skm`Y[}y?¢�k°bhVÂ�9lj¤Y`syYgqed£�i"ehk°bh[ehkug�gq`sy?ZT[fgjx�¤Yeh[ZT[f`jbrx�eh[fxd¤Y�°bhkm`svlj`ÃbhVY[�µs`sgw��xd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`ÃZ�gw� ªNy�¤sedku`Yv�bdVYk|x�x�bh[�´t=bdVY[�ku`Yk°bhkugq��ed[fvqkulq`Ã�Ilq¤s`syYgwehku[fxTgweh[%[fk°bhVY[eZTl�y�kmµs[fy´tYlqe³bdlqbhgq�m�u£%[f�mkuZTkm`sgwbd[}ys¬�©

���$2�4�+�$B� ku`�¼ \c�f½�Vsgqx%�Yedlj�9lcx�[}yºg®x��I[fik°µ9iÁgw�Y�Y�uk|ig(bhkmlj`ºbdVsgwb%�I[ed ¡lqehZTx%x�[fvqZT[`cbhgwbdkulq`Ggw`9yZTl�y�[f�mku`Yvs©¥UWVYkux�gw�Y�YehljgjirV%k|x1y�ku�zkuy�[}y�km`cbdlTb�¢³l�x�brgwvj[fxf©�¸�¤Yehku`YvnbdVY[�µ9ehx�b�x�brgwvj[·bhVY[�ku`Y�Y¤�b�kuZ�gwvj[k|x�xd[vqZT[f`jbh[fy­km`cbhlÀilq`z�q[¯«i"ljZn�Ilq`s[`cbhxf© UWVs[Cx�[}i"lq`9y«x�bhgwvj[?ed[f�mku[fxnlq`­µYbdbdku`Yv®�sgwergwZT[bdehkui�\q¸yY[" ¡lqehZ�gw�Y�u[�ZTl�y�[�|x�bdl�bdVY[³x�[fvqZT[`cbd[}y�kuZTgqvq[j© �1l(¢³[�j[e}tbhVYk|x�gq�Y�YehljgqirV�V9gqx��mkuZTk°bh[fy�gq�Y�Y�ukuifgw�Yku�uk°b�£xd["b}©

' � �J* + $ +�$B� / � +�����( � ku`±¼ 6}½¾t�Vsg��j[·�Yehlq�Iljxd[fy%g�Z$¤Y�°bhk°oaxhigw�u[2ųg�£j[fxdkugq`T ¡lqehZ�¤Y�|g(bhkmlj`@ ¡lje³kuZ�gwvj[xd[vjZT[`cbhgwbdkulq`�bdVsgwb·ZTkm`skmZTku¶[fx1bdVY[$x�ku¶[�ZTk|xdi�ugjxdxdk°µ9[fy�ed[fvqkulq`sx�gq`syÂy�[}i"eh[fgqxd[fx�yYehgjx�bhkuifgw�u�m£%bdVY[�eh["o»c¤Ykueh[fy�i"ljZT�Y¤�bhgwbdkulq`sgq�9iljx�bf©'8Y¤YedbdVs[ehZnljed[jtwbhVY[�gq¤�bdVslqerx�Vsg��q[��Yedlj�9lcx�[}y�g�ZT["bhVYl�yTbdlny�["bh[ehZTkm`Y[lj��bdkuZ�gw�u�m£@bdVY[�ZTl�y�[�Æ�sgwergwZT["bh[erx©

# �J* &�� ( �I+�$B� / �J+�� ku`�¼ \.7}½cVsg��q[��Yehlq�Iljxd[fy2gW�(gwehkugwbdkulq`sgq�� ¡ehgqZT[¢³lqeh¨� ¡lqeÆxd[vjZT[`cbdku`Yv1gw`�kuZ�gwvj[ku`cbdl�VslqZTlqvj[`Y[flq¤sx�eh[vjkmlj`sx©3UWVY[kue=ZT[bdVYl�y�i"ljZ��Yku`Y[}x�bdVsed[f[�y�km²I[fed[f`jb³gqxd�9[}i�bhx-9�bdVY[1�u[`svwbdV�lq �bdVY[Vz£z�IlwbdVs["bdk|igq���9lj¤Y`syYgqed£jt´bhVY[�vqergqy�ku[`cb2�(gw�u¤Y[fx�gqZTlq`Yv�bdVs[��9lj¤Y`syYgqed£C�sk°¯�[�|x�gw`9yÁbhVY[@y�km²I[fed[f`si"[�I["b�¢³[[f`@bhVY[2vqku�q[`%kmZ�gwvj[�gq`sy%gnxdZnlzlqbdV%�j[erx�kulq`%lw Ækmbf© § yYyYk°bhkmlj`sgw�u�m£jtYg�eh[vj¤Y�|gwehk°b�£Ti"lj`sx�bhehgqkm`cb³kuxkuZT�9lcx�[}y@ ¡ljeWbdVY[��Ilq¤s`syYgweh£q©

��� +���( +�� � (��4E��� +�� ku`«¼ �(½¾t-Vsg��q[��sedlj�9lcx�[}yCg�bh[firVY`Yk|»c¤Y[$bdVsgwb·ku`jbh[vjehgwbd[fx·vqergqyYkm[f`jb�gw`syÂeh[vjkmlj`ku`� ¡ljedZ�g(bhkmlj`¢�k°bhVYku`Ág@y�[ ¡lqehZTgq�Y�u[��9lj¤Y`syYgqed£�µs`syYkm`Yv@ ¡ehgqZn[f¢¥ljed¨-©�� � � + $1� � �J����� km`®¼ �j\�½�Vsg��j[�sedlj�9lcx�[}y«gÀx�brg(bhkux�bdk|igq�³�(gqedk|g(bhkmlj`sgw��gw�s�YedlcgqirVâ�VskuirVºi"ljZ��Yku`Y[fxnbhVY[?vq[flqZT["bhedk|igq�¥ ¡[}g(bh¤Yed[}xnlw �gxd`sgq¨q[�>(�sgw�u�ulclj`ÁZTl�y�[�³gw`sy±bhVY[%x�bhgwbdk|x�bhkuifgw��bh[firVY`sku»c¤Y[}x�lw �eh[vqkulq`Àvjedl(¢�ku`Yvs©�UWVYk|x�gw�s�YedlcgqirV±Vsgqx�I[[f`?ed[}i"[`cbh�m£@kuZT�Y�u[ZT[`cbd[}y�¢�k°bhV�bhVY[��u[�q[f�´x�[bW ¡ehgqZn[f¢¥ljed¨�ku`À¼ � H�½¾©

/A+ * ����$ �� +�� km`¼ \q�(½IVsg��j[��Yehlq�Iljxd[fyTg�xd¤Y�9[fed�zk|x�[}y�i"�|gqxhx�kmµ9ifg(bdkulq`TZTl�y�[�sbdVsgwb³gqkmZ�x=gwb�µs`syYkm`Yvg±�sgqe�bhk°bhkmlj` ilqZT�Iljxd[fyÃlq �VslqZTlqvj[`Y[flq¤sx$ed[fvqkulq`sxf©ºUWVY[£«gjxdxd¤YZT[�bdVsgwbTbdVY[Â`z¤YZ$�9[fe�lw �i�ugjxdxd[fx

KLK � M2N�O�P�N

Page 9: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

; � ���������A�G! � �)�� / +�$B� ! +����.�����'!G) �� ��

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

..

...

.. .

.

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Input ImageStatistical

Analysis

Component 1

Component 2

Component N

ExtractionBoundary

ProcessingData

Region 1

Region N

Region 2

Boundary N

Boundary 2

Boundary 1

Level Set NCurve:) 2

Level Set 1Curve:) 1

Level Set 2Curve:) N

Image Segmentation

Modeling PhaseSegmentation Phase

83kuvq¤Yeh[��.9�ϤY�°bhk°o¾�YVsgjx�[�"¥lq¤s�Y�m[}y%¦�[l�y�[}x�k|i § i�bdku�q[���[vjkmlj`sx= ¡lqe³^aZTgqvq[2Îz[vjZn[f`cbhg(bhkmlj` 9 � � È��ÌzË��������� ©

gjxT¢¥[f�m�1gjxnbdVY[fkme%km`cbd[f`sxdk°b�£Ã�sedlj�9[fe�bhkm[}x�gweh[�¨z`Yl(¢�`Æt¥gw`9yà¡ljedZ$¤Y�ugwbd[�bdVs[Ci"�|gqxhx�kmµ9igwbdkulq` �Yehlq�Y�u[Z¤9x�ku`Yv�g%�(gwehkugwbdkulq`sgq�´ ¡ergwZT[¢³lqeh¨-tYbdV9g(b�gqkmZ�x�g(b2�Yehlq�sgqvjg(bhkm`sv�Z�¤�bh¤sgw�u�m£?[¯�i�m¤9x�ku�q[$ed[fvq¤Y�|gwe�i¤Yeh�q[fxbhl(¢³gqehysx�bhVY[Áy�km²-[eh[`cb%i"�|gqxhx�[}x©KUWVY[Ái"¤sed�j[��sedlj�sgwvcg(bdkulq`­kux@kmZT�Y�u[ZT[`cbh[fyº¤sxdkm`svÀbdVY[C�u[�j[��xd["bbhVY[ljed£j© �1l(¢³[�j[e}t�bdVYk|xTZTl�y�[�1gjxdxd¤YZT[�kuZT�9lje�brgw`cb��Yehkmlje$¨z`Yl(¢��u[fy�vj[qt�k|xn�q[fed£Ãxd[`sxdkmbdku�q[�bdl±bdVY[ku`Ykmbdk|gw�Æilq`syYk°bhkmlj`sx�gw`sy�y�lz[fxW`slwb1Z�gw¨j[·¤sxd[�lw �gw`z£ -�[fy�vj[".¾op�9gqxd[fy@ku`� ¡ljedZ�g(bhkmlj`´©§ xdkuZnku�|gwe� ¡ergwZT[¢³lqeh¨®k|x@�Yehlq�Iljxd[fy­�z£ ��� +�$ +�$B� %���� ku`�¼u�-H�½¾©PUWVskux�ZTl�y�[f�1 ¡lq�u�ul(¢1xTbdVY[

xhgwZT[��Yehkm`sikm�s�m[2¢�kmbdV�bdVY[�lj`Y[·ku`À¼ \j��½´�Y¤�b�k|x�i"lj`sx�bhehgqkm`s[fy@�z£%g$�YkmopZTl�yYgq�´gqxhx�¤YZT��bhkmlj`´tz¢�VY[eh[�bdVY[ku`Y�Y¤Yb$kuZTgqvq[�k|x�gjxdxd¤YZT[fy�bdlÁ�9[%gÁx�£z`cbdVY[}x�k|x�lq ³b�¢³lCi"�|gqxhxd[fxf© ��l(¢¥[f�q[e}t´bhVYk|x�ZTl�y�[�³y�[fgq�ux�¢�kmbdVbhVY[T¤Y`�oax�¤s�9[fed�zk|x�[}yÂkmZ�gqvq[Tx�[fvqZT[`cbhgwbdkulq`±igqxd[qt-¢�VY[fed[$bdVs[eh[$k|x2`Yl�`Y[[}yÁlq  + ��(�����(�� ¨z`Yl(¢��u[fyYvq[q©Î�kmZTku�ugqed�u£C¢�kmbdV±bdVY[@gq�Y�YehljgjirVCkm`º¼ \q��½¾t´bhVY[@i"¤sed�j[n�sedlj�sgwvcg(bdkulq`Ákux2kuZT�Y�m[fZT[`cbd[}y�¤9x�ku`Yv?bdVs[n�u[�j[�xd["b�bhVY[ljed£j©=UWVYk|x1ZTl�y�[�Ækux1xd[`9x�kmbdku�q[2bhlTbdVY[�ku`Ykmbdk|gw�Æi¤Yeh�q[�i"lj`sy�kmbdkulq`sx1gq`sy?y�lz[fx�`slwb1Z�gw¨j[�¤sx�[�lq gq`z£ -�[}y�vq[�.po¾�sgjx�[}y�km`Y ¡lqehZTgwbdkulq`´©

��[eh[qt(¢³[=¢�ku�m�c�Yeh[fxd[`cb3g�¤Y`Ykmµs[fy$gw�Y�YehljgjirV� ¡lqe3kmZ�gwvj[¥xd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`2bdVsgwb3ku`silqeh�9ljehgwbd[fx´�9lj¤Y`syzogqed£ºgw`9yGed[fvqkulq`Gku`� ¡lqehZ�g(bhkmlj` x�lj¤Yehi[fx%¤Y`sy�[fe�g­i"¤Yeh�q[op�sgjx�[}y Znku`YkuZTkm¶}g(bdkulq`  ¡ehgqZn[f¢¥ljed¨-©�UWVskux ¡ergwZT[f¢¥ljed¨Àk|x�["¯��Y�ulqkmbd[}y­y�kueh[fi�bh�m£« ¡edljZÄbdVs[ � ÈcÌ Í È � � �G�T�w� � �9È �%È����¡Ì � ¼ \q�Yt=\.6�½1Znl�y�[f��gw`9y�sed[}x�[f`jbrxWx�ljZn[2�j[eh£@`Yk|i"[2�Yehlq�I[edbdku[fxf©�UWVskux1gq�Y�YehljgjirV@kux�y�[�Yk|i�bh[fy�ku`±¼ � � �2ª���¬¾½¾©UWVY[1µsehx�b¥x�bhgqvq[Wed[ ¡[erx�bdl$g2Znl�y�[f�mku`Yv��YV9gqxd[1¢�VY[eh[WbdVs[1lq�sxd[eh�q[}y�Vskux�bdljvqergwZ k|x=gq�Y�Yehl�¯zkuZ�g(bh[fy

¤9x�ku`Yv«g®ZTkm¯zbd¤Yeh[Clw �¦2gq¤sxdxdk|gw` i"ljZT�9lj`Y[`cbhxf© UWVYk|x%gq`sgw�u£�x�k|x@y�[f`Ylwbh[fx�bhVY[Áeh[vjkmlj`sx�`z¤YZ$�9[fe�gqx¢³[�u��gqx·bdVs[kue�x�brg(bdk|x�bdk|ixft´x�ku`si"[�g?¦2gw¤sxhxdkugq`�i"ljZT�9lj`Y[`cb2kux2g(bdbhgjirVY[fyCbdl?[fgjirVÁeh[vqkulq`Æ©�UWVY[`Æt�bdVY[

021@K�043

Page 10: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ �

xd[vjZT[`cbhgwbdkulq`Âk|x1�I[ed ¡lqehZn[}yÂ�z£?[ZT�Y�ul(£cku`Yv�bhVY[n¦�[fl�y�[fxdkui § i�bhkm�j[���[vjkmlj`CZTl�y�[�p©·UWVY[ny�km²I[fed[f`jbeh[vjkmlj`��9lj¤Y`syYgqedku[fx¥gweh[·y�[bd[fedZTku`Y[fy�¤9x�ku`Yv$g��Yehlq�sgq�Ykm�uk|x�bhkui�Znl�y�¤s�m[·�c£@xd[[f¨zkm`Yv� ¡lqe³�ml�igq�IyYkuxhi"lj`jbhk°o`z¤Ykmbdku[fxWlj`%bhVY[�x�bhg(bhkux�bdk|igq��x��sgji"[�bdV9g(b�kux�gqxhx�l�i"k|g(bh[fy�¢�kmbdV�bhVY[�kmZ�gqvq[· ¡[fg(bh¤Yeh[fxf©�UWVskux�ku`� ¡ljedZ�g(bhkmlj`k|x1ilqZ��skm`Y[}y%¢�kmbdV?bhVY[�eh[vqkulq`�lq`Y[jtY¢�VYk|irV?kux�[¯��Yed[}xdxd[fy�y�kued[}i�bd�u£@ ¡ehlqZ i"lj`sy�kmbdkulq`sgq���Yedlj�sgw�skm�uk°bhkm[}xteh[fxd¤Y�mbdku`Yv@ku`Cg@vj[l�y�[fxdk|i�gqi�bhkm�j[�eh[vqkulq`?�sgjx�[}yÂx�[fvqZT[`cbrg(bdkulq`? ¡ergwZT[f¢¥ljed¨-©WUWVY[$y�[µs`Y[}yÂlq����[}i�bhkm�j[ ¡¤s`si�bhkmlj`nk|x�ZTku`YkmZTku¶[}yT¢�k°bhV�ed[}x��I[fi"b�bdl2bdVs[1y�k°²-[eh[`cb�eh[vjkmlj`$�Ilq¤Y`9yYgwehkm[}x�ª¡Z$¤Y�°bhkm�s�m[�i¤Yeh�q[fxr¬�¤sxdkm`Yvg·vqergqyYkm[f`jb3y�[fxhi"[f`jb�ZT["bhVYl�y�tw¢�VY[fed[¥bdVY[³lq�Ybhgwku`Y[}y�[f»c¤sgwbdkulq`sx3gweh[=kuZT�Y�u[ZT[`cbd[}y�¤9x�ku`Yv·bdVY[³�m[f�q[f�zxd["bbhVY[ljed£j©�Ï?ljed[fl(�q[feftsbdVY[nx�[b��u[�j[��x�[b·[f»c¤sgwbdkulq`sx·gweh[$ilq¤Y�Y�u[fyC�c£Ây�[fZ�gw`sy�ku`Yv�g@`Ylj`�opl(�j[eh�ugq�Y�Yku`Yvxd["bnlw ·i¤Yeh�q[fx$x�ku`si[�[}gqirV®�Ykm¯�[�Wlw �bhVY[�kuZ�gwvj[�igq`Y`Ylqb$�I[�ulq`YvÁbdl±Znljed[%bdVsgq`Ãlq`s[%eh[vqkulq`Æ©±UWVY[eh[fxd¤Y�mbdku`YvCZTl�y�[�Wy�[}gw�|x�gw¤YbdlqZ�gwbdk|igw�u�u£�¢�kmbdV®bhVY[�irV9gw`Yvj[fx�lq �bdlq�Ilq�ulqvj£ÁbhVY[eh[�z£Àgw�u�ml(¢�ku`YvÂ[fk°bhVY[exd[�j[ergw��xd¤Y��o¾ed[fvqkulq`sx2¢�kmbdVÃbdVY[�xdgqZn[%km`cbd[f`sxdk°b�£±�Yehlq�I[edbdku[fx2bhlC�9[%bdVY[%lq¤�bh�Y¤�b$lq 1gCx�ku`Yvj�m[@ku`Ykmbdk|gw�i¤Yeh�q[qtÆlqe�g?xdkm`Yvj�m[@i¤Yeh�q[nbdlÂ�I[TbdVY[%lq¤�bh�Y¤�b�lq ³Z$¤Y�°bhkm�s�m[�ku`Ykmbdk|gw�¥i¤Yeh�q[fxf© 83km`9gw�u�m£jt´bdVs[@lq����[}i�bhkm�j[ ¡¤s`si�bhkmlj`±k|x2¤sxd[fy�¢�k°bhVYku`�bhVY[@i"lj`cbd["¯zb�lw Wg?i"ljgqehxd[�bhl?µs`Y[TZ�¤s�°bhk°oaxdifgw�u[�gw�Y�YehljgjirVÂbdV9g(b�ku`si"eh[fgjx�[}xbhVY[�i"lj`z�q[ehvq[f`si"[·ehgwbd[�gw`9y�y�[}i"eh[fgjx�[}x=bhVY[�ehkuxd¨@lw �i"lj`c�j[ehvqku`Yv�bhl�gT�ml�igq��ZTkm`YkuZ�¤sZ�©UWVY[�eh[ZTku`sy�[fe�lw =bhVYk|x��sgw�I[e�k|x�ljedvcgw`Yku¶[}yCgqx� ¡lj�m�ul(¢1x©T^a`®xd[fi�bhkmlj` 7%bhVY[��Yehlq�Y�u[Z lq WyY["bd[fe�o

ZTku`Yku`Yv�bhVY[�`c¤sZ��I[e³lw Æeh[vjkmlj`sx=gq`syTbdVs[kue³ku`cbd[f`sx�kmb�£T�Yehlq�I[edbdku[fx¥kux³i"lj`sx�k|y�[fed[}y�tj¢�Vskm�u[·ku`�xd[fi"bdkulq`%\g�¦�[l�y�[fxdk|i § i�bhkm�j[���[vjkmlj`�o¾�sgqxd[fy?gw�s�YedlcgqirV� ¡lqe·kmZ�gqvq[�xd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`?kux·�Yehlq�Iljxd[fy�©�UWVY[$kmZT�Y�u["oZT[f`jbrg(bhkmlj`�kuxhx�¤s[fx¥lw �bdVskux³gw�Y�sedlcgqirV�gweh[1["¯YgqZnku`Y[}yTkm`%xd[fi"bdkulq`@�9tj¢�Vskm�u[1bhVY[·ilq¤Y�Y�uku`Yv��I["b�¢³[[f`�bdVY[yYk°²-[eh[`cb2�m[f�q[��xd["b� ¡¤s`si�bhkmlj`sx�kux�ku`jbhedl�y�¤9i"[fyCkm`±x�[}i�bdkulq` 6�©�Îz[fi"bdkulq` ;%i"lj`cbhgwku`sx�bdVY[$µs`sgq�3 ¡lqehZ lq bhVY[��Yedlj�9lcx�[}y@xd[vqZT[f`jbrg(bhkmlj`��sgwergqy�kuvqZ bhVsg(bWkuxWilq`sxdkuyY[eh[fyTku`�g$Z�¤Y�mbdkmo¾xhigq�m[�gw�Y�sedlcgqirV��Yeh[fxd[`cbd[}yku`Âx�[}i�bhkmlj`Â��© 83ku`sgw�u�u£qtsilq`si�m¤sxdkulq`sxWgw`9y�yYkuxhi"¤sxhxdkmlj`�gw�s�9[}gwe�ku`?xd[fi"bdkulq`?�Y©

� �æ�!$�"��#��'.�#%� ����1�")�0n��.2���"�����"�³�

^a`%lqery�[e=bdl$xdkuZn�s�mkm ¡£TbdVY[�`Ylqbhg(bhkmlj`@gw`sy�bdl��I["bdbd[feWgq`sy�[}gqxdkm[fe=ku`jbhedl�y�¤9i"[1bhVY[��Yedlj�9lcx�[}yTZTlzyY[�ptc�u["b¤9xWZTgq¨q[�xdlqZT[�y�["µs`sk°bhkmlj`sx�9

: д[b���bdVY[$km`Y�s¤�b�kuZ�gwvj[qt-gw`sy?�u["b������³�I[�bhVY[�lj�sxd[eh�q[fy?y�[f`sxdk°b�£� ¡¤Y`si"bdkulq`«ªNVYk|x�bhlqvqergwZ@¬Wlq bdVYk|x�kuZ�gwvq[jt

: д[b ����� �����������������! #"%$'&��I[ÂgÁ�9gwedbdkmbdkulq`«lq 1bdVs[�kuZ�gwvj[�ku`cbdl(" `Ylj`�opl(�j[eh�ugq�Y�Yku`Yved[fvqkulq`sxft�gw`sy��u["b*)����+����,�-)������.�/�(�0�1 2"%$'&��I[2bdVY[�eh[vjkmlj`��Ilq¤s`syYgwehku[fxft

: § `sy´tY�m[b�34���9[�bdVs[�x�[fvqZT[`cbhgwbdkulq`�Vz£c�IlwbhVY[fxdk|x³bdVsgwb1kux�gjxdxdl�i"k|g(bd[}y@¢�kmbdV�bdVs[�ed[fvqkulq`5����©

UWVY[�¨q[f£®Vz£c�IlwbhVY[fxdk|x�bhVsg(bTkuxnZ�gqyY[%bhl��I[ed ¡lqehZÄx�[fvqZT[`cbhgwbdkulq`Ãeh[�uku[fx$lq`ÃbhVY[� Ngqi�bnbdV9g(bTbdVY[kuZ�gwvj[·k|x�i"ljZn�Iljxd[fy�lw 3VYlqZTljvq[`s[lq¤9x=eh[vjkmlj`sx©�UWVYk|x�igq`��I[�[fgjx�ku�m£��sedlq��[fi�bh[fy@bdlTbdVs[��sedlj�sgw�Yku�uk°b�£yY[`sxdk°b�£@xd�sgji"[·bdVsgwbWk|x�gqxhxdlzikugwbd[}y�¢�k°bhV�bdVY[2kuZTgqvq[· ¡[fgwbd¤Yeh[fx2ª¡Vskux�bdljvqergwZ@¬��z£@gjxdxd¤YZTkm`sv�bhVsg(b�[fgjirVeh[vjkmlj`%k|xWed[f�Yeh[fxd[`cbd[}y@bhl$bhVY[�lq�9x�[fed�j[fy%yY[`sxdk°b�£@ ¡¤Y`si�bhkmlj`¢�k°bhVÂgT¦2gq¤sxhx�k|gw`�[�u[ZT[`cbf©ÐÆ["b768�9I�9[=bdVY[¥�Yedlj�sgw�skm�uk°b�£�y�[`9x�kmb�£� ¡¤Y`si�bhkmlj`�¢�kmbdV�eh[fxd�9[}i�b´bhl�bdVs[=ku`jbh[`sxdkmb�£2xd�sgji"[�lw �bhVY[=kuZ�gwvj[

��ªNy�[bd[ehZTkm`s[fy�y�kued[}i�bh�m£� ¡edljZ bdVs[1VYk|x�bhlqvqergwZ:�����¾¬"©3^¾ �¢³[1gqxhx�¤sZn[WbhVsg(b�bhVYk|x��Yehlq�sgq�Yku�mkmb�£�y�[f`sx�kmb�£ ¡¤s`si�bhkmlj`±k|x2VYljZnljvq[f`Y[lj¤sxt-bhVY[`®gq`�ku`cbd[`9x�kmb�£C�(gw�u¤Y[<;®kux�yY[ehkm�j[fy��c£�x�[f�m[}i�bdku`YvÂg?i"ljZn�Ilq`s[`cb>=

KLK � M2N�O�P�N

Page 11: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

� � ���������A�G! � �)�� / +�$B� ! +����.�����'!G) �� ��

¢�kmbdV +,�B(���� (�� �Yehlq�sgq�Yku�mkmb�£�����gq`syCbhVY[`Àxd[�u[fi�bhkm`sv�bhVYk|x��(gw�u¤Y[�gqiilqery�ku`Yv@bhl�bhVY[@y�k|x�bhedku�Y¤�bhkmlj`�lq bhVYk|x�[�u[ZT[`cb 6�� �9d©�UWVskux�Vz£z�IlwbdVs[fxdkuxW�u[fgjyYx³bdl�gTZTk°¯zbh¤Yed[2ZTl�y�[�Ælw �¦2gq¤sxhx�k|gw`�[�u[ZT[`cbrx

������ �����68�; ���� ��� ��� 6�� � ; 6�� �; �� �� ����� ��������� �"!$#&%�'')( '#

ª��}¬

¢�Vs[eh[

: " kux³bhVY[�`z¤YZ��I[e�lq 3ZTkm¯cbh¤Yeh[2ilqZT�Ilq`Y[f`jbrx�ª¡eh[vjkmlj`sxW`z¤YZ��I[e�¬�t

: ���$k|xWbdVs[ +���(�����(�� �Yedlj�sgw�skm�uk°b�£%lw ÆbhVY[�i"ljZT�9lj`Y[`cb*=-t

: § `sy�6�� � 9k|x´bhVY[³km`cbd[f`sxdk°b�£2�Yehlq�sgq�Yku�mkmb�£·y�[f`sxdk°b�£� ¡¤Y`si"bdkulq`�bdVsgwb�k|x´ ¡lj�m�ul(¢¥[}y2�z£·bhVY[¥ilqZT�Ilq`Y[f`jb=-©

UWVskux�ZTkm¯zbd¤Yeh[�ZTlzyY[�jilq`sxdk|x�brx-lw YgW�q[}i�bdlje+*®¢�kmbdV-,!"/. ��¤Y`Y¨z`Yl(¢�`2�sgwergwZT[bd[erx�* � �!�)� � 10 � � � �=5�����! 23242 #"�$ & 9

: UWVY[�`z¤YZ��I[e�lq �ilqZT�Ilq`Y[f`jbrx2¼ "½pt

: UWVY[ +��B(���� (�� �Yehlq�sgq�Yku�mkmb�£@lw 3[fgjirV�ilqZT�9lj`Y[`cb�¼ ���(½pt: § `sy´t�bdVY[�ZT[}gw`À¼ 0���½Ægw`sy�bdVs[�x�brgw`syYgqehy�y�[�zk|g(bhkmlj`�¼ � �(½´lw �[fgqirV?i"ljZT�9lj`Y[`cbf©��[`si[qt´bhVY[eh[@gweh[$b�¢¥l?¨q[f£C�Yehlq�Y�u[Z�x·bdlÂ�I[@y�[}gw�mb2¢�kmbdV 92bdVY[@y�[bd[fedZTku`sg(bhkmlj`�lq ¥bhVY[@i"ljZn�Ilwo

`s[`cbhxW`z¤YZ$�9[feftYgq`sy@bhVY[�[fx�bdkuZ�g(bhkmlj`�lq �bhVY[2¤Y`Y¨z`Yl(¢�`��sgwergwZT["bh[erx5* lw �bdVY[}x�[�ilqZT�Ilq`Y[f`jbrx©�UWVY[ilqZT�Ilq`Y[f`jb1`z¤YZ$�9[fe�k|x1y�[fedku�q[}y�gq¤�bdljZ�g(bdk|igq�m�u£� ¡ehlqZæbdVY[�lq�sxd[eh�q[}y�y�[f`sxdk°b�£% ¡¤Y`si�bhkmlj`C�z£%�ulzlq¨zkm`sv ¡lje��ml�ifgw�´Z�g(¯�kuZ�g�bhVsg(b1ku`Ykmbdk|gw�u�m£�i"ljedeh[fxd�9lj`sy%bdlnbdVY[�Zn[}gw`�km`cbh[`sxdk°b�£��(gw�u¤Y[fx�¢�kmbdVskm`?bhVY[�y�km²I[fed[f`jbeh[vjkmlj`sxf©UWVz¤sxft�bdVs[Álq�9x�[fed�j[fy �Yehlq�sgq�Ykm�ukmb�£ y�[f`sxdk°b�£  ¡¤Y`si"bdkulq`�ª7y�k|xdied[bd[ÁkuZ�gwvj[CVYk|x�bhlqvqergwZ@¬nk|x�xdlqedbd[}y

gjiilqery�km`sv�bhl$bhVY[��Yehlq�sgq�Yku�mkmb�£��(gw�u¤Y[fx1gq`sy�kuxW�Yehl�i"[}xdxd[fy�VYku[ergwerirVYkuifgw�u�m£�gjx³ ¡lq�u�ml(¢1x-9

021@K�043

Page 12: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ �

� � UWVs[�Znlcx�b��Yehlq�9gw�Y�u[·¤s`�op�sedl�i"[}xdxd[fy�ku`jbh[`sxdkmb�£@�(gw�u¤Y[�kux�ilq`sxdk|y�[eh[fy�t� � � ��� bhVYkux1��gq�m¤s[2ilqehed[}x��Ilq`9yYx¥bdl�gn�ml�igq��Z�g(¯�kmZ$¤YZ ªNVYk|x�bhlqvqergwZ��I[fgq¨Y¬�t��� È � kmb1k|x1i"lj`sx�k|y�[fed[}y%gqx�gq`�[f�mkuvqku�Y�u[2Zn[}gw`?�(gw�u¤Y[q©

��� k°b1�Yeh[fxd[`cbrx³gTi[edbhgwku`?y�kux�bhgq`si"[2 ¡ehlqZ bdVY[�gq�meh[fgjy�£@x�[f�m[}i�bh[fy�Zn[}gw`��(gw�u¤Y[fxft

� � È�� bhVY[$ilqZT�9lj`Y[`cb1`z¤YZ$�9[fe�k|x1ku`si"eh[fgjx�[}y��z£�lq`Y[$gw`sy�bhVY[$ifgw`sy�k|yYgwbd[�(gw�u¤Y[�k|x�gqyYyY[fy%bdlTbdVs[�km`Ykmbdk|gw��x�[bWlq �ilqZT�Ilq`Y[f`jbrx©

È /N� È vql$bdl@x�bd[��kp©È /¡� È vjl�bhl@x�bh[�?kp©

� � � ������bdVs[eh[�gweh[�x�bdku�m�ƤY`�oax�[f�m[}i�bd[}y%�(gq�m¤Y[}xtYbdVY[f`�vjl�bhl@x�bh[�?kp©

U�l%y�[f�Ykui"b1bdVs[�gw�Il(�q[�¿sl(¢WoairVsgwedbftYgq`Âkm`cbh[`sxdk°b�£��(gw�u¤Y[�k|x1x�[f�m[}i�bh[fyÂgqx�g�igw`9y�kuysg(bd[�ilqZT�Ilq`Y[f`jbZT[}gw`C�(gw�u¤Y[$k° �kmb�eh[" ¡[fehx1bdl�g@�ulzifgw��ZTgw¯�kmZ$¤YZ�gw`syCxhg(bhkux�µs[}x�g%yYkux�bhgq`si"[ni"lq`9x�bhehgqkm`cb�¢�kmbdVCeh[fxd�I[fi�bbhlnbdVY[�gq�meh[fgjy�£@x�[f�m[}i�bh[fy�lq`Y[}x � ©UWVY[f`´t´vjkm�j[`ÂbhVY[�i"lqZT�Ilq`Y[f`cb�`z¤YZ$�9[fe2gq`syÁgq`Áku`Ykmbdk|gw��[fx�bdkuZ�g(bhkmlj`Álw =bdVY[T¤Y`Y¨z`Yl(¢�`��sgwergwZT[o

bh[erx��wt�bdVs[�µs`sgq��[fx�bdkuZ�g(bdkulq`Àk|x�lq�Ybhgwku`Y[}y�¤9x�ku`YvÁgq`±kmbd[fehgwbdku�q[�xhirVY[ZT[TbdV9g(b�k|x�y�[fedku�q[}yÁ ¡ehlqZ bdVY[ÏCg(¯�kmZ$¤YZ ÐÆkm¨j[�ukmVslcl�yn~�ehkm`sikm�s�m[�¼u�f�(½s¢�VY[eh[WbdVs[��sgwergwZT["bh[e��j[fi�bhlqe ����< ��* Æk|x�bdVY[���gq�m¤s[�lw  ����< ��*>bhVsg(b1Z�gw¯zkuZTkm¶f[fx³bhVY[³��lqku`jb�yY[`sxdk°b�£j©Ï?ljed[fl(�q[feft(g�i"ljedeh[fi"bdkulq`nx�bh[�Tkux��9[fe� ¡ljedZT[fy�bdl2bhVY[ +��J� ���3�(���� (�� [fx�bdkuZ�g(bh[fx�bhVsg(b�[f�mkuZTkm`sgwbd[}x�bdVY[

ilqZT�Ilq`Y[f`jbrx3¢�k°bhV$ku`sxdkmvj`Yk°µIigw`cb3�Yedlj�sgw�skm�uk°b�£j©�UWVY[f`´tqxhgwZT[³�Yedku`sikm�Y�u[³kux�gw�s�Y�mku[fy�bdl�eh["o¾[fx�bdkuZTgwbd[¥bdVY[�9gwergwZT["bh[e��q[}i�bdlje�lw sbhVY[�ZTk°¯zbh¤Yed[WZTl�y�[�´ª¡bdVY[1ilqZT�Ilq`Y[f`jb�`z¤YZ$�9[fe�kux�yY[fi"eh[fgjx�[}ys¬�©3UWVY[W[�<@i"ku[`9i"£lq ÆbhVY[�ZT["bdVslzy�k|x1y�[fZnlj`sx�bderg(bd[}y%ku`±¼ � � ��ª47�t ;j¬¾½¾©

����������� ���=�3����Ä� �!��"�$#%�'&(��)+*-,/.�!�Ä0��!�,/1#���.2���"��#

¦�ku�q[f`�bdVY[�eh[vjkmlj`�`z¤YZ$�9[fe1gqx�¢³[�u��bdVs[kue1["¯��I[fi�bh[fy�ku`jbh[`sxdkmb�£%�Yehlq�I[edbdku[fxft�¢¥[�ifgw`��Yehlzi[[}y%bhlTbdVY[xd[vjZT[`cbhgwbdkulq`%�sVsgqxd[2lw 3bdVY[��Yehlq�Iljxd[fy�gw�Y�sedlcgqirV%¢�kmbdVskm`�bdVs[�¦�[l�y�[fxdk|i § i"bdku�q[���[fvqkulq`�Znl�y�[f�7©

��� �����������������������! "�$#�%'&)(+*,��-.�/&102%3���4�5�UWVs[�µ9ehx�bTyY[Z�gw`sy­lw ·bdVYk|x�ZTl�y�[��eh[�uku[fxnlq`­["¯zbdergqi"bdku`Yv±xdlqZT[?ku`� ¡lqehZ�g(bdkulq`­ed[fvjgqehy�ku`YvÁbdVY[?eh[fgw��Ilq¤s`syYgwehku[fx�lq �[}gqirVÂeh[vjkmlj`´©�UWVYkux·igq`Â�9[ny�lq`Y[��c£�[ZT�Y�ul(£zkm`sv@gw`Â[fyYvq[�y�[bd[}i�bdljeftsbdVz¤sx·�z£�xd[[f¨joku`Yv? ¡lje�VYkuvqV®vqergqyYkm[f`jb��(gw�u¤Y[}x�lq`±bhVY[@ku`Y�Y¤�b�kuZ�gwvj[q©Â¦�km�j[`±bdVY[%Vc£z�IlwbhVY[fxdkux�bdVsgwb�bdVYk|x�kuZ�gwvj[�kux6 3 �Tþ�� �7û.��(þ)�7ÿ ,"û$7 � �ÿ87�û�ÿ�� ����û �pû�� û47��pÿ� �� �� ����û�7� �ý �+ ���û������ �:9�ý *wû��ý1þ��;9�þ���� <�� *:< � �}û�9�pû���>=%��ÿ��!7dþ�� *wû

� ���û *:<�û�ý ���� ?<fÿ����þ �7ý1þ����'��ÿ����¾þ��@7�û57� ������pþrÿ��0� ���(þ)� ��ÿ ,"û���þ � þ����û �:9�ý *wû�� ��9ÿ���ÿ �7ÿ þ��)7. �ý �+ ���û��0� �.�'=%��û��'� � �}û7û4A:9�û����7û.� �;9}ý *wû�zÿ�� 7û�þ.7-�}û.� *:<�û.� ÿ ý�ÿ���þ)�pÿ���%�B9C747�û����pÿ ,"û�� < � �}û�7� �ý � ��}û.�0� #Æÿ � � ����û �7ý1þ���� û.����DFEHGJILKMGJI0��� �*(þ�*}ÿ�� ÿ �N<��O =%��û%���pþ���(þ��� ��û�,fÿ þ)�pÿ� �� ,rþ��89�û��-þ�Nû´û.���pÿ ý1þ)�7û���9�7ÿ��������ûQP����-þ��� � ��û%�7û�7� ��� ����û� �}û.���pÿ �N<¥ý �ý�û.�0�����)#$��ÿ�� û� ��û�þ����R9�ý � �pÿ� �� � ��þ)��þ����,7. �ý �+ ���û��0� �3þ�7û�û4A:9(þ���� < �� �*(þ�*� û�ÿ���9�pû�� �� ��û��7û.Ný�ÿ���û ����û"D'ESGJILK.GJI'��� �*(þ�*}ÿ�� ÿ �pÿ û����

KLK � M2N�O�P�N

Page 13: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

��H � ���������A�G! � �)�� / +�$B� ! +����.�����'!G) �� ��

Input Density

Mixture Approximation

0

0.01

0.02

0.03

0.04

100 200intensities

Component 4

Component 2

Component 3

Component 1

0

0.01

0.02

0.03

0.04

100 200intensitiesªNgc¬ ª¡�I¬ ªNif¬

83kuvq¤Yeh[ 7%9�ªNgj¬=^a`Y�Y¤YbW^aZ�gqvq[qt-ª¡�I¬=^aZ�gqvq[���kux�bdljvqergwZ'gw`sy%k°brxWgw�Y�Yehl�¯�kmZ�gwbdkulq` 9 �'��* �%� $1�$���� � �J*��� �( ��� � # �+ $ � �.��( ���.��*,+�������$ � (�( � ( ����� ������� � �� � )��3�( + �4��� $2� � �J* � �( ������� t-ª7if¬=��[vjkmlj`n^a`cbh[`�oxdkmb�£$~�ehlq�I[edbdku[fxW¼ ��� *��J��$B�$2� �� �s�ugjir¨��sgw`cbrxt �'��* �%� $1�$���� � �sgjir¨zvqehlq¤Y`sy´t �'��* �%� $1�$���� � ª¡V9gwkueftbdo¾xdVYkue�b�¬�t ��� *��%� $B�$2� ��� xd¨cku`�½¾©

ilqZT�Iljxd[fy@lq 3VslqZTlqvj[`Y[flq¤sx¥ed[fvqkulq`sxftcbdVYk|x�ZT["bhVYl�y�¢�km�u���Yehl(�ck|y�[�ed[f�mk|gw�s�m[2vq�ulq�9gw�-�9lj¤Y`syYgqed£%km`� ¡lje�oZ�gwbdkulq`´© �1l(¢³[�j[e}twbhVYkux³ku`� ¡lqehZ�g(bhkmlj`@kux³�Y�uku`sy�t�x�ku`si[·kmbhx³`sgwbd¤Yeh[·ifgw`Y`Ylqb¥�I[�yY["bd[fedZTku`Y[fy´©�^a`%lwbhVY[e¢³lqeryYxftsgT�Ykm¯�[�Æ¢�kmbdVÂkuZT�9lje�brgw`cb�vjehgjy�km[f`cb1��gq�m¤s[@ª¡�Ilq¤Y`sysgweh£��Ykm¯�[� ¬�igq`Y`Ylqb1�9[ng(b�bhedku�Y¤�bh[fy�bhl�bdVY[�Ilq¤s`syYgwehku[fx³lw �gTx��I[fik°µ9i2eh[vjkmlj`Á¼ )�� � ½¾©

��[eh[qt9gq`Âgw�mbd[eh`sgwbdku�q[�ZT["bhVYl�y?kux��Yedlj�9lcx�[}y@bhl%y�[bd[ehZTkm`s[�bdVY[��9lj¤Y`syYgqed£co¾�sgqxd[fy�km`Y ¡lqehZTgwbdkulq`´©ÐÆ["b����9[?gÁ�sk°¯�[�³lw �bdVY[�kmZ�gqvq[qt " ���12gÁ�sgwedbdkmbdkulq`«lw �kmbhxn`Y[fkmvjVc�IlqehVYlzl�y�t�gw`syÃbdVY[%"�� ���.�gw`9y"! 8���1��9[$bdVY[neh[vqkulq`9x�gqxhxdlzikugwbd[}y¢�k°bhVCbhVYkux��ul�igw�3�sgqe�bhk°bhkmlj`´©�Ï?lqeh[l(�j[e}ts�u["b 6 �#" �%$ ���'"����1# � È��� È � Ì � � Í3��� É �Æ� Ì ���Y� � / � � É Í È � � � � É � � � �q� �¡Ì �±Ë%� � �®� È � � È �w��� Ì ��� È�= � É � Ì � � È � � � ©3UWVskux ¡¤s`si�bhkmlj`�ZT[}gqxd¤Yed[}x³bdVY[��Yedlj�sgw�skm�uk°b�£�lq �gTvjkm�j[`��Ykm¯z[f�&��¢�k°bhV�lj�sxd[eh�q[fy%km`cbh[`sxdk°b�£��(gw�u¤Y[fx �7� " ���1 ku`®kmbhx$`Y[kuvqVz�IlqehVYlzlzy�lw 1�I[ku`YvÁgwb�bdVs[@�9lj¤Y`syYgqedku[fx�lw WbdVs[5=±ed[fvqkulq`´©ÂUWVY[f`´t3bdVYk|x��sedlj�sgw�Yku�uk°b�£�kuxvjkm�j[`��c£%bdVY[�ÅWg�£j[fx³ed¤s�m[�gqx³ ¡lj�m�ul(¢1x

6 ��" � $ �7� "����.# � 6 � ���'"����1 �$ " � 6 ��7� " ���1 # 6 ��" � �� 6 � ���'"����1 �$ " �

6 � ���'"����1#'$ � " � $%( �*)" � $ 6 ��"� ª�7q¬

¢�Vs[eh[

: 6 � ���'"����1 �$ " � k|x�bhVY[ � Ì � Í � � �¡Ì�� � /�� Ì � � Í��Y� É �Æ� Ì ���s� � / � � ÉKË%� ���÷� È � � È �w��� Ì � � È =� É � Ì � � È � � � ª����I[�ulq`Yvcx³bdlnbdVs[>=@�Ilq¤Y`9yYgwehkm[}xh¬"t

: 6 � ���'"����1 �$)" � k|x´bhVY[ � Ì�� Í � � �¡Ì � � / ��Ì��´Ê � Ì � � Í3��� É �Æ� Ì ���Y� � / � � É�Ë%� � �C� È � � È �w��� Ì � � È= � É � Ì ��� È � � � ª#��y�lz[fx�`Ylqb��9[f�mlj`YvnbdlTbdVs[>=@�Ilq¤Y`9yYgwehkm[}xh¬"t

021@K�043

Page 14: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ �j�

�������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���� ���������������������� � �

����

����

����

���� RN

R A

N L

R B

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����

������������������

���������

!�!!�!"�""�"

#�##�##�#$�$$�$$�$

%�%%�%&& ''(( RN

R A

N L

π

4ππ 3

2

4Orientation:Orientation:

Orientation: 0 Orientation:

ª7gj¬ ª¡�9¬ ªNif¬

83kuvq¤Yeh[�\%9�ªNgc¬*)1[fkmvjVc�IlqehVYlzl�y��sgwedbdkmbdkulq`?bhVsg(b�ku`sy�k|igwbd[}x�g � Ì � � Í3��� É®�9ljkm`cbft3ª¡�9¬+)1[fkmvjVc�IlqehVYlzl�y�9gwedbdkmbdkulq`�bdVsgwbWku`sy�k|igwbd[}x�g ��Ì ��Ê � Ì � � Í���� ɱ�9ljkm`cb}tƪNi}¬,)1[kuvqVz�IlqehVYlzl�y@�sgqe�bhk°bhkmlj`sx³bdVsgwb1gweh[2ilq`�oxdk|y�[eh[fy�©

: 6 � ���'"����1 #�k|x2bdVY[��sedlj�sgw�Yku�uk°b�£Clq ¥lj�sx�[fed�zku`Yv�bdVY[�`s[kuvqVz�9ljedVslcl�yÁ��gq�m¤s[fx �7� "����1 1vq�ulq�9gw�u�m£km`@bdVY[·kmZ�gwvj[q©�UWVYk|x��Yehlq�sgq�Yku�mkmb�£$ifgw`��I[·y�[bd[ehZTkm`s[fyT�z£�gqxhx�¤YZTku`Yv2bdV9g(b=bhVYk|x�`Y[fkmvjVc�IlqehVYlzl�y�(gw�u¤Y[fx�[kmbdVs[e2ed[ ¡[e�bdl?g%=Â�Ilq¤Y`sysgweh£Â�9ljkm`cb �?¼ 68��7� "����1 '$ " � N½¾t�lqe�bhl�g�`Ylq`Yo =C�9lj¤Y`syYgqed£�9ljkm`cb�¼ 6 � ���'"����1 �$)" � 7½p©

: 83km`sgq�m�u£qt!6 �#"��kux³bhVY[ +0��(���� (�� �Ilq¤Y`9yYgweh£@�Yehlq�sgq�Yku�mkmb�£q©

¸·¤Y[Wbdl�bhVY[³ Ngqi�b�bhVsg(b�bdVs[ + ��(�����(�� �Ilq¤s`syYgweh£��Yehlq�9gw�Yku�mkmb�£�k|x3g2ilq`sx�bhgq`jb�xhigw�u[¥ Ngqi�bhlqe}twkmb�ifgw`n�9[kuvq`slqeh[fy�©�Ï?lqeh[l(�j[e}tbhVY[1i"lj`sy�kmbdkulq`sgq�c�Ilq¤s`syYgweh£@¼ 6 � ���'"����1 �$ " � 7½9gqx�¢³[�u�Ygqx3`Ylj`�op�Ilq¤s`syYgweh£��Yehlq��ogq�Yku�mkmb�£�y�[f`sxdk°b�£Á ¡¤Y`si�bhkmlj`G¼ 68��7� "����1 '$ )" � N½Wigq`±�I[@[}x�bhkmZ�g(bh[fy®y�kueh[fi�bh�m£Á ¡edljZ ¨z`Yl(¢�`®»c¤sgw`cbhk°bhkm[}x©UWVz¤sxft�km ���kux�gn�Ilq¤Y`sysgweh£@�Ykm¯z[f�´lw �bdVY[>=�Vz£z�9lqbdVY[}x�k|xftzbdVY[f`-/. Ì � � Í3��� É10�Ì � Í � � �¡Ì � ¼ � � ��ª7\Y© gj¬¾½#9� �2¹�kmbdVY[fe%bhVY[eh[Âkux�gÀ�sgwedbdkmbdkulq` � "� 8���.2 #"!�/���1$�¢�VY[eh[?bdVY[ÁZnlcx�b��Yedlj�sgw�s�m[Cgjxdxdkmvj`YZT[`cbT ¡lqe"� ���.�k|x =�gw`sy% ¡lqe "!� ���1=k|x321 � 254� = $49

� " ���1 � � �*6 " � ���1 �5�87 $! � � ���·eft¥bdVs[eh[Â["¯�kux�b%gÀ�sgqe�bhk°bhkmlj`,� " ���.2 #" � ���1$·¢�Vs[eh[�bhVY[CZTljx�b@�Yehlq�sgq�Y�u[?gjxdxdkuvq`YZT[`cbn ¡lqe

" ���.�k|x32! -� 254� = $�gq`sy@ ¡lje " � ���1=k|x =19

� "! ���1 � � 7 6 "!�/���1 � � �-$�2UWVz¤sxftWbdVY[ =ºi"lq`9y�k°bhkmlj`sgw���9lj¤Y`syYgqed£ �Yehlq�sgq�Ykm�ukmb�£«igq`G�9[C[}x�bhkmZ�gwbd[fyGyYkmeh[fi"bd�u£« ¡ehlqZ ¨z`Yl(¢�`

»c¤sgq`cbdkmbdku[fx�gqx³ ¡lj�m�ul(¢1xft

KLK � M2N�O�P�N

Page 15: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

��7 � ���������A�G! � �)�� / +�$B� ! +����.�����'!G) �� ��

�������������� � ������������ �������������! "��#$����%����&('*)+� ���,���%�"��&- "��#$���%�"���.'*� ������������/�0�*������� # �����1� & ������� � ������2 354 67�8,9;:=<�>@? # A 7�BC9;:D<�>�?$EF � & ������� # ������1�G�H������� � ������2 354 67�8,9;:=<�>@?%E A 7�B09;:D<I>@? #

ªN\j¬

¢�Vs[eh[Ê�6�� � ���'"��/���.# 1k|x·bdVY[T�Yehlq�sgq�Yku�mkmb�£Âlw  -�ehkmvjVcb .��ulzifgw��eh[vqkulq`«¼ "!�/���1N½��I[ku`YvÂg(b�bdVY[�=Ced[fvqkulq`´tvqku�q[f`%bhVY[�lq�sxd[eh�q[}y@ku`cbd[`9x�kmb�£@�(gw�u¤Y[fxW¢�kmbdVskm`?bhVYkuxWeh[vjkmlj`�¼ �7� "�� ���.#N½¾tÊ�6 7 � ���'"� ���1# ´k|xÆbhVY[W�Yehlq�sgq�Ykm�ukmb�£�lq  -��m[  b .³�ul�igq�ceh[vjkmlj`@¼ "� 8���1N½Y�I[ku`Yv�g(b3bdVs[ 2�eh[vjkmlj`´t(vqku�q[f`bdVY[�lj�sxd[eh�q[fy%km`cbh[`sxdk°b�£��(gw�u¤Y[fxW¢�kmbdVYku`�bdVYk|x�eh[vjkmlj`Á¼ ���'"� ���1#N½¾©Ï?ljed[fl(�q[feft´km ��%kuxW`Ylqb�g�=@�Ilq¤Y`9yYgweh£@�Ykm¯�[��¼ ��� �2ªN\Y© �9¬a½ t3bdVs[` �¾Ì � È �9È � É � Ì �f� � ��/ È �ÆÈ�� � � Ê

� Ì ��� Ì´Ì Í �3����� � � �¡Ì � � � È Ì �f����� Ì �3�Y� / È �Y�}� � � � È�� � �¾Ì � "� ���1 �Y� Ë�È / /·�Y� �pÌ � "�� ���1� � È�� � � È �G� � È =KJTÌ � � � � Í 2 Ë � È � È:�-�2 24& 4� =-© § x%gÃi"lj`sx�[}»c¤Y[`si[qt¥bdVY[�i"lq`9y�k°bhkmlj`sgw� =`slq`�o¾�9lj¤Y`syYgqed£��sedlj�sgw�Yku�uk°b�£�k|x�vqku�q[f`��z£jt�L������������ �.M�N�@�������� ���K���$�O���P ���#$���%�"���('*)�� �������%���RQG ���#-����%�O��&('*� ��������������0�*��������#$�������0�S���������,������ F ��QD��������#$�������S&S���������C���� ª¡�c¬

¢�Vs[eh[ ��� 2 &2igq`%�I[·ku`cbd[`9y�kuifgw�p©�UWVY[`ÆtjbhVY[2�Yehlq�sgq�Ykm�ukmb�£nlq �g$�Yk°¯�[f� ���I[ku`YvTg(b³bdVY[2�Ilq¤Y`9yYgwehkm[}x=lq =%eh[vqkulq`Æt�vqku�q[`�gn`Y[kuvqVz�IlqehVYlzlzy��sgqe�bhk°bhkmlj` "����1�kux�y�[µs`Y[}y�gjx

6,T#���1�� 6 � ���'"����1 �$ " �

6 ��7� " ���1 �$ " � . 6 � ���'"����1 �$)" � ª�6q¬

¦�ku�q[f`?bdVY[�yY["µs`Ykmbdkulq`Álw �bdVY[��Yedlj�sgw�skm�uk°b�£% ¡lqe�g@�Yk°¯�[f� ���9[fkm`Yv�g�=��9lj¤Y`syYgqed£��9ljkm`cb}tYbdVs[�`Y[¯cb�sedlj�Y�m[fZ k|x�bdl�yY["µs`Y[%bdVY[�`Y[fkmvjVc�IlqehVYlzl�y±�sgwedbdkmbdkulq`´©VU�[�i"lj`sx�k|y�[fe� ¡lq¤seny�km²-[eh[`cb$�sgqe�bhk°bhkmlj`sx�lq bhVY[@`Y[fkmvjVz�9ljedVYlzl�y ª bdVs[%�q[fe�bhkuifgw�pt´bhVY[@VYljedku¶lj`jbrgw��gq`sy±bdVY[@b�¢¥lCy�k|gwvjlq`sgq�uxr¬$¼ � � �­ªN\s© �I¬¾½¾©�UWVY[}x�[�9gwedbdkmbdkulq`sxTigq`­�I[?lq��brgwku`Y[fy«�z£«gqxhx�¤sZnku`Yv� ¡lq¤Ye@yYk°²-[eh[`cb�lqehkm[f`cbhg(bhkmlj`sxXWZY �\[�] H^ _8 �^ � a` ^_cb*d�+�k°bV9gqxW�I[[`� ¡lj¤Y`sy�["¯��I[ehkmZT[`cbrgw�u�m£%bdVsgwb�bdVY[�lj��bdkuZ�gw��`Y[fkmvjVc�IlqehVYlzl�y%eh[vjkmlj`sxWgweh[-,"e ,�y�kueh[fi�bhkmlj`sgw�¢�ku`sy�l(¢1xf©�UWVY[n¤sx�[nlw ���e��n¢�km`syYl(¢1x·ied[}g(bd[}x·»c¤Ykmbd[nku`sx�brgw�Y�u[nZn[}gqxd¤Yeh[ZT[`cbhxft-¢�VYku�m[$bdVY[n¤sxd[$lq f e f ¢�ku`sy�l(¢1xTxdZnlzlqbdVY[}xnxdkuvq`Ykmµ9igq`cbd�u£ÀbdVY[?eh[vqkulq`­�9lj¤Y`syYgqedku[fxf©gU±[Â[fx�bdkuZ�g(bd[�bhVY[?�9lj¤Y`syYgqed£�sedlj�sgw�Yku�uk°b�£��z£%¤9x�ku`YvnbdVY[�ZT[}gw`���gq�m¤s[fxWl(�q[fe³bdVY[}x�[2¢�ku`sy�l(¢1xftYgw`sy�¢³[�vj[`Y[fehgwbd[·bdVY[��j[fi"bdlqe�9

" � ���! hY ��ji�6 ��" ��$ ��� 24232 # 5] � 6�k�" �%$ �7�123242 # � lnm 6�k�" �%$ �7�12323202 � � m 6po%" ��$ �7�123242 # , �lpqsr¢�Vs[eh[?bdVY[Â�j[fi�bhlqe�[f�m[fZn[f`cbhx@ilqehed[}x��Ilq`sy«bdlÀbhVY[C�Ilq¤Y`9yYgweh£Ã�Yehlq�sgq�Yku�mkmbdku[fx�¢�kmbdVºeh[fxd�9[}i�b�bhl®bdVY[yYk°²-[eh[`cb2`Y[kuvqVz�IlqehVYlzlzyÁ�sgwedbdkmbdkulq`9x©�UWVs[`´t�bhVY[T�9lj¤Y`syYgqed£?ku`� ¡lqehZ�g(bhkmlj`«¼ 6 T!t � ���1N½� ¡lje�bdVY[Tvqku�q[f`�sk°¯�[� ��¢�kmbdV®eh[fxd�9[}i�b�bdl?bhVY[�=�ed[fvqkulq`±kux�y�["bh[ehZnku`Y[}y��z£ÁbdVY[@VskmvjVY[fx�b�i"ljZn�Ilq`s[`cb���gq�m¤s[�lw WbdVY[�Ilq¤s`syYgweh£Tkm`Y ¡lqehZTgwbdkulq`��q[fi"bdlje " � ���! hY d©�UWVY[�xhgwZT[��Yehl�i"[}y�¤Yeh[�k|x= ¡lj�m�ul(¢³[fyT ¡ljeWgq�m�-eh[vjkmlj`sxtcvqku�q[f`

021@K�043

Page 16: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ �}\

ª7gj¬ ªN�9¬ ªNi}¬ ªNys¬

83kuvq¤Yeh[��29³Å³lq¤Y`sysgweh£@km`Y ¡lqehZTgwbdkulq`?¢�kmbdVÂeh[fxd�9[}i�b1bhlTbdVY[ny�k°²-[eh[`cb1eh[vjkmlj`sxW ¡lqe1bdVY[�¢³lqZ�gq`�kuZ�gwvj[¼ � � �+ª47�© gj¬a½p© ªNgj¬ !�#"�����$ ��� ���+����D�J+�$2����� t�ªN�9¬ ! #"���� $ � � � +�����"�( � �J$1��� t�ªNi}¬ ! #"���� $ � � � + ��(�����#���.��(���� t´ªNys¬ !�4"���� $ ��� ������$�� ©

bhVY[kue�km`cbh[`sxdk°b�£��Yedlj�9[fe�bhkm[}x¥ªp¦2gw¤sxhxdkugq`$i"ljZT�9lj`Y[`cbr¬Æeh[fxd¤Y�°bhkm`sv·lj` "+�9lj¤Y`syYgqed£co¾�sgqxd[fy�ku`� ¡ljedZ�g(bhkmlj`kuZ�gwvj[fx � 6 T-t � ���1 �!=5�(�0�1 2"%$ $p© § y�[fZnlj`sx�bderg(bdkulq`�lw �bdVY[2["¯zbhehgji�bd[}y%�Ilq¤s`syYgweh£�ku`� ¡lqehZ�g(bdkulq`�¤sxdkm`YvbhVYk|xW ¡ehgqZT[¢³lqeh¨Tifgw`��9[2 ¡lj¤Y`sy�ku`±¼ � � �2ª¡�z¬¾½¾©~�ergqi"bdk|igq�m�u£qtÆbdVY[@�sk°¯�[�mo¾¢�kuxd[��9lj¤Y`syYgqed£�km`Y ¡lqehZTgwbdkulq`±kux�[fx�bdkuZ�g(bd[}yÀgqx2 ¡lj�m�ul(¢1x�9�^a`Yk°bhkugq�m�u£qt�bdVskux

ku`� ¡ljedZ�g(bhkmlj`Á ¡lje�gw�u���Ykm¯�[�|x�gw`sy� ¡lje�gw�u��Vz£c�IlwbhVY[fxd[fx2k|x�[}»j¤9gw��bhl �-�( � � �7� ���0�1 #"�$8� 6�T!t � ���1 � ].$p©UWVs[`´t� ¡lje�[fgjirV��Ykm¯�[�pt�bdVs[T ¡lq¤Ye��Iljxhx�ku�Y�u[T`Y[kuvqVz�IlqehVYlzlzyÁ�sgwedbdkmbdkulq`9x�gqed[�ilq`sxdkuyY[eh[fy�©�Ï?lqeh[l(�j[e}t ¡lje�[}gqirVÃ�sgqe�bhk°bhkmlj`ÀbdVY[��Yehlq�sgq�Yku�mkmbdku[fx� ¡lqe$bdVY[%b�¢¥l��ml�igq�=eh[vjkmlj`sx�¢�kmbdVÃeh[fxd�I[fi�b$bdlÁbdVY[?y�km²I[fed[f`jbeh[vjkmlj`$Vz£z�IlwbdVs[fxd[fx�gweh[�[fx�bdkuZ�g(bh[fy�©�UWVY[`ÆtwbdVs[1ZTljx�b��Yedlj�sgw�s�m[W�|gw�I[�ukm`Yv�gjxdxdkuvq`YZT[`cbrxW¼ 3 23�r½s¢�kmbdVeh[fxd�I[fi�bWbhlTbdVY[2�ulzifgw��eh[vjkmlj`sx2ª¡�u["  bft9edkuvqVcb�¬¥gqed[�ilq`sxdkuyY[eh[fyA9

� ��^¾ -bdVY[}x�[1gjxdxdkmvj`YZT[`cbhx�eh[" ¡[fe�bdl�bhVY[1xhgwZT[�Vz£c�IlwbhVY[fxdk|xW¼ 3 � 3��½¾twbdVs[`TbdVs[1["¯�k|x�bhkm`Yv2[}x�bhkmZ�g(bh[fxlw 3bdVY[��Ilq¤s`syYgweh£�ku`� ¡lqehZ�g(bdkulq`?gweh[2`Ylwb1gw²I[}i�bd[}y�t

� � ���·` bdVY[ÂlqbdVY[fe�Vsgw`sy´t¥km ·bhVY[fxd[Âgqxhx�kuvq`sZn[f`cbhx�gweh[?y�k°²-[eh[`cbC¼ 3� 4��3��½1bhVY[` bhVY[?bd[fZn�Ilqergw��9lj¤Y`syYgqed£%�Yedlj�sgw�skm�uk°bhkm[}xW¢�k°bhV?ed[}x��I[fi"b³bhlnbdVY[}x�[2b�¢³l?¼ 3 23��½´Vz£z�9lqbdVY[}x�[}x�gweh[2vqku�q[`��z£

�6 T!t �� ���1 � �6 T-t �� ���1 � 6� � ��7� "� ���1 �6� � � ���'"��/���.# 6� � ��7� "� ���1 86� � � ���'"��/���.# � ��� ������������ �! #"$� �%���$� � � �

. 6� ���7� "! ���1 # 6�

�� ���'"��/���.#

� ��� ������ � ����������� �! #"$� �%���$� � � � ¢�VY[eh[nbdVY[�i"lq`9y�k°bhkmlj`sgw��`slq`�o¾�9lj¤Y`syYgqed£Â�sedlj�sgw�Yku�uk°b�£Ck|x�bdVs[�lq`Y[TbhVsg(b�Z�g(¯�kuZTkm¶f[fx�bdVs[2��lqku`jb�Yehlq�sgq�Ykm�ukmb�£Âlw =bhVY[nb�¢¥l��ulzifgw��eh[vqkulq`9x�vjkm�j[`CbhVY[Tlq�sxd[eh�(g(bhkmlj`�xd["b����'"��/���1#dt�gq`syCk|x2vqku�q[f`

KLK � M2N�O�P�N

Page 17: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

�f� � ���������A�G! � �)�� / +�$B� ! +����.�����'!G) �� ��

�z£

��;�� ���9 �� & �������*� 6 �� ���'" ���.# 6

�� � �2� " � ���1 $ &

^¾ �bdVs[fxd[Á�Ilq¤Y`sysgweh£­�Yehlq�9gw�Yku�mkmbdku[fxÁ¼ �6,T-t � ���1# �6�T!t � ���1N½�gweh[Cx�¤s�9[fedkulqe%bdlÃbhVY[Á[¯�kux�bdku`Yv«lj`Y[fx¼ 6,T-t � ���12 6�T!t � ���1N½¾t�bdVs[`´t�bhVY[£�gweh[·¤9x�[}y%bhlT¤Y�Iysg(bd[2bhVY[�lq�|y�lq`Y[}x

6 T-t � ���1�� �6 T!t � ���.2 6 T-t �� ���1 � �6 T!t �� ���1 283ku`sgw�u�m£jtzbdVY[2�Ilq¤Y`9yYgweh£Tkm`� ¡ljedZ�gwbdkulq`%¢�kmbdV�ed[}x��I[fi"b¥bhlnbdVY[ =@Vz£z�IlwbdVs[fxdkux= ¡lqe�g$vqku�q[`%�Yk°¯�[f� ��kux

vjkm�j[`��c£?bhVY[�y�[`9x�kmb�£Â ¡¤Y`si"bdkulq` ¼ 6,T-t � ���1N½¾©��l(¢¥[f�q[feftIbdVskux2ku`� ¡lqehZ�g(bhkmlj`�igq`��I[�i"ljZ��Yku`Y[fyÁ¤sxdkm`YvlqbdVY[fe��9lj¤Y`syYgqed£co¾�sgqxd[fy@km`� ¡ljedZ�gwbdkulq`?x�lj¤Yehi[fx2ª¡VskmvjV�vjehgjy�ku[`cb³�(gq�m¤Y[}xts["bhiq© ¬"©

�� � ��������������������� ���!�4�5� * ��-.�/& 0 %3���4�!�§ x1 Ngqe1bhVY[�eh[vjkmlj`�opku`� ¡ljedZ�g(bhkmlj`?kux·i"lq`9i"[eh`Y[}y�t9kmb�ifgw`C�I[�[¯��Yed[}xdxd[fyÂyYkmeh[fi"bd�u£% ¡ehlqZ bdVs[n¦2gw¤9xdxdkugq`[f�m[fZT[`cbhxWlq �bhVY[�ZTk°¯zbd¤sed[2ZTl�y�[��¼ 6 � �97½�[fx�bdkuZ�g(bh[fy�km`�bdVs[�lq�sxd[eh�q[}y@kuZTgqvq[T¼ 6 � � �����1 N½¾©

��B ��������������������� ����&��/(UWVs[`´tqbdVY[�xd[vjZT[`cbhgwbdkulq`$bhgqxd¨$ifgw`T�I[1i"lq`9x�k|y�[eh[fyn¢�kmbdVYku`nbdVY[�vq[l�y�[}x�k|iWgqi"bdku�q[�eh[vqkulq`$ ¡ergwZT[¢³lqeh¨-©§ ifi"ljehy�ku`YvÂbhlCbhVYkuxnZTl�y�[�³bhVY[��I[fx�b�x�[fvqZT[`cbhgwbdkulq`ÃZ�gq�Ãkuxny�[bd[ehZTkm`s[fyä9x�ku`Yv�g±xd["b$lq �eh[vq¤s�ugqei¤Yeh�q[fxftz¢�VY[eh[2[fgjirV�i¤Yed�j[$¼ )����¡½#9

� ��^�x1g(bdbdergqi"bd[fy��z£�bdVs[��9lj¤Y`syYgqedku[fx³lw �gTx��I[fik°µIi2ed[fvqkulq`Á¼ � � ½pt� � ��¸�[µs`Y[}x�gq`Gkm`cbd[fedkulqe�ed[fvqkulq`º¢�kmbdV Z�g(¯�kuZ�¤YZ ��lqku`cb�xd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`º�Yedlj�sgw�skm�uk°b�£ vqku�q[f`ºbdVY[lq�sxd[eh�q[}y@ku`cbd[`9x�kmbdku[fx1gq`sy%bdVY[�[¯z�I[fi"bd[}y�lj`Y[fx2¼ 6 � �97½p©

UWVskuxWZ�gw�?k|xWlq��brgwku`Y[fy��z£%ZTku`YkmZTku¶ku`YvT ¡lq�u�ul(¢�km`Yvnlq�Y��[fi�bhkm�j[� ¡¤Y`si�bhkmlj`´t

��������� �����������+����� ��� �

� ��� ������������ �� 6 � ��7�;8 "!7 2

� ��� ��$#&% � ���(' � � � % ) ; ) ! .�#��� �

� ��� ��*,+ � 6 T-t � �')���� �.- �9#4 � T � �$� ������������ �! � �� �0/ � �!�

$ )21��� �.- �9�$� ��� ��$#&% � � � � � / ���43 �� � � � 5)

- �ª�;j¬

¢�Vs[eh[Ê�)�� � �.- � �k|x�gn�sgwergwZT[bd[ehku¶fg(bhkmlj`%lq ÆbdVs[�ed[fvqkulq`5� � �9lj¤Y`syYgqedku[fxWku`cbdl�gn�Y�ugq`sgweW ¡ljedZ?tÊÂgw`sy + �; � T �kux�gT¦2gq¤sxhx�k|gw`� ¡¤Y`si"bdkulq` 9 i + �;8 � T �� �6 � ^4798 ��� � '' ( ':

021@K�043

Page 18: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ ��6

UGkmbdVYku`ºbdVskuxT ¡ergwZT[f¢¥ljed¨ÀbhVY[Cx�[b@lw �bdVY[¤s`Y¨z`Yl(¢�`­�(gqedk|gw�Y�u[fx�ilq`sxdk|x�brxTlw �bdVY[?bhVY[Cy�km²I[fed[f`jbeh[vjkmlj`$�Ilq¤s`syYgwehku[fx1ª7i"¤Yeh�q[}xh¬³¼ )�� � ½¾©�ÐÆ["b=¤9x�`Yl(¢­bdeh£�bhl�km`cbd[fed�sed[b�bdVY[·y�["µs`s[fyTlq�Y��[fi�bhkm�j[³ ¡¤Y`si�bhkmlj`´t¢�VskuirV@k|xWi"ljZn�Iljxd[fy@lw  � "�bd[fedZ�x�ª" eh[vjkmlj`sxftqb�¢³l�bh[ehZTx= ¡lqe³[fgjirV@eh[vqkulq`I¬�© 8Ylqe³[fgjirV@eh[vqkulq`�� � tkmb�gwkuZ�x�g(bWµs`syYkm`Yv@gTi¤Yed�j[ )4� � ¢�kmbdV�bhVY[2 ¡lq�u�ml(¢�ku`YvT�Yehlq�I[edbdku[fx-9

: �%È�� � /¡�Y� � � É^¾b1kux1ed[fvq¤Y�|gweWgw`sy?xdZTlclqbdV´t

: �%È����¡Ì����-� �f� � � �

^¾b�y�[µs`Y[}x�gw`Âku`cbd[fedkulqe�eh[vjkmlj`´t�bdV9g(b·k|x�ilqZT�Iljxd[fy�lw ��Ykm¯�[�|x1¢�kmbdVClj�sx�[fed�j[fy�km`cbh[`sxdk°b�£��Yehlq��o[edbdku[fx�i�mlcx�[�bdlnbhVY[�["¯��I[fi�bh[fy�lq`s[fx³bdV9g(b�gweh[�y�["bh[ehZTkm`Y[}y%�z£%bdVY[�y�k|x�bdehkm�Y¤Ybdkulq`±¼ 6�� � N½¾©

: . Ì � � Í3��� É �n�f��(�Y�w� �¡Ì �^¾b%k|x@g(bdbdergqi�bh[fy �z£«�Ykm¯�[�|x�¢�VYk|irVº�9[f�mlj`YvÀbdlÀbhVY[Ceh[fgw��eh[vjkmlj`­�Ilq¤s`syYgwehku[fx�lq �� � ©KUWVY[}x�[�9lj¤Y`syYgqedku[fx�gqed[2y�[bd[ehZTkm`s[fy�¤sxdkm`YvnbhVY[ �¥ilq`sy�kmbdkulq`9gw�-�9lj¤Y`syYgqed£%�Yedlj�sgw�skm�uk°b�£Á¼ 6,T-t � �9N½¾©

���� � ���"�?0 �������"� ����� � �"��&�� (UWVs[%y�["µ9`Y[fy®lj����[fi"bdku�q[� ¡¤s`si�bhkmlj`Ãkux$ZTkm`skmZTku¶[fyäsx�ku`YvÁgCvqergqy�ku[`cb$y�[}xdi[`cb�ZT["bhVYl�y�©ÁUWVz¤sxft�bdVY[xd£�x�bh[Z'lw ÆbdVY[2¹�¤Y�u[edo¾Ð�gwvjehgq`Yvq[WZTlwbhkmlj`%[f»c¤sgwbdkulq`sx=¢�k°bhV%eh[fxd�9[}i�b³bdl�bdVY[2y�km²I[fed[f`jb�i"¤sed�j[fx�ªNlq`Y[� ¡lqe[}gqirV�ed[fvqkulq`9¬=k|x�vqku�q[f`%�z£19

������������ �����������

�� � � ��5��'�� �� �RQ���� Q K������������� � Q ����� � Q ��� Q ���0� � ����� �RQ����5Q=������ Q�� �RQ���� Q �2 354 6#! #" Q%$'&)(�*,+ : #-/.0$'1324 F �45�����76C�Z��8:9 Q � � Q ��� Q �'�3;<8%>= Q � � Q ��� Q � F�? 6C�Z�!8@9 Q � � Q ��� Q �'�3;<8%�A � Q � � Q ��� Q �� � Q � � Q ��� Q �2 354 68 $'BC&�-D+E1�FC(�*,+ : #-G.E$'1324

ªp�w¬

¢�Vs[eh[IH ��ªNed[}x��Æ©KJ �p¬�k|x�bhVY[@¹�¤si�mk|y�[fgq`Ãi"¤Yeh�(g(bh¤Yed[CªNed[}x��Æ©@`YlqehZ�gw� ¬�¢�k°bhV®ed[}x��I[fi"b�bdl?bhVY[%i"¤sed�j[)���� � - � d©Ï?ljed[fl(�q[feftcbdVs[�gqxhx�¤sZn�Ybdkulq`?bdV9g(b � � È � �ML´È / )����9�.- � / �¡È �%� È � Ë�ÈzÈ � � � È � È����¡Ì�� � ��� � � Í

� � � Ë �Y�ÂÍ Ì���È � ��/ � � � � / ɺbhl��sedl(�zk|y�[�bhVY[�gw�Il(�q[�ZTlqbdkulq`±[f»c¤sg(bhkmlj`sx·¢�VYkuirVÀgweh[$ilqZT�Iljxd[fyClq b�¢³ln ¡lqeri"[}xtz�IlwbdVÂgji�bdku`YvTku`�bhVY[�y�kued[}i�bhkmlj`�lq �bhVY[2km`z¢Wgwery%`YljedZ�gq��9

� � § eh[vqkulq`Yop�sgjx�[}y@ ¡ljehi[2bdVsgwb·gwkuZ�x1g(b1ZTl(�zku`YvTbdVY[$i"¤Yeh�q[2bhl(¢³gqehyYx¥bhVY[$y�kueh[fi�bhkmlj`�bdVsgwb�Z�g(¯�k°oZTkm¶f[fx�bhVY[ +G�J� ���#�(���� (�� xd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`$�sedlj�sgw�Yku�uk°b�£j©3UWVz¤sxftqkm -bdVY[1�sedlj�sgwvcg(bdkulq`$lw ´i"¤sed�j[ )����kux�i"lq`9x�k|y�[eh[fy�gw`sy �2k|x�lj`Y[2lw �kmbhx1�Yk°¯�[f�7t�bhVY[` 9

KLK � M2N�O�P�N

Page 19: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

��; � ���������A�G! � �)�� / +�$B� ! +����.�����'!G) �� ��

: ^¾ sbdVYk|x��Ykm¯z[f�zed[}gw�u�m£2�I[�ulq`Yvcx´bhl*� � t(bdVs[`�bhVYk|x3 ¡lqeri"[=k|x3`Y[vcg(bhkm�j[¥gw`9y�gwkuZ�x�g(b�["¯��sgw`9y�km`svbhVY[�i"¤sed�j[

� �5����� 6�� � �����.#��(6 � � ��7���1#�� 6 � ��7���1 6�� � ��7���1 � ���

����� �

i 6 � ��7���1 6�� � � �����1 r� ]4

: UGVskm�u[qtYkm ÆbhVYk|xW�Yk°¯�[f�Æy�lz[fx³`YlqbW�I[�ulq`sv$bhl � � tzbhVY[`�bdVskux³ ¡ljehi[·k|xW�9lcx�kmbdku�q[�gq`sy%gqkmZ�x�g(bxdVYehkm`s¨cku`YvnbdVs[2i¤Yeh�q[

� �5� � � � 6��9��7���1# � 6 � � ��7���1 �� 64�#��7���1 6�� � � �����1 � ���

��� � �

i 6�� � �����1 6�� � � �����.#r� ] 2

� � § `sy´t�g®�Ilq¤Y`sysgweh£jo¾�sgjx�[}yà¡ljehi[ÂbdVsgwb�gwkuZ�x%gwb�x�Vsedku`Y¨zkm`sv®bdVY[�i"¤Yeh�q[?bhl(¢³gqehyYx�bdVY[Ceh[vjkmlj`�9lj¤Y`syYgqedku[fx�ilq`sx�bdergwku`Y[}y@�z£@bhVY[�i"¤Yeh�(g(bd¤sed[j©�UWVskuxW ¡ljehi[2kux�ilqZT�9lcx�[}y%lq �xd¤Y��op ¡lqeri"[}x�9

: UWVs[�µ9ehx�b�Znl(�j[fx$bdVs[Ci"¤Yeh�q[}x�bhl(¢³gqehysx�bhVY[Âed[fvqkulq`­�9lj¤Y`syYgqedku[fxft¥ilq`sx�bdergwku`Y[fy«�z£®bdVY[i¤Yeh��gwbd¤Yeh[qt

: UGVskm�u[�bdVs[�x�[}i"lj`sy�gjy���¤sx�bhx1bdVY[�i¤Yeh�q[�bdl(¢WgweryYx³bdVs[�ed[}gw�´eh[vjkmlj`��Ilq¤Y`9yYgwehkm[}x�ª bhVY[�i¤Ye�o�(gwbd¤Yeh[�y�lz[fxW`Ylqb�g(²-[fi�bWbhVYkux�bd[ehZ@¬�©

� � È �Y� Ì��IÈ � É �� È ÌF�3È � ����� �¡Ì�� �·� È / �NÈ � Ì�� �� � / � �|Ê � �Æ�s� È �,�Æ� �9È ��� Ì �3� � �Y� �¡Ì ��Ì���È�¾Ì � È �Y��� � È����¡Ì ���SJ�Ë � È � È � � È � � � È �(�Y�q� �¡Ì � � È � Ë�ÈzÈ � � � È Í �� ¥È � È � �T�,�Æ� �IÈ � � � Ì ���f� �!�ÆÈ Í���Æ� � -´�T� Ì � � È � È ���¡Ì ��Ê ���s� È Í � È � �

� *-, ���1,/1#���.2�3���# *-��3�%��

UWVs[@lq��brgwku`Y[fy±ZTlwbhkmlj`®[f»c¤sgwbdkulq`sx�ifgw`®�I[@kuZn�s�m[fZn[f`cbd[fyäsx�ku`YvCgCÐ�gwvjehgq`Yvqk|gw`±gw�Y�YehljgjirV´tÆ¢�Vs[eh[¢³[T�YehlzyY¤si"[n[f»c¤sgwbdkulq`sx�lw WZTlwbhkmlj`C ¡lqe2bhVY[T�9lcx�kmbdkulq`±�q[}i�bhlqe )�� � - ��2dt�gq`syÁbdVY[f`±¤s�IyYgwbdku`Yv�bdVY[}x�[�Iljxdkmbdkulq`C¤sxdku`Yv�y�km²-[eh[`si[$gw�s�Yedl�¯�kuZ�g(bdkulq`ÂxhirVY[ZT[j©���l(¢¥[f�q[e}tYbhVY[eh[$gqed[$x�[f�q[ergw���Yehlq�Y�u[Z�x1¢�kmbdVbhVYk|x�gw�s�YedlcgqirV´©�UWVY[@Z�gwku`®�Yehlq�Y�u[Z kux�bdVsgwb�bdVs[@[�jlq�u�cku`Yv?ZTl�y�[�¥kux�`Ylwb$ifgw�sgq�Y�u[TbdlÁy�[}gw��¢�kmbdVbhlq�Ilq�ulqvjkuifgw��irVsgw`svq[fx³lq ÆbdVs[�Znl(�zku`Yvn ¡edlj`cbf©UWVYk|x=ifgw`T�I[�g��qljkuy�[}y��z£nkm`cbhedl�y�¤sikm`sv2bdVY[1¢³lqeh¨�lq ´��xdVY[e¥gw`sy�Îz[bdVYk|gw`¼ \q\�½¾©�UWVY[�i[`cbdergw��k|y�[fg

k|x�bhl1eh[�Yeh[fxd[`cb�bdVs[�ZTl(�cku`Yv� ¡ehlq`cb8)�� � -. ��2Igjx�bhVY[�¶[fedlqop�u[�j[�wxd["b/��� � )�� � -. ��2# ��2 � ] &�lw sg³ ¡¤Y`9i�bdkulq`��©�UWVYk|x�ed[f�Yed[}x�[f`cbhg(bhkmlj`�lw  )�� � - ��2´kux�kuZT�Y�mk|i"kmbftj�sgwergwZT[bd[edop ¡ed[f[=gw`sy$ku`jbhedku`sxdkuiq© § ysy�k°bhkmlj`sgw�u�u£qtwkmb�kuxbhlq�Ilq�ulqvj£jop ¡eh[[1xdkm`si[�y�km²I[fed[f`cb=bdlj�9lj�mljvqku[fx=lw �bdVs[�¶[fedl��m[f�q[�moax�[b¥y�l�`Ylqb¥kuZT�Y�m£�y�km²-[eh[`cb=bhlq�Ilq�ulqvqku[fxlq ���©�^¾b1[}gqxd£Tbdl@xdVYl(¢�tcbdVsgwb1k° 3bdVY[�ZTl(�zku`Yvn ¡edlj`jb�[f�qlq�u�q[}xWgqiilqery�ku`Yv�bhl

))�� )�� � -. ��2 ���<� 6 @J

 ¡lje1gnvqku�q[`� ¡¤Y`si"bdkulq`��TtzbdVs[`�bdVY[�[fZ��I[fyYyYkm`YvT ¡¤s`si�bhkmlj`��Áy�[" ¡ljedZ�x�gjii"ljehyYkm`Yv$bdl))�� �8� 6 ��2����<� 6 $ ��� � 68 ��2�$

021@K�043

Page 20: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ �(�

8slqe³bdVskux³�u[�q[f�°oaxd["bWed[f�Yed[}x�[f`cbhg(bhkmlj`´tck°b�k|x¥�sedl(�j[fyTbhVsg(bWbdVs[�xdlq�u¤�bdkulq`�kuxWku`sy�[f�9[f`sy�[f`jb�lq ´bdVY[2[fZ��I[fyzoyYkm`Yvn ¡¤Y`9i�bdkulq` ��t9gq`sy�km`?ZTljx�b�lw 3bdVY[�gjx�[}x¥k|x�ku`Ykmbdk|gw�ukm¶f[fy�gqx�gTx�kuvq`s[fy�y�kux�bhgq`si"[2 ¡¤s`si�bhkmlj`´©UWVz¤sxft(bdVs[Wxd£�x�bh[Z lq 9ZTlwbhkmlj`�[}»j¤9g(bdkulq`9xÆbhVsg(b�y�ehku�q[fx�bhVY[�i"¤Yeh�q[³�Yehlq�sgqvjg(bhkmlj`� ¡lqe�xd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`

k|x³bdergw`9x� ¡ljedZT[fy�ku`jbhl�gnxd£�x�bh[Z lq �xd¤Yed Ngqi[fx³[�jlq�u¤�bdkulq`�vqku�q[f`��z£qt

���� ����� �1� C�5��'�� �� � Q ��� � �����7����� ��Q����������0� � ����������� � ? � Q ��� � F�45����C�76C�Z� 8:9 Q����'�3; 8 >= Q������ ? � Q���� � F ? 6C�Z� 8@9 QD���'�3; 8 �A ? � Q����� ªN�j¬

UWVY[�Z�gwku`%gqxhxd¤YZT��bdkulq`�bhVsg(bWVsgjx��I[[`�i"lj`sx�k|y�[fed[}yTbdl$lq��brgwku`�bdVY[}x�[·[f»c¤sgwbdkulq`sx¥kux=bdV9g(b�g�vqku�q[f`�sk°¯�[� ��lq �bhVY[ �¥i¤Yeh�q[2�mku[fx1�9[b�¢¥[f[`?bdVs[�ed[fvqkulq`sx �³gw`sy�=!��© �1l(¢³[�j[e}tjbhVY[�eh[vjkmlj`�� � � ZTkuvqVcb1`Ylwb�I[�¨c`sl(¢�`%y�¤Yehkm`sv�bdVs[·[f�qlq�u¤�bhkmlj`�lw ´bhVY[·�u[�j[�-x�[b¥ ¡¤s`si�bhkmlj` �7��© ��[`si[qt�g�bh[ZT�Ilqergw�-gqxhx�kuvq`YZT[f`jb¥kuxeh[f»c¤Ykueh[fy�bdl�i"lj`jbhkm`z¤Y[�bdVY[n[�jlq�u¤�bdkulq`Á�Yedl�i[fxhx©�UWVYkux·k|xdxd¤Y[$ifgw`C�I[Ty�[fgq�°b�¢�k°bhVÁ�z£Âgqxhx�¤YZTku`Yv@bhVsg(bbhVY[�eh[vjkmlj`�=!��k|x�bhVY[�lq`s[�bdVsgwb·i"ljedeh[fxd�Ilq`syYx³bhl�bdVs[�ZTljx�b��Yehlq�sgq�Y�m[2Vz£z�9lqbdVY[}x�k|x ` t9y�km²-[eh[`cb1 ¡ehlqZ�r©UWVz¤sxftcbdVY[�Vz£c�IlwbhVY[fxdk|x =!�Æk|x³y�["bh[ehZnku`Y[}y@�z£�x�[f[¨zkm`sv�bdVY[�Vz£z�9lqbdVY[}x�[}x¥xd["b�� 2����0�1 #"�$ &·gq`sy@[}x�o

bhkmZ�gwbdku`Yv�bdVs[·i"lj`sy�kmbdkulq`sgq�s�Yehlq�9gw�Yku�mkmbdku[fx�¼ 6 7 ��7���1 7½�gjiilqery�km`sv2bdl�bhVY[�lj�sx�[fed�j[fyn�(gw�u¤Y[ �7���1d©�UWVs[`´tbhVY[2Vz£c�IlwbhVY[fxdk|x=bhVsg(b�k|x�y�km²I[fed[f`jbW ¡ehlqZ���gq`sy%�sed[}x�[f`jbrx¥bdVY[2Z�g(¯�kuZ�¤YZ ilq`sy�kmbdkulq`9gw�-�Yehlq�sgq�Ykm�ukmb�£�kuxxd[�u[fi"bd[}y�©Ï?ljed[fl(�q[feftgq`sgw�u£z¶ku`Yv³bdVY[=Znlqbdkulq`�[}»j¤9g(bdkulq`9x�ªp��t �c¬�t�x�ljZn[�VskuyYyY[`��Yehlq�Y�u[Z�x�ZTkuvqVcbÆ�I[�lq�9x�[fed�j[fy

yY¤Y[Wbdl2bhVY[W Ngqi"b�bdVsgwb�bdVY[1eh[vjkmlj`� ¡ljehi[fx�gweh[W[fx�bdkuZ�g(bd[}yn¤sx�ku`Yv�g�xdkm`Yvj�m[Wku`cbd[`9x�kmb�£cop�sgjx�[}y��sedlj�sgw�Yku�uk°b�£�(gq�m¤Y[j©�UWVYkux= ¡lqeri"[·x�[f[Z�x�bhl��I[��Y�|gw¤9x�ku�Y�u[qt�x�ku`si[�ku`�bdVY[·kuyY[fgw�-igjx�[jtqbhVY[�¦2gw¤sxhx�k|gw`@ilqZT�Ilq`Y[f`jbrx=y�l`slwb�l(�q[fed�|gw�Ágq`syÂbhVY[@xd[vqZT[f`jbrg(bhkmlj`Áy�[fikuxdkulq`Àigw`��9[Tbrgw¨j[`Á¢�kmbdV®g��mlqb�lw ¥�sed[}i"k|x�kulq`´©�1l(¢³[�j[e}t ¡lje�ed[}gw��kuZ�gwvq[�xd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`±ifgqxd[fx�bhVYkux�x�kmbd¤sgwbdkulq`Àk|x�ZT["b��q[fed£Áehgqed[jtÆx�ku`si[$bhVY[@ZTljx�b�i"ljZTZnlj`ifgqxd[·eh[" ¡[fehx¥bhl@x��ukmvjVcbd�u£�l(�q[eh�|gw�Y�Yku`YvT¦2gw¤sxhx�k|gw`9xtz¢�VYku�m[2bhVY[2¢¥ljehxd[·bdl@¦2gw¤sxhxdkugq`sx³¢�k°bhV?i�mlcx�[�ZT[fgq`�(gq�m¤Y[}x@gw`9y yYk°²-[eh[`cb@�(gwehkugq`si"[}x© 8s¤YedbdVY[fedZTlqeh[qtWy�¤Y[?bhl®�Yeh[fxd[`si[�lq �`slqk|x�[jt³k|xdlq�|g(bd[}y«ku`cbd[f`sx�kmb�£�(gq�m¤Y[}x³km`silqVY[fed[f`cb³¢�kmbdV�bdVs[�eh[vjkmlj`%�Yehlq�I[edbdku[fxWifgw`%�I[� ¡lq¤Y`9y�¢�kmbdVskm`�k°b}© § x�gTi"lj`sxd[f»c¤Y[`9i"[qtzkmb�kux»c¤Ykmbd[�yYk=<@i"¤s�°b�bhlTifg(bh[vqljedku¶[2gn�Ykm¯z[f�7ts�sgqxd[fy�lq`�k°brx��q[fed£��ul�igq�´yYg(brg�ª7x�ku`Yvj�m[�ku`cbd[`9x�kmb�£@�(gw�u¤Y[}¬"©U�l�ilq�I[T¢�k°bhVÁbhVY[fxd[$�sedlj�Y�m[fZ�xt´g�i"kuehi¤Y�|gwe�¢�km`syYl(¢�gw�Y�sedlcgqirVÁifgw`Á�I[T¤sxd[fy�t´gjx·�sedlj�9lcx�[}yCku`

¼ �j\(½p© ��[`si[qt³g�i[`cbdergw�ukm¶f[fy«¢�km`syYl(¢�� ���1�lw � �Ykm¯�[�|xTkuxTy�[µs`Y[}y«�ul�igw�u�u£Àgqedlj¤Y`sy �?gw`sy«bdVY[

�sedlj�sgw�Yku�uk°b�£�bd[fedZ � 6 � ��7���1 $1kuxneh[�Y�|gqi[fyÀ¢�kmbdVÃbhVY[$��lqku`jbT�Yehlq�sgq�Yku�mkmb�£��� ���� � 3 %6 � ��7���� ��÷¢�k°bhVYkm`

bhVY[��ulzifgw��¢�ku`sy�l(¢�© �1[f`si"[jt�bdVs[�lq����[}i�bdku�q[· ¡¤Y`si"bdkulq`Âk|xWZTlzyYk°µs[}y?gqxft� =%��ÿ��9þ�� �B9�ý ���7ÿ� ���þ���� �ÿ���� ��Iþ�� #´þ�< � ,�þ�� ÿ�� �pÿ��C7�û%� �}û.Nû�þ�7ûQ7�þ��pû�� #$��û�7û$�C9�û �� � ��ûÆÿ���ÿ �7ÿ þ��C749 ,"û�7� ����ÿ �7ÿ� ���.��þ��ÿ �}û��(ÿ���� ���þ)��� Nÿ�*C9��7û�� �� =þ��:< 7û���ÿ� �� �Iÿ � � ÿ û���*wû��&#�û�û�� �&# Nû���ÿ� ��� #$��û�7û$� �}û �7û�7� ���1ÿ���� �� ����û3ý ���� �� �*�þ�*� û ���û����$ �#�û�,"û�.�(þ��2þ�� �7û.��(þ)�7ÿ ,"û¥ý�û���� �� �� ��ûJP ��û ����û�� � ������� �"!�! 7û���ÿ� �� �� �*(þ�*�ÿ�� ÿ �N< #Æÿ����'*wû �Nû��pû��0�pû�� � þ)�7û.��

KLK � M2N�O�P�N

Page 21: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

�}� � ���������A�G! � �)�� / +�$B� ! +����.�����'!G) �� ��

������� ����������� � �O��� �4 ���� 7�&�� 6 � 6� 6 � � 8@9 Q�� �RQ����5QD�'�#; 8 ����Q����5Q �� � Q F

� 7�&�� 6 ���? E ��� � � � ����O9�� 9 F < ��� � 9 FH��� ���a#����� �Z�GQa������� ���a�� � � � � � !" �$#��$% ªN�j¬

¢�Vs[eh[2bdVY[� ¡¤s`si�bhkmlj`�& t �(' �4� ¡lj�m�ul(¢1x1g%¦2gq¤sxhx�k|gw`� ¡lqehZægq`syÂgqifi"lj¤Y`cbhxW ¡lje�bdVY[$y�kux�bhgq`si"[�lw �bdVY[�sk°¯�[� �)'� ���� ¡ehlqZ�bhVY[C¢�ku`sy�l(¢�i"[f`jbh[e � ;8 "!�h©�UWVYkux@ ¡¤Y`si"bdkulq`Gvqku�q[}x�ZTlqeh[ÂkmZT�Ilqedbhgq`si"[?bhl®bdVY[�sk°¯�[�|xTbhVsg(b�gqed[Ci�mlcx�[?bhl®bdVs[C¢�km`9y�l(¢ i[`cbd[feftW¢�VYku�u[ÂbdVY[��Ykm¯z[f�ux�bdVsgwb�gweh[? Ngwe%g�¢Wg�£® ¡ehlqZ bdVY[gji�bh¤sgw�´�Iljxdkmbdkulq`Âgweh[��m[}xdx�i"lq`9x�k|y�[eh[fy´©WÏ?ljed[fl(�q[feftcbdVskux1 ¡¤Y`si�bhkmlj`Âkux�km`z�j[erx�[f�m£@�sedlj�9lje�bhkmlj`sgw�-bhl�bdVY[vj[ljZn[bdehkui�yYkux�bhgq`si"[2 ¡ehlqZæbdVY[$¢�km`9y�l(¢Pi[`cbd[fef©�83ku`sgw�u�m£ $ � $�k|x�g�`YljedZ�gq�mku¶[}y�ilq`sx�bhgq`cb1vqku�q[`?�z£�$ � $1� *

� �t % ��� �

t %& t �(' �4���©

UWVY[?ku`cbd[eh�Yeh["brg(bdkulq`«lw 1bhVY[�gq�9l(�j[%lj����[fi"bdku�q[� ¡¤Y`si�bhkmlj`«k|x$bdVY[ÂxhgwZT[�¢�kmbdV«bdVY[?lj`Y[�ku`÷¼ È���� �ª�;j¬a½p©�UWVY[1Z�gwku`�y�km²I[fed[f`si"[�k|x�bdV9g(b�bhVY[��Ykm¯z[f�°o¾¢�k|x�[�eh[vjkmlj`$�Yehlq�9gw�Yku�mkmbdku[fx�V9g��q[W�9[f[`@xd¤Y�sx�bdkmbd¤�bh[fyT�z£�s�ml�ir¨cop¢�k|xd[�ed[fvqkulq`C�sedlj�sgw�Yku�uk°bhkm[}x$ªN¢¥[fkmvjVjbh[fyCxd¤YZ@¬�©�UWVs[fxd[$ZTl�y�kmµ9igwbdkulq`sx�y�ehkm�j[�bdl�bdVs[� ¡lj�m�ul(¢�km`svxd£�x�bh[Z lq 3�u[�j[�´xd["b�[�jlq�u¤�bdkulq`�[f»c¤sgwbdkulq`sx-9

�������� �������

�I� � � ��5�R',� �� � Q ���� � ���,+- � � � �B >.�O9;:D< � : ��� � �7����� �GQ�������� ��0� � �������C� � �0/1 � ? � Q ��� � F�45���K �)6C�Z� 8:9 QD���'�3; 8 >= Q���� F ? 6C�Z� 8:9 QD���'�3; 8 A ? � Q����� ? � Q���� ��� � ? � Q����� �

ª��-Hj¬

��l(¢¥[f�q[e}t��z£%gqyYlq��bhkm`YvTbhVYk|x1gw�Y�sedlcgqirV´tzbhVY[�ZTlzyY[�´k|x1x�bdehlq`Yvj�m£%gw²I[}i�bh[fy��z£@bdVs[�¢�km`9y�l(¢Kxdkm¶f[q©ÏÂlqeh[l(�q[feft�bhVY[1eh[vjkmlj`�op�9gqxd[fy$km`� ¡ljedZ�gwbdkulq`��I[fi"ljZT[fx�ilqZT�Y�u["bd[f�m£n¤Y`Yeh[�uk|gw�Y�u[�g(b=bdVY[1eh[vjkmlj`T�9lj¤Y`syzogqedku[fx$y�¤Y[�bdl�¤sx�[�lw 1�sedlj�sgw�Yku�uk°bhkm[}x$xd¤YZÄl(�q[fe��Ykm¯�[�|x�bhVsg(b�i"ljedeh[fxd�Ilq`sy±bhl�y�km²I[fed[f`cbnVz£z�9lqbdVY[}x�[}x©¹�¯z�I[ehkuZn[f`cbhgw�u�u£qtIk°b2Vsgqx��9[f[`Clj�sxd[eh�q[fy�bhVsg(b�bdVY[$ZTljx�b·�Yehlq�sgq�Y�u[�gqxhx�kuvq`YZT[f`jb� ¡lqe·bdVY[$�9lj¤Y`syYgqed£¢�ku`sy�l(¢1xWk|xWbhVY[�lq`Y[�bhVsg(b��uku[fxW�I["b�¢³[[`�bhVY[2b�¢¥lTeh[fgq��Vc£z�IlwbhVY[fxd[fxWbhVsg(b�ilqZT�Iljxd[·bhVY[�¢�ku`sy�l(¢ ªNkm`bh[ehZælq �km`cbh[`sxdk°b�£��Yehlq�I[edbdku[fxr¬�©1U�l%y�[}gw�Æ¢�kmbdVCbdVYk|x1�Yehlq�s�m[fZ�t-g��I[`sgq�mku¶fgwbdkulq`Âlq 3bhVY[�eh[vjkmlj`�bd[ehZ ¡lje�g@vqku�q[f`ÁVz£z�9lqbdVY[}x�k|x�ZTkmvjVjb2�I[$�I[ed ¡lqehZT[fy ¡lje�bdVY[n�Ykm¯z[f�ux�bhVsg(b2�I[�ulq`Yv�bdl�bdVY[T�Ilq¤Y`9yYgwehkm[}x�lq gq`YlwbhVY[enVz£z�9lqbdVY[}x�k|x© § ZTlqeh[%[f�m[fvjgw`cbTx�lj�m¤�bhkmlj`«¢�ku�m�W�I[?�Yed[}x�[f`cbd[fyÃ�ugwbd[eT¢�VY[fed[%bdVY[?k|y�[fgÁlw ·g-di"kueri"¤Y�|gwe .�¢�km`9y�l(¢÷k|x1gqyYlq��bh[fy�km`�bdVs[�i"lq`cbh["¯zb�lw 3gnZ$¤Y�°bhk°oaxhigw�u[�gw�Y�sedlcgqirV´©UWVY[f`´t�bhVY[�x�[fvqZT[`cbhgwbdkulq`��YVsgqxd[�kuxW�I[ed ¡lqehZT[fy�gqx¥ ¡lq�u�ml(¢1x-9 § x�[bWlq �" km`sk°bhkugq�´i"¤Yeh�q[}x¥k|xWvqku�q[f`

ªNlq`± ¡lqe$[fgjirV�eh[vjkmlj`9¬2gw`sy±bhVY[�¦�[flzyY[fxdkui § i"bdku�q[@��[fvqkulq`ÀZTlzyY[�=k|x�gji�bhkm�(g(bh[fy±¤Y`syY[e$g?�u[�j[�=xd["bkuZT�Y�u[ZT[`cbhgwbdkulq`�bdl��I[ed ¡lqehZ+xd[vqZT[f`jbrg(bhkmlj`%¤sxdkm`svn�Ilq¤s`syYgweh£%gq`sy%eh[vjkmlj`�o¾�sgqxd[fy@ ¡lqeri"[fxf©UWVY[� ¡lqehZ lw 1bhVY[fxd[?i"¤Yeh�q[}x�gqx$¢³[�u�³gjx�bhVY[kueT�9lcx�kmbdkulq`­kuxngCeh[�|g(bhkm�j[�u£� ¡eh[[�x�[f�m[}i�bhkmlj`´© § xnk°b

ilq`si[eh`sx�bhVY[kue· ¡lqehZ ª7x�ku`Yvj�m[nlqe·Z�¤Y�mbdku�Y�u[nilqZT�9lj`Y[`cbrxh¬"t9bhVY[eh[�k|x�`Ylwb��mkuZTk°brg(bhkmlj`´©��·`ÂbdVY[nlwbhVY[eV9gw`sy?bhVY[kue��Iljxdkmbdkulq`Ck|x·xd�ukmvjVjbh�m£�eh[fx�bdehkui"bd[fy´t9xdkm`si[�¢³[�y�[fZTgq`sy?bhVsg(b· ¡lqe�[fgqirVÂeh[vjkmlj`Âg��sgwedb·lq �k°b

021@K�043

Page 22: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ �}�

�I[�ulq`svjx�bdl�bdVY[nkm`cbh[ehkmlje·gweh[fg%lw �bhVY[�i"lqeheh[fxd�9lj`sy�ku`Yv�km`sk°bhkugq��i¤Yeh�q[q©I8slqe2igqxd[fx·¢�VY[fed[ng%eh[vjkmlj`ÂkuxilqZT�Iljxd[fy±lw �Z�¤s�°bhkm�Y�u[%ilqZT�9lj`Y[`cbrxt3¢¥[�y�[Z�gw`9y±bdVsgwb$gÂ�sgqe�b�lq W[}gqirV®i"ljZT�9lj`Y[`cb��I[�ulq`Yvcx2bdlbhVY[�km`cbd[fedkulqeWgweh[fg�lw ´bhVY[2km`Ykmbdk|gw��i¤Yed�j[q© § �mbdVYlj¤YvqVÆtzbdVYk|xWy�[Z�gw`9y%xd[[Z�x¥bdln�I[·�j[eh£Tx�bdehlq`svstck°b�igq`�I[�[}gqxdkm�u£�Zn[b·[fk°bhVY[e��z£�ku`Ykmbdk|gw�ukm¶fkm`sv%gw�u�3i¤Yeh�q[fx�g(b�bhVY[��Ilqery�[fehx�lw �bdVs[� ¡ergwZT[qtIlqe·�c£?vj[`Y[fehgwbdku`YvZ$¤Y�mbdkmo¾ilqZT�9lj`Y[`cb1ku`Ykmbdk|gw��i¤Yeh�q[fxW¢�kmbdVCg@�ugqedvj[�`z¤YZ$�9[fe1lw �xdZ�gw�u�Ægweh[fgjx�x��Ilqku�m[}y?ehgq`sy�ljZn�u£%gwb1bdVY[kuZ�gwvj[q©UWVY[��I[ed ¡lqehZTgq`si"[·lw �bhVY[·�sedlj�9lcx�[}y�ZT["bdVslzy%kux³y�[fZnlj`sx�bderg(bd[}y�ku`Á¼ ��� ��ª���6Ytm��;Ytu���w¬a½p©3UWVY[��u[�j[�

xd["b·Z�¤Y�mbdkmop�sVsgqxd[�[�jlq�u¤�bdkulq`?k|x1kuZT�Y�m[fZT[`cbd[}y¤sxdkm`Yv@bdVY[ )·gwehedl(¢PÅWgw`syÂgq�Y�YehljgqirV±¼u�qtÆ�j��½¾©�^a`ü � � �ª���6j¬¾½Igq�m�sbdVY[�i"¤Yeh�q[}x�gweh[�ku`Yk°bhkugq�mku¶[}y�g(b¥bdVY[1�Ilqery�[fehx=lw -bdVY[·kmZ�gqvq[q©��·`TbdVs[1lwbhVY[e¥Vsgw`sy´tcg�ergw`9y�lqZku`Ykmbdk|gw�ukm¶}g(bhkmlj`Cx�bh[�Âk|x1¤sxd[fy?ku`ü ��� �nª��-;stm�(�w¬¾½¾ts¢�kmbdVCg@�ugqedvj[�`c¤sZ��I[e�lq �l(�q[eh�|gw�Y�Yku`Yv�xd�9ljkm�u[fyÂxd¤Y��oeh[vjkmlj`sxf©TUWVs[n�sedlj�sgwvcg(bdkulq`�lw ¥bdVY[%i¤Yeh�q[fx�k|x�xdVYl(¢�`�ku`º¼ � � �±ª��-;j¬a½pt�¢�VYku�m[TbhVY[�[�jlq�u¤�bdkulq`±lw ³bdVY[xd[vjZT[`cbhgwbdkulq`%Z�gq�sxWkm`À¼ ��� �2ª����q¬¾½¾©ÅWgqxd[fy�lq`±bhVY[@lq�Ybhgwku`Y[}yÁeh[fxd¤Y�mbhxft�xdlqZT[�ed[fZ�gweh¨zx2ilq`si[eh`Ykm`sv�bhVY[��I[Vsg��zkulqe�lw ³bdVs[��Yedlj�9lcx�[}y

ZT[bdVYl�yCifgw`?�9[$["¯zbdergqi"bd[}y�©�UÆlj�9lj�mljvqk|igw��irVsgw`Yvj[fx��I[fifgw¤sxd[�lq 3bhVY[��u[�j[�Æxd["b�kmZT�Y�u[ZT[f`jbrg(bhkmlj`Cgweh[`9g(bd¤sehgq�m�u£®Vsgw`9y��m[}y�tWVY[`9i"[Âg±`c¤sZ��I[e@lq �i"¤sed�j[fx�igq`­�I[?bdVs[Âlq¤�bh�Y¤�b@lw �gÀx�ku`Yvj�m[?ku`Yk°bhkugq��i"¤sed�j[ª7x��s�mkmb�bhkm`Yvz¬�tclqe�g�xdkm`svq�u[1i"¤Yeh�q[�igq`T�9[�bhVY[1lj¤�bd�Y¤Yb�lw ´g2Z�¤Y�mbdkmoai"lqZT�Ilq`Y[f`cb�km`Ykmbdk|gw�9i"¤Yeh�q[�ªNZn[fedvjkm`svc¬�©UWVskux=kux³g��q[fed£$kmZT�Ilqedbhgq`jb¥�Yedlj�9[fe�b�£nlw -bhVY[��Yehlq�Iljxd[fyTZT[bdVYl�y�tzx�ku`si[�kmb¥�ukm�I[erg(bh[fx�bhVY[�ZTl�y�[f�Y ¡ehlqZbhVY[±km`Ykmbdk|gw��ilq`syYk°bhkmlj`sxt·¢�VYku�m[Àx��s�mkmb�bhkm`YvGgq`sy ZT[ehvqku`Yv gweh[Á�I[ed ¡lqehZn[}y÷gq¤�bdljZTgwbdk|igq�m�u£º¢�k°bhVYlq¤�bku`cbdehl�y�¤si"ku`Yv�gw`z£@xd�9[}i"k|gw�´�sedl�i"[}y�¤Yeh[fxf©UWVY[�lq��brgwku`Y[fyÀxd£�x�bh[Z lw �ZTlwbdkulq`®[}»c¤sg(bhkmlj`sx�ifgw`À�Yehl(�ck|y�[@gÂ�j[eh£�gjii"¤sehgwbd[@xdlq�u¤�bdkulq`ÀbhlÂbdVY[

xd[vjZT[`cbhgwbdkulq`Â�Yehlq�Y�u[Z?© § �mbdVYlj¤YvqV´t9bdV9g(b�bdVY[ni"lq¤s�Y�mku`Yv��9[b�¢¥[f[`ÂbhVY[$y�km²-[eh[`cb�i¤Yed�j[fx$ª¡�u[�q[f�3xd["b ¡¤s`si�bhkmlj`sxh¬�kux=�9[fe� ¡ljedZT[fynbhVsgw`s¨zx�bdl�bhVY[1eh[vjkmlj`�op�9gqxd[fy�bd[ehZ'gw`syTk|x=y�[fedku�q[}y$ ¡edljZ�bhVY[1lq�9x�[fed�(g(bhkmlj`xd["b}tWk°b�yYlc[}x�`Ylqb@¤sx�[Cgq`z£«ku`� ¡lqehZ�g(bdkulq` eh[vjgqehyYkm`Yv�bdVs[C�9lcx�kmbdkulq`ºlq ·bhVY[ClwbhVY[e�i"¤Yeh�q[}x© ��[`si[qtkuZ�gwvj[��Ykm¯�[�|x³gwb¥bhVY[�xdgqZT[�bhkmZT[�km`sx�bhgq`cb³ZTkuvqVcb��9[2g(bdbdehkm�Y¤Ybd[fy%bdlTxd[�q[fehgq�seh[vjkmlj`sxtc¢�kmbdVYlj¤�b��9[fkm`Yvilq`sx�bdergwku`Y[}y?�c£�bhVY[$ZTl�y�[f�7© § yYy�kmbdkulq`9gw�u�m£jt-gq`CkuZTgqvq[$�Yk°¯�[f�3ifgw`Áx�bhg�£?¤Y`�o¾�|gw�I[�u[fy¢�kmbdVYlj¤�b2�9[fkm`Yvgwb�bhedku�Y¤�bh[fyÂbhl�gq`z£Âed[fvqkulq`´©I8Ylje2lq�z�zkmlj¤sx1eh[fgjx�lj`sxtIbhVY[fxd[nxdkmbd¤sgwbdkulq`sx2gweh[$ilqZT�Y�u["bh[�u£Â¤Y`sy�[}x�kuehgq�Y�u[gq`syÂk|x�`slwb�gq�Y�Yehlq�Yehk|g(bd[2bhl@bhlq�u[erg(bd[�bdVY[fZ�©��1[f`si"[jt9bhl�y�[}gw�3¢�k°bhVÂbdVs[fxd[��Yehlq�Y�u[Z�gwbdk|i�x�kmbd¤9g(bdkulq`9xtgnxd�9[}i"k|gw��-�ilq¤Y�s�mku`Yv�.��sedl�i"[}y�¤Yeh[·V9gqx¥bdln�9[2ku`cbdehlzyY¤si"[}y�©�UWVYkux�ifgw`��9[�y�lj`Y[·�z£@ku`cbdehl�y�¤si"ku`YvTx�ljZT[k|y�[}gqxWlw �bdVY[�¢³lqeh¨��Yehlq�Iljxd[fy�km`À¼ �s��½¾©

� ���������f�#�!�������ÀW��1� 0T³�3�

UWVs[�¤sxd[·lq �bdVY[��u[�q[f�Ixd["b³bdVs[lqeh£n�Yedl(�zk|y�[fx¥g��j[eh£n[f�m[fvjgq`jb=bdlzlq�9bdln�Yehlq�sgqvjg(bh[1i"¤Yeh�q[}xtc¢�VY[fed[�bdVY[fkme�Iljxdkmbdkulq`Âk|x�eh[fil(�q[eh[fy��z£�xd[[f¨zkm`YvT ¡lje1bhVY[�¶f[ehl%i"ehljxhx�ku`YvT�Ilqku`jbrx©�Ï?lqeh[l(�j[e}t�¤sx�ku`Yv%bdVYk|x� ¡¤Y`9i�bdkulq`¢³[Âigq`ºyY[fi"k|y�[?km �g±vjkm�j[` �Yk°¯�[f�1[kmbdVY[fe@�I[�ulq`YvcxnbdlÀbdVs[Âkm`cbd[fedkulqe�i¤Yed�j[?ed[fvqkulq` ª¡`Y[fvjg(bhkm�j[��u[�j[�xd["bn�(gw�u¤Y[}¬"t�lqe�bhlCbhVY[%[¯cbh[ehkmlje�lj`Y[�ªN�9lcx�kmbdku�q[@�(gq�m¤Y[�¬�©ÀUWVz¤sxt�vjkm�j[`«gq`®�Yk°¯�[f�¥�ul�ig(bhkmlj`´t�¢³[%igq`yY["bd[fedZTku`Y[fyÃ�q[eh£� Ngqx�b$bhVY[%`z¤YZ$�9[fengq`syÀbdVs[�`sgwbd¤Yeh[%lq 1ed[fvqkulq`sx�km`­¢�VYk|irVÃk°bT�I[�ulq`Yvcx© 8�ku`sgq�m�u£qtkm �bdVs[C�m[f�q[f�·xd["b% ¡¤s`si�bhkmlj` kux�y�["µ9`Y[fyGgjx�bdVs[�y�k|x�brgw`si[ ¡¤Y`si"bdkulq`G ¡ehlqZ bdVs[�i"¤sed�j[qt³bdVY[f`÷gÃx�bd[f� ¡¤se�bhVY[enigw`«�9[�y�lq`Y[��z£�[}x�bhkmZ�g(bhkm`svCbdVs[�y�k|x�brgw`si[@lw �bhVY[%vjkm�j[`®�Ykm¯�[�¥ ¡edljZ [}gqirVÃi¤Yed�j[q©ÁUWVskuxku`� ¡ljedZ�g(bhkmlj`?ZnkuvqVcb��I[��j[eh£%�(gw�u¤sgw�s�m[�yY¤Yedku`YvTbhVY[�Z$¤Y�°bhk°o¾�YVsgjx�[�i¤Yeh�q[��Yehlq�sgqvjgwbdkulq`?igqxd[fxfts¢�Vs[eh[bhVY[�l(�q[fed�|gw�s�Ykm`sv��I["b�¢³[[`�bdVs[�y�k°²-[eh[`cb�i¤Yed�j[fxWxdVYlq¤Y�|y��9[��sedljVYkm�sk°bh[fy�©

KLK � M2N�O�P�N

Page 23: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

7�H � ���������A�G! � �)�� / +�$B� ! +����.�����'!G) �� ��

��l(¢¥[f�q[e}tYbhVY[�l(�j[eh�ugq�Y�Yku`YvT�9[b�¢¥[f[`ÂbhVY[$yYk°²-[eh[`cb�i¤Yeh�q[fx�kux�gw�uZTljx�b·gw`Ákm`Y[f�zk°brgw�Y�u[�xdk°bh¤sg(bhkmlj`gwb��m[}gqx�b�yY¤Yedku`YvnbdVs[�km`Ykmbdk|gw�uku¶fg(bhkmlj`�x�bd[f�´©=Ï?ljed[fl(�q[e}tjbdVY[�ifgqxd[·¢�VY[fed[�gq`�kuZ�gwvq[2�Ykm¯�[��ku`?`Ylwb1�I[[f`gwb�bhedku�Y¤�bh[fy«bdlÃgw`z£®Vz£z�9lqbdVY[}x�k|xTZ�g�£Ãl�ii¤Yehxf©ºÐ´["b@¤9xT`Yl(¢ægjxdxd¤YZT[%bhVsg(b%g±�Ykm¯�[��k|x@g(bdbdehkm�s¤�bd[}yku`Ykmbdk|gw�u�m£Ábdl?b�¢³lCy�km²I[fed[f`jb�eh[vjkmlj`sxTª bhVY[eh[%gweh[nb�¢¥l?�u[�j[�=xd["b� ¡¤Y`9i�bdkulq`9x�¢�kmbdVÀ`Y[vcg(bhkm�j[n�(gq�m¤Y[}x�g(bkmbr¬"©=UWVY[f`´tsgTi"lj`sx�bhehgqkm`cb³bdVsgwb�y�k|xdilq¤Yergwvj[fxWgTx�kmbd¤sgwbdkulq`�lw 3bdVYk|x�`sgwbd¤Yeh[�igq`��I[�[fgjx�ku�m£%km`cbdehl�y�¤si[fy�t�z£ÃgjyYy�ku`Yv�gÁ ¡lqeri"[ÀªNgq�m¢Wg�£�ku`­bdVY[?`YljedZ�gw�Wy�kued[}i�bhkmlj`9¬�lj`ÃbhVY[�ilqehed[}x��Ilq`9y�km`svC�m[f�q[f�Wxd["bTZTlwbhkmlj`[}»c¤sg(bhkmlj`sx�bhVsg(bW�I[`sgq�mku¶[}x¥�sk°¯�[�|x³¢�k°bhV�Z$¤Y�mbdku�Y�m[2�|gw�I[�|x2ª bdVs[£@gweh[·gwb�bhedku�Y¤�bh[fy%bdlTx�[f�q[ergw�9ed[fvqkulq`sxr¬�©§ ysy�k°bhkmlj`sgw�u�u£qt=g±x�kuZTkm�|gwe$ ¡lqeri"[?igq`Ã�I[�ku`cbdehl�y�¤si"[}yâ�VYk|irV­yYkuxhi"lj¤Yehgqvq[}x�xdk°bh¤sg(bhkmlj`­xd¤sirV«gqxn�Ykm¯�[�¢�kmbdVT`Yl��|gw�I[�3ª bhVY[£ny�l�`Ylwb��I[�ulq`sv2bdl�gw`z£$ed[fvqkulq`9¬"©�UWVYk|x�igq`T�9[�yYlq`Y[W�z£�ZTl�y�km ¡£cku`Yv�bhVY[�ZTlwbhkmlj`[}»c¤sg(bhkmlj`sx�¼ È���� �2ª��-Hc¬¾½Ægqxft

������������������ �����������������

� � � � ��5�R',� �� � Q ���� ��� �& >�� 6 9 7�� � Q � � � � & ������ ? � Q ��� �2 354 6��� ��������������������

� � ������� �GQ����������0� � �������� �5� � ? � Q���� �2 354 6#! #"5Q%$D&��<$'1324 F �)6C�Z� 8@9 QD��� � ; 8 >= Q���� F ? 6C�Z� 8:9 QD���'�3; 8 �A ? � Q ���� ? � Q���� � � � ? � Q����� �2 354 68 $'B�&C-'+E1�F .0$'1324

ª��q�}¬

¢�Vs[eh["! $#� &%�gqed[2�Iljxdk°bhkm�j[�i"lq`9x�brgw`cbhx�¼ ! .'# .(% � �½ptYgq`sy�bdVY[2 ¡¤Y`9i�bdkulq`��<�9�# �� �9#¥k|xWvqku�q[f`��z£

� �#��� �� � ���.# �*) ] Wkm  � � �

���� +,+ � � 7.���1 2 1k°  � 4� � ª���7q¬

ÐÆ["bW¤sx=`sl(¢ ku`cbd[fed�Yeh["b¥bdVY[·`Y[¢ gqe�bhk°µIi"k|gw�Y ¡ljehi[1bhVsg(b³Vsgqx¥�9[f[`%gjyYy�[}yTbdl�bdVY[�ZTlwbdkulq`%[f»c¤sg(bhkmlj`�rtz ¡lje1g$vjkm�j[`��Ykm¯z[f�&�.9 - L �3� � Í � � �

- =È �w�q�

^¾ �bdVYk|x$�Yk°¯�[f�³y�lz[}x�`Ylqb$�I[�ulq`YvÂbhl�gq`c£±eh[vqkulq`Æt³ª¡bdVY[?i"ljedeh[fxd�9lj`sy�ku`Yv?�m[f�q[f�¥xd["b$�(gq�m¤Y[}x�gwb!�gweh[��Iljxdk°bhkm�j[� ¡lje�gq�m���u[�j[��x�[b· ¡¤s`si�bhkmlj`sxh¬"t-bdVY[f`ÁbhVY[n`Y[¢� ¡ljehi[$k|x�`Y[vcg(bhkm�j[qtI[f»c¤sgw�3bhl/. / ��� "

��1'$ ��� � $cgw`sy�gwkuZ�x³gwb¥[¯z�9gw`sy�ku`Yv$bdVY[�eh[vqkulq`�� � bhl$l�ifi"¤Y�z£nbdVYk|x³�Ykm¯z[f��ªNgw�s�9[}gwergw`si[

lw �`Ylq`Yo¾gwb�bdehku�Y¤�bd[}y%�sk°¯�[�|xWk|x1y�k|xdilq¤Yergwvj[fys¬"©0 �Æ� � � - � � �- =È �q�q�

�·`ÁbhVY[TlwbhVY[e�Vsgq`sy�t´km =bhVYk|x��Ykm¯z[f��Vsgqx��I[[f`±gq�meh[fgjy�£Cg(bdbdehkm�Y¤Ybd[fyÁbdlÂgq`YlwbhVY[e2eh[vqkulq`«¼ � � ½ptbdVY[f`�bdVs[�i"ljedeh[fxd�9lj`sy�ku`Yv2�m[f�q[f�sx�[b� ¡¤Y`si"bdkulq`¼ � � ½9¢�ku�u�9i"lj`cbdehkm�Y¤Ybd[�¢�kmbdV%g2�Iljxdk°bhkm�j[� ¡lqeri"[WbhVsg(bgwkuZ�x�g(b�xdVYedku`Y¨zku`YvT�ml�igq�m�u£TbdVs[�ed[fvqkulq`5����ª bdVs[�l(�q[eh�|gw�Y�Yku`Yvnkux�yYkuxhi"lj¤Yehgqvq[}ys¬�©§ �°bhVYlq¤YvjVÁbhVsg(b�bdVs[Txd[�u[fi"bdkulq`Clq �bdVs[$ ¡¤s`si�bhkmlj`­¼ � � � � � N½³x�[f[Z�x·bdl��9[T�Yehlq�I[e}t-k°b�ku`jbhedl�y�¤9i"[fx

xdlqZT[��Yehlq�s�m[fZTxf©ÆUWVz¤sxftbhVY[�`Ylqb�oag(bdbdehkm�Y¤Ybd[fy��Ykm¯�[�|xÆgqed[��I[`sgq�mku¶[}y2¢�k°bhV2bdVY[=xhgwZT[�Z�gw`s`Y[eÆxdkuZnku�|gweh�m£

021@K�043

Page 24: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ 7Y�

x=-a

x=+a

(x)=-tan(x/a)/tan(1) aH–1

–0.5

0

0.5

1

–20 –10 10 20

83kmvj¤Yeh[I6%9�UWVY[�bdehkmvjlq`YljZT["bdehk|i��sgjx�k|xWlw �bdVY[��u[�j[�´xd["b�ilq¤Y�Y�uku`Yvn ¡¤Y`si�bhkmlj`´©

¢�kmbdVTbhVY[�lj`Y[fx�bdVsgwb=Vsg��q[��I[[f`@g(bdbdehkm�Y¤Ybd[fynbhl�Z�¤s�°bhkm�Y�u[�eh[vjkmlj`sxf©3Ï?ljed[fl(�q[e}t�bdVs[kue¥y�k|x�brgw`si[��(gw�u¤Y[fx ¡ehlqZ bdVs[�i"ljedeh[fxd�Ilq`sy�ku`YvCi¤Yed�j[fx�gqed[%`Ylwb$ilq`sxdk|y�[eh[fy®gq`syÀVY[`9i"[%�(gq�m¤sgq�Y�u[@km`Y ¡lqehZTgwbdkulq`®k|x��uljx�bf©83ku`sgw�u�u£qt¥bdVY[Cy�[µs`Y[}yGi"lq¤s�Y�mku`Yv± ¡¤Y`si"bdkulq`ºk|x@y�k|xdilq`cbdku`z¤Ylq¤sxT¢�VskuirV kux%gÀ`Ylwb@y�[}x�kuehgq�Y�u[��sedlj�9[fe�b�£xdku`si"[2kmb�i"eh[fg(bh[fxWx�bhgw�skm�uk°b�£��Yehlq�Y�u[Z�xWy�¤Yehkm`svTbdVY[��u[�j[�´xd["b�[�jlq�u¤�bdkulq`´©U�lÃx�¤sZnZ�gqedku¶[jt=bhVY[Ái"lj¤Y�Y�ukm`svÀ ¡¤Y`si�bhkmlj`GVsgqxnbhlÃ�I[Âed[}y�["µs`s[fy �z£Ãbhgq¨zkm`Yv®ku`cbdlÃgjii"lj¤Y`cb�bdVY[

 ¡lj�m�ul(¢�ku`Yvnilq`sxdk|y�[erg(bhkmlj`sx�9� � § �Ykm¯z[f�WbdVsgwb�kux�gq�meh[fgjy�£®g(b�bhedku�Y¤�bh[fy­bdlÀg±ed[fvqkulq` 2®gw`sy­k|xn Ngwe�g�¢³g�£± ¡ehlqZ )�� 7 t³x�VYlj¤Y�|yx�bhedlj`Yvq�u£@y�k|xdilq¤Yergwvj[�bhVY[�[�jlq�u¤�bdkulq`�lw �bdVY[��u[�j[�´xd["b � � �9�bdlTku`si"�u¤sy�[2bhVYk|x��Ykm¯z[f�´ku`5� � t

� � ���·`�bhVY[¥lqbdVY[fe�V9gw`sy�twg��Ykm¯z[f�z¢�VYkuirV��9[f�mlj`YvjxÆbdl·bdVY[³eh[vqkulq`�� 7 gw`sy�k|x�i"�uljxd[�bhl�kmbhx3�9lj¤Y`syYgqedku[fxªNxdZ�gw�u�=�u[�q[f�=xd["b��(gw�u¤Y[ � 7 � ¾¬�t�ifgw`À�9[%ed[}gqirVY[}yÁlje��9[%�mku�9[fehgwbd[}yÀ�c£ )�� 7 yY¤Yedku`Yv?bhVY[@`Y[¯cb ¡[¢�kmbd[fehgwbdkulq`sxftIgq`sy?VY[f`si"[jt9bhVY[$ilq¤Y�s�mku`Yv� ¡ljehi[�x�Vslq¤Y�|yÂ�I[��u[fxhx��Il(¢¥[fe� ¡¤s��gw`9y -abhlq�u[erg(bd[�.�gbd[fZn�Ilqergw��l(�j[eh�ugq�Y�Yku`Yvs©UWVz¤sxftÆku`sxd�Ykmeh[fy±�z£ÂbhVY[��Yehlq�I[edbdku[fx2lw ³bdVs[Tbdehkmvjlq`YljZn[bdehkui� ¡¤Y`si"bdkulq`sxft�bdVY[T ¡lj�m�ul(¢�km`sv% ¡¤Y`9i�bdkulq`

bhVsg(b1k|xWvqljkm`sv�bhl��9[�¤sxd[fy�gqxW�9gqxdkux³ ¡lje1i"lq¤s�Y�mku`Yvn ¡lqeri"[T¼ ��� �2ª�6q¬a½Æk|x�y�["µs`s[fy

� � � ; � ��� � . �1 Wkm  ; ���

��1 Wkm  ; �

���

����� ��%��� � ;�� ��4 Wk°  $ ; $����

ª��f\j¬

¢�kmbdV��������W©�UWVskux³bhedkuvqlj`YlqZT["bhedk|i� ¡¤Y`si�bhkmlj`?kuxWbhVY[��sgjx�k|x³lw 3bdVY[�ilq¤Y�Y�uku`Yvn ¡lqeri"[2vqku�q[f`%�z£qt

KLK � M2N�O�P�N

Page 25: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

7.7 � ���������A�G! � �)�� / +�$B� ! +����.�����'!G) �� ��

�<� � 2! �� 7!���1# ���� ��]4 km  2 � �� � � � 7 ���1 2 km  254� � � + ) � 71���1 � ]� � �

� � � � 71���.## km  254� � � + ) � 6 � �$���.t ���� ��� � � ���1�� ]� ª���c¬

U�l2km`cbd[fed�sed[b�bhVYkux3 ¡ljehi[¥�zk|g1bhVY[W`Y[¢« ¡¤Y`si"bdkulq`´tcg��u[�j[��x�[b� ¡¤Y`si�bhkmlj`�¼ � � � N½ gq`syng��Ykm¯�[���ul�ig(bhkmlj`¼ �½ gweh[�i"lq`9x�k|y�[eh[fy´t

� ��^¾ ���k|x�gw�ued[}gqy�£�g(b�bhedku�Y¤�bh[fy�bdlCgq`YlwbhVY[e�ed[fvqkulq`´t�bhVY[`ÀbhVY[eh[�k|x�gw`ÀVz£z�9lqbdVY[}x�k|x 2? ¡lje�¢�VYk|irV� 7 ���1 � ]�¢�VYk|irV@¢�km�u�9ilq`cbdehku�Y¤�bd[�¢�k°bhV%g��Iljxdk°bhkm�j[1�(gw�u¤Y[�ª7x�VYehku`Y¨zkm`Yv�["²-[fi�b�¬�bhl�bdVs[·i"lj¤Y�Y�ukm`sv ¡lqeri"[jt

� 7 ���1 � ] � � � � 2! �� 7 ���1 � � � � � 7 ���1

� � � � 2! � 7 ���1 � ) . �! ³km  ; ���

��

����� ��%��� �;�� ��4 �km  $ ; $ � �

8Y¤YedbdVs[ehZnljed[jt(k°brx�i"lq`cbhedku�Y¤�bhkmlj`�k|x��sedlj�9lje�bhkmlj`sgw�qbdl·bdVY[�y�k|x�brgw`si[= ¡ehlqZ bhVY[Wi"¤Yeh�q[ )�� 7 ¢�VYk|irVkuxWg$�q[fed£�y�[}x�kuehgq�Y�u[·�Yehlq�I[edb�£T�9[}igq¤sx�[�km ´bdVY[2vjkm�j[`@�Ykm¯�[��k|x¥ Ngwe�g�¢³g�£$ ¡ehlqZ'bdVs[�i¤Yed�j[ )�� 7 tbdVY[f`´t�kmb$¢�ku�m�Weh[Z�gwku`À ¡lqeTgÁi[edbhgqkm`®`z¤YZ$�9[fe$lq 1k°bh[erg(bdkulq`9x�¤Y`syY[e$bdVY[�l�ii"¤s�sg(bhkmlj`®lw  � 7 ©�1[f`si"[jtjbhVY[1�u[�j[�9xd["b¥ ¡¤Y`si"bdkulq` � 7 Vsgjx�bdl$x�bhedlj`Yvq�u£$y�k|xhi"lq¤sehgqvq[WbdVs[�g(bdbdehkm�Y¤Ybdkulq`@lq IbhVYk|x=�Ykm¯�[�bdl±bdVs[�eh[vjkmlj` ¼ � � ½¾©º�·`­bdVY[�lwbhVY[eTVsgq`sy�t¥k° ·bdVY[Ây�k|x�brgw`si[?kuxTxdZTgq�m�pt�bhVY[` kmbTk|xn�9lcxdxdku�Y�m[bdVsgwbWbdVY[2i"¤Yeh�q[ )�� 7 ¢�km�u�-�mku�I[erg(bd[·bdVskux³�Ykm¯�[��x�lzlj`´tcbdVz¤sx¥bdVY[�ilq¤Y�Y�uku`Yv� ¡ljehi[·xdVYlq¤Y�|y@�I[��m[}xdx�9l(¢³[ed ¡¤Y�p©

� � � § x�kuZTkm�|gwe�ku`cbd[fed�Yeh["brg(bhkmlj`�igq`?�9[�y�lj`Y[2k° 3bdVskux��sk°¯�[��k|x�`Ylqb1g(b�bhedku�Y¤�bh[fy�bdl@gq`z£�ed[fvqkulq`´©

� 71���1 � ] � � �#� 2! � 7 ���1 �� �"

�� � � � � 7!���1

� � � � 2! � 7 ���1 � �"

�� ) �1 Wkm  ; � �

��

��� � ��%��� �'; � �4� ³km  $ ;�$����

�1l(¢³[�j[e}t� ¡lqe�bhVYkux=igqxd[WbdVs[1i"lq¤s�Y�mku`Yv2 ¡ljehi[³V9gqx�bhl��9[1`slqehZTgq�mku¶[}y��I[fifgw¤sxd[�k|x�`Ylwb=gq�Y�Yehlq�Yehkmog(bh[�bdl��I[`sgq�mku¶[�¢�k°bhV?bdVY[�xhgwZT[�¢Wg�£�bdVs[�x�kmbd¤9g(bdkulq`?lq �l(�j[eh�ugq�Y�Yku`YvTgw`sy�bhVY[�igjx�[�ku`¢�VYk|irVbdVY[$vqku�q[f`��sk°¯�[��kux�`Ylwb�g(b�bhedku�Y¤�bh[fy�bhl@lq`Y[�lw �bdVY[�ed[fvqkulq`sxf© § b�bdVY[nxdgqZn[2bhkmZT[�bhVYk|x1 ¡ljehi[�kux�Y�|gw¤sxdkm�s�m[Wkm -gq`synlq`Y�u£�km 9bhVYkux��sk°¯�[�skux�`Ylqb=g(bdbdehkm�Y¤Ybd[fy�bdl�gq`c£�ed[fvqkulq` � 6 � �$�+� t ���� �� � � ���. � ] � ©83km`sgq�m�u£qtzkmb³k|x¥kmZT�Ilqedbhgw`cb�bhl�`Ylqbd[·bdVsgwb=bhVYkux= ¡lqeri"[�gw�u�ml(¢1x�bdVY[Kl(�q[fed�|gw�Y�skm`Yv�¢�Vs[`@bhVY[·i¤Yeh�q[fxgweh[2�ml�igwbd[}y%[¯�gji�bh�m£%gwbWbdVY[�eh[fgq��ed[fvqkulq`sx³�Ilq¤Y`sysgwehkm[}x©

021@K�043

Page 26: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ 7q\

Mixture Approximation

Input Density Mixture Components

ªNgc¬ ª¡�I¬ ªNif¬

83kuvq¤Yeh[�;29�ªNgj¬=^a`Y�Y¤YbW^aZ�gqvq[qt-ª¡�I¬=^aZ�gqvq[���kux�bdljvqergwZ'gw`sy%k°brxWgw�Y�Yehl�¯�kmZ�gwbdkulq` 9 �'��* �%� $1�$���� � �J*��� �( � � � # �+ $ � �.��( ���.��*,+�������$ � (�( � ( � � ������� � � ��� � )��#�( +�������$%� � �J* � �( � � � � t�ª7if¬���[vjkmlj`^a`cbh[`sxdk°b�£�~�edlj�9[fe�bhkm[}x©

UWVY[T�|gqx�b�kuxhx�¤s[�bhl��I[�i"lj`sx�k|y�[fed[}yCk|x�bhVY[@y�[bd[ehZTkm`9g(bdkulq`�lw ¥bdVY[T�sgqehgqZn[bd[fe$¼ �j½�lw =bhVY[?¼ � � � N½ ¡¤s`si�bhkmlj`´©PUWVskux��9gwergwZT["bh[e@igq`º�9[C[}gqxdkm�u£­yY["µs`Y[}yº¢�k°bhVYku`ºbdVY[Cilq`cbd[¯cb@lq 2bdVY[!� + (�( � � ' +�$B��u[�j[�=xd["b$[�qlj�m¤Ybdkulq`Àgw�uvqlqehkmbdVYZ?©�UWVz¤sxft�gqiilqery�ku`Yv�bdl?bdVskux$gw�uvqlqehkmbdVYZ bdVY[@�u[�j[�=xd["b�[f�qlj�m¤�bhkmlj`Àkux�I[ed ¡lqehZT[fy�¢�kmbdVskm`�gw`%gji�bdku�q[��sgw`sy%lw ´�Ykm¯�[�|xtc¢�VYk|irV�gqed[1�ul�igwbd[fy@¢�k°bhVYkm`�g�¶flq`Y[�y�["bh[ehZnku`Y[}y��z£TgZ�gw¯zkuZ�¤sZ y�kux�bhgq`si"[Wi"lj`sx�bdergwku`jb� ¡edljZ bdVY[W�|g(bh[fx�b� ¡ehlq`cb��9lcx�kmbdkulq`´©��1[f`si"[jt(bdVY[�¼ �q½Y�9gwergwZT["bh[e�igw`$�9[yY["µs`Y[}y?¤sxdkm`Yv@bdVY[�Z�gw¯zkuZ�¤sZ gq�m�ul(¢¥[}y�yYkux�bhgq`si"[%ª7gqi"bdku�q[��sgq`syÂx�ku¶[�¬�© § x�g�i"lj`sxd[f»c¤Y[`9i"[qtsk° ��Ykm¯�[�yYlc[}x�`Ylqb��9[f�mlj`Yv�bdl?bdVs[%gqi"bdku�q[T�sgw`9y�lq Wg?vjkm�j[`±�m[f�q[f�=x�[bftÆbdVY[f`ÀbdVYk|x��u[�q[f�=xd["b�¢�ku�m�=ilq`cbdehku�Y¤�bd[Z�gw¯zkuZ�gw�u�m£CªNkm`�bh[ehZTxWlq 3gq�sx�lj�m¤Ybd[���gq�m¤s[}¬=bdlnbdVs[�i"lq¤s�Y�mku`Yv$ ¡lqeri"[�gw`9y%¢�ku�m�´x�bdehlq`svq�u£�[`silq¤Yergwvj[�lqeyYkuxhi"lj¤Yehgqvq[�bdVY[�[f�qlq�u�zkm`sv$�u[�j[�´xd["b�bdlTeh[fgjirV%bhVYkuxW�sk°¯�[�p©UWVY[±�I[ed ¡lqehZTgq`si"[�lw �bhVYk|x�`s[¢ xd£zx�bd[fZ/lw �ZTlqbdkulq` [}»j¤9g(bdkulq`9x@ ¡lje�kuZ�gwvq[±x�[fvqZT[`cbrg(bdkulq`÷kux

yY[ZTlq`sx�bderg(bh[fy�km`º¼ ��� �êp�q¬¾½� ¡lje�bdVs[�VYlq¤sxd[�kuZTgqvq[?¼ ��� �®ª�;j¬a½p©�UWVYk|x�kmZ�gqvq[Tkux�i"lqZT�Iljxd[fy�lw ³µs�q[yYk°²-[eh[`cb=eh[vjkmlj`sx�bdV9g(b³gqed[·y�[fxhi"ehkm�I[fyB>(y�[bd[ehZTkm`s[fyn�z£Tx�bdehlq`svq�u£�l(�q[fed�|gw�s�Ykm`sv�¦2gq¤sxhx�k|gw`T ¡¤Y`9i�bdkulq`9x©UWVY[nlq�z�zkulq¤sx�i"lj`sx�bhehgqkm`cb�kuZT�9lcx�[}yC�z£?bdVs[nilq¤Y�Y�uku`Yv@ ¡ljehi[�k|x·`slq`�o¾l(�q[fed�|gw�Y�skm`YvCª7g(b2�m[}gqx�b·�sgqe�o

bhkugq�m�u£Y¬��9[b�¢¥[f[`±bdVs[@km`sk°bhkugq�=i"¤Yeh�q[}x©+UGVY[`ÀbhVYkux$i"lj`sy�kmbdkulq`±kux�`Ylwb�eh[fxd�9[}i�bh[fy�tÆbdVY[f`®k°b�V9gqx��I[[f`lj�sxd[eh�q[fy�["¯��I[ehkmZT[`cbrgw�u�m£�bhVsg(b�bhVY[1xd£zx�bd[fZ lw -ZTlwbhkmlj`$[}»j¤9g(bdkulq`9x�x�¤�²-[erx3 ¡ehlqZ ku`sx�bhgw�skm�uk°b�£$ZTlzyY¤Y�m[bhVY[2¢¥[fkmvjVcb2¼ !�½´lq �bhVY[�i"lq¤s�Y�mku`Yvn ¡lqeri"[j©�UWVYkuxW�sedlj�Y�m[fZ igq`��I[�ed[}x�lj�m�j[fy��z£@ZTl�y�km ¡£zkm`YvnbhVY[�¢¥[fkmvjVcb ¡ljeWbdVY[�ilq¤Y�s�mku`Yvn ¡lqeri"[�gqxWgn ¡¤Y`9i�bdkulq`?lq ÆbdkuZT[q©=UWVz¤sxft��z£%i"lj`sxdkuy�[fedku`Yv$bdVsgwb

� �2¸�¤sedku`Yv�bdVY[W[}gweh�m£�x�bhgwbd[fx3lq sbdVs[Wxd[vjZT[`cbhgwbdkulq`��Yehl�i"[}xdx�bdVs[³lj��bhgqkm`s[fy$ZTgq��k|x�`Ylwb�lj��bdkuZTkm¶f[fy�tgw`sy�bhVY[2bd[fZn�Ilqergw��l(�j[eh�ugq�Y�Yku`Yv$xdVYlj¤Y�uy��I[��sgwedbdk|gw�u�m£@bdlq�u[erg(bh[fy�t

� � � UGVY[`?bhVY[�~�¸�¹�x�i"lj`c�j[ehvq[·bdl(¢WgweryYx¥bdVY[fkme�gqxd£zZn�Ybdlwbhkui�xdlq�u¤�bhkmlj`sx � ������$ptsbdVY[�xd[vjZn[f`cbhg(obdkulq`CZ�gq�Ckux�µs`sgq�mku¶[}yCgw`9y?bdVY[nl(�q[fed�|gw�s�Ykm`svTgjx�¢³[�u��gjx1bhVY[$ifgqxd[�lw ¥`Ylq`�oag(bdbdehkm�s¤�bd[}y?�Yk°¯�[f�uxx�Vslq¤Y�|y��9[�x�bdehlq`Yvj�m£��sedljVYkm�sk°bh[fy�©

bhVY[�¢³[kuvqVcb�lw ÆbhVY[�i"lj¤Y�Y�ukm`sv$ ¡ljehi[2kuxWZTl�y�kmµs[fy?gqx³ ¡lj�m�ul(¢1x! � �2�� ! �� ��� ª���6q¬

KLK � M2N�O�P�N

Page 27: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

7w� � ���������A�G! � �)�� / +�$B� ! +����.�����'!G) �� ��

ª��}¬

ª�7q¬

ªN\j¬

ªN\j¬

ª¡�c¬

83kuvq¤Yeh[��J93UWVY[�x�[fvqZT[`cbrg(bdkulq`�lq �bdVY[·VYlq¤9x�[1kuZ�gwvj[�ku`jbhl�µs�j[�eh[vqkulq`9x© "¥¤Yed�j[1�Yehlq�sgqvjgwbdkulq` 9´�u["  b³bdlehkuvqVcbf©�ªNgc¬ ��lq¤sxd[2¢³gq�m�|xft-ª47q¬WÎz¨z£qt�ªN�9¬�¦�edlj¤Y`sy�t�ªN�c¬NUGkm`9y�l(¢1xt´ª46q¬³ÎzZ�gw�u�-bdeh[[}xtc¿sl(¢³[erxt�xdVsgqyYl(¢1x¼ ! � ] 2 �@] &#�� ] 2 l ]4 &%�� ] 2 f ]w½p©¢�Vs[eh[ ��k|x¥bdVY[2i"¤sedeh[`cb=bhkmZT[�gw`9y � � � �kux¥bhVY[�i"lq`z�j[ehvq[`9i"[WbdkuZT[�ª bdVskuxW�sgqehgqZT["bd[fe=k|x³�Yehgji�bhkuifgw�u�m£yY["µs`Y[}yÃ�z£±bdVY[�¤sxd[eT�z£Àvqku�cku`YvÁbdVY[�k°bh[erg(bhkmlj`sx�`z¤YZ$�9[fer¬"©®UWVc¤9xt=g�i"lj`�µ9y�[f`si"[��sgwergwZT["bh[enVsgqx�I[[f`Áku`cbdehlzyY¤si"[}y?bdl%bdVY[ni"lq¤s�Y�mku`Yv% ¡lqeri"[q©2UWVYk|x·ilq`�µIy�[`si[�k|x�eh[�|g(bh[fy¢�kmbdVÁbdVY[ni"¤Yeheh[`cb�x�bhgwbd[�lq bhVY[�xd[vqZT[f`jbrg(bhkmlj`%�Yehl�i"[fyY¤Yed[j©

� � ����Â#�.���� ����1�

UWVs[n�sedlj�9lcx�[}yÁZT["bhVYl�y±Vsgqx2Z�gqyY[nkuZT�Y�ukuik°bh�m£ÁbdVY[@gjxdxd¤YZT��bdkulq`�bdV9g(b�bdVs[�kmZ�gwvj[Tkux�ilqZT�9lcx�[}yÁlq " eh[vjkmlj`sx�gq`syÃgÂvjkm�j[`®�Ykm¯�[� �@�ukm[}x$gq�m¢Wg�£�x2�9[b�¢¥[f[`®b�¢³lCeh[vjkmlj`sx�¼ ��� � � � ½p©!�1l(¢³[�q[feft3vqku�q[f`

021@K�043

Page 28: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ 7.6

Input Density

Mixture Approximation

Mixture Components

ªNgc¬ ª¡�I¬ ªNif¬

83kuvq¤Yeh[·�29�ªNgj¬=^a`Y�Y¤YbW^aZ�gqvq[qt-ª¡�I¬=^aZ�gqvq[���kux�bdljvqergwZ'gw`sy%k°brxWgw�Y�Yehl�¯�kmZ�gwbdkulq` 9 �'��* �%� $1�$���� � �J*��� �( � � � # �+ $ � ���B( � �.��* + �4��� $ � (�( � ( � �* � � � ��� � � ��� � )��#�( + �4��� $2� � �J* � �( � � � � � t�ªNi}¬���[vjkmlj`^a`cbh[`sxdk°b�£�~�edlj�9[fe�bhkm[}x©

bhVY[Âku`Yk°bhkugq��i"¤sed�j[fx?¼ ed[fvqkulq`sx�½��9lcx�kmbdkulq`sxftWx�ljZn[?kuZ�gwvq[?�Ykm¯�[�|x�ZTkmvjVcbT`slwb@�I[�ulq`YvÀbhlÀgq`z£Ãed[fvqkulq`´©ÏÂlqeh[l(�q[feftclwbhVY[e�kuZ�gwvj[·�Ykm¯�[�|x�ZTkmvjVcbW�I[�g(bdbdehkm�s¤�bd[}y%bhl�x�[f�q[ergw�-eh[vjkmlj`sx©�·`�bdVY[TlqbdVY[fe�V9gw`sy�t�y�¤Yehkm`Yv�bdVs[��Yedlj�sgwvcg(bhkmlj`Âlw =bhVY[<��i"¤sed�j[qtIbdVY[�eh[vjkmlj` ¡lqeri"[$ ¡lqe�g�vqku�q[f`

�sk°¯�[� ��¢³gjx@[}x�bhkmZ�g(bh[fyG¤9x�ku`Yv«gjx�gq�°bh[eh`sg(bhkm�j[ÂVc£z�IlwbhVY[fxdkux%bdVs[ÁZTljx�b��Yehlq�9gw�Y�u[Ágqxhxdkmvj`YZT[`cb =!��tyYk°²-[eh[`cb1 ¡ehlqZ �r© ��l(¢¥[f�q[feft�bhVYk|x�gqxhxd¤YZT��bdkulq`Âk|x1`Ylqb��(gw�ukuy?km �[kmbdVs[e1bhVY[��Ykm¯�[����k|x�gwb�bhedku�Y¤�bh[fy�bdlgq`�Vz£z�IlwbdVs[fxdkuxW¢�VYk|irV?kuxW`slwb�bdVs[�Znlcx�b��Yehlq�9gw�Y�u[qtzlqe�kmb1k|x�`Ylwb1gwb�bdehku�Y¤�bd[}y�bdl�gw`z£@eh[vjkmlj`´©U�l�y�[fgq�Y¢�kmbdVTbdVskux=�Yedlj�Y�u[Z?tjg�bh[ZT�9ljehgq� �#�J�$B����$ " eh[vjkmlj`>� * Vsgqx3bhl�i"lj`sxdkuy�[fed[}y�©�UWVskux�eh[vjkmlj`

� � Í Ì´È � �ÆÌ �$� Ì ��� È � � Ì � Í«� Ì �C� È � / � É � Ì � � È � � � ªNk°b�k|x³ilqZT�Iljxd[fy� ¡ehlqZ��sk°¯�[�-¢�kmbdV?y�km²I[fed[f`jbVz£z�IlwbdVs[fxd[fx1ljedkuvqku`sxr¬�t� � � � Í Ì´È � ��Ì � �Æ� �9È �&�Æ� È Í È � ��È Í � � � È�� � � � É ���Æ�Y���s�w� È � ª¡kmb2y�[f�9[f`syYx ¡ljedZ bhVY[��|g(bh[fx�bTxd[vjZT[`cbhgwbdkulq`®Z�gw�9¬$gw`9y � � � � ���Y�±� Ì � ÈºÈ �Æ� É�Ë � È � � Ì����IÈ � �IÈ � � È � �� È �Y��� È Í ©UWVY[}x�[�eh[Z�gweh¨�x�ku`sy�k|ig(bh[@bhVsg(b�gÁ`s[¢'bd[fZT�9ljehgq�¥eh[vjkmlj`ÃVsgqx�bdl��9[ÂgjyYy�[fy®bdl�bdVY[�lq����[}i�bhkm�j[

 ¡¤s`si�bhkmlj`´tsgqx�gneh[vjkmlj`�op�9gqxd[fyTbh[ehZ+ku`�bhVY[2 ¡lq�u�ul(¢�km`Yv$ ¡lqehZ�������� ����������+���+��# � � �

� � *� ���� ����� �

� 6 � � ��� ;8 �!7##);)! .

� ��� �

7 � � ��* + � 6�T!t � �')4� � � - � ## � T ���� ) 1� � �.- � ��

�� ) -�

ª��-;j¬

¢�Vs[eh[WbdVY[�`Y[f¢ºed[fvqkulq`�¼ � * ½9k|x�km`cbhedl�y�¤si[fy�©�UWVY[�`Y[¯zb=�Yehlq�Y�u[Z kux�bhl�y�["µ9`Y[WbdVY[�km`cbd[f`sxdk°b�£$�Yedlj�9[fe�obhkm[}x�lw �bdVYk|x�eh[vjkmlj`�t�bhVz¤sxWbdVs[��Yedlj�sgw�skm�uk°b�£�y�[`sxdkmb�£� ¡¤Y`si"bdkulq`�6 * �9d©³UWVYk|x�igw`?�I[�y�lq`s[��z£�x�[f[¨zkm`svbhVY[�eh[vjkmlj`T�Yk°¯�[f�ux¥gw`syT[}x�bhkmZ�g(bhkm`sv�y�kued[}i�bd�u£n ¡edljZ�bhVY[�lj�sxd[eh�q[fy$ku`jbh[`sxdkmb�£n�(gq�m¤Y[}x��Yehlq�9gw�Yku�mkmb�£$yY[`�oxdkmb�£% ¡¤Y`9i�bdkulq` 6 * �9d©�UWVY[��sk°¯�[�|x·lw �bdVskux·ed[fvqkulq`Âigq`C�I[��q[fed£�[fgjx�ku�u£�y�[bd[fedZTku`Y[fy¢�kmbdVskm`ÂbhVY[��u[�j[�

KLK � M2N�O�P�N

Page 29: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

7�; � ���������A�G! � �)�� / +�$B� ! +����.�����'!G) �� ��

ª��}¬

ª�7q¬

83kuvq¤Yeh[2�%9�Îz[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`@ ¡lje�¼ � � �2ªN�s© gc¬¾½�ZT[fy�k|igq�IkuZ�gwvj[�9 ¬ �3������� ©1ª���¬=�1[vqkulq`��qt�ª�7j¬³��[vjkmlj` 7�t¼ ! �=] �� ] 2 ,", &#�� ] 2 ,�, &% � ] 2 ,�,(½¾©xd["bW ¡ergwZT[¢³lqeh¨-t�x�ku`si"[�bhVY[£�i"lqeheh[fxd�9lj`sy�bhlnkuZ�gwvj[��ul�igwbdkulq`sx³¢�kmbdV?�9lcx�kmbdku�q[2�u[�j[�´xd["b1�(gw�u¤Y[� ¡lqe1gq�m�eh[vjkmlj`sxf©·UWVY[f`´t-bdVY[nZTkm`skmZTku¶fg(bhkmlj`Álq �bdVY[nlq����[}i�bhkm�j[� ¡¤Y`si"bdkulq`��m[}gqyYx�bdl�bdVY[$ ¡lq�u�ul(¢�km`Yv�x�£�x�bd[fZ lq ZTlqbdkulq`�[f»c¤sg(bhkmlj`sxft

������� �������I� � � C�5��'�� �� � Q ��� Q K� � � �M�7����� ��Q������ �RQD���5QD���0� � ����� � Q ��� Q �� � ��� Q � � Q ��� Q � F

�4 ����0� 6C�Z� 8:9 QD� �RQ���� Q �'�3; 8 >= Q���� F ? 6C�Z� 8:9 Q����C'�3; 8 �A � Q�� �RQ����5QD�� � Q�� �RQ���� Q �ª����w¬

¢�Vs[eh[�`sl(¢ bdVs[��Yedlj�sgw�skm�uk°b�£ 6 � � �9�k|xWvqku�q[f`��z£jt

021@K�043

Page 30: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ 7c�

6�� � ���1 � � 6 * ���.2 %� . � �� ( 7 ���.t 7 �� � � � 7 $6�� ���.2 � � � À� L �26�� ���./� � �����! #"%$ �� 4� � � �5��� & ª��f�j¬

gq`sy% ¡lqeWbdVs[ ��ZTlwbdkulq`?[}»j¤9g(bdkulq`�k|xWkm`cbd[fed�sed[bd[fy�gqx³ ¡lj�m�ul(¢1x-9

: ^¾ -bdVY[1vjkm�j[`T�Ykm¯�[�Yk|x�`Ylqb¥g(bdbdehkm�Y¤Ybd[fynbhl�gw`z£�eh[vjkmlj`´t(bhVY[`nbdVs[�x��I[`9y�km`sv�ed[fvqkulq`Ty�k|x�bhedku�Y¤�bhkmlj`6 * �9=k|xW¤sxd[fy�bdl�y�[bd[ehZTkm`s[2bdVY[ =!��Vz£c�IlwbhVY[fxdk|x©

: �·`TbdVY[·lwbhVY[e¥Vsgw`sy´tjkm �bdVYk|x��sk°¯�[�Ik|x=gw�ueh[fgqyY£$g(bdbdehkm�s¤�bd[}ynbdl�lj`Y[qtjlqe¥Znljed[WbhVsgw`%lq`Y[�eh[vjkmlj`sxtbdVY[f`�bdVY[�Vz£z�9lqbdVY[}x�k|x³bdV9g(b1vqku�q[}x¥bdVY[�VYkuvqVs[fx�b1�Yedlj�sgw�skm�uk°b�£�k|x1xd[�u[fi"bd[fyUWVYk|x�x�£�x�bd[Z lw �ZTlqbdkulq`G[f»c¤sgwbdkulq`sx@kux�kmZT�Y�u[ZT[f`jbh[fyG¤9x�ku`Yv®bhVY[Á�u[�j[�·xd["b�bdVY[flqeh£qtW¢�VY[fed[Ág

ilq¤Y�s�mku`Yvn ¡lqeri"[2k|x�gw�|x�lTku`jbhedl�y�¤9i"[fy´t�������� �������

�I� � � C�5��'�� �� � Q ��� ��� �� �& >�� 6 9 7�� � Q � � � � & ���� �" � ? � Q ���� � � � � �7����� ��Q����������0� � ����������� � � ? � Q ��� � F ��6C�Z� 8@9 Q�����'�#; 8 >=�Qh��� F ? 6C�Z� 8:9 Q����'�#; 8 A ? � Q ���� ? � Q���� �M� � ? � Q���� �

ª��f�j¬

¢�Vs[eh[�`sl(¢ bdVs[2 ¡¤Y`si�bhkmlj`�6 � � �9³igw`��I[�y�["µs`s[fy�¤sxdkm`YvnbhVY[��m[f�q[f�´x�[b³ ¡¤s`si�bhkmlj`sx1gqx³ ¡lj�m�ul(¢1x6 � � ���1 � � 6 * ���1# %��.!( 7 ��� t 7 �� � � � 71���1�� ].$

6�� ���1# � ��� À� L �#6�� ���1 � � �(�0�1 2"%$' � 4� � ��� ���1 � ] & ª47�Hj¬

U�lÁxd¤YZTZTgqedku¶[jt�k° �gÂvjkm�j[`À�Ykm¯�[� �@k|x�eh[fgjirVY[fy±�z£ÀgCi"¤Yeh�q[�gw`syÀkmbny�lz[}x�`Ylqb��9[f�mlj`YvÂbhl�gw`z£eh[vjkmlj`´tcbdVY[f`�bdVYk|x��Ykm¯�[�´k|x�g(bdbdehkm�Y¤Ybd[fy�bhl$bhVY[ �#�J�$B����$ " ed[fvqkulq`´©��·`�bdVY[2lwbhVY[e�V9gw`sy�tsk° 3bdVYk|x��Ykm¯�[�k|x�gq�meh[fgjy�£Àg(b�bhedku�Y¤�bh[fyÀbhlClwbhVY[e$ed[fvqkulq`sxft�bdVY[f`ÃbdVs[%eh[vqkulq`À¢�kmbdV®bhVY[%ZTlcx�bn�Yedlj�sgw�s�m[@gq�mkuvq`YZT[f`jbvjkm�j[`%bdVY[��Ykm¯�[�´ku`cbd[f`sx�kmb�£@k|x1i"lj`sxdkuy�[fed[}y�©UWVY[f`´t1bhVY[Àx�[fvqZT[`cbhgwbdkulq`Gk|x��9[fe� ¡ljedZT[fy÷gqx% ¡lq�u�ml(¢1xf© ¦�ku�q[f`GbdVY[Àxd["b?lw �ku`Yk°bhkugq��i"¤Yeh�q[jt�bdVY[

ku`cbd[f`sx�kmb�£%y�k|x�bdehkm�Y¤Ybdkulq`?lw 3bdVY[ �#�%�$1� ��$ " eh[vqkulq`�k|xW[fx�bdkuZTgwbd[}y�©=UWVY[f`´tsgTZ�¤s�°bhk°o¾�YVsgjx�[2�Yehlq�sgqvjgwbdkulq`k|x·�9[fe� ¡ljedZT[fyC¤sx�ku`Yv�bdVY[8)�gqedehl(¢ ųgq`syÁgq�mvjlqehk°bhVYZ?©·UWVYk|x�ZT["bdVslzyÁed[}»c¤Ykmeh[fx1bdVY[neh["o¾km`Ykmbdk|gw�uku¶fg(bhkmlj`lq �bdVY[?gqi"bdku�q[��sgw`sy­gw`sy®bdVY[?�u[�q[f�³xd["b$ ¡¤Y`si"bdkulq` ¢�VY[`®bhVY[� ¡edlj`jb�gw�s�YedlcgqirVY[}x2bdVs[�gji�bdku�q[��sgw`9y�Ilqery�[fehxf©�¸·¤Yedku`Yv�bdVYk|x2�Yehl�i"[fyY¤Yed[?ª¡eh["o¾ku`Yk°bhkugq�mku¶fgwbdkulq`9¬"t-bdVY[�x�bhgwbdk|x�bhkuifx·lq =bhVY[ �4�%�$B� ��$ " eh[vqkulq`�gweh[¤s�IyYgwbd[}y�gq`sy%bdVY[��Yehl�i"[}xdxdkm`sv$k|x1i"lj`cbdku`c¤s[fy�¤Y`cbdku�Æi"lj`c�j[ehvq[f`si"[j©

��l(¢¥[f�q[e}t�ilq`z�q[fedvj[`si[$ZTkuvqVcb��I[@eh[fgqirVs[fy±¢�k°bhVÃgÂ`Ylj`�op[fZT��b�£ �#�%�$1� ��$ " eh[vqkulq`Æ©�UWVYk|x�ifgqxd[gq�Y�I[fgwerx´¢�Vs[`�bhVY[³km`Ykmbdk|gw�uku¶fg(bhkmlj`$x�bd[f��k|xÆ`Ylqb -dgw�s�Yedlj�Yehkugwbd[".�©�^a`�bhVsg(b�igjx�[=bdVY[fed[Wgweh[=kuZ�gwvj[=eh[vqkulq`9x¢�VskuirV?gweh[·`s[�q[feWed[}i"l(�q[fed[}y��z£�bdVs[2ilqehed[}x��Ilq`9y�km`sv$i"¤sed�j[fxf©�UWVskuxW�Yehlq�s�m[fZ�ZnkuvqVcb��I[�ed[}x�lj�m�j[fy��z£�I[ed ¡lqehZTkm`svCg�-�ilqehed[}i�bhkmlj` .Tx�bd[f�«g(  bh[e$ilq`z�q[fedvj[`si[ª bdVs[�i"¤sed�j[fx�yYlC`Ylwb$�Yedlj�sgwvcg(bh[@gw`z£�ZTljed[�¬¢�kmbdV?eh[fxd�9[}i�b�bhlTbdVY[ �#�%�$1� ��$ " ed[fvqkulq`´©�UWVz¤sxft�bdVs[��Yk°¯�[f�ux�lq �bhVYk|x�ed[fvqkulq`?gweh[2ed[o¾gwb�bdehku�Y¤�bd[}y@bhlTbdVY[lqbdVY[fe�ed[fvqkulq`sxft�gw`sy%bdVs[��Yedl�i[fxhx�ku`Yvnkux1ilq`cbdku`z¤Y[fy�¤Y`cbdku�Æilq`z�q[fedvj[`si[q©

KLK � M2N�O�P�N

Page 31: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

7q� � ���������A�G! � �)�� / +�$B� ! +����.�����'!G) �� ��

ª��}¬

ª�7q¬

83kuvq¤Yeh[��-H29WÎ�[vqZT[f`jbrg(bhkmlj`� ¡lje�¼ ��� ��ªN�s© gc¬¾½�ZT[}y�kuifgw��kmZ�gwvj[�9 ¬ �3������� ©�ª���¬���[vjkmlj`C\Yt3ª�7q¬���[vjkmlj`�9t�¼ ! � ] 2 ,",4 $#�� ] 2 ,�, %�� ] 2 ,�,(½¾©Å³[fxdk|y�[fxft´y�¤Yehkm`sv%bhVY[�x�[fvqZT[`cbhgwbdkulq`C�sedl�i"[}xdx�¢³[nifgw`�¤Y�Iysg(bd[Tlj¤Ye�x�brg(bdk|x�bdk|ix�ZTlzyY¤Y�m[}xTª7¦2gw¤9x�o

xdk|gw`9¬2¢�kmbdV­ed[}x��I[fi"b�bhlÂbdVY[?y�km²I[fed[f`cb$eh[vqkulq`9x©CUWVYk|xnigw`®�I[?y�lq`Y[%�c£Àku`cbdehlzyY¤si"ku`YvÁgq`Ãk°bh[erg(bhkm�j[gq�Y�YehljgjirVÃbdV9g(b%¤sxd[fx�bdVY[Ci¤Yedeh[`cb%xd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`­lj¤�bd�s¤�b@bdl®eh["o¾[fx�bdkuZ�g(bh[�bhVY[Ceh[vjkmlj` x�bhgwbdk|x�bhkuifxtgq`sy�bhVY[`��I[ed ¡lqehZTxWgn`Y[f¢÷x�[fvqZT[`cbrg(bdkulq`�x�bh[�Àª bhVY[2�9lj¤Y`syYgqed£2>�eh[vjkmlj`@x�brg(bhkux�bdk|ix³Vsg��j[�irVsgq`Yvq[}ys¬�©��l(¢¥[f�q[feft�km`®bhVsg(bTigjx�[@kmb$k|x��j[eh£ÁkuZT�9lje�brgw`cb�bhlClq��brgwku`ÃgCeh[�|g(bhkm�j[�u£Ávqlzl�y®xd[vqZT[f`jbrg(bhkmlj`±Z�gq�gw  bd[fe�bhVY[%µ9ehx�bTx�bd[f�«¤sxdku`YvCbhVY[�x�bhgwbdk|x�bhkuifx$bdVsgwbnVsg��j[@�I[[`­lq��brgwku`Y[fy«¤sxdkm`YvÁbdVY[�ZTk°¯zbh¤Yed[�ZTl�y�[�lj`?bdVY[�lq�sxd[eh�q[}y�y�[f`sxdk°b�£� ¡¤Y`si"bdkulq`´©1~�ergqi"bdk|igq�m�u£qtsbdVYk|x�ilqehed[}i�bdkulq`?x�bd[�Âk|x1�I[ed ¡lqehZT[fy?lj`si"[jts¢�VY[f`ilq`z�q[fedvj[`si[2kux·ed[}gqirVY[}y?¤sxdkm`Yv@bdVY[�¦2gw¤sxhxdkugq`Ci"lqZT�Ilq`Y[f`cbhx1lq �bdVY[$ZTk°¯zbd¤sed[$Znl�y�[f�ux�gw`9yCgwkuZ�x�g(b[f�mkuZTkm`9g(bdku`YvTbhVY[�[ehedljehx³lq �bhVY[�vq�ulq�9gw�´x�bhg(bhkux�bdk|igq�´ZTl�y�[�ukm`svneh["¿9[fi�bhkm`sv�lq`ÂgT�9[b�bh[e�xd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`Z�gq�´©

021@K�043

Page 32: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ 7q�

Curve Propagation

Level 0

Level 1

Level 2

Full Intensity Space

������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������

������������������������������

��������������������

��������� ���������

���������������

� � � � � � � � ��������������������

������������������������

level i-1

initialization Convergence

Curve

level i

Propagation

Propagation

Curve

Convergenceinitializationª7gj¬ ª¡�I¬

83kuvq¤Yeh[2�q�.9 § Ï?¤Y�mbdkmo�Î�igq�m[ § �Y�YehljgqirV$ ¡lqe�^aZ�gqvq[1Îz[vjZT[`cbhgwbdkulq`´©WªNgc¬�Ï?¤Y�mbdkmoaÎ�ifgw�u[�i"¤Yeh�q[W�Yehlq�sgqvjgwobhkmlj`¤sxdkm`YvTbhVY[� ¡¤s�m��ed[}x�lj�m¤�bhkmlj`ÂyYg(brg�x��sgji"[jt�ª¡�I¬W^a`Ykmbdk|gw�ukm¶}g(bdkulq`êN["¯zbdergw�Ilq�|g(bhkmlj`9¬Wgw`9y�ilq`z�q[fedvj[`si[xhirVY[fZn[�gwb�yYk°²-[eh[`cb1�u[�q[f�uxf©

� � �����3���s���¥.�� *�,/.�!��0T�!$,/1#���.2�3���#

^¾b�k|xT¢¥[f�m��¨z`Yl(¢�`«bdVsgwb�bdVY[?¤sxd[?lw  * �J� �4���#����+ � bh[firVY`Yk|»c¤Y[fxTeh[fyY¤si"[}xnxdkuvq`Ykmµ9igq`cbd�u£®bdVY[?eh[f»c¤Ykued[}yilqZT�Y¤�brg(bhkmlj`sgw�Wi"lcx�bnlw 1bhVY[�ZTku`YkuZnku¶fgwbdkulq`­�Yedl�i[fxhx$gq`sy®�I[ed ¡lqehZTxng±x�ZTlzlwbhVÃlq�I[erg(bhkmlj`®bdl�bdVY[lj����[fi"bdku�q[· ¡¤Y`si"bdkulq`�bdVsgwb1[�ukmZTku`sg(bh[fx³bhVY[�edk|xd¨@lw �i"lq`z�j[ehvqku`Yv�bhln�ul�igq��Znku`YkuZ�gY©�UWVY[}x�[�bd[}irVY`Yk|»c¤Y[fxV9g��q[2�9[f[`¢�k|y�[�u£%¤9x�[}y?km`?kuZTgqvq[��Yehl�i"[}xdxdkm`svTgq`sy?i"ljZn�s¤�bd[fe1�zkuxdkmlj`?�Yedlj�Y�u[Z�x�¢�kmbdVCgT�I[`Y[µ9i"k|gw�ilq`cbdehku�Y¤�bdkulq`Æ©UWVY[nZ�gwku`Ák|y�[fg�k|x�bhl�xdlq�u�q[�bdVY[nZTkm`skmZTku¶fg(bhkmlj`��sedlj�Y�m[fZ�km`±y�k°²-[eh[`cb�xdlq�u¤�bdkulq`Áxd�sgji"[fxft-¢�VYk|irV

gqed[�x�¤Y�9x�[bhx$lw �bdVs[%lqehkuvqku`sgw�¥lq`Y[j©�UWVz¤sxft�vqku�q[`Ãg�x�¤s��o¾xd�sgji"[@lq �bdVY[�x�lj�m¤�bhkmlj`«xd["bft�bhVY[?x�lj�m¤�bhkmlj`bhVsg(b�k|x�gqyYlq��bh[fyÀi"ljedeh[fxd�9lj`syÂbhlÂgÂx�[b2lq ³�sk°¯�[�|x�ku`±bdVY[�ljedkuvqku`sgw��xd�sgqi[q©%&�xdku`YvCg?i"ljgqehxd[$bdl?µs`Y[�z£zergwZTkuy´t9gw`Â[¯zbdergw�Ilq�|g(bdkulq`?lq �bdVY[nx�lj�m¤�bhkmlj`? ¡edljZæ�u[�j[��¢�k°bhVC�ml(¢ eh[fxdlq�u¤�bdkulq`?bhl@�u[�q[f�Æ¢�kmbdVµ9`Y[exdlq�u¤�bhkmlj`Àilq`�µ9vq¤Yerg(bhkmlj`sx�bhgq¨q[fx2�s�ugji"[C¼ ��� �«ª��q�q© �9¬a½p©?UWVYk|x�["¯zbhehgq�9lj�ugwbdkulq`ÀxdirVY[fZT[�kux�¤sx�[}yÀgqx�gq`ku`Ykmbdk|gw�Æxdlq�u¤�bhkmlj`% ¡ljeWbdVYk|xW�m[f�q[f�Ægw`sy�gn`Y[¢PZTkm`skmZTku¶fg(bhkmlj`��sedl�i"[}xdxWk|xW�I[ed ¡lqehZn[}y�©§ erg(bdVs[e$xdlq�sVYkux�bdk|igwbd[}y«gw�s�YedlcgqirV®k|x$bdlÁkuZT�Y�u[ZT[`cbTbdVYk|x$bd[}irVY`Yk|»j¤s[�ilq`sxdkux�bhx$ku`­y�[µs`Yku`Yv±g

ilq`sxdk|x�bh[`cb$i"lcgwerx�[o7bhlwopµs`Y[ * �J�=������"�(���� ilq`cbdlj¤Ye��Yehlq�9gwvjgwbdkulq`±�z£�¤sxdku`YvÁi"lj`cbdlq¤sehx�¢�VskuirVÃgqed[%ilq`�ox�bdergwku`Y[}y�bdlT�I[��Yku[fi"[f¢�kuxd[2i"lq`9x�brgw`cb�l(�q[eWxdZTgq�m�u[e�gq`sy�xdZ�gw�u�m[feW�Yk°¯�[f�´x�¤Y�9x�[bhx2¼?7(�(½¾©�UWVY[2lq����[}i�bhkm�j[ ¡¤s`si�bhkmlj`®¢�VYkuirV®k|x�ilq`sxdkuyY[eh[fyÀg(b�[}gqirVÀ�m[f�q[f��kux�bdVY[f`Ãgw¤�bhlqZ�g(bhkuifgw�u�m£�y�[ehkm�j[fy� ¡ehlqZ bdVY[@ljedkuvqku`sgq�µ9`Y[fx�b�xdifgw�u[T[`Y[fedvj£Â ¡¤Y`si"bdkulq`´© § ysy�k°bhkmlj`sgw�u�u£qt´bhVY[Tµs`Y[}x�b�ysg(bhgÂxd�sgji"[Tkux�¤sx�[}yÀg(b�[fgjirV��u[�j[�pt�gw`9ybhVY[eh[Tkux�`Yl?`Y[fi[fxhx�kmb�£Â ¡lqe�ilq`sx�bdeh¤si"bdku`Yv�g?Z$¤Y�mbdkmopeh[fxdlq�u¤�bdkulq`��z£cergwZTk|yÁlq =bhVY[@yYg(brg±¼ � � �®ª��q�q© gj¬a½p©

KLK � M2N�O�P�N

Page 33: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

\.H � ���������A�G! � �)�� / +�$B� ! +����.�����'!G) �� ��

ª���¬

ª�7j¬

ª���¬

ª�7j¬

83kuvq¤Yeh[?��7%9�ϤY�°bhk°oaxhigw�u[�x�[fvqZT[`cbrg(bdkulq`�lw ¥bdVY[@xh»c¤Ykmeheh[��kuZTgqvq[Tku`jbhl�b�¢¥l?eh[vqkulq`9x© "¥¤Yeh�q[n�Yedlj�sg(ovcg(bhkmlj` 9��u["  b�bhl@ehkmvjVjb}©�ª��}¬�ÐÆ[�j[� �jt�ª47q¬�ÐÆ[�q[f� � ª¡ ¡¤Y�u��eh[fxdlq�u¤�bdkulq`��u[�q[f�|¬"©�UWVY[�µs`sgq��xd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`Z�gq�%g(b=�u[�j[���1k|x=¤sxd[fy�bdl�y�[bd[fedZTku`Y[fyTbhVY[�km`Ykmbdk|gw�-i"¤sed�j[�i"lj`sy�kmbdkulq`sx¥g(b¥�u[�j[� � ©�UWVY[�ilq`z�q[fedvj[`si[gwb��m[f�q[� � k|x1gjirVYkm[f�q[}y@�q[fed£@ Ngqx�b�ª ��� � k°bh[erg(bhkmlj`sx,+z ¡lje��m[f�q[f� � t ��� k°bh[erg(bhkmlj`sxWgweh[�eh[f»c¤Ykueh[fys¬"©

U±[�y�[µs`Y[2bdVs[2xd£�x�bh[Zælw 3ilqehed[}x��Ilq`9y�km`sv$lj����[fi"bdku�q[� ¡¤Y`si"bdkulq`sx�gwb1�m[f�q[���ºgjx�9��������� �������� �

� ��� � � � �K� � 7� Q � � ���? B���� ���� B 9�� 9 F < � ����� �Z�GQa������� ���a�D � !" �$# �$% F

�4 ���� 7� Q � 6 � 6� ��� �Z� � � �Z� ����O9��(? B� 9 � � < < 6�� � 8:9 QG� � ���a0� ; 8 � � � � � !" ��� �Q �Z��Q= � �GQª47��}¬

¢�Vs[eh[<)�� � kux2bhVY[�eh[vqkulq`±�Ilq¤Y`sysgweh£Clw  �·gwb�� �m[f�q[�pt � � ;8 �!7�k|x2bhVY[� ¡¤Y�u�=eh[fxdlq�u¤�bdkulq`�¢�km`9y�l(¢bhVsg(b�ilqehed[}x��Ilq`9yYx�bhlTbdVY[�� ;8 "!���sk°¯�[��lq 3�u[�j[����tYgw`sy $ $ � $ $zkux�bdVY[�xdkm¶f[2lw ÆbhVYk|x�¢�km`9y�l(¢�©UWVYk|x$Z�¤Y�mbdkmo¾xhigq�m[�gw�Y�YehljgjirVÀl(�q[eri"ljZT[fx�bdVs[%�ukmZTkmbhg(bhkmlj`sx$lw WbdVY[�i"kuehi¤Y�|gwe�¢�ku`sy�l(¢�gq�Y�YehljgqirVÆ©

§ b�bdVs[n�ul(¢�eh[fxdlq�u¤�bdkulq`C�u[�j[�|xt�g�¢�km`9y�l(¢ lw ¥�Yedlj�sgw�skm�uk°bhkm[}x�k|x�¤sxd[fyÂbhl�ZTl(�j[�bdVs[Tilq`cbdlj¤Ye}tI¢�Vs[eh[¢�ku`sy�l(¢ �Yehlq�9gw�Yku�mkmbdku[fx�gweh[�»j¤sk°bh[�eh[�ukugq�Y�m[j©��·`?bdVY[$lwbdVs[e1Vsgq`sy�t9bdVY[$�9lj¤Y`syYgqed£%bd[fedZ�k|x1`Ylqb��q[fed£�sed[}i"k|x�[�y�¤Y[2bhlTbdVY[��9[fe� ¡ljedZT[fy�xdZnlzlqbdVYku`YvTlq�I[erg(bhkmlj`´©�UWVYk|x��Yehlq�Y�u[Zækux1yY[fgw�mb1¢�VY[f`�¢³[��Yehl�i"[[}y

021@K�043

Page 34: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ \s�

ª��}¬

ª�7q¬

ª��}¬

ª�7q¬

83kuvq¤Yeh[2�f\29�Ï?¤Y�mbdkmo¾xhigq�m[�xd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`�lq sbdVs[�Vsgw`synkuZ�gwvq[³ku`jbhl�b�¢¥l2eh[vqkulq`9x© "¥¤Yed�j[¥�sedlj�sgwvcg(bdkulq` 9�u["  b�bdl@ehkmvjVcbf©�ª���¬�д[f�q[� �qt�ª47q¬�ÐÆ[�j[� � ª  ¡¤Y�u��eh[fxdlq�u¤�bhkmlj`��u[�j[� ¬�©�UWVY[�µ9`sgw�Æxd[vjZT[`cbhgwbdkulq`?Z�gw�Cg(b�u[�j[� � k|x�¤sxd[fyTbhl�y�[bd[ehZTkm`s[fyTbhVY[�ku`Ykmbdk|gw�-i"¤Yeh�q[1ilq`sy�kmbdkulq`9x=g(b³�m[f�q[f�L]Y©�UWVY[�i"lq`z�j[ehvq[`9i"[�g(b=�u[�j[�� k|x�gqirVskm[f�q[fy��q[fed£T Ngjx�b�ª ��� � k°bh[erg(bhkmlj`sx,+c ¡lje��m[f�q[� � t ��� k°bh[erg(bdkulq`9x�gweh[·eh[f»c¤Ykued[}ys¬�©

 ¡ehlqZ g?�ml(¢³[e2eh[fxdlq�u¤�bdkulq`±bhlCg?VYkmvjVY[e�eh[fxdlq�u¤�bhkmlj`��u[�j[�pt��I[fifgw¤sxd[TbdVY[�¢�ku`sy�l(¢'xdkm¶f[�vq["brx�xdZTgq�m�u[egq`syCxdZ�gw�u�m[fe�gq`sy?bdVs[$�Ilq¤Y`9yYgweh£cop�sgjx�[}y�bd[fedZ��I[fi"ljZT[fx·Znljed[ngqifi"¤Yerg(bh[q©�Î�kmZ$¤Y�°brgw`Y[flq¤sxd�u£qt�g(b�bdVY[�ul(¢ ed[}x�lj�m¤�bhkmlj`��u[�j[�pt�¢³[�Vsg��j[nlj��bhgqkm`s[fyÀgÂx�[fvqZT[`cbrg(bdkulq`À¢�VY[fed[TbhVY[@`Yljkuxd[�ku`�¿s¤Y[f`si"[@V9gqx��I[[f`eh[ZTl(�j[fy�tIgw`syCxdku`si"[�bhVYk|x·eh[fxd¤Y�mb�k|x�¤sxd[fyÂbdl%ku`Ykmbdk|gw�ukm¶f[�bhVY[�lj�9[fehgwbdkulq`Cg(b·bdVY[n`Y[¯cb��m[f�q[f�Æ¢³[$y�lj`�� bZT[f["b�bdVs[�`Ylqk|x�[2�Yehlq�s�m[fZTx¥bhVsg(b1¢³[eh[2Zn[f`cbdkulq`Y[}y�gq�9l(�j[q©UWVY[��9[fe� ¡ljedZ�gw`9i"[�lw 3bdVskux�Z�¤Y�mbdkmo¾xhigq�m[�ilq`sxdk|y�[erg(bhkmlj`�lq �lj¤Ye�ZTl�y�[��kux·y�[ZTlq`9x�bhehgwbd[fy�ku`®¼ � � �

ª���7Ytm�}\j¬¾½¾©

� � �"���³���Æ�3�"��#��Á0���, ,/.�)��

^a`ÁbdVYk|x2�sgq�9[feft´g�`Y[¢ Z�¤Y�mbdkmo¾�YVsgqxd[n�m[f�q[��xd["b�gw�Y�sedlcgqirV ¡lje�¤s`�o¾xd¤Y�I[eh�zkuxd[fyÂkuZ�gwvj[nxd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`V9gqx3�9[f[`T�Yehlq�Iljxd[fy�©3��[fgq��kmZ�gqvq[fx3lq Iy�km²I[fed[f`cb�`sg(bh¤Yed[2ª¡lj¤�bhyYlcljeftqZn[}y�k|igw�ptw[bhiw© ¬�¢�VskuirVTVsg��j[¥�I[[f`

KLK � M2N�O�P�N

Page 35: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

\ 7 � ���������A�G! � �)�� / +�$B� ! +����.�����'!G) �� ��

¤9x�[}y@ ¡ehlqZ lqbdVY[fe1x�[fvqZT[`cbrg(bdkulq`?gw�s�YedlcgqirVY[}x·ªN¢¥ljZ�gw`´t�Vsgq`sy�tYxh»c¤Ykmeheh[� ¬=V9g��q[��9[f[`?¤sxd[fy�gqxWku`Y�Y¤�bbhlT��gq�mk|yYgwbd[�bdVY[��sedlj�9lcx�[}y�gq�Y�YehljgqirVÆ©UWVY[nlq�Ybhgwku`Y[}yC["¯��I[ehkmZT[f`jbrgw��eh[fxd¤Y�°brx·gqed[$�q[fed£?�YehlqZTk|x�ku`YvÁ¼ � � �ª���6�t �zt �Ytu�-Hstm��7�tu�f\Ytu��z¬¾½¾©��1l(¢Wo

[f�q[feft=gq`­[f�(gw�u¤sg(bhkmlj`«lw ·bdVY[Â�sedlj�9lcx�[}y«gw�s�YedlcgqirVÃk|xTeh[f»c¤Ykued[}y�©­UWVYeh[[?gqxd�I[fi�brx�gweh[�ilq`sxdk|y�[eh[fy�t`9gwZT[�u£ÂbdVs[�km`Ykmbdk|gw�uku¶fg(bhkmlj`±x�bd[f�´t´bhVY[T�9[fe� ¡ljedZ�gq`si"[ >(i"lj`cbdehkm�Y¤Ybdkulq`Clq ¥bhVY[@y�km²I[fed[f`jb�xd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`ZTl�y�¤Y�u[fxftYgw`9y%bhVY[�i"ljZT�Y¤�bhgwbdkulq`sgq��i"ljx�bf©ÅWgqxd[fy@lq`�bhVY[·[¯��9[fedkuZT[`cbhgq�9eh[fxd¤Y�mbhxftckmb�igw`%�9[�[fgjx�ku�m£Tlj�sx�[fed�j[fynbhVsg(b³bdVY[�ku`Yk°bhkugq��i"¤Yeh�q[�i"lq`9y�k°o

bhkmlj`sx�y�l�`Ylwb�i"lj`sx�bhehgqkm`�bdVY[WZTl�y�[�z�I[ed ¡lqehZTgq`si"[j© ��l(¢¥[f�q[e}tfbdVY[fed[Wgweh[¥xdlqZT[³`Y[fi[fxhxdgqed£�i"lj`sy�kmbdkulq`sxbhVsg(bWVsg��j[�bdln�9[�eh[fxd�9[}i�bd[}y%y�¤sedku`Yv�bhVY[�km`Ykmbdk|gw�uku¶fg(bhkmlj`@�Yehl�i"[fyY¤Yed[j© �1[`9i"[qtcbhVY[·ku`Ykmbdk|gw��i"¤sed�j[fx�¢�kmbdVeh[fxd�I[fi�b·bdl%bdVY[Ty�km²I[fed[f`jb�Vz£c�IlwbhVY[fxd[fx�xdVYlq¤Y�|yCy�[µs`Y[nkmZ�gqvq[�eh[vjkmlj`sx1¢�VYk|irVÁku`si�m¤syY[$g@�9gwedbnª¡[f�q[f`xdZ�gw�u�|¬¥lq �bhVY[�ed[}gw��eh[vjkmlj`sx³bdVsgwb1Vsg��q[·bdl��I[�eh[fi"l(�j[eh[fy�©�U�l�km`cbd[fed�sed[b³bhVYk|x1i"lj`sy�kmbdkulq`´tY�u["b1¤9x�`Yl(¢gjxdxd¤YZT[�bhVsg(b�gw`ÃkuZ�gwvj[%x�¤s��opeh[vjkmlj`(� � ��t ��� ª¡�sgqe�bnlw �bhVY[�eh[vjkmlj`(� � ¬�lw �bhVY[�Vc£z�IlwbhVY[fxdkux � kuxilqZT�Y�u["bh[�u£@x�¤Yehehlq¤Y`syY[fyT�z£@g$xd¤Y��o¾eh[vqkulq`�lq ´bdVs[·Vz£z�9lqbdVY[}x�k|x + ©�^a`@bdV9g(b�igqxd[qtzkm ´bdVs[�ku`Ykmbdk|gw��i"¤sed�j[ ¡lje � y�lz[fx·`Ylqb2y�[µs`Y[ngw`Cku`cbd[ehkulqe�ed[fvqkulq`?bdV9g(b·ku`si�m¤syY[fx2x�ljZT[��Ykm¯�[�|x�lq �� � � t ��� t9bhVY[`ÁbdVY[Txd[vwoZT[f`jbrg(bhkmlj`��sedl�i"[}y�¤Yeh[2¢�km�u�´ Ngqkm��bhl%g(bdbdehkm�s¤�bd[2bhVY[�xd¤Y��o¾ed[fvqkulq`5� � � t ��� bhlTbdVY[ � Vc£z�IlwbhVY[fxdkuxf©¥UWVskuxeh[f»c¤Ykueh[ZT[`cb�igq`n�I[�[fgjx�ku�u£�ZT["b��z£��I[ed ¡lqehZTkm`sv�g·ergw`9y�lqZ km`Ykmbdk|gw�uku¶fg(bhkmlj`nx�bd[f��¢�k°bhV�gw`TkmZT�Ilqedbhgq`jb`z¤YZ$�9[fe�lw ´xdZ�gw�u�9xd�9ljkm�u[fyTeh[vjkmlj`sx�¢�VYk|irV@gweh[�ehgq`sy�lqZT�u£��Iljxdk°bhkmlj`Y[fynku`TbdVY[·kmZ�gqvq[q© �1l(¢³[�j[e}twx�¤9irVku`Ykmbdk|gw�ukm¶}g(bhkmlj`�x�bd[f�sxWkm`cbhedl�y�¤si[�["¯zbdergni"lqZT�Y¤Ybhg(bhkmlj`sgw��ª7i"¤Yeh�q[2�Yehlq�9gwvjgwbdkulq`9¬"©§ `YlwbhVY[e·km`cbd[fed[}x�bhkm`sv�kuxhx�¤s[�ed[ ¡[erxWbdl�bhVY[�[f��gq�m¤9g(bdkulq`?lq �bhVY[$y�km²-[eh[`cb�x�[fvqZT[`cbrg(bdkulq`?ZTl�y�¤Y�u[fx

ªN�9lj¤Y`syYgqed£jt-ed[fvqkulq`9¬�gw`syC ¡lqeri"[fxnª¡�Ilq¤s`syYgweh£qt-eh[vjkmlj`Ágw`syÁi"lq¤s�Y�mku`Yvz¬�bhVsg(b�gweh[�¤sxd[fyCbdl��Yehlq�sgqvjg(bh[bhVY[=ku`Ykmbdk|gw�zi"¤Yeh�q[}x-bdl(¢WgweryYx-bhVY[�µ9`sgw�zx�[fvqZT[`cbrg(bdkulq`2Z�gw�Æ©���[}igw�u�jbdVsgwbÆbdVs[ � Ì � � Í3��� É �¾Ì �(� È gqkmZ�xgwb2xdVYehkm`s¨cku`Yv%bdVY[Tku`Yk°bhkugq��i"¤Yeh�q[�bdl(¢WgweryYx�bdVY[ned[fvqkulq`C�Ilq¤s`syYgwehku[fx�¤Y`sy�[fe�g%eh[vj¤Y�ugqedkmb�£?i"lq`9x�bhehgqkm`cbf©��[`si[qtwkm IbdVYk|x�i"¤Yeh�q[�y�[µs`Y[}x�g�eh[vjkmlj`�¢�VYk|irV$�9gwedbdk|gw�u�m£�ku`si�m¤syY[fx3bdVs[³eh[fgq��lq`Y[2ª bhVY[�eh[vqkulq`�bdVsgwb�Vsgqxbhl@�I[�eh[fi"l(�j[eh[fys¬"tYbhVY[`ÂbhVY[��Ilq¤s`syYgweh£� ¡lqeri"[�Vsgjx�g��I[`s["µ9ikugq�3ilq`cbdehkm�s¤�bdkulq`? ¡lje1bdVs[$i"¤sed�j[��sgwedbhxbhVsg(b2gweh[��ulzifg(bh[fy?lq¤Ybhxdkuy�[� ¡edljZ+bhVY[�eh[fgq�Æeh[vjkmlj`´ts¢�VYku�u[�kmb�y�k|xdilq¤Yergwvj[fxWbhVY[$i¤Yeh�q[��sgqe�brx�bhVsg(b2gweh[�ul�igwbd[fy�ku`sxdkuy�[�bdVY[�ed[}gw�´eh[vjkmlj`�bhl@[�jlq�u�q[�bdl(¢WgweryYx³bhVY[$ilqehed[}i�b1y�kued[}i�bdkulq`êNlq¤�b�¢WgweryYxr¬�© �1l(¢³[�j[e}tbhVY[Ti"lq`cbhedku�Y¤�bhkmlj`Álw =bdVYk|x� ¡lqeri"[$kux��q[fed£?kuZT�9lje�brgw`cbf©�UWVz¤sxft-bdV9gw`Y¨�x�bdl�bdVYk|x· ¡lqeri"[jt � � È � �´� �IÈ � ��Y���(�Y�q� È Í �9È � É �Y�q� �´�(��� È / É � É � � È � È � /�� Ì � � Í3��� �¡È � � � � � Ì ���f� � � � �}��� È �¾Ì � À� �IÉ� � ��/ � �j��� �¡Ì � � J " � È � È � �f��� �¡Ì �æÌF� È Í � �q� / � À� �9È � � � � Í�� È À� � � �º� È � � /¡���÷� � Í� Ì´Ì � � ©3UWVs[·[f��gq�m¤9g(bdkulq`�lw �bdVY[ � È�� �¡Ì � �¾Ì �(� È kuxWgnx�bhehgqkmvjVcb� ¡lqeh¢Wgwery�x�bh[�´©�UWVYk|x³ ¡lqeri"[ �w� È ��� È �� Ì � � � � �9È � � Í ��È�� ��� ���9È �Æ� Ì ��� � ��� �¡Ì�� �9È / Ì � � � �¡È �Á� ����� Ì��9È ��� È � �´� �IÈ � � ��� È Í � � È � Ê� �¡Ì � ���Æ��� À� L�� ���qÈ �%��� È + �%�����3�(�����(�� � È�� È � �f��� �¡Ì�� ��� Ì �3�Y� � / � � É J � � Í / � � È �(��� È ��� � È Ì Í È / �¾Ì � � � È � � � � � � /�� Ì�� Í � � �¡Ì � � © ��[`si[qt9bdVY[ni"¤Yeh�q[�ifgw`Â�I[��Yehlq�sgqvjg(bh[fy�[kmbdVY[fe�ku`z¢³gqehyYxlje�lq¤�b�¢WgweryYx�bdV9gw`Y¨�x�bhl�kmZ�gwvj["o¾�sgqxd[fy$ZT[fgjx�¤Yeh[ZT[f`jbrx�¢�VYk|irVnk|x�g2�j[eh£�`Yk|i"[��Yehlq�I[edb�£q©@8�ku`sgq�m�u£qtjbdVY[� Ì � ��/ � � � �¾Ì �(� È V9gqx³g�i"ljZT�Y�m[fZT[`cbhgqed£Ti"lj`jbhedku�Y¤�bhkmlj`%xdkm`si[·kmb�È / � � � ��� È �$� � È � � � -Ã� Ì � � È � ��Ê�!� � � � È ����� È ���(� � � ÈGÌF� � � Í È � � �(�Y� / È � � � �Æ��� �¡Ì � � ��Ì ������f� � ���Æ� È Í � ��L´È /��Y���f�� � � �´� �¡Ì �ÌF� � � ��L´È /³� Ì � /¡� � ��/ È � È����¡Ì � � � � � Í � � �w� È �Y� È �@� � ��� � � �q� � ��/ É � � È � Ì ���9È � �9È � � È ���Y� ÈI©§ x2 Ngwe�bhVY[@i"ljZT�Y¤�bhgwbdkulq`sgq�=i"lcx�b _ kux�ilq`si[eh`Y[fy´t´bdVs[Tb�¢¥lCx�bhgqvq[fx2lq ¥bhVY[��Yehlq�Iljxd[fy±gw�Y�sedlcgqirV

¢�ku�u��["¯YgwZTku`Y[fy�x�[f�sgwerg(bh[�u£ +-bhVY[�ZTl�y�[�ukm`sv�gq`syCbhVY[�x�[fvqZT[`cbrg(bdkulq`Á�YVsgqxd[q©nUWVY[TZTlzyY[�ukm`Yv?�YV9gqxd[k|x2`Ylqb�bdkuZn[@ilq`sxd¤YZTku`YvÂx�ku`si"[TbhVY[@gw�s�Yedl�¯�kuZ�g(bdkulq`�lw ¥bdVY[�lj�sx�[fed�j[fyÁVYkux�bdljvqergwZ ¢�kmbdV®g�ZTk°¯zbh¤Yed[� 3 �����@= K�3 ü��� ;9��� ��¾þ)�7ÿ� �� �(þ.,"û *qû�û���9�pû�� �� ��þ�����û ���wû�Nÿ ý�û.�0��� #�ÿ ������������� K þrý �qþ����þ �� ;7�û�� �� � ��

������� ��� �

021@K�043

Page 36: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ \j\

ª���¬

ª�7j¬

ªN\c¬

83kuvq¤Yeh[Â���9�Îz[vjZT[`cbhgwbdkulq`± ¡lqe�g "¥ljedlj`sgw��U2� U±[kuvqVcbh[fy±^aZ�gwvq[�lq ¥bhVY[cU±edk|x�bf©?UWVYed[f[@y�km²I[fed[f`jbeh[vjkmlj`sx�gqed[Ty�[bd[fi"bd[}y«ª¡ehl(¢1x-9��qt?7�t \j¬"©�UWVY[$�|gqx�b�i"lq�u¤YZT`�ilqehed[}x��Ilq`9yYx�bhl%bhVY[nµs`sgw��xd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`eh[fxd¤Y�mb�¢�kmbdVned[}x��I[fi"bÆbhl�bhVY[�y�k°²-[eh[`cb�ed[fvqkulq`sxÆ�Yehlw��[fi"bd[}y�g(b3bdVY[³kuZTgqvq[jt�¼ ! �=] �� ] 2 ��]4 $#�� ] 2 f ] %��] 2 l ](½¾©lq W¦2gq¤sxdxdk|gw`Á[f�m[fZT[`cbhx·bhgq¨q[}x·�u[fxhx�bdV9gw` � $B xd[filq`sy´©nUWVY[�xd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`C�YVsgjx�[�ilq`sxdkux�bhx�lq =b�¢³lx�bd[f�sx +¥bhVY[?["¯zbdergqi"bdkulq`Ãlq �bhVY[?�9lj¤Y`syYgqed£2>�eh[vjkmlj`®km`Y ¡lqehZTgwbdkulq` gw`syÃbdVY[?�Yehlq�sgqvjgwbdkulq`Ãlq ·i"¤Yeh�q[}x©UWVs[�["¯zbhehgji�bdkulq`Âlq �bdVY[neh[vqkulq`Âku`� ¡ljedZ�g(bhkmlj`Âkux·�I[ed ¡lqehZn[}yÂ�q[fed£� Ngqx�bft-¢�VYku�u[�bdVs[$xhgwZT[��Yehl�i"[}y�¤Yeh[k|x�bhkmZT[�i"lq`9x�¤YZTku`YvCgqx� Ngwe�bhVY[%�Ilq¤s`syYgweh£Áku`� ¡ljedZ�g(bhkmlj`®kux$i"lj`si"[fed`Y[}y�©ÂUWVz¤sxt�gqifi"ljehy�ku`Yv?bhlÂbdVY[�sedlj�sgw�Yku�ukux�bdk|i��Ilq¤Y`9yYgweh£?Znl�y�¤s�m[jt- ¡lqe2[fgjirVC�Ykm¯z[f���ml�igwbdkulq`Á ¡lq¤Ye2y�km²I[fed[f`jb2�sgqe�bhk°bhkmlj`sx2gweh[$i"lj`sxdkuyzo[fed[}y�©3ÏÂlqeh[l(�q[feftf ¡lqe�[}gqirV��sgqe�bhk°bhkmlj`�bhVY[¥�sedlj�sgw�Yku�uk°b�£��(gw�u¤Y[}x´ ¡lje�gq�m�zVz£z�9lqbdVY[}x�[}x3Vsg��q[=bdl�[fx�bdkuZTgwbd[}yb�¢�k|i"[@ªN�m[  b·gw`9y?edkuvqVcb��ml�ifgw�´eh[vjkmlj`9¬¥l(�q[e1g ,ce ,T¢�ku`sy�l(¢�© § x1g�ilq`sxd[f»c¤Y[f`si"[jt�bdVYk|x�x�bd[f�?kuxWbhkmZT[ilq`sxd¤YZTku`Yv�[}x��I[fikugq�m�u£C¢�VY[f`ÁbhVY[TkmZ�gqvq[Tkux�ilqZT�Iljxd[fyClq ¥Z�gw`z£ÁyYk°²-[eh[`cb�ed[fvqkulq`sxf© ��l(¢¥[f�q[feftIbdlvjkm�j[%gw`®k|y�[}gÁgw�Ilq¤Yb�bdVskuxni"lcx�b}t� ¡lqe$g � f�� e � f�� ¢�k°bhVà¡lj¤Ye�Vz£z�9lqbdVY[}x�k|xft�bdVY[�[fx�bdkuZTgwbdkulq`Ãlq �bdVY[�Ilq¤s`syYgweh£Àkm`Y ¡lqehZTgwbdkulq`®brgw¨j[fx�gq�Y�Yehl�¯�kmZ�g(bh[�u£ ,Cbdl f xd[filq`syYxf©ÃÏ?lqeh[l(�j[e}tÆbhVY[?i"lqZT�Y¤Ybhg(bhkmlj`sgw�iljx�b�lw =bhVY[��Yehlq�sgqvjgwbdkulq`C�YV9gqxd[Tifgw`��9[�[}x�bhkmZ�g(bh[fy±¢�kmbdVÀg��ulwb�lq ³y�k<@i"¤Y�mb�£Ágq`sy±kux�x�bdehlq`Yvj�m£Âeh["o�|g(bh[fy�¢�k°bhV�bdVs[¥Vz£z�9lqbdVY[}x�[}xÆ`z¤YZ$�9[fe�ª¡`z¤YZ��I[e�lq s�m[f�q[f�cxd["b3 ¡¤Y`si"bdkulq`sxr¬�© § yYy�kmbdkulq`sgq�m�u£qt(kmb�kux3x�bdehlq`Yvj�m£gw²I[}i�bh[fyÀ�z£ÁbhVY[%ku`Ykmbdk|gw�³i"¤Yeh�q[@ilq`sy�kmbdkulq`9x© ��l(¢¥[f�q[e}t´�z£Ài"lq`9x�k|y�[ehku`Yv?bdVY[�["¯��I[ehkmZT[`cbrx�eh[�|g(bd[}y¢�kmbdV@bdVY[�i"lqZT�Y�u["¯�kmb�£$lq -bdVY[�� + (�( ��� ' + $1� gq�mvjlqehk°bhVYZ?tjxdlqZT[1�Yeh[fyYkui"bdkulq`sx¥igw`��I[·yYlq`Y[1eh[vcgwery�ku`YvbhVY[�i"ljZn�s¤�bhgwbdkulq`sgq��i"ljx�b2lw ³bdVY[T�Yehlq�sgqvjgwbdkulq`C�YV9gqxd[q©TUWVY[fxd[T�Yed[}y�k|i�bdkulq`9x�gweh[$`Ylqb�gqii¤Yerg(bd[Tgw`9y

KLK � M2N�O�P�N

Page 37: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

\q� � ���������A�G! � �)�� / +�$B� ! +����.�����'!G) �� ��

gqed[ng(²-[fi"bd[fyÁ�z£Cg@�|gwehvq[�`z¤YZ$�9[fe2lw =�sgqehgqZT["bd[fehx·x�¤9irV�gqx-91ku`Ykmbdk|gw��i"¤Yeh�q[ni"lj`sy�kmbdkulq`sxft�Vz£c�IlwbhVY[fxd[fx`z¤YZ$�9[feft-¢³[kuvqVcbhx�lw �bhVY[nyYk°²-[eh[`cb�x�[fvqZT[`cbhgwbdkulq`ÂZTl�y�¤Y�u[fxft-`sgwehedl(¢P�sgq`syÁxdkm¶f[qt9bdkuZT[nx�bd[f�´t�["briw©u©m©UWVz¤sxft9 ¡lqe·g � f�� e � f � kuZ�gwvj[%ª�"¥ljedlj`sgw��kmZ�gwvj[@¼ ��� �@ª��f�c¬¾½¡¬�¢�kmbdV�g�ehgq`sy�ljZæku`Ykmbdk|gw�ukm¶}g(bdkulq`�x�bh[�´tbhVY[��Yehlq�9gwvjgwbdkulq`��YVsgjx�[2brgw¨q[}x1gw�s�Yedl�¯�kuZ�g(bd[f�m£ � ]�xd[fi"lj`syYxf©³UWVskux1iljx�b�k|x1x�kuvq`sk°µ9ifgw`cbd�u£�yY[fi"eh[fgjx�[}y�z£�bhVY[�¤sxd[2lw 3bdVY[�Z$¤Y�°bhk°oaxhigw�u[�gw�Y�sedlcgqirVÁª¡bdVYeh[[2bhl$µ9�q[2bdkuZT[fxr¬�©Îz¤sZnZ�gqedku¶ku`Yvstcku`@bdVskux¥�sgw�I[eWg�`Y[f¢G�(gwehkugwbdkulq`sgq�Y ¡ergwZT[¢³lqeh¨�Vsgjx��I[[f`%�Yehlq�Iljxd[fynbhl$y�[}gw�s¢�kmbdV

bhVY[Â�Yehlq�Y�u[Z lw �kmZ�gwvj[Cx�[fvqZT[`cbrg(bdkulq`Æ©ºUWVskuxT ¡ergwZT[f¢¥ljed¨®¤Y`sk°µs[}x��Ilq¤Y`sysgweh£«gw`sy eh[vjkmlj`�op�9gqxd[fyxd[vjZT[`cbhgwbdkulq`ÁZTl�y�¤Y�u[fx�¢�k°bhVYkm`ÀbhVY[%¦�[l�y�[}x�k|i § i�bhkm�j[@��[vjkmlj`�ZTl�y�[�p©�^a`Ykmbdk|gw�u�m£jt´bhVY[@`z¤YZ��I[e�lq eh[vjkmlj`sxWgw`sy�bhVY[kue1ku`cbd[`9x�kmb�£%�Yehlq�I[edbdku[fx�gqed[�yY["bd[fedZTku`Y[fy?gq¤�bdljZTgwbdk|igq�m�u£@�z£%�I[ed ¡lqehZTkm`Yv@g�x�bhgwbdk|x�obhkuifgw�¥Znl�y�[f�mku`YvC�sedl�i"[}y�¤Yeh[�lq`ÀbhVY[%lj�sx�[fed�j[fy±y�[`9x�kmb�£Á ¡¤s`si�bhkmlj`÷ª¡kuZ�gwvq[%VYkux�bdljvqergwZ@¬�©?UWVY[f`´t�bdVY[�Ilq¤s`syYgweh£�ku`� ¡ljedZ�g(bhkmlj`�kuxÆ[fx�bdkuZ�g(bd[}y�¤sxdkm`sv�g��Yehlq�sgq�Yku�mk|x�bhkui�[}y�vq[¥y�["bh[fi�bhlqe}t�¢�VYkm�u[�bhVY[=eh[vjkmlj`�op�9gqxd[fyku`� ¡ljedZ�g(bhkmlj`�k|xW["¯��Yeh[fxhxd[fy�¤sx�ku`Yv�i"lj`sy�kmbdkulq`sgq���Yehlq�sgq�Ykm�ukmbdku[fxf©�Å¥lqbdV�km`Y ¡lqehZTgwbdkulq`?x�lj¤Yeri"[fxWgqed[2ku`jbh["ovjehgwbd[}y$¤9x�ku`Yv�g�¦�[flzyY[fxdkui § i"bdku�q[��1[vqkulq`Yop�sgjx�[}y�lj����[fi"bdku�q[W ¡¤Y`9i�bdkulq`Æ©�UWVYkux� ¡¤Y`si"bdkulq`�k|x�ZTkm`skmZTku¶[fy¤9x�ku`Yv$g$vqergqyYkm[f`jb³y�[fxhi"[f`jbWZT["bhVYl�y@eh[fxd¤Y�°bhkm`sv$lj`%g$xd£�x�bh[Z'lw �Znlqbdkulq`�[f»c¤sg(bhkmlj`sx=bdVsgwbWy�[ ¡lqehZ'bdVY[xd["b³lw �ku`Yk°bhkugq��i"¤Yeh�q[}x�bdl(¢WgweryYx�bhVY[��Ilq¤Y`9yYgwehkm[}x�lq �bdVY[�y�k°²-[eh[`cb³ed[fvqkulq`sxf©3UWVs[fxd[1[f»c¤sgwbdkulq`sx¥gweh[1kmZno�s�m[fZn[f`cbd[fy%¤sxdkm`Yv�bdVY[��u[�q[f�Ixd["b¥bdVY[flqeh£q©�Ï?ljed[fl(�q[e}tqg$i"lq¤s�Y�mku`Yv$�Yedl�i[fy�¤Yeh[1k|x³km`cbdehl�y�¤si[fy��I["b�¢³[[f`bhVY[1y�km²I[fed[f`cb��m[f�q[�Yxd["b� ¡¤s`si�bhkmlj`sx�bdl�ku`sied[}gqxd[=bhVY[1i"lj`c�j[ehvq[f`si"[³ehgwbd[�gw`9y�bhl�y�[fgq��¢�k°bhV�¤Y`sy�[}x�kuehgq�Y�u[xdkmbd¤sgwbdkulq`sxWª¡�sk°¯�[�|x3bdV9g(b�gweh[¥`slwb�g(bdbdehkm�Y¤Ybd[fy�bdl�gq`c£�eh[vjkmlj`´t(�Ykm¯�[�|xÆbhVsg(b=gqed[Wg(bdbdehkm�s¤�bd[}y�bhl·Z$¤Y�°bhkm�s�m[eh[vjkmlj`sxr¬�© 83ku`sgw�u�u£qt�bhl?yY[fi"eh[fgjx�[�bdVY[�ehk|x�¨Âlq ³i"lj`z�q[ehvq[f`si"[�bdl?�ulzifgw��ZTkm`skmZ�g?gw`syÁbdlÂy�[}i"eh[fgjx�[$bdVY[eh[f»c¤Ykueh[fyÂi"ljZT�Y¤�bhgwbdkulq`sgq�3iljx�bftIbdVs[$�Yehlq�Iljxd[fy� ¡ergwZT[f¢¥ljed¨�kux2ilq`sxdkuyY[eh[fy?ku`�g@Z$¤Y�mbdkmo¾xhigq�m[$kmZT�Y�u["oZT[f`jbrg(bhkmlj`´©�UÆlnx�¤YZTZ�gwehku¶[qtqbdVY[2i"lj`cbdehkm�Y¤Ybdkulq`sx¥lw �bhVY[·�sedlj�9lcx�[}yTkmZ�gwvj[�xd[vqZT[f`jbrg(bhkmlj`�Znl�y�[f��gweh[bhVY[2 ¡lq�u�ul(¢�km`Yv�9

: § `ÁgjyYgw�Ybdku�q[�ZT["bhVYl�y?bdVsgwb·y�[bd[ehZTkm`s[fx�gq¤�bdljZ�g(bdk|igq�m�u£@bhVY[�eh[vjkmlj`sxW`z¤YZ��I[e�gw`sy�bhVY[kue�ku`�obd[f`sx�kmb�£%�sedlj�9[fe�bhkm[}xt

: § �(gwehkugwbdkulq`sgq��kmZ�gqvq[Âx�[fvqZT[`cbrg(bdkulq`  ¡ergwZT[¢³lqeh¨ÀbdV9g(b%ku`cbd[vjehgwbd[}xT�9lj¤Y`syYgqed£«gq`syºeh[vqkulq`Yo�sgqxd[fy«x�[fvqZT[`cbhgwbdkulq`ÃZTl�y�¤Y�u[fxngw`9yÃi"lj`Y`Y[fi"bhx�bdVY[�lq�YbdkuZnku¶fgwbdkulq`Ã�sedl�i"[}y�¤Yeh[%¢�kmbdV«bdVY[�bdVY[i"¤Yeh�q[2�Yehlq�9gwvjgwbdkulq`�bhVY[ljed£jt

: UWVY[�kuZT�Y�m[fZT[`cbhgwbdkulq`Âlw �bhVYkux1 ¡ehgqZT[¢³lqeh¨@¢�k°bhVYku`C�m[f�q[f�Æx�[b1bdVs[lqeh£%eh[fxd¤Y�mbdku`Yv@lj`?g%x�[fvqZT[`�obhgwbdkulq`��sgqehgjy�kmvjZ�bdV9g(b¥ifgw`@y�[}gw�sgq¤�bdljZTgwbdk|igq�m�u£�¢�kmbdV@irVsgq`Yvq[}x�lw -bdlj�9lj�mljvq£�gq`syTk|x� ¡eh[[W ¡ehlqZbdVY[�ku`Ykmbdk|gw�Æilq`syYk°bhkmlj`sxt

: UWVY[Tkm`cbh[ergqi�bhkmlj`Á�I["b�¢³[[f`ÁbhVY[@y�km²I[fed[f`jb�i¤Yed�j[fx$¼ eh[vjkmlj`sx�½��sedlj�sgwvcg(bdkulq`Á¤sx�ku`Yv?gw`Àgwedbdkmµ9i"k|gw�i"lj¤Y�Y�ukm`Yv% ¡lqeri"[�bhVsg(b2ku`si"eh[fgjx�[}xWbdVY[Ti"lj`z�q[ehvq[f`si"[�erg(bh[qt-gw`syC[�ukmZTku`sg(bh[fx�bdVY[nedk|xd¨�lq =i"lq`z�j[edovq[f`si"[�bdl@gn`Ylj`�o¾�Yedlj�9[fe�x�lj�m¤�bhkmlj`´t

: § `sy´tzbdVY[�i"lq`9x�k|y�[erg(bhkmlj`�lw �bhVY[·�sedlj�9lcx�[}yTZnl�y�[f�9ku`%g�Z�¤Y�mbdkmo¾xhigq�m[� ¡ehgqZT[¢³lqeh¨Itq¢�VYkuirV�y�[fgq�ux¢�k°bhVÀbdVY[��sed[}x�[f`si"[�lq ³`Yljkuxd[qt�km`9i"eh[fgqxd[fx·bhVY[%i"lj`z�q[ehvq[f`si"[$ehgwbd[jt�gw`9y±yY[fi"eh[fgjx�[}x·bdVY[@ehk|x�¨Clq i"lj`c�j[ehvq[f`si"[·km`Âgn�ml�ifgw��ZTkm`skmZ$¤YZ?©§ x= Ngqe³bdVY[· ¡¤�bd¤sed[�y�kued[}i�bhkmlj`sx=lq ´bdVskux³¢³lqeh¨ItjbdVs[·¤sxd[�lw �ilq�ulqe=kuZ�gwvj[fx¥kuxWgnirVsgw�u�m[f`Yvq[j©���l(¢¥[f�q[fe

 ¡lje=bhVYk|x³ifgqxd[qtjbdVY[�x�bhgwbdk|x�bhkuifgw�IZnl�y�[f�mku`Yvn�YVsgjx�[·¢�VY[eh[1bhVY[·`z¤YZ$�9[feWlw Æeh[vjkmlj`sx=gq`syTbdVs[kue³ku`cbd[f`sx�kmb�£�sedlj�9[fe�bhkm[}x@gweh[Áy�[bd[ehZTkm`s[fyºk|x%ZTlqeh[ÁilqZT�Y�ukuifg(bd[}yGx�ku`si[C¢¥[ÁVsg��q[?bhl­y�[}gw��¢�kmbdV÷Z�¤Y�mbdkmop�(gqedk|g(bh[

021@K�043

Page 38: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ \ 6

yYkux�bdehkm�s¤�bdkulq`´© § x�bd[f�T ¡¤YedbdVY[fe=k|x�bdVs[�¤Y`�oaxd¤Y�9[fed�zk|x�[}yTx�[fvqZT[`cbhgwbdkulq`Tlw -bh["¯zbd¤Yeh[fyTkuZ�gwvj[fxftq¤sxdkm`sv�bdVY[�sedlj�9lcx�[}yn ¡ehgqZn[f¢¥ljed¨-© 83km`sgq�m�u£qtcbhVY[eh[·k|x¥`c¤sZ��I[eWlw Æ�sehgji�bdk|igq�sk|xdxd¤Y[}x�bhl$�I[�xdlq�u�q[}y��ukm¨j[�bhVY[·ku`Ykmbdk|gw�i¤Yeh�q[2i"lq`9y�k°bhkmlj`sxftzbdVY[�xd[�u[fi"bdkulq`�lw 3bdVY[�ZTl�y�[�Æ�sgwergwZT["bh[erxtc["briw©

� �&(�)31#%�³��

¼m�½�¸$© § yYgq�ux�bd[fkm`9xdxdlq`�gw`sy��Y©sÎ�["bdVskugq`´© § 83gjx�b1ÐÆ[�q[f�´Îz["b·Ï?[bdVYl�y% ¡lqe1~�ehlq�9gwvjgwbdku`Yv�^a`cbh[ed Ngqi"[}x©� ���J(�$B+ �@� &,��� *����J�3+ �4��� $1+ ��� �.E�������� t��q�}�%9?7�;q���J7c�q�zts�f�q� 6�©

¼ 7(½���© § yYgwZ�xngw`sy­Ð�©�ųkuxhirVYlw �©ÃÎz[f[fy�[}y«��[fvqkulq`­¦�ehl(¢�ku`Yvs© ) � � � �J( +�$%��+����4��� $%� � $ ��+����3�(�$��$1+ � E���� � +�$B� # +.�"� ��$B�)�$��#���� �=" �$1� tÆ��;%9 ;w�9��� ;q�z��tY�f�j�w�s©

¼ \w½��s©wų[fxhgwv9©9�·`�bhVY[1x�brg(bhkux�bdk|igq�zgq`sgw�u£�x�k|x3lw -y�kmedb�£�kuZ�gwvq[}x©�� ���J(�$B+ �B� &�! ��E�+ �2/��3+ �4� ���4����� /A�-������4E t�c�%9?7�6q���z\.H.7Yts�f�j��;s©

¼ �q½���©9ų[�j[ehkuy�vj[qtsÎ-©I¦�edk<TbdV´tI��©·lqVY�u[e}tY��© �·gw`sxdlq`Ætsgw`syÂÏÀ©I��k|x�[fZTgq`´©¥Îz[fvqZT[`cbhkm`Yv�^aZ�gqvq[fx&·x�ku`Yv%ÐÆl�igw�uku¶ku`Yv$�1k|x�bhlqvqergwZ�x�gq`sy?��[vjkmlj`ÂÏÂ[ehvqku`Yvs© )�$2�3�(�$1+ �4��� $1+ � � ���J(�$B+ �@� & ��� *����J�3�(%L� ����� $ t17J9 \Y�j���z\ 6�7Yts�f�j�q�s©

¼ 6(½ "·©�ųlq¤sZTgq`÷gw`9yKÏÀ©1ÎzVsgq�Ykuedl9© § Z�¤Y�mbdk|xhigw�u[±ehgq`sy�lqZ µs[f�uyKZTlzyY[�· ¡lqe?�sg�£q[}x�k|gw`GkuZ�gwvj[xd[vjZT[`cbhgwbdkulq`´© ) � � � �%( + $2��+���������$%� � $D)�* +�" �� ( �-���� ����$ " ts\29m��;.7��I���j�zt9�f�q�q�s©

¼ ;w½��s©�"³gq`Y`z£q© § ilqZT�Y¤�brg(bhkmlj`sgw�sgq�Y�YehljgjirV�bhl�[fyYvq[1y�[bd[fi"bdkulq`´© ) � � � �J( + $%��+.���4��� $2� � $���+����3�(�$��$1+ � E���� � +�$B� # +.�"� ��$B�)�$��#���� �=" �$1� t9�29 ��;q���Y�(�j�YtY�}�q�.;Y©

¼ ��½��$©0"³gqxd[�u�m[}xt(��©�2kmZTZT[�ptwgw`9y�¦n©(ÎYgw�Ykuedl9©j¦�[l�y�[}x�k|i=gji�bhkm�j[=i"lj`jbhlq¤Yerxf©q^a` ) � � � )�$��#�(�$B+�������$B+������$-&��( �$1�� ��$ ��� *����J�3�( % � ����� $ tsųljx�bdlq`Æt &·Î § t´�f�j�.6�©

¼ �w½��$© "³gqxd[�u�u[fxftw��© 2kmZTZT[�ptqgq`syn¦n©qÎYgw�Ykuedl9©s¦�[l�y�[}x�k|i¥gji�bhkm�j[³ilq`cbdlj¤Yehxf© )�$��#�(�$B+�������$B+ � � ���J(�$B+��� & ��� *����J�3�( %L� ����� $ tB7�7J9 ;Y���Y�w�YtI�f�q�z�z©

¼ �w½ § © "¥Vsgw¨zergw�Ilqedb�£qt ��©ÆÎzbhgwku�´tÆgq`sy��s©�¸�¤s`sigq`´©$¸·[" ¡ljedZ�gw�s�m[Tųlq¤Y`sysgweh£ 8�ku`sy�ku`Yv�km`®Ï?[}y�kuifgw�^aZ�gqvq[fxÆ�z£�^a`cbh[vqerg(bhkm`sv�¦�ehgjy�km[f`cb�gw`sy���[vjkmlj`�^a`� ¡lqehZ�g(bdkulq`Æ© ) � � � �%( +�$%��+���������$%��� $ # �� ����+ �)�*,+-"���$ " t���6sª�;j¬�9 � 6w���z�c��HYtY�}�q�.;Y©

¼u�-Hw½2U2©�"¥Vsgq`Ágw`syÁÐ�©���[fxd[q©1` § i"bdku�q[%"¥lq`cbdlj¤Ye�Ï?l�y�[f��¢�kmbdVslq¤�b2¹�y�vq[}x©�^a` )�$��#�(�$B+�������$B+�� ��� $��&��( �$B�� � $ /A��+ � �#/��%+��� � �J�� (����� ��$ ��� *����J�3�( % � ����� $ tY�sgwvj[fx2�f�s���-��6Y�qts�}�q�j�Y©

¼u�q�½2¸$© "¥VYlq�Æ© "¥lqZT�Y¤�bhkm`Yv Ï?km`skmZ�gw��Îz¤Yed Ngqi[fx%�ck|gÃÐÆ[�q[f��Îz[b "¥¤Yeh�(g(bh¤Yed[ 83�ul(¢�©�� � �J(�$B+�� � &����* �B�J�#+�������$B+ � � �.E�������� t���H�;%9 �q���z�s�qts�}�q�j\Y©

¼u��7(½2~3©�"¥VYlq¤Cgq`sy "·©IÅ¥ehl(¢�`´©WUWVY[�bhVY[ljed£�gw`sy?�sehgji�bdk|i"[�lw ��sg�£q[}x�k|gw`?kuZ�gwvq[��|gw�I[�uku`Yvs© )�$2�3�(�$1+ ��4��� $1+ � � ���J(�$B+�� � & ��� *����J�3�( % � ����� $ tY�29u�f� 6��J7Y�-Hsts�f�j��Hs©

¼u�f\w½�"·© "¥Vz¤Tgq`sy��Y© § vqvcgweh¢³gq�7©9UWVY[�km`cbh[vqerg(bhkmlj`$lq IkuZ�gwvj[1x�[fvqZT[`cbhgwbdkulq`nZ�gw�sx�¤9x�ku`Yv�eh[vqkulq`Tgw`9y[}y�vq[�ku`� ¡ljedZ�g(bhkmlj`´© ) � � � �J( + $%��+.���4��� $2� ��$ ��+����3�(�$ ��$B+ �=E���� � +�$B� # +.�"� ��$B,)�$��#���� �=" �$1� t��6J9?7(�9���I��7�6.7�tY�}�q�q\s©

KLK � M2N�O�P�N

Page 39: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

\.; � ���������A�G! � �)�� / +�$B� ! +����.�����'!G) �� ��

ª�Hc¬

ª���¬

ª�7j¬

ªN\c¬

83kuvq¤Yeh[���6J9�Îz[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`T ¡lqe¥bdVY[�¢³lqZ�gw`�kuZ�gwvq[�¼ � � �2ª�7Y© gc¬¾½¾©�Ï?¤Y�mbdkmop�YV9gqxd[ "¥¤Yeh�q[·~�edlj�sgwvcg(bdkulq`Æ©§ �m�=km`Ykmbdk|gw�¥i"¤Yeh�q[}x�gweh[n�ul�igwbd[fyÀgwb�bdVY[��Ilqery�[erx2lw ³bdVs[�kmZ�gwvj[q©Áª��}¬ !�4"���� $ � � ���+����,�J+�$2��� � t³ª�7q¬!�#"�����$ � � ������$ � t´ªN\c¬ ! #"�����$ � � � +.�"��"�( � �J$B��� tƪNys¬ ! #"�����$ ��� �J+ ��(�� ���#���.��(���� ©

021@K�043

Page 40: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ \z�

ª�Hc¬

ª���¬

ª�7j¬

ªN\c¬

83kuvq¤Yeh[���;%9�Îz[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`T ¡lqe¥bdVY[�¢³lqZ�gw`�kuZ�gwvq[�¼ � � �2ª�7Y© gc¬¾½¾©�Ï?¤Y�mbdkmop�YV9gqxd[ "¥¤Yeh�q[·~�edlj�sgwvcg(bdkulq`Æ©§ ergw`syYlqZ km`sk°bhkugq�mku¶fgwbdkulq`ºx�bh[�«k|xT¤sxd[fy­¢�k°bhV g��|gwehvq[%`z¤YZ$�9[feTlw �xd�Ilqku�m[}y«eh[vjkmlj`sx©ÃUWVs[�ku`Ykmbdk|gw�eh[vjkmlj`sxWgweh[2bdVY[�xhgwZT[2 ¡lje1gw�u�´Vz£c�IlwbhVY[fxdk|x©�ª��}¬ !�#"�����$ � � ���+����I�%+ $2����� tƪ�7j¬ ! #"�����$ � � � ����$ � t3ªN\j¬!�#"�����$ � � � +�����"�( ���J$B��� t�ªNys¬ !�4"���� $ ��� � +���(�� ���#� � ��(�� � ©

KLK � M2N�O�P�N

Page 41: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

\j� � ���������A�G! � �)�� / +�$B� ! +����.�����'!G) �� ��

ª�Hc¬

ª���¬

ª�7j¬

ªN\c¬

83kuvq¤Yeh[@�(� 9�Îz[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`Âlw �bdVs[�¢³lqZ�gw`ÂkuZ�gwvq[%¼ � � �@ª47�© gj¬a½p©1UWVY[$[�jlq�u¤�bdkulq`Âlq �bdVY[nx�[fvqZT[`cbd[}yeh[vjkmlj`sx%ªNed[fvqkulq`sx$i"lj�mlje-9��Y�|gqir¨Y¬"© § ergw`sy�ljZ km`Ykmbdk|gw�uku¶fg(bhkmlj`«x�bd[�­kuxn¤sxd[fyâ�k°bhV gÁ�ugqedvj[@`z¤YZ��I[elq ¥xd�9ljkm�u[fyÂeh[vjkmlj`sxf©2UWVs[$ku`Ykmbdk|gw��ed[fvqkulq`sx·gweh[�bhVY[nxhgwZT[$ ¡lqe2gw�u��Vz£z�IlwbdVs[fxdkuxf©@ª���¬ !�4"���� $ � � ���+�����%+ $������ t´ª�7j¬ ! #"���� $ � � � ����$ � tƪ7\j¬ ! #"���� $ � � � +�����"�( � �J$1��� tƪ7ys¬ ! #"���� $ � � � + ��(�� �#�#��� ��(�� � ©

021@K�043

Page 42: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ \j�

¼u��q½2¸$©�"¥ljVY[`´©G�·`­gji�bdku�q[?i"lj`cbdlq¤senZTl�y�[f�ux�gq`syÃ�sgq�m�ulzlq`sxf© ��%' �) � � )�*,+-".��L$1���(����3+ $1� ��$ " t6q\%9?7��j���J7Y�f�sts�f�j�Y�j©

¼u��6(½�Ï®© "¥lzlj�9[fef©ÆUWVs[�bhehgji�bhgq�Yku�mkmb�£Tlw �xd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`@gw`sy�xdi[`Y[�gw`sgq�m£�xdkuxf© )�$2�3�(�$1+ �4��� $B+�� � ���J(�$B+��� & ��� *����J�3�( %L� ����� $ t9\�H%9?7j���c� 7�tI�f�q�j�Y©

¼u�-;w½2��©c¸·[ehkuirVs[q©�&�xdku`Yv "³gq`Y`z£�� x�"¥ehkmbd[ehk|g2bdl�¸·[ehku�q[·g���[fi¤Yehxdku�q[�u£�^aZT�Y�u[ZT[f`jbh[fy?�·��bdkuZ�gw�s[}y�vq[¸·["bh[fi"bdlqe}© )�$��#�(�$B+�������$B+�� � � �J(�$B+�� � & ����* �B�J�#�( % � ����� $ t´��9u�-;z� �-�f�c��ts�}�q�c��©

¼u����½���©3¸·[ehku`´t���©�¹��u�ukmlqb�bft���© "¥edk|x�bdkpt3gq`sy®¸�©�¦�[Z�gw`Æ©�ÅWg�£q[}x�x�ZTlzlwbhVYku`YvÁgw�uvqljedkmbdVsZTx� ¡lje�xd[vwoZT[f`jbrg(bhkmlj`Âlw ��Ykm`9gweh£%kuZTgqvq[}xWZnl�y�[f�m[}y?�z£%Z�gweh¨ql(��ergw`syYlqZ µ9[�|yYx© ) � � � �%( + $2��+���������$%� � $�G+ �4�#�(�$D��$1+ � E���� � + $1� # +����.��$1I)�$2�3���� �=".�$B�� t2;%9u�q�}��;��I�q�}�Y�jtY�f�j�w�s©

¼u�f�w½2��©9¸·¤syYg�gw`9yÂ~�© ��gqe�b}© ��+ �4�3�(�$ �@� +������ � ��+ �4��� $ + $1� /A���$1 ��$1+ � E���� � © �qlqVY` UGku�m[f£��'Îzlq`9xt^a`9iw©ut´�f�z�(\Y©

¼u�f�w½2¸$©I¦�[fkmvj[e1gq`sy § ©���¤skm�u�m[j© § ilqZTZTlq`� ¡ehgqZT[¢³lqeh¨T ¡lqe�kuZTgqvq[�xd[vqZT[f`jbrg(bhkmlj`´© )�$��#�(�$B+�������$B+��� ���J(�$B+ �@� &,��� *����J�3�( % � ����� $ t2;%9?7�7c� �J7w�j\sts�f�j�Y�j©

¼?7�Hw½�Î�©q¦�[Z�gw`ngw`sy$¸�©q¦�[fZTgq`´©sÎcbhlzirV9gqx�bdk|i=��[f�ugw¯�gwbdkulq`´tq¦�ku�Y�sx�¸·k|x�bhedku�Y¤�bhkmlj`sxtwgq`sy�bhVY[�ÅWg�£q[fxdk|gw`�1[fx�bdlqerg(bhkmlj`�lq ¥^aZ�gwvj[fxf© ) � � � �J( +�$%��+����4��� $%� ��$ ��+ �4�3�(�$ ��$1+ � E���� � + $1� # +����.��$1,)�$2�3���� ���" �$B�� t�;%9 ��7����Y�(�s�qt9�f�j�w�s©

¼?7��½2��©s¦�ed¶f[fxd¶fi"¶f¤Y¨�gw`sy�¸�©�ÐÆ[�zkm`Æ©3ųehl(¢�`Ykugq`@x�bhedku`Yvcx�9�Îz[vjZT[`cbdku`YvnkmZ�gwvj[fx¥¢�k°bhV�x�bdl�irVsgjx�bhkuifgw�u�m£yY[" ¡lqehZ�gw�Y�u[=ilq`cbdlj¤Yehxf© ) � � � �%( + $2��+.���4��� $2� ��$ �G+ �4�#�(�$ ��$B+�� E���� � + $1� # +����.��$B )�$��#���� �=" �$1� t�}�%9u�q��H�H��-�q�j��sts�f�q�z�z©

¼?7�7(½ �s© ��gjyYy�lq`�gw`sy �Y©�ųl(£�i"[q©Æ^a`sgwvj[�Îz[fvqZT[`cbhgwbdkulq`@�z£%&1`sk° ¡£zku`Yvn�1[vqkulq`�gw`sy%Å¥lj¤Y`syYgqed£T^a`� ¡lje�oZ�gwbdkulq`´© ) � � � �%( + $2��+���������$%��� $ ��+����3�(�$ ��$B+�� E���� ��+ $1� # +.�"� ��$B�)�$��#���� �=" �$1�� tI��7%9 � 7w�����w�c�Yt�}�q�.HY©

¼?7w\w½2��© ��gqehgq�mk|ir¨Cgw`9y±Ð=©�ÎzVsgq�Ykuedl9©�^aZTgqvq[�xd[vqZT[f`jbrg(bhkmlj`Ábh[firVY`Yk|»c¤Y[fxf© ��%' �) � � )�*,+-".��L$1���(�����3+ $1� ��$ " t�7q�%9u�-H�H��I�}\.7�t9�f�j�.6�©

¼?7(�q½�8³©���[kmbd¶qtw~3©w~3[eh[¶jtwgw`sy�~�©wųlj¤�bdVY[fZ�£j©zÏ?¤s�°bhkuxhigq�m[³ZTkm`YkuZTkm¶}g(bhkmlj`�lw Yvj�mlj�sgw�c[`s[ehvq£� ¡¤Y`si"bdkulq`sxku`Âx�ljZT[��zk|x�¤9gw��eh[fi"l(�j[eh£T�Yedlj�Y�u[Z�x© ��%' �) � � )�* +�" ��@$B���(����#+�$B����$ " t�6w�29m��7�6��-�f\q�stY�}�q�w�9©

¼?7�6(½���©j^a�@gq`sy�¸$©cÎzVY[f`´© § `%g�<�`Y["o¾km`z�(gwehk|gw`cb�gqi�bhkm�j[1i"lj`jbhlq¤Ye=Znl�y�[f��ª7gwkmo¾xd`sgw¨j[}¬Æ ¡lqe¥ZTlzyY[�mop�sgjx�[}yxd[vjZT[`cbhgwbdkulq`´© )�* +�" + $B� % � ������$ ��� *����J�4��$ " t´�-;29m�}\.6��I�� ;YtY�}�q�j�Y©

¼?7�;w½�Ï®© �gqxhxft § ©HUGkmbd¨zku`´tzgw`syT¸$©qUÆ[fed¶flq�Ilq¤Y�uljxf©9Îz`9gw¨q[}x�9 § i�bhkm�j[Wilq`cbdlj¤Ye�ZTl�y�[�|x© )�$��#�(�$B+�������$B+��� ���J(�$B+ �@� &,��� *����J�3�( % � ����� $ t´��9 \.7Y���z\j\.7Yts�f�j�q�s©

¼?7j��½�^�© 2[fe� ¡lzlwbTgw`sy��$©�ųed[}x��u[e}©�UWVs[lqeh["bhkuifgw�Wgw`sgq�m£�xdkux�lw �Z$¤Y�mbdk|x��I[fi"bdergw�³kmZ�gwvj[�xd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`iedkmbd[fedk|gY© ) � � � �%( +�$%��+���������$%� � $ )�* +�" �� ( �-���������$ " t9�%9 �(�q���z� 7�HYt9�f�j�q�Y©

KLK � M2N�O�P�N

Page 43: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

� H � ���������A�G! � �)�� / +�$B� ! +����.�����'!G) �� ��

¼?7w�w½�Î�©�2k|irVY[`9gqxhxdgqZ�£qt § © 2¤YZ�gwe}t9~3©Æ�·�m�j[e}t § ©IU3gw`Y`s[`z�sgw¤sZ�t-gw`9y § © ��[¶f¶kp©�¦�ergqy�ku[`cb1¿sl(¢1xgq`sy�vq[flqZT["bhedk|i·gji�bhkm�j[2ilq`cbdlj¤YeWZTlzyY[�|x©�^a` ) � � � )�$��#�(�$B+�������$B+ � �'��$-&��( �$B��,� $ ��� *����J�3�(%L� ����� $ t9�sgwvj[fxW�Y��H����Y��6Ytjųljx�bdlj`´t &·Î § t´�}�q�.6Y©

¼?7w�w½ § ©cÐÆ[lj`sgwery�k|xt § ©c¦�¤Y�YbhgYtzgw`9y���©jÅWg(��ifx�£j©IÎz[fvqZT[`cbrg(bdkulq`�lq Iergw`svq[�kuZTgqvq[}x�gqx�bhVY[�xd[fgqehirV$ ¡lqevj[ljZn[bdehkui@�sgwergwZT["bhedk|inZTlzyY[�|x© )�$2�3�(�$1+ �4��� $B+�� � ���J(�$B+ � � & ����* �B�J�#�( %L� ������$ t��f�9ªN\c¬�9?7�6q\��7c� Hst��f�q� 6�©

¼ \�Hw½2��©=ÏÂgw�u�ugjy�kpt �s©�Î�["bdVskugq`´t¥gq`sy­Å�© ��[Z$¤Yehk7©ºÎzVsgw�I[�Znl�y�[f�mku`YvÀ¢�kmbdV­ ¡edlj`jbT�Yehlq�sgqvjgwbdkulq` 9 §�u[�j[�3x�[b·gw�Y�sedlcgqirV´© ) � � � �J( + $%��+.���4��� $2� � $ ��+ �4�3�(�$ ��$B+�� E���� � + $B� # +����.��$10)�$��#���� �=" �$1� t�(� 9u��6q���I�(��6Yts�f�j�.6Y©

¼ \Y�½ § ©¥Ï?kmbdk|irVY[?gw`sy �Y© § vqvjgqed¢Wgw�p©®^aZ�gwvj[�xd[vjZn[f`cbhg(bhkmlj`Ã�z£«i"lj`z�q[`cbhkmlj`sgw�Wgw`sy«km`Y ¡lqehZTgwbdkulq`�oku`cbd[fvqerg(bdku`Yvnbd[}irVY`Yk|»c¤Y[fx-9 § x�£z`Ylj�sx�k|xf© )�*,+-". + $1� %L� ������$ ����* �B�J����$ " ts\29 6�H��J;.7�tI�f�j�.6Y©

¼ \.7(½2¸$©�Ï?¤YZn ¡lqery«gq`sy �s©�Î�VsgwV´©Àųlq¤Y`9yYgweh£±yY["bd[}i�bhkmlj`Ã�z£±ZTku`YkuZnku¶ku`Yv� ¡¤Y`si"bdkulq`sgq�uxf©Á^a` ) � � �����$-&��( �$1�� ��$ ��� *����J�3�( % � ����� $ + $B���+ �4�3�(�$D! ���� "�$2���4��� $ tsÎ�gw` 8Yergw`9x�k|xdilst &·Î § t´�}�q�.6Y©

¼ \q\w½�Î�©3��x�Vs[e�gw`sy �s©ÆÎz["bhVYk|gw`´© 8Yehlq`cbrx2�Yedlj�sgwvcg(bhkm`Yv�¢�k°bhV®i"¤Yeh�(g(bd¤sed[o¾y�[f�9[f`sy�[f`jb�xd�9[f[fy 9�gw�uvqlqoehkmbdVYZ�x��sgjx�[}yÁlj`ÁbhVY[�VsgqZnku�mbdlq`Yom��gji"lq�sk� ¡ljedZ$¤Y�|g(bdkulq`Æ© � ���J(�$B+ � � &D��� *����J�3+ �4��� $B+���� � E�������� t�w�%9u��7��c�j�st9�}�q�j�Y©

¼ \w�q½ )�©c~�gqehgqvqkuljx�gw`9yn��©c¸·[ehkuirVs[q©�¦�[l�y�[fxdk|i § i�bhkm�j[1ed[fvqkulq`sx3 ¡lje³Ï?lqbdkulq`@¹�x�bdkuZ�g(bhkmlj`@gw`sy�U�ehgjir¨coku`Yv9©«^a` ) � � � )�$2�3�(�$1+ �4��� $1+ ����� $-&��( �$B�����$ ��� *����J�3�( % � ������$ t=�9gwvq[}x,;q�q��� ;z���st "¥lqed ¡¤´t¦�eh[[}i"[jt��f�q�j�Y©

¼ \.6(½ )�©�~3gqehgqvqkuljx�gq`syC��©-¸�[fedk|irVY[j©·¦�[l�y�[}x�k|i § i"bdku�q[�eh[vjkmlj`sxW ¡lje�Îz¤Y�I[eh�zkuxd[fyÁUÆ[¯cbh¤Yeh[nÎz[fvqZT[`�obrg(bhkmlj`´©�^a` ) � � � )�$��#�(�$B+�������$B+������ $-&��( �$B��,� $ �'��* �B�J�#�( % � ������$ ts�9gwvq[}x��.7�;��z�j\.7Yt�"¥lqed ¡¤´t¦�eh[[}i"[jt��f�q�j�Y©

¼ \�;w½2U2©�~�g��z�mk|y�k|x%gq`sy �$© U2©�дkul(¢�© ^a`cbd[fvqerg(bdku`YvÃeh[vjkmlj`Gvqehl(¢�km`svÃgw`syG[}y�vq[±y�["bh[fi"bdkulq`´© ) � � ��%( +�$%��+���������$%� ��$ ��+ �4�3�(�$ ��$B+ �=E���� � +�$B� # +.�"� ��$BI)�$��#���� �=" �$1�� t´��7J9?7�7.6��J7q\q\stY�f�j��HY©

¼ \c��½ § ©Y~3[`cbd�|gw`sy´© § ¤�bdljZTgwbdk|i2¹�¯zbdergqi�bhkmlj`@lw �¸�[ ¡lqehZ�gw�Y�u[�~�gqe�b1Ï?l�y�[�|xf© )�$��#�(�$B+�������$B+�� � ���J(�$B+��� & ��� *����J�3�( %L� ����� $ ts�sgwvj[fx2�-Hz� �-��7�;sts�}�q��Hs©

¼ \q�w½�"·©IÎ�gwZ�xdlq`´t�ų�ugq`si�o383{ergw¤sy�Ð�©uts¦n© § ¤Y�I[edbft9gw`sy��Y©��-[eh¤Y�Yk|gY© § ÐÆ[�j[�ÆÎz[b1ÏÂlzyY[�- ¡lqe�kuZ�gwvj[i�ugjxdxdkmµ9igwbdkulq`´©j^a` )�$��#�(�$B+�������$B+ �A����$-&��( �$1��G� $,/A� +�� �#/��%+��� ��� ���(��������$ ��� *����J�3�(% � ������$ t�9gwvq[}x�\�H.;��z\s����ts�f�j�q�s©�Vcb�bh� 9 >�>�¢�¢�¢�© ku`Yedk|gY©  ¡e�>(�1�1��U >w�1�Woa\�;�; 7�© VcbdZT�7©

¼ \q�w½�T©wÎzk|yYy�k|»ck7t �·o¾Å�©(ÐÆgq¤Y¶ku[eh[qt § ©(U3gw`Y`s[`z�sgw¤sZ�twgq`sy�Î-©��I¤9ir¨q[e}© § ed[}g�gq`sy�д[f`YvwbhVnÏ?ku`YkuZTkm¶fkm`Yv83�ul(¢1xW ¡lqe�Î�Vsgw�I[�Îz[vjZT[`cbhgwbdkulq`´©�^a` ) � � � ��� $�&��( �$1� ,��$ ��� *����J�3�( % � ����� $ + $1� ��+����3�(�$!��� � "�$2���4��� $ ts�sgwvj[fx ;.7Y��� ; 7j��tc~�¤s[edbdl���k|i"lst &�Î § t��f�j�c�z©

¼ �.Hw½ § © ��[f¶¶fk7t § ©9U3xhgwkptsgw`sy § © UGku�m�|xd¨c£j© § x�brg(bdk|x�bdk|igw�3gw�Y�sedlcgqirV@bhl%i"¤sed�j[�[�qlj�m¤Ybdkulq`� ¡lqe1kuZ�gwvj[xd[vjZT[`cbhgwbdkulq`´©C^a` ) � � � )�$��#�(�$B+�������$B+������ $�&��( �$1� ��$F�'��* �B�J�#�( %L� ����� $ t��9gwvq[}x�¯z¯ �c£z£qt"¥lje� ¡¤Æt9¦�ed[f[fi[qt-�f�j�q�Y©

021@K�043

Page 44: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

������������ ���������������������� �!�#"�����$%�'&�� (�)�*,+-".0/1#"�*,�$2�3+ �4��� $ �9�

¼ �s�½��1o T© �-Vsgwl9t�U2© "¥Vsgw`´t³gw`sy Î-©¥��xdVY[e}© § ��gqedk|g(bhkmlj`sgw�³�u[�q[f��x�[b�gq�Y�YehljgjirV®bdl±Z�¤Y�mbdku�YVsgjx�[ZTlqbdkulq`´© � � �J(�$1+ � � & ��� *����J�3+ �4��� $B+�� � � E�������� tÆ��7j�J9m�(�(���-�f� 6�tY�}�q��;s©

¼ � 7(½�Î�© �IVz¤´t�U2©Æд[f[qt�gw`sy § © ��¤Yku�m�u[q©���[vjkmlj` "¥lqZT�9[bdkmbdkulq` 9 &1`Ykm ¡£zkm`Yv±Îz`sgw¨j[fxft���[fvqkulq`®¦�edl(¢Woku`YvÁ¹�`Y[ehvq£2>(ÅWg�£j[fx�>wϸ�Ю ¡ljenÏ?¤Y�mbdkmo¾�sgw`sy±^aZ�gwvj[%Îz[vjZT[`cbhgwbdkulq`´©�^a` ) � � � )�$��#�(�$B+�������$B+������$-&��( �$1�� ��$ ��� *����J�3�( % � ����� $ tY�sgwvj[fxW�9�-;��z� 7q\Ytjųlcx�bhlq`´t &·Î § tÆ�}�q� 6�©

¼ �j\w½�Î�© �IVz¤ gq`sy § © ��¤Yku�m�u[q©º��[vjkmlj` "¥ljZn�I["bhk°bhkmlj` 9 &1`Ykm ¡£zkm`YvÃÎz`9gw¨q[}xt¥��[vjkmlj` ¦�ehl(¢�km`Yv9t=gw`9yÅWg�£j[fx�>wϸ�Р¡lje�ϤY�°bhkm�9gw`sy%^aZTgqvq[�Îz[vjZT[`cbhgwbdkulq`´© ) � � � �%( +�$%��+���������$%�0� $ �G+ �4�#�(�$ ��$B+�� �E���� � +�$B� # +.�"� ��$B�)�$��#���� �=" �$1� tÆ�}�%9 �q�q���z�.H�HstY�f�j��;Y©

KLK � M2N�O�P�N

Page 45: Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation · Coupled Geodesic Active Regions for Image Segmentation Nikolaos Paragios, Rachid Deriche To cite this version: Nikolaos Paragios,

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis2004, route des Lucioles - B.P. 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Lorraine : Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique615, rue du Jardin Botanique - B.P. 101 - 54602 Villers lès Nancy Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France)Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38330 Montbonnot St Martin (France)

Unité de recherche INRIA Rocquencourt : Domaine de Voluceau - Rocquencourt - B.P. 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)

ÉditeurINRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, B.P. 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)��������� ���� ���������� ��� ���

ISSN 0249-6399


Top Related