N. PISKOUNOV

CALCUL

DIFFERENTIEL

et

INTEGRAL

Tome I

9e dition

EDITION MIR MOSCOU

10

Traduit du russe par

G. DER-MEGERDITCHIAN (ch. I-X) et E. GLOUKHIAN (ch. XI-XII)

Traduction franaise Editions Mir 1980

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TABLE DES MATIRES Avant-propos la cinquime dition 11 CHAPITRE I NOMBRE, VARIABLE, FONCTIONS 1. Nombres rels. Reprsentation des nombres rels par les points

de l'axe numrique 13 2. Valeur absolue d'un nombre rel 15 3. Grandeurs variables et grandeurs constantes 16 4. Domaine de dfinition d'une variable 17 5. Variable ordonne. Variable croissante et variable dcroissante.

Variable borne 19 6. Fonction 20 7. Diverses formes d'expression des fonctions 21 8. Principales fonctions lmentaires. Fonctions lmentaires . 23 9. Fonctions algbriques 28 10. Systme de coordonnes polaires 30 Exercices 32 CHAPITRE II LIMITE ET CONTINUIT DES FONCTIONS 1. Limite d'une grandeur variable. Grandeur variable infiniment

grande 34 2. Limite d'une fonction 37 3. Fonctions qui Fendent vers l'infini. Fonctions bornes 40 4. Infiniment petits et leurs proprits fondamentales 44 5. Thormes fondamentaux sur les limites 47

6. Limite de la fonction x

xsin quand x 0 51 7. Le nombre e 53 8. Logarithmes npriens 58 9. Continuit des fonctions 59 10. Proprits des fonctions continues 64 11. Comparaison des infiniment petits . . . . 66 Exercices 69 CHAPITRE III DRIVE ET DIFFRENTIELLE 1. Vitesse d'un mouvement 72 2. Dfinition de la drive 74 3. Interprtation gomtrique de la drive 76 4. Fonctions drivables 77

5. Drive de la fonction y = xn pour n entier et positif 79 6. Drives des fonctions y = sin x; y = cos x 81 7. Drives d'une constante, du produit d'une constante par une fonction, d'une somme, d'un produit et du rapport de

deux fonctions 83 8. Drive d'une fonction logarithmique 88 9. Drive d'une fonction compose 89 10. Drives des fonctions y = tg x, y = ctg x, y = Log | x | 91 11. Fonction implicite et sa drive 93 12. Drive d'une fonction puissance quand l'exposant est un nombre

rel quelconque, drive de la fonction exponentielle et de la fonction compose exponentielle 95

13. Fonction inverse (ou rciproque) et sa drive 98 14. Fonctions trigonomtriques inverses et leurs drives 102 15. Tableau des principales formules de drivation 106 16. Fonctions donnes sous forme paramtrique 108 17. Equations paramtriques de certaines courbes 109 18. Drive d'une fonction donne sous forme paramtrique 112 19. Fonctions hyperboliques 114 20. Diffrentielle 117 21. Interprtation gomtrique de la diffrentielle 121 22. Drives de diffrents ordres 122 23. Diffrentielles de diffrents ordres 125 24. Drives de diffrents ordres des fonctions implicites et. des

fonctions donnes sous forme paramtrique 126 25. Interprtation mcanique de la drive seconde 129 26. Equations de la tangente et de la normale. Longueurs de

la sous-tangente et de la sous-normale 130 27. Interprtation gomtrique de la drive du rayon vecteur par

rapport l'angle polaire 133 Exercices 135 CHAPITRE IV THORMES RELATIFS AUX FONCTIONS DRIVABLES 1. Thorme relatif aux racines de la drive (thorme de Rolle) 147 2. Thorme des accroissements finis (thorme de Lagrange) 149 3. Thorme de Cauchy (rapport des accroissements de

deux fonctions) 150 4. Limite du rapport de deux infiniment petits (vraie valeur des

indterminations de la forme 00 ) 151

5. Limite du rapport de deux infiniment grands (vraie valeur des

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indterminations de la forme ) 155

6. Formule de Taylor 160 7. Dveloppement des fonctions ex, sin x, cos x par la formule de

Taylor 164 Exercices 168 CHAPITRE V TUDE DE LA VARIATION DES FONCTIONS 1. Position du problme 171 2. Croissance et dcroissance des fonctions 172 3. Maximum et minimum des fonctions 174 4. Marche suivre pour l'tude du maximum et du minimum d'une

fonction drivable l'aide de la drive premire 181 5. Etude du maximum et du minimum des fonctions l'aide de la

drive seconde 183 6. Plus grande et plus petite valeur d'une fonction sur un segment 187 7. Application de la thorie 4u maximum et du minimum des

fonctions la rsolution de problmes 188 8. Etude des maximums et des minimums d'une fonction l'aide de la formule de Taylor 190 9. Convexit et concavit des courbes. Points d'inflexion 192 10. Asymptotes 199 11. Schma gnral de l'tude des fonctions et de la construction

des graphiques 203 12. Etude des courbes donnes sous forme paramtrique 207 Exercices 212 CHAPITRE VI COURBURE D'UNE COURBE 1. Longueur de l'arc et sa drive 219 2. Courbure 221 3. Calcul de la courbure 223 4. Calcul de la courbure des courbes sous forme paramtrique 226 5. Calcul de la courbure des courbes en coordonnes polaires 227 6. Rayon et cercle de courbure. Centre de courbure.

Dveloppe et dveloppante 228 7. Proprits de la dveloppe 234 8. Calcul approch des racines relles d'une quation 237 Exercices 242 CHAPITRE VII NOMBRES COMPLEXES, POLYNMES

1. Nombres complexes. Dfinitions 245 2. Principales oprations sur les nombres complexes 247 3. Elvation d'un nombre complexe une puissance et extraction

de la racine d'un nombre complexe 250 4. Fonction exponentielle exposant complexe et ses proprits 253 5. Formule d'Euler. Forme exponentielle d'un nombre complexe 256 6. Dcomposition d'un polynme en facteurs 258 7. Racines multiples du polynme 261 8. Dcomposition en facteurs d'un polynme dans le cas des

racines complexes 263 9. Interpolation. Formule d'interpolation de Lagrange 264 10. Formule d'interpolation de Newton 266 11. Drivation numrique 268 12. Meilleure approximation d'une fonction par des polynmes.

Thorie de Tchbychev 269 Exercices 271 CHAPITRE VIII FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 1. Dfinition des fonctions de plusieurs variables 273 2. Reprsentation gomtrique d'une fonction de deux variables 276 3. Accroissement partiel et accroissement total de la fonction 277 4. Continuit des fonctions de plusieurs variables 279 5. Drives partielles d'une fonction de plusieurs variables 282 6. Interprtation gomtrique des drives partielles d'une

fonction de deux variables 284 7. Accroissement total et diffrentielle totale 285 8. Emploi de la diffrentielle totale pour les calculs approchs 288 9. Emploi de la diffrentiel) pour valuer l'erreur commise

pendant les calculs numriques 289 10. Drive d'une fonction compose. Drive totale. Diffrentielle

totale d'une fonction compose 293 11. Drivation des fonctions implicites 297 12. Drives partielles de diffrents ordres 300 13. Surfaces de niveau 305 14. Drive suivant une direction donne 306 15. Gradient 308 16. Formule de Taylor pour une fonction de deux variables 312 17. Maximum et minimum d'une fonction de plusieurs variables 314 18. Maximums et minimums des fonctions de plusieurs variables

soumises certaines conditions (maximums et minimums lis) 323 19. Dpendance fonctionnelle obtenue en traitant les donnes

exprimentales par la mthode des moindres carrs 328

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20. Points singuliers d'une courbe 332 Exercices 338 CHAPITRE IX APPLICATIONS DU CALCUL DIFFRENTIEL LA GOMTRIE DE L'ESPACE 1. Equation d'une courbe dans l'espace 342 2. Limite et drive d'une fonction vectorielle d'une variable

scalaire indpendante. Equation de la tangente une courbe. Equation du plan normal 345

3. Rgles de drivation des vecteurs (fonctions vectorielles) 351 4. Drives premire et seconde d'un vecteur par rapport la

longueur de l'arc. Courbure de la courbe. Normale principale. Vitesse et acclration du point dans un mouvement curviligne 354

5. Plan osculateur. Binormale. Torsion d'une courbe gauche 363 6. Plan tangent et normale une surface 368 Exercices 372 CHAPITRE X INTGRALE INDFINIE 1. Primitive et intgrale indfinie 375 2. Table d'intgrales 378 3. Quelques proprits de l'intgrale indfinie 380 4. Intgration par changement de variable 382 5. Intgration de certaines expressions contenant le trinme

ax2 + bx + c 384 6. Intgration par parties 387 7. Fractions rationnelles. Fractions rationnelles lmentaires et

leur intgration 390 8. Dcomposition des fractions rationnelles en lments simples 395 9. Intgration des fractions rationnelles 399 10. Intgration des fonctions irrationnelles 402

11. Intgrales du type dxcbxaxxR ++ ),( 2 404 12. Intgration de certaines classes de fonctions trigonomtriques 407 13. Intgration de certaines fonctions irrationnelles l'aide de

transformations trigonomtriques 412 14. Fonctions dont les intgrales ne peuvent tre exprimes par

des fonctions lmentaires 414 Exercices 416

CHAPITRE XI INTGRALE DFINIE 1. Position du problme. Sommes intgrales infrieure et suprieure 427 2. Intgrale dfinie. Thorme d'existence de l'intgrale dfinie 429 3. Proprits fondamentales de l'intgrale dfinie 439 4. Calcul de l'intgrale dfinie. Formule de Newton Leibniz 443 5. Changement de variable dans une intgrale dfinie 447 6. Intgration par parties 449 7. Intgrales impropres 451 8. Calcul approch des intgrales dfinies 458 9. Formule de Tchbychev 464 10. Intgrales dpendant d'un paramtre. Fonction gamma 469 11. Intgration d'une fonction complexe de la variable relle 473 Exercices 473 CHAPITRE XII APPLICATIONS GOMTRIQUES ET MCANIQUES DE L'INTGRALE DFINIE 1. Calcul des aires en coordonnes rectangulaires 478 2. Aire d'un secteur curviligne en coordonnes polaires 481 3. Longueur d'un arc de courbe 482 4. Calcul du volume d'un corps en fonction des aires des sections

parallles 488 5. Volume d'un corps de rvolution 490 6. Aire d'un corps de rvolution 491 7. Calcul du travail au moyen de l'intgrale dfinie 492 8. Coordonnes du centre de gravit 494 9. Calcul du moment d'inertie d'une courbe, d'un cercle et d'un

cylindre l'aide de l'intgrale dfinie 497 Exercices 500 Index 506

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11AVANT-PROPOS LA CINQUIME DITION

La cinquime dition en langue franaise du prsent manuel diffre de la 4-ime dition. Deux nouveaux chapitres ont t inclus dans cet ouvrage : le chapitre XX Elments de la thorie des probabilits et de la statistique mathmatique et le chapitre XXI Matrices. Ecriture matricielle des systmes et rsolution des systmes d'quations diffrentielles linaires qui contient le matriel indispensable pour la prparation mathmatique des tudiants des coles techniques suprieures. En outre dans ce chapitre on a accord une grande importance l'criture matricielle des systmes d'quations diffrentielles linaires. On a utilis l'criture matricielle des solutions approches successives des systmes d'quations diffrentielles linaires coefficients variables. La ncessit d'inclure ce matriel dans un cours de calcul diffrentiel et intgral pour les coles techniques est lie au fait que l'tude des solutions des systmes d'quations diffrentielles est, dans de nombreux ouvrages d'lectrotechnique, de radiotechnique, d'automatique, conduite l'appui de l'appareil de la thorie des matrices. Le chapitre XVI a t complt par les paragraphes 26, 27, 28. On considre ici la mthode des approximations successives des solutions des quations diffrentielles, on dmontre les T h o r m e s d'existence et d'unicit de la solution d'une quation diffrentielle. On a accentu la rigueur de l'expos de tout le chapitre consacr aux quations diffrentielles. Le paragraphe 31 du chapitre XIII Elments de la thorie de la stabilit de Liapounov a t notablement largi. Il est maintenant intitul ainsi : Elments de la thorie de la stabilit de Liapounov. Comportement des trajectoires de l'quation diffrentielle au voisinage d'un point singulier . Ici paralllement la considration de la stabilit des solutions des systmes d'quations diffrentielles on tudie le comportement des trajectoires proximit d'un point singulier du plan de phase. Cela tait indispensable, car lors de l'tude des questions correspondantes dans les cours d'lectrotechnique, de radiotechnique et d'automatique on doit savoir utiliser couramment ces notions. Certains paragraphes ont t rcrits en utilisant la thorie de nombres complexes. On a notablement. largi le 2 du chapitre X1, o l'on donne la dmonstration de l'existence d'une intgrale dfinie d'une fonction continue. On a ajout le 11 complmentaire du chapitre XI Intgration d'une fonction complexe de la variable relle . On a crit de nouveaux paragraphes 24 et 25 du chapitre XVI consacrs aux sries de termes complexes et aux sries entires de la variable complexe. Le nouveau paragraphe 12 du chapitre XVII est consacr aux sries de Fourier sous forme complexe. On a lucid certaines

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12notions largement utilises dans les applications (spectre, fonction

spectrale). On a crit les nouveaux paragraphes 15 Srie de Fourier suivant un systme orthogonal de fonctions et 16 Notion d'espace fonctionnel linaire. Analogie entre le dveloppement dune fonction en srie de Fourier et le dveloppement des vecteurs du chapitre XVII. Ce matriel est expos de faon que les tudiants et les ingnieurs puissent comprendre le matriel des autres disciplines bases sur cet appareil mathmatique. On a ajout au chapitre XIX un nouveau paragraphe 20 La fonction delta et son image . Le chapitre VIII a t complt par le paragraphe 19 Obtention dune fonction partir des donnes exprimentales par la mthode des moindres carrs . Le contenu de ce paragraphe forme dans la prcdente dition l'Annexe I plac la fin du premier tome de ce manuel. L'annexe II de la prcdente dition est maintenant rpartie suivant les paragraphes 10 Formule d'interpolation de Newton et 11 Drivation numrique du chapitre VII. Quelques complments ont t apports aux chapitres V, VII, IX, XII et XIII. L'auteur

13

Chapitre I

NOMBRE, VARIABLE, FONCTIONS

1. Nombres rels. Reprsentation des nombres rels par les points de l'axe numrique. La notion de nombre est l'une des plus fondamentales des mathmatiques. Elabore dans l'Antiquit, elle a subi au tours des sicles un long processus d'extension et de gnralisation. Les nombres entiers, les nombres fractionnaires positifs et ngatifs, avec le nombre zro sont appels nombres rationnels. Tout nombre rationnel peut tre mis sous la forme du quotient P/q de deux nombres entiers p et q. Par exemple :

451,25 ;

75 =

En particulier, tout nombre entier p peut tre considr comme le quotient des

deux nombres entiers p et 1 : 1 . Par exemple 100 ;

166 ==

Les nombres rationnels peuvent tre mis sons la forme de fractions dcimales priodiques, limites ou illimites. Les nombres exprims par les fractions dcimales illimits non priodiques sont appels nombres irrationnels; tels sont, par exemple, les nombres 2 , 3 , 5 -

2 , etc. La collection des nombres rationnels et irrationnels forme l'ensemble des nombres rels. Les nombres rels constituent un ensemble ordonn, c'est--dire que, pour chaque couple de nombres rels x et y, une et seulement une des relations suivantes

x < y, x = y, x > y est satisfaite. Les nombres rels peuvent tre reprsents par les points de l'axe numrique. On appelle axe numrique une droite infinie sur laquelle on a choisi : 1) un point O appel origine, 2) un sens positif, que l'on indique par une flche, et 3) une unit de mesure. Le plus souvent nous disposerons l'axe horizontalement et choisirons la direction de gauche droite comme sens positif.

15

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14Si le nombre x1 est, positif nous le reprsenteront par point, M1 situ

droite du l'origine et distant de O du OM1 = x1; de mme si le nombre x2 est ngatif, nous le reprsenterons par le point M2 situ gauche de O et distant de O de OM2 = - x2 (fig. 1). Le point O reprsente le nombre zro. I1 est vident que tout nombre rel est reprsent par un seul point de l'axe numrique. A deux nombres rels distincts correspondent deux points diffrents de l'axe numrique.

Fig. 1

La proposition suivante est vraie : chaque point de l'axe numrique est l'image d'un seul nombre rel (rationnel ou irrationnel). Ainsi il existe une correspondance biunivoque entre tous les nombres rels et tous les points de l'axe numrique : chaque nombre correspond un point unique et inversement chaque point correspond un seul nombre dont il est l'image. Cela permet dons de nombreux raisonnements d'employer indiffremment la notion de nombre x ou celle de point x . Dans ce manuel nous aurons frquemment l'occasion de mettre cette R e m a r q u e contribution. Indiquons, sans la dmontrer, la proprit suivante relative l'ensemble des nombres rels : entre deux nombres rels quelconques, il existe toujours des nombres rationnels et des nombres irrationnels. Gomtriquement cela signifie : entre deux points quelconques de l'axe numrique, il existe toujours des points rationnels et des points irrationnels. En guise de conclusion, citons le T h o r m e suivant qui joue, en quelque sorte, le rle d'un pont jet entre la thorie et la pratique . T h o r m e . Tout nombre irrationnel peut tre exprim avec le degr de prcision voulu l'aide de nombres rationnels. En effet, soit un nombre irrationnel positif. Proposons-nous d'valuer la valeur approche de 1/n prs (par exemple, 1/10) prs, a 1/100 prs, etc.). Quel que soit le nombre , il est inclus entre deux nombres entiers conscutifs N et N + 1. Partageons le segment compris entre N et N + 1 en n parties gales.

Alors se trouvera inclus entre deux nombres rationnels N +nm et N+

nm 1+ .

La diffrence entre ces deux nombres tant gale n1 , chacun d'eux exprimera

avec la prcision voulue, le premier par dfaut, le second par excs.

M2 M1

-2 -1 1 2 3 x

0

15E x e m p l e . Le nombre irrationnel 2 s'exprime l'aide des nombres rationnels :

1,4 et 1,5 1/10 prs, 1,41 et 1,42 1/100 prs,

1,414 et 1,415 1/1000 prs, etc.

2. Valeur absolue d'un nombre rel Introduisons maintenant la notion de valeur absolue d'un nombre rel. D f i n i t i o n . On appelle valeur absolue (ou module) d'un nombre rel x (not |x|) le nombre rel non ngatif qui satisfait aux conditions suivantes

| x | = x si x 0; | x | =-x si x < 0.

E x e m p l e s : | 2 | = 2; | -5 | =5; | 0 | = 0. Il dcoule de cette dfinition que pour tout x on a x |x| . Voyons quelques proprits de la valeur absolue. 1. La valeur absolue de la somme algbrique de plusieurs nombres rels nest pas suprieure la somme des valeurs absolues des termes

| x + y | | x | + | y |. D m o n s t r a t i o n . Soit x + y 0, alors

| x + y | = x + y | x | + | y | ( car x | x | et y | y |). Soit x + y < 0, alors

| x + y | =- ( x + y ) = (-x) + (-y) | x | + | y | . c.q.f.d. La dmonstration peut tre facilement tendue au cas d'un nombre quelconque de termes. Exemples:

| -2 + 3 | < | -2 | + | 3 | = 2 + 3 = 5 ou 1< 5, | -3 5 | = | -3 | + | -5 | = 3 + 5 = 8 ou 8 = 8.

2. La valeur absolue de la diffrence nest pas infrieure la diffrence des valeurs absolues des termes

| x y | | x | - | y | , | x | > | y |.

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16D m o n s t r a t i o n . posons x y = z, alors x = y + z et d'aprs la

proprit prcdente | x | = | y + z | | y | + | z | = | y | + | x - y |,

d'o | x | - | y | | x - y | c.q.f.d.

3. La valeur absolue du produit est gale au produit des valeurs absolues des facteurs:

| xyz | = | x | | y | | z |.

4. La valeur absolue du quotient est gale au rapport des valeurs absolues du dividends et du diviseur

yx

yx =

Les deux dernires proprits dcoulent immdiatement de la dfinition de la valeur absolue.

3. Grandeurs variables et grandeurs constantes Quand nous mesurons certaines grandeurs physiques telles que le temps, la longueur, la surface, le volume, la masse, la vitesse, la pression, la temprature, etc., nous tablissons les valeurs numriques de ces grandeurs physiques. Les mathmatiques tudient les grandeurs sans tenir compte de leur contenu concret. Dans ce qui suit, quand nous parlerons de grandeur, nous aurons en vue ses valeurs numriques. Durant diffrents phnomnes certaines grandeurs varient, c'est--dire qu'elles soot susceptibles de prendre diverses valeurs numriques ; au contraire, d'autres peuvent conserver une mme valeur numrique. Ainsi, si un point matriel se dplace suivant un mouvement uniforme, le temps et la distance varient, tandis que la vitesse reste constants. On appelle grandeur variable ou variable une grandeur susceptible de prendre diffrentes valeurs numriques. Une grandeur dont les valeurs numriques ne changent pas est appele grandeur constants ou constants. Par la suite, nous dsignerons les grandeurs variables par les lettres x, y, z, u, . . ., etc., et les grandeurs constantes par les lettres a, b, c, . . , etc. R e m a r q u e : En mathmatiques on considre souvent les grandeurs constantes comme un cas particulier des grandeurs variables : une constants est une variable dont les diverses valeurs numriques sont toutes gales. Remarquons, toutefois, qu'au tours de l'tude de divers phnomnes physiques il peut arriver qu'une mme grandeur soit constants dans certains cas et variable dans d'autres. Par exemple, la vitesse dun corps anima d'un movement

17uniformes est une grandeur constante, mais la vitesse dun mouvement uniformment acclr est une grandeur variable. Les grandeurs qui conservent une mme valeur quel que soit le phnomne considr sont appeles constantes absolues. Ainsi, le rapport de la longueur dune circonfrence son diamtre est une constants absolue dont la valeur = 3,14159... Nous verrons par la suite que la notion de grandeur variable est fondamentale pour le calcul intgral et diffrentiel. Dans La dialectique de la nature Engels crit: La grandeur variable de Descartes a marqu un tournant en mathmatiques. C'est avec elle que le mouvement et la dialectique sont entrs dans les mathmatiques et que se fit sentir tout de suite la ncessit du calcul diffrentiel et intgral.

4. Domaine de dfinition dune variable Une variable est susceptible de prendre des valeurs numriques diffrentes. L'ensemble de ces valeurs peut varier suivant le caractre du problme considr. Par exemple, la temprature de l'eau chauffe dans les conditions normales peut varier depuis la temprature ambiante, 15 18 C, jusqu' celle du point d'bullition, 100 C. Par contre, la variable x = cos peut prendre toutes les valeurs comprises entre -1 et +1. La valeur dune variable s'exprime gomtriquement par un point de l'axe numrique. Ainsi, l'ensemble des valeurs que prend la variable x = cos pour toutes les valeurs de a est reprsent par l'ensemble des points de l'axe numrique compris entre -1 et +1, les points -1 et +1 tant inclus (fig. 2). Fig. 2 D f i n i t i o n . On appelle domaine de dfinition dune variable l'ensemble des valeurs numriques qu'elle est susceptible de prendre. Citons les domaines de dfinition de certaines variables que nous rencontrerons frquemment par la suite. On appelle intervalle ouvert ou intervalle d'extrmits a et b l'ensemble de tous les nombres x compris entre a et b (a < b); les nombres a et b n'appartiennent pas cet ensemble. On le dsigne soit par la notation (a, b), soit par les ingalits a < x

18

Si l'un des nombres a ou b, a par exemple, appartient et si l'autre n' appartient pas cet intervalle, on a alors un semi-intervalle o u v e r t en b ; on peut le dfinir par les ingalits

a x < b et on le dsigne par la notation [a, b). Si le nombre b appartient et si a n'appartient pas cet intervalle, on a alors un semi-intervalle o u v e r t en a (a, b], que l'on peut dfinir l'aide des ingalits

a < x b. Si la variable x prend toutes les valeurs plus grandes que a, on dsigne cet intervalle par la notation (a ,+ ), que lon peut galment dfinir l'aide des ingalits conventionnelles a < x < + .

Fig. 3

On considrera galement les intervalles et les semi-intervalles infinis, dfinis par les ingalits conventionnelles suivantes:

a x < + ; - < x < c; - < x c; - < x < +. E x e m p 1 e . Le domaine de dfinition de la variable x = cos , pour toutes les valeurs de , est le segment [-1, +1] ; on peut l'exprimer l'aide des ingalits -1 < x < +1. On peut remplacer dans les dfinitions prcdentes le mot nombre par le mot point . Ainsi, on appelle segment l'ensemble de tous les points x situs entre les points a et b (a et b tant les extrmits du segment), les points a et b sont inclus dans cet ensemble. On appelle voisinage d'un point xo tout intervalle ouvert (a, b) contenant ce point, c'est--dire un intervalle (a, b) pour lequel soient vrifies les ingalits a < xo < b. On choisit souvent le voisinage (a, b) de sorte que le point xo se trouve en son milieu. Le point xo est. alors appel le centre du voisinage et le nombre

2ab le rayon du voisinage. La figure 3 reprsente le voisinage (xo - , xo + )

de centre xo et de rayon .

20 19 5. Variable ordonne. Variable croissante et variable dcroissante. Variable borne On dit que la variable x est ordonne si l'on connat son domaine de dfinition et si, pour chaque couple de ses valeurs, on peut indiquer celle qui est antcdente et celle qui est consquente. Ici la notion d' antcdence ou de consquence n'est pas lie au temps. Elle exprime une certaine faon d'ordonner les valeurs de la variable. Un cas particulier de grandeur variable ordonne est celui d'une grandeur variable dont les valeurs forment une suite numrique x1, x2, x3, . . ., xn, . . . Dans ce cas, pour k' < k la valeur xk. est antcdente et la valeur xk consquente , indpendamment du fait laquelle de ces deux valeurs est la plus grande. D f i n i t i o n 1. Une variable est dite croissante si chaque valeur consquente est plus grande que chaque valeur antcdente. Une variable est dite dcroissante si chaque valeur consquente est plus petite que chaque valeur antcdente. Les variables croissantes et les variables dcroissantes sont appeles variables variation monotone ou simplement variables monotones. E x e m p 1 e . Quand on double le nombre des cts d'un polygone rgulier inscrit dans un cercle, l'aire s de ce polygone est une variable croissante. De mme, quand on double le nombre des cts d'un polygone circonscrit un cercle, faire de ce polygone est une variable dcroissante. Remarquons qu'une variable n'est pas ncessairement croissante ou dcroissante. Par exemple, la variable x = sin n'est pas une variable monotone quand crot sur le segment [0, 2]. Elle crot d'abord de 0 1, puis dcrot de 1 -1, crot de nouveau de -1 0. D f i n i t i o n 2. Une variable x est dite borne s'il existe une constante M > 0 telle que, pour toutes les valeurs consquentes de la variable partir d une certaine valeur, les ingalits

-M x M, c'est--dire | x | M, sont satisfaites. En d'autres termes, une variable est dite borne s'il existe un segment [-M, M] tel qu' partir d'une certaine valeur toutes les valeurs consquentes de la variable appartiennent ce segment. Toutefois, il existe des variables bornes dont les valeurs ne remplissent pas le segment [-M, M]. Par exemple, une variable susceptible de prendre les diffrentes valeurs rationnelles du segment [-2, 2] est borne, mais il est vident qu'elle ne prend pas toutes les valeurs de ce segment (prcisment, les valeurs irrationnelles).

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20 6. Fonction

L'tude des divers phnomnes de la nature et la rsolution de divers problmes techniques et, par consquent, mathmatiques, nous amnent considrer la variation d'une grandeur en corrlation avec la variation d'une autre grandeur. Ainsi quand nous tudions un mouvement, nous considrons le chemin parcouru comme une variable qui dpend du temps. Ici le chemin parcouru est une fonction du temps. Prenons un autre exemple. La surface du cercle en fonction du rayon est donne par la formule bien connue Q = R. Si le rayon R prend diffrentes valeurs, la surface Q prendra galement diffrentes valeurs. Ainsi la variation de l'une de ces variables entrane la variation de l'autre. Ici la surface du cercle Q est une fonction du rayon R. Donnons la dfinition de la notion de fonction . D f i n i t i o n 1. Nous dirons que y est une fonction de x et nous crirons y = f (x), y = (x), etc., si chaque valeur de la variable x appartenant un certain domaine correspond une valeur de la variable y. La variable x est appele variable indpendante. La dpendance entre les variables x et y s'appelle une dpendance fonctionnelle. La lettre f, qui entre dans la notation symbolique de la dpendance fonctionnelle y = f (x), indique qu'il faut appliquer certaines oprations x pour obtenir la valeur correspondante de y. On crit parfois y = y (x), u = u (x), au lieu de y = f (x), u = (x) ; dans ce cas, les lettres y et u expriment en mme temps la valeur de la fonction et le symbole des oprations appliques x. La notation y = C, o C est une constante, exprime une fonction dont la valeur est gale C quel que soit x. D f i n i t i o n 2. L'ensemble des valeurs x pour lesquelles la valeur de la fonction y est donne par la loi f (x) est appel domaine d'existence de la fonction (ou domaine de dfinition de la fonction). E x e m p l e 1. La fonction y = sin x est dfinie pour toutes les valeurs de x. Donc, son domaine d'existence est l'intervalle infini - < x < + R e m a r q u e 1. S'il existe une dpendance fonctionnelle entre les deux variables x et y = f (x) et si l'on considre x et y = f (x) comme des variables ordonnes, nous dirons alors que pour les deux valeurs y* = f (x*) et y** = f (x**) de la fonction f (x) correspondant, aux valeurs x* et x** de la variable x, la valeur consquente de la fonction est celle qui correspond la valeur consquente de la variable indpendante. C'est pourquoi nous sommes tout naturellement conduits noncer la dfinition suivante.

21D f i n i t i o n 3. La fonction y = f (x) est dite croissante si une plus grande valeur de la variable indpendante correspond une plus grande valeur de la fonction. On dfinit d'une manire analogue la fonction dcroissante. E x e m p 1 e 2. La fonction Q = R est une fonction croissante pour 0 < R < +, car une plus grande valeur de R correspond une plus grande valeur de Q. R e m a r q u e 2. Quand on dfinit la notion de fonction, on admet parfois qu' chaque valeur de x prise dans un certain domaine correspond non pas une valeur de y, mais plusieurs ou mme une infinit. Dans ce cas, la fonction est dite multivoque, tandis que la fonction prcdemment dfinie est dite univoque. Par la suite, nous conviendrons d'appeler fonctions uniquement celles qui sont univoques. Si dans certains cas nous avons affaire des fonctions multivoques, nous le spcifierons chaque fois pour viter toute confusion.

7. Diverses formes d'expression des fonctions I . F o n c t i o n s d o n n e s d ' a i d e d e t a b l e s Dans ce procd on dispose dans un certain ordre les valeurs de la variable indpendante x1, x2, . . ., xn et les valeurs correspondantes de la fonction y1, y2, . . ., yn x x1 x2 xn

y y1 Y2 yn Telles sont, par exemple, les tables des fonctions trigonomtriques, les tables des logarithmes, etc. On peut obtenir au cours de l'tude exprimentale de certains phnomnes des tables qui expriment la dpendance fonctionnelle existant entre les grandeurs mesures. Ainsi, par exemple, les relevs de la temprature de l'air faits dans une station mtorologique durant une journe nous donnent la table suivante Valeur de la temprature T (en degrs) en fonction du temps t (en heures)

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9

T 0 -1 -2 -2 -0.5 1 3 3.5 4 Cette table dfinit T en fonction de t.

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22I I . R e p r s e n t a t i o n g r a p h i q u e d e s f o n c t i o n s

Soit dans le plan un systme de coordonnes rectangulaires. Un ensemble de points M (x, y), tel qu'aucun couple de points ne se trouve sur une droite parallle l'axe Oy, dfinit une certaine fonction univoque y = f (x). Les valeurs de la variable indpendante sont les abscisses de ces points, les valeurs de la fonction les ordonnes correspondantes (fig. 4).

Fig. 4

L'ensemble des points du plan (xOy) dont les abscisses sont les valeurs de la variable indpendante et les ordonnes les valeurs correspondantes de la fonction est appel graphique de cette fonction. I I I . R e p r s e n t a t i o n a n a l y t i q u e d e s f o n c t i o n s Prcisons tout d'abord ce que nous entendons par expression analytique . Nous appellerons expression analytique la notation symbolique de l'ensemble des oprations mathmatiques connues que l'on doit appliquer dans un certain ordre des nombres et des lettres exprimant des grandeurs constantes ou variables. Remarquons que par ensemble des oprations mathmatiques connues nous envisageons non seulement les oprations mathmatiques apprises au cours des tudes secondaires (addition, soustraction, extraction de la racine, etc.) mais galement toutes les oprations qui seront dfinies au fur et mesure de l'expos du cours. Donnons des exemples d'expressions analytiques

etc. ,352 ;15

sinlog ;2

24 x

xxxx x ++

Si la dpendance fonctionnelle y = f (x) est telle que f est une expression analytique, nous disons que la fonction y de x est donne analytiquement. Voici quelques exemples d'expressions analytiques

etc. , )5 ;sin )4 ;1 )3 ;11 )2 ;2 )1 224 RQxyxy

xxyxy ===

+==

23Dans ces exemples les fonctions sont exprimes analytiquement par une seule formule. (On appelle formule l'galit entre deux expressions analytiques.) Dans ces cas on peut parler du domaine naturel de dfinition d'une fonction. Le domaine naturel de dfinition d'une fonction donne par une expression analytique est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles l'expression du second membre a une valeur bien dtermine. Ainsi, le domaine naturel de dfinition de la fonction y = x4- 2 est l'intervalle infini - < x < + , puisque cette fonction est dfinie pour toutes les valeurs de

x. La fonction 11

+=xxy est dfinie pour toutes les valeurs

de x, except la valeur x = 1, car pour cette valeur le dnominateur s'annule. Le domaine naturel de dfinition de la fonction

1 xy = est le segment 1

24IV. Les fonctions trigonomtriques: y = sin x, y = cos x, y =

tg x, y = ctg x, y = sec x, y = cosec x. V. Les fonctions trigonomtriques inverses y = arc sin x, y = arc cos

x, y = arc tg x, y = arc ctg x, y = arc sec x, y = arc cosec x. Dterminons les domaines de dfinition et traons les graphiques des principales fonctions lmentaires : L a f o n c t i o n p u i s s a n c e , y = x. 1. est un entier positif. La fonction est dfinie en chaque point de l'intervalle infini - < x < + . Les graphiques de cette fonction pour diffrentes valeurs de a sont reprsents sur les figures 6 et 7.

Fig. 6 Fig. 7

2. est un entier ngatif. Dans ce cas la fonction est dfinie pour toutes les valeurs de x, except la valeur x = 0. Les graphiques de cette fonction pour diffrentes valeurs de a sont reprsents sur les figures 8 et 9. y

Fig. 8 Fig. 9

Les figures 10, 11, 12 reprsentent les graphiques des fonctions puissance pour rationnels fractionnaires.

25L a f o n c t i o n e x p o n e n t i e l l e , y = ax, a > 0 et a 1. Cette fonction est dfinie pour toutes les valeurs de x. Le graphique de cette fonction est reprsent sur la figure 13.

Fig. 10 Fig. 11 Fig. 12

L a f o n c t i o n l o g a r i t h m i q u e , y = loga x, a > 0 et a 1. Cette fonction est dfinie pour x > 0. Le graphique de cette fonction est reprsent sur la figure 14. L e s f o n c t i o n s t r i g o n o m t r i q u e s ( c i r c u l a i r e s ) . Dans les formules y = sin x, etc., la variable independante

Fig. 13 Fig. 14

x est exprime en radians. Avant de donner la dfinition d'une fonction priodique remarquons que toutes les fonctions circulaires numres sont priodiques. D f i n i t i o n 1. La fonction y = f (x) est dite priodique s'il existe un nombre constant C tel que la valeur de la fonction ne change pas quand on ajoute (ou l'on retranche) le nombre C la variable indpendante : f (x + C) = f (x). Le plus petit de ces nombres est appel priode de la fonction. Nous la dsignerons par la suite par 2l.

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26

I1 dcoule immdiatement de cette dfinition que la fonction y = sin x est une fonction priodique de priode 2 : sin x = sin (x + 2). La priode de la fonction y = cos x est aussi gale 2. La priode des fonctions y = tg x et y = ctg x est gale . Les fonctions y = sin x et y = cos x sont dfinies pour toutes les valeurs de x ; les fonctions y = tg x et y = sec x sont dfinies partout, sauf aux points x = (2k + 1)

2 (k = 0, 1, 2, . . .) ; les fonctions y = ctg x et y = cosec x sont dfinies pour

toutes les valeurs de x, sauf aux points x = k (k = 0, 1, 2, . . .). Les graphiques des fonctions trigonomtriques sont reprsents sur les figures 15-19. Par la suite nous tudierons en dtail les graphiques des fonctions trigonomtriques inverses. Introduisons la notion de fonction de fonction. Si y est une fonction de u et u une fonction de la variable x, y dpend alors de x. Soit

y = F (u) et

u = (x) .

Nous en dduisons une fonction y de x : y = F [ (x)]. Cette dernire est appele fonction de fonction ou f oncton compose. E x e m p 1 e 1. Soit y = sin u et u = x2. La fonction y = sin (x2) est une fonction compose de x. R e m a r q u e . Le domaine de dfinition de la fonction y = F [ (x)] est soit le domaine de dfinition tout entier de la fonction u = (x), soit la partie de ce domaine dans laquelle les valeurs de u appartiennent au domaine de dfinition de la fonction F (u). E x e m p 1 e 2. Le domaine de dfinition de la fonction

)1 ,( 1 xuuyxy === est le segment [-1, 1] puisque quand | x | > 1, u < 0 et, par consquent, la fonction u n'est pas dfinie (quoique la fonction u = 1 - x2 soit dfinie pour toutes les valeurs de x). Le graphique de cette fonction est la moiti suprieure de la circonfrence de rayon 1, dont le centre est l'origine des coordonnes. L'opration fonction de fonction peut tre excute non seulement une fois, mais un nombre arbitraire de fois. Par exemple, on obtient la fonction compose y = Log [sin (x2 + 1)] en excutant les oprations suivantes (en dfinissant les fonctions suivantes)

v = x2 + 1, u = sin v, y = Log u.

Donnons la dfinition d'une fonction lmentaire.

27

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28D f i n i t i o n 2. On appelle fonction lmentaire toute fonction qui peut

tre donne l'aide d'une seule formule du type y = f (x), o la fonction f (x) est le rsultat des combinaisons de fonctions lmentaires principales et de constantes ralises l'aide des oprations d'addition, de soustraction, de multiplication, de division et de fonction de fonction ; toutes les oprations doivent tre effectues un nombre fini de fois. I1 dcoule de cette dfinition que les fonctions lmentaires font partie des fonctions dfinies analytiquement.

Exemples de fonctions lmentaires :

xyxxy sin41, +===

101024log 3

+++=

xtgxxxy

x etc.

Fig. 20 Exemple de fonction non lmentaire La fonction y = 12 3 . . n (y = f (n)) nest pas une fonction lmentaire puisque le nombre des oprations que l'on doit effectuer pour obtenir y crot avec n, cest--dire nest pas un nombre fini. R e m a r q u e . La fonction reprsente sur la figure 20 est une fonction lmentaire bien qu'elle suit donne l'aide de deux formules : f (x) = x, si 0 < x 1; f (x) = 2x - 1, si 1 x 2. Cette fonction peut tre donne par une seine formule

2)1(21

31

231

21

31

23)( +

=+

= xxxxxf

pour 0 x 2. 9. Fonctions algbriques Les fonctions algbriques comprennent les fonctions lmentaires suivantes: I. F o n c t i o n r a t i o n n e l l e e n t i r e o u p o l y n m e

y = aoxn + a1xn-1 + . . . + an, o ao, a1, . . ., an sont des nombres constants appels coefficients ; n est un entier positif que l'on appelle degr du polynme. I1 est vident que cette fonction est dfinie pour toutes les valeurs de x, c'est--dire qu'elle est dfinie dans un intervalle infini. E x e m p 1 e s : 1. y = ax + b est une fonction linaire. Quand b = 0, cette fonction exprime une dpendance entre x et y telle que ces deux variables sont proportionnelles. Quand a = 0, y = b, la fonction est constante.

292. y = ax + bx + c est une fonction du second degr. Le graphique de cette fonction est une parabole (fig. 21). L'tude dtaille de ces fonctions est lobjet de la gomtrie analytique.

Fig. 21

II. F r a c t i o n s r a t i o n n e l l e s . Cette fonction est dfinie comme le rapport de deux polynmes

mmm

nnn

bxbxbaxaxa

y ++++++=

...

...1

10

110

Un exemple de fraction rationnelle nous est fourni par la fonction

xay =

qui exprime une dpendance inversement proportionnelle. Le graphique de cette fonction est donn sur la figure 22. Il est vident que la fraction rationnelle est dfinie pour toutes les valeurs de x, except bien sr les valeurs pour lesquelles le dnominateur s'annule.

Fig. 22

I I F o n c t i o n i r r a t i o n n e l l e . Onditque la fonction y = f (x) est irrationnelle si f (x) est le rsultat des oprations d'addition, de soustraction, de multiplication, de division et d lvation une puissance rationnelle non entire.

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30Voici des exemples de fonctions irrationnelles

xyxxxy =+

+= ;51

2 , etc.

R e m a r q u e 1. Les trois types de fonctions algbriques que nous venons de citer n'puisent pas toutes les fonctions algbriques. On appelle fonction algbrique toute fonction y = f (x) qui satisfait une quation du type

Po (x) yn + P1 (x) yn-1 + . . . .+ Pn (x) = 0, (1) o Po (x), P1 (x), . . . Pn (x) sont des polynmes de x. On peut dmontrer que toute fonction appartenant l'un des trois types cits vrifie une quation du type (1), mais parmi les fonctions vrifiant les quations du type (1), il existe des fonctions qui n'appartiennent aucun des trois types prcdents. R e m a r q u e 2. On appelle fonctions transcendantes les fonctions qui ne sont pas algbriques. Voici des exemples de fonctions transcendantes y = cos x, y = 10x, etc.

10. Systme de coordonnes polaires On peut dterminer la position d'un point du plan l'aide d'un systme dit de coordonnes polaires. Soient dans le plan un point O que l'on nomme ple et une demi-droite issue de ce point que l'on appelle axe polaire. La position d'un point arbitraire M du plan peut tre dtermine l'aide de deux nombres : le nombre qui donne la distance du point M au ple, et le nombre qui est gal l'angle form par le segment OM et l'axe polaire. On adopte le sens contraire aux aiguilles d'une montre comme sens positif. Les nombres et sont appels coordonnes polaires du point M (fig. 23). Le rayon vecteur p sera toujours un nombre non ngatif. Si l'angle polaire varie entre les limites 0 2, alors chaque point du plan, autre que le ple, correspond un couple bien dtermin de nombres et . Pour le ple on a = 0 et est arbitraire. Etablissons les relations qui existent entre les coordonnes polaires et les coordonnes orthogonales. Supposons que l'origine du systme de coordonnes orthogonales concide avec le ple et le sens positif de l'axe Ox avec l'axe polaire.

31 Il dcoule directement de la figure 24 que: x = cos , y = sin et inversement

yx += , tg = xy .

R e m a r q u e . Pour dterminer , il faut prendre en considration le quadrant o se trouve le point et choisir la valeur approprie de . Dans le systme de coordonnes polaires l'quation = F () dtermine une courbe.

E x e m p 1 e 1. L'quation = a, o a est une constante, dfinit dans le systme de coordonnes polaires un cercle, dont le centre est au ple et le rayon est a.

L'quation de ce cercle (fig. 25) dans un systme de coordonnes orthogonales, dispos comme l'indique la figure 24, est :

ou ayxayx =+=+ Exemple 2. = a , o a = const. Disposons sous forme de table les valeurs de p pour certaines valeurs de : 0

4

2

43

23 2 3 4

0 0,78a 0,78a 0,78a 0,78a 0,78a 0,78a 0,78a 12,56aLa courbe correspondante est reprsente sur la figure 26. Cette courbe est appele spirale d'Archimde.

32E x e m p l e 3. = 2a cos .

C'est l'quation d'un cercle de rayon a, dont le centre se trouve au point. o = a, = 0 (fig. 27). Ecrivons l'quation de ce cercle dans le systme de coordonnes rectangulaires.

En substituant dans cette quation

cos,yx

xyx +=+= , cos = x ou

02ax-you x

22a =++=+ yxaayx

Exercices 1. Soit donne la fonction f (x) =x + 6x - 4. Vrifier les galits f (1)= 3 f

(3)=23. 2. f (x)=x + 1. Calculer les valeurs: a) f (4). Rp. 17. b) f ( 2 ). Rp. 3. c) f

(a+1). Rp. a + 2a + 2. d) f (a)+1. Rp. a+2 e) f (a). Rp. a4+ 1. [ f (a)]. Rp. a4 + 2a + 1. g) f (2a). Rp. 4a + 1.

3. 531)( +

=xxx . Former les expressions:

x1 et

)(1x . Rp.

x1

=x

x53

1+ ;

153

)(1

+=

xx

x 4. 4)( += xx . Former les expressions : (2x) et (0). Rp. (2x)

= 12 +x ; (0)=2. 5. f () = tg . Vrifier l'galit [ ]2)(1

)(2)2(fff = .

6. xxx +

=11log)( . Vrifier l'galit (a) + (b) =

++abba

1

7. f(x) = log x; (x)=x. Former les expressions: a) f [ (2)). Rp. 3 1og 2. b) f [(a)]. Rp. 3 log a. c) [ f (a)] Rp. [log a]3.

8. Indiquer le domaine naturel de dfinition de la fonction y = 2x + 1. Rp. - < x < +.

9. Indiquer les domaines naturels de dfinition des fonctions a) 1 x . Rp. -1 x +1. b) 4 73 xx ++ . Rp. -3 x 7. c) 53 bxax + . Rp. - < x < +. d)

xaxa

+ Rp. xa.

e) arc sin x. Rp. -1 x 1. f) y = log x. Rp. x > 0. g) y = ax (a > 0). Rep. - < x < +.

Construire les graphiques des fonctions suivantes:

3310. y = -3x + 5. 11. y = 1 x + 1. 12. y = 3 - 2x. 13. y = x + 2x - 1. 14. y = x 15. y = sin 2x.

16, y = cos 3x. 17. y = x - 4x + 6. 18. 1

1x

y =

19.

+=4sin xy . 20.

=

3cos xy . 21. y = tg (1/2)x.

22. xy41ctg= . 23. y = 3x. 24. 22 xy = .

25. y = log2 x1 . 26. y = x3 + 1. 27. y = 4 x.

28.

1x

y = . 29. y = x4. 30. y = x5.

31. 21

xy = . 32. 21= xy . 33. 3

1

xy = . 34. y = |x|. 35. y = log2 |x|. 36. . y = log2 (1 - x).

37.

+=32sin3 xy . 38.

+=

2cos4 xy

39. La fonction f (x) est dfinie sur le segment [-1 ; 1] de la manire suivante : f (x)= 1 + x pour -1 x 0; f (x)= 1 - 2x pour 0 x 1.

40. La fonction f (x) est dfinie sur le segment [0 ; 2] de la manire suivante : f (x)=x pour 0 x 1 ; f (x)=x pour 1 x 2.

Construire les courbes donnes en coordonnes polaires .

41. a = (spirale hyperbolique).

42. =a (spirale logarithmique). 43. 2cos a= (lemniscate). 44. =a (1 - cos ) (cardioide). 45. =a sin 3.

34

Chapitre II

LIMITE ET CONTINUIT DES FONCTIONS

1. Limite d'une grandeur variable. Grandeur variable infiniment grande Nous allons considrer dans ce paragraphe des variables ordonnes variation spcifique que l'on dfinit par l'expression la variable tend vers une limite . Dans la suite de ce cours, la notion de limite d'une variable va jouer un rle fondamental, tant intimement lie aux notions de base de l'analyse mathmatique : la drive, l'intgrale, etc. D f i n i t i o n 1. Le nombre constant a est appel la limite de la grandeur variable x si, pour tout nombre arbitrairement petit > 0, on peut indiquer

Fig. 28

une valeur de la variable x telle que toutes les valeurs consquentes de la variable vrifient l'ingalit | x - a | 1/ , vrifient l'ingalit | xn - 1 | < , c.q.f.d. Remarquons que dans le cas prsent la variable tend vers sa valeur limite en dcroissant. E x e m p 1 e 2. La variable x prend successivement les valeurs

x1 = 1 - n1 ; x2 = 1 + 22

1 ; x3 = 1 - 321 ;

x4 = 1 + 421 ; ... ; xn = 1 +(-1)n n2

1 ; ...

Cette variable a une limite gale l'unit. En effet,

nnn

nx21 1

21)1(1 1 =

+= .

Pour arbitraire partir de n satisfaisant la relation n2

1 < . d'o

2n > 1 , n log 2 > log

1 ou n > 2log

1log toutes les valeurs suivantes de x vrifient l'ingalit | xn 1 | < . Remarquon que dans ce cas la valeur de la variable est tantt plus grande, tantt plus petite que la valeur limite. La variable tend vers sa limite en oscillant autour d'elle . R e m a r q u e 1. Comme il a t indiqu au 3 du chapitre I, la grandeur constante c peut tre considre comme une variable dont toutes les valeurs sont gales : x = c. Il est vident que la limite dune grandeur constante est gale cette constante, puisque l'ingalit | x - c | = | c - c | = 0 < est toujours satisfaite pour arbitraire. R e m a r q u e 2. Il dcoule de la dfinition de la limite qu'une grandeur variable ne peut pas avoir deux limites. En effet, si lim x = a et lim x = b (a < b), x doit satisfaire simultanment aux deux ingalits suivantes

| x a | < et | x b | < pour arbitrairement petit ; mais cela est impossible si

2ab

36R e m a r q u e 3. Il ne faut pas s'imaginer que chaque variable doit

ncessairement avoir une limite. Soit x une variable qui prend successivement les valeurs

x1 = 21 ; x2 = 1 - 4

1 ; x3 = 81 ; . . .; x2k = 1 - k22

1 ;

x2k+1 = 1221

+k

(fig. 30). Pour k suffisamment grand, la valeur de x2k et toutes les valeurs consquentes correspondant aux indices pairs seront aussi voisines que l'on veut de l'unit, mais la valeur x2k+1 et toutes les valeurs qui suivent correspondant aux

Fig. 29 Fig. 30

indices impairs seront aussi voisines que l'on veut de zro. Donc, la variable x ne tend pas vers une limite. Il ressort de la dfinition de la limite que si une variable tend vers une limite a, a est une grandeur constante. Mais l'expression tend vers peut s'employer galement pour caractriser un autre mode de variation d'une variable, ce qui apparat de la dfinition suivante. D f i n i t i o n 2. La variable x tend vers l'infini si pour chaque nombre positif donn M on peut indiquer une valeur de x partir de laquelle toutes les valeurs consquentes de la variable vrifient l'ingalit | x | > M. Si la variable x tend vers l'infini, on dit que c'est une variable infiniment grande et l'on crit x. E x e m p l e 3. La variable x prend les valeurs x1 = -1 ; x2 = 2; x3 = -3 ; . . . ; xn = (-1)nn ; . . . C'est une variable infiniment ande puisque pour M > 0 arbitraire toutes les valeurs de la variable partir de l'une d'entre elles sont toutes plus grandes que M en valeur absolue. La variable x tend vers plus l'infini ou x + si pour M > 0 arbitraire, partir d'une certaine valeur, toutes les valeurs consquentes de la variable vrifient l'ingalit M < x. Un exemple de variable tendant vers plus l'infini est donn par la variable x qui prend les valeurs x1 = 1, x2 = 2, . . ., xn = n, . . .

37La variable x tend vers moins l'infini ou x - si pour M > 0 arbitraire, partir d'une certaine valeur, toutes les valeurs suivantes de la variable vrifient l'ingalit x < - M. Ainsi, par exemple, la variable qui prend les valeurs x1 = -1, x2 = -2, . . ., xn = -n, . ., tend vers moins l'infini.

2. Limite d'une fonction Dans ce paragraphe nous tudierons certains cas particuliers de variation dune fonction lorsque la variable indpendante x tend vers une limite a ou vers l'infini. D f i n i t i o n 1. Soit y = f (x) une fonction dfinie dans un voisinage du point a ou en certains points de ce voisinage. La fonction y = f (x) tend vers la limite b (y b) lorsque x tend vers a (x a), si pour chaque nombre positif , aussi petit quil soit, on peut indiquer un nombre positif tel que pour tous les x diffrents de a et vrifiant l'ingalit *)

| x a | < l' ingalit

| f(x) a | < est satisfaite. Si b est la limite de la fonction f (x) quand x a. on crit alors

axlim = b Fig. 31

ou f (x) b quand x a. Le fait que f (x) b quand x a se traduit sur le graphique de la fonction y = f (x) de la manire suivante (fig. 31) ; puisque de l'ingalit | x - a | < dcoule l'ingalit | f (x) - b | < , alors les points M du graphique de la fonction y = f (x), correspondant tous les points x dont la distance jusqu'au point a est infrieure , sont contenus dans une bande de largeur 2 dlimite par les droites y = b - et y = b + . * Dans le cas rsent, nous avons en vue les valeurs de x vrifiant l'ingalit | x - a | < et appartenant au domaine de dfinition de la fonction. Par la suite nous rencontrerons frquemment des cas analogues. Ainsi, quand nous tudierons le comportement dune fonction pour x , il peut arriver que la fonction soit dfinie pour les valeurs entires et positives de x. Par consquent, dansce cas x , en prenant des valeurs positives entires. Par la suite, nous supposerons que cette condition est toujours ralise.

38

R e m a r q u e 1. On peut galement dfinir la limite de la fonction f (x), quand x a, de la manire suivante. Soit une variable x prenant les valeurs telles que (ordonne de sorte que) si

| x* - a | >| x** - a |, alors x** est une valeur consquente et x* une valeur antcdente. Si

***et ** * xxaxax

40Exemple 3. Montrons que

11lim =

+ x

xx

ou que 111lim =

+ xx Il faut dmontrer que, quel que soit e, lingalit sera satisfaite ds que | x | > N, o N est dfini par le choix de . Lingalit (3) est quivalente lingalit suivante : < 1

x, qui est satisfaite si lon a

Cela signifie que 11lim11lim =+=

+ xx

x xx(fig. 33)

Fig. 33

La signification des symboles x+ et x- rend vidente celle des expressions f(x) tend vers b quand x + et f(x) tend vers b quand x - , que lon note symboliquement par :

bxfx

=+ )(lim ; bxfx = )(lim

3. Fonctions qui tendent vers linfini. Fonctions bornes. Nous avons tudi le cas o la fonction f(x) tend vers certaine limites b quand xa ou x. Considrons maintenat le cas o la fonction y = f(x) tend vers linfini quand la variable x varie dune certaine manire. D f i n i t i o n 1. La fonction f(x) tend vers linfini quand xa, autrement dit f(x) est infiniment grande quand xa ; si pour chaque nombre positif ML, aussi grand quil soit, on peut trouver un nombre > 0 tel que pour toutes les valeurs de x diffrentes de a et vrifiant la condition | x a | < , lingalit | f(x) | > M est satisfaite. Si f(x) tend vers linfini quand xa , on crit :

41= )(lim xfax

o f(x) quand x a. Si f(x) tend vers linfini quand x a, en ne prenant que des valeurs positives ou que des valeurs ngatives, on crit respectivement

+= )(lim xfax et = )(lim xfax

Fig. 34 Fig. 35

E x e m p l e 1. Montrons que +== 21 )1(1limxx

. En effet, quel que soit M >

0, on a :

Mx

> 2)1(1

ds que

Mx 1)1( 2 1 ds que | x | = | x 0 | < =M1

Ici

x1 > 0 pour x < 0 et

x1 < 0 pour x > 0 (fig. 35)

Si la fonction f (x) tend vers l'infini quand x , on crit = )(lim xfx

42et, en particulier, on peut avoir

=+ )(lim xfx , = )(lim xfx =+ )(lim xfx Par exemple,

+=2lim x

x, =

3lim xx

R e m a r q u e 1. I1 peut arriver que la fonction y = f (x) ne tende ni vers une limite finie ni vers l'infini quand x a ou x . E x e m p l e 3. La fonction y = sin x est dfinie dans l'intervalle infini - < x < + mais ne tend pas vers une limite finie ou vers l'infini quand x + (fig. 36).

Fig. 36

E x e m p l e 4. La fonction y =sin x qui est dfinie pour toutes les valeurs de x, except x = 0 ne tend vers aucune limite finie ou vers l'infini quand x 0. Le graphique de cette fonction est reprsent sur la figure 37.

Fig. 37

D f i n i t i o n 2. La fonction y = f (x) est dite borne dans le domaine de dfinition de la variable x s'il existe un nombre positif M tel que pour toutes les valeurs de x appartenant ce domaine l'ingalit | f (x) | M est vrifie. Si un tel nombre n'existe pas, on dit que la fonction f (x) n'est pas borne dans ce domaine. E x e m p l e 5. La fonction y = sin x, dfinie dans l'intervalle infini - < x < +, est borne, puisque pour toutes les valeurs de x

| sin x | 1 = M. D f i n i t i o n 3. La fonction f (x) est dite borne quand xa, s'il existe un voisinage de centre a dans lequel la fonction est borne. D f i n i t i o n 4. La fonction y = f (x) est dite borne quand x, s'il existe un nombre N > 0 tel que, pour toutes les valeurs de x vrifiant l'ingalit | x | > N, la fonction f (x) est borne.

43Le thorme suivant permet de conclure si la fonction f (x), quand elle tend vers une limite, est borne ou non. T h o r m e 1. Si

axlim f (x)=b et si b est un nombre fini, la fonction f (x) est

borne quand x a.

Fig. 38

D m o n s t r a t i o n . Il vient de l'galit axlim f (x)=b que pour tout > 0, il

existe un nombre tel que dans le voisinage a - < x < a + l'ingalit | f (x) b | <

ou | f(x) | < | b | +

est satisfaite. Cela exprime justement que la fonction f (x) est borne quand x a. R e m a r q u e 2. Il dcoule de la dfinition d'une fonction borne f (x) que si

axlimf (x)= ou

xlimf (x)=,

c'est--dire si f (x) est infiniment grande, la fonction n'est pas borne. La proprit inverse n'est pas vraie : une fonction non borne peut ne pas tre infiniment grande. Par exemple, la fonction y = x sin x n'est pas borne quand x, puisque pour tout M > 0 on peut indiquer des valeurs de x telles que | x sin x | > M. Mais la fonction y = x sin x nest pas infiniment grande puisqu'elle s'annule aux points x = 0, , 2... Le graphique de la fonction y = x sin x est donn sur la figure 38. T h o r m e 2. Si

axlim f (x)=b0, la fonction y = )(1xf

est borne quand x a. D m o n s t r a t i o n . Il dcoule des conditions du thorme que quel que soit

44le nombre > 0 dans un certain voisinage du point x = a, on a | f (x) - b | <

ou || f (x) | - | b || < ou - < | f(x) | - | b | < ou | b | - < | f(x) | < | b | + . II vient de ces ingalits:

+>> 1

)( 1

1

bxfb

En prenant, par exemple, = 101 | b | nous avons

1110

)( 1

910

bxfb>>

Cela exprime que la fonction )(

1xf

est borne.

4. Infiniment petite et leurs proprits fondamentales

Dans ce paragraphe nous allons tudier lee fonctions qui tendent vers zro quand l'argument x varie d'une manire donne.

Fig. 39 Fig. 40

D f i n i t i o n . On dit que = (x) est un infiniment petit quand x a ou quand x si

axlim (x) = 0 ou xlim (x) = 0. Il dcoule de la dfinition de la limite que si, par exemple, on a

axlim (x) = 0, alors pour tout nombre positif arbitrairement petit, il existe un > 0 tel que pour tous les x satisfaisant l'ingalit | x - a < on a | (x) | < . E x e m p l e 1. La fonction = (x - 1)2 est un infiniment petit quand x1, car

1limx = 1limx (x - 1)

2 = 0 (fig. 39).

E x e m p l e 2. La fonction = x1 est un infiniment petit, quand x (fig. 40)

(voir l'exemple 3 2). Dmontrons maintenant l'importante proposition suivante.

45T h o r m e 1. Si la fonction y = f (x) peut tre mise sous la forme de la somme d'un nombre constant b et d'un infiniment petit :

y = b + , (1) alors

lim y = b (quand x a ou x ). Inversement, si lim y = b, on peut crire y = b + , o est un infiniment petit. D m o n s t r a t i o n . Il vient de l'galit (1) que | y - b | = | |. Mais quel que soit , toutes les valeurs de partir d'une certaine valeur vrifient l'ingalit | | < , et, par consquent, toutes les valeurs de y partir d'une certaine valeur vrifieront l'ingalit | y - b | < . Cela signifie justement que lim y = b. Inversement : si lim y = b, alors quel que soit pour toutes les valeurs de y partir de l'une d'elles on a | y - b | < . Posons y - b = , alors pour toutes les valeurs de partir de l'une d'elles on a | | < , et est un infiniment petit.

Fig. 41 E x e m p l e 3. Soit la fonction (fig. 41).

y = 1+ x1

alors xlim y = 1.

Inversement, si xlim y = 1, nous pouvons exprimer la variable y sous la forme

de la somme de sa valeur limite 1 et d'un infiniment petit = x1 , c'est--dire

y = 1 + . T h o r m e 2. Si = (x) tend vers zro pour x a (ou pour x) et ne s'annule pas, alors y =

1 tend vers l'infini.

D m o n s t r a t i o n . Pour tout M > 0 arbitrairement grand l'ingalit

1 > M

est vrifie ds que l'ingalit | | < M1 est satisfaite. Cette dernire ingalit

est satisfaite pour toutes les valeurs de partir de l'une d'elles, puisque (x) 0.

46T h o r m e 3. La somme algbrique d'un nombre fini d'infiniment petits

est un infiniment petit. D m o n s t r a t i o n . Nous envisagerons le cas de deux infiniment petits, car pour un nombre plus grand d'infiniment petits la dmonstration reste la mme. Soit u (x) = (x) + (x) o

axlim (x) = 0, axlim (x) = 0. Dmontrons que pour > 0 arbitrairement petit on peut trouver un > 0 tel que l'ingalit | x - a | < entrane l'ingalit | u | < . (x) tant un infiniment petit, on peut trouver un 1 tel que dans le voisinage de centre a et de rayon 1 on ait

| (x) |, mais la somme u = 1 n'en est pas un. T h o r m e 4. Le produit d'un infiniment petit = (x) par une fonction borne z = z () est un infiniment petit quand xa (ou x ). D m o n s t r a t i o n . Nous donnerons la dmonstration pour le cas o x a. On peut indiquer un nombre M > 0 tel que dans un certain voisinage du point x = a l'ingalit | z | < M est satisfaite. Pour chaque > 0, on peut trouver un

47

voisinage o l'ingalit | | < M est satisfaite. Pour tous les points du plus

petit de ces voisinages on aura

| z | < M M =.

Ce qui exprime que z est un infiniment petit. La dmonstration est identique pour le cas o x . Du thorme dmontr il dcoule : C o r o l l a i r e 1.Si lim = 0,lim = 0,alors lim = 0, car (x) est une fonction borne. Ce rsultat s'tend au cas d'un nombre fini quelconque d'infiniment petits. C o r o l l a i r e 2.Si lim = 0 et c=const, alors lim c = 0. T h o r m e 5. Le quotient

)()(

xzx d'un infiniment petit (x) et d'une fonction

dont la limite est diffrente de zro est un infiniment petit. D m o n s t r a t i o n . Soit lim (x) = 0, lim z(x)= b 0. Il dcoule du thorme 2 3 que

)(1z est une variable borne. C'est pourquoi la fraction )(

)(xzx =

(x) )(

1xz

est le produit d'un infiniment petit par une grandeur borne ; donc c'est

un infiniment petit.

5. Thormes fondamentaux sur les limites Dans ce paragraphe ainsi que dans le paragraphe prcdent nous aurons considrer des fonctions qui dpendent d'une mme variable indpendante x, et pour lesquelles x a ou x . Nous donnerons la dmonstration pour l'un de ces cas, puisque la dmonstration de l'autre cas est semblable. Parfois nous n'crirons mme plus x a ou x en sous-entendant l'un ou l'autre. T h o r m e 1. La limite de la somme algbrique de deux, de trois ou d'un nombre fini quelconque de variables est gale la somme algbrique des limites de ces variables

lim (u1 + u2 +. . . + uk) = lim u1 + lim u2 +. . . + lim uk. D m o n s t r a t i o n . Nous donnerons la dmonstration pour le cas de deux termes, puisqu'elle s'tend de la mme manire un nombre quelconque de termes. Soit lim u1 = a1, lim u2 = a2. Alors en vertu du thorme 1 4 on peut crire

u1 = a1 + 1 u2 = a2 + 2

48

o 1 et 2 sont des infiniment petits. Par consquent, u1 + u2 = (a1 + a2) +( 1 + 2)

Comme (a1 + a2) est une constante et ( 1 + 2) un infiniment petit, on peut crire toujours d'aprs le thorme 1 4 que

lim (u1 + u2) = a1 + a2 = lim u1 + lim u2.

E x e m p l e 1.

1012lim12lim1lim21lim2lim2

2=+=+=+=

+=+ xxxx

xxxxxxx

T h o r m e 2. La limite du produit de deux, de trois ou d'un nombre fini quelconque de variables est gale au produit des limites de ces variables

lim (u1 u2. . . uk = lim u1 lim u2 . . . lim uk. D m o n s t r a t i o n . Afin de ne pas alourdir la dmonstration nous considrerons le cas de deux facteurs. Soit lim u1 = a1, lim u2 = a2. Alors,

u1 = a1 + 1, u2 = a2 + 2, u1 u2 =( a1 + 1) (a2 + 2) = a1 a2 + a1 1 + a2 1 + 1 2

Le produit a1 a2 est une constante. D'aprs les thormes du 4 l'expression a1 1 + a2 1 + 1 2 est un infiniment petit. Par consquent, lim u1 u2 = a1 a2 = lim u1 lim u2. C o r o l l a i r e . On peut sortir un facteur constant de dessous le signe de la limite. En effet, si lim u1 = a1 et c est une constante on a, par consquent, lim c = c, d'o lim (c u1) = lim c lim u1 = c lim u1 c.q.f.d. E x e m p l e 2. 4085lim55lim 2

23

2=== xx xx .

T h o r m e 3. La limite du rapport de deux variables est gale au rapport des limites de ces variables si la limite du dnominateur est dif frente de zro

vu

vu

limlimlim = , si lim v0

Dmonstration. Soit lim u = a, lim v = b 0. Alors, u = a + , v = b + , o et sont des infiniment petits. Ecrivons l'identit

)( ++=

+

++=++=

bbab

ba

ba

ba

ba

ba

vu

ou

)( ++=

bbab

ba

vu

49

La fraction ba est un nombre constant et la fraction

)( +

bbab est d'aprs les

thormes 4 et 5 du 4 un infiniment petit, puisque b - a est un infiniment petit et que la limite du dnominateur b (b + ) est gale b2 0. Donc,

vu

ba

vu

limlimlim ==

E x e m p l e 3.

428

214513

2lim4

5lim3

)24(lim

)53(lim

2453lim

1

1

1

11

==+=

+=

+=

+

x

x

x

x

xx

x

x

x

xx

.

Nous avons utilis ici le thorme relatif la limite du rapport de deux fonctions, car la limite du dnominateur est diffrente de zro quand x 1. Si la limite du dnominateur est gale zro, on ne peut se servir de ce theorme. Il est ncessaire dans ce cas de faire une tude dtaille.

E x e m p l e 4. Trouver la limite 24lim

2

2

xx

x . Ici le numrateur et le

dnominateur tendent vers zro quand x 2, c'est pourquoi le thorme 3 ne peut tre appliqu. Effectuons les transformations suivantes

22

)2)(2(242 +=

+= x

xxx

xx

On est en droit d'effectuer cette transformation pour tous les x diffrents de 2. C'est pourquoi on peut crire en partant de la definition de la limite:

4)2(lim2

)2)(2(lim24lim

22

2

2=+=

+=

xxxx

xx

xxx

E x e m p 1 e 5. Trouver la limite 1

lim1 x

xx

. Quand x 1, le dnominateur tend vers zro, alors que le numrateur tend vers 1. Donc, la limite de la variable inverse est gale zro, c'est--dire

010

lim

)1(lim1lim1

11

==

=

x

x

xx

x

xx

.

Donc, nous aurons en vertu du thorme 2 du paragraphe prcdent.

= 1lim1 xx

x

T h o r m e 4. Si les fonctions u = u (x), z = z (x), v = v (x) sont lies entre elles par la double ingalit u z v et si u (x) et v (x) tendent vers une mme limite b quand x a (ou x ), alors z = z (x) tend aussi vers la mme limite quand x a (ou x).

50D m o n s t r a t i o n . Pour fixer les ides nous allons considrer la variation

de la fonction quand x a. Il vient des ingalits u z v u b z b v b ;

d'aprs les conditions du thorme bu

ax=lim , bvax =lim

Par consquent, pour tout > 0 on peut indiquer un voisinage de centre a o l'ingalit | u - b | < est satisfaite; de mme, on peut indiquer un voisinage de centre a o l'ingalit | v - b | < est aussi satisfaite. Dans le plus petit de ces voisinages les ingalits

- < u b < et < v b < seront satisfaites et, par consquent, les ingalits

- < z b < seront satisfaites, c'est--dire

bzax

=lim .

Fig. 42 T h o r m e 5. Si la fonction y ne prend pas des valeurs ngatives y 0 quand xa (ou x ) et si elle tend vers une limite b, alors ce nombre b n'est pas ngatif : b 0. D m o n s t r a t i o n . Supposons que b soit ngatif, b < 0, alors | y - b | | b |, c'est--dire que la valeur absolue de la diffrence | y - b | est plus grande que le nombre positif | b | et, par consquent, ne peut tendre vers zro quand x a. Mais alors, quand x a, y ne peut tendre vers b, ce qui est contraire l'hypohse. Donc, la supposition que b < 0 nous conduit une contradiction. Par consquent, b 0. On dmontre d'une manire analogue que si y 0, lira y 0. T h o r m e 6. Si les fonctions u = u (x) et v = v (x) satisfont l'ingalit v u et si les limites de ces fonctions existent quand x a (ou x ), alors lim v lim u. D m o n s t r a t i o n . D'aprs l'hypothse v - u 0 et en vertu du thorme 5 lim (v - u) > 0 ou lim v - lim u 0, c'est--dire lim v lim u. E x e m p l e 6. Montrons que 0sinlim

0= xx .

On voit d'aprs la figure 42 que si OA = 1, x > 0, alors AC = sin x B = x. sin x < x. Il est vident que si x < 0, | sin x | < | x |. Il vient de ces ingalits an vertu des thormes 5 et 6 que lira 0sinlim

0= xx

51

E x e m p l e 7. Montrons que 02

sinlim0

=x

x.

En effet, sin 2

sin xx < ; donc, 02

sinlim0

=x

x.

E x e m p l e 8. Montrons que 0coslim0

= xx . Remarquons que

cos x = 1 2 sin2 2x

donc, 1012

sinlim212

sin21limcoslim 20

200

===

= xxx

xxx.

Lors de l'tude des questions relatives la limite de certaines variables, on est amen rsoudre les deux problmes suivants : 1) dmontrer que la limite existe et dterminer les bornes entre lesquelles est

comprise cette limite ; 2) calculer cette limite avec le degr de prcision voulu. La rponse la premire question est bien souvent donne par le thorme suivant. T h o r m e 7. Si la variable v est croissante, c'est--dire si toutes ses valeurs consquentes sont plus grandes que ses valeurs antcdentes, et si elle est borne, c'est--dire v < M, alors cette variable a une limite lim v = a, o a M. On peut noncer un thorme analogue pour les variables dcroissantes bornes. Nous ne donnons pas ici la dmonstration de ce thorme, car elle exige l'application de la thorie des nombres rels que nous n'avons pas dveloppe dans ce livre. Dans les deux paragraphes suivants, nous calculerons les limites de deux fonctions ayant une trs large application en analyse mathmatique.

6. Limite de la fonction x

xsin

quand x . 0 Cette fonction n'est pas dfinie pour x = 0, puisque le numrateur et le dnominateur de la fraction s'annulent en ce point. Calculons la limite de cette fonction lorsque x 0. Considrons la circonfrence de rayon 1 (fig. 43). Fig. 43

52

Dsignons par x l'angle au centre MOB ; nous avons 0 < x < 2 . Il vient

immdiatement de la figure 43 surface du triangle MOA<

54En effectuant certaines transformations algbriques videntes, nous trouvons

K+

+

++=

+nnnn

n 2111321

11121

11111

+ nn

nnn112111

211 KKK (2)

On voit de cette dernire galit que la grandeur variable n

n

+ 11 est une variable croissante quand n crot. En effet, quand on passe de la valeur n la valeur n + 1, chaque terme de cette somme augmente

,1

1121

11121

1

+

56

D m o n s t r a t i o n . Nous avons prouv que n

n

+ 11 e quand n tend vers l'infini en prenant des valeurs positives entires. Supposons maintenant que x en prenant des valeurs fractionnaires ou ngatives. 1) Soit x +. Chaque valeur de x est comprise entre deux nombres positifs entiers

n x < n + 1. Dans ce cas nous aurons les ingalits suivantes

1111+> nxn ,

1111111 ++>++ nxn ,

nxn

nxn

++>

+>

+

1111111 .

Si x -, il est vident que n . Calculons la limite des variables entre lesquelles est comprise l'expression

x

x

+ 11

eennnnn n

n

n

n

n

n

n==

+

+=

+

+=

+ +++

+

+ 111lim11lim1111lim11lim

1

,

ee

n

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n==

++

++=

++

++=

+++

+

+

+

++ 11

11lim

111lim

111

111

lim1

11lim

11

,

donc (d'aprs le thorme 4 5)

ex

x

x=

++

11lim

2) Soit x . Introduisons une nouvelle variable t = -(x + 1) ou x = -( t + 1 ) .Quand t +, on a x -. On peut crire

=

+=

+=

+=

++

+

+

+

111 1lim1

lim1

11lim11limt

t

t

t

t

t

x

x tt

tt

tx

eettt

t

t

t

t==

+

+=

+ +

+

+ 11111lim11lim

1

.

57

Le thorme est dmontr. Le graphique de la fonction x

xy

+= 11 est trac

sur la figure 45.

Fig. 45

Si l'on pose x1 = dans l'galit (4), on a 0 (mais 0) x quand x et

l'on a

e=+ 1

0)1(lim

E x e m p 1 e s .

1) eennnnn n

n

n

n

n

n

n==

+

+=

+

+=

+

+

111lim11lim1111lim11lim

555

2) =

+

+

+=

+ xxx

n

n

n xxxx111111lim11lim

3

311lim11lim11lim eeeexxx

x

n

x

n

x

n==

+

+

+=

3) 22

11lim21lim eyx

y

y

n

n=

+=

+ .

4) =

+=

+=

+ +

+

+

433 41lim1

41lim13lim

y

y

x

x

x

x yxx

xx

444

141lim41lim eeyy y

y

y==

+

+ .

58R e m a r q u e . La fonction exponentielle de base e,

y = ex,

joue un rle particulirement important dans la suite du cours de mathmatiques. Cette fonction est dune grande importance lors de l'tude de divers phnomnes en mcanique (thorie des oscillations), en lectrotechnique et en radiotechnique, en radiochimie, etc. Les graphiques de la fonction exponentielle y = ex et de la fonction exponentielle y = e-x sont reprsents sur la fig. 46.

8. Logarithmes npriens Nous avons dfini au 8 du chapitre 1 la fonction logarithmique y= loga x. Le nombre a est appel base du logarithme. Si a = 10, y est appel le logarithme dcimal du nombre x que l' on dsigne par la notation y = log x. On connat les tables des logarithmes dcimaux depuis le cours de l'enseignement secondaire ; ces tables sont appeles tables de Briggs, du nom du savant anglais Briggs (1556-1630).

Fig. 46 On appelle logarithmes naturels ou logarithmes npriens les logarithmes dont la base est le nombre e = 2,71828. . ., du nom de l'un des premiers inventeurs des tables de logarithmes, le mathmaticien Neper (1550-1617). Donc, si ey = x, y est dit le logarithme naturel du nombre x. On crit alors y = Log x au lieu de y = loge x. Les graphiques des fonctions y = Log x et y = log x sont donns sur la figure 47. Etablissons maintenant la relation qui existe entre les logarithmes dcimaux et naturels d'un mme nombre x. Soit y = log x ou x = 10y. Prenons le logarithme de base e des deux membres de cette dernire galit.

Nous trouvons Log x = y Log 10, d'o y =10 Log

1 Log x. En remplaant y par

sa valeur on a log x =10 Log

1 Log x,

59Ainsi, si l'on connat le logarithme naturel du nombre x, on obtient son logarithme dcimal en multipliant le logarithme naturel

Fig. 47

de x par le facteur M = 10 Log

1 0,434294 qui est indpendant du nombre x. Le nombre M est appel module de transition des logarithmes naturels aux logarithmes dcimaux log x = M Log x. En posant dans cette galit x = e on trouve la valeur du nombre M exprime l'aide des logarithmes dcimaux

log e = M (Log e = 1).

Les logarithmes naturels s' expriment l'aide des logarithmes dcimaux par la formule

Log x =M1 log x

o

M1 2,302585.

R e m a r q u e . Pour calculer les logarithmes naturels des nombres il existe des tables spciales (par exemple, cf. I. Bronstein et K. Smendiaiev, Aide-mmoire de mathmatiques, Phyzmathguiz, 1967) .

9. Continuit des fonctions Soit y = f (x) une fonction dfinie pour la valeur xo et dans un certain voisinage de centre xo. Soit yo = f (xo). Si on donne la variable x un accroissement x positif ou ngatif (cela na d'ailleurs aucune importance), elle devient xo + x, et la fonction y subit galement un accroissement y. La nouvelle valeur de la fonction est yo + y = f (xo + x) (fig. 48). L'accroissement de la fonction est donn par la formule

60y = f (xo + x) - f (xo).

D f i n i t i o n 1. La fonction y = f (x) est dite continue pour la valeur x = xo (ou au point xo) si elle est dfinie dans un certain voisinage du point xo (et

galement au point xo) et si 0lim

0= yx (1)

ou, ce qui revient au mme, [ ] 0)()(lim 000 =+ xfxxfx . (2) La condition de continuit (2) peut aussi s'crire

)()(lim 000xfxxf

x=+

ou )()(lim 0

0

xfxfxx

= (3) Fig. 48

mais xo = x

xx 0lim

Par consquent, l'galit (9) peut s'crire

00

)(lim)(limxxxxxfxf

= ), (4)

autrement dit, pour trouver la limite d'une fonction continue quand x xo, il suffit de remplacer dans l'expression de la fonction l'argument x par sa valeur xo. Gomtriquement la continuit d'une fonction en un point donn signifie que la diffrence des ordonnes du graphique de la fonction y = f (x) aux points xo + x et xo est arbitrairement petite en valeur absolue ds que | x | est suffisamment petit. E x e m p l e 1. Prouvons que la fonction y = x2 est continue en tout point xo. En effet,

200

200 )( , xxyyxy +=+=

20

20

20 2)( xxxxxxy +=+=

0limlimlim2)2(limlim0000

2000

=+=+= xxxxxxxy xxxxx indpendamment de la manire dont x tend vers zro (v. fig. 49, a, b). E x e m p l e 2. Montrons que la fonction y = sin x est continue en tout point xo. En effet,

yo = sin xo, yo + y = sin (xo + x), y =sin (xo + x) sin xo =2 sin

+

2cos

2 0xxx .

61

Nous avons dmontr que 02

sinlim0

=x

x (exemple 7 5). La fonction

+2

cos 0xx est borne. Donc,

0lim0

= yx . De faon analogue on pourrait, en considrant sparment chaque fonction lmentaire, dmontrer que chaque fonction lmentaire principale est continue en chaque point, o elle est dfinie. Dmontrons enfin le thorme suivant.

Fig. 49

T h o r m e 1. Si les fonctions f1 (x) et f2 (x) sont continues au point xo, la somme (x) = f1 (x) + f2 (x) est aussi une fonction continue au point xo. D m o n s t r a t i o n . Comme f1 (x) et f2 (x) sont continues, nous pouvons crire en vertu de l'galit (3)

)()(lim 0110

xfxfxx

= , )()(lim 0220 xfxfxx = En vertu du thorme 1 sur les limites nous avons [ ] =+=+= )(lim)(lim)()(lim)(lim 2121 0000 xfxfxfxfx xxxxxxxx

)()()( 00201 xxfxf =+= Ainsi la somme (x) = f1 (x) + f2 (x) est une fonction continue. Le thorme est dmontr. Notons la consquence immdiate que le thorme. est valable pour tout nombre fini de termes. En nous basant sur les proprits des limites nous pouvons dmontrer galement les thormes suivants a) Le produit de deux fonctions continues est une fonction continue. b) Le quotient de deux f onctions continues est une fonction continue si au point considr le dnominateur ne s'annule pas.

62c) Si u = (x) est continue pour x = xo, et f (u) est continue au point uo =

(xo), alors la fonction compose f [ (x)] est continue au point xo. Ces thormes nous permettent de dmontrer le thorme suivant. T h o r m e 2. Toute fonction lmentaire est continue en chaque point o elle est dfinie *). E x e m p l e 3. La fonction y = x2 est continue en tout point xo et par suite

93lim ,lim 223

20

2

0

=== xxx xxx E x e m p l e 4. La fonction y = sin x est continue en tout point et par suite

22

4sinsinlim

4

==x

x

E x e m p l e 5. La fonction y = ex est continue en tout point et par suite ax

axee =lim

Exemple 6.

+=+=+ xxxx xxxxx 1

000)1( Loglim)1( Log1lim)1( Loglim

or ex xx

=+1

0)1( Loglim ; la fonction Log z est continue pour z > 0 et, par

consquent, pour z = e, on a

1 Log)1(limLog)1( Loglim11

00

==

+=

+ exx xxxxxx .

D f i n i t i o n 2. Une fonction y = f (x) continue en tout point de l'intervalle (a, b), o a < b, est dite continue dans cet intervalle. Si la fonction est dfinie pour x = a et si )()(lim

0afxf

ax=+ , on dit que la

fonction f (x) est continue droite au point x = a. Si )()(lim0

bfxfbx

= , on dit qu'elle est continue gauche au point x = b. Si la fonction f (x) est continue en chaque point de l'intervalle (a, b) ainsi qu'aux extrmits de cet intervalle, on dit que la fonction f (x) est continue dans l'intervalle ferm ou sur le segment [a, b]. E x e m p l e 7. La fonction y = x2 est continue dans tout intervalle ferm [a, b], ce qui dcoule directement de l'exemple 1. * Cette question est traite en dtail dans l'ouvrage de G. Fikhtengoltz Fondements de lanalyse mathmatique t. I, Phyzmathguiz, 1968.

63Si l'une des conditions qu'exige la continuit n'est pas remplie, c'est--dire que la fonction f (x) n'est pas dfinie au point x = xo soit que la limite )(lim

0

xfxx

n'existe pas en ce point, soit encore que )(lim0

xfxx f (xo) quand x tend

arbitrairement vers xo quoique les expressions gauche et droite de l'ingalit existent, la fonction y = f (x) est dite discontinue au point x = xo. Dans ce cas le point x = xo est dit point de discontinuit de la fonction.

E x e m p l e 8. La fonction x

y 1= est discontinue au point x = 0. En effet, pour x = 0, la fonction n'est pas dfinie :

+=+ xx1lim

00 ; = xx

1lim00

On voit aisment que cette fonction est continue pour toute valeur de x 0.

Fig. 50 Fig. 51

E x e m p l e 9. La fonction y = x1

2 est discontinue au point x = 0. En effet,

=+ xx1

002lim , 02lim

1

00= xx . Pour x = 0 la fonction n'est pas dfinie (fig. 50).

E x e m p l e 10. Considrons la fonction f (x) = x

x . Pour x < 0, x

x = - 1 ;

pour x > 0, x

x =1. Donc,

1

lim)(lim0000

== xxxf

xx ; ;1

lim)(lim

0000== ++ x

xxfxx

pour x = 0 la fonction n'est pas dfinie. Ainsi, nous avons prouv que la

fonction f (x)= x

x est discontinue au point x = 0 (fig. 51).

64

E x e m p l e 11. La fonction y = sin x1 , tudie dans l'exemple 4 3, est

discontinue pour x = 0. D f i n i t i o n 3. Si la fonction f (x) est telle que les limites

)0()(lim 000+=+ xfxfxx et )0()(lim 000 = xfxfxx existent et sont finies mais

que )(lim)(lim00 00

xfxfxxxx + ou que la valeur de la fonction f (x) n'est pas

dtermine au point x = xo, le point x = xo est appel point de discontinuit de premire espce. (Par exemple, le point x = 0 est un point de discontinuit de premire espce pour la fonction de l'exemple 10.)

10. Proprits des fonctions continues Dans ce paragraphe nous exposerons certaines proprits des fonctions continues sur un segment. Ces proprits seront nonces sous forme de thormes sans dmonstration. T h o r m e 1. Si la fonction y = f (x) est continue sur un segment [a, b] (a x b), alors il existe au moins un point x = x1 tel que la valeur de la fonction en

ce point satisfait l'ingalit f (x1) f (x) ,

o x est un autre point quelconque de ce segment ; de mme, il existe au moins un point x2 tel que la valeur de la fonction en ce point satisfait l'ingalit

f (x2) f (x) ,

Fig. 52 Nous appellerons f (x1) la plus grande valeur de la fonction y = f (x) sur le segment [a, b] et f (x2) la plus petite valeur de la fonction f (x) sur ce segment. On peut alors noncer ce thorme comme suit : Toute fonction continue sur le segment a x b atteint au moins une fois sur ce segment sa plus grande valeur M et sa plus petite valeur m. La signification de ce thorme est clairement illustre par la figure 52. R e m a r q u e . Le thorme nonc n'est plus vrai si la fonction est donne dans un intervalle ouvert. Ainsi, par exemple, pour la fonction y = x, donne dans l'intervalle 0 < x < 1, il n existe pas de plus grande ou de plus petite valeur. En effet, il n'existe pas de plus grande et de plus petite valeur pour la variable x dans cet intervalle. (Il n'existe pas de point le plus gauche, car quel que soit le point x* choisi on peut toujours indiquer un point plus gauche, par exemple le

65

point 2*x . De mme, il n'existe pas de point le plus droite, et c'est

pourquoi il ne peut exister ni de plus grande ni de plus petite valeur pour la fonction y = x.) T h o r m e 2. Si la fonction y = f (x) est continue sur le segment [a, b] et si ses valeurs aux extrmits de ce segment sont de signes contraires, il existe alors au moins un point x = c entre les points a et b tel que la fonction s'annule en ce point:

f (c) = 0, a < c < b. L'interprtation gomtrique de ce thorme est trs simple. Le graphique de la fonction continue y = f (x), joignant les points M0 [a, f (a)] et M2 [b, f (b)] o f (a) < 0 et f (b) > 0 (ou f (a) > 0 et f (b) < 0), coupe l'axe Ox au moins en un point (fig. 53).

Fig. 53 Fig. 54

E x e m p l e . Soit la fonction y = x3 - 2, yx=1 = -1, yx=2 = 6. Cette fonction est continue sur le segment [1, 2]. Donc, il existe au moins un point de ce segment o la fonction y = x3 - 2 s'annule. En effet, 03 2 ==xy (fig. 54). T h o r m e 3. Soit y = f (x) une fonction dfinie et continue sur le segment