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8a SÉRIE 9oANOENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAISCaderno do AlunoVolume 1

MATEMÁTICA

MATERIAL DE APOIO AOCURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO

CADERNO DO ALUNO

MATEMÁTICAENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS

8a SÉRIE/9o ANOVOLUME 1

Nova edição

2014-2017

GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO

SECRETARIA DA EDUCAÇÃO

São Paulo

Governo do Estado de São Paulo

Governador

Geraldo Alckmin

Vice-Governador

Guilherme Afif Domingos

Secretário da Educação

Herman Voorwald

Secretário-Adjunto

João Cardoso Palma Filho

Chefe de Gabinete

Fernando Padula Novaes

Subsecretária de Articulação Regional

Rosania Morales Morroni

Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP

Silvia Andrade da Cunha Galletta

Coordenadora de Gestão da Educação Básica

Maria Elizabete da Costa

Coordenadora de Gestão de Recursos Humanos

Cleide Bauab Eid Bochixio

Coordenadora de Informação, Monitoramento e Avaliação

Educacional

Ione Cristina Ribeiro de Assunção

Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares

Ana Leonor Sala Alonso

Coordenadora de Orçamento e Finanças

Claudia Chiaroni Afuso

Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE

Barjas Negri

Caro(a) aluno(a),

Para viver no mundo atual com qualidade de vida é preciso ter cada vez mais conhecimentos, respeitar valores e desenvolver atitudes positivas em relação a si e aos outros. Os conhecimentos que a humanidade construiu ao longo do tempo é um valioso tesouro, que nos permite compreender o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decisões... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se são algumas formas de compartilhar esse tesouro. Sendo assim, este material foi elaborado especialmente para ajudar você a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos.

O objetivo das Situações de Aprendizagem deste Caderno é apresentar conhecimentos matemáticos de forma contextualizada, para que a aprendizagem seja construída como parte de sua vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas não devem ser consideradas simplesmente exercícios ou problemas a serem resolvidos com técnicas transformadas em rotinas automatizadas. Pelo contrário, muitas dessas situações podem ser vistas como ponto de partida para estudar ou aprofundar uma noção ou propriedade matemática.

Aprender exige esforço e dedicação, mas também envolve curiosidade e criatividade, que es-timulam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que você participe das aulas, observe as explicações do professor, faça anotações, exponha suas dúvidas; além disso, é importante que você não se intimide em fazer perguntas e que procure respostas aos seus questionamentos, e que também dê sua opinião.

Você estudará neste Caderno os seguintes assuntos: conjuntos numéricos, números reais, Teo-rema de Tales, Teorema de Pitágoras, potências, notação científica e ordem de grandeza, equações do 2o grau, proporcionalidade (grandezas direta e inversamente proporcionais).

Se precisar, peça ajuda ao professor, pois ele pode orientá-lo sobre o que estudar e pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informações sobre um assunto. Reserve todos os dias um horário para fazer as tarefas e rever os conteúdos, porque assim você evita que eles se acumulem. Ajude e peça ajuda aos colegas, pois partilhar ideias é fundamental para construção do conhecimento.

Aprender pode ser muito prazeroso e temos certeza de que você vai descobrir isso.

Equipe Curricular de Matemática

Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB

Secretaria da Educação do Estado de São Paulo

5

Matemática – 8a série/9o ano – Volume 1

VOCÊ APRENDEU?

1. Considere a seguinte situação: uma atividade com duas questões foi aplicada em uma tur-ma de 40 alunos. Os resultados indicaram que 20 alunos haviam acertado as duas questões, 35 acertaram a 1a questão e 25, a 2a questão.

a) Os dados do enunciado sugerem que a soma das partes é maior do que o todo: 20 35 25 80 > 40. Como podemos explicar esse fato?

b) Se 35 alunos acertaram a 1a questão e 20 acertaram as duas, quantos alunos acertaram apenas a 1a questão?

Acertaram a 1a questão

Acertaram apenas a 1a questão

Acertaram a 1a e a 2a questões

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

CONJUNTOS E NÚMEROS

Nesta Situação de Aprendizagem, você vai aprender algumas ideias relacionadas aos conjuntos que vão ajudá-lo a resolver problemas e, também, a compreender os diferentes tipos de número que fazem parte da Matemática.

6


Leitura e análise de texto

Conjuntos e diagramas

Os diagramas podem ser usados para representar os conjuntos e suas relações. Atribui-se ao famoso matemático suíço Leonhard Euler a ideia de usar diagramas para representar re-lações lógicas. O diagrama de Euler nada mais é do que uma região delimitada do plano, simbolizada por uma figura curva fechada, que representa um conjunto. Um conjunto é formado por elementos que possuem determinada propriedade. Vejamos um exemplo:

O conjunto das aves inclui animais que possuem determinadas características. Uma delas é o fato de possuir asas. O beija-flor, o tucano e a águia são aves, ou seja, são animais que possuem asas. O cavalo, por sua vez, não pertence ao conjunto das aves, pois não pos-sui asas. O diagrama a seguir representa essa situação:

c) E apenas a 2a questão?

Acertaram apenas a 2a questão

Acertaram a 1a e a 2a questões

Acertaram a 2a questão

d) Qual é o percentual de alunos que acertaram apenas uma questão nesta atividade?

Águia

Beija-flor

Tucano Cavalo

Ave

7


VOCÊ APRENDEU?

2. Com base no texto apresentado na seção Leitura e análise de texto, represente, por meio de diagra-mas, as seguintes situações:

a) Conjunto: Paulistanos

Elementos: André, Luiz e Renata nasceram na cidade de São Paulo. Júlio nasceu em Ribeirão Preto.

b) Conjunto: Alunos do Ensino Fundamental

Elementos: Patrícia, Renato e Lucas estudam na 7a série/8o ano do Ensino Fundamental; Rafael estuda na 5a série/6o ano do Ensino Fundamental; Marta, Reinaldo e Antônio estu-dam na 2a série do Ensino Médio.

c) Conjuntos: corintianos e são-paulinos

Elementos: João, Helena, Marcus e Alberto são corintianos. Diego, Laís e Alice torcem pelo São Paulo. André e Tomás não torcem para nenhum time.

8



Relações entre conjuntos

Todos os conjuntos exemplificados até este momento são representados em uma região delimitada por meio de uma curva fechada, representando determinado conjunto.

A figura a seguir mostra de forma genérica um conjunto A, constituído de todos os elementos que possuem determinada propriedade a.

yx

A

Nesse caso, o elemento x possui a propriedade a e, portanto, pertence ao conjunto A. Já o elemento y, que está fora do diagrama, não possui a propriedade a e, portanto, não pertence a A.

A relação espacial entre as figuras (sobreposição, separação, inclusão) indica também o tipo de relação existente entre os conjuntos (interseção, inclusão, exclusão). Consideremos o conjunto A formado pelos elementos que têm a propriedade a e o conjunto B formado pelos elementos que têm a propriedade b. Vejamos os principais casos e os símbolos associados:

1. Inclusão: todo a é b. Se todo elemento de A pertence a B, então A é um subcon-junto de B. Dizemos que A está contido em B, ou seja, A B.

Exemplo: todo múltiplo de 10 é um número par. Os conjuntos dos múltiplos de 10 é um subconjunto do conjunto dos números pares.

Pares

Múltiplos de 10

2. Interseção: algum a é b. Se alguns elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B, então existe interseção entre esses dois conjuntos. Os elementos da interseção possuem as propriedades de A e de B simultaneamente, ou seja, A B.

9


Exemplo: os diagramas mostram que alguns elementos do conjunto dos números ímpares são primos, como 3, 5, 7 etc. O 9 é ímpar, mas não é primo.

Ímpares Primos

3. União: a ou b. O conjunto da união entre A e B contém todos os elementos de A e de B, ou seja, A B.

Exemplo: a união dos múltiplos de 2 e dos múltiplos de 3. A interseção são os el-ementos do conjunto dos múltiplos de 6.

M(2) M(3)

4. Diferença: algum a não é b. Os elementos da diferença entre os conjuntos A e B são aqueles que pertencem a A e não pertencem a B, ou seja, A – B.

Exemplo: a figura representa os números pares que não são primos. Trata-se da diferença entre os conjuntos. Pares – Primos = {0, 4, 6, 8, 10, ...}.

Pares Primos

5. Complementar: caso particular da diferença entre dois conjuntos, quando um deles é subconjunto do outro. Contém os elementos de A que não pertencem ao subconjunto B.

CB = A – BA

Exemplo: seja A o conjunto dos múltiplos de 5 e B o conjunto dos múltiplos de 10, o conjunto complementar dos múltiplos de 10 em relação aos múltiplos de 5 são 5, 15, 25, 35, 45,...

M(2) M(3) = M(6)

10


M(5)

M(10)

6. Conjuntos mutuamente exclusivos ou disjuntos: nenhum a é b. Se nenhum elemento de um conjunto A pertence a outro conjunto B, então esses conjuntos são mu-tuamente exclusivos. A interseção entre os dois conjuntos é vazia, ou seja, A B = .

Exemplo: os conjuntos dos números pares e dos números ímpares são mutuamente exclusivos, pois não possuem elemento em comum.

Pares Ímpares

Para representarmos as relações entre dois ou mais conjuntos, podemos utilizar um número maior de diagramas. Por exemplo:

Animais

MineraisMamíferos

Os diagramas anteriores mostram que o conjunto dos mamíferos é um subconjunto do conjunto dos animais e que nenhum elemento do conjunto dos minerais pertence ao conjunto dos animais. Observando os diagramas, podemos chegar às seguintes conclusões:

todo mamífero pertence ao reino dos animais.

nem todo animal é mamífero.

nenhum mineral é animal.

11


VOCÊ APRENDEU?

3. Assinale o item que melhor representa os diagramas a seguir:

a) Conjuntos: múltiplos de 2 e múltiplos de 3.

I. M(3) – M(2)

II. M(3) M(2)

III. M(2) – M(3)

b) Conjuntos: retângulos e losangos.

I. Retângulos Losangos

II. Losangos Retângulos

III. Losangos Retângulos

c) Conjuntos: números pares e números primos.

I. Pares – Primos

II. Pares Primos

III. Pares Primos

d) Conjuntos: números pares e múltiplos de 10.

I. Pares – M(10)

II. Pares M(10)

III. M(10) Pares

e) Conjuntos: polígonos e polígonos regulares.

I. C Polígonos RegularesPolígonos

II. Polígonos Polígonos Regulares

III. Polígonos Polígonos Regulares

f ) Conjuntos: números pares e ímpares.

I. Pares – Ímpares

II. Pares Ímpares

III. Pares Ímpares

M(3)2

410

0

14

8

12 15

3

9

6M(2)

Ímpares2

4

10

0

8

1211

3

517

9

6Pares

Retângulos Losangos

24

20

0

8

12

11

3

75

6Pares Primos

2

4

08

12

2010

Pares

M(10)

Polígonos

Polígonos Regulares

12


LIÇÃO DE CASA

4. Pinte os diagramas que representam as seguintes operações com conjuntos:

a) A – B

A B

b) A B

A B

c) A B

A B

d) CB

A

A

B

e) A – (B C)

BA

C

f ) A – (B C)

BA

C

g) CUA B

U

BA

13



Diagramas e lógica

Os diagramas de Euler passaram a ser amplamente utilizados para representar conjuntos em virtude de sua facilidade de compreensão visual. Contudo, ficaram mais conhecidos como “Diagramas de Venn”, por causa da semelhança com o tipo de diagrama criado pelo filósofo britânico John Venn. Os diagramas também podem ser usados para representar argumentações lógicas. Por exemplo:

Essa estrutura de argumentação lógica é denominada silogismo e é composta de três proposições: duas premissas e uma conclusão.

Brasileiros

Mineiros

Pedro

VOCÊ APRENDEU?

5. Nas figuras seguintes, assinale o diagrama que melhor representa os argumentos dados.

a) Todas as pessoas nascidas em Curitiba (C) são paranaenses (P).

João nasceu em Curitiba.

Logo, João é paranaense.

I.

João

CP III.

P

C

João

II. C

P

João

14


b) Nenhum quadrilátero possui cinco lados.

Um quadrado é um quadrilátero.

Logo, nenhum quadrado possui cinco lados.

I.

Quadriláteros

Cinco lados

Quadrado

III.

Cinco ladosQuadriláteros

Quadrado

II.

Quadrado

Cinco ladosQuadriláteros

c) Alguns tetraedros são poliedros regulares.

Todos os tetraedros são pirâmides.

Logo, algumas pirâmides são poliedros regulares.

I. Poliedros regulares

Tetraedros Pirâmides

III.

Poliedros regulares

Pirâmides

Tetraedros

II.

Pirâmides

TetraedrosPoliedros regulares

15


Problemas, conjuntos e diagramas

6. Vamos retomar o problema inicial desta Situação de Aprendizagem para resolvê-lo por meio de

diagramas.

Uma atividade com duas questões foi aplicada em uma turma com 40 alunos.

Os resultados indicaram que 20 alunos haviam acertado as duas questões, 35 acertaram a

1a questão (Conjunto A) e 25, a 2a questão (Conjunto B).

a) Represente no diagrama a seguir o número de alunos que acertaram as duas questões.

A B

b) Represente no diagrama a seguir o número de alunos que acertaram apenas a 1a questão.

A B

c) Represente no diagrama a seguir o número de alunos que acertaram apenas a 2a questão.

A B

16


7. Uma pesquisa de mercado foi realizada para verificar a audiência de três programas de televisão. Ao todo, 1 200 famílias foram entrevistadas e obtiveram-se os seguintes resultados: 370 famílias assistem ao programa A; 300, ao programa B e 360, ao programa C. Desse total, 100 famílias assis-tem aos programas A e B; 60, aos programas B e C; 30, aos programas A e C e 20 famílias assistem aos 3 programas. Com base nesses dados, responda:

a) Famílias que assistem a três programas.

A B

C

b) Famílias que assistem a dois programas.

A B

C

c) Famílias que assistem exclusivamente a um programa.

A B

C

d) Famílias que não assistem a nenhum dos três programas.

A B

C

T

17


8. Com base no diagrama apresentado na atividade anterior, responda às seguintes perguntas:

a) Quantas famílias assistem ao programa A e não assistem ao programa C?

b) Quantas famílias assistem aos programas B e C e não assistem ao programa A?

c) Qual é o programa de maior fidelidade, ou seja, aquele cujos espectadores somente assistem a ele?

LIÇÃO DE CASA

9. Resolva o problema a seguir usando diagramas.

Uma prova com três questões foi aplicada em uma turma com 60 alunos. Os resultados ob-tidos foram os seguintes: 36 alunos acertaram a 1a questão, 31 acertaram a 2a e 25 acertaram a 3a. Além disso, verificou-se que 18 alunos acertaram a 1a e a 2a questões, 16 acertaram a 1a e a 3a questões e 13 acertaram a 2a e a 3a questões. Apenas 10 alunos acertaram as três questões.

Represente na forma de diagrama os conjuntos descritos anteriormente e responda às questões seguintes:

18


a) Quantos alunos erraram as três questões?

b) Quantos alunos acertaram a 1a ou a 2a questão?

c) Quantos alunos erraram a 3a questão?

(Coordenadoria de Admissão aos Cursos Regulares – FGV/DO-SP) – Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas (A, B e C) de um determinado produ-to apresentou os seguintes resultados: A (48%); B (45%); C (50%); A e B (18%); B e C (25%); A e C (15%); nenhuma das três, 5%.

(Dica: represente a porcentagem de entrevistados que consomem as três marcas por x e construa o diagrama com as informações dadas.)

a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas?

b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem apenas uma das três marcas?

Desafio!

19


VOCÊ APRENDEU?

Conjuntos numéricos

10. Qual diagrama representa melhor os subconjuntos dos números reais?

IN – Naturais / – Inteiros / – Racionais / r – Irracionais

a)

INr

IR

b)

IN

IR

c)

IN

IR

r

20


11. Na atividade anterior, destaque com lápis de cor o conjunto dos números irracionais.

12. Classifique em verdadeira ou falsa as expressões matemáticas a seguir. Reescreva as expressões falsas, tornando-as verdadeiras.

a) IN

b) IN

c) IR – IIr

d)

e) IIr

21


VOCÊ APRENDEU?

Números racionais e sua escrita decimal

1. Responda:

a) Qual é a fração geratriz da dízima 0,7999...?

b) Qual é o decimal obtido quando dividimos o numerador pelo denominador na fração en-contrada no item a?


A conclusão importante que decorre da atividade 1 é que tanto a dízima periódica

0,7999... quanto o decimal finito 0,8 são representações decimais de uma mesma fração: 45

.

Considerando o resultado obtido como fração geratriz de uma dízima periódica, podemos afirmar que:

Todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica.

Historicamente, o desenvolvimento da representação de racionais por uma dízima periódica teve como motivação a busca pela escrita de qualquer fração sob uma forma decimal, pois tanto o cálculo como a comparação entre frações decimais são mais simples do que entre frações ordinárias.


NÚMEROS RACIONAIS E SUA ESCRITA DECIMAL

22


2. Encontre frações que mostrem a equivalência entre os seguintes números:

a) 2,5 e 2,4999...

b) 1 e 0,999...

c) 0,32 e 0,31999...

23


3. Analise atentamente os resultados obtidos na atividade anterior e justifique a seguinte afirma-ção: “Todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica”.

4. Se todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica, será sempre possível representar um racional como uma soma de infinitas frações. Por exemplo, no caso dos racionais

45

e 76

, essas somas seriam:

45

0,8 0,7999... 710

+ 9100

+ 91 000

+ 910 000

+ ...

76

1,1666... 1 + 110

+ 6100

+ 61 000

+ 610 000

+ ...

Com base nessa mesma ideia, escreva as frações a seguir como a soma de infinitas frações:

a) 38

b) 73

24


LIÇÃO DE CASA

5. Encontre a fração geratriz de 2,3939... e mostre que ela é diferente da fração geratriz de 2,4.

(Sugestão: encontre as frações geratrizes dos dois decimais e, em seguida, transforme essas fra-ções em frações de mesmo denominador para poder compará-las.)

25



Localização de números na reta real com o uso de régua e compasso

Os gregos antigos interessavam-se por construções geométricas feitas com o uso de dois dos instrumentos geométricos mais simples de todos: a régua sem escala e o compas-so. Outros instrumentos de construção também eram utilizados na Antiguidade clássica, porém, acredita-se que o problema de encontrar os procedimentos para as construções geométricas com o uso de apenas esses dois instrumentos estaria relacionado à busca de simplicidade e elegância.

Iremos investigar a seguir alguns procedimentos com régua sem escala e compasso para localizar na reta real a maior quantidade de números que for possível. Começaremos nossa discussão apresentando um diagrama com exemplos de números de cada conjunto nu-mérico e, em seguida, tentaremos localizar na reta real (com os instrumentos permitidos) alguns dos exemplos colocados no diagrama.

0,25

0

1

3

2

– 1

– 2

– 3

– 6

2,3666...

π

1

2

1

3

IR –

IN2

3

23

24


ARITMÉTICA, ÁLGEBRA E GEOMETRIA

COM A RETA REAL

4

7

26


VOCÊ APRENDEU?

Construção dos números naturais e dos inteiros negativos

1. Partindo de uma reta ordenada com uma marcação para o zero, estabeleça uma unidade de me-dida arbitrária (1u) e, com a ajuda do compasso, marque alguns números naturais e os inteiros negativos transferindo a unidade para a reta real.

–3 –2 –1 0 1 2 3 IR

1u

Construção dos racionais não inteiros

2. Faça a construção de 12

na reta real.

(Sugestão: marque com o compasso o número 1 e, em seguida, trace a mediatriz do segmento que liga os números 0 e 1.)

0 1 IR

© C

on

exão

Ed

itori

al

27


3. Construa e localize, na reta real, com régua e compasso, o ponto correspondente ao número 0,25 = 14

.

4. Com base nas atividades anteriores, reflita sobre como seria possível construir, com régua sem

escala e compasso, o número racional – 7 8

. Registre suas conclusões.

5. Siga as orientações seguintes e localize 13

na reta real. (Observação: embora seja um pouco

trabalhoso, o procedimento de construção é vantajoso porque constitui um método geral para

a representação de qualquer racional do tipo 1q

, com q *).

28


Construção do 13

:

I. Marque D e E nos pontos correspondentes aos números reais 0 e 1 da reta.

II. Trace uma reta qualquer (diferente da reta real) passando por D, que chamaremos de reta t.

III. Na reta t, com a ajuda do compasso, marque três segmentos de mesmo comprimento a partir do ponto D (na figura, são os segmentos DA, AB e BC). O comprimento desses segmentos não precisa ser igual à unidade de medida 1u.

IV. Ligue C com E formando o triângulo DCE.

Até essa etapa, a sua construção deve ser semelhante a:

0

D

A

B

C

1

E

t

IR

29


Note que, se for possível traçar, com régua e compasso, retas paralelas à reta que passa por E e C

de forma que elas passem pelos pontos B e A, segundo o Teorema de Tales, a interseção dessas retas

com a reta real ocorrerá nos números 13

e 23

.

Para traçar a paralela s à reta EC, siga estes passos:

I. A partir de um ponto P de EC, abra o compasso até B e trace uma semicircunferência de diâmetro XZ .

II. Transfira com o compasso o segmento XB na semicircunferência para a posição indicada na

figura por ZQ ( XB e ZQ são congruentes).

III. Ligue os pontos B e Q, e trace a reta s, que será paralela à EC.

IV. Observe que a interseção de s com a reta real ocorrerá em 23

. Para traçar 13

, basta transferir com

o compasso o segmento de extremos em 23

e em 1 para a esquerda de 23

(note que o segmento

reproduzido tem medida igual a 13

u).

Agora, verifique se a sua construção corresponde à figura a seguir:

0

D

Q

Z

X

s

t

PA

B

C

1

E

2

3IR

Caso constate alguma diferença entre a sua construção e a imagem apresentada, tente rever as etapas indicadas para identificar possíveis problemas.

1

3

30


O procedimento descrito anteriormente permite a generalização da construção com régua sem

escala e compasso de qualquer racional 1q

, com q * e, consequentemente, de qualquer fração pq

,

com p e q *.

LIÇÃO DE CASA

6. Construa e localize, na reta real, com régua e compasso, o ponto correspondente ao número 0,8333... = 5

6 .

31


VOCÊ APRENDEU?

Localização de números irracionais na reta real com o uso de régua e compasso

7. Uma vez que já conhecemos um procedimento para localizar todos os racionais na reta real com régua e compasso, o próximo passo é investigar a localização dos números irracionais, por exem-plo, a construção do número 2 pode ser feita da seguinte forma:

a) Trace uma perpendicular à reta real passando pelo zero.

b) Marque 1 u na reta traçada (P) e também na reta real (Q).

c) Ligue P e Q. O segmento obtido tem medida 2u (pelo Teorema de Pitágoras).

d) Transfira com o compasso o segmento de extremos P e Q para a reta real e determine 2u sobre ela.

32


Verifique se sua construção corresponde à figura a seguir:

0 1

1 P

Q

IR

Observe que, se utilizarmos um triângulo retângulo de catetos 1u e 2 u, sua hipote-

nusa será 3 u, o que mostra que também é possível construir 3, ou seja, repetindo esse

processo, pode-se construir qualquer número irracional do tipo n, com n natural e não quadrado perfeito.

Frequentemente, os livros de Matemática apresentam a seguinte construção associada a uma espiral.

11

1

1 1

1

1

1

1

1

111

...

2

√ ___

12

√ __

2 √

__ 3

√ __

5

√ __

4

√ __

9

√ ___

13

√ ___

14

√ ___

15

√ ___

16

√ ___

17

√ ___

11 √

___ 10

√ __

8

√ __

6

√ __

7

2

33


8. Construa 24 com base na propriedade do triângulo retângulo apresentada a seguir.

B C

A

a

n m

h

bc

a) Analisando a relação anterior, qual será o valor de h se n = 1 e m = 2?

b) Se n = 1 e m = 2 , qual é o valor de h?

c) Qual seria o valor de h se n = 1 e m = 24 ?

d) Repetindo esse procedimento, quais raízes podem ser obtidas?


Acompanhe os procedimentos necessários para a construção de 24 , com régua sem escala e compasso.

1. Trace com régua e compasso os números reais 1 e 1 + .

h2 = m n

34


2

2

2

2

1 2

1 2

2. Trace a mediatriz t do segmento de extremos em 0 e para determinar M, ponto médio desse segmento.

0

1

1 M

t

IR

3. Trace uma semicircunferência de centro M e raio .

0

1

1 M

t

IR

35


4. Trace uma perpendicular à reta real passando pelo número 1 e, em seguida, marque com o ponto P sua interseção com a semicircunferência.

0

1

1 M

t

P

IR

5. Observe que o segmento de extremos em P e no número 1 tem comprimento 24 , porque é a altura de um triângulo retângulo de projeções ortogonais dos catetos sobre

a base medindo 1 e 2.

1

h

O procedimento descrito permite que se construa qualquer raiz do tipo np

, dado que p é uma potência de 2 diferente de 1, ou seja, p é igual a 2, 4, 8, 16, ..., e n natural.

2

h2 = 1 √ __

2

h = 4

√ __ 2

1 2

Este ângulo é reto porque é um ângulo

inscrito de um ângulo central de 180o.

2

2

36


LIÇÃO DE CASA

9. Construa e localize, na reta real, com régua e compasso, o número 5.

(Utilize o procedimento da espiral.)

10. Com base no que foi apresentado na seção Leitura e análise de texto, construa 54 , com régua sem escala e compasso.

(Use as relações métricas no triângulo retângulo.)

37



O micro, o macro e as potências de 10

O principal argumento para justificar o uso de uma notação na forma de potências de 10 é que ela facilita a compreensão, a comparação e a operação com números muito grandes ou muito pequenos. As informações numéricas escritas na forma decimal nem sem-pre são inteligíveis. Por exemplo: o raio do átomo de hidrogênio mede, aproximadamente, 0,000000005 cm; uma célula é formada por cerca de 2 000 000 000 000 átomos. Dificilmente somos capazes de assimilar tais informações. Escrevendo os mesmos números como potências de 10, é possível ter uma ideia da sua ordem de grandeza:

raio do átomo de hidrogênio: 5 10–9 cm;

número de átomos em uma célula: 2 1012.

Um número pode ser escrito como uma potência de 10 de diferentes formas. Para isso, basta decompô-lo em um produto por um múltiplo de 10.

1 500 1 = 150 10 = 15 100 = 1,5 1 000 = 0,15 10 000 = ...

Em notação de potência de 10, os mesmos números seriam escritos assim:

1 500 100 = 150 101 = 15 102 = 1,5 103 = 0,15 104 = ...

Ou seja, existem infinitas maneiras de expressar um número como o produto de uma potência de 10.

VOCÊ APRENDEU?

1. Escreva de quatro modos diferentes os números a seguir como potências de 10.

a) 250 =

b) 0,004 =

c) 4,73 =

d) 0,125 =

e) 25 300 =


POTÊNCIAS, NOTAÇÃO CIENTÍFICA E ORDEM DE GRANDEZA

38


2. Percepção numérica: números muito grandes ou muito pequenos costumam fugir à nossa intuição. Como intuir a magnitude de um milhão ou de um trilhão? E a magnitude de um bilionésimo? Nesta atividade, você vai verificar se sua intuição numérica é capaz de avaliar a magnitude de alguns números. Para isso, suponha que você tenha de estimar o tempo necessário para contar até deter-minado número, um número por segundo. Por exemplo, para contar até 100, são necessários 100 segundos, isto é, 1 minuto e 40 segundos.

Preencha a tabela com base nas instruções a seguir:

I. observe os números por extenso, apresentados na primeira coluna;

II. seguindo o exemplo da segunda coluna, insira os numerais de acordo com a primeira coluna;

III. na terceira coluna, indique o numeral na forma de potência de 10;

IV. na última coluna, efetue os cálculos necessários para determinar o tempo de contagem, usando uma unidade de medida apropriada (minuto, hora, mês, ano ou século).

Nome NúmeroPotência

de 10Tempo de contagem

Um 1 100 1 segundo

Mil 1 000 103

Milhão

Bilhão

Trilhão

Quatrilhão

Quintilhão

PESQUISA INDIVIDUAL

Prefixos do Sistema Internacional de Medidas

Os prefixos são usados para facilitar a medição de algumas grandezas, principalmente nas ciências. Alguns desses prefixos são bem conhecidos, como o quilo (1 000), que é usado para expressar distâncias (quilômetro = 1 000 metros), massa (quilograma = 1 000 gra-mas) ou, até mesmo, unidades de informação (quilobyte = 1 000 bytes). Outros prefixos são menos conhecidos, como os exemplos a seguir:

39


femtômetro de extensão.micrômetro.

petagramas.

equivaleram a 281 exabytes.

Faça uma pesquisa e descubra quais são os outros prefixos do Sistema Interna-cional. Preencha a tabela a seguir com o nome dos prefixos e letras correspondentes aos valores em potências de 10.

LIÇÃO DE CASA

3. Escreva os números a seguir por extenso e em notação científica:

Exemplo: 0,035 (trinta e cinco milésimos), 3,5 10 – 2

a) 7 300 000 000

b) 2 980 000 000 000 000 000

c) 0,25

d) 0,0004

e) 0,0000125

Prefixo SímboloPotência

de 10Prefixo Símbolo

Potência de 10

10-18 quilo k 103

10-15 106

10-12 109

10-9 1012

10-6 1015

10-3 1018

10-2

10-1

40


4. Transforme os dados numéricos em notação científica.

a) A população da China é aproximadamente igual a 1,3 bilhão de habitantes.

b) A Bacia Amazônica é formada pelo Rio Amazonas e seus afluentes, e ocupa uma área, de 7 045 000 km2, dos quais 4 750 000 km2 estão em território brasileiro.

c) A velocidade da luz é cerca de 300 000 km/s.

d) A espessura da folha de papel é de, aproximadamente, 0,0001 m.

VOCÊ APRENDEU?

5. Efetue as seguintes operações usando as propriedades da potenciação. Dê as respostas em notação científica.

a) 1 200 500 000 =

b) 0,00015 0,002 =

c) 450 000 ÷ 0,009 =

d) (0,0004)4 =

6. Efetue as operações a seguir e dê a resposta em notação científica.

a) 2,5 105 + 7 103 =

b) 2,5 107 – 500 104 =

c) 1,28 108 + 4 105 =

d) 7,54 107 – 3,2 106 =

41


LIÇÃO DE CASA

7. Escreva as distâncias indicadas na tabela em notação científica:

Planeta Distância média até o Sol (em km) Notação científica

Mercúrio 57 900 000

Vênus 108 200 000

Terra 149 600 000

Marte 227 900 000

Júpiter 778 300 000

Saturno 1 427 000 000

Urano 2 870 000 000

Netuno 4 497 000 000

8. Com base na tabela anterior, considere o seguinte problema: em determinado momento, Sol, Terra e Saturno formam um triângulo retângulo, com o ângulo reto na Terra. Qual é a distância entre Saturno e a Terra? (Faça um desenho para representar a situação descrita.)

42



Ordem de grandeza

Em muitas situações, quando se trabalha com medidas muito grandes ou muito pequenas, não há necessidade de conhecer com precisão todos os algarismos que compõem o número. Nesses casos, basta conhecer a potência de 10 que mais se aproxima de deter-minado valor. Tal potência é denominada ordem de grandeza do número que expressa a medida.

Exemplos:

a) O raio orbital médio do planeta Júpiter mede aproximadamente 778 547 200 km. Esse número pode ser escrito como 7,785472 108 km. Como 7 está mais próximo de 10 do que de 1, é possível arredondá-lo para 10, resultando no produto 10 108. Portanto, sua ordem de grandeza é de 109.

b) A ordem de grandeza do número 0,000031 é 10 – 5. Escrito em notação científica, temos 3,1 10–5. Nesse caso, nota-se que o 3 está mais próximo do 1 do que do 10. Portanto, arredondando o número para baixo, o resultado será 1 10–5.

Conhecendo a ordem de grandeza de diversas medidas, pode-se facilmente distinguir qual é a menor ou a maior, bastando comparar os expoentes das potências de 10. Retoman-do a tabela da atividade 7, que informa as distâncias médias dos planetas em relação ao Sol, constata-se que a distância Terra-Sol é da ordem de 108 km, enquanto a distância Júpiter-Sol é da ordem de 109 km. Em termos de ordem de grandeza, Júpiter é, aproximadamente, dez vezes mais distante do Sol que a Terra.

VOCÊ APRENDEU?

9. Dê a ordem de grandeza das seguintes medidas:

a) População mundial: aproximadamente 6,9 bilhões em 2011.

b) Massa da Terra: 5,9742 1024 kg.

43


c) Massa de um elétron: 9,11 10 – 28 g.

d) Altitude do Everest: 8 848 m.

e) Idade estimada do Universo: 13,7 bilhões de anos.


44


ALGUNS MÉTODOS PARA RESOLVER EQUAÇÕES

DE 2o GRAU

VOCÊ APRENDEU?

1. Os participantes de um festival de música decidiram que, ao final do evento, fariam uma festa de encerramento. Nessa festa, cada participante daria uma flor de presente a cada colega que participou do evento. Quantas flores serão distribuídas se o total de participantes for igual a 5? E se for igual a 6? E igual a 7?

2. Complete a tabela a seguir:

Número de participantes

Número de flores que cada um vai receber

Total de flores

3 2 3 2 = 6

4

5

6

11

x

y + 1

3. Se o total de flores distribuídas na festa for igual a 930, qual será o número de participantes?

a) 29 b) 30 c) 31 d) outro


45

4. Para responder à questão anterior, um aluno de 8a série/9o ano, aplicou seus conhecimentos algébricos e fez a seguinte reflexão:

Escreveu a expressão algébrica relativa ao problema

x(x – 1) = 930

Aplicou a propriedade distributiva x2 – x = 930

Deixou todos os termos no primeiro membro da equação, igualando-a a zero

x2 – x – 930 = 0

Para resolver essa equação, o aluno substituiu a incógnita x pelos valores das alternativas e, as-sim, descobriu a correta. Use o mesmo procedimento e, em seguida, compare o resultado com a sua resposta à atividade 3.

E se as alternativas não tivessem sido dadas, como você resolveria esse problema?

5. Traduza as seguintes situações por meio de uma equação. Em seguida, resolva cada equação e encontre a resposta para os problemas.

(Dica: desenhe as figuras e represente os lados desconhecidos por uma letra.)

a) A área de um quadrado de lado x é igual a 49 cm2. Qual é a medida do lado desse quadrado?


46

b) Um retângulo tem área igual a 242 cm2 e o seu lado maior é o dobro do menor. Qual é a medida do lado maior desse retângulo?

c) A área de um triângulo retângulo isósceles é 18 cm2. Determine as medidas de seus catetos

e de sua hipotenusa.

d) A área do retângulo representado pela figura a seguir é igual a 65 cm2. Calcule seu perímetro.

x + 8

x

e) Um canteiro na forma de um quadrado foi reduzido de modo a ser contornado por uma calçada com 2 m de largura, conforme a figura a seguir. Com isso, sua área passou a ser de 144 m2. Qual era a medida da área original desse canteiro?

2 m

144 m2


47

LIÇÃO DE CASA

6. Escreva as equações elaboradas na atividade 5 da seção Você aprendeu? na tabela a seguir. De-pois, faça as operações algébricas necessárias de tal modo que o segundo membro da equação seja igual a zero.

Item Equação utilizada Equação transformada

a) x2 = 49 x2 – 49 = 0

b)

c)

d)

e)

Quais são as principais semelhanças e diferenças que podem ser observadas entre as cinco equações obtidas?

VOCÊ APRENDEU?

7. Resolva as equações a seguir e depois verifique se os valores encontrados as satisfazem.

a) x + =4 9 b) 2 162x


48

c) x3 – 9x = 0 d) x4 – 16 = 0

8. Obtenha as raízes das equações a seguir:

a) x2 = 9 c) 3x2 = 27

b) 4x2 – 36 = 0 d) x2 – 4 = 12

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Vídeo aula A

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Vídeo aula B

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49

e) 4x2 – 25 = 0 f ) 2

=5x2 2

5

g) x2 + 1 = 0 h) 4 = x2

i) –2x2 + 7 = 0 j) x2 = 0

k) 3x2 = 0 l) x2 + 1 = 1

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50

9. Se o produto de dois fatores é zero, necessariamente um deles é igual a zero. Assim, obtenha as raízes reais das seguintes equações:

a) (x + 2) (x – 6) = 0 b) – –x+( )3 2x ( )1

20=⋅

c) –x2 + 4x = 0 d) x2 + x = 0

e) (x – 3) (2x – 10) = 0

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Vídeo aula A

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51

LIÇÃO DE CASA

10. Obtenha as raízes reais das equações a seguir:

a) x2 – 9 = 27 b) (x + 7) (–x + 11) = 0

c) 2x2 + 1 = 0 d) 3x2 – 12x = 0

e) 5x 2 – 125 = 0


52

Considere o seguinte problema:

“A área de um quadrado acrescida de 8 vezes o seu lado é igual a 65. Qual é a medida do lado desse quadrado?”

Na Álgebra moderna, esse problema pode ser traduzido pela seguinte expressão algé-brica: x2 + 8x = 65. Resolvendo a equação, podemos obter a solução do problema.

Antigamente, contudo, os matemáticos não dispunham das mesmas ferramentas da Álgebra moderna. Usavam, então, outras estratégias para resolver problemas desse tipo. Uma delas foi desenvolvida pelo matemático árabe Al-Khowarizmi, que viveu em Bagdá no século IX.

O método desenvolvido por ele compreendia os seguintes passos:

I. As expressões x2 e 8x são interpretadas como as áreas de um quadrado e de um retângulo. A solução do problema é, então, a medida do lado do quadrado:

x

x xmais igual a 65

8

8xx2

x2 + 8x = 65

II. O retângulo é dividido em dois retângulos de mesma área. Logo, a equação seria interpretada da seguinte maneira:

x

x x

4 4

4x 4xx2 mais igual a 65

x2 + 2 4x = 65



53

III. Cada retângulo é arranjado de modo que fiquem justapostos aos dois lados do quadrado. Com essa composição, a área da figura continua sendo 65.

x

x

4

4

4x

4xx2

IV. Para completar o quadrado, acrescentava-se um quadrado no canto da figura anterior. A medida do lado desse quadrado é a mesma do lado conhecido do retângulo, ou seja, 4. Assim, a área do novo quadrado é 4 4 = 16. Com esse método, “completava-se um quadrado perfeito” de lado x + 4 e com área igual a 65 + 16 = 81.

x

x

4

4

4

44x 16

4xx2

x2 + 2 4x + 16 = 65 + 16 ou (x + 4)2 = 81

V. Se a nova área é 81, então a medida do lado do novo quadrado será 81 9. Assim, o lado do quadrado corresponde a x + 4 = 9, portanto, x = 5 é a solução.

VOCÊ APRENDEU?

11. Resolva o problema a seguir usando o método desenvolvido por Al-Khowarizmi, apresentado na seção Leitura e análise de texto. Desenhe as figuras e escreva as equações equivalentes a cada etapa no espaço a seguir.

“A área de um quadrado acrescida de 12 vezes o seu lado é igual a 13. Qual é a medida do lado desse quadrado?”


54


55

LIÇÃO DE CASA

12. Encontre as raízes das equações de 2o grau aplicando o método de “completamento do quadrado” desenvolvido por Al-Khowarizmi.

(Observação: desenhe a figura do quadrado que representa a solução de cada equação.)

a) x2 + 20x = 300

b) x2 + 5x = 6


56

c) x2 + 2x + 1 = 0

VOCÊ APRENDEU?

13. Quais dos seguintes trinômios referem-se a quadrados perfeitos? Escreva-os na forma fatorada.

a) x2 + 4x + 4 b) x2 – 6x + 9

c) 4x2 + 12x + 9 d) 25x2 + 100x + 100


57

e) x2 – x + 1

14. Encontre o termo que falta para que o trinômio seja um quadrado perfeito:

a) x2 + 18x +

b) 9x2 + x + 4

c) x2 – 20x +

d) 4x2 – x + 49

e) x2 – 30x + 25

15. Resolva as seguintes equações de 2o grau.

(Dica: use a forma fatorada do trinômio quadrado perfeito.)

a) x2 – 6x + 9 = 0 c) x2 – 4x + 4 = 0

(x – 3)2 = 0.

Logo, x = 3.

b) x2 + 12x + 36 = 0 d) x2 + x + 1 __ 4 = 0


58

16. Descubra dois números cuja soma e produto sejam, respectivamente, iguais a:

a) 7 e 12 d) 10 e –24

+ =

. =

+ =

. =

b) 11 e 24 e) –13 e 40

+ =

. =

+ =

. =

c) 11 e –12 f ) –6 e –40

+ =

. =

+ =

. =

17. Use a ideia da soma e do produto e fatore os trinômios de 2o grau conforme o exemplo a seguir:

a) x2 + 17x + 30

I. Descobrir dois números cuja soma seja 17 e cujo produto seja 30: 2 e 15.

II. Fatorar o trinômio x2 + 17x + 30 : (x + 2) (x + 15).

III. Verificar se o produto obtido corresponde ao trinômio original:

x2 + 15x + 2x + 30 = x2 + 17x + 30.

b) x2 – 12x + 32

c) x2 – 7x – 60

d) x2 – 4x – 60


59

18. Resolva as equações a seguir usando a fatoração de 2o grau (método da soma e do produto):

a) x2 – 2x – 15 = 0

Fatorando o trinômio, obtemos (x – 5) (x + 3) = 0

Logo, x = 5 ou x = – 3.

b) x2 + 7x + 12 = 0

c) x2 – 12x + 36 = 0

d) x2 + 5x – 36 = 0

e) x2 – 13x + 36 = 0


60

VOCÊ APRENDEU?

19. Ao preparar uma atividade para seus alunos, um professor queria escrever uma equação de 2o grau cujas raízes fossem os números 8 e 9. Ele procedeu da seguinte maneira:

(x – 8) (x – 9) = 0 é uma equação cujas raízes são 8 e 9. Aplicando a propriedade

distributiva, obtemos: x2 – 9x – 8x + 72 = 0, ou seja, x2 – 17x + 72 = 0

Assim, o professor obteve uma equação de 2o grau, na forma ax2 + bx + c = 0, com as raízes desejadas.

Escreva equações de 2o grau que tenham como raízes os números a seguir:

a) –5 e 3 d) – 1 __ 2 e 2 __

3

b) 4 e 12 e) 0 e 12

c) –2 e –2,5 f ) 5 e –5


61

20. Resolva as equações a seguir usando a fórmula de Bhaskara: x = – b ± ® _______

b2 – 4ac _____________ 2a .

Lembre-se de que, para aplicá-la, a equação deve estar na forma ax2 + bx + c = 0.

a) x2 + 2x – 3 = 0 d) 2x2 + x = 1

b) 3x2 + 5x + 2 = 0 e) 3x2 – 2x + 1 = 0

c) 7x – x2 – 6 = 0 f ) 4x2 + 12x + 9 = 0

BOOK_MAT-SPFE-2014_8s_CAA_vol1.indb 61 13/11/13 13:43


62

21. Discuta com seus colegas a afirmação a seguir e registre suas conclusões.

“Dependendo do valor da expressão b2 – 4ac, uma equação de 2o grau pode admitir duas raízes reais distintas, duas raízes reais idênticas (uma raiz dupla), ou não admitir raízes reais.”

LIÇÃO DE CASA

22. Resolva as equações a seguir utilizando o método que julgar mais apropriado. Lembre-se de que uma equação de 2o grau pode ter duas raízes reais distintas, uma raiz real dupla ou nenhuma raiz real.

a) x2 – 4x + 4 = 0

b) y2 + y + 1 = 0


63

c) x2 = 8x – 15

d) y + 2y2 = 4

23. Justifique o fato de as quatro equações a seguir terem as mesmas raízes:

– x2 + 2x + 3 = 0

x2 – 2x – 3 = 0

–10x2 + 20x + 30 = 0

–0,5x2 + x + 1,5 = 0


64

VOCÊ APRENDEU?

24. Desenvolvendo-se algebricamente as equações a seguir, é possível obter equações de 2o grau. Utilize essa estratégia para resolvê-las.

a) x

x

+=

5

3

2

b) 10

1

2 9

2x x x+= +

+

c) 10241x2 –

=21x –

+


65


EQUAÇÕES DE 2o GRAU NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS


A Índia foi palco de grande desenvolvimento matemático entre os séculos VII e XII. Embora não haja evidências históricas que associem a fórmula para resolução de uma equa ção de 2o grau à figura do matemático hindu Bhaskara, o povo hindu em geral deu valiosas contribuições no campo das ideias matemáticas.

Relevantes contribuições no campo das equações também foram dadas pelos árabes e babilônios. As atividades apresentadas a seguir resgatam modelos de problemas que es-ses povos criaram para aplicar e registrar seus conhecimentos sobre equações quadráticas. Alguns desses modelos são adaptações do livro Lilavati, escrito por Bhaskara.

VOCÊ APRENDEU?

1. Responda às seguintes questões:

a) O quadrado da oitava parte de um bando de macacos saltitava em um bosque divertindo-se com a brincadeira, enquanto os 12 restantes tagarelavam no alto de uma colina. Quantos macacos constituem o bando?

b) Em ambas as margens de um rio existem duas palmeiras, uma em frente à outra. A altura de uma é 30 côvados; a da outra, 20. A distância entre seus troncos é de 50 côvados. Na copa de cada palmeira está um pássaro. Subitamente os dois pássaros descobrem um peixe que aparece na superfície da água. Os pássaros lançam-se sobre ele e o alcançam no mesmo instante. Qual é a distância entre o tronco da palmeira maior e o peixe?


66

A situação está ilustrada na figura a seguir.

c) Adicionei sete vezes o lado de um quadrado a onze vezes a sua área e o resultado foi 6,25. Qual é a medida do lado do quadrado?

30

20

50 – xx

© C

on

exão

Ed

itori

al


67

2. Perguntaram a um professor de Matemática sobre o número de pessoas que o acompanharam na visita a uma exposição. Como resposta, o professor criou um problema, explicando que todas as pessoas que o acompanharam, ao se encontrarem, cumprimentaram-se apertando as mãos e que, assim, ele observou 66 cumprimentos. Quantas pessoas acompanharam o professor?

3. Mostre que não existem dois números reais tais que sua soma seja igual a 5 e seu produto igual a 10.

4. Considere a equação de 2o grau x2 + bx + 9 = 0, sendo b um número real.

a) Substitua b por 10 e calcule as raízes da equação.


68

b) Determine um valor de b para o qual a equação possua duas raízes reais e iguais (pode-se dizer também uma raiz real dupla).

c) Determine um valor de b para o qual a equação não possua raízes reais.

5. A diagonal de um polígono convexo é o segmento que une dois vértices não consecutivos. Por exemplo: na figura a seguir, os vértices C, D, E, F e G não são consecutivos ao vértice A.

A

B

H

C

D

E

F

G


69

Com base nessa definição:

a) Quantas diagonais tem um retângulo? E um pentágono?

b) Complete a tabela apresentada a seguir:

Número de lados de um polígono

Número de diagonais de um polígono

3 0

4 2

5 5

6

7

...

n

c) Qual é o número de diagonais de um polígono com 15 vértices?

d) Sabendo que um polígono tem 44 diagonais, quantos lados tem esse polígono?


70

e) Utilizando seus conhecimentos sobre equações de 2o grau, mostre que não existe um polí-gono com exatamente 42 diagonais.

LIÇÃO DE CASA

6. O projeto de um jardim retangular prevê que se coloquem pedras ornamentais, formando com o jardim uma área maior, também retangular. Na figura a seguir, a região cinza representa o lugar onde as pedras deverão ser colocadas.

x 15 m

6 m

x

Sabendo que a área ocupada pelas pedras é de 46 m2, calcule a medida x, em metros.


71

7. Em uma peça retangular de tecido, parcialmente representada na figura a seguir, o número de fios de linha vermelha excede o número de fios de linha azul em 5, sendo que o total de pontos de cruzamento entre as linhas azuis e vermelhas é igual a 6 800. Calcule o número de fios de linhas azul e vermelha usados na confecção desse tecido.

fios de linha vermelha

fios

de

lin

ha

azu

l

8. Um vitral retangular colorido de dimensões 2 m por 4 m será emoldurado conforme indica a figura a seguir. Sabendo que a área total da moldura é 7 m2, calcule a medida x do lado dos quadrados nos cantos da moldura, tendo em vista que os quatro cantos da moldura são quadrados idênticos.

x

x

x

xx

x

x

x4 m

2 m


72

9. Com os procedimentos já estudados para solucionar equações de 2o grau, você pode resolver também equações de outros graus. Assim, resolva as seguintes expressões algébricas:

a) x3 – 6x = 0

b) x = √——

+ 3x – 1

Desafio!


73


GRANDEZAS PROPORCIONAIS: ESTUDO

FUNCIONAL, SIGNIFICADOS E CONTEXTOS

VOCÊ APRENDEU?

1. Discuta com seus colegas a seguinte situação: Paulo foi à feira e encontrou ofertas de maçãs:

Em sua opinião, a oferta das 10 maçãs é vantajosa para Paulo? Justifique sua resposta.

2. A tabela a seguir indica como varia a grandeza y em função da grandeza x. Analise-a e, levando em conta os valores apresentados, diga se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais, ou se não são nem direta nem inversamente proporcionais. Em cada caso, escreva a expressão algébrica que relaciona x e y.

a) x 1 2 3 4 5 6 7

y 10 20 30 40 50 60 70

© C

on

exão

Ed

itori

al


74

b) x 1 2 3 4 5 6 10

y 48 24 16 12 9,6 8 4,8

c) x 1 2 3 4 5 6 7

y 3 5 7 9 11 13 15

d) x 1 2 3 4 5 6 7

y 2 8 18 32 50 72 98

LIÇÃO DE CASA

3. Refaça a tabela apresentada na atividade 2, item c da seção Você aprendeu?, e verifique se há proporcionalidade entre x e y – 1. Justifique sua resposta.

x 1 2 3 4 5 6 7

y 3 5 7 9 11 13 15

y – 1


75

4. Faça a mesma análise com o item d da atividade 2 apresentado na seção Você aprendeu?, verificando se há proporcionalidade entre os valores de y e os de x2. Justifique sua resposta.

x 1 2 3 4 5 6 7

x2

y 2 8 18 32 50 72 98

5. Em cada um dos casos apresentados a seguir, verifique se há ou não proporcionalidade direta entre as medidas das grandezas correspondentes. Se houver, expresse tal fato algebrica-mente, indicando o valor da constante de proporcionalidade, quando possível.

a) A massa m de uma pessoa é diretamente proporcional a sua idade t?

b) Quando compramos x metros de determinado fio, o preço p a pagar é diretamente propor-cional a x?

c) O preço a ser pago por uma fotocópia é diretamente proporcional ao número de cópias?


76

d) O perímetro p de um triângulo equilátero é diretamente proporcional ao seu lado de medida a?

e) A diagonal d de um quadrado é diretamente proporcional ao lado a do quadrado?

a

a

d

f ) O comprimento C de uma circunferência é diretamente proporcional ao seu raio r?

g) A área de um círculo é diretamente proporcional à medida do raio? E ao quadrado do seu raio?

VOCÊ APRENDEU?

6. Ao dirigir um automóvel, o motorista deve estar atento à distância percorrida pelo automóvel quando o freio é acionado. O código de segurança nas estradas sugere uma relação entre a distância de segurança, isto é, a distância percorrida pelo carro após acionado o sistema de freios e a velocidade do automóvel no instante da frenagem. A tabela a seguir mostra alguns valores encontrados em uma pista de testes:


77

Velocidade v (km/h)

0 10 20 30 40 50 100 120

Distância de segurança d (metros)

0 1 4 9 16 25 100 144

Observando a tabela, concluímos que d = k v2.

a) Qual é o valor da constante de proporcionalidade k ?

b) O automóvel encontra um obstáculo a uma distância de 83 m. Qual deve ser, aproximada-mente, sua velocidade máxima de modo que ele não atinja o obstáculo?

c) Qual é a distância de segurança quando a velocidade do automóvel for v = 80 km/h?

7. Para produzir x unidades de um produto A, o custo total C é composto por uma parcela fixa de mil reais e uma parcela variável, que é diretamente proporcional a x. O custo total da produção de x produtos é, então, C = 1 000 + kx, sendo C em reais. A constante k representa o aumento no custo total C quando a quantidade produzida aumenta uma unidade. Dado que, para produzir 100 unidades do produto A, o custo total é igual a R$ 1 500,00, responda às seguintes questões:

a) Qual é o valor de k na expressão C = 1 000 + kx?


78

b) Em quanto aumentará o custo total se a quantidade produzida aumentar de 579 para 580? E de 2 938 para 2 939?

c) Para qual valor de x o custo variável será igual ao custo fixo?

d) O custo total C é diretamente proporcional a x?

e) A diferença entre o custo total C e o custo fixo é diretamente proporcional a x?


79

f ) De acordo com os dados apresentados no enunciado do problema, quais valores completam a tabela?

Número de produtos (x)

Custo totalDiferença entre o

custo total e o custo fixo (custo variável)

Razão entre a diferença

calculada e x

1 1 000 + 5 1 1 005 1 005 – 1 000 5 5 ___ 1 5

2

3

4

10

8. Uma determinada revista estadunidense apresentou duas leis que representam a relação entre o número do sapato (n) e o comprimento do pé (c) de uma pessoa em polegadas. Para as mulheres, a lei é n = 3c – 22 e para os homens, é n = 3c – 25. Assim, responda:

a) Qual é o número do sapato de uma mulher cujo comprimento do pé é 13 polegadas? E o de um homem com 16 polegadas?

b) Se um homem e uma mulher possuem o pé de mesmo comprimento, qual deles calçará o sapato de número maior?


80

c) Existe alguma medida de comprimento de pé que torne o número do sapato masculino igual ao do feminino?

LIÇÃO DE CASA

9. Quando mergulhamos no mar, a pressão aumenta com a profundidade. Na superfície do mar, a pressão é resultante do peso do ar atmosférico e sua medida é igual a 1 atmosfera. Quando nos encontramos a uma profundidade x (em metros), a pressão p é uma soma de duas parcelas: a pressão ao nível do mar mais a pressão resultante do peso da água, que é diretamente propor-cional à profundidade x, ou seja, p = 1 + kx (p em atmosferas, x em metros e k, a constante de proporcionalidade). Sabendo que a cada 10 m que descemos verticalmente na água do mar, a pressão aumenta em 1 atmosfera, responda às questões a seguir:

a) Qual é o valor de k na relação p = 1 + kx?

b) Em quanto aumentará a pressão se descermos verticalmente mais 1 m na água?

c) À qual profundidade x o valor da pressão triplica em relação ao valor na superfície?


81

d) A pressão p é diretamente proporcional à profundidade?

e) A diferença entre a pressão p e a pressão na superfície é diretamente proporcional à profundidade?

VOCÊ APRENDEU?

10. A área A de uma imagem projetada é dada em função da distância d entre o projetor e a tela.

d = 1

d = 2

d = 3

a) Observe a figura e complete a tabela a seguir, que relaciona a área A da imagem com a dis-tância d do projetor:

Distância (d) 1 2 3 4 5 6 7

Área (A) (u) 1

b) Qual das expressões a seguir representa a relação entre A e d?

A = 2d ( ) A = d + 4 ( ) A = d2 ( ) A = d + 1 ( )

© C

on

exão

Ed

itori

alu


82

c) A área A da imagem é diretamente proporcional à distância d do projetor? Se sim, quanto vale a razão de proporcionalidade?

d) A área A da imagem é diretamente proporcional ao quadrado da distância d ao projetor? Se sim, quanto vale a razão de proporcionalidade?

11. Em finanças, dois conceitos muito importantes são o da oferta e o da demanda ou procura. A função oferta representa a relação entre o preço (p) necessário para que um fabricante produza certa quanti-dade (n) desses produtos. A função demanda representa a relação entre o preço (p) que os consumi-dores pagam pelo produto e a quantidade (n) de produtos produzidos. Supondo que a função oferta para determinada mercadoria seja p = 3n2 + 60n, para p dado em reais, responda:

a) Qual o preço a ser oferecido caso a produção seja de 50 mercadorias?

b) O que ocorre com o preço à medida que o número de mercadorias produzidas aumenta? Podemos dizer que o preço p é proporcional ao número de mercadorias produzidas? Cons-trua uma tabela para fundamentar suas conclusões e justifique.


83

VOCÊ APRENDEU?

1. Considere as grandezas “distância de casa” e “tempo decorrido” nas situações a seguir e indique o gráfico que melhor corresponde a cada uma.

I. Paulo saiu de sua casa de automóvel para ir ao trabalho, mas o pneu furou. Depois de trocá-lo, ele continuou o trajeto. Gráfico

II. Ana saiu de casa para ir ao banco, mas precisou retornar para pegar sua bolsa. Em seguida, ela foi ao banco. Gráfico

III. Pedro saiu de casa devagar, mas aumentou cada vez mais sua velocidade para chegar mais rápido ao seu destino. Gráfico

distância de casa

tempo

a)

tempo

distância de casab)

distância de casa

tempo

distância de casa

tempo

c) d)


REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE GRANDEZAS

PROPORCIONAIS E DE ALGUMAS NÃO PROPORCIONAIS


84

2. Mediram-se as massas de pequenas amostras de ferro de diversos volumes. A unidade de me-dida de massa foi o grama (g) e a de volume foi expressa em centímetros cúbicos (cm3). Com os dados encontrados, construiu-se o gráfico a seguir:

0 1 2 3 4 5

7,5

15

22,5

37,5

30

massa (gramas)

volume (centímetros cúbicos)

a) Qual é a massa de uma amostra de ferro cujo volume é 4 cm3?

b) Qual é o volume de uma amostra de ferro de 15 g de massa?

c) Explique por que as grandezas volume e massa de amostras de ferro representadas no gráfico são grandezas diretamente proporcionais.


85

d) Qual é a constante de proporcionalidade?

e) Escreva a relação entre a massa, m, e o volume, V, por meio de uma expressão.

3. O gráfico a seguir indica a velocidade que um automóvel precisa alcançar em função do tempo para percorrer uma distância de 120 km.

(km/h)

0

60

40

302420

120

v

1 2 3 4 5 6 t (h)

a) Com base no gráfico, complete a tabela a seguir:

t (h) 1 1,5 2 3 4 5 6 8 12

v (km/h) 120 60

b) Explique por que as grandezas “velocidade” e “tempo” representadas no gráfico são inversa-mente proporcionais.


86

c) Escreva a sentença que relaciona v e t.

LIÇÃO DE CASA

4. Analise o gráfico a seguir. Ele indica o preço em reais de cada camiseta que uma confecção pro-duz de acordo com o número de camisetas compradas pelas lojas.

100

2

4

6

8

10

12

14

16

18

(preço em reais por item)

200 300 400 500 600 (quantidade de itens)

O gráfico mostra que, quanto maior for a quantidade de camisetas compradas, menor será o preço por unidade. Por exemplo: se uma loja comprar 100 camisetas, o preço de cada uma delas é 16 reais; se comprar 200, o preço por camiseta passará a ser 14 reais, e assim por diante. Agora responda:

a) As grandezas envolvidas, preço unitário p e quantidade q, são diretamente ou inversamente proporcionais? Explique.


87

b) O que acontece com o preço da camiseta quando a quantidade vendida varia em 100 unidades?

c) Qual seria a diminuição no preço para um aumento de uma unidade vendida?

d) Com base nessas informações, escreva uma sentença que relacione o preço p com a quantidade q.

5. Dona Alice faz doces por encomenda. Ela fez 36 bombons e vai usar apenas um tipo de caixa para embalá-los, colocando a mesma quantidade de bombons em cada uma delas.

a) As grandezas “número de bombons” e “número de caixas” são inversamente proporcionais? Explique.

b) Preencha a tabela a seguir:

Número de bombons Número de caixas

2

3

4

6

9

12


88

c) Construa um gráfico que represente a situação indicada na tabela anterior.


89

VOCÊ APRENDEU?

6. Observe os três retângulos e responda às questões a seguir:

8 cm

3 cm

I

1 cm

10 cm

II

5 cm

6 cm

III

a) Calcule o perímetro e a área de cada um deles e, em seguida, preencha a tabela:

Retângulo Perímetro (cm) Área (cm2)

I

II

III

b) Considere um retângulo de mesmo perímetro que os anteriores, cujos lados medem x e y centímetros. Expresse y em função de x.


90

c) Complete a tabela a seguir para a função anterior com valores inteiros de x variando de 0 a 11. Com base nesses dados, construa o gráfico dessa função.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y 11 0


91

d) Como varia y à medida que o valor de x aumenta? O gráfico representa uma variação pro-porcional entre x e y? Justifique.

e) Indicando por A a área do retângulo do item anterior, escreva-a em função de x.

f ) Preencha a tabela a seguir com os valores da área A para x variando de 0 a 11.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

A

g) A área A é proporcional à medida de x? Justifique.

h) O gráfico a seguir representa a função da área A de um retângulo em relação a seu lado de medida x. Com base nele, determine o valor de x que torna a área máxima.

y

x0

10

20

30

10


92

7. Um quadrado de lado x (x > 0) tem perímetro p e área A.

a) Expresse algebricamente a relação existente entre os valores de p e de x.

b) Expresse algebricamente a relação existente entre os valores de A e de x.

c) Mostre que existe um valor de x para o qual a área e o perímetro de um quadrado são expressos pelo mesmo número.

d) Esboce no mesmo sistema de coordenadas os gráficos de p e de A em função de x e localize o ponto encontrado no item anterior.


93

LIÇÃO DE CASA

8. Um grupo de alunos da 8a série/9o ano formou uma banda e precisa determinar o preço x, em reais, do ingresso para um show de apresentação. Eles imaginaram que, se o valor do ingresso for muito alto, não conseguirão vendê-lo e, se for muito baixo, não obterão lucro, que seria investido na banda. Com base nos valores cobrados por outras bandas, os alunos concluíram que o lucro L de cada espetáculo, em reais, poderia ser dado pela expressão L = – x2 + 12x – 20. (Observação: L > 0 significa lucro e L < 0, prejuízo).

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

– 1–1

– 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x

y

x y

2 0

3 7

4 12

5 15

6 16

7 15

8 12

9 7

10 0

Observe o gráfico e a tabela e, em seguida, responda:

a) Qual será o lucro caso eles decidam cobrar 4 reais por ingresso?


94

b) Se o preço do ingresso for superior a 6 reais, podemos afirmar que o grupo terá prejuízo? Justifique.

c) Para que intervalo de valores de x o lucro aumenta? E para qual ele diminui?

d) Qual é o valor do ingresso para que o grupo obtenha o maior lucro possível? Qual é o valor do lucro máximo?

e) O que acontece quando o valor dos ingressos é inferior a 2 reais ou superior a 10 reais?

f ) O que ocorre com o lucro quando os ingressos são vendidos a 3 reais ou a 9 reais?

CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERALNOVA EDIÇÃO 2014-2017

COORDENADORIA DE GESTÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB

Coordenadora Maria Elizabete da Costa

Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gestão da Educação Básica João Freitas da Silva

Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Profissional – CEFAF Valéria Tarantello de Georgel

Coordenadora Geral do Programa São Paulo faz escolaValéria Tarantello de Georgel

Coordenação Técnica Roberto Canossa Roberto Liberato S el Cristina de lb er e o

EQUIPES CURRICULARES

Área de Linguagens Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli Ventrela.

Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto Silveira.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês e Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro, Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes Nogueira.

Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.

Área de Matemática Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros, Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e Rodrigo Ponce.

Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e Maria da Graça de Jesus Mendes.

Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade

Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.

Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e Teônia de Abreu Ferreira.

Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.

História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria Margarete dos Santos e Walter Nicolas Otheguy Fernandez.

Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de Almeida e Tony Shigueki Nakatani.

PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO PEDAGÓGICO

Área de Linguagens Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista Bom m, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos e Silmara Santade Masiero.

Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Sílvia Regina Peres.

Área de Matemática Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro,

Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara Santana da Silva Alves.

Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Luís Prati.

Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, André Henrique Ghel Ru no, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simões e Rui Buosi.

Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.

Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano.

História: Aparecida de Fátima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.

Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves, Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e Tânia Fetchir.

Apoio:Fundação para o Desenvolvimento da Educação - FDE

CTP, Impressão e acabamentoPlural Indústria Grá ca Ltda.

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integri-dade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei no 9.610/98.

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Ciências Humanas Coordenador de área: Paulo Miceli. Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira.

Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas.

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari.

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers.

Ciências da Natureza Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes. Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.

Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.

Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Puri cação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume.

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.

Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie.

GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO EDITORIAL 2014-2017

FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI

Presidente da Diretoria Executiva Antonio Rafael Namur Muscat

Vice-presidente da Diretoria Executiva Alberto Wunderler Ramos

GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS À EDUCAÇÃO

Direção da Área Guilherme Ary Plonski

Coordenação Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza

Gestão Editorial Denise Blanes

Equipe de Produção

Editorial: Amarilis L. Maciel, Angélica dos Santos Angelo, Bóris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina Carvalho, Carla Fernanda Nascimento, Carolina H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão, Eloiza Lopes, Érika Domingues do Nascimento, Flávia Medeiros, Gisele Manoel, Jean Xavier, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leandro Calbente Câmara, Leslie Sandes, Mainã Greeb Vicente, Marina Murphy, Michelangelo Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula Felix Palma, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e Tiago Jonas de Almeida.

Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca Micsik, Érica Marques, José Carlos Augusto, Juliana Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida Acunzo Forli, Maria Magalhães de Alencastro e Vanessa Leite Rios.

Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Grá co e Occy Design projeto grá co .

CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS CONTEÚDOS ORIGINAIS

COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira

CONCEPÇÃO Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo, Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini coordenadora e Ruy Berger em memória .

AUTORES

Linguagens Coordenador de área: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira.

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo.

LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia González.

Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos.

Matemática Coordenador de área: Nílson José Machado. Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli.

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