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Page 1: Aula 5 Oscilacoes - Física

Aula-6

Oscilações

Page 2: Aula 5 Oscilacoes - Física

Plano de aula

• Movimento Harmônico Simples - MHS

• Movimento Harmônico Amortecido - MHA

• Movimento Harmônico Forçado - MHF

• Ressonância

• Exemplos: outros Pêndulos

Page 3: Aula 5 Oscilacoes - Física

Dinâmica do MHS

maF

kxF

Equação diferencial :

Força restauradora

x

m

0

F=-kx

Page 4: Aula 5 Oscilacoes - Física

Dinâmica do MHS

xm

k

dt

xd

2

2

xdt

xd 22

2

2m

k

Propomos a solução: x(t) = A cos(t+)

Definimos:

Resolvendo:

Page 5: Aula 5 Oscilacoes - Física

Posição: x(t) = A cos(t + )

Velocidade: v(t) = -A sin(t + )

Aceleração: a(t) = -2A cos(t + )

xMAX = AvMAX = AaMAX = 2A

Dinâmica do MHS

x

m

0

F=-kx m

k

Page 6: Aula 5 Oscilacoes - Física

22

2

d

dt

Pêndulo Simples• Torque - eixo de rotação z :

= -mgd=-mgL senmgLpequenos

= II=mL2

L

dm

mg

z

22

2

dmgL mL

dt

= 0 cos(t + )

L

g

Page 7: Aula 5 Oscilacoes - Física

Pêndulo Simples: Período

Independente da MASSA

L

g

L

dm

mg

z

g

L

L

gf

2

2

1

Page 8: Aula 5 Oscilacoes - Física

Energia Potencial Elástica

Referência: U(x0 = 0) = 0

x

xdxkUxU0

)()0()(

kxF

Força conservativa:

Energia Potencial:

2

2

1)( kxxU

Page 9: Aula 5 Oscilacoes - Física

Energia do OHS no ponto de equilibrio é totalmente cinética

Energia Mecânica do OHS éproporcional ao quadrado da Amplitude

Conservação da Energia

Energia Mecânica Total: 2 21 1

2 2E mv kx

EnergiaCinética

EnergiaPotencial Elástica

Extremos: x=A e x=-A

2 2 21 1 1(0) ( )

2 2 2E m k A kA

No ponto de equilíbrio: x = 0

2 2 20 0

1 1 1(0)

2 2 2E mv k mv

-A A0posição

U

KE

ene

rgia

= Constante

Page 10: Aula 5 Oscilacoes - Física

Conservação da Energia

Ekxmv 22

2

1

2

1

Page 11: Aula 5 Oscilacoes - Física

Potenciais Quadráticos

Potencial de Sistemas reais:

Expansão de Taylor em torno do mínimo

Potencial APROXIMADAMENTE quadrático.

U

x

x0

U

x

2

0´´

200

´´´

2

1)(

)(0)(0

...)()(2

1))(()()(

xkxU

ctekxUxUx

xxxUxxxUxUxU

oo

ooo

Page 12: Aula 5 Oscilacoes - Física

x

m

0

F=-kx

Dissipação da Energia

Na prática sempre existe dissipação de energia ::: ATRITO

Baixas velocidades ::: resistência do fluido ~ proporcional à velocidade do objeto no fluido :::

F=-bv

vF=-bv

Page 13: Aula 5 Oscilacoes - Física

Simples Amortecido

Oscilador Harmônico

Page 14: Aula 5 Oscilacoes - Física

Oscilador Harmônico Amortecido

2

20

d x dxm b kx

dt dt

mabvkxF

Equação diferencial de 2º grau

Page 15: Aula 5 Oscilacoes - Física

Oscilador Harmônico Amortecido

02

02

2

xdt

dx

dt

xdm

km

b 20;:

Propomos a solução: ptCetx

xpCepdt

xdpxpCe

dt

dx ptpt 222

2

;

02

0

2 pp

Page 16: Aula 5 Oscilacoes - Física

02

0

2 pp

20

220

2

422

4

p

Oscilador Harmônico Amortecido

mk

mb 2

0;:

Equação diferencial de 2º grau

02

2

xdt

dx

dt

xdo

Equação diferencial de 2º grau

Page 17: Aula 5 Oscilacoes - Física

20

2

42

p

mabvkxF

02

02

2

xdt

dx

dt

xdm

km

b 20;:

ptCetx

Oscilador Harmônico Amortecido

Equação dinâmica:

Solução proposta:

Page 18: Aula 5 Oscilacoes - Física

SE: 02

Raiz de número negativo

20

2

42;

p ptCetx

Oscilador Harmônico Amortecido

Amortecimento subcrítico

Page 19: Aula 5 Oscilacoes - Física

1i

20

2

42;

p ptCetx

Amortecimento Subcrítico

41

242

220

220

p

02

SE:

ip 2 4

220

Page 20: Aula 5 Oscilacoes - Física

)(cos)(cos2 tsenitBtsenitAetxt

tCetxtcos2

)(2 tititBeAeetx

Amortecimento Subcrítico

4;

2;

220

ip ptCetx

Solução: Parte Real:

)()cos( tisente ti

Page 21: Aula 5 Oscilacoes - Física

tAetx

t

cos2

mb

4

22

0

http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/damped/d.htm

Amortecimento Subcrítico

mk20

Page 22: Aula 5 Oscilacoes - Física

Amortecimento Supercrítico

ttt

BeAeetx

2 2

0

2

4;

20

2

42;

p ptAetx

Raiz de número positivo

Amortecimento supercrítico02

SE:

Page 23: Aula 5 Oscilacoes - Física

Amortecimento Supercrítico

ttt

BeAeetx

2

20

2

4

Page 24: Aula 5 Oscilacoes - Física

Amortecimento

02

Supercrítico:02

Subcrítico:

02

Crítico:

Page 25: Aula 5 Oscilacoes - Física

Oscilações Forçadas

mb

mk20 : Frequência natural do sistema

: Amortecimento do sistema

tFtF extcos0Força externa:

Page 26: Aula 5 Oscilacoes - Física

Oscilações Forçadas

tFtF extcos0Força externa:

Sistema oscila com a frequência da força externa,

mesmo que esta seja diferente da frequência natural do sistema.

Page 27: Aula 5 Oscilacoes - Física

Oscilações Forçadas

)cos(02

2

tFkxdt

xdmF

Propomos a solução:

Page 28: Aula 5 Oscilacoes - Física

Oscilações Forçadas

tAtx cos

220

0

m

FA

000

Em fase Fora de fase

2

2 002

cosFd x

x tdt m

tm

FtAtA o coscoscos 2

02

com a FORÇA

Solução:

Page 29: Aula 5 Oscilacoes - Física

tm

Fx

dt

xd cos02

02

20

tm

Fx

cos

2

0

0

220

0

m

FA

00 Solução em fase

com a Força

tm

FtAtA o coscoscos 2

02

Oscilações ForçadasBAIXAS FREQUÊNCIAS:

Page 30: Aula 5 Oscilacoes - Física

tm

Fx

dt

xd cos02

02

2

0

tm

Fx

cos

2

0

Oscilações ForçadasALTAS FREQUÊNCIAS:

tm

FtAtA o coscoscos 2

02

220

0

m

FA

0 Solução fora de fase

com a Força

Page 31: Aula 5 Oscilacoes - Física

SOLUÇÃO GERAL =

B e 0 constantes - condições iniciais

Oscilações Forçadas

Solução particular +

solução da eq. homogênea

)cos(02

2

tFkxdt

xdmF

Page 32: Aula 5 Oscilacoes - Física

000

0cos0

000

0220

0

senv

Bm

Fx

Oscilações Forçadas

SE :

0022

0

0 coscos

tBtm

Ftx

condições iniciais

220

0

m

FB

Page 33: Aula 5 Oscilacoes - Física

0

0

0

0 coscos tt

m

Ftx

Quando :

ttsenm

Ftx 0

0

0

2

Oscilações Forçadas

o

Para :o

Page 34: Aula 5 Oscilacoes - Física

tsentm

Ftx 0

0

0

2

Oscilações ForçadasRESSONÂNCIA

o

Page 35: Aula 5 Oscilacoes - Física

tm

Fx

dt

dx

dt

xd cos02

02

2

Propomos solução:

22222

0

2

2

02

m

FA

tAtx cos

22

0

tan

arc

Oscilações forçadas amortecidas

0De maneira similar , para amortecimento fraco podemos obter :

Page 36: Aula 5 Oscilacoes - Física

22222

0

2

2

02

m

FA

RESSONÂNCIA

o

A() máxima

Oscilações forçadas amortecidas

Page 37: Aula 5 Oscilacoes - Física

Ressonância

22222

0

2

2

02

m

FA

Page 38: Aula 5 Oscilacoes - Física

Ressonância

Desastre na Tacoma Narrows Bridge, 1940

Page 39: Aula 5 Oscilacoes - Física

Exemplos

Page 40: Aula 5 Oscilacoes - Física

Túnel Centro da Terra

Um túnel reto é construído

de Campinas ao outro lado

da Terra passando pelo

centro da Terra.

Um estudante de F228 pula

no túnel ao meio-dia.

A que horas ele retorna a

Campinas?

Page 41: Aula 5 Oscilacoes - Física

2R

GmMRF R

G

T

TR

TG

G

MR

RM

RF

RF2

2

TT

T

TG

G

R

R

R

R

R

R

RF

RF

3

2

2

3

Túnel Centro da Terra

FG

R

RT MR

3

3

3434

TT

R

R

R

M

M

Page 42: Aula 5 Oscilacoes - Física

TTG

G

R

R

RF

RF

Túnel Centro da Terra

FG

R

RT MR

Page 43: Aula 5 Oscilacoes - Física

TR

mgk

TR

g

m

k

g = 9,81 m/s2

RT = 6,38 x 106 m

= 0,00124 s-1

T = = 5067 s 84 min2

Túnel Centro da Terra

FG

R

RT MR

Page 44: Aula 5 Oscilacoes - Física

Túnel Centro da Terra

O estudante retorna à

Campinas após 84 min,

as 13:24 h.

Page 45: Aula 5 Oscilacoes - Física

Prove!

• O período de oscilação não requer que o túnel passe pelo centro da terra.

• Qualquer túnel reto dá o mesmo resultado, desde que não haja atrito e que a densidade da terra seja constante.

Túnel Centro da Terra

Page 46: Aula 5 Oscilacoes - Física

• Um objeto em órbita próximo à superfície da Terra também tem período idêntico ao do túnel.

a = 2 RT = g

TR

g

Túnel Centro da Terra

Page 47: Aula 5 Oscilacoes - Física

Pêndulo Físico

• Calcular a freqüência de oscilação para pequenos deslocamentos de um pêndulo que consiste de uma barra de comprimento L e massa m pendurada por uma de suas extremidades.

mg

x CM

Page 48: Aula 5 Oscilacoes - Física

O Pêndulo Físico

Torque em relação ao eixo de rotação 0:

Para ângulos pequenos:

mg

x CM

0

Page 49: Aula 5 Oscilacoes - Física

• Que comprimento deve ter um pêndulo simples para ter o mesmo período de um pêndulo físico?

LR

LS

O Pêndulo Físico

Page 50: Aula 5 Oscilacoes - Física

LR

LS

S = R RS LL3

2

SS L

gR

R L2g3

O Pêndulo Físico

Page 51: Aula 5 Oscilacoes - Física

Pêndulo físico de forma arbitrária com massa M e centro de massa CMpendurado em um eixo fixo 0 com momento de inércia I relativo ao eixo.

Torque para ângulos pequenos:

d

Mg

0

R

xCM

O Pêndulo Físico

Page 52: Aula 5 Oscilacoes - Física

D

pivô / prego

O Pêndulo Físico

Um pêndulo consiste de um bambolê de diâmetro D e massa m pendurado por um prego.Calcular a frequência de oscilação do bambolê para pequenos ângulos.

2MRI CMaro m

Page 53: Aula 5 Oscilacoes - Física

R

CMx

I

mgR

Teorema dos eixos paralelos:

Freqüência angular de oscilação do bambolê para pequenos deslocamentos

O Pêndulo Físico

Page 54: Aula 5 Oscilacoes - Física

Pêndulo de torção

I

fio

Um objeto é suspenso por um fio preso no seu CM. O sistema tem um momento de inércia I em torno do fio que serve de eixo de rotação.O fio torcido age como uma mola gerando um torque que se opõe à torção e pode ser aproximado por:

k

Page 55: Aula 5 Oscilacoes - Física

2

2

dt

dIk

d

dt

2

22

k

I

Pêndulo de torção

I

fio


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