Download - Atps Algebra Linear
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO.......................................................................................................................02
DESAFIO.................................................................................................................................03
ETAPA 1 _ AULA TEMA: MATRIZES E DETERMINANTES......................................03
Passo 1- listagem de livros para auxílio no desafio..................................................................03
Passo 2- Pesquise três empresas a respeito do tipo de planejamento........................................04
Passo 2.1- Definição, ordem e tipos de matrizes......................................................................05
Passo 3- Determinantes.............................................................................................................11
Passo 4-Matriz de ordem 2x2 e 3..............................................................................................13
ETAPA 2 _ AULA TEMA: SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES..............................14
Passo 1- Equação linear e sistemas de equações lineares.........................................................14
Passo 2- Classificação de sistemas lineares..............................................................................15
Passo 3-Modelagem da situação problema...............................................................................16
Passo 4- Modelagem da matriz dos coeficientes das variáveis ...............................................16
ETAPA 3 _ AULA TEMA: EQUAÇÕES LINEARES: REGRA DE CRAMER.............17
Passo 1- Restrição do método de resolução de sistemas lineares.............................................17
Passo 2- Condição do determinante da matriz para que possua solução única........................17
Passo 3- Cálculo do determinante da matriz incompleta..........................................................18
Passo 4-Regra de Cramer para resolver a situação problema...................................................18
ETAPA 4 _ AULA TEMA: EQUAÇÕES LINEARES: GAUSS-JORDAN......................19
Passo 1- Inversão de matrizes...................................................................................................19
Passo 2- Operações elementares...............................................................................................19
Passo 3- Método de Gauss-Jordan para resolver a situação problema.....................................19
Passo 4-Solução do desafio proposto........................................................................................20
CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................................22
REFERÊNCIAS......................................................................................................................23
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INTRODUÇÃO
Estudo das Matrizes muitas vezes, para designar com clareza certas situações, é
necessário formar um grupo ordenado de números que se apresentam dispostos em linhas e
colunas numa tabela. Em matemática, essas tabelas são chamadas de matrizes. Com o advento
da computação e a crescente necessidade de se guardar muita informação, as matrizes
adquiriram uma grande importância. Para termos uma ideia dessa importância, basta saber
que o que vemos na tela do computador é uma enorme matriz e cada valor guardado nas
linhas e colunas da matriz representa um ponto calórico mostrado na tela.
As matrizes são realmente importantes em nosso dia-a-dia. Um exemplo funcional e
bastante comum é um calendário, onde as datas são dispostas em ordem de linhas por colunas.
Também são amplamente utilizadas na engenharia, matemática, informática, tabelas
financeiras, etc. O termo matriz surgiu em 1850 com o James Joseph Sylvester,
posteriormente sendo divulgado por Cayley no livro: “Memoir on the Theory of Matrices” de
1858. Além da resolução do desafio proposto para esta atividade, o principal tema discutido é
a matriz e suas propriedades. Serão apresentados e exemplificados exercícios para fixação.
Abordaremos também os conteúdos sobre: determinantes, equações e sistemas de equações
lineares.
Determinantes o século XIX foi marcado por grandes avanços na área da pesquisa
matemática. Era a ápice de um processo que vinha acontecendo desde a época de Newton, na
Inglaterra, na Alemanha, dois séculos antes. Assuntos como Álgebra linear, Cálculo
diferencial e analise matemática ganhavam expressão e tornavam-se cada vez mais complexos
e aperfeiçoados. Esses estudos proporcionavam aparecimento de ferramentas e técnicas de
resolução de problemas muito avançadas direcionando sua evolução ao que vemos hoje no
campo da tecnologia, como a computação.
Uma das ferramentas citadas acima e a resolução de um determinante, que agora
passamos a estudar.
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DESAFIO
Atualmente, o mundo corporativo possui uma dinâmica jamais vista. As tecnologias
nascem O desafio consiste na resolução de um circuito e a exploração dos aspectos teóricos
relacionados ao mesmo, entendendo os detalhes e os aspectos da matemática usados na
resolução de um problema de eletrônica usando as ferramentas de Álgebra Linear.
Esta proposta é importante para que se exerça uma maior conexão entre a teoria e a
prática Considerando-se o circuito com resistores e baterias (geradores de tensão)
apresentado na figura, tal como indicado, aplique a Lei de Kirchhoff * e determine os valores
de corrente que satisfazem as condições desse circuito. ( Use V = R × i ).
ETAPA 1 _ AULA TEMA: MATRIZES E DETERMINANTES
Esta etapa é importante para você se organizar em grupo e conhecer o material que
utilizará na resolução da situação-problema. Além disso, você aprenderá a base para os
métodos de resolução do circuito dado.
Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.
PASSOS
Passo 1
Visite a biblioteca da unidade e faça uma pesquisa sobre os livros de Álgebra Linear
que abordam os assuntos: Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares. Crie
uma listagem com o nome desses livros e escolha um para auxiliá-lo na resolução do desafio
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junto com o livro-texto: STEINBRUCH, F. Winterle, P. Álgebra Linear e Geometria
Analítica. 2ª Edição. São Paulo: Pearson Education, 2007.
Bibliografia Complementar
• KOLMAN, B. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro:
LTC editora, 2001.
• LAWSON, T. Álgebra Linear . Editora Edgard Blucher LTDA, 1996.
• BOLDRINI, J. L. Álgebra Linear. SãoPaulo: Harbra Editora, 1996.
• HOWARD, A. Álgebra Linear com Aplicações. São Paulo: Bookmam Companhia
Editora, 1998.
Pesquisa realizada dia 01 de setembro na biblioteca da Faculdade Anhanguera de
Joinville. Abaixo veja a lista de livros que abordam o assunto: Matrizes, Determinantes e
Sistemas de Equações Lineares:
• BOLDRINI, Jose Luiz. Álgebra Linear. Editora Harbra, 3ª Edição, 2004.
• POOLE, David. Álgebra Linear. Editora Thomson Pioneira, 1ª Edição, 2003.
• NICHOLSON, W. Keith. Álgebra Linear. Editora McGraw-Hill, 2ªed. 2006.
• RORRES, Anton. Álgebra Linear com Aplicações. Editora Bookman, 8ª edição, 2001.
Livro adotado para auxiliar juntamente ao livro texto:
• LIPSCHUTZ, Seymour\ Lipson, Marc. Álgebra Linear. Editora Bookman, 3ª edição,
2004.
Passo 2
Pesquise três empresas, preferencialmente da sua região, a respeito do tipo de
planejamento.
As empresas pesquisadas foram: Ft segurança patrimonial, distribuidora Sardagna e
Tupy fundição. São adotados os planos: de produção que facilitam o trabalho criando métodos
e tecnologias dando equipamentos e suporte para as pessoas.
Os planos financeiros cuidam da aplicação correta do dinheiro para dar suporte as
operações da empresa e os planos de martketing serão responsáveis pelas vendas e
distribuição de bens e serviços. Também existe o planejamento de recursos humanos
responsáveis pela seleção, recrutamento e treinamentos dos funcionários. Observamos que um
plano de atendimento a clientes faz uma grande diferença.
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Passo 2.1
Leia o tópico do capítulo Matrizes do livro-texto que aborda a definição, a ordem e os
principais tipos de matrizes.
Definição de matriz
Uma matriz é uma tabela de agrupamento de elementos (números, polinômios,
funções, ect). Os elementos neste agrupamento são chamados entradas da matriz. Uma matriz
possui uma ordem de linhas por colunas, geralmente expressas por “m x n” (dispostos ao lado
da matriz onde “m” é o número de linhas e “n” o número de colunas).
Os elementos são dispostos na forma de “[aij]” onde “i” representa a linha e “j” a
coluna. Abaixo é possível visualizar a representação de uma matriz genérica.
Ordem de uma matriz
Se a matriz A é de ordem m por n, costuma-se escrever simplesmente A (m,n). Assim,
se uma matriz A tiver 3 linhas e 4 e colunas, escreve-se simplesmente A(3,4) e diz-se matriz
de ordem 3 por 4.
Tipos de matrizes
A. MATRIZ LINHA= É a matriz que possui uma única linha.
Exemplos
1) A = [–1, 0]
2) B=[1 0 0 2]
B. MATRIZ COLUNA=É a matriz que possui uma única coluna.
Exemplos
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C. MATRIZ NULA= É a matriz que possui todos os elementos iguais a zero.
Exemplos
D. MATRIZ QUADRADA=É a matriz que possui o número de linhas igual ao número de
colunas.
Exemplos
Observações:
1ª) Quando uma matriz não é quadrada, ela é chamada de retangular.
2ª) Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal principal da matriz ao
conjunto dos elementos que possuem índices iguais.
Exemplo
{a11, a22, a33, a44} é a diagonal principal da matriz A.
3ª) Dada a matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal secundária da matriz ao
conjunto dos elementos que possuem a soma dos dois índices igual a n + 1.
Exemplo:
{a14, a23, a32, a41} é a diagonal secundária da matriz A.
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E. MATRIZ DIAGONAL=É a matriz quadrada que apresenta todos os elementos, não
pertencentes à diagonal principal, iguais a zero.
Exemplos
F. MATRIZ IDENTIDADE=É a matriz diagonal que apresenta todos os elementos da
diagonal principal iguais a 1.
Representamos a matriz identidade de ordem n por In.
Exemplos:
Observação:
Para uma matriz identidade In = (aij)n × n
G. MATRIZ TRANSPOSTA= Dada uma matriz A, chamamos de matriz transposta de A à
matriz obtida de A trocando-se, “ordenadamente”, suas linhas por colunas. Indicamos a matriz
transposta de A por At.
Exemplos
Observação:
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Se uma matriz A é de ordem m × n, a matriz At, transposta de A, é de ordem n × m.
H) RECTANGULAR=Se o número de linhas é diferente do número de colunas
I)TRIANGULAR SUPERIOR=uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da
diagonal principal são nulos
J) TRIANGULAR INFERIOR=uma matriz quadrada em que os elementos acima da
diagonal principal são nulos
K) ESCALAR =uma matriz diagonal em que os elementos principais são iguais
l) SIMÉTRICA=se os elementos aij são iguais aos aji
[1 0 2 3 40 2 5 2 12 4 4 5 0 ]
3×5
[1 1 2 70 0 3 00 0 2 60 0 0 5
]
[1 0 0 05 2 0 00 2 2 03 0 1 5
]
[2 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 2
]
[1 1 2 01 0 3 42 3 2 70 4 7 5
]
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M) MATRIZES ANTI-SIMÉTRICAS =Uma matriz quadrada A= [aij] é anti-simétrica se
EX:
N) MATRIZ ORTOGONAL= Uma matriz quadrada A , inversível, é ortogonal se, e
somente se,
O) MATRIZES IDEMPOTENTE =são sempre positivas semi-definidas. Com exceção da
matriz identidade, uma matriz idempotente A é sempre singular, ou seja, não admite inversa:
Se uma matriz A é idempotente, a matriz também é.
P) MATRIZ NILPOTENTE= se existir um número natural k tal que Ak = 0, onde 0
representa a matriz nula. O menor número natural que verifica a igualdade Ak = 0, designa-se
por índice de nilpotência da matriz A. A matriz nula é uma matriz nilpotente.
Ex
Q) MATRIZ INVERSA =Chamamos de Matriz inversa à matriz quadrada de ordem n que,
ao ser multiplicada pela matriz inicial, resulta na matriz identidade, ou seja:
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A.A-1 = In (matriz inversa).
Podemos encontrar a matriz inversa da Matriz A, do seguinte modo:
Sendo
então a sua inversa será tal que:
realizando a multiplicação entre as matrizes
podemos concluir que:
a = 1/2; b = 1; c = 1/2 e d = 0
Chegamos, então à matriz inversa, de A, dada por:
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Passo 3
Leia o Capítulo – Determinantes do livro-texto (citado na Etapa 1) ou pesquise na
biblioteca outros livros relacionados, para que fique claro o conceito e escreva um pequeno
texto explicativo com suas palavras resumindo o resultado do estudo. Defina o que é
determinante de uma matriz. Discuta com o grupo as principais propriedades sobre
determinantes. Crie exemplos para ilustrar as propriedades que você estudou e discutiu com o
grupo.
Através do estudo, chega-se a conclusão que o determinante de uma Matriz é dado
pelo valor numérico resultante da subtração entre o somatório do produto dos termos da
diagonal principal e do somatório do produto dos termos da diagonal secundária. Definição:
Determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um numero escalar. Essa
função permite saber se uma matriz tem ou não inversa, pois as que não tem são precisamente
aquelas cujo o determinante é igual a 0. Podemos também dizer, que determinantes é uma
matriz quadrada representada de uma forma diferente, pois calculamos o seu valor numérico,
o que não acontece com a matriz. Nas determinantes aplicamos as quatros operações, ou seja,
soma, multiplicação, divisão e subtração obtendo outra matriz. As determinantes podem ser
de ordem 1,2 ou 3.
As propriedades envolvendo determinantes facilitam o cálculo de seu valor em
matrizes que se enquadram nessas condições. Observe as propriedades:
1ª propriedade: Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma
coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.
2ª propriedade: Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o
determinante dessa matriz será nulo.
3ª propriedade: Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de
valores proporcionais, o determinante terá valor igual à zero. Observe a propriedade entre a 1ª
e a 2ª linha.
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4ª propriedade: Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma
matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.
Os elementos da 1ª linha de P foram multiplicados por 2, então: det P’ = 2
5ª propriedade :Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu
determinante passa a ser multiplicado por kn. det (k*A) = kn * det A
6ª propriedade: O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz
da transposta de R, det R = det (Rt).
det R = ps -- qr
det Rt = ps – rq
7ª propriedade: Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor
do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.
8ª propriedade: O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos
elementos da diagonal principal. Lembre-se que em uma matriz triangular, os elementos
acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
9ª propriedade: Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz
produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet.
10ª propriedade: Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo
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mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou
coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B. Esse teorema é
atribuído a Jacobi.
Passo 4
Escolha uma matriz de ordem 2x2 e calcule o seu determinante. Escolha uma matriz
de ordem 3x3 e calcule o seu determinante.
Cálculo determinante Matriz de ordem 2x2
Determinante da matriz A= | 2 9 |
| -1 6 |
Diagonal principal: 2 x 6 = 12
Diagonal secundária: 9x(-1) = -9
Det. A = 12-(-9)
Det. A = 12+9
Det. A = 21
Cálculo determinante Matriz de ordem 3x3
Determinante da matriz B = | 2 5 6 |
| 1 6 7 |
| -1 2 3 |
Aplicando a regra de Sarrus:
| 2 5 6 2 5 |
| 1 6 7 1 6 |
| -1 2 3 -1 2 |
Diagonal principal:
2 x 6 x 3 = 36
5 x7 x (-1) = -35
6 x 1 x 2 = 12
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36 + (-35) + 12 = 13
Diagonal secundária:
6 x 6 x (-1) = -36
2 x7 x 2 = 28
5 x 1 x 3 = 15
-36 + 28 + 15 = 7
Determinante de B = 13-7
Determinante de B = 6
ETAPA 2 Aula-tema: Sistemas de Equações Lineares.
Esta atividade é importante para você, pois, além de abordar definições novas, também
auxiliará nos métodos de resolução da situação-problema.
Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.
PASSO
Passo 1
Leia os tópicos do Capítulo – Sistemas de Equações Lineares do livro-texto que
aborda a definição e classificação de sistemas de equações lineares. Defina equação linear e
sistemas de equações lineares. Defina solução de equação linear e de sistemas de equações
lineares.
Equação Linear= Uma equação linear em (ou nas incógnitas) x1; x2; :::; xn é uma
igualdade do tipo a1 x1 + a2 x2 + ::: + an xn = b onde a1; a2; :::; an e b são elementos
(números) de K. x1; x2; :::; xn chamamos incógnitas, sendo a1; a2; :::an os coeficientes das
incógnitas e b o segundo membro ou termo independente.
Solução de uma equação linear= Uma solução de uma equação linear é um conjunto
de valores das variáveis x1 = s1 , x2 = s2 ......xn = sn que satisfazem a equação.
Sistemas de Equações lineares= Um sistema de equações lineares ou simplesmente
sistema linear é um conjunto de equações lineares, ou seja, é um conjunto de equações da
forma onde aij e bk são constantes reais, para i, k = 1,..., m e j = 1,..., n.
Solução de um sistema linear= Os valores das variáveis que transformam
simultaneamente as equações de um sistema linear em identidade, isto é, que satisfazem a
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todas equações do sistema, constituem sua solução. Esses valores são denominados raízes do
sistema de equações lineares.
Uma solução de um sistema linear é uma matriz S = tal que as equações do sistema
são satisfeitas quando substituímos x1 = s1, x2 = s2,..., xn = sn. O conjunto de todas as
soluções do sistema é chamado conjunto solução ou solução geral do sistema.
Passo 2
Discuta com o grupo sobre a classificação dos sistemas lineares (quanto ao número de
soluções). Discuta também com o grupo sobre a definição de matriz dos coeficientes das
variáveis e de matriz ampliada de um sistema linear.
Sistema Compatível: Diz-se que um sistema de equações lineares é compatível
quando admite solução, isto é, quando tem raízes.
Sistema Determinado: Um sistema é determinado quando admite uma solução.
Sistema Indeterminado: Um sistema compatível é indeterminado quando admite
mais de uma solução (na verdade, admite infinitas soluções).
Sistema Incompatível: Diz-se que um sistema de equações lineares é incompatível
quando não admite solução.
Sistemas Equivalentes: Diz-se que dois sistemas de equações lineares são
equivalentes quando admitem a mesma solução
Classificação de um sistema linear
Qualquer sistema linear pode ser classificado quanto ao número de soluções.
Lembrando que um sistema linear é o conjunto de equações lineares. Podemos classificar os
sistemas lineares da seguinte forma:
SPD – Sistema Possível e Determinado: Solução única.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado: Infinitas soluções
SI – Sistema Impossível: Não tem solução
Matriz dos coeficientes de um sistema linear= É a matriz formada pelos coeficientes
das variáveis do sistema.
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Matriz ampliada de um sistema linear = É a matriz formada pelos coeficientes das
variáveis do sistema acrescida de uma coluna formada pelos termos independentes,
Passo 3
Modele a situação-problema escrevendo-a em forma de um sistema de equações
lineares fazendo uso da Lei de Kirchhoff.
* i1 = i2 + i3
* -10 + 4i1 - 2i3 + 2i1 = 0
* 4i2 + 3i2 + 1i2 – 2i3 = 0
* 2i3 + 2i3 – 4 + 3i3 + 3i3 = 0
Passo 4
Determine a matriz dos coeficientes das variáveis e a matriz ampliada desse sistema
linear.
De acordo com as equações lineares temos a matriz ampliada:
0 -10 4 2 2 0
0 4 3 1 2 0
2 2 -4 3 3 0
Determinando a matriz dos coeficientes:
10.i3 – 4 = 0
i3 = 4/10
i3 = 0,4
-10 + 6.i1 – 2. (i3) = 0
-10 + 6.i1 – 2. (0,4) = 0
-10 + 6.i1 – 0,8
6.i1 = 10,8
i1 = 10,8/6
i1 = 1,8
i1 = i2 + (i3)
1,8 = i2 + (0,4)
i2 = -0,4 + 1,8
i2 = 1,4
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ETAPA 3 Aula-tema: Equações Lineares: Regra de Cramer.
Esta etapa é importante, pois você aplicará a teoria sobre matrizes, determinantes e
sistemas lineares, vista nas etapas anteriores, na resolução da situação-problema. É nesta etapa
que você encontrará o resultado da situação-problema.
Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.
PASSOS
Passo 1
Leia sobre o método de resolução de sistemas lineares: Regra de Cramer no livro
auxiliar que você escolheu no Passo 2 da Etapa 1. Discuta com o grupo qual a restrição desse
método de resolução de sistemas lineares.
R: Discutimos e pesquisamos sobre a regra e chegamos a conclusão de que a restrição de
“somente se forem iguais” para a resolução. Ou seja, resolvermos um sistema linear de n
equações e n incógnitas para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação
incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e
calcular os seus respectivos determinantes e assim aplicar a regra de Cramer que diz: se ele
possui 3 equações e 3 incógnitas, ou seja, o número de incógnitas é igual ao número de
equações.
Passo 2
Discuta com o grupo qual a condição sobre o determinante da matriz incompleta do
sistema linear para que ele possua solução única.
R: O sistema será possível se o determinante da matriz incompleta for diferente de zero. E se
este determinante é diferente de zero, então teremos um único resultado para cada incógnita,
e, assim, o sistema será possível e determinado.
Passo 3
18
Calcule o determinante da matriz incompleta do sistema linear que descreve a
situação problema e conclua se esse sistema linear possui ou não solução única.
R: -2 + 0 – 24 + 12 + 0 + 16 = 2 ?0 SPD (sistema possível determinado, pois a
determinante é diferente de zero)
Passo 4
Use a Regra de Cramer para resolver o sistema linear da situação-problema. Escreva a
solução encontrada para a situação-problema
-8x + 4y + 2z = -10
4x - 10y + 2z = 0
2x + 2y - 10z = -4
-8 4 2 -10 4 2
A= 4 -10 2 A¹= 0 -10 2
2 2 -10 -4 2 -10
det A= - 536 det A¹= -1072
-8 -10 2 -8 4 -10
A²= 4 0 2 A³= 4 -10 0
2 -4 -10 2 2 -4
det A²= -536 det A³= -536
Portanto, pela regra de Cramer, teremos:
X= A¹ / A = -1072 /-536 = 2
Y= A² / A = -536 / -536 = 1
Z= A³ / A = -536 / -536 = 1
ETAPA 4 Aula-tema: Sistemas de Equações Lineares: Gauss-Jordan.
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Esta etapa é importante, pois você aplicará outro método de resolução de sistemas
lineares para encontrar a solução da situação-problema. Nesta etapa você confirma o resultado
da situação-problema encontrado na etapa anterior.
Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.
PASSOS
Passo 1
Leia o tópico do Capítulo – Inversão de Matrizes do livro-texto que aborda operações
elementares sobre as linhas de uma matriz e leia no Capítulo – Sistemas de Equações Lineares
do livro-texto (citado no Passo 2 da Etapa 1) o método de resolução de sistemas lineares:
Gauss-Jordan.
Passo 2
Descreva as operações elementares sobre as linhas de uma matriz. Defina Sistemas
Equivalentes.
As operações elementares sobre as linhas de uma matriz são:
A) Permutação de duas linhas.
B) Multiplicação de todos os elementos de uma linha por um número real diferente de zero.
C) Substituição dos elementos de uma linha pela soma deles com os elementos de outra linha
anteriormente multiplicados por um número real diferente de zero.
Sistemas equivalentes: Podemos dizer que dois sistemas são equivalentes quando depois de
calculados eles possuírem o mesmo conjunto solução.
Passo 3
Use o método de Gauss-Jordan para resolver o sistema linear da situação-problema.
Escreva a solução encontrada para a situação-problema. Verifique se é a mesma encontrada
na etapa anterior.
* i1 = i2 + i3
* -10 + 4i1 - 2i3 + 2i1 = 0
* 4i2 + 3i2 + 1i2 – 2i3 = 0
20
* 2i3 + 2i3 – 4 + 3i3 + 3i3 = 0
Solução:
10.i3 – 4 = 0
i3 = 4/10
i3 = 0,4
-10 + 6.i1 – 2. (i3) = 0
-10 + 6.i1 – 2. (0,4) = 0
-10 + 6.i1 – 0,8
6.i1 = 10,8
i1 = 10,8/6
i1 = 1,8
i1 = i2 + (i3)
1,8 = i2 + (0,4)
i2 = -0,4 + 1,8
i2 = 1,4
Passo 4
Elabore um relatório com a solução do desafio proposto e o entregue ao professor.
Lei das Malhas
i1 = i2 + i3
1. Coordenadas ABCDA 2. Coordenadas CEFDC
2i1 + 10 + 4i2 + 2i3 = 0 3i2 + 2i3 + 3i3 + 4i2 = 0
2i1 + 4i2 + 2i3 + 10 = 0 8i2 + 2i3 = 0
21
3. Coordenadas ADFGHA
2i3 + 2i3 + 4 + 3i3 +3i3 = 0
10i3 + 4 = 0
1° Incógnita = 2i1 + 4i2 + 2i3 + 10 =0
2° Incógnita = 8i2 + 2i3 = 0
3° Incógnita = 10i3 + 4 = 0
2° + 3° = 8i2 + 12i3 + 4 = 0
1° Substituindo i1 por (i2 + i3)
2i1 + 4i2 + 2i3 + 10 = 0
2* (i2+i3) + 4i2 + 2i3 + 10 = 0
2i2 + 2i3 + 4i2 + 2i3 + 10 = 0
6i2 + 4i3 + 10 = 0
Resolução
Soma da 1° e 2° incógnita.
8i2 + 12i3 + 4 = 0 (*6) 48i2 + 72i3 + 24 = 0
6i2 + 4i3 + 10 = 0 (*-8) - 48i2 – 32i3 – 80 = 0
I3= 56/40
I3=1,4 A
Substituindo i3 na 2° incógnita.
8i2 + 12i3 + 4 = 0
8i2 + 12. +1,4 + 4 = 0
8i2 +16,8 + 4 = 0
8i2 +20,8 = 0
I2 = 20,8/8
I2 = 2,6 A
Substituindo i2 e i3 na 1° incógnita.
2i1 + 4i2 + 2i3 + 10 = 0
2i1 + 4.2,6 + 2. 1,4 + 10 = 0
2i1 + 10,4 + 2,8 + 10 = 0
2i1 + 23,2 = 0
I1 = 23,2/2 = 11, 6 A
I1 = 11,6 A
CONSIDERAÇÕES FINAIS
22
O grupo alem de adquirir conhecimento com este trabalho também tem o objetivo de
passar os métodos de forma fácil e coerente levando a quem ler esta ATPS a abranger ações
de concepção, desenvolvimento, implantação, operação, avaliação, e manutenção de sistemas
e tecnologias relacionadas à informática e as telecomunicações. o conhecimento adquirido na
busca de alto entendimento da atividade pratica supervisionada (ATPS), conseguimos
favorecer a aprendizagem, estimulamos a nossa co-responsabilidade com eficiência eficaz,
aumentamos a nossa confiança em grupo, conseguimos desenvolver os estudos
independentes, sistemáticos e o auto-aprendizado ainda mais, procuramos diferentes fontes de
pesquisa, sabemos que no futuramente vamos utilizar estes conhecimentos adquiridos com
mais facilidade.
Aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e instrumentais à
engenharia. Identificar, formular e resolver problemas de engenharia. E também desenvolver
ou utilizar novas fera mentas e técnicas.
Através desse trabalho chegamos à conclusão da importância da aprendizagem de
matrizes e determinantes como base para os métodos de resolução de situações problemas. As
definições das mesmas e dos sistemas de equações lineares desenvolve melhor a
aprendizagem facilitando o entendimento e abrangendo novos conhecimentos.
REFERÊNCIAS
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STEINBRUCH, F. Winterle, P. Álgebra Linear e Geometria Analítica. São Paulo:
Pearson Education, 2007.
BOLDRINI, Jose Luiz. Álgebra Linear. São Paulo: Editora Harbra, 3ª Edição, 2004.
POOLE, David. Álgebra Linear. São Paulo: Editora Thomson Pioneira, 1ª Edição,
2003.
NICHOLSON, W. Keith. Álgebra Linear. São Paulo: Editora McGraw-Hill, 2ªed.
2006.
RORRES, Anton. Álgebra Linear com Aplicações. São Paulo: Editora Bookman, 8ª
edição, 2001.
LIPSCHUTZ, Seymour\ Lipson, Marc. Álgebra Linear. São Paulo: Editora Bookman,
3ª edição, 2004.
SITES
http://www.mat.uc.pt/~meresa/ALGA(Civil)05-06/cap1.pdf acessado em 03/09/2012
http://www.brasilescola.com/matematica/sistemas-lineares.htm acessado em 04/09/2012
http://www.brasilescola.com/matematica/propriedades-dos-determinantes.htm
acessado em 03/09/2012
