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1. LOS NÚMEROS REALES

Operaciones Aritméticas

NúmerosNaturales

NúmerosEnteros

NúmerosRacionales

NúmerosIrracionales

NúmerosComplejos

NúmerosReales

Relación de orden

Divisibilidad

Números Primos

Números Compuestos

Mínimo Común Múltiplo

Máximo Común Divisor

Patrones Numéricos

Unidad Imaginaria

Representación de un número

complejo

Módulo de un número complejo

Conjugado de un número complejo

Fracciones

Forma decimal

Cantidades conmensurables e inconmensurables

Números irracionales importantes

Representación en la recta numérica

Relación de orden

Valor Absoluto

Propiedades



Potencias Raíces Logaritmos

Relación de Orden Propiedades

Propiedades

Operatoria

Notación Científica

Raíz de una raíz

Cambio de índice

Propiedades

Racionalización

Base de Logaritmo

Logaritmo Natural

Antilogaritmo

Propiedades

1.1 Números Naturales, Enteros y Racionales

Aprendizaje Esperado

Calcula el valor de expresiones numéricas mediante el uso de propiedades, reglas y transformaciones de los

números racionales.

Criterio De Evaluación

Evalúa expresiones dadas con números enteros usando reglas operatorias, propiedades y

el orden de las operaciones.

1. Efectúa las siguientes operaciones aritméticas, respetando el orden de operaciones:

a)

b) ( )

c) ( ) ( )

d) [( ) ( )] ( )

e) {[( ) ] }

f)

g)

h) ( ( ))

i)

j) ( ) ( )

k) [( ) ( )]

l) ( ) ( )

m) ( ) ( )

n) [ ( ) ( ) ]

2. Calcula:

a) ( )

b)

c)

d)

e) ( )

f) ( )

g)

h) ( )

i) ( )

j) ( )

k) ( )

l) ( )

m) ( ) ( )

n) ( ) ( ) ( )

o)

p)

q)

r)

3. Selecciona el menor de los dos números dados:

a)

b) | |

c) | | | |

d) | | | |

e) | | | |

f) | | | |

g) | |

h) | | | |

i) | | | |


Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números enteros positivos a través del uso

de diferentes métodos.

4. Determine el m.c.d. entre los siguientes números, usando dos métodos diferentes:

a) 730 y 438

b) 480, 1.400 y 8.000

c) 16 y 40

d) 15 y 60

e) 24, 36 y 72

f) 7, 14 y 21

g) 4 y 6

5. Determine el M.C.M. entre los siguientes números:

a) 6, 45 y 12

b) 25, 45 y 75

c) 16 y 40

d) 15 y 60

e) 24, 36 y 72

f) 7, 14 y 21


Transforma fracciones a decimales y viceversa mediante reglas establecidas.

6. Expresa en forma fraccionaria los siguientes números decimales:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

7. Expresa en la forma de decimal las siguientes fracciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)


Calcula expresiones dadas con números racionales (fracciones y/o decimales) usando reglas operatorias, propiedades

y el orden de las operaciones.

8. Simplifique tanto como pueda las siguientes fracciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

9. Calcula las siguientes expresiones con fracciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

(

)

g)

h)

i)

(

(

)

)

j) (

)

k)

((

)

)

l)

(

)

m)

10. Calcula las siguientes expresiones con decimales:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

11. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a)

(

)

b)

c)

d)

e) (

)

f) ( )

g) (

)

(

)

h)

i)

1.2 Potencias y Raíces


Calcula expresiones numéricas utilizando propiedades y reglas de los números reales.


Resuelve ejercicios de cálculo, composición y/o descomposición de expresiones escritas con potencias mediante el uso

de sus propiedades.

12. Escribe cada potencia como producto de factores iguales:

a)

b)

c)

d) ( )

e) ( )

f) ( )

g)

13. Escribe en forma de potencia los siguientes números de modo que la base sea la menor posible:

a) 8

b) 36

c) 121

d) 125

e) 1.000

f) 2.048

14. Escribe cada una de las siguientes multiplicaciones como una potencia y calcula su valor.

a)

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

c)

d)

15. Transforma cada potencia para que el exponente quede positivo y luego calcula su valor:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

16. Desarrollar:

a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( )

e) [( ) ]

f) [(

)

]

g)

h) ( ) ( ) ( )

i)

j)

k)

l) (

)

(

)

(

)

m)

n)

17. Calcula:

a)

b) ( )

c)

d) ( )

e)

f) ( ) ( )

g)

h) ( )

i) ( )


Opera números muy grandes o muy pequeños utilizando notación científica.

18. Escriba en notación científica:

a) El número aproximado de átomos en 1 gramo de oro es .

b) La precisión de una balanza es 0,00000001 g.

c) El número de Avogadro (número de partículas en una molécula-gramo o mol) es

602.200.000.000.000.000.000.000.

d) La luz recorre 1 metro en aproximadamente 0,000000003 segundos.

e) La distancia media entre el Sol y la Tierra es 150.000.000 km.

f) La masa de un electrón es aproximadamente 0,00000000000000000000000000000091 kg

g) La edad de la Tierra se estima en 4.567.000.000 años.

19. Calcula y expresa la respuesta en notación científica:

a) ( ) ( )

b)

c)

d) ( )

e)

f)


Calcula expresiones dadas con potencias y/o raíces usando reglas operatorias.

20. Calcula el valor de las expresiones siguientes usando propiedades de las raíces y de las potencias

a) (

)

b) ((

)

)

c) (

)

d) (

)

e) (

)

f) ( )

g) ( )

21. Utilizando propiedades de raíces , calcula:

a) √

b) √

c) √

d) √

e) √

f) √ (

)

g) √(

)

h) √

22. Reducir las siguientes expresiones:

a)

√ √ √ √ √

b) √ √ √ √

c) √ √ √

√

d) (√ ) (√ √ )

e) ( √ ) (√

√ )

f) √

√

g) √ √ √

√ √

h) (√

√

) (√ √ )

i) √ √

√ √


Descompone expresiones con raíces y/o racionaliza, usando reglas operatorias y propiedades.

23. Reduce a una sola raíz:

a) √√

b) √√

c) √√

d) √ √ √

e) √ √ √

24. Racionaliza las siguientes expresiones:

a)

√

b)

√

c)

√

d)

√

e)

√

f) √

√

g)

√

h)

√

i)

√

j)

√ √

k) √ √

√ √

l) √

√ √

m)

√ √

1.3 Problemas de Aplicación de Números Reales


Resuelve problemas de aplicación, utilizando propiedades y reglas de los números reales.


Resuelve problemas de aplicación empleando reglas operatorias, propiedades y orden de los números enteros.

25. Un grupo de 27 alumnos de Inacap decide viajar

a Santiago. El pasaje en bus de pasajeros cuesta $

45.200 por persona solo de ida o vuelta. Un bus

de arriendo les cobra $ 2.500.000 ida y vuelta

por todo el grupo. Elige la alternativa más

económica. ¿Cuánto ahorran en su elección?

26. Gloria necesita comprar 4 cortinas para su casa.

Cada una cuesta $ 14.500 y pagará el total en 8

cuotas iguales. ¿Cuál es el valor de cada cuota?

27. Dos personas parten de un mismo lugar, la

primera da pasos de 40 cm y la segunda de 55

cm a ¿qué distancia los separará cuando den el

paso 20?

28. Después de llegar a la playa, 30 amigos realizan

distintas actividades: un par de ellos juegan

paletas, dos parejas juegan al naipe, un cuarteto

canta acompañado de un guitarrista, cuatro tríos

construyen castillos en la arena y los restantes

nadan. ¿Cuántos fueron a nadar?

29. Se está organizando un paseo para 110 niños.

¿Cuántos buses para 32 pasajeros se necesita

contratar?

30. Si se cuenta con 32 globos, ¿cuál es el número

máximo de globos que puede repartirse a cada

uno de los 5 niños que hay en la fiesta, de forma

que cada niño tenga el mismo número de

globos?

31. Un parlante de música posee las siguientes

dimensiones: 50 cm de largo, 35 cm de ancho y

90 cm de altura. ¿Cuál es el volumen del

parlante?

32. En el condominio donde vive Sofía hay seis

torres de 13 pisos. Si las torres tienen 4

departamentos por piso, ¿cuántos

departamentos tiene el condominio?

33. Francisco y Rodrigo son muy deportistas. El

sábado fueron a correr juntos, pero la distancia

que recorrió Francisco fue el triple de la que

corrió Rodrigo. Si Francisco corrió 7.536m,

¿cuántos metros corrió Rodrigo?

34. En 2000, el gasto nacional en salud fue de

$650.000 millones. En 2010, está cifra había

aumentado en un factor de 1,9. Escriba el gasto

en salud del 2000 y 2010, con el uso de notación

científica.

35. Se compran cintas de cuatro colores, con las

siguientes medidas: azul 210 cm, verde 360 cm,

roja 180 cm y blanca 300 cm. Se desea cortar las

cintas en trozos del mismo tamaño. ¿Cuál es la

medida de ellos?

36. Tres ciclistas recorren una pista circular en 20,

24 y 36 segundos, respectivamente. Si parten

juntos, ¿después de cuánto tiempo se

encontrarán de nuevo?

37. ¿Cuántos elementos en común tiene el conjunto

de los divisores de 18 y 16?

38. ¿Qué número se obtiene si se divide el mínimo

común múltiplo por el máximo común divisor

entre 30, 54, 18 y 12?

39. Un campo rectangular de 360 m de largo y 150

m de ancho, está dividido en parcelas cuadradas

iguales. El área de cada una de estas parcelas

cuadradas es la mayor posible. ¿Cuál es la

longitud del lado de cada parcela cuadrada?

40. María y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bolas

azules y 90 bolas rojas y quieren hacer el mayor

número de collares iguales sin que sobre

ninguna bola.

a) ¿Cuántos collares iguales pueden hacer?

b) ¿Qué número de bolas de cada color tendrá

cada collar?

41. Un mueblista quiere cortar una plancha de

madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en

cuadrados lo más grandes posible.

a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada

cuadrado?

b) ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la

plancha de madera?

42. Carlos tiene en su tienda los botones metidos en

bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24 botones

cada una y no sobra ningún botón. En la caja B

tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco

sobra ningún botón. El número de botones que

hay en la caja A es igual que el que hay en la caja

B. ¿Cuántos botones como mínimo hay en cada

caja?

43. Teresa tiene un reloj que da una señal cada 60

minutos, otro reloj que da una señal cada 150

minutos y un tercero que da una señal cada 360

minutos. A las 9 de la mañana los tres relojes

han coincidido en dar la señal. ¿Cuántas horas,

como mínimo, han de pasar para que vuelvan a

coincidir?

44. Un emperador romano nació en el año 63 a. C. y

murió en el 14 d. C. ¿Cuántos años vivió?

45. Una bomba extraen el petróleo de un pozo a 975

m de profundidad y lo eleva a un depósito

situado a 28 m de altura. ¿Qué distancia se

desplaza el petróleo?

46. ¿Qué diferencia de temperatura soporta una

persona que pasa de la cámara de conservación

de las verduras, que se encuentra a 4 °C, a la del

pescado congelado, que está a –18 °C? ¿Y si

pasara de la cámara del pescado a la de la

verdura?

47. La temperatura del aire baja según se asciende

en la Atmósfera, a razón de 9 °C cada 300

metros. Suponiendo que a nivel cero la

temperatura es de cero grados, ¿A qué altura

vuela un avión si la temperatura del aire es de –

81 °C?

48. En un depósito hay 800 L de agua. Por la parte

superior un tubo vierte en el depósito 25 Litros

por minuto, y por la parte inferior por otro tubo

salen 30 Litros por minuto. ¿Cuántos litros de

agua habrá en el depósito después de 15

minutos de funcionamiento?


Resuelve problemas de aplicación empleando reglas operatorias, propiedades y orden de los números racionales y

decimales.

49. En un curso de Matemática hay 48 alumnos, de

los cuales

son mujeres. ¿Cuántos hombres hay

en este curso?

50. En el cumpleaños de Ana se dividió una torta en

12 partes iguales. Ana se comió

de torta, Paula

comió

, Pedro comió

y Carlos

. ¿Qué fracción

de torta se comieron entre los cuatros amigos?

51. Un ciclista ha estado corriendo durante tres

horas. En la primera hora, ha recorrido los

de

un trayecto; en la segunda hora, ha recorrido los

del trayecto; y, en la tercera hora, ha recorrido

los

del trayecto. ¿Qué fracción queda por

recorrer del trayecto?

52. En un estante A hay 60 botellas de

de litro cada

una y en un estante B hay 120 botellas de

de

litro cada una. Calcula los litros totales que

contienen las botellas en cada estante.

53. Un estanque tiene agua hasta la mitad. Si se

sacan de él 2 litros, se alcanza un nivel

equivalente a los

de su capacidad. ¿Cuántos

litros de agua hacen falta para llenar el

estanque?

54. El valor de la UF es de $ 21.534. Calcular el valor

en pesos de los siguientes seguros: Cesantía 0,05

UF, Protección Identidad 0,25 UF, Desgravamen

0,1 UF, Salud 0,8 UF.

55. Un envase con un litro de aceite pesa 1,21

kilogramos. Si un litro de aceite pesa 1,106

kilogramos, ¿cuánto pesa el envase?

56. Roberto y su hermano Iván salen de paseo, cada

uno en su bicicleta. Si la rueda de Roberto

avanza 1,8 m en cada giro y la de su hermano

Iván 0,45 m menos, ¿cuántos metros avanza la

rueda de la bicicleta de Roberto en tres giros? ¿Y

la bicicleta de Iván en los mismos tres giros?,

¿cuánto más avanzó Roberto que Iván?

57. Un camión que transporta automóviles lleva un

Jeep que pesa 1,375 ton., un automóvil que pesa

0,85 ton y una camioneta que pesa 1,055 ton.

¿Cuánto pesa en total la carga que lleva el

camión?

58. El día de la Solidaridad, los alumnos de primero

medio fueron a pintar las paredes de un hogar

de ancianos. En el living del hogar debían pintar

2 muros, el primero medía 6,4 m de largo por 2,7

m de alto y el segundo 7,9 m de largo por 2,7 de

alto. ¿Cuál es la medida de la superficie total que

debían pintar en ese living?

59. Aproxima cada número a 2, 3 y 5 decimales:

a) 0,3256879546

b) 12,76453429

c) 4,1223130312

d) 5,410463924

e) 125,65831421

f) 1.324,98542132

60. Un estudiante obtuvo en la asignatura de

Matemática I las siguientes notas: 5,1; 3,2; 4,5;

3,9; 3,0. Calcula el promedio (media aritmética),

aproximado a un decimal.

61. El área de un terreno cuadrado es 143 m2.

¿cuánto mide el lado del terreno? Aproxime el

resultado hasta la décima de metro.

62. Un alumno de Inacap está cursando una

asignatura lectiva que tiene en el semestre tres

notas parciales, con ponderaciones 30%, 25% y

45%. Obtiene las siguientes notas,

respectivamente: 4,0; 3,5; 5,1.

a) Calcule la nota semestral.

b) ¿Debe rendir el Examen Final? En caso

afirmativo, ¿qué nota mínima debe obtener

para aprobar la asignatura?


Resuelve problemas de aplicación empleando conceptos y reglas operatorias de los números irracionales.

63. El volumen de una esfera es

, siendo r la

medida del radio. Calcula el volumen de una

esfera de radio √

cm.

64. ¿Qué medida debe tener el radio de una esfera

para que su área superficial sea ?

65. La suma de los cuadrados de dos números es 84.

Si el número mayor es 9. ¿Cuál es el otro

número?

66. Calcula el área de un cubo de arista √ cm.

67. Un número elevado a cuatro multiplicado por 3 y

dividido por 4 da por resultado 3. Halle el

número.


Resuelve problemas de aplicación utilizando las propiedades de las potencias y/o raíces.

68. Un centro de madres organiza una campaña

para conseguir dinero y enviarlo a un

proyecto de cooperación. Para ello han

vendido cajas de lápices de colores. En cada

uno de los 7 días, vendieron 7 paquetes.

Cada uno de estos paquetes contenía 7 cajas

con 7 lápices de colores cada una. ¿Cuántos

lápices han vendido en total?

69. Se tiene un cubo de lado 2 centímetros.

a) ¿Cuánto vale su volumen?

b) Si se duplica el lado, ¿se duplicará

también su volumen?

70. En una caja hay 16 paquetes, cada paquete

tiene 16 bolsas, cada bolsa 16 bombones de

chocolates. Exprese la cantidad bombones

que hay en la caja mediante una potencia.

SOLUCIONES

1. a) 25 b) 105 c) 110 d) 96 e) 2 f) 19 g) 15 h) 37 i) 44 j) 118 k) 15 l) 1.120 m) n)

2. a) b) c) e) 7 f) 5 g) h) 12 i) 13 j) 16 k) 0 l) m) 54 n) o) p) 60 q) 0 r) 14

3. a) b) 3 c) | | d) | | e) | | f) | | g) | | h) | | i) | |

4. a) 146 b) 40 c) 8 d) 15 e) 12 f) 7 g) 2 5. a) 180 b) 225 c) 80 d) 60 e) 72 f) 42

6. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g) h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

7. a) 0,5 b) c) 0,25 d) e) 0,125 f) g) 0,75 h) i) j)

8. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l) 0 m)

9. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

10. a) 7,4968 b) 6,732 c) 87,926 d) 0,03 e) 0,01 f) g)

11. a)

b)

c)

d) 1,02 e)

f) 2 g) 396 h)

i) 1

12. a) b) c) d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) ( ) ( ) f) ( ) ( ) ( )

g) 13. a) b) c) d) e) f) 14. a) b) ( ) c)

d) 15. a)

b)

c)

d)

e)

f) 1 16. a) 16 b) 64 c) 4.096 d) 531.441 e) 282.429.536.500 f)

g)

h)( )

i) j) k) l) (

)

m)

n) 17. a) b) ( ) c) d) ( ) e) f) g) h) ( ) i)

18. a) b) c) d) e) f) g)

19. a) b) 4,25 c) d) e) 20. a)

b)

c)

d)

e) f) g)

21. a) b) c) 8 d) 3/5 e)

f) -1 g)

h) 22. a)

√ √ √ b) √ √ c) √

d) √ √ √ e)

√

f) 17 g) h)

√

i)

23. a) 5 b) 3 c) √

d) √

e) √

24. a) √ b) √

c) √

d) √ e) √ f) √ g)

√

h)

√

i) √ j) √ √ k) √

l) √

m)

√ √

25. Bus pasajeros, $45.200 26. $7.250 27. 300 cm 28. 7 29. 4 buses 30. 6 31. 32. 312 33.

2.512 m 34. En 2000, . En 2010, 35. 30 cm cada parte: 7 cinta azul, 12 de cinta verde, 6 de cinta roja, 10 de

cinta blanca 36. 360 segundos 37. Sólo un elemento (2) 38. 90

39. 30 metros por lado 40. a) 5 collares b) 5 blancas, 3 azules y 18 rojas 41. a) 32 cm de lado b) 24 cuadrados

42. Mínimo 120 botones 43. Deben pasar 30 horas (1.800 minutos) 44. 77 años 45. 1.003 metros 46.

47. 2.700 metros 48. 725 litros 49. 30 hombres 50.

51.

52. 75 litros 53. Faltan 7 litros

54. Cesantía: $1.076,7 – Protección de Identidad: $5.383,5 – Desgravamen: $2.153,4 – Salud: $17.227,2 55. 0,104 kg

56. Roberto avanza 5,4 m, Iván 4,05 . Roberto avanza 1,35 m más que Iván 57. 3,280 toneladas 58.

59. a) 0,33 – 0,326 – 0,32569 b) 12,76 – 12,765 – 12,76453 c) 4,12 – 4,122 – 4,12231 d) 5,41 – 5,410 – 5,41046

e) 125,66 – 125,658 – 125,65831 f) 1324,99 – 1324,985 – 1324,98542 60. 3,9 61. 12,0 metros 62. a) 4,4 b) Si, 4,6

63.

64.

√

metros 65. √ 66. 67. √ 68. 69. a) b) No, se multiplica por 8 70.

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