documento 6-06-09

ÍNDICE GENERAL DE LA TESIS DOCTORAL

CAPÍTULO I. PRESENTACIÓN Y OBJETIVOS

I.1 Antecedentes e introducciónI.2 Objetivos y desarrolloI.3 Perspectivas

CAPÍTULO II. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

II.1 IntroducciónII.2 Transmisión de calor por conducción

II.2.1 La ecuación de Fourier o ecuación de conducciónII.2.2 Medios multicapasII.2.3 Conducción de calor en aletas

II.2.3.1 IntroducciónII.2.3.2 Ecuación diferencial de la aleta 1D. Hipótesis simplificadoras

II.2.4 Condiciones iniciales y de fronteraII.2.5 Soluciones analíticas

II.3 El Método de simulación por redesII.3.1 Idea del método. Tipos de monopuertasII.3.2 El MESIR como método numérico

II.4 Modelos en redII.4.1 La analogía termoeléctrica clásica (antecedentes)II.4.2 Modelos para medios homogéneos y para condiciones de contorno

II.5 El software PSpice-OrcadII.5.1 Introducción y aplicacionesII.5.2 Simulación. Presentación de resultados

II.6 El programa C#

CAPÍTULO III. EL PROGRAMA PROCCA-09

III.1 IntroducciónIII.2 Estructura del programa PROCCA-09III.3 Creación de archivos de modelos

III.3.1 Presentación del programaIII.3.1.1 Pantallas del módulo CONCBAIII.3.1.2 Pantallas del módulo CONCAL

III.4 Criterios para la numeración de celdas, nodos y elementos del modeloIII.5 Estructura de los archivos de texto de modelosIII.6 Pantallas de presentación de resultados III.7 Ejemplos de archivos de modelo

III.7.1 Placa rectangular con una oquedadIII.7.2 Cilindro hueco de dos capasIII.7.3 Aleta rectangular 1-D

CAPÍTULO IV. APLICACIONES DOCENTES Y DE INVESTIGACIÓN

IV.1 IntroducciónIV.2 Aplicaciones docentes

IV.2.1 Transitorios en medios 1-D y 2-D de geometría rectangularPlaca 1-D bajo enfriamiento convectivoPlaca 2-D con condiciones de contorno armónicas

IV.2.2 Placas 1-D bajo condiciones de convección y radiación IV.2.3 Estudio de aletas simples

IV.3 Aplicaciones de investigaciónIV.3.1 Aislamiento de tanques esféricos multicapasIV.3.2 Introducción al diseño de aletas y conjuntos aleta-pared rectangulares

CAPÍTULO V. CONTRIBUCIONES

CAPÍTULO VI. REFERENCIAS

1

I. Presentación y objetivos

Capítulo I

PRESENTACIÓN Y OBJETIVOS

I.1 Antecedentes e introducción 2

I.2 Objetivos y desarrollo 5

I.3 Perspectivas 8

2


I.1 ANTECEDENTES E INTRODUCCIÓN

Durante los años xxx-xxxx de mi estancia como profesor TEU en la Escuela de Ingeniería

Industrial de la actual Universidad Politécnica en Cartagena, como profesor del Área de

Máquinas y Motores Térmicos, la elaboración de una tesis doctoral en el campo de la

termodinámica o en el de la transmisión de calor era, casi, una tarea impensable pues no existían

doctores ni laboratorios adecuados en esa escuela para abordar este objetivo. La solución era

investigar en otras Universidades, Murcia o Valencia, lo que para muchos suponía un esfuerzo

extraordinario. Poco antes de mi traslado a la Universidad de Murcia se formó en la UPCT el

grupo de investigación “Simulación por Redes”, dirigido por el profesor Carlos González, con

el objetivo inicial de aplicar las técnicas del Método de redes a problemas de transmisión del

calor. Yo empecé a interesarme en esta técnica y fruto de ello fueron mis primeros trabajos en

este campo que se tradujeron en publicaciones en congresos nacionales e internacionales y en

revistas científicas, Alcaraz y col. [2001], Alhama y col. [2001], Alarcón y col [2001] y Zueco y

col. [2001], Alarcón y col. [2002a, 2003a] Zueco y col. [2002b] y Alcaraz y col [2003b]. Tras

varios años en los que mi tarea fundamental en la UMU derivó hacia las Ciencias de la

Educación, sin abandonar mi trabajo docente en el campo termodinámico ni abandonar mi

contacto con el grupo de Cartagena y mi intención de hacer mi tesis doctoral, surge un punto de

encuentro: combinar las Nuevas Tecnologías con la docencia propia de mi área. La elaboración

de esta memoria es el fruto de ese encuentro.

[Paco: Incluir un párrafo sobre los aspectos educativos de la tesis (necesidad de una enseñanza técnica moderna en la que el ordenador juegue un papel esencial); incluir tres referencias bibliográficas como máximo), 10 líneas en total como máximo para este párrafo].

Con todo, en el año 2004, el responsable del grupo de investigación me invitó a trabajar en la

elaboración de dos programas básicos, uno para la conducción de calor en medios multicapas

rectangulares y otro para el cálculo y diseño de aletas simples, con el objetivo de que ambos

fueran el germen de una posible memoria de tesis doctoral tras extenderlos a otras geometrías y

ampliar los objetivos en el campo general de conducción de calor, materia del área de

conocimiento a la que pertenezco. En 2005 salieron las primeras versiones educativas de estos

programas, el segundo de los cuales ya se ha registrado en su versión definitiva, “PRODASIM

1” [,2007] y el primero, PESCAR está en fase de registro. Como fruto de este trabajo se han

presentado varias comunicaciones a congresos, nacionales e internacionales y en revistas

científicas, tanto de carácter técnico como educativo, Del Cerro Velázquez y col. [2004a, 2004b,

2004c, 2004d, 2005a, 2005b, 2008]. Durante este periodo también he desarrollado trabajos con

el método de simulación por redes dentro del grupo sobre modelos específicos aplicados a

educación y otros de carácter científico, Del Cerro Velázquez y col. [2044e, 2004f], Del Cerro

Velázquez y Alhama [2004g, 2004h].

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Tras la finalización de estos programas, cuyos derechos de explotación fueron cedidos a la

UPCT, el director de esta memoria me invitó a trabajar en un programa más amplio y refinado

que constituyera el núcleo de una tesis doctoral. Tras marcar los objetivos de este programa, de

nombre PROCCA-09, ahora en fase de registro para su explotación, después de algunos años de

trabajo, hemos concluido con la realización de la presente memoria.

La conducción de calor es, sin duda, uno de los campos más relevantes en ingeniería pues son

muchos los procesos industriales en los que se da este fenómeno físico. Conocer los aspectos

esenciales del mismo es, pues, un objetivo fundamental de la docencia en las escuelas de

ingeniería, en particular en la carrera de ingeniero químico. Para cubrir este objetivo, además de

una adecuada preparación del profesorado y una planificación adecuada de la enseñanza, es

preciso el concurso del material didáctico necesario que incluye los textos de estudio de teoría y

problemas, las prácticas de laboratorio y, cuando es posible, el uso de programas de ordenador

específicos. Las ventajas de esta última herramienta, en contraposición con las prácticas de

laboratorio, son muchas: es generalmente barata y no tiene riesgos, portátil, permite el

autoaprendizaje, se adapta al ritmo personal de cada alumno, se auto corrige, etc. En esta línea,

la presente tesis doctoral se orienta a la elaboración de un programa de conducción de calor que

cubra los objetivos de docencia en este campo, dentro del programa exigido por el ministerio en

sus orientaciones troncales para las diferentes titulaciones de grado de todas las ingenierías.

El programa de conducción de calor, “PROCCA-09” [2009], que se constituye entonces en el

objetivo fundamental de esta tesis, se estructura en dos módulos: el primero, “CONCBA”

(módulo básico de conducción de calor), de carácter general, se orienta a la resolución numérica

de la ecuación lineal transitoria del calor en diferentes geometrías y medios homogéneos

(monocapa) y heterogéneos (multicapas), 1-D y 2-D, con condiciones de contorno arbitrarias

(lineales o no) y con extensiones particulares que permiten la localización de dominios

anómalos en la región estudiada; el segundo, “CONCAL (módulo de aplicación al cálculo y

optimización de aletas)”, se orienta específicamente al diseño y optimización de algunos tipos

de aletas y conjuntos aleta-pared rectangulares, un tema esencial en el diseño de equipos

térmicos.

Aunque algunos de los problemas lineales estudiados con estos programas tienen solución

analítica, si bien frecuentemente mediante series complicadas de convergencia lenta

(particularmente en geometrías cilíndricas y esféricas), la solución presentada por los programas

se basa en cálculos numéricos bien contrastados. La herramienta usada a este fin es el método

de simulación por redes (MESIR) que hace uso de la similitud entre el transporte de calor y el

de carga eléctrica, si bien no se trata de la conocida analogía termoeléctrica contenida en

muchos libros de texto (Holman [1981], Incropera y de Witt [1981], Chapman [1984], Grigull y

Sandner [1984], Kakaç y Yener [1985], Özisik [1993], Lienhard [1987], White [1988], Brodkey

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y Hershey [1988], Bayazitoglu y Özisik [1988], Thomas [1992] y Mills [1995]) cuyo objetivo,

además de orientarse exclusivamente a problemas lineales, es frecuentemente académico o

formal, resolviendo problemas en los que la analogía se establece entre partes finitas del medio

en el que tiene lugar la transmisión del calor que, a su vez, están conectadas en serie o paralelo

con otras partes del mismo u otro medio.

En los años 60 la analogía termo-eléctrica llegaba a implementar físicamente los circuitos y

tuvo un cierto auge pues los cálculos numéricos no se habían desarrollado suficientemente. Sin

embargo, tal simulación analógica tuvo no pocas dificultades que propiciaron su abandono

como herramienta de cálculo; entre ellas, los relativamente elevados márgenes de tolerancia en

la fabricación de componentes y su elevado número en problemas complejos. El enorme

desarrollo en capacidad y velocidad que experimentaron los equipos informáticos hizo que estos

desbancaran sin esfuerzo las técnicas analógicas de simulación.

El Método de simulación por redes aplicado a los problemas de conducción térmica, objeto de

los programas presentados en esta memoria, pretende aunar todo el potencial existente en la

analogía termo-eléctrica con la potencia de los modernos ordenadores. En este sentido, el

software empleado para la resolución de los modelos en red tiene las ventajas de trabajar con

dispositivos ideales, disponer de amplias librerías de componentes, aportar soluciones con

errores tan pequeños como se soliciten y requerir tiempos de ejecución relativamente pequeños.

Además el número de reglas requeridas para elaboración de los archivos (modelos) contenidos

en los programas objeto de esta tesis es muy pequeño ya que, por un lado, son muy pocos los

componentes eléctricos diferentes que necesitan y por otro, el tipo de operaciones y resultados

requeridos son siempre los mismos (determinación de temperaturas y flujos de calor en el

medio).

En cuanto a los criterios para el desarrollo del programa presentado en esta memoria,

mencionaremos que se ha desarrollado en un ambiente (o interfaz), bajo Windows, agradable

para el usuario al que sólo se le exige unas nociones fundamentales de conducción de calor. La

introducción sucesiva y ordenadas de datos, la manipulación y tratamiento de los archivos de

programa generados, el acceso al módulo de cálculo y la obtención y tratamiento de los

resultados gráficos y numéricos son aspectos que se han elaborado cuidadosamente y con la

información de ayuda necesaria. El programa dispone, así mismo de herramientas

autocorrectoras que informan al usuario de los límites en los valores de los rangos numéricos y

de posibles errores en la introducción de datos.

Por último diremos que el presente trabajo se enmarca dentro de las líneas de investigación del

grupo “Simulación por Redes” de la Universidad politécnica de Cartagena y pretende abrir un

nuevo frente en sus objetivos: la elaboración de programas docentes y de investigación basados

en los modelos diseñados por este grupo y aplicados a diferentes campos de la ciencia e

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ingeniería: transmisión de calor, flujo de fluidos con transporte de solutos, mecánica del

rozamiento, elasticidad, etc.

I.2 OBJETIVOS Y DESARROLLO

El objetivo de esta memoria es la elaboración de un amplio programa, “PROCCA-09”, de

ordenador para la resolución de problemas transitorios y estacionarios de conducción de calor

en medios lineales, incluido el cálculo y optimización de aletas, que pueda ser aplicado tanto al

campo docente como de investigación. El software de programación usado es C# (Archer

[2004]), un código que aprovecha las ventajas de la programación en C++. La presentación bajo

entorno Windows del programa, muy intuitiva y con ayudas, permite al usuario seguir los pasos

lógicos, introducción de datos para la elaboración del modelo asociado al problema,

comprobación y/o modificaciones del modelo, simulación en el correspondiente software

numérico (PSpice [1994]) y tratamiento y presentación de los resultados en forma tabulada o

gráfica, usando para ello el programa MATLAB [1997] consecución del problema y

presentación de las soluciones en forma tabulada o gráfica. La finalidad del programa es doble:

i) docencia, problemas ya organizados y otros propuestos ii) investigación, problemas nuevos y

diseño de equipos. Como se ha mencionado en la introducción, el programa se ha estructurado

en dos módulos denominados, CONCBA y CONCAL.

El primer módulo, CONCBA, es de carácter fundamental y permite la elaboración y simulación

de modelos para los siguientes problemas:

Problemas transitorios y estacionarios, 1-D, en geometría rectangular, cilíndrica

(variable el radio del cilindro) y esférica (variable el radio de la esfera), multicapas (con

capas de materiales homogéneos) y condiciones de contorno arbitrarias. Pueden

adoptarse una geometría hueca tanto para las coordenadas cilíndricas como para las

esféricas.

Problemas transitorios y estacionarios, 2-D, en geometría rectangular y cilíndrica (con

el radio y la altura del cilindro como variables), multicapas (con capas de materiales

homogéneos) y condiciones de contorno arbitrarias. Puede adoptarse también una

geometría hueca para el cilindro. Las condiciones de contorno son arbitrarias y pueden

extenderse a cada una de las cuatro regiones que definen el contorno o a dominios más

pequeños (y hasta puntuales) dentro de estas regiones.

En relación con las condiciones de contorno pueden adoptarse las siguientes:

- Isoterma

- Temperatura dependiente del tiempo (rectangular, sinusoidal, polinomial, a

tramos, pulso…)

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- De flujo constante

- De flujo dependiente del tiempo (rectangular, sinusoidal, polinomial, a

tramos, pulso…).

- Adiabática

- De convección

- De radiación

- De convección y radiación simultáneas

Con las condiciones dadas, el programa es capaz de realizar los cálculos requeridos

para el diseño de paredes multicapas para la optimización de recintos de aislamiento

térmico tales como tanques industriales, paredes de edificación, recintos

refrigerados, etc.

El módulo específico de elaboración y simulación de modelos para el cálculo y optimización de

aletas, CONCAL, es de carácter aplicado y permite abordar los siguientes problemas:

Problemas transitorios y estacionarios, 1-D, de aletas simples de cualquier sección y

condiciones de contorno arbitrarias,

Problemas transitorios y estacionarios, 1-D, de aletas anulares (geometría cilíndrica

hueca),

Problemas transitorios y estacionarios, 2-D, de conjuntos aleta-pared recta

rectangular, con condiciones de contorno arbitrarias. Se incluye el caso de la aleta

rectangular con pared desnuda, es decir, el caso de aletas rectas rectangulares 2-D,

En relación con las condiciones de contorno, se pueden aplicar las mismas que se

han mencionado para el otro módulo (CONCBA).

Con las posibilidades mencionadas es posible abordar el diseño de todos los

conjuntos mencionados, es decir resolver el problema de optimización: dado un

volumen de material encontrar el tipo de aleta que permite la máxima transferencia

de calor (o, dado el dato de calor disipado, encontrar la menor cantidad de material

de aleta que permite tal disipación,

El funcionamiento de los diferentes subprogramas que interactúan entre si, PROCCA-09 (para

la elaboración de modelo), PSpice (para simulación numérica y presentación de resultados) y

MATLAB (para presentaciones gráficas alternativas) esta coordinado por el programa principal,

PROCCA-09, el cual, mediante los comandos oportunos es capaz de arrancar la simulación, en

sus diferentes opciones, cuando sea preciso, ejecutar el entorno gráfico de salida de datos de

7


PSpice y solicitar y tratar sus salidas numéricas de datos para hacer representaciones

complementarias a conveniencia mediante MATLAB. Las rutinas creadas a tal fin se incorporan

en el programa principal, PROCCA-09. En este sentido se constituyen en objetivos parciales del

programa principal los siguientes:

Creación de las subrutinas necesarias para corregir los modelos,

Creación de un archivo de texto que se integrará como un programa general de

ayuda integrado en el programa principal,

Creación de las subrutinas de arranque de programas auxiliares, tratamiento de

datos, representaciones gráficas y otras opciones,

Creación de las opciones de simulación que permitan ejecutar simulaciones

múltiples para optimización y tratar los datos en estos casos,

Se resume, a continuación el desarrollo de los Capítulos de esta memoria.

En el Capítulo II se presentan los aspectos teóricos y metodológicos que hemos considerado

necesarios para enmarcar adecuadamente los contenidos de la misma. En primer lugar los

aspectos relativos a los fundamentos de conducción de calor: las ecuaciones de transporte

lineales en diferentes geometrías, 1-D y 2-D, bajo la hipótesis de Fourier. En segundo lugar los

aspectos asociados a la aplicación de la técnica numérica usada para la simulación, el método de

simulación por redes (MESIR), exponiendo brevemente los contenidos de esta técnica. En el

mismo capítulo se incluyen tanto los fundamentos del programa PSpice usado para la ejecución

(simulación) de los modelos como una introducción a la programación en C# y al programa de

cálculo matemático MATLAB, usado para ciertas representaciones gráficas.

El Capítulo III se dedica a la exposición del programa objeto de esta memoria, PROCCA-09.

Se muestra en detalle el funcionamiento del programa en todos los aspectos: definición del

problema, entrada de datos, creación del modelo, modificaciones, opciones de simulación y

búsqueda de resultados. Se exponen todas las posibilidades de PROCCA-09 aunque creemos

sinceramente que es posible arrancar otras opciones al programa no incluidas en este capítulo,

particularmente fruto de las posibilidades de las nuevas versiones de PSpice en las que se

incorporan nuevas opciones de simulación múltiple.

El Capítulo IV se dedica a las aplicaciones docentes y de investigación de PROCCA-09. Dado

que el enfoque docente como programa para realizar prácticas de conducción de calor es uno de

los objetivos del programa, se exponen dos aplicaciones que pueden desarrollarse como

prácticas guiadas de laboratorio. También se incluyen dos aplicaciones, una de diseño de

paredes multicapas y otra de optimización de aletas, que por su contenido podrían considerarse

objetivos de investigación.

Las contribuciones de esta memoria se recogen al final, en un apartado específico.

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I.3 PERSPECTIVAS

El camino abierto con la elaboración del programa PROCCA-09 es, de hecho, una nueva línea

de trabajo del grupo de investigación “Simulación por redes” de la UPCT a la que dedicaremos

un gran esfuerzo en los próximos años. Creemos que la elaboración de programas puede

convertirse en una actividad interesante que, sobre la base de que el diseño previo es la

actividad fundamental de dicho grupo, permite cerrar el trabajo del grupo haciéndolo completo.

La elaboración de otros programas de transmisión de calor que incluyan sistemas de ecuaciones

acopladas (movimiento de fluidos con transporte de calor simultáneo), problemas de radiación

entre paredes, protocolos para la resolución de problemas inversos, optimización multivariable,

etc., junto con programas de otro tipo que han sido o son objetivos de investigación del grupo,

tales como flujo de aguas subterráneas con transporte de soluto, modelos de rozamiento,

problemas de elasticidad, caos, etc., proporciona un campo de trabajo casi ilimitado y muy

fructífero. Es aquí donde tengo el propósito de proyectar mi futuro trabajo de investigación.

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II. Fundamentos teóricos

Capítulo II

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

II.1 Introducción

II.2 Transmisión de calor por conducción

II.2.1 La ecuación de Fourier o ecuación de conducción

II.2.2 Medios multicapa

II.2.3 Conducción de calor en aletas

II.2.3.1 Introducción

II.2.3.2 Ecuación diferencial de la aleta 1D. Hipótesis simplificadoras

II.2.4 Condiciones iniciales y de frontera

II.2.5 Soluciones analíticas

II.3 El Método de simulación por redes

II.3.1 Idea del método. Tipos de monopuertas

II.3.2 El MESIR como método numérico

II.4 Modelos en red

II.4.1 La analogía termoeléctrica clásica (antecedentes)

II.4.2 Modelos para medios homogéneos y para condiciones de contorno

II.5 El software PSpice-OrCAD

II.5.1 Introducción y aplicaciones

II.5.2 Simulación. Presentación de resultados

II.6 El programa C#

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II.1 INTRODUCCIÓN

Los objetivos cubiertos en este capítulo son varios. Se exponen, en primer lugar, los

fundamentos de la ciencia de conducción del calor, particularizando al caso de los problemas en

medios lineales objeto del programa de esta memoria. Se presenta la ecuación transitoria de

conducción, 1-D y 2-D, en medios homogéneos y heterogéneos multicapas, en las geometrías

rectangular, cilíndrica y esférica, así como las ecuaciones de conducción en aletas simples,

aletas anulares y en conjuntos aleta-pared rectangulares. Se completan los modelos matemáticos

con las condiciones de contorno habituales, que incluyen la condición no lineal de convección,

radiación y convección más radiación. Las soluciones analíticas, a estos problemas de

conducción de calor, cuando existen, están habitualmente constituidas por desarrollos en serie

de convergencia lenta, particularmente en geometrías no rectangulares.

A continuación, se introducen brevemente los fundamentos del Método de Simulación por

Redes (MESIR), herramienta de cálculo para la simulación numérica de los problemas que el

programa propuesto es capaz de abordar. El MESIR es un método versátil y potente, muy

extendido en la literatura científica, capaz de modelar, en principio, cualquier problema

matemático definido mediante un conjunto de ecuaciones de gobierno y de condiciones de

contorno. Los modelos usados en esta memoria que se introducen en este capítulo, han sido ya

publicados en la literatura científica por investigadores del grupo de simulación por redes y han

demostrado, en efecto, ser suficientemente precisos ya que los errores quedan reducidos a

valores del 0,5 ó 1 % para problemas transitorios lineales, 1-D y 2-D, con mallados

relativamente pequeños (Alhama [1999], Alarcón [2001] y Alarcón y col. [2000a y 2000b]).

La aplicación del MESIR precisa de un programa de resolución de circuitos eléctricos. De entre

los existentes en el mercado se ha adoptado OrCAD (derivado del antiguo software PSpice

[1994]) en sus diferentes versiones. Un objetivo de este capítulo se dedica a las posibilidades de

análisis y simulación de este programa.

Por último, se hace una introducción al software comercial C#, código de programación usado

para la elaboración del programa.

II.2 TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN

II.2.1 La ecuación de Fourier o ecuación de conducción

Para un medio homogéneo e isótropo, es decir, de conductividad independiente de la posición y

de la dirección espacial, la relación entre la densidad de flujo calorífico, j (W/m2), energía por

segundo que cruza la unidad de superficie isoterma, y el gradiente térmico T (K/m), vector

normal a la superficie o línea isoterma, viene dada por la ley de Fourier (introducida con

anterioridad por Biot [Biot, 1816]),

11


(2.1)

donde r es la posición (m), t el tiempo (s) y k la conductividad térmica (W K-1 m-1), magnitud

escalar positiva. Se trata de una ley fenomenológica, es decir, no deducida de principios

fundamentales sino derivada a partir de observaciones directas. Como es sabido, la conducción

es uno de los tres modos de transmisión del calor en el que el intercambio energético tiene lugar

en sólidos, o en fluidos en reposo (ausencia de movimientos convectivos resultantes del

desplazamiento de porciones macroscópicas del medio), debido a la presencia de una diferencia

de temperaturas.

El balance energético local en un medio en reposo entre la energía almacenada (energía térmica

interna), la energía en tránsito (calor) y la generada o consumida por el propio medio (fuentes o

sumideros), permite ser formulado matemáticamente en términos de una ecuación en derivadas

parciales denominada ecuación de conducción del calor, Figura 2.1. Para un medio homogéneo

e isótropo dicha ecuación tiene la forma

(2.2)

Figura 2.1 Balance energético local

En esta ecuación g(r,t), W/m3, es la densidad de potencia (potencia generada por unidad de

volumen en un punto del medio de posición r), es la densidad (kg m-3), y ce el calor específico

por unidad de masa a presión constante (J kg-1 K-1). Sustituyendo la densidad de flujo de calor

de la ecuación (ecuación (2.1)) en la ecuación anterior, la ecuación de conducción puede

expresarse en términos de una única variable dependiente, la temperatura, y dos independientes,

la posición y el tiempo:

(2.3)

Si se trata de un medio lineal (conductividad y calor específico constantes, es decir,

independientes de la temperatura y la posición) la ecuación de conducción se reduce a

12


(2.4)

donde = k/( ce) es la llamada difusividad térmica (m2/s), asociada con la rapidez global de

propagación del calor en el medio. En ausencia de generación interna ni sumideros de calor la

ecuación se simplifica a

(2.5)

En coordenadas rectangulares, Figura 2.2a, la ecuación de conducción tiene la forma

(2.6a)

o bien

(2.6b)

En coordenadas cilíndricas, Figura 2.2b, la ecuación de conducción tiene la forma

(2.7a)

o bien

(2.7b)

mientras que el coordenadas esféricas, Figura 2.2c, la forma de la ecuación es

(2.8a)

o bien

13


(2.8b)

14


Los problemas abordados estudiados en esta memoria abordan sólo tratan con geometrías 2-D

rectangulares, 2-D cilíndricas, con r y z como variables independientes, y 1-D esféricas, con r

como variable espacial. Así, las ecuaciones anteriores se simplifican para estas coordenadas,

respectivamente, a las siguientes

(2.9a)

(2.9b)

(2.10a)

o bien, en medios con características térmicas constantes,

(2.10b)

15

Figura 2.2a Geometría rectangular

Figura 2.2b Geometría cilíndrica Figura 2.2c Geometría esférica


(2.11a)

16


(2.11b)

La deducción de estas ecuaciones puede encontrarse en numerosos libros de texto entre los que

cabe mencionar, por su carácter pedagógico, a Chapman [1984], Özisik (1993), Bejan [1995],

Mills [1995] y Incropera y DeWitt [1996].

II.2.2 Medios multicapa

La geometría de estos medios, mostrada en la Figura 2.3 para el caso de geometría cilíndrica

hueca 2-D, es frecuente en multitud de procesos de transmisión de calor tales como: i) equipos

propios de la industria de producción de frío y calor, ii) recintos aislantes de almacenamiento de

productos alimenticios y gases y líquidos industriales, iii) aislamiento térmico de edificaciones,

etc. Los medios suelen estar formados por varias capas una de las cuales suele ser la capa

térmicamente no conductora (o aislante), situada en la zona central, mientras que las otras

suelen tener otras propiedades mecánicas o químicas requeridas por el diseño.

En cada capa se satisface la ecuación de calor, (2.9b), (2.10b) ó (2.11b), según la geometría

correspondiente, rectangular, cilíndrica y esférica, respectivamente, de forma que el conjunto

global de ecuaciones, es de la forma

i = 1, 2, …n (2.12)

i = 1, 2, …n (2.13)

i = 1, 2, …n (2.14)

donde ‘n’ es el número de capas. Además de estas ecuaciones deben cumplirse las condiciones

de frontera entre capas; en el caso de contacto térmico perfecto estas ecuaciones son la de

conservación del flujo calorífico entre medios y la de continuidad del valor de la temperatura al

pasar de un medio a otro, es decir

(2.15)

(2.16)

17


donde Li es el tamaño de capa i (en esta ecuación el origen de coordenadas se ha tomado al

principio de cada capa).

18


Figura 2.3 Medio multicapas. Geometría cilíndrica hueca 2-D

II.2.3 Conducción de calor en aletas

II.2.3.1 Introducción

Dentro del campo de la ingeniería, las aletas son elementos adicionales que se adosan a la

superficie de un cuerpo cuando se desea eliminar calor de éste. Pueden ser del mismo o distinto

material que la pared del cuerpo al que están adosadas. Las aletas forman parte esencial de

dispositivos tan variados y comunes como intercambiadores de calor, compresores, motores

térmicos o eléctricos refrigerados por aire, disipadores de calor en dispositivos eléctricos y

electrónicos, etc. La adición de la aleta trae como consecuencia un aumento del área por la que

se intercambia calor entre el cuerpo y el medio. Sin embargo, dado que el flujo de calor ha de

atravesar mayor cantidad de material (el material de la propia aleta) se produce un aumento de

la resistencia térmica. Así, aunque en muchas aplicaciones las aletas se emplean para disipar

calor, es decir, para aumentar la transmisión de calor hacia el entorno, más frío, también pueden

realizar la función inversa, es decir, aumentar la ganancia térmica de un objeto.

En general, la relativamente gran longitud relativa y pequeño espesor de la aleta proporcionan

una gran superficie de contacto con el fluido que baña la superficie exterior del cuerpo,

superficie a través de la cual se disipa el calor que entra en la aleta por su base. El mecanismo

más frecuente de intercambio térmico a lo largo de toda esta superficie exterior es la

convección, en las distintas formas que ésta adopta. En este caso se habla de aletas convectivas.

19


En otros casos, cuando el salto térmico es importante o no existe fluido exterior, la radiación

puede ser el mecanismo de disipación. También puede ser importante el flujo disipado por la

pared desnuda por lo que es necesario considerar ésta en muchas aplicaciones.

La terminología de las aletas rectas de sección constante se muestra en la Figura 2.4. Las aletas

longitudinales o rectas se caracterizan porque la base de la aleta es plana y se extiende a lo largo

de la superficie primaria también plana o casi-plana. Se denomina base de la aleta a la superficie

en contacto con la pared sobre la que descansa la aleta o superficie primaria; el extremo o punta

de la aleta es la superficie más alejada de la base; los flancos o superficies laterales son las

principales superficies de disipación de calor y los bordes son las superficies que cierran el

volumen de la aleta, cuyo efecto sobre la transmisión de calor es despreciable en ciertos tipos de

aletas longitudinales. Se incluyen también en los programas propuestos aletas de sección

cuadrada, circular y sección arbitraria, Figura 2.5.

Las dimensiones principales de las aletas rectas rectangulares son la longitud o altura, La, el

espesor, 2e, y la anchura, b. Se denomina sección transversal a la sección en el plano YZ, plano

perpendicular al flujo térmico, mientras que la sección longitudinal es la del plano XY que

define el perfil de la aleta. El plano XZ es, en este caso, un plano de simetría en aletas rectas y

contiene al eje de la aleta de dirección axial, eje X, dirección principal en la que fluye el calor.

En relación con las aletas tipo aguja, Figura 2.5, el programa incluye todos los tipos de aleta,

cuya denominación atiende a la forma de la sección transversal: rectangulares, cuadradas,

circulares, etc.

Figura 2.4 Nomenclatura de la aleta recta longitudinal

20

b

La

2e

base

punta

flancos bordes

x

z

y


Figura 2.5 Aletas tipo aguja:

Fig. 2.5a Aleta rectangular;

Fig. 2.5b Aleta circular;

Fig. 2.5c Aleta de sección elíptica.

El modelo físico más frecuente que se encuentra en la literatura técnica es el de aleta aislada

(Kern y Kraus [1972]; Chapman [1984], etc.) Figura 2.6, es decir una aleta que se considera

independiente de la pared soporte, asumiendo en su base una temperatura conocida, dependiente

o no del tiempo, u otra condición de contorno tipo convectivo, de radiación.

Figura 2.6 Aleta longitudinal o recta aislada de perfil rectangular o de sección constante

21

a)

c)

b)

La

2e

x

T

Tb

b

z

y


II.2.3.2 Ecuación diferencial de la aleta 1D. Hipótesis simplificadoras

Los primeros estudios formales provienen de principios del siglo pasado, Harper y Brown,

[1922], y abarcan un significativo número de geometrías. Estos estudios clásicos se basan en las

llamadas hipótesis de Murray-Gardner (Gardner [1945]), o hipótesis simplificadoras (limiting

asumptions) (Kern y Kraus [1972]). Aún hoy se asumen la mayor parte de estas hipótesis, tanto

en los libros de texto especializados como en gran parte de la literatura científica, para el diseño

práctico de estos conjuntos. Estas hipótesis son:

i) el calor a través de la aleta y su temperatura permanecen constantes a lo largo del

tiempo (proceso estacionario)

ii) el medio es uniforme e isótropo, con conductividad térmica constante

iii) el coeficiente de convección es constante y uniforme en toda la superficie exterior de la

aleta

iv) la temperatura del medio exterior que rodea la aleta es uniforme

v) el espesor es tan pequeño comparado con la longitud o altura de la aleta que es

despreciable el gradiente térmico en la dirección del espesor de la aleta OY

(unidimensional en la dirección axial de la aleta)

vi) la temperatura en la base de la aleta es conocida y uniforme, lo que implica la

consideración de la aleta aislada y despreciando su posible interacción con la pared a la

que está unida, o sin formar un conjunto con otras aletas

vii) no existe resistencia térmica de contacto entre la aleta y la pared que la sustenta o

superficie primaria

viii) no existen fuentes o sumideros internos de calor

ix) aleta suficientemente ancha (dirección OZ) como para despreciar los efectos de borde

x) el calor intercambiado por la aleta es proporcional a la sobretemperatura entre la aleta y

el medio exterior (no existe radiación),

Otra condición que a menudo se impone en muchos estudios es:

xi) extremo adiabático

Las aletas objeto de estudio en esta tesis pueden asumir, pues, una condición complementaria

que transciende de estas hipótesis clásicas, la condición de radiación tanto en la superficie de la

aleta como en el extremo de la misma. Esta condición, además, puede simultanearse o no con la

de convección y su inclusión impide la obtención de soluciones analíticas o semianalíticas del

problema. Además, los modelos aleta recta rectangular y conjunto aleta pared recta rectangular

son 2-D por lo que no necesitan satisfacer la hipótesis aludida en relación con el valor del

número de Biot.

Algunas de estas hipótesis (conducción 1-D, efecto de la pared y sólo disipación por

convección) no son necesariamente asumidas por el programa que es capaz de dar soluciones a

problemas menos restrictivos.

22


El modelo unidimensional proporciona resultados suficientemente precisos para el cálculo y

diseño de aquellas aplicaciones en las que el número de Biot, , está por debajo de 0,1

y se cumplen sustancialmente las hipótesis clásicas, Irey [1968].

La ecuación de conducción, 1-D, para aletas rectas (Figura 2.7), viene dada por

(2.17)

donde es el parámetro de la aleta (inverso de la longitud característica).

Figura 2.7 Aleta recta de espesor uniforme o aguja de sección transversal constante

Para aletas anulares, Figura 2.8, esta ecuación es

(2.18)

23

L

xx

L C = 2A = ω x 1


Figura 2.8 Aleta anular de espesor constante

A estas ecuaciones hay que añadir las condiciones de contorno. Por último, para aletas rectas 2-

D las ecuaciones de gobierno son

(2.19)

(2.20a)

(2.20b)

(2.20c)

(2.20d)

o

(2.20e)

En estas ecuaciones se ha utilizado la temperatura adimensional

donde Tb es la temperatura de la base y Tref la del fluido externo. La ecuación (2.20d) representa

una condición adiabática, caso particular de la ecuación (2.20e) que es una condición

convectiva.

Para los conjuntos aleta-pared a estas ecuaciones hay que añadir las de conducción 2-D en la

pared y sus condiciones de contorno, ecuaciones similares a las expuestas anteriormente.

II.2.4 Condiciones iniciales y de frontera

La ecuación de conducción requiere, para su solución, la especificación de unas condiciones de

contorno asociadas a los límites del medio o fronteras y de unas condiciones iniciales que

proporcionan la información sobre el campo inicial de temperaturas en el medio y el origen de

24

re

rb

t0

r

k

h tf

δr

W

W


la coordenada tiempo. Estas condiciones se expresan mediante ecuaciones matemáticas simples

para los problemas estudiados en esta memoria.

25


Si llamamos a la superficie de la frontera A, se define la densidad de flujo calorífico de

conducción (W/m2) que cruza la superficie A como . Esta densidad

de flujo de calor, de acuerdo con el tipo de interacción entre el medio y el exterior, puede ser

debida a diferentes causas. Entre éstas cabe distinguir:

jfuente, asociada a una fuente incidente externa.

jconv, representa fuentes o sumideros de tipo convectivo debida al contacto de la superficie

A con un fluido exterior, , donde Tpared es la temperatura en la pared,

T la del fluido exterior lejos de la superficie y h el llamado coeficiente de transferencia

de calor o coeficiente de película; h depende, en general, del tipo de flujo (laminar,

turbulento, etc.), de la geometría y aspecto superficial de la pared, de la diferencia de

temperaturas “Tpared - T”, de las propiedades físicas del fluido, etc. El rango de valores de

este coeficiente es muy amplio y en muchos textos de ingeniería pueden encontrarse

tabulaciones de h para cada tipo de aplicación.

jrad, representa las pérdidas (o ganancias si jrad > 0) de calor por radiación hacia el medio

exterior, donde es la emisividad de la superficie, la

constante de Stefan-Boltzmann y Tr la temperatura de referencia del medio exterior para

la radiación.

El balance energético a través de la superficie A es de la forma jn(xfrontera) = jfuente + jconv + jrad

que usando las expresiones anteriores, puede escribirse en función de una única variable, la

temperatura en la pared, mediante la ecuación no lineal:

(2.21)

Con todo, las condiciones de contorno se clasifican en los textos habituales de acuerdo con la

terminología siguiente:

Condición de contorno de primera clase: Se especifica la temperatura en la frontera como

una función generalmente dependiente de la posición y el tiempo, . El caso

se llama condición de contorno homogénea de primera clase.

Condición de contorno de segunda clase: Se conoce el flujo externo en la superficie de la

pared, que debe coincidir con el flujo calorífico de conducción, . El caso

especial , condición homogénea de contorno de segunda clase,

corresponde a una pared adiabática.

26


Condición de contorno de tercera clase: Se trata de una condición convectiva; el flujo de

conducción en la superficie de la pared coincide con el de convección del fluido exterior,

. El caso se llama condición homogénea de contorno de

tercera clase. Las condiciones de primera y segunda clase pueden derivarse de esta última

haciendo k = 0 ó h = 0, respectivamente.

Condición de radiación: Algunos autores (Mills [1955]), se refieren a ésta como condición

de cuarta clase cuando la emisividad, , y la temperatura de referencia, Tr, son constantes.

La condición de radiación puede aproximarse a la

ecuación lineal , con , cuando entre las

temperaturas Tpared y Tr se cumple .

Condición de contacto entre medios: Se da cuando dos medios de igual o diferente

conductividad se someten a un contacto térmico imperfecto. El balance energético en la

frontera requiere que se cumpla una ecuación lineal del tipo

, donde h1,2 es la llamada

conductancia térmica de contacto entre medios, que depende de la rugosidad de las

superficies, tipo de material, presión de contacto, material de separación de los medios, etc.

Para un contacto perfecto, conductancia infinita, la ecuación anterior se convierte en

.

II.2.5 Soluciones analíticas

Muchos de los problemas que pueden simularse con el programa de conducción propuesto en

esta tesis tienen solución analítica, particularmente los problemas con condiciones de contorno

lineales, aunque estas soluciones sean de difícil tratamiento por tratarse de series matemáticas

de lenta convergencia que han de ser resueltas con programas de cálculo matemático.

Remitimos a los textos Carslaw y Jeager [1959], Chapman [1984], Incropera y DeWit [1981] y

Özisik [1993] para estas soluciones.

Para otros problemas no lineales pueden encontrarse, en ocasiones, soluciones semianalíticas y

en cualquier caso todos pueden tratarte numéricamente. La herramienta numérica con la que se

resuelven los problemas del programa, el MESIR, es muy precisa ya que ha sido contrastada en

numerosas aplicaciones tanto en el campo de transmisión de calor como en otros campos, por lo

que sus soluciones pueden considerarse fiables.

27


II.3 EL MÉTODO DE SIMULACIÓN POR REDES

II.3.1 Idea del método. Tipos de monopuertas

El Método de simulación por redes (MESIR o NSM, Network Simulation Method) (González-

Fernández y col. [2002]) es una técnica para el estudio de diferentes procesos físicos que

puedan definirse mediante un conjunto de ecuaciones, o modelo matemático. Partiendo de éstas

el procedimiento consiste, en primer lugar, en elaborar un “modelo en red” o circuito eléctrico

equivalente al proceso, y en segundo lugar en simular dicho proceso, obteniendo la solución del

modelo mediante un programa adecuado de resolución de circuitos eléctricos.

Un modelo en red se considera equivalente a un determinado proceso cuando, en su descripción,

las ecuaciones del modelo matemático discretizadas, y las ecuaciones del modelo en red para un

elemento del volumen o celda elemental, correspondientes a variables análogas, coinciden. La

técnica de elaboración del modelo consiste en reticular el espacio en elementos de volumen o

celdas elementales; al aplicar a estas reticulaciones las ecuaciones diferenciales, se obtiene un

conjunto de ecuaciones en diferencias finitas que se constituyen en el punto de partida para la

obtención del modelo en red correspondiente a cada celda elemental; una seleccionada

correspondencia entre variables dependientes del problema y variables eléctricas, tensiones e

intensidades, permite interpretar los resultados de la simulación en términos del proceso que se

modela. La asociación de celdas, de acuerdo con la geometría del problema, configura el

modelo en red correspondiente a todo el medio finito, que es tanto más preciso cuanto mayor

sea el número de estas celdas. Las condiciones de contorno e iniciales se incorporan al modelo

de manera simple mediante dispositivos eléctricos adecuados.

En el caso de los procesos de transmisión de calor, la posibilidad de elaborar modelos en red

representativos de los mismos, es decir, el hecho de que admitan redes eléctricas equivalentes,

supone no sólo la equivalencia matemática sino, también, la equivalencia física entre las

variables características de unos y otros procesos (térmicos y eléctricos). Además la

equivalencia física permite, en casos muy concretos, determinar cualitativa y cuantitativamente

ciertas magnitudes asociadas a la red que pueden jugar un papel en la descripción del fenómeno

de transporte, similar al correspondiente en el transporte de carga eléctrica, como es el caso de

la impedancia, por ejemplo.

A partir del modelo matemático y siguiendo los planteamientos de lo que se conoce como

“Teoría de Redes” de Peusner [1986,1987], se obtiene un grafo equivalente al proceso cuya

simulación (solución) se lleva a cabo mediante un adecuado programa de ordenador. Con el

método de simulación por redes, el grafo es del tipo eléctrico (un circuito eléctrico), y la

simulación se realiza mediante el software de simulación de circuitos. En este trabajo se ha

utilizado PSpice (PSpice [1994], Nagel [1975 y 1977] y Vladimirescu [1994]).

28


El método de simulación por redes presenta diferencias notables respecto de los métodos

numéricos clásicos. Desde el punto de vista conceptual supone la sustitución de un complicado

sistema de ecuaciones diferenciales, que ya no es necesario manipular, por un circuito eléctrico

equivalente, de cuya solución se encarga PSpice, y donde resulta fácil visualizar la

interconexión entre flujos y fuerzas, y relacionar los procesos físicos locales con la evolución de

las variables en los componentes eléctricos que simulan el medio (modelo en red). En cuanto a

la reticulación, sólo requiere una división de la variable espacio, como en los llamados métodos

de líneas (Berezin y Zhidkov [1965] y Rukos [1978]). Por otro lado, en tanto que la continuidad

de la corriente eléctrica (1ª ley de Kirchhoff) y la propiedad asociada al potencial eléctrico,

derivado de un campo conservativo, (2ª ley de Kirchhoff) son leyes exigidas a los circuitos, no

es necesario hacer las aproximaciones o tanteos que muchos métodos numéricos exigen para

cumplir estos requerimientos; PSpice advierte cuando alguna de estas reglas no ha sido

respetada en el diseño del modelo en red.

Cabe señalar la ventaja que supone un buen conocimiento de la teoría de circuitos a la hora de

implementar la red; no obstante es preciso poco esfuerzo para la familiarizarse con este aspecto

del método, ya que son bastante reducidas las agrupaciones de términos de las expresiones

matemáticas que se convierten en elementos o partes del circuito.

En cuanto a la manipulación y elaboración del programa podemos afirmar que las dificultades

son mínimas. Su presentación bajo “windows” (tanto para PC como para estación de trabajo)

supone una guía constante para el manipulador, y la nomenclatura utilizada, organizada de

nudos y componentes eléctricos, permite el acceso inmediato a las tensiones y corrientes que

constituyen las variables fundamentales en el circuito.

El MESIR, que utiliza la teoría de redes para modelar el proceso físico objeto de estudio, es un

método de simulación en tanto que incluye la resolución numérica del modelo en red obtenido

mediante la reticulación. Así, las variables flujo y fuerza características del mismo deben

satisfacer las leyes de Kirchhoff y sus relaciones determinarán los elementos de circuito

correspondientes. Ahora bien, en cada proceso concreto y una vez elegidas las variables

conjugadas, la información de qué elementos de circuito intervienen en el modelo en red y

cómo se conectan entre sí, se obtiene del modelo matemático y no de consideraciones de tipo

físico acerca del papel que juegan estas variables.

En síntesis, en la teoría de redes, la viabilidad de un modelo en red supone:

i) La existencia de una red independiente del tiempo,

ii) La existencia de una magnitud jN-N´ llamada flujo, asociada a cada rama que conecta los

nudos N-N´ y que va de N a N´. jN-N´ obedece las leyes de Kirchhoff para corrientes (LCK),

iii) La existencia de una magnitud, , asociada a cada nudo, tal que la diferencia XN-N´ = N - N

´, llamada fuerza, obedece la ley de los voltajes de Kirchhoff (LVK).

29


El hecho de que las leyes LCK y LVK se refieran, respectivamente, a corrientes eléctricas y

voltajes no es significativo. En el caso de procesos de transporte es normal establecer una

correspondencia entre variables flujo por un lado (densidad de corriente eléctrica con flujo de

calor, flujo de masa, ...) y variables tipo potencial por otro (potencial eléctrico con temperatura,

concentración, ...), pero es posible establecer otras analogías aún en procesos físicos que

describan el transporte de una determinada magnitud.

Las relaciones entre flujo y fuerza asociados a una rama y sus (dos) nudos límite, que pueden

incluir o no variaciones temporales de estas variables que se dicen conjugadas, definen los

elementos concretos del circuito equivalente a esa rama. La relación causa-efecto entre las

variables conjugadas es completamente arbitraria con tal que sea consistente con ii) y iii).

Volviendo a considerar un proceso de transporte caracterizado por las variables flujo y fuerza

que obedecen las leyes de Kirchhoff y que, por consiguiente, son variables LCK y LVK

respectivamente, tales leyes dan cuenta de la topología de la red relativa al proceso. A la red se

le asocia un conjunto de flujos que obedecen a una ley de balance local y un conjunto de fuerzas

que satisfacen la condición de unicidad. Las propiedades topológicas dependen únicamente de

la asignación de conexiones entre los diferentes puntos o de las posibles combinaciones de

trayectorias que unen un nudo dado con otros nudos. Son independientes de las medidas y,

desde un punto de vista topológico, dos grafos son iguales o isomorfos si las asignaciones de

vértices y ramas son las mismas.

Las leyes de Kirchhoff establecen relaciones entre flujos y fuerzas por separado, pero no

expresan ningún tipo de relación entre flujos y fuerzas entre sí. Las relaciones entre el par

conjugado flujo-fuerza se conocen como ecuaciones constitutivas o fenomenológicas y definen

los elementos de circuito que expresan características específicas de cada proceso. Se dice que

dos grafos son geométricamente iguales si los potenciales y flujos de cada par de puntos y su

rama correspondiente son iguales para cualquier conjunto de valores que puedan ser elegidos

para los flujos o las fuerzas. Las propiedades geométricas de la red, es decir, sus características

métricas, se siguen de las relaciones constitutivas.

Las relaciones constitutivas se pueden establecer entre las variables de un par flujo-fuerza, en

cuyo caso se habla de monopuerta. Las monopuertas pueden ser pasivas, que disipan o

almacenan energía, y activas o fuentes, que generan potencia de acuerdo con una ley

preestablecida. Las monopuertas pasivas son las resistencias, bobinas y condensadores mientras

que las activas son las fuentes de tensión y/o corriente, controladas o no. En función de la

relación expresa existente entre las variables LCK y LVK las monopuertas pasivas tienen

nombre específicos. Las usadas en esta memoria son:

30


Monopuerta resistiva. Es un elemento de circuito asociado a una relación entre las

derivadas temporales de las variables flujo y fuerza de una misma rama, mediante una

función independiente del tiempo que llamaremos resistencia, R, que puede depender o no

del flujo o de la fuerza: , o bien .

Una monopuerta resistiva es lineal cuando la relación entre las variables X(t) y J(t) lo es, es

decir X(t) = R J(t); naturalmente R es una constante en este caso. Su acción es instantánea,

no importa cual sea su estado anterior, en este sentido carecen de memoria. En su analogía

física representan efectos disipativos, fricciones, efectos viscosos, energías de reacción, etc.,

y desde el punto de vista termodinámico son elementos generadores de entropía. Las

monopuertas resistivas no lineales se definen a través de las funciones que las caracterizan y

constituyen, en definitiva, fuentes controladas de corriente o tensión, respectivamente. Su

representación simbólica de una monopuerta resistiva se muestra en la Figura 2.9. La

traducción al modelo en red es una resistencia eléctrica de valor R ohmios para el caso

lineal o una fuente controlada de corriente o tensión para el caso no lineal.

Figura 2.9 Representación simbólica de monopuertas resistivas

Monopuerta capacitiva. Es un elemento de circuito asociado a una relación entre la

variable flujo y la derivada temporal de la variable fuerza, de una misma rama, mediante

una función no dependiente del tiempo que designaremos como capacidad, C,

. En estas monopuertas se produce algún tipo de almacenamiento, sin

pérdidas (no hay disipación energética), y su estado, que no cambia instantáneamente, tiene

en cuenta todas las operaciones llevadas a cabo en el pasado (tiene memoria). En su

analogía, representa procesos físicos en los que se produce algún tipo de almacenamiento

como condensadores, tanques, etc.

La relación constitutiva anterior puede expresarse en términos de la capacidad

, que es constante cuando la dependencia es lineal, .

Las dependencias no lineales deben estudiarse particularmente en cada caso. Su

representación simbólica de la monopuerta capacitiva lineal se muestra en la Figura 2.10. La

traducción al modelo en red es un condensador eléctrico de valor C faradios.

31


Figura 2.10 Representación simbólica de una monopuerta capacitiva lineal

Los procesos de almacenamiento y disipación de energía, bajo la hipótesis de continuidad

del medio, se originan en todo los puntos del sistema. Los elementos R y C se identifican

sin embargo con regiones pequeñas pero finitas del medio y sus conexiones con las otras

puertas se realizan con enlaces ideales de energía, es decir, con conductores de resistencia

nula. El que cada elemento pueda ser caracterizado por un par de variables conjugadas con

una única ecuación constitutiva entre ellas es una hipótesis básica en el MESIR que deriva

de la teoría de redes. Físicamente equivale a decir que es posible elegir un elemento de

volumen lo suficientemente pequeño como para que su tiempo de relajación interna sea

mucho menor que el del sistema global, pero suficientemente grande como para que las

fluctuaciones de las variables que describe el sistema en él sean despreciables.

En las monopuertas activas se produce una aportación o extracción de energía al sistema. Las

empleadas dentro de los programas objeto de esta memoria son:

Fuentes constantes. Son monopuertas definidas de acuerdo con las expresiones

y , según se trate de fuentes de flujo o de fuerza, respectivamente. Tienen

asignado un sentido (o signo) que indica la dirección en que fluye la energía. La

representación simbólica es la de la Figura 2.11a; eléctricamente, se corresponden a pilas o

generadores de corriente constante.

Fuentes dependientes del tiempo. La relación constitutiva entre las variables tiene la

misma forma de las fuentes constantes; además, y según se trate de

fuentes de fuerza o de flujo. Ejemplos de representación simbólica se muestran en la Figura

2.11b.

Fuentes controladas. Se trata de monopuertas especiales asociadas a relaciones

constitutivas entre variables, conjugadas o no, expresadas mediante cualquier función que

no contiene explícitamente el tiempo. Se trata de elementos de entradas múltiples con una

única salida que corresponde a un flujo o una fuerza que depende funcionalmente de otros

flujos o fuerzas de distintas ramas y nudos del mismo o diferente circuito. Estas fuentes van

a permitir especificar acoplamientos energéticos de distinto tipo. Existen cuatro tipos de

fuentes controladas por una sola variable: a) fuentes de tensión controladas por tensión, b)

fuentes de tensión controladas por corriente, c) fuentes de corriente controladas por tensión

y d) fuentes de corriente controladas por corriente (VERIFICAR, NO COINCIDE EN LA

FIGURA DE LA PÁGINA SIGUIENTE).

32


La acción de control puede ser ejercida por más de una variable y las funciones de control

pueden ser complejas. Aunque la monopuerta puede especificarse arbitrariamente, su

implementación como elemento de circuito puede no ser posible en tanto que no esté

contenida en las librerías del software elegido. La teoría de circuitos permite, mediante

circuitos auxiliares, resolver prácticamente todos los casos de diseño de la red eléctrica que

se necesiten para cualquier tipo complejo de fuente controlada. La representación simbólica

de estas fuentes se muestra en la Figura 2.11c.

Figura 2.11 Representación simbólica de monopuertas activas: 2.11a Fuentes constantes; 2.11b Fuentes dependientes

del tiempo; Fig. 2.11c Fuentes controladas por una variable; 2.11d Ejemplo de fuente controlada por varias variables.

El potencial de estas monopuertas activas para establecer los modelos en red de sistemas

fuertemente no lineales es inmenso ya que su uso permite imponer a la monopuerta el valor de

una variable (en función de variables de otras monopuertas) sin influir en la otra variable, cuyo

valor, se ajusta a la topología y geometría del modelo en red.

En términos de componentes eléctricos el software elegido en esta memoria para la simulación,

PSpice [1994], es capaz de reconocer un largo catálogo de componentes eléctricos: resistencias

(R), condensadores (C), fuentes constantes de tensión y corriente, fuentes de tensión y corriente

dependientes del tiempo, fuentes controladas de tensión y corriente y fuentes controladas no

lineales de tensión y corriente.

33

X J

a)

b)

c)

Fuente de tensióncontrolada por tensión

Fuente de tensióncontrolada por corriente

Fuente de corrientecontrolada por dos tensiones

d)Fuente de corrientecontrolada por tensión


II.3.2 El MESIR como método numérico

Desde el punto de vista de cálculo, el MESIR es, efectivamente, un método numérico en tanto

que los procedimientos usados para obtener una solución aproximada de los circuitos eléctricos

(que, a su vez, son los modelos en red de los problemas estudiados) son estrictamente

numéricos. Se trata de procedimientos muy sofisticados y perfeccionados fruto de una

continuada investigación en el campo eléctrico. Digamos que el MESIR es, en esencia, un

usuario de estas técnicas ya que su aportación se limita a diseñar unos circuitos cuyas

ecuaciones diferenciales en diferencias finitas son equivalentes a las correspondientes,

discretizadas en el espacio, del modelo matemático del problema. Esta tarea, sin embargo, no es

trivial y depende de la complejidad del modelo. Son numerosos los diferentes tipos de

problemas que el MESIR ha abordado con éxito y que han sido publicados en la literatura

científica. Entre estos cabe destacar: Problemas de difusión a través de membranas (Horno y

col. [1990]), ii) ídem. de procesos electroquímicos (González-Fernández y col. [1995]), iii)

ídem. de determinación de propiedades superficiales de coloides (Horno y col. [1993], López-

García y col. [1996]), iv) ídem. de transferencia de calor (Alhama [1999], Alarcón [2001],

Alarcón y col. [2002a, 2002b y Zueco y Alhama [2007]), v) ídem. de flujo de fluidos (Soto y

col. [2007a, 2007b]), vi) ídem. mecánicos (cadenas cinemáticas, problemas tribológícos, modos

de vibración en vigas…, Moreno y col. [2004,2007]), vii) ídem. de ecología (López Sánchez y

col. [2005], viii) problemas inversos (Zueco y Alhama [2005,2006] y Zueco y col.

[2006a,2006b]), ix) procesos caóticos (Alcover y col. [2006]), etc.

A diferencia de otros métodos numéricos clásicos, como los de formulaciones en diferencias

finitas explícita, implícita e híbrida, métodos de elementos finitos, métodos variacionales,

métodos iterativos específicos y de autovalores (Crank y Nicolson [1947], Crandall [1956],

Wood [1977], Orivuori [1979], Seeniraj y Arunachalam [1979], Lin [1979], Vujanovic, [1994],

Fried y Metzler [1978] y Patankar [1978], Varoglu y Liam Finn [1980], Chung [1981] y

Palmieri y Rathjem [1978]), los cuales requieren una preparación matemática considerable y

modificaciones sustanciales en el software al cambiar cualquier dependencia paramétrica o

condición de contorno, el MESIR es una técnica que aprovecha los potentes algoritmos

integrados en los modernos software de resolución de circuitos los cuales, quizás, son los más

sofisticados y capaces ya que tienen que afrontar señales fuertemente no lineales (pulsos) y

frecuencias muy altas. Además, conserva en cierto modo la visualización del proceso de

transporte que siempre queda oscurecida entre todo el aparato matemático en los otros métodos.

El punto de partida es siempre el modelo matemático del proceso, esto es, un conjunto de

ecuaciones en derivadas parciales (EDP) espacio-temporales; la discretización de la variable

espacial permite establece el modelo en red o red eléctrica equivalente. Esta es la única

manipulación directa que se hace de las ecuaciones.

34


El modelo en red es, pues, el formato que se da al modelo matemático para que pueda ser

utilizado como entrada (fichero) en un programa de resolución de circuitos eléctricos tal como

PSpice (Nagel [1975], PSpice [1994], Vladimirescu [1994]). Este software es el que resuelve

las ecuaciones de la red y proporciona la solución numérica del modelo matemático.

A continuación exponemos las diferencias de estrategias más notables al compararlo con otros

métodos numéricos. Cuando en una ecuación en derivadas parciales se hace una doble

reticulación, espacial y temporal, se reemplazan de hecho las derivadas parciales por

aproximaciones algebraicas, lo que conduce a un conjunto de ecuaciones algebraicas que

aproximan las EDP. Para la solución numérica de éstas se utiliza un software adecuado de

matemáticas. Este procedimiento es la base de los bien conocidos métodos numéricos de

diferencias finitas, elementos finitos y volúmenes finitos para la solución de las EDP.

Como ya se ha comentado, la elaboración del modelo en red pasa por la reticulación espacial,

pero no temporal. Se parte, pues, de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales cuya

reticulación espacial las convierte en ecuaciones diferenciales ordinarias en el tiempo, que son

las del circuito correspondiente a una celda elemental. La diferencia esencial es, pues, que en

los métodos numéricos convencionales se realiza una reticulación simultánea de las dos

variables independientes, espacio y tiempo, mientras que en el MESIR la reticulación es

sucesiva; 1ª etapa, una reticulación espacial de la que se obtiene el modelo en red y 2ª etapa, una

reticulación temporal, realizada por el propio software en el proceso de simulación.

Alhama [1999] ha demostrado que la precisión de los resultados de la simulación o error

respecto de la solución exacta, en problemas lineales, depende del tamaño de la reticulación,

pero son suficientes reticulaciones del orden de 40 a 60 elementos de volumen para reducir

estos errores a valores por debajo del 0.5-0.2%. Cuando se trata de problemas fuertemente no

lineales, por ejemplo problemas de cambio de fase con frontera móvil, basta duplicar el tamaño

de la retícula para obtener soluciones con errores del mismo orden.

II.4 MODELOS EN RED

II.4.1 La analogía termoeléctrica clásica

Una amplia y detallada discusión sobre este punto, con numerosas referencias bibliográficas, se

puede ver en Alhama [1999]. Es frecuente el uso de analogías eléctricas de procesos simples de

transmisión de calor por un interés meramente académico; sencillamente porque las ecuaciones

algebraicas del proceso de transporte (no diferenciales) aplicadas a medios finitos son

exactamente iguales a las que relacionan la intensidad y la tensión (ley de Ohm) en los

componentes pasivos de los circuitos eléctricos.

35


Textos recientes como Grigull y Sandner [1984], Chapman [1984], Kakaç y Yener [1985],

Lienhard [1987], Siegel y Howell [1992] y Mills [1995], no olvidan este aspecto tanto en

procesos de conducción como de radiación; Holman [1981], presenta una discusión muy

didáctica de la aplicación de la analogía eléctrica a problemas más complicados de transmisión

de calor, en particular en el campo de radiación, con numerosos ejemplos. Otros textos clásicos

y modernos no hacen referencia alguna a la analogía termo-eléctrica (Carslaw y Jaeger [1959];

Özisik [1993] y Gebhart [1993]) o la mencionan muy de pasada (Bennett y Myers [1982];

White [1988], Bejan [1993], Taine y Petit [1993]). Textos modernos, específicos de tratamiento

numérico, (Patankar [1980], Shih [1984], Ozisik [1989] y Gebhart [1993]) no hacen,

obviamente, referencia alguna a analogías eléctricas ni mencionan el “network method” de

Oppenheim [1956].

En todo caso las referencias en estos textos siempre aparecen en capítulos que tratan problemas

lineales y con condiciones de contorno simples, primera y segundan clase. Ningún texto ni

artículo, con excepción de los publicados por miembros del grupo de simulación por redes,

menciona la analogía termo-eléctrica como método de cálculo numérico. Un ejemplo

importante es el uso de la analogía eléctrica empleado por Chapman [1984]. Dedica un

importante apartado a este tema pero siempre dentro de los procesos de transmisión de calor

lineales, cuya solución sólo requiere resistencias térmicas, condensadores para el

almacenamiento y fuentes constantes para las condiciones de contorno.

Hemos de mencionar un caso especial de analogías a las que se hace referencia como “lumped-

capacity systems”, “lumped-thermal-capacity problems” o “lumped system formulation”

(Lienhard [1987], Özisik [1993], Mills [1995], Thomas, 1992...). Se trata de problemas de

interés exclusivamente académico. Las aportaciones reales de interés científico de la analogía

termo-eléctrica se reducen a las derivadas de la técnica “resistance-network model”, que

mediante el uso exclusivo de resistencias se llega a la construcción de complicados circuitos en

los que manipulando el intervalo de tiempo permiten simular problemas no lineales, que

incluyen procesos de cambio de fase; Liebmann [1954a, 1954b, 1956a y 1956b] estudia la

elevación térmica en cuerpos de turbina durante el transitorio, y Bonilla y Strupezewsky [1965]

que estudian el comportamiento térmico de carcasas de reactores ante pruebas de fuego. A ellas

hay que añadir las derivadas del MESIR ya mencionadas.

El paréntesis de casi tres décadas que separa estas publicaciones es debido a las dificultades

inmensas en la realización práctica de los circuitos para obtener pruebas fiables; en la década

actual los programas de resolución de circuitos disponibles en el mercado han salvado este

obstáculo. Como dice Özisik [1993] “El método analógico de redes eléctricas, usado a menudo

en los primeros años (Kreith y Romie [1955], Otis [1956], Liebmann [1956a y 1956b] y Baxter

36


[1961]) ha sido desplazado por la aplicación de métodos numéricos puros a causa de la gran

potencialidad de los ordenadores digitales”, o Lienhard [1987], “... los computadores digitales

actuales hacen posible la solución de complicados problemas por aplicación directa de métodos

numéricos”.

De todo ello se puede deducir que el “método de simulación por redes” es algo sustancialmente

diferente a la analogía termo-eléctrica clásica esencialmente por su capacidad de abordar

cualquier tipo de problemas lineales o no, acoplados o no, y con condiciones de contorno

arbitrarias.

II.4.2 Modelos para medios homogéneos y para las condiciones de contorno

El modelo en red de una celda elemental correspondiente a un medio 1-D, homogéneo, de

espesor x y superficie unidad (normal a la propagación del calor) es el indicado en la Figura

2.12, González y Alhama [2002]. La celda se ha organizado simétricamente disponiendo

condensador de almacenamiento en el punto central de la misma. La pared completa estará

constituida por N celdas iguales conectadas en serie. Los valores de los componentes resistencia

y condensador son

donde lo es la longitud total del dominio.

El modelo asociado a medios multicapa formados por capas homogéneas de diferente naturaleza

es una conexión en serie del modelo de capa simple. Cuando el contacto entre capas no es

perfecto hay que añadir una resistencia entre capas. El número total de celdas es N 1 + N2 + …

Nn. Para resistencias de contacto constantes, un medio de n capas de espesores l1, l2, … ln,

superficie unidad y resistencia de contacto entre capas despreciable, el modelo en red se muestra

en la Figura 2.13.

Figura 2.12 Modelo en red de la celda elemental

37

(2.22)


Figura 2.13 Modelo en red de un medio multicapas

38


Para geometrías cilíndrica y esférica 1-D, con variable espacial r, los modelos tienen la misma

configuración pero el valor de las resistencias y condensador son, Figura 2.13,

Geometría cilíndrica:

Geometría esférica:

39

(2.23)

(2.24)


Figura 2.14 Nomenclatura de la celda en las geometrías cilíndrica y esférica

La celda rectangular 2-D se muestra en la Figura 2.15. Las resistencias horizontales y verticales

pueden ser diferentes si se adoptan valores xy. Los valores de las resistencias y

condensador son

Para la geometría cilíndrica 2-D el modelo es el mismo. Los valores de las resistencias y

condensador son

40

(2.25)

(2.26)


Figura 2.15 Modelo en red de la celda elemental 2-D. Geometría rectangular

En relación con los modelos de aletas simples, 1-D, los valores de las resistencias y

condensador son

donde z es el espesor de la celda elemental y S t la sección transversal de la aleta. La condición

de convección modifica el modelo. Esta condición se implementa introduciendo un generador

controlado por voltaje en el centro de la celda, Figura 2.16. La corriente de este generador,

especificada mediante programación es el flujo de convección dado por la ley de newton,

, donde Ti es la temperatura en el centro de la celda, Tref la del fluido exterior y h

el coeficiente de convección.

La polaridad de estos generadores debe ser la adecuada para que el flujo de corriente circule en

el sentido de mayor a menor temperatura. Si se trata de la condición de radiación, el modelo no

cambia pero la corriente viene definida por la ley de Stefan de la radiación,

, donde es la emisividad de la superficie, la constante de Stefan y Si

la superficie exterior del elemento de volumen.

41

(2.27)


Figura 2.16 Modelo en red de la celda elemental de una aleta simple

La existencia de condición simultánea de convección y radiación puede implementarse

separadamente (o conjuntamente) por medio de dos generadores unidos al centro de la celda.

En aletas anulares 1-D, los valores de las resistencias y condensador son

(2.28)

donde z es el espesor de la celda elemental y R el radio de la sección transversal de la aleta. El

modelo en red es el mismo que el mostrado en la figura anterior.

En relación con las aletas 2-D, conjunto aleta-pared rectangular, puede usarse el modelo 2-D de

la Figura 2.15 para las celdas interiores en combinación con el de la Figura 2.17 para las celdas

del contorno, con 1 ó 2 generadores para una o las dos condiciones de contorno simultáneas

(convección y radiación).

Figura 2.17 Modelo en red de una celda elemental de contorno en aletas 2-D

42


En relación con las condiciones de contorno (aparte de lo indicado anteriormente para la

convección y radiación, cuyos modelos en el caso de aletas se han integrado en las celdas de

contorno), su implementación se muestra en la Figura 2.18. La condición isoterma se simula

mediante una fuente de voltaje de valor constante; otras fuentes dependientes del tiempo tales

como voltajes sinusoidales, en rampa, continua a trazos, rectangular, etc., pueden implementarse

fácilmente pues estos componentes eléctricos están integrados en las librerías de los programas

de simulación), Figura 2.18a y 2.18b. Para el flujo constante o dependiente del tiempo se usan

fuentes de corriente, Figura 2.18c y 2.18d. La condición adiabática se implementa con una

resistencia de valor elevado, teóricamente de valor infinito, Figura 2.18e. Las condiciones de

convección radiación se implementan mediante fuentes controladas de corriente, Figura 2.18f y

2.18g.

Figura 2.18 Componentes para implementar las condiciones de contorno.

Fig. 2.18a Isoterma;

Fig. 2.18b De temperatura dependiente del tiempo;

Fig. 2.18c De flujo de calor constante;

Fig. 2.18d De flujo de calor dependiente del tiempo;

Fig. 2.18e adiabática;

Fig. 2.18f De convección o de radiación.

43


II.5 EL SOFTWARE PSpice-OrCAD

II.5.1 Introducción y aplicaciones

Una vez obtenido el modelo en red se procede a su análisis mediante su simulación. Para ello

hemos buscado un software adecuado para la solución de circuitos eléctricos tal como PSpice u

OrCAD [1994]. El segundo es, en realidad, la versión actual del primero. PSpice ha sido

utilizado por otros autores para resolver problemas de otras disciplinas. Baker y Shortt [1990]

estudia el comportamiento de componentes integrados en diferentes rangos de temperatura,

Bello [1991] lo aplica a la resolución de problemas mecánicos, Herbert [1992] lo aplica a la

resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, Hamill [1993], a problemas estadísticos y

relacionados con el caos, etc.

En el proceso de simulación el circuito se presenta al ordenador como un conjunto de

ecuaciones matemáticas y éste, mediante procedimientos de análisis numérico, proporciona toda

la información solicitada por el investigador para cada tipo de análisis. De esta forma se

obtienen los datos correspondientes a medidas típicas de laboratorio con un margen de error

despreciable y sin afectar al circuito; más aún, pueden alterarse las condiciones iniciales, de

contorno, y las características térmicas del medio con sencillos cambios en el programa, y el

análisis puede aportar datos sobre el comportamiento del circuito más allá de los límites que

virtualmente se pueden obtener con medidas reales.

La simulación está estructurada en cinco subprogramas principales, que interaccionan entre

ellos a través de una estructura de datos que es almacenada en un área común del programa.

Estos subprogramas son: entrada, organización, análisis, salida y utilidades, Figura 2.19.

El subprograma de entrada lee el archivo de entrada, construye una estructura de datos y

chequea el circuito. El de organización, una vez que el programa se ha ejecutado con éxito,

construye las estructuras adicionales de datos que serán requeridas en el programa de análisis,

parte esencial de la simulación. El subprograma de salida genera y organiza, en la memoria

central o en discos, los resultados solicitados por el usuario en forma tabular o gráfica. Las

utilidades son aspectos secundarios no relacionados directamente con la simulación; éstas

permiten, por ejemplo, almacenar componentes o partes de modelos para ser compartidos por

otros usuarios. El subprograma análisis es la parte importante del programa de simulación.

Ejecuta los análisis del circuito requeridos, de acuerdo con las indicaciones del archivo de

entrada; la información resultante se almacena en la memoria central o en discos para su

posterior procesamiento en los archivos de salida. Mientras que la facilidad de uso del programa

reside en los subprogramas de entrada y salida, el programa de análisis, que contiene algoritmos

más complejos y consume la fracción mayor del tiempo de computación, determina la eficiencia

de la simulación.

44


Figura 2.19 Diagrama bloques del programa de simulación de circuitos PSpice

En el proceso de simulación, se obtiene la solución numérica de la representación matemática

del modelo en red. Esta contiene i) las ecuaciones matemáticas de los diferentes tipos de

monopuertas, ii) las ecuaciones correspondientes a las restricciones impuestas por las leyes de

Kirchhoff, propias de la teoría de circuitos, que han de satisfacerse entre las ramas y nudos del

circuito, y iii) la información particular sobre la interconexión de los diferentes componentes

eléctricos de cada modelo. Toda esta información compone un extenso sistema de ecuaciones

algebraico-diferenciales. El conjunto de tareas que componen el proceso de simulación puede

ser agrupado en los siguientes tópicos (o algoritmos de computación): i) formulación de las

ecuaciones, ii) solución de ecuaciones lineales, iii) solución de ecuaciones no lineales y iv)

integración numérica.

PSpice es miembro de la familia de programas de simulación de circuitos SPICE2 (Nagel,

[1975]); mucho más potente y rápido que sus predecesores, fue desarrollado en la Universidad

de California en los años setenta y utiliza algoritmos numéricos más refinados con formatos de

entrada-salida idénticos. En el análisis de continua PSpice determina el punto de trabajo, es

decir, los valores de polarización de sus componentes en ausencia de excitaciones alternas. Para

este cálculo se elimina la acción de los condensadores y bobinas, los primeros quedan como

circuitos abiertos y las bobinas se cortocircuitan. Para el análisis transitorio PSpice parte del

intervalo de tiempo (0,t) solicitado, que puede ser menor o mayor que la duración del

transitorio, y facilita los datos en forma de listado o mediante gráficas. Si los resultados se

quieren en forma tabular el usuario debe indicar el instante inicial, el final, el paso temporal y el

número de variables listadas; si se solicitan en forma gráfica, una sentencia de programa permite

organizarlos y almacenarlos para ser utilizados con ese propósito en cada momento.

45


La formulación de las ecuaciones del circuito se realiza mediante el método conocido como

Análisis Nodal Modificado La solución transitoria se determina computacionalmente

extrayendo del intervalo temporal un conjunto discreto de instantes (0, t1, t2, ..., T). En cada

uno de ellos, empezando por 0, el tiempo se incrementa una pequeña porción o paso, t, y,

mediante métodos de integración (algoritmo implícito de Backward-Euler) y procesos de

iteración hasta conseguir la convergencia, se resuelven las ecuaciones algebraicas

equivalentes de las monopuertas que contienen derivadas temporales; cada iteración

requiere de la linealización de las ecuaciones del modelo y de su solución; el método de

linealización es el de Newton-Raphson que utiliza una serie de Taylor truncada después del

término de primer orden. Para la solución del sistema matricial de ecuaciones lineales se

utiliza el método de factorización LU que elimina directamente las incógnitas (este método

descompone la matriz de coeficientes en producto de matrices triangulares, “lower and

upper, LU”, cuyas inversas no precisan ser calculadas, lo que redunda en un menor esfuerzo

computacional). Para minimizar el esfuerzo de cálculo, las ecuaciones se reordenan usando

el método de Markowitz.

Los métodos de integración implantados en PSpice incorporan un proceso de variación

dinámica del paso del tiempo de integración para mantener una razonable exactitud en la

solución y un tiempo mínimo de computación. PSpice utiliza unos métodos de integración

polinomiales basados en el análisis de error de truncamiento local y en la estabilidad

(propiedades contrapuestas). Debido a que ciertos circuitos (que contienen constantes de

tiempo de valores muy diferentes) pueden dar lugar a un sistema de ecuaciones “stiff”, es

conveniente que el algoritmo de integración sea “stiff-estable”. Para conseguir este objetivo

se utilizan métodos de integración trapezoidal y Gear de orden variable de dos a seis. Tras

conseguir la convergencia, la solución se almacena y se reinicia el proceso para el instante

siguiente. El paso t es, en consecuencia, variable de unos tramos del intervalo a otros; el

programa los ajusta en función de la precisión exigida a los resultados de manera que el

tiempo de computación sea el mínimo. Los datos de simulación correspondientes a tiempos

fuera del conjunto discreto de instantes 0, t1, t2, ..., T se obtienen por interpolación.

La Figura 2.20 representa un diagrama de flujo que ilustra los cuatro algoritmos de

computación que tienen lugar en la simulación de un proceso transitorio (para simplificar se

ha supuesto un t constante).

46


Figura 2.20 Operaciones en el análisis de circuitos

Los algoritmos utilizados en PSpice, que se documentan en la tesis de Nagel, son el resultado de

implementaciones, modificaciones y comparaciones cuidadosas de los métodos numéricos

existentes en el contexto especial de la simulación de circuitos. El objeto de la tesis es

seleccionar los métodos de simulación de circuitos más exactos y eficaces, con una mínima

interacción por parte del usuario.

47


II.5.2 Simulación. Presentación de resultados

El software PSpice se programa en su forma clásica por sentencias, elaborando archivos de

texto, en un lenguaje relativamente simple (alternativamente es posible elaborar archivos por

medio de la opción gráfica ‘schematics’ seleccionando directamente los elementos de circuito y

conectándolos eléctricamente entre si en forma de esquela eléctrico). La sintaxis de entrada no

requiere especiales disposiciones ordenadas de datos, su estilo puede catalogarse más bien como

libre y dispone de una razonable fuente de datos que se adjudican por omisión a los

componentes cuando éstos no se especifican en detalle. También realiza un buen número de

chequeos para asegurar que el circuito ha sido introducido correctamente y el resto de las

sentencias de programa están bien escritas, advirtiendo al programador de posibles errores

mediante mensajes previos a la ejecución. En definitiva, un usuario principiante necesita

especificar un número mínimo de parámetros y controles de simulación para extraer unos

resultados de simulación aceptables.

El programa, por fin, se estructura como un listado que contiene todos los componentes

eléctricos del circuito (existe la posibilidad de organizar el programa mediante subcircuitos),

resistencias, condensadores, fuentes, interruptores, etc., que se introducen uno por uno

indicando el nombre, valor, nudos de conexión y otros parámetros característicos.

El programa PSpice (como, en general, cualquier otro software de resolución de circuitos

eléctricos) ofrece muchas posibilidades para el estudioso de los sistemas térmicos. A

continuación se destacan algunas utilizadas en esta memoria:

Permite conocer directamente el estacionario del sistema térmico (BIAS POINT), mediante

el análisis en continua del circuito, antes referido. La opción TRANS proporciona el

transitorio del proceso,

Con el análisis en alterna se obtiene de forma inmediata el análisis de respuesta en

frecuencia del sistema térmico,

La aplicación Probe muestra de forma gráfica los resultados de la simulación con la máxima

precisión que da el programa. Esta aplicación permite la representación de funciones

resultado de operaciones entre variables de la simulación. Por ejemplo, las curvas de la

admitancia o la impedancia del sistema (cociente entre corriente y tensión o viceversa)

pueden ser directamente obtenidas de Probe,

El software admite la parametrización del modelo en red (sentencia PARAM), lo que

constituye un modo ventajoso de utilizar la técnica de cambiar de valores los componentes

del circuito para obtener soluciones de problemas similares,

48


Las sentencias PARAM y STEP combinadas obtienen la variación secuencial de la

respuesta del sistema ante la variación de un parámetro, lo que es una herramienta muy útil

para problemas sencillos de optimización (una o dos variables),

La aplicación Stimulus permite la confección de fuentes de tensión o corriente de

prácticamente cualquier forma, que pueden representar cualquier estímulo térmico del

sistema,

El programa admite la ejecución sucesiva de programas, técnica que permite arrancar

indefinidamente el PSpice por otro programa y resolver el circuito para una amplia gama de

valores de los componentes. En este caso el programa actúa como un solver, cuya misión es

resolver las ecuaciones diferenciales del sistema, mientras que al otro programa se le confía

la resolución de un problema más amplio.

En relación con la presentación de resultados, el programa permite acceder a los resultados de la

simulación (temperaturas y flujos de calor en todo el medio) de dos formas: i) directamente

usando el entorno gráfico de PSpice, muy intuitivo y potente, o accediendo a los archivos de

salida de datos los cuales muestran los resultados en forma tabulada; en general estos resultados

vienen dados usando como variable independiente en tiempo por lo que son muy útiles en

problemas transitorios pero no tanto en problemas estacionarios, y ii) mediante representaciones

gráficas alternativas, bien en el entorno directo de PROCCA-09 bien por medio de MATLAB

[1997], usando opciones del programa. Estas representaciones alternativas, muy útiles en

problemas estacionarios, se han elaborado para dar mayor información pues consisten en tipos

de representación no proporcionados por el entorno gráfico PSpice (por ejemplo mapas de

temperatura en función de la posición). Además pueden obtenerse representaciones animadas de

isotermas en problemas transitorios tanto en el entorno gráfico del propio programa como en

MATLAB. Todo ello con acceso directo desde las propias ventanas del PROCCA-09 mediante

comandos de botón que dan acceso al usuario a todas las opciones de representación

incorporadas al programa. Finalmente, es posible extraer los datos en forma tabulada para ser

manipulados mediante hoja de cálculo.

II.6 El PROGRAMA C#

C# (pronunciado en inglés “C Sharp” y en español “C Almohadilla”) es el nuevo lenguaje

sencillo e intuitivo diseñado por Microsoft específicamente para su plataforma .NET (Archer

[2004], Gunnerson [2002], Albahari y col. [2001] y Robinson y col. [2001]). Se trata de un

lenguaje orientado a objetos sencillo, moderno, amigable, intuitivo y fácilmente legible que ha

sido diseñado por Microsoft con el ambicioso objetivo de recoger las mejores características de

muchos otros lenguajes, fundamentalmente Visual Basic, Java y C++, y combinarlas en uno

solo en el que se unen la alta productividad y facilidad de aprendizaje de Visual Basic con la

potencia de C++.

49


C# incorpora muchos elementos de los que carecen otros lenguajes, tales como sistema de tipos

homogéneo, propiedades, indexadores, tablas multidimensionales, operadores redefinibles, etc.)

y tiene una velocidad de ejecución muy competitiva. Las principales características de este

lenguaje son:

- Dispone de todas las características propias de cualquier lenguaje orientado a objetos:

encapsulación, herencia y polimorfismo,

- Permite definir estructuras, que son clases un tanto especiales: sus objetos se almacenan

en pila de acceso rápido,

- Es un lenguaje fuertemente tipado, lo que significa se controla que todas las

conversiones entre tipos se realicen de forma compatible, lo que asegura que nunca se

acceda fuera del espacio de memoria ocupado por un objeto. Así se evitan frecuentes

errores de programación y se consigue que los programas no puedan poner en peligro la

integridad de otras aplicaciones,

- Tiene a su disposición un recolector de basura que libera al programador de la tarea de

tener que eliminar las referencias a objetos que dejen de ser útiles, encargándose de ello

éste y evitándose así que se agote la memoria porque al programador olvide liberar

objetos inútiles o que se produzcan errores porque el programador libere áreas de

memoria ya liberadas y reasignadas,

- Incluye soporte nativo para eventos y delegados. Los delegados son similares a los

punteros de funciones de otros lenguajes como C++ aunque más cercanos a la

orientación a objetos, y los eventos son mecanismos mediante los cuales los objetos

pueden notificar de la ocurrencia de sucesos. Los eventos suelen usarse en combinación

con los delegados para el diseño de interfaces gráficas de usuario, con lo que se

proporciona al programador un mecanismo cómodo para escribir códigos de respuesta a

los diferentes eventos que puedan surgir a lo largo de la ejecución de la aplicación.

(pulsación de un botón, modificación de un texto, etc.),

- Incorpora propiedades, que son un mecanismo que permite el acceso controlado a

miembros de una clase tal y como si de campos públicos se tratasen,

- Permite la definición del significado de los operadores básicos del lenguaje (+, -, *, &,

=, etc.) para nuestros propios tipos de datos, lo que facilita enormemente tanto la

legibilidad de las aplicaciones como el esfuerzo necesario para escribirlas. Es más, se

puede incluso definir el significado del operador [] en cualquier clase, lo que permite

acceder a sus objetos tal y como si fuesen tablas. A la definición de este último operador

se le denomina indizador, y es especialmente útil a la hora de escribir o trabajar con

colecciones de objetos.

50


- Admite unos elementos llamados atributos que no son miembros de las clases sino

información sobre éstas que podemos incluir en su declaración. Por ejemplo, indican si

un miembro de una clase ha de aparecer en la ventana de propiedades de Visual

Studio.NET, cuáles son los valores admitidos para cada miembro en ésta, etc.

- Visual Studio.Net permite diseñar la interfaz de la aplicación de manera visual, sin más

que arrastrar con el ratón los elementos que necesitemos (botones, lista de selección,

etc.) sobre las posiciones adecuadas en la ventana de nuestra aplicación. También

incluye otras facilidades para el desarrollo, como una ventana de propiedades desde la

que se puede modificar los valores de las propiedades de cada objeto sin tener que

escribir código, un depurador de código gráfico, un editor de códigos inteligente que

puede detectar nuestros errores de sintaxis instantáneamente, etc.

51

III. Programa PROCCA-09

Capítulo III

El programa PROCCA-09

III.1 Introducción

III.2 Estructura del programa PROCCA-09

III.3 Creación de archivos de modelos

III.3.1 Presentación del programa

III.3.1.1 Descripción del módulo CONCBA

III.3.1.2 Descripción del módulo CONCAL

III.4 Criterios para la numeración de celdas, nodos y elementos del modelo

III.5 Estructura de los archivos de texto de modelos

III.6 Pantallas de presentación de resultados

III.7 Ejemplos de archivos de modelo

III.7.1 Placa rectangular con oquedad

III.7.2 Cilindro hueco de dos capas

III.7.3 Aleta rectangular 1-D

III.1 INTRODUCCIÓN

52

III. Programa PROCCA-09

Este capítulo contiene una descripción detallada del manejo del programa PROCCA-09, desde

la generación de modelos de archivo hasta su ejecución y presentación de resultados en sus

diferentes opciones. Se describen, sucesivamente, las pantallas de introducción de datos con

explicación de los detalles que contienen, la estructura de los archivos de texto de los modelos,

su manipulación, la ejecución de estos en PSpice y la consiguiente manipulación de resultados

de acuerdo con los diferentes entornos de salida. Para aclarar en lo posible el uso del programa

se describen al final de este capítulo tres ejemplos que cubren una gran parte del espectro

posible de posibilidades de PROCCA-09.

III.2 ESTRUCTURA DEL PROGRAMA PROCCA-09

PROCCA-09 es, en principio, uno más entre los muchos programas comerciales educativos

aplicados a ciencias e ingeniería. Sin embargo, su diseño tiene ciertas peculiaridades que

creemos le diferencia y distingue de otros programas básicamente orientados al cálculo, con un

diseño numérico propio, y que funcionan a modo de cajas negras de contenido, en general,

inaccesible a usuario. El objetivo de PROCCA-09 es tanto científico como didáctico, en

consecuencia, no solamente realiza el cálculo numérico necesario para la simulación de los

problemas de conducción térmica para los que ha sido desarrollado sino que permite aprender,

simultáneamente, los contenidos básicos de esta ciencia en lo referente tanto a problemas de

conducción de calor en medios multicapa de diferentes geometrías (módulo CONCBA) como a

problemas de análisis y diseño de aletas (módulo CONCAL).

El programa objeto de esta tesis, que hace uso de la analogía o equivalencia entre el transporte

eléctrico y la conducción térmica, se presenta al usuario mediante un entorno de comunicación

ameno, tipo “window”, que dirige paso a paso las acciones y opciones posibles del usuario, tales

como selección del tipo de problema, entrada de datos, creación y manipulación de archivos de

modelos, simulación, presentación de resultados… Los archivos de modelos en red se ejecutan

en PSpice [1994] y los resultados de simulación se ofrecen directamente en el entorno, gráfico o

tabulado, de salida de PSpice o bien, mediante manipulaciones adecuadas incorporadas en

PROCCA-09, en forma gráfica bien directamente en el entorno gráfico del propio programa

como (en mayor detalle) en el entorno gráfico del software MATLAB [1997] por medio de

rutinas auxiliares incorporadas el programa. PROCCA-09 permite también presentar soluciones

animadas de las isotermas en problemas transitorios.

La Figura 3.1 presenta un esquema del funcionamiento básico del programa. Su puesta en

marcha permite seleccionar el módulo de trabajo (CONCBA o CONCAL),..0. en donde se

incardina el problema objeto de simulación o solución, y se procede directamente a la entrada

de datos: geometría de la reticulación, características térmicas, condiciones de contorno, etc.

Una vez completada la especificación se puede crear un archivo básico del modelo que permite

su

53

Figura 3.1 Diagrama de funcionamiento de PROCCA-09

manipulación directa y su modificación. La introducción de datos complementarios relativos al

tipo de simulación, tales como la precisión en los cálculos, número de dígitos, tiempo de

simulación, opciones de presentación y otros, se introduce paralelamente o al final de la

creación del archivo del modelo. La ejecución o simulación y consiguiente solución del modelo

da acceso al entorno de salida gráfico de PSpice el cual permite representar simultáneamente las

variables de salida más comunes, a saber, los flujos de calor y las temperaturas (corrientes y

tensiones) en los distintos elementos y nudos del medio elegidos por el usuario. La asignación

de nombres a los elementos del modelo en red así como la asignación de nodos, tanto en

problemas 1-D como 2-D sigue una regla sencilla e intuitiva independiente del tipo de

geometría, permitiendo al usuario localizar inmediatamente el elemento, sección o punto del

modelo del que se desea obtener información acerca del valor de las variables dependientes,

flujos de calor y temperaturas. El programa PROCCA-09 incorpora un gráfico directo en el que

se muestra la disposición de las celdas o volúmenes de control mostrando la leyenda de los

nudos centrales de cada celda, que sirve también para identificar todos los componentes de la

celda (resistencias y condensadores). En este gráfico también se muestran las celdas en las que

se incorporan condiciones de contorno particulares.

Por último, un archivo de ayuda accesible desde cualquier paso del programa da información al

usuario de cómo resolver e interpretar las dificultades que surgen con el uso del programa.

III.3 CREACIÓN DE ARCHIVOS DE MODELOS

III.3.1 Presentación del programa

La ejecución del programa PROCCA-09 cuyo icono aparece en la Figura 3.2, da entrada al

mismo por medio de la pantalla de la Figura 3.3, “Diseñador de Modelos”, con la que se inicia

el diseño del modelo buscado o se elije un modelo anteriormente diseñado y archivado en el

programa. Los botones de acceso al usuario son tres: “Archivo” Vista” y “Ayuda”. Con el

primero, Figura 3.4, se opta bien por iniciar el diseño de un nuevo modelo a través de los

módulos CONCBA y CONCAL (opciones “Nuevo modelo CONCBA, conducción de calor

básica” y “Nuevo modelo CONCAL, conducción de calor en aletas”), bien por importar

modelos ya existentes en otras carpetas (opción “Cargar”), para lo cual se hace clic directamente

en el directorio de archivo de los mismos que se presenta en la pantalla, Figura 3.5. Las

opciones “Nuevo modelo CONCBA” y “Nuevo modelo CONCAN” presentan, respectivamente,

las pantallas mostradas en la Figura 3.6 a) y b).

Figura 3.2 Icono del programa PROCCA-09

Figura 3.3 Pantalla de inicio del programa PROCCA-09

Figura 3.4 Opciones de inicio de la barra de herramientas de PROCCA

Figura 3.5 Pantalla de búsqueda de modelos ya diseñados

Figura 3.6 Opciones de selección del problema. a) Módulo CONCBA

Figura 3.6 Opciones de selección del problema. b) Módulo CONCAL

III.3.1.1 Descripción del módulo CONCBA

En la pantalla correspondiente al módulo CONCBA se selecciona el “Tipo de modelo” con

arreglo a la geometría del mismo, “Rectangular”, “Cilíndrica” y “Esférica”, Figura 3.7. La

selección de cada una de estas opciones da paso a las pantallas de la Figura 3.7 a), b) y c),

respectivamente. En estas pantallas se introduce el número de celdas horizontales y verticales

adoptado para la simulación. Además, para geometrías cilíndrica y esférica se introduce también

el radio interior (0 para medios no huecos).

Figura 3.7 Opciones del “tipo de modelo” (Módulo CONCBA). a) geometría rectangular

Figura 3.7 Opciones del “tipo de modelo” (Módulo CONCBA). b) geometría cilíndrica

Figura 3.7 Opciones del “tipo de modelo” (Módulo CONCBA). c) geometría esférica

Una vez introducidos los datos de esta pantalla se pulsa el botón “Siguiente” para dar paso a la

pantalla de la Figura 3.8, que corresponde a un modelo rectangular, que permite introducir los

datos de información de cada capa. Simultáneamente en la pantalla principal “Diseñador de

modelos” aparece una retícula con el número de celdas seleccionado, 15(horizontal)

10(vertical) en la Figura 3.9.

Figura 3.8 Pantalla de introducción de datos por capas en geometría rectangular

Figura 3.9 Retícula de celdas del medio

La introducción de datos se realiza capa a capa definiendo por medio de la pantalla de la Figura

3.10 a), 3.10 b)…, el nombre de la capa, las celdas que ocupa, el tamaño de la capa (anchura y

altura de la misma), las propiedades térmicas del material (densidad, conductividad y calor

específico de la capa) y la temperatura inicial. Todas las unidades se introducen en el SI. La

información ancho y alto de la celda de la capa actual la calcula el programa y la presenta en la

pantalla para información al usuario. La elección de este método de introducción de datos tiene

la ventaja de poder asociar a cada región o capa tanto un tamaño diferente de las celdas que la

definen como una condición inicial también diferente, lo que permite ampliar el campo de

aplicación del programa al poder reticular más finamente aquellas regiones en las que los

procesos locales transitorios son más cambiantes, amén de otras ventajas de aspecto educativo

(influencia del tamaño de la retícula en la solución, análisis de resultados detallados en regiones

seleccionadas, etc.

El programa puede contener los datos de una serie de materiales metálicos y no metálicos con

propiedades conocidas por lo que es posible seleccionar el tipo directamente y el programa

presenta las propiedades del material seleccionado ya almacenadas en su memoria. También es

posible definir nuevos materiales con la opción “Definir nuevo material”; los materiales así

definidos se almacenarán como nuevos materiales en la memoria del programa.

Una vez introducidos los datos de una capa es preciso pulsar el botón “Añadir capa” para

finalizar correctamente la introducción de los datos de la capa. Cada vez que se introduce una

nueva capa la pantalla de la retícula se colorea con un color de define la capa introducida. Así

para las dos capas verticales definidas en las pantallas de la Figura 3.10 a) y b) la retícula se

presenta de la forma indicada en la pantalla de la Figura 3.11.

Figura 3.10 Pantalla de introducción de datos por capas en geometría rectangular. a) capa 1

Figura 3.10 Pantalla de introducción de datos por capas en geometría rectangular. b) capa 2

Figura 3.11 Retícula asociada a las capas definidas en la Figura 3.10 a) y 3.10 b)

Finalizada la definición de capas, el botón “Siguiente” da acceso a la pantalla de “Condiciones

de contorno”, Figura 3.12. La introducción de las condiciones de contorno se hace definiendo la

celda o conjunto de celdas a las que se aplica la misma condición, seleccionando tal condición e

introduciendo los datos complementarios asociados a dicha condición y especificando la

posición de la celda a la que se aplica (extremo inferior, superior, izquierdo o derecho). Las

condiciones posibles son adiabática (no requiere datos complementarios), isoterma con

temperatura fija (requiere el valor de la temperatura), flujo de calor constante (valor de dicho

flujo), de convección (coeficiente de convección más temperatura de referencia), radiación

(emisividad más temperatura de referencia), convección más radiación (requiere el coeficiente

de convección y la temperatura de referencia para la convección, la emisividad y la temperatura

de referencia para la radiación), isoterma función del tiempo y flujo de calor función del tiempo

(que requieren información sobre la dependencia temporal de la temperatura y del flujo de calor,

respectivamente). La condición de temperatura y flujo dependiente del tiempo permite la

implementación directa de varios tipos de dependencias: preestablecidas, lineal a tramos,

sinusoidal, rectangular y pulso. Las pantallas de la Figura 3.13 muestran los cuadros de

introducción de estos datos. Es necesario pulsar el botón “Establecer condiciones de contorno”

cada vez, para asegurar que la condición definida se ha implementado en el modelo. Si en una

celda se han definido varias condiciones de contorno en la misma posición, el programa fija la

última condición establecida.

Figura 3.12 Pantalla para la introducción de las condiciones de contorno.a) selección del tipo de condición

Figura 3.12 Pantalla para la introducción de las condiciones de contorno.b) selección de la posición, dentro de las celdas, a la que se aplica la condición

Figura 3.13 Pantallas típicas mostrando los diferentes tipos de condiciones de contornoa) condición de convección

Figura 3.13 Pantallas típicas mostrando los diferentes tipos de condiciones de contornob) condición de radiación

Figura 3.13 Pantallas típicas mostrando los diferentes tipos de condiciones de contornoc) condición de convección más radiación

Figura 3.13 Pantallas típicas mostrando los diferentes tipos de condiciones de contornod) condición de temperatura función del tiempo

Al finalizar la introducción de las condiciones de contorno, la pantalla de reticulación de celdas

colorea las condiciones separadamente e indica en qué posición se han impuesto tales

condiciones para que el usuario pueda hacer comprobaciones inmediatas. Ver, por ejemplo la

Figura 3.14.

Figura 3.14 Pantalla de reticulación definiendo las capas más las condiciones de contorno

La siguiente pantalla, Figura 3.15a permite introducir la ventana de simulación junto con otros

tiempos característicos asociados a la presentación de resultados tabulados y al paso de tiempo

interno para los cálculos numéricos de PSpice. La simulación simultánea de un parámetro

variable en un rango dado se especifica también en esta pantalla proporcionando el parámetro o

variable elegida, Figura 3.15b, su rango de variación y el incremento en su valor. Finalizado este

paso, la siguiente pantalla (Figura 3.16) permite introducir, en las primeras líneas del archivo de

texto del modelo, una descripción del problema que se simula tan detallada como se precise.

Esta descripción permite al usuario reconocer el modelo de manera detallada al abrir el archivo.

Con esto se completa la especificación del archivo de modelo y el programa presenta la pantalla

de la Figura 3.17, que contiene las opciones de visualización gráfica de PROCCA-09. Estas

opciones están básicamente preparadas para modelos 3-D pendientes de integrar en el programa

y se refieren al modo de presentar la retícula. Contiene opciones para integrar o no en la retícula

la numeración de celdas y el nombre de la capa. El modelo ahora puede guardarse en una

carpeta de directorio, Figura 3.18, u opcionalmente presentar el texto del mismo para ser

modificado, y posteriormente ejecutado, en una nueva pantalla, Figura 3.19.

Figura 3.15a Pantalla de ventanas de simulación y simulación de un parámetro variable

Figura 3.15b Pantalla de opciones de selección de parámetros

Figura 3.16 Pantalla de descripción del problema modelo

Figura 3.17 Pantalla de opciones de visualización

Figura 3.18 Pantalla de guardar modelo

Figura 3.19 Pantalla de archivo “.cir” del modelo

Una ruta similar de pantallas, que consideramos no es necesario presentar, se da para geometrías

cilíndricas y esféricas. Para terminar diremos que el programa integra una ayuda completa que

contiene para cada tipo de problema una descripción de sus fundamentos teóricos junto con un

listado de posibles errores y fallos del mismo.

III.3.1.2 Descripción del módulo CONCAL

Este módulo está dedicado al cálculo y diseño de aletas pudiendo trabajar con aletas simples,

anulares, rectangulares y conjuntos rectangulares aleta-pared. La aleta simple 1-D de sección

arbitraria, sólo requiere introducir los datos de sección transversal y perímetro y el número de

celdas horizontales; las anulares 1-D requieren también el radio interior y las rectangulares, la

longitud, el espesor, y los números de celdas horizontales y verticales (permitiendo trabajar en

2-D aunque en la mayor parte de los casos prácticos el comportamiento es 1-D). Por último, los

conjuntos más complejos aleta-pared requieren información sobre la geometría y reticulación de

la pared y de la aleta, separadamente. Las pantallas de presentación para introducir datos, de

cada una de estas opciones, se muestran en la Figura 3.20a-d. Así mismo, un ejemplo de retícula

para un conjunto aleta-pared se muestra en la Figura 3.21.

Figura 3.20 a) Pantalla aleta simple

Figura 3.20 b) Pantalla aleta anular

Figura 3.20 c) Pantalla aleta rectangular

Figura 3.20 d) Pantalla aleta pared

Figura 3.21 Retícula de un conjunto aleta-pared

III.4 CRITERIOS PARA LA NUMERACIÓN DE CELDAS, NODOS Y ELEMENTOS DEL MODELO

PROCCA-09 genera automáticamente la numeración de las celdas siguiendo un criterio lógico

consistente en atribuir a cada una un conjunto de 4 dígitos, de los cuales los dos primeros

indican la posición horizontal de la celda y los dos siguientes la posición vertical (Figura 3.22).

Esta misma numeración se asigna al subcircuito correspondiente a la celda. El origen para la

numeración se sitúa en la posición izquierda-inferior de la geometría. El nudo correspondiente

al centro de la celda se define igual que la propia celda, los nudos de los bordes izquierdo y

derecho llevan una x al final de su denominación mientras que los nudos inferior y superior

llevan una y. Los nudos izquierdo e inferior de la celda tienen la misma numeración que el

central mientras que el derecho y superior tienen una unidad más en la coordenada

correspondiente (x e y, respectivamente). De esta forma es inmediato establecer una

correspondencia entre nudos y posiciones locales del medio. Un detalle de esta numeración se

muestra en la misma Figura 3.22. De esta forma es fácil identificar la posición relativa de cada

punto del mallado a partir del número de celdas que contiene (tanto en geometría 1-D como 2-

D) y solicitar los datos de temperatura en los puntos requeridos una vez realizada la simulación.

Esta definición de nudos es muy útil cuando se trata de buscar los errores o fallos de

programación del archivo usando directamente los resultados de la simulación mostrados por

medio de la opción “Schematics” de PSpice.

En relación con la denominación de elementos del modelo, estos se definen con una letra inicial

que los identifica (R, resistencia; C condensador; E, generador de tensión controlado por

tensión, etc.) seguida de los números correspondientes a la celda a la que pertenecen. Debido al

diseño simétrico de la celda, se añade “izq o “der” a las resistencias para identificar su posición

relativa en la celda. Con esta identificación intuitiva de elementos el usuario puede encontrar

fácilmente el correspondiente a la posición requerida para solicitar el flujo de calor.

Figura 3.22 Numeración de celdas y nodos

Finalmente, en relación con los elementos de contorno se sigue igualmente una regla lógica para

identificarlos. Cuando se trata de condiciones adiabáticas las resistencias que las implementan

van conectadas entre el nudo correspondiente del contorno y masa pero cuando se trata de

condiciones isotermas, convectivas o radiativas los generadores que las implementan van

conectados a un nudo común que a su vez se une con masa por medio de un generador (pila) de

tensión nula que actúa como integrador de las corrientes de todo el contorno o de la parte del

entorno sometida a igual condición. De esta forma disponemos de este valor directamente

leyendo la corriente de la pila. Estos nudos de referencia comunes de los generadores tiene la

denominación

NrefSuperiorIso para la condición isotermaNrefIzquierdaConv para la condición convectivaNrefIzquierdaRad para la condición radiativa

En relación con la denominación de los generadores se ha seguido la regla

VnulaIzquierdaiso generador común a la pared isoterma superiorVnulaDerechaconv generador común a la pared convectiva derechaVnulaInferiorrad generador común a la pared inferior radiativa

III.5 ESTRUCTURA DE LOS ARCHIVOS DE TEXTO DE MODELOS

La estructura de estos archivos está dividida en los bloques siguientes, por este orden:

- Nombre del archivo (con la opción de incluir, a continuación del nombre, una

descripción general del problema),

- Parámetros físicos, geométricos y de reticulación,

- Descripción de los subcircuitos de las celdas correspondientes a cada capa donde se

especifican los componentes de los mismos y la denominación de sus nudos

internos,

- Listado de interconexión de subcircuitos, especificando el tipo de subcircuito y la

numeración de nudos externos,

- Listado de elementos que implementan las condiciones de contorno, indicando el

tipo de elemento, su valore y los nudos de conexión,

- Listado de variables a imprimir

- Sentencias de opciones de simulación

El archivo, pues, está encabezado por el nombre que lo identifica y, opcionalmente, una

descripción no limitada del problema a que se refiere (descripción introducida por el usuario en

el diseño del modelo). Todas las líneas de esta sección contienen doble asterisco “**” al

principio de las mismas lo que constituye una clave para ser obviadas por el programa de

simulación PSpice. Ejemplo de encabezamiento:

** Ejemplo 1** Conducción 2-D en una placa homogénea, rectangular, que contiene un agujero rectangular** de paredes adiabáticas. ** Los lados derecho e inferior son adiabáticos, el superior isotermo y el izquierdo convectivo.**

La sección siguiente del programa está formada por un listado de las variables que usa. Éstas se

refieren a los parámetros físicos (conductividades, calores específicos, densidades de cada

capa), parámetros geométricos del problema (longitudes del medio). parámetros asociados a las

condiciones de contorno (coeficientes de convección, emisividades, temperaturas de

referencia…) y tamaño de las celdas de cada capa (ancho y alto). La denominación de estas

variables, que toman el valor dado en la especificación del problema o lo deducen de los datos

de entrada, es una abreviatura de su nombre completo. Ejemplo de listado de variables:

**.PARAM PI = 3.1415.PARAM TempRefIsoSuperior = 500.PARAM ConvCoefIzquierda = 50.PARAM ConvTempRefIzquierda = 300.PARAM capa1Ancho = 0.0025.PARAM capa1Alto = 0.002.PARAM capa1Cond = 200.PARAM capa1Dens = 6000.PARAM capa1CalorEsp = 500

El tercer bloque define los subcircuitos. Cada uno de ellos se corresponde a una capa, cuando

todos los subcircuitos de la misma son iguales, o bien o a una celda cuando los subcircuitos de

la capa son diferentes como ocurre en coordenadas cilíndricas y esféricas. La primera línea

define el nombre del subcircuito seguido de la numeración de nodos internos del mismo. En

problemas 1-D cada subcircuito o celda contiene 3 nudos (izquierdo, derecho y central, por este

orden) más el nudo de potencial nulo (masa), mientras que en problemas 2-D los nudos son 6

(izquierdo, derecho, inferior, superior, central y masa, por este orden). Los componentes que

contiene para el caso general son dos resistencias en problemas 1-D (cuatro en problemas 2-D)

dispuestas simétricamente y un condensador conectado entre el centro de la celda y el nudo de

referencia (masa). La denominación de estos componentes ya se indicó en el Capítulo II. Para

especificar su valor se escribe la fórmula o función de las variables de las que depende entre

llaves. Ejemplo de descripción de subcircuitos

**.SUBCKT capa1 1 2 3 4 5 6Rizq 1 5 {capa1Ancho / (2 * capa1Cond * capa1Alto)}Rder 5 2 {capa1Ancho / (2 * capa1Cond * capa1Alto)}Rinf 3 5 {capa1Alto / (2 * capa1Cond * capa1Ancho)}Rsup 5 4 {capa1Alto / (2 * capa1Cond * capa1Ancho)}Ccell 5 6 {capa1Ancho * capa1Alto * capa1Dens * capa1CalorEsp} IC=300.ENDS capa1**

Un cuarto bloque se refiera al listado de interconexión entre subcircuitos (o celdas) en el que

aparece el número total de subcircuitos existentes (perteneciente a alguno de los ya definidos en

el bloque anterior) y la interconexión entre ellos con arreglo a la numeración de nodos ya

explicada en la sección III.3.1. Cada subcircuito contiene seis nodos que se escriben en el orden

nudo izquierda, nudo derecha (que terminan en la letra y), nudo inferior, nudo superior (que

terminan en la letra x) nudo central y masa. A continuación se escribe el nombre del subcircuito

asignado en el bloque anterior. El listado se organiza por bloques de subcircuitos

correspondientes a la misma columna vertical, siguiendo un orden desde la primera columna

hasta la última. Ejemplo de listado de interconexión entre subcircuitos para un total de 40

(horizontales)20(verticales) celdas o subcircuitos

***Listado de interconexión entre celdas**X0101 0101y 0201y 0101x 0102x 0101 0 capa1X0102 0102y 0202y 0102x 0103x 0102 0 capa1X0103 0103y 0203y 0103x 0104x 0103 0 capa1…X0120 0120y 0220y 0120x 0121x 0120 0 capa1

X0201 0201y 0301y 0201x 0202x 0201 0 capa1X0202 0202y 0302y 0202x 0203x 0202 0 capa1…X0220 0220y 0320y 0220x 0221x 0220 0 capa1……X4001 4001y 4101y 4001x 4002x 4001 0 capa1X4002 4002y 4102y 4002x 4003x 4002 0 capa1…X4020 4020y 4120y 4020x 4021x 4020 0 capa1**

El siguiente bloque de la estructura del archivo de modelo es el correspondiente a las

condiciones de contorno de las celdas sometidas a esta condición. En modelos 2-D los

contornos son los bordes izquierdo, derecho, superior e inferior del modelo más los bordes

correspondientes a los huecos existentes dentro del medio. Los componentes que implementan

estas condiciones, siguiendo una numeración ordenada, se especifican uno a uno de acuerdo con

las reglas mencionadas en el Capítulo II de esta memoria. Dado que las líneas de programa

tienen un número limitado de dígitos, es frecuente que el listado se separe en bloques de

variables ocupando un gran número de líneas. El siguiente ejemplo corresponde a condiciones

isotermas en el borde superior, adiabáticas en los bordes derecho e inferior y de convección en

el borde izquierdo.

**

*Listado de condiciones de contorno

*Izquierda

GIzquierdaconv01 0101y NrefIzquierdaConv VALUE={ConvCoefIzquierda*{capa1alto}*(V(0101y,0)-{ConvTempRefIzquierda})}


…


*Derecha

RDerechaadi01 2113y 0 1E15


…


*Superior

VSuperioriso01 0121x NrefSuperiorIso {TempRefIsoSuperior}


…


*Inferior

RInferioradi01 0101x 0 1E15


...


**

Con objeto de poder determinar, en todos los casos, no sólo el calor (la corriente) de cada uno

de los elementos que definan las condiciones de contorno (es decir las corrientes que entran o

salen por los contornos de las celdas sometidas a estas condiciones) sino el calor total que entra

o sale porcada una de los bordes del medio, se implementan circuitos auxiliares que permiten

determinar estos valores directamente. Así todos los componentes de contorno de cada borde se

conectan a un generador de tensión nula, en serie con la conexión de masa, que integra las

corrientes individuales. Este generador actúa como amperímetro en el circuito. El listado que

implementa estos integradores siempre aparece en el modelo con independencia de que se den o

no las condiciones isotermas, de convección, de radiación o mixtas, o de otro tipo. Para las

condiciones dadas en el bloque anterior los circuitos integradores son los siguientes:

*Elementos de integración para las superficies isotermas

Vnulaizquierdaiso NrefIzquierdaIso 0 0Vnuladerechaiso NrefDerechaIso 0 0Vnulasuperioriso NrefSuperiorIso 0 0Vnulainferioriso NrefInferiorIso 0 0

* Elementos de integración para las superficies de convección

Vnulaizquierdaconv NrefIzquierdaConv 0 0Vnuladerechaconv NrefDerechaConv 0 0Vnulasuperiorconv NrefSuperiorConv 0 0Vnulainferiorconv NrefInferiorConv 0 0

* Elementos de integración para las superficies de radiación

Vnulaizquierdarad NrefIzquierdaRad 0 0Vnuladerecharad NrefDerechaRad 0 0Vnulasuperiorrad NrefSuperiorRad 0 0Vnulainferiorrad NrefInferiorRad 0 0**

El bloque en el que se listan las variables cuyos resultados de simulación se desean obtener en

forma tabulada en el archivo “.out” constituye la siguiente sección en el archivo de modelo. Por

defecto, siempre se solicita la impresión de la tensión en todos los centros de las celdas durante

el transitorio, de acuerdo con el intervalo de tiempo solicitado para la impresión. Cualquier otro

valor que desee ser tabulado debe solicitarse añadiendo al archivo las sentencias adecuadas.

Para un modelo de 4020 celdas el listado que aparece por defecto es el siguiente:

*Listado de variables a imprimir en el archivo .out”

.PRINT TRAN V(0101,0)

.PRINT TRAN V(0102,0)

.PRINT TRAN V(0103,0)….PRINT TRAN V(0120,0).PRINT TRAN V(0201,0).PRINT TRAN V(0202,0)….PRINT TRAN V(0220,0).PRINT TRAN V(0301,0).PRINT TRAN V(0302,0)….PRINT TRAN V(4020,0)

El último bloque contiene un grupo de sentencias fijas. La que define la ventana del transitorio

de tiempos de la simulación, ya introducidos al diseñar el modelo, sentencia “.TRAN”; la

asociada a la precisión requerida en los cálculos, sentencia “.OPTIONS RELTOL”; la que

define el número de dígitos con que se presentan los resultados tabulados, sentencia

“.OPTIONS NUMDIG”; sentencia que activa el entorno gráfico de PSpice, sentencia

“.PROBE” y, finalmente, la sentencia de cierre del archivo modelo, “.END”. Un ejemplo de

estas sentencias es

**.TRAN 10ms 2s 0 UIC .OPTIONS RELTOL 0.0001.OPTIONS NUMDGT 4.PROBE.END

El primero de los valores de la sentencia .TRAN define el intervalo de tiempo de impresión de

los datos tabulados de salida, el segundo valor se refiere al tiempo total solicitado en la

simulación y el tercero al valor a partir del cual se imprimen los resultados.

III.6 PANTALLAS DE PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

Una vez creado el archivo de modelo su simulación es inmediata pulsando el botón “Simular”

que aparece en la pantalla “Archivo de texto del modelo”, que a su vez se ha originado al pulsar

“Mostrar CIR” en la pantalla que contiene la retícula final del modelo. Esta acción arranca

PSpice y ejecuta el modelo. Durante el tiempo que dura la simulación PSpice muestra la

pantalla de la Figura 3.23 en la que aparece, por defecto, en la parte inferior derecha el intervalo

de tiempo pedido a la simulación y el paso de tiempo que PSpice adopta en cada instante para la

evaluación de los cálculos numéricos. PSpice varía continuamente este paso de tiempo de

cálculo de acuerdo con la tendencia uniforme o cambiante de los resultados actuales, para

reducir al máximo (sin merma de la precisión en los resultados) los tiempos de computación

totales.

Figura 3.23 Pantalla de simulación en curso (entorno PSpice)

Si se ha incluido la opción gráfica de presentación de resultados (sentencia “.PROBE”), una vez

finalizada la simulación se muestra directamente el entorno gráfico PSpice, Figura 3.24. Este

entorno gráfico consiste en una cuadrícula en la que irán apareciendo la evolución temporal de

las variables solicitadas (o sus valores cuando se trata de soluciones estacionarias) a través del

comando “ADD TRACE” de dicha pantalla, Figura 3.25. Al pulsar este comando aparece la

pantalla mostrada en la Figura 3.26 en la que se listan todas las variables posibles que pueden

solicitarse (tensiones –temperaturas– en todos los nudos del modelo y corrientes –flujos de

calor– en todos los elementos del circuito). Basta pulsar la variable solicitada para que ésta pase

a formar parte de la lista de variables que quiere representarse. Es posible hacer operaciones

entre variables, por ejemplo obtener directamente flujos totales de calor, diferencias de

temperatura, etc.

Figura 3.24 Entorno gráfico PSpice

Figura 3.25 Comando de selección de variables

Figura 3.26 Pantalla de selección de variables para el entorno gráfico PSpice

El uso de opciones avanzadas permite representar en el entorno PSpice los resultados

simultáneos de una variable para todos los valores del parámetro elegido (siempre que se haya

usado esta opción en el diseño del modelo). También es posible, mediante el botón Append de la

regleta del entorno gráfico de PSpice, Figura 3.25, representar simultáneamente resultados de

una misma variable perteneciente a modelos diferentes con objeto de comparar soluciones de

modelos del mismo tipo o problema. Estas representaciones son muy útiles para el diseño y

optimización de conjuntos térmicos. No obstante lo anterior la forma en que PSpice presenta los

resultados en su entorno gráfico está limitada ya que presenta sólo los resultados de cada

variable o grupo de variables en función del tiempo, sin posibilidad de hacer representaciones

instantáneas de un grupo de variables u otro tipo de representaciones tipo 2-D.

Los resultados tabulados pueden obtenerse al llamar, desde PSpice o bien desde Word, el

archivo “.out”. Este archivo, que también puede solicitarse para buscar los fallos de diseño del

archivo de modelo ya que vienen listados al principio del mismo, contiene ordenadamente un

listado de todas las variables solicitadas para la solución transitoria o estacionaria del problema.

El intervalo de tiempo usado es el especificado en el diseño del modelo (sentencia .PRINT

TRAN). Estos resultados pueden ser transportados con relativa facilidad a una hoja de cálculo

para su manipulación y nuevas representaciones gráficas de perfiles, curvas de temperatura

constante, etc. Un ejemplo de este listado para las variables temperatura en los nodos (0101) y

(0204) se muestra en la Figura 3.27 donde el paso de tiempo es de 0.01 s.

**** TRANSIENT ANALYSIS TEMPERATURE = 27.000 DEG C

****************************************************************************

TIME V(0101,0)

0.000E+00 4.928E-04

1.000E-02 9.216E-01

2.000E-02 1.773E+00

…

TIME V(0204,0)

0.000E+00 -1.549E-04

1.000E-02 4.452E-02

2.000E-02 1.098E-01

…

Figura 3.27 Representación resultados tabulados en el archivo de texto “.out”

El entorno gráfico de PROCCA-09, aunque limitado, permite acceder a isolíneas de temperatura

obtenidas por interpolación de los resultados tabulados anteriores. Estas líneas están

representadas por puntos y muestran la lectura directa de la temperatura en el instante solicitado

del transitorio. El acceso a estas representaciones es directo una vez simulado el modelo

(aparece la pantalla gráfica de PROCCA-09) o bien, si se ha cargado un archivo ya simulado a

través de la ruta “Modelo” “Procesar archivo .out de este modelo” de la pantalla “Diseñador

de modelos”.

Para acceder a representaciones gráficas de mayor precisión, realizadas con MATLAB, hay que

usar la pantalla mostrada en la Figura 3.29 que arranca directamente MATLAB mostrando la

rutina de programación de la Figura 3.30 (en principio no manipulable) en la que se especifica

los valores de temperatura que se quieren representar. Un ejemplo de representación de

isotermas para un recinto rectangular 1-D, se muestra en la Figura 3.31.

Finalmente PROCCA-09 incorpora una rutina de programación que permite representar

animaciones de evolución de isotermas, tanto en su propio entorno como en el entorno gráfico

de MATLAB. Para generarlas se usa la pantalla de la Figura 3.32, que da acceso a la pantalla de

introducción de datos de la animación (Figura 3.33), valores de temperatura de las isotermas y

tiempo de paso entre fotogramas de la animación. La rutina de programación se muestra en la

Figura 3.34.

Figura 3.28 Curvas de isotemperaturas del entorno gráfico de PROCCA-09

Figura 3.29 Pantalla de generación de gráficos MATLAB

Figura 3.30 Rutina de programación de gráficos MATLAB

Figura 3.31 Curvas de isotemperaturas del entorno gráfico de MATLAB

Figura 3.32 Pantalla de generación de animaciones MATLAB

Figura 3.33 Pantalla de introducción de datos de animaciones MATLAB

Figura 3.34 Rutina de programación de animaciones MATLAB

III.7 EJEMPLOS DE ARCHIVOS DE MODELO

Para mejor entender la estructura de los archivos, su simulación y la presentación de resultados

se presentan tres ejemplos.

III.7.1 Placa rectangular con oquedad

Las dimensiones de la placa son 0.10.04 m, Figura 3.35. Las características físicas y

geométricas del medio se muestran en la Tabla 3.1. La ecuación que rige el problema es

2T/x2 + 2T/y2 = (T/t) y las condiciones de contorno vienen dadas por:

T(x,y=0.04 = Tsup (borde superior isotermo)

j(0,y) = h(Ts-Tref) (borde izquierdo convectivo)

j(x,0) = 0, j(0.1,y) = 0 (bordes inferior y derecho de la placa adiabáticos)

j(0.05,0.024<y<0.034) = j(0.09,0.024<y<0.034) = j(0.024,0.05<y<0.09) = j(0.034,0.05<y<0.09) = 0

(bordes de la oquedad adiabáticos)

= k/ce es la difusividad térmica, h es el coeficiente de convección y T ref la temperatura de

referencia para la convección.

Figura 3.35 Geometría del Ejemplo 1

a: 0,1

b: 0,04

c: 0,01

d: 0,006

e: 0,04

f: 0,01

Nº celdas horizontales: 40

Nº celdas verticales: 20

∆x (ancho de la celda): 0,0025

∆y (alto de la celda): 0,002

k (conductividad térmica): 200

Ce (calor específico): 500

(densidad): 6000

Tsup (temperatura superior): 500

h (coeficiente de convección): 50

Tconv (temp. ref. convección): 300

Tini: 300

Tabla 3.1 Parámetros físicos y geométricos del Ejemplo 1 (unidades en el SI)

d

f

h

Jconv.

y

x

adiab.

adiab.

Tsup

adiabático

b 0 2 0 1 y 0 3 0 1 ye c

a

Se ha adoptado una reticulación de celdas rectangulares del mismo tamaño. La anchura de las

celdas es x = 2.5 mm y la altura y = 2 mm. Las Figuras 3.36 a) y b) muestran las retículas

con los nombres y numeración de celdas más las condiciones de contorno. Una sección del

archivo de texto que contiene parte de las condiciones de contorno se muestra en la Figura 3.37.

Figura 3.36a Retículas del Ejemplo 1 (mostrando la denominación y numeración de celdas)

Figura 3.36b Retículas del Ejemplo 1 (mostrando las condiciones de contorno)

Figura 3.37 Archivo de texto del modelo del Ejemplo 1

Una vez simulado el modelo, que ha requerido un tiempo de paso de computación de 1.464 s en

el tramo final, según se muestra en la parte inferior de la pantalla PSpice, Figura 3.38, los

resultados de algunas de las variables se muestran en las Figuras 3.39 a 3.41. Una sección del

archivo tabulado de salida “ejemplo1.out” se muestra en la Figura 3.42.

Figura 3.38 Sección de la pantalla de PSpice mostrandola ventana de simulación y el tiempo de computación

Figura 3.39 Transitorio de temperaturas en puntos típicos cercanos a la diagonal. Centros de las celdas 0716, 1412, 2407 y 3602

Figura 3.40 Temperaturas en puntos cercanos al centro de los lados del hueco.Centros de las celdas 2912, 2918, 2015 y 3715

Figura 3.41 Flujos de calor en celdas típicas del contorno isotermo, celdas 1020, 3420,y convectivo, celdas 0105 y 0115

El entorno gráfico de PROCCA-09 permite visualizar los puntos de las curvas isotermas. Las

Figuras 3.43a y b muestran estas isolíneas para t = 20 y 50 s, respectivamente.

Figura 3.42 Archivo de salida “.out” del Ejemplo 1 (detalle)

Figura 3.43 Isolíneas. a): t = 20 s, b) : 50 s

Figura 3.43 b) Isolíneas. t=20 s

III.7.2 Cilindro hueco de dos capas

La geometría del problema, 2-D, se muestra en la Figura 3.44. Las características físicas y

geométricas del medio se muestran en la Tabla 3.2. La coordenada angular está degenerada. La

ecuación de conducción es

Las condiciones de contorno vienen dadas por

T(r=0.02,0<z<0.25) = To (superficie interior isoterma)

j(r=0.09,z) = j(r,0) = j(r,0.5) = j(r=0.02,0.25<z<0.5) (resto de superfícies adiabáticas)

Figura 3.44 Geometría del Ejemplo 2

R2

02 01 y 03 01 y

R1

02 01 y 03 01 y

Capa 2

Capa 1

T0

adiab.

adiab.

adiab.

Jconv

Rin

t

02 01 y 03 01 y

adiab.

H (altura): 0,05

Rint: 0,02

R1: 0,007

R2: 0,009

Nº celdas Capa 1 (N1): 10

Nº celdas Capa 2 (N2): 20

Nº celdas verticales (Nz): 10

T0: 1000

Tref.conv. 300

k (conductividad térmica Capa 1): 10

k (conductividad térmica Capa 2): 100

Ce (calor específico Capa 1): 300

Ce (calor específico Capa 2): 200

Capa 1 (densidad): 1000

Capa 2 (densidad): 5000

ΔR Celda Capa 1: 0,005

ΔR Celda Capa 2: 0,001

ΔH: 0,005

Tabla 3.2 Parámetros físicos y geométricos del Ejemplo 2 (unidades en el SI)

Se ha adoptado una reticulación de 30 (radiales)10(verticales) celdas. La capa interior está

formada por 10 del mismo espesor radial y la misma altura, r=0.005 y h=0.05; para las 20

celdas de la capa exterior r = 0.001 y h = 0.05. La Figura 3.45 a) y b) muestra dos vistas de la

retícula mientras que la Figura 3.46 muestra una sección del archivo de texto del modelo en el

que puede apreciarse que se han definido un total de 30 subcircuitos ya que por ser geometría

cilíndrica los elementos (resistencias y condensadores) de cada columna son diferentes (de

acuerdo con lo indicado en el Capítulo II).

Figura 3.45 Retícula del Ejemplo 2. a) Nomenclatura y numeración de celdas

Figura 3.45 Retícula del Ejemplo 2. b) condiciones de contorno

Figura 3.46 Sección del archivo de texto del Ejemplo 2

Las Figuras 3.47 a 3.49 muestran los resultados de la simulación. En la primera se muestra los transitorios de

temperatura en posiciones típicas del cilindro; la segunda recoge los flujos de calor en la sección de pared

isoterma (ambas en el entorno gráfico de PSpice). La tercera muestra isolíneas típicas en el entorno de

PROCCA-09 para un tiempo de 316 s. Finalmente, la Figura 3.50a y 3.50b muestra isolíneas obtenidas con

MATLAB en dos tiempos característicos t = 50 s y t = 316 s, respectivamente.

Figura 3.47 Temperaturas en posiciones típicas de las bases del cilindro. Base inferior: centro de las celdas 0501, 0503, 0505,0507, y 0509; base superior: ídem 1501, 1503, 1505, 1507 y 1509

Figura 3.48 Flujos en las celdas con condición de contorno isoterma.Centros de las celdas 0101, 0102, 0103, 0104 y 0105

Figura 3.49 Isolíneas en el instante t = 316 s en el entorno gráfico de PROCCA-09

Figura 3.50 a) Isolíneas con MATLAB t = 50 s.

Figura 3.50 b) Isolíneas con MATLAB t = 316 s.

III.7.3 Aleta rectangular 1-D

La geometría se muestra en la Figura 3.51. Las características físicas y geométricas del medio se

muestran en la Tabla 3.3. La ecuación de conducción viene dada por el conjunto de ecuaciones

(2.19) a (2.20e) del Capítulo II.

Figura 3.51 Geometría de la aleta

Las condiciones de contorno (por simetría se ha adoptado la mitad superior de la aleta) vienen

dadas por

T(x=0,t) = To

j(superficie de simetría,t) = 0

j(superficie lateral) = h (Ts - Tref)

j(extremo) = h (Ts - Tref)

(superficie interior isoterma)

(superficie de simetría adiabática)

(superficie lateral convectiva)

(extremo convectivo)

l = 0.020

e =0.002

k = 100

= 2000

ce = 300

h = 2000

Tini = 300

Trefconv = 300

Tb = 500

Nx=40, Ny = 4

Tabla 3.3 Parámetros físicos y geométricos del Ejemplo 3

Las celdas son cuadrados de tamaño x = 0.0005 y y = 0.005. La retícula del modelo se

muestra en la Figura 3.52 y una sección del archivo de testo del modelo en la Figura 3.53

, k, ce, Tini

l

x

y Tref.conv.jconv.

Tb

j = 0

j = 0

e

Figura 3.52 Retícula y condiciones de contorno del Ejemplo 3

Figura 3.53 Sección del archivo de texto del Ejemplo 3

Figura 3.54 Transitorio de temperaturas en posiciones típicas. Centros de las celdas 0110, 0120, 0130 y 0140

Los resultados de la simulación se muestran en las Figuras 3.54 y 3.55, transitorio de

temperaturas y flujos de calor en posiciones típicas de la aleta. Una representación de las

isotermas para t = 0.2 s, en el entorno gráfico de PROCCA-09, se muestra en la Figura 3.56

(puede apreciarse en las mismas el comportamiento 1-D de la aleta). Por último, la Figura 3.57

muestra los isotermas para t = 100 s usando MATLAB.

Figura 3.55 Flujos de calor de convección en las celdas xx, xx, xx y xx

Figura 3.56 Isotermas de la aleta para t = 0.2 s

Figura 3.57 Isotermas en el entorno MATLAB para t = 100 s.

IV. Aplicaciones docentes y de investigación

Capítulo IV

Aplicaciones docentes y de investigación

IV.1 Introducción

IV.2 Aplicaciones docentes

IV.2.1 Transitorios en medios 1-D y 2-D de geometría rectangular

Placa 1-D bajo enfriamiento convectivo

Placa 2-D con condiciones de contorno armónicas

IV.2.2 Placas 1-D bajo condiciones de convección y radiación

IV.2.3 Estudio de aletas simples

IV.3 Aplicaciones de investigación

IV.3.1 Aislamiento de tanques esféricos multicapa

IV.3.2 Introducción al diseño de aletas y conjuntos aleta-pared rectangulares

109


IV.1 INTRODUCCIÓN

En este capítulo se presentan aplicaciones del programa PROCCA-09 en su doble vertiente de

docencia e investigación. PROCCA-09, al igual que su antecesor PRODASIM, enfocado

básicamente a cálculos de aletas simples, nació básicamente con vocación docente. El objetivo

era sustituir algunas de las prácticas de laboratorio de transmisión de calor impartidas en las

carreras de ingeniería, muy costosas y de carácter fundamental, por prácticas con ordenador, de

coste mínimo y mayor complejidad, aunque con las desventajas inherentes asociadas a la falta

de contacto directo del alumno con equipos e instrumentos de medida. PROCCA-09, mucho

más potente que su antecesor PRODASIM, permite el diseño de un amplio conjunto de

prácticas de conducción de calor. En el presente capítulo mostramos tres aplicaciones docentes

que, aunque no organizadas como prácticas de laboratorio, muestran las posibilidades del

programa en relación con este objetivo: conducción en medios multicapas rectangulares, placas

bajo condición simultánea de convección y radiación, y estudio de aletas simples. La exposición

de las mismas, no obstante, sigue un enfoque típicamente docente: objetivos, esquema de la

aplicación, descripción, realización, obtención y tratamiento de resultados, elaboración de tablas

y gráficos, cuestiones y trabajos a desarrollar por el alumno, y conclusiones finales. Nuestra

intención es elaborar para el curso próximo 2009-2010 un cuaderno de prácticas, con un total de

6 a 8 prácticas de dos horas de duración, que cubra parcialmente los objetivos de la enseñanza

práctica de esta materia en las carreras de Ingeniería Industrial (básicamente Mecánicos y

Químicos).

En relación con las aplicaciones de investigación consideramos que PROCCA-09 es una

herramienta muy útil en este campo aunque su alcance se ciña al campo de la conducción

térmica con condiciones de contorno (no lineales) prácticamente arbitrarias. Las posibilidades

del módulo CONCBA de poder usar medios 2-D, multicapas, de geometrías tanto rectangulares

como cilíndricas y esféricas, lo convierte en una herramienta de optimización muy interesante

en múltiples aplicaciones en los campos industrial y de la construcción, particularmente para el

diseño de recintos aislados, acondicionados térmicamente; del mismo modo el módulo

CONCAL es potencialmente aplicable al diseño y optimización de superficies extendidas

incluyendo el estudio de la influencia de la pared desnuda, un tema cuyo tratamiento en la

literatura científica es matemáticamente muy complejo y sólo accesible a investigadores

especializados. Se presentan dos aplicaciones: diseño de aislamiento de un tanque cilíndrico

multicapa bajo diferentes condiciones en sus paredes y estudio de optimización de aletas y de la

influencia de la pared desnuda en el diseño de conjuntos aleta-pared.

110

, k, ce, Tinib

a

x

y Condición de contorno 2Condición de contorno 1

Condición de contorno 3


IV.2 APLICACIONES DOCENTES

IV.2.1 Transitorios en medios 1-D y 2-D de geometría rectangular

Los objetivos de esta aplicación son los siguientes:

- Estudiar, separadamente y en conjunto, la influencia de las características térmicas

conductividad, k, y calor específico, ce, en el transitorio y estacionario final de un

proceso de conducción de calor 2-D

- Ídem para el coeficiente de convección. Efecto de la dependencia del coeficiente de

convección con la temperatura superficial

- Estudio del coeficiente de difusividad térmica

- Ídem el efecto de condiciones de contorno dependientes del tiempo estudiando la

influencia de los valores máximos y del periodo de la condición

- Familiarizarse con las distribuciones de potenciales y flujos en el medio

- Representar perfiles de temperaturas en el medio

- Representar las isotermas durante el transitorio con los entornos gráficos de PROCCA y

MATLAB

- Hacer representaciones animadas de las isotermas con las herramientas de MATLAB

El esquema general de esta aplicación se presenta en la Figura 4.1: una placa rectangular

homogénea (de densidad o, conductividad térmica k y calor específico ce), con temperatura

inicial constante, Tini, se somete a diferentes tipos de condiciones de contorno dependientes o no

del tiempo (adiabática, isoterma y de convección) en parte o la totalidad de sus bordes. Los

valores o rangos de los parámetros se muestran en la Tabla 4.1.

Figura 4.1a Esquema de la geometría

111

, k, ce, Tinib

a

x

y Condición de contorno 2




Figura 4.1b Modelo en red de la celda

h = 100, 300 y 1000

k = 50, 100 y 500

ce,1 = 5E5 y 1E6

p = 1, 1.2 y 1.3,

Trefconv = 300

Tini = 500

Tabla 4.1 Valores y rangos de los parámetros (SI)

Placa 1-D bajo enfriamiento convectivo. Por simetría, el esquema de este problema y modelo

en red se muestran en la Figura 4.2 a) y b), respectivamente. Las condiciones de contorno son:

j(0,t) = 0 (condición adiabática en el extremo izquierdo)

jx(l1,t) = h(Ts- Trefconcv)p (condición de convección en el extremo derecho)

Tini (x,0) = 500 (condición inicial)

La longitud de la placa es lo = 0.5 m y el espesor 0.001 m; el número de celdas es N = 50. Con

todo, x = 0.01 m. La simulación se realizará para el intervalo temporal [0,20000] y los datos

tabulados se imprimen cada 10 s.

Figura 4.2a Esquema del enfriamiento convectivo

112

y

adiabático

x

l0

Tref.conv.

j = 0(adiabático)

adiabático

Tini

, k, ce

Ts

Jconv = h (Ts - Tref.conv.)



Los valores de las resistencias y condensador del modelo son (tomando la unidad de longitud

para la profundidad): Rizq = Rder = x / (20.001 k) = 10lo / k, C = ce x = ce lo / 50. Con

estos datos el alumno deberá diseñar un modelo general con el módulo CONCBA, en el que irá

modificando los valores de k, , ce, h y p para obtener los modelos particulares que ejecutará en

PSpice. Los resultados de la simulación se muestran en las siguientes figuras del entorno gráfico

de PSpice que el alumno comentará de acuerdo con las guías establecidas en el cuaderno de

prácticas. Las influencias separadas del k, h y ce en los resultados del transitorio de

temperaturas se muestran en las Figuras 4.3 a 4.5, respectivamente. Se han representado las

temperaturas en los centros de las celdas primera y última que corresponden muy

aproximadamente a los extremos izquierdo y derecho, respectivamente, de la placa. Puede

observarse que un aumento de k o h acorta la duración del transitorio de enfriamiento mientras

que un aumento de ce lo alarga. Las curvas de flujo de calor en la superficie convectiva, para

algunos casos, se muestran en la Figura 4.6. Es interesante la comparación entre estas curvas

que se cruzan para determinados valores de las características térmicas, así como la

comparación de la duración del transitorio, que es función de estos valores (el alumno debe

sacar conclusiones generales y particulares acerca de la influencia de los parámetros a la vista

de los resultados).

La construcción de estas figuras se logra con el uso del comando APPEND del entorno gráfico

de PSpice, que permite integrar en un mismo gráfico de tiempos, variables con el mismo

nombre pertenecientes a diferentes modelos.

113

Jent.x

Rizq Rder

Jsal.x

T+ΔxT-Δx T

C

1 mm


Figura 4.3 Influencia de k. Temperaturas en posiciones típicas x = 0.01 (centro de la primera celda) y0.49 (centro de la última). k = 50, 100 y 500. ce = 5E5, h = 100, p = 1

Figura 4.4 Influencia de h. Temperaturas en posiciones típicas x = 0.01 (centro de la primera celda) y0.49 (centro de la última). k = 50, ce = 5E5, h = 100, 300 y 1000, p = 1

Figura 4.5 Influencia de ce. Temperaturas en posiciones típicas x = 0.01 (centro de la primera celda) y 0.49 (centro de la última). k = 50, ce = 2E5, 5E5 y 1E6, h= 100, p = 1

114


Figura 4.6 Flujos de convección, p= 1. a) k = 50, h = 100, ce = 5E5; b) k = 500, h = 100, ce = 5E5;c) k = 50, h = 1000, ce = 5E5; d) k = 50, h = 100, ce = 1E6;

115


En relación con la dependencia del coeficiente de convección con la diferencia de temperaturas

Ts – Trefconv, adoptando la expresión típica h = ho(Ts-Trefconc)p, con p una constante cercana a la

unidad, es necesario manipular el generador de convección para incluir esta potencia, lo que se

hace en el archivo del modelo directamente. La sentencia que implementa esta función es

GDerechaconv01 5101y NrefDerechaConv VALUE={ConvCoefDerecha*0.1*((V(5101y,0)-{ConvTempRefDerecha})^p)}

La Figura 4.7 muestra los resultados del transitorio de temperaturas en las celdas primera y

última para tres valores de p, parámetro muy determinante en la duración del transitorio y en la

distribución de temperaturas en el medio. Los flujos de convección para los mismos parámetros

se muestran en la Figura 4.8.

116


Figura 4.7 Influencia de p. Temperaturas en posiciones típicas x = 0.01 (celda 0101) y 0.49 (celda 0140).k = 50, ce = 5E5, h = 100, p = 1, 1.2 y 1.4

117


Figura 4.8 Flujos de convección. k = 50, ce = 5E5, h = 100, p = 1, 1.2 y 1.4

Una primera visión de la evolución temporal de las isotermas puede obtenerse mediante el entorno gráfico de

PROCCA-09. Para dos instantes dados, estas isotermas se muestran en la Figura 4.9.

Figura 4.9 Isotermas en el entorno PROCCA. k = 50, ce = 5E5, h = 100, p = 1. a) t = 100

Figura 4.9 Isotermas en el entorno PROCCA. k = 50. ce = 5E5, h = 100, p = 1. b) t = 200

118


El alumno deberá comprobar aspectos complementarios de la aplicación tales como:

- estudiar modelos con el mismo valor de difusividad (y valores diferentes de k y ce) proporcionan

los mismos resultados de temperatura y flujos de calor en el transitorio

- determinar el tiempo característico del problema, t* = lo/ y comprobará que es del orden de

magnitud de la duración del transitorio

- construir perfiles de temperatura para los diferentes modelos y representarlos

- estudiar la influencia del número de celdas en la precisión de los resultados

- utilizar el entorno gráfico de PROCCA-09 para observar la evolución de las isotermas

- ídem de MATLAB para una visión más detallada de la evolución anterior y para obtener

representaciones animadas

- comentar muchos de los resultados anteriores contestando a una serie de preguntas guiadas y

establecerá las conclusiones finales

Placa 2-D con condiciones de contorno armónicas. El esquema de este problema se muestra en la Figura

4.10, el modelo en red es el de la Figura 4.1b. Los valores de los parámetros se muestran en la Tabla 4.2.

Figura 4.10 Esquema de la placa 2-D bajo condiciones de contorno armónicas

k = 100 = 1000ce = 300Tini = To = 300

l1 = 0.4l2 = 0.2 mNx = 50Ny = 50

Tabla 4.2 Parámetros del problema (SI)

l 2

adiabático

isotermo

adiabático

T0

adiabático

T = T (t)

x

y

, k, ce, Tini

l1

119


Con todo, los valores de las resistencias y condensador de cada celda son Rizq = Rder = 0.01, Rinf = Rsup =

0.0025 y C = 9.6. Las condiciones de contorno son:

jy(x,0) = -k (T/y) = 0 (condición adiabática en el borde inferior)

jx(l1,y) = -k (T/x) = 0 (condición adiabática en el borde derecho)

jy(0<x<l1/2,l2) = -k (T/y) = 0 (condición adiabática en la mitad del borde superior)

T(0,y) = To (isoterma en el borde izquierdo)

T(l1/2<x<l1,l2) = T(t) (temperatura función del tiempo en la mitad del borde superior)

Se asumen dos dependencias temporales armónicas de la función T(t), sinusoidal y rectangular. Los

parámetros de estas dependencias se muestran en la Figura 4.11 a y b; el valor medio de temperatura es Tmed

= Tmed = 300 K y la amplitud Tamp,sen = Tamp,sen = 100; los valores del periodo son to,sen = 500 s y to,rec = 1000 s.

La simulación se realizará para el intervalo temporal [0,1000] s los valores de impresión del archivo tabulado

de salida se obtendrán cada 1 s.

Figura 4.11a Dependencias temporales (sinusoidal)

Figura 4.11b Dependencias temporales (rectangular)

T

Tm

áx

Tm

edia

T

t0

t0

t1

t

t

Tm

ín

Tm

áx

120


Con estos datos el alumno deberá diseñar dos modelos correspondientes a las dos dependencias temporales

de la condición isoterma anterior; para ello usará la ventana que permite definir directamente este tipo de

dependencias, Figura 4.12.

Figura 4.12 Ventana (CONCBA) de introducción de condiciones de contornodependientes del tiempo

Algunos de los resultados de la simulación, temperaturas y flujos de calor en posiciones típicas del medio, se

muestran en las Figuras 4.13, 4.19 (para la condición sinusoidal) y 4.20 y 4.26 (para la onda rectangular).

Puede apreciarse cómo el retraso de la onda depende de la distancia del punto a a la condición de contorno

armónica. Es importante observar también la forma de onda de los flujos de calor en las celdas en donde se

aplican las dos condiciones de contorno diferentes. El alumno comentará éstas y otras gráficas en diferentes

puntos del medio para determinar la profundidad de penetración en la placa del efecto armónico de la

condición de contorno debido tanto a la amplitud máxima como al periodo de dicha condición, así como la

onda de calor producida. También, mediante el entorno gráfico de PROCCA comentará la evolución

(armónica) global de las temperaturas en la placa; este efecto se aprecia con mayor precisión en las

representaciones gráficas de MATLAB a partir de los datos del archivo de salida .out. Las Figuras 4.27a,

4.27b y 4.27c muestran tres isotermas en la placa, para la onda sinusoidal, correspondientes a los instantes t

= 200, 400 y 600 s.

121


Figura 4.13 Condición de contorno sinusoidal. Temperaturas en posiciones típicas cercanas a la diagonal.

Centros de las celdas 2501, 2510, 2520, 2530, 2540 y 30 50

Figura 4.14 Condición de contorno sinusoidal. Temperaturas en puntos de la vertical x = 0.076.Centros de las celdas 1001, 1010, 1020, 1030, 1040 y 1050

Figura 4.15 Condición de contorno rectangular. Temperaturas en puntos de la vertical x = 0.336.Centros de las celdas 4001, 4010, 4020, 4030, 4040 y 4050

122


Figura 4.16 Condición de contorno sinusoidal. Temperaturas en puntos de la horizontal y = 0.038.Centros de las celdas 0110, 1010, 2010, 3010, 4010 y 5000

Figura 4.17 Condición de contorno sinusoidal. Temperaturas en puntos de la horizontal y = 0.158.Centros de las celdas 0140, 1040, 2040, 3040, 4040 y 5040

Figura 4.18 Condición de contorno sinusoidal. Flujos de calor en las fuentes dependientes del tiempo.Celdas 2650, 3450, 4250 y 5050

123


Figura 4.19 Condición de contorno sinusoidal. Flujos de calor en las fuentes isotermas. Celdas 0101, 0110, 0120, 0130, 0140 y 0150

Figura 4.20 Condición de contorno rectangular. Temperaturas en posiciones típicas cercanas al eje de simetría.Centros de las celdas 2501, 2510, 2520, 2530, 2540 y 3050

Figura 4.21 Condición de contorno rectangular. Temperaturas en posiciones típicas de la línea vertical x = 0.076.Centros de las celdas 1001, 1010, 1020, 1030, 1040 y 1050

124


Figura 4.22 Condición de contorno rectangular. Temperaturas en posiciones típicas de la línea vertical x = 0.336. Centros de las celdas 4001, 4010, 4020, 4030, 4040 y 4050

Figura 4.23 Condición de contorno rectangular. Temperaturas en puntos de la horizontal y = 0.038. Centros de las celdas 0110, 1010, 2010, 3010, 4010 y 5000

Figura 4.24 Condición de contorno rectangular. Temperaturas en puntos de la horizontal y = 0.158. Centros de las celdas 0140, 1040, 2040, 3040, 4040 y 5040

125


Figura 4.25 Condición de contorno rectangular. Flujos de calor en las fuentes dependientes del tiempo.Celdas 2650, 3450, 4250 y 5050

Figura 4.26 Condición de contorno rectangular. Flujos de calor en las fuentes isotermas. Celdas 0101, 0110, 0120, 0130, 0140 y 0150

Figura 4.27 Condición de contorno sinusoidal. a) Isotermas para t = 200

126


Figura 4.27 Condición de contorno sinusoidal. b) Isotermas para t = 400

Figura 4.27 Condición de contorno sinusoidal. c) Isotermas para t = 600

Otros tareas a realizar por el alumno son:

- trabajar con ondas de valor medio cero para ver sus efectos

- cambiar las condiciones de contorno en los bordes de condiciones fijas

- construir perfiles de temperatura

127


- utilizar el entorno gráfico de PROCCA-09 para observar la evolución de las isotermas

para condiciones de contorno diversas

- ídem de MATLAB para una visión más precisa y para representaciones animadas

- comentar muchos de los resultados anteriores contestando a una serie de preguntas

guiadas y establecerá las conclusiones finales

IV.2.2 Placas 1-D bajo condiciones de convección y radiación


- Comparar entre sí los efectos de las condiciones de contorno de convección y radiación

para diferentes rangos de los parámetros que las definen: coeficiente de convección,

emisividad y temperaturas de referencia

- Estudiar los rangos para los que dichos efectos (flujos de convección y radiación en la

superficie) son de un orden de magnitud similar

- Para una aplicación simultánea de ambas condiciones estudiar los rangos de valores de

los parámetros para los que una condición se hace despreciable frente a la otra

- Representar las isotermas durante el transitorio con los entornos gráficos de PROCCA y

MATLAB

- Hacer representaciones animadas de las isotermas con las herramientas de MATLAB

El esquema general de esta aplicación se presenta en la Figura 4.28. Una placa 1-D homogénea

(de densidad o, conductividad térmica k y calor específico ce), con temperatura inicial

constante, Tini, y temperatura en el borde izquierdo constante, To, se somete a diferentes

condiciones de contorno, convección, radiación y convección más radiación en el otro extremo.

El modelo en red es el de la Figura 4.2b. Los valores o rangos de los parámetros se muestran en

la Tabla 4.3.

Figura 4.28 Esquema de la geometría de la placa

y

x

l0

Tref.conv., Tref.rad.

T0

(isotermo)

, k, Ce

Jconv = h (Ts - Tref.conv.)

Jred = T (Ts - Tref.red.)

128


k = 100 = 3000ce = 300h1 = 10, 50, 100 y 5001 = 0.3, 0.5, 0.7 y 0.9

lo = 0.1e = 0.01Tini = 300, To = 1000Trefconv = 300Trefrad = 300N = 50


El modelo matemático y condiciones de contorno son:

T(0,t) = To (isoterma en el borde izquierdo)

j(lo,t) = h(Ts – Trefconv) (condición convectiva en el borde derecho)

j(lo,t) = (Ts4 – Trefrad

4) (condición de radiación en el borde derecho)

j(lo,t) = h(Ts – Trefconv)+ (Ts4 – Trefrad

4) (condición de convección más radiación en el

borde derecho)

Los valores de las resistencias y condensador de cada celda son R izq = Rder = 0.001, C = 1.8. Enfriamiento

por convección y radiación separadamente. El intervalo temporal de simulación es [0,25] s y el intervalo

de tiempo de impresión 0.1 s. Con todo lo anterior el alumno diseñará un conjunto de modelos para cada

conjunto de valores de los parámetros o un único modelo en el que manipulará los valores de los parámetros.

La simulación en PSpice proporciona los siguientes resultados. La Figura 4.29 muestra el transitorio de

temperaturas en posiciones típicas del medio (a) y flujos de calor en la superficie (b) para los diferentes

valores del coeficiente de convección, h, mientras que la Figura 4.30 muestra los mismos resultados para la

condición de radiación. Los flujos de calor en la superficie isoterma se muestran en la Figura 4.31. Puede

apreciarse como estos flujos, en el estacionario, coinciden con los de las superficies de convección y

radiación para cada una de las condiciones de contorno. Finalmente, la Figura 4.32 muestra varias

representaciones de isotermas en el entorno gráfico de PROCCA-09 para el caso de convección solamente;

en ellas puede observarse que el estacionario ya se alcanza a los diez segundos.

Figura 4.29 Condición de convección. h = 10, 50, 100 y 500.a) Temperaturas en las celdas 2501 (centro de la placa) y 5001 (extremo)

129


Figura 4.29 Condición de convección. h = 10, 50, 100 y 500.

b) flujos de calor en la superficie de convección

Figura 4.30 Condición de radiación. = 0.3, 0.5, 0.7 y 0.9.a) Temperaturas en las celdas 2501 y 5001

Figura 4.30 Condición de radiación. = 0.3, 0.5, 0.7 y 0.9.b) flujos de calor en la superficie de radiación

130


Figura 4.31 Flujos en la pared isoterma. a) h = 10, 50, 100 y 500 (sólo convección); b) = 0.3, 0.5, 0.7 y 0.9 (sólo radiación)

Figura 4.32 Isotermas (sólo convección). a) t = 1 s

Figura 4.32 Isotermas (sólo convección). b) t = 10 s

131


Figura 4.32 Isotermas (sólo convección). c) t = 20 s

132


Enfriamiento por convección y radiación simultáneamente. El intervalo temporal de

simulación es [0,100] s y el intervalo de tiempo de impresión 0.1 s. Los resultados de la

simulación se muestran en las Figuras 4.33 a 4.36. La Figura 4.33 muestra el transitorio de

temperaturas en posiciones típicas del medio para diferentes valores del coeficiente de

convección y una misma emisividad mientras que los flujos de convección radiación para esos

mismos valores se muestra en la Figura 4.34. Estos mismos resultados para un mismo h y

diferentes valores de se muestran en las Figuras 4.35 (temperaturas en el medio) y 4.36 (flujos

de convección y radiación). Puede observarse que la influencia de la emisividad en el campo

térmico es muy pequeña (excepto para los flujos de radiación) en comparación con la influencia

del coeficiente de convección. Las isotermas de MATLAB para diferentes tiempos se muestran

en la Figura 4.37.

133


Figura 4.33 Condición de convección más radiac ión. h = 100, 500 y 1000, = 0.5. Temperaturas en las celdas 2501 (extremo isotermo), 2525 (centro de la placa) y 5001 (extremo de convección y radiación)

134


Figura 4.34 Condición de convección más radiación. h = 100, 500 y 1000, = 0.5. Flujos de convección y radiación

Figura 4.35 Condición de convección más radiación. h = 10, = 0.5, 0.7 y 0.9.Temperaturas en las celdas 2501 (extremo isotermo), 2525 (centro de la placa)

y 5001 (extremo de convección y radiación)

Figura 4.36 Condición de convección más radiación. h = 10, = 0.5, 0.7 y 0.9.Flujos de convección y radiación

135


Figura 4.37a Isotermas. Sólo convección, h = 100. t = xx y xx s

Figura 4.37b Isotermas. Sólo radiación, = 0.7, t = xx y xx s

Figura 4.37c Isotermas. Convección más radiación, h = 100, = 0.5 y 0.7, t = xx y xx s

136


El alumno completará el aprendizaje de esta aplicación estudiando:

- la diferencia cualitativa y cuantitativa de los resultados de las dos condiciones para

interpretar la influencia de los valores de los parámetros (y otros nuevos)

- la influencia de la conductividad y del producto ce en la radiación

- la diferencia cuantitativa entre los resultados de la condición simultánea convección

más radiación y los resultados de ambas por separado discutidos en el caso anterior

- una ampliación de los rangos de valores para ver cuándo la influencia de una condición

es despreciable frente a otra en el caso de su aplicación simultánea

- los perfiles de temperatura en el medio (que representará)

- los tiempos característicos

- resultados complementarios, tales como flujos de calor en el interior del medio,

cualitativamente diferentes según el valor de los parámetros del problema

- la influencia del número de celdas en la precisión de los resultados

- la evolución de las isotermas mediante el entorno gráfico de PROCCA-09, dicha

evolución proporciona una información muy interesante de la que derivan los flujos de

calor en el medio aludidos anteriormente

- representaciones detalladas de las isotermas mediante MATLAB y representaciones

animadas para estudiar sobre ellas muchas de las conclusiones obtenidas

- el alumno, finalmente, contestará un conjunto de preguntas sobre la aplicación y

establecerá las conclusiones finales

IV.2.3 Estudio de aletas simples


- estudiar el proceso de disipación térmica de una aleta simple de sección arbitraria

sometida a convección, y la influencia del valor de los diferentes parámetros que lo

regulan: conductividad, coeficiente de convección, longitud, sección transversal y

perímetro de la aleta

- comprender el concepto de longitud característica como parámetro de referencia para

adimensionalizar la longitud real de la aleta

- obtener los coeficientes de eficiencia y efectividad

- estudiar la influencia de las condiciones del extremo

- representar perfiles de temperaturas y flujos de calor en la aleta

El esquema general de esta aplicación se presenta en la Figura 4.38a. Una aleta de sección

arbitraria So, perímetro Po y longitud lo (espín), que se supone trabaja en condiciones 1-D, se

somete a convección en su superficie lateral, condición isoterma en la superficie de contacto con

la pared, To, y condición convectiva o adiabática en el extremo; T ini es la temperatura inicial. El

modelo en red para un elemento de volumen cualquiera se muestra en la Figura 4.38b y los

valores de los parámetros en la Tabla 4.4.

137


Figura 4.38a Esquema de la geometría


k = 100

= 4000

ce = 300

h = 2000

To = 500

Trefconv = Tini = 300

lo = 0.02

So = 3E-6

Po = 6E-3

N = 50


El modelo matemático y condiciones de contorno son:

T(0,t) = To (isoterma en el extremo derecho)

j(lo,t) = h(Te – Trefconv) o j(lo,t) = 0 (condición convectiva o adiabática en el extremo derecho)

j(x,t) = h(Tl(x) – Trefconv) (condición de convección en la superficie lateral)

Te y Tl son las temperaturas en el extremo y en la superficie lateral, respectivamente. Con estos

datos, x = 4E-4, y las resistencias y condensador de cada celda, R izq = Rder = x/(2kSo) = lo(N2k

So) = 4, C = So x ce = 1.44E-3. El intervalo temporal de simulación es [0,1] s y el intervalo de

tiempo de impresión 0.001 s.

138


Con todo lo anterior el alumno diseñará dos modelos, uno con extremo adiabático y otro con

extremo convectivo. La simulación en PSpice proporciona los siguientes resultados mostrados

en las siguientes figuras. Las Figuras 4.39 a 4.42 muestran el transitorio de temperaturas en

posiciones típicas para diferentes rangos de los parámetros h, k, So y lo, respectivamente,

mientras que las Figuras 4.43 a 4.46 muestran los flujos de calor convectivos. La influencia de

cada uno de los parámetros es patente y se manifiesta en condiciones estacionarias de

funcionamiento. Los parámetros influyentes de la longitud de la aleta, Figura 4.42, y la sección

transversal, Figura 4.45.

139


Figura 4.39 Influencia de la conductividad térmica, k=50, 100 y 150. Temperatura en las celdas 0101, 1001 y 3001

Figura 4.40 Influencia del coeficiente de convección, h = 1000, 1500 y 2000.Temperaturas en las celdas 1001, 2001, 3001 y 5001

140


Figura 4.41 Influencia de la sección transversal, So = 3E-6, 4E-6 y 5E-6. Temperaturas en las celdas 0101, 2501 y 5001

Figura 4.42 Influencia de la longitud de la aleta, lo = 0.01, 0.015 y 0.02. Temperaturas en las celdas 0101, 2501 y 5001

Figura 4.43 Influencia de la conductividad térmica, k=50, 100 y 150. Flujos de convección en las celdas 0101, 1001 y 3001

141


Figura 4.44 Influencia del coeficiente de convección, h = 1000, 1500 y 2000.Flujos de convección en las celdas 1001, 2001, 3001 y 5001

Figura 4.45 Influencia de la sección transversal, So = 3E-6, 4E-6 y 5E-6. Flujos de convección en las celdas 0101, 2501 y 5001

¿Otra Figura 4.45?

142


Figura 4.46 Influencia de la longitud de la aleta, lo = 0.01, 0.015 y 0.02. Flujos de convección en las celdas 0101, 2501 y 5001

143


Los perfiles de temperatura y flujos convectivos, para algunos valores concretos de los

parámetros se muestran en las Figuras 4.47 y 4.48. La longitud característica se define como la

parte de una aleta muy larga para la que la temperatura ha caído a un valor de To/e , con T0 la

temperatura de la base y e la base de los logaritmos neperianos. A partir de las gráficas

anteriores es inmediato determinar la longitud característica de las aletas correspondientes,

longitud que se utiliza como parámetro de referencia para adimensionalizar la longitud real de

una aleta. La influencia de convección o no en el extremo suele ser despreciable (a menos que

se trate de aletas cortas); la Figura 4.49 muestra las temperaturas en celdas cercanas al extremo

y flujos de convección en la última celda (y en el extremo) para un caso general de aletas en

donde puede apreciarse el pequeño efecto de la convección.

0,0001 0,0009 0,0017 0,0025 0,0033 0,0041 0,0049 0,0057 0,0065 0,0073 0,0081 0,0089 0,00970,000E+00

1,000E+02

2,000E+02

3,000E+02

4,000E+02

5,000E+02

6,000E+02

Tem

per

atu

ra (

K)

Curva aCurva b

Curva cCurva d

Figura 4.47 Perfiles de temperatura en la aleta. a) k = 150, h = 2000, So = 3E-6 y lo = 0,02; b) k = 100, h = 2000, So = 3E-6 y lo = 0,02; c) k = 100, h = 2000, So = 5E-6 y lo = 0,02; d) k = 100, h = 2000, So = 3E-6 y

lo = 0.01

144


Figura 4.48 Perfiles de flujos de convección. a) k = 100, h = 2000, So = 3E-6 y lo = 0,02; b) k = 100, h = 2000, So = 3E-6 y lo = 0,02; c) k = 100, h = 2000, So = 3E-6 y lo = 0,02; d) k = 100, h = 2000, So = 3E-6 y lo = 0,02

Figura 4.49 Influencia de la convección en el extremo. k = 150, h = 2000, So = 3E-6 y lo = 0.02 Curvas inferiores: temperaturas en las celdas 4501 y 5001; Superiores: flujo en la última celda y en el extremo

145


El cálculo de los parámetros de eficiencia puede realizarse a partir de los resultados anteriores,

así como la influencia de la convección en el extremo en relación con la condición adiabática

generalmente adoptada.

El alumno completará el aprendizaje de esta aplicación estudiando:

- diferentes tipos de sección comparando los resultados entre sí

- una ampliación de los rangos de valores para determinar la expresión de la longitud

característica en función de los parámetros

- la representación de diferentes perfiles de temperatura para mejor comprender el papel

de la longitud característica

- la influencia del número de celdas en la precisión de los resultados

- la eficiencia de un grupo amplio de aletas para construir gráficos de eficiencia

- ídem la efectividad

- contestará un conjunto de preguntas sobre la aplicación y establecerá las conclusiones

finales

146


IV.3 APLICACIONES DE INVESTIGACIÓN

Hemos mencionado ya que PROCCA-09 puede ser aplicado para diseño e investigación.

Aunque en su versión actual sólo trata de materiales homogéneos y por tanto lineales, si bien las

condiciones de contorno que admite pueden ser fuertemente no lineales, modificaciones

relativamente pequeñas en el programa permitirían que éste simulara medios no lineales; por

ejemplo, medios con conductividad y/o calor específico dependientes de la temperatura,

problemas cuyo diseño del modelo en red ya ha sido objeto de estudio en otras tesis doctorales

[Alhama, 1999; Alarcón, 2001; Zueco, 2004 y Moreno, 2004] y numerosos artículos de

investigación [Horno y col., 1993; González y col., 1995; Alhama y col., 1997; Alarcón y col.,

2002a y 2002b; Zueco y Alhama, 2005, 2006, 2007; Zueco y col. 2006a, 2006b; Moreno Soto y

col., 2007; Soto y col., 2007]. Es nuestra intención, de hecho, incorporar esta posibilidad y otras

tales como problemas 3-D, de reticulación variable, etc. en futuras versiones de PROCCA-09.

Consideramos, no obstante que el programa, en su versión actual, es capaz de abordar ciertos

problemas de diseño e investigación en transmisión de calor, de los cuales presentamos a

continuación dos aplicaciones.

IV.3.1 Aislamiento de tanques esféricos multicapa

Este es un problema de gran interés en la industria química y energética en general. Nos

ceñimos aquí al caso de un tanque constituido por tres capas de características térmicas

diferentes de las que una de ellas, la capa central, actúa básicamente como aislante mientras que

las otras dos, de espesor constante, están definidas por requerimientos mecánicos, químicos o de

otra índole. La Figura 4.50 representa un esquema físico del problema cuyos datos se muestran

en la Tabla 4.5. El modelo en red es el de la Figura 4.1b. La pared interna está sometida a

valores de temperatura conocidos mientras que el exterior se enfría por convección al ambiente.

El objetivo es encontrar el espesor de aislamiento adecuado para unas condiciones dadas de

temperatura en la pared exterior y otras asociadas con criterios de aislamiento externo.

Figura 4.50 Esquema físico del problema

Tref.conv.

jconv.e1 e2 e3

T(t)

Rint

147


Rint = 0,1

e1 = 0,005

e2 = 0,05

e3 = 0,005

1 = 7500

ce,1 = 200

k1 = 100

2 = 100

ce,2 = 50

k2 = 10

3 = 3000

ce,3 = 200

k3 = 200

N1 = 5

N2 = 40

N3 = 5

h = 10,

Tini = 300

Tref.conv. = 300

Tabla 4.5 Valores de los parámetros (SI)

El modelo matemático está formado por las ecuaciones:

Ec. (2.14) Ecuación de conducción, i = 1,2 y 3

Tint = T(t) (pared interior)

T1 = T2, r = Rint + e1 (contacto entre capas 1 y 2)

T2 = T2, r = Rint + e1 +e2 (contacto entre capas 2 y 3)

jext = h (Ts – Trefconv) (pared exterior)

T(r,t=0) = Tini (condición inicial)

Pared interna isoterma y temperatura limitada en la pared exterior por el coeficiente de

convección

La temperatura de la pared interior del tanque es Tint = 1000 K mientras que la temperatura

exterior no debe exceder de un cierto valor adaptando el coeficiente de convección, h; Tini = 300.

El objetivo, pues, es determinar la temperatura exterior del tanque en función de h. El modelo

en red se diseña para un conjunto de valores de h utilizando la sentencia .STEP PARAM. En

esta sentencia se especifica el conjunto de valores de h dando el valor inicial (200), el final

(5000) y el salto entre valores (200). La estructura de la sección del archivo de texto de esta

sentencia es la siguiente:

.PARAM ConvCoefDerecha = 10

.STEP PARAM ConvCoefDerecha 200 5000 200

La Figura 4.51 muestra las temperaturas en el centro de la última celda, 5001, para cada valor

del coeficiente de convección. Los flujos de convección se muestran en la Figura 4.52. Puede

observarse la no linealidad entre h y los valores de temperatura y flujo. La gráfica de la Figura

4.53 muestra mejor la relación h = h (Tcelda 5001)

148


Figura 4.51 Temperaturas en el centro de la última celda (5001). h = 200, 400, 60… 5000

Figura 4.52 Flujos de convección. h = 200, 400, 600…, 5000

Figura 4.53. h = h(Tcelda 5001).

149


Pared interna isoterma y temperatura limitada en la pared exterior por el espesor de la capa aislante

Se simula el programa para un conjunto de espesores de la capa aislante y los valores constantes del resto de

los parámetros dados en la Tabla 4.5. La estructura de la sentencia de parámetro variable es

.PARAM capa2Ancho = 0.00125

.STEP PARAM capa2Ancho 0.00125 0.01 0.00125

La Figura 4.54 representa las temperaturas transitorias y estacionarias de la pared externa del recipiente para

un conjunto de espesores en torno al valor idóneo. Los flujos de calor por convección están representados en

la Figura 4.55 para el mismo rango de espesores. La gráfica de valores estacionarios de temperatura T ext =

f(e2) que facilita mejor la elección de e2 se muestra en la Figura 4.56.

Figura 4.54 Temperaturas en la celda de convección (5501), e2 = 0.00125, 0.0025, 0.00375…, 0.01

Figura 4.55 Flujos de calor de convección. e2 = 0.00125, 0.0025, 0.00375…, 0.01

150


e2 T celda

Figura 4.56 Temperaturas en la celda 45501 en función del espesor de la capa 2

Pared interna isoterma y temperatura limitada en la pared exterior

por la conductividad térmica del aislante

Se simula el modelo para h = 3000 y los valores 1, 2, 3…, 5 de la conductividad de la capa

aislante, k2. El resto de los valores se mantiene constante, Tabla 4.5. La estructura de la

sentencia del parámetro variable es


.STEP PARAM capa2Cond 1 5 1

La Figura 4.57 muestra la temperatura de la pared externa del recipiente para cada k. Los flujos

de calor por convección están representados en la Figura 4.58 para el mismo rango de valores.

La gráfica de valores estacionarios de temperatura Text = f(k2), que facilita mejor la elección de

k2, se representa en la Figura 4.59.

151


Figura 4.57 Temperaturas en la celda de convección (5501). h = 3000, k2 = 1, 2, 3, 4 y 5

152


Figura 4.58 Flujos de calor de convección

PARAM CAPA2COND = {1, 2, 3, 4, 5}

Figura 4.59 Temperaturas en la celda 5001 en función de k2. k2 = 1, 2, 3, 4 y 5

Temperatura limitada en la pared exterior para un cambio armónico en la pared interna

PULSE m

Se asume el cambio de temperatura armónico representado en la Figura 4.60 en la pared interna del

recipiente. L especificación de esta temperatura puede hacerse con la opción “Temperatura” dependiente del

tiempo.

153


VSuperior26 0101y 0 PULSE(300 1000 0 10 10 90 200)

Figura 4.60 Variación de la temperatura en la pared interna del recipiente

La influencia del espesor de la capa aislante en la temperatura de la superficie convectiva, con h = 200 y los

valores de la Tabla 4.5 para el resto de los parámetros, se muestra en la Figura 4.61. La temperatura en la

frontera entre las capas 1 y 2 (celda 0501) y en el centro del cilindro (celda 2501) se representa en la Figura

4.62; en ella puede apreciarse como el retraso de la onda aumenta con el espesor mientras que su amplitud

disminuye con éste (efecto más apreciable al alejarse de la superficie interior).

Figura 4.61 Temperatura en el extremo para e2 = 0.00125, 0.00250, 0.00375…, 0.018, h = 200

Tm

ax

Tm

in

T

retardo

periodo

tiempode bajada

tiempode subida

Duración del pulso

t

154


Figura 4.62 Temperatura en las celdas 0501 y 2501, e2 = 0.00125, 0.00250, 0.00375…, 0.018, h = 200

La frecuencia de la onda pulsante influye apreciablemente en el resultado. Su efecto se muestra en las figuras

para 4.63 a 4.66 de acuerdo con lo indicado en la Tabla 4.6. El aumento del tiempo de duración del pulso y

del periodo de la onda causa mayores oscilaciones en las temperaturas del medio, si bien este efecto se

desvanece al alejarnos de la pared interna y al aumentar el espesor de la capa aislante, pudiéndose ser

despreciable en la superficie de convección.

Onda pulsante Tiempo de subida Tiempo de bajada Duración del pulso Periodo Figuras

1 10 10 90 200 4.61 y 4.62

2 50 50 950 2000 4.63 y 4.64

3 50 50 1950 4000 4.65 y 4.66

4 59 50 450 2000 -------------

Tabla 4.6 Parámetros de la onda armónica

Figura 4.63 Temperatura en el extremo para e2 = 0.00125, 0.00250, 0.00375…, 0.018.Onda pulsante 2, h = 200

155


Figura 4.64 Temperatura en las celdas 0501 y 2501, e2 = 0.00125, 0.00250, 0.00375…, 0.018.Onda pulsante 2, h = 200

Figura 4.65 Temperatura en el extremo para e2 = 0.00125, 0.00250, 0.00375…, 0.018. Onda pulsante 3, h = 200

Figura 4.66 Temperatura en las celdas 0501 y 2501, e2 = 0.00125, 0.00250, 0.00375…, 0.018.Onda pulsante 3, h = 200

156


Para el espesor más pequeño de la capa aislante (e2 = 0.00125) y la onda pulsante 2, la influencia del

coeficiente de convección se muestra en las Figuras 4.67 y 4.68 (el resto de los parámetros adquieren los

valores dados en la Tabla 4.5). En la primera se muestra la temperatura de las celdas 0501 y 2501 mientras

que en la segunda se muestra la temperatura cerca de la superficie de convección (celda 5001). Puede

apreciarse que, debido al pequeño espesor del aislante, las variaciones de temperatura no son pronunciadas ni

siquiera para valores muy grandes del coeficiente de convección.

Por último, la influencia de la conductividad de la capa aislante en las temperaturas en las celdas 0501 y

2501, y 5001, se muestra en las Figuras 4.69 y 4.70, respectivamente. Para estas gráficas se ha tomado el

espesor mínimo, e2 = 0.00125, h = 1000 y la onda pulsante 4 (Tabla 4.5). Puede apreciarse la enorme

influencia de k2 en la amplitud de la temperatura en el extremo convectivo, amplitud relativamente pequeña

para el menor valor de la conductividad.

Figura 4.67 Temperatura en las celdas 0501 y 2501, e2 = 0.00125 y onda pulsante 2.Tabla 4.5: h = 200, 400, 600…, 5000

Figura 4.68 Temperatura en la celda 5001. e2 = 0.00125 y onda pulsante 2. h = 200, 400, 600…, 5000

157


Figura 4.69 Temperatura en las celdas 0501 y 2501. e2 = 0.00125, h= 1000 y onda pulsante 4. k2 = 1, 2, 3, 4 y 5

Figura 4.70 Temperatura en el extremo convectivo (celda 5001). e2 = 0.00125, h = 1000 yonda pulsante 4. k2 = 1, 2, 3, 4 y 5

Todo lo anterior representa un estudio completo de este problema que puede extenderse a otros requisitos de

diseño de carácter no técnico, por ejemplo, requisitos de carácter económico tales como coste mínimo de

aislante o una combinación de éste con el mínimo volumen de recipiente utilizando diferentes aislantes. Todo

ello para unos valores de temperatura límite en la superficie de convección o un flujo de convección máximo

establecido. El diseño de modelos por medio de PROCCA-09 junto con las posibilidades de programación

avanzada de PSpice permite simular el problema con tiempos de computación mínimos y seleccionar la

opción de diseño más conveniente.

158


IV.3.2 Introducción al diseño de aletas y de conjuntos aleta-pared rectangulares

Los elementos de refrigeración son una parte esencial del diseño de sistemas térmicos en los que el ahorro

energético es una de los objetivos clave; tal ocurre por ejemplo en los dispositivos de refrigeración de

componentes electrónicos de potencia o en los motores eléctricos o de gasolina de pequeña potencia. Las

aletas son los dispositivos más comunes de refrigeración pero en su diseño es frecuente no considerar el

efecto de la disipación de la pared desnuda. Los parámetros de eficiencia generalmente adoptados son la

eficiencia y la efectividad pero ambos tienen limitaciones y se aplican sólo a la aleta (sin la pared); el

primero no es coherente en cuanto que una mejora de la eficiencia no supone, en ocasiones, un aumento del

calor disipado. En cuanto al segundo, no tiene un valor de referencia óptimo ya que puede ser incrementado

en cualquier circunstancia. En relación con el diseño de conjuntos aleta-pared, la asunción de los efectos de

la pared desnuda complica considerablemente los diseños de estos conjuntos y, con frecuencia, las

referencias de la literatura científica que han dedicado un enorme esfuerzo a este tema [Razelos, 1979 y

2003; Aziz, 1992; Chung y Iyer, 1993; Wood y col., 1996; Rong-Hua, 1997; Kalman, 2000; Krauss y col.,

2001] no proporcionan una guía clara y fácil de aplicar. El módulo CONCAL de PROCCA-09 puede ser, en

este escenario, una herramienta muy útil pues permite diseñar modelos numéricos muy fiables que se

computan con tiempo despreciable. Con un protocolo de programación en el que se determine la influencia

de alguna o algunas de las variables en el calor disipado, es posible conseguir un diseño óptimo, tanto en

aletas simples como en conjuntos aleta-pared.

Aleta recta rectangular

El problema de diseño se plantea en los términos de encontrar la geometría rectangular que disipa el máximo

calor por unidad de gradiente térmico, para un volumen dado de aleta, problema equivalente al de encontrar

el volumen mínimo de aleta que permite la disipación de un calor previamente especificado. Así, partiremos

de un volumen dado Vo de aleta y adoptaremos una profundidad de aleta de valor unidad, buscando cuál es la

relación de aspecto l/e (longitud/semi-espesor), que permite la máxima disipación de calor por unidad de

gradiente térmico. La geometría del problema, que aprovecha su simetría, se muestra en la Figura 4.71.

Figura 4.71 Geometría de la aleta rectangular

jconv

j = 0

Tb

z0

y

l

e

jconvTref.conv.

x

159


El modelo matemático, 2-D, viene dado por el conjunto de ecuaciones (2.19) a (2.20d) más la ecuación

que corresponde a extremo adiabático.

Los valores numéricos del problema se muestran en la Tabla 4.7. Por simplicidad, el gradiente térmico entre

Tb y Trefconv es la unidad, ya que la solución es independiente de las unidades de temperatura. También se ha

trabajado en 2-D a pesar de que la mayor parte de aletas que trabajan de forma eficiente pueden aproximarse

aceptablemente con modelos 1-D. Como se sabe, en relación con los flujos estacionarios en los que estamos

interesados, los valores de y ce no influyen en sus resultados.

Vo = 1E-4z = 1k = 50 = 7000ce = 300

h = 100Tb = 1Tref.conv. = 0Nx = 50Ny = 10

Tabla 4.7 Parámetros del problema (SI)

Una vez diseñado el modelo mediante el módulo CONCAL, con valores arbitrarios de e y l (tales que el

producto 2el vale Vo, por ejemplo e = 0.0025, l = 0.02), se corrigen las sentencias que especifican los

parámetros e y l para definir estos en función del volumen, el cual se especifica mediante una sentencia

añadida ya que este parámetro no está incluido en la entrada de datos del módulo.

La Figura 4.72 presenta, en primer lugar los flujos de calor transitorios totales de la pared isoterma y los

flujos disipados, para diferentes longitudes de aleta y un mismo espesor. Puede observarse que ambos

convergen en el estacionario, según el detalle de la Figura 4.73. Las temperaturas cerca del extremo (celda

5005), para las mismas longitudes de aleta y espesor se muestran en la Figura 4.74.

Figura 4.72 Flujos transitorios de la base isoterma y flujos disipados para distintas longitudes de aleta, l = 50 0.0001, 50 0.0012 a intervalos de 50 0.0001,. e = 0.0025

160


Figura 4.73 Flujos estacionarios de la pared isoterma y disipados.l = 50 0.0001, 50 0.0012 a intervalos de 50 0.0001, e = 0.0025

Figura 4.74 Temperaturas en la celda del extremo (celda 5005).l = 50 0.0001, 50 0.0012 a intervalos de 50 0.0001, e = 0.0025

Para tener una idea de la longitud característica de la aleta definida como la coordenada de una aleta muy

larga para la que el valor de la temperatura desciende a Tb/e, la Figura 4.75 muestra el perfil temperaturas de

esta aleta mientras que las isotermas representadas por medio de MATLAB se muestran en la Figura 4.76. El

valor de la longitud característica es aproximadamente 0,036 m. Por otra parte, el comportamiento de la

aleta, cuyo Biot transversal es Bit = 0,005, puede aproximarse a 1-D como muestra la Figura 4.77

(temperaturas en puntos de una misma sección de la mitad de la aleta).

161


Figura 4.75 Perfil de temperaturas de una aleta larga, l = 0.2 y e = 0.0025 (resto de los parámetros Tabla 4.6)

Figura 4.76 Isotermas de la aleta larga, longitud 0.2 (aleta larga) y e = 0.0025.(Dejar espacio para 2)

162


Figura 4.77 Temperaturas en puntos de la misma coordenada, celdas 2501, 2502, 2503…, 2510,longitud 0.2 (aleta larga) y e = 0.0025

Para encontrar el perfil óptimo se trabaja con aletas de un mismo volumen (proceso de optimización). La

estructura de las sentencias del archivo de modelo, que afectan a los parámetros e y l, pasan a ser definidas

por medio de las dimensiones de la celda mediante funciones dependientes del volumen. Este conjunto de

sentencias tiene la forma

.PARAM volumen = 0.00005


.PARAM capa1Alto = {volumen*0.001/capa1ancho}

.STEP PARAM capa1ancho 0.0001 0.0018 0.0001

La Figura 4.78 muestra el calor disipado, estacionario y transitorio, para diferentes relaciones de aspecto; el

eje de abscisas es la longitud de la aleta. Puede apreciarse que al aumentar la longitud, al principio aumenta

el flujo disipado, pero a partir de una cierta longitud de aleta el flujo disminuye. Esta representación, que

permite elegir la aleta óptima (lopt 0.03, eopt 0.00166) puede obtenerse mejor de la curva de flujos de la

Figura 4.79 (punto de máxima disipación).

Figura 4.78 Flujos de convección totales aleta de volumen constante (Tabla 4.6)

163


I(VnulaArrConv)

Figura 4.79 Perfil de flujos disipados en función de la longitud de la aleta de volumen constante (Tabla 4.6)

Para la longitud óptima los perfiles de temperatura y flujos de convección se muestran en las Figuras 4.80 y

4.81. Puede observarse que la temperatura en el extremo no es despreciable en relación con salto térmico Tb -

Trefconv. En estas mismas figuras se representan las temperaturas y flujos de convección de la misma aleta bajo

condición de convección en el extremo, con objeto de apreciar la influencia relativa de cada condición en los

resultados. Como se ve, esta influencia es mínima.

Figura 4.80 Perfil de temperaturas en la aleta óptima, l = 0.03.a) extremo adiabático (curva superior). b) extremo convectivo (curva inferior)

164


Figura 4.81 Perfil de flujos de convección en la aleta óptima, l = 0.03.a) extremo adiabático (curva superior). b) extremo convectivo (curva inferior)

Siguiendo la línea expuesta, es inmediato estudiar la influencia de los parámetros k y h (conjuntamente o por

separado) en la determinación de la relación de aspecto óptima. Las Figuras 4.82 y 4.83 muestran los flujos

disipados para diferentes relaciones de aspecto con k = 100 (Figura 4.82) y h = 200 (Figura 4.83). En ambas

Figuras las longitudes varían entre 0.005 y 0.09 en pasos de 0.005 m (sentencia .STEP PARAM capa1ancho

0.0001 0.0018 0.0001). Puede apreciarse que la relación óptima para estos casos es muy similar a la

encontrada anteriormente, lo que permite deducir que los valores individuales de h y k no cambian apenas el

valor de la longitud óptima.

Figura 4.82 Flujos de convección totales aleta de volumen constante (Tabla 4.6), k = 100

165


Figura 4.83 Flujos de convección totales aleta de volumen constante (Tabla 4.6), h = 200

Conjuntos aleta-pared rectangulares

La consideración de la pared complica el problema por el número de variables en juego. Entre las nuevas

variables que pueden considerarse están: la conductividad de la pared, su espesor, la longitud de pared

desnuda y el coeficiente de convección de la pared desnuda; todas ellas pueden incorporarse al módulo

CONCAL y seleccionar el número de celdas adecuado en cada problema. Esta selección, en relación con el

número de celdas de la aleta y la pared desnuda, no es independiente pues la anchura y altura de todas las

celdas debe ser la misma a fin de sus bordes se acoplen en las líneas de intersección entre la pared y la aleta y

las secciones de la pared separadas por la horizontal de la superficie de la aleta. La optimización en este caso

no siempre es posible pues depende de los valores de los parámetros del problema. Además es preciso

comprobar siempre que la aleta óptima es efectivamente eficiente (el conjunto aleta-pared debe disipar más

con la aleta que sin ella). Nos ceñimos aquí a la posibilidad de estudiar estos conjuntos mediante el módulo

CONCAL, presentado algunos resultados. La geometría del problema se muestra en la Figura 4.84, las

ecuaciones de gobierno son las (2.19) a (2.20d) del Capítulo II más la condición adiabática del extremo, y la

lista de valores de las variables en la Tabla 4.8. La Figura 4.85 muestra la geometría de las celdas del

conjunto (a) y las condiciones de contorno (b).

166


Figura 4.84 Geometría del conjunto aleta-pared

z=1

ancho de celdaa = ancho de celdap = alto de celdaa =alto de celdap = 0.0005,

ep = ea = 0.002

lp = 0.005

la = 0.018

kp = ka = 50

p = a = 7000

ce,p = 300

ce,a = 300

hp = ha = 100

Tb = 1

Trefconv = 0

Nx,p = 4

Nx,a = 36

Ny,p = 10

Ny,a = 4

Tabla 4.8 Valores de las variables (los subíndices ‘p’ y ‘a’ se refieren a pared y aleta, respectivamente)

Figura 4.85. a) Estructura de celdas del modelo

j = 0

b

167


Figura 4.85. b) Condiciones de contorno

La simulación proporciona los siguientes resultados. La Figura 4.86a muestra el transitorio de temperaturas

en la superficie de convección de la aleta (centros de las celdas superficiales). Puede observarse que las

temperaturas cerca del extremo tienen valores apreciables, en relación con el gradiente térmico, para esta

longitud de aleta. El transitorio en nudos de la superficie de convección de la pared desnuda se muestra en la

Figura 4.87b. Los valores estacionarios son altos en comparación con los anteriores por la cercanía de estos

nudos con la pared interna isoterma. Los flujos de convección en las celdas de ambas paredes se muestran en

la Figura 4.87 mientras que los flujos totales de convección se muestran en la Figura 4.88 donde puede

observarse que la aleta disipa más calor que la pared desnuda. Por último, la Figura 4.89 muestra las

temperaturas en una sección de la aleta para apreciar el pequeño efecto 2-D del conjunto.

Figura 4.86 a) Temperaturas en la superficie de convección de la aleta, celdas 0504 a 4004

168


Figura 4.86 b) Temperaturas en la superficie de convección de la pared desnuda, nudos 0405 a 0410

Figura 4.87 a) Flujos de convección en las celdas (0504 a 4004) de la aleta

Figura 4.87 b) Flujos de convección en las celdas de la pared desnuda, celdas 0405 a 0410

169


Figura 4.88 Flujos totales de convección en la aleta y en la pared desnuda

Figura 4.89 temperaturas en la columna 18 de la aleta, celdas 1801, 1802, 1803 y 1804

La Figura 4.90 representa los flujos totales de convección (el de la aleta, que se estabiliza más tarde, siempre

es mayor que el de la pared desnuda) para diferentes relaciones entre el alto de la celda en la aleta

(incluyendo la zona no desnuda de la pared) y el alto de la celda de la pared desnuda. Ambos flujos de calor

crecen al amentar esta relación. El efecto 2-D para estas mismas relaciones puede apreciarse en las

temperaturas de las celdas del extremo de la aleta, Figura 4.91. Este efecto es pequeño aunque aumenta al

crecer el espesor de la aleta (o disminuir el alto de la pared desnuda). Las temperaturas de la pared desnuda

crecen al alejarnos de la aleta aunque son temperaturas altas, cercanas a las de la cara interior de la pared; la

influencia de la relación “alto de la celda en la aleta/alto de la celda de la pared desnuda” se muestra en la

Figura 4.92.

170


Figura 4.90 Flujos totales de convección para diferentes cocientes “altura de celda de aleta/altura de celda pared desnuda”: 0.0002-0.0008; 0.00025-0.00075; 0.0003-0.0007; 0.00035-0.00065; 0.0004-0.0006; 0.00045-0.00055; 0.0005-0.0005; 0.00055-0.00045;

0.0006-0.0004; 0.00065-0.00035; 0.0007-0.0003

Figura 4.91 Temperaturas en el extremo de la aleta (celdas 4001, 4002, 4003 y 4004) para los cocientes “altura de celda de aleta/altura de celda pared desnuda” anteriores

Figura 4.92 Temperaturas en dos celdas típicas de la superficie convectiva de la pared,0405 (más cercana a la aleta) y 0410 (más alejada)

171


La influencia del ancho de la celda (que afecta más, lógicamente, a la longitud total de la aleta que a la de la

pared) en los flujos totales de convección de la aleta (superior) y de la pared (inferior) se muestra en la

Figura 4.93. La disipación de la aleta (curvas superiores) aumenta más que la disipación de la pared desnuda

(curvas inferiores) al incrementarse este parámetro. La influencia del ancho en la temperatura de la superficie

de convección, para dos puntos típicos de la aleta se muestra en la Figura 4.94, mientras que la temperatura

en las celdas del extremo, para los mismos valores del parámetro, se muestra en la Figura 4.95.

Figura 4.93 Flujos de convección de aleta (superior) y pared (inferior) para diferentes anchos de celda: 0.0005, 0.0006, 0.0007, 0.0008, 0.0009, 0.001

Figura 4.94 Temperaturas en celdas típicas (1004 y 4004) de la superficie convectiva de la aleta para los mismos anchos de celda

172


Figura 4.95 Temperaturas en las celdas del extremo, 4001, 4002, 4003 y 4004, para los mismos valores de anchos de la figura anterior. Las aletas más largas (donde el efecto 2-D es menor) son las curvas inferiores.

La influencia de la conductividad térmica en los flujos de convección en la aleta (curvas superiores) y en la

pared desnuda (curvas inferiores) se muestra en la Figura 4.96. Un aumento de k hace crecer la disipación.

La influencia de k en las temperaturas de las celdas del extremo, en celdas típicas de la superficie convectiva

de la aleta y en celdas convectivas de la pared desnuda se muestra en las Figuras 4.97, 4.98 y 4.99,

respectivamente. Con toda esta información y de acuerdo con los criterios y parámetros establecidos es

posible el diseño de estos conjuntos siguiendo protocolos de optimización adecuados.

Figura 4.96. Flujos de convección en la aleta (curvas superiores) y en la pared desnuda (curvas inferiores). Influencia de la conductividad k = 50, 100, 150 y 200

173

Figura 4.97 Temperaturas en el extremo derecho (celdas 4001, 4002, 4003 y 4004) para los mismos valores de k

Figura 4.98 Temperaturas en nudos típicos (1004 y 4004) de la superficie convectiva para los mismos valores de k

Figura 4.99. Temperaturas en nudos típicos de la superficie convectiva de la pared (0505y y 0510y) para los k anteriores

V. Contribuciones

Capítulo V

CONTRIBUCIONES

175

V. Contribuciones

V. CONTRIBUCIONES

1.- La contribución fundamental de esta memoria es la realización de un programa de

simulación, PROCCA-09, que conjuga la técnica del método de redes, capaz de formular

ecuaciones diferenciales en diferencias finitas (discretizadas en el espacio) en términos de

ecuaciones formalmente equivalentes de circuitos eléctricos ideales (e implementar estos

circuitos) , con la potencia de cálculo numérico de programas comerciales de resolución de

estos circuitos. PROCCA-09 permite:

- diseñar modelos en red,

- modificar modelos mediante el acceso directo a los mismos, lo que permite mediante

ligeras modificaciones implementar características del problema que no se recogen

explícitamente en PROCCA-09 mediante nuevas líneas de programa,

- simularlos los modelos en PSpice,

- representar los resultados de la simulación en forma gráfica o tabulada.

2.- El manejo de PROCCA-09 se ha desarrollado bajo entorno “windows” usando el programa

C# y permitiendo así al usuario acceder al diseño de modelos de una manera intuitiva y

ordenada, disponiendo de una ayuda suficiente. El programa contiene dos módulos

diferenciados, uno de carácter general y otro específico de aletas, CONCBA y CONCAL,

respectivamente.

3.- La simulación de modelos es directa desde PROCCA-09 ya que éste arranca

automáticamente el simulador OrCAD o PSpice, permitiendo e acceder a su entorno gráfico

y tabulado una vez realizada la simulación.

4.- PROCCA-09 dispone asimismo, además de su propio entorno gráfico capaz de representar

las isotermas en cualquier instante del transitorio así como animaciones de estas

representaciones, rutinas auxiliares que arrancan MATLAB para acceder a soluciones

gráficas más precisas, incluyendo también animaciones de isotermas. Con todo el usuario

puede observar y aprender los fenómenos asociados a la conducción térmica con gran

detalle

5.- La extensión del programa PROCCA-09 incluye:

i) en relación con el tipo de problema

- la solución transitoria y estacionaria, permitiendo elegir las ventanas de simulación,

- el uso de geometrías rectangulares 1-D y 2-D, cilíndricas 1-D y 2-D y esféricas 1-D,

176

V. Contribuciones

- la implementación de medios multicapa extendidos a toda o parte de la geometría del

problema, así como la implementación de regiones de particulares de geometría casi

arbitraria de característica térmicas diferentes (incluyendo oquedades en el medio),

- la posibilidad de reticular con un número de celdas, global y para cada capa, elegido por

el usuario,

ii) en relación con las condiciones de contorno, el programa permite implementar las siguientes

condiciones:

- Isoterma

- De flujo de calor constante

- Adiabática

- De convección

- De radiación

- De convección más radiación

- Temperatura dependiente del tiempo (diferentes tipos de dependencia: sinusoidal,

rectangular, lineal a tramos y pulsos)

- Flujo de calor dependiente del tiempo (diferentes tipos de dependencia: sinusoidal,

rectangular, lineal a tramos y pulsos)

- Otras condiciones implementadas por programación en el archivo del modelo

iii) en relación con las posibilidades de programación PROCCA-09 aprovecha las ventajas de

programación avanzada de OrCAD o PSpice, que incluye

- posibilidad de presentar soluciones conjuntas de diferentes problemas,

- ídem de ejecutar simulaciones correspondientes a diferentes valores de uno más

parámetros,

- la posibilidad de representación gráfica directa de funciones arbitrarias cuyos

argumentos son las variables (flujos y temperaturas) en cualquier región del medio,

- todas las posibilidades de representación gráfica contenidas en OrCAD o PSpice

(elección de rangos de representación, marcadores numéricos, colores de gráficos, etc.

iv) en relación con la presentación de resultados de la simulación

- permite representar las temperaturas y flujos de calor en topo el medio (centros y bordes

de los elementos de volumen),

- también los valores de estas variables para todos los componentes del medio y de las

condiciones de contorno,

- flujos integrados en cualquier región del contorno definida por las mismas condiciones

177

V. Contribuciones

6.- Dado que entendemos las aplicaciones del programa pueden enfocarse bien a docencia o a

investigación, como contribución última de esta tesis se han presentado aplicaciones en ambas

vertientes que justifican ampliamente estos objetivos. En estas aplicaciones se ha cubierto un

gran número de posibilidades de aplicación del programa. Entre ellas, en su vertiente docente se

pueden citar:

- influencia de las características térmicas conductividad, calor específico y densidad en

las soluciones,

- influencia de las condiciones de contorno, coeficiente de convección, emisividad, etc,

- influencia separada de las condiciones de convección y radiación, para discernir la

influencia relativa de cada condición en la solución del problema,

- influencia de los parámetros asociados a condiciones de contorno definidas por

temperaturas dependientes del tiempo, amplitud, frecuencia y forma de onda,

- estudio de los retrasos causados en problemas de conducción armónica,

- estudio de los parámetros que influyen en la disipación térmica de una aleta simple:

perímetro, sección transversal y coeficiente de convección. Influencia de la condición

del extremo, etc., mientras que en su vertiente de investigación citaremos:

- diseño de aislamiento de tanques cilíndricos multicapa bajo diferentes supuestos de

temperatura en la cavidad interior del tanque, incluyendo cambios de tipo armónico.

Limitación de la temperatura de la pared externa del tanque controlando diferentes

parámetros (espesor y conductividad térmica de la capa aislante y coeficiente de

convección de la pared externa),

- optimización de aletas (geometría óptima de un volumen de aleta para disipar la

máxima cantidad de calor),

- estudio de la influencia de los diferentes parámetros del conjunto aleta-pared en la

disipación térmica del conjunto.

178

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