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  • Le hasard sans la ncessit Cet expos traite de phnomnes naturels assez communs dans

    lesquels le hasard prend toute la place contre nos certitudes. Notre vie entire nest quune succession de hasards dont on a souvent conscience que lorsquon se livre aux jeux de hasard. Mais le plus souvent ce hasard est sous le contrle de notre

    conscience, mme dans certains jeux de hasard, comme le 421 par exemple. Ainsi contre des adversaires qui ne se proccupent pas de la maitrise du hasard, on peut gagner presque toutes les parties car la rgle du jeux permet au libre arbitre de sexprimer. Dans dautres jeux comme les parties de pile ou face, nous nous croyons impuissants, mais selon le jeu, ce nest pas inluctable.

    La connaissance des lois du hasard peut rpondre de nombreuses interrogations. Enfin, dans la majorit des

    circonstances de la vie nous navons mme pas conscience que nous sommes soumis ces lois.

    Document ANAP Serge Rochain

  • Page de commentaire sur la page prcdente

    Le hasard intervient dans les situations les plus inattendues et souvent de faon surprenante Cest un concept mal connu et souvent surtout mal compris. Ce soir je vais le faire intervenir sous diffrentes formes pour souligner son universalit, les possibilits quil nous offre, et surtout faire tomber les fausses ides que la plupart portent sur lui.

  • Qui connat le jeux du 421 ?

    Un seul exemple, une seule question :

    En lanant les trois ds, a-t-on plus de chance de faire un

    brelan das ou de faire 421 ?

  • Page de commentaire sur la page prcdente

    Le domaine des probabilits ne sert pas deviner lavenir, ni les numro gagnants du loto. Estimer une probabilit cest optimiser les dcisions alternatives, cest justifier les choix. On peut par exemple ne pas payer le caf, si on gagne la partie de 421. Il suffit de dfier ses amis au 421 et dcider que celui qui perd le plus grand nombre de parties sur 10 parties joues, paie le caf.

  • Qui connat le jeux du 421 ? Les ds ne sont pas quitables

    Pour 421 nous avons 6 configurations :

    124-142-214-241-412-421

    Pour le brelan das : 111 une seule

    Sur un lanc de 3 ds, nous avons donc 6 fois plus de chances de faire

    421 que de faire un brelan das

    1/36

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  • Page de commentaire sur la page prcdente

    La partie se droule en 2 phases. Durant la premire seul le hasard dcide. Dans la seconde partie, la dcharge, le joueur peut orienter le hasard selon le, ou les, ds quil choisi de rejouer. On peut estimer les probabilits cumules (une figure comme 421+ une tierce ou des as, par exemple) Par exemple sur un lanc ayant produit 541 la relance du 5 permet deux cas trs favorables : 1 et 2 pour 4 As et 421 donc 1/3 de bons rsultats. Alternativement on peut calculer les configurations favorable en reprenant le 1 et le 4 qui sont beaucoup moins positives. Ou encore laisser le 1 et relancer le 4 et le 5

  • Les probabilits ne servent pas influencer le hasard, et ne

    portent jamais sur un seul lanc Si nous pouvons exploiter un rsultat fournit par le hasard, nous navons aucun possibilit dinfluencer les ds.

    Quand est-il des pices de monnaie, pouvons nous inflchir leur chance de tomber sur une face ou lautre ?

  • Page de commentaire sur la page prcdente

    Est-il possible de sassurer la victoire dans un jeu de pile ou face ? Oui, mais comme pour le 421, tout dpend de la rgle du jeu bas sur le lanc de pices. On ne peut pas plus influencer une pice de monnaie pour quelle retombe sur une face choisie lavance que nous ne pouvons obliger un ds a prsenter une des 6 faces que nous aurions choisi lavance. Mais dans les deux cas avec des rgles de jeux appropries il est possible dexploiter un rsultat fournit par le hasard pour faire des choix dans la suite du jeux. Plus loin nous le verrons dans une partie de pile ou face appele jeu de Penney

  • Jouons Pile ou face En lanant la pice elle retombera une fois sur deux sur pile et une fois sur deux sur face . En MOYENNE

    Il se peut que deux lancs conscutifs la fassent retomber du mme ct et mme trois ou quatre fois de suite, et pourquoi pas 10 fois de suite ? Irraliste ? Impossible ? 10 fois de suite cela ne se produira jamais ! Il faudrait jouer durant des annes et mme toute sa vie sans que cela narrive !

    En tes vous sr ? Combien faudrait-il faire de parties pour que cela devienne une ventualit raliste ?

  • Page de commentaire sur la page prcdente

    Voila une bonne question. Pour vrifier la vraisemblance de la prdiction on nest pas oblig de raliser les lancers de pice les uns aprs les autres jusqu ce quune srie de 10 lances conscutifs parviennent satisfaire la srie espre. Bien quil ne serait pas ncessaire de jouer toute sa vie, cela serait assez fastidieux, et ne ncessiterait que 3 ou 4 heures en lanant une pice toutes les deux secondes en moyenne. Mais il y a une faon bien plus rapide dy parvenir et surtout de comprendre que ce ne sera pas un exploit exceptionnel. En rpartissant le temps dans lespace, on peut faire toutes les parties en mme temps. Prenons 1 millier de pices (1024 simplifie les calculs) et faisons 1024 parties en mme temps cela revient au mme que de les faire les unes aprs les autres, le rsultat sera le mme.

  • 1024 parties pour en avoir

    une de 10 piles conscutifs

    Ce qui semblait si peu probable nest pas aussi rare que ce que lon pense intuitivement. Il suffit de faire le calcul.

  • Page de commentaire sur la page prcdente

    Descendons ces 1024 parties simultanment en abandonnant les pices qui ne tombent pas sur pile un moment quelconque de la partie. En moyenne il restera 1 pice qui aura franchie les 10 tapes en retombant systmatiquement sur la figure choisie lavance, en loccurrence PILE.

    Bien sr ce nest quen moyenne et quelque soit le nombre de parties joue (ici quelque soit le nombre de pices prises au dpart, 2000 ou mme 1 million) il existe toujours une possibilit pour quaucune pice ne franchisse toutes les tapes en sortant systmatiquement la mme figure.

  • Continuons avec la petite monnaie Peux-t-on influencer les pices ?

    Dans un jeux appel le jeu de Penney deux joueurs choisissent une squence de 3 lancs composs dune suite de P (Pile) et de F (Face), par exemple PFP ou FFP Lun deux annonce son choix puis le second annonce le sien. Le premier choisi par exemple FPF et le seconde annonce FFP.

    Ensuite le jeu commence et conscutivement apparaissent les tats suivants :

    FPPFPPFPPFFP Cest donc le joueur 2 qui a gagn

    Andre Andreevitch Markov (14 juin 1856- 20 juillet 1922)

  • Page de commentaire sur la page prcdente

    On ne peut pas influencer les pices de monnaies qui retombent, mais selon la squence choisie par le joueur 1 la probabilit nest plus quitable dans le temps (sur les squences) et ce dsquilibre peut tre exploit par le choix de la squence du joueur 2. La dtermination des chances se calcul avec les chaines de Markov (Elles sont utilises par exemple dans lindexation du moteur de recherche chez Google, ou dans la modlisation des processus de diffusion de trajectoires dterministes dans un milieu soumis un mouvement brownien). Une simple prsentation dune heure ne permet pas daller plus loin dans ce genre de calcul de probabilit, mais un petit tableau vous donnera les chances respectives des 8 configurations possibles que vous pouvez mettre lpreuve. Sagissant de probabilits et non de certitudes, sur une seule partie le plus mauvais choix peut lemporter, il faut donc multiplier les parties, comme pour les parties de 421 pour viter de payer le caf.

  • Les 8 configurations de piles ou faces sur des squences de trois jets

    sont : FFF FFP FPF FPP PFF PFP PPF PPP

    https://blogdemaths.files.wordpress.com/2015/02/pile_ou_face_tableau_des_probabilites.png

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    Ce que mettent en vidence les graphes de Markov, cest le fait, flagrant dans le premier cas (FFF), quil suffit que P sorte dans un des trois premiers jets pour mettre le joueur ayant choisi FFF en position dfavorable et il na quune chance sur 8 quaucun P napparaisse durant les 3 premiers jets. Ensuite, les F qui peuvent suivre sont aussi favorables au joueur ayant choisi PFF qu lui-mme. Il na donc quune chance sur 8 de gagner et 7 sur 8 de perdre.

    Pour la ligne deux (FFP), il ny a quune chance sur 4 quil ny ait pas de P apparaissant dans les deux premiers jets, donc lapparition dun P est de 3/4. Une fois un P sorti, les 2 F dont il a besoin pour amorcer sa srie sont bien plus profitable au joueur deux puisquils lui donnent la victoire.

  • La machine de Garlan Il y a 13 ans (janvier 2003), un soir Jacques Cazenove est arriv avec une planche de fakir plante de clous selon des lignes dont lensemble formait un triangle

  • Page de commentaire sur la page prcdente

    Explication sur la machine de Garlan de Jacques qui semblait ne pas donner exprimentalement les rsultats attendus (une rpartition des billes selon une courbe de Gauss) 4 Causes possibles : clous mal plants pas au bon endroit, clous de forme non cylindrique prsentant un profil privilgi, planches incline, mais surtout nombre de billes trop rduit.

    La statistique ncessite un chantillonnage suffisant car les lois de probabilits sappliquent sur les grands nombres. Jai donc fait un programme de simulation exempt de ces dfauts qui est constitu de 14 tages, donc 105 clous, qui conduisent 15 cases et la rpartition thorique attendue est bien respecte. Dans lexemple que vous avez sous les yeux, pour la case gauche, chemin rouge, une bille doit choisir daller 7 fois conscutives gauche. Une bille qui aura rater mme une seule fois le choix

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