Marianne Tenand - Département d'économie ENS

Microéconomie 1 (2016 - 2017)

DM 1 : Théorie du consommateur

Correction

Novembre 2016

En violet : les points que rapportent chaque question, avant leur conversion pour ramener

la note à 20 (multiplication par 3/4). Vous étiez notés sur 22,5 (les 2,5 points bonus étant sur

l'exercice 2).

Exercice 1 : la demande de services d'aide à domicile chez les

personnes âgées dépendantes

[12 points] [16 points]

En France, la prise en charge de la dépendance des personnes âgées par les pouvoirs publics

repose en grande partie sur l'Allocation personnalisée d'autonomie (APA). Cette prestation per-

met d'aider les personnes âgées dépendantes à payer des interventions d'aidants professionnels,

qui vont les assister dans les tâches de la vie quotidienne (ménage, toilette, habillement, etc.).

Le montant de cette allocation dépend à la fois du degré de dépendance de la personne

et de ses ressources. Lorsqu'une personne fait une demande d'APA, une équipe du Conseil

départemental (CD) se rend à son domicile pour évaluer le nombre d'heures d'aides dont elle a

besoin, qu'on notera h. Pour chacune des heures jugées nécessaires, le CD accorde une subvention

proportionnelle au prix horaire de l'aide, qui va être d'autant plus importante que le revenu est

faible.

Si la personne désire recevoir davantage d'heures d'aide à domicile, elle est tout à fait libre

de le faire ; toutefois, les heures d'aide domicile consommées excédant le nombre d'heures jugées

nécessaires par le CD ne seront pas subventionnées. Si la la personne désire recevoir moins

d'heures d'aide que ce que le Conseil départemental lui a prescrit, elle est également libre de le

faire.

On note :

● p le prix de marché d'une heure d'aide à domicile ;

● s le taux de la subvention horaire accordée par le CD, et S le montant de cette subvention

horaire ;

● h le nombre d'heures d'aide e�ectivement consommées par la personne âgée (somme des

heures subventionnées et des éventuelles heures non subventionnées).

1

Le montant de l'APA, noté APA, qui est �nalement versé par le CD est ainsi égal à :

APA =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

S.h si h < hS.h si h ≥ h

On suppose en�n que le prix de marché d'une heure d'aide à domicile est de 20 e.

On considère un individu dont le revenu mensuel, noté R, s'élève à 900 e1. Les incapacités

physiques et cognitives de cette personne sont telles que le CD est prêt à participer au �nancement

de 30 heures d'aide par mois ; en outre, ses ressources sont telles que le CD accorde pour chacune

des heures d'aide e�ectivement consommées une subvention de 70 %.

1. Détermination de la contrainte budgétaire

(a) Que valent h et S ? Que vaut le reste à charge, RAC, c'est-à-dire la somme que

la personne âgée doit payer pour une heure d'aide consommée après que lui ait été

versée la subvention horaire ? 0,5 point

Réponse : h = 30, S = s.p = 0,7 × 20 = 14 e et RAC = (1 − s)p = p − S = 6 e.

(b) Ecrire la dépense d(p, s, h, h) en consommation de services d'aide à domicile e�ec-

tivement à charge de la personne, comme une fonction du prix de marché du bien,

de la subvention accordée, du nombre d'heures subventionnées accordées (h) et du

nombre d'heures consommées, selon les di�érents cas de �gure possibles. 0,5 point

Réponse :

d(p, s, h, h) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(1 − s).p.h = RAC.h si h < h(1 − s).p.h = RAC.h si h = h(1 − s).p.h + p.(h − h) = p.h − s.p.h si h > h

(c) Pourquoi pouvez-vous a�rmer qu'à l'optimum, on aura :

y∗ = R − d(p, s, h, h∗)

0,5 point

avec h∗ le volume d'heures d'aide consommé à l'optimum, et y∗ la part du budget

allouée à la consommation du bien composite à l'optimum ?

Réponse : Il y avait deux manières de répondre à cette question :

● Si on considère y comme le bien composite, qui se dé�nit comme les ressources

monétaires qui peuvent être allouées à la consommation de biens autres que l'aide

à domicile, alors le résultat est immédiat ;

1Pour votre information : en 2012 la pension moyenne de droit direct (hors réversion) des femmes retraitéesest de 950 e mensuels, contre 1 650 e pour les hommes.

2

● On pouvait également poser l'hypothèse de monotonie des préférences, et on sait

alors qu'à l'optimum la loi de Walras sera véri�ée : l'intégralité du revenu R

sera dépensée, en services d'aide à domicile ou en autres biens et services de

consommation.

(d) Déterminez hmax le maximum du nombre d'heures d'aide que la personne peut

consommer, compte tenu de ses ressources et de la subvention du CD. 1 point

Réponse : Pour déterminer hmax, on peut commence par calculer quelle serait la

dépense nécessaire pour consommer h. Cette dépense est:

d(p, s, h, h = h) = RAC.h = 6 × 30 = 180 < R = 900

Compte tenu de son revenu et de son reste à charge horaire, l'individu peut, s'il le

souhaite, acheter plus d'heures d'aide à domicile que le nombre d'heures qui peuvent

lui être subventionnées par le CD.

On attend donc hmax > h ; hmax est tq :

d(p, s, h, hmax) = R ⇐⇒ p.hmax − s.p.h = R ⇐⇒ hmax =R

p+ s.h

Autrement dit, la dépense à engagée pour acheter un nombre d'heures supérieur à h̄

au prix du marché est diminuée du montant total de la subvention. On voit que hmax

est une fonction croissante de la subvention horaire et du nombre d'heures inscrites

dans le plan d'aide, et une fonction décroissante du prix de marché de l'aide.

On trouve dans notre cas : hmax = 66.

(e) Déterminez et représentez la contrainte budgétaire dans le plan (h, y), où h cor-

respond au nombre d'heures d'aide à domicile consommées et y correspond au bien

composite (qui se dé�nit comme la quantité de ressources que la personne peut af-

fecter à la consommation de biens et services autres que les services d'aide à domicile

; le prix du bien composite est donc celui du numéraire, donc est égal à 1.). 1 point

Réponse : Voir Figure 1 (page suivante).

2. Résolution du programme du consommateur

Supposez maintenant que l'utilité de l'individu peut être représentée par la fonction U(h, y) =hαy1−α, avec 0 < α < 1.

(a) Ecrire et interpréter le taux marginal de substitution entre y et h, TMSh,y(h, y).1 point

3

Figure 1: Contrainte budgétaire de l'individu et di�érentes solutions possibles au PMU

y

h

ymax = R

= 30

Courbe de budget

U2(h,c)

U1(h,c) U1(h,cU

U3(h,c)

y

CCourbe de budget

U2(h,c)

c)( ,

U3(h,c)

R +

hmax = R/p +

R/[(1-s).p] ]

Réponse : TMSh,y(h, y) s'écrit :

TMSh,y(h, y) = −dy

dh∣U=U(h,y)

= U′h(h, y)

U ′y(h, y)

= α

1 − αy

h

Ce taux marginal de substitution mesure, pour un panier de consommation donné, la

variation dans la quantité consommée de bien composite nécessaire suite à une diminu-

tion de la consommation d'une heure d'aide à domicile pour que l'utilité de l'agent

reste inchangée. On voit que TMSh,y(h, y) est croissant en y à h donné : lorsque la

quantité de bien composite consommée augmente relativement à la quantité d'aide

consommée, il faut de plus en plus de quantité additionnelle de bien composite pour

compenser la diminution d'une heure d'aide consommée (et inversement). Cela traduit

la convexité des préférences.

(b) Pour quelles valeurs du TMSh,y(h∗, y∗) le nombre d'heures d'aide consommées à

l'optimum, noté h∗, est exactement égal à h ? Pour quelles valeurs du TMS h∗ < h ?

En�n, pour quelles valeurs du TMS h∗ > h ? 2 points

4

Réponse :

On a déjà remarqué que les préférences étant monotones, à l'optimum la contrainte

budgétaire sera saturée. Par ailleurs, la fonction d'utilité étant dérivable, on sait

qu'à l'optimum les conditions de première ordre du problème de maximisation de

l'utilité imposent que la pente de la droite budgétaire soit tangente à la plus haute

courbe d'indi�érence de l'agent (donc on aura égalité entre TMSh,y(h∗, y∗) et cette

pente). Cette condition ne s'applique pas au point où la contrainte budgétaire n'est

pas continue (formellement, en h̄, on ne peut pas dériver le Lagrangien par rapport à

h). Et bien-sûr, l'égalité du TMS et de la pente de la droite budgétaire ne caractérise

pas non plus les solutions en coin.

On peut raisonner à partir du graphique, en ayant en tête le programme analytique

de maximisation de l'utilité2. Selon la forme exacte des préférences et les valeurs de

p et s, il y a plusieurs cas envisageables :

i. Cas 1: TMSh,y(h∗, y∗) = (1 − s)p : dans ce cas, h∗ < h;ii. Cas 2: (1 − s)p < TMSh,y(h∗, y∗) < p : dans ce cas, h∗ = h;iii. Cas 3: TMSh,y(h∗, y∗) = p : dans ce cas, h∗ > h.

Il pourrait y avoir deux autres cas possibles :

● TMSh,y(h∗, y∗) < (1−s)p : dans ce cas, h∗ = 0 et y∗ = 900. Il s'agit d'une solution

en coin dans laquelle la préférence relative pour l'aide à domicile est tellement

faible que vu son reste à charge, la personne préfère ne pas recourir aux services

d'aide à domicile;

● TMSh,y(h∗, y∗) > p : dans ce cas, h∗ = hmax et y∗ = 0. La préférence relative

pour l'aide à domicile est tellement forte que l'individu alloue l'intégralité de son

revenu au �nancement de ces services.

Toutefois, avec la fonction d'utilité considérée, les solutions en coin ne sont pas possi-

bles : dès que l'individu n'alloue aucun euro de son budget à la consommation d'aide

à domicile, ou qu'au contraire il a�ecte tout son revenu à ce poste de dépense, son

utilité tombe à 0.

(c) Si α = 0,15, combien d'heures d'aide à domicile seront consommées par la personne

âgée (notées h∗1) ? 1,5 points

Réponse : Il faut déterminer dans quel cas de �gure on se situe :

● Si on est dans le cas où l'individu consomme des services d'aide à domicile exacte-

ment à hauteur du nombre d'heures que lui subventionne le CD (h∗ = h). Dans

ce cas, à l'optimum, d'après la question 1 :

TMSh,y(h∗, y∗) =α

1 − αy∗

h∗= α

1 − α(R −RAC.h)

h2Le plus pratique est de considérer deux sous-programmes, qui donneront deux conditions nécessaires pour

que la solution otpimale soit h∗ = h̄.

5

Dans notre cas, TMSh,y(h∗, y∗) = 4,23. Or nous avons vu que si on se trouve

au point où l'individu consomme exactement le nombre d'heures qui lui sont

subventionnées par le CG, le TMS devait être compris strictement entre le reste

à charge (6 e ici) et le prix de marché (20 e). On ne peut donc pas avoir h∗ = hlorsque α = 0,15 ;

● Si on pose TMSh,y(h∗, y∗) = RAC = (1 − s).p alors on peut montrer que (en

posant β = α1−α):

h∗ = βR

RAC.(1 + β)

On trouve que, si α = 0,15, h∗ = 22,5 heures. On a bien h∗ < h, ce qui est cohérentavec le cas 1 de la question précédente.

● Si on était dans le troisième cas de �gure (h∗ > h), on devrait avoir TMSh,y(h∗, y∗) =p. Alors on aurait: h∗ = β(R+p.s.h)

p(1+β) . On peut montrer que dans ce cas, h∗ = 9,9 < h,ce qui n'est pas cohérent.

Par élimination, on a donc h∗1 = 22,5. La personne âgée consomme moins d'heures

d'aide à domicile que le CD ne lui en subventionne.

3. E�et d'une variation de la subvention horaire

Supposons maintenant que le CD décide d'augmenter la subvention accordée3 : celle-ci

passe à 90 % du prix facturé par le service d'aide à domicile.

(a) Quel est maintenant le montant de la subvention S2 ? Et la nouvelle valeur du reste

à charge RAC2 ? 0 point

Réponse: On a maintenant RAC2 = (1 − s2)p = 20 − 20 × 0,9 = 20 − 18 = 2 e.

(b) Quel est le nouveau volume d'heures d'aide à domicile consommées h∗2? Comment

l'expliquez-vous ? Illustrez à l'aide d'un graphique ce qu'il peut se passer. 1 point

Réponse : On reprend les trois cas possibles, cette fois avec RAC2 = 2 et S2 = 18.

On peut montrer que si on pose TMSh,y(h∗, y∗) = RAC2 = (1 − s2)p alors on trouve

h∗2 = 67,5 > h, ce qui n'est pas possible.De manière similaire, si on était dans le cas où TMSh,y(h∗, y∗) = p, on devrait avoir

h∗2 = 10,8 < h, ce qui n'est pas possible non plus.

Le dernier cas de �gure possible est h∗ = h ; dans ce cas, on trouve que TMS = 4,9.

Or on s'attend bien à trouver RAC2 < TMSh,y(h∗, y∗) < p dans le cas où h∗2 = h.3L'APA est en réalité une politique nationale ; le barème de l'aide est donc censé être dé�ni au niveau

national. Toutefois, les textes réglementaires ne précisant pas quel tarif doit être utilisé pour calculer la subvention(les Conseils départementaux peuvent choisir un tarif forfaitaire plutôt que le tarif facturé), les départementsconservent en pratique une marge de maneouvre dans la détermination du montant de l'APA et des caractéristiquesdistributives et assurantielles de cette prestataion.

6

Figure 2: E�et d'une baisse du reste à charge horaire

On a donc maintenant h∗2 = 30. L'intervalle des valeurs du TMS pour lequel le nombre

d'heures à l'optimum est égal à h s'est élargi.

Comme le montre le graphique 2, l'optimum passe de A à B. Deux e�ets sont à

l'oeuvre : un e�et de substitution, ES, qui joue positivement sur la consommation

d'aide à domicile puisque son prix pour le consommateur relativement au prix du

bien composite a diminué ; et un e�et revenu, ER, qui joue également positivement

puisque la baisse du RAC se traduit par une augmentation du pouvoir d'achat du

consommateur, donc un élargissement de son espace budgétaire.

(c) Le CD est rattrapé par la crise des �nances publiques. Il décide donc baisser sa

subvention, qui ne s'élève plus qu'à 60 % du prix de marché. De même que précédem-

ment, déterminer le montant horaire de la subvention S3 et le nouveau reste à charge,

RAC3. En déduire le volume d'heures d'aide à domicile consommées par la personne

âgée, h∗3 . 0,5 point

Réponse : On a S3 = 12 et RAC3 = 8. De la même manière que précédemment, on

trouve h∗3 = 16,9.

(d) A partir de h∗1 , h∗3 , RAC et RAC3, en déduire une approximation de la valeur de

l'élasticité-prix4 de la demande d'aide à domicile au point h∗1 . Quel type de bien (ou,

pour être exact, service) l'aide à domicile constitue-t-elle ? 1 point

4Il s'agit d'une élasticité-prix dite �élasticité arc�.

7

Réponse : L'élasticité de la demande d'aide à domicile au prix (pour le consommateur,

donc au reste à charge), en un point donné, correspond au pourcentage de baisse dans

la quantité d'aide à domicile consommée induite par une réduction de 1 % du prix

payé par le consommateur (ou reste à charge). Une approximation de l'élasticité-prix

de la demande de services d'aide à domicile au point h∗ nous est ainsi donnée par :

εh,RAC = ∆h

∆RAC

RAC

h∗

= h∗ − h∗3RAC −RAC3

RAC

h∗

= 22,5 − 16,9

6 − 8

6

22,5

= −0,75

L'élasticité au reste à charge est bien négative, et inférieure à l'unité en valeur absolue.

Les services d'aide à domicile représentent un bien (ou service) qu'on peut quali�er

de nécessaire : la quantité demandée de ce bien varie proportionnellement moins que

son prix pour le consommateur.

NB : certains manuels dé�nissent un bien nécessaire comme étant un bien dont

l'élasticité-revenu est inférieure à l'unité. Les deux dé�nitions sont assez intuitives :

on peut considérer que la consommation d'un bien revêt un caractère �nécessaire� pour

un individu si, quelles que soient les variations de son revenu ou du prix du bien, la

quantité consommée de ce bien varie relativement peu.

4. Une certaine proportion de béné�ciaires de l'Apa béné�cient d'une subvention à hauteur

de 100 %. Pourtant, on observe que nombre d'individus dans ce cas consomment moins

d'heures d'aide que le nombre d'heures subventionnées que leur accorde le Conseil général

(h∗ < h). Comment pourriez-vous l'expliquer ? 1,5 points

Pour vous aider, n'hésitez pas à tracer la droite de budget pour ces individus. On cesse de

supposer que la fonction d'utilité est du type Cobb-Douglas.

Réponse : La droite de budget devient horizontale pour h < h. Si on continue de supposer

que les préférences sont rationnelles et continues, alors pour avoir h∗ < h, il faut que

TMSh,y(h∗, y∗) = 0. Cela peut être le cas si les préférences sont de type Leontief (les

services d'aide à domicile sont complémentaires des autres biens de consommation ; si les

aides que vous recevez vous permettent de vous déplacer à loisir dans votre appartement

et de manger ce que vous voulez, mais que vous n'avez pas de télé, que vous avez lu tous

les livres et que vous n'avez rien de bon à manger dans vos placards vous pouvez être

indi�érents entre le niveau d'aide que vous recevez et recevoir une heure d'aide en plus).

Cela peut également être le cas, de manière plus générale, si les préférences ne sont pas

monotones (au-delà d'un certain nombre d'heures d'aide à domicile, celles-ci deviennent

8

un mal plutôt qu'un bien car la désutilité qui leur est attachée dépasse l'utilité qu'elles

procurent. Imaginez en e�et ce que représente la venue d'une personne étrangère chez

vous, qui vient ranger, faire le ménage, vous aider à vous nourrir mais aussi vous lavez,

vous déshabillez, vous douchez, etc.).

5. Transfert monétaire versus subvention horaire

On se replace dans la con�guration de la question 3 (utilité de type Cobb-Douglas avec

α = 0,15, R = 900 e, s = 0,7 et h = 30). Supposons que, pour simpli�er la gestion de

sa politique, le CD décide de verser directement le montant d'APA au béné�ciaire, sur la

base de son choix de consommation initiale : APA′ = s.p.h∗1 , où h∗1 est le volume d'heures

consommées à l'optimum déterminé à la question 2. La prestation prend alors la forme

d'un transfert monétaire.

(a) Représentez dans un même graphique la contrainte budgétaire que vous aviez représen-

tée à la question 1.e), et la contrainte budgétaire de la personne maintenant que l'APA

a été transformée en transfert monétaire. 1 point

Figure 3: Transfert monétaire versus subvention horaire

Réponse : voir la Figure 3. La contrainte budgétaire n'est plus coudée : quel que

9

soit le volume d'heures consommées, le prix horaire de l'heure additionnelle d'aide

à domicile est de p. Toutefois, le revenu de la personne a augmenté, passant de R

à R + s.p.h∗1 . Remarquez que le panier de consommation initial reste accessible (il

appartient à la droite de budget).

(b) Résolvez le programme du consommateur dans cette nouvelle con�guration. 1,5 point

Réponse : La contrainte budgétare n'étant pas coudée, on peut résoudre de manière

classique le problème de maximisation de l'utilité de l'agent.

maxh,y

U(h, y) s.c. p.h + y = R + s.p.h∗1

Comme on a écarté les solutions en coin, on n'a pas besoin de spéci�er les contraintes

de non-négativité.

Le Lagrangien s'écrit :

L(h, y, λ) = U(h, y) − λ(p.h + y − (R + s.p.h∗1))

Les CPO peuvent se poser ainsi :

∂L(h∗, y∗, λ∗)∂h

= 0 ⇐⇒ U ′h(h∗, y∗) = λ∗p

∂L(h∗, y∗, λ∗)∂y

= 0 ⇐⇒ U ′y(h, y) = λ∗

p.h∗ + y∗ = R + s.p.h∗1

(Attention à ne pas confondre h1 et h ici : h∗1 est un paramètre, alors que h∗ est

solution au PMU).

Les deux premières conditions donnent :

TMSh,y(h∗, y∗) = p ⇐⇒α

1 − αy∗

h∗= 20

et la contrainte budgétaire saturée donne : y∗ = R + s.p.h∗1 − ph∗.Finalement, en utilisant les valeurs numériques de l'énoncé, on trouve :

h∗4 ≈ 10

(c) Représentez sur le graphique le panier de consommation optimal déterminé à la ques-

tion 2.c) et le panier de consommation optimal sachant que l'APA est devenu un

transfert monétaire. Commentez le changement en termes d'e�ets de revenu et de

substitution. Quel panier donne le plus haut niveau d'utilité ? Comment l'interpréter

de manière intuitive ? 1,5 point

Réponse : La consommation d'aide à domicile a diminué. L'e�et de substitution (né-

10

gatif, puisque le prix de l'heure d'aide a augmenté) l'a emporté sur l'e�et revenu

(positif). La Figure 4 illustre plus précisément les e�ets à l'oeuvre. Le consommateur

passe de la situation A (sous la subvention horaire) à la situation B (après transfert

monétaire). La transformation de la subvention horaire en transfert monétaire aug-

mente le coût marginal de l'aide à domicile : même pour h < h̄, une heure d'aide à

domicile coût maintenant p.

Figure 4: E�et de la transformation de la subvention horaire en transfert monétaire

Si on considère ce seul changement de prix (sans transfert monétaire), on a les deux

e�ets classiques d'un changement de prix : d'une part, l'e�et de substitution ES

(passage de A à E), déterminé par le point de tangence entre une droite de budget de

pente −p et la courbe d'indi�érence initiale de l'individu. D'autre part, un e�et revenu

ER1, mesuré ici par la réduction virtuelle du pouvoir d'achat, et donc de l'espace

budgétaire, induite par la hausse du prix de l'aide (passage de E à E′). Les deux

e�ets jouent négativement (l'aide étant supposé être un bien normal, ce qu'on peut

voir avec la Cobb-Douglas supposée, l'e�et revenu en particulier joue négativement

suite à une hausse du prix).

Mais un deuxième e�et revenu, ER2, vient compenser partiellement les deux e�ets

décrits précédemment : le transfert monétaire vient augmenter l'espace budgétaire,

et le consommateur peut ainsi atteindre une courbe d'utilité plus élevée (passage de

E′ à B).

11

Le transfert monétaire (tel qu'il est calibré) permet à l'individu d'atteindre un niveau

d'utilité supérieur ou égal à la subvention horaire. Le transfert monétaire lui permet de

rester à son niveau de consommation initial si c'est optimal pour lui, mais il lui permet

également de substituer d'autres consommations à l'aide à domicile. Intuitivement,

lorsqu'un consommateur a des préférences convexes, c'est par des arbitrages entre la

consommation des di�érents biens qu'il pourra atteindre le niveau d'utilité maximal,

ces arbitrages dépendant de ses préférences idiosyncratiques.

Le message derrière la comparaison entre les prestations monétaires et les prestations

a�ectées (ou en nature) est que le consommateur est le mieux placé pour savoir ce qui

est bon pour lui. Toutefois, de nombreuses politiques préfèrent éviter les transferts

monétaires sans condition d'utilisation (cf. les food stamps aux Etats-Unis, APL en

France, etc.). Plusieurs arguments peuvent venir en appui des prestations en nature

ou a�ectées : la �myopie� des agents individuels, à laquelle vient répondre une forme

de paternalisme des politiques publiques, les asymétries d'informations, etc.

Dans le cas de l'aide à domicile, la prescription d'un besoin d'aide représente une

forme de paternalisme, mais qui est en partie justi�ée par le fait que les personnes

âgées dépendantes et leurs familles n'ont pas nécessairement conscience de l'ampleur

des di�cultés des problèmes dont les personnes sont atteintes, ni des conséquences né-

fastes d'aides trop restreintes (risques d'aggravation des incapacités, risques de chute,

etc.).

Pour en savoir plus :

(1) Sur la comparaison entre transfert monétaire et prestations en nature : reportez-vous à

l'article de J. Currie et F. Gahvari , qui apporte à la fois des éléments théoriques, issus de la

théorie microéconomique du consommateur, et des éléments empiriques :

Currie, Janet, et Firouz Gahvari. 2007. � Transfers in cash and in kind: theory meets the

data �. National Bureau of Economic Research. http://www.nber.org/papers/w13557.pdf

(2) Sur les contraints budgétaires non linéaires : ce type de contrainte budgétaire se rencontre

très souvent dans l'analyse des e�ets des politiques publiques, des questions de �scalité et d'o�re

de travail. En e�et, les barèmes des dispositifs socio-�scaux et d'assurance sociale comportent

souvent des e�ets de seuils et, plus généralement des non-linéarités (pensez simplement au barème

de l'impôt sur le revenu, ou sur les conditions de ressources qui sont posées sur la plupart des

prestations d'aide sociale). Il est donc important de bien savoir modéliser les contraintes de ce

type a�n de prévoir correctement l'impact d'une modi�cation d'un paramètre du dispositif. Au

niveau empirique, il est également important d'adapter sa stratégie économétrique pour éviter

les biais de spéci�cation.

Je vous invite à lire l'article de R. Mo�t :

Mo�tt, Robert. 1986. �The Econometrics of Piecewise-Linear Budget Constraints: a Survey

and Exposition of the Maximum Likelihood Method. Journal of Business & Economic Statistics,

4 (3) : 317-28.

Les sections 1 et 2 sont très accessibles, et vous pourrez revenir sur les sections suivantes à

la �n du cours d'économétrie !

12

Exercice 2 : variation compensatrice et variation équivalente

[8 points] [14 points]

On s'intéresse au bien-être d'un consommateur de revenu m et dont l'utilité dépend de k

biens (x1, x2, .., xk), dont les prix sont notés p = (p1, p2, .., pk). On suppose que les préférences

du consommateur sont monotones.

Le maire de la commune dans laquelle réside le consommateur envisage de réaliser un projet

dont la conséquence serait de faire passer le vecteur de prix de p à p′ et le revenu de l'agent de m

à m′. Il peut s'agir de la création d'un pôle de compétitivité qui aurait pour e�et d'augmenter

le salaire de l'individu mais aussi d'augmenter la demande et donc les prix dans la commune.

Une mesure simple de la variation de bien-être (notée ∆BE) induite par le projet est la

variation de l'utilité indirecte de l'individu :

∆BE = v(p′,m′) − v(p,m)

Le projet n'est avantageux pour l'individu que si ∆BE > 0.

Cependant un tel critère ne permet pas d'estimer numériquement le gain ou la perte de

bien-être : la fonction d'utilité indirecte n'étant dé�nie qu'à une transformation croissante près

(à préférences données), deux fonctions d'utilité indirecte correspondant aux mêmes préférences

donneront en général deux mesures di�érentes de ∆BE. La solution à ce problème consiste à

utiliser des variations mesurées en unités monétaires.

1. En se restreignant au cas où le consommateur a le choix entre seulement deux biens, x1 et

x2, représenter dans le plan (x1, x2) le choix du consommateur qui maximise sont utilité

dans le cas où on a (p1, p2,m) et dans le cas où on a (p′1, p′2,m′). 0,5 points

Solution : Il su�t de représenter la résolution graphique des deux PMU dé�nis par les

deux jeux de contrainte budgétaire (p1, p2,m) et (p′1, p′2,m′). A priori les pentes des deux

courbes budgétaires sont di�érentes, donc faites-les bien apparaître comme telles.

2. Une première mesure monétaire possible de la variation du bien-être s'appelle la variation

équivalente. Elle s'écrit:

V E = e(p, v(p′,m′)) −m

où e désigne la fonction de dépense du consommateur.

Que mesure V E ? Comment la représenteriez-vous graphiquement (toujours dans le cas à

deux biens) ? 1 point

Indication: Reprenez la dé�nition de la fonction de dépense et de la dualité. Pour simpli�er

la représentation, on peut �xer le prix du bien 2.

13

Solution : La variation équivalente est le montant monétaire qu'il faudrait verser (ou retirer)

au consommateur dans la situation initiale (prix p et revenum) pour que ce dernier atteigne

la même utilité �nale que celle qu'il pourrait atteindre avec des prix p′ et un revenu m′.

Graphiquement, la VE peut être représentée dans le plan (x1, x2) en représentant les solu-

tions optimales aux PMU avec respectivement les contraintes budgétaires p1x1 + p2x2 =md'une part, p′1x1 + p2x2 = m′ d'autre part, et la solution au PMD avec le niveau d'utilité

cible u′ = v(p′1, p2,m′) et un niveau de prix pour le bien 1 égal à p1.

Figure 5: La variation équivalente : représentation graphique

3. Une seconde mesure monétaire possible de la variation de bien-être est appelée variation

compensatrice. Elle se dé�nit ainsi :

V C =m′ − e(p′, v(p,m))

14

où e désigne la fonction de dépense du consommateur.

Que mesure V C ? Comment la représenteriez-vous graphiquement (toujours dans le cas à

deux biens) ? 1 point

Figure 6: La variation compensatrice : représentation graphique

Solution : La variation compensatrice est le montant monétaire qu'il faudrait verser (ou

retirer) au consommateur dans la situation �nale (quand les prix sont égaux à p′ et le

revenu égal à m′) pour que ce dernier revienne à la même utilité initiale que celle que lui

procurait la quantité de biens consommée aux prix p avec le revenu m.

Graphiquement, la VC peut être représentée dans le plan (x1, x2) en représentant les solu-

tions optimales aux PMU avec respectivement les contraintes budgétaires p1x1 + p2x2 =md'une part, p′1x1 + p2x2 = m′ d'autre part, et la solution au PMD avec le niveau d'utilité

15

cible u = v(p1, p2,m) et un niveau de prix p′1.

4. Laquelle de V C ou de V E doit-on utiliser si on souhaite évaluer le coût d'une éventuelle

indemnisation des agents lésés (pour dé�nir un dédommagement �nancer par exemple) ?

Même question si l'objectif est plutôt d'estimer les béné�ces d'un projet, sans idée d'indemnisation.

Justi�ez vos réponses. 1 point

Solution : S'il s'agit de prendre en compte le coût d'une indemnisation, on utilisera plutôt

la variation compensatrice qui évalue le transfert monétaire qu'il faut donner à l'agent pour

le ramener à son utilité antérieure. S'il s'agit d'évaluer les béné�ces d'un projet, alors on

comparera plutôt les variations équivalentes associées aux di�érentes variantes d'un projet,

dans la mesure où elles permettent de donner un équivalent monétaire aux variations de

bien-être qu'elles induisent. Autrement dit, la variation compensatrice est une mesure ap-

propriée pour les évaluations ex post tandis que la variation équivalente est plus pertinente

pour les évaluations ex ante.

5. On suppose que seul le prix du bien 1 est susceptible d'augmenter (on a p′1 > p1), les prixdes autres biens et le revenu de l'individu restant constants. En remarquant que :

m =m′ = e(p, v(p,m)) = e(p′, v(p′,m))

montrez que :

V E = −∫p′1

p1h1(p1, p2, ..., pk, u′)dp1

et :

V C = −∫p′1

p1h1(p1, p2, ..., pk, u)dp1

h1 désignant la demande hicksienne pour le bien 1, u = v(p1, p2, ..., pk,m) et u′ = v(p′1, p2, ..., pk,m).2,5 points

Solution : On commence par utiliser le Lemme de Shepard :

h1(p1, p2, ..., pk, u′) =∂e(p1, p2, .., pk, u′)

∂p1

Donc en intégrant la fonction hicksienne entre le prix initial et le prix �nal du seul bien

dont le prix a changé :

16

−∫p′1

p1h1(p1, p2, ..., pk, u′)dp1 = −∫

p′1

p1

∂e(p1, p2, ..., pk, u′)∂p1

dp1

= −[e(p1, p2, ..., pk, u′)]p′1p1

= e(p1, p2, ..., pk, u′) − e(p′1, p2, ..., pk, u′)= e(p, u′) − e(p′, u′)= e(p, v(p′,m′)) − e(p′, v(p′,m′))= e(p, v(p′,m′)) −m′

en utilisant le fait que u′ = v(p′,m′). Finalement, puisque par hypothèse m =m′ :

−∫p′1

p1h1(p1, p2, ..., pk, u′)dp1 = e(p, v(p′,m′)) −m

= V E

On procède de la même manière pour montrer l'égalité caractérisant la VC, en commençant

par le Lemme de Shepard :

h1(p1, p2, ..., pk, u′) =∂e(p1, p2, .., pk, u′)

∂p1

Donc en intégrant la fonction hicksienne entre le prix initial et le prix �nal du bien 1 :

−∫p′1

p1h1(p1, p2, ..., pk, u)dp1 = −∫

p′1p1

∂e(p1, p2, ..., pk, u)∂p1

dp1

= −[e(p1, p2, ..., pk, u)]p′1p1

= e(p1, p2, ..., pk, u) − e(p′1, p2, ..., pk, u)= e(p, u) − e(p′, u)= e(p, v(p,m)) − e(p′, v(p,m))=m − e(p′, v(p,m))

en utilisant le fait que u = v(p,m). Finalement, puisque par hypothèse m =m′ :

−∫p′1

p1h1(p1, p2, ..., pk, u)dp1 =m′ − e(p′, v(p,m))

= V C

(Suite énoncé : L'inconvénient de ces deux mesures monétaires est que la fonction de

demande hicksienne n'est pas observable empiriquement, contrairement à la fonction de

17

demande marshallienne. C'est pourquoi on utilise une approximation de la variation de

bien-être appelée variation de surplus.

En restant dans le cas où seul le prix du bien 1 varie, la variation de surplus s'écrit :

V S = −∫p′1

p1x1(p1, p2, ..., pk,m)dp1

6. Dans le plan (p1, x1), représentez graphiquement les fonctions x1(p1, p2, ..., pk,m), h1(p1, p2, ..., pk, u)et h1(p1, p2, ..., pk, u′). 1 point

Solution : Voir le graphique de la question 8.

7. Pour quelle valeur de p1 les fonctions x1(p1, p2, ..., pk,m) et h1(p1, p2, ..., pk, u) se coupent-

elles ? Même question pour les fonctions x1(p1, p2, ..., pk,m) et h1(p1, p2, ..., pk, u′). 1 point

Solution : Cette question devait vous aider pour la représentation graphique demandée à

la question précédente. La fonction de demande marshallienne x1(p1, p2, ..., pk,m) coupe

la fonction de demande hicksienne h1(p1, p2, ..., pk, u) lorsque p1 = p1, puisque du fait de la

dualité :

h1(p1, p2, ..., pk, u) = h1(p1, p2, ..., pk, v(p1, p2, ..., pk,m)) = x1(p1, ..., pk,m)

La même fonction de demande marshallienne x1(p1, p2, ..., pk,m) coupe la fonction de de-

mande hicksienne h1(p1, p2, ..., pk, u′) lorsque p1 = p′1, puisque, toujours par dé�nition, etcomme m =m′ :

h1(p′1, p2, ..., pk, u′) = h1(p′1, p2, ..., pk, v(p′1, p2, ..., pk,m′)) = x1(p′1, ..., pk,m′) = x1(p′1, ..., pk,m)

8. On suppose que le bien 1 est un bien normal. Utilisez l'équation de Slutksy pour montrer

que les fonctions de demande hicksienne sont moins pentues que les fonctions de demande

marshallienne. 2 points

Solution : Cette question doit être résolue grâce aux propriétés des fonctions de demande

hicksienne et marshallienne ainsi que des fonctions d'utilité indirecte et de dépense.

(a) Etape 1 : Détermination du sens de variation des courbes de demande. La fonction

de demande hicksienne du bien 1 est une fonction décroissante du prix de ce bien :

∂h1(p1, p2, ..., pk, u)∂p1

< 0

Par ailleurs, l'impact du prix du bien 1 sur la demande walrasienne du bien 1 est

18

donné par l'équation de Slutsky :

∂x1(p1, p2, ..., pk,m)∂p1

= ∂h1(p1, p2, ..., pk, u)∂p1

− x1(p1, p2, .., pk,m)∂x1(p1, p2, ..., pk,m)∂m

avec u = v(p1, p2, ..., pk,m). Le bien 1 étant normal par hypothèse, on sait que :

∂x1(p1, p2, ..., pk,m)∂m

> 0

On en déduit donc que :

∂x1(p1, p2, ..., pk,m)∂p1

< ∂h1(p1, p2, ..., pk, u)∂p1

< 0

Les courbes de demande hicksienne et marshallienne sont donc toutes les deux décrois-

santes par rapport au prix du bien 1.

(b) Etape 2 : Comparaison des pentes D'après ce qui précède, on a simplement :

∣ ∂x1(p1, p2, ..., pk,m)∂p1

∣ > ∣ ∂h1(p1, p2, ..., pk, u)∂p1

∣

(c) Etape 3 : Position relative des courbes de demande hicksienne. Cette démonstration

n'était pas demandée dans cette question, mais vous en aviez besoin pour la question

9 si vous désiriez faire une justi�cation graphique. La fonction d'utilité indirecte est

décroissante en les prix ; comme on a posé p1 < p′,

v(p′1, p2, ..., pk,m) < v(p1, p2, ..., pk,m)v(p′1, p2, ..., pk,m′) < v(p1, p2, ..., pk,m)u′ < u

(en utilisant le fait que m = m′ et la dé�nition de la fonction d'utilité indirecte. De

même, comme la fonction de dépense est croissante en l'utilité, on a, ∀p1 :

e(p1, p2, ..., pk, u′) < e(p1, p2, ..., pk, u)

Le bien 1 étant supposé normal, sa demande marshallienne est croissante en le revenu ;

donc :

x1(p1, p2, ..., pk, e(p1, p2, ..., pk, u′)) < x1(p1, p2, ..., pk, e(p1, p2, ..., pk, u))

En outre, du fait de la dualité, on a les égalités suivantes :

h1(p1, p2, ..., pk, u) = x1(p1, p2, ..., pk, e(p1, p2, ..., pk, u))h1(p1, p2, ..., pk, u′) = x1(p1, p2, ..., pk, e(p1, p2, ..., pk, u′))

En utilisant l'inégalité entre les fonctions de demande marshallienne, (x1(p,m) >

19

x1(p,m′) si m′ > m et que le bien est normal), on en déduit une relation d'inégalité

entre les fonctions de demande hicksienne valable ∀p1 :

h1(p1, p2, ..., pk, u′) < h1(p1, p2, ..., pk, u)

La courbe de demande hicksienne h1(p1, p2, ..., pk, u′) se trouve donc en dessous de la

courbe de demande hicksienne h1(p1, p2, ..., pk, u) (avec u′ < u).

9. En déduire que :

V C ≤ V S ≤ V E

2 points, dont 1 pour la détermination de la position relative des demandes hicksiennes

Solution : La VE associée au passage de p1 à p′1 correspond à l'opposé de l'aire hachurée A

sur la �gure. La VC associée à ce même changement de prix correspond à l'opposé de l'aire

hachurée A+B +C. En�n, la VS associée au changement de prix correspond à l'opposé de

l'aire hachurée A+B. Graphiquement, on a bien V C ≤ V S ≤ V E (Figure 3, page suivante).

Figure 7: VC, VE et VS : le cas d'un bien normal

Figures (e)

20

Source : Mathias Lé, Matériaux de cours de microéconomie, ENS, 2012 - 2013.

10. Que devient cette relation dans le cas d'un bien inférieur ? 2 points

Solution : On procède de manière analogue, en utilisant le fait que si le bien 1 est inférieur,

on a∂x1(p1,p2,...,pk,m)

∂m < 0. En reprenant la décroissance de la fonction hicksienne en le prix

20

et l'équation de Slutsky, en déduit cette fois que :

∂x1(p1, p2, ..., pk,m)∂p1

> ∂h1(p1, p2, ..., pk, u)∂p1

Si le bien 1 est un bien de Gi�en, alors la demande walrasienne du bien 1 est une fonction

croissante du prix du bien 1.

Si le bien 1 est un bien inférieur sans être un bien de Gi�en alors la demande walrasienne

de ce bien demeure une fonction décroissante du prix du bien 1. On a donc :

0 > ∂x1(p1, p2, ..., pk,m)∂p1

> ∂h1(p1, p2, ..., pk, u)∂p1

et donc :

∣ ∂x1(p1, p2, ..., pk,m)∂p1

∣<∣ ∂h1(p1, p2, ..., pk, u)∂p1

∣

Pour construire le graphe, il faut remarquer que la position relative des courbes de demande

hicksienne h1(p1, p2, ..., pk, u) et h1(p1, p2, ..., pk, u′) est inversée par rapport au cas où le

bien 1 est normal. En e�et, l'hypothèse que le bien 1 est inférieur implique que, (puisque

la fonction de demande marshallienne est décroissante en le revenu, et donc en la fonction

de dépense) :

x1(p1, p2, ..., pk, e(p1, ..., pk, u)) < x1(p1, p2, ..., pk, e(p1, ..., pk, u′))

(avec u > u′).

Ainsi pour tout p1 :

h1(p1, p2, ..., pk, u) < h1(p1, p2, ..., pk, u′)

La courbe de demande hicksienne h1(p1, p2, ..., pk, u′) se situe donc au-dessus de la courbe

de demande hicksienne h1(p1, p2, ..., pk, u). Le graphique suivant montre que dans le cas

où le bien 1 est un bien inférieur (sans être un bien de Gi�en) on a nécessairement :

V E ≤ V S ≤ V C

Faites le même type de graphe dans le cas où le bien 1 est un bien de Gi�en. Observe-t-on

bien la même relation entre les mesures monétaires du bien-être ?

Solution : L'e�et revenu l'emportant sur l'e�et de substitution, la demande marshallienne

x1(p̄1, p2, ..., pk,m) devient croissante dans le plan (p̄1, x1). Toutefois, on aura bien la

même relation entre les mesures de bien-être.

21

Figure 8: VC, VE et VS : le cas d'un bien inférieur (qui n'est pas un bien de Gi�en)

Exercice 3 [4 pts]

Un individu consomme les biens 1, ..., n en quantité x1, ..., xn. On sup-

pose que ses préférences sont localement non-saturées. Étant donné le revenu

du consommateur w et le vecteur de prix p = (p1, ..., pn), ses fonctions de

demande walrasienne s’écrivent pour k = 1, ..., n :

x∗k(p, w)

Montrer que si les élasticités-revenu de chacun des n biens sont toutes

21

Source : Mathias Lé, Matériaux de cours de microéconomie, ENS, 2012 - 2013.

Note : il y a une erreur sur la notation de la demande marshallienne : celle-ci dépend du

revenu m et pas de l'utilité u.

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