divide dan conquer

Divide & Conquer

Achmad Imam KistijantoroPelatihan TOKI II 2007

Divide & conquer

• Strategi menyelesaikan masalah dengan memecah masalah menjadi masalah yang lebih kecil– perang: lebih mudah mengalahkan 2 pasukan dengan

ukuran lebih kecil dibandingkan 1 pasukan utuh• Masalah yang lebih kecil memiliki bentuk serupa

dengan masalah asal, sehingga alamiah untuk menggunakan skema rekursif

• Divide & conquer dapat menghasilkan algoritma yang efisien

3-Jun-07 IF-ITB/AI/Apr 07TOKI II – Divide & Conquer

2

Tahapan

• jika ukuran cukup kecil: Solve.• Divide: membagi masalah menjadi masalah

serupa dengan ukuran yang lebih kecil. – Sub masalah yang terbentuk dapat memiliki ukuran

yang sama, atau berbeda (partisi)• Conquer: menyelesaikan masalah dengan

ukuran kecil• Combine: menggabungkan solusi


3

algoritma dasar

DIVIDE_and_CONQUER

if n ≤ n0 // ukuran masalah bisa diselesaikanSOLVE

else Bagi menjadi a subproblem berukuran n/b for setiap a subproblem do

DIVIDE_and_CONQUER(n/b) endfor COMBINE solusi dari a subproblem

endif


4

Kompleksitas

• jika kompleksitas untuk divide & combine adalah O(nd)

• untuk k=2 dan r=2 dan f(n) = n (yaitu d=1)

)log()( nnnT


5

Θ=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

=

Θ

Θ≤Θ

=d

d

a

d

dd

baba

n

nnban

nTb ,

,)(

)log( ,)(

)(log

strategi

• bagaimana memecah/mempartisi sebuah masalah: solusi untuk masalah dengan ukuran lebih kecil dapat digunakan untuk masalah yang lebih besar

• bagaimana kompleksitas proses partisi dan penggabungan


6

Studi kasus

• mergesort• quicksort• binary search• matrix multiplication• large integer multiplication• closest pair• convex-hull


7

Mergesort

• mengurutkan sederetan bilangan dengan jumlah bilangan N, dengan strategi membagi deretan bilangan menjadi beberapa sub bagian, dan menggabungkan hasilnya menjadi satu secara berurut


8

Mergesort


9

8 3 2 9 7 1 5 4

8 3 2 9 7 1 5 4

8 3 2 9 7 1 5 4

8 3 2 9 7 1 5 4

3 8 2 9 1 7 4 5

2 3 8 9 1 4 5 7

1 2 3 4 5 7 8 9

Mergesort

MergeSort(A[0..n-1])if n > 1

copy A[0..floor(n/2)-1] to B[0..floor(n/2)-1]copy A[floor(n/2)..n-1] to C[0..ceil(n/2)-1] MergeSort(B[0..floor(n/2)-1])MergeSort(C[0..ceil(n/2)-1])Merge(B, C, A)

endif


10

Mergesort


11

Merge (B[0..p-1], C[0..q-1], A[0..p+q-1])i = 0, j = 0, k = 0while i < p and j < q

if B[i] ≤ C[j]A[k] = B[i]; i = i+1

elseA[k] = C[j]; j = j+1

k = k + 1if i == p

copy C[j..q-1] to A[k..p+q-1]else copy B[i..p-1] to A[k..p+q-1]

Quicksort

• serupa dengan mergesort, namun deretan bilangan dibagi berdasarkan nilai pivot tertentu

A[0]...A[s-1] A[s] A[s+1]..A[n-1]

semua ≤ A[s] semua ≥ A[s]


12

Quicksort

Quicksort(A[l..r])if l < r

s = Partisi(A[l..r])Quicksort(A[l..s-1])Quicksort(A[s+1..r])


13

Quicksort

Partisi(A[l..r])p = A[l]i = l; j = r+1repeat

repeat i = i+1 until A[i] ≥ prepeat j = j-1 until A[j] ≤ pswap(A[i], A[j])

until i ≥ jswap(A[i], A[j])swap(A[l], A[j])return j


14

Quicksort


15

5 3 1 9 8 2 4 7

i j

Binary search

• algoritma pencarian yang efisien untuk data terurut

• mencari sebuah elemen dengan membandingkan nilai yang ditengah, dan melanjutkan pencarian secara rekursif pada sub-deret yang sesuai


16

Perkalian integer besar

• bagaimana melakukan perkalian dua buah n digit integer untuk n berukuran besar?

• ide: perkalian 2 digit:– (a1x101+a0) x (b1x101+b0) = c2 x 102 + c1 x 101 + c2

– c2 = a1 x b1

– c1 = a1 x b0 + a0 x b1

= (a1+a0) x (b1+b0) – ( c2+c0)


17

Perkalian integer besar

• untuk perkalian n digit, dapat dinyatakan sebagai – (a1x10n/2+a0) x (b1x10n/2+b0) = c2 x10n + c1x10nn/2 + c2

– c2 = a1 x b1

– c1 = a1 x b0 + a0 x b1

= (a1+a0) x (b1+b0) – ( c2+c0)

M(n) = 3 M(n/2)M(2k)= 3 M(2k-1)M(n) = 3log2n = nlog23 = n1.585


18

Perkalian matriks


19

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡22211211

22211211

22211211

CCCC

BBBB

AAAA

C11 = A11xB11+A12xB21C12= A11xB12+A12xB22C21= A21xB11+A22xB21C22=A21xB12+A22xB22

Perkalian matriks strassen

• metode strassen dapat digunakan untuk mengurangi jumlah perkalian

• C11=m1+m4-m5+m7 C12=m3+m5• C21=m2+m4 C22=m1+m3-m2+m6• m1=(A11+A22)x(B11+B22) m2=(A21+A22)xB11• m3=A11x(B12-B22) m4=A22x(B21-B11)• m5=(A11+A12)xB22 m6=(A21-A11)x(B11+B12)• m7=(A12-A22)x(B21+B22)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡22211211

22211211

22211211

CCCC

BBBB

AAAA


20

Closest pair

• Diberikan P1=(x1, y1)...Pn=(xn, yn) sebagai sekumpulan titik pada bidang datar. Temukan dua buah titik yang memiliki jarak terdekat


21

Closest pair

• solusi: kelompokkan titik2 tsb menjadi 2 bagian dengan menggunakan garis pemisah (vertikal/horisontal), cari 2 buah titik terdekat pada masing2 bagian, bandingkan dengan 2 titik terdekat pada perbatasan


22

d1

d2

d

Convex hull

• Diberikan P1=(x1, y1)...Pn=(xn, yn) sebagai sekumpulan titik pada bidang datar. Tentukan titik-titik yang dapat membentuk poligon cembung yang mengandung seluruh titik P1..Pn


23

P1

P3P4

P5

P6

P7

P8

P2

Convex hull• solusi: susun P1..Pn terurut menurut x• tarik garis p antara 2 titik ekstrim (berdasarkan

x)• partisi titik2 menjadi titik sebelah kiri p dan

sebelah kanan p. Bagian kiri disebut upper hull, bagian kanan disebut lower hull


24

P2

P3P4

P5

P6

P8

P1

P7

Convex hull• pada setiap bagian, tentukan titik terjauh dari

garis, dan tarik garis antara 2 titik garis pembatas dengan titik terjauh.

• untuk upper hull, pilih semua titik di kiri garis2 ini, kemudian rekursif untuk menemukan titik lainnya


25

P2

P3P4

P5

P6

P8

P1

P7

Convex hull

• untuk menentukan titik terjauh dan titik di sebelah kiri/kanan, gunakan formula:

• jika determinan positif maka P3 di kiri P1 dan P2


26

231231133221

33

22

11

111

yxyxyxyxyxyxyxyxyx

−−−++=

Latihan

• triomino puzzle• nuts and bolts problem• variasi binary search


27

Triomino puzzle

• Triomino adalah bentuk bidang serupa L yang dibentuk dari 3 buah kotak yang bersebelahan pada papan catur

• diberikan papan berukuran 2n x 2n, tentukan cara memenuhi seluruh papan menggunakan triomino dengan hanya menyisakan sebuah kotak saja yang tidak tertutup


28

Triomino puzzle


29

nuts and bolts

• ada n buah pasangan mur dan baut yang berukuran berbeda2, dan tercampur satu sama lain. tentukan algoritma untuk menemukan seluruh pasangan mur-baut yang sesuai, dengan batasan perbandingan hanya boleh dilakukan antara mur dan baut saja, tidak dapat membandingkan 2 buah mur atau 2 buah baut

• perbandingan antara sebuah mur dan sebuah baut menghasilkan kesimpulan lebih besar, lebih kecil atau sama.


30

variasi binary search 1

• diberikan N buah bilangan yang terurut, namun telah tergeser sirkular sebanyak k posisi. Misalnya, deret { 9, 11, 2, 3, 5, 7, 8} adalah deret bilangan yang tergeser k=2, dan {7, 8, 9, 11, 2, 3, 5} adalah deret bilangan yang telah tergeser k=4.

• Jika k tidak diketahui, tentukan algoritma yang dapat menemukan bilangan terbesar dalam deretan bilangan tersebut dalam O(log n)


31

variasi binary search 2

• diberikan N buah bilangan yang terurut, dimana tidak ada dua buah bilangan yang bernilai sama.

• Tentukan algoritma yang mampu menemukan apakah ada bilangan yang memiliki posisi dalam deret tersebut sama dengan nilainya.

• Contoh: – {-2, 0, 2, 4, 7, 10}, bilangan 4 berada pada posisi ke-

4.– {-2, 0, 2, 5, 7, 10}, tidak ada bilangan yang berada

pada posisi yang sama dengan nilainya.


32

Sumber

• Anany Levitin. Introduction to the Design & Analysis of Algorithms. Addison Wesley, 2003

• Steven S. Skiena. The Algorithm Design Manual. Springer-Verlag, 1998


33

divide dan conquer

Documents