Distribución Muestral jujo386@hotmail.com

• Uno de los objetivos de la Estadística es tratar de inferir el valor real de los parámetros de la población

• Por ejemplo ¿ Cómo podríamos asegurar que una empresa que vende un producto lácteo (leche) que señala en su etiqueta que tiene un volumen de producto de 1 litro, nos está diciendo la verdad?

• ¿ Tendríamos que evaluar todos los envases del producto para saber el valor verdadero de la media ?

• ¿ Cuántos envases tendríamos que evaluar para asegurar la confiabilidad de los resultados?

• ¿ Empleando una muestra es posible determinar los valores probables de una población?

• ¿Qué técnicas estadísticas deberíamos emplear?

Distribución muestral de un estadístico

• Es la distribución de todos los valores del estadístico cuando se obtienen todas las muestras posibles del mismo tamaño n de la misma población

• Media

• La distribución muestral de la media es la distribución de medias muestrales, donde todas las medias tienen el mismo tamaño muestral n y se obtienen de la misma población

(Triola, Estadística)

Proporciones

La distribución muestral de la proporción es la distribución de probabilidad de proporciones muestrales, donde todas las muestras tienen el mismo tamaño muestral n y provienen de la misma población

• ¿ Podemos saber el valor de un parámetro a partir de los datos de la muestra?

•

M 1 M2 m3

1.60 1.65 1.64

1.65 1.7 1.63

1.70 1.69 1.65

1.63 1.65 1.58

1.62 1.64 1.61

1.64 1.63 1.60

1.68 1.66 1.63

1.57 1.56 1.62

1.55 1.67 1.63

1.54 1.67 1.62

1.618 1.652 1.621

Resultados debidos

al azar????

Como podemos observar , dependiendo de los elementos seleccionados para cada muestra, ésta puede variar respecto al valor de la media de la población y entre los valores de cada una de las muestras

Consideremos para este caso el total de la población como 30

La media poblacional es de 1.63

Estatura de estudiantes de administración

Son muestras de tres grupos diferentes

M 1 M2 m3

1.60 1.65 1.64

1.65 1.7 1.63

1.70 1.69 1.65

1.63 1.65 1.58

1.62 1.64 1.61

1.64 1.63 1.60

1.68 1.66 1.63

1.57 1.56 1.62

1.55 1.67 1.63

1.54 1.67 1.62

1.618 1.652 1.621

Resultados debidos

al azar????

Cada valor promedio o media de la muestra que obtenemos es un estimador puntual de la media de la población

Las diferencias en los valores encontrados entre la media de la muestra y la media de la población se deben a las diferentes muestras empleadas

Esto se conoce como error debido al muestreo

Estatura de estudiantes de administración

Son muestras de tres grupos diferentes

¿Entonces qué hacer para saber el valor

real de los parámetros poblacionales???

• 1.- Calculen el valor promedio de los tres resultados de las medias muestrales

• 2.- Tomemos ahora dos muestras mas y calculemos el valor promedio de las 5 medias muestrales

• ¿ Qué observamos ?? ??

Estimadores sin sesgo Aquellos cuyos resultados que consideran a todas las muestras posibles coinciden con los parámetros poblacionales

Estimadores con sesgo

Media

Mediana

Proporción Rango

Varianza

Desviación estándar (siempre y cuando el tamaño de la muestra sea grande el sesgo es pequeño )

• ¿Cuál es la distribución de la media muestral ?

• Teorema del límite Central

• ¿ Podemos emplear la distribución normal ??

Teorema del límite central

• La media de la distribución muestral de las medias será exactamente igual a la media poblacional si se selecciona todas las muestras posibles del mismo tamaño de una población dada

• El error estándar de la media disminuye cuando el tamaño de la muestra aumenta

• La distribución de la media muestra tiene una distribución normal cuando el tamaño de la muestra es relativamente grande

Distribución normal

• Si n>30 , entonces las medias muestrales tienen una distribución que se puede aproximar por medio de una distribución normal

• Si n≤ 30 y la población original tiene una distribución normal, entonces las medias muestrales tienen una distribución normal

• Si n≤ 30 , pero la población original no tiene una distribución normal , entones no se puede emplear estos métodos.

Distribución de la media muestral

• ¿ Cómo calcular la probabilidad para esta distribución?

• ¿ Cómo calcular la probabilidad para esta distribución?

• Donde es el error estándar de la media

Podemos emplear dos ecuaciones para calcular la desviación estándar de la media muestral

DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA MEDIA MUESTRAL

σ x = σ x =

σ x =

Población finita

Población infinita O que sea finita y el tamaño de la muestra sea menor al

5% de la población

• Los datos de un examen de aptitudes presenta una media de 75 y una desviación estándar de 5 Usted selecciona una muestra de 40. Considere que los datos se distribuyen normalmente . Calcule la probabilidad de que la media muestral: • A) Sea menor que 73

• B) Se encuentre entre 74 y 76

• C) Se encuentre entre 76 y 77

• d)Sea mayor a 78

• De acuerdo a un estudio de IRS, los contribuyentes tardan 330 minutos en promedio en terminar una forma fiscal mensual. Esta distribución de tiempo se distribuyen normalmente y la desviación estándar es de 80 minutos. Un organismo selecciona una muestra aleatoria de 40 consumidores.

• ¿ Cuál es el error estándar de la media?

• ¿ Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea mayor a 320 minutos?

• ¿ Cuál es la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre 310 y 350 minutos?

• ¿Cuál es la probabilidad de que la media sea superior a 350 minutos?

• El tiempo de vida útil de un neumático tiene una media de 60 000 km y una desviación estándar de 7500 km ¿ cuál es la probabilidad de que el promedio de una muestra conformada por 100 neumático, seleccionada de manera aleatoria, tenga una vida útil • A) Mayor a 58 000 km • B) menor a 61 000 km • c) mayor a 58500 km • d) Si usted quiere ofrecer una garantía de uso

y solo pretende que el 5% de los neumáticos puedan aplicar la garantía, ¿ cuál sería el kilometraje que propondría?

• Un auditor de un despacho contable toma una muestra de 40 de una población de 1100 cuentas por cobrar. El promedio de las cuantas por cobrar de la población es de 260, con una desviación estándar de 60. ¿ Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea

• Menor a 240

• Mayor a 250

• Menor a 265

• Se encuentre entre 245 y 270

• Business Week realizó una encuesta entre los estudiantes que terminaban su estudios en una Maestría. Con base en esta encuesta el sueldo medio anual de un hombre y una mujer de 10 años después de terminar su Maestría asciende a 168 000 y 117 000 respectivamente.Suponga que la desviación estándar de los datos de los sueldos de los hombres es de 40 000 y la de las mujeres es de 25 000. Si toma una muestra al azar , ¿ cuál es la probabilidad de • En una muestra de 40 hombre el sueldo sea mayor a 175

000 • En una muestra de 40 mujeres el sueldo sea menor a 120

000 • En una muestra de 100 hombres el sueldo se menor a 170

000

• De acuerdo al New York Times el tiempo medio necesario para descargar la página inicial del sitio Web del Servicio de Recaudación Interna fue de 0.8 segundos. Suponga que el tiempo de descarga tiene una distribución normal y una desviación estándar de 0.2 seg. Si se selecciona una muestra aleatoria de 30 tiempos de descarga. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea

• Menor a 0.75 segundos

• Se encuentre entre 0.7 y 0.9

• La probabilidad de que la media muestral se encuentre entre dos valores simétricamente distribuidos alrededor de la media población es del 80% ¿ cuáles son estos dos valores?

• Existe un 90% de probabilidad de que la media muestral sea menor ¿ de qué valor?

Distribución de muestreo de proporciones

Proporciones

• La distribución de muestreo de p muestral se aproxima mediante una distribución normal siempre que np ≥ 5 y nq ≥ 5

• p proporción de la muestra

• Po proporción de la población

• Usted planea realizar un experimento de markentig en el que personas deben probar una de dos marcas de refresco de cola. Ellos deben de identificar correctamente cuál es la marca que probaron. Usted selecciona una muestra aleatoria de 200 personas y se supone que al inicio las personas no tienen facultades para distinguir entre las dos marcas ( 50%). ¿Cuál es la probabilidad de? • Que se obtenga entre 50 y 60% de identificaciones

correctas

• Hay una probabilidad del 90% de que el porcentaje muestral se encuentre dentro de que límites simétricos?

• La probabilidad de que el porcentaje muestral de identificaciones correctas sea mayor a 65%

• Una persona que realiza encuestas efectúa una análisis de resultados muestrales, con objeto de hacer pronósticos sobre el día de la elección. Suponiendo que se trata de una elección en la que solo participan dos partidos, si en la muestra uno de ellos recibe el 55% de los votos, entonces se pronostica que es ganador. Si se selecciona una muestra aleatoria de 100 votantes, determine la probabilidad de que un partido sea ganador cuando • El porcentaje real de sus votos es de 50.5%

• El porcentaje real de sus votos es de 60%

• Si se aumenta el tamaño de la muestra a 400 , ¿ cuáles serían sus respuestas? ¿ cuál es la explicación?

• Una empresa de investigación realizó un estudio sobre las mujeres que ocupan cargos importantes en empresas. Se encontró que le 15% de los puestos directivos de las empresas que forman parte de la lista de Fortune, son mujeres. Suponga que se toma una muestra de 200 empresas,¿ cuál es la probabilidad de que en la muestra • Menos del 15% de los cargos sea de mujeres • De que en esta muestra entre el 13 y el 17%

sean mujeres • De que sea mayor a 20%

• Millones de personas organizan su planes de viaje por Internet .De acuerdo con USA TODAY, el 77% de los viajeros en Estados Unidos compran sus boletos por esta vía .Si usted selecciona una muestra aleatoria de 200 personas en el sur de Estados Unidos, ¿ cuál es la probabilidad de una muestra tenga • Entre el 75 y 80% de viajeros con boleto comprado por

Intenet

• Que menos del 70% hayan comprado su boleto por internet

• Mas de 85% hayan comprado su boleto por Internet

• De acuerdo a la Asociación Nacional de Restaurantes de EU, el 20% de los restaurantes más elegantes no aceptan dinero en efectivo para el pago del servicio. Si usted selecciona una muestra de 100 restaurantes , ¿ cuál es la probabilidad de que la muestra • Qué el se encuentre entre le 15 y el 25 %

• Mayor a 27 %

• Menor a 14 %

• Una firma de investigación de mercado realiza encuestas telefónicas con una tasa histórica de 40% de efectividad ( que si contestan la encuesta). ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 400 personas que contestarán una encuesta sobre el uso de celulares,

• por lo menos 150 personas respondan a las preguntas?

• ¿ cuál es la probabilidad de que menos de 300 personas responda a las preguntas?

• Las personas terminan por desechar 12 % de los que compran en el supermercado ( RD, marzo 2009). Asuma que es la verdadera proporción de la población. Usted decide encuestar a 450 compradores para investigar sobre su comportamiento. ¿ cuál es la probabilidad de la encuesta genere una proporción muestral de • Mayor al 13%

• Entre 9 y 15%

• Menor al 12.5%