Universidad Americana

Distribuciones muestralesDistribuciones muestrales

Distribución muestral de la media

Distribución muestral de proporciones.

Resumen elaborado por:

Lic. Maryan Balmaceda Vivas

Economista - Consultor

Distribución muestral de la media

Es una distribución de probabilidad

de todas las posibles medias de las de todas las posibles medias de las

muestras, de un determinado

tamaño, obtenida de la población.

Ejemplo:

Una población consta de los siguientes cuatro valores.

12,12, 14 y 16

a) Determine todas las posibles muestras de tamaño dos,

utilizando un muestreo sin reemplazamiento.

Posibles muestras de tamaño dos extraída de una población

finita de tamaño cuatro.

(12,12,)(12,14), (12,16) 3 muestras(12,12,)(12,14), (12,16) 3 muestras

(12,14),(12,16) 2 muestras

(14,16) 1 muestras

Aplicando la formula de combinaciones, se obtiene el mismo

resultado.

nCr = n! /r! (n – r)! = 4! / 2! x(4 – 2) = 4x3x2!/2!x2! = 6

De todas las posibles muestras de

tamaño dos, vamos a calcular la

media correspondientes a cada media correspondientes a cada

muestra

Medias muestrales(12,13,14,13,14,15)

para obtener una distribución

muestral de la media.

Muestras Valores Suma Media muestral1 12,12 24 122 12,14 26 133 12,16 28 144 12,14 26 135 12,16 28, 146 14,16 30 15

Distribuciòn muestral de la media, para una muestra de tamaño dos.Media muestral No. de medias Probabilidad

muestrales. de la media muestral12 1 1/613 2 2/614 2 2/615 1 1/6

Total 6 1.00

El gráfico de la distribución

muestral de la media, se

obtiene poniendo en el eje y

los valores de probabilidad

encontradas y en el eje x, los encontradas y en el eje x, los

valores de las medias

muestrales.

Distribuciòn muestral de la media

P(x) 2/6

1/6 2/6 1/6

12 13 14 15

Medias muestrales

Distribución muestral de la media.

Primer caso:

N= finita y todas las posibles muestras de tamaño n, son extraídas de esta población finita,

utilizando un muestreo sin reemplazamiento, bajo estas condiciones se cumple;

Media aritmética de una distribución muestral de la media = µµµµX

= = = = µµµµ

Desviación estándar de una distribución muestral de la media = σσσσX

= = = = σ/ σ/ σ/ σ/ n 1/ −− NnN

Caso II.

N = Infinita o N finita y muestreo con reemplazamiento, bajo estas condiciones, la media y

desviación estándar de una distribución muestral de la media viene dado por:

Media aritmética de una distribución muestral de la media = µµµµX

= µ= µ= µ= µ

Desviación estándar de una distribución muestral de la media = σσσσX

= = = = σ/ σ/ σ/ σ/ n

En el ejemplo anterior, vamos a demostrar que

la media de la distribución muestral de la

media, es igual a la media poblacional, y que la

desviación estándar de la distribución muestral

de la media, cuando la población es finita y se

utiliza un muestreo sin reemplazamiento es

igual :igual :

Desviación estándar de una distribución muestral de la media = σσσσX

= = = = σ/ σ/ σ/ σ/ n / / / / 1/ −− NnN

N= (12,12, 14 y 16)

N finita y muestreo sin

reemplazamiento.

Media de la poblaciòn = 12 + 12+

14 + 16 /4= 13.514 + 16 /4= 13.5

Desviación estándar de la

distribución muestral de la media

Media aritmética de una distribución muestral de la media = µµµµX

= µ= µ= µ= µ

Desviación estándar de la distribución de la media = nXX /)( 2∑ −

Desviación estándar de la distribución de la media= =6/5.5 0.96

Aplicando la fórmula se obtiene el mismo resultado, para calcular la desviación estándar de la

distribución muestral de la media, cuando N es finita y se utiliza un muestreo sin

reemplazamiento. reemplazamiento.

Desviación estándar de una distribución muestral de la media = σσσσX

= = = = σ/ σ/ σ/ σ/ n 1/ −− NnN

= 1.66/ 2 x 14/24 −− = 1.1738 x .8165= 0.96

Media muestralmenos media de la

distribuciòn muestral de la media(X - M(X) (X -M(X))(X - M(X)

Media muestral12 -1.5 2.2513 -0.5 0.2514 0.5 0.2513 -0.5 0.2514 0.5 0.2515 1.5 2.25

Total 5.5Total 5.5

Desviación estándar de la distribución de la media = nXX /)( 2∑ −

Desviación estándar de la distribución de la media= =6/5.5 0.96

Desviaciòn estàndar de la poblaciòn .X ( X - M(X) (X - M(X))(X - M(X)12 -1.5 2.2512 -1.5 2.2514 0.5 0.2514 0.5 0.2516 2.5 6.25

11Desviaciòn estàndarde la poblaciòn =1.66

Teorema del límite central

Si todas las posibles muestra de un

determinado tamaño, se seleccionan de

cualquier población, la distribución cualquier población, la distribución

muestral de la media se aproxima a una

distribución normal. Esta aproximación

mejora con muestras más grandes. Una

muestra se considera grande cuando n>

30.

Uso de la distribución muestral de la

media.

La distribución muestral de la media, reviste una La distribución muestral de la media, reviste una

gran importancia, dado que la mayoría de los

negocios, tiene como fundamento, los resultados

de un muestreo.

Calculo del valor de z, en una distribución muestral de medias, cuando se conoce la desviación estándar de la población.

Z = X- µ / σσσσ / n Z = X- µ / σσσσ / n

Ejemplo:

Una población normal tiene una

media de 60 y una desviación

estándar de 12. Usted selecciona una

muestra aleatoria de 9. Calcule la

probabilidad de que la media probabilidad de que la media

muestral :

a) Sea mayor que 63

b) Sea menor que 56

c) Se encuentre entre 56 y 63

Distribución muestral de proporciones

Vamos a suponer una población infinita y que la probabilidad de ocurrencia

de un evento es p conocida como su éxito y la probabilidad de no ocurrencia

o fracaso viene dada por 1 – p.

Ejemplo: La población puede ser todos los posibles lanzamientos de una

moneda, siendo la probabilidad que caiga cara p = ½

Si consideramos todas las posibles muestras extraídas de esta población y

para cada muestra se calcula la proporción de éxito, que viene dada por:

P n = Proporción de éxito en la muestra = X/n

X = casos favorables en la muestra X = casos favorables en la muestra

Ejemplo: Si lanzamos una moneda y deseo saber el número de veces que cae cara.

Si de los diez lanzamientos cae 3 veces cara P n = viene dado por:

P n = X/n = 3/10= 0.3

Caso I

N infinita o N finita y muestreo con reemplazamiento, la media y la

desviación estándar de una distribución muestral de proporciones viene

dada por :

Media de una distribución muestral de proporciones =µnP = P

Desviación estándar de una distribución muestral de proporciones viene

dada por:

σσσσnP= = = = nPP /)1( −

Caso II.

Vamos a considerar una población finita y un muestreo sin

reemplazamiento, en este caso se cumple:

Media de una distribución muestral de proporciones =µnP = P

Desviación estándar de una distribución muestral de

proporciones viene dada por;

σσσσnP= = = = nPP /)1( − 1/ −− NnN