dispense tds

Esercizi svolti di teoria dei segnali

Alessia De Rosa Mauro Barni

Novembre 2003

IndiceIntroduzione 1 Caratteristiche dei segnali determinati 2 Sviluppo in Serie di Fourier di segnali periodici 3 Trasformata di Fourier 4 Sistemi Lineari Tempo Invarianti 5 Campionamento 6 Processi stocastici ii 1 11 23 44 56 69

i

IntroduzioneObiettivo di queste dispense ` quello di aiutare lo studente che aronta lesame di Teoria e dei Segnali ad applicare i concetti teorici (che si suppone abbia studiato !) alla soluzione di esercizi. Limportanza di tale passaggio risiede nel fatto che solo avendo capito a fondo i concetti teorici ` possibile utilizzarli per risolvere gli esercizi: in altre parole la risoluzione e degli esercizi ` una misura di quanto lo studente abbia davvero compreso la materia. e Le dispense sono organizzate nel seguente modo: un capitolo per ciascuno degli argomenti trattati durante il corso (Processi Stocastici esclusi); indicazione degli argomenti trattati allinizio di ogni capitolo; dierenti tipologie di esercizi: esercizi svolti in modo dettagliato; esercizi svolti pi` u rapidamente; esercizi proposti da svolgere. Per chiarezza in Tabella 1 sono stati riportati i principali simboli che verranno utilizzati nel corso degli esercizi, e la loro spiegazione. Se da una parte si ` cercato di rifarsi alla e simbologia solitamente usata durante il corso di Teoria dei Segnali, dallaltra parte si presuppone che il lettore vada al sodo senza lasciarsi sviare da una dierente simbologia! Si riportano di seguito alcune importanti formule di trigonometria, che possono risultare utili: cos(t1 t2 ) = cos t1 cos t2 sin t1 sin t2

sin(t1 t2 ) = sin t1 cos t2 sin t2 cos t1 1 cos t1 cos t2 = [cos(t1 t2 ) + cos(t1 + t2 )] 2 1 sin t1 sin t2 = [cos(t1 t2 ) cos(t1 + t2 )] 2 1 sin t1 cos t2 = [sin(t1 t2 ) + sin(t1 + t2 )] 2 Inoltre, viene fatto un breve richiamo sulla rappresentazione di un numero complesso. Un generico numero complesso c pu` essere espresso mediante la sua parte reale e la sua o

ii

INTRODUZIONE

iii

N Z {} {} || F{} E[] H{}

insieme dei numeri naturali insieme dei numeri interi relativi parte reale di un numero/segnale complesso parte immaginaria di un numero/segnale complesso ampiezza di un numero/segnale complesso fase di un numero/segnale complesso valore assoluto di un numero/segnale reale Trasformata di Fourier relazione tra un segnale e la relativa Trasformata di Fourier operatore valore atteso Trasformata di HilbertTabella 1: Tabella con i simboli pi` usati e la loro spiegazione u

parte immaginaria oppure mediante la sua ampiezza e fase: {c} + j {c} c= c ej \c Questa seconda rappresentazione (detta forma esponenziale) risulta particolarmente utile per eseguire calcoli sui numeri complessi. Si ricorda che un generico esponenziale complesso pu` essere scritto come: o ej = cos() j sin() da cui si ricavano facilmente le formule di Eulero: e+j + ej 2 e+j ej sin() = 2j cos() = Posto = c e = c, il numero complesso c si pu` quindi scrivere come: o c = ej = [cos() + j sin()] Inoltre si ricavano facilmente le seguenti relazioni: c1 c2 = 1 ej1 2 ej2 = (1 2 )ej(1 +2 ) c1 /c2 = 1 ej1 / 2 ej2 = (1 /2 ) ej(1 2 ) cio` nel caso di un prodotto (o rapporto) tra due numeri complessi, lampiezza del prodotto e (o rapporto) ` data dal prodotto (o rapporto) delle ampiezze, mentre la fase ` data dalla e e somma (o dierenza) delle fasi.

INTRODUZIONE

iv

Inne si riportano di seguito la denizione Figura 3) di alcuni segnali importanti: 1 rect(x) 1/2 0

e landamento graco (Figura 1, Figura 2 e

|x| < 1/2 |x| = 1/2 altrimenti

sinc(x)

sin(x) x 1 |x| |x| 1 0 altrimenti 1 x < 0

tr(x)

sgn(x)

1 0

x>0 x=0

u(x)

0 x0 1/2 x = 0

1.5

1.5

1

1

0.5

sinc(x)

rect(x)

0.5

0

0

0.5 2

1.5

1

0.5

x

0

0.5

1

1.5

2

0.5 4

3

2

1

x

0

1

2

3

4

(a)Figura 1: (a) rect(x) e (b) sinc(x)

(b)

INTRODUZIONE

v

1.5

1.5

11

0.5

0.5

sgn(x)1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2

tr(x)

0

0.50

1

0.5 2

x

1.5 4

3

2

1

x

0

1

2

3

4

(a)Figura 2: (a) tr(x) e (b) sgn(x)

(b)

1.5

1

u(x)

0.5

0

0.5 4

3

2

1

x

0

1

2

3

4

Figura 3: u(x)

Concludendo, invitiamo gli studenti che utilizzeranno queste dispense a segnalare agli autori eventuali errori presenti in esse. Nonostante lattenzione con cui si pu` curare la o stesura di un testo, infatti, non ` mai da escludersi la possibilit` che in esso siano presenti e a degli errori !

Capitolo 1

Caratteristiche dei segnali determinatiProblemi arontati nel presente capitolo: rappresentare gracamente un segnale; determinare se un segnale ` a energia o potenza nita; e calcolare lenergia e/o la potenza di un segnale; scrivere lespressione analitica e rappresentare gracamente un segnale, e la forma ritardata, invertita, etc. del segnale stesso; analizzare le propriet` di simmetria di un segnale. a

Esercizio 1Si consideri il segnale: s(t) = rect e si risponda alle seguenti domande: a) rappresentare gracamente il segnale; b) calcolare lenergia e la potenza media del segnale e discutere se s(t) ` un segnale e a energia nita o a potenza media nita (NOTA: da ora in avanti per potenza si intender` sempre la potenza media e non la potenza istantanea); a c) scrivere lespressione analitica e rappresentare gracamente i segnali: z(t) = s(t) v(t) = s(t + 4) 1 t2 4 e2t

CAPITOLO 1. CARATTERISTICHE DEI SEGNALI DETERMINATI

2

Soluzione 1a) Nelle gure 1.1 (a) e (b) sono riportati rispettivamente il segnale s1 (t) = rect(t), centrato nellorigine, con durata 1 e ampiezza 1 e il segnale s2 (t) = rect((t 2)/4) pari a s1 (t) traslato in +2, con durata 4 e ampiezza 1. Nella gura 1.2 (a) ` riportato e 2t , esponenziale decrescente che si estende tra e +; ed il segnale s3 (t) = e inne nella gura 1.2 (b) ` riportato il segnale s(t), ovvero lesponenziale decrescente e 2t troncato tra [0, 4]. e22

1.5

1.5

s1(t)

s2(t)

1

1

0.5

0.5

0

0

0.5

0.5

1 1

0

1

t

2

3

4

5

1 1

0

1

t

2

3

4

5

(a)Figura 1.1: (a) s1 (t) = rect(t); (b) s2 (t) = rect

(b)t2 4

2

2

1.5

1.5

1

1

s3(t)

s(t)

0.5

0.5

0

0

0.5

0.5

1 1

0

1

t

2

3

4

5

1 1

0

1

t

2

3

4

5

(a)Figura 1.2: (a) s3 (t) = e2t ; (b) s(t) = rect

(b)t2 4

e2t


3

b) Per il calcolo dellenergia e della potenza si applicano le denizioni:+ +

Es =

s(t) dt = +T /2

2

|s(t)|2 dt+T /2

1 Ps = lim T + T

1 s(t) 2 dt = lim T + T

|s(t)|2 dtT /2

T /2

dove | | viene sostituito a nel caso di segnali reali. Si verica facilmente che il segnale s(t) ` un segnale a energia nita, cio` Es = , Es = 0, e di conseguenza a e e potenza nulla. Infatti:+ 4 2

Es =

|s(t)| dt =0 +T /2

e4t dt =

e4t 4

4

=0 4

1 e16 4 e4t dt =

1 = 4

1 Ps = lim T + T

1 |s(t)|2 dt = lim T + T

T /2

0

1 Es = 0 = lim T + T essendo Es nita. Nota: considerando il segnale s(t) = e2t , questo risulta essere n un segnale a e energia nita, n a potenza nita, infatti: e+ + 2t 2

Es =

|e

| dt =

e4t dt =

=

+ e4t

4

= lim+T /2

eT eT = + T + 4 e4t

1 Ps = lim T + T = lim

dt = lim

T +

e4t 4T

+T /2

=T /2

T /2

e2T

T +

e2T = +, 4T

dato che per T + e2T tende a 0, e e2T tende a + molto pi` rapidamente di u 4T . c) Le espressioni analitiche dei segnali z(t) e v(t) si ottengono come: z(t) = s(t) = rect v(t) =s(t + 4) = rect (t) 2 2(t) t 2 2t e = rect e 4 4 (t + 4) 2 2(t+4) t + 2 2(t+4) e = rect e 4 4


4

Per disegnare z(t) e v(t) si possono considerare le espressioni analitiche trovate, oppure notare che il segnale z(t) non ` altro che la riessione rispetto allorigine e e linversione del segnale s(t), mentre il segnale v(t) ` il segnale s(t) anticipato di 4. e In gura 1.3 sono riportati i due segnali.2 1.5 1 0.52 1.5 1 0.5

z(t)

v(t)

0

0

0.5 1 1.5 2 5

0.5 1 1.5 2 5

4

3

t

2

1

0

1

4

3

t

2

1

0

1

(a)

(b)

Figura 1.3: (a) z(t) = s(t); (b) v(t) = s(t + 4)

Esercizio 2Si consideri il segnale: s(t) = sgn a cos e si risponda alle seguenti domande: a) rappresentare gracamente il segnale; b) calcolare lenergia e la potenza del segnale e discutere se ` un segnale a energia nita e o a potenza nita. 2 t T0

Soluzione 2a) Il segnale acos((2/T0 )t) ` un segnale periodico di periodo T0 e ampiezza a. Ponendo e ad esempio T0 = 4 e a = 0.3 landamento del cos ` riportato in gura 1.4 (linea e tratteggiata). La funzione sgn vale +1 quando largomento ` > 0 e -1 quando ` < 0. e e Il segnale s(t) risulta quindi quello riportato in gura 1.4 (linea continua). b) I segnali periodici sono segnali a energia innita; indicando con T0 il periodo del


5

1.5

1

0.5

s(t)

0

0.5

1

1.5 6

4

2

t

0

2

4

6

Figura 1.4: (linea tratteggiata) a cos((2/T0 )t) con T0 = 4 e a = 0.3; (linea continua) s(t)

segnale, dalla denizione si ottiene:+ +T /2 T + T /2 2

Es =

|s(t)|2 dt = lim+nT0 /2

|s(t)|2 dt =+T0 /2

= lim

n+ nT0 /2 +T /2

|s(t)| dt = lim n n+ T0 /2

|s(t)|2 dt =

avendo supposto T00/2 |s(t)|2 dt = 0. Il valore della potenza invece pu` essere o calcolato su un periodo; partendo sempre dalla denizione si ha infatti: 1 Ps = lim T + T+T /2

T /2

1 |s(t)| dt = lim n+ nT02 +T0 /2

+nT0 /2

|s(t)|2 dt =nT0 /2 +T0 /2

1 = lim n n+ nT0

T0 /2

1 |s(t)| dt = T02

|s(t)|2 dt

T0 /2

Nel caso particolare dellesercizio proposto la potenza allora risulta: 1 Ps = T0+T0 /2

T0 /2

1 |s(t)| dt = T02

+T0 /2

1dt = 1

T0 /2

e quindi il segnale in esame risulta a potenza nita.

Esercizio 3Si consideri il segnale: s(t) = 2tr e si risponda alle seguenti domande: t 4


6

a) rappresentare gracamente il segnale; b) calcolare lenergia e la potenza del segnale e discutere se ` un segnale a energia nita e o a potenza nita; c) scrivere lespressione analitica e rappresentare gracamente il segnale: v(t) = s(2t)

Soluzione 3a) In gura 1.5 ` riportato il graco del segnale s(t), ovvero un triangolo centrato e nellorigine, di durata 8, [4, 4], e ampiezza 2.3 2.5 2 1.5

s(t)

1 0.5 0

0.5 1

4

2

t

0

2

4

Figura 1.5: s(t)

b) Il segnale risulta essere a energia nita, infatti:4

Es = 2 0

1 t+2 2

2

dt = 2

t3 t2 + 4t 12

4

=0

32 3

e quindi a potenza nulla Ps = 0. c) Il segnale v(t) risulta: v(t) = 2tr t 2

e il suo andamento graco ` riportato in gura 1.6. Si noti come il segnale v(t) e non sia altro che una compressione del segnale s(t): infatti, una moltiplicazione dellargomento per un fattore di scala > 1 implica una compressione della scala dei tempi del segnale, mentre se il fattore di scala ` < 1 allora si ha una dilatazione. e


7

3 2.5 2 1.5

v(t)

1 0.5 0

0.5 1

4

2

t

0

2

4

Figura 1.6: (linea continua) v(t) = s(2t); (linea tratteggiata) s(t)

Esercizio 4Studiare le propriet` di simmetria del segnale s(t) e scomporlo nella sua parte pari e parte a dispari: s(t) = t u(t)

Soluzione 4Un segnale reale ` denito pari o dispari se soddisfa le seguenti relazioni: e s(t) s(t) pari dispari s(t) = s(t) t s(t) = s(t) t, t = 0 s(t) = 0 t=0

Nel caso del segnale t u(t), s(t) vale: s(t) = t u(t) e quindi non soddisfa nessuna delle precedenti relazioni dato che u(t) = u(t). Il segnale perci` non presenta propriet` di simmetria. o a Per scomporre un segnale nella sua parte pari e parti dispari si procede nel seguente modo: s(t) + s(t) 2 s(t) s(t) sd (t) = 2 sp (t) = e si verica facilmente che il segnale s(t) si riottiene come somma dei segnali sp (t) e sd (t).


8

Nel caso dellesercizio proposto risulta quindi: t u(t) t u(t) t = [u(t) u(t)] = 2 2 t u(t) + t u(t) t = [u(t) + u(t)] = sd (t) = 2 2 sp (t) = |t| 2 t 2

Nelle gure 1.7(b) e 1.8(b) sono riportati sp (t) e sd (t) rispettivamente, mentre in gura 1.9(b) ` riportato il segnale s(t) ottenuto come somma di sp (t) e sd (t) (gura 1.9(a)). e22

1

1

0

sp(t)

0

1

1

2 4

3

2

1

t

0

1

2

3

4

2 4

3

2

1

t

0

1

2

3

4

(a)Figura 1.7: (a) risultante2

(b)|t| 2

t 2

(linea continua) e [u(t) u(t)] (linea tratteggiata) e (b) segnale sp (t) =

2

1

1

0

sd(t)

0

1

1

2 4

3

2

1

t

0

1

2

3

4

2 4

3

2

1

t

0

1

2

3

4

(a)Figura 1.8: (a) risultantet 2

(b)t 2

(linea tratteggiata) e [u(t) + u(t)] (linea continua) e (b) segnale sd (t) =


9

4 3

4 3 2 1

sp(t)

2 1

s(t)

0 1

0 1 2 3 4 4

sd(t)

2 3 4 4

3

2

1

t

0

1

2

3

4

3

2

1

t

0

1

2

3

4

(a)

(b)

Figura 1.9: (a) sp (t) (linea tratteggiata) e sd (t) (linea continua) e (b) segnale s(t) = t u(t)

Esercizio 5Disegnare il graco del seguente segnale:

s(t) =

(1)n tr(t n)n=

Soluzione 5Il segnale tr(t) ` un triangolo di durata 2 [-1,1] e ampiezza 1 (gura 1.10(a)). La sommae toria n tr(t n) ` la ripetizione del triangolo con passo 1 (gura 1.10(b)). Il termine e n va a modicare il segno dei triangoli ripetuti per n dispari (gura 1.11(a)). Inne (1) il graco del segnale si ottiene sommando punto a punto le due forme donda in gura 1.11(a) , ottenendo cos` landamento riportato in gura 1.11(b).

1

1

0

tr(tn)3 2 1 0 1 2 3 4

tr(t)

0

1

1

4

t

4

3

2

1

t

0

1

2

3

4

(a)Figura 1.10: (a) tr(t) e (b)n

(b)tr(t n)


10

1

1

(1)n tr(tn)

s(t)3 2 1 0 1 2 3 4

0

0

1

1

4

t

4

3

2

1

t

0

1

2

3

4

(a)

(b)

Figura 1.11: (a) n tr(t n) per n pari (linea continua) e n tr(t n) per n dispari (linea tratteggiata) e (b) graco nale del segnale s(t) = n= (1)n tr(t n)

Altri esercizi1. Disegnare il graco dei seguenti segnali: a) rect(t) rect(t 1) b) tr(t) rect(t) c) n n= (1) rect 3 t 4n

d) 1 + sgn(1 t) e) sinc(t) sgn(t) f) 1 n=1 2n rect t n

2. Calcolare energia e potenza dei seguenti segnali: a) A cos(2f0 t + 0 ) + B cos(2f1 t + 1 ) b) et cos(t)u(t) c) et cos(t) d) et rectt1 2 t3 2

et rect

3. Studiare la simmetria dei seguenti segnali e scomporli in parte pari e parte dispari: a) et u(t) et u(t) b) e|t| t c) |t| 0

t = 0, t = 0.

d) sen(t) + cos(t)

Capitolo 2

Sviluppo in Serie di Fourier di segnali periodiciProblemi arontati nel presente capitolo: calcolare i coecienti dello sviluppo in serie di Fourier; scrivere lespressione analitica dello spettro di ampiezza e di fase; rappresentare gracamente lo spettro di ampiezza e di fase; applicazione del teorema di Parseval per la serie di Fourier.

Esercizio 1Si consideri il segnale dente di sega rappresentato in gura 2.1 e si risponda alle seguenti domande: a) calcolare i coecienti della serie di Fourier; b) scrivere lespressione analitica dello spettro di ampiezza e di fase; c) rappresentare gracamente lo spettro di ampiezza e di fase.

Soluzione 1In generale un segnale periodico pu` essere visto come la ripetizione, con passo T , del o corrispondente segnale troncato nel periodo [T /2, T /2]. Nel caso specico del segnale dente di sega, il segnale troncato risulta essere: sT (t) = A t T /2 |t| < T /2

riportato anche in gura 2.1, dove si ` posto T = 6 e A = 2. e 11

CAPITOLO 2. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PERIODICI

12

3 A 2

1

s(t)

0 T 1

2

3 15

12

9

6

3

t

0

3

6

9

12

15

Figura 2.1: Segnale s(t) dente di sega con periodo T = 6 e ampiezza A = 2

a) Per calcolare lo sviluppo in serie di Fourier si considera la forma esponenziale della serie e cio`: e 1 j2n T t s(t) = segnale periodico con periodo T n= cn e t cn = 1 T /2 s(t)ej2n T dt coecienti della serie di FourierT T /2

Si calcolano quindi i coecienti cn , per n = 0: 1 cn = TT /2

sT (t)eT /2

1 j2n T t

1 A dt = T T /2

T /2

tej2n T t dt =T /2

1

T /2 j2n 1 t T /2 1 e j2n T t T 2A e = 2 t = 1 1 dt T j2n T j2n T T /2 T /2 n T n T n 2A T ej2 T 2 + ej2 T 2 1 ej2 T t = 2 + n n n T 2 j2 T j2 T j2 T 2A = 2 T = 2A T2 T ej2 T 2 ej2 T n cos(n) + n j2 T (2 T )2 T2 2j sin(n) cos(n) + n j2n (2 T )2n T n T 2

T /2

=

T /2

=

=j

A cos(n) n

Il coeciente c0 rappresenta il valor medio del segnale sT (t), che in questo caso, trattandosi di un segnale dispari, risulta nullo, infatti: 1 c0 = TT /2

2A sT (t)dt = 2 T

T /2

t dt = 0T /2

T /2

(lintegrale di un segnale dispari su un periodo produce un risultato pari a 0). I


13

coecienti cn possono essere quindi espressi come: 0 n=0 cn = n j A (1) n=0 n

essendo cos(n) = (1)n . b) In generale i coecienti cn della serie di Fourier sono complessi. Un generico numero complesso c pu` essere espresso mediante la sua parte reale e parte immaginaria o oppure mediante la sua ampiezza e fase: {c} + j {c} c= c ej \ c Solitamente per rappresentare gracamente la serie di Fourier, si considera la rappresentazione in ampiezza e fase, ottenendo cos` lo spettro di ampiezza e lo spettro di fase del segnale periodico s(t). Nel caso specico dellesercizio si ha: cn = j

A (1)n A = sign n |n|

(1)n n

j

e ricordando che j = ej 2 = cos j sin , si arriva a: 2 2 cn = A |n| (1)n n 2

cn = sign

c) Inne, per disegnare gli spettri di ampiezza e di fase basta riportare i valori assunti rispettivamente da cn e cn al variare di n, come mostrato in gura 2.2. Gli2 0.6 0.5 1.5 1 0.5

Ampiezza

0.4 0.3 0.2 0.1 0

Fase15 10 5 0 5 10 15 20

0

0.5 1 1.5 2 20

0.1 20

n

15

10

5

n

0

5

10

15

20

(a)

(b)

Figura 2.2: (a) Spettro di ampiezza e (b) spettro di fase del segnale s(t) dente di sega (T = 6, A = 2) in funzione del campione n


14

2 0.6 0.5 1.5 1 0.5

Ampiezza

0.4 0.3 0.2 0.1 0

Fase3 2 1 0 1 2 3

0

0.5 1 1.5 2

0.1

f

3

2

1

f

0

1

2

3

(a)

(b)

Figura 2.3: (a) Spettro di ampiezza e (b) spettro di fase del segnale s(t) dente di sega (T = 6, A = 2) in funzione della frequenza f

stessi graci possono essere riportati anche in funzione della frequenza, ricordando che le righe spettrali sono poste nei multipli interi della frequenza fondamentale: nf0 = n/T (gura 2.3)). Nota: il segnale considerato s(t) ` un segnale reale e dispari. I coecienti della serie e di Fourier ottenuti sono una sequenza di campioni immaginari puri. Si pu` ricavare o facilmente che la serie di Fourier corrispondente al segnale s(t) pu` essere espressa o come serie di soli seni:

s(t) =n=0,n=

j j 2A n=0,n= n=1

A (1)n j2 n t e T = n A (1)n n n cos(2 t) + j sin(2 t) = n T T

= =

(1)n n sin(2 t) n T

Inoltre gli spettri di ampiezza e di fase hanno andamento rispettivamente pari e dispari: i campioni della serie di Fourier godono quindi della simmetria Hermetiana. Inne i campioni cn vanno a 0 come 1/n, e questo ` in accordo col fatto che il e segnale s(t) presenta delle discontinuit`. a


15

Esercizio 2Si consideri il segnale s(t) onda triangolare rappresentato in gura 2.4 e si risponda alle seguenti domande: a) calcolare i coecienti della serie di Fourier; b) scrivere lespressione analitica e rappresentare gracamente gli spettri di ampiezza e di fase; c) calcolare i coecienti della serie di Fourier del segnale s (t) = s(t) A/2; d) calcolare i coecienti della serie di Fourier del segnale s (t) = s(t /2).

A

A T

s(t)0

/2

0 /2

t

T

Figura 2.4: Segnale s(t) onda triangolare con periodo T , durata , e ampiezza A

Soluzione 2Il segnale periodico s(t) ` la ripetizione, con passo T , del triangolo di durata e ampiezza e A: A 1 2 |t| |t| < 2 sT (t) = 0 altrimenti.


16

a) Calcoliamo i coecienti cn della serie di Fourier, per n = 0: 1 cn = TT /2

sT (t)eT /2 /2

n j2 T t

A dt = T0

/2

n 2 1 |t| ej2 T t dt =

=

A T

/2

ej2 T t dt + /2 /2

n

2 j2 n t T dt te n j2 T t

/2

/2n j2 T t

0

2 j2 n t T dt te = n j2 T t

=

A2 e e A e + t n n n T j2 T T j2 T (j2 T )2 /2 /2 /2 /2 n n A 2 ej2 T t ej2 T t = t n n T j2 T (j2 T )20 0

0

0

/2

=

A e T

n j2 T

e n j2 T

2

n j2 T

2

+

2 A2 e n T 2 j2 T n

n j2 T

A 2 1 ej2 T 2 n T (j2 T )2

n

A 2 ej2 T 2 n T 2 j2 T

n

+

A 2 ej2 T 2 1 = n T (j2 T )2n A sin T 2 = n T2 T 2 2

n n A 2 2 cos 2 T 2 A 4 2 sin2 T 2 2 = = n n T (j2 T )2 T (j2 T )2

Ricordando che il segnale sinc(x) ` denito come e sin(x) x i coecienti cn si possono anche riscrivere come: sinc(x) = A n sinc2 T2 T2 Il coeciente c0 in questo caso assume un valore diverso da 0 essendo il segnale sT (t) a valor medio non nullo; in particolare si pu` facilmente ricavare: o cn = A T2 sia calcolando il valor medio del segnale sT (t), (cio` larea del triangolo A /2 diviso il e periodo T ), sia considerando che sinc(0)=1. In gura 2.5 sono riportati gli andamenti delle funzioni sinc(x) e sinc2 (x) rispettivamente. c0 = b) Gli andamenti degli spettri di ampiezza e di fase del segnale s(t) con T = 6, = 4 e A = 2, sono riportati in gura 2.6; i coecienti cn in questo caso sono una sequenza di campioni reali e positivi, per cui si ha: cn = cn = cn = 0 A n sinc2 T2 T2


17

1.5

1.5

1

1

sinc(x)

sinc2(x)

0.5

0.5

0

0

0.5 4

3

2

1

x

0

1

2

3

4

0.5 4

3

2

1

x

0

1

2

3

4

(a)Figura 2.5: (a) sinc(x) e (b) sinc2 (x)

(b)

cio` lo spettro di fase assume valore costante pari a 0, mentre lo spettro di ampiezza e segue landamento del sinc2 ().2 0.6 0.5 1.5 1 0.5

Ampiezza

0.4 0.3 0.2 0.1 0

Fase2 1 0 1 2 3

0

0.5 1 1.5 2 3

0.1 3

f

2

1

f

0

1

2

3

(a)

(b)

Figura 2.6: (a) Spettro di ampiezza e (b) spettro di fase del segnale s(t) onda triangolare, con T = 6, = 4 e A = 2, in funzione della frequenza f

Nota(1): per le propriet` del segnale sinc (o equivalentemente del segnale sinc2 ) vale a che: = 1 x = 0 sin(x) sinc(x) = = 0 x intero, x = 0 x = 0 altrimenti In particolare, quindi, i coecienti cn assumono valore nullo quando largomento del sinc2 ` un intero diverso da 0: e n = k, k Z, k = 0 T2 e quindi per n intero: 2T n = k , k Z, k = 0


18

30.6

2

0.5

Ampiezza

0.4 0.3 0.2 0.1 0

s(t)

1

0

1 15

10

5

t

0

5

10

15

0.1 3

2

1

f

0

1

2

3

(a)

(b)

Figura 2.7: (a) Segnale s(t) onda triangolare con periodo T = 10 ( = 4, A = 2) e (b) relativo spettro di ampiezza in funzione della frequenza f

Si noti che potrebbero anche non esistere coecienti a valore nullo nel caso in cui la precedente relazione non produca mai un numero intero, e cio` se: k 2T Z, k. e / Nota(2): se si considera un periodo T = 10 anzich T = 6, si ottengono gli andamenti e per s(t) e cn riportati in gura 2.7. Laddove si ` avuto un aumento del periodo T che e ha provocato un distanziamento maggiore tra le ripetizioni del triangolo, si ` avuto e un inttimento delle righe spettrali. In altre parole, mentre linviluppo del sinc2 ` e rimasto invariato, la densit` delle righe spettrali presenti ` aumentata. Ovviamente a e vale anche il viceversa: se si considera un periodo T < T (triangoli pi` ravvicinati), u si avranno delle righe spettrali pi` distanziate tra di loro. u Nota(3): il segnale considerato s(t) ` un segnale reale e pari; i coecienti cn risultanti e sono quindi una sequenza di campioni reali e pari. Si pu` ricavare facilmente che in o questo caso la serie di Fourier pu` essere espressa come serie di soli coseni: o

cn = c0 + 21

A n n sinc2 cos 2 t T2 T2 T

Nota(4): i campioni cn vanno a 0 come 1/n2 , e questo ` in accordo col fatto che e il segnale ` continuo, ma con derivata prima discontinua. e c) Si consideri ora il segnale traslato s (t) = s(t) A/2, rappresentato in gura 2.8 (a):


19

si calcolano i coecienti cn della Serie di Fourier: 1 cn = T 1 = TT /2

s (t)eT /2 T /2

n j2 T t

1 dt = T

T /2

s(t) T /2 T /2

A j2 n t T dt e 2

s(t)eT /2

n j2 T t

A1 dt 2TT /2

ej2 T t dt =T /2

n

=cn

A1 e n 2 T j2 T

n j2 T t

= cn T /2

A sinc(n) 2

Dalle propriet` del segnale sinc si ricava facilmente che: a cn = cn , n = 0 A A A c0 = c0 = 2 T2 2

cio` la traslazione del segnale produce solo una variazione del valor medio, mentre i e coecienti della serie di Fourier rimangono inalterati.2 2

1

1

s(t)

s(t)

0

0

1

1

2

2 12 6

t

0

6

12

12

6

t

0

6

12

(a)

(b)

Figura 2.8: (a) Segnale s(t) traslato: s (t) = s(t) A/2 con T = 6, = 4, e A = 2 e (b) nel caso particolare = T = 6

Nel caso particolare in cui = T , s (t) presenta una particolare simmetria s (t + T /2) = s (t) (gura 2.8 (b)): un tale segnale si dice alternativo. In questo caso i coecienti cn assumono valore nullo per n pari, infatti: cn = cn = A n sinc2 n = 0 2 2 cn = 0 n pari, n = 0 c0 = 0 n = 0


20

d) Si consideri inne il segnale ritardato s (t) = s(t A/2), rappresentato in gura 2.9: si calcolano i coecienti cn della Serie di Fourier: 1 cn = TT /2

s (t)eT /2

n j2 T t

1 dt = T

T /2

s tT /2

A 2

ej2 T t dt =

n

facendo un cambio di variabile t A/2 = u 1 = TT /2A/2

s(u)ej2 T u ej2 T 2 du =T /2A/2 T /2

n

n A

=e

n j2 T

A 2

1 T

s(u)ej2 T u du = ej2 TT /2

n

n A 2

cn

Si conclude quindi che i coecienti della serie di Fourier di un segnale s (t) ottenuto dal segnale s(t) ritardato temporalmente di una quantit` t0 , sono i coecienti cn del a n segnale di partenza s(t) moltiplicati per esponenziali complessi ej2 T t0 .3

2

s(t)

1

0

1

12

6

t

0

6

12

Figura 2.9: Segnale s(t) ritardato: s (t) = s(t A/2) con T = 6, = 4, e A = 2

Esercizio 3Determinare la potenza media del segnale s(t): s(t) = cos(2f0 t) sia applicando la denizione di potenza media, sia applicando il Teorema di Parseval per la serie di Fourier.


21

Soluzione 3Si ricordi che la potenza media di un segnale periodico pu` essere denita come: o 1 Ps = T0 e che il Teorema di Parseval aerma che: 1 Ps = T0+T0 /2 +T0 /2

s(t) 2 dt

T0 /2

s(t) 2 dt =n=

cn

2

T0 /2

Nel caso del cos(2f0 t) risulta dalla denizione: 1 Ps = T0 1 T0+T0 /2

cos2

T0 /2

2 t dt = T0 2 t T0 /2+T0 /2

+T0 /2

=

1 1 + cos 2 2 1 1 dt + T0 2

dt =

T0 /2 +T0 /2

1 1 = T0 2

cos

T0 /2

T0 /2

2 1 t dt = T0 /2 2

essendo nullo lintegrale del coseno di periodo T0 /2 integrato sul periodo T0 . Applicando il Teorema di Parseval si ottiene molto pi` rapidamente: u

Ps =n=

cn

2

=

1 2

2

+

1 2

2

=

1 2

Altri eserciziCalcolare la Serie di Fourier dei seguenti segnali: a) s(t) = t t , gura 2.10 (a); b) s(t) = c) s(t) = n , gura 2.10 (b); t2 |t| 1 sT (t 2n), sT (t) = , gura 2.11(a); n= 0 altrimenti t |1 t| 2n), sT (t) = 0 |t| < |t| = altrimenti , gura 2.11(b); n n= (1) rect 1 2

d) s(t) =

n= sT (t

CAPITOLO 2. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PERIODICI 2 |t| 4n), sT (t) =

22

1 < t < 1

e) s(t) =

n= sT (t

|t 2| 2 1 < t < 3 , gura 2.12; 0 t = 1, 1, 32

2

1

1

s(t)

0

s(t)1 0 1 2

0

1

1

2 2

2 2

1

0

1

2

t

t

(a)

(b)

Figura 2.10: (a) Esercizio a) ; (b) Esercizio b)

2

5

4 1 3

s(t)

0

s(t)1 0 1 2

2

1 1 0

2 2

1 8

6

4

2

0

2

4

6

8

t

t

(a)

(b)

Figura 2.11: (a) Esercizio c); (b) Esercizio d)

2

1

s(t)

0

1

2

3

2

1

0

1

2

3

4

5

t

Figura 2.12: Esercizio e)

Capitolo 3

Trasformata di FourierProblemi arontati nel presente capitolo: Calcolo di trasformate di Fourier: dalla denizione usando le propriet` a rappresentazione degli spettri di fase e di ampiezza Prodotto di convoluzione: esempi di calcolo relazione con la trasformata di Fourier Uso del teorema di Parseval e Parseval generalizzato per: calcolo dellenergia di un segnale calcolo di un integrale Calcolo di trasformate di Fourier per segnali periodici: teorema di Poisson calcolo dei coecienti della serie e calcolo della trasformata

Esercizio 1Si consideri il segnale s(t): s(t) = et u(t) con > 0 e si risponda alle seguenti domande: a) calcolare la trasformata di Fourier S(f ); 23

CAPITOLO 3. TRASFORMATA DI FOURIER b) calcolare la trasformata di Fourier del segnale s1 (t) = e3t u(t); c) calcolare la trasformata di Fourier del segnale s2 (t) = e2t+4 u(t 2); d) calcolare la trasformata di Fourier del segnale s3 (t) = et/2 cos(100t)u(t);

24

Soluzione 1a) Il segnale s(t) ` riportato in gura 3.1. Si calcola la trasformata di Fourier partendo e dalla denizione:

S(f ) =

s(t)ej2f t dt =

=

et u(t)ej2f t dt =0

et ej2f t dt

=

e(+j2f )t ( + j2f )

=0

1 + j2f

1.5

1

s(t)

0.5

0

0.5 2

1

t

0

1

2

Figura 3.1: Segnale s(t) con = 2

b) Per calcolare le trasformate dei segnali s1 (t), s2 (t) e s3 (t) si pu` riapplicare la o denizione oppure sfruttare le propriet` fondamentali della trasformata di Fourier; a per il primo segnale risulta: s1 (t) = e3t u(t) = s(t)|=3 cio` s1 (t) ` la riessione del segnale s(t) con = 3. La sua trasformata risulta: e e S1 (f ) = S(f )|=3 = visto che: s(t) S(f ) 1 3 j2f

CAPITOLO 3. TRASFORMATA DI FOURIER

25

c) Per il secondo segnale risulta: s2 (t) = e2t+4 u(t 2) = e2(t2) u(t 2) = s(t 2)|=2 cio` s2 (t) ` il segnale s(t) ritardato di 2 con = 2. La sua trasformata risulta: e e S2 (f ) = S(f )ej22f = 1 ej22f 2 + j2f

dato che un ritardo nel tempo corrisponde ad una moltiplicazione per un esponenziale complesso in frequenza: s(t t0 ) S(f )e j2t0 f d) Inne per il terzo segnale risulta: s3 (t) = et/2 cos(250t)u(t) = s(t)|=1/2 La sua trasformata risulta: 1 1 1 1 + S3 (f ) = [S(f 50) + S(f 50)] = 2 2 1/2 + j2(f 50) 1/2 + j2(f + 50) poich una moltiplicazione per un esponenziale complesso nel tempo corrisponde ad e un ritardo in frequenza: s(t)ej2f0 t S(f f0 ) ej250t + ej250t 2

Esercizio 2Calcolare la trasformata di Fourier del segnale s(t) = tr(6t + 24)cos(t)

Soluzione 2Il segnale s1 (t) = tr(6t + 24) ` un triangolo di durata 1/3, ampiezza 1 e anticipato di 4, e mentre il segnale s2 (t) = cos(t) ` un coseno di periodo 1/2: e s(t) = tr(6t + 24)cos(t) = tr t+4 1/6 1 cos 2 t 2

Per calcolare la trasformata di Fourier si determina prima la trasformata del segnale s1 (t) che risulta: t+4 1 1 S1 (f ) = F tr = sinc2 f ej24f 1/6 6 6


26

Poi, ricordando dallesercizio precedente che la moltiplicazione per un coseno corrisponde alla moltiplicazione per due esponenziali complessi, e quindi ad un ritardo in frequenza, si ha: S(f ) = S1 (f 1/2) + S1 (f + 1/2) = 2 f 1/2 j8(f 1/2) 1 sinc2 e + sinc2 = 12 6

f + 1/2 6

ej8(f +1/2)

Esercizio 3Calcolare e rappresentare gracamente gli spettri di ampiezza e fase dei seguenti segnali: a) s(t) = 10rect(3t) b) s1 (t) = 10rect 3t 1 2

Soluzione 3a) La trasformata di Fourier del segnale rect ` il segnale sinc: e Arect e quindi risulta: S(f ) = f 10 sinc = 3 3 10 f = sinc sgn sinc 3 3 t A sinc( f )

f 3

La funzione segno assume valori 1 in base allandamento del sinc. Potendo scrivere +1 = ej2k e 1 = ej(2k+1) e decidendo di rappresentare la spettro di fase nellintervallo [, ] (dato che la fase ` periodica di 2), la fase assume valori 0 quando e f sgn sinc 3 = 1 e quando sgn sinc f = 1. Gli spettri di ampiezza e fase 3 sono riportati in gura 3.2. Si noti come si sia scelto di rappresentare lo spettro di fase con + per frequenze positive e per frequenze negative: questo ` motivato e dal fatto che nel caso di segnali reali lo spettro deve soddisfare le condizioni di simmetria hermetiana, cio` lo spettro di ampiezza deve risultare pari e quello di fase e dispari.1 b) Il segnale s1 (t) = 10rect 3t 2 = 10rect 3 t 1 non ` altro che il segnale s(t) e 6 ritardato di 1/6. Pertanto la trasformata di Fourier risulta:

S1 (f ) = S(f )ej2 6 f =

1

10 sinc 3

f 3

ej2 6 f

1


27

4

3

2

Ampiezza

2

Fase1 0

0

2

12

9

6

3

f

0

3

6

9

12

4 12

9

6

3

0

3

6

9

12

f

(a)

(b)

Figura 3.2: (a) Spettro di ampiezza e (b) spettro di fase del segnale s(t) = 10rect(3t)

e quindi: S1 (f ) = S(f ) 1 S1 (f ) = S(f ) 2 f 6 Per disegnare lo spettro di fase si somma 2 1 f (gura 3.3(a) tratteggiato) a S(f ) 6 e poi si riporta tutto nellintervallo [, ] (gura 3.3(b)).1515

10

10

5

5

Fase

0

Fase9 6 3 0 3 6 9 12

0

5

5

10

10

15 12

f

15 12

9

6

3

f

0

3

6

9

12

(a)

(b)

Figura 3.3: (a) Spettro di fase del segnale s1 (t) = 10rect(3t 1/2) e (b) riportato nellintervallo [, ]


28

Esercizio 4Calcolare il prodotto di convoluzione z(t) = x(t) y(t) tra i seguenti segnali: x(t) = et y(t) = 2 rect t4 2 rect t1 2

Soluzione 43400

2300

1

x(t)

200

y(t)0 10 1 2

100

0 1

t

3

4

5

6

2 1

0

1

2

t

3

4

5

6

(a)Figura 3.4: (a) Segnale x(t) = et e (b) segnale y(t) = 2 rect

(b)t4 2

rect

t1 2

Nelle gure 3.4 (a) e (b) sono riportati i due segnali x(t) e y(t) rispettivamente. Si ricorda la denizione di prodotto di convoluzione:

z(t) = x(t) y(t) =

x()y(t )d =

y()x(t )d

In pratica, il calcolo del prodotto di convoluzione, per ogni istante di tempo t, consiste nel calcolare il valore dellintegrale del prodotto tra i segnali x e y, di cui un segnale ` e mantenuto sso (ad esempio x()), mentre laltro segnale viene riesso (ad esempio y()) e traslato del tempo t (ad esempio y(+t)). Di seguito ` riportato il calcolo del prodotto e di convoluzione secondo le due modalit` possibili. a Nel primo caso si faccia riferimento ai segnali riportati in gura 3.5. Il segnale z(t) si


29

ottiene come:

z(t) =

x()y(t )d = (t ) 4 2t

=

e 2 rectt3

rect

(t ) 1 2

d

=2t5

e d t2 t3

e d = 2e |t3 e |t = t5 t2 et + et2 = et [2e3 2e5 1 + e2 ]

=2e

2e

t5

3 2.5 2

3 2.5 2

1 0.5 0

x(); y(+t)

1.5

1.5 1 0.5 0

t5

x(); y()

t3

t

0.5 1 1.5 2 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1

0.5 1 1.5 t2

2 8

7

6

5

4

3

2

1

0

1

(a)

(b)

Figura 3.5: (a) Segnali x() (linea tratteggiata) e y() (linea continua) e (b) segnali x() (linea tratteggiata) e y( + t) con t < 0 (linea continua)3 2.5 2 3 2.5 2

x(+t); y()

x(); y()

t 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 2 1 0 1

2

3

4

5

6

2

2

1

0

1

2

3

4

5

6

(a)

(b)

Figura 3.6: (a) Segnali x() (linea tratteggiata) e y() (linea continua) e (b) segnali x( + t) con t < 0 (linea tratteggiata) e y() (linea continua)

Nel secondo caso invece si hanno i segnali riportati in gura 3.6 e il segnale z(t) risulta


30

da:

z(t) =

y()x(t )d = 4 2 1 25 3

= 5

et 2 rect2

rect

d

=23

e

t

d + 2e0 t3

et d = 2et

+ et

2 0

=

= 2e

t5

+ et2 et = et [2e3 2e5 1 + e2 ]

Il segnale z(t) risultato del prodotto di convoluzione ` un segnale che ha durata da e a : questo si poteva sapere n dallinizio, ricordando che in generale vale la propriet`: a x(t) = 0t [t1 , t2 ] e y(t) = 0t [t3 , t4 ] = z(t) = 0t [t1 + t3 , t2 + t4 ]

Esercizio 5Dato il segnale x(t) riportato in gura 3.7 , calcolare:

A

x(t)

0

A

0

t

T/2

T

Figura 3.7: Segnale x(t) caratterizzato da ampiezza A e durata T

il prodotto di convoluzione z(t) = x(t) x(t); lautocorrelazione r(t) = x(t) x (t); lautoconvoluzione e lautocorrelazione dei segnali x(t) e x(t t0 ), cio`: e z1 (t) = x(t) x(t) z2 (t) = x(t t0 ) x(t t0 ) r1 (t) = x(t) x (t) r2 (t) = x(t t0 ) x (t t0 )


31

Soluzione 5 Si pu` notare subito che il prodotto di convoluzione z(t) assumer` valori diversi da o a zero solo nellintervallo [0, 2T ]. Si consideri il segnale dato, x(), e il segnale riesso e traslato di t, x( + t). Al variare di t si individuano quattro possibili situazioni in base alla sovrapposizione dei due segnali x() e x( + t): le quattro situazioni sono rappresentate nelle gure 3.8 e 3.9, dove si ` posto A = 1 e T = 4. Si procede e quindi al calcolo del prodotto di convoluzione:2 2

1

1

x(); x(+t)

x(); x(+t)

0

0

1

1

2 4

2

0

2

4

6

8

2 4

2

0

2

4

6

8

(a)

(b)

Figura 3.8: Segnali x() e x( + t) per diversi valori di t2 2

1

1

x(); x(+t)

x(); x(+t)

0

0

1

1

2 4

2

0

2

4

6

8

2 4

2

0

2

4

6

8

(a)

(b)

Figura 3.9: Segnali x() e x( + t) per diversi valori di t

CAPITOLO 3. TRASFORMATA DI FOURIERt

32

T 0

dispense tds

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