dis pens a fuzzy spec

“Sistemi Intelligenti”

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Informatica

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Informatica per la Gestione d’Azienda

Introduzione agli Insiemi Fuzzy e alla Logica Fuzzy

Prof. Beatrice Lazzerini Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione

Via Diotisalvi, 2 56122 PISA

Prof. Beatrice Lazzerini Introduzione agli insiemi fuzzy e alla logica fuzzy

1

ESEMPI DI INSIEMI FUZZY

persone alte temperature medie numeri grandi terre lontane …

INSIEME FUZZY

Un insieme fuzzy è caratterizzato dal fatto che il grado di appartenenza di ogni elemento all’insieme può essere un qualunque numero reale tra 0 e 1. Un insieme fuzzy A è definito quindi da una funzione di appartenenza

]1,0[X:A →µ , essendo X l’universo di definizione. L’universo X è un insieme convenzionale (o crisp).

Spesso si usa il nome dell’insieme, che tipicamente è un’etichetta linguistica, per indicare la funzione di appartenenza e si scrive semplicemente ]1,0[X:A → .

I seguenti tre insiemi fuzzy sono definiti sullo stesso universo:

µGIOVANE

MEZZA ETA` VECCHIO

30 40 60 70 Anni

1

0


2

x

1

)x(µ core

supporto

alte

zza

0

supporto: { }0)x(A|Xx >µ∈ (insieme crisp)

core: { }1)x(A|Xx =µ∈ (insieme crisp)

altezza: )x(AXx

sup)A(h µ∈

=

A è normale se 1)A(h = A è subnormale se 1)A(h <

FUZZY SINGLETON (o FUZZY POINT) = insieme fuzzy il cui supporto è un singolo punto.


3

ALPHA-CUT (o LAMBDA-CUT)

Consideriamo un insieme fuzzy A. Sia 10 ≤α≤ .

Un alpha-cut (o lambda-cut) è un insieme crisp { }α≥µ=α )x(A|xA .

α≤λ∀ , ,1,0 ≤αλ≤ si ha λα ⊆AA , dove XA0 = .

x

1

µ

A

6.0=λ

3.0=λ

6.0A

3.0A

0


4

Un insieme fuzzy (definito su nR ) si dice convesso se tutti i suoi cut−α , ]1,0(∈α , sono insiemi convessi nel senso classico.

X

1

)x(µ

0

A

B

α

αB

A insieme fuzzy subnormale convesso

B insieme fuzzy normale non convesso


5

Come si denota un insieme fuzzy

•••• Universo discreto X = {x1, x2, …}:

µ=

+µ+µ= ∑i ix

)ix(A...2x

)2x(A1x

)1x(AA

cioè x1 appartiene ad A con grado di appartenenza )1x(Aµ , x2 con grado di appartenenza )2x(Aµ , etc. (Osserviamo che la barra orizzontale non indica una frazione, ma è semplicemente un delimitatore).

In particolare, un fuzzy singleton è x

)x(AA µ= .

•••• Universo X continuo:

µ= ∫ x

)x(AA .

I simboli ∑ ∫+ ,, indicano unione.


6

UNIONE di insiemi fuzzy

x

1

µ

A B 0

BA∪

))x(),x((max)x( BABA µµ=µ ∪


7

INTERSEZIONE di insiemi fuzzy

x

1

µ

0

A

B

BA∩

))x(),x((min)x( BABA µµ=µ ∩


8

x

1

µ

A A

0

COMPLEMENTO di un insieme fuzzy

)x(1)x( AA µ−=µ


9

X

1

µ

A

0

INCLUSIONE di insiemi fuzzy

B

)x()x(BA BA µ≤µ⇔⊆


10

Non vale la legge del mezzo escluso

x

1

µ XAA ≠∪

A A

Non vale la legge di contraddizione

x

1

µ

A A

∅≠∩AA


11

Definizioni alternative di intersezione fuzzy

Ogni definizione deve essere un’estensione dell’intersezione di insiemi tradizionali:

intersezione standard:

)]x(B),x(A[min)x)(BA( =∩

prodotto algebrico:

)x(B*)x(A)x)(BA( =∩

bounded difference:

]0,1)x(B)x(A[max)x)(BA( −+=∩

► In generale, )]x(B),x(A[T)x)(BA( =∩

con T = norma triangolare.

NORMA TRIANGOLARE (t-norma)

Una norma triangolare è una funzione ]1,0[]1,0[]1,0[:T →× tale che

1. ]1,0[aa)1,a(T ∈∀=

2. vb,uase)v,u(T)b,a(T ≤≤≤ monotonicità

3. )a,b(T)b,a(T = commutatività

4. ))c,b(T,a(T)c),b,a(T(T = associatività

I primi 3 assiomi assicurano che l’intersezione fuzzy coincide con l’intersezione classica se applicata ad insiemi classici.


12

Definizioni alternative di unione fuzzy

Ogni definizione deve essere un’estensione dell’unione di insiemi tradizionali:

unione standard:

)]x(B),x(A[max)x)(BA( =∪

somma algebrica:

)x(B)x(A)x(B)x(A)x)(BA( −+=∪

bounded sum:

]1,)x(B)x(A[min)x)(BA( +=∪

► In generale, )]x(B),x(A[S)x)(BA( =∪

con S = conorma triangolare.

CONORMA TRIANGOLARE (t-conorma o s-norma)

Sia T una t-norma. Allora ]1,0[]1,0[]1,0[:S →× definita da

]1,0[b,a)b1,a1(T1)b,a(S ∈∀−−−=

è detta t-conorma.

Una t-conorma soddisfa le seguenti proprietà:

1. a)0,a(S =

2. monotonicità 3. commutatività 4. associatività

I primi 3 assiomi assicurano che l’unione fuzzy coincide con l’unione classica se applicata ad insiemi classici.


13

PROPRIETÀ DI

INTERSEZIONE E UNIONE FUZZY STANDARD

Tra tutte le possibili intersezioni ed unioni fuzzy, le operazioni standard possiedono le seguenti proprietà:

l’intersezione fuzzy standard (operatore di minimo) produce l’insieme fuzzy più grande fra quelli prodotti da tutte le possibili intersezioni fuzzy (maggiore incertezza);

l’unione fuzzy standard (operatore di massimo) produce l’insieme fuzzy più piccolo fra quelli prodotti da tutte le possibili unioni fuzzy (minore incertezza).


14

Definizioni alternative di complemento fuzzy

complemento standard:

)x(A1)x(A −=

round complement:

2)]x(A[1)x(A −=

Yager:

),0(p,))]x(A[1()x(A p1p ∞∈−=

Sugeno:

),1(s,sx1x1)x(A ∞−∈

+−=

► In generale, ))x(A(C)x(A =

dove ]1,0[]1,0[:C → è tale che valgono le seguenti proprietà:

1. x)x)(CC( =� (involutiva)

2. C strettamente decrescente

3. C continua

4. 0)1(C,1)0(C ==


15

PRODOTTO CARTESIANO CONVENZIONALE

A, B insiemi classici (crisp)

{ }ByeAx|)y,x(BA ∈∈=×

X

Y

A

B


16

RELAZIONE TRA INSIEMI CLASSICI (RELAZIONE CRISP)

È un sottoinsieme del prodotto cartesiano.

Rappresentazione di relazioni crisp

•••• funzione caratteristica

∉∈

=R)y,x(se0R)y,x(se1

)y,x(R

• Diagramma

Y X

• Matrice di relazione (numero dimensioni = numero insiemi)

X={1,2,3}, Y={a,b,c}

=110110011

321

R

cba


17

COMPOSIZIONE DI RELAZIONI CRISP

Siano date le seguenti due relazioni ZY:S,YX:R →→ . La relazione composta ZX:SRW →= � puó essere ottenuta come segue:

composizione max-min

( )( ))z,y(),y,x(minmax)z,x( SRYyW χχ=χ∈

con χW funzione caratteristica;

composizione max-product (o max-dot) ZX:SRW →= �

( ))z,y()y,x(max)z,x( SRYy

W χ⋅χ=χ∈

.


18

RELAZIONE FUZZY

È un insieme fuzzy definito sul prodotto cartesiano

]1,0[YX:R →×

X

Y 0 .0

0 .3

0 .5 0 .9

R

ERR ≠∪ , con E relazione completa

ORR ≠∩ , con O relazione nulla

=111111111

E

=000000000

O


19

PRODOTTO CARTESIANO DI INSIEMI FUZZY

Dati ]1,0[Y:B],1,0[X:A →→ , il prodotto cartesiano BA× è una relazione fuzzy:

]1,0[YX:BA →××

))y(B),x(A(min)y,x(YX =µ ×

x

Y

A

B


20

RAPPRESENTAZIONE DI RELAZIONI FUZZY

Sia R la relazione che rappresenta il concetto “molto lontano” tra gli insiemi }Parigi,YorkNew{X= e }aomR,YorkNew,Pechino{Y= . R può essere rappresentata come segue:

•••• matrice

1 .9

0 .6

.7 .3

New York Parigi

New York

Pechino

Ro ma

•••• ...)YorkNew,YorkNew(0)Pechino,YorkNew(1)Y,X(R ++=


21

Esempio di relazione (prodotto cartesiano di insiemi fuzzy)

321 x1

x5.0

x2.0A ++=

21 y9.0

y3.0B +=

==×9.05.02.0

3.03.02.0

xxx

RBA

yy

3

2

1

21

COMPOSIZIONE di relazioni fuzzy

R relazione fuzzy su YX× , S relazione fuzzy su ZY× , e SRW �= relazione fuzzy su ZX× :

composizione max-min fuzzy (o composizione standard):

( ))z,y(),y,x(minmax)z,x( SRYy

W µµ=µ∈

Analogamente si può definire la composizione max-product fuzzy.

In generale, sia nel caso di composizione crisp sia nel caso di composizione fuzzy, risulta RSSR �� ≠ .


22

ESEMPIO DI COMPOSIZIONE STANDARD

P

9.06.08.03.0

xx

yy

2

1

21

�

Q

14.09.05.0

yy

zz

2

1

21

=

QP

9.05.08.04.0

xx

zz

2

1

21

�

La composizione coinvolge esattamente le stesse combinazioni di elementi di un prodotto tra matrici. Il prodotto e la somma sono sostituiti, rispettivamente, da min e max.

► la composizione standard può essere generalizzata dalla composizione sup-T, dove T è una t-norma

)]z,y(S),y,x(R[Tsup)y,x(WYy∈

=

► Questa generalizzazione è importante per il ragionamento approssimato.


23

Estensione di una funzione crisp

Una funzione crisp YX:f → può essere estesa in )Y(P)X(P:f → come segue:

{ }Ax),x(fy|y)A(f:)X(PA ∈==∈∀ .

P(X) è l’insieme potenza (cioè l’insieme dei sottoinsiemi) di X.

f(x)

A

B

Y

X

La funzione inversa 1f − può essere estesa in )X(P)Y(P:f 1 →− come segue:

{ }B)x(f|x)B(f:)Y(PB 1 ∈=∈∀ −


24

‘Fuzzificazione’ di una funzione crisp

Una funzione crisp può essere “fuzzificata” estendendola ad operare su insiemi fuzzy.

PRINCIPIO DI ESTENSIONE

YX:f → induce due funzioni:

)Y(F)X(F:f → )X(FA)x(Asup)y()]A(f[)x(fy|x

∈∀==

)X(F)Y(F:f 1 →− )Y(FB))x(f(B)x()]B(f[ 1 ∈∀=−

F(X) è l’insieme potenza fuzzy di X. Se X e Y sono finiti, sup è sostituito da max.

f(x)

B2

B1

A1 A2

0 1

1

Ai(x)

Bi(x)

f continua


25

Più in generale )Y(P)X...XX(P:f n21 →××× , dove P indica l’insieme potenza crisp. Quindi:

)A...,,A,A(fB n21=

[ ]{ })nx(A...,),2x(A),1x(Amin)x,...,x,x(fy

sup)y(B n21n21

µµµ=

=µ

NUMERI FUZZY

I numeri fuzzy sono insiemi fuzzy definiti sui reali con funzione di appartenenza normale e convessa.

Il numero fuzzy ‘uno’ può essere rappresentato, ad esempio, come segue:

++=

22.

11

02.1

~

oppure

0 1 2

1

Il principio di estensione ci permette di estendere ai numeri fuzzy le operazioni aritmetiche standard sui numeri reali.


26

Sia * una delle 4 operazioni aritmetiche ( ÷×−+ ,,, ). Siano I e J due numeri fuzzy. Definiamo un insieme fuzzy su ℜ (denotato I*J) come segue

)]y(J),x(I[miny*xz

sup)z()J*I(=

= .

Quindi:

[ ]

[ ]

[ ]

~

~~

242.

32.

21

12.

02.

4)2.0,2.0(min

3)1,2.0(min)2.0,1(minmax

2)2.02.0(min),1,1(min),2.0,2.0(minmax

1)2.0,1min(),1,2.0(minmax

0)2.0,2.0(min

22.

11

02.

22.

11

02.11

=++++=

++

+

+

=

+++

++=+

I numeri fuzzy sono importanti per definire le variabili linguistiche, cioè variabili i cui valori sono espressioni del linguaggio naturale.


27

ANCORA SUL PRINCIPIO DI ESTENSIONE

Una relazione binaria “generalizza” una funzione. Si può applicare il principio di estensione

R crisp

A

B

Y

X

{ }AxeR)y,x(|YyB ∈∈∈=

quindi

)]y,x(R),x(Amin[Xx

sup)y(B χχ∈

=χ .

Se R è una relazione fuzzy ed A un insieme fuzzy, l’insieme fuzzy B è definito da

)]y,x(R),x(Amin[Xx

sup)y(B µµ∈

=µ .

Considerando l’insieme fuzzy A come una relazione unaria, l’espressione precedente è analoga alla composizione sup-min.


28

VARIABILI LINGUISTICHE

Una variabile linguistica è una variabile i cui valori sono termini linguistici.

bassissima

Temperatura

1

µbassa alta media altissima

10 20 30 40 0 C�

VARIABILE LINGUISTICA

VALORI LINGUISTICI

REGOLA SEMANTICA

v (temperatura) VARIABILE BASE


29

Una variabile linguistica è definita in termini di una variabile base (variabile in senso classico), i cui valori sono numeri reali all’interno di un dato intervallo.

I termini linguistici, che rappresentano valori approssimati della variabile base, sono interpretati come numeri fuzzy.

Una variabile linguistica è caratterizzata da una quintupla

(v, T, X, g, m)

dove v = nome della variabile

T = insieme dei termini linguistici di v;

X = universo di definizione della variabile base;

g = regola sintattica (una grammatica) per generare i termini linguistici (ad esempio, “molto alta”, “non molto bassa”);

m = regola semantica che assegna a ciascun termine linguistico Tt∈ il suo significato, m(t), che è un insieme fuzzy su X (universo di definizione della variabile base), cioè )X(FT:m → .

Una variabile linguistica è definita attraverso i suoi termini primari (rappresentati nella figura precedente). I termini primari sono etichette di insiemi fuzzy: ‘bassissima’, ‘bassa’, ‘media’, ‘alta’ e ‘altissima’.


30

MODIFICATORI LINGUISTICI

I termini atomici (quali ‘medio’, ‘alto’, ‘buono’, ‘bello’) del linguaggio naturale possono essere modificati con aggettivi o avverbi come ‘molto’, ‘quasi’, ‘più o meno’, ….

Interpretando i termini atomici come insiemi fuzzy, l’effetto di un modificatore linguistico è quello di modificare la funzione di appartenenza di un termine atomico.

Sia α un termine atomico

∫= Y y)y(αµα .

Si ha, ad esempio:

α"molto" = 2α = [ ]∫Y

2

y)y(αµ

α"eleggerment" = α = [ ]∫Y

5.0

y)y(αµ

…

Le espressioni come la prima sono dette concentrazioni, perché riducono il grado di appartenenza di tutti gli elementi che sono “parzialmente” nell’insieme (riduzione dell’incertezza).

Più basso è il valore di appartenenza di un elemento ad un insieme fuzzy, più è ridotta la sua appartenenza mediante una concentrazione.

Le espressioni come la seconda sono dette dilatazioni, perché incrementano l’appartenenza di elementi che sono “parzialmente” nell’insieme (aumento dell’incertezza).


31

x

1

µ

0

A Concentrazione di A

x

1

µ

0

A

Dilatazione di A


32

INTENSIFICAZIONE

Un’altra operazione sugli insiemi fuzzy linguistici è l’intensificazione. Questa operazione incrementa il grado di appartenenza degli elementi il cui valore di appartenenza originale è > 0.5 e diminuisce il grado di appartenenza degli elementi il cui valore di appartenenza originale è < 0.5. L’intensificazione può essere espressa in vari modi, uno dei quali, proposto da Zadeh, è

[ ]

≤≤−−≤≤=

1)y(5.0per)y(1215.0)y(0per)y(2"ensificaint" 2

2

αα

ααµµ

µµα .

L’intensificazione aumenta il contrasto tra gli elementi dell’insieme con 5.0>µ e quelli con 5.0<µ .

x

1

µ

0

A Intensificazione di A

0.5


33

TERMINI COMPOSTI

Il linguaggio naturale comprende, oltre ai termini atomici (‘alto’, ‘bello’, …), anche i termini composti, ottenuti combinando termini atomici, connettivi logici e modificatori linguistici.


34

LOGICA CLASSICA

(LOGICA DEI PREDICATI DEL PRIMO ORDINE)

Siano P e Q due proposizioni sullo stesso universo di definizione X:

Ax:P ∈ e Bx:Q ∈ , con XB,A ⊆ .

Quindi Se Ax∈ , allora T(P) = 1; altrimenti T(P) = 0,

Se Bx∈ , allora T(Q) = 1; altrimenti T(Q) = 0.

T(P) è il valore di verità di P.

P e Q possono essere combinate usando i seguenti cinque connettivi logici per formare nuove proposizioni:

disgiunzione (∨ ) congiunzione (∧ ) negazione (–) implicazione (→ ) equivalenza (↔ )

.BxorAx:QP ∈∈∨ Quindi ))Q(T),P(T(max)QP(T =∨

.BxandAx:QP ∈∈∧ Quindi ))Q(T),P(T(min)QP(T =∧

Se 1)P(T = , allora 0)P(T = . Se 0)P(T = , allora 1)P(T =

BxorAx:)QP( ∈∉→ . Quindi )QP(T)QP(T ∨=→

≠=

=↔↔)Q(T)P(Tper,0)Q(T)P(Tper,1

)QP(T:)QP(

P e Q sono equivalenti quando sono entrambe vere o entrambe false.


35

IMPLICAZIONE

IMPLICAZIONE CLASSICA QP→

P antecedente (o ipotesi) Q conseguente (o conclusione)

Esempio:

•••• If 2 + 2 = 4, then 10 > 0 proposizione vera (Ipotesi vera Conclusione vera)

•••• If 2 + 2 = 5, then 10 > 0 proposizione vera (Ipotesi falsa Conclusione vera)

•••• If 2 + 2 = 5, then 10 < 0 proposizione vera (Ipotesi falsa Conclusione falsa)

•••• If 2 + 2 = 4, then 10 < 0 proposizione falsa (Ipotesi vera Conclusione falsa)

Quindi

)Q(T)P(T)QP(T ∧=→

Considerando gli insiemi si ha

BABAQP ∪=∩≡→

per cui

))Q(T),P(T(max)QP(T)QP(T =∨=→

Abbiamo ottenuto una formula per calcolare il valore di verità dell’implicazione nel caso in cui gli insiemi A e B sono contenuti nello stesso universo.


36

Rappresentazione grafica (diagramma di Venn) dell’implicazione nel caso in cui XB,A ⊆ :

A-B

A

B

La regione grigia è quella in cui l’implicazione è vera.


37

Supponiamo che l’implicazione coinvolga due universi X e Y:

P proposizione descritta dall’insieme XA⊆ ,

Q proposizione descritta dall’insieme YB⊆ .

L’implicazione QP→ può essere rappresentata in termini di insiemi dalla relazione R, equivalente alla regola linguistica IF A THEN B

BTHENAIF)YA()BA(R ≡×∪×=

YBeYydoveByTHENXAeXxdoveAxIF

⊆∈∈⊆∈∈

Rappresentazione grafica dell’implicazione IF A THEN B:

X

Y

A

B

IF A THEN B

Le regioni grigie del diagramma di Venn rappresentano il dominio di verità dell’implicazione.


38

La regola IF A THEN B (proposizione P definita sull’insieme A nell’universo X e proposizione Q definita sull’insieme B nell’universo Y), cioè

)YA()BA(R)QP( ×∪×==→

è allora definita in termini di funzioni come

[ ][ ])x(A1()),y(B)x(A(max

1))x(A1(()),y(B)x(A(max)y,x(Rχ−χ∧χ=

∧χ−χ∧χ=χ.


39

LOGICA FUZZY

La logica fuzzy costituisce il fondamento teorico del ragionamento approssimato.

PROPOSIZIONI FUZZY

AisX:P

dove X è una variabile che assume valori su un universo U ed A è un insieme fuzzy su U. Ad esempio, A può rappresentare un predicato fuzzy, come “alto”, “medio”, …

Il grado di verità di P è )X(A)P(T =

Temperatura

1

µBASSA ALTA MEDIA MOLTO

BASSA MOLTO ALTA

10 20 30 40 0 C�

33

0.7

Il grado di verità, T(P), dipende dal valore effettivo della temperatura e dalla definizione del predicato A (“temperatura alta”).

Se X = 33, allora A(33) = 0.7 e T(P) = 0.7.


40

PROPOSIZIONI FUZZY CONDIZIONALI

Le proposizioni fuzzy condizionali sono relazioni tra variabili linguistiche:

BisYthenAisXif:p

dove X e Y sono variabili definite, rispettivamente, su U e V, A e B sono insiemi fuzzy su U e V, rispettivamente.

Una proposizione condizionale è rappresentata da una relazione R, che è un insieme fuzzy su VU× cosí definito:

)]y(B),x(A[I)y,x(R =

dove I denota implicazione fuzzy e A(X) e B(Y) sono i valori di verità delle proposizioni AisX e BisY , rispettivamente.

Quindi il grado di appartenenza R(x,y) della coppia (x,y) alla relazione R rappresenta il valore di verità della proposizione fuzzy condizionale

BisYthenAisXif .


41

Siano P e Q due proposizioni fuzzy. Analogamente al caso crisp abbiamo:

•••• negazione: )P(T1)P(T −=

•••• disgiunzione: BorAisx:QP∨ ))Q(T),P(T(max)QP(T =∨

•••• congiunzione: BandAisx:QP∧ ))Q(T),P(T(min)QP(T =∧

•••• implicazione: )QP( → Esistono più modi per definire l’implicazione fuzzy


42

IMPLICAZIONE FUZZY

L’implicazione fuzzy è una funzione ]1,0[]1,0[]1,0[:I →×

che, date due proposizioni fuzzy P e Q, definisce il valore di verità della proposizione condizionale IF P THEN Q. Tale funzione dovrebbe essere un’estensione dell’implicazione classica, cioè 1)1,1(I)1,0(I)0,0(I === e 0)0,1(I = .

Nella logica classica l’implicazione può essere definita in vari modi le cui estensioni alla logica fuzzy danno luogo a diversi operatori di implicazione fuzzy. Ad esempio, l’implicazione )QP( → può essere rappresentata sotto forma di regola

BisYTHENAisXIF

ed è equivalente alla relazione fuzzy

)YA()BA(R ×∪×=

per cui, risolvendo il prodotto con la funzione min e l’unione con la funzione max, una possibile espressione per l’operatore di implicazione fuzzy è la seguente:

[ ]{ })x(A1,)y(B),x(Aminmax)y,x(R µ−µµ=µ (Zadeh)


43

ALTRE ESPRESSIONI PER L’OPERATORE DI

IMPLICAZIONE FUZZY

{ })y(B),x(A1max)y,x(R µµ−=µ Kleene-Dienes

[ ]{ })y(B)x(A1,1min)y,x(R µ+µ−=µ Lukasiewicz

{ })y(B),x(Amin)y,x(R µµ=µ Mamdani

…..

Osserviamo che l’espressione di Mamdani, benché spesso usata, non è un’estensione dell’implicazione classica, in quanto I(0,1)=min(0,1)=0.

La scelta di un operatore di implicazione dipende dal contesto.


44

Esempio

Siano 3x

1

2x8.0

1x1.0A ++= e

2y1

1y5.0B += .

Consideriamo l’implicazione di Lukasiewicz:

I(x,y) = min(1, 1-x+y)

Allora

231322122111 y,x1

y,x5.0

y,x1

y,x7.0

y,x1

y,x1BA +++++=→

Questo significa, ad esempio, che

1)BA(T =→ quando 1xx= e 1yy=

7.0)BA(T =→ quando 2xx= e 1yy=

…


45

RAGIONAMENTO APPROSSIMATO

Sia data la regola

BisYTHENAisXIF:R

Dato un nuovo antecedente A’ si può derivare un nuovo conseguente B’ mediante la composizione fuzzy

R'A'B �=

Si può usare la composizione max-min, la composizione max-product, etc.

In generale,

))]y(B),x(A(I),x('A[TUx

sup)y('B∈

=

dove T è una t-norma e I un operatore di implicazione fuzzy.

Questa regola è detta modus ponens generalizzato o regola composizionale di inferenza.

Ogni scelta di T e di I genera una regola diversa.

In modo analogo si può ottenere anche il modus tollens generalizzato.


46

Esempio

Siano date le variabili X e Y definite su }x,x,x{U 321= e }y,y{V 21= , rispettivamente. Sia data la proposizione BisYTHENAisXIF .

Siano 321 x6.0

x1

x5.0A ++=

21 y4.0

y1B += .

Sia dato un fatto espresso dalla proposizione 'AisX con

321 x7.0

x9.0

x6.0'A ++= .

Usando l’implicazione di Lukasiewicz I = min(1, 1-x+y), abbiamo

231322122111 y,x8.0

y,x1

y,x4.0

y,x1

y,x9.0

y,x1R +++++= .

Applicando il modus ponens generalizzato con T=min otteniamo

9.0

)]1,7.0min(),1,9.0min(),1,6.0([minmax

)]y,x(R),x('A[minsup)y('B 1Ux

1

=

=

=∈

7.0

)]8.0,7.0min(),4.0,9.0min(),9.0,6.0([minmax

)]y,x(R),x('A[minsup)y('B 2Ux

2

=

=

=∈

Si può concludere 'BisY dove 21 y7.0

y9.0'B += .


47

SISTEMI FUZZY CON PIÙ REGOLE

1BisYTHEN1AisXIF:1golaRe

2BisYTHEN2AisXIF:2golaRe ...

nBisYTHENnAisXIF:ngolaRe 'AisX:Fatto

______________________________ 'BisY:eConclusion

Ogni regola produce una conclusione.

Esistono due possibili strategie per combinare le n conclusioni:

FITA (First Infer Then Aggregate)

FATI (First Aggregate Then Infer)


48

STRATEGIA FITA

Prima si applica la regola composizionale di inferenza alle singole regole, poi si combinano le conclusioni inferite dalle regole attraverso un operatore di aggregazione.

Sia data una base di n regole ,n...,,1i)),y(iB),x(iA(I = ed un fatto )x('A . La conclusione ottenuta con la strategia FITA è

)'nB...,,'

1B(h)1(B =

dove ))]y(iB),x(iA(I),x('A[TUx

sup))y(iB),x(iA(I)x('A)y('iB∈

== �

e h è un operatore di aggregazione (di solito, il minimo o il massimo).

Quindi, l’approccio FITA include nell’ordine:

•••• implicazione

•••• composizione

•••• aggregazione


49

STRATEGIA FATI

Prima si aggregano tutte le regole generando una relazione fuzzy globale R che è l’aggregazione di tutte le relazioni di implicazione fuzzy corrispondenti alle singole regole, poi si applica la regola composizionale di inferenza al fatto e alla relazione R.

Sia data una base di n regole ,n...,,1i)),y(iB),x(iA(I = ed un fatto )x('A . La conclusione ottenuta con la strategia FATI è

))y,x(R),x('A(TUx

sup)y,x(R)x('A)2(B∈

== �

dove )))y(nB),x(nA(I...,)),y(1B),x(1A(I(h)y,x(R =

e h è un operatore di aggregazione.

Quindi, l’approccio FATI include nell’ordine:

•••• implicazione

•••• aggregazione

•••• composizione

Risulta )1(B)2(B ⊆ .


50

REGOLE SISO (Single-Input Single-Output)

Sono regole con un solo antecedente:

BisYTHENAisXIF

REGOLE MISO (Multi-Input Single-Output)

Sono regole con più antecedenti:

1BisYTHENmAismXAND...2Ais2XAND1Ais1XIF

Il connettivo AND è interpretato come una congiunzione fuzzy, cioè una relazione fuzzy )mX...,,1X(R definita sul prodotto cartesiano

mX...1X ×× come segue:

))mX(mA...,),1x(1A(i)mX...,,1X(R =

dove i è una t-norma.

Quindi, dato un fatto

'mAismXAND...AND'Ais1X

1

si ha:

= ))y(B)),mX(mA...,),1X(1A(i(I)),mX('

mA...,),1X('1A(iT

x,...,xsup)y('B

m1

dove T ed i sono t-norme (in generale, può essere iT ≠ ).

Di solito, essendo richiesta l’idempotenza, i = minimo.


51

TECNICHE GRAFICHE DI INFERENZA

Un sistema fuzzy con m ingressi ed una singola uscita è descritto da una collezione di n regole IF-THEN:

Regola 1: 1BisYTHENm1AismXAND...AND11Ais1XIF Regola 2: 2BisYTHENm2AismXAND...AND21Ais1XIF ............. Regola n: nBisYTHENnmAismXAND...AND1nAis1XIF

Consideriamo un sistema con due ingressi ed una uscita; il sistema è descritto dalle seguenti due regole fuzzy:

Regola 1: 1BisYTHEN12Ais2XAND11Ais1XIF Regola 2: 2BisYTHEN22Ais2XAND21Ais1XIF Supponiamo che i due ingressi crisp al sistema siano x1 e x2. Nella pagina successiva mostriamo graficamente il processo di inferenza fuzzy. Occorre innanzi tutto ‘fuzzificare’ gli input: tipicamente, si considerano x1 ed x2 come fuzzy singleton. Usiamo poi il minimo per risolvere l’operatore AND nell’antecedente di ogni regola, e realizziamo anche l’operatore di implicazione con il minimo (questo equivale a troncare la funzione di appartenenza dell’insieme conseguente con il minimo dei valori di appartenenza degli input agli insiemi fuzzy antecedenti). Infine usiamo il massimo come operatore di aggregazione degli insiemi fuzzy prodotti da ciascuna regola.


52

µ

X2

µ

X1

A21 A22

Y

µB2

min

Regola 2

µ

X2

µ

X1

A11 A12

Y

µB1

min

Regola 1

Y

µ

y*

x 1 x 2


53

DEFUZZIFICAZIONE

Sia C l’insieme fuzzy di uscita. In generale, C risulterà dall’unione di varie funzioni triangolari, trapezoidali, etc. Magari non tutte queste funzioni saranno normali. Occorre ‘defuzzificare’ C per produrre un numero crisp.

METODI DI DEFUZZIFICAZIONE

•••• Metodo della massima appartenenza (o metodo dell’altezza): è usato solo per funzioni di uscita con un picco:

Zz)z(C*)z(C ∈∀µ≥µ

z

1

µ

C

z*


54

•••• Metodo del centroide (o centro di gravità): è il più usato:

∫∫µ

⋅µ=

dz)z(C

dzz)z(C*z

dove ∫ denota integrazione algebrica.

z

1

µ

C

z*


55

•••• Metodo della media pesata: è usato solo per funzioni di appartenenza simmetriche.

∑∑

µ

⋅µ=

)z(C

z)z(C*z

dove ∑ denota somma algebrica. Ogni funzione membro nell’uscita è pesata con il suo valore di appartenenza massimo.

Esempio:

z

1

µC

a b

.5

.9

9.5.)b9(.)a5(.*z

++=

dove a e b sono le medie delle rispettive funzioni.


56

•••• Metodo della media dei massimi: è simile al primo metodo eccetto il fatto che il valore massimo può essere assunto in più di un punto. Si ha

2ba*z +=

dove a e b sono definiti come segue:

z

1

µC

z* a b

)}C(h)z(C|z{supb)}C(h)z(C|z{infa

=µ==µ=

con h = altezza di C.


57

SCELTA DEL METODO DI DEFUZZIFICAZIONE

La scelta del metodo dipende dal contesto e dal problema.

Possono comunque essere tenuti presenti alcuni criteri per misurare la bontà di un metodo, quali

1) continuità: un piccolo cambiamento nell’input di un processo fuzzy non dovrebbe produrre un grande cambiamento nell’output.

2) Non ambiguità: un metodo di defuzzificazione dovrebbe produrre un solo valore per z*.

3) Plausibilità: per essere plausibile, z* dovrebbe trovarsi approssimativamente nel mezzo del supporto di C ed avere un alto grado di appartenenza a C.

4) Semplicità computazionale: per esempio, il metodo dell’altezza e il metodo della media dei massimi sono più semplici del metodo del centroide.

dis pens a fuzzy spec

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