dimensiunea multimlor fractle

Download DIMENSIUNEA MULTIMLOR FRACTLE

Post on 28-Jun-2015

932 views

Category:

Documents

8 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

1

UNIVERSITATEA POLITEHNICA BUCURESTI

REFERAT DIMENSIUNEA MULTUMILOR FRACTALE

Student : Cristi Mataranga Master : TCSI anul I Profesor indrumator : conf.dr. URSIANU RADU

2011

2

DIMENSIUNEA MULTIMILOR FRACTALECUPRINS

1 .Introducere

:

1.1. Definitie Fractali Proprietati Scurt istoric ; 1.2 Exemple de fractali clasici: Curba lui KOCH ; Triunghiul lui SIERPINSKI ; Covorul lui SIERPINSKI ; Curba lui PEANO ; Fractalul MANDELBROT ; Fractalul JULIA PHOENIX. 1.3 Exemple de fractali in natura : FERIGA ; BROCCOLI ROMANESCO ; Structuri fractale in structura organismului uman. 2. Dimensiunea

Fractala :

2.1 Definitie Dimensiune Fractala ; 2.2 Formule de calcul ; 3. Metode

de evaluare a dimensiunii fractale:

3.1 Metoda Compasului ; 3.2 Metoda dilatarii pixelilor ; 3.3 Metoda raportului de masa ; 3.4 Metoda BOX-COUNTING Aplicatii in Matlab (1D , 2D si 3D).

3

1. INTRODUCERE ; 1.1 Definitie Fractali Proprietati Scurt istoric;Fractal - este figura geometrica neuniforma, fragmentata sau franta care poate fidivizata in parti, astfel incat fiecare dintre acestea sa fie (cel putin aproximativ) o copie miniaturala a intregului. In 1975 Benoit Mandelbrot introduce numele de fractal si este derivat din latinescul fractus, insemnand "spart" sau "fracturat". Fractalul, ca obiect geometric, are in general urmatoarele caracteristici: Are o structura fina la scari arbitrar de mici ; Este prea neregulat pentru a fi descris in limbaj geometric euclidian traditional ; Este autosimilar (macar aproximativ sau stochastic). Are dimensiunea Hausdorff mai mare decat dimensiunea topologica(desi aceasta cerinta nu este indeplinita de curbele Hilbert). Are o definitie simpla si recursiva(care poate fi repetata in numar nelimitat) In 1904, Helge von Koch, nesatisfacut de definitia abstracta si analitica a lui Weierstrass, a dat o definitie geometrica a unei functii similare, care se numeste astazi fulgul lui Koch. In 1915, Waclaw Sierpinski a construit triunghiul si, un an mai tarziu, covorul lui Sierpinski. La origine, acesti fractali geometrici au fost descrisi drept curbe in loc de forme bidimensionale, asa cum sunt cunoscute astazi. Functiile iterate in planul complex au fost investigate la sfarsitul secolului 19 si inceputul secolului 20 de Henri Poincar, Felix Klein, Pierre Fatou si Gaston Julia. Totusi, fara ajutorul graficii pe calculator moderne, ei nu puteau vizualiza frumusetea numeroaselor obiecte pe care le descoperisera. In anii 1960, Benoit Mandelbrot a inceput sa cerceteze autosimilaritatea in lucrari precum "Cat de lungaeste coasta Marii Britanii? Autosimilaritate statisticasi dimensiune fractionala". In matematica exista mai multe tipuri de fractali in functie de modul in care sunt construiti. Formele fractale nu sunt o inventie a secolului 20, ei existau inca de la inceput in jurul nostru dar nu am avut "puterea" sa ii reproducem. Abia cu aparitia calculatoarelor a fost posibila desenarea lor. De exemplu, pentru cea mai "aratoasa" clasa de fractali sunt necesari ani de zile pentru a "afisa" o portiune relativ mica si saraca in detalii. Esteticul in cazul fractalilor vine de la faptul ca acestia, datorita generarii lor ingenioase si a faptului ca umplerea sectiunilor cu culori nu depinde decat de culorile definite initial, iar suprapunerile si combinarile din timpul generarii dau un aspect cu adevarat uimitor. Multi matematicieni inaintea lui Mandelbrot s-au aplecat asupra unor ecuatii/formule care produceau forme ciudate, puternic fragmentate, care nu se supuneau regulilor "clasice". Aceste formule au fost insa ignorate, "izgonite", tratate ca si niste "monstri" matematici.

4

1.2 Exemple de fractali clasici: Curba lui KOCH : Initiatorul acestei curbe este un segment de dreapta oarecare, de exemplu intervalul 0,1Impartim segmentul in trei parti egale si inlocuim partea centrala cu cele doua laturi ale unui triunghi echilateral ce are ca baza chiar partea centrala. Aceasta a fost o regula (generatorul) ce poarta numele Van Kock.. Repetand de un numar nesfarsit de ori aceeasi regula se obtine, la limita, un obiect abstract numit curba Van Koch Aceasta curba este socotita si curba monstru cu distanta infinita intre oricare doua puncte si cu aria 0

Triunghiul lui SIERPINSKI : se incepe prin a desena un triunghi echialteral plin ; se uneste mijlocul laturilor triungiului. Astfel se va imparti triunghiul mare in 4 triunghiuri mici ; se elimina mijlocul (zona va ramane alba) ; se continua la infinit acelasi procedeu pentru restul de 3 triunghiuri mici ramase si pentru noile triunghiuri generate ;

5

Covorul lui SIERPINSKI : Se porneste de la un patrat, care e divizat in 9 patrate identice, dar de dimensiuni mai mici ; Interiorul se coloreaza astfel: toate patratele interioare mai putin cel din mijloc in negru ; Pentru toate patratele negre se aplica iar divizarea in 9 patrate identice, si asa mai departe

Curba lui PEANOFolosind aceasta curba pe care a prezentat-o in anul 1890 (cand avea titlul de profesor extraordinar de calcul infinitezimal la Universitatea din Torino), Peano a demonstrat ca se poate umple o portiune din spaiu, folosind o curba continu care nu are latime (deci nu are arie). In consecinta, aria curbei de umplere a spatiului este egal cu aria in care este inscrisa. Asa s-a ajuns ca o form alcatuita din segmente de dreapt s umple suprafaa unui plan bidimensional

6

Fractalul MANDELBROTSe poate observa destul de usor (in imaginea marita) similaritatea dintre intreg si subdiviziunile acestuia

7

Fractalul JULIA (PHOENIX)In functie de diferitele formule matematice calculate pe baza numerelor complexe, forma z=a+bi), fractalii primesc diferite forme.

1.3 Exemple de fractali in natura ;Fractali naturali:Pai, oricat ar parea de uimitor, se banuieste ca toata natura e facuta dupa modelul fractalil or, ba chiar mai mult incepe sa se speculeze faptul ca adevarata geometrie este cea fractala. Dar vorbeam de natura. Se pare ca totul, incepand de la crestarea tarmurilor, la formarea muntilor, norii, fulgii de zapada, cristalele, fulgerul, retelele hidrografice, broccoli-ul, precum si sistemele sangvine si pulmonare. Ba mai mult, acum ceva timp am citit faptul ca s-a descoperit un gol de vid in spatiul cosmic de o imensitate care i-a pus pe ganduri pe oamenii de stiinta. Asta pentru ca, dupa calculele lor, s-ar parea ca si acel gol s-a format dupa un model fractalic, astfel ca teoriile legate de geneza si dimensiunile spatiului cosmic ar putea fi date peste cap. Structurile fractale sunt prezente atat in alcatuirea organismului uman, cat i in tot ceea ce se afla in jurul nostru de la fulgi de zapada, forme de relief, creierul uman, pana la componente ale lumii vegetale (feriga, aloe). Un ochi antrenat, spunea Barnsley, poate observa o structura fractala in aproape orice element al lumii inconjuratoare. Principiul partii asemanatoare cu intregul (principiul autoasemanarii) este cuprins i realizat aproximativ in natura. Unii fractali sufera schimbari continue ca formatiunile noroase sau focurile licarind, iar altii precum sistemul vascular uman sau copacii retin structura pe care au dezvolat-o in evolutia lor. Pana i moleculele de oxigen i ADN reprezinta fractali, iar irul de exemple nu se termina aici. In informatica, fractalii au revolutionat tehnica de comprimare a imaginilor. Prin transformarea lor (a imaginilor) in fractali, Barnsley a descoperit o tehnica prin care se pot comprima imagini foarte mari in coduri foarte mici, obtinandu-se un raport de comprimare de peste zece mii la unu.

8 Ceea ce este i mai impresionant insa este faptul ca atunci cand se maresc aceste imagini, ele ii pastreaza gradul de detaliu la infinit, un lucru oarecum neobinuit la imaginile stocate clasic, la care la o marire nu foarte puternica se instaleaza deja neclaritatea, devenind imagini pixelate. Pentru a intelege mai bine rolul computerelor in generarea fractalilor i in aplicatiile legate de acetia va voi expune modalitatea care se aplica in tehnica de compresie a imaginilor prin gasirea unei functii fractale care sa poata fi folosita pentru micorarea acestora inainte de inventarea unei modalitati prin care computerele sa poata sa determine singure aceste functii. Sute de ore de munca erau necesare pentru identificarea unei astfel de functii fractale. Profesorul Barnsley, care in trecut a predat la Georgia Institute of Technology a bebeficiat de fonduri guvernamentale de cateva milioane de dolari doar pentru a cerceta aceste tehnici de compresie a imaginilor. O aplicatie militara importanta este transmiterea in timp real, prin satelit, a unor imagini cu un grad de detaliu mare. Aici se pot vedea cateva exemple de fractali naturali:

FERIGA : O frunza de feriga, fractal natural. Se observa clar proprietatea de similaritatecu sine

9

BROCCOLI ROMANESCO:

Structuri fractale in structura organismului uman :

10

2. Dimensiunea Fractala : 2.1 Definitie - Dimensiune Fractala Istoric ;Dimensiune fractala , reprezinta un numar real cuprins intre dimensiunea topologica aobiectului si dimensiunea spatiului in care este definit. In 1919 Felix Hausdorff introducea conceptul de dimensiune fractala.Faptul ca dimensiunea unui obiect poate fi un numar real pozitiv oarecare (deci nu neaparat intreg) este tulburator. Iata totusi cum se ajunge la acest rezultat: Nu s-a gasit inca o definitie exacta a dimensiunii fractale, cu atat mai putin o formula generala pentru calcularea ei. In general , este estimat calculand raportul logaritmic al unor proprietati la diferite scari. In sfarsit, in 1975, Mandelbrot a inventat termenul "fractal" pentru a denumi un obiect al carei dimensiune Hausdorff-Besicovitch este mai mare decat dimensiunea topologica a sa.

Dimensiune topologica - reprezinta numarul de pu