diferensial fungsi majemuk -...

19
DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12

Upload: lamthuy

Post on 02-Mar-2019

430 views

Category:

Documents


26 download

TRANSCRIPT

Page 1: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK - danjunisme.comdanjunisme.com/.../Pertemuan-12-dan-13-Diferensial-Fungsi-Majemuk.pdfDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12. 1. Diferensial Parsial 2. Derivatif

DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKPertemuan 12

Page 2: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK - danjunisme.comdanjunisme.com/.../Pertemuan-12-dan-13-Diferensial-Fungsi-Majemuk.pdfDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12. 1. Diferensial Parsial 2. Derivatif

1. Diferensial Parsial

2. Derivatif dari Derivatif Parsial

3. Nilai Ekstrim; Maksimum dan Minimum

4. Optimasi Bersyarat5. Homogenitas Fungsi

SUB PEMBAHASAN

Page 3: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK - danjunisme.comdanjunisme.com/.../Pertemuan-12-dan-13-Diferensial-Fungsi-Majemuk.pdfDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12. 1. Diferensial Parsial 2. Derivatif

DIFERENSIAL PARSIAL

Page 4: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK - danjunisme.comdanjunisme.com/.../Pertemuan-12-dan-13-Diferensial-Fungsi-Majemuk.pdfDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12. 1. Diferensial Parsial 2. Derivatif

Jika sebuah fungsi mempunyai n macam variabel bebas maka ia akan memiliki n macam turunan.

Jika y = f(x,z) maka akan terdapat dua macam turunan, yaitu:

1. turunan y terhadap x πœ•π‘¦

πœ•π‘₯

2. turunan y terhadap z πœ•π‘¦

πœ•π‘§

Contoh:

1.πœ•π‘¦

πœ•π‘₯= 3π‘Ÿ2 βˆ’ 8π‘₯𝑧 βˆ’ 6𝑧2

2.πœ•π‘¦

πœ•π‘₯= 10𝑧 βˆ’ 4π‘₯2 βˆ’

12π‘₯𝑧 βˆ’ 8

1. Dalam menurunkan y terhadap x πœ•π‘¦

πœ•π‘₯, hanya

suku-suku yang mengandung variabel x yang diperhitungkan. Sedangkan yang lain dianggap sbg konstanta dan turunannya adalah nol.

2. Dalam menurunkan y terhadap z πœ•π‘¦

πœ•π‘§, hanya

suku-suku yang mengandung variabel z yang diperhitungkan. Sedangkan yang lain dianggap sbg konstanta dan turunannya adalah nol.

Page 5: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK - danjunisme.comdanjunisme.com/.../Pertemuan-12-dan-13-Diferensial-Fungsi-Majemuk.pdfDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12. 1. Diferensial Parsial 2. Derivatif

DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL

Page 6: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK - danjunisme.comdanjunisme.com/.../Pertemuan-12-dan-13-Diferensial-Fungsi-Majemuk.pdfDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12. 1. Diferensial Parsial 2. Derivatif

Fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas dapat diturunkan lebih dari satu kali.

Jika suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang masing mengandung beberapa macam variabel bebas, maka turunan berikutnya masih dapat dipecah-pecah lagi menjadi beberapa turunan parsial pula.

Contoh: 𝑦 = π‘₯3 + 5𝑧2 βˆ’ 4π‘₯2𝑧 βˆ’ 6π‘₯𝑧2 + 8𝑧 βˆ’ 7

1.πœ•π‘¦

πœ•π‘₯= 3π‘₯2 βˆ’ 8π‘₯𝑧 βˆ’ 6𝑧2

2.πœ•π‘¦

πœ•π‘§= 10𝑧 βˆ’ 4π‘₯2 βˆ’ 12π‘₯𝑧 βˆ’ 8

a.πœ•π‘¦

πœ•π‘₯terhadap x:

πœ•2𝑦

πœ•π‘₯2= 6π‘₯ βˆ’ 8𝑧

b.πœ•π‘¦

πœ•π‘§terhadap z:

πœ•2𝑦

πœ•π‘§2= βˆ’8π‘₯ βˆ’ 12𝑧

β€œMasih dapat diturunkan secara

parsial lagi baik terhadap x

maupun terhadap z”

Masih dapat diturunkan lagi.

Silakan dilanjutkan!

Page 7: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK - danjunisme.comdanjunisme.com/.../Pertemuan-12-dan-13-Diferensial-Fungsi-Majemuk.pdfDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12. 1. Diferensial Parsial 2. Derivatif

NILAI EKSTRIM: MAKSIMUM DAN MINIMUM

Page 8: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK - danjunisme.comdanjunisme.com/.../Pertemuan-12-dan-13-Diferensial-Fungsi-Majemuk.pdfDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12. 1. Diferensial Parsial 2. Derivatif

Untuk y = f(x, z)Maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika:

ππ’š

𝝏𝒙= 𝟎 dan

ππ’š

𝝏𝒛= 𝟎

Syarat di atas adalah syarat yang diperlukan (necessary condition) agar fungsinya mencapai titik ekstrim. Guna mengetahui apakah titik ekstrim itu berupa titik maksimum ataukah titik minimum, dibutuhkan syarat yang mencukupkan (sufficient condition), yaitu:

Maksimum bila πœ•2𝑦

πœ•π‘₯2< 0 dan

πœ•2𝑦

πœ•π‘§2< 0

Minimum bila πœ•2𝑦

πœ•π‘₯2> 0 dan

πœ•2𝑦

πœ•π‘§2> 0

β€œJika ditemukan πœ•2𝑦

πœ•π‘₯2= 0 dan

πœ•2𝑦

πœ•π‘§2= 0, maka tidak

bisa ditegaskan mengenai nilai ekstrimnya. Untuk kasus seperti ini diperlukan penyelidikan dan pengujian lebih lanjut.”

Page 9: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK - danjunisme.comdanjunisme.com/.../Pertemuan-12-dan-13-Diferensial-Fungsi-Majemuk.pdfDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12. 1. Diferensial Parsial 2. Derivatif

Contoh Soal: 1. Jika diketahui fungsi:π’š = βˆ’π’™πŸ + πŸπŸπ’™ βˆ’ π’›πŸ + πŸπŸŽπ’› βˆ’ πŸ’πŸ“

apakah fungsi tersebut titik ekstrimnya titik maksimum atau titik minimum?

Penyelesaian:ππ’š

𝝏𝒙= βˆ’πŸπ’™ + 𝟏𝟐

βˆ’πŸπ’™ + 𝟏𝟐 = πŸŽπ’™ = πŸ”

πœ•2𝑦

πœ•π‘₯2= βˆ’πŸ

π’š = βˆ’(πŸ”)𝟐 + 𝟏𝟐(πŸ”) βˆ’ πŸ“ 𝟐 + 𝟏𝟎(πŸ“) βˆ’ πŸ’πŸ“ππ’š

𝝏𝒛= βˆ’πŸπ’› + 𝟏𝟎

βˆ’πŸπ’› + 𝟏𝟎 = 𝟎𝐳 = πŸ“

πœ•2𝑦

πœ•π‘§2= βˆ’πŸ

π’š = βˆ’πŸ‘πŸ” + πŸ•πŸ βˆ’ πŸπŸ“ + πŸ“πŸŽ βˆ’ πŸ’πŸ“

π’š = πŸπŸ”

Karena πœ•2𝑦

πœ•π‘₯2dan

πœ•2𝑦

πœ•π‘§2< 0, maka titik

ekstrimnya adalah titik maksimum dengan π‘¦π‘šπ‘Žπ‘₯ = 16

Page 10: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK - danjunisme.comdanjunisme.com/.../Pertemuan-12-dan-13-Diferensial-Fungsi-Majemuk.pdfDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12. 1. Diferensial Parsial 2. Derivatif

Contoh Soal: 1. Jika diketahui fungsi:π’š = πŸ‘π’’πŸ βˆ’ πŸπŸ–π’’ + π’“πŸ βˆ’ πŸ–π’“ + πŸ“πŸŽ

apakah fungsi tersebut titik ekstrimnya titik maksimum atau titik minimum?

Page 11: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK - danjunisme.comdanjunisme.com/.../Pertemuan-12-dan-13-Diferensial-Fungsi-Majemuk.pdfDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12. 1. Diferensial Parsial 2. Derivatif

OPTIMASI BERSYARAT

Page 12: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK - danjunisme.comdanjunisme.com/.../Pertemuan-12-dan-13-Diferensial-Fungsi-Majemuk.pdfDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12. 1. Diferensial Parsial 2. Derivatif

Di bidang ekonomi akan sering terjadi ketika ingin mencari nilai maksimum atau nilai minimumnya tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain yang harus dipenuhi. Misal:β€’ Seseorang mau memaksimumkan utilitas (tingkat kepuasan) tetapi terikat pada fungsi pendapatan.β€’ Seseorang mau memaksimumkan labaa, tetapi terikat pada fungsi produksi.

Atau dengan kata lain fungsi yang hendak dioptimumkan malah menghadapi suatu kendala (constraint).

Page 13: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK - danjunisme.comdanjunisme.com/.../Pertemuan-12-dan-13-Diferensial-Fungsi-Majemuk.pdfDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12. 1. Diferensial Parsial 2. Derivatif

Pengganda Lagrange

Metode Langrange adalah suatu cara untuk menyelesaikan perhitungan nilai ekstrim sebuah fungsi yang menghadapi kendala berupa fungsi lain.

Fungsi Langrange adalah penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan ditambah hasil kali pengganda Langrange πœ† dengan fungsi kendalanya.

Misal ingin mengoptimumkan fungsi z = f(x,y) dengan syarat harus terpenuhi u = g(x, y) maka fungsi Lagrangenya:

𝐅(𝐱, 𝐲, 𝝀 = f(x,y)+ 𝝀(x,y)𝝀

Nilai ekstrim F(x, y, 𝝀) dapat dicari dengan memformulasikan masing-masing derivatif-parsial pertamanya sama dengan nol.

𝑓π‘₯ π‘₯, 𝑦, πœ† = 𝑓π‘₯ + πœ†π‘”π‘₯ = 0𝑓𝑦 π‘₯, 𝑦, πœ† = 𝑓𝑦 + πœ†π‘”π‘¦ = 0

Page 14: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK - danjunisme.comdanjunisme.com/.../Pertemuan-12-dan-13-Diferensial-Fungsi-Majemuk.pdfDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12. 1. Diferensial Parsial 2. Derivatif

Maksimum jika 𝐹π‘₯π‘₯ < 0 dan 𝐹𝑦𝑦 < 0

Minimum jika 𝐹π‘₯π‘₯ > 0 dan 𝐹𝑦𝑦 > 0

Kemudian untuk mengetahui jenis nilai ekstrim apakah maksimum atauminimum, masih harus dicari melalui derivatif-parsial keduanya, yangmerupakan syarat mencukupkan (sufficient condition).

Page 15: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK - danjunisme.comdanjunisme.com/.../Pertemuan-12-dan-13-Diferensial-Fungsi-Majemuk.pdfDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12. 1. Diferensial Parsial 2. Derivatif

Contoh:Tentukan nilai ekstrim x dari fungsi z = 2x + 2y dengan syarat π‘₯2 + 𝑦2 = 8

Penyelesaian:

Fungsi Lagrange:𝐹 = 2π‘₯ + 2𝑦 + πœ†(π‘₯2 + 𝑦2 βˆ’ 8)= 2π‘₯ + 2𝑦 + πœ†π‘₯2 + πœ†π‘¦2 βˆ’ πœ†8

Agar F ekstrim, F’= 0

𝐹π‘₯ = 2 + 2πœ†x = 0, diperoleh πœ† = βˆ’1

π‘₯.........(1)

𝐹𝑦 = 2 + 2πœ†y = 0, diperoleh πœ† = βˆ’1

𝑦.........(2)

Berdasarkan (1) dan (2)

βˆ’1

π‘₯= βˆ’

1

𝑦atau x = y

Menurut funsgi kendala:π‘₯2 + 𝑦2 = 8𝑦2 + 𝑦2 = 8

2𝑦2 = 8𝑦2 = 4y = Β±2

Karena y = Β±2, π‘₯ = Β±2𝑧 = 2π‘₯ + 2𝑦 = Β±8

Jadi nilai ekstrim z = Β±πŸ–

Page 16: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK - danjunisme.comdanjunisme.com/.../Pertemuan-12-dan-13-Diferensial-Fungsi-Majemuk.pdfDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12. 1. Diferensial Parsial 2. Derivatif

Lanjutan...Penyelidikan nilai ekstrimnya:

β€’ Untuk x = 2 dan y = 2, πœ† = βˆ’1

2

𝐹π‘₯π‘₯ = 2πœ† = 2 βˆ’1

2= βˆ’1 < 0

𝐹𝑦𝑦 = 2πœ† = 2 βˆ’1

2= βˆ’1 < 0

Karena 𝐹π‘₯π‘₯ dan 𝐹𝑦𝑦 < 0, nilai ekstrimnya

adala nilai maksimum dengan π‘π‘šπ‘Žπ‘₯ = 8 β€’ Untuk x = -2 dan y = -2, πœ† =1

2

𝐹π‘₯π‘₯ = 2πœ† = 21

2= 1 > 0

𝐹𝑦𝑦 = 2πœ† = 21

2= 1 > 0

Karena 𝐹π‘₯π‘₯ dan 𝐹𝑦𝑦 > 0, nilai ekstrimnya

adala nilai minimum dengan π‘π‘šπ‘–π‘› = βˆ’8

Page 17: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK - danjunisme.comdanjunisme.com/.../Pertemuan-12-dan-13-Diferensial-Fungsi-Majemuk.pdfDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12. 1. Diferensial Parsial 2. Derivatif

HOMOGENITAS FUNGSI

Page 18: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK - danjunisme.comdanjunisme.com/.../Pertemuan-12-dan-13-Diferensial-Fungsi-Majemuk.pdfDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12. 1. Diferensial Parsial 2. Derivatif

Suatu fungsi dikatakan homogen berderajat n jika hasil kali setiap variabel bebasnya dengan sembarang bilangan πœ† menyebabkan nilai fungsinya menjadi πœ†β€ kali. Dengan demikian, z = f(x,y) dikatakan homogen jika πœ†"𝑧 = 𝑓(πœ†x, πœ†π‘¦)

1. 𝑧 = 𝑓 π‘₯, 𝑦 = 2π‘₯3 βˆ’ 4π‘₯3 + 𝑦3

Adalah fungsi homogen berderajat 3, karena:

𝑓 πœ†x, πœ†π‘¦ = 2πœ†3π‘₯3 βˆ’ 4πœ†3π‘₯3𝑦 + πœ†3𝑦3

= πœ†3(2π‘₯3βˆ’4π‘₯3 + 𝑦3)= πœ†3𝑓 π‘₯, 𝑦= πœ†3 𝑧

2. 𝑧 = 𝑓 π‘₯, 𝑦 = 5π‘₯2 βˆ’ π‘₯𝑦 + 3𝑦2

Adalah fungsi homogen berderajat 2, karena:

𝑓 πœ†x, πœ†π‘¦ = 5πœ†2π‘₯2 βˆ’ πœ†2π‘₯𝑦 + 3πœ†2𝑦2

= πœ†2(5π‘₯2βˆ’π‘₯𝑦 + 3𝑦2)= πœ†2𝑓 π‘₯, 𝑦= πœ†2𝑧

Homogenitas fungsi merupakan bahasan penting dalam teori produksi. Dengan diketahui derajathomogenitas suatu fungsi produksi, akan dapat diketahui pula tingkat penambahan hasil produksiatas penambahan faktor produksi yang digunakan.

Page 19: DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK - danjunisme.comdanjunisme.com/.../Pertemuan-12-dan-13-Diferensial-Fungsi-Majemuk.pdfDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Pertemuan 12. 1. Diferensial Parsial 2. Derivatif

TERIMA KASIH