diferensial fungsi majemuk -...
TRANSCRIPT
DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUKPertemuan 12
1. Diferensial Parsial
2. Derivatif dari Derivatif Parsial
3. Nilai Ekstrim; Maksimum dan Minimum
4. Optimasi Bersyarat5. Homogenitas Fungsi
SUB PEMBAHASAN
DIFERENSIAL PARSIAL
Jika sebuah fungsi mempunyai n macam variabel bebas maka ia akan memiliki n macam turunan.
Jika y = f(x,z) maka akan terdapat dua macam turunan, yaitu:
1. turunan y terhadap x ππ¦
ππ₯
2. turunan y terhadap z ππ¦
ππ§
Contoh:
1.ππ¦
ππ₯= 3π2 β 8π₯π§ β 6π§2
2.ππ¦
ππ₯= 10π§ β 4π₯2 β
12π₯π§ β 8
1. Dalam menurunkan y terhadap x ππ¦
ππ₯, hanya
suku-suku yang mengandung variabel x yang diperhitungkan. Sedangkan yang lain dianggap sbg konstanta dan turunannya adalah nol.
2. Dalam menurunkan y terhadap z ππ¦
ππ§, hanya
suku-suku yang mengandung variabel z yang diperhitungkan. Sedangkan yang lain dianggap sbg konstanta dan turunannya adalah nol.
DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL
Fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas dapat diturunkan lebih dari satu kali.
Jika suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang masing mengandung beberapa macam variabel bebas, maka turunan berikutnya masih dapat dipecah-pecah lagi menjadi beberapa turunan parsial pula.
Contoh: π¦ = π₯3 + 5π§2 β 4π₯2π§ β 6π₯π§2 + 8π§ β 7
1.ππ¦
ππ₯= 3π₯2 β 8π₯π§ β 6π§2
2.ππ¦
ππ§= 10π§ β 4π₯2 β 12π₯π§ β 8
a.ππ¦
ππ₯terhadap x:
π2π¦
ππ₯2= 6π₯ β 8π§
b.ππ¦
ππ§terhadap z:
π2π¦
ππ§2= β8π₯ β 12π§
βMasih dapat diturunkan secara
parsial lagi baik terhadap x
maupun terhadap zβ
Masih dapat diturunkan lagi.
Silakan dilanjutkan!
NILAI EKSTRIM: MAKSIMUM DAN MINIMUM
Untuk y = f(x, z)Maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika:
ππ
ππ= π dan
ππ
ππ= π
Syarat di atas adalah syarat yang diperlukan (necessary condition) agar fungsinya mencapai titik ekstrim. Guna mengetahui apakah titik ekstrim itu berupa titik maksimum ataukah titik minimum, dibutuhkan syarat yang mencukupkan (sufficient condition), yaitu:
Maksimum bila π2π¦
ππ₯2< 0 dan
π2π¦
ππ§2< 0
Minimum bila π2π¦
ππ₯2> 0 dan
π2π¦
ππ§2> 0
βJika ditemukan π2π¦
ππ₯2= 0 dan
π2π¦
ππ§2= 0, maka tidak
bisa ditegaskan mengenai nilai ekstrimnya. Untuk kasus seperti ini diperlukan penyelidikan dan pengujian lebih lanjut.β
Contoh Soal: 1. Jika diketahui fungsi:π = βππ + πππ β ππ + πππ β ππ
apakah fungsi tersebut titik ekstrimnya titik maksimum atau titik minimum?
Penyelesaian:ππ
ππ= βππ + ππ
βππ + ππ = ππ = π
π2π¦
ππ₯2= βπ
π = β(π)π + ππ(π) β π π + ππ(π) β ππππ
ππ= βππ + ππ
βππ + ππ = ππ³ = π
π2π¦
ππ§2= βπ
π = βππ + ππ β ππ + ππ β ππ
π = ππ
Karena π2π¦
ππ₯2dan
π2π¦
ππ§2< 0, maka titik
ekstrimnya adalah titik maksimum dengan π¦πππ₯ = 16
Contoh Soal: 1. Jika diketahui fungsi:π = πππ β πππ + ππ β ππ + ππ
apakah fungsi tersebut titik ekstrimnya titik maksimum atau titik minimum?
OPTIMASI BERSYARAT
Di bidang ekonomi akan sering terjadi ketika ingin mencari nilai maksimum atau nilai minimumnya tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain yang harus dipenuhi. Misal:β’ Seseorang mau memaksimumkan utilitas (tingkat kepuasan) tetapi terikat pada fungsi pendapatan.β’ Seseorang mau memaksimumkan labaa, tetapi terikat pada fungsi produksi.
Atau dengan kata lain fungsi yang hendak dioptimumkan malah menghadapi suatu kendala (constraint).
Pengganda Lagrange
Metode Langrange adalah suatu cara untuk menyelesaikan perhitungan nilai ekstrim sebuah fungsi yang menghadapi kendala berupa fungsi lain.
Fungsi Langrange adalah penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan ditambah hasil kali pengganda Langrange π dengan fungsi kendalanya.
Misal ingin mengoptimumkan fungsi z = f(x,y) dengan syarat harus terpenuhi u = g(x, y) maka fungsi Lagrangenya:
π (π±, π², π = f(x,y)+ π(x,y)π
Nilai ekstrim F(x, y, π) dapat dicari dengan memformulasikan masing-masing derivatif-parsial pertamanya sama dengan nol.
ππ₯ π₯, π¦, π = ππ₯ + πππ₯ = 0ππ¦ π₯, π¦, π = ππ¦ + πππ¦ = 0
Maksimum jika πΉπ₯π₯ < 0 dan πΉπ¦π¦ < 0
Minimum jika πΉπ₯π₯ > 0 dan πΉπ¦π¦ > 0
Kemudian untuk mengetahui jenis nilai ekstrim apakah maksimum atauminimum, masih harus dicari melalui derivatif-parsial keduanya, yangmerupakan syarat mencukupkan (sufficient condition).
Contoh:Tentukan nilai ekstrim x dari fungsi z = 2x + 2y dengan syarat π₯2 + π¦2 = 8
Penyelesaian:
Fungsi Lagrange:πΉ = 2π₯ + 2π¦ + π(π₯2 + π¦2 β 8)= 2π₯ + 2π¦ + ππ₯2 + ππ¦2 β π8
Agar F ekstrim, Fβ= 0
πΉπ₯ = 2 + 2πx = 0, diperoleh π = β1
π₯.........(1)
πΉπ¦ = 2 + 2πy = 0, diperoleh π = β1
π¦.........(2)
Berdasarkan (1) dan (2)
β1
π₯= β
1
π¦atau x = y
Menurut funsgi kendala:π₯2 + π¦2 = 8π¦2 + π¦2 = 8
2π¦2 = 8π¦2 = 4y = Β±2
Karena y = Β±2, π₯ = Β±2π§ = 2π₯ + 2π¦ = Β±8
Jadi nilai ekstrim z = Β±π
Lanjutan...Penyelidikan nilai ekstrimnya:
β’ Untuk x = 2 dan y = 2, π = β1
2
πΉπ₯π₯ = 2π = 2 β1
2= β1 < 0
πΉπ¦π¦ = 2π = 2 β1
2= β1 < 0
Karena πΉπ₯π₯ dan πΉπ¦π¦ < 0, nilai ekstrimnya
adala nilai maksimum dengan ππππ₯ = 8 β’ Untuk x = -2 dan y = -2, π =1
2
πΉπ₯π₯ = 2π = 21
2= 1 > 0
πΉπ¦π¦ = 2π = 21
2= 1 > 0
Karena πΉπ₯π₯ dan πΉπ¦π¦ > 0, nilai ekstrimnya
adala nilai minimum dengan ππππ = β8
HOMOGENITAS FUNGSI
Suatu fungsi dikatakan homogen berderajat n jika hasil kali setiap variabel bebasnya dengan sembarang bilangan π menyebabkan nilai fungsinya menjadi πβ kali. Dengan demikian, z = f(x,y) dikatakan homogen jika π"π§ = π(πx, ππ¦)
1. π§ = π π₯, π¦ = 2π₯3 β 4π₯3 + π¦3
Adalah fungsi homogen berderajat 3, karena:
π πx, ππ¦ = 2π3π₯3 β 4π3π₯3π¦ + π3π¦3
= π3(2π₯3β4π₯3 + π¦3)= π3π π₯, π¦= π3 π§
2. π§ = π π₯, π¦ = 5π₯2 β π₯π¦ + 3π¦2
Adalah fungsi homogen berderajat 2, karena:
π πx, ππ¦ = 5π2π₯2 β π2π₯π¦ + 3π2π¦2
= π2(5π₯2βπ₯π¦ + 3π¦2)= π2π π₯, π¦= π2π§
Homogenitas fungsi merupakan bahasan penting dalam teori produksi. Dengan diketahui derajathomogenitas suatu fungsi produksi, akan dapat diketahui pula tingkat penambahan hasil produksiatas penambahan faktor produksi yang digunakan.
TERIMA KASIH