Diamagnetism of Metals

L. D. Landau

Z. Phys. 64 (1930) 31-38. Men of Physics: L. D. Landau

理論研 岡崎 匡志

論文と発表内容の注意

論文の内容に関して

題目： 金属の反磁性(Diamagnetism of Metals) 著者： L. D. Landau

発表時期： 1930年

主な内容： ① Landau反磁性

(非相対論的量子力学を用いた一定磁場内での 自由電子の軌道運動に基づく反磁性の定量的評価) ② de Haas-van Alphen効果の予言 ③ ①の理論の補正 （周期的な格子ポテンシャル中の電子の考察、 交換相互作用が無視できない場合の補正、 非周期的な磁場の考察）

従って今日発表することは後付けされていない本来のLandauの

反磁性理論であり、知ってほしいことはLandau反磁性理論の

結論ではなく、美しい理論展開！

Landau反磁性理論は現在では非常に有名

でも・・・本来の美しく無駄のなく、鋭いLandauの

反磁性理論をそのまま全て説明している書物はほとんどない

①、②

今日発表する内容に関して

表記の注意

•CGS-Gauss単位系 •電子の電荷は •磁場の方向をz軸正方向（Hは磁場の絶対値） •以下の記号を使用

0 ee　　

0H

化学ポテンシャル

mc

e

Bohr磁子の2倍の量

Landauが用いた記号 このスライドで用いた記号

Hamiltonian

H

理論の流れ

量子力学 統計力学

Landauの鋭い考察その２

Landauの鋭い考察その１

Landauの鋭い考察その３

Hamiltonian H

エネルギー固有値 E

rエネルギー固有関数

磁化 、磁化率 M

グランドポテンシャル

状態の縮退度 R

～自由電子の軌道運動に伴う磁性を求める手順～

理論の流れは1本道！

Landauが導入した電磁ポテンシャル

00

22A

　,

Hx,

Hy

Av2

1 2 c

eemvL

i

ix

Lp

Lxpi

ii H

Hamiltonianを求める 方針：電磁ポテンシャルを定める

荷電粒子のLagrangianの表式

332211

1

2

1

2

1p

mv,x

c

eHp

mv,y

c

eHp

mv

　　

運動量と速度の関係

2

Ap2

1

c

e

mH

Hamiltonian

2

3

2

2

2

12

vvvm

H 332211

1

2

1

2

1p

mv,x

c

eHp

mv,y

c

eHp

mv

　　Hamiltonian

運動量の定義

Hamiltonianの定義

エネルギー固有値を求める

2

3

2

2

2

12

vvvm

H 332211

1

2

1

2

1p

mv,x

c

eHp

mv,y

c

eHp

mv

　　Hamiltonian

ｚ方向の運動量と速度の関係に着目（自由運動）

zip

ey,xfz,y,x3

エネルギー固有関数と固有値（x,y方向部分とz方向部分の分離）

321 EEE ,

x,y方向とｚ方向を別に考えればよい

m

pE

2

2

3

3

ｚ方向のエネルギー固有値

x,y方向エネルギー固有値は?

方針：Hamiltonianと交換関係を利用して磁場内電子のエネルギー固有値を求める

221

cm

eH

iv,v

2

2

2

1212

vvm

, H

Hamiltonian のx,y方向運動部分

交換関係

x,y方向エネルギー固有値は？～Landauの鋭い考察その１～

m

Pv 1

Qcm

eHv 2

演算子P,Qに置き換え

2

22

212

1

2Q

cm

eHm

m

P,

H

Hamiltonian のx,y方向運動部分

交換関係

i

Q,P

1次元調和振動子と対応

,,,nmc

eHnE , 210

2

121

　　

x,y方向のエネルギー固有値

,,,nm

p

mc

eHnE 210

22

12

3

　　

x,y方向の軌道エネルギー

z方向の軌道エネルギー

エネルギー固有値

H=0 H≠0

mc

He

※x,y方向の離散的なエネルギー準位→Landau準位

エネルギー固有関数を求める 方針：Schrödinger固有値方程式を解く

Schrödinger固有値方程式

z,y,xEz,y,xH 2

3

2

2

2

12

vvvm

H332211

1

2

1

2

1p

mv,x

c

eHp

mv,y

c

eHp

mv

　　

Hamiltonian

eH

cyH

eH

cy

Nzip

xeHy

i

z,y,x nn

2

2

2

2

3 expexpexp

x,y,z方向の振動部分 y方向の減衰部分

エネルギー固有関数

Schrödinger固有値方程式を解くと・・・

中心位置 の1次元調和振動子の固有関数 eH

cy

c

eH

Hermite多項式 xH n

規格化因子 nN

エネルギー固有値に量子数σが含まれていない！

→1個の準位にσの自由度が存在

→軌道運動に伴う縮退が存在

縮退度を求める

,,,nm

p

mc

eHnE 210

22

12

3

　　

エネルギー固有値

eH

cyHeNeez,y,x n

eH

cy

n

zipx

eHyi

2

2

22

3

エネルギー固有関数

得られた以下の表式に着目すると・・・

縮退度を求めるには？～Landauの鋭い考察その２～

x

y

z B

A

C

方針：有限の箱の中に電子を閉じ込めて波動関数の形に着目する

nn HeH

cy

Nzip

xeHy

i

z,y,x

2

2

2

2

3

expexpexp

x,y,z方向の振動部分

y方向の減衰部分

エネルギー固有状態

x,z方向に関して ｘ方向の位置yの

波動関数

ｚ方向の波動関数

運動量 を持つ自由粒子

2

eHy

3p

周期境界条件

Czipzip 33 expexp

AxeHy

ixeHy

i22

expexp

23

3

Cpn

2

21

AeHy

n

2

AR

2

pCR p

ｘ方向の運動量の間隔Δσの中に存在する状態数

ｚ方向の運動量の間隔Δｐの中に存在する状態数

xeHy

i2

exp

zip3exp

ｙ方向の波動関数 減衰項

を含んでいる

箱の中に閉じ込めることに伴う縮退は現れない！

y方向に関して

eH

cyH

eH

cyx

eHyi

n

2

2

2

2

expexp

2

2

2

eH

cy

exp

22422

pACpCARR p

BeH

c 0

Hc

eB0

一方・・・調和振動子の中心の位置に関しては電子を箱の中に閉じ込めたことに伴う制限がある

電子の軌道半径が箱の大きさに比べて小さいとすると・・・

y

振動中心

0 B

振動中心の位置に関する制限

σに関する条件

縮退数は

Hc

eB

eH

cy

軌道運動に伴う縮退度

pVc

eHR

222

１つの準位に関する縮退度

pVc

eHR

224

スピン無視 スピンのZeeman効果を考慮

mc

He

mc

He

2

mc

He

2

mc

He

2

スピンによるZeeman効果を考えれば基底状態を除き、2重に縮退

pVc

eHpV

c

eHR

22222

24

※但し基底状態の縮退度は pVc

eHR

224

エネルギー

グランドポテンシャルを求める

量子統計による電子のグランドポテンシャルの表式

TkBkT

E-

e1ln

縮退度

c

peHVR

22

3

2

0

22

32

2

1

21

23

n

mkT

p

kT

Hn

kT

c

eHVdpekT

　　　　

ln

　　m

p

mc

eHnE

22

12

3

332

2

21

23

dpmV

ekTf mkT

p

kT

　　　　

ln

mc

e

0 2

1

n

HnfH 変数の置き換え①

Hnfng

2

1

2

1

0 2

1

n

ngH変数の置き換え②

エネルギー準位

方針：縮退度と数学公式を用いてグランドポテンシャルを求める

1

24

1

2

1b

a

b

a

b

ax

|x'g|dxxgxg

11

xg

xgxg

Euler-Maclaurin総和公式

0

024

1|

n

ng|HdnngH

n

n

0

22

024

1|

Hnf|HdnHnfH

n

n

Hnfng

2

1

2

1

fHdxxf

x

x

22

24

1xHn

2

0

222

024

1

H

0

x

x

dxxf

磁場に依存しない

グランドポテンシャル項

0 2

1

n

ngH

2

0

222

024

1

H1電子のグランドポテンシャル

成立条件

kTH

de Haas van Alphen効果の予言

この条件反する場合

磁化・磁化率を求める

NMHTSU Legendre変換

熱力学第1,2法則 dNHdMTdSdU

グランドポテンシャルと熱力学的物理量の関係 NdMdHSdTd

Helmholtz自由エネルギーと熱力学的物理量の関係 dNMdHSdTdF

熱力学的関係

磁化

,TH

M

粒子数

H,T

N

2

0

222

024

1

H

H2

0

22

12

0

3

0

3220

24

1H

N2

0

2

N

H

12

2

H,TN

F

0

122

2

2

　

N

F

H

方針：グランドポテンシャルに熱力学的関係式を適用し、磁化を求める

Helmholtz自由エネルギー：F

粒子数：N

一定磁場中の自由電子の軌道運動に基づく磁性は

2

2

2

12N

F

HM

2

2

2

12N

F

磁化 磁化率

と与えられる反磁性

Landau反磁性

2

2

0

2

00

2

2

0

2

00

22

1

22

1

22

1

22

1 H

!

HH

!

H

22

1

22

100

HH

2

0

222

08

H

スピンに関するZeeman効果により

電子のエネルギー準位が分裂

スピンと磁場との相互作用を表すグランドポテンシャル

磁場中の自由電子のスピンと磁場の相互作用に基づくPauli常磁性は

2

2

2

4N

F

HM

2

2

2

4N

F

磁化 磁化率

と表せる。

Pauliの常磁性をLandauの反磁性と同じ表現で表す

Zeeman効果で準位が上がる半分の粒子のグラン

ドポテンシャル

Zeeman効果で準位が下がる半分の粒子のグランドポテンシャル

ωの周りでTaylor級数展開近似

H

2

HEn

2

HEn

磁場依存項がLandau反磁性の３倍

この反磁性の大きさを評価するには？～Landauの鋭い考察その３～

方針：Pauliの常磁性をLandauの反磁性と同じ表現で表す

磁場中の自由電子の軌道運動に基づくLandau磁性

2

2

2

12N

F

HM

2

2

2

12N

F

磁化

磁化率

磁場中の自由電子のスピンと磁場の相互作用に基づくPauli常磁性

2

2

2

4N

F

HM

2

2

2

4N

F

磁化 磁化率

まとめると・・・

Landauの反磁性の大きさはPauliの常磁性の大きさの 倍 3

1

結論

Landau準位 Landau反磁性

一定磁場H内の自由電子のエネルギー準位は磁場に垂直な面内で1次元調和振動子的に離散化する

磁化が磁場に関して振動しない条件の下では自由電子の軌道運動に基づく磁性はPauliの常磁性の１/3倍の大きさの反磁性を示し、２つの寄与のみを考えると依然として常磁性となる

03

2 paraparadia

但しこれらの結論は有名なので・・・むしろ今日の発表内容は

この結論に至る本来のLandau理論の過程の説明！

mc

eHnE ,

2

121

Hamiltonian エネルギー固有値

エネルギー固有関数

縮退度 グランドポテンシャル 磁化